正方形知识总结
生活中正方形的知识点总结
生活中正方形的知识点总结正方形是一种具有特殊性质的几何图形，在我们日常生活中经常能够见到。
它具有独特的特征和性质，因此我们有必要对正方形的知识点进行总结和学习，以便更好地理解和应用它们。
在这篇文章中，我将对正方形的定义、特征、性质、应用等方面进行详细的总结，希望能给大家带来一些启发和帮助。
正方形的定义:正方形是一种具有四条边和四个角的几何图形，其特点是四条边长度相等，四个角度均为直角。
正方形也可以看做是一种特殊的矩形，因为它具有矩形的所有属性，但是矩形不一定是正方形。
同时，正方形也是一种特殊的菱形，因为它具有菱形的所有属性，但是菱形不一定是正方形。
正方形的特征:1. 四条边长度相等: 正方形的四条边长度相等，这是它和其他几何图形的一个显著区别。
这也是正方形最基本的特征之一。
2. 四个角度均为直角: 正方形的四个角度均为90度，这也是它和其他几何图形的一个显著区别。
这也是正方形最基本的特征之一。
3. 对角线相等且垂直平分: 正方形的对角线相等且互相垂直平分。
这也是它和其他几何图形的一个显著区别。
正方形的对角线相等是它的一个重要特征之一，同时对角线垂直平分也是它的一个重要特征之一。
正方形的性质:1. 正方形的对角线相等且垂直平分: 正方形的对角线相等且互相垂直平分，这是正方形的一个非常重要的性质。
对角线垂直平分能够将正方形分成两个全等的直角三角形，并且对角线的长度等于正方形的边长。
2. 正方形的所有角度均为直角: 正方形的所有角度均为90度，这是它的一个非常重要的性质。
这也意味着正方形的两条相邻边互相垂直，这一性质是正方形在建筑、绘画等领域的应用中发挥着很大的作用。
3. 正方形的对角线长度: 正方形的对角线长度可以用勾股定理来计算，对角线的长度等于正方形的边长乘以根号2，即d = a*√2，其中d为对角线的长度，a为正方形的边长。
4. 正方形的面积和周长: 正方形的面积可以用边长的平方来计算，即A = a^2，其中A为正方形的面积，a为正方形的边长。
三年级上册长方形和正方形的重点知识点
三年级上册长方形和正方形的重点知识点
一、认识长方形和正方形。
掌握长方形、正方形的边与角有什么特点。
长方形对边相等，四个角都是直角。
正方形四条边都相等，四个角都是直角。
通常把长方形的长边叫做长，短边叫做宽。
把正方形的每一条边都叫做边长。
三角形的周长=三条边的和平行四边形的周长=四条边的和长方形的周长=（长+宽）×2
正方形的周长=边长×4长方形的周长÷2 —长 = 宽
长方形的周长÷2 —宽=长正方形的周长÷4=边长。
二、区别：
用10个边长一厘米的小棒拼出一个长方形，长和宽各是几厘米？用10个边长一厘米的正方形拼出一个长方形，长和宽各是几厘米？
三、在一个长方形里剪下一个最大的正方形，正方形的边长是原来长方形的宽。
长方形对边相等，四个角都是直角。
正方形每条边都相等，四个角都是直角。
(完整版)正方形知识点复习总结
(完整版)正方形知识点复习总结正方形知识点复总结1. 正方形的定义正方形是一种特殊的四边形，具有以下特点：- 四条边的长度相等。
- 四个内角都是90度。
- 对角线相等且垂直平分。
2. 正方形的性质2.1 逆向性质正方形的逆向性质可以由其定义推导得出：- 如果一个四边形的四条边都相等且四个内角都是90度，则它是正方形。
2.2 边长和对角线的关系在一个正方形中，边长和对角线之间存在以下关系：- 对角线的长度等于边长的根号2倍。
- 边长等于对角线长度的根号2的一半。
2.3 面积和周长正方形的面积和周长计算公式如下：- 面积：边长的平方。
- 周长：边长的四倍。
2.4 正方形与其他几何图形的关系正方形与其他几何图形的关系如下：- 正方形是一个长方形，其中长和宽相等。
- 正方形也是一个菱形，其中每个角都是90度。
3. 判断正方形的方法在解决问题时，我们有时需要判断一个四边形是否是正方形。
以下是几种判断的方法：- 判断边长：检查四条边是否长度相等。
- 判断角度：检查四个内角是否都是90度。
- 判断对角线：检查对角线长度是否相等且垂直平分。
4. 示例题目下面是一些关于正方形的示例题目，帮助巩固对正方形知识的理解：1. 若一个四边形的边长为4cm，是不是正方形？2. 如果一个四边形的边长为6cm，内角都是90度，那它一定是正方形吗？3. 一个四边形的对角线长度为5cm，是不是正方形？5. 结论正方形是一种具有特殊性质的四边形，有着特定的定义和性质。
了解正方形的定义、性质以及判断方法可以帮助我们更好地理解和应用正方形相关的问题。
正方形的知识总结(两篇)
引言概述：正方形是一种几何形状，具有许多独特的属性和特征。
本文将深入探讨正方形的知识总结，从正方形的定义和性质，到相关的数学公式和应用，并给出一些实际生活中与正方形相关的例子。
通过本文的阐述，读者将能更深入地理解和运用正方形的概念。
正文内容：1.正方形的定义和性质1.1正方形的定义：介绍正方形是一种四边相等、四个角都是直角的特殊四边形。
1.2正方形的性质：阐述正方形具有对称性、对角线相等、对角线垂直等性质，并给出证明。
2.正方形的周长和面积公式2.1周长公式的推导：详细介绍如何推导正方形的周长公式。
2.2面积公式的推导：详细介绍如何推导正方形的面积公式。
2.3周长和面积公式的比较：比较周长和面积公式之间的关系和特点，解释为什么周长公式是面积公式的一半。
3.正方形的应用3.1图形的分类：介绍几何图形的分类，重点讲述正方形在图形分类中的作用。
3.2建筑和设计中的应用：介绍正方形在建筑和设计中的应用，比如正方形的房间布局，正方形的花园设计等。
3.3数学问题的解决：解释如何使用正方形的性质和公式来解决一些数学问题，例如寻找最大正方形的面积等。
4.正方形的实际应用举例4.1城市规划：举例说明正方形在城市规划中的应用，如正方形的街区设计，正方形的公园规划等。
4.2网格和排版设计：介绍正方形在网格和排版设计中的应用，如正方形的网格布局，正方形的页面排版等。
4.3绘画和艺术：探讨正方形在绘画和艺术中的应用，如正方形的画框设计，正方形的艺术装饰等。
4.4数字图像处理：介绍正方形在数字图像处理中的应用，如正方形的像素处理，正方形的图像编码等。
4.5生活中的实际应用：举例说明正方形在日常生活中的实际应用，如正方形的餐桌布置，正方形的画框选择等。
5.结论通过本文的详细阐述，我们可以总结出正方形的定义和性质，掌握正方形的周长和面积公式，并了解了正方形在实际应用中的重要性。
正方形作为一种几何形状，在数学、建筑、设计、绘画等领域都具有广泛的应用，为我们的生活带来了便利和美感。
正方形的周长与面积知识点总结
正方形的周长与面积知识点总结正方形是一种特殊的四边形，四条边长度相等，且四个角都是直角。
在学习几何知识中，掌握正方形的周长和面积计算是十分重要的。
下面将对正方形的周长与面积进行知识点总结。
一、正方形的定义与性质正方形是一种特殊的四边形，具有以下性质：1. 四条边长度相等：一个正方形的四条边都具有相等的长度，常用字母s表示正方形的边长。
2. 四个角都是直角：正方形的所有内角都等于90度。
3. 对角线相等且垂直平分：正方形的对角线相等，并且彼此垂直平分，即将正方形分成四个全等的直角三角形。
二、正方形的周长计算公式周长是指围绕图形的边界所形成的长度。
对于正方形而言，其周长可以通过边长与边的数量进行计算。
正方形的周长计算公式为：周长 = 4s，其中s为正方形的边长。
三、正方形的面积计算公式面积是指图形所占的平方单位的大小。
对于正方形而言，其面积计算公式非常简单，可以通过边长的平方进行计算。
正方形的面积计算公式为：面积 = s^2，其中s为正方形的边长。
四、周长与面积的关系正方形的周长和面积之间存在一定的关系。
可以通过周长公式和面积公式进行推导得到：1. 周长与边长成正比：由周长公式可知，正方形的周长和边长呈线性关系，即周长与边长成正比。
2. 面积与边长的平方成正比：由面积公式可知，正方形的面积和边长的平方呈线性关系，即面积与边长的平方成正比。
