1.5.4三角形全等的判定(四)
浙教版数学八年级上册1.5《三角形全等的判定》(第1课时)教案
浙教版数学八年级上册1.5《三角形全等的判定》（第1课时）教案一. 教材分析《三角形全等的判定》是浙教版数学八年级上册第1.5节的内容，本节课主要让学生了解三角形全等的判定方法，掌握SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法，并能够运用这些方法判断两个三角形是否全等。
此内容是学生学习几何的基础知识，对于培养学生的逻辑思维和空间想象能力具有重要意义。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了基本的几何知识，对于图形的认识有一定的基础。
但是，对于三角形全等的判定方法，学生可能初次接触，需要通过实例分析、动手操作、小组讨论等方式，让学生理解和掌握。
三. 教学目标1.了解三角形全等的判定方法，掌握SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法。
2.能够运用判定方法判断两个三角形是否全等。
3.培养学生的逻辑思维和空间想象能力。
四. 教学重难点1.教学重点：SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法。
2.教学难点：如何判断两个三角形是否全等，以及运用判定方法解决实际问题。
五. 教学方法1.实例分析法：通过具体的图形实例，让学生观察、分析、总结三角形全等的判定方法。
2.动手操作法：让学生亲自动手操作，折叠、拼接等，增强直观感受。
3.小组讨论法：分组进行讨论，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
4.练习法：通过课堂练习和课后作业，巩固所学知识。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示图形实例和相关的练习题。
2.教具：三角板、直尺、剪刀等。
3.练习题：准备一些判断三角形全等的练习题，用于课堂练习和课后作业。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些生活中的三角形图形，如自行车三角架、三角尺等，引导学生关注三角形的特点，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）通过实例分析，引导学生观察、总结三角形全等的判定方法。
如：–SSS：三边分别相等的两个三角形全等。
–SAS：两边和夹角分别相等的两个三角形全等。
–ASA：两角和夹边分别相等的两个三角形全等。
浙教版数学八年级上册1.5《三角形全等的判定》(第1课时)教学设计
浙教版数学八年级上册1.5《三角形全等的判定》（第1课时）教学设计一. 教材分析《三角形全等的判定》是浙教版数学八年级上册1.5节的内容，本节内容是在学生已经掌握了三角形的基本概念、性质以及三角形的画法等知识的基础上进行学习的。
本节内容的主要目的是让学生掌握三角形全等的判定方法，并能够灵活运用这些方法解决实际问题。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于图形的认识和操作也有一定的了解。
但是，对于三角形全等的判定方法，学生可能还比较陌生，需要通过实例分析和操作来理解和掌握。
此外，学生的空间想象能力和逻辑思维能力还需要进一步的培养和提高。
三. 教学目标1.让学生了解三角形全等的概念，掌握三角形全等的判定方法。
2.培养学生观察、分析、解决问题的能力。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.三角形全等的判定方法的理解和运用。
2.三角形全等判定方法的灵活运用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，通过问题的提出和解决，引导学生思考和探索。
2.采用实例分析法，通过具体的实例，让学生理解和掌握三角形全等的判定方法。
3.采用合作交流法，让学生在小组合作中，共同解决问题，提高解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学课件和教学素材。
2.三角板和尺子等绘图工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习三角形的基本概念和性质，引导学生进入本节课的主题——三角形全等的判定。
2.呈现（10分钟）通过PPT呈现三角形全等的判定方法，引导学生观察和思考，让学生理解三角形全等的判定方法。
3.操练（10分钟）让学生利用三角板和尺子，自己动手画出全等的三角形，并通过比较，验证自己的结论。
4.巩固（10分钟）通过PPT展示一些判断三角形全等的问题，让学生独立解答，巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）让学生思考：除了三角形，其他多边形有没有类似全等的概念？全等的概念在实际生活中有哪些应用？6.小结（5分钟）对本节课的内容进行小结，让学生明确三角形全等的判定方法，并能够灵活运用。
2019秋浙教版八年级上册数学同步测试题：1.5三角形全等的判定【含答案】
1.5三角形全等的判定第1课时“边边边”知识点1.三角形全等的判定(SSS)1．如图1所示，如果AB＝A′B′，BC＝B′C′，AC＝A′C′，则下列结论正确的是(A)图1A．△ABC≌△A′B′C′B．△ABC≌△C′A′B′C．△ABC≌△B′C′A′D．这两个三角形不全等2．下列三角形中，与图2中△ABC全等的是__③__．3．如图3所示，AD＝BC，AC＝BD，用三角形全等的判定“SSS”可证明__△ADC__≌__△BCD__或__△ABD__≌__△BAC__．图3知识点2.三角形的稳定性4．[2018春·泉港区期末]如图4，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是(C)图4A．两点之间，线段最短B．垂线段最短C．三角形具有稳定性D．两直线平行，内错角相等知识点3.三角形全等的判定与性质的综合5．在△ABC和△A1B1C1中，AB＝A1B1，BC＝B1C1，AC＝A1C1，且∠A＝110°，∠B＝40°，则∠C1＝(C)A．110°B．40°C．30°D．20°6．如图5所示，在△ABC和△DBC中，已知AB＝DB，AC＝DC，则下列结论中错误的是(D)图5A．△ABC≌△DBCB．∠A＝∠DC．BC是∠ACD的平分线D．∠A＝∠BCD7．如图6，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝CB，连结AC，求证：∠ACD ＝∠CAB.图6证明：在△ADC 与△CBA 中，⎩⎨⎧CD ＝AB ，AD ＝CB ，AC ＝CA ，∴△ADC ≌△CBA (SSS )，∴∠ACD ＝∠CAB .8．雨伞的截面如图7所示，伞骨AB ＝AC ，支撑杆OE ＝OF ，AE ＝13AB ，AF ＝13AC ，当O 沿AD 滑动时，雨伞开闭，问雨伞开闭的过程中，∠BAD 与∠CAD 有何关系？请说明理由．图7解：∠BAD ＝∠CAD .理由：∵AB ＝AC ，AE ＝13AB ，AF ＝13AC ，∴AE ＝AF .在△AOE 和AOF 中，⎩⎨⎧AO ＝AO ，AE ＝AF ，OE ＝OF ，∴△AOE ≌△AOF (SSS )，∴∠EAO ＝∠F AO ，即∠BAD ＝∠CAD . 知识点4.尺规作角平分线9．[2018春·历城区期末]如图8，作∠AOB 的角平分线的作图过程如下，作法：图8(1)在OA和OB上，分别截取OD，OE，使OD＝OE；(2)分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C；(3)作射线OC，OC就是∠AOB的平分线．用三角形全等判定法则解释其作图原理，最为恰当的是__SSS__．【易错点】证明两个三角形全等时，对于有公共部分的角或线段，错把不是对应的边或角当成三角形的对应边或对应角．10．如图9，AB＝AC，AD＝AE，BE＝CD，∠2＝110°，∠BAE＝60°，下列结论错误的是(C)图9A．△ABE≌△ACDB．△ABD≌△ACEC．∠ACE＝30°D．∠1＝70°第2课时“边角边”与线段的垂直平分线的性质知识点1.三角形全等的判定(SAS)1．如图1中全等的三角形是(D)①②③④图1A．①和②B．②和③C．②和④D．①和③2．如图2所示，在△ABD和△ACE中，AB＝AC，AD＝AE，要证△ABD≌△ACE，需补充的条件是(C)A．∠B＝∠C B．∠D＝∠EC．∠DAE＝∠BAC D．∠CAD＝∠DAC图2 图33．如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，若连结AC，BD相交于点O，则图中全等三角形共有(C)A．1对B．2对C．3对D．4对4．已知：如图4，OA＝OB，OC平分∠AOB，求证：△AOC≌△BOC.图4证明：∵OC 平分∠AOB ， ∴∠AOC ＝∠BOC . 在△AOC 和△BOC 中，⎩⎨⎧OA ＝OB ，∠AOC ＝∠BOC ，OC ＝OC ，∴△AOC ≌△BOC (SAS )．知识点2.利用“SAS ”判定三角形全等证明线段或角相等5．如图5，在△ABC 和△ABD 中，AC 与BD 相交于点E ，AD ＝BC ，∠DAB ＝∠CBA ，求证：AC ＝BD .图5证明：在△ADB 和△BCA 中，⎩⎨⎧AD ＝BC ，∠DAB ＝∠CBA ，AB ＝BA ，∴△ADB ≌△BCA (SAS )，∴AC ＝BD .6．如图6，在△ABC 中，已知AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，点M ，N 分别在AB ，AC 边上，AM ＝2MB ，AN ＝2NC .求证：DM ＝DN .图6证明：∵AM ＝2MB ，∴AM ＝23AB ，同理，AN ＝23AC ， 又∵AB ＝AC ，∴AM ＝AN . ∵AD 平分∠BAC ， ∴∠MAD ＝∠NAD .在△AMD 和△AND 中，⎩⎨⎧AM ＝AN ，∠MAD ＝∠NAD ，AD ＝AD ，∴△AMD ≌△AND ，∴DM ＝DN .知识点3.利用“SAS ”判定三角形全等来解决实际问题7．如图7所示，有一块三角形镜子，小明不小心将它打破成Ⅰ，Ⅱ两块，现需配成同样大小的一块．为了方便起见，需带上__Ⅰ__块，其理由是__两边及其夹角分别相等的两个三角形全等__．图7知识点4.线段的垂直平分线的性质8．[2017秋·浉河区期末]如图8，DE 是△ABC 中AC 边的垂直平分线，若BC ＝8，AB ＝10，则△EBC 的周长是( C ) A ．13B ．16C ．18D ．20【解析】 ∵DE 是△ABC 中AC 边的垂直平分线，∴EA ＝EC ，∴△EBC 的周长＝BC ＋BE ＋EC ＝BC ＋BE ＋EA ＝BC ＋BA ＝18.图8 图99．如图9，在△ABC中，AB＝AC＝20 cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC 于D，若△DBC的周长为35 cm，则BC的长为(C)A．5 cm B．10 cmC．15 cm D．17.5 cm【解析】∵△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝35 cm，又∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，∴BC＋AD＋CD＝35 cm，∵AC＝AD＋DC＝20 cm，∴BC＝35－20＝15 cm.【易错点】“SSA”不能判定两个三角形全等．10．下列条件能够判断△ABC与△A′B′C全等的是(D)A．∠A＝∠A′B．AB＝A′B′，∠B＝∠B′，AC＝A′C′C．AB＝A′B′，AC＝A′C′D．AB＝A′B′，∠A＝∠A′，AC＝A′C′【解析】A．已知条件为一组对应角相等，不符合全等三角形的判定定理，无法证明两个三角形全等，故此选项错误；B．已知条件为边边角，不符合全等三角形的判定定理，无法证明两个三角形全等，故此选项错误；C．已知条件为两条边对应相等，不符合全等三角形的判定定理，无法证明两个三角形全等，故此选项错误；D．由边角边定理可证两个三角形全等，故此选项正确．第3课时“角边角”知识点三角形全等的判定(ASA)1．如图1，已知△ABC三条边、三个角，则甲、乙两个三角形中和△ABC全等的图形是(B)图1A．甲B．乙C．甲和乙都是D．都不是2．如图2所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是__ASA__．图23．如图3，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AC＝AD.图3证明：∵∠3＝∠4，∴∠ABC＝∠ABD.在△ABC和△ABD中，⎩⎨⎧∠1＝∠2，AB ＝AB ，∠ABC ＝∠ABD ，∴△ABC ≌△ABD (ASA )，∴AC ＝AD .4．[2018秋·延庆区期中]如图4，AB ＝AC ，点D ，E 分别在AB ，AC 上，CD ，BE 交于点F ，且∠B ＝∠C .求证：△ABE ≌△ACD .图4证明：在△ABE 与△ACD 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠A ，AB ＝AC ，∠B ＝∠C ，∴△ABE ≌△ACD (ASA )．5．[2018秋·金坛区期中]如图5，在△ABC 和△ADE 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ，∠1＝∠2.求证：△ABC ≌△ADE .图5证明：∵∠1＝∠2，∴∠DAC ＋∠1＝∠2＋∠DAC ， ∴∠BAC ＝∠DAE ，在△ABC 和△ADE 中，⎩⎨⎧∠B ＝∠D ，AB ＝AD ，∠BAC ＝∠DAE ，∴△ABC ≌△ADE (ASA )．【易错点】错用判定三角形全等的判定方法．6．已知：如图6，∠AOD ＝∠BOC ，∠A ＝∠C ，O 是AC 的中点．求证：△AOB ≌△COD .图6证明：∵∠AOD ＝∠BOC ，∴∠AOD ＋∠DOB ＝∠BOC ＋∠BOD ， 即∠AOB ＝∠COD ，∵O 是AC 的中点，∴AO ＝CO ，在△AOB 与△COD 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠C ，AO ＝CO ，∠AOB ＝∠COD ，∴△AOB ≌△COD .第4课时 “角角边”与角平分线的性质知识点1.三角形全等的判定(AAS )1．如图1，AB ＝AE ，∠1＝∠2，∠C ＝∠D .求证：△ABC ≌△AED .图1证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠EAC ＝∠2＋∠EAC ，即∠BAC ＝∠EAD . 又∵∠C ＝∠D ，AB ＝AE ，∴△ABC ≌△AED (AAS )．2．如图2，已知：在△AFD 和△CEB 中，点A ，E ，F ，C 在同一直线上，AE ＝CF ，∠B ＝∠D ，AD ∥BC .求证：AD ＝BC .图2证明：∵AE ＝CF ，∴AF ＝CE . ∵AD ∥BC ，∴∠A ＝∠C . 在△AFD 和△CEB 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠C ，∠B ＝∠D ，AF ＝CE ，∴△AFD ≌△CEB (AAS )，∴AD ＝BC . 知识点2.三角形全等判定方法的选用3．如图3，已知∠ABC ＝∠BAD ，添加下列条件还不能判定△ABC ≌△BAD 的是( A )A ．AC ＝BDB ．∠CAB ＝∠DBAC ．∠C ＝∠DD ．BC ＝AD图3图44．如图4所示，在△ABC 中，∠B ＝∠C ，D 为BC 边的中点，过点D 分别向AB ，AC 作垂线段，则能够说明△BDE ≌△CDF 的理由是( D ) A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS知识点3.角平分线的性质5．如图5，OC 是∠AOB 的平分线，P 是OC 上一点，PD ⊥OA 于点D ，PD ＝6，则点P 到边OB 的距离为( A )图5A ．6B ．5C ．4D ．36．[2019·辽阳模拟]如图6，BD 平分∠ABC ，DE ⊥BC 于点E ，AB ＝7，DE ＝4，则S △ABD ＝( C ) A ．28 B ．21 C ．14D ．7图6第6题答图【解析】 如答图，作DH ⊥BA 于H .∵BD 平分∠ABC ，DE ⊥BC ，DH ⊥AB ， ∴DH ＝DE ＝4，∴S △ABD ＝12×7×4＝14，故选C.7．如图7，已知BD 为∠ABC 的平分线，AB ＝BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ，PN ⊥CD 于N ，求证：PM ＝PN .图7证明：∵BD 为∠ABC 的平分线， ∴∠ABD ＝∠CBD ， 在△ABD 和△CBD 中，⎩⎨⎧AB ＝CB ，∠ABD ＝∠CBD ，BD ＝BD ，∴△ABD ≌△CBD (SAS )，∴∠ADB ＝∠CDB ， ∵点P 在BD 上，且PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，∴PM ＝PN .【易错点】对于全等三角形开放性问题，常常不能正确选用判定方法． 8. 如图8，在△ABC 和△DEF 中，∠B ＝∠DEF ，AB ＝DE ，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC ≌△DEF ，这个条件是( D )图8A ．∠A ＝∠DB ．BC ＝EF C ．∠ACB ＝∠FD ．AC ＝DF【解析】 ∵∠B ＝∠DEF ，AB ＝DE ，∴添加∠A ＝∠D ，利用ASA 可得△ABC ≌△DEF ；∴添加BC＝EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF；∴添加∠ACB＝∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF；添加AC＝DF不能证明△ABC≌△DEF，故选D.。
八年级数学第六单元【说课稿】直角三角形全等的判定
直角三角形全等的判定一、教材分析㈠教材所处的地位及作用本节课以前，学生已经学习了直角三角形的两种判定方法：由直角三角形定义判定或由有两个角互余判定。
在学生原有的这些认知水平上，通过对本课时内容的学习，一方面从边的数量关系出发，丰富了直角三角形的判定方法；另一方面对勾股定理的学习做了必要的延伸。
㈡教学目标：从教材和学生两方面考虑，以学生的发展为本，学生的能力培养为主，兼顾知识教学、技能训练，确定教学目标如下：知识与技能目标：要求学生掌握由三边关系判定直角三角形的方法，并能用这一方法解决简单问题。
经历探索特殊三角形三边之间的“数”的关系发现此三角形有一个角是直角的“形”的特点的过程，再一次应用数形结合思想，并在这一过程中培养学生合作交流的能力。
