广东省各市2015年高考一模数学理试题分类汇编：导数及其应用
各市高考一模数学理试题分类汇编.doc
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作广东省各市2015年高考一模数学理试题分类汇编复数1．（2015届潮州市）若复数(2)(1)i ai ++是纯虚数(i 是虚数单位，a 是实数)，则a 等于（ ） A. -1 B. 21- C.2 D. 3 2．（2015届佛山市）若复数z 满足2)1()1(i z i +=-，其中i 为虚数单位，则在复平面上复数z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3（2015届惠州市）已知b 为实数，i 为虚数单位，若21b i i+⋅-为实数，则b = ( ) A ．1- B ．2- C ．1 D ．24（2015届揭阳市）已知复数1z i =+，则21z z=- A. 2 B. －2 C. 2i D. －2i5（2015届茂名市） 复数311(i i -为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标是 （ ）. A ．(1,1) B ．(1,1)- C ．(1,1)- D ．(1,1)-- 6（2015届深圳市）设i 为虚数单位，则复数 2015i等于 A ．1 B ．1- C ．i D ．i - 7（2015届湛江市）已知z 是复数，i 是虚数单位，若i zi +=1，则z =（ ）．A ．i +1B ．i -1C ．i +-1D ．i --1 8（2015届肇庆市）设i 为虚数单位，则复数)1(i i z -=对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：C B B B D B A9（2015届广州市）已知i为虚数单位，复数1i1iz-=+，则z=．答案：1。
广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编：导数及其应用
广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编导数及其应用一、填空题1、（潮州市2015届高三）曲线在点处的切线方程为2、（揭阳市2015届高三）函数()1x f x e =-的图象与x 轴相交于点P ，则曲线在P 处的切线方程是3、（深圳市2015届高三）设P 是函数x y ln =图象上的动点，则点P 到直线x y =的距离的最小值为4、（珠海市2015届高三）已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足3()=(2)f x x x f '-⋅，则函数()f x 在点（2，(2)f ）处的切线方程为二、解答题1、（潮州市2015届高三）已知函数，（）． 若，求函数的极值；设函数，求函数的单调区间；若在（）上存在一点，使得成立，求的取值范围．2、（佛山市2015届高三）已知函数()()ln x a f x x-=. (Ⅰ) 若1a =-,证明:函数()f x 是()0,+∞上的减函数；(Ⅱ) 若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线0x y -=平行,求a 的值； (Ⅲ) 若0x >,证明:()ln 1e 1x x xx +>-(其中e 2.71828=⋅⋅⋅是自然对数的底数).3、（广州市2015届高三）已知函数()2ln af x x x x=--，a ∈R . （1）讨论函数()f x 的单调性;（2）若函数()f x 有两个极值点1x ,2x , 且12x x <, 求a 的取值范围;323y x x =-+1x =()ln f x x a x =-()1ag x x+=-R a ∈()11a =()f x ()2()()()h x f x g x =-()h x ()3[]1,e 2.718e =⋅⋅⋅0x ()()00f x g x <a（3）在（2）的条件下, 证明:()221f x x <-.4、（惠州市2015届高三）已知函数()(0)tf x x x x=+>，过点(1,0)P 作曲线()y f x =的两条切线PM ，PN ，切点分别为M ，N ．（1）当2t =时，求函数()f x 的单调递增区间； （2）设()g t MN =，求函数()g t 的表达式；（3）在（2）的条件下，若对任意的正整数n ，在区间642,n n ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦内，总存在1m +个数121,,,,,m m a a a a +使得不等式121()()()()m m g a g a g a g a ++++<成立，求m 的最大值．5、（江门市2015届高三）已知函数32()1f x x ax =+-恒谦网（R a ∈是常数）．⑴设3-=a ，1x x =、2x x =是函数)(x f y =的极值点，试证明曲线)(x f y =关于点) )2( , 2(2121x x f x x M ++对称； ⑵是否存在常数a ，使得] 5 , 1 [-∈∀x ，33|)(|≤x f 恒成立？若存在，求常数a 的值或取值范围；若不存在，请说明理由．（注：曲线)(x f y =关于点M 对称是指，对于曲线)(x f y =上任意一点P ，若点P 关于M 的对称点为Q ，则Q 在曲线)(x f y =上．）6、（揭阳市2015届高三）若实数、、满足||||-≤-x m y m ，则称比更接近.（1）若23-x 比1更接近0，求的取值范围；（2）对任意两个正数、，试判断2()2+a b 与222+a b 哪一个更接近ab ？并说明理由； （3）当2≥a 且1≥x 时，证明：ex比+x a 更接近ln x .7、（清远市2015届高三）设函数()ln(1),()ln(1)1xf x a xg x x bx x=-+=+-+. (1)若函数()f x 在0x =处有极值，求函数()f x 的最大值；x y m x y m x a b（2）①若b 是正实数，求使得关于x 的不等式()0g x <在()0,+∞上恒成立的b 取值范围； ②证明：不等式.)*(21ln 112N n n k knk ∈≤-+∑=8、（汕头市2015届高三）已知函数，（1）求函数的定义域（用区间表示）， （2）当时，求函数的单调递增区间。
【2015广东高考模拟 理科数学】广东省各地2015届高三一模二模试题汇总 12份
图17432109878试卷类型：A2015年广州市普通高中毕业班综合测试（一）2015广州一模 数学（理科）2015.3 本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。
用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． ()()22221211236n n n n ++++++=()*n ∈N ． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集{}1,2,3,4,5U =, 集合{}3,4,5M =, {}1,2,5N =, 则集合{}1,2可以表示为 A ．M N B ．()U M N ð C ．()U MN ð D ．()()U U M N 痧2．已知向量()3,4a =，若5λ=a ，则实数λ的值为A ．15 B ．1 C ．15± D ．1± 3. 若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图1），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数和平均数分别是 A. 91, 91.5 B. 91, 92 C. 91.5, 91.5 D. 91.5, 924. 直线10x ay ++=与圆()2214x y +-=的位置关系是22222222侧视图正视图222222A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定5. 若直线3y x =上存在点(),x y 满足约束条件40,280,,x y x y x m ++>⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩则实数m 的取值范围是A. ()1,-+∞B. [)1,-+∞C. (),1-∞-D. (],1-∞- 6. 已知某锥体的正视图和侧视图如图2，其体积为233，则该锥体的俯视图可以是图2A. B. C. D. 7. 已知a 为实数，则1a ≥是关于x 的绝对值不等式1x x a +-≤有解的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知i 是虚数单位，C 是全体复数构成的集合，若映射:f C →R 满足: 对任意12,z z C ∈，以及任意λ∈R , 都有()()()()()121211f z z f z f z λλλλ+-=+-, 则称映射f 具有性质P . 给出如下映射:① 1:f C →R , ()1f z x y =-, z x y =+i (,x y ∈R );② 2:f C →R , ()22f z x y =-, z x y =+i (,x y ∈R );③ 3:f C →R , ()32f z x y =+, z x y =+i (,x y ∈R );其中, 具有性质P 的映射的序号为 A. ① ② B. ① ③ C. ② ③ D. ① ② ③二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9. 已知tan 2α=，则tan 2α的值为 .10. 已知e 为自然对数的底数，若曲线y x =e x在点()1,e 处的切线斜率为 .图3OADE C B 11. 已知随机变量X 服从正态分布()2,1N . 若()130.6826P X ≤≤=，则()3P X > 等于 .12. 已知幂函数()223(mm f x xm --+=∈Z )为偶函数，且在区间()0,+∞上是单调增函数，则()2f 的值为 .13．已知,n k ∈N *，且k n ≤，k C k n n =C 11k n --，则可推出C 12n +C 23n +C 3n k ++C k n n ++C (n n n =C 01n -+C 11n -++C 11k n --++C 11)n n --12n n -=⋅， 由此，可推出C 122n +C 223n +C 32n k ++C 2k n n ++C n n = .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14. （坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为cos sin ,(cos sin x y θθθθθ=+⎧⎨=-⎩为参数)和2,(x t t y t =-⎧⎨=⎩为参数).以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线1C 与2C 的交点的极坐标．．．为 . 15. （几何证明选讲选做题）如图3，BC 是圆O 的一条弦，延长BC 至点E ， 使得22BC CE ==，过E 作圆O 的切线，A 为切点，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ， 则DE 的长为 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()()sin 0,06f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为()02x ,和022x ,π⎛⎫+- ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式； （2）求0sin 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.图4OF ED C B A 图5FE PODB A17. （本小题满分12分）袋子中装有大小相同的白球和红球共7个，从袋子中任取2个球都是白球的概率为17，每个球被取到的机会均等. 现从袋子中每次取1个球，如果取出的是白球则不再放回，设在取得红球之前已取出的白球个数为X . （1）求袋子中白球的个数； （2）求X 的分布列和数学期望.18. （本小题满分14分）如图4，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ︒∠=，点E ，F 分别是边CD ，CB 的 中点，ACEF O =，沿EF 将△CEF 翻折到△PEF ，连接PA,PB,PD ，得到如图5的五棱锥P ABFED -，且10PB =.（1）求证：BD ⊥平面POA ；（2）求二面角--B AP O 的正切值.19. （本小题满分14分）已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足111,21n n a a S +==+，n ∈N *.（1）求2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）是否存在正整数k , 使k a , 21k S -, 4k a 成等比数列? 若存在, 求k 的值； 若不存在, 请说明理由.20. （本小题满分14分）已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线222:12x C y -=的顶点，直线20+=x y 与椭圆1C 交于A ，B 两点，且点A 的坐标为(2,1)-，点P 是椭圆1C 上异于点A ,B 的任意一点，点Q 满足0AQ AP ⋅=，0BQ BP ⋅=，且A ，B ，Q 三点不共线.(1) 求椭圆1C 的方程； (2) 求点Q 的轨迹方程；(3) 求ABQ ∆面积的最大值及此时点Q 的坐标.21. （本小题满分14分） 已知函数()()2ln 12a f x x x x =++-()0a ≥. （1）若()0f x >对()0,x ∈+∞都成立，求a 的取值范围； （2）已知e 为自然对数的底数，证明：∀n ∈N *，e 22212111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++⋅⋅⋅+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e <.2015年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题． 9. 43-10. 2e 11. 0.1587 12. 16 13. ()212n n n -+⋅ 14. 2,4π⎛⎫⎪⎝⎭15. 3说明: 第14题答案可以是2,2,4k k ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z . 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数的图象与性质、三角两角和公式等等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：由题意可得2,A =， …………………………1分00222T x x ππ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭， …………………………3分 ∴.T π= …………………………4分 由,2πωπ=得2=ω， …………………………5分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BDCAACBB∴()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. …………………………6分（2）解： ∵ 点()0,2x 是函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在y 轴右侧的第一个最高点, ∴ 0262x ππ+=. …………………………7分∴ 06x π=. …………………………8分 ∴0sin 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭sin 64ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭…………………………9分 sincoscossin6464ππππ=+ …………………………10分12322222=⨯+⨯…………………………11分 264+=. …………………………12分 17．（本小题满分12分）（本小题主要考查古典概型、解方程、随机变量的分布列与均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识）（1）解：设袋子中有n (n ∈N *)个白球，依题意得，22717n C C =，………………………1分即()1127672n n -=⨯， 化简得，260n n --=， …………………………2分解得，3n =或2n =-（舍去）. …………………………3分 ∴袋子中有3个白球. …………………………4分 （2）解：由（1）得，袋子中有4个红球，3个白球. …………………………5分X 的可能取值为0,1,2,3， …………………………6分()407P X ==， ()3421767P X ==⨯=， ()3244276535P X ==⨯⨯=，()321413765435P X ==⨯⨯⨯=. ………………10分∴X 的分布列为： X 0 12 3GH F EPODBA…………………………11分∴4241301237735355EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. …………………………12分 18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、二面角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） （1）证明：∵点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，∴BD ∥EF . …………………………1分 ∵菱形ABCD 的对角线互相垂直，∴BD AC ⊥. ∴EF AC ⊥. ∴EF AO ⊥，EF PO ⊥. …………………………2分 ∵AO ⊂平面POA ，PO ⊂平面POA ，AO PO O =， ∴EF ⊥平面POA . …………………………3分∴BD ⊥平面POA . …………………………4分 （2）解法1：设AO BD H =，连接BO ， ∵60DAB ︒∠=， ∴△ABD 为等边三角形.∴4BD =，2BH =，23HA =，3HO PO ==. ……5分 在R t △BHO 中，227BO BH HO =+=，在△PBO 中，22210+==BO PO PB ，∴PO BO ⊥. …………………………6分 ∵PO EF ⊥，EF BO O =，EF ⊂平面BFED ，BO ⊂平面BFED ， ∴PO ⊥平面BFED . …………………………7分 过H 作⊥HG AP ，垂足为G ，连接BG ，由（1）知⊥BH 平面POA ，且⊂AP 平面POA ， ∴⊥BH AP .∵=HG BH H ，⊂HG 平面BHG ，⊂BH 平面BHG ，∴⊥AP 平面BHG . …………………………8分 ∵⊂BG 平面BHG ，∴⊥AP BG . …………………………9分 ∴∠BGH 为二面角--B AP O 的平面角. …………………………10分 在Rt △POA 中，2230=+=AP AO PO ，在Rt △POA 和Rt △HGA 中，90,︒∠=∠=∠=∠POA HGA PAO HAG ， ∴Rt △POA ～Rt △HGA . …………………………11分P 47 27 435 135z yxH F EPODBA∴=PO PAHG HA. ∴32330530⋅⨯===PO HA HG PA . …………………………12分 在Rt △BHG 中，230tan 3305∠===BH BGH HG . ……………………13分 ∴二面角--B AP O 的正切值为303. …………………………14分 解法2：设AOBD H =，连接BO ，∵60DAB ︒∠=， ∴△ABD 为等边三角形.∴4BD =，2BH =，23HA =，3HO PO ==.………………………5分 在R t △BHO 中，227BO BH HO =+=，在△PBO 中，22210+==BO PO PB ，∴PO BO ⊥. …………………………6分 ∵PO EF ⊥，EF BO O =，EF ⊂平面BFED ，BO ⊂平面BFED ， ∴PO ⊥平面BFED . …………………………7分 以O 为原点，OF 所在直线为x 轴，AO 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴， 建立空间直角坐标系-O xyz ，则()0,33,0-A ，()2,3,0-B ，()0,0,3P ，()0,3,0-H .…………8分 ∴()0,33,3=AP ，()2,23,0=AB . 设平面PAB 的法向量为=n (),,x y z ，由⊥n AP ，⊥n AB ，得 3330,2230.⎧+=⎪⎨+=⎪⎩y z x y ……9分令1=y ，得3=-z ，3=-x .∴平面PAB 的一个法向量为=n ()3,1,3--. …………………………10分由（1）知平面PAO 的一个法向量为()2,0,0=-BH ， ……………………11分设二面角--B AP O 的平面角为θ， 则cos θ=cos ,n BH⋅=n BH n BH233913132==⨯.………………………12分 ∴2130sin 1cos13θθ=-=，sin 30tan cos 3θθθ==.………………………13分 ∴二面角--B AP O 的正切值为303. …………………………14分 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等差数列、数列的前n 项和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力和创新意识） （1）解：∵111,21n n a a S +==+，∴21121213a S a =+=+=. …………………………1分（2）解法1：由121n n a S +=+，得121n n n S S S +-=+， …………………………2分故()211n n S S +=+. …………………………3分∵0n a >，∴0n S >. ∴11n n S S +=+. …………………………4分∴数列{}nS 是首项为11S =，公差为1的等差数列.∴()11n S n n =+-=. …………………………5分 ∴2n S n =. …………………………6分当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-， …………………………8分又11a =适合上式，∴21n a n =-. …………………………9分解法2：由121n n a S +=+，得()2114n n a S +-=， …………………………2分 当2n ≥时，()2114n n a S --=， …………………………3分 ∴()()()22111144n n n n n a a S S a +----=-=. …………………………４分∴2211220n n n n a a a a ++---=.∴()()1120n n n n a a a a +++--=. …………………………５分 ∵ 0n a >，∴12n n a a +-=. …………………………６分 ∴数列{}n a 从第2项开始是以23a =为首项，公差为2的等差数列．……………７分 ∴()()322212n a n n n =+-=-≥． …………………………８分 ∵11a =适合上式，∴21n a n =-. …………………………9分 解法3：由已知及（1）得11a =，23a =，猜想21n a n =-. …………………………2分 下面用数学归纳法证明.① 当1n =，2时，由已知11211a ==⨯-，23a ==221⨯-，猜想成立. ………3分 ② 假设n k =()2k ≥时，猜想成立，即21k a k =-， …………………………4分 由已知121k k a S +=+，得()2114k k a S +-=， 故()2114k k a S --=.∴()()()22111144k k k k k a a S S a +----=-=. …………………………5分∴22211220k k k k a a a a ++---=.∴()()1120k kk k a a aa +++--=. …………………………6分∵10,0k k a a +>>，∴120k k a a +--=. …………………………7分 ∴()12212211k k a a k k +=+=-+=+-. …………………………8分 故当1n k =+时，猜想也成立.由①②知，猜想成立，即21n a n =-. …………………………9分（3）解：由(2)知21n a n =-, ()21212n n n S n +-==.假设存在正整数k , 使k a , 21k S -, 4k a 成等比数列,则2214k k k S a a -=⋅. …………………………10分即()()()4212181k k k -=-⋅-. …………………………11分 ∵ k 为正整数， ∴ 210k -≠. ∴ ()32181k k -=-.∴ 328126181k k k k -+-=-.化简得 32460k k k --=. …………………………12分 ∵ 0k ≠,∴ 24610k k --=.解得2664431384k ±+⨯±==, 与k 为正整数矛盾. ……………………13分 ∴ 不存在正整数k , 使k a , 21k S -, 4k a 成等比数列. …………………………14分20.