等腰三角形经典练习题(有难度)
等腰三角形的判定练习题经典(含答案)
1、 已知：等边ABC ∆的ABC ∠、ACB ∠的平分线交于点O ，BO 、CO 的垂直平分线与BC 分别交于点E 、F ，求证：FC EF BE == 2、已知：如图，AD 是ABC ∆的角平分线，AD 的中垂线分别交AB 于F 交BC 的延长线于点E ，求证：（1）AC DF //（2）CAE B ∠=∠3、 如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠交BC 的 中垂线于D ，AB DF ⊥于F ，AC DE ⊥于E ， 求证：CE BF =4、 如图，在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，D 是BC 延长线上一点，E 是AB 上一点，且在BD 的垂直平分线上，DE 交AC 于F求证：E 在AF 的垂直平分线上5、 如图，︒=∠90BAC ，D 为ABC ∆内一点， 且BD AC AB ==，︒=∠30ABD 求证：DC AD =6、已知：如图，在ABC ∆中，C ABC ∠=∠2，BC AD ⊥于D ，E 在AB 的延长线上，且BD BE =，ED 的延长线交AC 于F ，求证：F 是AC 的中点7、已知：如图BC AC =，BD AD =， BDE ADF ∠=∠，求证：AB EF //8、已知，如图，AD 平分BAC ∠，EF 是AD 的中垂线，求证：FAC B ∠=∠9、在ABC ∆中，C B ∠=∠2，AB BC 2=，D 为BC 边的中点，连结AD ，求证：ABD ∆是等边三角形10、如图，︒=∠=∠60ACD ABD ，BDC ADB ∠-︒=∠2190，求证：ABC ∆是等腰三角形答案：1、（1）F Θ在AD 的中垂线上，FD FA =∴，FDA FAD ∠=∠∴，AD Θ平分BAC ∠，CAD BAD ∠=∠∴，DAC FDA ∠=∠∴，AC DF //∴ （2）E Θ在AD 的中垂线上，ED EA =∴，ADE DAE ∠=∠∴BAD B ADE ∠+∠=∠Θ，CAE DAC DAE ∠+∠=∠，DAC BAD ∠=∠Θ CAE B ∠=∠∴2、 连结OE 、OF ，E Θ、F 在BO 、CO 中垂线上，CF OF OE BE ==∴,， 又ABC ∆Θ为等边三角形，OB 、OC 平分ABC ∠、ACB ∠，︒=∠=∠∴30OCB OBC ，︒=∠=∠∴60OFE OEF ，OF EF OE ==∴，从而CF EF BE ==3、 连结BD 、DC ，AD Θ平分BAC ∠，AC DE ⊥，AB DF ⊥，DF DE =∴，︒=∠=∠90DEC BFD ，DM Θ垂直平分BC ，DC BD =∴， BDE Rt ∆∴≌CDE Rt ∆，CE BF =∴4、E Θ在BD 的中垂线上，EB ED =∴，EDB B ∠=∠∴，︒=∠90ACB Θ， B A ∠-︒=∠∴90，EDB DFC ∠-︒=∠90，而AFE DFC ∠=∠，AFE A ∠=∠∴，EF EA =∴，E ∴点在AF 的中垂线上5、过A 作BD AE ⊥于点E ，过D 点作AC DF ⊥于点F ，则AB AE 21=，再证AE AF =，可得AC AF 21=，DF ∴为AC 中垂线，∴有DC DA = 9、证明：如图，作ABC ∠的平分线交AC 于E ，连结ED ，C ABC ∠=∠2Θ， C EBC ∠=∠∴，EC EB =∴，D Θ是BC 的中点，BC ED ⊥∴， ︒=∠∴90EDB ，AB BC 2=Θ，BD BC 2=，BA BD =∴，DBE ABE ∠=∠，BE BE =，ABE ∆∴≌DBE ∆，︒=∠∴90BAC ， ︒=∠+∠∴90C B ，︒=∠+∠902C C ，︒=∠∴30C ， ︒=∠∴60ABC ABD ∆∴是等边三角形10、延长CD 至E ，使BD DE =，连结AE ，BDC ADB ∠-︒=∠2190Θ， 而BDC BDC BDC BDC ADB ADE ∠-︒=∠-∠-︒-︒=∠-∠-︒=∠2190)2190(180180ADE ADB ∠=∠∴，AD ∴平分BDE ∠，ABD ∆∴≌AED ∆，AE AB =，且︒=∠=∠∴60ABD E 在ACE ∆中，︒=∠=∠60E ACE ，AC AE =∴， 从而AC AB =ABC ∆∴是等腰三角形。
等腰三角形经典练习题(有难度)
等腰三角形练习题一、计算题： 1.如图，△ABC中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB 求∠A 的度数设∠ABD 为x,则∠A 为2x 由8x=180° 得∠A=2x=45°2.如图，求∠A 的度数 设∠A 为x, 由5x=180°得∠A=36°3. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F FDABEDF=70°， 求∠AFD 的度数 ∠AFD=160°4. 如图，△ABC 中， AB=AC,BC=BD=ED=EA 求∠A 的度数 设∠A 为x ∠A=71805. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求∠EDC 的度数 设∠ADE 为x∠EDC=∠AED －∠BB2xx －15°6. 如图，△ABC中，∠C=90°，D为AB上一点，作DE⊥BC于E，若BE=AC,BD=21,DE+BC=1, 求∠ABC的度数延长DE到点F,使EF=BC 可证得:△ABC≌△BFE所以∠1=∠F由∠2+∠F=90°,得∠1+∠F=90°在Rt△DBF中, BD=21,DF=1 所以∠F =∠1=30°F7. 如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，若AC=AB+BD 求∠B ：∠C 的值在AC 上取一点E,使AE=AB 可证△ABD ≌△ADE 所以∠B=∠AED由AC=AB+BD,得DE=EC, 所以∠AED=2∠C 故∠B ：∠C=2:1二、证明题：8. 如图，△ABC 中，∠ABC,∠CAB 的平分线交于点P ，过点P 作DE ∥AB ，分别交BC 、AC 于点D 、E求证：DE=BD+AE 证明△PBD 和△PEAC BADEPABCDE是等腰三角形9. 如图，△DEF 中，∠EDF=2∠E ，FA ⊥DE 于点A ，问：DF 、AD 、AE 间有什么样的大小关系 DF+AD=AE在AE 上取点B,使AB=AD10. 如图，△ABC 中，∠B=60°，角平分线AD 、CE 交于点O 求证：AE+CD=AC 在AC 上取点F,使AF=AE 易证明△AOE ≌△AOF, 得∠AOE=∠AOF由∠B=60°，角平分线AD 、CE,ADFEBOA BC DEF得∠AOC=120°所以∠AOE=∠AOF=∠COF=∠COD=60° 故△COD ≌△COF,得CF=CD 所以AE+CD=AC11. 如图，△ABC 中，AB=AC, ∠A=100°，BD 平分∠ABC,求证：BC=BD+AD 延长BD 到点E,使BE=BC,在BC 上取点F,使BF=BA 易证△ABD≌△FBD,得AD=DF 再证△CDE ≌△CDF,得DE=DF 故BE=BC=BD+AD也可:在BC 上取点E,使BF=BD,连结DF 在BF 上取点E,使BF=BA,连结DE 先证DE=DC,再由△ABD ≌△EBD,得AD=DE,最后证明DE=DF 即可ACF ACEF12. 如图,△ABC 中,AB=AC,D 为△ABC 外一点，且∠ABD=∠ACD =60° 求证：CD=AB-BD在AB 上取点E ，使BE=BD ，在AC 上取点F ，使CF=CD 得△BDE 与△CDF 均为等边三角形， 只需证△ADF ≌△AED13.已知：如图，AB=AC=BE ，CD 为△ABC 中AB 边上的中线 求证：CD=21CE 延长CD 到点E,使DE=CD.连结 证明△ACE ≌△BCEEABCDEF14. 如图，△ABC 中，∠1=∠2，∠EDC=∠BAC 求证：BD=ED在CE 上取点F,使AB=AF 易证△ABD ≌△ADF, 得BD=DF,∠B=∠AFD由∠B+∠BAC+∠C=∠DEC+∠EDC+∠C=180° 所以∠B=∠DEC 所以∠DEC=∠AFD 所以DE=DF,故BD=ED15. 如图，△ABC 中，交BC 于点G 求证：EG=FG16. 如图，△ABC 中，∠ABC=2∠C ，AD 是BC边上的高，B 到点E ，使BE=BDA FCA BDE 1 2FF求证：AF=FC17. 如图，△ABC 中，AB=AC,AD 和BE 两条高，交于点H ，且求证：AH=2BD由△AHE ≌△BCE,得18. 如图，△ABC中，AB=AC, ∠BAC=90°,BD=AB, ∠ABD=30° 求证：AD=DC作AF ⊥BD 于F,DE ⊥AC 于可证得∠DAF=DAE=15°,ADFBD得AF=AE,由AB=2AF=2AE=AC,所以AE=EC, 因此DE 是AC 的中垂线,所以AD=DC19. 如图，等边△ABC 中，分别延长BA 至点E ，延长BC 至点D ，使求证：EC=ED延长BD 到点F,使DF=BC, 可得等边△BEF,只需证明△BCE ≌△FDE 即可20. 如图，四边形ABCD 中，∠BAD+∠BCD=180°，AD 、BC 的延长线交于点F ，DC 、AB 的延长线交于点E ，∠E 、∠F 的平分线交于点H 求证：EH ⊥FHBCDFABDCEFHG 12 M延长EH交AF于点G 由∠BAD+∠BCD=180°, ∠DCF+∠BCD=180°得∠BAD=∠DCF,由外角定理,得∠1=∠2, 故△FGM是等腰三角形由三线合一,得EH⊥FH。
等腰三角形练习题(含答案)
等腰三角形第1课时等腰三角形的性质1.已知等腰三角形的一个底角为50。
，则其顶角为________ ・2.如图，HABC中…13=∕C, BC=6cm, JD 平分ZBAC.则BD= _________________ c m.第3题图3.如图，'ABC中，-lδ=FC, D为EC中点，ZBAD=35。
,则ZC的度数为（）A.35oB. 45。
C・ 55。
D・ 60o4.已知等腰三角形的一个内角为50。
，则这个等腰三角形的顶角为（）A・ 50o B. 80oC. 50。
或80。
D・ 40。
或65。
5.如图，在Z∖J5C 中，D 是BC 边上一点，^AB=.-ID=DC, ZAW=40°,求ZC 的度数.6.如图，ΔJBCΦ, .IB=AC9 D 是EC 的中点，E, F分别是.1B. JC±的点，且AE=AF. 求证：DE=DF.1. 在 ∕∖ABC 中，ZJ=40% Z5 = 70o ,则 MBC 为（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形2. 已知ΔJPC 中，Z5=50% ZJ = 80c , -lδ=5cm.则 AC= _________________ ・3. 如图，在ΛABC 中，-Q 丄BC 于点Zh 请你再添加一个条件，使苴可以确定AlSC 为等腰三角形，则添加的条件是 ________ ・第3题图4. 如图，已知NlBC 中，ZJ = 36% AB=AC, BD 为ZABC 的平分线，则图中共有 _______________ 个等腰三角形.5. 如图，D 是ZXJ5C 的BC 边上的中点，DE 丄AC. DFLAB.垂足分别是E, F,且DE=DF 求证:AB=AC.6.如图，肋〃 CZ λ直线/交,松于点E,交CD 于点F, FG 平分ZEFD 交直线曲于点G 求证：ZLEFG 是等腰三角形.第4题图13・3.2等边三角形第1课时等边三角形的性质与判定1. ____________________________________________________________ 如图，a∕∕b.等边MBC的顶点D C在直线b上，则Zl的度数为_______________________第1题图第3题图2.在∕∖ABC中，ZJ=60°,现有下面三个条件：®ZB=ZC;③ZA=ZB.能判定Z∖J5C为等边三角形的有____________________________ .3・如图，在等边AABC中，BD丄AC于D∙若,松=4,则AD= ________________ ・4.如图，ΔJ J9C是等边三角形，ZCBD=90°. BD=BC.连接.10交BC于点求ZBAD 的度数.5・如图，E是等边AABC中JC边上的点，Z1 = Z2, BE=CD.求证: (I)ZUEE 竺ZUS⑵AADE为等边三角形.第2课时含30。
等腰三角形单元测试题(含答案)
等腰三角形典型例题练习等腰三角形典型例题练习一．选择题（共2小题）1．如图，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=5cm，BD=3cm，则点D到AB的距离为（）A．5cm B．3cm C．2cm D．不能确定2．如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N．给出以下三个结论：①AE=BD②CN=CM③MN∥AB其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3二．填空题（共1小题）3．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于_________ ．三．解答题（共15小题）4．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证DE=DF．5．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．请说明DE=BD+EC．6．＞已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF．请判断△ABC是什么三角形？并说明理由．7．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD．连接DE．（1）∠E等于多少度？（2）△DBE是什么三角形？为什么？8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD．9．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=CE，DE与BC相交于点F．求证：DF=EF．10．已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E，求证：BD=2CE．11．（2012•）如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：如图①，连接AP．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=AB•PE，S△ACP=AC•PF，S△ABC=AB•CH．又∵S △ABP+S△ACP=S△ABC，∴AB•PE+AC•PF=AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH．（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH= _________ ．点P到AB边的距离PE= _________ ．12．数学课上，老师出示了如下的题目：“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE _________ DB（填“＞”，“＜”或“=”）．（2）特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE _________ DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．13．已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF于点E，点D在AF上，ED=EA，点P在CF上，连接PB交AF于点M．若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．14．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．（1）线段AD与BE有什么关系？试证明你的结论．（2）求∠BFD的度数．15．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF，求证：AE=CF．16．已知：如图，在△OAB中，∠AOB=90°，OA=OB，在△EOF中，∠EOF=90°，OE=OF，连接AE、BF．问线段AE与BF之间有什么关系？请说明理由．17．（2006•）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．（1）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；（2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由．18．如图甲所示，在△ABC中，AB=AC，在底边BC上有任意一点P，则P点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高），即PD+PE=CF，若P点在BC的延长线上，那么请你猜想PD、PE和CF之间存在怎样的等式关系？写出你的猜想并加以证明．等腰三角形典型例题练习参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．如图，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=5cm，BD=3cm，则点D到AB的距离为（）A．5cm B．3cm C．2cm D．不能确定考点：角平分线的性质．分析：由已知条件进行思考，结合利用角平分线的性质可得点D到AB的距离等于D到AC的距离即CD的长，问题可解．解答：解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D∴D到AB的距离即为CD长CD=5﹣3=2故选C．2．如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N．给出以下三个结论：①AE=BD②CN=CM③MN∥AB其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3考点：平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．分析：由△ACD和△BCE是等边三角形，根据SAS易证得△ACE≌△DCB，即可得①正确；由△ACE≌△DCB，可得∠EAC=∠NDC，又由∠ACD=∠MCN=60°，利用ASA，可证得△ACM≌△DCN，即可得②正确；又可证得△CMN是等边三角形，即可证得③正确．解答：解：∵△ACD和△BCE是等边三角形，∴∠ACD=∠BCE=60°，AC=DC，EC=BC，∴∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠ECB，即∠ACE=∠DCB，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE=BD，故①正确；∴∠EAC=∠NDC，∵∠ACD=∠BCE=60°，∴∠DCE=60°，∴∠ACD=∠MCN=60°，∵AC=DC，∴△ACM≌△DCN（ASA），∴CM=CN，故②正确；又∠MCN=180°﹣∠MCA﹣∠NCB=180°﹣60°﹣60°=60°，∴△CMN是等边三角形，∴∠NMC=∠ACD=60°，∴MN∥AB，故③正确．故选D．二．填空题（共1小题）3．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于1：3 ．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．分析：首先根据题意求得：∠DFE=∠FED=∠EDF=60°，即可证得△DEF是正三角形，又由直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，得到边的关系，即可求得DF：AB=1：，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果．解答：解：∵△ABC是正三角形，∴∠B=∠C=∠A=60°，∵DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，∴∠AFE=∠CED=∠BDF=90°，∴∠BFD=∠CDE=∠AEF=30°，∴∠DFE=∠FED=∠EDF=60°，，∴△DEF是正三角形，∴BD：DF=1：①，BD：AB=1：3②，△DEF∽△ABC，①÷②，=，∴DF：AB=1：，∴△DEF的面积与△ABC的面积之比等于1：3．故答案为：1：3．三．解答题（共15小题）4．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证DE=DF．考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的定义．分析：过D作DM⊥AB，于M，DN⊥AC于N，根据角平分线性质求出DN=DM，根据四边形的角和定理和平角定义求出∠AED=∠CFD，根据全等三角形的判定AAS推出△EMD≌△FND即可．解答：证明：过D作DM⊥AB，于M，DN⊥AC于N，即∠EMD=∠FND=90°，∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM=DN（角平分线性质），∠DME=∠DNF=90°，∵∠EAF+∠EDF=180°，∴∠MED+∠AFD=360°﹣180°=180°，∵∠AFD+∠NFD=180°，∴∠MED=∠NFD，在△EMD和△FND中，∴△EMD≌△FND，∴DE=DF．5．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．请说明DE=BD+EC．考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．分析：根据OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，和DE∥BC，利用两直线平行，错角相等和等量代换，求证出DB=DO，OE=EC．然后即可得出答案．解答：解：∵在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠DBO=∠OBC，∠ECO=∠OCB，∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC=∠DBO，∠EOC=∠OCB=∠ECO，∴DB=DO，OE=EC，∵DE=DO+OE，∴DE=BD+EC．6．＞已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF．请判断△ABC是什么三角形？并说明理由．考点：等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质．分析：用（HL）证明△EBD≌△FCD，从而得出∠EBD=∠FCD，即可证明△ABC是等腰三角形．解答：△ABC是等腰三角形．证明：连接AD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°，且DE=DF，∵D是△ABC的BC边上的中点，∴BD=DC，∴Rt△EBD≌Rt△FCD（HL），∴∠EBD=∠FCD，∴△ABC是等腰三角形．