因此，当改变正方形的边长时，周长和面积会按照不同的比例进行相应的变化。
五、正方形的应用场景正方形在日常生活和工作中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 建筑设计：正方形常被用于建筑物的平面设计，如正方形的房间、庭院等。
2. 绘画和图像：正方形常被用于绘画和图像制作中的画框、相片等。
3. 数学运算：正方形的周长和面积计算是数学中的基础知识，也是其他几何形状计算的基础。
综上所述，正方形是一种四边长度相等且四个角都是直角的特殊四边形。
掌握正方形的周长和面积计算公式以及其性质和应用场景对于学习几何知识和解决实际问题具有重要意义。
正方形知识点总结及典型试题
5．如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE+PC的最小值是。
6．如图，在边长为6√2的正方形ABCD中，E是AB边上一点，G是AD延长线上一点，BE=DG，连接EG，CF⊥EG交EG于点H，交AD于点F，连接CE，BH．若BH=8，则FG=。
典型试题
一．选择题
1.如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中正确结论的个数为（ ）①OH=1/2BF；②∠CHF=45°；③GH=1/4BC；④DH2=HE•HB．
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（ ）
A．（2，10）B．（-2，0）C．（2，10）或（-2，0）D（10，2）或（-2，0）
10．在平面直角坐标系中，第1个正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作第2个正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作第3个正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第2011个正方形的面积为（ ）A．5(3/2)2010B．5(9/4)2011C.5(9/4)2009D.5(3/2)4020
正方形知识点总结及典型试题
知识点一：正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形；正方形不仅是特殊的平行四边形,而且是特殊的矩形,又是特殊的菱形。
正方形(基础)知识讲解
正方形（基础）【学习目标】1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；2．掌握正方形的性质及判定方法．【要点梳理】【高清课堂特殊的平行四边形（正方形）知识要点】要点一、正方形的定义四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.要点二、正方形的性质正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；2.角——四个角都是直角；3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.要点三、正方形的判定正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.要点四、特殊平行四边形之间的关系或者可表示为：要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.【典型例题】类型一、正方形的性质1、（台湾）如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B的度数为何？（）A．50 B．55 C．70 D．75【思路点拨】由平角的定义求出∠CED的度数，由三角形内角和定理求出∠D的度数，再由平行四边形的对角相等即可得出结果．【答案】C．【解析】解：∵四边形CEFG是正方形，∴∠CEF=90°，∵∠CED=180°﹣∠AEF﹣∠CEF=180°﹣15°﹣90°=75°，∴∠D=180°﹣∠CED﹣∠ECD=180°﹣75°﹣35°=70°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠B=∠D=70°（平行四边形对角相等）．故选C．【总结升华】本题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行四边形和正方形的性质，由三角形内角和定理求出∠D的度数是解决问题的关键．举一反三：【变式1】已知：如图，E为正方形ABCD的边BC延长线上的点，F是CD边上一点，且CE＝CF，连接DE，BF．求证：DE＝BF．【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCD＝90°∵E为BC延长线上的点，∴∠DCE＝90°，∴∠BCD＝∠DCE．在△BCF 和△DCE 中，BC DC BCF DCE CF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BCF≌△DCE（SAS ）， ∴BF＝DE ． 【变式2】（咸宁模拟）如图，在正方形ABCD 外侧，作等边三角形ADE ，AC ，BE 相交于点F ，则∠BFC 为（ ）A ．75°B ．60°C ．55°D ．45° 【答案】B ；提示：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BAD=90°，AB=AD ，∠BAF=45°， ∵△ADE 是等边三角形， ∴∠DAE=60°，AD=AE ，∴∠BAE=90°+60°=150°，AB=AE ， ∴∠ABE=∠AEB=（180°﹣150°）=15°， ∴∠BFC=∠BAF+∠ABE=45°+15°=60°； 故选：B ．2、如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，点G 是BC 延长线上一点，连接AG ，点E 、F 分别在AG 上，连接BE 、DF ，∠1＝∠2，∠3＝∠4． （1）证明：△ABE≌△DAF；（2）若∠AGB＝30°，求EF 的长．【思路点拨】要证明△ABE ≌△DAF ，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，只要证一条边对应相等即可．要求EF 的长，需要求出AF 和AE 的长． 【答案与解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD＝AB ，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴△DAF≌△ABE．（2）解：∵四边形ABCD是正方形，∠AGB＝30°，∴AD∥BC，∴∠1＝∠AGB＝30°，∵∠1＋∠4＝∠DAB＝90°，∵∠3＝∠4，∴∠1＋∠3＝90°，∴∠AFD＝180°－（∠1＋∠3）＝90°，∴DF⊥AG，∴DF＝11 2AD=∴A F＝3∵△ABE≌△DAF，∴AE＝DF＝1，∴EF＝31-【总结升华】通过证三角形全等得到边和角相等，是有关四边形中证边角相等的最常用的方法．而正方形的四条边相等，四个角都是直角为证明三角形全等提供了条件．举一反三：【变式】如图，A、B、C三点在同一条直线上，AB＝2BC，分别以AB，BC为边做正方形ABEF 和正方形BCMN连接FN，EC．求证：FN＝EC．【答案】证明：在正方形ABEF中和正方形BCMN中，AB＝BE＝EF，BC＝BN，∠FEN＝∠EBC＝90°，∵AB＝2BC，即BC＝BN＝12 AB∴BN＝12BE，即N为BE的中点，∴EN＝NB＝BC，∴△FNE≌△ECB，∴FN＝EC．