高中数学必修五 1.1数列的概念-复习课件
北师大版高中数学(必修5)1.1《数列》
• 二、数列的分类 • 1．根据数列的项数，可以将数列分为两 类： • (1)有穷数列：项数⑥________的数列； • (2)无穷数列：项数⑦________的数列．
• 2．根据数列的增减性，可以将数列分为 以下几类： • (1)递增数列：从第2项起，每一项都大于 它前面的一项的数列叫做⑧________； • (2)递减数列：从第2项起，每一项都小于 它前面的一项的数列叫做⑨________； • (3)常数数列：数列的各项都是常数的数列 叫做⑩________； • (4)摆动数列：从第2项起，有些项大于它 的前一项，有些项小于它的前一项的数列
• 友情提示：关于数列概念的理解应注意的 几点事项： • (1)数列是按一定“次序”排成的一列数， 一个数列不仅与组成数列的“数”有关， 而且与这些数的排列顺序有关．因此，如 果组成数列的数相同而排列次序不同，那 么它们就是不同的数列； • (2)数列与数集的区别与联系：数列与数集 都是具有某种共同属性的数的全体．数列 中的数是有序的，而数集中的元素是无序 的，同一个数在数列中可以重复出现，而
• (3)数列的项与它的项数是不同的概念：数 列的项是指这个数列中的某一个确定的数， 是一个函数值，也就是相当于f(n)；而项数 是指这个数在数列中的位置序号，它是自 变量的值，相当于f(n)中的n； • (4)次序对于数列来讲是十分重要的，若两 个数列中有几个相同的数，由于它们的排 列次序不同，构成的数列就不是一个相同 的数列，显然数列与数集有本质的区别．
• 1．1 数列的概念 • 1．2 数列的函数特性
• 一、数列的概念 • 按照①________排列着的一列数都和它的序号有 关，排在第一位的数称为这个数列的第1 项(通常也叫做③________)，排在第二位 的数称为这个数列的第2项……排在第n位 的数称为这个数列的第n项．所以，数列 的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，
人教课标版(B版)高中数学必修5《数列求和》复习课件
∴bn＝－34·23n－1。 ∴an2－1＝－34·23n－1。 ∴an2＝1－43·32n－1。 又 a1＝12>0，an·an＋1<0，
∴an＝(－1)n－1
1－34·23n－1。
对应训练 3 已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝52－a1n，bn＝an－1 2(n∈ N*)，则数列{bn}的通项公式 bn＝____－__13_×__4_n－_1_－__32___。
【规律·方法】 利用恒等式 an＝a1·aa21·aa32…aan－n1(an≠0)求通项公式的方 法称为累乘法。累乘法是求型如 an＋1＝g(n)an 的递推数列通项公式的基 本方法，其中 g(n)可求前 n 项积。
对应训练 2 设{an}是首项为 1 的正项数列，且(n＋1)an2＋1－nan2＋ 1
考点二 累乘法求通项公式
【例 2】
若
a1＝1，Sn＝n＋3 2an(n∈N*)，则通项
nn＋1 an＝____2____。
【解析】 由题设知，a1＝1。 当 n>1 时，an＝Sn－Sn－1＝n＋3 2an－n＋3 1an－1，∴aan－n 1＝nn＋－11。 ∴aan－n 1＝nn＋－11，…，aa34＝35，aa23＝24，aa12＝3。 以上 n－1 个式子的等号两端分别相乘， 得到aan1＝nn＋2 1，又∵a1＝1，∴an＝nn＋2 1。
数列 求和
学习目标
• 1．掌握等差数列、等比数列的前n项和公式． • 2．掌握一般数列求和的几种常见的方法．
知识梳理
• 一、公式法 • 1．直接利用等差数列、等比数列的前n项公式求和
• (1)等差数列的前n项和公式Sn＝__n_（__a_12＋__a_n_）__ • ＝__n_a_1＋__n_（__n_－2__1）d． (其中a1为首项，d为公差) • (2)等比数列的前n项和公式
人教版A版高中数学必修5：数列的概念与简单表示法_课件7
【变式训练】
1．数列－1，85，－175，294，…的一个通项公式 an 是
A．(－1)n2nn＋2 1
B．(－1)nnnn＋＋12
C．(－1)nn2＋n2＋2－1 1
D．(－1)nn2nn＋＋12
解析 将数列中的各项变为
－1×3 3，2×5 4，－3×7 5，4×9 6，…，
故其通项公式 an＝(－1)nn2nn＋ ＋21.