7．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD．连接DE．（1）∠E等于多少度？（2）△DBE是什么三角形？为什么？考点：等边三角形的性质；等腰三角形的判定．分析：（1）由题意可推出∠ACB=60°，∠E=∠CDE，然后根据三角形外角的性质可知：∠ACB=∠E+∠CDE，即可推出∠E的度数；（2）根据等边三角形的性质可知，BD不但为AC边上的高，也是∠ABC的角平分线，即得：∠DBC=30°，然后再结合（1）中求得的结论，即可推出△DBE是等腰三角形．解答：解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∵CD=CE，∴∠E=∠CDE，∵∠ACB=∠E+∠CDE，∴，（2）∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，∴∠ABC=60°，∴，∵∠E=30°，∴∠DBC=∠E，∴△DBE是等腰三角形．8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD．考点：含30度角的直角三角形．分析：由△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°可以推出AB=2BC，同理可得BC=2BD，则结论即可证明．解答：解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴AB=2BC，∠B=60°．又∵CD⊥AB，∴∠DCB=30°，∴BC=2BD．∴AB=2BC=4BD．9．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=CE，DE与BC相交于点F．求证：DF=EF．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．分析：过D点作DG∥AE交BC于G点，由平行线的性质得∠1=∠2，∠4=∠3，再根据等腰三角形的性质可得∠B=∠2，则∠B=∠1，于是有DB=DG，根据全等三角形的判定易得△DFG≌△EFC，即可得到结论．解答：证明：过D点作DG∥AE交BC于G点，如图，∴∠1=∠2，∠4=∠3，∵AB=AC，∴∠B=∠2，∴∠B=∠1，∴DB=DG，而BD=CE，∴DG=CE，在△DFG和△EFC中，∴△DFG≌△EFC，∴DF=EF．10．已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E，求证：BD=2CE．考点：全等三角形的判定与性质．分析：延长CE，BA交于一点F，由已知条件可证得△BFE全≌△BEC，所以FE=EC，即CF=2CE，再通过证明△ADB≌△FAC可得FC=BD，所以BD=2CE．解答：证明：如图，分别延长CE，BA交于一点F．∵BE⊥EC，∴∠FEB=∠CEB=90°，∵BE平分∠ABC，∴∠FBE=∠CBE，又∵BE=BE，∴△BFE≌△BCE （ASA）．∴FE=CE．∴CF=2CE．∵AB=AC，∠BAC=90°，∠ABD+∠ADB=90°，∠ADB=∠EDC，∴∠ABD+∠EDC=90°．又∵∠DEC=90°，∠EDC+∠ECD=90°，∴∠FCA=∠DBC=∠ABD．∴△ADB≌△AFC．∴FC=DB，∴BD=2EC．11．（2012•）如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：如图①，连接AP．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=AB•PE，S△ACP=AC•PF，S△ABC=AB•CH．又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，∴AB•PE+AC•PF=AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH．（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB 边上的高CH= 7 ．点P到AB边的距离PE= 4或10 ．考点：等腰三角形的性质；三角形的面积．分析：（1）连接AP．先根据三角形的面积公式分别表示出S△ABP，S△ACP，S△ABC，再由S△ABP=S△ACP+S△ABC即可得出PE=PF+PH；（2）先根据直角三角形的性质得出AC=2CH，再由△ABC的面积为49，求出CH=7，由于CH＞PF，则可分两种情况进行讨论：①P为底边BC上一点，运用结论PE+PF=CH；②P为BC延长线上的点时，运用结论PE=PF+CH．解答：解：（1）如图②，PE=PF+CH．证明如下：∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=AB•PE，S△ACP=AC•PF，S△ABC=AB•CH，∵S△ABP=S△ACP+S△ABC，∴AB•PE=AC•PF+AB•CH，又∵AB=AC，∴PE=PF+CH；（2）∵在△ACH中，∠A=30°，∴AC=2CH．∵S△ABC=AB•CH，AB=AC，∴×2CH•CH=49，∴CH=7．分两种情况：①P为底边BC上一点，如图①．∵PE+PF=CH，∴PE=CH﹣PF=7﹣3=4；②P为BC延长线上的点时，如图②．∵PE=PF+CH，∴PE=3+7=10．故答案为7；4或10．12．数学课上，老师出示了如下的题目：“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE = DB（填“＞”，“＜”或“=”）．（2）特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE = DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△A BC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．考点：等边三角形的判定与性质；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．分析：（1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出∠D=∠ECB=30°，求出∠DEB=30°，求出BD=BE 即可；（2）过E作EF∥BC交AC于F，求出等边三角形AEF，证△DEB和△ECF全等，求出BD=EF即可；（3）当D在CB的延长线上，E在AB的延长线式时，由（2）求出CD=3，当E在BA的延长线上，D在BC的延长线上时，求出CD=1．解答：解：（1）故答案为：=．（2）过E作EF∥BC交AC于F，∵等边三角形ABC，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF=AF，∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°，∵DE=EC，∴∠D=∠ECD，∴∠BED=∠ECF，在△DEB和△ECF中，∴△DEB≌△ECF，∴BD=EF=AE，即AE=BD，故答案为：=．（3）解：CD=1或3，理由是：分为两种情况：①如图1过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，则AM∥EM，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=1，∵AM⊥BC，∴BM=CM=BC=，∵DE=CE，EN⊥BC，∴CD=2CN，∵AM∥EN，∴△AMB∽△ENB，∴=，∴=，∴BN=，∴CN=1+=，∴CD=2CN=3；②如图2，作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，则AM∥EM，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=1，∵AM⊥BC，∴BM=CM=BC=，∵DE=CE，EN⊥BC，∴CD=2CN，∵AM∥EN，∴=，∴=，∴MN=1，∴CN=1﹣=，∴CD=2CN=113．已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF于点E，点D在AF上，ED=EA，点P在CF上，连接PB交AF于点M．若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．分析：根据全等三角形的性质和判定和线段垂直平分线性质求出AB=AC=CD，推出∠CDA=∠CAD=∠CPM，求出∠MPF=∠CDM，∠PMF=∠BMA=∠CMD，在△DCM和△PMF中根据三角形的角和定理求出即可．解答：解：∠F=∠MCD，理由是：∵AF平分∠BAC，BC⊥AF，∴∠CAE=∠BAE，∠AEC=∠AEB=90°，在△ACE和△ABE中∵，∴△ACE≌△ABE（ASA）∴AB=AC，∵∠CAE=∠CDE∴AM是BC的垂直平分线，∴CM=BM，CE=BE，∴∠CMA=∠BMA，∵AE=ED，CE⊥AD，∴AC=CD，∴∠CAD=∠CDA，∵∠BAC=2∠MPC，又∵∠BAC=2∠CAD，∴∠MPC=∠CAD，∴∠MPC=∠CDA，∴∠MPF=∠CDM，∴∠MPF=∠CDM（等角的补角相等），∵∠DCM+∠CMD+∠CDM=180°，∠F+∠MPF+∠PMF=180°，又∵∠PMF=∠BMA=∠CMD，∴∠MCD=∠F．14．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．（1）线段AD与BE有什么关系？试证明你的结论．（2）求∠BFD的度数．考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．分析：（1）根据等边三角形的性质可知∠BAC=∠C=60°，AB=CA，结合AE=CD，可证明△ABE≌△CAD，从而证得结论；（2）根据∠BFD=∠ABE+∠BAD，∠ABE=∠CAD，可知∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．解答：（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA．在△ABE和△CAD中，∴△ABE≌△CAD∴AD=BE．（2）解：∵∠BFD=∠ABE+∠BAD，又∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD．∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．15．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF，求证：AE=CF．考点：全等三角形的判定与性质．分析：根据已知利用SAS即可判定△ABE≌△CBF，根据全等三角形的对应边相等即可得到AE=CF．解答：证明：∵∠ABC=90°，∴∠ABE=∠CBF=90°，又∵AB=BC，BE=BF，∴△ABE≌△CBF（SAS）．∴AE=CF．16．已知：如图，在△OAB中，∠AOB=90°，OA=OB，在△EOF中，∠EOF=90°，OE=OF，连接AE、BF．问线段AE与BF之间有什么关系？请说明理由．考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．分析：可以把要证明相等的线段AE，CF放到△AEO，△BFO中考虑全等的条件，由两个等腰直角三角形得AO=BO，OE=OF，再找夹角相等，这两个夹角都是直角减去∠BOE的结果，当然相等了，由此可以证明△AEO≌△BFO；延长BF交AE于D，交OA于C，可证明∠BDA=∠AOB=90°，则AE⊥BF．解答：解：AE与BF相等且垂直，理由：在△AEO与△BFO中，∵Rt△OAB与Rt△OEF等腰直角三角形，∴AO=OB，OE=OF，∠AOE=90°﹣∠BOE=∠BOF，∴△AEO≌△BFO，∴AE=BF．延长BF交AE于D，交OA于C，则∠ACD=∠BCO，由（1）知∠OAE=∠OBF，∴∠BDA=∠AOB=90°，∴AE⊥BF．17．（2006•）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG 是AB边上的高．（1）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；（2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由．考点：等腰三角形的性质．分析：（1）连接AD，根据三角形ABC的面积=三角形ABD的面积+三角形ACD的面积，进行分析证明；（2）类似（1）的思路，仍然用计算面积的方法来确定线段之间的关系．即三角形ABC的面积=三角形ABD的面积﹣三角形ACD的面积．解答：解：（1）DE+DF=CG．证明：连接AD，则S△ABC=S△ABD+S△ACD，即AB•CG=AB•DE+AC•DF，∵AB=AC，∴CG=DE+DF．（2）当点D在BC延长线上时，（1）中的结论不成立，但有DE﹣DF=CG．理由：连接AD，则S△ABD=S△ABC+S△ACD，即AB•DE=AB•CG+AC•DF∵AB=AC，∴DE=CG+DF，即DE﹣DF=CG．同理当D点在CB的延长线上时，则有DE﹣DF=CG，说明方法同上．18．如图甲所示，在△ABC中，AB=AC，在底边BC上有任意一点P，则P点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高），即PD+PE=CF，若P点在BC的延长线上，那么请你猜想PD、PE和CF之间存在怎样的等式关系？写出你的猜想并加以证明．考点：等腰三角形的性质；三角形的面积．分析：猜想：PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF．根据∵S△PAB=AB•PD，S△PAC=AC•PE，S△CAB=AB•CF，S△PAC=AC•PE，AB•PD=AB•CF+AC•PE，即可求证．解答：解：我的猜想是：PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF．理由如下：连接AP，则S△PAC+S△CAB=S△PAB，∵S△PAB=AB•PD，S△PAC=AC•PE，S△CAB=AB•CF，又∵AB=AC，∴S△PAC=AB•PE，∴AB•PD=AB•CF+AB•PE，即AB（PE+CF）=AB•PD，∴PD=PE+CF．。
等腰三角形专项练习30题(有答案)OK
等腰三角形专项练习30题1．已知，如图，△ABC中，AB=AC，DE是AB的中垂线，点D在AB上，点E在AC上，若△ABC的周长为25cm，△EBC的周长为16cm，则AC的长度为（）A．16cm B．9cm C．8cm D．7cm2．在△ABC中，∠ABC=120°，若DE、FG分别垂直平分AB、BC，那么∠EBF为（）A．75°B．60°C．45°D．30°3．如图，AD=BC=BA，那么∠1与∠2之间的关系是（）A．∠1=2∠2 B．2∠1+∠2=180°C．∠1+3∠2=180°D．3∠1﹣∠2=180°4．如图，已知∠AOB=40°，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，CD交OA、OB于M、N两点，则∠MPN的度数是（）A．70°B．80°C．90°D．100°5．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°．∠BAC的平分线与线段AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是（）A．45°B．50°C．55°D．60°6．如图所示，△ABC为正三角形，P是BC上的一点，PM⊥AB，PN⊥AC，设四边形AMPN，△ABC的周长分别为m、n，则有（）A．B．C．D．7．如图所示，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，则①AC平分∠BAD；②CA平分∠BCD；③AC垂直平分BD；④BD平分∠ABC，其中正确的结论有（）A．①②B．①②③C．①②③④D．②③8．下列说法正确的是（）A．两个能重合的图形一定关于某条直线对称B．若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧C．到角两边距离相等的点在这个角的平分线上D．如果三角形一边的垂直平分线经过它的一个顶点，那么这个三角形一定是等腰三角形9．用一根长为a米的线围成一个等边三角形，测知这个等边三角形的面积为b平方米．现在这个等边三角形内任取一点P，则点P到等边三角形三边距离之和为（）米．A．B．C．D．10．在等腰直角△ABC（AB=AC≠BC）所在的三角形边上有一点P，使得△PAB，△PAC都是等腰三角形，则满足此条件的点有（）A．1个B．3个C．6个D．7个11．如图所示，在△ABC中，AB=AC，腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点D，BD+CD=10cm，则AB的长为_________．12．如图，若等腰△ABC的腰长AB=10cm，AB的垂直平分线交另一腰AC于D，△BCD的周长为16cm，则底边BC是_________cm．13．已知实数x，y满足|x﹣4|+（y﹣8）2=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是_________．14．如图所示，将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼在一起，其中两条较长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形有_________个．15．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=8，BC=5，则BD的长为_________．16．等腰△ABC的底边上高AD与底角平分线CE交于点P，EF⊥AD，F为垂足，则线段EB与线段EF的数量关系为_________．17．如图，在等腰在△ABC中，AB=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若在△BCE的周长为50，则底边BC的长为_________．18．等腰△ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分成15和6两部分，则这个三角形的腰长为_________．19．如图，已知D为等边三角形纸片ABC的边AB上的点，过点D作DG∥BC交AC于点G，DE⊥BC于点E，过点G作GF⊥BC于点F．把三角形纸片ABC分别沿DG，DE，GF按图示方式折叠，则图中阴影部分是_________三角形．20．如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD．上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出一种情形）：_________．21．如图，已知等边△ABC边长为1，D是△ABC外一点且∠BDC=120°，BD=CD，∠MDN=60°．求证：△AMN的周长等于2．22．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，说明：BC=DE+EF成立的理由．23．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AD⊥CF；（2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．24．已知：如图，P、Q是△ABC边BC上两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数．25．如图，∠1=∠2，AB=AD，∠B=∠D=90°，请判断△AEC的形状，并说明理由．26．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，①求证：△BCE≌△ACD；②求证：CF=CH；③判断△CFH的形状并说明理由．27．如图：△ABC是等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ=3，PE=1，求AD的长．28．如图，在等腰△ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP交BC于点E，连接BP交AC于点F．（1）证明：∠CAE=∠CBF；（2）证明：AE=BF．29．如图，在△ABC中，已知AB=BC=CA，AE=CD，AD与BE交于点P，BQ⊥AD于点Q，求证：BP=2PQ．30．如图，△ABE和△BCD都是等边三角形，且每个角是60°，那么线段AD与EC有何数量关系？请说明理由．参考答案：1．解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∵△ABC的周长为25cm，△EBC的周长为16cm，AC=AB，∴2AC+BC=25cm，BE+CE+BC=AE+EC+BC=AC+BC=16cm，即，解得：AC=9cm，故选B2．解：∵DE、FG分别垂直平分AB、BC，∴AE=BE，BF=CF，∴∠A=∠ABE，∠C=∠CBF，∵∠A+∠C+∠ABC=180°，∠ABC=120°，∴∠A+∠C=60°，∴∠ABE+∠CBF=60°，∴∠EBF=120°﹣60°=60°，故选B3．解：∵AB=BC，∴∠1=∠BCA，∵AB=AD，∴∠B=∠2，∵∠1+∠B+∠ACB=180°，∴2∠1+∠2=180°．故选B4．解：∵P关于OA、OB的对称∴OA垂直平分PC，OB垂直平分PD∴CM=PM，PN=DN∴∠PMN=2∠C，∠PNM=2∠D，∵∠PRM=∠PTN=90°，∴在四边形OTPR中，∴∠CPD+∠O=180°，∴∠CPD=180°﹣40°=140°∴∠C+∠D=40°∴∠MPN=180°﹣40°×2=100°故选D．5．解：如图，延长AO交BC于点M，连接BO，∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣50°）÷2=65°，∵AO是∠BAC的平分线，∴∠BAO=25°，又∵OD是AB的中垂线，∴∠OBA=∠OAB=25°，∴∠OBM=∠OCM=60°﹣25°=40°，∴∠BOM=∠COM=90°﹣40°=50°，由折叠性可知，∠OCM=∠COE，∴∠MOE=∠COM﹣∠COE=50°﹣40°=10°，∴∠OEM=90°﹣10°=80°，∵由折叠性可知，∠OEF=∠CEF，∴∠CEF=（180°﹣80°）÷2=50°．故选：B6．解：设BM=x，CN=y则BP=2x，PC=2y，PM=x，PN=yAM+AN=2BC﹣（BM+CN）=3（x+y），故==≈0.7887．故选D7．解：在Rt△ABC和Rt△ADC中，AB=AD，AC=AC，所以Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）．所以∠ACB=∠ACD，∠BAC=∠DAC，即AC平分∠BAD，CA平分∠BCD．故①②正确；在△ABD中，AB=AD，∠BAO=∠DAO，所以BO=DO，AO⊥BD，即AC垂直平分BD．故③正确；不能推出∠ABO=∠CBO，故④不正确．故选B8．