最新2018-2019学年湖南省岳阳市岳阳县一中、汨罗一中高一(上)期中数学试卷
湖南省岳阳县第一中学、汨罗市一中2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题含答案
湖南省岳阳县第一中学、汨罗市一中2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,4P =，{}3,5Q =，则()U C P Q =（ ）A ．{}2,6B ．{}2,3,5,6C ．{}1,3,4,5D ．{}1,2,3,4,5,62．函数23()log (82)f x x =+-的定义域为（ ） A ．R B ．(2,4] C ．(,2)(2,4)-∞- D ．(2,4)3．已知12313113,log ,log 44a b c -===，则（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>4．已知幂函数221(22)m m y m m x +-=--在(0,)+∞单调递增，则实数m 的值为（ ）A ．﹣1B ．3C ．﹣1或3D ．1或﹣35．在空间四边形ABCD 中，AC =BD ，顺次连接它的各边中点E 、F 、G 、H ，所得四边形EFGH 的形状是（ ） A ．梯形 B ．矩形C ．正方形D ．菱形6．已知函数2()23f x x mx =-+在[2,)-+∞上为增函数，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(,8]-∞-B ．(,3]-∞-C ．[2,)-+∞D ．[13,)+∞7．方程e 20--=xx 的解的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．38．函数22()log (23f x x x =-++）的单调递增区间是（ ）A ．(,1)-∞B ．(3,1)--C ．(1,1)-D ．(1,)+∞9．有一长方体木块，其顶点为ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，AB =3，BC =2，AA 1=1，一小虫从长方体木块的一顶点A 绕其表面爬行到另一顶点C 1，则小虫爬行的最短距离为（ ） A ．B． C． D10．已知函数()f x 是偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，若2(log )(1)f x f <，则x 的取值范围是（ ）A ．(0,2)B ．1(0,)(1,)2+∞ C ．1(,2)2D ．(0,1)(2,)+∞11．函数()ln f x x x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，且(1)1f =，当,[1,1]a b ∈-，且0a b +≠时，()()0f a f b a b+>+成立，若2()21f x m am <-+对任意的[1,1]a ∈-恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．{}(,2)0(2,)-∞-+∞ B ．(,2)(2,)-∞-+∞C ．(2,2)-D ．(2,0)(0,2)-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数log (21)2a y x =-+的图象恒过定点P ，则点P 坐标为 .14．已知函数2log (2),1()2,1x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩，则2(2)(log 3)f f -+的值是 .15．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()2xf x c =-，则(2)f -= . 16．定义区间(,),[,),(,],[,]c d c d c d c d 的长度均为d c -，其中d c >，已知函数21x y =-的定义域为[,]a b ，值域为1[0,]2，则区间[,]a b 的长度的最大值与最小值的差为 . 三、解答题：本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）计算下列各式的值： （1）34log 27lg 25lg 4log 2+++；（2）已知15a a -+=，求22a a -+和1122a a -+的值．18．（12分）已知函数()log (2)log (2)a a f x x x =+--，(0,1)a a >≠且． （1）判断并证明函数()f x 的奇偶性； （2）求满足()0f x >的实数x 的取值范围．19．（12分）如图，圆柱的底面半径为r ，球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．（1）计算圆柱的表面积；（2）计算图中圆锥、球、圆柱的体积比．20．（12分）在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，S ，E ，G 分别是B 1D 1，BC ，SC 的中点． （1）求证：直线EG ∥平面BDD 1B 1．（2）求直线EG 与DD 1所成角的正切值．21．（12分）我国加入WTO 时，根据达成的协议，某产品的市场供应量P 与市场价格x 的关系近似满足2(1)()()2kt x b p x --=（其中t 为关税的税率，且1[0,)2t ∈，x 为市场价格，b 、k为正常数）．当t =时的市场供应量曲线如图所示． （1）根据图象求b 、k 的值； （2）当关税的税率t =时，求市场供应量P 不低于1024时，市场价格至少为多少？22．（12分）已知二次函数()f x 满足(0)(1)1f f ==，且()f x 的最小值是． （1）求()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程()f x x m =+在区间(1,2)-上有唯一实数根，求实数m 的取值范围； （3）函数()()(21)g x f x t x =--，对任意12,[4,5]x x ∈都有12()g()4g x x -<恒成立，求实数t 的取值范围．【参考答案】一、选择题二、填空题13．(1,2) 14．5 15．3-16．1 三、解答题17.解：（1）34log 27lg 25lg 4log 2+++334log 3lg100log 1113222=++=++=.（2）122125()225223a a a a a a ---+=∴+=+-=-=， 112122()27a a a a --+=++=，又11220a a -∴+>，1122a a-∴+=18.解：（1）根据题意，f （x ）=log a （2+x ）﹣log a （2﹣x ）， 则有，解可得﹣2＜x ＜2，则函数的定义域为（﹣2，2），又由f （﹣x ）=log a （2﹣x ）﹣log a （2+x ）=﹣f （x ），则f （x ）是奇函数. （2）由f （x ）＞0得log a （2+x ）＞log a （2﹣x ）， ①当a ＞1时，，解得0＜x ＜2；②当0＜a ＜1时，，解得﹣2＜x ＜0；当a ＞1时x 的取值范围是（0，2）； 当0＜a ＜1时x 的取值范围是（﹣2，0）．19.解：（1）已知圆柱的底面半径为r ，则圆柱和圆锥的高为h =2r ，圆锥的底面半径和球的半径为r ， 则圆柱的表面积为；（2）由（1）知，，，∴圆锥、球、圆柱的体积比为：：2πr 3=1：2：3．20.证明：（1）如图，连接SB ，∵E 、G 分别是BC 、SC 的中点，∴EG ∥SB ，又SB ⊂平面BDD 1B 1，EG 不在平面BDD 1B 1， ∴直线EG ∥平面BDD 1B 1．（2）取BD 的中点O ，连接SO ，则SO //DD 1，由（1）知EG ∥SB ，则BSO ∠为直线EG 与DD 1所成角，设AB =a ，则SO =a ，BD =，BO =，所以，tan 2BSO ∠=，直线EG 与DD 1所成角的正切值为2.21.解：（1）由图可知，解得，解得k =6，b =5.（2）由（1）可得P （x ）=2，设m =（1﹣6t ）（x ﹣5）2，当t =时，m =（x ﹣5）2，∵市场供应量P 不低于1024时，∴2m ≥1024，解得m ≥10， ∴（x ﹣5）2≥10，解得x ≥10，故市场供应量P 不低于1024时，市场价格至少为1024． 22.解：（1）设f （x ）=ax 2+bx +c （a ≠0），则由f （0）=1得c =1， 又f （1）=a +b +c =1，所以a =﹣b ，易知对称轴为，所以解得a=1，b=﹣1，c=1，所以f（x）=x2﹣x+1.（2）由方程f（x）=x+m得m=x2﹣2x+1，即直线y=m与函数y=x2﹣2x+1，x∈（﹣1，2）的图象有且只有一个交点，作出函数y=x2﹣2x+1在x∈（﹣1，2）的图象．易得当m=0或m∈[1，4）时函数图象与直线y=m只有一个交点，所以m的取值范围是{0}∪[1，4）.（3）由题意知g（x）=x2﹣2tx+1，假设存在实数t满足条件，对任意x1，x2∈[4，5]都有|g（x1）﹣g（x2）|＜4成立，即[|g（x1）﹣g（x2）|]max＜4，故有[g（x）]max﹣[g（x）]min＜4，由g（x）=（x﹣t）2﹣t2+1，x∈[4，5] ，①当t≤4时，g（x）在[4，5]上为增函数，[g（x）]max﹣[g（x）]min=g（5）﹣g（4）＜4，，所以；②当时，[g（x）]max﹣[g（x）]min=g（5）﹣g（t）＜425﹣10t+1﹣t2+2t2﹣1＜4．即t2﹣10t+21＜0，解得3＜t＜7，所以．③当时，[g（x）]max﹣[g（x）]min=g（4）﹣g（t）＜4，即t2﹣8t+12＜0，解得2＜t＜6．所以．④当t＞5时，[g（x）]max﹣[g（x）]min=g（5）﹣g（4）＜4，即，所以，综上所述，.所以当时，使得对任意x1，x2∈[4，5]都有|g（x1）﹣g（x2）|＜4成立．。
2018-2019学年湖南省岳阳县第一中学、汨罗市一中高一上学期期末考试数学试题(解析版)
2018-2019学年湖南省岳阳县第一中学、汨罗市一中高一上学期期末考试数学试题一、单选题1．已知集合，0，1，2，3，，，则下列结论成立的是A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：由于但.所以不成立.不成立.都不成立.成立.故选（D）.【考点】1.集合的运算.2.集合间的关系.2．方程表示圆心为，半径为1的圆，则a、b、c的值依次为A．，，4B．2，，4C．2，，D．，4，【答案】B【解析】根据题意，由圆的一般方程分析可得答案．【详解】解：根据题意，方程表示圆心为，半径为1的圆，则，解可得：，，，故选：B．【点睛】本题考查圆的一般方程，注意由圆的一般方程求圆心坐标、半径的方法，属于基础题．3．已知则a，b，c的大小关系是A．B．C．D．【答案】D【解析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【详解】解：，，，．故选：D．【点睛】本题考查指数和对数值大小的比较，属于基础题.4．下列函数中，既是奇函数又是减函数的是A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A，，是幂函数，在R上是奇函数，但在R上为增函数，不符合题意；对于B，，是反比例函数，但不是减函数，不符合题意；对于C，，是奇函数，但不是减函数，不符合题意；对于D，，既是奇函数又是减函数，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的单调性、奇偶性．属于基础题.5．已知m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，下面四个结论中正确的是A．若，，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】D【解析】利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断．【详解】解：由m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，知：在A中，若，，，则与相交或平行，故A错误；在B中，若，，则n与相交、平行或，故B错误；在C中，若，，则与相交或平行，故C错误；在D中，若，，则由面面平行的判定定理得，故D正确．故选：D．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．6．函数的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】依题意函数的定义域是∵∴是偶函数∴函数图像关于轴对称，故排除当时，函数为增函数，故排除故选A点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．7．函数的单调递减区间是A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，先由函数的解析式求出函数的定义域，将函数整理并令，则；由复合函数单调性的判定方法分析可得答案．【详解】解：根据题意，根据题意，函数，有，解可得，即函数的定义域为；则，令，，则，则，为增函数，若函数为减函数，则为减函数，其对称轴为，则其递减区间为；则函数函数的单调递减区间是；故选：C．【点睛】本题考查复合函数的单调性的判定以及单调区间的求解，注意函数的定义域，属于基础题．8．一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中A．B．与相交C．D．与所成的角为【答案】D【解析】还原成正方体，可推导出在原来的正方体中与所成的角为．【详解】解：一个正方体的展开图如图所示，为原正方体的顶点，还原成正方体如下图，，是与所成角，，，在原来的正方体中与所成的角为．故选：．【点睛】本题考查了学生的空间想象力及作图能力、异面直线所成角的求法，属于基础题．9．已知空间四边形ABCD中，M、N分别为AB、CD的中点，则判断：；；；其中正确的是A．B．C．D．【答案】D【解析】如图所示,在空间四边形ABCD中,取BC的中点E,连接ME、NE,则ME=AC,NE=BD.在△MNE中,MN<ME+NE=(AC+BD).故选D.10．过原点的直线与圆C：相交于两点，若三角形为正三角形，则直线的斜率为A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，分析圆的圆心与半径，设直线的斜率为，则直线的方程为，即，由等边三角形的性质分析可得圆心到直线的距离，则有，解可得的值，即可得答案．【详解】解：根据题意，圆：即，圆心C为，半径，设直线的斜率为，则直线l的方程为，即，若直线与圆C相交于两点且三角形为正三角形，则圆心到直线的距离，则有，解可得：；故选：．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式，属于基础题．11．已知函数，则使函数有零点的实数m的取值范围是A．B．C．，D．，【答案】D【解析】作出函数的图象并根据图象的交点及函数零点的判定定理即可得出．【详解】函数的零点就是方程的根，画出的大致图象．观察它与直线的交点，得知当或时，有交点，即函数有零点，故选:D．【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．12．已知的顶点，AB边上的中线CM所在的直线方程为，的平分线BH所在直线方程为，则直线BC的方程为A．B．C．D．【答案】A【解析】先设出B的坐标，将AB中点代入直线CM，求出m的值，从而求出B的坐标，再求出A关于的对称点，表示出的方程，即BC的方程，整理即可．【详解】解：由题意可知，点B在角平分线上，可设点B的坐标是，则AB的中点在直线CM上，，解得：，故点．设A关于的对称点为，则有，，即则由在直线BC上，可得BC的方程为，即，即，故选：A．【点睛】本题主要考查点关于直线对称的性质，根据两点坐标求直线方程以及三角形的中线的性质，属于中档题．二、解答题13．化简与求值：；已知定义域为R的函数是奇函数，求使不等式成立的x取值范围．【答案】（1）；（2）。