解析 (1)由已知 an＞0，在递推关系式两边取对数． 有 lg an＋1＝2lg an＋lg 3， 令 bn＝lg an，则 bn＋1＝2bn＋lg 3， ∴bn＋1＋lg 3＝2(bn＋lg 3)， ∴{bn＋lg 3}是等比数列，
∴bn＋lg 3＝2n－1·2lg 3＝2nlg 3， ∴bn＝2nlg 3－lg 3＝(2n－1)lg 3＝lg an， ∴an＝ 32n 1 . (2)将 an＋1＝2aan＋n 1取倒数得：an1＋1＝2＋a1n， ∵an1＋1－a1n＝2，
＝n＋1n＋＋ nn2＋＋112＋1＜1.(10 分)
∵an＜0，∴an＋1＞an.故数列{an}是一递增数列．(12 分)
【失分误区】 在解答本题时有两点容易造成失分： 一是在得到关于通项公式 an 的方程后，没有把 an 看做 未知数求方程的根的意识，不会求 an 导致题目无法继续完 成；二是在求出关于通项公式 an 的方程的根后，忽略了函 数的定义域从而导致求出的通项公式有两个． 除此外，解决数列的单调性问题有以下几点容易造成 失分： (1)不能对通项公式与我们熟知的函数相联系，借助函 数的单调性来解决数列的单调性而失分．
分类原则
按项数分类
按项与项间 的大小关系
分类
类型 有穷数列 无穷数列 递增数列 递减数列
数列的概念(第一课时)课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册
函数值
=
自变量
项
n
an =
序号
问题1:你能求出这个函数的解析式吗?
数列通项公式
如果数列 的第n项与序号n之间的
关系可以用一个公式来表示,那么这
个公式就叫做这个数列的通项公式.
探究新知
, , , , ⋯
项
序号
1 2 3 4
=
, , , , , … .
解析 (3)数列的项有的是分数,有的是整数,可将各项统一成分数再观察:
, , , , , ⋯ .所以,它的一个通项公式为
=
.
(4)可看作＋,可看作＋,可看作＋,可看作＋,
人教A版同步教材名师课件
数列的概念
---第一课时
学习目标
学习目标
核心素养
了解数列的概念
掌握数列的几种表示方法
能由数列的递推关系写出数列的通项公式
数学抽象
数学运算
数学运算
学习目标
学习目标:
1.理解数列的概念.
2.掌握数列的通项公式及应用.
3.理解数列是一种特殊的函数,理解数列与函数的关系 .
4.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.
=
, 为偶数, ∈ ∗ .
法二: =
即 =
+ + − + −
−
+
.
=
+ − + −
方法归纳
1.常见数列的通项公式归纳
(1)数列, , , , …的一个通项公式为＝;
人教版高中数学3年级上必修5课件第2章数列
跟踪训练 1 下列各组元素能构成数列吗？如果能， 构成的 数列是有穷数列，还是无穷数列？并说明理由． (1)8,8,8,8； (2)－3，－1,1，x,5,7，y,11； (3)当 n 取 1,2,3,4，…时，(－1)n 的值排成的一列数．
解析：(1)能构成数列，且构成的是有穷数列． (2)当 x，y 代表数时是数列，此时构成的是有穷数列；当 x， y 中有一个不代表数时，便不能构成数列，这是因为数列必须是 由一列数按一定的顺序排列组成的． (3)能构成数列，且构成的是无穷数列．所构成的数列是－ 1,1，－1,1，….
类型三 通项公式的简单应用 [例 3] 已知数列{an}的通项公式为 an＝3n2－28n. (1)写出此数列的第 4 项和第 6 项； (2)问－49 是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68 是否是该数列的一项呢？
【思路点拨】 令n＝4，n＝
求a4，a6 → 分别令an＝－
1＋－1n＋1 4． 已知数列{an}的通项公式为 an＝ ， 则该数列的 2 前 4 项依次为( ) A．1,0,1,0 B．0,1,0,1 1 1 C.2，0，2，0 D．2,0,2,0
解析：当 n 分别等于 1,2,3,4 时，a1＝1，a2＝0，a3＝1，a4 ＝0. 答案：A
n－1 5．数列{an}的通项公式 an＝ 2n ，则 a5＝________.