过程与方法目标：让学生在合作交流中获取知识，组织学生通过观察、发现、交流、体验、说理归纳等活动，感知并掌握直角三角形的判定方法。
情感、态度与价值观目标：通过创设情境，激发学生的求知欲；通过动手摆一摆、做一做、算一算等活动的开展，让学生乐于探究,培养学生独立思考和合作交流的能力，让他们享受成功的喜悦。
㈢教学重点与难点全等三角形的判定根据学生的认知水平、认知能力以及教材的特点，确定以下重点、难点：本节课的重点是由三角形三边关系判定直角三角形的方法。
本节课的难点是如何将三角形边的数量关系经过代数变化，最后达到一个目标式，来判定是否是直角三角形。
㈣教具、学具准备1.多媒体课件2.一根长绳并打上等距离的13个结3.每位学生准备三根小木棒，不同同学小木棒的长度可不一样，但要能构成三角形。
二、学情分析考虑到我校学生有以下三方面的特点，我设计了这节课。
第一在认知上：学生已学了勾股定理，在探求勾股定理的过程中，已经有过把特殊三角形有一个角是直角的“形”的特点转化为三边之间的“数”的关系的体验，对数形结合思想有了一定的认知。
第二在能力上：八年级学生已经有一定的探索能力和解决问题的能力，能从几个特殊情况入手合情推理出一般情况下的结论，但思维的严谨性相对薄弱。
全程助学与评估数学8年级上册参考答案
3
◆1.5.3 三角形全等的判定（3） ★当堂训练 1. 10 2. AB=AC 3. 证明：∵AB∥DE AC∥DF ∴∠ABC=∠DEF ∠ACB=∠DFE 又 ∵BE=CF ∴BE+EC=EC+CF 即 BC=EF ∴△ABC≌△DEF（ASA） 4. 证明：∵∠1=∠2 ∠3= ∠4 ∴ ∠1+ ∠3= ∠2+ ∠4 即 ∠ABC= ∠DCB， 又 ∵BC=CB ∴ △ABC ≌ △DBC（ASA） ∴AB=CD 5. ∵AB∥DE ∴∠B=∠E ∵AC∥FD ∴∠ACB=∠EFD 又 ∵FB=CE ∴FB+CF=CF+CE，即 BC=EF ∴△ABC≌△EFD（ASA） ∴AB=DE ★课后作业 1. C 2. 4 3. 相等 证明：AE⊥DC BF⊥CD ∴∠AED=∠BFC=90° 又 ∵AE=BF ∠DAE= ∠CBF ∴△ADE≌△BCF（ASA） ∴AD=BC 4. 证明：∵AC∥DE ∴∠ACB=∠DEC ∵∠ACD=∠B 且 ∠ACE=∠B+∠A ∴∠DCE=∠A ∵ AC=CE ∴△ABC≌△CDE（ASA） 5. 证明：∵∠1=∠2 ∠3=∠4 又 ∵AC 为公共边 ∴△ABC≌△ADC（ASA） ∴AB=AD 又∠1=∠2 ，AO=AO∴△ABO≌△ADO（SAS）∴BO=DO 6. 猜想：PM=HN 证明：∵ NE⊥PM MQ⊥PN ∴∠MQP=∠MQN=∠NEM=90° 在△MPQ 与△EPN 中 ，∠P 为公共角 ∴∠PMQ=∠HNQ 又 ∵QM=QN ∴△PMQ≌△HQM（ASA） ∴PM=HN
三角形全等的判定(含答案)
1.5 三角形全等的判定专题一利用全等探究线段数量关系1.如图，已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D．PC和PD有怎样的数量关系，证明你的结论．2. 如图，已知AB＝DC，AC＝BD，AC、BD相交于点E，过E点作EF∥B C，交CD于F.⑴根据给出的条件，可以直接证明哪两个三角形全等？并加以证明．⑵EF平分∠DEC吗？为什么？3. 如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE=∠CBE．（1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；（2）求证：BG2-GE2=EA2．专题二综合探究题4.（1）操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．（2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？（3）深入探究：Ⅰ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．Ⅱ．如图④，当动点D在等边△边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．课时笔记【知识要点】1.全等三角形的判定三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）；两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）；两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）；两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）．2.三角形的稳定性当三角形的三条边长确定时，三角形的形状、大小完全被确定，这个性质叫做三角形的稳定性.3.线段的垂直平分线的概念与性质概念：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线.性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.4.角平分线的性质角平分线上的点到角两边的距离相等.【温馨提示】1.线段的垂直平分线是一条直线，不是射线也不是线段.2.证明两个三角形全等，需写出所需的三组条件，并用大括号括在一起，注意对应位置.3. 书写证明过程要注意格式，即：①准备条件：把题中没有直接的条件证明出来；②指明范围：在哪两个三角形中；③摆齐条件：把要证明的两个三角形全等的条件按顺序摆好；④得出结论：得出三角形全等的纵论．【方法技巧】1.要说明两条线段相等的方法可以通过说明三角形全等来解决.2.要充分挖掘隐含条件，如公共边，当公共边是对应边时，它们是相等的．3. 需要抓住图形特征，有时需运用等式的性质创造对应边相等的条件，从而证两个三角形全等．参考答案：1.解：PC=PD．证明：如图，作PE⊥OC于E，PF⊥OB于F．可得∠PEC=∠PFD=90°，PE=PF．又∵∠CPE＋∠EPD=∠FPD＋∠EPD=90°，∴∠EPC =∠FPD．∴△CPE≌△DPF（ASA）．∴PC=PD．1.解：⑴可以直接证明△ABC≌△DCB．∵AB＝DC，AC＝BD，BC=CB，∴△ABC≌△DCB．⑵∵△ABC≌△DCB，∴∠ACB =∠DBC．又∵EF∥B C，∴∠ACB =∠FEC，∴∠DBC =∠DEF，即∠FEC =∠DEF．∴EF平分∠DEC．2.证明：（1）BH=AC.∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°.∵∠ABC=45°，∴∠BCD=180°-90°-45°=45°=∠ABC.∴DB=DC，∵∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠HBD=90°，∴∠HBD=∠ACD.在△DBH和△DCA中∴△DBH≌△DCA（ASA），∴BH=AC．（2）连接CG，∵∠ABC=45°，CD⊥AB，∴∠BCD=90°−∠ABC=45°=∠ABC，∴DB=CD.∵F为BC的中点，∴DF垂直平分BC.∴BG=CG.∵∠ABE=∠CBE，BE⊥AC，∴EC=EA.在Rt△CGE中，由勾股定理得：CG2-GE2=CE2.∵CE=AE，BG=CG，∴BG2-GE2=EA2．3.解：（1）AF=BD.证明如下：∵△ABC是等边三角形（已知），∴BC=AC，∠BCA=60°（等边三角形的性质）.同理知，DC=CF，∠DCF=60°.∴∠BCA-∠DCA=∠DCF-∠DCA，即∠B CD=∠ACF.在△BCD和△ACF中，∴△BCD≌△ACF（SAS）.∴BD=AF（全等三角形的对应边相等）.（2）证明过程同（1），证得△BCD≌△ACF（SAS），则AF=BD（全等三角形的对应边相等），所以当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，AF=BD仍然成立.（3）Ⅰ．AF+BF′=AB.证明如下：由（1）知，△BCD≌△ACF（SAS），则BD=AF；同理△BCF′≌△ACD，则BF′=AD.∴AF+BF′=BD+AD=AB；Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立．新的结论是AF=AB+BF′.证明如下：在△BCF′和△ACD中，∴△BCF′≌△ACD（SAS）.∴BF′=AD（全等三角形的对应边相等）.又由（2）知，AF=BD,∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′，即AF=AB+BF′．。
1.5三角形全等的判定(4)
1.5三角形全等的判断（4）义务教育教科书（浙教版）八年级下册衢州市兴华中学周永霞【授课目的】1.掌握三角形全等的判判定理及证明过程.2.掌握角均分线的性质定理及证明过程.3.会运用全等三角形的性质及角均分线的性质判断两条线段相等.4.领悟转变、数形结合等数学思想 .【授课重点和难点】1.两个三角形全等的判判定理（两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等）是本节授课重点 .2. 当图形中没有现成的全等三角形时，需要经过增加辅助线构造全等是本节授课难点.【授课过程】一．学习准备思虑：（ 1）我们已经学过哪几种判断三角形全等的方法？（2）要推出两个三角形全等需要几个条件?（3）若是给出三个条件推出全等，你能说出哪几种可能的情况？（4）请猜想还能够用来判断两个三角形全等的方法可能是什么？（设计妄图：经过复习三角形全等的判断方法，让学生猜想还有哪几种可能的方法，为新的方法埋下伏笔，从中浸透分类谈论的数学思想.）二．课本导学（一）阅读与思虑一『课前预习』三角形全等的判判定理：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.试一试写出证明过程.（设计妄图：本节课内容很多，45 分钟显得时间紧张，而判判定理的证明其实不难，学生经过预习基本能够掌握，课堂上只需交流证明方法，能够提升课堂效率.）『思虑一』1.根据已学的三角形全等的判定方法，证明这个命题的关键是求证____________=__________2.证明过程中用到了怎样的数学思想？3.三角形全等判判定理的几何语言怎样描述？『练习一』书本 35 页课内练习 1 改编1. 已知：如图，AD均分∠ BAC， _________.求证：BD=CD.（请在横线上增加一个条件，使得结论成立）（先独立完成，尔后小组交流）『概括』1.判断两个三角形全等有哪几种思路？2.判断两条线段相等的方法是什么？3.全等三角形还有怎样的应用？（设计妄图：组织学生分小组进行谈论交流，突出学生的主体地位，培养主动参加的意识，学生在交流的过程中能够扬长避短，一方面使自己的方法更加完满，另一方面能够及时复习三角形全等判断的各种不同样方法.）（二）阅读与思虑二『课前预习』先试一试自己完成课本34 页例 6，再看课本解答 .『思虑二』1.什么叫点到直线的距离？2.点 P 到角两边的距离指的是哪两条线段的长？3. 若是在角均分线上任意取一点，结论可否同样成立？若是点P 与点 A 重合呢？4.你能用一句话概括题中的结论吗？5.角均分线性质定理的几何语言怎样描述？（设计妄图：本例题有着双重作用，第一是对 AAS 判断全等方法的牢固，其次是为了得出角均分线的性质定理 .例题的证明其实不难，所以让学生课前预习；难点是角均分线性质定理的概括，所以设计了一系列的思虑题，让学生在问题的引领下概括结论，提升了学生的思维.）（三）阅读与思虑三『课内阅读』试一试独立完成书本35 页例 7『思虑三』1.从已知条件解析：（1）由AB∥CD，能够推出什么？（2）由AD⊥AB，能够推出什么？（3）点P是∠ABC的均分线上的点，那么 PA应等于什么？我们能够怎样添辅助线？（4）点P是∠DCB的均分线上的点，那么 PD应等于什么？3.当图形中没有现成的全等三角形时，怎么办？（设计妄图：本例题是本节课的难点，宜用综合法来进行解析，即从已知条件出发，利用已经学过的定义、定理以及基本事实，渐渐向前推进，直到问题解决.本例题采用师生共同交流的形式，一步步引领学生打破难点.同时让学生掌握当图形中没有现成的全等三角形时，要经过增加辅助线构造全等. ）『练习二』书本 35 页课内练习22.已知：如图， AD垂直均分 BC， D为垂足. DM⊥AC， DN⊥AB， M， N分别为垂足 . 求证：DM=DN.（先独立完成，尔后小组交流）『概括』1.证明两条线段相等有哪些方法？当题中出现全等三角形的时候，能够利用___________________________________;当题中出现角均分线的时候，能够利用____________________________________;当题中拥有面积相等的三角形时，能够_____________________________________.2.碰到几何题，我们能够怎样进行解析？从_________和 __________ 两个角度进行解析 .（设计妄图：两条线段相等是几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系，很多其他问题最后都化归为两条线段相等来证明，经过练习.让学生概括出证明两条线段相等最常用的方法就是搜寻全等，其他角均分线的性质，线段中垂线的性质等经常用到. ）三．盘点收获经过这节课的学习，谈谈收获和迷惑.（设计妄图：学生先谈收获，教师再有条理地进行总结，再次把本节课的重点内容清楚地体现在学生眼前 .）四．部署作业必做题：作业实情应作业选做题：书本35 页第 5 题很多其他问题最后都化归为两条线段相等是几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系，两条线段相等来证明，。
三角形全等的判定
三角形全等的判定一、概述在几何学中，我们经常会遇到判定两个三角形是否全等的问题。
判定三角形全等的方法有多种，包括SSS、SAS、ASA、AAS和HL等。
本文将介绍这些方法，并给出相应的判定条件和证明过程。
二、SSS法则SSS法则是指当两个三角形的三边分别相等时，这两个三角形全等。
具体地说，如果两个三角形的三边分别为AB、AC、BC和DE、DF、EF，并且满足AB = DE，AC = DF和BC = EF，则可判定这两个三角形全等。
三、SAS法则SAS法则是指当两个三角形的两边和夹角分别相等时，这两个三角形全等。
具体地说，如果两个三角形的边和夹角分别为AB、AC、∠BAC和DE、DF、∠EDF，并且满足AB = DE，AC = DF和∠BAC = ∠EDF，则可判定这两个三角形全等。
四、ASA法则ASA法则是指当两个三角形的两个角和夹边分别相等时，这两个三角形全等。
具体地说，如果两个三角形的角和夹边分别为∠BAC，∠BCA，AC和∠EDF，∠EFD，DF，并且满足∠BAC = ∠EDF，∠BCA = ∠EFD和AC = DF，则可判定这两个三角形全等。
五、AAS法则AAS法则是指当两个三角形的两个角和一个非夹边的长度分别相等时，这两个三角形全等。
具体地说，如果两个三角形的两个角和非夹边的长度分别为∠BAC, ∠BCA, AB和∠EDF, ∠EFD, DE，并且满足∠BAC = ∠EDF, ∠BCA = ∠EFD和AB = DE，则可判定这两个三角形全等。
六、HL法则HL法则是指当两个直角三角形的斜边和一个直角边分别相等时，这两个三角形全等。
具体地说，如果两个直角三角形的斜边和一个直角边分别为AC, BC和DF, EF，并且满足AC = DF和BC = EF，则可判定这两个直角三角形全等。
七、其他注意事项•在判定三角形全等时，两个三角形的对应边和对应角必须一一对应。
•如果两个三角形的边和角都相等，则这两个三角形必定全等。
浙教版八上第一章1.4全等三角形的判定
1.4 全等三角形的判定知识点梳理1、全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．2、线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．题型梳理题型一找条件证全等1．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．BD＝CE D．BE＝CD2．如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD3．如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（）A．∠A＝∠D B．BC＝EF C．∠ACB＝∠F D．AC＝DF4．如图，已知∠ABC＝∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（）A．AC＝BD B．∠CAB＝∠DBA C．∠C＝∠D D．BC＝AD5．如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．AB＝DC，AC＝DB B．AB＝DC，∠ABC＝∠DCBC．BO＝CO，∠A＝∠D D．AB＝DC，∠DBC＝∠ACB6．下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC一定全等的是（）A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙7．如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD8．如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝∠C＝x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是（）A．B．C．D．9．如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（）A．AB＝DE B．AC＝DF C．∠A＝∠D D．BF＝EC10．如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（）A．∠A＝∠D B．AC＝DF C．AB＝ED D．BF＝EC11．如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是（）A．∠B＝∠E，BC＝EF B．BC＝EF，AC＝DFC．∠A＝∠D，∠B＝∠E D．∠A＝∠D，BC＝EF12．如图，EB交AC于点M，交FC于点D，AB交FC于点N，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，给出下列结论：其中正确的结论有（）①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN；⑤△AFN≌△AEM．A．2个B．3个C．4个D．5个13．如图，点B、A、D、E在同一直线上，BD＝AE，BC∥EF，要使△ABC≌△DEF，则只需添加一个适当的条件是．（只填一个即可）14．如图，已知AB＝BC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是．