2018-2019学年湖南省岳阳市岳阳县一中、汨罗一中高一(上)期中数学试卷(解析版)
2018-2019学年湖南省岳阳市岳阳县一中、汨罗一中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集2，3，4，5，，集合，，则 A. B. 3，5，C. 3，4，D. 2，3，4，5，【答案】A【解析】【分析】进行并集、补集的运算即可．【详解】P∪Q={1，3，4，5}；∴∁U（P∪Q）={2，6}．故选：A．【点睛】考查列举法表示集合的概念，并集、补集的运算,属于基础题.2.函数的定义域为 A. RB.C.D.【答案】D【解析】【分析】要使得f（x）有意义，显然需满足，这样解该不等式组即可求出f（x）的定义域．【详解】要使f（x）有意义，则；解得2＜x＜4；∴f（x）的定义域为（2，4）．故选：D．【点睛】本题考查函数定义域的概念及求法，对数函数的定义域，对数的真数大于0，属于基础题.3.已知，，，则 A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用对数函数的单调性比较b与c，再与常数0和1比较，得出结果.【详解】因为=log >1>0>且所以故选：C【点睛】本题考查的是利用对数函数的单调性比较b与c，再与常数0和1比较大小，这是常用的方法.4.已知幂函数在单调递增，则实数m的值为 A. B. 3 C. 或3 D. 1或【答案】B【解析】【分析】根据幂函数的定义与性质，列方程求出m的值，再判断m是否满足条件．【详解】幂函数y=在（0，+∞）单调递增，∴m2﹣2m﹣2=1，解得m=3或m=﹣1；又m2+m﹣1＞0，∴m=3时满足条件，则实数m的值为3．故选：B．【点睛】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．5.在空间四边形ABCD中，，顺次连接它的各边中点E、F、G、H，所得四边形EFGH的形状是 A. 梯形B. 矩形C. 正方形D. 菱形【答案】D【解析】【分析】作出如图的空间四边形，连接AC，BD可得一个三棱锥，将四个中点连接，得到一个四边形，可证明其是一个菱形．【详解】如图所示，空间四边形ABCD中，连接AC，BD可得一个三棱锥，将四个中点连接，得到四边形EFGH，由中位线的性质知，EH∥FG，EF∥HG；∴四边形EFGH是平行四边形，又AC=BD，∴HG=AC=BD=EH，∴四边形EFGH是菱形．故选：D．【点睛】本题考查了空间中直线与直线位置关系的应用问题，也考查了线线平行、中位线的性质应用问题，是基础题．6.已知函数在上为增函数，则实数m的取值范围是 A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】若函数f（x）=2x2﹣mx+3在[﹣2，+∞）上为增函数，则，解得答案．【详解】若函数f（x）=2x2﹣mx+3在[﹣2，+∞）上为增函数，则，解得：m∈（﹣∞，﹣8]，故选：A．【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．7.方程的解的个数是A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】方程的解的个数等于函数和图像交点的个数，如图所示，可知函数和图像有两个交点．8.函数的单调递增区间是 A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求对数函数的定义域，再求t=﹣x2+2x+3在定义域内的增区间，再利用二次函数得性质得出结论．【详解】由函数f（x）=log2（﹣x2+2x+3），可得﹣x2+2x+3＞0，求得﹣1＜x＜3，故函数的定义域为{x|﹣1＜x＜3 }．函数f（x）=log2（﹣x2+2x+3）的单调递增区间，即t=﹣x2+2x+3在定义域内的增区间．而t=﹣x2+2x+3在定义域内的增区间为（﹣1，1），故选：C．【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，属于中档题．9.有一长方体木块，其顶点为，，，，一小虫从长方体木块的一顶点A绕其表面爬行到另一顶点，则小虫爬行的最短距离为 A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分三种情况，将两个平面展成一个平面后，对角线长最短，比较谁更小，即可．【详解】分三种情况：①当小虫沿表面经过棱BB1时，将平面A1ABB1和平面B1BCC1展成一个平面，则小虫沿对角线AC1爬，最短．此时最短距离为；②当小虫沿着表面经过棱A1B1时，将平面A1ABB1和平面A1B1C1D1展成一个平面，则小虫沿对角线AC爬，最短距离为：3；③当小虫沿着表面经过棱BC时，将平面ABCD和平面1BBCC1展成一个平面，则小虫沿对角线AC1爬，最短距离为：2，比较的大小可知，3最小．故选：B．【点睛】本题考查了多面体和旋转体表面上的最短距离，把两个平面展开成一个平面．属中档题．10.已知函数是偶函数，且在上是增函数，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由偶函数的性质可得不等式即：，结合在上是增函数脱去符号可得：，求解对数不等式可得：，表示为区间形式即.本题选择C选项.点睛：对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．11.函数的图象大致为 A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据条件判断函数的奇偶性，结合图象对称关系进行排除，然后利用特殊值的符号是否对应进行判断即可．【详解】f（﹣x）=﹣xln|﹣x|=﹣xlnx=﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除B，D，当x=时，f（）=ln||=ln＜0，排除C，故选：A．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和特殊值的符号的对应性是否一致进行排除是解决本题的关键．12.已知是定义在上的奇函数，且，当a，，且时，成立，若对任意的恒成立，则实数m的取值范围是 A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用函数的奇偶性将已知不等式化为：a，b∈[﹣1，1]时，且a≠﹣b时，成立，根据增函数定义得函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，从而求得最大值为f（1）=1，然后将已知不等式先对x恒成立，再对a恒成立，就可以求出m的范围．【详解】∵f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，∴当a，b∈[﹣1，1]，且a≠﹣b时，有>0 成立，∴f（x）是定义在[﹣1，1]上的增函数，∴f（x）max=f（1）=1，∴f（x）＜m2﹣2am+1对任意的x∈[﹣1，1]恒成立⇔f（x）max＜m2﹣2am+1，∴1＜m2﹣2am+1，即2am﹣m2＜0对任意的a∈[﹣1，1]恒成立．令g（a）=2am﹣m2，则2am﹣m2＜0对任意的a∈[﹣1，1]恒成立转化为：解得：m＜﹣2或m＞2．故选：B．【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单点调性、含三个变量的不等式对2个变量恒成立求第三个变量取值范围的问题．解决办法是按顺序先对一个字母恒成立，转化为最值，再对另一个字母恒成立，转化为最值即可．属难题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数的图象恒过定点P，则点P坐标为______．【答案】【解析】【分析】令对数的真数等于1，求得x、y的值，可得对数函数的图象经过的定点的坐标．【详解】函数y=log a（2x﹣1）+2，令2x﹣1=1，求得x=1，y=2，可得函数y=log a（2x﹣1）+2的图象恒过定点P（1，2），故答案为：（1，2）．【点睛】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，属于基础题．14.已知函数，则的值是__________．【答案】5【解析】由题意，得，，则.15.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则______【答案】【解析】【分析】根据题意，由函数为奇函数可得f（0）=0可求c，根据所求函数解析式可先求f（2），再根据f（﹣2）=﹣f（2）即可求解．【详解】根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时，f（x）=2x﹣c，∴f（0）=1﹣c=0，∴c=1，又由当x≥0时，f（x）=2x﹣1，∴f（2）=3，又由函数为奇函数，则f（﹣2）=﹣f（2）=﹣3，故答案为：﹣3．【点睛】本题考查函数奇偶性的性质，关键是充分利用奇函数的性质．16.定义区间，，，的长度均为，其中已知函数的定义域为，值域为，则区间长度的最大值与最小值的差______．【答案】1【解析】【分析】函数的图象，如图所示，y=|2x﹣1|=，x=﹣1或，求出区间[a，b]长度的最大值与最小值，即可得出结论．【详解】函数的图象，如图所示，y=|2x﹣1|=，x=﹣1或，故[a，b]的长度的最大值为﹣（﹣1）=+1，最小值为﹣0=，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为1，故答案为:1．【点睛】考查学生理解掌握指数函数定义域和值域的能力，运用指数函数图象增减性解决数学问题的能力．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.计算下列各式的值：；已知，求和的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1）利用对数的性质、运算法则直接求解．（2）利用指数的性质、运算法则直接求解．【详解】解：．，．，，．【点睛】本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.已知函数，，且．1判断并证明函数的奇偶性；2求满足的实数x的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）当时x的取值范围是；当时x的取值范围是．【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意，先求出函数的定义域，进而结合函数的解析式可得f（﹣x）=﹣f（x），即可得结论；（Ⅱ）根据题意，f（x）＞0即log a（2+x）＞log a（2﹣x），分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论可得x的取值范围，综合即可得答案．【详解】解：1根据题意，，则有，解可得，则函数的定义域为，又由，则是奇函数；2由得当时，，解得；当时，，解得；当时x的取值范围是；当时x的取值范围是．【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，注意判断奇偶性要先求出函数的定义域，属于中档题．19.如图，圆柱的底面半径为，球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．(Ⅰ)计算圆柱的表面积；(Ⅱ）计算图中圆锥、球、圆柱的体积比．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）.【解析】【分析】(1)根据圆柱侧面积加两个底面积得圆柱表面积，(2)根据圆锥、球、圆柱的体积公式计算，再求比值.【详解】(Ⅰ)已知圆柱的底面半径为，则圆柱和圆锥的高为，圆锥和球的底面半径为，则圆柱的表面积为；(Ⅱ）由(Ⅰ)知，，【点睛】本题考查圆柱侧面积以及圆锥、球、圆柱的体积公式，考查基本求解能力.20.如图所示，在正方体中，S，E，G分别是，BC，SC的中点．求证：直线平面．求直线EG与所成角的正切值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接SB，则EG∥SB，由此能证明直线EG∥平面BDD1B1．（2）取BD的中点O，连接SO，则SO∥DD1，EG∥SB，从而∠BSO为直线EG与DD1所成角，由此能求出直线EG与DD1所成角的正切值．【详解】证明：如图，连接SB，、G分别是BC、SC的中点，∴，又平面，EG平面，直线EG∥平面解：取BD的中点O，连接SO，则，由知，则为直线EG与所成角，设，则，，，，直线EG与所成角的正切值为【点睛】本题考查线面平行的证明和线面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.我国加入WTO时，根据达成的协议，某产品的市场供应量P与市场价格x的关系近似满足其中t为关税的税率，且，x为市场价格，b、k为正常数当时的市场供应量曲线如图所示．根据图象求b、k的值当关税的税率时，求市场供应量P不低于1024时，市场价格至少为多少？【答案】（1），；（2）市场供应量P不低于1024时，市场价格至少为1024【解析】【分析】（1）根据待定系数法即可求出k，b的值，（2）根据指数函数的图象和性质可得≥10，解得即可【详解】解：由图可知，解得，解得，，由可得，设，当时，，市场供应量P不低于1024时，，解得，，解得故市场供应量P不低于1024时，市场价格至少为1024．【点睛】本题考查了指数函数在实际生活中的应用和分析问题，解决问题的能力，属于中档题．22.已知二次函数满足，且的最小值是．求的解析式；若关于x的方程在区间上有唯一实数根，求实数m的取值范围；函数，对任意，都有恒成立，求实数t的取值范围．【答案】（1）(2) （3）【解析】试题分析：（1）因，故对称轴为，故可设，再由得.（2）有唯一实数根可以转化为与有唯一的交点去考虑.（3），任意都有不等式成立等价于，分、、和四种情形讨论即可.解析：（1）因，对称轴为，设，由得，所以.（2）由方程得，即直线与函数的图象有且只有一个交点，作出函数在的图象.易得当或时函数图象与直线只有一个交点，所以的取值范围是.（3）由题意知.假设存在实数满足条件，对任意都有成立，即，故有，由.当时，在上为增函数，，所以；当时，，.即，解得，所以.当时，即解得.所以.当时，，即，所以，综上所述，，所以当时，使得对任意都有成立.点睛：（1）求二次函数的解析式，一般用待定系数法，有时也需要根据题设的特点合理假设二次函数的形式（如双根式、顶点式、一般式）；（2）不等式对任意的恒成立可以等价转化为恒成立.。
湖南省岳阳市岳阳县一中2019届高三(上)期中数学试卷(文科)(解析版)
本题主要考查了由
的部分图象确定其解析式， 正弦函数的图象和性质，
考查了计算能力和数形结合的方法，属于中档题．
7. 中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做 盘缠， 次第每人多十七， 要将第八数来言” 题意是： 把 996 斤绵分给 8 个儿子作盘
缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多
又
，解得：
可得：
对于 A，将
的图象向左平移 个单位，
可得：
的图象，故错误；
对于 B，
时，
，可得
，故错误；
对于 C，由于
，故错误；
对于 D，由
，可得：
，
由正弦函数的图象和性质可得函数
在
上单调递增，故正确．
故选： D．
由题意可求 A， 的周期 T，利用周期公式可求 ，利用正弦函数的对称性可求 ，可
得 的解析式，利用正弦函数的图象和性质逐一分析各个选项即可判断求解．
础题．
3. 已知
，
，
，则
A.
B.
C.
D.
答案： C
分析： 解：
，
，
，
． 故选： C．
利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．
本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运
算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
4. 已知向量
A.
答案： C 分析： 解： 向量
，
，
B. 2
，
，
，若
C.