2．不能作为数列 2,0,2,0，…的通项公式的是( A．an＝1＋(－1)n＋1 B．an＝1－(－1)n C．an＝1＋(－1)n D．an＝1－cosnπ
)
解析：验证易知，只有 C 选项中的式子不能作为已知数列 的通项公式． 答案：C
3．已知数列{an}的通项公式为 an＝2 017－3n，则使 an>0 成立的最大正整数 n 的值为________．
人教版高中数学必修五第3讲：数列的概念(教师版)
人教版高中数学 数列的概念__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________教学重点：掌握数列的概念与表示方法，通项公式的求解，数列的单调性、最值求解 教学难点： 数列的单调性及最值的求解，通项公式的判定1． 数列：按照一定的次序排列起来的数；项：数列中的每一个数，首项：排在第一位的数；一般形式写成12,,...,...n a a a 简称为{}n a 这里n 是正整数。
2.数列的分类 （1）按项的个数分类 有穷数列：项数有限的数列无穷数列：项数无限的数列（2） 递增数列：从第2项起，每一项大于它的前一项的数列 递减数列：从第2项起，每一项小于它的前一项的数列 常数列：各项都相等的数列摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项3.数列的表示方法 （1）通项公式法 （2）列表法 （3）图像法4.数列中项的求解与判断数列的通项公式实质是数列的项与其项数之间的一种函数关系，只不过定义域是正整数集N + ，因此可用函数的方法来研究数列的有关问题。
5.数列的单调性数列的单调性与函数的单调性是类似的，若数列{}n a 是递增数列，则任意的()2,n n n N +≥∈都有1n n a a ->，此时数列的图像呈上升趋势；若数列{}n a 是递减数列，则对任意()2,n n n N +≥∈都有1n n a a -<，此时数列的图像呈下降趋势。
6.数列中的最大（小）项问题求数列的最大项和最小项，一种方法是利用函数的最值，另一种方法是利用数列的单调性。
类型一：数列的通项公式 例1.（1）1,3,7,15,31，…（2）5,55,555,5555，…解析：（1）观察发现各项分别加上1，变为2,4,8,16,32，…，其通项公式为2nn b = ，故原数列的通项公式为21nn a =-（2）各项乘以95变成9,99,999,9999，…，各项加上1，又变成10,100,1000,10000，…，这一数列的通项公式为10nn b =，由此原数列的通项公式为()51019n n a =-答案：（1）21nn a =-（2）()51019n n a =- 练习1.123451,3,5,7,9, (49162536)---答案：()()32223111nn n n n a n ++-=-+练习2.1,2,1,2,1,2,...答案：()312nn a +-=例2.下列叙述正确的是（）A. 数列1,3,5,7和数列3,1,5,7是同一个数列B. 同一个数在数列中可能重复出现C. 数列的通项公式是定义域为正整数集N + 的函数D. 数列的通项公式是唯一的解析：根据数列的定义，只要次序不同则两数列不同故A 错；数列的通项公式是定义域在正整数集或它的有限子集，因此C 错；数列-1,1，-1,1，…的通项公式可以写成()1nn a =-也可以写成()21n n a +=- ，还可以写成分段函数的形式，因此D 错；故选B答案：B练习3. 下面四个结论：①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3……，n })上的函数； ②数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点； ③数列的项数是无限的； ④数列通项的表示式是唯一的． 其中正确的是( )A ．①②B ．①②③C ．②③D ．①②③④ 答案：A练习4. 下面四个结论：①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3……，n })上的函数；②数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点； ③数列的项数是无限的； ④数列通项的表示式是唯一的． 其中错误的是( )A ．①②B ．①②③C ．③④D ．①②③④ 答案：C类型二：数列的项的判断及求解例3.（2015广东湛江检测）数列{}22n n +中的项不能是（）A.24B.35C.42D.63解析：因为224424=+⨯，所以24是该数列中第4项；同理35是该数列的第5项；63是该数列中的第7项，故答案为C 答案：C练习5. 数列{}22n n +中的项不能是（）A.24B.36C.42D.61 答案：A练习6. 已知a n ＝n (n ＋1)，以下四个数中，哪个是数列{a n }中的一项( )A ．18B ．21C ．25 答案D ．30 答案：D例4.（2015山东威海月考）在数列4,...x 中，x = ______解析：1245n a a a a a x ==========练习7.在数列,4,... 中，x= ______练习8.在数列,...x 中，x = ______ 答案：4类型三：数列的单调性、最值性例5. 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝nn 2＋156(n ∈N ＋)，则数列的最大项是( )A ．第12项B ．第13项C ．第12项或第13项D ．不存在解析：a n ＝1n ＋156n，n ＋156n ≥2156，但由于n ∈N ＋取不到等号，而1213a a = ∴第12项和第13项都是最大项． 答案：C练习9.数列{}n a 中，221324,n a n n =-++则n a 的最大值为______答案：45练习10.已知数列{}n a 的通项公式2020n a n n=+-则n a 的最小值为_______ 答案：-11例6. 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n －1n ＋1，那么这个数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列解析：a n ＝n －1n ＋1＝1－2n ＋1，随着n 的增大而增大．