（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆的方程、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）（1）解法1： ∵ 双曲线222:12x C y -=的顶点为1(2,0)F -,2(2,0)F , …………1分 ∴ 椭圆1C 两焦点分别为1(2,0)F -,2(2,0)F .设椭圆1C 方程为12222=+by a x ()0a b >>，∵ 椭圆1C 过点A (2,1)-，∴ 1224a AF AF =+=，得2a =. ………………………2分 ∴ ()22222b a =-=. ………………………3分∴ 椭圆1C 的方程为 22142x y +=. ………………………4分 解法2: ∵ 双曲线222:12x C y -=的顶点为1(2,0)F -,2(2,0)F , ……………………1分∴ 椭圆1C 两焦点分别为1(2,0)F -,2(2,0)F .设椭圆1C 方程为12222=+by a x ()0a b >>，∵ 椭圆1C 过点A (2,1)-， ∴22211a b +=. ① ………………………2分 . ∵ 222a b =+, ② ………………………3分 由①②解得24a =, 22b =.∴ 椭圆1C 的方程为 22142x y +=. ………………………4分 （2）解法1：设点),(y x Q ，点),(11y x P ，由A (2,1)-及椭圆1C 关于原点对称可得B (2,1)-， ∴(2,1)AQ x y =+-，11(2,1)AP x y =+-，(2,1)BQ x y =-+，11(2,1)BP x y =-+.由 0AQ AP ⋅=, 得 11(2)(2)(1)(1)0x x y y +++--=， ……………………5分 即 11(2)(2)(1)(1)x x y y ++=---. ①同理, 由0BQ BP ⋅=, 得 11(2)(2)(1)(1)x x y y --=-++. ② ……………6分①⨯②得 222211(2)(2)(1)(1)x x y y --=--. ③ ………………………7分由于点P 在椭圆1C 上, 则2211142x y +=，得221142x y =-, 代入③式得 2222112(1)(2)(1)(1)y x y y ---=--.当2110y -≠时，有2225x y +=，当2110y -=，则点(2,1)P --或(2,1)P ,此时点Q 对应的坐标分别为(2,1)或(2,1)-- ，其坐标也满足方程2225x y +=. ………………………8分当点P 与点A 重合时，即点P (2,1)-，由②得 23y x =-，解方程组2225,23,x y y x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 得点Q 的坐标为()2,1-或2,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 同理, 当点P 与点B 重合时，可得点Q 的坐标为()2,1-或2,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.∴点Q 的轨迹方程为 2225x y +=, 除去四个点()2,1-,2,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭, ()2,1-, 2,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. ………………………9分 解法2：设点),(y x Q ，点),(11y x P ，由A (2,1)-及椭圆1C 关于原点对称可得B (2,1)-， ∵0AQ AP ⋅=，0BQ BP ⋅=， ∴AQ AP ⊥，BQ BP ⊥. ∴1111122y y x x --⨯=-++()12x ≠-，① ……………………5分1111122y y x x ++⨯=---()12x ≠. ② ……………………6分①⨯② 得 12222111122y y x x --⨯=--. (*) ………………………7分∵ 点P 在椭圆1C 上, ∴ 2211142x y +=，得221122x y =-, 代入(*)式得2212211112122x y x x --⨯=--，即2211122y x --⨯=-, 化简得 2225x y +=. 若点(2,1)P --或(2,1)P , 此时点Q 对应的坐标分别为(2,1)或(2,1)-- ，其坐标也满足方程2225x y +=. ………………………8分当点P 与点A 重合时，即点P (2,1)-，由②得 23y x =-，解方程组2225,23,x y y x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 得点Q 的坐标为()2,1-或2,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.同理, 当点P 与点B 重合时，可得点Q 的坐标为()2,1-或2,22⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭. ∴点Q 的轨迹方程为 2225x y +=, 除去四个点()2,1-,2,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭, ()2,1-,2,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. ………………………9分 (3) 解法１：点Q (),x y 到直线:AB 20x y +=的距离为23x y+.△ABQ 的面积为2221(22)(11)23x y S +=++--⋅………………………10分 2x y =+22222x y xy =++. ………………………11分而22222(2)()422y y xy x x =⨯⨯≤+（当且仅当22y x =时等号成立） ∴22222222522224522y S x y xy x y x x y =++≤+++=+522=. ……12分 当且仅当22yx =时, 等号成立. 由222,225,y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得2,22,x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或2,22.x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩………………………13分 ∴△ABQ 的面积最大值为522, 此时,点Q 的坐标为2,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或2,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.…14分 解法２：由于()()22221123AB =++--=，故当点Q 到直线AB 的距离最大时，△ABQ 的面积最大．………………………1０分 设与直线AB 平行的直线为20x y m ++=，由2220,25,x y m x y ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得22542250y my c ++-=， 由()223220250m m ∆=--=，解得522m =±． ………………………1１分若522m =，则2y =-，22x =-；若522m =-，则2y =，22x =．…1２分 故当点Q 的坐标为2,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或2,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭时，△ABQ 的面积最大，其值为()2222221522212S AB +⨯=⨯=+． ………………………1４分 21．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数的导数、不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识） （1）解：∵()()2ln 12a f x x x x =++-，其定义域为()1,-+∞, ∴()()11111x ax a f x ax x x+-'=+-=++. …………………………1分 ① 当0a =时，()1xf x x'=-+，当x ∈()0,+∞时，()0f x '<， 则()f x 在区间()0,+∞上单调递减，此时，()()00f x f <=，不符合题意. …2分 ② 当01a <<时，令()0f x '=，得10x =，210ax a-=>， 当x ∈10a ,a -⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，则()f x 在区间10a ,a -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，此时，()()00f x f <=，不符合题意. …………………………3分③ 当1a =时，()21x f x x'=+，当x ∈()0,+∞时，()0f x '>，则()f x 在区间()0,+∞上单调递增，此时，()()00f x f >=，符合题意. ……4分 ④ 当1a >时，令()0f x '=，得10x =，210ax a-=<，当x ∈()0,+∞时，()0f x '>， 则()f x 在区间()0,+∞上单调递增，此时，()()00f x f >=，符合题意. ……5分 综上所述，a 的取值范围为[)1,+∞. …………………………6分 （2）证明：由（1）可知，当0a =时，()0f x <对()0,x ∈+∞都成立，即()ln 1x x +<对()0,x ∈+∞都成立. …………………………7分∴2222221212ln 1ln 1ln 1n nn n n n nn⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++<+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.………………8分 即ln 2222121211112n n n n n n n n ⎡⎤++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<= ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 由于n ∈N *，则111111222221n n n +=+≤+=⨯. …………………………9分 ∴ln 222121111n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. ∴ 22212111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e <. …………………………10分 由（1）可知，当1a =时，()0f x >对()0,x ∈+∞都成立， 即()21ln 12x x x -<+对()0,x ∈+∞都成立. …………………………11分 ∴2222224442221211212ln 1ln 1ln 12n n n n nn n nn n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+++<++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.…………………………12分即()()()2422212111126ln 11122n n n n n n n n n n n ++⎡⎤⎢⎥+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<+++⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 得323222643112ln 11112n n n n n n n n +--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦由于n ∈N *，则()()32232333363316431611212122n n n n n n n n n n n +-+-+--=≥=. …………………………13分∴12<ln 22212111n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. ∴e 22212111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. …………………………14分 ∴e 22212111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e <.试卷类型：A2015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）2015广州二模 数学（理科）2015.4参考公式：球的表面积公式24S R =π，其中R 是球的半径．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题“若2x =，则2320x x -+=”的逆否命题是A ．若2x ≠，则2320x x -+≠B ．若2320x x -+=，则2x =C ．若2320x x -+≠，则2x ≠D ．若2x ≠，则2320x x -+=2．已知0a b >>，则下列不等关系式中正确的是A ．sin sin a b >B ．22log log a b <C ．1122a b <D ．1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3．已知函数()4,0,1,0,x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩则()2f f =⎡⎤⎣⎦ A ．14 B ．12C ．2D ．44．函数()sin y A x ωϕ=+()0,0,0A ωϕ>><<π的图象的一部分如图1所示， 则此函数的解析式为A ．3sin y x ππ⎛⎫=+ ⎪44⎝⎭B ．3sin y x π3π⎛⎫=+ ⎪44⎝⎭C ．3sin y x ππ⎛⎫=+ ⎪24⎝⎭D ．3sin y x π3π⎛⎫=+ ⎪24⎝⎭5．已知函数()223f x x x =-++，若在区间[]4,4-上任取一个实数0x ，则使()00f x ≥成立的概率为y xO 1 5 3 -3图1A ．425B ．12C ．23D ．16．如图2，圆锥的底面直径2AB =，母线长3VA =，点C 在母线VB 上，且1VC =， 有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到达点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是A ．13B ．7C ．433 D ．3327．已知两定点()1,0A -，()1,0B ，若直线l 上存在点M ，使得3MA MB +=，则称直线l 为“M 型直线”．给出下列直线：①2x =；②3y x =+；③21y x =--；④1y =；⑤23y x =+．其中是“M 型直线”的条数为A ．1B ．2C ．3D ．48．设(),P x y 是函数()y f x =的图象上一点，向量()()51,2x =-a ，()1,2y x =-b ，且//a b .数列{}n a是公差不为0的等差数列，且()()()12936f a f a f a ++⋅⋅⋅+=，则129a a a ++⋅⋅⋅+= A .0 B .9 C .18 D .36二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．已知i 为虚数单位，复数1i1iz -=+，则z = ． 10．执行如图3所示的程序框图，则输出的z 的值是 ．11．已知()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，若3cos 5α=02απ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则12f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ．12．5名志愿者中安排4人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排2人，则不同的安排方案共有_________种（用数字作答）． 13．在边长为1的正方形ABCD 中，以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a ，2a ，3a ；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1c ，2c ，3c ．若m 为()()i j s t +∙+a a c c 的最小值，其中{}{},1,2,3i j ⊆，{}{},1,2,3s t ⊆，则m = ．x=1, y=2z=xy是z<20? x =yy =z输出z结束否开始图3AV CB图2（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图4，在平行四边形ABCD 中，4AB =，点E 为边DC 的中点， AE 与BC 的延长线交于点F ，且AE 平分BAD ∠，作DG AE ⊥，垂足为G ，若1DG =，则AF 的长为 ． 15．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知曲线1C 和2C 的方程分别为32,12x t y t=-⎧⎨=-⎩（t 为参数）和24,2x t y t=⎧⎨=⎩（t 为参数），则曲线1C 和2C 的交点有 个． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且::7:5:3a b c =． （1）求cos A 的值；（2）若△ABC 的面积为453，求△ABC 外接圆半径的大小． 17．（本小题满分12分）某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份）．现从回收的年龄在20～60岁的问卷中随机抽取了n 份，统计结果如下面的图表所示．组号年龄分组 答对全卷 的人数 答对全卷的人数 占本组的概率 1 [20,30) 28 b2 [30,40) 27 0.93 [40,50) 5 0.54 [50,60]a0.4（1）分别求出a ，b ，c ，n 的值； （2）从第3，4组答对全卷的人中用分层抽样的方法抽取6人，在所抽取的6人中随机抽取2人授予“环保之星”，记X 为第3组被授予“环保之星”的人数，求X 的分布列与数学期望．18．（本小题满分14分） 如图5，已知六棱柱111111ABCDEF A BC D E F -的侧棱 垂直于底面，侧棱长与底面边长都为3，M ，N 分别 是棱AB ，1AA 上的点，且1AM AN ==． （1）证明：M ，N ，1E ，D 四点共面；（2）求直线BC 与平面1MNE D 所成角的正弦值．BACDFG 图4年龄频率/组距20 30 40 50 60 0.010 c 0.0350.0250 C 1ABA 1B 1D 1 CDMNEFE 1F 119．（本小题满分14分）已知点(),n n nP a b ()n ∈*N 在直线l ：31y x =+上，1P 是直线l 与y 轴的交点，数列{}n a 是公差为1的等差数列．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求证：22212131111116n PP PP PP ++++<．20．（本小题满分14分）已知圆心在x 轴上的圆C 过点()0,0和()1,1-，圆D 的方程为()2244x y -+=．（1）求圆C 的方程；（2）由圆D 上的动点P 向圆C 作两条切线分别交y 轴于A ，B 两点，求AB 的取值范围．21．（本小题满分14分）已知函数()ln f x a x =-11x x -+，()e xg x =（其中e 为自然对数的底数）． （1）若函数()f x 在区间()0,1内是增函数，求实数a 的取值范围；（2）当0b >时，函数()g x 的图象C 上有两点(),e b P b ，(),e bQ b --，过点P ，Q 作图象C 的切线分别记为1l ，2l ，设1l 与2l 的交点为()00,M x y ，证明00x >．2015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题，满分40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 C D A A B B C C二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．题号 9 10 1112 131415答案1327210305-43116．（本小题满分12分） 解：（1）因为::7:5:3a b c =，所以可设7a k =，5b k =，3c k =()0k >，……2分 由余弦定理得，222cos 2b c a A bc +-=()()()222537253k k k k k+-=⨯⨯……3分 12=-．…4分 （2）由（1）知，1cos 2A =-， 因为A 是△ABC 的内角， 所以2sin 1cos A A =-32=．……6分 由（1）知5b k =，3c k =， 因为△ABC 的面积为453，所以1sin 4532bc A =，……8分 即135345322k k ⨯⨯⨯=， 解得23k =．………10分由正弦定理2sin a R A =，即71432sin 32k R A ==，…………11分解得14R =．所以△ABC 外接圆半径的大小为14．12分 17．（本小题满分12分）解：（1）根据频率直方分布图，得()0.0100.0250.035101c +++⨯=，解得0.03c =．1分第3组人数为105.05=÷，所以1001.010=÷=n ．…………2分 第1组人数为1000.3535⨯=，所以28350.8b =÷=．……3分 第4组人数为2525.0100=⨯，所以250.410a =⨯=．……4分 （2）因为第3，4组答对全卷的人的比为5:101:2=，所以第3，4组应依次抽取2人，4人.5分 依题意X 的取值为0，1，2．…………6分()022426C C 20C 5P X ===，…7分()112426C C 81C 15P X ===，8分()202426C C 12C 15P X ===，9分所以X 的分布列为：X 0 12P25 815115所以2812012515153EX =⨯+⨯+⨯=． …………12分 18．（本小题满分14分）第（1）问用几何法，第（2）问用向量法：（1）证明：连接1A B ，11B D ，BD ，11A E ， 在四边形1111A B D E 中，1111A E B D 且1111=A E B D ， 在四边形11BB D D 中，11BD B D 且11=BD B D ，所以11A E BD 且11=A E BD ，所以四边形11A BDE 是平行四边形．………………………………………10分 C 1ABA 1B 1D 1CDM NEFE 1F 1所以11A B E D ．……2分在△1ABA 中，1AM AN ==，13AB AA ==， 所以1AM ANAB AA =， 所以1MN BA ．…………4分 所以1MNDE ．所以M ，N ，1E ，D 四点共面．……6分（2）解：以点E 为坐标原点，EA ，ED ，1EE 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系，则()33,3,0B ，339,,022C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,3,0D ，()10,0,3E ，()33,1,0M ，8分则333,,022BC ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭，()10,3,3DE =-，()33,2,0DM =-．……10分设(),,x y z =n 是平面1MNE D 的法向量，则10,0.DE DM ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 即330,3320.y z x y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 取33y =，则2x =，33z =．所以()2,33,33=n 是平面1MNE D 的一个法向量．………12分 设直线BC 与平面1MNE D 所成的角为θ， 则sin BC BCθ=n nxzyC 1ABA 1B 1D 1CDMNEFE 1F 1()()2222223332333302217411633323333022⎛⎫⨯-+⨯+⨯ ⎪⎝⎭==⎛⎫⎛⎫++⨯-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故直线BC 与平面1MNE D 所成角的正弦值为174116．………14分 第（1）（2）问均用向量法：（1）证明：以点E 为坐标原点，EA ，ED ，1EE 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系， 则()33,3,0B ，339,,022C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,3,0D ， ()10,0,3E ，()33,1,0M ，()33,0,1N ，2分所以()10,3,3DE =-，()0,1,1MN =-． …3分 因为13DE MN =，且MN 与1DE 不重合， 所以1DE MN ．