（只需写一个，不添加辅助线）15．如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC （不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是．16．如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列条件中的一个：①∠A＝∠D，②AC＝DB，③AB ＝DC，其中不能确定△ABC≌△DCB的是（只填序号）．17．如图，AB＝AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是（添加一个条件即可）．题型二直接证明全等1．如图，已知AB＝DE，∠B＝∠E，添加下列哪个条件可以利用SAS判断△ABC≌△DEC．正确的是：．①∠A＝∠D；②BC＝EC；③AC＝DC；④∠BCE＝∠ACD．2．如图，已知∠ABC＝∠DCB，增加下列条件：①AB＝CD；②AC＝DB；③∠A＝∠D；④∠ACB＝∠DBC；能判定△ABC≌△DCB的是．（填序号）3．已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，BC＝EF，求证：△ABC ≌△DEF．4．如图，∠C＝∠E，AC＝AE，点D在BC边上，∠1＝∠2，AC和DE相交于点O．求证：△ABC≌△ADE．5．已知，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB＝70°，∠D＝110°，求证：△ABC≌△EAD．6．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，求证：△ADE≌△CFE．7．已知：如图，点A、E、F、C在同一条直线上，AD∥CB，∠1＝∠2，AE＝CF．求证：△ADF≌△CBE．8．如图，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：△ABC≌△DEF．9．如图，已知AB∥CF，D是AB上一点，DF交AC于点E，若AB＝BD+CF，求证：△ADE ≌△CFE．题型三动点与全等（分类讨论，找到对应定点）1．已知△ABC中，AB＝BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，这样的三角形一共能作出个．2．△ABC中，AB＝AC＝12厘米，∠B＝∠C，BC＝8厘米，点D为AB的中点．如果点P 在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A 点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为．3．如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝24，AC＝12，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E 从A点出发以3厘米/秒沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E经过秒时，△DEB与△BCA全等．4．如图，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，AX⊥AC，点P和点Q同时从点A出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当AP＝时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABC全等．5．已知：如图，在长方形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6．延长BC 到点E ，使CE ＝2，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC ﹣CD ﹣DA 向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为 秒时，△ABP 和△DCE 全等．6．（多选）如图，AB ＝4cm ，AC ＝BD ＝3cm ，∠CAB ＝∠DBA ，点P 在线段AB 上以1cm /s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动．设运动时间为t （s ），则当△ACP 与△BPQ 全等时，点Q 的运动速度为 cm /s ．A .13；B .1；C .1.5；D .2．7．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，直线l 经过点C 且与边AB 相交．动点P 从点A 出发沿A →C →B 路径向终点B 运动；动点Q 从点B 出发沿B →C →A 路径向终点A 运动．点P 和点Q 的速度分别为2cm /s 和3cm /s ，两点同时出发并开始计时，当点P 到达终点B 时计时结束．在某时刻分别过点P 和点Q 作PE ⊥l 于点E ，QF ⊥l 于点F ，设运动时间为t 秒，则当t ＝ 秒时，△PEC 与△QFC 全等．8．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝CD ＝6cm ，BC ＝10cm ，点P 从点B 出发，以2cm /秒的速度沿BC 向点C 运动，设点P 的运动时间为t 秒：（1）PC ＝ cm ．（用t 的代数式表示）（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？（3）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以vcm/秒的速度沿CD向点D 运动，是否存在这样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．9．如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P在线段AB 上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．题型四全等判定的实际应用1．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）A．带①去B．带②去C．带③去D．带①和②去2．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是（）A．带①去B．带②去C．带③去D．①②③都带去3．如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′能绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，由三角形全等可知A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（）A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS4．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一些块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（）A．第1块B．第2块C．第3块D．第4块5．如图，聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快就画了一个与书本上完全一样的三角形，那么聪聪画图的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS6．如图，一块三角形玻璃碎成了4块，现在要到玻璃店去配一块与原来的三角形玻璃完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（）去．A．①B．②C．③D．④7．如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（）A．PO B．PQ C．MO D．MQ8．如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC＝CD，再作出BF的垂线DE，使点A、C、E在同一条直线上（如图），可以说明△ABC≌△EDC，得AB＝DE，因此测得DE的长就是AB的长，判定△ABC≌△EDC，最恰当的理由是（）A．SAS B．HL C．SSS D．ASA9．如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS10．如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝75°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠CBM＝75°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（）A．SAS B．AAA C．SSS D．ASA11．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第块．12．如图所示，某同学将一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带第块去．（填序号）13．如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带去玻璃店．14．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上．若想知道两点A，B的距离，只需要测量出线段即可．15．如图所示，一块三角形玻璃碎成了4块，现在要到玻璃店去配一块与原来的三角形玻璃完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带．16．淇淇同学沿一段笔直的人行道行走，在由A处步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于O，OD⊥CD．垂足为D，已知AB＝20米，请根据上述信息求标语CD的长度．17．公路上，A，B两站相距25千米，C、D为两所学校，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，如图，已知DA＝15千米，现在要在公路AB上建一报亭H，使得C、D两所学校到H的距离相等，且∠DHC＝90°，问：H应建在距离A站多远处？学校C到公路的距离是多少千米？题型五垂直平分线的性质与应用1．如图，在△ABC中，AC＝4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm2．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF的度数为（）A．48°B．36°C．30°D．24°3．如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A＝50°，则∠BDC＝（）A．50°B．100°C．120°D．130°4．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为（）A．50°B．70°C．75°D．80°5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（）A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm6．如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5，则△BEC的周长是（）A．12B．13C．14D．157．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为（）A．25°B．30°C．35°D．40°8．如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为．9．如图，已知在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，垂足为E，交AC于点D，若AB＝6，AC＝9，则△ABD的周长是．10．如图，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，连接CE，则△CDE的周长为．答案与解析题型一找条件证全等1．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．BD＝CE D．BE＝CD【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB＝AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．【解答】解：∵AB＝AC，∠A为公共角，A、如添加∠B＝∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；B、如添AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；C、如添BD＝CE，等量关系可得AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；D、如添BE＝CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件．故选：D．2．如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD【分析】本题要判定△ABC≌△DCB，已知∠ABC＝∠DCB，BC是公共边，具备了一组边对应相等，一组角对应相等，故添加AB＝CD、∠ACB＝∠DBC、∠A＝∠D后可分别根据SAS、ASA、AAS能判定△ABC≌△DCB，而添加AC＝BD后则不能．【解答】解：A、可利用AAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；B、可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；C、利用ASA判定△ABC≌△DCB，故此选项不符合题意；D、SSA不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；故选：D ．3．如图，在△ABC 和△DEF 中，∠B ＝∠DEF ，AB ＝DE ，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC ≌△DEF ，这个条件是（ ）A ．∠A ＝∠DB ．BC ＝EF C ．∠ACB ＝∠FD ．AC ＝DF【分析】根据全等三角形的判定，利用ASA 、SAS 、AAS 即可得答案．【解答】解：∵∠B ＝∠DEF ，AB ＝DE ，∴添加∠A ＝∠D ，利用ASA 可得△ABC ≌△DEF ；∴添加BC ＝EF ，利用SAS 可得△ABC ≌△DEF ；∴添加∠ACB ＝∠F ，利用AAS 可得△ABC ≌△DEF ；故选：D ．4．如图，已知∠ABC ＝∠BAD ，添加下列条件还不能判定△ABC ≌△BAD 的是（ ）A ．AC ＝BDB ．∠CAB ＝∠DBAC ．∠C ＝∠D D ．BC ＝AD【分析】根据全等三角形的判定：SAS ，AAS ，ASA ，可得答案．【解答】解：由题意，得∠ABC ＝∠BAD ，AB ＝BA ，A 、∠ABC ＝∠BAD ，AB ＝BA ，AC ＝BD ，（SSA ）三角形不全等，故A 错误；B 、在△ABC 与△BAD 中，{∠ABC =∠BADAB =BA ∠CAB =∠DBA，△ABC ≌△BAD （ASA ），故B 正确；C 、在△ABC 与△BAD 中，{∠C =∠D∠ABC =∠BAD AB =BA，△ABC ≌△BAD （AAS ），故C 正确；D 、在△ABC 与△BAD 中，{BC =AD∠ABC =∠BAD AB =BA，△ABC ≌△BAD （SAS ），故D 正确；故选：A ．5．如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．AB＝DC，AC＝DB B．AB＝DC，∠ABC＝∠DCBC．BO＝CO，∠A＝∠D D．AB＝DC，∠DBC＝∠ACB【分析】本题要判定△ABC≌△DCB，已知BC是公共边，具备了一组边对应相等．所以由全等三角形的判定定理作出正确的判断即可．【解答】解：根据题意知，BC边为公共边．A、由“SSS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；B、由“SAS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；C、由BO＝CO可以推知∠ACB＝∠DBC，则由“AAS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；D、由“SSA”不能判定△ABC≌△DCB，故本选项正确．故选：D．6．下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC一定全等的是（）A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙【分析】根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△ABC全等，甲与△ABC不全等．【解答】解：乙和△ABC全等；理由如下：在△ABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS，所以乙和△ABC全等；在△ABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS，所以丙和△ABC全等；不能判定甲与△ABC全等；故选：B．7．如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD【分析】根据题目所给条件∠ABC＝∠DCB，再加上公共边BC＝BC，然后再结合判定定理分别进行分析即可．【解答】解：A、添加∠A＝∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；B、添加AB＝DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；C、添加∠ACB＝∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；D、添加AC＝BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；故选：D．8．如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝∠C＝x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是（）A．