，
，
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，则 k 等于
D. 1
，
，
2018-2019学年湖南省岳阳市岳阳县一中、汨罗一中高一(上)期中数学试卷(word版含答案)
2018-2019学年湖南省岳阳市岳阳县一中、汨罗一中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集2，3，4，5，，集合，，则A. B. 3，5，C. 3，4，D. 2，3，4，5，【答案】A【解析】【分析】进行并集、补集的运算即可．【详解】P∪Q={1，3，4，5}；∴∁U（P∪Q）={2，6}．故选：A．【点睛】考查列举法表示集合的概念，并集、补集的运算,属于基础题.2.函数的定义域为A. RB.C.D.【答案】D【解析】【分析】要使得f（x）有意义，显然需满足，这样解该不等式组即可求出f（x）的定义域．【详解】要使f（x）有意义，则；解得2＜x＜4；∴f（x）的定义域为（2，4）．故选：D．【点睛】本题考查函数定义域的概念及求法，对数函数的定义域，对数的真数大于0，属于基础题.3.已知，，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用对数函数的单调性比较b与c，再与常数0和1比较，得出结果.【详解】因为=log>1>0>且所以故选：C【点睛】本题考查的是利用对数函数的单调性比较b与c，再与常数0和1比较大小，这是常用的方法.4.已知幂函数在单调递增，则实数m的值为A. B. 3 C. 或3 D. 1或【答案】B【解析】【分析】根据幂函数的定义与性质，列方程求出m的值，再判断m是否满足条件．【详解】幂函数y=在（0，+∞）单调递增，∴m2﹣2m﹣2=1，解得m=3或m=﹣1；又m2+m﹣1＞0，∴m=3时满足条件，则实数m的值为3．故选：B．【点睛】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．5.在空间四边形ABCD中，，顺次连接它的各边中点E、F、G、H，所得四边形EFGH的形状是A. 梯形B. 矩形C. 正方形D. 菱形【答案】D【解析】【分析】作出如图的空间四边形，连接AC，BD可得一个三棱锥，将四个中点连接，得到一个四边形，可证明其是一个菱形．【详解】如图所示，空间四边形ABCD中，连接AC，BD可得一个三棱锥，将四个中点连接，得到四边形EFGH，由中位线的性质知，EH∥FG，EF∥HG；∴四边形EFGH是平行四边形，又AC=BD，∴HG=AC=BD=EH，∴四边形EFGH是菱形．故选：D．【点睛】本题考查了空间中直线与直线位置关系的应用问题，也考查了线线平行、中位线的性质应用问题，是基础题．6.已知函数在上为增函数，则实数m的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】若函数f（x）=2x2﹣mx+3在[﹣2，+∞）上为增函数，则，解得答案．【详解】若函数f（x）=2x2﹣mx+3在[﹣2，+∞）上为增函数，则，解得：m∈（﹣∞，﹣8]，故选：A．【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．7.方程的解的个数是A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】方程的解的个数等于函数和图像交点的个数，如图所示，可知函数和图像有两个交点．8.函数的单调递增区间是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求对数函数的定义域，再求t=﹣x2+2x+3在定义域内的增区间，再利用二次函数得性质得出结论．【详解】由函数f（x）=log2（﹣x2+2x+3），可得﹣x2+2x+3＞0，求得﹣1＜x＜3，故函数的定义域为{x|﹣1＜x＜3 }．函数f（x）=log2（﹣x2+2x+3）的单调递增区间，即t=﹣x2+2x+3在定义域内的增区间．而t=﹣x2+2x+3在定义域内的增区间为（﹣1，1），故选：C．【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，属于中档题．9.有一长方体木块，其顶点为，，，，一小虫从长方体木块的一顶点A绕其表面爬行到另一顶点，则小虫爬行的最短距离为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分三种情况，将两个平面展成一个平面后，对角线长最短，比较谁更小，即可．【详解】分三种情况：①当小虫沿表面经过棱BB1时，将平面A1ABB1和平面B1BCC1展成一个平面，则小虫沿对角线AC1爬，最短．此时最短距离为；②当小虫沿着表面经过棱A1B1时，将平面A1ABB1和平面A1B1C1D1展成一个平面，则小虫沿对角线AC爬，最短距离为：3；③当小虫沿着表面经过棱BC时，将平面ABCD和平面1BBCC1展成一个平面，则小虫沿对角线AC1爬，最短距离为：2，比较的大小可知，3最小．故选：B．【点睛】本题考查了多面体和旋转体表面上的最短距离，把两个平面展开成一个平面．属中档题．10.已知函数是偶函数，且在上是增函数，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由偶函数的性质可得不等式即：，结合在上是增函数脱去符号可得：，求解对数不等式可得：，表示为区间形式即.本题选择C选项.点睛：对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．11.函数的图象大致为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据条件判断函数的奇偶性，结合图象对称关系进行排除，然后利用特殊值的符号是否对应进行判断即可．【详解】f（﹣x）=﹣xln|﹣x|=﹣xlnx=﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除B，D，当x=时，f（）=ln||=ln＜0，排除C，故选：A．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和特殊值的符号的对应性是否一致进行排除是解决本题的关键．12.已知是定义在上的奇函数，且，当a，，且时，成立，若对任意的恒成立，则实数m的取值范围是A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用函数的奇偶性将已知不等式化为：a，b∈[﹣1，1]时，且a≠﹣b时，成立，根据增函数定义得函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，从而求得最大值为f（1）=1，然后将已知不等式先对x恒成立，再对a恒成立，就可以求出m的范围．【详解】∵f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，∴当a，b∈[﹣1，1]，且a≠﹣b时，有>0 成立，∴f（x）是定义在[﹣1，1]上的增函数，∴f（x）max=f（1）=1，∴f（x）＜m2﹣2am+1对任意的x∈[﹣1，1]恒成立⇔f（x）max＜m2﹣2am+1，∴1＜m2﹣2am+1，即2am﹣m2＜0对任意的a∈[﹣1，1]恒成立．令g（a）=2am﹣m2，则2am﹣m2＜0对任意的a∈[﹣1，1]恒成立转化为：解得：m＜﹣2 或m＞2．故选：B．【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单点调性、含三个变量的不等式对2个变量恒成立求第三个变量取值范围的问题．解决办法是按顺序先对一个字母恒成立，转化为最值，再对另一个字母恒成立，转化为最值即可．属难题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数的图象恒过定点P，则点P坐标为______．【答案】【解析】【分析】令对数的真数等于1，求得x、y的值，可得对数函数的图象经过的定点的坐标．【详解】函数y=log a（2x﹣1）+2，令2x﹣1=1，求得x=1，y=2，可得函数y=log a（2x﹣1）+2的图象恒过定点P（1，2），故答案为：（1，2）．【点睛】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，属于基础题．14.已知函数，则的值是__________．【答案】5【解析】由题意，得，，则.15.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则______【答案】【解析】【分析】根据题意，由函数为奇函数可得f（0）=0可求c，根据所求函数解析式可先求f（2），再根据f（﹣2）=﹣f （2）即可求解．【详解】根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时，f（x）=2x﹣c，∴f（0）=1﹣c=0，∴c=1，又由当x≥0时，f（x）=2x﹣1，∴f（2）=3，又由函数为奇函数，则f（﹣2）=﹣f（2）=﹣3，故答案为：﹣3．【点睛】本题考查函数奇偶性的性质，关键是充分利用奇函数的性质．16.定义区间，，，的长度均为，其中已知函数的定义域为，值域为，则区间长度的最大值与最小值的差______．【答案】1【解析】【分析】函数的图象，如图所示，y=|2x﹣1|=，x=﹣1或，求出区间[a，b]长度的最大值与最小值，即可得出结论．【详解】函数的图象，如图所示，y=|2x﹣1|=，x=﹣1或，故[a，b]的长度的最大值为﹣（﹣1）=+1，最小值为﹣0=，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为1，故答案为:1．【点睛】考查学生理解掌握指数函数定义域和值域的能力，运用指数函数图象增减性解决数学问题的能力．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.计算下列各式的值：；已知，求和的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1）利用对数的性质、运算法则直接求解．（2）利用指数的性质、运算法则直接求解．【详解】解：．，．，，．【点睛】本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.已知函数，，且．1判断并证明函数的奇偶性；2求满足的实数x的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）当时x的取值范围是；当时x的取值范围是．【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意，先求出函数的定义域，进而结合函数的解析式可得f（﹣x）=﹣f（x），即可得结论；（Ⅱ）根据题意，f（x）＞0即log a（2+x）＞log a（2﹣x），分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论可得x的取值范围，综合即可得答案．【详解】解：1根据题意，，则有，解可得，则函数的定义域为，又由，则是奇函数；2由得当时，，解得；当时，，解得；当时x的取值范围是；当时x的取值范围是．【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，注意判断奇偶性要先求出函数的定义域，属于中档题．19.如图，圆柱的底面半径为，球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．(Ⅰ) 计算圆柱的表面积；(Ⅱ）计算图中圆锥、球、圆柱的体积比．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）.【解析】【分析】(1)根据圆柱侧面积加两个底面积得圆柱表面积，(2)根据圆锥、球、圆柱的体积公式计算，再求比值. 【详解】(Ⅰ)已知圆柱的底面半径为，则圆柱和圆锥的高为，圆锥和球的底面半径为，则圆柱的表面积为；(Ⅱ）由(Ⅰ)知，，【点睛】本题考查圆柱侧面积以及圆锥、球、圆柱的体积公式，考查基本求解能力.20.如图所示，在正方体中，S，E，G分别是，BC，SC的中点．求证：直线平面．求直线EG与所成角的正切值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接SB，则EG∥SB，由此能证明直线EG∥平面BDD1B1．（2）取BD的中点O，连接SO，则SO∥DD1，EG∥SB，从而∠BSO为直线EG与DD1所成角，由此能求出直线EG与DD1所成角的正切值．【详解】证明：如图，连接SB，、G分别是BC、SC的中点，∴，又平面，EG平面，直线EG∥平面解：取BD的中点O，连接SO，则，由知，则为直线EG与所成角，设，则，，，，直线EG与所成角的正切值为【点睛】本题考查线面平行的证明和线面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.我国加入WTO时，根据达成的协议，某产品的市场供应量P与市场价格x的关系近似满足其中t为关税的税率，且，x为市场价格，b、k为正常数当时的市场供应量曲线如图所示．根据图象求b、k的值当关税的税率时，求市场供应量P不低于1024时，市场价格至少为多少？【答案】（1），；（2）市场供应量P不低于1024时，市场价格至少为1024【解析】【分析】（1）根据待定系数法即可求出k，b的值，（2）根据指数函数的图象和性质可得≥10，解得即可【详解】解：由图可知，解得，解得，，由可得，设，当时，，市场供应量P不低于1024时，，解得，，解得故市场供应量P不低于1024时，市场价格至少为1024．【点睛】本题考查了指数函数在实际生活中的应用和分析问题，解决问题的能力，属于中档题．22.已知二次函数满足，且的最小值是．求的解析式；若关于x的方程在区间上有唯一实数根，求实数m的取值范围；函数，对任意，都有恒成立，求实数t的取值范围．【答案】（1）(2) （3）【解析】试题分析：（1）因，故对称轴为，故可设，再由得.（2）有唯一实数根可以转化为与有唯一的交点去考虑.（3），任意都有不等式成立等价于，分、、和四种情形讨论即可.解析：（1）因，对称轴为，设，由得，所以.（2）由方程得，即直线与函数的图象有且只有一个交点，作出函数在的图象.易得当或时函数图象与直线只有一个交点，所以的取值范围是.（3）由题意知.假设存在实数满足条件，对任意都有成立，即，故有，由.当时，在上为增函数，，所以；当时，，.即，解得，所以.当时，即解得.所以.当时，，即，所以，综上所述，，所以当时，使得对任意都有成立.点睛：（1）求二次函数的解析式，一般用待定系数法，有时也需要根据题设的特点合理假设二次函数的形式（如双根式、顶点式、一般式）；（2）不等式对任意的恒成立可以等价转化为恒成立.。
湖南省岳阳县第一中学、汨罗市一中2018-2019学年高一10月联考数学试题(解析版)
湖南省岳阳县第一中学、汨罗市一中2018-2019学年高一10月联考数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集2，3，4，，，则A. B.C. 4，D. 2，3，4，【答案】C【解析】解：根据补集的定义，是由所有属于集合U但不属于A的元素构成的集合，由已知，有且仅有2，4，5符合元素的条件．4，故选：C．根据补集的定义直接求解：是由所有属于集合U但不属于A的元素构成的集合．本题考查了补集的定义以及简单求解，属于简单题．2.函数的定义域是A. ，B.C. D.【答案】C【解析】解：由，得且．函数的定义域是．故选：C．由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0，联立不等式组求解．本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．3.设集合2，，，，则集合B的元素个数有A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】B【解析】解：由集合B的属性，，，可得出集合B中的元素有、、，共三个元素故集合B中有三个元素故选：B．根据集合B中元素的属性，列举出B中可能的元素，即可得出正确选项本题考查集合元素的属性及集合与元素的关系，属于简单题4.下列函数中，在区间内单调递减的是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，，其导数，则其在区间内单调递减，符合题意；对于B，，为二次函数，其在区间内单调递增，不符合题意；对于C，，为对数函数，在区间内单调递增，不符合题意；对于D，，为指数函数，在R上单调递增，不符合题意；故选：A．根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．本题考查函数单调性的判定，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题．5.化简得A. 6B. 2xC. 6或D. 6或2x或【答案】C【解析】解：，故选：C．化简．本题考查了指数幂的化简与运算，属于基础题．6.已知奇函数在上单调递增，则一定正确的是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：奇函数在上单调递增，在上单调递增，又，．故选：C．根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．7.函数是定义域为R的奇函数，当时，则当时A. B. C. D.【解析】解：根据题意，设，则，，又由函数是定义域为R的奇函数，则，故选：A．根据题意，设，则，由函数的解析式可得，结合函数的奇偶性可得，变形即可得答案．本题考查韩式奇偶性的性质以及应用，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．8.函数的图象可能是A. B.C. D.【答案】D【解析】解：当时，函数，为减函数，当时，函数，为增函数，且当时，即函数恒经过点，故选：D．先判断函数的单调性，再判断函数恒经过点，问题得以解决．本题主要考查了函数的图象和性质，求出函数恒经过点是关键，属于基础题．9.集合，0，，从A到B的映射f：满足，那么这样的映射f：的个数是A. 2个B. 3个C. 5个D. 8个【答案】B【解析】解：或或故选：B．利用映射的定义可得满足的有，，本题考查了映射的概念，象与原象的关系，属于对基本概念的考查，试题比较容易．10.对于函数的定义域中的任意的，，有如下的结论：；；；，当时，上述结论中正确的是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：，可得，正确；，不正确；由在R上为增函数，由单调性的定义可得正确，不正确．故选：B．由指数的运算性质可判断；由指数函数的单调性可判断．本题考查指数函数的性质，主要是单调性的判断和指数的运算性质，考查运算能力，属于基础题．11.