解：A、两个能重合的图形不一定关于某条直线对称，故错误；B、两个图形关于某条直线对称，它们的对应点有可能位于对称轴上，故错误；C、同一平面内，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，故错误；D，正确，故选D9．解：等边三角形周长为a，则边长为，设P到等边三角形的三边分别为x、y、z，则等边三角形的面积为b=××（x+y+z）解得x+y+z=，故选C10．解：∵△ABC是等腰直角三角形，（AB=AC≠BC）所在的三角形边上有一点P，使得△PAB，△PAC都是等腰三角形，∴有一个满足条件的点﹣斜边中点，∴符合条件的点有1个．故选A．11．解：∵ED是边AB边上的中垂线，∴AD=BD；又∵BD+CD=10cm，AB=AC，∴BD+CD=AD+DC=AC=AB=10cm，即AB=10cm．故答案是：10cm12．解：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴BD+CD=AC，∵AB=AC=10cm，BD+CD+BC=AB+BC=16cm，∴BC=16﹣AB=16﹣10=6cm．故答案为：6cm13．解：根据题意得，x﹣4=0，y﹣8=0，解得x=4，y=8，①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，∵4+4=8，∴不能组成三角形，②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，能组成三角形，周长=4+8+8=20，所以，三角形的周长为20．故答案为：2014．解：∵将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼在一起，其中两条较长直角边在同一条直线上．∴EF∥DG，∠E=∠D=60°，∴∠ENM=∠D=60°，∠MGD=∠E=60°，∴EM=NM=EN，DM=GM=DG，∴△MEN，△MDG是等边三角形．∵∠A=∠B=30°，∴MA=MB，∴△ABM是等腰三角形．∴图中等腰三角形有3个15．解：延长BD与AC交于点E，∵∠A=∠ABD，∴BE=AE，∵BD⊥CD，∴BE⊥CD，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD=∠ECD，∴∠EBC=∠BEC，∴△BEC为等腰三角形，∴BC=CE，∵BE⊥CD，∴2BD=BE，∵AC=8，BC=5，∴CE=5，∴AE=AC﹣EC=8﹣5=3，∴BE=3，∴BD=1.5．故选A．16．解：延长EF交AC于点Q，∵EF⊥AD，AD⊥BC∴EQ∥BC∴∠QEC=∠ECB∵CE平分∠ACB∴∠ECB=QCE∴∠QEC=∠QCE∴QE=QC∵QE∥BC，且△ABC为等腰三角形∴△AQE为等腰三角形∴AQ=AE，QE=2EF∴BE=CQ=2EF．故答案为：BE=2EF．17．解：∵DE垂直且平分AB，∴BE=AE．由BE+CE=AC=AB=27，∴BC=50﹣27=2318．解：设AB=AC=2X，BC=Y，则AD=CD=X，∵AC上的中线BD将这个三角形的周长分成15和6两部分，∴有两种情况：1、当3X=15，且X+Y=6，解得，X=5，Y=1，∴三边长分别为10，10，1；2、当X+Y=15且3X=6时，解得，X=2，Y=13，此时腰为4，根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，而4+4=8＜13，故这种情况不存在．∴腰长只能是10．故答案为1019．解：∵三角形ABC为等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∵根据题意知道点B和点C经过折叠后分别落在了点I和点H处，∴∠DIH=∠B=60°，∠GHI=∠C=60°，∴∠HJI=60°，∴∠DIH=∠GHI=∠HJI=60°，∴阴影部分是等边三角形，故答案为：等边．20．答：由①③条件可判定△ABC是等腰三角形．证明：∵∠EBO=∠DCO，∠EOB=∠DOC，（对顶角相等）BE=CD，∴△EBO≌△DCO，∴OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠ABC=∠ACB，∴△ABC是等腰三角形21．解：延长AC到E，使CE=BM，连接DE，（如图）∵BD=DC，∠BDC=120°，∴∠CBD=∠BCD=30°，∵∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ABD=∠ACD=∠DCE=90°，∴△BMD≌△CDE，∴∠BDM=∠CDE，DM=DE，又∵∠MDN=60°，∴∠BDM+∠NDC=60°，∴∠EDC+∠NDC=∠NDE=60°=∠NDM，又∵DN=DN，∴△MDN≌△EDN（SAS），∴MN=NE=NC+CE=NC+BM，所以△AMN周长=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=2．22．解：∵BD平分∠ABC，DF⊥AB，∠C是直角，∴CD=DF，∠DBC=∠DBE，∠DFB=∠C，∴△BCD≌△BFD，∴BC=BF，∵DE∥BC，∴∠DBC=∠EDB，即∠DBC=∠DBE，∴△BDE是等腰三角形，∴BE=DE，∴BF=BC=DE+EF23．（1）证明：在等腰直角三角形ABC中，∵∠ACB=90°，∴∠CBA=∠CAB=45°．又∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°．∴∠BDE=45°．又∵BF∥AC，∴∠CBF=90°．∴∠BFD=45°=∠BDE．∴BF=DB．又∵D为BC的中点，∴CD=DB．即BF=CD．在△CBF和△ACD中，，∴△CBF≌△ACD（SAS）．∴∠BCF=∠CAD．又∵∠BCF+∠GCA=90°，∴∠CAD+∠GCA=90°．即AD⊥CF．（2）△ACF是等腰三角形，理由为：连接AF，如图所示，由（1）知：CF=AD，△DBF是等腰直角三角形，且BE是∠DBF的平分线，∴BE垂直平分DF，∴AF=AD，∵CF=AD，∴CF=AF，∴△ACF是等腰三角形．24．解：∵BP=PQ=QC=AP=AQ，∴∠PAQ=∠APQ=∠AQP=60°，∠B=∠BAP，∠C=∠CAQ．又∵∠BAP+∠ABP=∠APQ，∠C+∠CAQ=∠AQP，∴∠BAP=∠CAQ=30°．∴∠BAC=120°．故∠BAC的度数是120°25．解：△AEC是等腰三角形．理由如下：∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=∠2+∠3，即∠BAC=∠DAE，又∵AB=AD，∠B=∠D，∴△ABC≌△ADE（ASA），∴AC=AE．即△AEC是等腰三角形26．①证明：∵∠BCA=∠DCE=60°，∴∠BCE=∠ACD，在△BCE和△ACD中，，∴△BCE≌△ACD（SAS）；②∵△BCE≌△ACD，∴∠CBF=∠CAH．∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACH=60°．∴∠BCF=∠ACH，在△BCF和△ACH中，，∴△BCF≌△ACH（ASA），∴CF=CH；③∵CF=CH，∠ACH=60°，∴△CFH是等边三角形27．解：∵△ABC为等边三角形，∴AB=CA，∠BAE=∠ACD=60°；又∵AE=CD，在△ABE和△CAD中，∴△ABE≌△CAD；∴BE=AD，∠CAD=∠ABE；∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=∠BAE=60°；∵BQ⊥AD，∴∠AQB=90°，则∠PBQ=90°﹣60°=30°；∵PQ=3，∴在Rt△BPQ中，BP=2PQ=6；又∵PE=1，∴AD=BE=BP+PE=728．（1）证明：在等腰△ABC中，∵CH是底边上的高线，∴∠ACH=∠BCH，在△ACP和△BCP中，，∴△ACP≌△BCP（SAS），∴∠CAE=∠CBF（全等三角形对应角相等）；（2）在△AEC和△BFC中，∴△AEC≌△BFC（ASA），∴AE=BF（全等三角形对应边相等）．29．证明：∵AB=BC=CA，∴△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠C=60°，在△ABE和△CAD中∴△ABE≌△CAD（SAS），∴∠ABE=∠CAD，∵∠BPQ=∠ABE+∠BAP，∴∠BPQ=∠CAD+∠BAP=∠CAB=60°，∵BQ⊥AD∴∠BQP=90°，∴∠PBQ=30°，∴BP=2PQ．30．解：AD=EC．证明如下：∵△ABC和△BCD都是等边三角形，每个角是60°∴AB=EB，DB=BC，∠ABE=∠DBC=60°，∴∠ABE+∠EBC=∠DBC+∠EBC即∠ABD=∠EBC在△ABD和△EBC中∴△ABD≌△EBC（SAS）∴AD=EC。
各种等腰三角形难题
各种等腰三角形难题例1.在等腰三角形⊿ABC中，AB=AC，∠A=20°，点D在AB上，AD=BC，连接CD，求∠XXX的度数。
解析：利用全等三角形的性质，构造全等三角形⊿DAE≌⊿CBA，得到DE=CE，∠DEC=40°，∠ADE=80°。
因此，∠ADC=150°，∠BDC=30°。
例2.在等腰三角形⊿ABC中，AB=AC，∠BAC=20°，点D和E分别在AB和AC上，且∠BCD=50°，∠CBE=60°，求∠DEB的度数。
解析：通过连线，构造等边三角形⊿GEF和⊿GBC。
得到∠XXX∠EFG=60°，∠AFG=140°，∠DFG=40°，∠XXX∠BCD，BD=BC=BG，∠BGD=80°，∠DGF=40°。
因此，通过全等三角形的性质得到∠DEG=∠DEF=30°。
因此，∠DEB=30°。
例3.在等腰三角形⊿ABC中，AB=AC，∠BAC=20°，点D和E分别为AB和AC上的点，且∠ABE=10°，∠ACD=20°，求∠DEB的度数。
解析：通过连线，构造等边三角形⊿BCF和⊿DGF，得到CM=CB=CF，∠CMF=∠CFM=80°，∠GMF=100°，∠XXX∠FGM=40°，FM=GM。
因此，通过全等三角形的性质得到∠DMG=∠DMF=50°。
因此，∠DEB=30°。
根据已知条件，可以得到∠DMC=130°=∠EMB，且∠DCM=∠EBM=20°。
因此，可以得到⊿DMC∽⊿EMB，进而得到DM/MC=EM/MB。
同时，由于∠DME=∠BMC=50°，可以得到⊿DME∽⊿CMB，且∠DEM=∠XXX°。
又因为∠BEC=∠ABE+∠A=30°，因此可以得到∠DEB=∠DEG-∠BEC=50°-30°=20°。
等腰三角形经典试题综合训练(含解析)
等腰三角形经典试题综合训练（含解析）一．选择题（共18小题）1．若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm2．等腰三角形腰长为5，则其底边长a的取值范围为（）A．0＜a≤5 B．5≤a≤10 C．0＜a＜10 D．0＜a＜53．等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是（）A．50°B．80°C．50°或80°D．20°或80°4．等腰三角形一腰上的高于另一腰的夹角为50°，那么这个三角形的顶角为（）A．40°B．100°C．140°D．40°或140°5．下列说法中，正确的有（）①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两底角相等；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等；④等腰三角形是轴对称图形．A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且DA=DC，BD=BA，则∠B的大小为（）A．40°B．36°C．30°D．25°7．如图，已知等腰三角形ABC，AB=AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（）A．AE=EC B．AE=BE C．∠EBC=∠BAC D．∠EBC=∠ABE8．如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC分别交AB、AC 于M、N，则△AMN的周长为（）A．12 B．4 C．8 D．不确定9．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，对于下列结论：①AD⊥BC；②AE=AF；③AD上任意一点到AB，AC的距离相等；④AD上任意一点到点B，点C 的距离相等．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．410．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E、F分别在三边上，且BE=CD，BD=CF，G为EF的中点，则∠DGE 的度数是（）A．45°B．60°C．90°D．120°11．如图，直线a、b相交于点O，∠1=50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O、A、B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B点有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（）A．2个B．3个C．4个D．无数个13．如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（）A．44°B．66°C．88°D．92°14．如图，在△ABC中，AB=AC=8，点D在BC上，DE∥AB，DF∥AC，则四边形AFDE的周长是（）A．24 B．18 C．16 D．1215．如图，△ABC中，∠ABC=63°，点D，E分别是△ABC的边BC，AC上的点，且AB=AD=DE=EC，则∠C 的度数是（）A．21°B．19°C．18°D．17°16．如图，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4…，若∠A=70°，则∠A n﹣1A n B n﹣1（n＞2）的度数为（）A．B．C．D．17．如图钢架中，∠A=10°，焊上等长的钢条来加固钢架，若P1A=P1P2，则这样的钢条至多需要（）A．5根B．6根C．7根D．8根18．如图，已知△ABC是等腰三角形，AC=BC=5，AB=8，D为底边AB上的一个动点（不与A、B重合），DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，则DE+DF的值为（）A．3 B．4 C．D．二．填空题（共8小题）19．如图1是一把园林剪刀，把它抽象为图2，其中OA=OB．若剪刀张开的角为30°，则∠A=度．20．如图，AB=AC，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，若∠AFD=145°，则∠EDF=度．21．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，DE是线段AC的垂直平分线，若BE=a，AE=b，则用含a、b 的代数式表示△ABC的周长为．22．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且AB=BD，AD=DC，则∠C=度．23．如图，点D、E分别是△ABC的边AC、BC上的点，AD=DE，AB=BE，∠A=80°，则∠BED=°．24．如图所示，三角形ABC的面积为1cm2．AP垂直∠B的平分线BP于点P．则三角形PBC的面积是．25．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm 每秒的速度运动，设运动时间为t秒，当t为时，△ACP是等腰三角形．26．如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点，若使点P，M，N 构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是．三．解答题（共9小题）27．如图，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，∠BAE=42°，求∠BED的度数．28．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．求证：OE=OF．29．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．（1）求证：∠CBE=∠BAD；（2）当△ABC满足什么条件时，AE=CE．直接写出条件．30．文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时，画出图形，写出“已知”，“求证”（如图），她们对各自所作的辅助线描述如下：文文：“过点A作BC的中垂线AD，垂足为D”；彬彬：“作△ABC的角平分线AD”．数学老师看了两位同学的辅助线作法后，说：“彬彬的作法是正确的，而文文的作法需要订正．”（1）请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里；（2）根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程．31．如图，△ABC中，AB=AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD=CE，DE交BC于F，求证：DF=EF．32．如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA=115°时，∠BAD=°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．33．如图1，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，我们发现这个三角形有一种特性，即经过它某一顶点的一条射线可把它分成两个小等腰三角形．为此，请你解答问题；如图2，△ABC中，AB=AC，∠A=108°，请你在图中画一条射线（不必写画法），把它分成两个小等腰三角形，并写出底角的大小．34．在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PE∥AB 交BC于点D，交AC于点F．（1）若点P在BC上（如图一），此时PD=0，可得结论：PD+PE+PF AB（填“＞”“＜”或“=”）（2）当点P在△ABC内（如图二）时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出你的猜想，不需要证明．35．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．（1）当D点在BC的什么位置时，DE=DF？并证明．（2）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明：（3）若D在底边BC的延长线上，（2）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？等腰三角形综合训练参考答案与试题解析一．选择题（共18小题）1．若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm【分析】分为两种情况：2cm是等腰三角形的腰或2cm是等腰三角形的底边，然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．【解答】解：若2cm为等腰三角形的腰长，则底边长为10﹣2﹣2=6（cm），2+2＜6，不符合三角形的三边关系；若2cm为等腰三角形的底边，则腰长为（10﹣2）÷2=4（cm），此时三角形的三边长分别为2cm，4cm，4cm，符合三角形的三边关系；故选A．2．等腰三角形腰长为5，则其底边长a的取值范围为（）A．0＜a≤5 B．5≤a≤10 C．0＜a＜10 D．0＜a＜5【分析】由已知条件腰长是5，底边长为a，根据三角形三边关系列出不等式，通过解不等式即可得到答案．【解答】解：根据三边关系可知：5﹣5＜a＜5+5，即0＜a＜10．故选C．3．等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是（）A．50°B．80°C．50°或80°D．20°或80°【分析】因为题中没有指明该角是顶角还是底角，则应该分两种情况进行分析．【解答】解：①当顶角是80°时，它的底角=（180°﹣80°）=50°；②底角是80°．所以底角是50°或80°．故选C．4．等腰三角形一腰上的高于另一腰的夹角为50°，那么这个三角形的顶角为（）A．40°B．100°C．140°D．40°或140°【分析】分三角形是锐角三角形时，利用直角三角形两锐角互余求解；三角形是钝角三角形时，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解答】解：如图1，三角形是锐角三角时，∵∠ACD=50°，∴顶角∠A=90°﹣50°=40°；如图2，三角形是钝角时，∵∠ACD=50°，∴顶角∠BAC=50°+90°=140°，综上所述，顶角等于40°或140°．故答案为：40°或140°．5．下列说法中，正确的有（）①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两底角相等；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等；④等腰三角形是轴对称图形．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】认真阅读每一问题给出的已知条件，根据等腰三角形的概念、性质判断正误．【解答】解：①等腰三角形的两腰相等，正确；②等腰三角形的两底角相等，正确；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等，正确；④等腰三角形是轴对称图形，对称轴就是底边上的高所在的直线，正确．故选D．6．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且DA=DC，BD=BA，则∠B的大小为（）A．40°B．36°C．30°D．25°【分析】根据AB=AC可得∠B=∠C，CD=DA可得∠ADB=2∠C=2∠B，BA=BD，可得∠BDA=∠BAD=2∠B，在△ABD中利用三角形内角和定理可求出∠B．【解答】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵CD=DA，∴∠C=∠DAC，∵BA=BD，∴∠BDA=∠BAD=2∠C=2∠B，又∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°，故选B．7．如图，已知等腰三角形ABC，AB=AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（）A．AE=EC B．AE=BE C．∠EBC=∠BAC D．∠EBC=∠ABE【分析】利用等腰三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，∴BE=BC，∴∠ACB=∠BEC，∴∠BEC=∠ABC=∠ACB，∴∠A=∠EBC，故选C．8．如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC分别交AB、AC 于M、N，则△AMN的周长为（）A．12 B．4 C．8 D．