类型二、正方形的判定3、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，且DE ⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，那么四边形CEDF是正方形吗?请说明理由．【答案与解析】解：是正方形，理由如下：作DG⊥AB于点G．∵ AD平分∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB，∴ DF＝DG．同理可得：DG＝DE．∴ DF＝DE．∵ DF⊥AC，DE⊥BC，∠C＝90°，∴四边形CEDF是矩形．∵ DF＝DE．∴四边形CEDF是正方形．【总结升华】(1)本题运用了“有一组邻边相等的矩形是正方形”来判定正方形．(2)证明正方形的方法还可以直接通过证四条边相等加一个直角或四个角都是直角来证明正方形．举一反三：【变式】如图，点O是线段AB上的一点，OA＝OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F．（1）求证：四边形CDOF是矩形；（2）当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由．【答案】（1）证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB（已知），∴∠AOC＝2∠COD，∠CO B＝2∠COF，∵∠AOC＋∠BOC＝180°，∴2∠COD＋2∠COF＝180°，∴∠COD＋∠COF＝90°，∴∠DOF＝90°；∵OA＝OC，OD平分∠AOC（已知），∴OD⊥AC，AD＝DC（等腰三角形的“三线合一”的性质），∴∠CDO＝90°，∵CF⊥OF，∴∠CFO＝90°∴四边形CDOF是矩形；（2）当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形；理由如下：∵∠AO C＝90°，AD＝DC，∴OD＝DC；又由（1）知四边形CDOF是矩形，则四边形CDOF是正方形；因此，当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形．类型三、正方形综合应用4、如图，在平面直角坐标系xoy中，边长为a(a为大于0的常数)的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动(x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O)，顶点C、D都在第一象限．(1)当∠BAO＝45°时，求点P的坐标；(2)求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB 的平分线上；【答案与解析】解：(1)当∠BAO＝45°时，∠PAO＝90°，在Rt△AOB中，OA＝22AB＝22a，在Rt△APB中，PA＝22AB＝22a．∴点P的坐标为22,22a a⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．(2)如图过点P分别作x轴、y轴的垂线垂足分别为M、N，则有∠PMA＝∠PNB＝∠NPM＝∠BPA＝90°，∵∠BPN＋∠BPM＝∠APM＋∠BPM＝90°∴∠APM＝∠BPN，又PA＝PB，∴△PAM≌△PBN，∴ PM＝PN，又∵ PN⊥ON，PM⊥OM于是，点P在∠AOB的平分线上.【总结升华】根据题意作出辅助线，构造全等的直角三角形是解题关键.【巩固练习】一.选择题1. （陕西）如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若M、N是边AD 上的两点，连接MO、NO，并分别延长交边BC于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有（）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对2. （漳州一模）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 四条边相等 B. 对角线互相垂直平分 C. 对角线平分一组对角 D. 对角线相等3. 如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积为( )2cm ．A.6B.8C.16D.不能确定4. 顺次连结对角线互相垂直的四边形各边的中点，所得的四边形是 ( )A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 梯形5.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M 为边AD 的中点，延长MD 至点E ，使ME ＝MC ，以DE 为边作正方形DEFG ，点G 在边CD 上，则DG 的长为（ ） A ．31- B.35- C.51+ D. 51-6.如图，正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，则图中的等腰三角形有（ ） A ．4个 B ．6个 C ．8个 D ．10个二.填空题7．若正方形的边长为a ，则其对角线长为______，若正方形ACEF 的边是正方形ABCD 的对角线，则正方形ACEF 与正方形ABCD 的面积之比等于______．8. 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA ，对角线AC 与BD 相交于点O ，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD 是正方形，则还需增加一个条件是_________.9. 如图，将边长为2cm 的正方形ABCD 沿其对角线AC 剪开，再把△ABC 沿着AD 方向平移，得到△A B C '''，若两个三角形重叠部分的面积是12cm ，则它移动的距离AA '等于____cm .10. 如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线分别交AD 、BC 于E 、F ，则阴影部分的面积是_______.11. 如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A 顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是______．12.（长春）如图，点E 在正方形ABCD 的边CD 上．若△ABE 的面积为8，CE=3，则线段BE 的长为 ．三.解答题13．（乐山）如图，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连结CE、DF．求证：CE=DF．14．（铁力市二模）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E；PF⊥CD 于点F，连接EF，给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③∠PFE=∠BAP；④PD=EC；⑤PB2+PD2=2PA2，正确的有几个？．15．如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后，得到正方形EFCG，EF 交AD于H，求DH的长．【答案与解析】一.选择题1.【答案】C．【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD=CB=AD，∠A=∠C=∠ABC=∠ADC=90°，AD∥BC，在△ABD和△BCD中，，∴△ABD≌△BCD，∵AD ∥BC ，∴∠MDO=∠M ′BO ， 在△MOD 和△M ′OB 中，，∴△MDO ≌△M ′BO ，同理可证△NOD ≌△N ′OB ，∴△MON ≌△M ′ON ′， ∴全等三角形一共有4对． 