若函数f，g分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f，则有A. fB. gC. fD. g【答案】D【解析】解：根据题意，函数，分别是R上的奇函数、偶函数，则有，，又由，则，即，联立解可得：，，，，，分析可得：；故选：D．根据题意，由结合函数的奇偶性的性质可得，变形可得，联立两个式子解可得：，，即可得，，，比较即可得答案．本题考查函数奇偶性的性质，关键是利用函数的奇偶性求出、的解析式．12.函数的图象关于直线对称，且在单调递减，，则的解集为A. B.C. D.【解析】解：由的图象关于对称，，可得，当时，，即为，由在上单调递减，可得：，解得，即有当即时，，即为，由在上单调递增，可得：，解得，即有由，可得解集为．故选：B．由对称性可得，在上单调递增，讨论，，运用单调性，解不等式，最后求并集即可得到解集．本题考查函数的单调性和对称性的运用：解不等式，主要考查单调性的定义的运用和不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若1，，则______．【答案】【解析】解：由，得，违背互异性；由，得，其中违背互异性；由，得，或，两者都违背互异性．综上可知．故答案为：．由分别等于集合中的元素列方程求解，注意用互异性检验就是了．此题考查的是元素与集合的关系，属基础题．14.在上单调递增，则实数k的取值范围是______．【答案】【解析】解：根据题意，为二次函数，其对称轴为，若在上单调递增，必有，解可得：，即k的取值范围为；故答案为：．根据题意，求出的对称轴，结合二次函数的性质分析可得，解可得k的取值范围，即可得答案．本题考查二次函数的性质，注意分析二次函数的对称轴，属于基础题．15.已知函数，则______．【答案】8【解析】解：函数，，，．故答案为：8．推导出，，由此能求出的值．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.设定义在R的函数同时满足以下条件：；；当时，则______．【答案】【解析】解：由是定义在R上的函数且，所以，又所以且，，，．故答案为：根据是定义在R上的函数且，求得，进而根据求得和的值，进而利用当时，的解析式求得的值，利用函数的周期性求得，，进而分别求得和的值代入中求得答案．本题主要考查了函数的周期性和奇偶性的应用解题的过程要特别留意函数解析式的定义域．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设集合，．当且时，求；当时，不存在元素x使与同时成立，求实数m的取值范围．【答案】解：根据题意，当且时，0，1，2，3，4，，，故A；当时，不存在元素x使与同时成立，即，当，即时，，符合题意；当，即时，，若，则有或，解可得或，又由，此时m的取值范围为，综合可得：m的取值范围为或．【解析】根据题意，分析求出A、B，由交集的定义分析可得答案；根据题意，分析可得，分2种情况讨论：当，即时，；当，即时，，分别求出m的取值范围，综合即可得答案．本题考查集合的交集计算，中注意结合交集的定义，属于基础题．18.已知函数，其中c为常数，且函数的图象过点．求c的值；判断函数的奇偶性；证明：函数在上是单调递减函数．【答案】解：，；，，的定义域为，，是奇函数；，设，则，，，，，即，函数在上是单调递减函数．【解析】由得；由的定义域为和，得是奇函数；由定义法来证明．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，根据定义法是解决本题的关键．19.已知函数，其中a，b均为实数．若函数的图象经过点，，求函数的值域；如果函数的定义域和值域都是，求的值．【答案】解：函数，其中a，b均为实数，函数的图象经过点，，，，函数，函数．又，故函数的值域为．如果函数的定义域和值域都是，若，函数为增函数，，求得a、b无解．若，函数为减函数，，求得，．【解析】由题意先求得a、b的值，可得函数的解析式，利用指数函数的性质求得函数的值域．根据函数的定义域和值域都是，求得a、b的值，可得的值．本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，指数函数的单调性与特殊点，属于基础题．20.已知函数．作出函数的图象；根据图象写出的单调增区间；方程恰有四个不同的实数根，写出实数a的取值范围．【答案】解：函数，当时，；当时，，作出的图象，如右图：的增区间为，；由图象可得可得，即有当时，和有四个交点，即方程恰有四个不同的实数根，则a的范围是．【解析】求得，时的解析式，画出函数的图象；根据图象直接写出的增区间；考虑直线平移，求得图象的顶点和与y轴的交点，即可得到所求范围．本题考查函数的图象和性质，主要是单调区间和方程根的分布，注意运用数形结合思想，考查画图和识图能力，属于基础题．21.某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本，当年产量不足80千件时，万元；当年产量不小于80千件时，万元，每件售价为万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．写出年利润万元关于年产量千件的函数解析式；年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【答案】解：每件商品售价为万元，千件商品销售额为万元，当时，根据年利润销售收入成本，；当时，根据年利润销售收入成本，综合可得，；当时，，当时，取得最大值万元；当时，，当且仅当，即时，取得最大值万元．综合，由于，年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．【解析】分两种情况进行研究，当时，投入成本为万元，根据年利润销售收入成本，列出函数关系式，当时，投入成本为，根据年利润销售收入成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当时，利用二次函数求最值，当时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．本题考查学生根据实际问题选择合适的函数类型的能力，以及运用基本不等式求最值的能力．22.已知函数在区间上有最大值4和最小值设，求a、b的值；若不等式在上有解，求实数k的取值范围．【答案】解：函数，，对称轴为，所以在区间上是先减后增，又在区间上有最大值4和最小值1．故，解得；由可得，所以在上有解，可化为在上有解．即．令，，故，记，对称轴为：，，单调递增，故当时，最大值为．所以k的取值范围是．【解析】由可知二次函数的图象是开口向上的抛物线，求出对称轴方程，根据函数在区间上有最大值4和最小值1列式求解a，b的值；利用中求出的函数解析式，把不等式在上有解转化为在上有解，分离变量k后，构造辅助函数，由k小于等于函数在上的最大值求k的取值范围，然后利用换元法化为二次函数，利用二次函数求最值．本题考查了恒成立问题，考查了二次函数的性质，训练了利用二次函数的单调性求最值，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键在于把不等式在闭区间上有解转化为分离变量后的参数k小于等于函数在闭区间上的最大值，是学生难以想到的地方，是难题．。
湖南省岳阳市第一中学2019届高三上学期第三次质检(期中)数学(理)试题(精品解析)
2018-2019学年湖南省岳阳市岳阳县一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则 A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别利用一元二次不等式的解法以及二次函数的值域化简集合，根据交集的定义可求出．【详解】集合，，则．故选C.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.．2.在复平面内，复数对应的点位于 A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简，可得复数对应坐标，从而可得答案．【详解】，复数对应的点的坐标为，位于第四象限，故选D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查复数几何意义，是基础题．解题时一定要注意应用，注意运算的准确性，否则很容易出现错误.3.执行如图所示的程序框图，则输出的的值为 A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】A【解析】【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的的值．【详解】模拟执行程序框图，第一次运行：满足条件，，；第二次运行：满足条件，，；第三次运行：满足条件，，；满足判断框的条件，继续运行，第四次运行：，，不满足判断框的条件，退出循环．故最后输出的值为4,故选A．【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4.已知命题，，命题，，则（）A. 命题是假命题B. 命题是真命题C. 命题是真命题D. 命题是假命题【答案】C【解析】当时，，，则不等式成立，即命题是真命题，当时，不成立，即命题是假命题，是真命题，所以命题是真命题，故选.5.函数的单调递增区间是 A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据，结合，解不等式即可求得答案．【详解】由得：，，所以即的单调递增区间为故选A．【点睛】本题主要考查三角函数的单调性，属于中档题.函数的单调区间的求法：若,把看作是一个整体，(1)由可求得函数的减区间；（2）由可求得增区间．6.已知，，且，则的最小值是 A. 4B. 12C. 16D. 18【答案】C【解析】【分析】变形，利用基本不等式可得结果，注意等号成立的条件．【详解】因为所以当且仅当时，取等号．即的最小值是16，故选C．【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.7.若，则（）A. B. C. 1 D.【答案】A【解析】试题分析：由，得或，所以，故选A．【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．视频8.函数为奇函数，该函数的部分图像如右图所表示，、分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为，则该函数的一条对称轴为A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：因为函数为奇函数，所以．所以函数可化为．由，设函数周期为T，可得．所以，所以函数的解析式为．．代入四个选项可得是该函数图象的一条对称轴．考点：1．函数图象的识别．2．三角函数的性质．3．解三角形的知识．9.观察，，，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则 A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由，可发现原函数都是偶函数，得到的导函数是奇函数，可归纳出偶函数的导函数为奇函数，从而可得到答案．【详解】由中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；，我们可以推断，偶函数的导函数为奇函数．若定义在上的函数满足，则函数为偶函数，又为的导函数，则奇函数，故，即，故选A．【点睛】本题考查的知识点是归纳推理，及函数奇偶性的性质，属于中档题．归纳推理的一般步骤:一、通过观察个别情况发现某些相同的性质.二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.10.已知球的半径为，三点在球的球面上，球心到平面的距离为，，, 则球的表面积为A. B. C. D.【答案】D 【解析】在中，，由正弦定理可得平面截球所得圆的半径（即的外接圆半径），又∵球心到平面的距离∴球的半径 ，故球O 的表面积故选D【点睛】本题考查的知识点是球的体积和表面积，其中根据已知条件求出球的半径是解答本题的关键．11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为 A. B. C. D. 3【答案】B 【解析】【分析】由三视图可得到几何体的直观图如图所示，平面平面，四棱锥的高为1，四边形是边长为1的正方形，分别计算各侧面积，即可得出结论．【详解】由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面平面，四棱锥的高为1，四边形是边长为1的正方形，则，，，综上可知，面积最大的侧面的面积为，故选B．【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于中档题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.12.在数列中，，，若数列满足，则数列的最大项为 A. 第5项B. 第6项C. 第7项D. 第8项【答案】B【解析】【分析】利用累加法求出数列的通项公式，可得，进一步利用，建立不等式组，从而可得结果．【详解】数列中，，，得到：，，，，上边个式子相加得：，解得：．当时，首项符合通项．故：．数列满足，则，由于，故：，解得：，由于是正整数，故．故选B．【点睛】本题主要考查递推公式求数列的通项公式、累加法的应用，数列最大项的求法，属于难题．由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）等差数列、等比数列（先根据条件判定出数列是等差、等比数列）；（2）累加法，相邻两项的差成等求和的数列可利用累加法求通项公式；（3）累乘法，相邻两项的商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项；（4）构造法，形如的递推公式，可构造等比数例，进而得出的通项公式.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知点在不等式组表示的平面区域上运动，则的最大值是______【答案】4【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：阴影部分由可得，由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大．将代入目标函数得，故答案为4．【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值．14.设，是夹角为的单位向量，，则______．【答案】【解析】【分析】将平方，利用平面向量数量积公式以及平面向量数量积的运算法则，求出的值，从而可得结果．【详解】，是夹角为的单位向量，且，则，，故答案为．【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义与运算，是基础题．向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.15.设a＞0，若a n＝且数列{a n}是递增数列，则实数a的范围是__________．【答案】2＜a＜3【解析】由{a n}是递增数列，得解得∴2＜a＜316.对于函数，若存在，使，则称点是曲线的“优美点”，已知，若曲线存在“优美点”，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】曲线存在“优美点”，等价于当时，关于原点对称的函数图象与当时的图象有交点，求得时函数关于原点对称函数的解析式，联立，解得，由基本不等式可得的范围．【详解】，若曲线存在“优美点”，等价于当时，关于原点对称的函数图象与当时的图象有交点，当时，，关于原点对称的函数解析式为，，由与联立，可得在有解，由，当且仅当时，取得等号，即有，则的取值范围是，故答案为【点睛】本题主要考查基本不等式的应用、转化与划归思想的应用，以及新定义的理解和运用，属于难题．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17.已知数列的前项和为，且，数列为等差数列，且公差，；求数列的通项公式；若成等比数列，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】由，得,两式相减，即可发现为等比数列，从而求出的通项公式；由中数列的通项公式，把，和代入，再根据等比数列的性质求出，，，，从而求得公差，得到的通项公式，然后再利用等差数列的求和公式求其前项和．【详解】由，得,相减得：，即，则,当时，，，数列是等比数列，.，，,由题意，而,设，，，，，得或舍去,故.【点睛】本题主要考查等比数列和等差数列的性质，根据数列的递推法求其通项公式，还考查了等差数列的前项的和，属于中档题．已知数列前项和，求数列通项公式，常用公式，将所给条件化为关于前项和的递推关系或是关于第项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 在利用与通项的关系求的过程中，一定要注意的情况.18.中，分别是内角所对的边，且满足．求角的值；若，边上的中线，求的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】由，根据正弦定理，两角和的正弦函数公式，化简可得，由于，可求，进而可求的值；由，结合平面向量数量积的运算可得，解得的值，根据三角形面积公式即可得结果．【详解】，由正弦定理得：，即，从而，即：，又中，，故，得.由，得：，从而或舍，故.【点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的应用，属于中档题．以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.19.设二次函数在区间上的最大值、最小值分别是，集合．（Ⅰ）若，且，求的值；（Ⅱ）若，且，记，求的最小值．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）由方程的根求出函数解析式，再利用函数的单调性求出最值；（Ⅱ）由方程有两相等实根1，求出的关系式，消去得到含有参数函数解析式，进一步求出，再由的单调性求出最小值.试题解析：（Ⅰ）由，可知1分又，故1和2是方程的两实根，所以3分解得，4分所以，当时，即5分当时，即6分（Ⅱ）由题意知方程有两相等实根1，所以，即，8分所以，其对称轴方程为，又，故9分所以，10分11分14分又在单调递增，所以当时，16分考点：二次函数的解析式、二次函数在闭区间上的最值，函数的单调性.20.如图，在中，，，分别为的中点，的延长线交于现将沿折起，折成二面角，连接．（1）求证：平面平面CBD；（2）当时，求二面角大小的余弦值．【答案】（I）证明略（II）【解析】（I）证明：在，又E是CD的中点，得AF⊥CD。
2018-2019学年岳阳县一中、汨罗一中高一数学上期中试卷及解析