…5分所以M ，N ，1E ，D 四点共面．……6分 （2）解：由（1）知333,,022BC ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭，()10,3,3DE =-，()33,2,0DM =-． (10)分（特别说明：由于给分板（1）6分（2）8分，相当于把（1）中建系与写点坐标只给2分在此加2分）设(),,x y z =n 是平面1MNE D 的法向量，则10,0.DE DM ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 即330,3320.y z x y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 取33y =，则2x =，33z =．所以()2,33,33=n 是平面1MNE D 的一个法向量．………12分xzyC 1A BA 1B 1D 1CDMNEFE 1F 1设直线1BC 与平面1MNE D 所成的角为θ， 则sin BC BCθ=n n()()2222223332333302217411633323333022⎛⎫⨯-+⨯+⨯ ⎪⎝⎭==⎛⎫⎛⎫++⨯-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故直线BC 与平面1MNE D 所成角的正弦值为174116．………14分 第（1）（2）问均用几何法：（1）证明：连接1A B ，11B D ，BD ，11A E ， 在四边形1111A B D E 中，1111A E B D 且1111=A E B D ， 在四边形11BB D D 中，11BD B D 且11=BD B D ，所以11A E BD 且11=A E BD ，所以四边形11A BDE 是平行四边形． 所以11A BE D ．……2分在△1ABA 中，1AM AN ==，13AB AA ==， 所以1AM ANAB AA =， 所以1MN BA ．…………4分 所以1MNDE ．所以M ，N ，1E ，D 四点共面．……6分 （2）连接AD ，因为BCAD ，所以直线AD 与平面1MNE D 所成的角即为直线BC 与平面1MNE D 所成的角．……7分连接DN ，设点A 到平面DMN 的距离为h ，直线AD 与平面1MNE D 所成的角为θ，C 1ABA 1B 1 D 1CDMNEFE 1F 1则sin hADθ=．8分 因为A DMN D AMN V V --=，即1133DMN AMN S h S DB ∆∆⨯⨯=⨯⨯．…9分 在边长为3的正六边形ABCDEF 中，33DB =，6DA =， 在△ADM 中，6DA =，1AM =，60DAM ∠=， 由余弦定理可得，31DM =．在Rt △DAN 中，6DA =，1AN =，所以37DN =． 在Rt △AMN 中，1AM =，1AN =，所以2MN =． 在△DMN 中，31DM =，37DN =，2MN =， 由余弦定理可得，2cos 31DMN ∠=-，所以29sin 31DMN ∠=． 所以158sin 22DMN S MN DM DMN ∆=⨯⨯⨯∠=．…………11分 又12AMN S ∆=，12分 所以3358AMN DMN S DB h S ∆∆⨯==．………13分 所以174sin 116h AD θ==． 故直线BC 与平面1MNE D 所成角的正弦值为174116．………14分 19．（本小题满分14分）（1）解：因为()111,P a b 是直线l ：31y x =+与y 轴的交点()0,1， 所以10a =，11b =．……2分 因为数列{}n a 是公差为1的等差数列， 所以1n a n =-．4分因为点(),n n n P a b 在直线l ：31y x =+上，所以31n n b a =+32n =-．所以数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为1n a n =-，32n b n =-()*n ∈N ． (6)分（2）证明：因为()10,1P ，()1,32n P n n --，所以()1,31n P n n ++．所以()222211310n PP n n n +=+=．……7分 所以222121311111n PP PP PP ++++22211111012n ⎛⎫=+++⎪⎝⎭．…………8分 因为()()2221144112141212121214n n n n n n n ⎛⎫<===- ⎪--+-+⎝⎭-，…10分 所以，当2n ≥时，222121311111n PP PP PP ++++111111210352121n n ⎡⎤⎛⎫<+-++- ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎣⎦………11分 15110321n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭………12分 16<． 又当1n =时，212111106PP =<．……13分 所以22212131+111116n PP PP PP +++<．………14分 20．（本小题满分14分）解：（1）方法一：设圆C 的方程为：()222x a y r -+=()0r >，1分因为圆C 过点()0,0和()1,1-，所以()22222,11.a r a r ⎧=⎪⎨--+=⎪⎩3分 解得1a =-，1r =．所以圆C 的方程为()2211x y ++=．4分方法二：设()0,0O ，()1,1A -，依题意得，圆C 的圆心为线段OA 的垂直平分线l 与x 轴的交点C ．……1分 因为直线l 的方程为1122y x -=+，即1y x =+，2分 所以圆心C 的坐标为()1,0-．………3分所以圆C 的方程为()2211x y ++=．4分（2）方法一：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ，则()220044x y -+=， 即()2200440y x =--≥，解得026x ≤≤．…………5分由圆C 与圆D 的方程可知，过点P 向圆C 所作两条切线的斜率必存在， 设PA 的方程为：()010y y k x x -=-， 则点A 的坐标为()0100,y k x -， 同理可得点B 的坐标为()0200,y k x -， 所以120AB k k x =-，因为PA ，PB 是圆C 的切线，所以1k ，2k 满足00211k y kx k -+-=+，即1k ，2k 是方程()()2220000022110x x k y x k y +-++-=的两根，……7分即()0012200201220021,21.2y x k k x x y k k x x ⎧++=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以120AB k k x =-()()22000022000412122y y x x x x x x -+⎡⎤=-⎢⎥++⎣⎦……9分 因为()220044y x =--，所以()02056222x AB x -=+．………10分设()()0020562x f x x -=+，则()()00305222x f x x -+'=+．11分由026x ≤≤，可知()0f x 在222,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数，在22,65⎛⎤⎥⎝⎦上是减函数，………12分所以()0max 2225564fx f ⎛⎫==⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， ()()(){}min0131min 2,6min ,484f x f f ⎧⎫===⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭， 所以AB 的取值范围为522,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦．14分方法二：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ，则()220044x y -+=， 即()2200440y x =--≥，解得026x ≤≤．…………5分 设点()0,A a ，()0,B b ， 则直线PA ：00y ay a x x --=，即()0000y a x x y ax --+=， 因为直线PA 与圆C 相切，所以()0022001a y ax y a x -+=-+，化简得()2000220x a y a x +--=． ①同理得()2000220x b y b x +--=， ②由①②知a ，b 为方程()2000220x x y x x +--=的两根，…7分即00002,2.2y a b x x ab x ⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以()24AB a b a b ab =-=+-200002422y x x x ⎛⎫=+ ⎪++⎝⎭ ()()2000204422y x x x ++=+．…9分因为()220044y x =--，所以()02056222x AB x -=+…………10分()2001652222x x =-+++．…………11分 令012t x =+，因为026x ≤≤，所以1184t ≤≤．所以222165AB t t =-+252522163264t ⎛⎫=--+⎪⎝⎭，12分 当532t =时，max 524AB =， 当14t =时，min 2AB =． 所以AB 的取值范围为522,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦．14分21．（本小题满分14分）（1）解法一：因为函数()ln f x a x =-11x x -+在区间()0,1内是增函数， 所以()()2201a f x x x '=-≥+()01x <<．………1分 即()2120a x x +-≥()01x <<，即()221xa x ≥+2分212x x =++()01x <<， 因为21122x x <++在()0,1x ∈内恒成立，所以12a ≥．故实数a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．…4分 解法二：因为函数()ln f x a x =-11x x -+在区间()0,1内是增函数， 所以()()2201a f x x x '-+≥=()01x <<．………1分 即()2120a x x +-≥()01x <<，即()2210ax a x a +-+≥()01x <<，2分设()()221g x ax a x a =+-+，当0a =时，得20x -≥，此时不合题意．当0a <时，需满足()()00,10,g g ≥⎧⎪⎨≥⎪⎩即()0,210,a a a a ≥⎧⎪⎨+-+≥⎪⎩解得12a ≥，此时不合题意．当0a >时，需满足()222140a a --≤⎡⎤⎣⎦或()()00,10,10,g g a a ⎧⎪≥⎪≥⎨⎪-⎪-<⎩或()()00,10,11,g g a a ⎧⎪≥⎪≥⎨⎪-⎪->⎩解得12a ≥或1a >， 所以12a ≥．综上所述，实数a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．………4分 （2）证明：因为函数()e xg x =，所以()e xg x '=．过点(),e b P b ，(),e bQ b --作曲线C 的切线方程为：1l ：()e e b b y x b =-+，2l ：()e e b b y x b --=++，因为1l 与2l 的交点为()00,M x y ，由()()e e ,e e ,b bb by x b y x b --⎧=-+⎪⎨=++⎪⎩ 6分消去y ，解得()()()0e +e e e eeb b b b bbb x -----=-． ①…7分下面给出判定00x >的两种方法： 方法一：设e bt =，………8分 因为0b >，所以1t >，且ln b t =． 所以()()2202+1ln 11t t t x t --=-．………9分设()()()22+1ln 1h t t t t =--()1t >，则()12ln h t t t t t '=-+()1t >．……10分 令()12ln u t t t t t =-+()1t >，则()212ln 1u t t t'=+-．当1t >时，ln 0t >，2110t ->，所以()212ln 10u t t t'=+->，……11分所以函数()u t 在()1,+∞上是增函数， 所以()()10u t u >=，即()0h t '>，12分 所以函数()h t 在()1,+∞上是增函数， 所以()()10h t h >=．…13分因为当1t >时，210t ->，所以()()2202+1ln 101t t t x t --=>-．14分。
2015届广东省广州市高三1月模拟考试数学【理】试题及答案
试卷类型：A2015年广州市高考模拟考试数 学（理科） 2015.1本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，按要求交回试卷和答题卡．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知i 为虚数单位，复数z =()12i i +对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2. 已知集合{}|11M x x =-<<，{|N x y ==，则MN =A. {}|01x x <<B. {}|01x x ≤<C. {}|0x x ≥D. {}|10x x -<≤ 3．设向量(,1)x =a ，(4,)x =b , 若,a b 方向相反, 则实数x 的值是A ．0B ．2±C ．2D ．2- 4．一算法的程序框图如图1，若输出的12y =， 则输入的x 的值可能为A ．1-B ．0C ．1D ．55. 将函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是A ．22cos y x = B ．22sin y x =C ．1sin 23y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ D ．cos 2y x =6. 用a ,b ,c 表示空间中三条不同的直线, γ表示平面, 给出下列命题:① 若a b ⊥, b c ⊥, 则a ∥c ; ② 若a ∥b , a ∥c , 则b ∥c ; ③ 若a ∥γ, b ∥γ, 则a ∥b ; ④ 若a ⊥γ, b ⊥γ, 则a ∥b . 其中真命题的序号是A ．① ②B ．② ③C ．① ④D ．②④ 图1 7. 已知双曲线22:13x C y -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的直线与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，且点P 的横坐标为2，则△1PFQ 的周长为AB ．CD ．8.已知映射():(,)0,0f P m n P m n '→≥≥.设点()3,1A ，()2,2B ，点M 是线段AB 上一动点，:f M M '→.当点M 在线段AB 上从点A 开始运动到点B 结束时，点M 的对应点M '所经过的路线长度为 A ．12π B ．6π C ． 4π D ． 3π二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9. 不等式212x x ->+的解集是 .10. 已知数列{}n a 是等差数列，且34512a a a ++=，则1237a a a a ++++的值为 .11. 在平面直角坐标系xOy 中，设不等式组11,02x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩所表示的平面区域是W ，从区域W 中随机取点(),M x y ，则2OM ≤的概率是 .12. 由0，1，2，…，9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，十位数字与千位数字之差的绝 对值等于7的四位数的个数是 . 13. 已知函数()sin 3f x x x π=+-, 则12340292015201520152015f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图2，圆O 的直径9AB =，直线CE 与圆O 相切于点C ，图3日销售量/个a a a a a AD CE ⊥于点D ，若1AD =，设ABC θ∠=，则sin θ=______．15．（坐标系与参数方程选讲选做题） 图2 在极坐标系中，设曲线1:2sin C ρθ=与2:2cos C ρθ=的交点分别为A ，B ， 则线段AB 的垂直平分线的极坐标方程为 .三、解答题： 本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()sin cos f x x a x =+(x ∈R )，4π是函数()f x 的一个零点. （1）求a 的值，并求函数()f x 的单调递增区间； （2）若α,0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且45f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭345f πβ⎛⎫+=⎪⎝⎭，求()sin αβ+的值. 17.（本小题满分12分）广州某商场根据以往某种商品的销售记录，绘制了日销售量的频率分布表（如表1）和频 率分布直方图（如图3）．表1将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立． （1）求1a ，3a 的值.（2）求在未来连续3天里，有连续．．2天的日销售量都高于100个且另1天的日销售量不高于50 个的概率；（3）用X 表示在未来3天里日销售量高于100个的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望．图4EFDCBAP18.（本小题满分14分）如图4，四边形ABCD 是正方形，△PAB 与△PAD 均是以A 为直角顶点的等腰直角三角形， 点F 是PB 的中点，点E 是边BC 上的任意一点. （1）求证：AF EF ⊥；（2）求二面角A PC B --的平面角的正弦值.19.（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：()11n n aS a a =--，a 为常数，且0a ≠，1a ≠． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若13a =，设1111n n n n n a a b a a ++=-+-，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：13n T <．20．（本小题满分14分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>()0,1．圆22221:C x y a b +=+.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l ():0y kx m k =+≠与椭圆C 有且只有一个公共点M ，且l 与圆1C 相交于,A B 两点，问AM BM +=0是否成立？请说明理由．21.（本小题满分14分） 已知函数()2ln af x x x x=--，a ∈R .（1）讨论函数()f x 的单调性;（2）若函数()f x 有两个极值点1x ,2x , 且12x x <, 求a 的取值范围; （3）在（2）的条件下, 证明:()221f x x <-.2015年广州市高考模拟考试 数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一．选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二．填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．9.()1,3,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭10. 28 11 12．280 13．8058-14．1315．sin()42πρθ+= 三．解答题： 本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） （1）解：∵4π是函数()f x 的一个零点， ∴ sin cos 0444f a πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭. …………………………………………1分 ∴ 1a =-. ………………………………………………2分 ∴ ()sin cos f x x x =-x x ⎫=-⎪⎪⎭………………………………………………3分4x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. ………………………………………………4分由22242k x k πππππ-≤-≤+，k ∈Z ，得32244k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ， ………………………………………………5分 ∴ 函数()f x 的单调递增区间是32,244k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ). …………………6分（2）解：∵4f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭α=∴ sin α=. ………………………………………………7分 ∵ 0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∵34f πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭2πβ⎛⎫+=⎪⎝⎭ ∴ cos 10β=. ………………………………………………9分 ∵ 0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴ sin β==分 ∴()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+…………………………………………11分510510=+ 2=. ………………………………………………12分17. （本小题满分12分）（1）解：1010000250.a .==，3020000450.a .==. …………………………2分 (2) 解：设1A 表示事件“日销售量高于100个”，2A 表示事件“日销售量不高于50个”， B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量高于100个且另1天销售量不高于50个”．()103002001006P A ....=++=， ()2015P A .=，()060601520108P B ....=⨯⨯⨯=. ………………………………………………………5分(3)解：依题意，X 的可能取值为0，1，2，3，且()306XB ,.. ……………………6分()0P X ==()33C 10.60.064⋅-=， ()1P X ==()213C 0.610.60.288⨯⨯-=，()2P X ==()223C 0.610.60.432⨯⨯-=，()3P X ==333C 0.60.216⨯=， …………10分∴X 的分布列为……………………………………11分 ∴EX 30.6 1.8=⨯=. ……………………………………12分HEFDCBAP18. （本小题满分14分）（1）证明：∵F 是PB 的中点，且PA AB =，∴ AF PB ⊥. ……………………………………………1分 ∵ △PAB 与△PAD 均是以A 为直角顶点的等腰直角三角形， ∴ PA AD ⊥，PA AB ⊥. ∵ ADAB A =，AD ⊂平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴ PA ⊥平面ABCD . ∵ BC ⊂平面ABCD ，∴ PA BC ⊥. ……………………………………2分 ∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ BC AB ⊥. ……………………………………3分 ∵ PAAB A =，PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，∴ BC ⊥平面PAB . ∵ AF ⊂平面PAB ，∴ BC AF ⊥. ………………………………………………………4分 ∵ PBBC B =，PB ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，∴ AF ⊥平面PBC . ………………………………………………………5分 ∵ EF ⊂平面PBC ，∴ AF EF ⊥. ………………………………………………………6分 （2）解法1：作FH PC ⊥于H ，连接AH ，∵ AF ⊥平面PBC ，PC ⊂平面PBC∴ AF PC ⊥. ………………………………………………………7分 ∵ AFFH F =，AF ⊂平面AFH ，FH ⊂平面AFH ，∴ PC ⊥平面AFH . ………………………………………………………8分 ∵ AH ⊂平面AFH ，∴ PC AH ⊥. ……………………………………………………9分 ∴∠AHF 为二面角A PC B --的平面角. …………………………………………………10分 设正方形ABCD 的边长为2，则2PA AB ==，AC =在Rt△PAB中，12AF PB === …………………11分 在Rt△PAC中，PC ==PA AC AH PC ⋅==，………………12分 在Rt△AFH中，sin 2AF AHF AH ∠==. ………………………………………………13分 ∴ 二面角A PC B --的平面角的正弦值为2. ……………………………………14分 解法2：以A 为坐标原点，分别以,,AD AB AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴 ， 建立空间直角坐标系A xyz -，设1PA =，则()0,0,1P ，()0,1,0B ，()1,1,0C ,()1,0,0D .