答案：A练习11.已知数列{}n a 的通项公式为1n na n =+，则这个数列是（） A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 答案：A1. 数列2,0,4,0,6,0，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝n2[1＋(－1)n ]B ．a n ＝n ＋12[1＋(－1)n ＋1]C ．a n ＝n 2[1＋(－1)n ＋1]D ．a n ＝n ＋12[1＋(－1)n ]答案：B2. 已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a n ＝a n －1＋1a n －2(n ≥3)，则a 5＝( )A.5512B.133 C ．4 D ．5答案：A3. 已知数列{a n }满足a 1＝x ，a 2＝y ，且a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，则a 2 007＝( )A ．xB ．yC ．y －xD ．－x 答案： C4. 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－8n ＋15，则3( ) A ．不是数列{a n }中的项 B ．只是数列{a n }的第2项 C ．只是数列{a n }的第6项 D ．是数列{a n }的第2项或第6项 答案： D5. 已知{a n }是递增数列，且对任意的自然数n (n ≥1)，都有a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围为________．答案：由{a n }为递增数列，得a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2＋λ(n ＋1)－n 2－λn ＝2n ＋1＋λ>0恒成立， 即λ>－2n －1在n ≥1时恒成立， 令f (n )＝－2n －1，f (n )max ＝－3. 只需λ>f (n )max ＝－3即可． λ>－3__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1. 数列1，－3,5，－7,9，…的一个通项公式为( )A ．a n ＝2n －1B ．a n ＝(－1)n (1－2n )C ．a n ＝(－1)n (2n －1)D ．a n ＝(－1)n (2n ＋1) 答案：当n ＝1时，a 1＝1排除C 、D ；当n ＝2时，a 2＝－3排除A ，故选B. 2. 数列1,3,7,15，…的通项公式a n ＝( )A ．2nB ．2n ＋1C ．2n －1D ．2n －1答案：∵a 1＝1，排除A ，B ；又a 2＝3，排除D ，故选C.3. 已知数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋2＋a n ，a 1＝2，a 2＝5，则a 6＝( )A ．－3B ．－4C ．－5D ．2 答案：由a n ＋1＝a n ＋2＋a n 得a 3＝3，a 4＝－2，a 5＝－5，a 6＝－3.故选A 4. 正项数列{a n }中，a n ＋1＝a n1＋3a n ，a 1＝2，则a 4＝( ) A.165 B.219 C.85 D.87 答案：B5. 数列{a n }中，a 1＝1，以后各项由公式a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2给出，则a 3＋a 5等于( ) A.259 B.2516 C.6116 D.3115 答案：C6. 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝na n －1(n ≥2)，则a 5＝________. 答案：1207. 已知数列{a n }的通项公式a n ＝3n －1(n ∈N *)，通过公式b n ＝a n ＋1a n 构造一个新数列{b n }，那么{b n }的前五项为________________． 答案：52，85，118，1411，17148. 已知数列{a n }的通项公式a n ＝1n (n ＋2)(n ∈N *)，则1120是这个数列的第________项．答案：109. 数列－1，85，－157，249，…的一个通项公式为________．答案：a n ＝(－1)nn ·(n ＋2)2n ＋110. 数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？ 答案：(1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6.(2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150，解得n ＝16(n ＝－9舍)，即150是这个数列的第16项． (3)令a n ＝n 2－7n ＋6>0，解得n >6或n <1(舍)， ∴从第7项起各项都是正数.能力提升11. 已知数列{a n }中，a 1＝1，a na n ＋1＝2，则此数列是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．摆动数列 D ．常数列答案：B12. 根据图中的5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有________个点．答案：n 2－n ＋113. 数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n －1(n ∈N *)，则a 1 000＝( )A ．1B ．1 999C ．1 000D ．－1 答案： A14. 已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N ＋)，则a 20＝( ) A ．0 B ．－3 C.3 D.32答案：B15. 已知数列{a n }满足a 1＝－2，a n ＋1＝2＋2a n1－a n， 则a 6＝________. 答案：－14316. 设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )＝________.