B．C．D．【分析】根据全等三角形的判定定理进行判断．【解答】解：A、由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等，故本选项不符合题意；B、由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等，故本选项不符合题意；C、如图1，∵∠DEC＝∠B+∠BDE，∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE，∴∠FEC＝∠BDE，所以其对应边应该是BE和CF，而已知给的是BD＝FC＝3，所以不能判定两个小三角形全等，故本选项符合题意；D、如图2，∵∠DEC＝∠B+∠BDE，∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE，∴∠FEC＝∠BDE，∵BD＝EC＝2，∠B＝∠C，∴△BDE≌△CEF，所以能判定两个小三角形全等，故本选项不符合题意；由于本题选择可能得不到全等三角形纸片的图形，故选：C．9．如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（）A．AB＝DE B．AC＝DF C．∠A＝∠D D．BF＝EC【分析】分别判断选项所添加的条件，根据三角形的判定定理：SSS、SAS、AAS进行判断即可．【解答】解：选项A、添加AB＝DE可用AAS进行判定，故本选项错误；选项B、添加AC＝DF可用AAS进行判定，故本选项错误；选项C、添加∠A＝∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项正确；选项D、添加BF＝EC可得出BC＝EF，然后可用ASA进行判定，故本选项错误．故选：C．10．如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（）A．∠A＝∠D B．AC＝DF C．AB＝ED D．BF＝EC【分析】分别判断选项所添加的条件，根据三角形的判定定理：SSS、SAS、AAS进行判断即可．【解答】解：选项A、添加∠A＝∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；选项B、添加AC＝DF可用AAS进行判定，故本选项不符合题意；选项C、添加AB＝DE可用AAS进行判定，故本选项不符合题意；选项D、添加BF＝EC可得出BC＝EF，然后可用ASA进行判定，故本选项不符合题意．故选：A．11．如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是（）A．∠B＝∠E，BC＝EF B．BC＝EF，AC＝DFC．∠A＝∠D，∠B＝∠E D．∠A＝∠D，BC＝EF【分析】分别对各选项中给出条件证明△ABC≌△DEF，进行一一验证即可解题．【解答】解：（1）在△ABC 和△DEF 中，{AB =DE ∠B =∠E BC =EF，∴△ABC ≌△DEF （SAS ）；故A 正确；（2）在△ABC 和△DEF 中，{AB =DE BC =EF AC =DF，∴△ABC ≌△DEF （SSS ）；故B 正确；（3）在△ABC 和△DEF 中，{∠A =∠D AB =DE ∠B =∠E，∴△ABC ≌△DEF （ASA ）；故C 正确；（4）无法证明△ABC ≌△DEF ，故D 错误；故选：D ．12．如图，EB 交AC 于点M ，交FC 于点D ，AB 交FC 于点N ，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C ，AE ＝AF ，给出下列结论：其中正确的结论有（ ）①∠1＝∠2；②BE ＝CF ；③△ACN ≌△ABM ；④CD ＝DN ；⑤△AFN ≌△AEM ．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【分析】①正确．可以证明△ABE ≌△ACF 可得结论．②正确，利用全等三角形的性质可得结论．③正确，根据ASA 证明三角形全等即可．④错误，本结论无法证明．⑤正确．根据ASA证明三角形全等即可．【解答】解：∵∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，∴△ABE≌△ACF（AAS），∴BE＝CF，AF＝AE，故②正确，∠BAE＝∠CAF，∠BAE﹣∠BAC＝∠CAF﹣∠BAC，∴∠1＝∠2，故①正确，∵△ABE≌△ACF，∴AB＝AC，又∠BAC＝∠CAB，∠B＝∠C△ACN≌△ABM（ASA），故③正确，CD＝DN不能证明成立，故④错误∵∠1＝∠2，∠F＝∠E，AF＝AE，∴△AFN≌△AEM（ASA），故⑤正确，故选：C．13．如图，点B、A、D、E在同一直线上，BD＝AE，BC∥EF，要使△ABC≌△DEF，则只需添加一个适当的条件是BC＝EF或∠BAC＝∠EDF．（只填一个即可）【分析】BC＝EF或∠BAC＝∠EDF，若BC＝EF，根据条件利用SAS即可得证；若∠BAC ＝∠EDF，根据条件利用ASA即可得证．【解答】解：若添加BC＝EF，∵BC∥EF，∴∠B＝∠E，∵BD＝AE，∴BD﹣AD＝AE﹣AD，即BA＝ED，在△ABC和△DEF中，{∠B =∠E BA =ED，∴△ABC ≌△DEF （SAS ）；若添加∠BAC ＝∠EDF ，∵BC ∥EF ，∴∠B ＝∠E ，∵BD ＝AE ，∴BD ﹣AD ＝AE ﹣AD ，即BA ＝ED ，在△ABC 和△DEF 中，{∠B =∠E BA =ED ∠BAC =∠EDF，∴△ABC ≌△DEF （ASA ），故答案为：BC ＝EF 或∠BAC ＝∠EDF14．如图，已知AB ＝BC ，要使△ABD ≌△CBD ，还需添加一个条件，你添加的条件是 ∠ABD ＝∠CBD 或AD ＝CD ． ．（只需写一个，不添加辅助线）【分析】由已知AB ＝BC ，及公共边BD ＝BD ，可知要使△ABD ≌△CBD ，已经具备了两个S 了，然后根据全等三角形的判定定理，应该有两种判定方法①SAS ，②SSS ．所以可添∠ABD ＝∠CBD 或AD ＝CD ．【解答】解：答案不唯一．①∠ABD ＝∠CBD ．在△ABD 和△CBD 中，∵{AB =BC∠ABD =∠CBD BD =BD，∴△ABD ≌△CBD （SAS ）；②AD ＝CD ．在△ABD 和△CBD 中，∵{BD=BDAD=CD，∴△ABD≌△CBD（SSS）．故答案为：∠ABD＝∠CBD或AD＝CD．15．如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC （不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是AC＝BC（答案不唯一）．【分析】添加AC＝BC，根据三角形高的定义可得∠ADC＝∠BEC＝90°，再添加AC＝BC可利用AAS判定△ADC≌△BEC．【解答】解：添加AC＝BC（答案不唯一），∵△ABC的两条高AD，BE，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，在△ADC和△BEC中{∠ADC=∠BEC ∠C=∠CAC=BC，∴△ADC≌△BEC（AAS），故答案为：AC＝BC（答案不唯一）．16．如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列条件中的一个：①∠A＝∠D，②AC＝DB，③AB ＝DC，其中不能确定△ABC≌△DCB的是②（只填序号）．【分析】一般三角形全等的判定方法有SSS，SAS，AAS，ASA，据此可逐个对比求解．【解答】解：∵已知∠ABC＝∠DCB，且BC＝CB∴若添加①∠A＝∠D，则可由AAS判定△ABC≌△DCB；若添加②AC＝DB，则属于边边角的顺序，不能判定△ABC≌△DCB；若添加③AB＝DC，则属于边角边的顺序，可以判定△ABC≌△DCB．故答案为：②．17．如图，AB＝AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是∠B＝∠C或AE＝AD（添加一个条件即可）．【分析】要使△ABE≌△ACD，已知AB＝AC，∠A＝∠A，则可以添加一个边从而利用SAS来判定其全等，或添加一个角从而利用AAS来判定其全等．【解答】解：添加∠B＝∠C或AE＝AD后可分别根据ASA、SAS判定△ABE≌△ACD．故答案为：∠B＝∠C或AE＝AD．题型二直接证明全等1．如图，已知AB＝DE，∠B＝∠E，添加下列哪个条件可以利用SAS判断△ABC≌△DEC．正确的是：②．①∠A＝∠D；②BC＝EC；③AC＝DC；④∠BCE＝∠ACD．【分析】已知两个三角形的一组对应角相等和一组对应边相等，根据全等三角形的判定定理添加条件即可．【解答】解：∵AB＝DE，∠B＝∠E，∴添加①∠A＝∠D，利用ASA得出△ABC≌△DEC；∴添加②BC＝EC，利用SAS得出△ABC≌△DEC；∴添加④∠BCE＝∠ACD，得出∠ACB＝∠DCE，利用AAS得出△ABC≌△DEC；故答案为：②．2．如图，已知∠ABC＝∠DCB，增加下列条件：①AB＝CD；②AC＝DB；③∠A＝∠D；④∠ACB＝∠DBC；能判定△ABC≌△DCB的是①③④．（填序号）【分析】根据全等三角形的判定方法一一判断即可．【解答】解：因为∠ABC ＝∠DCB ，BC ＝CB ，①AB ＝CD ，根据SAS 可以判定△ABC ≌△DCB ．②AC ＝DB ，无法判断△ABC ≌△DCB ．③∠A ＝∠D ，根据AAS 可以判定△ABC ≌△DCB ．④∠ACB ＝∠DBC ，根据ASA 可以判定△ABC ≌△DCB ．故答案为：①③④．3．已知：如图，A 、C 、F 、D 在同一直线上，AF ＝DC ，AB ＝DE ，BC ＝EF ，求证：△ABC ≌△DEF ．【分析】先根据AF ＝DC ，可推得AF ﹣CF ＝DC ﹣CF ，即AC ＝DF ；再根据已知AB ＝DE ，BC ＝EF ，根据全等三角形全等的判定定理SSS ，即可证明△ABC ≌△DEF ．【解答】证明：∵AF ＝DC ，∴AF ﹣CF ＝DC ﹣CF ，即AC ＝DF ，在△ABC 和△DEF 中，{AC =DF AB =DE BC =EF，∴△ABC ≌△DEF （SSS ）．4．如图，∠C ＝∠E ，AC ＝AE ，点D 在BC 边上，∠1＝∠2，AC 和DE 相交于点O ．求证：△ABC ≌△ADE ．【分析】先利用三角形外角性质证明∠ADE ＝∠B ，然后根据“AAS ”判断△ABC ≌△ADE ．【解答】证明：∵∠ADC ＝∠1+∠B ，即∠ADE +∠2＝∠1+∠B ，而∠1＝∠2，∴∠ADE ＝∠B ，在△ABC 和△ADE 中，{∠C =∠E ∠B =∠ADE AC =AE∴△ABC ≌△ADE （AAS ）．5．已知，如图，AB ＝AE ，AB ∥DE ，∠ECB ＝70°，∠D ＝110°，求证：△ABC ≌△EAD ．【分析】由∠ECB ＝70°得∠ACB ＝110°，再由AB ∥DE ，证得∠CAB ＝∠E ，再结合已知条件AB ＝AE ，可利用AAS 证得△ABC ≌△EAD ．【解答】证明：由∠ECB ＝70°得∠ACB ＝110°又∵∠D ＝110°∴∠ACB ＝∠D∵AB ∥DE∴∠CAB ＝∠E在△ABC 和△EAD 中，{∠CAB=∠EAB=AE，∴△ABC≌△EAD（AAS）．6．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，求证：△ADE≌△CFE．【分析】利用AAS证明：△ADE≌CFE．【解答】证明：∵FC∥AB，∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，在△ADE与△CFE中：∵{∠A=∠FCE ∠ADE=∠F DE=EF，∴△ADE≌△CFE（AAS）．7．已知：如图，点A、E、F、C在同一条直线上，AD∥CB，∠1＝∠2，AE＝CF．求证：△ADF≌△CBE．【分析】先利用平行线的性质得到∠A＝∠C，再证明AF＝CE，然后根据“ASA”可判断△ADF≌△CBE．【解答】证明：∵AD∥CB，∴∠A＝∠C，∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE，在△ADF和△CBE中{AF =CE ∠1=∠2，∴△ADF ≌△CBE （ASA ）．8．如图，AB ＝DE ，AC ＝DF ，BE ＝CF ，求证：△ABC ≌△DEF ．【分析】由BE ＝CF 知BC ＝EF ，结合AB ＝DE 、AC ＝DF ，利用“SSS ”即可得证．【解答】解：∵BE ＝CF ，∴BE +EC ＝CF +EC ，即BC ＝EF ，在△ABC 和△DEF 中，∵{AB =DE(已知)AC =DF(已知)BC =EF (已证)， ∴△ABC ≌△DEF （SSS ）．9．如图，已知AB ∥CF ，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，若AB ＝BD +CF ，求证：△ADE ≌△CFE ．【分析】根据全等三角形的判定解答即可．【解答】证明：∵AB ＝BD +CF ，又∵AB ＝BD +AD ，∴CF ＝AD∵AB ∥CF ，∴∠A ＝∠ACF ，∠ADF ＝∠F在△ADE 与△CFE 中{∠A =∠ACF CF =AD ∠ADF =∠F，∴△ADE≌△CFE（ASA）题型三动点与全等（分类讨论，找到对应定点）1．已知△ABC中，AB＝BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，这样的三角形一共能作出7个．【分析】只要满足三边对应相等就能保证作出的三角形与原三角形全等，以腰为公共边时有6个，以底为公共边时有一个，答案可得．【解答】解：以AB为公共边有三个，以CB为公共边有三个，以AC为公共边有一个，所以一共能作出7个．故答案为：7．2．△ABC中，AB＝AC＝12厘米，∠B＝∠C，BC＝8厘米，点D为AB的中点．如果点P 在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为2或3．【分析】此题要分两种情况：①当BD＝PC时，△BPD与△CQP全等，计算出BP的长，进而可得运动时间，然后再求v；②当BD＝CQ时，△BDP≌△CQP，计算出BP的长，进而可得运动时间，然后再求v．【解答】解：当BD＝PC时，△BPD与△CQP全等，∵点D为AB的中点，∴BD=12AB＝6cm，∵BD＝PC，∴BP＝8﹣6＝2（cm），∵点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，∴运动时间时1s，∵△DBP≌△PCQ，∴BP＝CQ＝2cm，∴v＝2÷1＝2；当BD＝CQ时，△BDP≌△CQP，∵BD＝6cm，PB＝PC，∴QC＝6cm，∵BC＝8cm，∴BP＝4cm，∴运动时间为4÷2＝2（s），∴v＝6÷2＝3（m/s），故答案为：2或3．3．如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝24，AC＝12，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E 从A点出发以3厘米/秒沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E经过0，4，12，16秒时，△DEB与△BCA全等．【分析】设点E经过t秒时，△DEB与△BCA全等；由斜边ED＝CB，分类讨论BE＝AC 或BE＝AB或AE＝0时的情况，求出t的值即可．【解答】解：设点E经过t秒时，△DEB与△BCA全等；此时AE＝3t，分情况讨论：（1）当点E在点B的左侧时，△DEB≌△BCA，则BE＝AC，∴24﹣3t＝12，∴t＝4；（2）当点E在点B的右侧时，①△DEB≌△BCA，BE＝AC时，3t＝24+12，∴t＝12；②△EDB≌△BCA，BE＝AB时，3t＝24+24，∴t＝16．（3）当点E与A重合时，AE＝0，t＝0；综上所述，点E经过0秒，4秒，12秒，16秒时，△DEB与△BCA全等．故答案为：0，4，12，16．4．如图，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，AX⊥AC，点P和点Q同时从点A出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当AP＝10或20时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABC全等．【分析】分两种情况：①当AP＝BC＝10时；②当AP＝CA＝20时；由HL证明Rt△ABC ≌Rt△PQA（HL）；即可得出结果．【解答】解：∵AX⊥AC，∴∠P AQ＝90°，∴∠C＝∠P AQ＝90°，分两种情况：①当AP＝BC＝10时，在Rt△ABC和Rt△QP A中，{AB=PQBC=AP，∴Rt△ABC≌Rt△QP A（HL）；②当AP＝CA＝20时，在△ABC和△PQA中，{AB=PQAP=AC，∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；综上所述：当点P运动到AP＝10或20时，△ABC与△APQ全等；故答案为：10或20．5．已知：如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延长BC到点E，使CE＝2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为1或7秒时，△ABP和△DCE全等．【分析】由条件可知BP＝2t，当点P在线段BC上时可知BP＝CE，当点P在线段DA 上时，则有AD＝CE，分别可得到关于t的方程，可求得t的值．【解答】解：设点P的运动时间为t秒，则BP＝2t，当点P在线段BC上时，∵四边形ABCD为长方形，∴AB＝CD，∠B＝∠DCE＝90°，此时有△ABP≌△DCE，∴BP＝CE，即2t＝2，解得t＝1；当点P在线段AD上时，∵AB＝4，AD＝6，∴BC＝6，CD＝4，∴AP＝BC+CD+DA＝6+4+6＝16，∴AP＝16﹣2t，此时有△ABP≌△CDE，∴AP＝CE，即16﹣2t＝2，解得t＝7；综上可知当t为1秒或7秒时，△ABP和△CDE全等．故答案为：1或7．6．（多选）如图，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm，∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以1cm/s。
专题1.5 全等三角形的判定【八大题型】(举一反三)(浙教版)(原卷版)