故选C ．2.【答案】D ；【解析】正方形的性质：正方形的四条边相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的性质：菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；因此正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等；故选：D ．3．【答案】B ；【解析】阴影部分面积为正方形面积的一半. 4.【答案】A ； 5.【答案】D ；【解析】利用勾股定理求出CM 5即ME 的长，有DM ＝DE ，所以可以求出DE 51，进而得到DG 的长． 6.【答案】C ； 二.填空题7.2a ，2∶1 ；【解析】正方形ACEF 与正方形ABCD 2.8.【答案】AC ＝BD 或AB⊥BC；【解析】∵在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA∴四边形ABCD 是菱形∴要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是AC ＝BD 或AB⊥BC .9.【答案】1；【解析】移动距离为B C x '=，重叠部分面积为CE ×1B C '=，所以()21x x -=，得()210x -=，所以1x =.10.【答案】1；【解析】由题可知△DEO≌△BFO，阴影面积就等于三角形BOC 面积．11.【答案】21-；【解析】21D E D C ''==-，重叠部分面积为()12121212⨯⨯⨯-=-. 12.【答案】5；【解析】解：过E 作EM ⊥AB 于M ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=BC=CD=AB ，∴EM=AD ，BM=CE ， ∵△ABE 的面积为8，∴×AB ×EM=8，解得：EM=4，即AD=DC=BC=AB=4，∵CE=3，由勾股定理得：BE===5，故答案为：5．三.解答题13.【解析】证明：∵ABCD 是正方形，∴AB=BC=CD ，∠EBC=∠FCD=90°，又∵E 、F 分别是AB 、BC 的中点，∴BE=CF ，在△CEB 和△DFC 中，，∴△CEB ≌△DFC ，∴CE=DF ．14.【解析】解：①正确，连接PC ，可得PC=EF ，PC=PA ，∴AP=EF ；②正确；延长AP ，交EF 于点N ，则∠EPN=∠BAP=∠PCE=∠PFE ，可得AP ⊥EF ； ③正确；∠PFE=∠PCE=∠BAP ；④错误，PD=PF=CE ；⑤正确，PB 2+PD 2=2PA 2．所以正确的有4个：①②③⑤.15.【解析】解：如图，连接CH ，∵正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30°，∴∠BCF＝30°，则∠DCF＝60°，在Rt△CDH 和Rt△CFH 中，CH CHCD CF =⎧⎨=⎩∴Rt△C DH ≌Rt△CF H ，∴∠DCH＝∠FCH＝12∠DCF＝30°，在Rt △CDH 中，DH ＝x ，CH ＝2x ，CD ＝33x =，∴DH ＝3.。
正方形的知识总结
正方形的知识总结
正方形是一种特殊的四边形，它具有四个相等的内角，每个角都是90度。
在几何学中，正方形是一种非常重要的图形，它具有许多特殊的性质和应用。
一、基本性质
1.正方形的四条边相等，四个角都是直角；
2.正方形的对角线相等，且互相平分；
3.正方形的内角都是90度，外角都是270度；
4.正方形具有对称性，即如果以对角线为轴线进行翻转，图形仍然不变；
5.正方形的面积公式为边长的平方，即S=a^2。
二、应用
1.正方形广泛应用于建筑设计中，如建筑立面、广场、花坛等；
2.正方形也是数学中常见的图形，它可以用于解决各种几何问题，如求面积、周长、对角线长度等；
3.正方形还被广泛应用于计算机科学中，如图像压缩、图像处理等；
4.正方形还被用于制作各种物品，如餐桌、书桌、地砖、地毯等。
三、与其他图形的关系
1.正方形和矩形、菱形、平行四边形等一样都是四边形，但具有不同的性质；
2.正方形和圆形有着密切的关系，可以用正方形来逼近圆形；
3.正方形也可以被分割成多个小正方形或其他形状的图形，从而应用于各种问题的解决。
四、拓展
1.正方形的三维形式是正方体，它具有六个面，每个面都是正方形；
2.正方形也可以被扩展到平面外，如所谓的“无穷远平面”，在计算机图形学中有广泛应用；
3.正方形也可以被用于创意设计，如用正方形来构建各种艺术品、雕塑等。
正方形是一种重要的图形，具有许多特殊的性质和应用。
在学习和应用中，我们应该深入理解其基本性质和相关的定理，以便更好地应用于实际问题的解决。
正方形知识点
正方形①对角线互相垂直的矩形。
②有一组邻边相等的矩形是正方形。
③有一个角是直角的菱形是正方形。
④对角线相等的菱形。
⑤有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形。
正方形的性质1、边：两组对边分别平行;四条边都相等;相邻边互相垂直2、内角：四个角都是90°;3、对角线：对角线互相垂直;对角线相等且互相平分;每条对角线平分一组对角;4、对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形(有四条对称轴)。
5、正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质。
6、特殊性质：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°;正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。
7、在正方形里面画一个最大的圆，该圆的面积约是正方形面积的78.5%; 正方形外接圆面积大约是正方形面积的157%。
8、正方形是特殊的长方形正方形的判定1：对角线相等的菱形是正方形。
2：有一个角为直角的菱形是正方形。
3：对角线互相垂直的矩形是正方形。
4：一组邻边相等的矩形是正方形。
5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
6：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。
7：对角线互相垂直,平分且相等的四边形是正方形。
8：一组邻边相等，有三个角是直角的四边形是正方形。
9：既是菱形又是矩形的四边形是正方形。
有关计算公式若S为正方形的面积，C为正方形的周长，a为正方形的边长，则面积计算公式：S =a×a(即a的2次方或a的平方)，或S=对角线×对角线÷2;周长计算公式: C=4a 。
正方形知识点总结
正方形知识点总结
性质：
1.四边等长：正方形的四条边长度都相等。
2.四个内角均为90度：正方形的每个内角都是90度。
3.对角线相等：正方形的两条对角线长度相等。
4.相对边平行且相等：正方形的对边是平行且相等的。
周长：
正方形的周长可以通过四条边的长度之和来计算，即周长=4×边长。
面积计算：
正方形的面积可以通过两种方法来计算，一种是利用正方形的边长，另一种是利用对角线
的长度。
1.利用边长计算：正方形的面积等于边长的平方，即面积=边长×边长。
2.利用对角线计算：正方形的面积等于对角线的平方除以2，即面积=（对角线长度）^2/2。
相关定理：
1.垂直平分线定理：正方形的对角线互相垂直且相互平分。
2.对角线长度定理：设正方形的边长为a，则其对角线的长度为sqrt(2)a。
3.角度定理：正方形的每个内角都是90度。
4.对边平行定理：正方形的对边是平行的。
以上就是关于正方形的性质、周长、面积计算和相关定理的知识总结。
正方形是一种简单
却重要的几何形状，它具有许多独特的性质和规律，对于我们理解几何学和应用数学都有
着重要意义。