答案：12n ＋1－12n ＋217. 已知函数f (x )＝1x (x ＋1)，构造数列a n ＝f (n )(n ∈N ＋)，试判断{a n }是递增数列还是递减数列？答案：∵a n ＝1n (n ＋1)，则a n ＋1＝1(n ＋1)(n ＋2).对任意n ∈N ＋，(n ＋1)(n ＋2)>n (n ＋1)， ∴1(n ＋1)(n ＋2)<1n (n ＋1)，于是a n ＋1－a n ＝1(n ＋1)(n ＋2)－1n (n ＋1)<0.∴{a n }是递减数列．18. 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4.(1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值． 答案：(1)令n 2－5n ＋4<0，得1<n <4，∵n ∈N *，∴n ＝2或3. 故数列中有两项是负数． 即a 2、a 3为负数．(2)a n ＝n 2－5n ＋4＝(n －52)2－94.∵n ∈N *，∴当n ＝2或3时，a n 最小，最小值为－2. 19. 已知数列1,2，73，52，135，….(1)写出这个数列的一个通项公式a n ； (2)判断数列{a n }的增减性．答案：(1)数列1,2，73，52，135，….可变为11，42，73，104，135，….观察该数列可知，每一项的分母恰与该项序号n 对应，而分子比序号n 的3倍少2，∴a n ＝3n －2n.(2)∵a n ＝3n －2n ＝3－2n ，∴a n ＋1＝3－2n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝3－2n ＋1－3＋2n ＝2n －2n ＋1＝2n (n ＋1)>0，∴a n ＋1>a n .故数列{a n }为递增数列．20. (1)已知数列{a n }的第1项是1，第2项是2，以后各项由a n ＝a n －1＋a n －2(n ≥3)给出，写出这个数列的前5项；(2)用上面的数列{a n }，通过公式b n ＝a na n ＋1构造一个新的数列{b n }，写出数列{b n }的前5项．答案：(1)∵a 1＝1，a 2＝2，a n ＝a n －1＋a n －2(n ≥3)，∴a 3＝a 1＋a 2＝3，a 4＝a 2＋a 3＝5，a 5＝a 3＋a 4＝8.(2)∵a 6＝a 4＋a 5＝13，b n ＝a n a n ＋1，∴b 1＝a 1a 2＝12，b 2＝a 2a 3＝23，b 3＝a 3a 4＝35，b 4＝a 4a 5＝58，b 5＝a 5a 6＝813.21. 观察下图，并阅读图形下面的文字，像这样10条直线相交，交点的个数最多的是( )A．40个B．45个C．50个D．55个答案：B22.对任意的a1∈(0,1)，由关系式a n＋1＝f(a n)得到的数列满足a n＋1>a n(n∈N*)，则函数y＝f(x)的图象是()答案：A。
北师大版高二数学上册必修5第一章数列第一课数列的概念课件(共21张PPT)
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
北师大版高中数学必修5数列数列概念
项数无限的数列叫做无穷数列。
1, 例如:数列
1, 1,1, 1, 2 345
16
按项的大小分： 递增数列 —— a n ＜a n + 1 递减数列 —— a n ＞a n + 1
常数列 : a n = a n + 1
摆动数列 : a n －1 ＜a n 且 a n ＞a n + 1
17
数列的例题1
通2. 项数公列式2是，：4a，n 6，n8，3…(n≤7的) 通项
公式是： an 2n
3. 数列 1，4，7，10，… 的通
项公式是：an 3n 2
10
实质：从映射、函数的观点 看，数列可以看作是一个定
义域为正整数集N*（或它的 有限子集{1，2，…，n}）
的函数，当自变量从小到大 依 次取值时对应的一列函数 值。
4
堆 放 的 钢 管
4，5，6，7，8，9，10.
5
正整数的的倒数：
1, 1 , 1 , 1 , 1 , 2 345
2精确到1，0.1,0.01,0.001, 的值：
1， 1.4， 1.41，1.414， …，
-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…排成的一列数：
-1， 1，-1， 1， -1， 1， …
（2）能力目标：学会观察、分析、猜测、归纳； 数形结合法的应用；数学归纳法的应用。
2
（3）认知目标：通过教学培养学生观察问题、分析 问题的能力，学习辩证的观点从特殊到一般的认识事 物规律，大胆猜测、归纳。
（4）德育目标：从德育方面进行教育、善比较、细 分析、做生活中的有心人，发现规律，不要马马虎虎、 似是而非，做符合时代的“创新型”的人才。
例1 根据数列 an 的通项公式，写出它的前5项。
北师版高中数学选择性必修第二册精品课件 第一章 1.1 数列的概念
1 1
由于3,-3都不是正整数,
1
因此10不是该数列中的项.
数列是定义域为正整数集N+(或其子集)的函数,灵活运用函数与方程的思
想解决数列问题,有时可达到事半功倍的效果.判断某数值是不是该数列中
的项,需先假定它是数列中的项,列方程求解.若方程的解为正整数,则该数
值是此数列中的项;若方程无解或解不是正整数,则该数值不是此数列中的
解:(1)∵an=3n2-28n,
∴a4=3×42-28×4=-64,a6=3×62-28×6=-60.
(2)令3n2-28n=-49,即3n2-28n+49=0,
7
∴n=7 或 n=3(舍).
∴-49是该数列的第7项,即a7=-49.
令3n2-28n=68,即3n2-28n-68=0,
34
∴n=-2 或 n= 3 .
其中,有穷数列为
答案:① ②③
,无穷数列为
.(填序号)
探究二
根据数列的通项公式求数列中的项
【例2】 根据下列数列的通项公式,写出它的前4项.
2
π
(1)an= 2 ;(2)bn=cos
.
2
4 -1
2
解:(1)∵an=4 2 -1,
2×1
∴a1=4×12 -1
=
2×3
a3=4×32 -1
6
2×4
④4,1,5,3,2.其中可以称为数列的有(
A.①
B.①②
C.①②③
D.①②③④
).