不确定【分析】根据角平分线的定义可得∠ABE=∠CBE，∠ACE=∠BCE，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CBE=∠BEM，∠BCE=∠CEN，然后求出∠ABE=∠BEM，∠ACE=∠CEN，根据等角对等边可得BM=ME，CN=NE，然后求出△AMN的周长=AB+AC．【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，∴∠ABE=∠CBE，∠ACE=∠BCE，∵MN∥BC，∴∠CBE=∠BEM，∠BCE=∠CEN，∴∠ABE=∠BEM，∠ACE=∠CEN，∴BM=ME，CN=NE，∴△AMN的周长=AM+ME+AN+NE=AB+AC，∵AB=AC=4，∴△AMN的周长=4+4=8．故选C．9．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，对于下列结论：①AD⊥BC；②AE=AF；③AD上任意一点到AB，AC的距离相等；④AD上任意一点到点B，点C 的距离相等．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】首先根据角平分线的性质可得AD上任意一点到AB，AC的距离相等，根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，根据全等三角形的性质得到AE=AF，根据线段垂直平分线的性质得到AD上任意一点到点B，点C的距离相等．【解答】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，AD上任意一点到AB，AC的距离相等，故①③正确；∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE=DF，在Rt△ADE与Rt△AFD中，∴Rt△ADE≌Rt△AFD，∴AE=AF；故②正确；∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD垂直平分BD，∴AD上任意一点到点B，点C的距离相等，故④正确；故选D．10．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E、F分别在三边上，且BE=CD，BD=CF，G为EF的中点，则∠DGE 的度数是（）A．45°B．60°C．90°D．120°【分析】首先连接DE，DF，由AB=AC，可得∠B=∠C，又由BE=CD，BD=CF，利用SAS可判定△BDE≌△CFD，即可得DE=DF，然后由三线合一的性质，证得DG⊥EF，继而求得答案．【解答】解：连接DE，DF，∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BDE和△CFD中，，∴△BDE≌△CFD（SAS），∴DE=DF，∵G为EF的中点，∴DG⊥EF，即∠DGE=90°．故选C．11．如图，直线a、b相交于点O，∠1=50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O、A、B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B点有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据△OAB为等腰三角形，分三种情况讨论：①当OB=AB时，②当OA=AB时，③当OA=OB时，分别求得符合的点B，即可得解．【解答】解：要使△OAB为等腰三角形分三种情况讨论：①当OB=AB时，作线段OA的垂直平分线，与直线b的交点为B，此时有1个；②当OA=AB时，以点A为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点，此时有1个；③当OA=OB时，以点O为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点，此时有2个，1+1+2=4，故选：D．12．如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（）A．2个B．3个C．4个D．无数个【分析】如图在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°，只要证明△PEM≌△PON即可推出△PMN是等边三角形，由此即可对称结论．【解答】解：如图在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°．∵OP平分∠AOB，∴∠EOP=∠POF=60°，∵OP=OE=OF，∴△OPE，△OPF是等边三角形，∴EP=OP，∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°，∴∠EPM=∠OPN，在△PEM和△PON中，，∴△PEM≌△PON．∴PM=PN，∵∠MPN=60°，∴△PNM是等边三角形，∴只要∠MPN=60°，△PMN就是等边三角形，故这样的三角形有无数个，故选D13．如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（）A．44°B．66°C．88°D．92°【分析】根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B，证明△AMK≌△BKN，得到∠AMK=∠BKN，根据三角形的外角的性质求出∠A=∠MKN=44°，根据三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵PA=PB，∴∠A=∠B，在△AMK和△BKN中，，∴△AMK≌△BKN，∴∠AMK=∠BKN，∵∠MKB=∠MKN+∠NKB=∠A+∠AMK，∴∠A=∠MKN=44°，∴∠P=180°﹣∠A﹣∠B=92°，故选：D．14．如图，在△ABC中，AB=AC=8，点D在BC上，DE∥AB，DF∥AC，则四边形AFDE的周长是（）A．24 B．18 C．16 D．12【分析】因为AB=AC，所以△ABC为等腰三角形，由DE∥AB，可证△CDE为等腰三角形，同理△BDF也为等腰三角形，根据腰长相等，将线段长转化，求周长．【解答】解：∵AB=AC=15，∴∠B=∠C，由DF∥AC，得∠FDB=∠C=∠B，∴FD=FB，同理，得DE=EC．∴四边形AFDE的周长=AF+AE+FD+DE=AF+FB+AE+EC=AB+AC=8+8=16．故四边形AFDE的周长是16．故选C．15．如图，△ABC中，∠ABC=63°，点D，E分别是△ABC的边BC，AC上的点，且AB=AD=DE=EC，则∠C 的度数是（）A．21°B．19°C．18°D．17°【分析】设∠C=x．由DE=EC，根据等边对等角得出∠C=∠EDC=x，根据三角形外角的性质得出∠AED=∠C+∠EDC=2x．同理表示出∠ADB=∠ABC=3x，则3x=63°，求出x即可．【解答】解：设∠C=x．∵DE=EC，∴∠C=∠EDC=x，∴∠AED=∠C+∠EDC=2x．∵AD=DE，∴∠AED=∠DAE=2x，∴∠ADB=∠DAE+∠C=3x．∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABC=3x，∴3x=63°，∴x=21°．故选A．16．如图，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4…，若∠A=70°，则∠A n﹣1A n B n﹣1（n＞2）的度数为（）A．B．C．D．【分析】根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠B1A2A1，∠B2A3A2及∠B3A4A3的度数，找出规律即可得出∠A n﹣1A n B n﹣1的度数．【解答】解：∵在△ABA1中，∠A=70°，AB=A1B，∴∠BA1A=70°，∵A1A2=A1B1，∠BA1A是△A1A2B1的外角，∴∠B1A2A1==35°；同理可得，∠B2A3A2=17.5°，∠B3A4A3=×17.5°=，∴∠A n﹣1A n B n﹣1=．故选：C．17．如图钢架中，∠A=10°，焊上等长的钢条来加固钢架，若P1A=P1P2，则这样的钢条至多需要（）A．5根B．6根C．7根D．8根【分析】由于焊上的钢条长度相等，并且AP1=P1P2，所以∠A=∠P1P2A，则可算出∠P2P1P3的度数，并且和∠P1P3P2度数相等，根据平角的度数为180度和三角形内角和为180度，结合等腰三角形底角度数不大于90度即可求出最多能焊上的钢条数．【解答】解：如图：∵∠A=∠P1P2A=10°，∴∠P2P1P3=20°，∠P1P3P2=20°，∴∠P1P2P3=140°，∴∠P3P2P4=30°∴∠P3P4P2=30°∴∠P2P3P4=120°∴∠P4P3P5=40°∴∠P3P5P4=40°∴∠P3P4P5=100°∴∠P5P4P6=50°∴∠P4P6P5=50°∴∠P4P5P6=80°∴∠P6P5P7=60°，∴∠P6P7P5=60°，∴∠P5P6P7=60°，∴∠P8P6P7=70°，∴∠P6P8P7=70°，∴∠P6P7P8=40°，∴∠P8P7P9=80°，∴∠P7P9P8=80°，∴∠P9P8P7=20°，∴∠P9P8C=90°，此时就不能在往上焊接了，综上所述总共可焊上8条．故选D．18．如图，已知△ABC是等腰三角形，AC=BC=5，AB=8，D为底边AB上的一个动点（不与A、B重合），DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，则DE+DF的值为（）A．3 B．4 C．D．【分析】连接AD，过点C作CE⊥AB于点E，根据勾股定理求出CE的长，再由三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：连接AD，过点C作CE⊥AB于点E，∵AC=BC=5，AB=8，∴AE=4，∴CE==3，∴S△ABC=AB•CE=×8×3=12．∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴S△ABC=S△ACD+S△BDC=AC•DE+BC•DF=×5×（DE+DF）=12，∴DE+DF=．二．填空题（共8小题）19．如图1是一把园林剪刀，把它抽象为图2，其中OA=OB．若剪刀张开的角为30°，则∠A=75度．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵OA=OB，∠AOB=30°，∴∠A=（180°﹣30°）=75°，故答案为：75．20．如图，AB=AC，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，若∠AFD=145°，则∠EDF=55度．【分析】首先求出∠C的度数，再根据等腰三角形的性质求出∠A，从而利用四边形内角和定理求出∠EDF．【解答】解：∵∠AFD=145°，∴∠CFD=35°又∵FD⊥BC于D，DE⊥AB于E ∴∠C=180°﹣（∠CFD+∠FDC）=55°∵AB=AC ∴∠B=∠C=55°，∴∠A=70°根据四边形内角和为360°可得：∠EDF=360°﹣（∠AED+∠AFD+∠A）=55°∴∠EDF为55°．故填55．21．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，DE是线段AC的垂直平分线，若BE=a，AE=b，则用含a、b 的代数式表示△ABC的周长为2a+3b．【分析】由题意可知：AC=AB=a+b，由于DE是线段AC的垂直平分线，∠BAC=36°，所以易证AE=CE=BC=b，从可知△ABC的周长；【解答】解：∵AB=AC，BE=a，AE=b，∴AC=AB=a+b，∵DE是线段AC的垂直平分线，∴AE=CE=b，∴∠ECA=∠BAC=36°，∵∠BAC=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°，∴∠BCE=∠ACB﹣∠ECA=36°，∴∠BEC=180°﹣∠ABC﹣∠ECB=72°，∴CE=BC=b，∴△ABC的周长为：AB+AC+BC=2a+3b 故答案为：2a+3b．22．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且AB=BD，AD=DC，则∠C=36度．【分析】根据已知题目中所给的等量关系，用一个角分别表示出其他的角，利用三角形内角和等于180°，便可得出∠C的度数．【解答】解：由题意知，在△ABC中，AB=AC，所以∠B=∠C，又AB=BD，AD=DC，所以∠C=∠DAC，∠BAD=∠BDA=2∠C，由三角形内角和为180°可得，∠C+∠C+3∠C=180°，得∠C=36°．故填36．23．如图，点D、E分别是△ABC的边AC、BC上的点，AD=DE，AB=BE，∠A=80°，则∠BED=80°．【分析】先利用SSS证明△ABD≌△EBD，再根据全等三角形对应角相等即可求出∠BED．【解答】解：在△ABD与△EBD中，，∴△ABD≌△EBD，∴∠BED=∠A=80°．故答案为80．24．如图所示，三角形ABC的面积为1cm2．AP垂直∠B的平分线BP于点P．则三角形PBC的面积是cm2．【分析】过点P作PE⊥BP，垂足为P，交BC于点E，由角平分线的定义可知∠ABP=∠EBP，结合BP=BP 以及∠APB=∠EPB=90°即可证出△ABP≌△EBP（ASA），进而可得出AP=EP，根据三角形的面积即可得出S=S EPC，再根据S△PBC=S△BPE+S EPC=S△ABC即可得出结论．△APC【解答】解：过点P作PE⊥BP，垂足为P，交BC于点E，如图所示．∵AP垂直∠B的平分线BP于点P，∴∠ABP=∠EBP．在△ABP和△EBP中，，∴△ABP≌△EBP（ASA），∴AP=EP．∵△APC和△EPC等底同高，∴S△APC=S EPC，∴S△PBC=S△BPE+S EPC=S△ABC=cm2．故答案为：cm2．25．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm 每秒的速度运动，设运动时间为t秒，当t为3或6或6.5或5.4时，△ACP是等腰三角形．【分析】由于没有说明哪一条边是腰，故需要分情况讨论．【解答】解：∵AC=6，BC=8，∴由勾股定理可知：AB=10，当点P在CB上运动时，由于∠ACP=90°，∴只能有AC=CP，如图1，∴CP=6，∴t==3，当点P在AB上运动时，①AC=AP时，如图2，∴AP=6，PB=AB﹣CP=10﹣6=4，∴t==6，②当AP=CP时，如图3，此时点P在线段AC的垂直平分线上，过点P作PD⊥AC于点D，∴CD=AC=3，PD是△ACB的中位线，∴PD=BC=4，∴由勾股定理可知：AP=5，∴PB=5，∴t==6.5；③AC=PC时，如图4，过点C作CF⊥AB于点F，∴cos∠A==，∴AF=3.6，∴AP=2AF=7.2，∴PB=10﹣7.2=2.8，∴t==5.4；综上所述，当t为3或6或6.5或5.4时，△ACP是等腰三角形．故答案为：3或6或6.5或5.4．26．如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点，若使点P，M，N 构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是x=0或x=4﹣4或4＜x＜4．【分析】分三种情况讨论：先确定特殊位置时成立的x值，①如图1，当M与O重合时，即x=0时，点P恰好有三个；②如图2，构建腰长为4的等腰直角△OMC，和半径为4的⊙M，发现M在点D的位置时，满足条件；③如图3，根据等腰三角形三种情况的画法：分别以M、N为圆心，以MN为半径画弧，与OB的交点就是满足条件的点P，再以MN为底边的等腰三角形，通过画图发现，无论x取何值，以MN为底边的等腰三角形都存在一个，所以只要满足以MN为腰的三角形有两个即可．【解答】解：分三种情况：①如图1，当M与O重合时，即x=0时，点P恰好有三个；②如图2，以M为圆心，以4为半径画圆，当⊙M与OB相切时，设切点为C，⊙M与OA交于D，∴MC⊥OB，∵∠AOB=45°，∴△MCO是等腰直角三角形，∴MC=OC=4，∴OM=4，当M与D重合时，即x=OM﹣DM=4﹣4时，同理可知：点P恰好有三个；③如图3，取OM=4，以M为圆心，以OM为半径画圆，则⊙M与OB除了O外只有一个交点，此时x=4，即以∠PMN为顶角，MN为腰，符合条件的点P有一个，以N圆心，以MN为半径画圆，与直线OB相离，说明此时以∠PNM为顶角，以MN为腰，符合条件的点P不存在，还有一个是以NM为底边的符合条件的点P；点M沿OA运动，到M1时，发现⊙M1与直线OB有一个交点；∴当4＜x＜4时，圆M在移动过程中，则会与OB除了O外有两个交点，满足点P恰好有三个；综上所述，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是：x=0或x=4﹣4或4．故答案为：x=0或x=4﹣4或4．三．解答题（共9小题）27．如图，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，∠BAE=42°，求∠BED的度数．【分析】已知AE平分∠BAC，ED∥AC，根据两直线平行同旁内角互补，可求得∠DEA的度数，再由三角形外角和为360°求得∠BED度数．【解答】解：∵BE⊥AE∴∠AEB=90°∵AE平分∠BAC∴∠CAE=∠BAE=42°又∵ED∥AC∴∠AED=180°﹣∠CAE=180°﹣42°=138°∴∠BED=360°﹣∠AEB﹣∠AED=132°28．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．求证：OE=OF．【分析】根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，进而得出答案．【解答】证明：如图，∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠2=∠5，∠4=∠6，∵MN∥BC，∴∠1=∠5，∠3=∠6，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴EO=CO，FO=CO，∴OE=OF．29．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．（1）求证：∠CBE=∠BAD；（2）当△ABC满足什么条件时，AE=CE．直接写出条件．【分析】（1）根据三角形三线合一的性质可得∠CAD=∠BAD，根据同角的余角相等可得：∠CBE=∠CAD，再根据等量关系得到∠CBE=∠BAD．（2）根据等边三角形的性质即可求解．【解答】（1）证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC，∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，∠CAD=∠BAD，∴∠CBE=∠BAD．（2）当△ABC满足是等边三角形的条件时，AE=CE．30．文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时，画出图形，写出“已知”，“求证”（如图），她们对各自所作的辅助线描述如下：文文：“过点A作BC的中垂线AD，垂足为D”；彬彬：“作△ABC的角平分线AD”．数学老师看了两位同学的辅助线作法后，说：“彬彬的作法是正确的，而文文的作法需要订正．”（1）请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里；（2）根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程．【分析】（1）线段BC的中垂线可以直接作出的，不需要附带“过点A作”；（2）根据已知条件利用AAS可证△ABD≌△ACD，得出AB=AC．【解答】（1）解：作辅助线不能同时满足两个条件；（2）证明：作△ABC的角平分线AD．∴∠BAD=∠CAD，在△ABD与△ACD中，∵，∴△ABD≌△ACD（AAS）．∴AB=AC．31．如图，△ABC中，AB=AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD=CE，DE交BC于F，求证：DF=EF．【分析】首先过点D作DM∥AC交BC于M，易证得△DMF≌△ECF，继而证得DF=EF．【解答】证明：过点D作DM∥AC交BC于M，∴∠DMB=∠ACB，∠FDM=∠E，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠DMB，∴BD=MD，∵BD=CE，∴MD=CE，在△DMF和△ECF中，，∴△DMF≌△ECF（AAS），∴DF=EF．32．如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA=115°时，∠BAD=25°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．【分析】（1）根据三角形内角和定理，将已知数值代入即可求出∠BAD，根据点D的运动方向可判定∠BDA的变化情况．（2）假设△ABD≌△DCE，利用全等三角形的对应边相等得出AB=DC=2，即可求得答案．（3）假设△ADE是等腰三角形，分为三种情况：①当AD=AE时，∠ADE=∠AED=40°，根据∠AED＞∠C，得出此时不符合；②当DA=DE时，求出∠DAE=∠DEA=70°，求出∠BAC，根据三角形的内角和定理求出∠BAD，根据三角形的内角和定理求出∠BDA即可；③当EA=ED时，求出∠DAC，求出∠BAD，根据三角形的内角和定理求出∠ADB．【解答】解：（1）∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠BDA=180°﹣40°﹣115°=25°；从图中可以得知，点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小；故答案为：25°；小．（2）当△ABD≌△DCE时．DC=AB，∵AB=2，∴DC=2，∴当DC等于2时，△ABD≌△DCE；（3）∵AB=AC，∴∠B=∠C=40°，①当AD=AE时，∠ADE=∠AED=40°，∵∠AED＞∠C，∴此时不符合；②当DA=DE时，即∠DAE=∠DEA=（180°﹣40°）=70°，∵∠BAC=180°﹣40°﹣40°=100°，∴∠BAD=100°﹣70°=30°；∴∠BDA=180°﹣30°﹣40°=110°；③当EA=ED时，∠ADE=∠DAE=40°，∴∠BAD=100°﹣40°=60°，∴∠BDA=180°﹣60°﹣40°=80°；∴当∠ADB=110°或80°时，△ADE是等腰三角形．33．如图1，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，我们发现这个三角形有一种特性，即经过它某一顶点的一条射线可把它分成两个小等腰三角形．为此，请你解答问题；如图2，△ABC中，AB=AC，∠A=108°，请你在图中画一条射线（不必写画法），把它分成两个小等腰三角形，并写出底角的大小．【分析】先根据AB=AC，∠A=108°，求得∠C=36°，再过点A作∠DAC=36°，则△ACD和△ABD均为等腰三角形．【解答】解：如图2所示，由AB=AC，∠A=108°，可知∠C=36°，过点A在∠BAC内部作射线AD，使得∠DAC=36°，则△ABD中，∠BAD=72°，∠ADB=72°，△ACD中，∠DAC=∠C=36°，故△ACD和△ABD均为等腰三角形，故射线AD即为所求．34．在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PE∥AB 交BC于点D，交AC于点F．（1）若点P在BC上（如图一），此时PD=0，可得结论：PD+PE+PF=AB（填“＞”“＜”或“=”）（2）当点P在△ABC内（如图二）时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出你的猜想，不需要证明．【分析】（1）先求出四边形PFAE是平行四边形，根据平行四边形对边相等可得PF=AE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠BPE=∠C，然后求出∠B=∠BPE，利用等角对等边求出PE=BE，然后求解即可；（2）根据平行四边形的判定得出四边形AEPF为平行四边形，根据平行四边形的性质，平行线的性质即可得证．【解答】解：（1）答：PD+PE+PF=AB．证明如下：∵点P在BC上，∴PD=0，∵PE∥AC，PF∥AB，∴四边形PFAE是平行四边形，∴PF=AE，∵PE∥AC，∴∠BPE=∠C，∴∠B=∠BPE，∴PE=BE，∴PE+PF=BE+AE=AB，∵PD=0，∴PD+PE+PF=AB；（2）当点P在△ABC内时，结论PD+PE+PF=AB仍然成立．证明：∵PE∥AC，PF∥AB，∴四边形AEPF为平行四边形，∴PE∥AF ∵PF∥AB，∴∠FDC=∠B，又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠FDC=∠C，∴DF=CF，∴DF+PE=CF+AF，即DF+PE=AC，又∵DF=PD+PF，AC=AB，∴PD+PF+PE=AB，即上述结论成立．35．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．（1）当D点在BC的什么位置时，DE=DF？并证明．（2）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明：（3）若D在底边BC的延长线上，（2）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？【分析】（1）当点D在BC的中点时，DE=DF，根据AAS证△BED≌△CFD，根据全等三角形的性质推出即可；（2）连接AD，根据三角形ABC的面积=三角形ABD的面积+三角形ACD的面积，进行分析证明；（3）类似（2）的思路，仍然用计算面积的方法来确定线段之间的关系．即三角形ABC的面积=三角形ABD的面积﹣三角形ACD的面积．【解答】解：（1）当点D在BC的中点时，DE=DF，理由如下：∵D为BC中点，∴BD=CD，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°，在△BED和△CFD中，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE=DF．（2）DE+DF=CG．证明：连接AD，则S△ABC=S△ABD+S△ACD，即AB•CG=AB•DE+AC•DF，∵AB=AC，∴CG=DE+DF．（3）当点D在BC延长线上时，（1）中的结论不成立，但有DE﹣DF=CG．理由：连接AD，则S△ABD=S△ABC+S△ACD，即AB•DE=AB•CG+AC•DF∵AB=AC，∴DE=CG+DF，即DE﹣DF=CG．同理当D点在CB的延长线上时，则有DE﹣DF=CG，说明方法同上．。