∴()0,1,1PB =-，()1,0,0BC =.设平面PBC 的法向量为,m x y z =（，），由0,0,m PB m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得0,0.y z x -=⎧⎨=⎩ 令1y = ，得1z =，∴ ()0,1,1m =为平面PBC 的一个法向量. …………………………………………9分 ∵ PA ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面PAC ，∴ 平面PAC ⊥平面ABCD . 连接BD ，则BD AC ⊥.∵ 平面PAC 平面ABCD AC =，BD ⊂平面ABCD ，∴ BD ⊥平面PAC . ………………………………………………10分 ∴ 平面PAC 的一个法向量为()1,1,0BD =-. ………………………………………………11分 设二面角A PC B --的平面角为θ， 则1cos cos ,2m BD m BD m BDθ⋅===. ……………………………………………12分∴sin2θ==. ………………………………………………13分∴ 二面角A PC B--的平面角的正弦值为2. ……………………………………14分19.（本小题满分14分）（1）解：∵111(1)1aa S aa==--，∴1a a=. ………………………………………1分当2n≥时，1111n n n n na aa S S a aa a--=-=---，………………………………………3分得1nnaaa-=，………………………………………………4分∴ 数列{}n a是首项为a，公比也为a的等比数列．………………………………………5分∴1n nna a a a-=⋅=. ……………………………………………6分（2）证明：当13a=时，13n na=，………………………………………………7分∴1111n nnn na aba a++=-+-111133111133n nn n++=-+-1113131n n+=-+-. …………………………8分由11313n n<+，1111313n n++>-，………………………………………………10分∴nb=111111313133n n n n++-<-+-. …………………………………………… 11分∴122231111111333333n n n nT b b b+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++<-+-++-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11133n+=-.…………13分∵113n+-<，∴1111333n+-<，即13nT<. …………………………………………………14分20．（本小题满分14分）（1）解：∵ 椭圆2222:1x yCa b+=过点()0,1，∴ 21b=. …………………………………………1分∵2222c a b c a ==+， …………………………………………2分 ∴24a =． …………………………………………3分∴椭圆C 的方程为2214x y +=. …………………………………………4分 （2）解法1：由（1）知，圆1C 的方程为225x y +=，其圆心为原点O . ………………………5分∵直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点M ， ∴方程组22,14y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ （*） 有且只有一组解． 由（*）得()222148440k x kmx m +++-=． ……………………………………6分 从而()()()2228414440km k m ∆=-+-=,化简得2214m k =+．① …………………7分()228414214M km km x k k =-=-++，22241414M M k m m y kx m m k k =+=-+=++. ……………9分 ∴ 点M 的坐标为224,1414km m k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. ……………………………………10分 由于0k ≠，结合①式知0m ≠，∴OM k k ⨯=2211414414mk k km k +⨯=-≠--+. ……………………………………11分 ∴ OM 与AB 不垂直. ……………………………………12分 ∴ 点M 不是线段AB 的中点. ……………………………………13分 ∴AM BM +=0不成立. ……………………………………14分 解法2：由（1）知，圆1C 的方程为225x y +=，其圆心为原点O . ………………………5分∵直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点M ，∴方程组22,14y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ （*） 有且只有一组解． 由（*）得()222148440k x kmx m +++-=． ……………………………………6分 从而()()()2228414440km k m ∆=-+-=,化简得2214m k =+．① …………………7分 ()228414214M km km x k k =-=-++， …………………………………………………8分 由于0k ≠，结合①式知0m ≠，设()()1122,,,A x y B x y ,线段AB 的中点为(),N N N x y ,由22,5,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y ,得()2221250k x kmx m +++-=.………………………………9分 ∴ 12221N x x km x k +==-+. ……………………………………10分 若N M x x =,得224114km km k k -=-++ ,化简得30=,矛盾. ………………………………11分 ∴ 点N 与点M 不重合. ……………………………………12分∴ 点M 不是线段AB 的中点. ……………………………………13分∴ AM BM +=0不成立. ……………………………………14分21. （本小题满分14分）(1)解: 函数()2ln a f x x x x=--的定义域为()0,+∞, ()222221a x x a f x x x x -+'=+-=, ………………………………………………1分 令()0f x '=, 得220x x a -+=, 其判别式44a ∆=-, ① 当0∆≤,即1a ≥时, 220x x a -+≥,()0f x '≥, 此时,()f x 在()0,+∞上单调递增;………………………2分② 当0∆>, 即1a <时, 方程220x x a -+=的两根为11x =211x =>,………………………3分若0a ≤, 则10x ≤, 则()20,x x ∈时, ()0f x '<, ()2,x x ∈+∞时, ()0f x '>, 此时, ()f x 在()20,x 上单调递减, 在()2,x +∞上单调递增; ………………………4分 若0a >,则10x >, 则()10,x x ∈时, ()0f x '>,()12,x x x ∈时, ()0f x '<,()2,x x ∈+∞时, ()0f x '>,此时, ()f x 在()10,x 上单调递增, 在()12,x x 上单调递减, 在()2,x +∞上单调递增. ……5分 综上所述, 当0a ≤时, 函数()f x 在()20,x 上单调递减, 在()2,x +∞上单调递增;当01a <<时, 函数()f x 在()10,x 上单调递增, 在()12,x x 上单调递减, 在()2,x +∞上单调递增;当1a ≥时, 函数()f x 在()0,+∞上单调递增. ………………………6分(2) 解:由(1)可知, 函数()f x 有两个极值点1x ,2x ,等价于方程220x x a -+=在()0,+∞有 两不等实根, 故01a <<. ………………………7分(3) 证明: 由(1), (2)得01a <<, 21x =且212x <<, 2222a x x =-+. ………8分()22222222222212ln 12ln 1x x f x x x x x x x x -+-+=---+=--, …………………9分 令()2ln 1g t t t =--, 12t <<,则()221t g t t t-'=-=, ………………………………………………10分 由于12t <<, 则()0g t '<, 故()g t 在()1,2上单调递减. ………………………11分 故()()112ln110g t g <=--=. ………………………………………………12分 ∴()()22210f x x g x -+=<. ………………………………………………13分 ∴()221f x x <-. ………………………………………………14分。
2015年广东高考理科数学试题及答案(完整版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、若集合()(){}410M x x x =++=，()(){}410N x x x =--=，则M N =（ ）A ．{}1,4B ．{}1,4--C ．{}0D ．∅2、若复数()32z i i =-（i 是虚数单位），则z =（ ）A ．23i -B ．23i +C ．32i +D ．32i -3、下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A．y = B ．1y x x =+ C ．122x x y =+ D ．x y x e =+ 4、袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ ）A ．521B ．1021C ．1121D ．1 5、平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是（ ）A ．250x y ++=或250x y +-= B．20x y ++=或20x y +=C ．250x y -+=或250x y --= D．20x y -+=或20x y -=6、若变量x ，y 满足约束条件4581302x y x y +≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则32z x y =+的最小值为（ ）A ．4B ．235C ．6D ．3157、已知双曲线C:22221x y a b -=的离心率54e =，且其右焦点为()2F 5,0，则双曲线C 的方程为（ ） A ．22143x y -= B ．221916x y -= C ．221169x y -= D ．22134x y -= 8、若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（ ）A ．至多等于3B ．至多等于4C ．等于5D ．大于5二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11~13题）9、在)41的展开式中，x 的系数为 ． 10、在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a += ．11、设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若3a =，1sin 2B =，C 6π=，则b = ．12、某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答）13、已知随机变量X 服从二项分布(),n p B ，若()30E X =，()D 20X =，则p = ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）14、（坐标系与参数方程选做题）已知直线l 的极坐标方程为2sin 24πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，点A 的极坐标为722,4π⎛⎫A ⎪⎝⎭，则点A 到直线l 的距离为 ． 15、（几何证明选讲选做题）如图1，已知AB 是圆O 的直径，4AB =，C E 是圆O 的切线，切点为C ，C 1B =．过圆心O 作C B 的平行线，分别交C E 和C A 于点D 和点P ，则D O = ．三、解答题16.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量(1) 若m n ⊥，求tan x 的值；(2) 若m 与n 的夹角为3π，求x 的值. 17. （本小题满分12分）某工厂36名工人年龄数据如下表（1） 用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2） 计算（1）中样本的均值x 和方差2s ；（3） 36名工人中年龄在x s -和x s +之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01％）？18.（本小题满分14分）如图2，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，4,6,3PD PC AB BC ====，点E 是CD 的中点，点、F G 分别在线段、AB BC 上，且2,2AF FB CG GB ==.(1) 证明：PE FG ⊥； (2) 求二面角P AD C --的正切值；(3) 求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.19. （本小题满分14分）设1a >，函数2()(1)x f x x e a =+-(1) 求()f x 的单调区间； (2) 证明()f x 在(,)-∞+∞上仅有一个零点；(3) 若曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，且在点M （m,n ）处的切线与直线OP 平行，（O 是坐标原点），证明：1m ≤-.20. （本小题满分14分）已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A 、B.(1) 求圆1C 的圆心坐标；(2) 求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3) 是否存在实数k,使得直线:(4)l y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.21. （本小题满分14分） 数列{a }n 满足：*12122......3,2n n n a a na n N -+++=-∈. (1) 求3a 的值；(2) 求数列{a }n 的前 n 项和n T ；(3) 令111111,(1......)(2),23n n n T b a b a n n n-==+++++≥证明：数列{}n b 的前n 项和S n 满足22ln n S n <+2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考答案。
2015年广州市高考模拟考试数学理科
试卷类型：A2015年广州市高考模拟考试数 学（理科） 2015.1本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，按要求交回试卷和答题卡．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知i 为虚数单位，复数z =()12i i +对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2. 已知集合{}|11M x x =-<<，{|N x y ==，则MN =A. {}|01x x <<B. {}|01x x ≤<C. {}|0x x ≥D. {}|10x x -<≤ 3．设向量(,1)x =a ，(4,)x =b , 若,a b 方向相反, 则实数x 的值是A ．0B ．2±C ．2D ．2- 4．一算法的程序框图如图1，若输出的12y =， 则输入的x 的值可能为A ．1-B ．0C ．1D ．55. 将函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是A ．22cos y x =B ．22sin y x =C ．1sin 23y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ D ．cos 2y x =6. 用a ,b ,c 表示空间中三条不同的直线, γ表示平面, 给出下列命题:① 若a b ⊥, b c ⊥, 则a ∥c ; ② 若a ∥b , a ∥c , 则b ∥c ; ③ 若a ∥γ, b ∥γ, 则a ∥b ; ④ 若a ⊥γ, b ⊥γ, 则a ∥b .其中真命题的序号是A ．① ②B ．② ③C ．① ④D ．②④ 图1 7. 已知双曲线22:13x C y -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的直线与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，且点P 的横坐标为2，则△1PFQ 的周长为AB ．CD ．8.已知映射():(,)0,0f P m n P m n '→≥≥.设点()3,1A ，()2,2B ，点M 是线段AB 上一动点，:f M M '→.当点M 在线段AB 上从点A 开始运动到点B 结束时，点M 的对应点M '所经过的路线长度为 A ．12π B ．6π C ． 4π D ． 3π二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9. 不等式212x x ->+的解集是 . 10. 已知数列{}n a 是等差数列，且，则1237a a a a ++++的值为 .11. 在平面直角坐标系xOy 中，设不等式组11,02x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩所表示的平面区域是W ，从区域W中随机取点(),M x y ，则2OM ≤的概率是 .12. 由0，1，2，…，9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，十位数字与千位数字之差的绝对值等于7的四位数的个数是 . 13.已知函数()sin 3f x x x π=+-, 则12340292015201520152015f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为 .图3日销售量/个a a a a a 如图2，圆O 的直径9AB =，直线CE 与圆O 相切于点C ，AD CE ⊥于点D ，若1AD =，设ABC θ∠=，则sin θ=______．15．（坐标系与参数方程选讲选做题） 图2 在极坐标系中，设曲线1:2sin C ρθ=与2:2cos C ρθ=的交点分别为A ，B ， 则线段AB 的垂直平分线的极坐标方程为 .三、解答题： 本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()sin cos f x x a x =+(x ∈R )，4π是函数()f x 的一个零点.（1）求a 的值，并求函数()f x 的单调递增区间； （2）若α,0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且4f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，34f πβ⎛⎫+=⎪⎝⎭()sin αβ+的值.17.（本小题满分12分）广州某商场根据以往某种商品的销售记录，绘制了日销售量的频率分布表（如表1）和频率分布直方图（如图3）．表1将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立． （1）求1a ，3a 的值.（2）求在未来连续3天里，有连续．．2天的日销售量都高于100个且另1天的日销售量不高于50个的概率；（3）用X 表示在未来3天里日销售量高于100个的天数，求随机变量X 的分布列和数学图4EFDCBAP期望．18.（本小题满分14分）如图4，四边形ABCD 是正方形，△PAB 与△PAD 均是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，点F 是PB 的中点，点E 是边BC 上的任意一点. （1）求证：AF EF ⊥；（2）求二面角A PC B --的平面角的正弦值.19.（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：()11n n aS a a =--，a 为常数，且0a ≠，1a ≠． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若13a =，设1111n n n n n a a b a a ++=-+-，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：13n T <．20．（本小题满分14分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为，且经过点()0,1．圆22221:C x y a b +=+.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l ():0y kx m k =+≠与椭圆C 有且只有一个公共点M ，且l 与圆1C 相交于,A B 两点，问AM BM +=0是否成立？请说明理由．21.（本小题满分14分） 已知函数()2ln af x x x x=--，a ∈R . （1）讨论函数()f x 的单调性;（2）若函数()f x 有两个极值点1x ,2x , 且12x x <, 求a 的取值范围; （3）在（2）的条件下, 证明:()221f x x <-.2015年广州市高考模拟考试 数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一．选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二．填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．9.()1,3,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭10. 28 11．12．28013．8058-14．1315．sin()4πρθ+=三．解答题： 本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） （1）解：∵4π是函数()f x 的一个零点，∴sin cos 0444f a πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭. …………………………………………1分∴1a =-. ………………………………………………2分∴ ()sin cos f x x x =-x x ⎫=⎪⎪⎭………………………………………………3分4x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. ………………………………………………4分由22242k x k πππππ-≤-≤+，k ∈Z ，得32244k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ， ………………………………………………5分 ∴ 函数()f x 的单调递增区间是32,244k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ). …………………6分（2）解：∵4f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭α=. ∴sin α=. ………………………………………………7分 ∵ 0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴cos α==. ………………………………………………8分∵34f πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭2πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ∴cos β=. ………………………………………………9分 ∵ 0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴sin β==. ……………………………………………10分 ∴()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+ …………………………………………11分==. ………………………………………………12分17. （本小题满分12分）HF BAP（1）解：1010000250.a .