解析:数列是按一定次序排列的一列数.因此选D.
答案:D
二、数列的分类
【问题思考】
1.数列3,3,3,3,3与数列3,3,3,3,3,…各有几项?
高中数学北师大版必修5课件：第1章2.1.1《等差数列的概念》
2．求等差数列的通项公式除课本的归纳法外, 你还知道哪些方法？ 提示：除课本上用归纳法得到通项公式外，还 有以下几种方法推出等差数列的通项公式，这 些方法是解决问题的一些重要的常规方法，要 注意体会并逐步应用． ①累加法 因为{an}为等差数列，则有 a n － a n － 1＝ d ， an－1－an－2＝d，
2．等差数列的通项公式
若{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，则 an＝a1＋(n－1)d {a }的通项公式为_________________.
n
问题探究 1．等差数列的定义中为什么要强调“从第2项 起”和“差是同一个常数”这两点？ 提示：通过列举反例来分析．我们知道一个数 列的第1项没有前一项，所以强调“从第2项 起”；“差是常数”和“差是同一个常数”的 意义不一样，如数列1,5,3,7中，a2－a1＝5－1 ＝4＝常数，a3－a2＝3－5＝－2＝常数，a4－ a3＝7－3＝4＝常数，差都是常数，但是很明 显该数列不是等差数列，所以强调“差是同一 个常数”，这是等差数列定义的核心．
数列{an}的通项公式．
2．从函数的观点看，数列的表示方法有 列表法 ， _______ 图像法 ， ___________ 通项公式法 ． _______
知新益能
1．等差数列的概念 第二项 起，每一项与它的前 如果一个数列从 _______
同一个常数 ，那么这个数列就 一项的差等于 ___________ 常数 叫做等差数列的公 叫做等差数列，这个 _____ d 表示． 差，通常用字母___
解了题意．
自我挑战
已知等差数列 {an}的首项为 a1，公
差为d且a5＝10，a12＝31，求数列的通项公式.
解：法一：∵a5＝a1＋4d，a12＝a1＋11d，
2019-2020学年数学北师大版必修5课件：1.1.1 数列的概念
-14-
1.1 数列的概念
探究一
探究二
探究三
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(5)数列给出前 6 项,其中奇数项为 3,偶数项为 5,所以通项公式
所以n2-21n=2,即n2-21n-2=0. 因为方程n2-21n-2=0不存在正整数解,所以1不是{an}中的项.
②假设{an}中存在第m项与第(m+1)项相等,即am=am+1,则解得
m=10. 所以数列{an}中存在连续的两项,第10项与第11项相等.
-23-
1.1 数列的概念
探究一
探究二
答案:②④
-12-
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思维辨析
探究二 根据数列的前几项写数列的一个通项公式
【例2】 写出下列数列的一个通项公式:
(1)1,3,7,15,…
(2)√23
,
4 √5
,
6 √7
,
√89,…
(3)-2,54,-190 , 1176,…
(4)0.9,0.99,0.999,0.999 9,…
探究三
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忽略了相邻正方形的公共边而致误 【典例】图中由火柴棒拼成的一列图形中,第n个图形由n个正方 形组成.
通过观察可以发现:第n个图形中,火柴棒的根数为 错解:第一个图形为正方形,火柴棒的根数为4;
人教版高中数学选择性必修2《数列的概念》PPT课件
间不能交换位置.
所以，①是具有确定顺序的一列数.
2.在两河流域发掘的一块泥版（编号K90，约产生于公元前7世纪）上，有一列
依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数：
5，10，20，40，80，96，112，128，
∗
（1）数列的通项公式实际上是一个以正整数集 或它的有限子集{1，2， … ，}为
定义域的函数的解析式.
（2）利用一个数列的通项公式能解决以下问题：
①求出该数列的各项；
②判断某个数是否为该数列中的项；
③判断该数列的增减性；
④求该数列的最大项和最小项等.
（3）同“所有函数不一定都有解析式”类似，并不是所有数列都有通项公式，如
1
2
反映了− 的次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……的顺序排列时的确定位置，
1
1
1
即1＝ − 2是排在第1位的数，2＝ 4是排在第2位的数，3＝ − 8是排在第3位的
数，…，它们之间不能交换位置. 所以③是具有确定顺序的一列数.
归纳： 上述例子的共同特征是什么？
新知讲解
一、数列的定义
+1 − ＝0 ⇔ { }为常数列.
四、数列的通项公式
如果数列{ }的第项与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么
这个式子叫做这个数列的通项公式.
例如，数列③的通项公式为＝
1
− 2 .显然，通项公式就是数列的函数解析式，根
据通项公式可以写出数列的各项.
