高二文科数学竞赛试题及答案

高二文科数学竞赛试题2008.12.12
一、选择题（50分） 1、不等式
1
1112-≥-x x 的解集为（ ） A ．),1(+∞ B ．),0[+∞ C ．),1()1,0[+∞ D ．),1(]0,1(+∞- 2、当x ＞1时，不等式a x x ≥-+
1
1
恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(－∞，2] B ．[2，+∞﹞ C ．[3，+∞﹞ D ．(－∞，3]
3、若直线10ax y +-=与直线4(3)40x a y +-+=平行，则实数a 的值等于（ ） A ．4 B ．4或1- C ．35
D ．32
-
4、下列命题在空间中正确的个数是（ ） ○
1三点确定一个平面； ○2一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ○
3两组对边相等的四边形是平行四边形； ○4有三个直角的四边形是矩形. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
5、曲线42
2
=+y x 与曲线))2,0[(sin 22cos 22πθθθ
∈⎩
⎨⎧+=+-=参数y x 关于直线l 对称，
则直线l 的方程为（ ）
A ．02=+-y x
B ．0=-y x
C ．02=-+y x
D ．2-=x y
6、椭圆19
2522
=+y x 上一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．2
3
7、若双曲线192
2=-m y x 的渐近线l 方程为x y 3
5±=，则双曲线焦点F 到渐近线l 的距离为
（ ）
A ．2
B ．14
C ．5
D ．25
8、已知A (1,0)-、B (1,0)，以AB 为一腰作使∠DAB=
90直角梯形ABCD ，且3A D B C =，CD 中点的纵坐标为1．若椭圆以A 、B 为焦点且经过点D ，则此椭圆的方程为（ ）
A ．22132x y +=
B ．22134x y +=
C ．22143x y +=
D ．22
154
x y +=
9、设圆222
(3)(5)x y r +++=上有且只有两个点到直线4320x y --=的距离等于1，则圆的半径r 的取值范围是（ ） A ．615r <<
B ．4
5
r > C ．4655r << D ．1r > 10、设双曲线的左、右焦点为F 1，F 2，左、右顶点为M ，N ，若12PF F ∆的顶点P 在双曲线上，则12PF F ∆的内切圆在边F 1F 2上的切点是（ ）
A ．点M 或N
B ．线段MN 上的任意点
C ．线段F 1M 或NF 2上的任意点
D ．不能确定 二、填空题（25分）
11、函数2
54()2x x f x x
-+=-在(,2)-∞上的最小值是____________.
12、函数f(x)=842222+-+
+-x x x x 的最小值是____________.
13、已知动圆P 与定圆C ：22)2(y x ++=1相外切，又与定值线L ：1=x 相切，那么动圆 的圆心P 的轨迹方程是____________.
14、如果双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右
支上，且||4||21PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为____________. 15、右图是正方体的平面展开图．在这个正方体．．．中，①ED BM 与平行; ②CN 与BE 是异面直线;③CN 与BM 成︒60角; ④DM 与BN 垂直;
以上四个命题中，正确命题的序号是____________. 三、解答题（75分）
16、（12分）已知：R y x b a b a ∈=+,1,，且满足正数.求证：222)(by ax by ax +≥+. 17、（12分）在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点（0，－3）、（0，3）的距离之和等于4.设点P 的轨迹为C . (1)求轨迹C 的方程；
(2)设直线y =kx +1与C 交于A 、B 两点，k 为何值时?⊥此时||的值是多少？
18、（12分）如图，在棱长为4的正方体AC 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是CC 1，AD 的中点，求异面直线OE 与FD 1所成的角的大小.
19、（12分）有一张长为8，宽为4的矩形纸片ABCD ，按图示方法进行
折叠，使每次折叠后点B 都落在AD 边上，此时将B 记为B '（注：图中EF 为折痕，点F 也可落在边CD 上）；过B '作B T CD '//交EF 于T 点，求T 点的轨迹方程.
A B ' D
E
20、（13分）设实数x ，y 满足不等式组{
4
1912422≤+≤+-≥+y x x x y （1）求点（x ，y ）所在的平面区域的面积；
C
E
1
A 1 E
A F
B C
M
N D
（2）设a ＞-1，求函数f(x ，y)=y-ax 的最大值和最小值，并指出取最值时的x ，y 的值.
21、（14分）已知：双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的离心率e ，过点(0,)A b -和(,0)
B a
（1）求双曲线方程；
（2）若直线(0,0)y kx m k m =+≠≠与双曲线交于不同的两点,C D ，且,C D 两点都在以A 为圆心的同一个圆上，求m 的取值范围.
高二文科数学竞赛试题答案
一、选择题：
1-5、DDABA ； 6-10、B CCCA. 二、填空题：
11、2 ；12、10 ；13、x y 82-= ；14、3
5
；15、③④. 三、解答题： 16、略.
17、(1)1422=+x y ；(2)17
65421=±=k . 18、arccos
5
15
. 19、解：以边AB 的中点O 为原点，AB 边所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则B （02，-），（2分 ）因为|||'|'BT B T B T AD =⊥，，根据抛物线的定义，T 点的轨迹是以点B 为焦点、AD 为准线的抛物线的一部分（6分）设T x y (),，||AB =4，即定点B 到定直线AD 的距离为4，∴抛物线方程为x y 2
8=-. （9分） 在折叠中，线段AB '长度|'|AB 在区间[]04，内变化，而x AB ='， ∴≤≤04x ，故T 点的轨迹方程为x y x 2
804=-≤≤()（12分 ） 另解：以BC 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则A （0，4），B （0，0）设T 点坐标为()x y ，，||()BE t t =≤≤24，则|'|||B E t AE t ==-，4， 从而B '的坐标为()2244t -，，∴直线B T '的方程为x t =-224， ①又EF 是BB '的垂直平分线，直线BB '斜率k t BB '=
-2
24
，线段BB '的中点为()242t -，（6分）于是直线EF
的方程y t x t -=-
---224
2
24()，②联立①、②消去t 得：x y 282=--()，
（9分）
244≤≤∴0≤≤t x ，，故T 点的轨迹方程为x y x 28204=--≤≤()()（12分）.
20、(1)12；(2){
2
1,122
,13min max ),(;73),(≤<--->+-=+=a a a a y x f a y x f .
21、解：（1
）设c =:
1x y
AB a b
-=. 整理得AB ：bx -ay -ab =0
与原点距离ab d c =
=
=
，又c e a ==，
联立上式解得b =1，∴c =2
，a =∴双曲线方程为2
213
x y -=.
（2）设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）设CD 中点M （x 0，y 0），
∴12012
022
x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨
+⎪=⎪⎩，∴|AC|=|AD|，∴AM ⊥CD. 联立直线l 与双曲线的方程得2
2()13
x kx m -+=，整理得（1-3k 2）x 2-6km x -3m 2-3=0，且
22
013()m k ∆>⇒+>*.
∴12023213x x km
x k +==- ， 12120
()222y y k x x m y -++==， ∴2022
32(13)2(13)13k m m k m
y k k ⋅+-==--.
∴22
3(,)1313km m
M k k
--，∴AM ⊥CD. ∴221113313AM m
k k km k k +-==--，整理得2314k m -=， 则241
3m k +=且k 2>0，，代入()*中得(4)0m m ->.
∴1
(,0)(4,)4
m ∈-+∞.。