岳阳县一中、汨罗一中2018-2019学年高一上期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U ={1,2，3，4，5，6}，集合P ={1,4}，Q ={3,5}，则∁U (P∪Q)=()A.{2,6}B.{2,3，5，6}C.{1,3，4，5}D.{1,2，3，4，5，6}2.函数f(x)=x 2x−2+log 3(8−2x)的定义域为()A.RB.(2,4]C.(−∞,−2)∪(2,4)D.(2,4)3.已知a =3−12，b =log 314，c =log 1314，则()A.a >b >cB.a >c >bC.c >a >bD.c >b >a4.已知幂函数y =(m 2−2m −2)x m 2+m−1在(0,+∞)单调递增，则实数m 的值为()A.−1B.3C.−1或3D.1或−35.在空间四边形ABCD 中，AC =BD ，顺次连接它的各边中点E 、F 、G 、H ，所得四边形EFGH 的形状是()A.梯形B.矩形C.正方形D.菱形6.已知函数f(x)=2x 2−mx +3在[−2,+∞)上为增函数，则实数m 的取值范围是()A.(−∞,−8]B.(−∞,−3]C.[−2,+∞)D.[13,+∞)7.方程e x −x −2=0的解的个数是A.0B.1C.2D.38.函数f(x)=log 2(−x 2+2x +3)的单调递增区间是()A.(−∞,1)B.(−3,−1)C.(−1,1)D.(1,+∞)9.有一长方体木块，其顶点为ABCD −A 1B 1C 1D 1，AB =3，BC =2，AA 1=1，一小虫从长方体木块的一顶点A 绕其表面爬行到另一顶点C 1，则小虫爬行的最短距离为()A.14 B.32 C.25 D.2610.已知函数fx 是偶函数，且在0,+∞上是增函数，若f log 2x <f1，则x 的取值范围是（）A.0,2B.0,12∪1,+∞C.12,2 D.0,1∪2,+∞11.函数f(x)=x ln|x|的图象大致为()A. B. C. D.12.已知f(x)是定义在[−1,1]上的奇函数，且f(1)=1，当a，b∈[−1,1]，且a+b≠0时，f(a)+f(b)a+b>0成立，若f(x)<m2−2am+1对任意的a∈[−1,1]恒成立，则实数m的取值范围是()A.(−∞,−2)∪{0}∪(2,+∞)B.(−∞,−2)∪(2,+∞)C.(−2,2)D.(−2,0)∪(0,2)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数y=log a(2x−1)+2的图象恒过定点P，则点P坐标为______．14.已知函数fx=log22−x,x<12x,x≥1，则f−2+f log23的值是__________．15.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x−c，则f(−2)=______16.定义区间(c,d)，[c,d)，(c,d]，[c,d]的长度均为d−c，其中d>c.已知函数y=|2x−1|的定义域为[a,b]，值域为[0,12]，则区间[a,b]长度的最大值与最小值的差______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.计算下列各式的值：(1)log327+lg25+lg4+log42；(2)已知a+a−1=5，求a2+a−2和a 12+a−12的值．18.已知函数f(x)=log a(2+x)−log a(2−x)，(a>0，且a≠1)．(1)判断并证明函数f(x)的奇偶性；(2)求满足f(x)>0的实数x的取值范围．19.如图，圆柱的底面半径为r，球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．(Ⅰ)计算圆柱的表面积；(Ⅱ）计算图中圆锥、球、圆柱的体积比．【点睛】本题考查圆柱侧面积以及圆锥、球、圆柱的体积公式，考查基本求解能力.20.如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，S，E，G分别是B1D1，BC，SC的中点．(1)求证：直线EG//平面BDD1B1．(2)求直线EG与DD1所成角的正切值．21.我国加入WTO时，根据达成的协议，某产品的市场供应量P与市场价格x的关系近似满足P(x)=2 (1−kt)(x−b)2(其中t为关税的税率，且t∈[0,12)，x为市场价格，b、k为正常数).当t=18时的市场供应量曲线如图所示．(1)根据图象求b、k的值(2)当关税的税率t=110时，求市场供应量P不低于1024时，市场价格至少为多少？22.已知二次函数f(x)满足f(0)=f(1)=1，且f(x)的最小值是34．(1)求f(x)的解析式；(2)若关于x的方程f(x)=x+m在区间(−1,2)上有唯一实数根，求实数m的取值范围；(3)函数g(x)=f(x)−(2t−1)x，对任意x1，x2∈[4,5]都有|g(x1)−g(x2)|<4恒成立，求实数t的取值范围．【解析卷】岳阳县一中、汨罗一中2018-2019学年高一上期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U={1,2，3，4，5，6}，集合P={1,4}，Q={3,5}，则∁U(P∪Q)=()A.{2,6}B.{2,3，5，6}C.{1,3，4，5}D.{1,2，3，4，5，6}【答案】A【解析】【分析】进行并集、补集的运算即可．【详解】P∪Q={1，3，4，5}；∴∁U（P∪Q）={2，6}．故选：A．【点睛】考查列举法表示集合的概念，并集、补集的运算,属于基础题.2.函数f(x)=x2x−2+log3(8−2x)的定义域为()A.RB.(2,4]C.(−∞,−2)∪(2,4)D.(2,4)【答案】D【解析】【分析】要使得f（x）有意义，显然需满足x-2>08−2x>0，这样解该不等式组即可求出f（x）的定义域．【详解】要使f （x ）有意义，则x-2>08−2x >0；解得2＜x ＜4；∴f （x ）的定义域为（2，4）．故选：D ．【点睛】本题考查函数定义域的概念及求法，对数函数的定义域，对数的真数大于0，属于基础题.3.已知a =3−12，b =log 314，c =log 1314，则()A.a >b >cB.a >c >bC.c >a >bD.c >b >a【答案】C 【解析】【分析】利用对数函数的单调性比较b 与c，再与常数0和1比较，得出结果.【详解】因为c =log 1314=log34>1>0>log 314且0<a =3−12<30=1所以c >a >b故选：C【点睛】本题考查的是利用对数函数的单调性比较b 与c，再与常数0和1比较大小，这是常用的方法.4.已知幂函数y =(m 2−2m −2)x m 2+m−1在(0,+∞)单调递增，则实数m 的值为()A.−1B.3C.−1或3D.1或−3【答案】B 【解析】【分析】根据幂函数的定义与性质，列方程求出m 的值，再判断m 是否满足条件．【详解】幂函数y=(m 2−2m −2)x m 2+m−1在（0，+∞）单调递增，∴m 2﹣2m ﹣2=1，解得m=3或m=﹣1；又m 2+m ﹣1＞0，∴m=3时满足条件，则实数m的值为3．故选：B．【点睛】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．5.在空间四边形ABCD中，AC=BD，顺次连接它的各边中点E、F、G、H，所得四边形EFGH的形状是()A.梯形B.矩形C.正方形D.菱形【答案】D【解析】【分析】作出如图的空间四边形，连接AC，BD可得一个三棱锥，将四个中点连接，得到一个四边形，可证明其是一个菱形．【详解】如图所示，空间四边形ABCD中，连接AC，BD可得一个三棱锥，将四个中点连接，得到四边形EFGH，由中位线的性质知，EH∥FG，EF∥HG；∴四边形EFGH是平行四边形，又AC=BD，∴HG=12AC=12BD=EH，∴四边形EFGH是菱形．故选：D．【点睛】本题考查了空间中直线与直线位置关系的应用问题，也考查了线线平行、中位线的性质应用问题，是基础题．6.已知函数f(x)=2x2−mx+3在[−2,+∞)上为增函数，则实数m的取值范围是()A.(−∞,−8]B.(−∞,−3]C.[−2,+∞)D.[13,+∞)【答案】A 【解析】【分析】若函数f（x）=2x2﹣mx+3在[﹣2，+∞）上为增函数，则m4≤−2，解得答案．【详解】若函数f（x）=2x2﹣mx+3在[﹣2，+∞）上为增函数，则m4≤−2，解得：m∈（﹣∞，﹣8]，故选：A．【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．7.方程e x−x−2=0的解的个数是A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】方程e x−x−2=0的解的个数等于函数y=e x和y=x+2图像交点的个数，如图所示，可知函数y=e x和y=x+2图像有两个交点．8.函数f(x)=log2(−x2+2x+3)的单调递增区间是()A.(−∞,1)B.(−3,−1)C.(−1,1)D.(1,+∞)【答案】C【解析】【分析】先求对数函数的定义域，再求t=﹣x2+2x+3在定义域内的增区间，再利用二次函数得性质得出结论．【详解】由函数f（x）=log2（﹣x2+2x+3），可得﹣x2+2x+3＞0，求得﹣1＜x＜3，故函数的定义域为{x|﹣1＜x＜3}．函数f（x）=log2（﹣x2+2x+3）的单调递增区间，即t=﹣x2+2x+3在定义域内的增区间．而t=﹣x2+2x+3在定义域内的增区间为（﹣1，1），故选：C．【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，属于中档题．9.有一长方体木块，其顶点为ABCD−A1B1C1D1，AB=3，BC=2，AA1=1，一小虫从长方体木块的一顶点A 绕其表面爬行到另一顶点C1，则小虫爬行的最短距离为()A.14B.32C.25D.26【答案】B【解析】【分析】分三种情况，将两个平面展成一个平面后，对角线长最短，比较谁更小，即可．【详解】分三种情况：①当小虫沿表面经过棱BB1时，将平面A1ABB1和平面B1BCC1展成一个平面，则小虫沿对角线AC1爬，最短．此时最短距离为25+1=26；②当小虫沿着表面经过棱A1B1时，将平面A1ABB1和平面A1B1C1D1展成一个平面，则小虫沿对角线AC爬，最短距离为：32；③当小虫沿着表面经过棱BC时，将平面ABCD和平面1BBCC1展成一个平面，则小虫沿对角线AC1爬，最短距离为：25，比较26,32,25的大小可知，32最小．故选：B．【点睛】本题考查了多面体和旋转体表面上的最短距离，把两个平面展开成一个平面．属中档题．10.已知函数fx是偶函数，且在0,+∞上是增函数，若f log2x<f1，则x的取值范围是（）A.0,2B.0,12∪1,+∞ C.12,2 D.0,1∪2,+∞【答案】C【解析】由偶函数的性质可得不等式即：f log2x<f1，结合fx在0,+∞上是增函数脱去f符号可得：log2x<1,∴−1<log2x<1，求解对数不等式可得：12<x<2，表示为区间形式即12,2.本题选择C选项.点睛：对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．11.函数f(x)=x ln|x|的图象大致为()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据条件判断函数的奇偶性，结合图象对称关系进行排除，然后利用特殊值的符号是否对应进行判断即可．【详解】f（﹣x）=﹣xln|﹣x|=﹣xlnx=﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除B，D，当x=12时，f（12）=12ln|12|=12ln12＜0，排除C，故选：A．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和特殊值的符号的对应性是否一致进行排除是解决本题的关键．12.已知f(x)是定义在[−1,1]上的奇函数，且f(1)=1，当a，b∈[−1,1]，且a+b≠0时，f(a)+f(b)a+b>0成立，若f(x)<m2−2am+1对任意的a∈[−1,1]恒成立，则实数m的取值范围是()A.(−∞,−2)∪{0}∪(2,+∞)B.(−∞,−2)∪(2,+∞)C.(−2,2)D.(−2,0)∪(0,2)【答案】B【解析】【分析】先利用函数的奇偶性将已知不等式化为：a，b∈[﹣1，1]时，且a≠﹣b时，f(a)+f(b)a+b>0成立，根据增函数定义得函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，从而求得最大值为f（1）=1，然后将已知不等式先对x恒成立，再对a恒成立，就可以求出m的范围．【详解】∵f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，∴当a，b∈[﹣1，1]，且a≠﹣b时，有f(a)+f(b)a+b=f(a)−f(−b)a−(−b)>0成立，∴f（x）是定义在[﹣1，1]上的增函数，∴f（x）max=f（1）=1，∴f（x）＜m2﹣2am+1对任意的x∈[﹣1，1]恒成立⇔f（x）max＜m2﹣2am+1，∴1＜m2﹣2am+1，即2am﹣m2＜0对任意的a∈[﹣1，1]恒成立．令g（a）=2am﹣m2，则2am﹣m2＜0对任意的a∈[﹣1，1]恒成立转化为：g(−1)>0g(1)>0解得：m＜﹣2或m＞2．故选：B．【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单点调性、含三个变量的不等式对2个变量恒成立求第三个变量取值范围的问题．解决办法是按顺序先对一个字母恒成立，转化为最值，再对另一个字母恒成立，转化为最值即可．属难题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数y=log a(2x−1)+2的图象恒过定点P，则点P坐标为______．【答案】(1,2)【解析】【分析】令对数的真数等于1，求得x、y的值，可得对数函数的图象经过的定点的坐标．【详解】函数y=log a（2x﹣1）+2，令2x﹣1=1，求得x=1，y=2，可得函数y=log a（2x﹣1）+2的图象恒过定点P（1，2），故答案为：（1，2）．【点睛】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，属于基础题．14.已知函数fx=log22−x,x<12x,x≥1，则f−2+f log23的值是__________．【答案】5【解析】由题意，得f−2=log24=2，f log23=2log23=3，则f−2+f log23=5.15.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x−c，则f(−2)=______【答案】−3【解析】【分析】根据题意，由函数为奇函数可得f（0）=0可求c，根据所求函数解析式可先求f（2），再根据f（﹣2）=﹣f（2）即可求解．【详解】根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时，f（x）=2x﹣c，∴f（0）=1﹣c=0，∴c=1，又由当x≥0时，f（x）=2x﹣1，∴f（2）=3，又由函数为奇函数，则f（﹣2）=﹣f（2）=﹣3，故答案为：﹣3．【点睛】本题考查函数奇偶性的性质，关键是充分利用奇函数的性质．16.定义区间(c,d)，[c,d)，(c,d]，[c,d]的长度均为d−c，其中d>c.已知函数y=|2x−1|的定义域为[a,b]，值域为[0,12]，则区间[a,b]长度的最大值与最小值的差______．【答案】1【解析】【分析】函数的图象，如图所示，y=|2x﹣1|=12，x=﹣1或log232，求出区间[a，b]长度的最大值与最小值，即可得出结论．【详解】函数的图象，如图所示，y=|2x﹣1|=12，x=﹣1或log232，故[a，b]的长度的最大值为log232﹣（﹣1）=log232+1，最小值为log232﹣0=log232，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为1，故答案为:1．【点睛】考查学生理解掌握指数函数定义域和值域的能力，运用指数函数图象增减性解决数学问题的能力．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.计算下列各式的值：(1)log327+lg25+lg4+log42；(2)已知a+a−1=5，求a2+a−2和a 12+a−12的值．【答案】（1）112；（2）7【解析】【分析】(1）利用对数的性质、运算法则直接求解．（2）利用指数的性质、运算法则直接求解．【详解】解：(1)log327+lg25+lg4+log42=3+lg100+12=3+2+12=112．(2)∵a+a−1=5，∴a2+a−2=(a+a−1)2−2=25−2=23．∵(a 12+a−12)2=a+a−1+2=5+2=7，∵a 12+a −12>0，∴a 12+a −12=7．【点睛】本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.已知函数f(x)=log a (2+x)−log a (2−x)，(a >0，且a ≠1)．(1)判断并证明函数f(x)的奇偶性；(2)求满足f(x)>0的实数x 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）当a >1时x 的取值范围是(0,2)；当0<a <1时x 的取值范围是(−2,0)．【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意，先求出函数的定义域，进而结合函数的解析式可得f （﹣x ）=﹣f （x ），即可得结论；（Ⅱ）根据题意，f （x ）＞0即log a （2+x ）＞log a （2﹣x ），分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论可得x 的取值范围，综合即可得答案．【详解】解：(1)根据题意，f(x)=log a (2+x)−log a (2−x)，则有2−x >02+x>0，解可得−2<x <2，则函数的定义域为(−2,2)，又由f(−x)=log a (2−x)−log a (2+x)=−f(x)，则f(x)是奇函数；(2)由f(x)>0得log a (2+x)>log a (2−x)①当a >1时，2+x >2−x −2<x<2，解得0<x <2；②当0<a <1时，2+x <2−x −2<x<2，解得−2<x <0；当a >1时x 的取值范围是(0,2)；当0<a <1时x 的取值范围是(−2,0)．【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，注意判断奇偶性要先求出函数的定义域，属于中档题．