专题1.5 全等三角形的判定【八大题型】【浙教版】【题型1 全等三角形的判定条件】 (1)【题型2 证明两个三角形全等】 (2)【题型3 全等三角形的判定与性质（证两次全等）】 (3)【题型4 全等三角形的判定与性质（证垂直）】 (4)【题型5 全等三角形的判定与性质（多结论）】 (5)【题型6 全等三角形的判定与性质（探究角度之间的关系）】 (6)【题型7 全等三角形的判定与性质（探究线段之间的关系）】 (8)【题型8 全等三角形的应用】 (9)【题型1 全等三角形的判定条件】【例1】（2022春•顺德区期末）如图，∠A＝∠D＝90°，给出下列条件：①AB＝DC，②OB＝OC，③∠ABC＝∠DCB，④∠ABO＝∠DCO，从中添加一个条件后，能证明△ABC≌△DCB的是（）A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④【变式1-1】（2021秋•庐阳区期末）如图，点B、E在线段CD上，若∠A＝∠DEF，则添加下列条件，不一定能使△ABC≌△EFD的是（）A．∠C＝∠D，AC＝DE B．BC＝DF，AC＝DEC．∠ABC＝∠DFE，AC＝DE D．AC＝DE，AB＝EF【变式1-2】（2021秋•源汇区校级期末）如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列条件之一：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式1-3】（2022秋•佳木斯期末）在△ABC和△DEF中，其中∠C＝∠F，则下列条件：①AC＝DF，∠A＝∠D；②AC＝DF，BC＝EF；③∠A＝∠D，∠B＝∠E；④AB＝DE，∠B＝∠E；⑤AC＝DF，AB＝DE．其中能够判定这两个三角形全等的是（）A．①②④B．①②⑤C．②③④D．③④⑤【题型2 证明两个三角形全等】【例2】（2022春•鼓楼区校级期末）如图，点A，E，F，B在同一直线上，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E，F，AE＝BF，∠A＝∠B．求证：△ADF≌△BCE．【变式2-1】（2021秋•肥西县期末）已知，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB＝65°，∠D＝115°，求证：△ABC≌△EAD．【变式2-2】（2021秋•信州区校级期中）如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，分别过点B、C作BE ⊥AD于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：△BDE≌△CDF．【变式2-3】（2022•河源模拟）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点M为对角线AC上一点，连接BM，若AC＝BC，∠AMB＝∠BCD，求证：△ADC≌△CMB．【题型3 全等三角形的判定与性质（证两次全等）】【例3】（2022春•徐汇区校级期末）如图，已知AE∥DF，OE＝OF，∠B＝∠C，求证：AB＝CD．【变式3-1】（2021春•横山区期中）如图，AB＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，点D是EF上一点，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE＝CF，连接BD，求证：Rt△ADE≌Rt△CDF．【变式3-2】（2021秋•石阡县期末）如图，AB＝AC，E、D分别是AB、AC的中点，AF⊥BD，垂足为点F，AG⊥CE，垂足为点G，试判断AF与AG的数量关系，并说明理由．【变式3-3】（2021秋•沂源县期末）如图，AD＝AC，AB＝AE，∠DAB＝∠CAE．（1）△ADE与△ACB全等吗？说明理由；（2）判断线段DF与CF的数量关系，并说明理由．【题型4 全等三角形的判定与性质（证垂直）】【例4】（2022秋•孟津县期末）如图，BM，CN分别是钝角△ABC的高，点Q是射线CN上的点，点P在线段BM上，且BP＝AC，CQ＝AB，请问AP与AQ有什么样的关系？请说明理由．【变式4-1】（2022春•金牛区校级期中）如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE 上截取BD＝AC，在CF的延长线上截取CG＝AB，连结AD、AG．（1）求证：∠ABE＝∠ACG；（2）试判：AG与AD的关系？并说明理由．【变式4-2】（2021春•亭湖区校级期末）如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．BE⊥AC，垂足为G，AB ＝CF，BE＝AC．（1）求证：AE＝AF；（2）AE与AF有何位置关系．请说明理由．【变式4-3】（2021春•泰兴市期末）如图，在锐角△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AD上，DE＝DC，BD＝AD，点F为BC的中点，连接EF并延长至点M，使FM＝EF，连接CM．（1）求证：BE＝AC；（2）试判断线段AC与线段MC的关系，并证明你的结论．【题型5 全等三角形的判定与性质（多结论）】【例5】（2022春•九龙坡区校级期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，过点A作AF ∥BC且AF＝AD，点E是AC上一点且AE＝AB，连接EF，DE．连接FD交BE于点G．下列结论中正确的有（）个．①∠F AE＝∠DAB；②BD＝EF；③FD平分∠AFE；④S四边形ABDE＝S四边形ADEF；⑤BG＝GE．A．2B．3C．4D．5【变式5-1】（2021秋•垦利区期末）如图，在△ABC中，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，AM ⊥CE于P，交BC于M，AN⊥BD于Q，交BC于N，∠BAC＝110°，AB＝6，AC＝5，MN＝2，结论：①AP＝MP；②BC＝9；③∠MAN＝30°；④AM＝AN．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【变式5-2】（2021春•锦州期末）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD（OA＜OC），∠AOB ＝∠COD＝α，直线AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD，②∠OAM＝∠OBM，③∠AMB＝α，④OM平分∠BOC，其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1【变式5-3】（2021春•江北区校级期末）如图，已知AB＝AC，点D、E分别在AC、AB上且AE＝AD，连接EC，BD，EC交BD于点M，连接AM，过点A分别作AF⊥CE，AG⊥BD，垂足分别为F、G，下列结论：①△EBM≌△DCM；②∠EMB＝∠F AG；③MA平分∠EMD；④若点E是AB的中点，则BM+AC ＞EM+BD；⑤如果S△BEM＝S△ADM，则E是AB的中点；其中正确结论的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个【题型6 全等三角形的判定与性质（探究角度之间的关系）】【例6】（2022春•杏花岭区校级期中）已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．（1）如图1，当点D在BC上时，求证：BD＝CE；（2）如图2，当点D、E、C在同一直线上，且∠BAC＝α，∠BAE＝β时，求∠DBC的度数（用含α和β的式子表示）．【变式6-1】（2022•南京模拟）在△ABC中，AB＝AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC＝90°时，那么∠DCE＝度；（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整，并直接写出此时α与β之间的数量关系（不需证明）．【变式6-2】（2022秋•江夏区期末）已知△ABC，分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE，连接DC与BE，G、F分别是DC与BE的中点．（1）如图1，若∠DAB＝60°，则∠AFG＝；（2）如图2，若∠DAB＝90°，则∠AFG＝；（3）如图3，若∠DAB＝α，试探究∠AFG与α的数量关系，并给予证明．【变式6-3】（2021秋•肥西县期末）在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，连接AD，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC＝26°，则∠DCE＝．（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．①当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上（不与B，C两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．【题型7 全等三角形的判定与性质（探究线段之间的关系）】【例7】（2022春•沙坪坝区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，延长BD 交AC于E，G、F分别在BD、BC上，连接DF、GF，其中∠A＝2∠BDF，GD＝DE．（1）当∠A＝80°时，求∠EDC的度数；（2）求证：CF＝FG+CE．【变式7-1】（2022•黄州区校级模拟）如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）求∠F AE的度数；（3）求证：CD＝2BF+DE．【变式7-2】（2021秋•两江新区期末）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是CB延长线上一点，点E是线段AB上一点，连接DE．AC＝DE，BC＝BE．（1）求证：AB＝BD；（2）BF平分∠ABC交AC于点F，点G是线段FB延长线上一点，连接DG，点H是线段DG上一点，连接AH交BD于点K，连接KG．当KB平分∠AKG时，求证：AK＝DG+KG．【变式7-3】（2022春•济南期中）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N．（1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；（2）当∠ACD+∠MDN＝90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；（3）如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）【题型8 全等三角形的应用】【例8】（2022春•二七区期末）为了测量一池塘的两端A，B之间的距离，同学们想出了如下的两种方案：方案①如图1，先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至点D，BC至点E，使DC＝AC，EC＝BC，最后量出DE的距离就是AB的长；方案②如图2，过点B作AB的垂线BF，在BF上取C，D两点，使BC＝CD，接着过D作BD的垂线DE，在垂线上选一点E，使A、C、E三点在一条直线上，则测出DE的长即是AB的距离．问：（1）方案①是否可行？请说明理由；（2）方案②是否可行？请说明理由；（3）小明说在方案②中，并不一定需要BF⊥AB，DE⊥BF，只需要就可以了，请把小明所说的条件补上．【变式8-1】（2021春•普宁市期末）学校为开展数学实践活动，成立了以小明为首的户外测量小组，测量小组带有测量工具：绳子、拉尺、小红旗、测角器（可测量两个点分别到测量者连线之间的夹角大小）．小明小组的任务是测量某池塘不能直接到达的两个端点A、B之间的距离．（1）小明小组提出了测量方案：在池塘南面的空地上（如图），取一个可直接到达A、B的点C，用绳子连接AC和BC，并利用绳子分别延长AC至D、BC至E，使用拉尺丈量CD＝CA、CE＝CB，确定D、E两个点后，最后用拉尺直接量出线段DE的长，则端点A、B之间的距离就是DE的长．你认为小明小组测量方案正确吗？请说明理由．（2）你还有不同于小明小组的其他测量方法吗？请写出其中一个完整的测量方案（在备用图1中画出简图，但不必说明理由）．（3）假设池塘南面（即点D、E附近区域）没有足够空地（或空地有障碍物或不可直达等不可测量情况），而点B的右侧区域有足够空地并可用于测量，请你设计一个可行的测量方案（在备用图2中画出图形），并说明理由．【变式8-2】（2022春•金乡县期中）如图，小明和小华住在同一个小区不同单元楼，他们想要测量小明家所在单元楼AB的高度，首先他们在两栋单元楼之间选定一点E，然后小华在自己家阳台C处测得E处的俯角为∠1，小明站在E处测得眼睛F到AB楼端点A的仰角为∠2，发现∠1与∠2互余，已知EF＝1米，BE＝CD＝20米，BD＝58米，试求单元楼AB的高．【变式8-3】（2022春•郑州期末）阅读并完成相应的任务．如图，小明站在堤岸凉亭A点处，正对他的B点（AB与堤岸垂直）停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是制定了如下方案．课题测凉亭与游艇之间的距离测量工具皮尺等测量方案示意图（不完整）测量步骤①小明沿堤岸走到电线杆C旁（直线AC与堤岸平行）；②再往前走相同的距离，到达D点；③他到达D点后向左转90度直行，当自己，电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时小明位于点E处．测量数据AC＝20米，CD＝20米，DE＝8米（1）任务一：根据题意将测量方案示意图补充完整．（2）任务二：①凉亭与游艇之间的距离是米．②请你说明小明方案正确的理由．。
1.5.2三角形全等的判定
CB AC 'B 'A 'C B A课题：1.5 三角形全等的判定（2）导学案班级 _______ 组别__________ 姓名 学号 评价 ______ 一、学习目标：1、探索并掌握判定两个三角形全等的基本事实：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等“SAS ”2、会运用“SAS ”判定两个三角形全等3、掌握线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
二、自主导学：1、回忆：怎样的两个三角形是全等三角形？全等三角形的性质是什么？三角形全等的判定（一）的内容是什么？2、探究：（1）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形是否全等？ 已知：△ABC求作：'''A B C ∆，使''A B AB =，''B C BC =，'A A ∠=∠总结：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形 （可以简写成“ ”或“ ”） 用数学语言表述全等三角形判定（二） 在△ABC 和'''A B C ∆中,AB=______ ∵ ∠B=∠______ BC=______∴△ABC ≌ （ ）（2）两边及其一边的对角对应相等的两个三角形是否全等？（请通过图形加以说明）3、中垂线定义：___________________________________________叫做这条线段的垂直平分线。
如图，直线l 是线段AB 的垂直平分线，若P 是l 上任意一点，则有______=_______ 总结：线段的垂直平分线的性质定理如下：___________________________________________________ 你能简要说明该性质成立的理由吗？三、探究展示：lABABCDEDC BA21DC BA1、已知：如图，AB=AC ，点D,E 分别在AC,AB 上，且AD=AE 。
求证：BD=CE例2 如图，AC=BD ，∠1= ∠2,求证:BC=AD.变式：如图，AC=BD,BC=AD,求证: （1）∠C=∠D （2）∠A=∠B四、当堂检测1、已知:如图，AC 是线段BD 的垂直平分线。
中考数学一轮复习专题解析—全等三角形判定与性质定理
中考数学一轮复习专题解析—全等三角形判定与性质定理复习目标1.掌握全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；考点梳理一、基本概念1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.2.全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等.特别提醒：全等三角形的周长、面积相等；对应的高线，中线，角平分线相等.3.全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等(SSS)；（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)；（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)；（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL).例1．如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB．求证：（1）AP=AQ；（2）AP△AQ．【答案】证明：（1）△BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，△△1+△CAE=90°，△2+△CAE=90°．△△1=△2,△在△AQC和△PAB中，△△AQC△△PAB．△ AP=AQ.(2)△ AP=AQ，△QAC=△P，△△PAD+△P=90°，△△PAD+△QAC=90°，即△PAQ=90°．△AP△AQ．二、灵活运用定理三角形全等是证明线段相等，角相等的最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．应用三角形全等的判别方法注意以下几点：1. 条件充足时直接应用判定定理在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等.这种情况证明两个三角形全等的条件比较充分，只要认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．2. 条件不足，会增加条件用判定定理此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，即从求证入手，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案．3. 条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判定定理在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．例2．如图，已知AD为△ABC的中线，且△1＝△2,△3＝△4,求证：BE＋CF＞EF.