等腰三角形典型例题练习(含答案)
等腰三角形典型例题练习一．选择题（共2小题）1．如图，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=5cm，BD=3cm，则点D到AB的距离为（）A．5cm B．3cm C．2cm D．不能确定2．如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ACD 和等边△BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N．给出以下三个结论：①AE=BD ②CN=CM③MN∥AB 其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．31题2题3题4题二．填空题（共1小题）3．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF 的面积与△ABC的面积之比等于_________．三．解答题（共15小题）4．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证DE=DF．5．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．请说明DE=BD+EC．6．已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF．请判断△ABC 是什么三角形？并说明理由．7．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD．连接DE．（1）∠E等于多少度？（2）△DBE是什么三角形？为什么？8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD．9．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=CE，DE与BC相交于点F．求证：DF=EF．10．已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E，求证：BD=2CE．11．（2012•牡丹江）如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：如图①，连接AP．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=AB•PE，S△ACP=AC•PF，S△ABC=AB•CH．又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，∴AB•PE+AC•PF=AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH．（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH=_________．点P到AB边的距离PE=_________．12．数学课上，李老师出示了如下的题目：“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE_________DB（填“＞”，“＜”或“=”）．（2）特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE_________DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD 的长（请你直接写出结果）．13．已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF于点E，点D在AF上，ED=EA，点P在CF上，连接PB交AF于点M．若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．14．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．（1）线段AD与BE有什么关系？试证明你的结论．（2）求∠BFD的度数．15．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF 和CF，求证：AE=CF．16．已知：如图，在△OAB中，∠AOB=90°，OA=OB，在△EOF中，∠EOF=90°，OE=OF，连接AE、BF．问线段AE与BF之间有什么关系？请说明理由．17．（2006•郴州）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．（1）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；（2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由．18．如图甲所示，在△ABC中，AB=AC，在底边BC上有任意一点P，则P点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高），即PD+PE=CF，若P点在BC的延长线上，那么请你猜想PD、PE和CF之间存在怎样的等式关系？写出你的猜想并加以证明．等腰三角形典型例题练习参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．如图，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=5cm，BD=3cm，则点D到AB的距离为（）A．5cm B．3cm C．2cm D．不能确定考点：角平分线的性质．分析：由已知条件进行思考，结合利用角平分线的性质可得点D到AB的距离等于D到AC的距离即CD 的长，问题可解．解答：解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D∴D到AB的距离即为CD长CD=5﹣3=2故选C．2．如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ACD 和等边△BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N．给出以下三个结论：①AE=BD②CN=CM③MN∥AB其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3考点：平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．分析：由△ACD和△BCE是等边三角形，根据SAS易证得△ACE≌△DCB，即可得①正确；由△ACE≌△DCB，可得∠EAC=∠NDC，又由∠ACD=∠MCN=60°，利用ASA，可证得△ACM≌△DCN，即可得②正确；又可证得△CMN是等边三角形，即可证得③正确．解答：解：∵△ACD和△BCE是等边三角形，∴∠ACD=∠BCE=60°，AC=DC，EC=BC，∴∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠ECB，即∠ACE=∠DCB，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE=BD，故①正确；∴∠EAC=∠NDC，∵∠ACD=∠BCE=60°，∴∠DCE=60°，∴∠ACD=∠MCN=60°，∵AC=DC，∴△ACM≌△DCN（ASA），∴CM=CN，故②正确；又∠MCN=180°﹣∠MCA﹣∠NCB=180°﹣60°﹣60°=60°，∴△CMN是等边三角形，∴∠NMC=∠ACD=60°，∴MN∥AB，故③正确．故选D．二．填空题（共1小题）3．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF 的面积与△ABC的面积之比等于1：3．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．分析：首先根据题意求得：∠DFE=∠FED=∠EDF=60°，即可证得△DEF是正三角形，又由直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，得到边的关系，即可求得DF：AB=1：，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果．解答：解：∵△ABC是正三角形，∴∠B=∠C=∠A=60°，∵DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，∴∠AFE=∠CED=∠BDF=90°，∴∠BFD=∠CDE=∠AEF=30°，∴∠DFE=∠FED=∠EDF=60°，，∴△DEF是正三角形，∴BD：DF=1：①，BD：AB=1：3②，△DEF∽△ABC，①÷②，=，∴DF：AB=1：，∴△DEF的面积与△ABC的面积之比等于1：3．故答案为：1：3．三．解答题（共15小题）4．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证DE=DF．考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的定义．分析：过D作DM⊥AB，于M，DN⊥AC于N，根据角平分线性质求出DN=DM，根据四边形的内角和定理和平角定义求出∠AED=∠CFD，根据全等三角形的判定AAS推出△EMD≌△FND即可．解答：证明：过D作DM⊥AB，于M，DN⊥AC于N，即∠EMD=∠FND=90°，∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM=DN（角平分线性质），∠DME=∠DNF=90°，在△EMD和△FND中，∴△EMD≌△FND，∴DE=DF．5．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．请说明DE=BD+EC．考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．分析：根据OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，和DE∥BC，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求证出DB=DO，OE=EC．然后即可得出答案．解答：解：∵在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠DBO=∠OBC，∠ECO=∠OCB，∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC=∠DBO，∠EOC=∠OCB=∠ECO，∴DB=DO，OE=EC，∵DE=DO+OE，∴DE=BD+EC．6．＞已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF．请判断△ABC 是什么三角形？并说明理由．考点：等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质．分析：用（HL）证明△EBD≌△FCD，从而得出∠EBD=∠FCD，即可证明△ABC是等腰三角形．解答：△ABC是等腰三角形．证明：连接AD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°，且DE=DF，∵D是△ABC的BC边上的中点，∴BD=DC，∴Rt△EBD≌Rt△FCD（HL），∴∠EBD=∠FCD，∴△ABC是等腰三角形．（1）∠E等于多少度？（2）△DBE是什么三角形？为什么？考点：等边三角形的性质；等腰三角形的判定．分析：（1）由题意可推出∠ACB=60°，∠E=∠CDE，然后根据三角形外角的性质可知：∠ACB=∠E+∠CDE，即可推出∠E的度数；（2）根据等边三角形的性质可知，BD不但为AC边上的高，也是∠ABC的角平分线，即得：∠DBC=30°，然后再结合（1）中求得的结论，即可推出△DBE是等腰三角形．解答：解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∵CD=CE，∴∠E=∠CDE，∵∠ACB=∠E+∠CDE，∴，（2）∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，∴∠ABC=60°，∴，∵∠E=30°，∴∠DBC=∠E，∴△DBE是等腰三角形．8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD．考点：含30度角的直角三角形．分析：由△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°可以推出AB=2BC，同理可得BC=2BD，则结论即可证明．解答：解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴AB=2BC，∠B=60°．又∵CD⊥AB，∴∠DCB=30°，∴BC=2BD．∴AB=2BC=4BD．9．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=CE，DE与BC相交于点F．求证：DF=EF．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．分析：过D点作DG∥AE交BC于G点，由平行线的性质得∠1=∠2，∠4=∠3，再根据等腰三角形的性质可得∠B=∠2，则∠B=∠1，于是有DB=DG，根据全等三角形的判定易得△DFG≌△EFC，即可得到结论．解答：证明：过D点作DG∥AE交BC于G点，如图，在△DFG和△EFC中，∴△DFG≌△EFC，∴DF=EF．10．已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E，求证：BD=2CE．考点：全等三角形的判定与性质．分析：延长CE，BA交于一点F，由已知条件可证得△BFE全≌△BEC，所以FE=EC，即CF=2CE，再通过证明△ADB≌△FAC可得FC=BD，所以BD=2CE．解答：证明：如图，分别延长CE，BA交于一点F．∵BE⊥EC，∴∠FEB=∠CEB=90°，∵BE平分∠ABC，∴∠FBE=∠CBE，又∵BE=BE，∴△BFE≌△BCE （ASA）．∴FE=CE．∴CF=2CE．∵AB=AC，∠BAC=90°，∠ABD+∠ADB=90°，∠ADB=∠EDC，∴∠ABD+∠EDC=90°．又∵∠DEC=90°，∠EDC+∠ECD=90°，∴∠FCA=∠DBC=∠ABD．∴△ADB≌△AFC．∴FC=DB，∴BD=2EC．11．（2012•牡丹江）如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：如图①，连接AP．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=AB•PE，S△ACP=AC•PF，S△ABC=AB•CH．（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH=7．点P到AB边的距离PE=4或10．考点：等腰三角形的性质；三角形的面积．分析：（1）连接AP．先根据三角形的面积公式分别表示出S△ABP，S△ACP，S△ABC，再由S△ABP=S△ACP+S△ABC即可得出PE=PF+PH；（2）先根据直角三角形的性质得出AC=2CH，再由△ABC的面积为49，求出CH=7，由于CH＞PF，则可分两种情况进行讨论：①P为底边BC上一点，运用结论PE+PF=CH；②P为BC延长线上的点时，运用结论PE=PF+CH．解答：解：（1）如图②，PE=PF+CH．证明如下：∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=AB•PE，S△ACP=AC•PF，S△ABC=AB•CH，∵S△ABP=S△ACP+S△ABC，∴AB•PE=AC•PF+AB•CH，又∵AB=AC，∴PE=PF+CH；（2）∵在△ACH中，∠A=30°，∴AC=2CH．∵S△ABC=AB•CH，AB=AC，∴×2CH•CH=49，∴CH=7．分两种情况：①P为底边BC上一点，如图①．∵PE+PF=CH，∴PE=CH﹣PF=7﹣3=4；②P为BC延长线上的点时，如图②．∵PE=PF+CH，∴PE=3+7=10．故答案为7；4或10．12．数学课上，李老师出示了如下的题目：“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”）．（2）特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．考点：等边三角形的判定与性质；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．分析：（1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出∠D=∠ECB=30°，求出∠DEB=30°，求出BD=BE 即可；（2）过E作EF∥BC交AC于F，求出等边三角形AEF，证△DEB和△ECF全等，求出BD=EF即可；（3）当D在CB的延长线上，E在AB的延长线式时，由（2）求出CD=3，当E在BA的延长线上，D在BC的延长线上时，求出CD=1．解答：解：（1）故答案为：=．（2）过E作EF∥BC交AC于F，∵等边三角形ABC，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF=AF，∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°，∵DE=EC，∴∠D=∠ECD，∴∠BED=∠ECF，在△DEB和△ECF中，∴△DEB≌△ECF，∴BD=EF=AE，即AE=BD，故答案为：=．（3）解：CD=1或3，理由是：分为两种情况：①如图1过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，则AM∥EM，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=1，∵AM⊥BC，∴BM=CM=BC=，∵DE=CE，EN⊥BC，∴CD=2CN，∵AM∥EN，∴△AMB∽△ENB，∴=，∴=，∴BN=，∴CN=1+=，∴CD=2CN=3；②如图2，作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，则AM∥EM，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=1，∵AM⊥BC，∴BM=CM=BC=，∵DE=CE，EN⊥BC，∴CD=2CN，∵AM∥EN，∴=，∴=，∴MN=1，∴CN=1﹣=，∴CD=2CN=113．已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF于点E，点D在AF上，ED=EA，点P在CF上，连接PB交AF于点M．若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．分析：根据全等三角形的性质和判定和线段垂直平分线性质求出AB=AC=CD，推出∠CDA=∠CAD=∠CPM，求出∠MPF=∠CDM，∠PMF=∠BMA=∠CMD，在△DCM和△PMF中根据三角形的内角和定理求出即可．解答：解：∠F=∠MCD，理由是：∵AF平分∠BAC，BC⊥AF，∴∠CAE=∠BAE，∠AEC=∠AEB=90°，在△ACE和△ABE中∵，∴△ACE≌△ABE（ASA）∴AB=AC，∵∠CAE=∠CDE∴AM是BC的垂直平分线，∴CM=BM，CE=BE，∴∠CMA=∠BMA，∵AE=ED，CE⊥AD，∴AC=CD，∴∠CAD=∠CDA，∵∠BAC=2∠MPC，又∵∠BAC=2∠CAD，∴∠MPC=∠CAD，∴∠MPC=∠CDA，∴∠MPF=∠CDM，∴∠MPF=∠CDM（等角的补角相等），∵∠DCM+∠CMD+∠CDM=180°，∠F+∠MPF+∠PMF=180°，又∵∠PMF=∠BMA=∠CMD，∴∠MCD=∠F．