对通项公式的五点说明：
例2 根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式：
1
人教版A版高中数学必修5：数列的概念与简单表示法_课件9
年9月1日二十四小时整点时广东平均气温，就是一个数列但
它不能用通项公式表示．
2．已知通项公式可写出数列的任一项，因此通项公式 十分重要．
3．注意观察法求数列通项的一些技巧．如：平方数数 列、自然数数列、偶数列、奇数列等要记清．另对分式数列， 注意分式分子或分母是否有规律，再看分子与分母是否有联 系．
练习2：判断下列数列是有穷数列还是无穷数列 (1)1,2,3,4,5,6，…. (2)10,100,1000，…，1000000. 3．（1）数列的三种表示法是：________________. (2)数列1,2,3与数列3,2,1是否是相同数列？____. (3)An＋1＝An＋1，A1＝1，则a3＝____.
答案：7．(1)大于 (2)小于 (3)都等于同一个常数
(5)指出下列数列哪些是有穷数列、无穷数列、递增数 列、递减数列、摆动数列、常数列？
(1)1,2,22,23,24，…，263； (2)1,0.84,0.842,0.843，…； (3)0,10,20,30，…，1000.
答案：练习7：(1)有穷数列、递增数列 (2)无穷数 列、递减数列 (3)有穷数列、递增数列
a4＝212×＋122＝25，a5＝225×＋252＝13.
由 a1＝1＝22，a2＝23，a3＝12＝24，a4＝25，
a5＝13＝26，可看出分子为常数 2，分母为 n＋1.
所以 an＝n＋2 1.
跟踪训练
4．已知数列{an}，a1＝2，an＋1＝2an，写出数列的前5项， 猜想an，并加以证明．
解析：由a1＝2，an＋1＝2an，得 a2＝2a1＝2×2＝4＝22， a3＝2a2＝2×4＝8＝23， a4＝2a3＝2×8＝16＝24， a5＝2a4＝2×16＝32＝25， …
高中数学必修五第二章数列
设等差数列
的前n项和为sn,已知a3=12,s12>0,s13<0,
（1）求公差d的取值范围
（2）指出s1,s2,s3……,s12中哪一个的值最大，并说明理由
2.4等比数列
定义：一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前 一项的比等于同意常数，那么这个数列叫做等比数列，这个 常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。
Sn=an+(an-d)+(an-2d)+……+【an-(n-1)d】 两式相加得 2sn=n(a1+an) 由此可得 sn=n(a1+an)/2 带入通项公式得 sn=na1+n(n-1)d/2
例题一
2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通 知》。
某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间在全 市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程 的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上 一年增加50万元。那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程 中的总投入是多少？
（1）求AB，BC，CD的长
（2）已AB，BC，CD的长为等差数列的前三项，以第十项为边长的正方形 面积为多少？
AB C
D
2.3等差数列的前n项和
定义：一般的，我们称a1+a2+a3+……+an 为数列 表示，即sn=a1+a2+……+an
的前n项和，用Sn
推理过程： 因为 Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+……+【a1+(n-1)d】
高中数学第1章数列111数列的概念课件北师大版必修5
3．是否所有的数列都有通项公式？若有，通项公式是否唯 一？
答：①不是，如π的不足近似值组成的数列 1，1.4，1.41， 1.414，……就没有通项公式．
②若一个数列有通项公式，也不一定唯一，如数列：－1，1， －1，1，……的通项公式可以写成 an＝(－1)n，也可以写成 an＝(－ 1)n＋2，也可以写成 an＝－ 1（1n为（偶n为数奇）.数），
(5)将数列各项写为93，939，9399，….
第17页
【解析】 所给五个数列的通项公式分别为 (1)an＝2n2－n 1； (2)an＝n22； (3)an＝1＋（2－1）n； (4)an＝－ 3n 1n（（nn＝＝22kk－）1，）其，中k∈N*
第18页
由于 1＝2－1，3＝2＋1，所以数列的通项公式可合写成 an ＝(－1)n·2＋（n－1）n；
第24页
【解析】 (1)an＝n(n＋1)＝600＝24×25，所以 n＝24. (2)①a4＝3×42－28×4＝－64， a6＝3×62－28×6＝－60. ②由 3n2－28n＝－49，解得 n＝7 或 n＝37(舍)．所以－49 是 该数列的第 7 项；由 3n2－28n＝68 解得 n＝－2 或 n＝334，均不 合题意，所以 68 不是该数列的项．
B．9
C．6
D．20
答案 C
第32页
3．数列 2， 5，2 2， 11，…，则 2 5是该数列的( )
A．第 6 项
B．第 7 项
C．第 10 项
D．第 11 项
答案 B
第33页
4．数列{n2＋n}中的项不能是( )
A．56
B．72
C．60
D．132
答案 C
第34页
苏教版高三数学复习课件5.1 数列
第1课时
数列
数列
了解数列的概念和几种简单的表示法/了解数列是自 变量为正整数的一类函数．
【命题预测】 数列在历年高考中都占有较重的地位，一般情况下会有一至 两个客观性试题和一个解答题，客观性试题主要考查等差数 列、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式或基本 知识和基本性质的灵活应用．
(3)已知数列{an}满足an＋1＝an＋n，且a1＝0，求an.