19.如图，圆柱的底面半径为r ，球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．(Ⅰ)计算圆柱的表面积；(Ⅱ）计算图中圆锥、球、圆柱的体积比．【答案】(Ⅰ)6πr2；（Ⅱ）1：2：3.【解析】【分析】(1)根据圆柱侧面积加两个底面积得圆柱表面积，(2)根据圆锥、球、圆柱的体积公式计算，再求比值.【详解】(Ⅰ)已知圆柱的底面半径为r，则圆柱和圆锥的高为h=2r，圆锥和球的底面半径为r，则圆柱的表面积为S圆柱表=2×πr2+4πr2=6πr2；(Ⅱ）由(Ⅰ)知V圆锥=13πr2×2r=23πr3，V圆柱=πr2×2r=2πr3，V球=43πr3V圆锥：V球：V圆柱=23πr3：43πr3：2πr3=1：2：3【点睛】本题考查圆柱侧面积以及圆锥、球、圆柱的体积公式，考查基本求解能力. 20.如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，S，E，G分别是B1D1，BC，SC的中点．(1)求证：直线EG//平面BDD1B1．(2)求直线EG与DD1所成角的正切值．【答案】（1）见解析；（2）2 2【解析】【分析】（1）连接SB，则EG∥SB，由此能证明直线EG∥平面BDD1B1．（2）取BD的中点O，连接SO，则SO∥DD1，EG∥SB，从而∠BSO为直线EG与DD1所成角，由此能求出直线EG与DD1所成角的正切值．【详解】证明：(1)如图，连接SB，∵E、G分别是BC、SC的中点，∴EG//SB，又SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，∴直线EG∥平面BDD1B1.解：(2)取BD的中点O，连接SO，则SO//DD1，由(1)知EG//SB，则∠BSO为直线EG与DD1所成角，设AB=a，则SO=a，BD=2a，BO=22a，∴tan∠BSO=22，∴直线EG与DD1所成角的正切值为22.【点睛】本题考查线面平行的证明和线面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.我国加入WTO时，根据达成的协议，某产品的市场供应量P与市场价格x的关系近似满足P(x)=2 (1−kt)(x−b)2(其中t为关税的税率，且t∈[0,12)，x为市场价格，b、k为正常数).当t=18时的市场供应量曲线如图所示．(1)根据图象求b、k的值(2)当关税的税率t=110时，求市场供应量P不低于1024时，市场价格至少为多少？【答案】（1）k=6，b=5；（2）市场供应量P不低于1024时，市场价格至少为1024【解析】【分析】（1）根据待定系数法即可求出k，b的值，（2）根据指数函数的图象和性质可得25(x−5)2≥10，解得即可【详解】解：(1)由图可知，解得2(1−k8)(5−b)2=12(1−k8)(7−b)2=2，解得k=6，b=5，(2)由(1)可得P(x)=2 (1−6t)(x−5)2，设m=(1−6t)(x−5)2，当t=110时，m=25(x−5)2，∵市场供应量P不低于1024时，∴2m≥1024，解得m≥10，∴25(x−5)2≥10，解得x≥10故市场供应量P不低于1024时，市场价格至少为1024．【点睛】本题考查了指数函数在实际生活中的应用和分析问题，解决问题的能力，属于中档题．22.已知二次函数f(x)满足f(0)=f(1)=1，且f(x)的最小值是34．(1)求f(x)的解析式；(2)若关于x的方程f(x)=x+m在区间(−1,2)上有唯一实数根，求实数m的取值范围；(3)函数g(x)=f(x)−(2t−1)x，对任意x1，x2∈[4,5]都有|g(x1)−g(x2)|<4恒成立，求实数t的取值范围．【答案】（1）fx=x2−x+1(2)0∪1,4（3）52<t<132【解析】试题分析：（1）因f0=f1，故对称轴为x=12，故可设fx=ax−122+34，再由f1=1得a=1.（2）fx=x+m有唯一实数根可以转化为y=m与y=f(x)−x有唯一的交点去考虑.（3）gx=x2−2tx+1，任意x1,x2∈4,5都有不等式gx1−gx2<4成立等价于fx max−fx min<4，分t≤4、4<t≤92、92<t≤5和t>5四种情形讨论即可.解析：（1）因f0=f1，对称轴为x=12，设fx=ax−122+34，由f0=1得a=1，所以fx=x2−x+1.（2）由方程fx=x+m得m=x2−2x+1，即直线y=m与函数y=x2−2x+1,x∈−1,2的图象有且只有一个交点，作出函数y=x2−2x+1在x∈−1,2的图象.易得当m=0或m∈1,4时函数图象与直线y=m只有一个交点，所以m的取值范围是0∪1,4.（3）由题意知gx=x2−2tx+1.假设存在实数t满足条件，对任意x1,x2∈4,5都有gx1−gx2<4成立，即gx1−gx2max<4，故有gx max−gx min<4，由gx=x−t2−t2+1,x∈4,5.当t≤4时，gx在4,5上为增函数gx max−gx min=g5−g4<4，t>52，所以52<t≤4；当4<t≤92时，gx max−gx min=g5−gt<4，25−10t+1−t2+2t2−1<4.即t2−10t+21<0，解得3<t<7，所以4<t≤92.当92<t≤5时，gx max−gx min=g4−gt<4即t2−8t+12<0解得2<t<6.所以92<t≤5.当t>5时，gx max−gx min=g5−g4<4，即t<132，所以5<t<132，综上所述，52<t<132，所以当52<t<132时，使得对任意x1,x2∈4,5都有gx1−gx2<4成立.点睛：（1）求二次函数的解析式，一般用待定系数法，有时也需要根据题设的特点合理假设二次函数的形式（如双根式、顶点式、一般式）；（2）不等式fx1−fx2≤M对任意的x∈a,b恒成立可以等价转化为f(x)max−f(x)min≤M恒成立.。
湖南省岳阳县第一中学、汨罗市一中2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)
2018-2019学年湖南省岳阳市岳阳县一中、汨罗一中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，0，1，2，3，，，则下列结论成立的是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：0，1，2，3，，，．故选：D．利用集合的交集运算可得结论．本题考查集合的包含关系判断及应用，考查集合的运算，属于基础题．2.方程表示圆心为，半径为1的圆，则a、b、c的值依次为A. ，，4B. 2，，4C. 2，，D. ，4，【答案】B【解析】解：根据题意，方程表示圆心为，半径为1的圆，则，解可得：，，，故选：B．根据题意，由圆的一般方程分析可得，解可得a、b、c的值，即可得答案．本题考查圆的一般方程，注意由圆的一般方程求圆心坐标、半径的方法，属于基础题．3.已知则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，，，．故选：D．由，，，能比较a，b，c的大小关系．本题考查对数值大小的比较，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．4.下列函数中，既是奇函数又是减函数的是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，，是幂函数，在R上是奇减函数，但在R上为增函数，不符合题意；对于B，，是反比例函数，不是减函数，不符合题意；对于C，，是奇函数，在不是减函数，不符合题意；对于D，，既是奇函数又是减函数，符合题意；故选：D．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的单调性、奇偶性．5.已知m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，下面四个结论中正确的是A. 若，，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】解：由m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，知：在A中，若，，，则与相交或平行，故A错误；在B中，若，，则n与相交、平行或，故B错误；在C中，若，，则与相交或平行，故C错误；在D中，若，，则由面面平行的判定定理得，故D正确．故选：D．在A中，与相交或平行；在B中，n与相交、平行或；在C中，与相交或平行；在D中，由面面平行的判定定理得．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．6.函数的图象大致为A. B.C. D.【答案】A【解析】解：，为偶函数，的图象关于y轴对称，故排除B，C，当时，，故排除D，或者根据，当时，为增函数，故排除D，故选：A．先求出函数为偶函数，再根据函数值的变化趋势或函数的单调性即可判断．本题考查了函数图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数的单调性和函数值的变化趋势，属于基础题．7.函数的单调递减区间是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：根据题意，根据题意，函数，有，解可得，即函数的定义域为；则，令，，则，则，为增函数，若函数为减函数，则为减函数，其对称轴为，则其递减区间为；则函数函数的单调递减区间是；故选：C．根据题意，先由函数的解析式求出函数的定义域，令，则；由复合函数单调性的判定方法分析可得：若函数为减函数，则为减函数，由二次函数的性质分析的递减区间，即可得答案．本题考查复合函数的单调性的判定以及单调区间的计算，注意函数的定义域，属于基础题．8.一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中A.B. AB与CD相交C.D. AB与CD所成的角为【答案】D【解析】解：一个正方体的展开图如右图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，还原成正方体如下图，，是AB与CD所成角，，，在原来的正方体中AB与CD所成的角为．故选：D．还原成正方体，能推导出在原来的正方体中AB与CD所成的角为．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.已知空间四边形ABCD中，M、N分别为AB、CD的中点，则判断：；；；其中正确的是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：如图，取BC中点P，连接PM，PN，MN，，N 分别为AB ，CD 的中点，，，在 中， ， ．正确的判断是 ． 故选：B ．取BC 中点P ，构建三角形PMN ，利用三角形三边关系判断MN 与的大小． 本题考查命题的真假判断与应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．10. 过原点的直线l 与圆C ： 相交于A 、B 两点，若三角形ABC 为正三角形，则直线l 的斜率为A.B.C.D.【答案】C【解析】解：根据题意，圆C ： 即 ，圆心C 为 ，半径 ， 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为 ，即 ， 若直线l 与圆C 相交于A 、B 两点且三角形ABC 为正三角形， 则圆心C 到直线l 的距离 ，则有， 解可得：；故选：C ．根据题意，分析圆C 的圆心与半径，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为 ，即 ，由等边三角形的性质分析可得圆心C 到直线l 的距离 ，则有 ，解可得k 的值，即可得答案． 本题考查直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式，属于基础题．11. 已知函数，则使函数 有零点的实数m 的取值范围是A.B.C. ，D. ，【答案】D【解析】解：函数 的零点就是方程 的根，作出 当 时当 时的图象， 观察它与直线 的交点，得知当 时，或 时有交点， 即函数 有零点． 故选：D ．作出函数的图象并根据图象的交点及函数零点的判定定理即可得出．数形结合并掌握函数零点的判定定理是解题的关键．12.已知的顶点，AB边上的中线CM所在的直线方程为，的平分线BH所在直线方程为，则直线BC的方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：：由题意可知，点B在角平分线上，可设点B的坐标是，则AB的中点在直线CM上，，解得：，故点．设A关于的对称点为，则有，，即则由在直线BC上，可得BC的方程为，即，即，故选：A．先设出B的坐标，代入直线CM，求出m的值，从而求出B的坐标即可，设出A关于的对称点，表示出的方程，即BC的方程，整理即可．本题主要考查点关于直线对称的性质，三角形的中线、高线的性质，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数且的图象必经过点______．【答案】【解析】解：对于函数且，令，求得，，可得它的图象经过定点，故答案为：．令指数等于零，求得x、y的值，可得指数函数的图象经过定点的坐标．本题主要考查指数函数的图象经过定点问题，属于基础题．14.直线与圆相交于点A，B，则弦AB的长为______．【答案】【解析】解：圆的圆心到直线的距离，圆半径，弦的长：．故答案为：．求出圆的圆心到直线的距离d，圆半径，利用勾股定理即可求出弦的长．本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的应用，是基础题．15.已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为，则该直四棱柱的侧面积为______．【答案】【解析】解：如图所示，直四棱柱底面ABCD是边长为2的菱形，侧面对角线的长为，侧棱长为；该直四棱柱的侧面积为．故答案为：．根据题意画出图形，结合图形求出侧棱长，再计算四棱柱的侧面积．本题考查了空间几何体的性质与面积的计算问题，是基础题．16.若函数在区间内不单调，则实数m的取值范围是______【答案】【解析】解：根据题意，，其导数，分析可得：在上，，函数为减函数，在上，，函数为增函数，则函数的极值点为，若函数在区间内不单调，必有且，解可得：，即m的取值范围为；故答案为：．根据题意，求出函数的导数，分析导函数的符号，由函数的导数与函数单调性的关系分析可得函数单调区间，进而可得且，解可得m的取值范围，即可得答案．本题考查函数单调性的判定以及单调性区间的求法，注意分析函数的单调性．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.化简与求值：；已知定义域为R的函数是奇函数，求使不等式成立的x取值范围．【答案】解：原式；是R上的奇函数；；解得；；由得，；解得；的取值范围为．【解析】进行分数指数幂和对数式的运算即可；根据为R上的奇函数，即可得出，从而求出，从而得出，由即可得出，解该不等式即可．考查分数指数幂和对数式的运算，奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0，以及指数函数的单调性．18.已知两条直线：，：，求满足下列条件的a，b值．Ⅰ且过点；Ⅱ且原点到这两直线的距离相等．【答案】解Ⅰ，又过点，则联立可得，，分Ⅱ依题意有，，且，解得，或分【解析】Ⅰ通过的充要条件得到关系式，过点得到方程，然后求出a，b的值；Ⅱ利用得到，通过原点到这两直线的距离相等即可求出a，b．本题是中档题，考查直线与直线的位置关系，平行与垂直的条件的应用，考查计算能力．19.如图，三棱柱中，侧棱垂直底面，，，D是棱的中点．Ⅰ证明：平面BDCⅡ平面分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比Ⅲ画出平面与平面ABC的交线．【答案】Ⅰ证明：由题设知，，，平面，又平面，，由题设知，，即，又，平面BDC，又平面，故平面平面BDC．Ⅱ解：设棱锥的体积为，，由题意得，又三棱锥的体积，：：1，平面分此棱柱所得两部分的体积的比为1：1．Ⅲ解：延长D、CA，交于点E，连结BE，直线BE就是平面与平面ABC的交线．【解析】Ⅰ由题设知，，从而平面，进而，由此能证明平面平面BDC．Ⅱ设棱锥的体积为，，由题意得，由此能示出平面分此棱柱所得两部分的体积的比．Ⅲ延长D、CA，交于点E，连结BE，直线BE就是平面与平面ABC的交线．本题考查直线与平面垂直的证明，考查面棱柱得到两部分体积的比的求法，考查平面与平面的交线的画法解题时要注意空间思维能力的培养．20.国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验》国家标准新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克百毫升，小于80毫克百毫升为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克百毫升为醉酒驾车经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如图：该函数近似模型如下：又已知刚好过1小时时测得酒精含量值为毫克百毫升根据上述条件，回答以下问题：试计算喝1瓶啤酒多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？试计算喝一瓶啤酒后多少小时后才可以驾车？时间以整小时计算参考数据：，，，【答案】解：由图可知，当函数取得最大值时，；此时，分又，所以，解得；分所以，当时，函数取得最大值为，故喝一瓶啤酒小时血液中的酒精含量达到最大值毫克百毫升；分由题意知，当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克百毫升时可以驾车，此时；由，得，分两边取自然对数，得，分即，所以；分故喝啤酒后需6个小时后才可以合法驾车分注：如果根据图象猜6个小时，可给结果分分．【解析】由图知函数取得最大值时对应的解析式，代入求得的解析式，再计算的最大值；由题意列不等式求出x的取值范围，即可得出结论注：如果根据图象猜出正确答案，可给结果分．本题考查了分段函数模型应用问题，是中档题．21.在平面直角坐标系xOy中，点，直线l：，设圆C的半径为1，圆心C在直线l上．过点A作圆C的切线AP且P为切点，当切线AP最短时，求圆C的标准方程；若圆C上存在点M，使，求圆心C的横坐标a的取值范围．【答案】解：根据题意，点A作圆C的切线AP且P为切点，则，则要使切线AP最短，则只要线段AC最短，又圆心C在直线l上，所以直线AC与l垂直，直线AC的方程为：，由和得C的坐标为；故所求圆C的标准方程为；动圆C的坐标为，半径为1设，则得化简整理成，点M在以为圆心2为半径的圆上，又点M在圆C上，所以两圆必有交点；故有解得所以圆心C的横坐标a的取值范围为．【解析】根据题意，分析可得要使切线AP最短，则只要线段AC最短，又圆心C在直线l上，分析可得直线AC的方程，求出两直线的交点，即可得圆心的坐标，分析可得答案；设，有得，化简整理成，分析可得两圆必有交点；据此可得，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查直线与圆的方程，涉及直线与圆的位置关系，属于综合题．22.已知，当时，求函数在上的最大值；对任意的，，都有成立，求实数a的取值范围．【答案】解：当时，，结合图象可知，函数在上是增函数，在为减函数，在上为增函数，，，函数在上的最大值为，，，由题意可得成立，当时，即时，函数在上为增函数，，，从而，解得，故，，由得，解得，或舍去，当时，即，此时，，从而成立，故，当时，即，此时，，从而成立，故，综上所述a的取值范围【解析】化为分段函数，画出图象，根据图象可求出最大值，化为分段函数，画出图象，即对任意的，，都有成立转化为成立，分类讨论即可求出a的范围本题考查了函数恒成立的问题，以及分段函数的问题，考查了转化能力和运算能力以及分类讨论的能力，属于难题。