【答案】证明：延长ED至M，使DM=DE，连接CM，MF,在△BDE和△CDM中，△△BDE△△CDM（SAS）．△BE=CM.又△△1＝△2，△3＝△4 ，△1＋△2＋△3＋△4＝180°，△△3＋△2=90°，即△EDF＝90°，△△FDM＝△EDF ＝90°．在△EDF和△MDF中△△EDF△△MDF（SAS）,△EF＝MF （全等三角形对应边相等）,△在△CMF中，CF＋CM＞MF（三角形两边之和大于第三边）,△BE＋CF＞EF.三、常见的几种辅助线添加△遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”；△遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形利用的思维模式是全等变换中的“旋转”；△遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理；△过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；△截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分之类的题目．例3．如图所示，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF. 求证：AC=BF.【答案】证明：延长AD到H，使得DH=AD，连结BH，△ D为BC中点，△ BD=DC，在△ADC和△HDB中，△ △ADC△△HDB(SAS)，△ AC=BH, △H=△HAC，△ EA=EF，△ △HAE=△AFE，又△ △BFH=△AFE，△ BH=BF，△ BF=AC．综合训练1．（2022·长沙市雅礼实验中学九年级月考）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A．SSS B．SSA C．ASA D．SAS【答案】C【分析】根据全等三角形的判定方法解答即可．【详解】解：画一个三角形A′B′C′，使△A′=△A，A′B′=AB，△B′=△B，符合全等三角形的判定定理ASA，故选：C．2．（2022·全国九年级专题练习）如图G是△ABC的重心，直线过A点与BC平行．若直线CG分别与AB、交于D、E两点，直线BG与AC交于F点，则△AED 的面积：四边形ADGF的面积＝（）A．1：2B．2：1C．2：3D．3：2【答案】D【分析】根据重心的概念得出D，F分别是三角形边的中点．若设△ABC的面积是2，则△BCD的面积和△BCF的面积都是1．又因为BG：GF＝CG：GD，可求得△CGF 的面积．则四边形ADGF的面积也可求出．根据ASA可以证明△ADE△△BDC，则△ADE的面积是1．则△AED的面积：四边形ADGF的面积可求．【详解】解：设三角形ABC的面积是2，△三角形BCD的面积和三角形BCF的面积都是1，△BG：GF＝CG：GD＝2，△三角形CGF的面积是13，△四边形ADGF的面积是2−1−13＝23，△//l BC,△EAD CBD∠=∠,△,=∠=∠,BD AD ADE BDC△△ADE△△BDC（ASA）△△ADE的面积是1△△AED的面积：四边形ADGF的面积＝1：2＝3：2．3故选：D．3．（2022·重庆实验外国语学校九年级月考）如图，在正方形ABCD中，210AB=﹐E，F分别为BC，CD的中点，连接AE、BF，AE交BF于点G，将BCF△沿BF△的面积是（）翻折得到BPF△，延长FP交BA延长线于点Q，连接QG，则QGFA．25B．25C．20D．15 2【答案】D【分析】由已知可求QF=QB，在Rt△BPQ中，由勾股定理求得QB，可求出S△BQF=25，再证明△ABE△△BCF（SAS），△BGE△△BCF，由此得BF，GE，BG，过点G作GN△AB交AB于N，可证明△ANG△△ABE，再由GA=AE-GE，可求得GN，根据S△QGF=S△BQF-S△BQG即可求解．【详解】解：将BCF△，△沿BF翻折得到BPF∴PF =FC ，△PFB =△CFB ，四边形ABCD 是正方形∴△FPB =90°，CD △AB ，,90AB BC ABE BCF =∠=∠=︒△△CFB =△ABF ， △△ABF =△PFB ， △QF =QB ，△PF =FC =12CD 12AB =PB =AB 在Rt △BPQ 中，222QB BP PQ =+，△222(QB QB =+，△QB△S△BQF =1252=，△AB =BC ，BE =CF ，△ABE =△BCF =90°， △△ABE △△BCF （SAS ）， △△AEB =△BFC ， 又△△EBG =△CBF ， △△BGE △△BCF ，GE BG BECF BC BF∴==， △CF，BC △BF△GEBG ， 过点G 作GN △AB 交AB 于N ，△△GAN=△EAB，△ANG=△ABE=90°，△△ANG△△ABE，△GN GABE EA=△GA=AE-GE =42△GN=4105△S△BQG=12×QB×GN=1510410225⨯⨯=10，△S△QGF=S△BQF-S△BQG=25-10=15，故选：D．4．（2022·四川省宜宾市第二中学校九年级一模）如图，以ABC的三边为边分别作等边ACD△、ABE△、BCF△，则下列结论正确的是（）A．EBF DFC≌B．四边形ADFE为矩形C．四边形ADFE为菱形D ．当AB AC =，120BAC ∠=︒时，四边形ADFE 是正方形【答案】A【分析】利用SAS 得到△EBF 与△DFC 全等，利用全等三角形对应边相等得到EF ＝AC ，再由△ADC 为等边三角形得到三边相等，等量代换得到EF ＝AD ，AE ＝DF ，利用对边相等的四边形为平行四边形得到AEFD 为平行四边形，若AB ＝AC ，△BAC ＝120°，只能得到AEFD 为菱形，不能为正方形，即可得到正确的选项．【详解】解：△△ABE 、△BCF 为等边三角形，△AB ＝BE ＝AE ，BC ＝CF ＝FB ，△ABE ＝△CBF ＝60°，△△ABE −△ABF ＝△FBC −△ABF ，即△CBA ＝△FBE ，在△ABC 和△EBF 中，AB EB CBA FBE BC BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， △△ABC △△EBF （SAS ），△EF ＝AC ，又△△ADC 为等边三角形，△CD ＝AD ＝AC ，△EF ＝AD ＝DC ，同理可得△ABC △△DFC ，△DF ＝AB ＝AE ＝DF ，△四边形AEFD 是平行四边形，故B 、C 选项错误；△△FEA ＝△ADF ，△△FEA ＋△AEB ＝△ADF ＋△ADC ，即△FEB ＝△CDF ，在△FEB 和△CDF 中，EF DC FEB CDF EB FD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩． △△FEB △△CDF （SAS ），故选项A 正确；若AB ＝AC ，△BAC ＝120°，则有AE ＝AD ，△EAD ＝120°，此时AEFD 为菱形，选项D 错误故选A ．5．（2022·重庆实验外国语学校九年级开学考试）如图在四边形ABEC 中，BEC ∠和BAC ∠都是直角，且AB AC =．现将BEC ∆沿BC 翻折，点E 的对应点为E '，BE '与AC 边相交于D 点，恰好BE '是ABC ∠的角平分线，若1CE =，则BD 的长为（ ）A ．1.5B 2C ．2D 3【答案】C【分析】 如图，延长CE '和BA 相交于点F ，根据翻折的性质可以证明△BE′C △△BE′F ，可得CF =2，再证明△FCA △△DBA ，可得BD =CF =2．【详解】解：如图，延长CE '和BA 相交于点F ，由翻折可知：90BE C E ∠'=∠=︒，1CE CE '==，BE '是ABC ∠的角平分线，CBE FBE ∴∠'=∠'，BE BE '='，∴()BE C BE F ASA '≅'，1E F CE ∴'='=，2CF ∴=，90FCA F ∠+∠=︒，90DBA F ∠+∠=︒，FCA DBA ∴∠=∠，90FAC DAB ∠=∠=︒，AB AC =，()FCA DBA ASA ∴≅，2BD CF ∴==．故选：C ．6．（2022·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级三模）如图，在Rt ABC 中，90A ∠=︒，利用尺规在BA ，BC 上分别截取BD ，BE ，使BD BE =；分别以D ，E 为圆心、以大于12DE 的长为半径作弧，两弧在ABC ∠内交于点F ；作射线BF 交AC于点H．若2HA=，P为BC上一动点，则HP的最小值是（）A．12B．2C．1D．无法确定【答案】B【分析】根据作图过程可得BH平分△ABC，当HP△BC时，HP最小，根据角平分线的性质即可得HP的最小值．【详解】解：根据作图过程可知：BH平分△ABC，当HP△BC时，HP最小，△HP＝HA＝2．故选：B．7．（2022·长沙市雅礼实验中学九年级月考）如图，在Rt ABC中，90C∠=︒，以点A为圆心，适当的长度为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于12MN的长度为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO交BC于点D，若54B∠=︒，则CDA∠=______度．【答案】72°利用三角形内角和180°，解得36CAB ∠=︒，由角平分线性质解得18CAD ∠=︒的度数，最后根据三角形外角性质解题即可．【详解】解：90,54C B ∠=︒∠=︒905436CAB ∴∠=︒-︒=︒ AD 平分CAB ∠ 1182CAD DAB CAB ∴∠=∠=∠=︒ 185472CDA DAB B ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒故答案为：72．8．（2022·广东深圳市南山外国语学校九年级二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 中，3OA =，6OC =，将ABC 沿对角线AC 翻折，使点B 落在B '处，AB '与y 轴交于点D ，则点D 的坐标为______．【答案】9(0,)4-【分析】设OD m =，则6CD m =-，由题意可以求证AOD CB D '△≌△，从而得到6AD CD m ==-，再根据勾股定理即可求解．解：由题意可知：3OA BC B C '===，6OC AB ==，90B B AOD '∠=∠=∠=︒ 设OD m =，则6CD m =-，又△B DC ADO '∠=∠△()AOD CB D AAS '△≌△△6AD CD m ==-在Rt AOD △中，222AD AO OD =+，即222(6)3m m -=+ 解得：94m =△点D 的坐标为9(0,)4-故答案为9(0,)4-9．（2022·广东实验中学九年级三模）已知，ABC DCB ∠=∠，ACB DBC ∠=∠，求证：ABC DCB △≌△．【答案】证明见解析【分析】由条件△ABC ＝△DCB ，△ACB ＝△DBC ，根据ASA 证明△ABC △△DCB 即可．【详解】证明：在△ABC 和△DCB 中，ABC DCB BC CBACB DBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △△ABC △△DCB （ASA ）；10．（2022·厦门市湖滨中学）如图，在△ABE 和△CDF 中，点C 、E 、F 、B 在同一直线上，BF ＝CE ，若AB △CD ，△A ＝△D ．求证：AB ＝CD ．【答案】见解析【分析】根据平行线的性质可得△B ＝△C ，根据已知条件可得BE ＝CD ，结合已知条件△A ＝△D ，即可证明△ABE △△DCF ，进而即可得证AB ＝CD ．【详解】解：△AB △CD ，△△B ＝△C ．△BF ＝CE ，△BF ＋EF ＝CE ＋EF ，即BE ＝CF ．△△A ＝△D ，△B ＝△C ，BE ＝CF△△ABE △△DCF （AAS ）．△AB ＝CD ．。
1.5三角形全等的判定
1.5三角形全等的判定在我们的数学世界中，三角形全等的判定是一个极其重要的知识点。
它就像是一把神奇的钥匙，能够帮助我们打开解决众多几何问题的大门。
首先，咱们来聊聊什么是三角形全等。
简单说，就是两个三角形的形状和大小完全一样。
那怎么来判定两个三角形是不是全等呢？这就有几种方法啦。
第一种方法是“边边边”（SSS）判定定理。
如果两个三角形的三条边都分别相等，那么这两个三角形就全等。
比如说，有两个三角形，一个三角形的三条边分别是 3 厘米、4 厘米、5 厘米，另一个三角形的三条边也是 3 厘米、4 厘米、5 厘米，那这两个三角形就是全等的。
这就好像是我们做拼图，如果三块拼图的边都能完美地对上，那这三块拼图就是完全一样的。
接下来是“边角边”（SAS）判定定理。
如果两个三角形的两条边及其夹角分别相等，那么这两个三角形全等。
想象一下，一个三角形的两条边分别是 6 厘米和 8 厘米，它们的夹角是 60 度；另一个三角形也有两条边是 6 厘米和 8 厘米，夹角同样是 60 度，那这两个三角形就是一模一样的。
还有“角边角”（ASA）判定定理。
当两个三角形的两个角及其夹边分别相等时，它们全等。
比如一个三角形的两个角分别是 45 度和 90度，夹边是 7 厘米；另一个三角形也有两个角是 45 度和 90 度，夹边也是 7 厘米，那它们肯定全等。
再说说“角角边”（AAS）判定定理。
如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别相等，那么这两个三角形全等。
打个比方，一个三角形有两个角分别是 30 度和 50 度，30 度角的对边是 5 厘米；另一个三角形也有两个角是 30 度和 50 度，30 度角的对边也是 5 厘米，那这两个三角形就是全等的。
这些判定定理在解决实际问题中非常有用。
比如说，在建筑工地上，工程师要确保两个钢梁组成的三角形结构完全一样，就可以用这些判定定理来进行测量和计算。
在数学考试中，关于三角形全等的判定也是经常出现的考点。
浙教版数学八年级上册1.5《三角形全等的判定》(第4课时)教学设计
浙教版数学八年级上册1.5《三角形全等的判定》（第4课时）教学设计一. 教材分析《三角形全等的判定》是浙教版数学八年级上册1.5节的内容，本节内容是在学生已经掌握了三角形的基本概念、性质以及三角形的画法的基础上进行学习的。
本节主要让学生了解并掌握三角形全等的判定方法，能够运用SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法判断两个三角形是否全等。
这是初中数学中一个重要的概念，也是后续学习几何证明的基础。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的几何基础，对三角形的基本概念和性质有所了解。
但是，对于全等三角形的判定方法，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、思考、操作、交流等活动，逐步理解和掌握全等三角形的判定方法。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生了解并掌握全等三角形的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS），能够运用这些方法判断两个三角形是否全等。
2.过程与方法：通过观察、操作、交流等活动，培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和动手操作能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、严谨求实的科学态度。
四. 教学重难点1.教学重点：使学生了解并掌握全等三角形的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS），能够运用这些方法判断两个三角形是否全等。
2.教学难点：对于不同的三角形，如何选择合适的判定方法进行判断。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实物演示、图形展示等手段，引导学生观察、思考，激发学生的学习兴趣。
2.问题驱动法：提出问题，引导学生进行探究，培养学生的问题解决能力。
3.合作学习法：学生进行小组讨论，培养学生的团队合作意识。
4.实践操作法：让学生动手操作，直观地感受全等三角形的判定方法。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，辅助教学。
2.教学道具：准备一些三角形模型，方便学生观察和操作。
3.练习题：准备一些有关全等三角形判定的练习题，用于巩固所学知识。
浙教版八年级上1.5《三角形全等的判定》同步练习题含答案