14．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．（1）线段AD与BE有什么关系？试证明你的结论．（2）求∠BFD的度数．考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．分析：（1）根据等边三角形的性质可知∠BAC=∠C=60°，AB=CA，结合AE=CD，可证明△ABE≌△CAD，从而证得结论；（2）根据∠BFD=∠ABE+∠BAD，∠ABE=∠CAD，可知∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．解答：（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA．在△ABE和△CAD中，∴△ABE≌△CAD∴AD=BE．（2）解：∵∠BFD=∠ABE+∠BAD，又∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD．∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．15．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF，求证：AE=CF．考点：全等三角形的判定与性质．分析：根据已知利用SAS即可判定△ABE≌△CBF，根据全等三角形的对应边相等即可得到AE=CF．解答：证明：∵∠ABC=90°，∴∠ABE=∠CBF=90°，又∵AB=BC，BE=BF，∴△ABE≌△CBF（SAS）．∴AE=CF．16．已知：如图，在△OAB中，∠AOB=90°，OA=OB，在△EOF中，∠EOF=90°，OE=OF，连接AE、BF．问线段AE与BF之间有什么关系？请说明理由．考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．分析：可以把要证明相等的线段AE，CF放到△AEO，△BFO中考虑全等的条件，由两个等腰直角三角形得AO=BO，OE=OF，再找夹角相等，这两个夹角都是直角减去∠BOE的结果，当然相等了，由此可以证明△AEO≌△BFO；延长BF交AE于D，交OA于C，可证明∠BDA=∠AOB=90°，则AE⊥BF．解答：解：AE与BF相等且垂直，理由：在△AEO与△BFO中，∵Rt△OAB与Rt△OEF等腰直角三角形，∴AO=OB，OE=OF，∠AOE=90°﹣∠BOE=∠BOF，∴△AEO≌△BFO，∴AE=BF．延长BF交AE于D，交OA于C，则∠ACD=∠BCO，由（1）知∠OAE=∠OBF，∴∠BDA=∠AOB=90°，∴AE⊥BF．17．（2006•郴州）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．（1）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；（2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由．考点：等腰三角形的性质．分析：（1）连接AD，根据三角形ABC的面积=三角形ABD的面积+三角形ACD的面积，进行分析证明；（2）类似（1）的思路，仍然用计算面积的方法来确定线段之间的关系．即三角形ABC的面积=三角形ABD的面积﹣三角形ACD的面积．解答：解：（1）DE+DF=CG．证明：连接AD，则S△ABC=S△ABD+S△ACD，即AB•CG=AB•DE+AC•DF，∵AB=AC，∴CG=DE+DF．（2）当点D在BC延长线上时，（1）中的结论不成立，但有DE﹣DF=CG．理由：连接AD，则S△ABD=S△ABC+S△ACD，即AB•DE=AB•CG+AC•DF∵AB=AC，∴DE=CG+DF，即DE﹣DF=CG．同理当D点在CB的延长线上时，则有DE﹣DF=CG，说明方法同上．18．如图甲所示，在△ABC中，AB=AC，在底边BC上有任意一点P，则P点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高），即PD+PE=CF，若P点在BC的延长线上，那么请你猜想PD、PE和CF之间存在怎样的等式关系？写出你的猜想并加以证明．考点：等腰三角形的性质；三角形的面积．分析：猜想：PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF．根据∵S△PAB=AB•PD，S△PAC=AC•PE，S△CAB=AB•CF，S△PAC=AC•PE，AB•PD=AB•CF+AC•PE，即可求证．解答：解：我的猜想是：PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF．理由如下：连接AP，则S△PAC+S△CAB=S△PAB，∵S△PAB=AB•PD，S△PAC=AC•PE，S△CAB=AB•CF，又∵AB=AC，∴S△PAC=AB•PE，∴AB•PD=AB•CF+AB•PE，即AB（PE+CF）=AB•PD，∴PD=PE+CF．。
等腰三角形难题
等腰三角形补充练习一．选择题（共3小题）1．在△ABC中，∠B=30°，点D在BC边上，点E在AC边上，AD=BD，DE=CE，若△ADE为等腰三角形，则∠C的度数为（）A．20°B．20°或30°C．30°或40°D．20°或40°2．如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A、B是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（）A．7个 B．8个 C．9个 D．10个3．如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=α，且AE=AD，则∠EDC=（）A．αB．αC．αD．α二．填空题（共14小题）5．在同一平面内，已知点P在等边△ABC外部，且与等边△ABC三个顶点中的任意两个顶点形成的三角形都是等腰三角形，则∠APC的度数为．6．等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则这个三角形的底角为．7．有两个等腰三角形甲和乙，甲的底角等于乙的顶角，甲的底长等于乙的腰长，甲的腰长等于乙的底长，则甲的底角是度．8．如图，∠BAC=θ（0°＜θ＜90°），现只用4根等长的小棒将∠BAC固定，从点A1开始依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2=AA1，则角θ的取值范围是．9．如图，在△ABC中，AC=BC＞AB，点P为△ABC所在平面内一点，且点P与△ABC的任意两个顶点构成△PAB，△PBC，△PAC均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数为个．10．如图所示，△ABC为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则四个结论正确的是．①P在∠A的平分线上；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．11．如图，在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；…，按此做法进行下去，∠A n的度数为．12．已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为，底边长为．13．如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两动点，且总使AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则=．14．如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，P在△ABC内，∠PBC=10°，∠PCB=30°，则∠PAB=．15．线段AB和直线l在同一平面上．则下列判断可能成立的有个直线l上恰好只有个1点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个2点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个3点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个4点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个5点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个6点P，使△ABP为等腰三角形．16．如图，△ABC为正三角形，面积为S．D1，E1，F1分别是△ABC三边上的点，且AD1=BE1=CF1=AB，可得△D1E1F1，则△D1E1F1的面积S1=；如，D2，E2，F2分别是△ABC三边上的点，且AD2=BE2=CF2=AB，则△D2E2F2的面积S2=；按照这样的思路探索下去，D n，E n，F n分别是△ABC三边上的点，且AD n=BE n=CF n=AB，则S n=．17．已知等腰△ABC的周长为10，若设腰长为x，则x的取值范围是．18．如图，一个顶角为40°的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=度．2017年08月23日139****2832的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．（2016秋•资中县期末）在△ABC中，∠B=30°，点D在BC边上，点E在AC 边上，AD=BD，DE=CE，若△ADE为等腰三角形，则∠C的度数为（）A．20°B．20°或30°C．30°或40°D．20°或40°【解答】解：如图所示，∵AD=BD，∠B=30°，∴∠ADC=60°，∵DE=CE，∴可设∠C=∠EDC=α，则∠ADE=60°﹣α，∠AED=2α，根据三角形内角和定理可得，∠DAE=120°﹣α，分三种情况：①当AE=AD时，有60°﹣α=2α，解得α=20°；②当DA=DE时，有120°﹣α=2α，解得α=40°；③当EA=ED时，有120°﹣α=60°﹣α，方程无解，综上所述，∠C的度数为20°或40°，故选：D．2．（2016春•乳山市期中）如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A、B是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（）A．7个 B．8个 C．9个 D．10个【解答】解：如图所示，以A为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C3、C8、C7即为点C的位置；以B为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C1、C2、C6、C4、C5即为点C 的位置；作线段AB的垂直平分线，垂直平分线没有经过格点．故以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为8个．故选（B）3．（2015•天心区校级自主招生）如图，已知等边△ABC外有一点P，P落在∠BAC 内，设P到BC、CA、AB的距离分别为h1，h2，h3，满足h2+h3﹣h1=6，那么等边△ABC的面积为（）A．4 B．8 C．9 D．12【解答】解：设等边三角形ABC的边长为a，连接PA、PB、PC，则S△PAB+S△PAC﹣S△PCB=S△CAB，即ah1+ah2﹣ah3=，∴a（h2+h3﹣h1）=，∵h2+h3﹣h1=6，∴a=4，==12，∴S△CAB故选（D）．4．（1998•杭州）如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=α，且AE=AD，则∠EDC=（）A．αB．αC．αD．α【解答】解：根据题意：在△ABC中，AB=AC∴∠B=∠C∵AE=AD∴∠ADE=∠AED，即∠B+∠α﹣∠EDC=∠C+∠EDC化简可得：∠α=2∠EDC∴∠EDC=α．故选A．二．填空题（共14小题）5．（2016•江西模拟）在同一平面内，已知点P在等边△ABC外部，且与等边△ABC三个顶点中的任意两个顶点形成的三角形都是等腰三角形，则∠APC的度数为15°或30°或60°或75°或150°．【解答】解：根据点P在等边△ABC外部，且与等边△ABC三个顶点中的任意两个顶点形成的三角形都是等腰三角形，作出如下图形：由图可得：∠AP1C=15°，∠AP2C=30°，∠AP3C=60°，∠AP4C=75°，∠AP5C=150°．故答案为：15°或30°或60°或75°或150°6．（2016秋•东阿县期中）等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则这个三角形的底角为67.5°或22.5°．【解答】解：有两种情况；（1）如图，当△ABC是锐角三角形时，BD⊥AC于D，则∠ADB=90°，已知∠ABD=45°，∴∠A=90°﹣45°=45°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=×（180°﹣45°）=67.5°；（2）如图，当△EFG是钝角三角形时，FH⊥EG于H，则∠FHE=90°，已知∠HFE=45°，∴∠HEF=90°﹣45°=45°，∴∠FEG=180°﹣45°=135°，∵EF=EG，∴∠EFG=∠G=×（180°﹣135°）=22.5°，故答案为：67.5°或22.5°．7．（2013•香坊区三模）有两个等腰三角形甲和乙，甲的底角等于乙的顶角，甲的底长等于乙的腰长，甲的腰长等于乙的底长，则甲的底角是36°或60°度．【解答】解：假设等腰三角形甲为ABC，等腰三角形乙为DEF（如图所示）．①顶角为D根据题中的条件，甲的底长等于乙的腰长，甲的底角等于乙的顶角，我们可以将D挪到B点，使BC与DE重合，DF与AB重合，如果A为锐角，则F点在AB边上，由于CF=AC，由图知是不可能的．如果A为钝角，则F点在AB延长线上，由于CF=AC，得知乙的底角=2倍的顶角=2倍甲的底角，故可以解得甲的底角是36度；②当等腰三角形甲和乙都是等边三角形时，∠1=∠2=∠3=60°，即甲的底角是60°．故答案是：36°或60°．8．（2013•泰州一模）如图，∠BAC=θ（0°＜θ＜90°），现只用4根等长的小棒将∠BAC固定，从点A1开始依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2=AA1，则角θ的取值范围是18≤θ＜22.5．【解答】解：∵A1A2=AA1∴θ1=∠A2A1A3=2θ，∴θ2=∠A2A4A3=θ+2θ=3θ，∴θ3=∠A2A4A3+θ=4θ，由题意得：，∴18°≤θ＜22.5°．9．（2013•宜兴市一模）如图，在△ABC中，AC=BC＞AB，点P为△ABC所在平面内一点，且点P与△ABC的任意两个顶点构成△PAB，△PBC，△PAC均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数为6个．【解答】解：如图所示，作AB的垂直平分线，①△ABC的外心P1为满足条件的一个点，②以点C为圆心，以AC长为半径画圆，P2、P3为满足条件的点，③分别以点A、B为圆心，以AC长为半径画圆，P4为满足条件的点，④分别以点A、B为圆心，以AB长为半径画圆，P5、P6为满足条件的点，综上所述，满足条件的所有点P的个数为6．故答案为：6．10．（2013•安徽模拟）如图所示，△ABC为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则四个结论正确的是①②③④．①P在∠A的平分线上；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．【解答】解：∵PR=PS，PR⊥AB，PS⊥AC，∴P在∠A的平分线上，在Rt△ARP和Rt△ASP中，∵，∴Rt△ARP≌Rt△ASP（HL），∴AS=AR，∠QAP=∠PAR，∵AQ=PQ，∴∠PAR=∠QPA，∴∠QPA=∠QAR∴QP∥AR，∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=∠BAC=60°，∴∠PAR=∠QPA=30°，∴∠PQS=60°，在△BRP和△QSP中，∵，∴△BRP≌△QSP（AAS），∴①②③④项四个结论都正确，故答案为①②③④．11．（2012•贵阳）如图，在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；…，按此做法进行下去，∠A n的度数为．【解答】解：∵在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，∴∠BA1A===80°，∵A1A2=A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，∴∠CA2A1===40°；同理可得，∠DA3A2=20°，∠EA4A3=10°，∴∠A n=．故答案为：．12．（2012•枣阳市校级模拟）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为8或6，底边长为5或9．【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，设等腰三角形的腰长AB=AC=2x，BC=y，∵BD是腰上的中线，∴AD=DC=x，①若AB+AD的长为12，则2x+x=12，解得x=4，则x+y=9，即4+y=9，解得y=5；②若AB+AD的长为9，则2x+x=9，解得x=3，则x+y=12，即3+y=12，解得y=9；所以等腰三角形的底边为5时，腰长为8；等腰三角形的底边为9时，腰长为6；故答案为：8或6；5或913．（2011•济宁）如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两动点，且总使AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则=．【解答】解：∵AD=BE，∴CE=BD，∵等边三角形ABC，∴△CAE≌△DCB，∴∠DCB=∠CAE，∴∠AFG=∠CAF+∠ACF=∠ACF+∠DCB=60°，∵AG⊥CD，∴∠FAG=30°，∴FG：AF=．故答案为：．14．（2011•鄂州校级模拟）如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，P在△ABC内，∠PBC=10°，∠PCB=30°，则∠PAB=70°．【解答】解：在BC下方取一点D，使得三角形ABD为等边三角形，连接DP、DC∴AD=AB=AC，∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=20°，∴∠ACD=∠ADC=80°，∵AB=AC，∠BAC=80°，∴∠ABC=∠ACB=50°，∴∠CDB=140°=∠BPC，又∠DCB=30°=∠PCB，BC=CB，∴△BDC≌△BPC，∴PC=DC，又∠PCD=60°，∴△DPC是等边三角形，∴△APD≌△APC，∴∠DAP=∠CAP=∠DAC=20=10°，∴∠PAB=∠DAP+∠DAB=10°+60°=70°．或由△BDC≌△BPC，∴BP=BD=BA∴∠BAP=∠BPA又∵∠ABP=∠ABC﹣∠PBC=40°∴∠BAP=（180﹣40）/2=70°故答案为：70°．15．（2011•海曙区模拟）线段AB和直线l在同一平面上．则下列判断可能成立的有5个直线l上恰好只有个1点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个2点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个3点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个4点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个5点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个6点P，使△ABP为等腰三角形．【解答】解：要使△APB是等腰三角形，分为三种情况：①AP=BP（即作AB的垂直平分线于直线的交点，即有一个点）∴直线l上恰好只有个1点P，使△ABP为等腰三角形正确；②AB=AP（以A为圆心，以AB为半径画弧，交直线于两点），即直线l上恰好只有个2点P，使△ABP为等腰三角形正确；直线l上恰好只有个3点P，使△ABP为等腰三角形正确；③AB=BP（以B为圆心，以AB为半径画弧，交直线于两点）即直线l上恰好只有个4点P，使△ABP为等腰三角形正确；直线l上恰好只有个5点P，使△ABP为等腰三角形正确；∵1+2+2=5，∴直线l上恰好只有个6点P，使△ABP为等腰三角形错误；故答案为：5．16．（2011•拱墅区校级模拟）如图，△ABC为正三角形，面积为S．D1，E1，F1分别是△ABC三边上的点，且AD1=BE1=CF1=AB，可得△D1E1F1，则△D1E1F1的面积S1=S；如，D2，E2，F2分别是△ABC三边上的点，且AD2=BE2=CF2=AB，则△D2E2F2的面积S2=S；按照这样的思路探索下去，D n，E n，F n分别是△ABC三边上的点，且AD n=BE n=CF n=AB，则S n=S．【解答】解：∵△ABC为正三角形，∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，∵AD1=BE1=CF1=AB，∴BD1=CE1=AF1=AB，∴△AD1F1≌△BD1E1≌△CE1F1，设等边△ABC的边长为a，则S=a2sin60°，△AD1F1的面积=×a•a•sin60°=S，∴△D1E1F1的面积S1=S﹣3×S=S；同理，AD2=BE2=CF2=AB时，BD2=CE2=AF2=AB，△AD2F2的面积S2=×a•a•sin60°=S，△D2E2F2的面积S2=S﹣3×S=S；AD n=BE n=CF n=AB时，BD n=CE n=AF n=AB，△AD n F n的面积=×a•a•sin60°=S，△D n E n F n的面积S n=S﹣3×S=S．故答案为：S，S，S．17．（2009•滨州）已知等腰△ABC的周长为10，若设腰长为x，则x的取值范围是＜x＜5．【解答】解：依题意得：10﹣2x﹣x＜x＜10﹣2x+x，解得＜x＜5．故填＜x＜5．18．（2005•江西）如图，一个顶角为40°的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=220度．【解答】解：如图，△ABC中，∠A+∠B=180°﹣∠C=180°﹣40°=140°；四边形中，∠1+∠2=360°﹣（∠A+∠B）=360°﹣140°=220°．故填220．。
初中数学：等腰三角形练习(含答案)