希望本文对您理解和掌握正方形的知识有所帮助。
八年级下正方形知识点总结归纳
八年级下正方形知识点总结归纳正方形是几何学中的一种基本图形，具有四个相等的边长和四个直角的特点。
在八年级下学期的几何学课程中，我们学习了正方形的性质、计算方法以及与其他图形的关系。
接下来，本文将对八年级下正方形的知识点进行总结归纳。
1. 正方形的性质正方形是一种特殊的矩形，具有以下性质：- 四个内角均为90度；- 四条边的长度相等；- 对角线相等且垂直于彼此；- 相邻两条边垂直。
2. 正方形的计算方法在解决正方形相关问题时，我们需要掌握以下计算方法：- 边长计算：已知正方形的面积或周长可以通过适当的公式计算出边长；- 面积计算：正方形的面积等于边长的平方；- 周长计算：正方形的周长等于四倍边长。
3. 正方形与其他图形的关系正方形与其他图形之间存在一些重要的关系，如下所示：- 正方形与矩形：正方形是一种特殊的矩形，拥有矩形的性质，但矩形不能保证四个边的长度相等；- 正方形与菱形：正方形是一种特殊的菱形，拥有菱形的性质，但菱形不能保证四个角都为直角；- 正方形与正多边形：正方形是一种特殊的正多边形，拥有正多边形的性质，但正多边形的边数可以大于四。
4. 正方形的应用正方形广泛应用于各个领域，例如：- 图像处理：正方形图像更容易处理和显示；- 建筑设计：正方形结构可以保持均衡和稳定性；- 棋盘布局：正方形棋盘更容易进行规则的布局。
5. 解题技巧与注意事项在解决关于正方形的问题时，需要注意以下技巧和细节：- 注意问题中提到的已知条件，合理利用已知条件解决问题；- 确保对正方形性质的理解准确，避免概念混淆；- 画图辅助解题，可以更直观地理解和分析问题；- 注意数值的转化和计算过程中的精确性，避免计算错误。
通过对八年级下学期正方形知识点的总结归纳，我们可以更好地掌握正方形的性质、计算方法以及与其他图形的关系。
在解决相关问题时，我们需要灵活运用已知条件和解题技巧，并注意计算的准确性。
正方形作为几何学中的基本图形，广泛应用于各个领域，具有重要的实际意义。
小学生正方形的知识点总结
小学生正方形的知识点总结正方形是我们学习数学时常见的一个图形，它有着特殊的性质和规律。
在小学数学课程中，学生们会对正方形有着深入的了解，并学习到许多关于正方形的知识。
下面我们就来总结一下小学生正方形的相关知识点。
第一，正方形的定义和特点：正方形是一种特殊的四边形，它有四条边，且四个角都是直角，四条边相等。
正方形的对边平行且相等，对角线相等且垂直平分。
因为具有这些特点，正方形也是一种特殊的矩形，也是一种特殊的菱形。
第二，正方形的性质：1. 对角线相等：正方形的对角线长度相等，且互相垂直平分。
2. 四个角都是直角：正方形的内角都是90度。
3. 四条边相等：正方形的四条边的长度都相等。
4. 对边平行且相等：正方形的对边是平行且相等的。
第三，正方形的周长和面积：1. 周长：正方形的周长等于四条边的长度之和，即4倍边长。
2. 面积：正方形的面积等于边长的平方，即边长的平方。
第四，正方形与其他图形的关系：1. 正方形和矩形：正方形是一种特殊的矩形，因为它具有矩形的所有特点，但矩形不一定是正方形。
2. 正方形和菱形：正方形也是一种特殊的菱形，因为它具有菱形的所有特点，但菱形不一定是正方形。
3. 正方形和长方形：正方形是一种特殊的长方形，因为它的两条对边相等，但长方形不一定是正方形。
第五，正方形的应用：1. 建筑设计：在建筑设计中，正方形的图形常常被用来设计房屋的平面图。
2. 城市规划：在城市规划中，正方形也经常被用来规划城市的街道和广场。
3. 艺术设计：在艺术设计中，正方形的图形也常常被用来设计艺术作品和装饰品。
总结：正方形是一个简单但重要的图形，它的性质和特点对我们的生活和学习都有着一定的影响。
在小学数学课程中，我们要认真学习正方形的相关知识，掌握正方形的性质和特点，做到熟练运用。
通过对正方形的学习，不仅可以提高我们的数学能力，还可以培养我们的观察力和逻辑思维能力。
让我们一起努力学习，掌握正方形的知识，为将来的学习打下坚实的基础。
正方形的知识点总结五年级
正方形的知识点总结五年级
1、正方形定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
*示：⑴正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形；
⑵既是矩形又是菱形的四边形是正方形；
⑶正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，还是特殊的菱形。
2、正方形的*质：
正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切*质。
⑴边——四条边都相等，邻边垂直、对边平行；
⑵角——四个角都是直角；
⑶对角线——对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；
⑷对称*——是轴对称图形，有四条对称轴。
⑸特殊*质——正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；
正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形
3、正方形的判定：判定一个四边形为正方形的主要依据是定义，途径有两条：
⑴先*它是矩形，再*它有一组邻边相等；
⑵先*它是菱形，再*它有一个角是直角。
正方形中的数学知识点总结
正方形中的数学知识点总结1. 正方形的定义正方形是一个四边相等且四个角均为直角的四边形。
换句话说，正方形是一种特殊的矩形，具有边长相等的特点。
正方形的对角线相等且互相平分，对角线垂直且互相垂直平分。
2. 正方形的性质(1) 边长：正方形的四条边长均相等。
(2) 对角线：正方形的对角线相等。
(3) 对角线相交：正方形的对角线互相垂直且互相平分。
(4) 内角：正方形的四个内角均为直角。
(5) 周长：正方形的周长等于四条边长之和。
(6) 面积：正方形的面积等于边长的平方。
3. 正方形的面积和周长计算正方形的面积计算公式为：S=a²，其中a表示正方形的边长。
周长计算公式为：C=4a，即正方形的四条边长之和。
4. 正方形的重要定理(1) 正方形的对角线垂直平分定理：正方形的对角线相互垂直且相互平分。
(2) 正方形的对角线相等定理：正方形的对角线相等。
(3) 正方形的四边相等定理：正方形的四条边相等。
5. 正方形的应用(1) 基本建筑设计中经常采用正方形的形状，如房屋的平面设计、花园的规划等。
(2) 研究正方形的性质和定理有助于培养学生的逻辑思维和数学推理能力。
6. 正方形与其他几何图形的关系(1) 正方形是一种特殊的矩形，具有边长相等的特点。
(2) 正方形是一种特殊的菱形，具有四个内角均为直角的特点。
(3) 正方形是一种特殊的平行四边形，具有四边相等的特点。
7. 正方形的扩展(1) 三维几何：正方形可以扩展到三维空间中，形成长方体。
(2) 应用领域：正方形的应用可以扩展到不同的领域，如工程设计、艺术设计、数学研究等。
总的来说，正方形是数学中一个重要的基本图形，具有许多重要的性质和定理。
通过研究正方形的性质和应用，可以帮助学生更好地理解几何学知识，提高数学推理能力和应用能力。
同时，正方形在现实生活中有着广泛的应用，可以帮助人们更好地应用数学知识解决实际问题。
希望本文的介绍可以帮助读者更好地了解正方形的数学知识点。
正方形框架的知识点总结
正方形框架的知识点总结正方形是一种具有四个相等边长和四个直角的特殊四边形。
它是几何学中一个重要的概念，常常用于解决各种数学和工程问题。
在本文中，我们将深入探讨正方形的定义、性质、特点和应用。
一、正方形的定义正方形是一种特殊的四边形，它具有以下特点： 1. 所有边长相等：正方形的四条边长度相等。
2. 所有角度相等：正方形的四个内角均为直角，即90度。
3. 对角线相等：正方形的两条对角线相等且相交于中点。
