5.神秘的无穷与数学危机汇总

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当初的伽利略悖论，就是因为没有看到 “无限”的这一个特点而产生的。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … n … ↕↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 … n2 …
[ 该两集合：有一一对应，于是推出两集合的 元素个数相等；但由“部分小于全体”，又推 出两集合的元素个数不相等。这就形成悖论。]
中都有无穷个客人
12
34┅
↓↓↓ ↓┅ ↓ ┅
10001 20002 30003 40004 ┅
k┅
10001×k ┅
给出了一万个、又一万个的空房间
5
全面、深刻地揭示本质的回答 是容易推广的。
6
2. 客满后又来了一个旅游团，旅游团 中有无穷个客人
12
3
↓↓ ↓ ↓┅
2
4
6
空下了奇数号房间
4 ↓┅
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3）飞矢不动悖论
一支飞行的箭是静止的： 由于每一时刻这支箭都有其确定的位置因而
是静止的，因此箭就不能处于运动状态。
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4）“操场或游行队伍”
A、B两件物体以等速向相反方向运动。从静 止的C看来，比如说，A、B都在1小时内移动 了2公里；可是，从A看来，则B在1小时内就 移动了4公里。由于B保持等速移动，所以移 动2公里的时间应该是移动4公里时间的一半。 因而一半的时间等于两倍的时间。
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┅ k┅ ┅ 2k ┅
7
3. 客满后又来了一万个旅游团，每个团
中都有无穷个客人
12
34┅
↓↓↓ ↓┅ ↓ ┅
10001 20002 30003 40004 ┅
k┅
10001×k ┅
给出了一万个、又一万个的空房间
8
是否有人想提什么问题？
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4. [思] 该旅馆客满后又来了无穷个旅游 团，每个团中都有无穷个客人，还能否 安排？
lnim时 a，n 。
k
n k an N 17
0.99999‥‥‥=1?
3）无穷级数 通过有限的步骤，求出无限次运算的结果，如
i 1