初中数学：等腰三角形练习（含答案）一、选择题1、等腰三角形一底角为50°,则顶角的度数为（）A、65B、70C、80D、40【答案】C【解析】试题分析：根据三角形的内角和定理求解.解：等腰三角形的顶角度数=180°-50°-50°=80°.故应选C考点：等腰三角形的性质2、如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD,CE分别为∠ABC,∠ACB的角平分线,则图中等腰三角形共有（）A． 5个B． 6个C．7个D．8个【答案】D【解析】试题分析：根据等腰三角形两底角相等和∠A=36°,求出∠ABC和∠ACB的度数,再根据角平分线的定义求出∠ABD、∠CBD、∠ACE、∠BCE的度数,利用三角形外角定理求出∠BOE、∠COD的度数,根据等角对等边进行判断.解：如下图所示,∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠ACB=72°,∵BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,∴∠ABD=∠C BD=∠ACE=∠BCE=∠A=36°,∴△ABD、△BCD、△ACE、△BCE、△OBC是等腰三角形；∴∠BEC=∠A+∠ACE=72°,∠BOE=∠BCE+∠CBD=72°,∴∠BEC=∠BOE,同理可得：∠CDO=∠COD,∴△BOE、△COD是等腰三角形；又△ABC是等腰三角形,∴共有8个等腰三角形.故应选D.考点：1.等腰三角形的性质；2.等腰三角形的判定3、下列条件中不能确定是等腰三角形的是（）A．三条边都相等的三角形B．一条中线把面积分成相等的两部分的三角形C．有一个锐角是45°的直角三角形D．一个外角的平分线平行于三角形一边的三角形【答案】D【解析】试题分析：根据等腰三角形的定义和等腰三角形的判定定理进行判断.解：A选项、三条边都相等的三角形是特殊的等腰三角形,故A选项正确；B选项、三角形任何一条边上的中线都能把三角形分成面积相等的两个三角形,故B选项错误；C选项、有一个锐角是45°的直角三角形的另一个锐角也是45°,根据等角对等边可得这是一个等腰三角形,故C选项正确；D选项、如果一个外角的平分线平行于三角形一边,利用平行线的性质可证三角形的两个角相等,根据等角对等边可证这是一个等腰三角形,故D选项正确.故应选B考点：等腰三角形的判定4、下列能断定△ABC为等腰三角形的是（）A．∠A=30°,∠B=60°B．∠A=50°,∠B=80°C． AB=AC=2,BC=4 D．AB=3,BC=7,周长为13【答案】B【解析】试题分析：根据等腰三角形的判定定理进行判断.解：A选项、若∠A=30°,∠B=60°,则∠C=90°,不能判定△ABC为等腰三角形；B选项、若∠A=50°,∠B=80°,则∠C=50°,根据等角对等边能判定△ABC为等腰三角形；C选项、若AB=AC=2,BC=4,因为2+2=4,所以不能构成三角形；D选项、若AB=3,BC=7,周长为13,则AC=3,因为3+3<7,所以不能构成三角形.故应选B.考点：等腰三角形的判定5、已知下列各组数据,可以构成等腰三角形的是（）A． 1,2,1 B．2,2,1 C． 1,3,1 D．2,2,5【答案】B【解析】试题分析：根据三角形三边的关系进行判断.解：A选项、因为1+1=2,所以不能构成三角形；B选项、因为2+1>2,能构成三角形,所以可以构成等腰三角形；C选项、因为1+1<3,所以不能构成三角形；D选项、因为2+2<5,所以不能构成三角形.故应选B.考点：三角形三边关系6、小明将两个全等且有一个角为60°的直角三角形拼成如图所示的图形,其中两条较长直角边在同一直线上,则图中等腰三角形的个数是（）Ａ．4 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．1【答案】B【解析】试题分析：根据直角三角形的性质求出各角的度数,根据等角对等边进行判断. 解：∵∠B=∠E=60°,∴∠A=∠D=30°,∴△MAD是等腰三角形；∵∠EMG-∠A+∠D=60°,∴△EGM是等腰三角形；同理可证△BHM是等腰三角形.∴共有三个等腰三角形.故应选B考点：1.直角三角形的性质；2.等腰三角形的判定二、填空题7、一个等腰三角形的两边分别为3cm和4cm,则它的周长为_________；【答案】10cm或11cm【解析】试题分析：根据三角形的周长公式分情况进行计算.解：当三角形三边分别是3cm、3cm、4cm时,三角形的周长是3+3+4=10cm；当三角形三边分别是3cm、4cm、4cm时,三角形的周长是3+4+4=11cm.故答案是10cm或11cm.考点：等腰三角形的性质8、在方格纸上有一个△ABC,它的顶点位置如图所示,则这个三角形是三角形.【答案】等腰【解析】试题分析：根据点A在BC的垂直平分线上,可证AB=AC,所以这个三角形是等腰三角形.解：∵点A在BC的垂直平分线上,∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形.故答案是等腰.考点：1.线段垂直平分线的性质；2.等腰三角形的定义9、如果一个三角形有两个角分别为80°,50°,则这个三角形是_________三角形．【答案】等腰【解析】试题分析：根据三角形内角和求出三角形的另一个内角,根据等角对等边进行判断.解：∵第三个角=180°-50°-80°=50°.∴这个三角形是等腰三角形.故答案是等腰.考点：等腰三角形的判定10、用若干根火柴（不折断）紧接着摆成一个等腰三角形,一边用了10根火柴,则至少还要用_________根火柴．【答案】11【解析】试题分析：根据用10根火柴组成的边是等腰三角形的底边和腰,分两种情况进行讨论.解：当用10根火柴组成的边是等腰三角形的底边时,则每个腰上至少用6根火柴棍,∴共需要12根火柴棍；当用10根火柴组成的边是等腰三角形的腰时,则另一个腰上需要用10根火柴棍,底边至少用1根火柴,∴共需要11根火柴棍.∴至少还要用11根火柴.故答案是11.考点：1.等腰三角形的定义；2.三角形三边关系11、如图,△ABC是等腰三角形,且AB=AC,BM,CM分别平分∠ABC,∠ACB,DE 经过点M,且DE∥BC,则图中有_________个等腰三角形．【答案】5【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB,根据平行线的性质可证∠ADE=∠AED,根据角平分线的性质可证∠DBM=∠MBC=∠DMB=∠EMC=∠ECM=∠BCM,根据等角对等边进行证明.解：∵△ABC是等腰三角形,∴∠ABC=∠ACB,∵DE∥BC,∴∠ADE=∠AED,∴△ADE是等腰三角形；∵BM平分∠ABC,∴∠DBM=∠CBM,∵BC∥DE,∴∠DMB=∠CBM,∴∠DBM=∠DMB,∴△DBM是等腰三角形,同理可得△EMC是等腰三角形；又∵∠ABC=∠ACB,∴∠MBC=∠MCB,∴△MBC是等腰三角形.∵△ABC是等腰三角形.∴共有5个等腰三角形.故答案是5.考点：1.等腰三角形的性质；2.等腰三角形的判定三、解答题12、已知：如图,OA平分∠BAC,∠1=∠2．求证：△ABC是等腰三角形．【答案】证明见解析【解析】试题分析：首先过点O作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,根据角平分线的性质可证OE=OF,根据HL可证Rt△OBE≌Rt△OCF,利用全等三角形的性质可证∠5=∠6,所以可证∠ABC=∠ACB,根据等角对等边可证结论成立.证明：如下图所示,过点O作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,∵AO平分∠BAC,∴OE=OF（角平分线上的点到角两边的距离相等）．∵∠1=∠2,∴OB=OC．∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL）．∴∠5=∠6．∴∠1+∠5=∠2+∠6．即∠ABC=∠ACB．∴AB=AC．∴△ABC是等腰三角形．考点：1.角平分线的性质；2.等腰三角形的判定定理；3.全等三角形的判定和性质13、如图,△ABC中,∠A=36°,AB=AC,CD平分∠ACB,试说明△BCD是等腰三角形．【答案】证明见解析【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质求出∠B=∠ACB=72°,根据角平分线的定义可以求出∠ACD=∠A=36°,根据三角形外角的性质可以求出∠ADB=72°,再根据等角对等边可证结论成立.证明：∵∠A=36°,AB=AC,∴∠B=∠ACB=72°,∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠A=36°,∴∠BDC=∠A+∠ACD,∴∠BDC=∠B=72°,∴△BCD是等腰三角形．考点：1.等腰三角形的性质；2.等腰三角形的判定14、如图,ABC△中,∠ABC、∠ACB的平分线交于点F,过点F作DE∥BC分别交AB、AC于D、E,已知△ADE的周长为20cm,且BC=12cm,求△ABC的周长【答案】32cm.【解析】试题分析：首先根据角平分线的性质可证∠DBF=∠FBC,根据平行线的性质可证∠DFB=∠DBF,所以可证BD=DF,同理可证EC=EF,所以可证AD+AE+DF+EF=20cm,再根据BC的长度求出△ABC的周长.解：∵∠ABC、∠ACB的平分线交于点F,∴∠DBF=∠FBC,又∵DE∥BC,∴∠DFB=∠FBC,∴∠DFB=∠DBF,∴BD=DF,同理EC=EF,∵△ADE的周长为20cm,∴AD+AE+DF+EF=20cm,∴AD+AE+BD+EC=AB+AC=20cm又∵BC=12cm,∴AB+AC+BC=32cm即△ABC的周长为32cm.考点：1.等腰三角形的判定；2.等腰三角形的性质。
鲁教版七年级等腰三角形练习50题及参考答案(难度系数0.6)
七年级等腰三角形（难度系数0.6）一、单选题（共18题；共36分）1.如图，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2019次，依次得到点P1,P2,P3,...,P2019，则点P2019的坐标是（）A. (2019,2)B. (2019, √3)C. (4038, √3)D. (4037, √3)【答案】 D【考点】点的坐标，等边三角形的性质，翻折变换（折叠问题）2.将边长为1的一个正方形和一个等边三角形按如图的方式摆放，则ΔABC的面积为（）A. 1B. 12C. 13D. 14【答案】 D【考点】等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，正方形的性质3.如图，三组互相垂直的线段，已知AD=2，BC=8，BF=4，那么AC的长度等于（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【考点】含30度角的直角三角形4.在Rt△ABC中，如图所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，点D到AB的距离DE=3.8cm，则BC 等于（）【考点】角平分线的性质，含30度角的直角三角形5.已知等腰三角形的周长是10，底边长y是腰长x的函数，则下列图象中，能正确反映y与x之间函数关系的图象是（）A. B.C. D.【答案】D【考点】一次函数的图象，三角形三边关系，等腰三角形的性质6.如图，已知等边△AEB和等边△BDC在线段AC同侧，则下面错误的是（）A. △ABD≌△EBCB. △NBC≌△MBDC. DM=DCD. ∠ABD=∠EBC【答案】C【考点】全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质7.若等腰三角形的两边长分别为4和9，则它的周长为（）A. 22B. 17C. 13D. 17或22【答案】A【考点】三角形三边关系，等腰三角形的性质8.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）【考点】等腰三角形的判定9.已知：在△ABC中，∠A=60°，如要判定△ABC是等边三角形，还需添加一个条件．现有下面三种说法：①如果添加条件“AB=AC”，那么△ABC是等边三角形；②如果添加条件“∠B=∠C”，那么△ABC是等边三角形；③如果添加条件“边AB、BC上的高相等”，那么△ABC是等边三角形．上述说法中，正确的有（）A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个【答案】A【考点】等边三角形的判定10.如图，在等边△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，已知AB=8，则BF的长为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【考点】等边三角形的性质11.等腰三角形的三边长分别为3x﹣2，4x﹣3，6﹣2x，则该三角形的周长为（）A. 6B. 6或9或8.5C. 9或8.5D. 与x的取值有关【答案】C【考点】三角形三边关系，等腰三角形的性质12.如图，在3×3网格中，已知点A，B是网格顶点（也称格点），若点C也是图中的格点，且使得△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C的个数为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【考点】等腰三角形的判定13.如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，下列结论错误的是（）A. ∠C=2∠AB. BD=BCC. △ABD是等腰三角形D. 点D为线段AC的中点【答案】D【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质14.如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°．若BE=6cm，DE=2cm，则BC的长为（）A. 4cmB. 6cmC. 8cmD. 12cm【答案】C【考点】等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质15.如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．其中正确的结论的个数是（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】C【考点】三角形的外角性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质16.如图线段AB与直线AC相交构成∠BAC(其中∠BAC为锐角，且∠BAC≠60°) ,请在直线AC上找一点D使得△ABD为等腰三角形．问：这样的点D共存在( )点．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】 D【考点】线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，作图—基本作图17.如图，是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开（只允许剪一次），不能得到两个等腰三角形纸片的是（）A. B.C. D.【答案】B【考点】等腰三角形的判定18.如图，已知∠AOB=60∘，点P在边OA上，OP=10，点M、N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【考点】等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形二、填空题（共12题；共17分）19.若等腰三角形的两边的长分别是3cm、7cm,则它的周长为________cm.【答案】17【考点】三角形三边关系，等腰三角形的性质20.某等腰三角形的周长是50cm，底边长是xcm，腰长是ycm，则y与x之间的关系式是________.（0＜x＜25）【答案】y＝50−x2【考点】函数解析式，等腰三角形的性质21.若△ABC 的三边长为a，b，c，且c（a-b）+b（b-a）=0，则△ABC 为________三角形．【答案】等腰【考点】因式分解的应用，等腰三角形的判定22.已知，在同一平面内，∠ABC＝50°，AD∥BC，∠BAD的平分线交直线BC于点E，那么∠AEB的度数为________．【答案】65°或25°【考点】角的平分线，平行线的性质，等腰三角形的性质23.已知等腰三角形的一个内角是80°，则它的底角是°．【答案】80°或50°【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质24.已知等腰三角形的两条边长分别为2和3，则它的周长为________【答案】7或8【考点】等腰三角形的性质25.如图，在第1个ΔABA1中，∠B=40°，∠BAA1=∠BA1A，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得在第2个ΔA1CA2中，∠A1CA2=∠A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得在第3个ΔA2DA3中，∠A2DA3=∠A2A3D；…，按此做法进行下去，第3个三角形中以A3为顶点的内角的度数为________；第n个三角形中以A n为顶点的内角的度数为________度.【答案】17.50；702n−1【考点】三角形的外角性质，等腰三角形的性质，探索图形规律26.等腰三角形两边长分别为5,7，则其周长为________.【答案】17或19【考点】三角形三边关系，等腰三角形的性质27.等腰三角形的两边长分别是5cm和7cm，则它的周长是________cm.【答案】17或19【考点】三角形三边关系，等腰三角形的性质28.一个等腰三角形的底边长为5，一腰上中线把其周长分成的两部分的差为3，则这个等腰三角形的腰长为________【答案】8【考点】三角形三边关系，等腰三角形的性质29.如图，在△ABC 中，AB=AC ，DE ∥BC ，∠1=65°，则∠2=________°【答案】115【考点】平行线的性质，等腰三角形的性质30.如图已知OA=a ，P 是射线ON 上一动点，∠AON=60°，当OP=________时，△AOP 为等边三角形．【答案】 a【考点】等边三角形的判定三、解答题（共6题；共30分）31.如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6cm ，AD 是∠CAB 的平分线，求DC 的长。
等腰三角形经典练习题（5套）附带详细答案
等腰三角形经典练习题（5套）附带详细答案￥练习一一、选择题1．等腰三角形的周长为26㎝，一边长为6㎝，那么腰长为（）Ａ．6㎝Ｂ．10㎝Ｃ．6㎝或10㎝Ｄ．14㎝2．已知△ABC，AB =AC，∠B=65°，∠C度数是( )A．50° B．65° C．70° D．75°3．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（）/A．过顶点的直线B．底边的垂线C．顶角的平分线所在的直线D．腰上的高所在的直线二、填空题4．等腰三角形的两个_______相等（简写成“____________”）．5．已知△ABC，AB =AC，∠A=80°，∠B度数是_________．6．等腰三角形的两个内角的比是1：2，则这个等腰三角形的顶角的度数是_______________．7．等腰三角形的腰长是6，则底边长5，周长为__________．！三、解答题8．如图AB=AD，AD∥BC，求证：BD平分∠ABC．（写出每步证明的重要依据）…9．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在AC、AB边上，且BC=BD，AD=DE=EB，求∠A的度数。
一、选择题1．B2．B3．C二、填空题4．底角，等边对等角~5．50°6．36°或90°7．16或17三、解答题8．如图AB=AD，AD∥BC，求证：BD平分∠ABC．证明：∵AB=AD（已知）∴∠ABD=∠ADB（等边对等角）∵AD∥BC（已知）}∴∠ADB=∠CBD（两直线平行，内错角相等）∴∠ABD=∠CBD（等量代换）∴BD平分∠ABC．（角平分线定义）9．45练习2…一、选择题1．△ABC是等边三角形，D、E、F为各边中点，则图中共．有正三角形( )A．2个 B．3个C．4个 D．5个2．△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则BC：AB等于 ( )!A． 2：1 B．1：2 C．1：3 D．2 ：3二、填空题3．等边三角形的周长为6㎝，则它的边长为 ________．4．等边三角形的两条高线相交所成钝角的度数是__________．5．在△ABC中，∠A=∠B=∠C，则△ABC是_____三角形．6．△ABC中，∠AC B=90°∠B=60°，BC=3㎝，则AB=_______．三、解答题7．△ABC是等边三角形，点D在边BC上，DE∥AC，△BDE是等边三角形吗试说明理由．>8．已知：如图，P，Q是△ABC边上BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数．（9．已知：△ABC中，∠ACB=90°，AD=BD，∠A=30°，求证：△BDC是等边三角形．\AQ CPB一、选择题 1．D 2．B二、填空题 3．2㎝ 4．120° 5．等边）6．6㎝三、解答题7．△ABC 是等边三角形．理由是∵△ABC 是等边三角形∴∠A =∠B =∠C=60° ∵DE ∥AC ，∴∠BED =∠A=60°，∠BDE =∠C =60° ∴∠B =∠BED =∠BDE、∴△ABC 是等边三角形 8．∠BAC=120°9．证明：∵△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°（已知）∴∠A +∠B=90°（直角三角形两锐角互余）∴∠B= 90°－∠A= 90°－30°=60° ∵△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°（已知）~∴BC=（在直角三角形中，一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半）∴△BDC 是等边三角形（有一个角是60°角的等腰三角形是等边三角形）。
等腰三角形经典练习题(5套)附带详细答案