==，3020000450.a .==. …………………………2分 (2) 解：设1A 表示事件“日销售量高于100个”，2A 表示事件“日销售量不高于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量高于100个且另1天销售量不高于50个”．()103002001006P A ....=++=， ()2015P A .=，()060601520108P B ....=⨯⨯⨯=. ………………………………………………………5分(3)解：依题意，X 的可能取值为0，1，2，3，且()306X B ,.. (6)分()0P X ==()33C 10.60.064⋅-=， ()1P X ==()213C 0.610.60.288⨯⨯-=，()2P X ==()223C 0.610.60.432⨯⨯-=，()3P X ==333C 0.60.216⨯=， …………10分∴X 的分布列为……………………………………11分∴EX 30.6 1.8=⨯=. ……………………………………12分 18. （本小题满分14分）（1）证明：∵F 是PB 的中点，且PA AB =， ∴AF PB ⊥. ……………………………………………1分∵ △PAB 与△PAD 均是以A 为直角顶点的等腰直角三角形， ∴ PA AD ⊥，PA AB ⊥. ∵ ADAB A =，AD ⊂平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴ PA ⊥平面ABCD . ∵ BC ⊂平面ABCD ，∴ PA BC ⊥. ……………………………………2分 ∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ BC AB ⊥. ……………………………………3分 ∵ PAAB A =，PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，∴ BC ⊥平面PAB . ∵ AF ⊂平面PAB ， ∴BC AF ⊥. ………………………………………………………4分∵ PB BC B =，PB ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，∴AF ⊥平面PBC . ………………………………………………………5分∵ EF ⊂平面PBC ， ∴AF EF ⊥. ………………………………………………………6分（2）解法1：作FH PC ⊥于H ，连接AH ，∵ AF ⊥平面PBC ，PC ⊂平面PBC ∴AF PC ⊥. ………………………………………………………7分∵ AF FH F =，AF ⊂平面AFH ，FH ⊂平面AFH ，∴PC⊥平面AFH . ………………………………………………………8分∵ AH ⊂平面AFH ， ∴PC AH ⊥. ……………………………………………………9分∴∠AHF 为二面角A PC B--的平面角. …………………………………………………10分设正方形ABCD 的边长为2，则2PA AB ==，AC =， 在Rt△PAB 中，12AF PB ===， …………………11分在Rt△PAC中，PC ==，PA AC AH PC ⋅==，………………12分 在Rt△AFH 中，sin AF AHF AH ∠==. ………………………………………………13分 ∴二面角A PC B--的平面角的正弦值为. ……………………………………14分 解法2：以A 为坐标原点，分别以,,AD AB AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴 ， 建立空间直角坐标系A xyz -，设1PA =，则()0,0,1P ，()0,1,0B ，()1,1,0C ,()1,0,0D .∴()0,1,1PB =-，()1,0,0BC =.设平面PBC 的法向量为,m x y z =（，）， 由0,0,m PB m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得0,0.y z x -=⎧⎨=⎩ 令1y = ，得1z =，∴()0,1,1m =为平面PBC的一个法向量. …………………………………………9分∵ PA ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面PAC ， ∴ 平面PAC ⊥平面ABCD . 连接BD ，则BD AC ⊥.∵ 平面PAC 平面ABCD AC =，BD ⊂平面ABCD ，∴ BD ⊥平面PAC . ………………………………………………10分∴ 平面PAC 的一个法向量为()1,1,0BD =-. ………………………………………………11分设二面角A PC B --的平面角为θ，则1cos cos ,2m BD m BD m BDθ⋅===. ……………………………………………12分 ∴sinθ==. (13)分∴ 二面角A PC B--的平面角的正弦值为. ……………………………………14分19.（本小题满分14分）（1）解：∵111(1)1aa S aa==--，∴ 1a a=. ………………………………………1分当2n≥时，1111n n n n na aa S S a aa a--=-=---，………………………………………3分得1nnaaa-=，………………………………………………4分∴ 数列{}n a是首项为a，公比也为a的等比数列．………………………………………5分∴1n nna a a a-=⋅=. (6)分（2）证明：当13a=时，13n na=， (7)分∴1111n nnn na aba a++=-+-111133111133n nn n++=-+-1113131n n+=-+-. …………………………8分由11313n n<+，1111313n n++>-，………………………………………………10分∴nb= 111111313133n n n n++-<-+-. …………………………………………… 11分∴122231111111333333n n n n T b b b +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++<-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11133n +=-.…………13分∵ 1103n +-<， ∴1111333n +-<，即13n T <. …………………………………………………14分 20．（本小题满分14分）（1）解：∵ 椭圆2222:1x y C a b+=过点()0,1，∴21b =. …………………………………………1分∵222c a b c a ==+， …………………………………………2分 ∴24a =． …………………………………………3分∴椭圆C的方程为2214x y +=. …………………………………………4分 （2）解法1：由（1）知，圆1C 的方程为225x y +=，其圆心为原点O . ………………………5分∵直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点M ，∴方程组22,14y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ （*） 有且只有一组解． 由（*）得()222148440k xk m x m +++-=． ……………………………………6分2214m k =+．① …………………7分()228414214M km kmx k k =-=-++，22241414M M k m my kx m m k k =+=-+=++. ……………9分 ∴点M 的坐标为224,1414kmm k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. ……………………………………10分 由于0k ≠，结合①式知0m ≠， ∴OM k k ⨯=2211414414mk k km k +⨯=-≠--+. ……………………………………11分 ∴OM与AB 不垂直. ……………………………………12分 ∴点M 不是线段AB 的中点. ……………………………………13分 ∴AM BM +=0不成立. ……………………………………14分解法2：由（1）知，圆1C 的方程为225x y +=，其圆心为原点O . ………………………5分∵直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点M ，∴方程组22,14y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ （*） 有且只有一组解． 由（*）得()222148440k xk m x m +++-=． ……………………………………6分2214m k =+．① …………………7分()228414214M km kmx k k =-=-++， …………………………………………………8分由于0k ≠，结合①式知0m ≠，设()()1122,,,A x y B x y ,线段AB 的中点为(),N N N x y , 由22,5,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y ,得()2221250k xkmx m +++-=.………………………………9分∴12221N x x kmx k +==-+. ……………………………………10分 若N M x x =,得224114km kmk k -=-++ ,化简得30=,矛盾. ………………………………11分∴点N与点M 不重合. ……………………………………12分∴点M 不是线段AB 的中点. ……………………………………13分 ∴AM BM +=0不成立. ……………………………………14分 21. （本小题满分14分） (1)解: 函数()2ln af x x x x=--的定义域为()0,+∞,()222221a x x af x x x x-+'=+-=, ………………………………………………1分 令()0f x '=, 得220x x a -+=, 其判别式44a ∆=-,① 当0∆≤,即1a ≥时, 220x x a -+≥,()0f x '≥, 此时,()f x 在()0,+∞上单调递增;………………………2分 ② 当0∆>, 即1a <时, 方程220x x a -+=的两根为11x =,211x =+>,………………………3分若0a ≤, 则10x ≤, 则()20,x x ∈时, ()0f x '<, ()2,x x ∈+∞时, ()0f x '>, 此时,()f x 在()20,x 上单调递减, 在()2,x +∞上单调递增; ………………………4分若0a >,则10x >, 则()10,x x ∈时, ()0f x '>,()12,x x x ∈时, ()0f x '<,()2,x x ∈+∞时, ()0f x '>,此时, ()f x 在()10,x 上单调递增, 在()12,x x 上单调递减, 在()2,x +∞上单调递增. ……5分综上所述, 当0a ≤时, 函数()f x 在()20,x 上单调递减, 在()2,x +∞上单调递增; 当01a <<时, 函数()f x 在()10,x 上单调递增, 在()12,x x 上单调递减, 在()2,x +∞上单调递增;当1a ≥时, 函数()f x 在()0,+∞上单调递增. ………………………6分(2) 解:由(1)可知, 函数()f x 有两个极值点1x ,2x ,等价于方程220x x a -+=在()0,+∞有两不等实根,故01a <<. ………………………7分(3) 证明: 由(1), (2)得01a <<, 21x =+, 且212x <<,2222a x x =-+. ………8分()22222222222212ln 12ln 1x x f x x x x x x x x -+-+=---+=--, …………………9分令()2ln 1g t t t =--, 12t <<, 则()221t g t t t-'=-=, ………………………………………………10分 由于12t <<, 则()0g t '<, 故()g t 在()1,2上单调递减. ………………………11分故()()112ln110g t g <=--=. ………………………………………………12分∴()()22210f x x g x -+=<. (13)分∴()221f x x <-. (14)分。
2015年广东省高考数学试题及答案(理科)【解析版】
2015年省高考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）（2015•）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M∩N=4．（5分）（2015•）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）22点评：本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．7．（5分）（2015•）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用已知条件，列出方程，求出双曲线的几何量，即可得到双曲线方程．解答：解：双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F（5，0），2可得：，c=5，∴a=4，b==3，所求双曲线方程为：﹣=1．故选：C．点评：本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．）A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5考点：棱锥的结构特征．专题：创新题型；空间位置关系与距离．分析：先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球和三角形三边的关系，即可判断．解答：解：考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；4个点两两距离相等，由三角形的两边之和大于第三边，则不成立；n大于4，也不成立；在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；若n＞4，由于任三点不共线，当n=5时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，且球的半径等于边长，即有球心与正四面体的底面吗的中心重合，故不成立；同理n＞5，不成立．故选：B．二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）411．（5分）（2015•）设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则12．（5分）（2015•）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了1560 条毕业留言．（用数字作答）13．（5分）（2015•）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，14．（5分）（2015•）已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，点A的极坐标为A（2，），15．（2015•）如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD= 8 ．三、解答题16．（12分）（2015•）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）36名工人中年龄在﹣s和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？（14分）（2015•）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，18．AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．（1）证明：PE⊥FG；（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．19．（14分）（2015•）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）e x﹣a．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP20．（14分）（2015•）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数 k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线 C只有一个交点？若存在，求出k21．（14分）（2015•）数列{a n}满足：a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．（1）求a3的值；（2）求数列{a n}的前 n项和T n；（3）令b1=a1，b n=+（1+++…+）a n（n≥2），证明：数列{b n}的前n项和S n满足S n＜2+2lnn．2015年省高考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）（2015•）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M∩N=4．（5分）（2015•）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从22）6．（5分）（2015•）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）7．（5分）（2015•）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线）二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）9．（5分）（2015•）在（﹣1）4的展开式中，x的系数为．10．（5分）（2015•）在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8= ．11．（5分）（2015•）设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b= ．12．（5分）（2015•）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）13．（5分）（2015•）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P= ．14．（5分）（2015•）已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，点A的极坐标为A（2，），则点A到直线l的距离为．15．（2015•）如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD= ．三、解答题16．（12分）（2015•）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值．的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）36名工人中年龄在﹣s和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？（2015•）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，（14分）18．AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．（1）证明：PE⊥FG；（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．19．（14分）（2015•）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）e x﹣a．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：m≤﹣1．20．（14分）（2015•）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数 k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线 C只有一个交点？若存在，求出k 的取值围；若不存在，说明理由．21．（14分）（2015•）数列{a n}满足：a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．（1）求a3的值；（2）求数列{a n}的前 n项和T n；（3）令b1=a1，b n=+（1+++…+）a n（n≥2），证明：数列{b n}的前n项和S n满足S n＜2+2lnn．。
2015年高考理科数学广东卷(含答案解析)
数学试卷 第1页（共16页） 数学试卷 第2页（共16页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.参考公式：样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的方差2222121()()()n s x x x x x x n⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎣⎦，其中x 表示样本均值.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则M N = ( )A .∅B .{1,4}--C .{0}D .{1,4} 2.若复数i(32i)z =-（i 是虚数单位），则z =( )A .32i -B .32i +C .2+3iD .23i - 3.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A .x y x e =+B .1y x x=+C .122x xy =+D.y 4.袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球.从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( )A .1B .1121C .1021 D .5215.平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是( )A.20x y -=或20x y -= B.20x y +或20x y += C .250x y -+=或250x y --=D .250x y ++=或250x y +-=6.若变量x ，y 满足约束条件458,13,02,x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤≤≤则32z x y =+的最小值为( )A .315B .6C .235D .47.已知双曲线C ：22221x y a b -=的离心率54e =，且其右焦点为2(5,0)F ，则双曲线C 的方程为( )A .22143x y -=B .221169x y-= C .221916x y -=D .22134x y -= 8.若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值( )A .大于5B .等于5C .至多等于4D .至多等于3二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9～13题）9.在41)的展开式中，x 的系数为 .10.在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a += . 11.设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a =，1sin 2B =，π6C =，则b = .12.某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言（用数字作答）.13.已知随机变量X 服从二项分布(,)B n p .若()30E X =，()20D X =，则p = . （二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题） 14.（坐标系与参数方程）已知直线l的极坐标方程为π2sin()4ρθ-，点A的极坐标为7π)4A ，则点A 到直线l 的距离为 .姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共16页） 数学试卷 第4页（共16页）15.（几何证明选讲）如图，已知AB 是圆O 的直径，4AB =，EC 是圆O 的切线，切点为C ，1BC =.过圆心O 作BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD = .三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m (22=，n (sin ,cos )x x =，π(0,)2x ∈. （Ⅰ）若m ⊥n ，求tan x 的值； （Ⅱ）若m 与n 的夹角为π3，求x 的值.17.