二、正方形的性质 1. 正方形是矩形的特例：矩形是一种具有四个直角的四边形，而正方形是具有相等边长的特殊矩形。
2. 正方形是菱形的特例：菱形是一种具有相等边长的平行四边形，而正方形是具有相等边长且所有角度为直角的特殊菱形。
三、正方形的特点正方形具有以下特点： 1. 对称性：正方形具有四个对称轴，分别通过相对的顶点和对角线的中点。
这种对称性使得正方形在几何学和设计中广泛应用。
2. 利用对角线计算面积：正方形的面积可以通过对角线的长度计算得出。
设对角线的长度为d，则正方形的面积为d的平方的一半，即S = (d^2)/2。
3. 最大化面积：正方形是所有具有相等周长的四边形中面积最大的形状。
这是由于正方形的所有边长相等，因此它可以最大化利用给定的周长。
四、正方形的应用正方形在日常生活和各个领域都有广泛的应用，下面列举其中一些常见的应用场景： 1. 建筑设计：正方形的对称性和美观性使得它在建筑设计中常被用作基础平面结构或者建筑物的外观设计元素。
2. 地图投影：地图学中常使用正方形网格来进行投影，以便在平面上准确表示地球表面的形状。
3. 数学推理：正方形是数学推理和证明中常用的形状，例如在几何证明中，常使用正方形来推导其他几何形状的性质。
4. 艺术设计：正方形的对称性和稳定感使得它在艺术设计中被广泛运用，如绘画、摄影、图形设计等。
总结：正方形作为一种具有特殊性质和广泛应用的几何形状，具有对称性、面积最大化等特点。
正方形几何知识点总结
正方形几何知识点总结1. 正方形的定义正方形是一种特殊的四边形，具有以下特征：- 四条边长度相等。
- 四个角都是直角。
- 对角线长度相等。
2. 正方形的性质正方形具有许多特殊的几何性质，以下是其中一些重要的性质：- 对角线相互垂直且相等长。
- 对角线平分彼此，并互相平分的两对角。
- 对角线互相垂直 bisecting 的两对边。
- 正方形的对边平行。
3. 正方形的面积正方形的面积可以通过边长的平方来计算，即S = a^2，其中S表示面积，a表示边长。
这是由于正方形的对角线可以被看做是两个边长为a的等腰直角三角形组成，而这两个三角形的面积为a^2/2，那么正方形的面积就是两个等腰直角三角形的面积之和，即为a^2。
4. 正方形的周长正方形的周长可以通过四条边长之和来计算，即P = 4a，其中P表示周长，a表示边长。
5. 正方形的对角线正方形的对角线是十分重要的特征，对角线可以通过勾股定理来计算，即d = a√2，其中d表示对角线的长度，a表示边长。
6. 正方形的内切圆和外切圆正方形的内切圆和外切圆都具有特殊的性质，内切圆的半径等于正方形的边长一半，外切圆的半径等于正方形的边长。
内切圆和外切圆都具有与正方形相关的角度性质。
7. 正方形的性质应用正方形是一种非常常见的几何形状，在日常生活和工作中都有广泛的应用。
例如，建筑设计中的房间布局、地砖的铺设、织物的裁剪等都离不开对正方形的理解和应用。
另外，正方形也经常作为其他几何形状的构成要素在数学和工程中被广泛使用。
8. 正方形的相关定理在研究正方形的性质和应用中，我们会发现许多与正方形相关的定理。
这些定理有时会涉及到正方形的对角线、内切圆和外切圆等特殊情况，这些定理的理解和应用都对于理解正方形和解决与之相关的问题非常重要。
9. 正方形的拓展正方形是一种特殊的四边形，它有着许多独特的特征和性质。
在对正方形的几何知识有一定了解之后，我们可以对正方形进行拓展，将其与其他几何形状进行比较和联系，从而更好地理解和应用正方形的几何知识。
小学数学点知识归纳正方形和菱形的性质
小学数学点知识归纳正方形和菱形的性质正方形和菱形都是常见的几何形状，它们具有一些特殊的性质。
在小学数学中，学习这些形状的性质是非常重要的基础知识。
本文将对正方形和菱形的性质进行归纳介绍。
一、正方形的性质1. 边长相等：正方形的四条边长度都相等，记为a。
即AB=BC=CD=DA=a。
2. 内角度为90度：正方形的四个内角度都是直角，即∠B=∠C=∠D=90°。
3. 对角线相等：正方形的两条对角线长度相等，记为d。
即AC=BD=d。
4. 对角线互相平分：正方形的两条对角线互相平分对方的内角。
即∠BAC=∠CAB=∠CBD=∠CDB=45°。
5. 中点连接：正方形的相邻顶点连线，会相交在正方形的对角线的中点。
二、菱形的性质1. 边长相等：菱形的四条边长度都相等，记为a。
即AB=BC=CD=DA=a。
2. 内角度不定：菱形的四个内角没有固定的度数，只要它们之和为360°即可。
3. 对角线互相垂直：菱形的两条对角线互相垂直且互相平分。
即对角线AC与BD相互垂直，且互相平分。
4. 对角线不相等：菱形的两条对角线长度不相等，但互相垂直，并且互相平分。
5. 中点连接：菱形的相邻顶点连线，会相交在菱形的对角线的中点。
三、正方形和菱形的关系1. 正方形是菱形：由于正方形的四个角都是直角，所以它也满足菱形的特点。
即正方形是菱形的一种特殊情况。
2. 菱形不一定是正方形：菱形的四个内角不固定，所以不一定是直角。
因此，菱形不一定是正方形。
3. 因为正方形是菱形的一种特殊情况，所以正方形的性质包含了菱形的性质。
但是，菱形具有的对角线互相垂直和对角线不相等的性质是正方形所没有的。
总结：正方形和菱形是两个常见的几何形状，它们具有一些独特的性质。
正方形具有边长相等、内角度为90度、对角线相等等性质；而菱形具有边长相等、对角线互相垂直等性质。
正方形是菱形的一种特殊情况，但菱形不一定是正方形。
理解和掌握这些性质，对小学生学习几何知识是非常重要的。
正方体的知识点归纳
正方体的知识点归纳正方体是一个具有六个平面、六个面角、八个顶点和十二个边的立体图形，它是一种非常重要的几何图形，广泛应用于数学、工程、建筑等领域。
在本文中，我们将对正方体的基本性质、表面积和体积、内对角线等知识点进行归纳总结。
1. 基本性质正方体是一种具有对称性的几何图形，其六个面相同，每个面都是正方形。
正方体的六个面互相垂直，即任意两个相邻面之间的夹角都是90度。
正方体的八个顶点相互等距，每个顶点都是三个相邻面的交点，其中四个顶点构成一个等腰直角三角形。
2. 表面积和体积正方体的表面积和体积是计算正方体的重要参数。
正方体的表面积等于六个面积之和，也可以表示为6a²，其中a表示正方体的边长。
正方体的体积等于正方体的某个面的面积乘以高度，也可以表示为a³，其中a表示正方体的边长。
3. 内对角线内对角线是两个对面顶点之间的线段，通过正方体的内部。
正方体的内对角线长度等于正方体的边长的根号3倍，可以用勾股定理进行证明。
对于任意一个正方体，其内对角线是其最长的对角线，也是其最长的线段。
4. 表面对角线表面对角线是由正方体的两个相邻顶点之间的线段组成，通过正方体的表面，连接相邻的面。
正方体的表面对角线长度等于正方体的边长的根号2倍，可以用勾股定理进行证明。
对于任意一个正方体，其表面对角线是其最长的面对角线，也是其最长的线段。
5. 对角面对角面是正方体中任意两个对面之间的平面，其特点是可以将正方体分成两个相等的部分。
每个对角面都是一个平行四边形，其面积等于正方体表面积的一半，也等于正方体两个相对面之间的距离的乘积。
6. 对角线长度对角线是连接两个对面相对顶点的线段。
正方体有八条对角线，其长度等于正方体的边长的根号3倍，可以用勾股定理进行证明。
每个对角线都代表了正方体的一个空间对角线，其长度是正方体内对角线和正方体表面对角线的平均值。
7. 截面面积截面是与正方体横向或纵向相交的平面，可以将正方体分成两个部分。
数学知识点正方形和长方形的性质
数学知识点正方形和长方形的性质数学知识点：正方形和长方形的性质正方形和长方形是我们在数学学习中经常遇到的两种形状，它们具有一些特殊的性质和特点，本文将详细介绍正方形和长方形的性质。
1. 正方形正方形是一种有特殊性质的四边形，它的四条边长度相等，且四个内角均为直角（90°）。
下面将介绍正方形的性质：1.1 边长和周长正方形的四条边长度相等，我们用a来表示正方形的边长。
那么正方形的周长C等于4a，即C=4a。
