第4讲全等三角形的性质及判定

第4讲全等三角形的性质及判定（12.1 、12.2）

一、知识要点1、全等三角形的性质

1．全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形．

2．全等形的性质：（1）形状相同．（2）大小相等．

3．全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．

4．全等三角形的表示：

（1）两个全等的三角形重合时：重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做

对应角．

（2）如图，和全等，记作．通常对应顶点字母写在对应位置上．5．全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等；

（2）全等三角形的对应角相等．

（3）全等三角形的周长、面积相等．

6．全等变换：只改变位置，不改变形状和大小的图形变换．

平移、翻折（对称）、旋转变换都是全等变换．

7．全等三角形基本图形

翻折法：找到中心线经此翻折后能互相重合的两个三角形，易发现其对应元素

旋转法：两个三角形绕某一定点旋转一定角度能够重合时，易于找到对应元素

平移法：将两个三角形沿某一直线推移能重合时也可找到对应元素

2、全等三角形的判定

（1）全等三角形的判定1——边边边公理

三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”．

“边边边”公理的实质：三角形的稳定性（用三根木条钉三角形木架）．

（2）全等三角形的判定2——边角边公理两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”．

（3）全等三角形的判定3——角边角公理

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．简写为“角边角”或“ASA”．

（4）全等三角形的判定4——角角边推论两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．简称“角角边”“AAS”．

（5）直角三角形全等的判定——斜边直角边公理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．简写成“斜边直角边”或“HL”．

3、判定直角三角形全等的方法选择

注意：AAA）不能作为判定两个三角形全等的方法。

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技巧平台：证明两个三角形全等时要认真分析已知条件，仔细观察图形，明确已具备了哪些条件，从中找出已知条件和所要说明的结论的内在联系，从而选择最适当的方法。根据三角形全等的条件来选择判定三角形全等的方法，常用的证题思路如下表：

4（2）要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中

（3）分析要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺什么条件。有公共边的，公共边一定是对应边， 有公共角的，公共角一定是对应角，有对顶角，对顶角也是对应角 （4）先证明缺少的条件 （5）再证明两个三角形全等

（要符合书写步骤：先写在某两个三角形中、然后写条件，再写结论）

二、例题讲解

例1.（SSS ）如图，已知AB=AD ，CB=CD,那么∠B=∠D 吗？为什么？ 分析：要证明∠B=∠D ，可设法使它们分别在两个三角形中，再证它们所 在的两个三角形全等，本题中已有两组边分别对应相等，因此只要连接 AC 边即可构造全等三角形。

解：相等。理由：连接AC ，在△ABC 和△ADC 中，⎪⎩⎪

⎨⎧===AC AC CD CB AD AB

∴△ABC ≌△ADC （SSS ），∴∠B=∠D （全等三角形的对应角相等）

点评：证明两个角相等或两条线段相等，往往利用全等三角形的性质求解。有时根据问题的需要添加适当的辅助线构造全等三角形。

例2.（SSS ）如图，△ABC 是一个风筝架，AB=AC,AD 是连接A 与BC 中点D 的支架，证明：AD ⊥BC.分析： 要证AD ⊥BC ，根据垂直定义，需证∠ADB=∠ADC,而∠求得。 证明： D 是BC 的中点，∴BD=CD

在△ABD 与△ACD 中，⎪⎩

⎪

⎨⎧===AD AD CD BD AC

AB

∴△ABD ≌△ACD(SSS)，∴∠ADB=∠ADC （全等三角形的对应角相等） ∠ADB+∠ADC=︒180（平角的定义）

∴∠ADB=∠ADC=︒90，∴AD ⊥BC （垂直的定义）

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例3.（SAS ）如图，AB=AC,AD=AE,求证：∠B=∠C. 分析：利用SAS 证明两个三角形全等，∠A 是公共角。

证明：在△ABE 与△ACD 中,⎪⎩

⎪

⎨⎧=∠=∠=AD AE A

A AC AB

∴△ABE ≌△ACD(SAS),∴∠B=∠C （全等三角形的对应角相等）

例4.（SAS ）如图，已知E,F 是线段AB 上的两点，且AE=BF,AD=BC,∠A=∠B,求证：DF=CE. 分析：先证明AF=BE ，再用SAS 证明两个三角形全等。 证明： AE=BF(已知)

∴AE+EF=BF+FE,即AF=BE

在△DAF 与△CBE 中,⎪⎩

⎪

⎨⎧=∠=∠=BE AF B A BC

AD

∴△DAF ≌△CBE(SAS),∴DF=CE （全等三角形的对应角相等）

点评：本题直接给出了一边一角对应相等，因此根据SAS 再证出另一边（即AF=BE ）相等即可，进而推出对应边相等。

例5.（ ASA ）如图，已知点E,C 在线段BF 上，BE=CF,AB ∥DE,∠ACB=∠F,求证：AB=DE.

分析：要证AB=DE ，结合BE=CF ，即BC=EF ，∠ACB=∠F 逆推，即要找到证△ABC ≌△DEF 的条件。 证明: AB ∥DE,∴∠B=∠DEF. 又 BE=CF ，∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF.

在△ABC 与△DEF 中,⎪⎩⎪

⎨⎧∠=∠=∠=∠F ACB EF BC DEF

B

∴△ABC ≌△DEF(ASA),∴AB=DE.

例6.（AAS ）如图，已知B,C,E 三点在同一条直线上，AC ∥求证：△ABC ≌△CDE.

分析：在△ABC 与△CDE 中，条件只有AC=CE,由AC ∥DE ，可知∠B=∠D,于是△ABC ≌△CDE 的条件就有了。

证明： AC ∥DE ，∴∠ACB=∠E,且∠ACD=∠D. 又 ∠ACD=∠B,∴∠B=∠D.

在△ABC 与△CDE 中,⎪⎩

⎪

⎨⎧=∠=∠∠=∠CE AC E ACB D B ,