（本小题满分12分）（Ⅰ）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据； （Ⅱ）计算（Ⅰ）中样本的均值x 和方差2s ；（Ⅲ）36名工人中年龄在x s -与x s +之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到0.01％）？18.（本小题满分14分）如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，4PD PC ==，6AB =，3BC =.点E 是CD 边的中点，点F ，G 分别在线段AB ，BC 上，且2AF FB =，2CG GB =.（Ⅰ）证明：PE FG ⊥；（Ⅱ）求二面角P AD C --的正切值； （Ⅲ）求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.19.（本小题满分14分）设1a >，函数2()(1)x f x x e a =+-. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明：()f x 在(,)-∞+∞上仅有一个零点；（Ⅲ）若曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，且在点(,)M m n 处的切线与直线OP 平行（O 是坐标原点），证明：1m .20.（本小题满分14分）已知过原点的动直线l 与圆1C ：22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B . （Ⅰ）求圆1C 的圆心坐标；（Ⅱ）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）是否存在实数k ，使得直线L ：(4)y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分14分）数列{}n a 满足：1212242n n n a a na -+++⋅⋅⋅+=-，*n ∈Ν. （Ⅰ）求3a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n T ； （Ⅲ）令11b a =，1111(1)(2)23n n n T b a n n n-=++++⋅⋅⋅+≥，证明：数列{}n b 的前n 项和n S 满足22ln n S n <+.数学试卷 第5页（共16页） 数学试卷 第6页（共16页）2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理科)答案解析一、选择题 1.【答案】D【解析】由题意可得{1,4}{1,4}M N M N =--==∅I ，，. 【提示】求出两个集合，然后求解交集即可. 【考点】交集及其运算 2.【答案】B【解析】由题意可得i(32i)23i z =-=-，因此23i z =+. 【提示】直接利用复数的乘法运算法则化简求解即可. 【考点】复数的基本计算以及共轭复数的基本概念 3.【答案】D【解析】A 选项，()()f x f x -===，偶函数；B 选项，()11()f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭，奇函数； C 选项，11()22()22x x x x f x f x ---=+=+=，偶函数；D 选项，1()e ()()ex x f x x x f x f x --=-+=-+=≠≠-，因此选D ．【提示】直接利用函数的奇偶性判断选项即可. 【考点】函数的奇偶性的判定 4.【答案】B【解析】任取两球一共有215151415712C ⨯==⨯⨯种情况，其中一个红球一个白球一共有11105105C C =⨯g ，因此概率为1051015721⨯=⨯. 【提示】首先判断这是一个古典概型，从而求基本事件总数和“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件包含的基本事件个数，容易知道基本事件总数便是从15个球任取2球的取法，而在求“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件的基本事件个数时，可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可. 【考点】古典概型及其概率计算公式 5.【答案】A【解析】与直线210x y ++=平行的直线可以设为20x y m ++=，= ∴||5m =，解得5m =±，因此我们可以得到直线方程为：250x y ++=或250x y +-=.【提示】设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，即可求出直线方程.【考点】解析几何中的平行，圆的切线方程 6.【答案】B【解析】依据题意，可行域如右图所示，初始函数为032l y x =- ：，当0l 逐渐向右上方平移的过程中，32z x y =+不断增大，因此我们可以得到当l 过点41,5E ⎛⎫⎪⎝⎭的时候，min 235z =.【提示】作出不等式组对应的平面区域，根据z 的几何意义，利用数形结合即可得到最小值.【考点】线性规划问题 7.【答案】C数学试卷 第7页（共16页） 数学试卷 第8页（共16页）【解析】已知双曲线22221x y C a b-=：，54c e a ==，又由焦点为()25,0F，因此45435c a c b =⇒==⇒=，因此双曲线方程为221169x y -=.【提示】利用已知条件，列出方程，求出双曲线的几何量，即可得到双曲线方程. 【考点】圆锥曲线的离心率求解问题 8.【答案】B【解析】解：考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立； 4个点两两距离相等，由三角形的两边之和大于第三边，则不成立；n 大于4，也不成立；在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；若4n >，由于任三点不共线，当5n =时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，由三角形的两边之和大于三边，故不成立； 同理5n >，不成立. 故选：B ．【提示】先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球和三角形三边的关系，即可判断. 【考点】棱锥的结构特征 二、填空题 9.【答案】6【解析】展开通式为144(1)m m m C ---，令2m =可得14124244(1)(1)4m m m C C x ----=-=，因此系数为6.【提示】根据题意二项式41)的展开的通式为144(1)m m m C ---，分析可得，2m =时，有x 的项，将2m =代入可得答案. 【考点】二项式定理的运用 10.【答案】10【解析】根据等差中项可得：345675525a a a a a a ++++==，55a =，因此285210a a a +==.【提示】根据等差数列的性质，化简已知的等式即可求出5a 的值，然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后，将5a 的值代入即可求出值. 【考点】等差中项的计算 11.【答案】1【解析】由1sin 2B =，得π6B =或者5π6B =，又因为π6C =，因此π6B =，2π3A =，根据正弦定理可得sin sin a bA B =1sin 1sin 2a b B A ===g g . 【提示】由1sin 2B =，可得π6B =或者5π6B =，结合a ，π6C =及正弦定理可求b .【考点】正弦定理，两角和与差的正弦函数 12.【答案】1560【解析】某高三毕业班有40人，每人给彼此写一条留言，因此每人的条数为39，故而一共有40391560⨯=条留言.【提示】通过题意，列出排列关系式，求解即可. 【考点】排列与组合的实际应用 13.【答案】13【解析】根据随机变量X服从二项分布(,)B n p ，根据()30()(1E X n p D X n p p===-=，，可得()21()3D X p E X -==，化简后可得13p =. 【提示】直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可. 【考点】离散型随机变量的期望与方差 14.【答案】2【解析】考察基本的极坐标和直角坐标的化简以及点到直线距离问题.由数学试卷 第9页（共16页） 数学试卷 第10页（共16页）2sin 4πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭l 的直角坐标系方程为10x y --=，由7π4A ⎛⎫ ⎪⎝⎭可得它的直角坐标为()2,2A -， 因此，点A 到直线l的距离为d ==. 【提示】把极坐标方程转化为直角坐标方程，然后求出极坐标表示的直角坐标，利用点到直线的距离求解即可. 【考点】简单曲线的极坐标方程 15.【答案】8 【解析】连接OC ，根据AOC △为等腰三角形可得CAO ACO ∠=∠，又因为AB 为直径， 因此可得90CAO B ∠+∠=︒，90ACO B ∠+∠=︒， ∵OP BC ∥∴90AC OP ACO COP ⊥∠+∠=︒，， 因此可得COP B ∠=∠，因此Rt Rt DOC ABC △∽△， 故而可得21OD OC AB BC ==，∴8OD =. 【提示】连接OC ，根据AOC △为等腰三角形可得CAO ACO ∠=∠，AB 为直径以及OP BC ∥得出Rt Rt DOC ABC △∽△即可求出OD 的值.【考点】相似三角形的判定 三、解答题16.【答案】（Ⅰ）tan 1x =（Ⅱ）5π12x =【解析】∵m n ⊥u r r，π(sin ,cos )sin 22224m n x x x x x ⎛⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭u r r g g ， ∴||1||1m n ==u r r， ，因此：（Ⅰ）若m n ⊥u r r ，可得πsin 04m n x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭u r r g ，∴ππππ44x k x k -=⇒=+，又∵π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π04k x ==，，因此可得πtan tan 14x ==.（Ⅱ）若m u r 和n r 的夹角为π3，可得ππ1sin ||||cos 432m n x m n ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭u r r u r r g g， ∴ππ2π46x k -=+或π5π2π46x k -=+， 又∵π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴πππ,444x ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴ππ46x -=，解得5π12x =.【提示】（Ⅰ）若m n ⊥u r r ，则0m n =u r rg ，结合三角函数的关系式即可求tan x 的值.（Ⅱ）若m u r 和n r 的夹角为π3，利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求x 的值.【考点】平面向量数量积的运算，数量积表示两个向量的夹角 17.【答案】（Ⅰ）444036433637444337， ， ， ， ， ， ， ， （Ⅱ）40x =21009s =（Ⅲ）23人63.89%.【解析】（Ⅰ）根据系统抽样的方法，抽取9个样本，因此分成9组，每组4人.又因为第一组中随机抽样可抽到44，因此按照现有的排序分组.故而每组中抽取的都是第二个数，因此我们可得样本数据为第2个，第6个，第10个，第14个，第18个，第22个，第26个，第30个，第34个， 分别为：444036433637444337， ， ， ， ， ， ， ， （Ⅱ）由平均值公式得444036433637444337409x ++++++++==，由方差公式得数学试卷 第11页（共16页） 数学试卷 第12页（共16页）22222212291100()()()(994440)(4040)(3740)s x x x x x x ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-=⎣⎦-+-=+-+.（Ⅲ）103s ===，因此可得21364333x s x s -=+=，，因此在x s -和x s +之间的数据可以是444036433637444337， ， ， ， ， ， ， ， ，因此数据一共有23人，占比为23100%63.89%36⨯≈.【提示】（Ⅰ）利用系统抽样的定义进行求解即可.（Ⅱ）根据均值和方差公式即可计算（Ⅰ）中样本的均值x 和方差2s . （Ⅲ）求出样本和方差即可得到结论. 【考点】极差，方差与标准差，分层抽样方法 18.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）证明：由PD PC =可得三角形PDC 是等腰三角形， 又因为点E 是CD 边的中点，因此可得PE CD ⊥，又因为三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，而且相交于CD ，因此PE ⊥平面ABCD ，又因为FG 在平面ABCD 内，因此可得PE FG ⊥，问题得证.（Ⅱ）因为四边形ABCD 是矩形，因此可得AD CD ⊥， 又因为PE ⊥平面ABCD ，故而PE AD ⊥， 又PECD E =，因此可得AD ⊥平面PDC ，因此,AD PD AD CD ⊥⊥，所以P AD C PDE ∠--=∠.在等腰三角形PDC 中，46PD CD AB ===，，132DE CD==.因此可得PE ==tan 3PE PDE DE ∠==. （Ⅲ）如图所示，连接AC AE ，.∵22AF FB CG GB ==，， ∴BF BGAB BC=，BFG BAC △∽△，GF AC ∥， 因此，直线PA 与直线FG 所成角即为直线PA 与直线AC 所成角PAC ∠， 在矩形ABCD 中，点E 为CD中点，因此AE ==，而且AC =.又PE ⊥面ABCD ，三角形PAE 为直角三角形，故5PA ==，因此在PAC △中，54PA PC AC ===，，，因此可得222cos 2PA AC PC PAC PA AC +-∠==g .【提示】（Ⅰ）通过等腰三角形PDC 可得PE CD ⊥，利用线面垂直判定定理及性质定理即得结论.（Ⅱ）通过（Ⅰ）及面面垂直定理可得PE AD ⊥，则PDE ∠为二面角P AD C ∠--的平面角，利用勾股定理即得结论.（Ⅲ）连结连接AC AE ，，利用勾股定理及已知条件可得GF AC ∥，在PAC △中，利用余弦定理即得直线PA 与直线FG 所成角即为直线PA 与直线FG 所成角PAC ∠的余弦值.【考点】二面角的平面角及求法，异面直线及其所成的角，直线与平面垂直的性质 19.【答案】（Ⅰ）单调增区间为R （Ⅱ）见解析 （Ⅲ）见解析【解析】()()()()2222e 1e 12e 1e x x x xf x x x x x x '=++=++=+Qg ，因此：（Ⅰ）求导后可得函数的导函数()()21e 0x f x x '=+≥恒成立，因此函数在(,)-∞+∞上是增函数.数学试卷 第13页（共16页） 数学试卷 第14页（共16页）故而单调增区间为R .（Ⅱ）证明：令2()(1)e 0x f x x a =+-=可得2(1)e xx a +=，设212(1)e x y x y a =+=，，对函数21(1)e xy x =+， 求导后可得21(1)e 0x y x '=+≥恒成立，因此函数21(1)e xy x =+单调递增，因此可以得到函数图像. 函数2()(1)e x f x x a =+-有零点，即方程2(1)e xx a +=有解， 亦即函数212(1)e xy x y a =+=，，图像有交点.当0x =时，11y =，因此根据函数的图像可得：212(1)e xy x y a =+=，有且只有一个交点，即2()(1)e xf x x a =+-有且只有一个零点.（Ⅲ）证明：设点P 的坐标为00(,)x y ，故而在点P 处切线的斜率为：0200()(1)e 0xf x x '=+=，01x =-，因此21,1e P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.在点M 处切线的斜率为：22()(1)e em OP f m m k a '=+==-， 因为1a >，因此20ea ->.欲证1m ≤-，即证322(1)(1)e e m m a m +≤-=+，1e m m +≤，设()e 1x g x x =--，求导后可得()e 1xg x '=-，0x =，令()e 10xg x '=-=，因此函数在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增.因此可得()(0)0g x g ≥=，所以()e 10xg x x =--≥，e 1x x ≥+，e 1m m ≥+问题得证.【提示】（Ⅰ）利用()0f x '≥，求出函数单调增区间.（Ⅱ）证明只有1个零点，需要说明两个方面：函数单调以及函数有零点. （Ⅲ）利用导数的最值求解方法证明.【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线上某点切线方程 20.【答案】（Ⅰ）1(3,0)C（Ⅱ）2230x y x +-=，其中5,33x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦（Ⅲ）存在34k ⎛⎧⎫∈± ⎨⎬ ⎩⎭⎝⎭【解析】依题意得化成标准方程后的圆为：22(3)4x y -+=，因此：（Ⅰ）根据标准方程，圆心坐标为1(3,0)C . （Ⅱ）数形结合法：①当动线l 的斜率不存在是，直线与圆不相交. ②设动线l 的斜率为m ，因此l y mx =：， 联立22650y mxx y x =⎧⎨+-+=⎩，则22(1)650m x x +-+=根据有两个交点可得：()22224362010056151A B A B m m x x m x x m ⎧∆=-+>⇒≤<⎪⎪⎪+=⎨+⎪⎪=⎪+⎩，故而点M 的坐标为2233,11m m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，令223131x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，因此由此可得2230x y x +-=，其中235,313x m ⎛⎤=∈ ⎥+⎝⎦. （Ⅲ）证明：联立2230(4)x y x y k x ⎧+-=⎨=-⎩，所以，2222(1)(83)160k x k x k +-++=因此，当直线L 与曲线相切时，可得29160k ∆=-=，解得34k =±. 设2230x y x +-=，5,33x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦的两个端点是C D 、，设直线L 恒过点(4,0)E数学试卷 第15页（共16页） 数学试卷 第16页（共16页）因此可得53C ⎛ ⎝⎭，5,3D ⎛ ⎝⎭，故而可得77CE DE k k ==-， 由图像可得当直线L 与曲线有且只有一个交点的时候，34k ⎛⎧⎫∈± ⎨⎬ ⎩⎭⎝⎭.【提示】（Ⅰ）通过将圆1C 的一般式方程化为标准方程即得结论（Ⅱ）设当直线l 的方程为y mx =，通过联立直线l 与圆1C 的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论. （Ⅲ）通过联立直线L 与圆1C 的方程，利用根的判别式0∆=及轨迹C 的端点与点(4,0)E 决定的直线斜率，即得结论.【考点】轨迹方程，直线与圆的位置关系 21.【答案】（Ⅰ）14（Ⅱ）1122n n T -=- （Ⅲ）见解析【解析】由给出的递推公式可得： ①当1n =时，1431a =-=②当2n ≥时，121122(1)42n n n n a a n a na --+++⋅⋅⋅+-+=-， 121212(1)42n n n a a n a --+++⋅⋅⋅+-=-， 所以12n n n na -=，112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭其中1n =也成立，因此可得11()2n n a n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭*N（Ⅰ）因此231124a ⎛⎫== ⎪⎝⎭.（Ⅱ）∵11()2n n a n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭*N ，所以数列{}n a 的公比12q =，利用等比数列的求和公式可得： 111121*********n nn n T -⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦-. （Ⅲ）因为()11111223n n n T b a n n n -⎛⎫=++++⋅⋅⋅+≥ ⎪⎝⎭11b a =，1221122a b a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，1233111323a a b a +⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭， 123111123n n n a a a a b a n n +++⋅⋅⋅+⎛⎫=++++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭，因此，欲证22ln n S n <+，即证1111112122ln ln 2323n n n n ⎛⎫+++⋅⋅⋅+<+⇐++⋅⋅⋅+< ⎪⎝⎭，将ln n 化简为132l n l n l n l n l n1221n n n n n -=++⋅⋅⋅++--，即证1111l n l n l n 11n n n n n n n-⎛⎫>⇐-=--> ⎪-⎝⎭， 令()ln 1g x x x =-+，所以11()1xg x x x-'=-=，因此函数在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，因此()(1)0g x g ≤=， 又因为111n-<，因此11111()0l l n1g g x nnn n⎛⎫⎛⎫⎛-<=⇒⇒-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 问题得证.【提示】（Ⅰ）利用数列的递推关系即可求3a 的值.（Ⅱ）利用作差法求出数列{}n a 的通项公式，利用等比数列的前n 项和公式即可求数列{}n a 的前n 项和n T .（Ⅲ）利用构造法，结合裂项法进行求解即可证明不等式.【考点】数列与不等式的综合，数列的求和。
广东省各市高考数学一模试题分类汇编 三角函数 理
广东省各市2015年高考一模数学理试题分类汇编三角函数一、选择题1、（2015届江门市）函数)sin()(ϕ+=x x f 在区间)32 , 3(ππ上单调递增，常数ϕ的值可能是 A ．0 B ．2πC ．πD ．23π2、（2015届汕头市）在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且6πA =，12πB =，3a =，则c 的值为（ ）A． B ．32 C． D ．63、（2015届中山市）在△ABC 中，已知b ＝4 ，c ＝2 ，∠A ＝120°，则a = （ ）A ．2 B ．6 C ．2 或6 D ．27选择题参考答案 1、D 2、A 3、D 二、填空题1、（2015届广州市）已知tan 2α=，则tan 2α的值为2、（2015届揭阳市）在△ABC 中，A B C ∠∠∠、、的对边分别为a b c 、、，若3a =，2B A ∠=∠，cos A =，则b =______3、（2015届茂名市）已知,,a b c 分别是△ABC 的三个内角A ，B，C 所对的边，若a ＝3，C ＝120º，△ABC 的面积S ＝，则c 为＿＿＿4、（2015届梅州市）已知,,a b c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若1,a b ==A＋C ＝2B ，则sinA ＝＿＿＿5、（2015届佛山市）如图1,为了测量河对岸A 、B 两点之间的距离,观察者找到一个点C ,从C 点可以观察到点A 、B ；找到一个点D ,从D 点可以观察到点A 、C ；找到一个点E ,从E 点可以观察到点B、C；并测量得到一些数据:2CD =,23CE =,45D ∠=︒,105ACD ∠=︒,48.19ACB ∠=︒,75BCE ∠=︒,E ∠=60︒,则A 、B 两点之间的距离为_________.(其中cos48.19︒取近似值23)填空题参考答案1、43-2、263、74、12 510三、解答题1、（2015届广州市）已知函数()()sin 0,06f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为()02x ,和022x ,π⎛⎫+- ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式；（2）求0sin 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.2、（2015届揭阳市）已知函数()2sin()(0,)6f x x x R ωωπ=+>∈的最小正周期为π.（1）求ω的值；（2）若2()3f α=，(0,)8πα∈，求cos 2α的值.3、（2015届茂名市）已知函数()sin2cos cos2sin(,0)f x x x x Rϕϕϕπ=+∈<<，()4fπ=。
2015年广东省普通高中一模考试答案(理数)
又 a1 1 适合上式， ∴ an 2 n 1 .