思路点拨：(1)转化为等比数列．(2)采用累乘法．(3)采用累加
法．
解：(1)因为an＋1＝2an＋3，所以an＋1＋3＝2(an＋3)，所以
所以数列{an＋3}为等比数列．又q＝2，a1＋3＝4，
＝2，
所以an＋3＝4·2n－1＝2n＋1，an＝2n＋1－3.
2．已知数列前n项和Sn＝2n2＋n，n∈N*，则它的通项公式为
________．
解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋n－[2(n－1)2＋(n－1)]＝4n－
1.
3．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋1，则a2 010＝________. 当n＝1 时，上式成立，所以an＝4n－1. 解析：因为an＋1 答案：an＝4n－1 ＝an＋1，所以an＋1－an＝1， 所以a2 010＝(a2 010－a2 009)＋(a2 009－a2 008)＋(a2 008－a2 007)＋…＋(a 2－a1) ＝1＋1＋1＋…＋1＝2 009. 答案：2 009
变式1：根据数列的前几项写出数列的一个通项公式：
(1)
答案：(1)an＝
…；(2)0，
(2)an＝
….
1．由a1和递推关系求通项公式，可观察其特点，一般常利用“化归
高中数学必修五数列的概念与简单表示法
（3） 数列{an}中的数可以重复，而集合中的 元素不能重复。
21
问题：如果一个数列{an}的首项a1=1，从第二 项起每一项等于它的前一项的2倍再加1，
即 an = 2 an-1 + 1（n∈N，n>1），（※） 你能写出这个数列的前三项吗？
N
1 3
(n
3
*, n 64)
, ,
N*)
, ,
1
an
,
2n1
n
1
an
n,
n, 35
-
{
1
n
,
}(
1
n
,
-
N
1
*,
,
n 35, )(-a1n)n
n
,
1 2 3 4
an (-1)n (n N *)
1 , 1 , 1 , , 1 , 5
an =1 (n N * )
10
三.数列 的表示方
法
1.列举法
1, 自己不奋斗，终归是摆设。
1 2345 67
3,
与项数之间的关系可以用一个公式来表示，
且任一项an与它的前一项an－1(或前几
18446744073709551615
三角形数：1，3，6，10，···
人生，就要活得漂亮，走得铿锵。
数列的一般形式：
或简记为 .
正方形数 （1）数列{an}中是一列数，而集合中的元素不一定是数；
3
?
8
7
64个格子
6
5
4
3
8 76
543
2
2 1 1
新教材高中数学第1章数列的概念第2课时数列的递推公式与数列的单调性pptx课件湘教版选择性必修第一册
解析：A，B中没有说明第一项，无法递推．
5．数列{an}的通项公式an＝
1 ，则
n+ n+1
10－3是此数列的第__9___
项．
解析：∵an＝
1 n+ n+1
＝ n + 1 − n＝ 10－3
＝ 10 − 9，
∴n＝9.
题型探究•课堂解透
题型1 根据递推公式求数列的项
例1 (1)设数列{an}中，a1＝2，an＋an1−1＝1(n≥2且n∈N＋) ，则
而n∈N＋，所以t>－3， 故t的取值范围是(－3，＋∞)．
方法二an＝n2＋tn＝ Nhomakorabean
+
t 2
2－t2，
4
由于n∈N＋，且数列{an}为递增数列，结合二次函数的图像得－2t <32，
解得t>－3，
故t的取值范围是(－3，＋∞)．
【易错警示】
出错原因
纠错心得
用函数思想解决数列的问题时， 特别是研究数列的单调性时， 应注意数列的特征．要能够恰 当利用函数的性质，通过数形
数A列．{2ann}的通B项．公式n+n为1 nan＝(
)
C．n2＋1 D．n＋1
答案：A
解析：由an＝n(an＋1－an)，得(n＋1)an＝nan＋1， 即由a累nan+乘1＝法n可+n1得，aa则n1＝aannn−1，＝所n−n以1 ，an＝aann2−−n12＝(n≥nn−−212)，，aann−−23＝nn−−23，…，aa21＝21，n≥2， 又a1＝2，符合上式，所以an＝2n.
ቊaann≥≥aan−n+1，1 得n的取值范围，再由n∈N＋得到n的值．