1.2 面积正方形的面积等于边长的平方。
用A表示正方形的面积，那么A=a^2。
1.3 对角线正方形的两条对角线相等，且互相垂直。
如果我们分别用d1和d2来表示正方形的对角线长度，那么d1=d2=a√2。
1.4 特殊关系正方形是长方形的一种特殊情况，当长方形的长度和宽度相等时，就成为了正方形。
2. 长方形长方形也是一种有特殊性质的四边形，它的相邻两条边相等，且四个内角均为直角（90°）。
2.1 边长、周长和面积长方形的两条相邻边的长度分别用l和w表示，那么长方形的周长C=2(l+w)，面积A=lw。
2.2 对角线长方形的两条对角线不相等，但互相垂直。
我们可以分别用d1和d2表示长方形的对角线长度，其中d1=l√2，d2=w√2。
2.3 特殊关系正方形是长方形的一种特殊情况。
当长方形的两条相邻边长度相等时，就成为了正方形。
综上所述，正方形和长方形是常见的几何形状，在数学中具有一些特殊的性质。
正方形的四条边相等、角为直角，且对角线相等且垂直；长方形的两条相邻边相等、角为直角，但对角线不相等且垂直。
理解和掌握这些性质将有助于我们解题和计算几何问题。
除了上述性质外，我们还可以通过应用这些性质来解决一些实际问题，比如计算矩形房间的面积、制作正方形图案等等。
练习和应用这些知识，能够帮助我们更好地理解几何形状，并在实际生活和学习中灵活运用。
通过学习本文所介绍的正方形和长方形的性质，相信读者已经对这两种形状有了更深入的理解。
有关正方形的概念性质知识题型以及延伸知识的数学书签
有关正方形的概念性质知识题型以及延伸知识的数学
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正方形的定义：
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
特殊的长方形。
四条边都相等且四个角都是直角的四边形叫做正方形。
有一组邻边相等的矩形是正方形。
有一个角为直角的菱形是正方形。
对角线平分且相等，并且对角线互相垂直的四边形为正方形。
对角线相等的菱形是正方形。
1、正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2、正方形的性质：（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等。
（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。
（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴。
（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形。
（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的
距离相等。
3、正方形的判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；
（2）对角线相等的菱形是正方形；
（3）对角线互相垂直的矩形是正方形。
判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：先证明它是平行四边形，再证明它是菱形（或矩形），最后证明它是矩形（或菱形）。
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华师大版八年级下册19.3正方形单元复习材料一、知识辨析１.正方形的定义一组邻边相等的矩形叫做正方形正方形不仅是特殊的平行四边形,而且是特殊的矩形,又是特殊的菱形２.正方形的性质正方形具有平行四边形,矩形,菱形的一切性质①边:四边相等,对边平行②角:四个角都是直角③对角线:互相平分;相等;且垂直;每一条对角线平分一组对角,即正方形的对角线与边的夹角为45度。
④正方形是轴对称图形,有四条对称轴３.正方形的判定①菱形+矩形的一条特征②菱形+矩形的一条特征③平行四边形+一个直角+一组邻边相等说明一个四边形是正方形的一般思路是:先判断它是矩形,在判断这个矩形也是菱形;或先判断它是菱形,再判断这个菱形也是矩形４.正方形对角线产生的三角形特点正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,两条对角线把正方形分成四个小的全等的等腰直角三角形５.正方形常用的辅助线添加方法①正方形中常连对角线,把四边形的问题转化为三角形的问题②有垂直时做垂线构造正方形③有正方形一边中点时常取另一边中点构造图形来应用④利用旋转法将与正方形有关的题目的分散元素集中起来,从而为解决问题创造条件二、基本方法１、围绕正方形的边展开的计算和论证试题１、（2015江苏泰州，第25题12分）如图，正方形ABCD的边长为8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的动点，且AE=BF=CG=DH．（1）求证：四边形EFGH是正方形；（2）判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由；（3）求四边形EFGH面积的最小值．试题２、（2015四川凉山州第21题8分）如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，探究线段AF、BF、EF三者之间的数量关系，并说明理由．试题３、（2015湖北十堰，第10题3分）如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB，AD上，若CE=3，且∠ECF=45°，则CF的长为（）A．2B．3C．D．试题４、（2015，广西玉林，18，3分）如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是3．试题５、（2015北海,第16题3分）如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，点E在DC边的延长线上．若∠CAE=15°，则AE=8．试题６、（2015梧州,第25题12分）如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．（1）求证：HF=AP；（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长．试题７、（2015广东东莞21，7分）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG．（1）求证：△ABG≌△AFG；（2）求BG的长．２、围绕正方形的角展开的计算和论证试题１、（2015怀化，第14题4分）如图，在正方形ABCD中，如果AF=BE，那么∠AOD的度数是90°．试题２、（2015鄂州,第18题8分）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．（1）求证：BE=CE．（2）求∠BEC的度数．试题３、（2015黄冈,第12题3分）如图，在正方形ABCD 中，点F 为CD 上一点,BF 与AC 交于点E,若∠CBF=20°，则∠AED 等于_________度.试题４、（2014四川自贡，第19题8分）如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G．（1）求证：AE=CF；（2）若∠ABE=55°，求∠EGC的大小．３、围绕正方形的对角线展开的计算和论证试题１、（2015济南,第13题3分）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、CD于M、N两点．若AM=2，则线段ON的长为（）A．２B．C． 1 D．