/w
解法 2：由 an1 2 Sn 1 ，得 an 1 1 4Sn ， 当 n 2 时， an 1 4Sn 1 ，
2
tp :/
ht
∴ an 1 1 an 1 4 Sn Sn 1 4an . ∴ an1 an 2an1 2an 0 .
∴Rt△ POA ～Rt△ HGA .
PO PA ∴ . HG HA
∴ HG
PO HA 32 3 30 . PA 5 30
3
教 gu an 研 gz tr .e du .c n/
P
3 . ……5 分 G
A
D
E
州
H
O
B
F
…………………………12 分
在 Rt△ BHG 中， tan BGH
Sn 1 .
2
∵ an 0 ，∴ S n 0 . ∴ Sn1 ∴数列
n
Sn 1 .
∴ Sn 1 n 1 n .
州
S 是首项为
2
S1 1 ，公差为 1 的等差数列.
广
∴ Sn n .
ww .
2 2
2
当 n 2 时， an Sn Sn 1 n n 1 2n 1 ，
广
∴ PO BO . …………………………6 分 ∵ PO EF ， EF BO O ， EF 平面 BFED ， BO 平面 BFED ，
AO 2 PO 2 30 ，
在 Rt△ POA 和 Rt△ HGA 中， POA HGA 90 , PAO HAG ， …………………………11 分
广东省各市高考数学一模试题分类汇编 解析几何 理
广东省各市2015年高考一模数学理试题分类汇编解析几何一、选择题1、（2015届广州市）直线10x ay ++=与圆()2214x y +-=的位置关系是A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定2、（2015届江门市）双曲线C ：1422=-y x 的两条渐近线夹角（锐角）为θ，则=θtanA ．158B ．815C ．43D ．343、（2015届揭阳市）已知双曲线22221x y ab -=(0,0)a b >>的一条渐近线的斜率为12，则该双曲线的离心率为B.C.2D. 24、（2015届茂名市）以点（3，－1）为圆心且与直线34x y +＝9相切的圆的方程是（ ）A 、22(3)(1)x y -++＝1B 、22(3)(1)x y ++-＝1C 、22(3)(1)x y ++-＝2D 、22(3)(1)x y -++＝25、（2015届梅州市）动圆M 经过双曲线2213y x -=的左焦点且与直线x ＝2相切，则圆心M 的轨迹方程是A 、2y ＝8xB 、2y ＝－8xC 、2y ＝4xD 、2y ＝－4x6、（2015届汕头市）若双曲线的标准方程为22184x y -=，则它的渐近线方程为（ ）A．0x ±= B0y ±= C ．20x y ±= D ．20x y ±=7、（2015届湛江市）抛物线280y x -=的焦点F 到直线:l 10x y --=的距离是（ ） A．2 BC．2 D．28、（2015届中山市）设抛物线的顶点在原点,准线方程为-2,x =则抛物线的方程是( )A.28y x =B. 28y x =-C. 24y x =-D.24y x =选择题参考答案1、B2、D3、D4、A5、B6、A7、B8、A 二、填空题1、（2015届江门市）已知抛物线C ：x y 82=的焦点为F ，P 是C 上一点， 若P 在第一象限，8||=PF ，则点P 的坐标为2、（2015届茂名市）已知A ，B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>学科网长轴的两个顶点，M ，N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM ，BN 的斜率分别为12,k k ，且120k k ≠，若12||||k k +的最小值为1，则椭圆的离心率为＿＿＿＿3、（2015届梅州市）以F1（－1,0）、F2（1,0）为焦点，且经过点M （1，－32）的椭圆的标准方程为＿＿＿4、（2015届深圳市）已知圆C ：05822=-+++ay x y x 经过抛物线E ：y x 42=的焦点，则抛物线E 的准线与圆C 相交所得弦长为 5、（2015届佛山市）已知点()2,0A -、()0,4B 到直线l :10x my +-=的距离相等,则实数m 的值为________填空题参考答案1、)34 , 6( 2、 3、13422=+y x 4、5、112-或三、解答题1、（2015届广州市）已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线222:12x C y -=的顶点，直线0+=x 与椭圆1C 交于A ，B 两点，且点A的坐标为(1)，点P 是椭圆1C 上异于点A ,B 的任意一点，点Q 满足0AQ AP ⋅=u u u r u u u r ，0BQ BP ⋅=u u u r u u u r，且A ，B ，Q 三点不共线.求椭圆1C 的方程；求点Q 的轨迹方程；求ABQ ∆面积的最大值及此时点Q 的坐标.2、（2015届江门市）平面直角坐标系xOy 中，椭圆∑：12222=+b y a x （0>>b a ）的离心率为36，焦点为1F 、2F ，直线l ：02=-+y x 经过焦点2F ，并与∑相交于A 、B 两点． ⑴求∑的方程；⑵在∑上是否存在C 、D 两点，满足AB CD //，D F C F 11=？若存在，求直线CD 的方程；若不存在，说明理由．3、（2015届揭阳市）在平面直角坐标系xoy 中，已知点(01)A ，，点B 在直线1:1l y =-上，点M 满足//MB OA uuu r uu r ， MA AB MB BA ⋅=⋅uuu r uu u r uuu r uu r，点M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程； （2）设直线2:l y kx m=+与曲线C 有唯一公共点P ，且与直线1:1l y =-相交于点Q ,试探究，在坐标平面内是否存在点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过点N ？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，说明理由.4、（2015届茂名市）已知F （0,1），直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且（1）求动点P 的轨迹C 的方程。
2015年高考理科数学广东卷(含答案)
数学试卷 第1页（共16页） 数学试卷 第2页（共16页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.参考公式：样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的方差2222121()()()n s x x x x x x n⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎣⎦，其中x 表示样本均值.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则M N = ( )A .∅B .{1,4}--C .{0}D .{1,4} 2.若复数i(32i)z =-（i 是虚数单位），则z =( )A .32i -B .32i +C .2+3iD .23i - 3.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A .x y x e =+B .1y x x=+C .122x xy =+D.y 4.袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球.从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( )A .1B .1121C .1021 D .5215.平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是( )A.20x y -=或20x y -= B.20x y +或20x y += C .250x y -+=或250x y --=D .250x y ++=或250x y +-=6.若变量x ，y 满足约束条件458,13,02,x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤≤≤则32z x y =+的最小值为( )A .315B .6C .235D .47.已知双曲线C ：22221x y a b -=的离心率54e =，且其右焦点为2(5,0)F ，则双曲线C 的方程为( )A .22143x y -= B .221169x y -= C .221916x y -= D .22134x y -= 8.若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值( )A .大于5B .等于5C .至多等于4D .至多等于3二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9～13题）9.在41)的展开式中，x 的系数为 .10.在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a += . 11.设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a =，1sin 2B =，π6C =，则b = .12.某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言（用数字作答）.13.已知随机变量X 服从二项分布(,)B n p .若()30E X =，()20D X =，则p = . （二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题） 14.（坐标系与参数方程）已知直线l的极坐标方程为π2sin()4ρθ-点A的极坐标为7π)4A ，则点A 到直线l 的距离为 .姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共16页） 数学试卷 第4页（共16页）15.（几何证明选讲）如图，已知AB 是圆O 的直径，4AB =，EC 是圆O 的切线，切点为C ，1BC =.过圆心O 作BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD = .三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m =，n (sin ,cos )x x =，π(0,)2x ∈. （Ⅰ）若m ⊥n ，求tan x 的值； （Ⅱ）若m 与n 的夹角为π3，求x 的值.17.（本小题满分12分）（Ⅰ）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据； （Ⅱ）计算（Ⅰ）中样本的均值x 和方差2s ；（Ⅲ）36名工人中年龄在x s -与x s +之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到0.01％）？18.（本小题满分14分）如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，4PD PC ==，6AB =，3BC =.点E 是CD 边的中点，点F ，G 分别在线段AB ，BC 上，且2AF FB =，2CG GB =.（Ⅰ）证明：PE FG ⊥；（Ⅱ）求二面角P AD C --的正切值； （Ⅲ）求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.19.（本小题满分14分）设1a >，函数2()(1)x f x x e a =+-. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明：()f x 在(,)-∞+∞上仅有一个零点；（Ⅲ）若曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，且在点(,)M m n 处的切线与直线OP 平行（O 是坐标原点），证明：1m .20.（本小题满分14分）已知过原点的动直线l 与圆1C ：22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B . （Ⅰ）求圆1C 的圆心坐标；（Ⅱ）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程； （Ⅲ）是否存在实数k ，使得直线L ：(4)y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分14分）数列{}n a 满足：1212242n n n a a na -+++⋅⋅⋅+=-，*n ∈Ν. （Ⅰ）求3a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n T ； （Ⅲ）令11b a =，1111(1)(2)23n n n T b a n n n-=++++⋅⋅⋅+≥，证明：数列{}n b 的前n 项和n S 满足22ln n S n <+.2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理科)答案解析【解析】依据题意，可行域如右图所示，数学试卷第5页（共16页）数学试卷第6页（共16页）数学试卷第7页（共16页）数学试卷第8页（共16页）【解析】连接OC，数学试卷第9页（共16页）数学试卷第10页（共16页）数学试卷 第11页（共16页） 数学试卷 第12页（共16页）(3740)+-+PECD E =，因此可得,AD PD AD ⊥在等腰三角形PDC数学试卷 第13页（共16页） 数学试卷 第14页（共16页）34⎫⎧⎫±⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎭【解析】依题意得化成标准方程后的圆为：（Ⅰ）根据标准方程，圆心坐标为25A B x m =+23,1m m ⎫⎪+⎭，数学试卷 第15页（共16页） 数学试卷 第16页（共16页）34⎫⎧⎫±⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎭.（Ⅰ）通过将圆1C 的一般式方程化为标准方程即得结论的方程为y。
广东省广州市2015年高考数学一模试卷(理科)【解析版】
＜（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜e．
广东省广州市2015届高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合M={3，4，5}，N={1， 2，5}，则集合{1，2}可以表示为（） A． M∩N B． （∁UM） ∩N C． M∩（∁UN） D． （∁UM）∩（∁UN） 考点： 交、并、补集的混合运算． 专题： 集合． 分析： 根据元素之间的关系进行求解即可． 解答： 解：∵M={3，4，5}，N={1，2，5}， ∴M∩N={5}，（∁UM）∩N={1，2}， M∩（∁UN）={3，4}， （∁UM）∩（∁UN）=∅， 故选：B 点评： 本题主要考查集合的基本运算，比较基础． 2．（5分）已知向量 =（3，4），若|λ
C．
（﹣∞，﹣
简单线性规划． 计算题；作图题；不等式的解法及应用．
分析： 由题意作出其平面区域，先解出点A的坐标，再结合图象写出 实数m的取值范围即可． 解答： 解：由题意作出其平面区域，
结合图象可得， ， 解得，A（﹣1，﹣3）； 故m≥﹣1； 故选B． 点评： 本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题． 6．（5分）已知某锥体的正视图和侧视图如图，其体积为 ，则该椎体的俯视图可以是（）
又关于x的绝对值不等式|x|+|x﹣1|≤a有解， ∴a≥|x|+|x﹣1|的最小值， 又∵|x|+|x﹣1|表示数轴上的点到0和1的距离之和， ∴|x|+|x﹣1|的最小值为1，即a≥1， ∵{a|a≥1}是集合{a|a≤﹣1或a≥1}的真子集， ∴|a|≥1是关于x的绝对值不等式|x|+|x﹣1|≤a有解的必要不充分条件， 故选：B 点评： 本题考查充要条件的判定，涉及绝对值不等式的恒成立问题， 属基础题． 8．（5分）已知i是虚数单位，C是全体复数构成的集合，若映射f： C→R满足：对任意z1，z2∈C，以及任意λ∈R，都有f（λz1+（1﹣λ） z2）=λf（z1）+（1﹣λ）f（z2），则称映射f具有性质P．给出如下映 射： ①f1：C→R，f1（z）=x﹣y，z=x+yi（x，y∈R）； ②f2：C→R，f2（z）=x2﹣y，z=x+yi（x，y∈R）； ③f3：C→R，f3（z）=2x+y，z=x+yi（x，y∈R）； 其中，具有性质P的映射的序号为（） A． ①② B． ①③ C． ②③ D． ①②③ 考点： 映射． 专题： 新定义；函数的性质及应用． 分析： 求出两个向量的和的坐标；分别对三个函数求f（λz1+（1﹣ λ）z2）、λf（z1）+（1﹣λ）f（z2）的值，判断哪个函数具有 f（λz1+（1﹣λ）z2）=λf（z1）+（1﹣λ）f（z2） 解答： 解：设 z1=（x1，y1），z2=（x2，y2），则λ z1+（1﹣λ） z2=（λx1+（1﹣λ）x2，λy1+（1﹣λ）y2）， 对于①，f[λa+（1﹣λ）z2]=λx1+（1﹣λ）x2+λy1+（1﹣λ） y2+1=λ（x1+y1）+（1﹣λ）（x2+y2）+1 而λf（ a）+（1﹣λ）f（z2）=λ（x1+y1+1）+（1﹣λ）（x2+y2+1） ═λ（x1+y1）+（1﹣λ）（x2+y2）+1， f1满足性质p；f2（λa+（1﹣λz2））=[λx1+（1﹣λ）x2]2+[λy1+（1﹣
广东省各市2015年高考数学一模试题分类汇编 数列 理
广东省各市2015年高考一模数学理试题分类汇编数列一、选择题1、（2015届江门市）{}n a 是等差数列，1a 与2a 的等差中项为1，2a 与3a 的等差中项为2，则公差=dA ．2B ．23C ．1D ．212、（2015届汕头市）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，又知()ln ln 1x x x '=+，且101ln eS xdx=⎰，2017S =，则30S 为（ ）A ．33B ．46C ．48D ．503、（2015届湛江市）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且公比1q ≠，若2a 、312a 、1a 成等差数列，则公比q =（ ）A．12+或12 B．12+ C．或12 D．选择题参考答案 1、C 2、C 3、D 二、填空题1、（2015届梅州市）已知等比数列{na }的公比为正数，且239522,1a a a a ==，则1a ＝＿＿＿填空题参考答案1、22三、解答题1、（2015届广州市）已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n项和为n S ，且满足111,1n a a +==，n ∈N *.（1）求2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）是否存在正整数k , 使ka ,21k S -,4ka 成等比数列? 若存在, 求k 的值； 若不存在,请说明理由.2、（2015届江门市）设数列{}n a 的前n 项和6)14)(1(-+=n n n S n ，*N n ∈．⑴求1a 的值； ⑵求数列{}n a 的通项公式；⑶证明：对一切正整数n ，有4541222221<+++na n a a ．3、（2015届揭阳市）已知nS 为数列{}n a 的前n 项和，3(1)n n S na n n =--（*n N ∈），且211a =．（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（3）设数列{}n b满足n b =1223n b b b +++<4、（2015届茂名市）已知数列{n a }的前n 项和为Sn ，1a ＝1，且122(1)(1)(*)n n nS n S n n n N +-+=+∈，数列{nb }满足2120(*)n n n b b b n N ++-+=∈，3b ＝5，其前9项和为63。
广东省各市高考数学一模试题分类汇编 导数及其应用 理
广东省各市2015年高考一模数学理试题分类汇编导数及其应用一、选择题1、（2015届深圳市）在ABC ∆中，c b a ,,分别为C B A ∠∠∠,,所对的边，若函数1)(31)(2223+-+++=x ac c a bx x x f 有极值点，则B ∠的范围是（ ）A.)3,0(π B 。
]3,0(π C 。
],3[ππ D 。