浙教版八年级数学上册第一章三角形初步认识1．5《三角形全等的判定》同步练习题一选择题1．如图，已知∠A＝∠D，∠1＝∠2，要利用“ASA”得到△ABC≌△DEF，还应给出的条件是(D) A．∠E＝∠B B．ED＝BCC．AB＝EF D．AF＝CD(第1题)(第2题)2．如图，一块玻璃碎成三片，现要去玻璃店配一块一模一样的玻璃，最省力的办法是带哪块去(C) A. ① B. ②C. ③D. ①②③3．在△ABC与△A1B1C1中，下列不能判定△ABC≌A1B1C1的是(B)A．AB＝A1B1，BC＝B1C1，∠B＝∠B1B．AB＝A1B1，AC＝A1C1，∠C＝∠C1C．∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，BC＝B1C1D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，AC＝A1C14．如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是(B)(第4题)A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙5．如图，已知BD⊥AC于点D，CE⊥A B于点E，BD＝EC，则△ABD≌△ACE，其三角形全等的判定方法是(C)A. ASAB. SASC. AASD. 以上都不对(第5题)(第6题)6．如图，已知AC＝FC，CE是∠ACF的平分线，则图中全等三角形有(D)A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对7．如果两个三角形的两条边和其中一条边上的中线分别对应相等，那么这两个三角形第三边所对的角的关系是(A)A. 相等B. 互余C. 互补D. 以上答案都不正确(第8题)8．如图，点E在BC上，AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，AB＝BC，∠A＝∠CBD，AE交BD 于点O，下列结论：①AE＝BD；②△AOB的面积＝四边形CDOE的面积；③AE⊥BD；④BE＝CD.其中正确的结论有(D)A．1个B．2个C．3个D．4个二填空题9．如图，AD平分∠BAC，AB＝AC，BF与CE交于点D，则图中有4对全等的三角形．(第9题)(第10题)10．如图，AD是△ABC的高线，∠BAD＝∠ABD，DE＝DC，∠ABE＝15°，则∠C＝60°．11．如图，已知AE＝CE，∠B＝∠D＝∠AEC＝90°，AB＝3 cm，C D＝2 cm，则△CDE和△A BE 的面积之和是6cm2.(第11题)12. 在△ABC和△DEF中，已知AB＝4，∠A＝35°，∠B＝70°，DE＝4，∠D＝__35°__，∠E＝70°，可以根据__ASA__判定△ABC≌△DEF.(第12题)13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，DE是AB的中垂线，△BDC的周长为16 cm，则BC 的长为6 cm.14．如图，点B在AE上，且∠CAB＝∠DAB，要使△ABC≌△ABD，可补充的一个条件是(写一个即可)：AC＝AD或∠C＝∠D等．15．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是△ABC 的角平分线，BC ＝10，CD ∶BD ＝2∶3，则点D 到AB 的距离为4．三、解答题16．如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ，D ，E 分别在BC ，AC 边上，且∠1＝∠B ，AD ＝DE ，求证：△ADB ≌△DEC.(第16题)【解】 ∵∠B ＋∠BAD ＝∠1＋∠CDE ， ∠B ＝∠1， ∴∠BAD ＝∠CDE. 在△ADB 和△DEC 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BAD ＝∠CDE ，∠B ＝∠C ，AD ＝DE ， ∴△ADB ≌△DEC(AAS)．17．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于点D ，BE ⊥MN 于点E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图①的位置时，求证：DE ＝AD ＋BE ； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图②的位置时，求证：DE ＝AD －BE ；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图③的位置时，试问：DE ，AD ，BE 具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．(第17题)【解】 (1)∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＋∠ECB ＝90°. ∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ，∴∠AD C ＝∠BEC ＝90°. ∴∠DAC ＋∠ACD ＝90°，∴∠DAC ＝∠ECB . 在△ADC 和△CEB 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠DAC ＝∠ECB ，∠ADC ＝∠CEB ，AC ＝CB ，∴△ADC ≌△CEB (AAS )． ∴AD ＝CE ，DC ＝EB .∴DE ＝AD ＋B E .(2)同(1)证明，∠DAC ＝∠ECB . ∴△ADC ≌△CEB (AAS )． ∴AD ＝CE ，CD ＝BE .∵DE ＝CE －CD ，∴DE ＝AD －BE .(3)DE ＝BE －AD .(第18题)18．如图，BE ，CF 是△ABC 的两条高线，延长BE 到点P ，使BP ＝CA ，CF 与BE 交于点Q ，连结AQ ，且QC ＝AB.(1)猜想AQ 与AP 的大小关系，并说明理由； (2)按三角形内角判断△APQ 的类型，并说明理由． 【解】 (1)AQ ＝AP.理由如下： ∵BE ，CF 是△ABC 的两条高线， ∴BE ⊥AC ，CF ⊥AB ， ∴∠ABP ＋∠BAC ＝90°， ∠QCA ＋∠BAC ＝90°， ∴∠ABP ＝∠QCA . 在△ABP 和△QCA 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧BP ＝CA ，∠ABP ＝∠QCA ，AB ＝QC ， ∴△ABP ≌△QCA (SAS )， ∴AP ＝QA ，即AQ ＝AP . (2)△APQ 是等腰直角三角形．理由：∵△ABP ≌△QCA ， ∴∠P ＝∠QAC .∵BP⊥AC，∴∠P＋∠P AE＝90°，∴∠QAC＋∠P AE＝90°.∴∠QAP＝90°.又∵AQ＝AP，∴△APQ是等腰直角三角形．。
专题1-5 角边角判定三角形全等-重难点题型(举一反三)(苏科版)(解析版)
专题1.5 角边角判定三角形全等-重难点题型【苏科版】【题型1 角边角判定三角形全等的条件】【例1】（2020秋•宜兴市期中）如图，已知AB＝AD，∠1＝∠2，要根据“ASA”使△ABC≌△ADE，还需添加的条件是．【分析】利用ASA定理添加条件即可．【解答】解：还需添加的条件是∠B＝∠D，∵∠1＝∠2，∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE，在△ABC和△ADE中{∠BAC=∠DAE AB=AD∠B=∠D，∴△ABC≌△ADE（ASA），故答案为：∠B＝∠D．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．【变式1-1】（2020秋•覃塘区期中）如图，点B ，F ，C ，E 在同一直线上，AC ＝DF ，∠1＝∠2，如果根据“ASA ”判断△ABC ≌△DEF ，那么需要补充的条件是（ ）A ．AB ＝DE B ．∠A ＝∠DC ．BF ＝CED ．∠B ＝∠D【分析】利用全等三角形的判定方法，“ASA ”即角边角对应相等，只需找出一对对应角相等即可，进而得出答案．【解答】解：需要补充的条件是∠A ＝∠D ，在△ABC 和△DEF 中，{∠A =∠D AC =DF ∠2=∠1，∴△ABC ≌△DEF （ASA ）．故选：B ．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．添加时注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．【变式1-2】（2020秋•浦东新区期末）根据下列已知条件，能作出唯一△ABC 的是（ ）A ．AB ＝3，BC ＝4，CA ＝8B ．AB ＝4，BC ＝3，∠A ＝60° C ．∠A ＝60°，∠B ＝45°，AB ＝4D ．∠C ＝90°，∠B ＝30°，∠A ＝60°【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．【解答】解：A ．∵AB ＝3，BC ＝4，CA ＝8，AB +BC ＜CA ，∴不能画出三角形，故本选项不合题意；B ．AB ＝4，BC ＝3，∠A ＝60°，不能画出唯一三角形，故本选项不合题意；C ．当∠A ＝60°，∠B ＝45°，AB ＝4时，根据“ASA ”可判断△ABC 的唯一性；D ．已知三个角，不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意；故选：C ．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，正确把握全等三角形的判定方法是解题关键．【变式1-3】（2020•路南区校级月考）如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝∠C＝x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是（）A．B．C．D．【分析】根据全等三角形的判定定理进行判断．【解答】解：A、由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等，故本选项不符合题意；B、由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等，故本选项不符合题意；C、如图1，∵∠DEC＝∠B+∠BDE，∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE，∴∠FEC＝∠BDE，所以其对应边应该是BE和CF，而已知给的是BD＝FC＝3，所以不能判定两个小三角形全等，故本选项符合题意；D、如图2，∵∠DEC＝∠B+∠BDE，∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE，∴∠FEC＝∠BDE，∵BD＝EC＝2，∠B＝∠C，∴△BDE≌△CEF，所以能判定两个小三角形全等，故本选项不符合题意；由于本题选择可能得不到全等三角形纸片的图形，故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的判定，注意三角形边和角的对应关系是关键．【题型2 角边角判定三角形全等（求角的度数）】【例2】（2020秋•简阳市期中）如图，∠A＝∠D，OA＝OD，∠DOC＝50°，∠DBC的度数为（）A．50°B．30°C．45°D．25°【分析】由题中条件易证得△AOB≌△DOC，可得∠ACB＝∠DBC，由三角形外角的性质可得∠DOC＝∠ACB+∠DBC，即可得∠DBC的度数．【解答】解：∵∠A＝∠D，OA＝OD，∠AOB＝∠DOC，∴△AOB≌△DOC（ASA），∴∠ACB＝∠DBC，∵∠DOC＝∠ACB+∠DBC，∴∠DBC=12∠DOC＝25°．故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形外角的性质等知识点，找到相应等量关系的角是解题的关键．【变式2-1】（2019秋•天心区校级月考）AD，BE是△ABC的高，这两条高所在的直线相交于点O，若BO＝AC，则∠ABC＝．【分析】由AD、BE是锐角△ABC的高，可得∠DBA＝∠DAC，又BO＝AC，∠BDO＝∠ADC＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：如图1，∵AD、BE是锐角△ABC的高，∴∠AEO＝∠BDO＝90°，∵∠AOE＝∠BOD，∴∠DBO＝∠DAC，∵BO＝AC，∠BDO＝∠ADC＝90°∴△BDO≌△ADC（ASA），∴BD＝AD，∴∠ABC＝∠BAD＝45°，如图2，同理证得△BDO≌△ADC（ASA），∴BD＝AD，∴∠ABD＝∠BAD＝45°，∴∠ABC＝135°，故答案为：45°或135°．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；结合已知条件发现并利用△BDO≌△ADC是正确解答本题的关键．【变式2-2】（2021•苍南县一模）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 为对角线BD 上一点，∠A ＝∠BEC ，且AD ＝BE ．（1）求证：△ABD ≌△ECB ．（2）若∠BDC ＝70°．求∠ADB 的度数．【分析】（1）由“ASA ”可证△ABD ≌△ECB ；（2）由全等三角形的性质可得BD ＝BC ，由等腰三角形的性质可求解．【解答】证明：（1）∵AD ∥BC ，∴∠ADB ＝∠CBE ，在△ABD 和△ECB 中，{∠A =∠BEC AD =BE ∠ADB =∠CBE，∴△ABD ≌△ECB （ASA ）；（2）∵△ABD ≌△ECB ，∴BD ＝BC ，∴∠BDC ＝∠BCD ＝70°，∴∠DBC ＝40°，∴∠ADB ＝∠CBD ＝40°．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，还考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较典型，难度适中．【变式2-3】（2020秋•丛台区期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点E ，F 在边BC 上，连接AE ，AF ，∠BAF ＝∠CAE ，延长AF 至点D ，使AD ＝AC ，连接CD ．（1）求证：△ABE ≌△ACF ；（2）若∠ACF ＝30°，∠AEB ＝130°，求∠ADC 的度数．【分析】（1）要证明△ABE≌△ACF，由题意可得AB＝AC，∠B＝∠ACF，∠AEF＝∠AFE，从而可以证明结论成立；（2）根据（1）中的结论和等腰三角形的性质可以求得∠ADC的度数．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACF，∵∠BAF＝∠CAE，∴∠BAF﹣∠EAF＝∠CAE﹣∠EAF，∴∠BAE＝∠CAF，在△ABE和△ACF中，{∠B=∠ACFAB=AC∠BAE=∠CAF，∴△ABE≌△ACF（ASA）；（2）解：∵∠B＝∠ACF＝30°，∠AEB＝130°，∴∠BAE＝180°﹣130°﹣30°＝20°，∵△ABE≌△ACF，∴∠CAF＝∠BAE＝20°，∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD，∴∠ADC=180°−20°2=80°．答：∠ADC的度数为80°．【点评】本题考查全等三角形的判定与性质及三角形内角和定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．【题型3 角边角判定三角形全等（求线段的长度）】【例3】（2021春•德城区校级月考）如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ，已知PQ＝5，NQ＝9，则MH长为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【分析】证明△MQP ≌△NQH ，由全等三角形的性质可得PQ ＝QH ＝5，根据MQ ＝NQ ＝9，即可解决问题．【解答】解：∵MQ ⊥PN ，NR ⊥PM ，∴∠NQH ＝∠NRP ＝∠HRM ＝90°，∵∠RHM ＝∠QHN ，∴∠PMH ＝∠HNQ ，在△MQP 和△NQH 中，{∠PMQ =∠QNHMQ =NQ ∠MQP =∠NQH =90°，∴△MQP ≌△NQH （ASA ），∴PQ ＝QH ＝5，∵NQ ＝MQ ＝9，∴MH ＝MQ ﹣HQ ＝9﹣5＝4，故选：B ．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．【变式3-1】（2020春•万州区期末）如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 上一点，延长ED 至F ，使得DF ＝DE ，若BF ∥AC ，AC ＝4，BF ＝3，则CE 的长为（ ）A ．0.5B ．1C ．1.5D ．2【分析】证明△BDF ≌△ADE （ASA ），由全等三角形的性质得出BF ＝AE ＝3，则可得出答案．【解答】解：∵BF ∥AC ，∴∠F ＝∠AED ，在△BDF 和△ADE 中，{∠F =∠AED DF =DE ∠BDF =∠ADE，∴△BDF ≌△ADE （ASA ），∴BF ＝AE ＝3，∵AC ＝4，∴CE ＝AC ﹣AE ＝4﹣3＝1．故选：B ．【点评】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．【变式3-2】（2020春•铁西区期末）如图，点D 是△ABC 的边AB 上一点，FC ∥AB ，连接DF 交AC 于点E ，若CE ＝AE ，AB ＝7，CF ＝4，则BD 的长是 ．【分析】先由全等三角形的判定定理ASA 证明△AED ≌△CEF ，然后根据全等三角形的对应边相等知AD ＝CF ，从而求得BD 的长度．【解答】解：∵FC ∥AB ，∴∠A ＝∠ECF ，在△AED 和△CEF 中，{∠A =∠ECF AE =CE ∠AED =∠CEF，∴△AED ≌△CEF （ASA ），∴AD ＝CF （全等三角形的对应边相等），又∵AB ＝7，CF ＝4，AB ＝AD +BD ，∴BD ＝3．故答案为：3． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．【变式3-3】（2020秋•香洲区校级期中）如图，△ABC 中，∠ABC ＝60°，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ，AD 、CE 相交于点P ．（1）求∠APC 的度数；（2）若AE ＝4，CD ＝4，求线段AC 的长．【分析】（1）利用∠ABC ＝60°，AD 、CE 分别平分∠BAC ，∠ACB ，即可得出答案；（2）由题中条件可得△APE ≌△APF ，进而得出∠APE ＝∠APF ，通过角之间的转化可得出△CPF ≌△CPD ，进而可得出线段之间的关系，即可得出结论．【解答】解：（1）∵∠ABC ＝60°，AD 、CE 分别平分∠BAC ，∠ACB ，∴∠BAC +∠BCA ＝120°，∠P AC +∠PCA =12（∠BAC +∠BCA ）＝60°，∴∠APC ＝120°．（2）如图，在AC 上截取AF ＝AE ，连接PF ．∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD ，在△APE 和△APF 中，{AE =AF ∠EAP =∠FAP AP =AP，∴△APE ≌△APF （SAS ），∴∠APE ＝∠APF ，∵∠APC ＝120°，∴∠APE ＝60°，∴∠APF ＝∠CPD ＝60°＝∠CPF ，在△CPF 和△CPD 中，{∠FPC =∠DPC CP =CP ∠FCP =∠DCP，∴△CPF ≌△CPD （ASA ）∴CF ＝CD ，∴AC ＝AF +CF ＝AE +CD ＝4+4＝8．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，根据在AC 上截取AF ＝AE 得出△APE ≌△APF 是解题关键．【题型4 角边角判定三角形全等（实际应用）】【例4】（2020秋•伊通县期末）如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么，最省事的方法是（ ）A ．带①去B ．带②去C ．带③去D ．带①去和带②去【分析】已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．【解答】解：第①块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA 来配一块一样的玻璃．故选：A ．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法．【变式4-1】（2020秋•丰南区期中）如图，小明书上的三角形被墨水污染了，他根据所学知识画出了完全一样的一个三角形，他的依据是 ．【分析】根据图形，未污染的部分两角与这两角的夹边可以测量，然后根据全等三角形的判定方法解答即可．