练习一一、选择题1．等腰三角形的周长为26㎝，一边长为6㎝，那么腰长为（）Ａ．6㎝Ｂ．10㎝Ｃ．6㎝或10㎝Ｄ．14㎝2．已知△ABC，AB =AC，∠B=65°，∠C度数是( )A．50° B．65° C．70° D． 75°3．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（）A．过顶点的直线B．底边的垂线C．顶角的平分线所在的直线D．腰上的高所在的直线/二、填空题4．等腰三角形的两个_______相等（简写成“____________”）．5．已知△ABC，AB =AC，∠A=80°，∠B度数是_________．6．等腰三角形的两个内角的比是1：2，则这个等腰三角形的顶角的度数是_______________．7．等腰三角形的腰长是6，则底边长5，周长为__________．三、解答题8．如图AB=AD，AD∥BC，求证：BD平分∠ABC．（写出每步证明的重要依据）[9．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在AC、AB边上，且BC=BD，AD=DE=EB，求∠A的度数.一、选择题1．B2．B3．C二、填空题4．底角，等边对等角~5．50°6．36°或90°7．16或17三、解答题8．如图AB=AD，AD∥BC，求证：BD平分∠ABC．证明：∵AB=AD（已知）∴∠ABD=∠ADB（等边对等角）∵AD∥BC（已知）∴∠ADB=∠CBD（两直线平行，内错角相等）∴∠ABD=∠CBD（等量代换）|∴BD平分∠ABC．（角平分线定义）9．45练习2一、选择题1．△ABC是等边三角形，D、E、F为各@边中点，则图中共．有正三角形( )A．2个 B．3个C．4个 D．5个2．△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则BC：AB等于 ( )A． 2：1 B．1：2 C．1：3 D．2 ：3二、填空题3．等边三角形的周长为6㎝，则它的边长为 ________．4．等边三角形的两条高线相交所成钝角的度数是__________．5．在△ABC中，∠A=∠B=∠C，则△ABC是_____三角形．6．△ABC中，∠AC B=90°∠B=60°，BC=3㎝，则AB=_______．—三、解答题7．△ABC是等边三角形，点D在边BC上，DE∥AC，△BDE是等边三角形吗试说明理由．8．已知：如图，P，Q是△ABC边上BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数．《9．已知：△ABC中，∠ACB=90°，AD=BD，∠A=30°，求证：△BDC是等边三角形．一、选择题[AQ CPB1．D 2．B二、填空题 3．2㎝ 4．120° 5．等边 6．6㎝ 三、解答题7．△ABC 是等边三角形．理由是 ∵△ABC 是等边三角形；∴∠A =∠B =∠C=60° ∵DE ∥AC ，∴∠BED =∠A=60°，∠BDE =∠C =60° ∴∠B =∠BED =∠BDE ∴△ABC 是等边三角形 8．∠BAC=120°9．证明：∵△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°（已知）∴∠A +∠B=90°（直角三角形两锐角互余）》∴∠B= 90°－∠A= 90°－30°=60°∵△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°（已知） ∴BC=（在直角三角形中，一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半）∴△BDC 是等边三角形（有一个角是60°角的等腰三角形是等边三角形）。
等腰等边三角形经典习题
等腰三角形专项练习11、一个等腰三角形的一个角是50°,它的一腰上的高与底边的夹角是( )A．25°B．40°C．25°或40°D．不确定.2、.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300,则顶角的度数为（）A.600B.1200C.600或1500D.600或12003、有一个等腰三角形的周长为25,一边长为11,那么腰长为( )A．11 B．7 C．14 D．7或114、等腰三角形是轴对称图形,它的对称轴有（）A.1条B.2条C.35.6.已知：已知：求证：求证：证明：证明：等腰三角形专项练习1、一个等腰三角形的一个角是50°,它的一腰上的高与底边的夹角是( )A．25°B．40°C．25°或40°D．不确定.2、.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300,则顶角的度数为（）A.600B.1200C.600或1500D.600或12003、有一个等腰三角形的周长为25,一边长为11,那么腰长为( )A．11 B．7 C．14 D．7或114、等腰三角形是轴对称图形,它的对称轴有（）A.1条B.2条C.3条D.1条或3条5.求证：等腰三角形两个底角相等。
6.已知：已知：求证：求证：证明：证明：7．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的角平分线相交于点O ，过点O 作EF ∥BC ，交ABAC 于F ，若AB=18，AC=16，求△AEF 的周长？8.如图：在△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC ， DE ⊥AB 于点E, DF ⊥AC 于点F 。
试说明DE=DF 。
9．如图，分别以Rt △ABC 的直角边AC,BC 为边，在Rt △ABC 外作两个等边三角形△ACE和△BCF ，连接BE,AF 。
求证：BE=AF7．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的角平分线相交于点O ，过点O 作EF ∥BC ，交AC 于F ，若AB=18，AC=16，求△AEF 的周长？8.如图：在△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC ， DE ⊥AB 于点E, DF ⊥AC 于点F 。
等腰三角形专项训练题
等腰三角形专项训练题1、一个等腰三角形的一个角是50°,它的一腰上的高与底边的夹角是( )A ．25°B ．40°C ．25°或40°D ．不确定.2、.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300,则顶角的度数为（ ）A.600B.1200C.600或1500D.600或12003、有一个等腰三角形的周长为25,一边长为11,那么腰长为( )A ．11B ．7C ．14D ．7或114、下列命题正确的个数是( )①如果等腰三角形内一点到底边两端点的距离相等, 那么过这点与顶点的直线必垂直于底边; ②如果把等腰三角形的底边向两个方向延长相等的线段, 那么延长线段的两个端点与顶点距离相等; ③等腰三角形底边中线上一点到两腰的距离相等; ④等腰三角形高上一点到底边的两端点距离相等.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个5、下列图形:①两个点;②线段;③角;④长方形;⑤两条相交直线;⑥三角形,其中一定是轴对称图形的有（ ）A.5个B.3个C.4个D.6个6、如图，⊿MNP 中,∠P= 60，MN=NP ，MQ ⊥PN ，垂足为Q ，延长MN 至G ，取NG=NQ ， 若⊿MNP 的周长为12，MQ=a ，则⊿MGQ 的周长为 （ ）(A) 8+2a （B ）8+a （C ） 6+a （D ）6+2a7、如图9－13所示，△ABC 中，BC 边的垂直平分线DE 交BC 于D ，交AC 于E ， BE ＝5厘米，△BCE 的周长是18厘米，则BC ＝ 厘米8.已知：如图，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，CF ⊥AD 于F ，且BC ＝DC .你能说明BE 与DF 相等吗？A B C D E F1 2 A BCE D9．在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过C 作CE ⊥AB 于E ，且AE ＝21（AB ＋AD ），求∠ABC ＋∠ADC 的度数．10．已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC=90°，直角∠EPF 的顶点P 是BC 中点， 两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点F 、F ，给出以下四个结论：①AE=CF ；②△EPF 是等腰直角三角形，③S AEPF 四边形=21 S ABC ；④EF=AP ．当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时(点E 不与A 、B 重合)，上述结论中始终正确的是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ． 4个11.如图，在△ABC 中，AB =AC ，DE 是过点A 的直线，BD ⊥DE 于D ，CE ⊥DE 于E ．（1）若BC 在DE 的同侧（如图①）且AD =CE ，说明：BA ⊥A C ．（2）若BC 在DE 的两侧（如图②）其他条件不变，问AB 与AC 仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理由．12.已知：如图，在等边三角形ABC 中，D 、E 分别为BC 、AC 上的点，且AE ＝CD ，连 结AD 、BE 交于点P ，作BQ ⊥AD ，垂足为Q ．求证：BP ＝2PQ .13．如图，等边三角形ABD 和等边三角形CBD 的长均为a ，现把它们拼合起来，E 是AD 上异于A 、D 两点的一动点，F 是CD 上一动点，满足AE+CF ＝a ．(1)E 、F 移动时，△BEF 的形状如何? (2)E 点在何处时，△BEF 面积的最小值．14、已知△ABC 中,∠BAC=90°, AB=AC. （1）如图，D 为AC 上任一点，连接BD ，过A 点作BD 的垂线交过C 点与AB 平行的直线CE 于点E.求证：BD=AE.（2）若点D 在AC 的延长线上，如图，其他条件同（1），请画出此时的图形，并猜想BD 与AE 是否仍然相等？说明你的理由.15．如图，∠B =∠C =90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB16、如图:在△ABC 中,AB=AC,P 为BC 边上任意一点,PF ⊥AB 于F,PE ⊥AC 于E,若AC 边上的高BD=a.(1)试说明PE ＋PF=a;(2)若点P 在BC 的延长线上,其它条件不变,上述结论还成立吗?如果成立请说明理由;如果不成立,请重新给出一个关于PE,PF,a 的关系式,不需要说明理由.ABCP F E D17．如图，等边△ABC中，AB=2，点P是AB边上的任意一点(点P可以与点A重合，但不与点B重合)，过点P作PE⊥BC于E，过点E作EF⊥AC于F，过点F作FQ⊥AB于Q，设BP= x，AQ＝y．(1)用x的代数式表示y；(2)当PB的长等于多少时，点P与点Q重合? (福州市中考题)18 △ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在AB上，E在BC上，且AD=BE，BD=AC．（1）如图1，连接DE，求∠BDE的度数；（2）如图2，过E作EF⊥AB于F，若BF=4，求CE的长．19.已知：点A、C分别是∠B的两条边上的点，点D、E分别是直线BA、BC上的点，直线AE、CD相交于点P．（1）点D、E分别在线段BA、BC上，若∠B=60°（如图1），且AD=BE，BD=CE，求∠APD的度数；（2）如图2，点D、E分别在线段AB、BC的延长线上，若∠B=90°，AD=BC，∠APD=45°，求证：BD=CE图2。
等腰三角形强化练习(打印)题(含答案)
ED C AF1.等腰三角形练习题(第一课时)一、选择题1．等腰三角形的对称轴是（ ）A ．顶角的平分线B ．底边上的高C ．底边上的中线D ．底边上的高所在的直线 2．等腰三角形有两条边长为4cm 和9cm ，则该三角形的周长是（ ） A ．17cm B ．22cm C ．17cm 或22cm D ．18cm3．等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（ ） A ．40° B ．50° C ．60° D ．30° 4．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（ ） A ．100° B ．100°或40° C ．40° D ．80° 5．如图，C 、E 和B 、D 、F 分别在∠GAH 的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF ，若∠A=18°，则∠GEF 的度数是（ ）A ．80° B ．90° C ．100° D ．108°ECAFG二、填空题 6．等腰△ABC 的底角是60°，则顶角是________度． 7．等腰三角形“三线合一”是指___________．8．等腰三角形的顶角是n °，则两个底角的角平分线所夹的钝角是_________． 9．如图，△ABC 中AB=AC ，EB=BD=DC=CF ，∠A=40°，则∠EDF•的度数是_____．10．△ABC 中，AB=AC ．点D 在BC 边上（1）∵AD 平分∠BAC ，∴_______=________；________⊥_________； （2）∵AD 是中线，∴∠________=∠________；________⊥________； （3）∵AD ⊥BC ，∴∠________=∠_______；_______=_______．三、解答题11．已知△ABC 中AB=AC ，AD ⊥BC 于D ，若△ABC 、△ABD 的周长分别是20cm 和16cm ，•求AD 的长．AB C DAB C D练习题(第二课时)一、选择题1．如图1，已知OC 平分∠AOB ，CD ∥OB ，若OD=3cm ，则CD 等于（ ）A ．3cmB ．4cmC ．1.5cmD ．2cmD C AE D ABFEDCBH F（1） (2) (3)2．△ABC 中AB=AC ，∠A=36°，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，则图中的等腰三角形有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3．如图2，△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点F ，过点F 作DE ∥BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：①△BDF 和△CEF 都是等腰三角形；②DE=BD+CE ；•③△ADE 的周长等于AB 与AC 的和；④BF=CF ．其中正确的有（ ）A ．①②③ B ．①②③④ C ．①② D ．①4．如图3，Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，角平分线AE 交CD 于H ，EF ⊥AB 于F ，则下列结论中不正确的是（ ）A ．∠ACD=∠B B ．CH=CE=EF C ．CH=HD D ．AC=AF 二、填空题5．△ABC 中，∠A=65°，∠B=50°，则AB ：BC=_________．6．已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，要使AD•∥BC ，•则△ABC•的边一定满足________． 7．△ABC 中，∠C=∠B ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，•AE=•2cm ，•且DE•∥BC ，•则AD=________． 三、解答题9．如图，已知AB=AC ，E 、D 分别在AB 、AC 上，BD 与CE 交于点F ，•且∠ABD=•∠ACE ， 求证：BF=CF ．四、探究题11．如图，AF 是△ABC 的角平分线，BD ⊥AF 交AF 的延长线于D ，DE ∥AC•交AB 于E ， 求证：AE=BE ．ECABFE D ABF2.等边三角形练习题一、选择题1．正△ABC 的两条角平分线BD 和CE 交于点I ，则∠BIC 等于（ ） A ．60° B ．90° C ．120° D ．150°2．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；•③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；•④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ）A ．①②③ B ．①②④ C ．①③ D ．①②③④3．如图，D 、E 、F 分别是等边△ABC 各边上的点，且AD=BE=CF ，则△DEF•的形状是（ ）A ．等边三角形B ．腰和底边不相等的等腰三角形C ．直角三角形D ．不等边三角形D ABF21EDCA B4．Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，∠B=30°，AD=2cm ，则AB 的长度是（ ） A ．2cm B ．4cm C ．8cm D ．16cm5．如图，E 是等边△ABC 中AC 边上的点，∠1=∠2，BE=CD ，则对△ADE 的形状最准备的判断是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．不等边三角形D ．不能确定形状 二、填空题7．已知AD 是等边△ABC 的高，BE 是AC 边的中线，AD 与BE 交于点F ，则∠AFE=______． 8．等边三角形是轴对称图形，它有______条对称轴，分别是_____________．9．△ABC 中，∠B=∠C=15°，AB=2cm ，CD ⊥AB 交BA 的延长线于点D ，•则CD•的长度是_______． 三、解答题10．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AD ⊥AC 交BC•于点D ，•求证：•BC=3AD.D CAB11．如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE•都是等边三角形．BE 交AC 于F ，AD 交CE 于H ，①求证：△BCE ≌△ACD ；②求证：CF=CH ；③判断△CFH•的形状并说明理由．EDAH F等腰三角形测试题（1）1、等腰三角形的一边长为2，周长是7，则另外两边的长为________。
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等腰三角形练习题
一、计算题：
1. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB
求∠A 的度数
设∠ABD 为x,则∠A 为2x 由8x=180° 得∠A=2x=45°
2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD
求∠A 的度数 设∠A 为x,
由5x=180°
得∠A=36°
3. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，若∠EDF=70°，
求∠AFD 的度数 ∠AFD=160°
4. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD=ED=EA
求∠A 的度数
A
B C D F
E
F E
A D
B
C X
x x
2x
2x A
B C D
E x
x
3x
2x
3x 2x
2x A
x
设∠A 为x
∠A=7180
5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求∠EDC 的度数 设∠ADE 为x ∠EDC=∠AED －∠C=15°
6. 如图，△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 上一点，作DE ⊥BC 于E ，若BE=AC,BD=2
1,DE+BC=1, A B C
D
E x x 180°－2x 30° x －15°
x －15° A
求∠ABC 的度数
延长DE 到点F,使EF=BC 可证得:△ABC ≌△BFE 所以∠1=∠F
由∠2+∠F=90°, 得∠1+∠F=90° 在Rt △DBF 中, BD=21,DF=1 所以∠F =∠1=30°
7. 如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，若AC=AB+BD
求∠B ：∠C 的值
在AC 上取一点E,使AE=AB 可证△ABD ≌△ADE 所以∠B=∠AED
由AC=AB+BD,得DE=EC, 所以∠AED=2∠C 故∠B ：∠C=2:1
二、证明题：
8. 如图，△ABC 中，∠ABC,∠CAB 的平分线交于点P ，过点P 作DE ∥AB ，分别交BC 、AC 于
点D 、E
求证：DE=BD+AE
证明△PBD 和△PEA
C B
A
D
E P A
B C D E
是等腰三角形
9. 如图，△DEF 中，∠EDF=2∠E ，FA ⊥DE 于点A ，问：DF 、AD 、AE 间有什么样的大小关系
DF+AD=AE 在AE 上取点B,使AB=AD
10. 如图，△ABC 中，∠B=60°，角平分线AD 、
CE 交于点O 求证：AE+CD=AC
在AC 上取点F,使AF=AE
易证明△AOE ≌△AOF, 得∠AOE=∠AOF A D
F E B O
A B
C D
E F
由∠B=60°，角平分线AD 、CE, 得∠AOC=120°
所以∠AOE=∠AOF=∠COF=∠COD=60° 故△COD ≌△COF,得CF=CD 所以AE+CD=AC
11. 如图，△ABC 中，AB=AC, ∠A=100°，BD
平分∠ABC, 求证：BC=BD+AD
延长BD 到点E,使BE=BC,连结CE 在BC 上取点F,使BF=BA 易证△ABD ≌△FBD,得AD=DF 再证△CDE ≌△CDF,得DE=DF 故BE=BC=BD+AD
也可:在BC 上取点E,使BF=BD,连结DF 在BF 上取点E,使BF=BA,连结DE
先证DE=DC,再由△ABD ≌△EBD,得AD=DE,最后证明DE=DF 即可
A
B C D E
F A B
D
12. 如图,△ABC中,AB=AC,D为△ABC外一点，
且∠ABD=∠ACD =60°
求证：CD=AB-BD
在AB上取点E，使BE=BD，
在AC上取点F，使CF=CD
得△BDE与△CDF 均为等边三角形，
只需证△ADF≌△AED
13.已知：如图，AB=AC=BE，CD为△ABC中AB
边上的中线
求证：CD=
2
1CE
延长CD到点E,使DE=CD.连结AE 证明△ACE≌△BCE
A
B C
D
E A
B
C D
E
F
14. 如图，△ABC 中，∠1=∠2，∠EDC=∠BAC
求证：BD=ED
在CE 上取点F,使AB=AF 易证△ABD ≌△ADF, 得BD=DF,∠B=∠AFD 由∠B+∠BAC+∠C=∠DEC+∠EDC+∠C=180° 所以∠B=∠DEC 所以∠DEC=∠AFD 所以DE=DF,故BD=ED
15. 如图，△ABC 中，AB=AC,BE=CF,EF 交BC 于
点G
求证：EG=FG
C
A
B D
E
1 2
F F C B E
G A
16. 如图，△ABC 中，∠ABC=2∠C ，AD 是BC 边上的高，B 到点E ，使BE=BD
求证：AF=FC
17. 如图，△ABC 中，AB=AC,AD 和BE 两条高，
交于点H ，且AE=BE 求证：AH=2BD
由△AHE ≌△BCE,得BC=AH
18. 如图，△ABC 中，AB=AC, ∠BAC=90°,BD=AB,
∠ABD=30° 求证：AD=DC
作AF ⊥BD 于F,DE ⊥AC 于E
可证得∠DAF=DAE=15°, 所以△ADE ≌△ADF
A
B
D F E
C A
B C D
E H
A
B C
D
E
F
得AF=AE,
由AB=2AF=2AE=AC, 所以AE=EC,
因此DE 是AC 的中垂线,所以AD=DC
19. 如图，等边△ABC 中，分别延长BA 至点E ，
延长BC 至点D ，使AE=BD 求证：EC=ED
延长BD 到点F,使DF=BC,
可得等边△BEF, 只需证明△BCE ≌△FDE 即可
20. 如图，四边形ABCD 中，∠BAD+∠BCD=180°，AD 、BC 的延长线交于点F ，DC 、AB 的延长线交于点E ，∠E 、∠F 的平分线交于点H 求证：EH ⊥FH
延长EH 交AF 于点G 由∠BAD+∠BCD=180°,
A E
B C D F
∠DCF+∠BCD=180° 得∠BAD=∠DCF,
由外角定理,得∠1=∠2, 故△FGM 是等腰三角形 由三线合一,得EH ⊥FH
A
B
D
C
E
F
H
G 1
2 M。