),3(ππ选择题参考答案 1、D 二、填空题1、（2015届揭阳市）已知函数3()f x x =对应的曲线在点(,())()k k a f a k N *∈处的切线与x 轴的交点为1(,0)k a +，若11a =，则101()3=-2、（2015届深圳市）设P 是函数x y ln =图象上的动点，则点P 到直线x y =的距离的最小值为填空题参考答案1、由2'()3f x x =得曲线的切线的斜率23k k a =，故切线方程为323()k k k y a a x a -=-，令0y =得123k k a a +=123k k a a +⇒=，故数列{}n a 是首项11a =，公比23q =的等比数列，又f f f +++L 101011210(1)3(1)1a q a a a q q-=+++==--L ，所以1031()3=-. 2、三、解答题1、（2015届广州市）已知函数()()2ln 12a f x x x x =++-()0a ≥. （1）若()0f x >对()0,x ∈+∞都成立，求a 的取值范围；（2）已知e 为自然对数的底数，证明：∀n ∈N *22212111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++⋅⋅⋅+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e <.2、（2015届江门市）设函数)(ln )(a x e x f x-=，e 是自然对数的底数，Λ718.2≈e ，R a ∈为常数．⑴若)(x f y =在1=x 处的切线 l 的斜率为e 2，求a 的值；⑵在⑴的条件下，证明切线 l 与曲线)(x f y =在区间)21, 0(至少有1个公共点； ⑶若]3ln , 2[ln 是)(x f y =的一个单调区间，求a 的取值范围．3、（2015届揭阳市）已知函数()f x ax =，()ln g x x =，其中a R ∈,（e ≈2.718）． （1）若函数()()()F x f x g x =-有极值1，求a 的值；（2）若函数()(sin(1))()G x f x g x =--在区间(0,1)上为减函数，求a 的取值范围；（3）证明：211sinln 2(1)nk k =<+∑．4、（2015届茂名市）设函数2()ln ||f x x x ax =-+。
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广东省各市2015年高考一模数学理试题分类汇编导数及其应用一、选择题1、（2015届深圳市）在ABC ∆中，c b a ,,分别为C B A ∠∠∠,,所对的边，若函数1)(31)(2223+-+++=x ac c a bx x x f 有极值点，则B ∠的范围是（ ） A.)3,0(πB 。
]3,0(πC 。
],3[ππD 。
),3(ππ选择题参考答案1、D 二、填空题1、（2015届揭阳市）已知函数3()f x x =对应的曲线在点(,())()k k a f a k N *∈处的切线与x 轴的交点为1(,0)k a +，若11a =，则333121010()()()21()3f a f a f a +++=-2、（2015届深圳市）设P 是函数x y ln =图象上的动点，则点P 到直线x y =的距离的最小值为填空题参考答案1、由2'()3f x x =得曲线的切线的斜率23k k a =，故切线方程为323()k k k y a a x a -=-，令0y =得123k k a a +=123k k a a +⇒=，故数列{}n a 是首项11a =，公比23q =的等比数列，又 3331210()()()f a f a f a +++101011210(1)3(1)1a q a a a q q-=+++==--，所以333121010()()()321()3f a f a f a +++=-.2、22三、解答题1、（2015届广州市）已知函数()()2ln 12a f x x x x =++-()0a ≥. （1）若()0f x >对()0,x ∈+∞都成立，求a 的取值范围； （2）已知e 为自然对数的底数，证明：∀n ∈N *，e 22212111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++⋅⋅⋅+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e <.2、（2015届江门市）设函数)(ln )(a x e x f x -=，e 是自然对数的底数，718.2≈e ，R a ∈为常数．⑴若)(x f y =在1=x 处的切线 l 的斜率为e 2，求a 的值；⑵在⑴的条件下，证明切线 l 与曲线)(x f y =在区间)21 , 0(至少有1个公共点； ⑶若]3ln , 2[ln 是)(x f y =的一个单调区间，求a 的取值范围．3、（2015届揭阳市）已知函数()f x ax =，()ln g x x =，其中a R ∈,（e ≈2.718）． （1）若函数()()()F x f x g x =-有极值1，求a 的值；（2）若函数()(sin(1))()G x f x g x =--在区间(0,1)上为减函数，求a 的取值范围；（3）证明：211sinln 2(1)nk k =<+∑．4、（2015届茂名市）设函数2()ln ||f x x x ax =-+。
（1）求函数f （x ）的导函数'()f x ；（2）若12,x x 为函数f （x ）的两个极值点，且1212x x +=-，试求函数f （x ）的单调递增区间；（3）设函数f （x ）的点C （00,()x f x ）（0x 为非零常数）处的切线为l ，若函数f （x ）图象上的点都不在直线l 的上方，求0x 的取值范围。
5、（2015届梅州市）已知函数21()ln ,()2f x xg x ax bx ==-，设()()()h x f x g x =-。
（1）若g （2）＝2，讨论函数h （x ）的单调性；（2）若函数g （x ）是关于x 的一次函数，且函数h （x ）有两个不同的零点12,x x 。
①求b 的取值范围；②求证：212x x e >6、（2015届汕头市）()1当1m =时，求过点()0,1P -且与曲线()()21y g x x =--相切的切线方程；()2求函数()y g x =的单调递增区间；()3若函数()y g x =有两个极值点a ，b ，且a b <，记[]x 表示不大于x 的最大整数，试比较()()sin g a g b ⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎣⎦与()()()cos g a g b ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的大小．7、（2015届深圳市）已知定义在]2,2[-上的奇函数)(x f 满足：当]2,0(∈x 时，)2()(-=x x x f ．（1）求)(x f 的解析式和值域；（2）设a ax x x g 2)2ln()(--+=，其中常数0>a ． ①试指出函数))(()(x f g x F =的零点个数； ②若当11k+是函数))(()(x f g x F =的一个零点时，相应的常数a 记为k a ，其中1,2,,k n =．证明：1276n a a a +++<（*N ∈n ）．8、（2015届湛江市）设函数()1xf x x=+，()()ln 1g x x =+． ()1求函数()()()1x f x g x H =-的最大值；()2记()()2x g x bx H =-，是否存在实数b ，使()20x H <在()0,+∞上恒成立？若存在，求出b 的取值范围；若不存在，说明理由；()3证明：2111ln 12nk k n k =-<-≤+∑（1n =，2，⋅⋅⋅）．9、（2015届佛山市）已知函数()()ln x a f x x-=.(Ⅰ) 若1a =-,证明:函数()f x 是()0,+∞上的减函数；(Ⅱ) 若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线0x y -=平行,求a 的值；(Ⅲ) 若0x >,证明:()ln 1e 1x x xx +>-(其中e 2.71828=⋅⋅⋅是自然对数的底数).解答题参考答案1、（1）解：∵()()2ln 12a f x x x x =++-，其定义域为()1,-+∞, ∴()()11111x ax a f x ax x x+-'=+-=++. …………………………1分 ① 当0a =时，()1xf x x'=-+，当x ∈()0,+∞时，()0f x '<， 则()f x 在区间()0,+∞上单调递减，此时，()()00f x f <=，不符合题意. …2分 ② 当01a <<时，令()0f x '=，得10x =，210ax a-=>， 当x ∈10a ,a -⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，则()f x 在区间10a ,a -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，此时，()()00f x f <=，不符合题意. …………………………3分③ 当1a =时，()21x f x x'=+，当x ∈()0,+∞时，()0f x '>，则()f x 在区间()0,+∞上单调递增，此时，()()00f x f >=，符合题意. ……4分 ④ 当1a >时，令()0f x '=，得10x =，210ax a-=<，当x ∈()0,+∞时，()0f x '>， 则()f x 在区间()0,+∞上单调递增，此时，()()00f x f >=，符合题意. ……5分 综上所述，a 的取值范围为[)1,+∞. …………………………6分 （2）证明：由（1）可知，当0a =时，()0f x <对()0,x ∈+∞都成立，即()ln 1x x +<对()0,x ∈+∞都成立. …………………………7分 ∴2222221212ln 1ln 1ln 1n nn n n n nn ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++<+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.………………8分 即ln 2222121211112n n n n n n n n ⎡⎤++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<= ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 由于n ∈N *，则111111222221n n n +=+≤+=⨯. …………………………9分∴ln 222121111n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. ∴ 22212111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e <. …………………………10分 由（1）可知，当1a =时，()0f x >对()0,x ∈+∞都成立， 即()21ln 12x x x -<+对()0,x ∈+∞都成立. …………………………11分 ∴2222224442221211212ln 1ln 1ln 12n n n n nn n nn n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+++<++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.…………………………12分即()()()2422212111126ln 11122n n n n n n n n n n n ++⎡⎤⎢⎥+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<+++⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 得323222643112ln 11112n n n n n n n n +--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦由于n ∈N *，则()()32232333363316431611212122n n n n n n n n n n n +-+-+--=≥=. …………………………13分∴12<ln 22212111n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. ∴e 22212111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. …………………………14分 ∴e 22212111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e <.2、⑴)1(ln )(/xa x e x f x+-=……1分 依题意，e a e f k 2)111(ln )1(1/=+-==，解得1-=a ……2分⑵由⑴e f =)1(，直线 l 的方程为)1(2-=-x e e y ，即e ex y -=2……3分作e ex x e e ex x f x g x +-+=--=2)1(ln )2()()(， 则0)2ln 1()21(>-=e g ……4分，0323)(344<+-<+--=---e e e e e g e ……5分（用其他适当的数替代4-e 亦可）因为)(x g y =在)21 , (4-e 上是连续不断的曲线，0)21()(4<-g e g ，)(x g y =在)21, (4-e 内有零点，)21 , 0()21 , (4⊂-e ，从而切线 l 与曲线)(x f y =在区间)21 , 0(至少有1个公共点……6分⑶)1(ln )(/xa x e x f x +-=，]3ln , 2[ln 是)(x f y =的一个单调区间当且仅当)(/x f 在]3ln , 2[ln 上恒大于等于零，或恒小于等于零，由0>x e ，作xx x h 1ln )(+= 2/11)(x x x h -=，由011)(2/=-=xx x h 得1=x ……7分 x )1 , 2[ln 1]3ln , 1()(/x h－ 0 + )(x h↘最小值↗……9分)(x h 在]3ln , 2[ln 上的最小值为1=m ，所以，当且仅当1≤a 时，)(x f y =在]3ln , 2[ln 上单调递增……11分下面比较)2(ln h 与)3(ln h 的大小（方法一）由32332e <<，e <<3232，13ln 322ln <<以及)(x h 在)1 , 2[ln 上单调递减得)3ln 32()2(ln h h >……12分3ln 249ln3ln 13ln 2132ln )3(ln )3ln 32()3(ln )2(ln -=+=->-h h h h ……13分1)(ln 41)7(ln 41)427(ln 41)49ln 3(ln 4149ln 3ln 22222=<<=+<e ，∴)3(ln )2(ln h h >，当且仅当2ln 12ln ln +≥a 时，)(x f y =在]3ln , 2[ln 上单调递减，综上所述，a 的取值范围为) , 2ln 12ln [ln ]1 , (∞++-∞ ……14分 （方法二）由1)26ln ()23ln 2ln (3ln 2ln 22<=+<，13ln 12ln 0<<<，以及x x x h 1ln )(+=的单调性知，3ln 3ln ln 2ln 12ln ln +->+……12分由0)11()1(12)1ln 2(22/≤--=--=+-xx x x x x 知，x x x x p 1ln 2)(+-=单调递减……13分由13ln >得0)1(3ln 13ln 3ln ln 2=<+-p x ，3ln 13ln ln 3ln 3ln ln +>+-，3ln 13ln ln 2ln 12ln ln +>+，∴)3(l n )2(l n h h >，当且仅当2ln 12ln ln +≥a 时，)(x f y =在]3ln , 2[ln 上单调递减，综上所述，a 的取值范围为) , 2ln 12ln [ln ]1 , (∞++-∞ ……14分（“单调递增……11分”以下，若直接写⎭⎬⎫⎩⎨⎧++≥3ln 13ln ln , 2ln 12ln ln max a ，再给1分）3、解：（1）∵()ln F x ax x =-，(0)x > ∴1'()F x a x=-，---------------------------------------------------------------1分①若0a ≤，则对任意的(0,)x ∈+∞都有'()0F x <，即函数()F x 在(0,)+∞上单调递减， 函数()F x 在(0,)+∞上无极值；----------------------------------------------------2分②若0a >，由'()0F x =得1x a =，当1(0,)x a ∈时'()0F x <，当1(,)x a∈+∞时，'()0F x >，即函数()F x 在1(0,)a 单调递减，在1(,)a +∞单调递增，∴函数()F x 在1x a=处有极小值，∴1()F a 11ln 1a=-=，∴1a =.---------------------------------------------------4分（2）解法1：∵函数()(sin(1))()G x f x g x =--=sin(1)ln a x x --在区间(0,1)上为减函数 且当(0,1)x ∈时，cos(1)0x ->， ∴1'()cos(1)0G x a x x =--≤在(0,1)上恒成立1cos(1)a x x ⇔≤-在(0,1)上恒成立，----5分 设1()cos(1)H x x x =-，则()()()()()2222cos 1sin 1sin 1cos 1'()cos (1)cos (1)x x x x x x H x x x x x -------==------7分当()0,1x ∈时，()sin 10x -<，()cos 10x ->所以'()0H x <在()0,1上恒成立，即函数()H x 在()0,1上单调递减，-------------------8分∴当()0,1x ∈时，()(1)1H x H >=，∴1a ≤.-----------------------------------------------------------------------9分（3）证法1：由（2）知，当1a =时，()sin(1)ln G x x x =--(1)0G >=,sin(1)ln x x ⇒->1sin(1)ln x x⇒-<，------------------------------------------10分∵对任意的k N *∈有21(0,1)(1)k ∈+，∴211(0,1)(1)k -∈+ ∴22211(1)sin ln ln1(1)(2)1(1)k k k k k +<=++-+，--------------------------------------12分∴22222211123(1)sin sin sin ln ln ln23(1)1324(2)n n n n ++++<++++⨯⨯+ 22223(1)2(1)ln[]ln1324(2)2n n n n n ++=⋅⋅⋅=⨯⨯++ln 2<， 即211sinln 2(1)nk k =<+∑．--------------------------------------------------------14分 4、5、解：（1）.1,2)2(=-∴=b a g∴ x a ax x ln x h )1(21)(2-+-=，其定义域为（0，+∞）.21(1)1(1)(1)()(1)=ax a x ax x h x ax a x x x-+-+-+-'=-+-=， (1)分若0≥a ,则函数)(x h 在区间（0,1）上单调递增；在区间（1,+∞）上单调递减. ……2分 若0<a ,令()0h x '=,得121,1x x a=-=. .1 .当1-<a 时，则101a<-<，所以函数)(x h 在区间（ 0,1a -）和（1,+∞）上单调递增；在区间（1a-,1）上单调递减. ……3分 .2 当1-=a 时，0)(/>x h ,所以函数)(x h 在区间（0，+∞）单调递增. ……4分 .3 当01<<-a 时，则11a ->，所以函数)(x h 在区间（0,1）和（1a-,+∞）上单调递增；在区间（1,1a-）上单调递减. （综上所述略） ……5分 （2）∵函数)(x g 是关于x 的一次函数 ， ∴ bx x x h +=ln )(，其定义域为（0，+∞）. ① 由()0h x =,得ln -x b x =，记ln ()x x x ϕ=-，则2ln 1()x x x ϕ-'=.……6分 ∴ln ()xx xϕ=-在(0,)e 单调减，在(,)e +∞单调增， ∴当e x =时,ln ()x x xϕ=-取得最小值e 1-. ……7分又(1)0ϕ=，所以(0,1)x ∈时,()0x ϕ>，而(1,)x ∈+∞时,()0x ϕ<. ……8分 ∴b 的取值范围是（e1-，0）. ……9分② 由题意得0ln 0ln 2211=+=+bx x ,bx x ，∴0)(ln ln 0)(ln 12122121=-+-=++x x b x x ,x x b x x . ∴12122121ln ln ln x x x xx x x x +=--.不妨设21x x <.要证221e x x > , 只需要证12122121ln (ln ln )2x x x x x x x x +=->-，即证2121212()ln ln x x x x x x -->+ , 即.)(2ln 121212x x x x x x +-> ……10分设)1(12>=t x x t ，2(1)4()ln ln 211t F t t t t t -=-=+-++， …………11分 22214(1)()0(1)(1)t F t t t t t -'=-=>++， ……12分∴函数()F t 在（1，+∞）上单调递增，而(1)0F =，所以()0F t >,即2(1)ln 1t t t ->+，∴221e x x >. ……14分 6、解：（1）显然曲线方程为x y ln =，设切点为()00ln ,x x由x y 1/=得到切线的斜率为01x k =。