湖南省岳阳县第一中学2019届高三上学期期中数学(文)试卷(含答案)-最新
2018年下学期岳阳县一中高三第三次阶段考试试卷数学（文科）一．选择题（共12小题）1．集合A={x|y=ln （x ﹣1）}，集合B={x|﹣1＜x ＜2}，则（R C A ）∩B= （ B ） A ．（﹣1，1）B ．（﹣1，1]C ．（﹣1，2）D ．（1，2）2．已知条件p ：2x x 0-<，条件q ：x 10x 1+≤-，则p 是q 成立的 （ A ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.0.4 1.90.4a 1.9,b log 1.9,c 0.4===已知，则 （ C ）A ．a ＞b ＞cB ．b ＞c ＞aC ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b4．已知向量()()()a 3,1,b 0,1,c k,3==-=，若()a 2bc -⊥，则k 等于（ C ）A ．B ．2C ．﹣3D ．1※5．已知α为第二象限的角，且tan α=﹣34，则sin α+cos α= （ C ） A ．﹣75B ．﹣34 C ．﹣15D ．156．已知函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π），函数的最大值是2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，且f （x ）的图象关于直线x=6π对称，则下列判断正确的是 （ D ） A ．要得到函数f （x ）的图象，只需将y=2cos2x 的图象向左平移12π个单位B ．x ∈[,66ππ-]时，函数f （x ）的最小值是﹣2 C ．函数f （x ）的图象关于直线x=﹣712π对称 D ．函数f （x ）在[23π，π]上单调递增 【分析】由题意可求A ，f （x ）的周期T ，利用周期公式可求ω，利用正弦函数的对称性可求φ，可得f （x ）的解析式，利用正弦函数的图象和性质逐一分析各个选项即可判断求解．【解答】解：∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜），函数的最大值是2，∴A=2，∵其图象相邻两条对称轴之间的距离为，∴T==π，解得：ω=2，∵f（x）的图象关于直线x=对称，∴2×+φ=kπ+，k∈Z，解得：φ=kπ+，k∈Z，又∵|φ|＜，解得：φ=．可得：f（x）=2sin（2x+）．对于A，将y=2cos2x的图象向左平移个单位，可得：y=2cos[2（x+）]=2cos（2x+）的图象，故错误；对于B，x∈[﹣，]时，2x+∈[﹣，]，可得f（x）=2sin（2x+）∈[﹣1，2]，故错误；对于C，由于2sin[2×（﹣）+]=﹣2sinπ=0≠±2，故错误；对于D，由x∈[，π]，可得：2x+∈[，]，由正弦函数的图象和性质可得函数f（x）在[，π]上单调递增，故正确．故选：D．7．中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么最小的儿子分到的绵是（ B ）A．167斤 B．184斤 C．191斤 D．201斤【分析】由题意可知，数列为等差数列，公差为d=17，n=8，S8=996，以第1个儿子为首项，即可求出答案．【解答】解：由题意可知，数列为等差数列，公差为d=17，n=8，S8=996，以第最大的儿子为首项，∴8a 1+×17=996，解得a 1=65，所以8a 184 故选：B ．8．执行如图程序框图，则输出结果为 （ C ）A ．20200B ．﹣5268.5C ．5050D ．﹣5151【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S=（﹣1）1×12+（﹣1）2×22+（﹣1）3×32+…+（﹣1）100×1002的值，由于S=（﹣1）1×12+（﹣1）2×22+（﹣1）3×32+…+（﹣1）100×100 =（22﹣12）+（42﹣32）+…（1002﹣992）=3+7+11+…+199==5050．故选：C ．9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ B ）A ．B ．C ．D ．8【分析】由三视图知该几何体是四棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是四棱锥，且底面是边长为2和4的长方形，由侧视图是等腰直角三角形， 直角边长为2，∴该几何体的体积V==，故选：B ．【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力． 10．已知函数f （x ）=asinx+bcosx （x ∈R ），若x=x 0是函数f （x ）的一条对称轴，且tanx 0=2，则点（a ，b ）所在的直线为 （ A ） A ．x ﹣2y=0B ．x+2y=0C ．2x ﹣y=0D ．2x+y=0 【解答】解：f （x ）=asinx+bcosx=（sinx+cosx ），令sin α=，则cos α=，即tan α=，则f （x ）=cos （x ﹣α），由x ﹣α=k π，得x=α+k π，k ∈Z ， 即函数的对称轴为x=α+k π，k ∈Z ， ∵x=x 0是函数f （x ）的一条对称轴，∴x 0=α+k π，则tanx 0=tan α==2，即a=2b ， 即a ﹣2b=0，则点（a ，b ）所在的直线为x ﹣2y=0， 故选：A ．11．若()f x 为奇函数，且0x 是()xy f x e =-的一个零点，则下列函数中，0x -一定是其零点的函数是 （ B ） A ．()xy f x e1-=-⋅-B ．()x y f x e 1=⋅+C ．()x y f x e 1=⋅-D ．()xy f x e 1=-⋅+【解析】由题意可得()00e 0x f x -=，所以()e 0x f x ---=的一个根为0x -，方程可变形为()e 10x f x --=，又因为()f x 为奇函数，所以()e 10x f x --=，即()e 10xf x +=有一个零点为0x -.选B.【点评】本题考查了等差数列的求和公式的应用．12．若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称(P ，Q )是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”(点组(P ，Q )与(Q ，P )看作同一个“伙伴点组”).已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx －1，x >0，－ln （－x ），x <0有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是( B ) A.(－∞，0) B.(0，1) C.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D.(0，＋∞)【解析】依题意，“伙伴点组”的点满足：都在y ＝f (x )的图象上，且关于坐标原点对称. 可作出函数y ＝－ln(－x )(x <0)关于原点对称的函数y ＝ln x (x >0)的图象， 使它与直线y ＝kx －1(x >0)的交点个数为2即可.当直线y ＝kx －1与y ＝ln x 的图象相切时，设切点为(m ，ln m )， 又y ＝ln x 的导数为y ′＝1x，则km －1＝ln m ，k ＝1m，解得m ＝1，k ＝1，可得函数y ＝ln x (x >0)的图象过(0，－1)点的切线的斜率为1， 结合图象可知k ∈(0，1)时两函数图象有两个交点. 二．填空题（共4小题） 13．复数2iz 1i=+（i 为虚数单位）的虚部为 1 ． ※14．若x ，y 满足约束条件2x y 0x y 3x 0-≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则z 2x y =+的最大值是 4 ．15．数列{a n }满足()*113n n n n a a a a n N ++-=∈, 数列{b n }满足1n nb a =，且b 1+b 2+…b 9=90，则b 4•b 6= 91．【解析】数列{a n }满足()*113n n n n a a a a n N ++-=∈， 可得11n a +﹣1na =3， 数列{b n }满足b n=1na ， 可得{b n }为公差为3的等差数列， 由b 1+b 2+…b 9=90，可得 9b 1+8*92×3=90， 解得b 1=﹣2，[来源:学#科#网]则b 4•b 6=（﹣2+3×3）×（﹣2+5×3）=91． 故答案为：91．16．四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a ，则该四面体体积的最大值为a 3．【解答】解：如图所示，在四面体ABCD 中，若AB=BC=CD=AC=BD=a ，AD=x ，取AD 的中点P ，BC 的中点E ，连接BP ，EP ，CP ， 易证AD ⊥平面BPC ，所以V A ﹣BCD=S △BPC ×AD=×x=×=×≤a 3，当且仅当，即x=时取等号．故答案为：a 3，三．解答题（本大题共6小题，满分70分）17．设f （x ）=log a （1+x ）+log a （3﹣x ）（a ＞0，a ≠1），且f （1）=2． （1）求a 的值及f （x ）的定义域．（2）求f （x ）在区间[0，]上的值域．【分析】（1）由f （1）=2求得a 的值，由对数的真数大于0求得f （x ）的定义域； （2）判定f （x ）在（﹣1，3）上的增减性，求出f （x ）在[0，]上的最值，即得值域． 【解答】解：（1）∵f （x ）=log a （1+x ）+log a （3﹣x ）， ∴f （1）=log a 2+log a 2=log a 4=2，∴a=2； 又∵，∴x ∈（﹣1，3），∴f （x ）的定义域为（﹣1，3）．（2）∵f （x ）=log 2（1+x ）+log 2（3﹣x ）=log 2[（1+x ）（3﹣x ）]=log 2[﹣（x ﹣1）2+4]， ∴当x ∈（﹣1，1]时，f （x ）是增函数； 当x ∈（1，3）时，f （x ）是减函数，∴f （x ）在[0，]上的最大值是f （1）=log 24=2； 又∵f （0）=log 23，f （）=log 2=﹣2+log 215，∴f （0）＜f （）；∴f （x ）在[0，]上的最小值是f （0）=log 23； ∴f （x ）在区间[0，]上的值域是[log 23，2]．【点评】本题考查了求函数的定义域和值域的问题，利用对数函数的真数大于0可求得定义域，利用函数的单调性可求得值域．18．（本小题满分12分）如图，a ，b ，c 分别是锐角△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，，sin 4BAC 5∠=． （1）求sinC 的值；（2）若点D 在边BC 上且BD=3CD ，△ABC 的面积为14，求AD 的长度．【分析】（1）利用两角和与差的三角函数转化求出B 的大小，利用两角和的正弦函数求解C 的正弦函数值即可．（2）利用正弦定理求出BD ，然后利用余弦定理求解AD 即可． 【解答】解：（1）由题知，则，，因B 为锐角，所以……………………（3分），由，所以sinC=sin （∠B+∠BAC ）=sinBcos ∠BAC+cosBsin ∠BAC=……………………．（6分）（2）由正弦定理又，………………．（8分）解得……………………（9分）所以，由余弦定理，AD 2=AB 2+BD 2﹣2AB •BD •cosB ，解得AD=5…………………………（12分）【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查计算能力．19．如图，已知四棱锥P –ABCD ，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC AD ∥，CD ⊥AD ，PC =AD =2DC =2CB ，E 为PD 的中点．（1）证明：CE ∥平面PAB ；（2）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2． 【解析】（1）如图，设PA 中点为F ，连接EF ，FB ． 因为E ，F 分别为PD ，PA 中点， 所以EF AD ∥且12EF AD =， 又因为BC AD ∥，12BC AD =， PABCDE所以EF BC ∥且EF BC ，即四边形BCEF 为平行四边形， 所以CE BF ∥， 因此CE ∥平面PAB ．MH 是MQ 在平面PBC 上的射影，所以∠QMH 是直线CE 与平面PBC 所成的角．设CD =1．在△PCD 中，由PC =2，CD =1，CE在△PBN 中，由PN =BN =1，PB QH =14，在Rt △MQH 中，QH=14，MQ所以sin ∠QMH ，所以直线CE 与平面PBC ． 【名师点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，属于中档题．证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面．本题（1）是就是利用方法①证明的．20．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，向量=（S n ，2），满足条件⊥（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设c n =，求数列{c n }的前n 项和T n ．【分析】（1）根据向量的数量积和可得S n =2n+1﹣2，再根据数列的递推公式即可求出， （2）根据错位相减法即可求出数列{c n }的前n 项和T n 【解答】解：（1）∵⊥， ∴•=S n +2﹣2n+1=0， ∴S n =2n+1﹣2，当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2n， 当n=1时，a 1=S 1=2满足上式， ∴a n =2n， （2）∵c n ==，∴，两边同乘，得，两式相减得：，∴．【点评】本题考查了向量的数量积和数列的递推公式以及错位相减法，属于中档题 21．已知函数()211ln 22f x x x =+-． （Ⅰ）证明曲线()f x 上任意一点处的切线斜率不小于2；（Ⅱ）设k R ∈，若()()2g x f x kx =-有两个极值点12,x x ，且12x x <，证明： ()22g x <-． 【解析】试题分析：(Ⅰ)先求导函数()f x '，只需证明()2f x '≥成立即可；（Ⅱ）令()()2112ln 2(0)22g x f x kx x x kx x =-=+-->， ()12g x x k x +-'=，可知()120g x x k x=+-='两根为12,x x ，结合韦达定理可化简得()222223ln (1)22x g x x x =-->，研究函数()23ln (1)22x h x x x =-->的单调性，可证结论.当1k >时， ()21212x kx g x x k x x-+=+-='， 由()0g x '=得2210x kx -+=， ()2410k ∆=->，设两根为12,x x ，则12122,1x x k x x +==，其中1201x k x k <=<= ()g x 在()10,x 上递增，在()12,x x 上递减，在()2,x +∞上递增，从而()g x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，()()2222222212211ln 2ln 2222x x g x x kx x x x x =+--=+-+- 222222222113ln ln 2222x x x x x x x ⎛⎫=+-+-=-- ⎪⎝⎭， 即()222223ln (1)22x g x x x =-->， 构造函数()23ln (1)22x h x x x =-->， ()10h x x x-'=<， 所以()h x 在()1,+∞上单调递减， 且()12h =-．故()22g x <-．22．在平面直角坐标系xoy中，直线140C y +-=，曲线2:{(1x cos C y sin ϕϕϕ==+为参数），以以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.()I 求12,C C 的极坐标方程；()II 若曲线3C 的极坐标方程为(0,0)2πθαρα=><<，且曲线3C 分别交12,C C 于点,A B 两点，求OB OA 的最大值．【解析】()I cos ,sin x y ρθρθ==，1cos sin 40;C θρθ∴+-={ 1x cos y sin ϕϕ==+， ()2211x y ∴+-=， cos ,sin x y ρθρθ==， ()()22cos sin 11ρθρθ∴+-=， 22sin 0ρρθ∴-=， 2:2sin C ρθ∴=()II 曲线3C 为(0,0)2πθαρα=><<， 设()()12,,,A B ραρα，122sin ,ρρα==则)12112sin sin sin 21446OBOA ρπααααρ⎡⎤⎛⎫==⨯+=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ,3πα∴= max 3.4OB OA = 【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查三角函数最值的求法，是中档题．23．已知函数f （x ）=|x+a|．（1）当a=﹣5时，解不等式f （x ）≤1+|1﹣2x|；（2）若f （x ）+f （﹣x ）＜4存在实数解，求实数a 取值范围．【分析】（1）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）根据绝对值数据不等式的性质得到关于a 的不等式，解出即可．【解答】解：（1）|x ﹣5|﹣|2x ﹣1|≤1，当x ≤时，5﹣x ﹣1+2x ≤1，解得：x ≤﹣3， 当＜x ＜5时，5﹣x ﹣2x+1≤1，解得：≤x ＜5，当x ≥5时，x ﹣5﹣2x+1≤1，解得：x ≥﹣5，故x ≥5，综上：不等式解集为{x|x ≤﹣3或x ≥}；（2）存在x 使得|x+a|+|x ﹣a|＜4 成立，∴（|x+a|+|x﹣a|）min＜4，∴2|a|＜4，解得：﹣2＜a＜2．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道中档题．欢迎访问“高中试卷网”——。