【解答】解：小明书上的三角形被墨水污染了，他根据所学知识画出了完全一样的一个三角形，他根据的定理是：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）．故答案为：ASA．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【变式4-2】（2020秋•齐河县期末）沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语．具体信息如下：如图，AB∥PM∥CD，相邻两平行线间的距离相等．AC，BD相交于P，PD⊥CD垂足为D．已知CD＝16米．请根据上述信息求标语AB的长度．【分析】由AB∥CD，利用平行线的性质可得∠ABP＝∠CDP，利用ASA定理可得，△ABP≌△CDP，由全等三角形的性质可得结果．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABP＝∠CDP，∵PD⊥CD，∴∠CDP＝90°，∴∠ABP＝90°，即PB⊥AB，∵相邻两平行线间的距离相等，∴PD ＝PB ，在△ABP 与△CDP 中，{∠ABP =∠CDP PB =PD ∠APB =∠CPD，∴△ABP ≌△CDP （ASA ），∴CD ＝AB ＝16米．【点评】本题主要考查了平行线的性质和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各定理是解答此题的关键．【变式4-3】（2020秋•孝义市期中）一位经历过战争的老战士讲述了这样一个故事：在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望．为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出来这样的办法：他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上，接着，他用步测的方法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离． 将这位战士看成一条线段，碉堡看成一点，示意图如下，你能根据示意图解释其中的道理吗下面是彤彤同学写出的不完整的已知和求证，请你补全已知和求证，并完成证明．已知：如图，AB ⊥CD ， ．求证： ．证明：【分析】根据垂直的定义和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：已知：如图，AB ⊥CD ，∠ABC ＝∠ABD ．求证：AD ＝AC ．证明：∵AB ⊥CD ，∴∠BAD ＝∠BAC ，在△ABD 与△ABC 中，{∠ABD =∠ABC AB =AB ∠BAC =∠BAD，∴△ABD ≌△ABC （ASA ），∴AD ＝AC ，故答案为：∠ABC ＝∠ABD ，AD ＝AC ．【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．【题型5 角边角判定三角形全等（证明题）】【例5】（2020秋•涟源市期末）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，E 为边BC 上的任意点，D 为线段BE 的中点，AB ＝AE ，EF ⊥AE ，AF ∥BC ．（1）求证：∠DAE ＝∠C ；（2）求证：AF ＝BC ．【分析】（1）由等腰三角形的性质可得AD ⊥BC ，由余角的性质可得∠C ＝∠BAD ，再证明∠BAD ＝∠DAE 即可解决问题．（2）由“ASA ”可证△ABC ≌△EAF ，可得AC ＝EF ．【解答】证明：（1）∵AB ＝AE ，D 为线段BE 的中点，∴AD ⊥BC ，（三线合一没有学习到，可以用全等证明）∴∠C +∠DAC ＝90°，∵∠BAC ＝90°∴∠BAD +∠DAC ＝90°∴∠C ＝∠BAD ，∵AB ＝AE ，AD ⊥BE ，∴∠BAD ＝∠DAE ，∴∠DAE ＝∠C（2）∵AF∥BC∴∠F AE＝∠AEB∵AB＝AE∴∠B＝∠AEB∴∠B＝∠F AE，且∠AEF＝∠BAC＝90°，AB＝AE∴△ABC≌△EAF（ASA）∴AC＝EF【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．【变式5-1】（2020秋•汝南县期末）如图，△ABC的两条高AD，BE相交于H，且AD＝BD．试说明下列结论成立的理由．（1）∠DBH＝∠DAC；（2）△BDH≌△ADC．【分析】（1）因为∠BHD＝∠AHE，∠BDH＝∠AEH＝90°，所以∠DBH+∠BHD＝∠HAE+∠AHE＝90°，故∠DBH＝∠DAC；（2）因为AD⊥BC，所以∠ADB＝∠ADC，又因为AD＝BD，∠DBH＝∠DAC，故可根据ASA判定两三角形全等．【解答】解：（1）∵∠BHD＝∠AHE，∠BDH＝∠AEH＝90°∴∠DBH+∠BHD＝∠HAE+∠AHE＝90°∴∠DBH＝∠HAE∵∠HAE＝∠DAC∴∠DBH＝∠DAC；（2）∵AD⊥BC∴∠ADB＝∠ADC在△BDH 与△ADC 中，{∠ADB =∠ADC AD =BD ∠DBH =∠DAC∴△BDH ≌△ADC ．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【变式5-2】（2020秋•郯城县期中）如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，过D 点的直线EG 交AB 于点E ，交AB 的平行线CG 于点G ，DF ⊥EG ，交AC 于点F ．（1）求证：BE ＝CG ；（2）判断BE +CF 与EF 的大小关系，并证明你的结论．【分析】（1）先利用ASA 判定△BED ≌△CGD ，从而得出BE ＝CG ；（2）先连接FG ，再利用全等的性质可得DE ＝DG ，再根据DF ⊥GE ，从而得出FG ＝EF ，依据三角形两边之和大于第三边得出BE +CF ＞EF ．【解答】解：（1）∵D 是BC 的中点，∴BD ＝CD ，∵AB ∥CG ，∴∠B ＝∠DCG ，在△BDE 和△CDG 中，∵∠BDE ＝∠CDG ，BD ＝CD ，∠DBE ＝∠DCG ，∴△BDE ≌△CDG （ASA ），∴BE ＝CG ；（2）BE+CF＞EF．理由：如图，连接FG，∵△BDE≌△CDG，∴DE＝DG，又∵FD⊥EG，∴FD垂直平分EG，∴EF＝GF，又∵△CFG中，CG+CF＞GF，∴BE+CF＞EF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质以及三角形三边关系的运用，本题中求证△BDE≌△CDG，得出BE＝CG是解题的关键．【变式5-3】（2020秋•岫岩县月考）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD、CE相交于点G，BD＝DC，DF∥BC交AB于点F，连接FG．求证：（1）△DAB≌△DGC；（2）CG＝FB+FG．【分析】（1）由“ASA”可证△DAB≌△DGC；（2）由全等三角形的性质可得AB＝CG，DA＝DG，由“SAS”可证△DF A≌△DFG，可得F A＝FG，可得结论．【解答】证明：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ABD +∠A ＝90°，∠ACE +∠A ＝90°，∴∠ABD ＝∠ACE ，在△DAB 和△DGC 中，{∠ABD =∠ACE BD =CD ∠ADB =∠BDC =90°，∴△DAB ≌△DGC （ASA ）；（2）∵△DAB ≌△DGC ，∴AB ＝CG ，DA ＝DG ，∵BD ＝CD ．∠BDC ＝90°，∴∠DBC ＝∠DCB ＝45°，∵DF ∥BC ，∴∠FDA ＝∠FDG ＝45°，在△DF A 和△DFG 中，{AD =DG ∠FDA =∠FDG DF =DF，∴△DF A ≌△DFG （SAS ），∴F A ＝FG ．∴CG ＝AB ＝FB +F A ＝FB +FG ．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，找到正确的全等三角形是本题的关键．【题型6 角边角判定三角形全等（探究题）】【例6】（2020春•崂山区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°点D 在BC 的延长线上，且BD ＝AB ．过点B 作BE ⊥AC ，与BD 的垂线DE 交于点E ．（1）求证：△ABC ≌△BDE ；（2）请找出线段AB 、DE 、CD 之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）利用已知得出∠A＝∠DBE，进而利用ASA得出△ABC≌△BDE即可；（2）根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵BE⊥AC，∴∠A+∠ABE＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠DBE+∠ABE＝90°，∴∠A＝∠DBE，在△ABC和△BDE中，{∠A=∠DBEBD=AB∠ABC=∠BDE=90°，∴△ABC≌△BDE（ASA）；（2）解：AB＝DE+CD，理由：由（1）证得，△ABC≌△BDE，∴AB＝BD，BC＝DE，∵BD＝CD+BC，∴AB＝CD+DE．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．【变式6-1】（2021春•黄浦区期末）如图在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠1＝∠2．（1）说明△ADE≌△BFE的理由；（2）联结EG，那么EG与DF的位置关系是，请说明理由．【分析】（1）由AD ∥BC ，得出∠1＝∠F ，因为E 是AB 的中点，得AE ＝BE ，即可证明△ADE ≌△BFE ；【解答】解：（1）∵AD ∥BC ，∴∠1＝∠F ，∵E 是AB 的中点，∴AE ＝BE ，在△ADE 和△BFE 中，{∠1=∠F ∠AED =∠BEF AE =BE，∴△ADE ≌△BFE （ASA ），（2）如图，EG ⊥DF ，∵∠1＝∠F ，∠1＝∠2，∴∠2＝∠F ，∴DG ＝FG ，由（1）知：△ADE ≌△BFE ，∴DE ＝EF ，∴EG ⊥DF ．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的三线合一等知识，找出全等所需的条件是解题的关键．【变式6-2】（2020春•文圣区期末）已知：如图，BD 、CE 是△ABC 的高，BD 、CE 交于点F ，BD ＝CD ，CE 平分∠ACB ．（1）如图1，试说明BE =12CF ．（2）如图2，若点M 在边BC 上（不与点B 重合），MN ⊥AB 于点N ，交BD 于点G ，请直接写出BN 与MG 的数量关系，并画出能够说明该结论成立的辅助线，不必书写过程．【分析】（1）由“ASA ”可证△ABD ≌△FCD ，可得AB ＝CF ，由“ASA ”可证△ACE ≌△BCE ，可得AE ＝BE ，可得结论；（2）如图，过点M 作MH ∥AC ，交AB 于H ，交BD 于P ，由“ASA ”可证BPH ≌△MPG ，可得GM ＝BH ，由“ASA ”可证△BMN ≌△HMN ，可得BN ＝NH ，可得结论．【解答】解：（1）∵BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，∴∠ADB ＝∠BDC ＝∠AEC ＝90°，∴∠A +∠ABD ＝90°，∠A +∠ACE ＝90°，∴∠ABD ＝∠ACE ，在△ABD 和△FCD 中，{∠ADB =∠FDC BD =CD ∠ABD =∠FCD，∴△ABD ≌△FCD （ASA ），∴AB ＝CF ，∵CE 平分∠ACB ，∴∠ACE ＝∠BCE ＝22.5°，在△ACE 和△BCE 中，{∠ACE =∠BCE CE =CE ∠AEC =∠BEC，∴△ACE ≌△BCE （ASA ），∴AE ＝BE ，∴BE =12AB =12CF ；理由如下：如图，过点M 作MH ∥AC ，交AB 于H ，交BD 于P ，∵BD ＝CD ，BD ⊥CD ，∴∠DBC ＝∠DCB ＝45°，∵MH ∥AC ，∴∠PMB ＝∠DCB ＝∠PBM ＝45°，∠BPM ＝∠BDC ＝90°，∴BP ＝PM ，∵∠BHP +∠HBP ＝90°，∠BHP +∠HMN ＝90°，∴∠HBP ＝∠HMN ，在△BHP 和△MGP 中，{∠HBP =∠GMP BP =PM ∠BPH =∠GPM =90°，∴△BPH ≌△MPG （ASA ），∴GM ＝BH ，∵MN ⊥AB ，CE ⊥AB ，∴MN ∥CE ，∴∠BMN ＝∠BCE =12∠ACB ＝22.5°，∴∠BMN ＝∠HMN ＝22.5°，在△BMN 和△HMN 中，{∠BMN =∠HMN MN =MN ∠BNM =∠HNM，∴△BMN ≌△HMN （ASA ）∴BN ＝NH ，【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．【变式6-3】（2020春•揭阳期末）已知△ABC，点D、F分别为线段AC、AB上两点，连接BD、CF交于点E．（1）若BD⊥AC，CF⊥AB，如图1所示，试说明∠BAC+∠BEC＝180°；（2）若BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，如图2所示，试说明此时∠BAC与∠BEC的数量关系；（3）在（2）的条件下，若∠BAC＝60°，试说明：EF＝ED．【分析】（1）根据余角的性质得到∠DEC＝∠BAC，由于∠DEC+∠BEC＝180°，即可得到结论；（2）根据角平分线的定义得到∠EBC=12∠ABC，∠ECB=12∠ACB，于是得到结论；（3）作∠BEC的平分线EM交BC于M，由∠BAC＝60°，得到∠BEC＝90°+12∠BAC＝120°，求得∠FEB＝∠DEC＝60°，根据角平分线的性质得到∠BEM＝60°，推出△FBE≌△EBM，根据全等三角形的性质得到EF＝EM，同理DE＝EM，即可得到结论．【解答】解：（1）∵BD⊥AC，CF⊥AB，∴∠DCE+∠DEC＝∠DCE+∠F AC＝90°，∴∠DEC＝∠BAC，∠DEC+∠BEC＝180°，∴∠BAC+∠BEC＝180°；（2）∵BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，∴∠EBC=12∠ABC，∠ECB=12∠ACB，∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝180°−12（∠ABC+∠ACB）＝180°−12（180°﹣∠BAC）＝90°+12∠BAC；（3）作∠BEC的平分线EM交BC于M，∵∠BAC ＝60°，∴∠BEC ＝90°+12∠BAC ＝120°，∴∠FEB ＝∠DEC ＝60°，∵EM 平分∠BEC ，∴∠BEM ＝60°，在△FBE 与△EBM 中，{∠FBE =∠EBM BE =BE ∠FEB =∠MEB，∴△FBE ≌△EBM （ASA ），∴EF ＝EM ，同理DE ＝EM ，∴EF ＝DE ．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，垂直的定义，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．。
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AAS
1、如图，P是∠AOB平分线上一点， PD垂直AO，D为垂足，若PD为3cm， 求点P到OB的距离。 2:如图，BD是△ABC的一条角平分线， AB＝10，BC＝8，且S△ABD＝25， 求△BCD的面积.
B
A
∟
E
D
C
3:如右图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC， AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于E。 已知AB=6cm，求△DEB的周长.
∵PA平分∠BAC， PB⊥AB，PC⊥AC ∴PB=PC
C
P B
(角平分线上的点到角两边的距离相等)
尝试& 挑战
例7 已知：如图，AB∥CD，PB和PC分别平分
∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直
☞
求证：PA＝PD B
E P C D A
1、已知：如图，AD平分∠BAC ，∠B＝∠C 求证： BD＝CD
2、已知：如图， ∠1＝∠2 ， ∠3＝∠4 求证： AC＝AD
3、证明：三角形的两条角平分线的交点 到各边的距离相等。
4、已知：如图， △ABC≌△DCB 求证： AP＝DP ， BP＝CP
5、已知：如图， AB∥CD， ∠A＝∠C 求证： AD＝BC
如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同 一条直线上，下面给出四个论断： ① AB＝DE； ③ ∠ABC＝∠DEF； ② AC＝DF； ④ BE＝CF
1、目前我们常用的判定两个三角形全等 的方法有哪些？ SSS、SAS、ASA 2、请结合图形，试用符号语言叙述上述 判定方法？ A D
B C
E
F
交流 & 探索 如图，在△ABC和△DEF中，∠B=∠E， ∠C=∠F，AC=DF，请说明△ABC≌△DEF 解：∵ ∠A+∠B+∠C=180° A ∠D+∠E+∠F=180° （三角形的内角和等于180°） ∠B=∠E，∠C=∠F B C ∴ ∠A=∠D D 在△ABC和△DEF中 ∠A=∠D AC= DF (已知) E F ∠C=∠F (已知) ∴△ABC≌△DEF （ASA）
任选三个作为已知条件，余下一个作为结论，可 得到几个命题？其中真命题有几个？分别给出证 明
两 个 三 角 形 全 等
全等三角形的定义 SSS 判定条件 SAS ASA AAS 关键：找符合要求的条件
特别注意： 边和角分别对应相等,而不 是分别相等。
SSS
两 个 三 角 形 全 等 SAS ASA
C D A
E
B
2、已知：如图，AD垂直平分BC，D为垂足， DM⊥AC，DN⊥AB，M，N分别为垂足 求证： DM＝DN
作业题1: 1、如图，已知：∠B=∠C， AD=AE,求证
CD=BE。
D
B B
证明:∵在△ABE与△ACD中 A ∠B=∠C （已知） ∠A= ∠A （公共角） E E AE=AD （已知） ∴ △ABE ≌△ACD（AAS） C∴ BE=CD （全等三角形对应边相等） C
探究& 新知
Байду номын сангаас
☞ 角角边
有两个角和其中一个角的对边对应相等 的两个三角形全等. 可以简写成 “角角边” 或“ AAS ”
用几何语言表达为： 在△ABC和△DEF中 ∠B=∠E B ∠C=∠F AC=DF ∴ △ABC≌△DEF（ AAS ）E
A C
D
F
探究& 归纳 ☞ 例6 如图点P是∠BAC的平分线上的点， PB⊥AB，PC⊥AC.说明PB=PC的理由. 角平分线的性质：角平分线上的点 到角两边的距离相等 用符号语言表达为： A