试题２、（2014山西，第10题3分）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的变长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（）A．a2B．a2C．a2D． a2试题３、(2014年四川资阳，第15题3分)如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为．试题４、（2014黑龙江哈尔滨,第19题3分）如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB 边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF=3，△EFC的周长为12，则EC的长为5．试题５、（2014重庆A,第18题4分）如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，则OF的长为．试题６、（2014四川广安,第19题6分）如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，连接BP、DP，延长BC到E，使PB=PE．求证：∠PDC=∠PE C．４、围绕正方形的平移和旋转变换展开的计算和论证试题１、（2015枣庄,第9题3分）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则四边形AB1OD的面积是（）A．B． C．D．﹣1试题２、（2015青岛,第12题3分）如图，平面直角坐标系的原点O是正方形ABCD的中心，顶点A，B的坐标分别为（1，1），（﹣1，1），把正方形ABCD绕原点O逆时针旋转45°得正方形A′B′C′D′，则正方形ABCD与正方形A′B′C′D′重叠部分所形成的正八边形的边长为2﹣2．试题３、（2015恩施州第18题8分）如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形，连接AG、CE．（1）求证：AG=CE；（2）求证：AG⊥CE．试题４、（2015·江苏连云港，26题12分）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．(1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由．(2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长．(3）如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H，写出△GHE与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由．试题５、（2015齐齐哈尔,第26题8分）如图1所示，在正方形ABCD和正方形CGEF中，点B、C、G在同一条直线上，M是线段AE的中点，DM的延长线交EF于点N，连接FM，易证：DM=FM，DM⊥FM（无需写证明过程）（1）如图2，当点B、C、F在同一条直线上，DM的延长线交EG于点N，其余条件不变，试探究线段DM与FM有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明；（2）如图3，当点E、B、C在同一条直线上，DM的延长线交CE的延长线于点N，其余条件不变，探究线段DM与FM有怎样的关系？请直接写出猜想．试题６、（2014山东威海，第24题11分）猜想与证明：如图1摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD 上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM、ME，试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论．拓展与延伸：（1）若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为DM=DE．（2）如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，试证明（1）中的结论仍然成立．试题７、（2015辽宁省盘锦,第17题3分）如图，直线y=﹣3x+3与x轴交于点B，与y轴交于点A，以线段AB为边，在第一象限内作正方形ABCD，点C落在双曲线y=（k≠0）上，将正方形ABCD沿x轴负方向平移a个单位长度，使点D恰好落在双曲线y=（k≠0）上的点D1处，则a= 2．５、综合运用试题１、（2015衡阳,第28题10分）如图，四边形OABC是边长为4的正方形，点P为OA边上任意一点（与点O、A不重合），连接CP，过点P作PM⊥CP交AB于点D，且PM=CP，过点M作MN∥OA，交BO于点N，连接ND、BM，设OP=t．（1）求点M的坐标（用含t的代数式表示）．（2）试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变？并说明理由．（3）当t为何值时，四边形BNDM的面积最小．试题２、（2014浙江宁波，第11题4分）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A． 2.5 B．C．D． 2试题３、（2014黑龙江龙东,第20题3分）如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．则下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=CG；③AG∥CF；④S△EGC=S△AFE；⑤∠AGB+∠AED=145°．其中正确的个数是（）A． 2 B． 3 C． 4 D． 5试题４、（2014山东烟台，第25题10分）在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．（1）如图①，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的位置关系，并说明理由；（2）如图②，当E，F分别移动到边DC，CB的延长线上时，连接AE和DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）（3）如图③，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（4）如图④，当E，F分别在边DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD=2，试求出线段CP的最小值．试题５、(2014年湖北咸宁24．（12分）)如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（﹣4，4）．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D．BD与y轴交于点E，连接PE．设点P运动的时间为t（s）．（1）∠PBD的度数为45°，点D的坐标为（t，t）（用t表示）；（2）当t为何值时，△PBE为等腰三角形？（3）探索△POE周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．试题６、（2014山东临沂,第25题11分）【问题情境】如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．【探究展示】（1）证明：AM=AD+MC；（2）AM=DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【拓展延伸】（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．。