1
i

2
1
4）递推公式 an an1 , d a1 = *
有一个著名的例子：
兔子永远追不上乌龟，箭永远射不上靶子。结果虽然可笑，但在 逻辑上却耐人寻味，这就是著名的二分法悖论。
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四、 数学中的无限在生活中的反映
1）大烟囱是圆的：每一块砖都是直的 （整体看又是圆的）
2）锉刀锉一个光滑零件： 每一锉锉下去都是直的
（许多刀合在一起的效果又是光滑的）
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3） 不规则图形的面积：正方形的面积，长方形的
面积三角形的面积，多边形的面积，圆面积。 规则图形的面积→不规则图形的面积？
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1）两分法
向着一个目的地运动的物体，首先必须经过 路程的中点；然而要经过这点，又必须先经 过路程的四分之一点；要过四分之一点又必 须首先通过八分之一点等等，如此类推，以 至无穷。结论是：无穷是不可穷尽的过程， 运动永远不可能开始的。
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2）阿基里斯(Achilles)悖论： 阿基里斯追不上乌龟。
1 (1) 1 (1) 1 (1) L [1 (1)] [1 (1)] [1 (1)] L 0 1 [(1) 1] [(1) 1] [(1) 1] L 1
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（2）有限级数一定有“和”。 √
n
ai 是个确定的数
法Ⅰ.用方格套（想像成透明的）。方格越小，所得面 积越准
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法Ⅱ.首先转化成求曲边梯形的面积，（不规 则图形→若干个曲边梯形），再设法求曲边梯形
的面积：划分，求和， f (i )xi i
矩形面积之和 ~ 曲边梯形面积； 越小，就越精确；再取极 限 0，就得到曲 边梯形的面积。
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例如：“甲是乙”与“甲不是乙” 这两个命题中总有一个是错的；但 “本句话是七个字”与“本句话不是 七个字”又均是对的，这也是悖论。
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4、芝诺悖论---由无限引出的
芝诺（前490？—前430？）是（南意大利的） 爱利亚学派创始人巴门尼德的学生。他企图证明 该学派的学说：“多”和“变”是虚幻的，不可 分的“一”及“静止的存在”才是唯一真实的； 运动只是假象。于是他设计了四个例证，人称 “芝诺悖论”。这些悖论是从哲学角度提出的。 我们从数学角度看其中的一个悖论。
很多思想家都研究过无穷大。古希腊的哲学家们就一条线段 (或者就任何数量而言)，是不是可无限地被分割，或者说是 不是可以最终得到一个不可分割的点(即“原子”)等问题， 展开了无休止的争论。
他们的现代追随者——物理学家们今天仍然还在设法解决同 一个问题，他们使用巨大的粒子加速器寻找“基本粒子”— —那些构成整个宇宙的基本砖块。天文学家一直在从另一个 极端的——无限广阔的——尺度上思索着无穷大问题。我们 的宇宙真像它所呈现在晴朗的黑夜那样无穷无尽，或是它有 一个边界(在这个边界之外什么东西也不存在)吗？
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六．哲学中的无限
1．哲学对“无限”的兴趣
哲学是研究整个世界的科学。自从提出“无 限”的概念，就引起了哲学家广泛的关注和研究。 现在我们知道哲学中有下边一些命题：
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物质是无限的；时间与空间是无限的； 物质的运动形式是无限的。
一个人的生命是有限的；一个人对 客观世界的认识是有限的。
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无限可分与原子论
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症结：
无限段长度的和，可能是有限的； 无限段时间的和，也可能是有限的。
芝诺悖论的意义：
1）促进了严格、求证数学的发展 2）较早的“反证法”及“无限”的思想 3）尖锐地提出离散与连续的矛盾：
空间和时间有没有最小的单位？
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芝诺的前两个悖论是反对“空间和时间是连 续的”，后两个悖论则是反对“空间和时间是离 散的”；第一、第三反对绝对运动，而第二、第 四，反对相对运动。在芝诺看来，这两种理论都 有毛病；所以，“运动只是假象，不动不变才是 真实”。
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三、悖论（paradox）
悖论（paradox）具体是指：由一个被承认是 真的命题为前提，设为B，进行正确的逻辑推 理后，得出一个与前提互为矛盾命题的结论 非B；反之，以非B为前提，亦可推得B。那 么命题B就是一个悖论。
1．说谎者悖论：最早见《新约全书·提多书》 “我正在说谎”
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1. “客满”后又来1位客人（“客满”）
1 2 3 4 ┅k ┅ ↓ ↓ ↓ ↓┅↓ ┅ 2 3 4 5 ┅ k+1 ┅
空出了1号房间
3
2. 客满后又来了一个旅游团，旅游团 中有无穷个客人
12
3
↓↓ ↓ ↓┅
2
4
6
空下了奇数 2k ┅
4
3. 客满后又来了一万个旅游团，每个团
芝诺的哲学观点虽然不对，但是，他如此尖
锐地提出了空间和时间是连续还是离散的问题，
引起人们长期的讨论，促进了认识的发展，不能
不说是巨大的贡献。
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/f/5054 067.html
从惊讶到思考
——数学悖论奇景
《科学美国人》杂志社 马丁•加德纳
五、 潜无限与实无限
1．潜无限与实无限简史
潜无限是指把无限看成一个永无终止的过程， 认为无限只存在于人们的思维中，只是说话的一 种方式，不是一个实体。
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从古希腊到康托以前的大多数哲学家和数 学家都持潜无限的观点
他们认为“正整数集是无限的”来自我们不能穷举 所有正整数。例如，可以想象一个个正整数写在一 张张小纸条上，从1，2，3，…写起，每写一张， 就把该纸条装进一个大袋子里，那么，这一过程将 永无终止。
有限宇宙的可能性似乎是对我们常识的一种挑战。我们可以 在任何方向上一直走下去而永远也到不了“边”，这个事实 不是很清楚吗？但是我们将不难看出，当研究无穷大时， “常识”是一个非常差劲的向导！
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2．数学对“无限”的观点的贡献
数学则更严密地研究有限与无限的关系，大大提高 了人类认识无限的能力。在有限环境中生存的有限的人 类，获得把握无限的能力和技巧，那是人类的智慧；在 获得这些成果过程中体现出来的奋斗与热情，那是人类 的情感；对无限的认识成果，则是人类智慧与热情的共 同结晶。一个人，若把自己的智慧与热情融入数学学习 和数学研究之中，就会产生一种特别的感受。如果这样， 数学的学习不仅不是难事，而且会充满乐趣。
康托的无穷集合论也导致了第三次数学危机。
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康托Georg Ferdinand Philip Cantor (1845～1918)
德国数学家，集合论的创始者。1845 年3月3日生于圣彼得堡（今苏联列宁 格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。 1862年17岁时入瑞士苏黎世大学,翌年 转入柏林大学,主修数学，从学于E.E. 库默尔、K.（T.W.）魏尔斯特拉斯。 1866年曾去格丁根学习一学期。1867 年在库默尔指导下以数论方面的论文 获博士学位。后即在该大学任讲师， 1872年任副教授，1879年任教授。
第五讲 神秘的无穷与三次数学危机
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目录
一、“有无限个房间”的Hilbert旅馆 二、无限与有限的区别和联系 三、悖论（paradox）
四、 数学中的无限在生活中的反映 五、 潜无限与实无限 六．哲学中的无限 七、无穷与数学危机
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一、“有无限个房间”的Hilbert旅 馆
i 1
无穷级数一定有“和”。 ×


(1)i
则不是个确定的数。称为该
i 1
级数“发散”。反之称为“收敛”。
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2. 联系
在“有限”与“无限”间建立联系的手段，往 往很重要。
1）数学归纳法 通过有限的步骤，证明了命