2019年高考数学一轮复习 函数的值域与最值

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考点一· 求函数的值域或最值
【例 1】求下列函数的值域： (1)y＝－x2＋2x，x∈[0,3]； 2x＋1 (2)y＝ ； x－3 (3)f(x)＝2x＋log3x，x∈[1,3]．
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解：(1)因为 y＝－(x－1)2＋1，x∈[0,3]， 结合函数图象可知，所求函数的值域为[－3,1]． 2x－3＋7 7 7 (2)因为 y＝ ＝2＋ ，而 ≠0， x－3 x－3 x－3 所以所求函数的值域为{y∈R|y≠2}． (3)由于 f(x)为增函数，所以 f(1)≤f(x)≤f(3)， 所以函数的值域为[2,9]．
sin x 2
)
1 B．y＝x＋ (x>0) x 1 D．y＝ x＋1
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12 3 解：对于 A：(配方法)因为 y＝x －x＋1＝(x－ ) ＋ ， 2 4
2
3 3 所以 y≥ ，故值域为[ ，＋∞)． 4 4 对于 B：(不等式法)因为 x>0， 1 所以 y＝x＋ ≥2 x 1 x· ＝2，故值域为[2，＋∞)． x
答案：D
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2．(2017· 自贡高三一诊)已知函数 f(x)的定义域为 R，M 为常数．若 p：对∀x∈R，都有 f(x)≥M；q：M 是函数 f(x) 的最小值．则 p 是 q 的( A．充分不必要条件 C．充要条件 ) B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
第二单元
第 5讲
函数
函数的值域与最值
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1． 掌握求值域或最值的基本方法， 会求一些简单函数的 值域或最值． 2．建立函数思想，能应用函数观点(如应用函数的值域、 最值)解决数学问题．
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1．函数的值域
函数值 的取值范围，它是由定义域和对应法则 值域是__________ ____________ 定义域 所确定的，所以求值域时要注意________.
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1.基本函数的值域
R (1)一次函数 y＝kx＋b (k≠0)的值域为________ ；
(2)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域：
4ac－b2 [ ，＋∞) 当 a＞0 时，值域为__________________ 4a
； ；
4ac－b2 (－∞， ] 当 a＜0 时，值域为__________________ 4a
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2．函数的最值
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3．求函数值域或最值的常用方法 求函数的值域或最值没有通用的方法，要根据问题的不 同特点，综合而灵活地运用各种方法求解．常见的方法有： (1)配方法——常用于二次函数； (2)分离常数法——常用于分式型函数，且分子次数不低 于分母次数； (3)不等式法——常用于函数是 n 项的和或积的形式； (4)换元法、数形结合法以及利用函数的单调性法等．
对于 C：(单调性法)令 t＝sin x∈[－1,1]，则 y＝et 在[－1,1] 上单调递增，所以 e－1≤y≤e，即 y＝esin x 的值域为[e－1，e]． 对于 D：(观察法)通过观察可知其值域为(0，＋∞)．
答案：D
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2x－1 4．函数 y＝ 的值域是( x＋1 A．R C．{y|y≠2，y∈R} D．{2}
R __________ ；
(6)正、余弦函数的值域为
R 域为___________ .
[－1,1]
，正切函数的值
2．若 f(x)>A 在区间 D 上恒成立，则等价于在区间 D 上，f(x)min>A；若不等式 f(x)<B 在区间 D 上恒成立，则等 价于在区间 D 上，f(x)max<B.
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1．函数 y＝3x (－1≤x≤3，且 x∈Z)的值域为( A．[－1,3] C．{－1,0,1,2,3} B．[－3,9] D．{－3,0,3,6,9}
)
解：由－1≤x≤3，且 x∈Z， 得 x∈{－1,0,1,2,3}， 代入 y＝3x，得值域为{－3,0,3,6,9}．
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【变式探究】
1．求下列函数的值域： 1－x2 (1)y＝ ； 1＋x2 (2)y＝x－ 1－2x.
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1－x2 2－1＋x2 2 解：(1)y＝ ＝ 2＝ 2 2－1， 1＋x 1＋x 1＋x 2 因为 1＋x ≥1，所以 0< 2≤2， 1＋x
解： 对∀x∈R， 都有 f(x)≥M⇒/ M 是函数 f(x)的最小值；
M 是函数 f(x)的最小值⇒对∀x∈R，都有 f(x)≥M. 所以 p 是 q 的必要不充分条件．
答案：B
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3．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( A．y＝x －x＋1 ________________；
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k y ＝ (x≠0) 的 值 域 为 x
(－∞，0)∪(0，＋∞)
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(0，＋∞) ； (4)指数函数 y＝ax (a＞0 且 a≠1)的值域为_________
(5)对数函数 y＝logax (a＞0 且 a≠1，x＞0)的值域为
)
x2＋2x＋4 4 解：因为为 x>0，所以 y＝ ＝x＋ ＋2 x x ≥2 4＋2＝6. 4 当且仅当 x＝ ，即 x＝2 时取等号， x 所以 f(x)的最小值为 6.
答案：A
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求函数的值域或最值
分段函数的值域或最值 恒成立问题
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)
B．{y|y≠－1，y∈R}
2x－1 2x＋1－3 3 解：因为 y＝ ＝ ＝2－ ， x＋1 x＋1 x＋1 3 3 又因为－ ≠0，所以 2－ ≠2，即 y≠2. x＋1 x＋1
答案：C
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x2＋2x＋4 5．函数 y＝ (x>0)的最小值为( x A．6 C．5 B．4 D．3