湖南省岳阳县第一中学2019届高三上学期期中数学(文)试卷(含答案)-精校
2018年下学期岳阳县一中高三第三次阶段考试试卷数学（文科）一．选择题（共12小题）1．集合A={x|y=ln （x ﹣1）}，集合B={x|﹣1＜x ＜2}，则（R C A ）∩B= （ B ） A ．（﹣1，1）B ．（﹣1，1]C ．（﹣1，2）D ．（1，2）2．已知条件p ：2x x 0-<，条件q ：x 10x 1+≤-，则p 是q 成立的 （ A ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.0.4 1.90.4a 1.9,b log 1.9,c 0.4===已知，则 （ C ）A ．a ＞b ＞cB ．b ＞c ＞aC ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b4．已知向量()()()a 3,1,b 0,1,c k,3==-=，若()a 2bc -⊥，则k 等于（ C ）A ．B ．2C ．﹣3D ．1※5．已知α为第二象限的角，且tan α=﹣34，则sin α+cos α= （ C ） A ．﹣75B ．﹣34 C ．﹣15D ．156．已知函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π），函数的最大值是2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，且f （x ）的图象关于直线x=6π对称，则下列判断正确的是 （ D ） A ．要得到函数f （x ）的图象，只需将y=2cos2x 的图象向左平移12π个单位B ．x ∈[,66ππ-]时，函数f （x ）的最小值是﹣2C ．函数f （x ）的图象关于直线x=﹣712π对称 D ．函数f （x ）在[23π，π]上单调递增 【分析】由题意可求A ，f （x ）的周期T ，利用周期公式可求ω，利用正弦函数的对称性可求φ，可得f （x ）的解析式，利用正弦函数的图象和性质逐一分析各个选项即可判断求解．【解答】解：∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜），函数的最大值是2，∴A=2，∵其图象相邻两条对称轴之间的距离为，∴T==π，解得：ω=2，∵f（x）的图象关于直线x=对称，∴2×+φ=kπ+，k∈Z，解得：φ=kπ+，k∈Z，又∵|φ|＜，解得：φ=．可得：f（x）=2sin（2x+）．对于A，将y=2cos2x的图象向左平移个单位，可得：y=2cos[2（x+）]=2cos（2x+）的图象，故错误；对于B，x∈[﹣，]时，2x+∈[﹣，]，可得f（x）=2sin（2x+）∈[﹣1，2]，故错误；对于C，由于2sin[2×（﹣）+]=﹣2sinπ=0≠±2，故错误；对于D，由x∈[，π]，可得：2x+∈[，]，由正弦函数的图象和性质可得函数f（x）在[，π]上单调递增，故正确．故选：D．7．中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么最小的儿子分到的绵是（ B ）A．167斤 B．184斤 C．191斤 D．201斤【分析】由题意可知，数列为等差数列，公差为d=17，n=8，S8=996，以第1个儿子为首项，即可求出答案．【解答】解：由题意可知，数列为等差数列，公差为d=17，n=8，S8=996，以第最大的儿子为首项，∴8a1+×17=996，解得a 1=65，所以8a 184 故选：B ．8．执行如图程序框图，则输出结果为 （ C ）A ．20200B ．﹣5268.5C ．5050D ．﹣5151【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S=（﹣1）1×12+（﹣1）2×22+（﹣1）3×32+…+（﹣1）100×1002的值，由于S=（﹣1）1×12+（﹣1）2×22+（﹣1）3×32+…+（﹣1）100×100 =（22﹣12）+（42﹣32）+…（1002﹣992） =3+7+11+…+199==5050．故选：C ．9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ B ）A ．B ．C ．D ．8【分析】由三视图知该几何体是四棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是四棱锥，且底面是边长为2和4的长方形，由侧视图是等腰直角三角形， 直角边长为2， ∴该几何体的体积V==，故选：B ．【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力． 10．已知函数f （x ）=asinx+bcosx （x ∈R ），若x=x 0是函数f （x ）的一条对称轴，且tanx 0=2，则点（a ，b ）所在的直线为 （ A ） A ．x ﹣2y=0B ．x+2y=0C ．2x ﹣y=0D ．2x+y=0 【解答】解：f （x ）=asinx+bcosx=（sinx+cosx ），令sin α=，则cos α=，即tan α=，则f （x ）=cos （x ﹣α），由x ﹣α=k π，得x=α+k π，k ∈Z ， 即函数的对称轴为x=α+k π，k ∈Z ， ∵x=x 0是函数f （x ）的一条对称轴，∴x 0=α+k π，则tanx 0=tan α==2，即a=2b ， 即a ﹣2b=0，则点（a ，b ）所在的直线为x ﹣2y=0， 故选：A ．11．若()f x 为奇函数，且0x 是()xy f x e =-的一个零点，则下列函数中，0x -一定是其零点的函数是 （ B ） A ．()xy f x e1-=-⋅-B ．()x y f x e 1=⋅+C ．()x y f x e 1=⋅-D ．()xy f x e 1=-⋅+【解析】由题意可得()00e 0x f x -=，所以()e 0x f x ---=的一个根为0x -，方程可变形为()e 10x f x --=，又因为()f x 为奇函数，所以()e 10x f x --=，即()e 10x f x +=有一个零点为0x -.选B.【点评】本题考查了等差数列的求和公式的应用．12．若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称(P ，Q )是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”(点组(P ，Q )与(Q ，P )看作同一个“伙伴点组”).已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx －1，x >0，－ln （－x ），x <0有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是( B ) A.(－∞，0) B.(0，1) C.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D.(0，＋∞)【解析】依题意，“伙伴点组”的点满足：都在y ＝f (x )的图象上，且关于坐标原点对称. 可作出函数y ＝－ln(－x )(x <0)关于原点对称的函数y ＝ln x (x >0)的图象， 使它与直线y ＝kx －1(x >0)的交点个数为2即可.当直线y ＝kx －1与y ＝ln x 的图象相切时，设切点为(m ，ln m )， 又y ＝ln x 的导数为y ′＝1x，则km －1＝ln m ，k ＝1m，解得m ＝1，k ＝1，可得函数y ＝ln x (x >0)的图象过(0，－1)点的切线的斜率为1， 结合图象可知k ∈(0，1)时两函数图象有两个交点. 二．填空题（共4小题） 13．复数2iz 1i=+（i 为虚数单位）的虚部为 1 ． ※14．若x ，y 满足约束条件2x y 0x y 3x 0-≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则z 2x y =+的最大值是 4 ．15．数列{a n }满足()*113n n n n a a a a n N ++-=∈, 数列{b n }满足1n nb a = ，且b 1+b 2+…b 9=90，则b 4•b 6= 91． 【解析】数列{a n }满足()*113n n n n a a a a n N ++-=∈， 可得11n a +﹣1na =3， 数列{b n }满足b n=1na ，可得{b n}为公差为3的等差数列，由b1+b2+…b9=90，可得9b1+8*92×3=90，解得b1=﹣2，[来源:学#科#网]则b4•b6=（﹣2+3×3）×（﹣2+5×3）=91．故答案为：91．16．四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a，则该四面体体积的最大值为a3．【解答】解：如图所示，在四面体ABCD中，若AB=BC=CD=AC=BD=a，AD=x，取AD的中点P，BC的中点E，连接BP，EP，CP，易证AD⊥平面BPC，所以V A﹣BCD=S△BPC×AD=×x=×=×≤a3，当且仅当，即x=时取等号．故答案为：a3，三．解答题（本大题共6小题，满分70分）17．设f（x）=log a（1+x）+log a（3﹣x）（a＞0，a≠1），且f（1）=2．（1）求a的值及f（x）的定义域．（2）求f（x）在区间[0，]上的值域．【分析】（1）由f（1）=2求得a的值，由对数的真数大于0求得f（x）的定义域；（2）判定f（x）在（﹣1，3）上的增减性，求出f（x）在[0，]上的最值，即得值域．【解答】解：（1）∵f（x）=log a（1+x）+log a（3﹣x），∴f（1）=log a2+log a2=log a4=2，∴a=2；又∵，∴x ∈（﹣1，3），∴f （x ）的定义域为（﹣1，3）．（2）∵f （x ）=log 2（1+x ）+log 2（3﹣x ）=log 2[（1+x ）（3﹣x ）]=log 2[﹣（x ﹣1）2+4]， ∴当x ∈（﹣1，1]时，f （x ）是增函数； 当x ∈（1，3）时，f （x ）是减函数，∴f （x ）在[0，]上的最大值是f （1）=log 24=2； 又∵f （0）=log 23，f （）=log 2=﹣2+log 215，∴f （0）＜f （）；∴f （x ）在[0，]上的最小值是f （0）=log 23； ∴f （x ）在区间[0，]上的值域是[log 23，2]．【点评】本题考查了求函数的定义域和值域的问题，利用对数函数的真数大于0可求得定义域，利用函数的单调性可求得值域．18．（本小题满分12分）如图，a ，b ，c 分别是锐角△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，，sin 4BAC 5∠=． （1）求sinC 的值；（2）若点D 在边BC 上且BD=3CD ，△ABC 的面积为14，求AD 的长度．【分析】（1）利用两角和与差的三角函数转化求出B 的大小，利用两角和的正弦函数求解C 的正弦函数值即可．（2）利用正弦定理求出BD ，然后利用余弦定理求解AD 即可． 【解答】解：（1）由题知，则，，因B 为锐角，所以……………………（3分），由，所以sinC=sin （∠B+∠BAC ）=sinBcos ∠BAC+cosBsin ∠BAC=……………………．（6分）（2）由正弦定理又，………………．（8分）解得……………………（9分）所以，由余弦定理，AD 2=AB 2+BD 2﹣2AB •BD •cosB ，解得AD=5…………………………（12分）【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查计算能力．19．如图，已知四棱锥P –ABCD ，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC AD ∥，CD ⊥AD ，PC =AD =2DC =2CB ，E 为PD 的中点．（1）证明：CE ∥平面PAB ；（2）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2． 【解析】（1）如图，设PA 中点为F ，连接EF ，FB ． 因为E ，F 分别为PD ，PA 中点， 所以EF AD ∥且12EF AD =， 又因为BC AD ∥，12BC AD =， 所以EF BC ∥且EF BC =，即四边形BCEF 为平行四边形， 所以CE BF ∥， 因此CE ∥平面PAB ．PABCDEMH 是MQ 在平面PBC 上的射影，所以∠QMH 是直线CE 与平面PBC 所成的角．设CD =1．在△PCD 中，由PC =2，CD =1，CE在△PBN 中，由PN =BN =1，PB QH =14，在Rt △MQH 中，QH=14，MQ所以sin ∠QMH ，所以直线CE 与平面PBC ． 【名师点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，属于中档题．证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面．本题（1）是就是利用方法①证明的． 20．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，向量=（S n ，2），满足条件⊥（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设c n =，求数列{c n }的前n 项和T n ．【分析】（1）根据向量的数量积和可得S n =2n+1﹣2，再根据数列的递推公式即可求出， （2）根据错位相减法即可求出数列{c n }的前n 项和T n 【解答】解：（1）∵⊥，∴•=S n +2﹣2n+1=0， ∴S n =2n+1﹣2，当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2n， 当n=1时，a 1=S 1=2满足上式， ∴a n =2n， （2）∵c n ==，∴，两边同乘，得，两式相减得：，∴．【点评】本题考查了向量的数量积和数列的递推公式以及错位相减法，属于中档题 21．已知函数()211ln 22f x x x =+-． （Ⅰ）证明曲线()f x 上任意一点处的切线斜率不小于2；（Ⅱ）设k R ∈，若()()2g x f x kx =-有两个极值点12,x x ，且12x x <，证明： ()22g x <-． 【解析】试题分析：(Ⅰ)先求导函数()f x '，只需证明()2f x '≥成立即可；（Ⅱ）令()()2112ln 2(0)22g x f x kx x x kx x =-=+-->， ()12g x x k x +-'=，可知()120g x x k x=+-='两根为12,x x ，结合韦达定理可化简得()222223ln (1)22x g x x x =-->，研究函数()23ln (1)22x h x x x =-->的单调性，可证结论.当1k >时， ()21212x kx g x x k x x-+=+-='， 由()0g x '=得2210x kx -+=， ()2410k ∆=->，设两根为12,x x ，则12122,1x x k x x +==，其中1201x k x k <=<= ()g x 在()10,x 上递增，在()12,x x 上递减，在()2,x +∞上递增，从而()g x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，()()2222222212211ln 2ln 2222x x g x x kx x x x x =+--=+-+- 222222222113ln ln 2222x x x x x x x ⎛⎫=+-+-=-- ⎪⎝⎭， 即()222223ln (1)22x g x x x =-->， 构造函数()23ln (1)22x h x x x =-->， ()10h x x x-'=<， 所以()h x 在()1,+∞上单调递减， 且()12h =-．故()22g x <-．22．在平面直角坐标系xoy中，直线140C y +-=，曲线2:{(1x cos C y sin ϕϕϕ==+为参数），以以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系. ()I 求12,C C 的极坐标方程；()II 若曲线3C 的极坐标方程为(0,0)2πθαρα=><<，且曲线3C 分别交12,C C 于点,A B 两点，求OB OA 的最大值．【解析】()I cos ,sin x y ρθρθ==，1cos sin 40;C θρθ∴+-={ 1x cos y sin ϕϕ==+， ()2211x y ∴+-=， cos ,sin x y ρθρθ==， ()()22cos sin 11ρθρθ∴+-=， 22sin 0ρρθ∴-=， 2:2sin C ρθ∴=()II 曲线3C 为(0,0)2πθαρα=><<， 设()()12,,,A B ραρα，122sin ,ρρα==则)12112sin sin sin 21446OBOA ρπααααρ⎡⎤⎛⎫==⨯+=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ,3πα∴= max 3.4OB OA = 【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查三角函数最值的求法，是中档题．23．已知函数f （x ）=|x+a|．（1）当a=﹣5时，解不等式f （x ）≤1+|1﹣2x|；（2）若f （x ）+f （﹣x ）＜4存在实数解，求实数a 取值范围．【分析】（1）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）根据绝对值数据不等式的性质得到关于a 的不等式，解出即可．【解答】解：（1）|x ﹣5|﹣|2x ﹣1|≤1，当x ≤时，5﹣x ﹣1+2x ≤1，解得：x ≤﹣3， 当＜x ＜5时，5﹣x ﹣2x+1≤1，解得：≤x ＜5，当x ≥5时，x ﹣5﹣2x+1≤1，解得：x ≥﹣5，故x ≥5，综上：不等式解集为{x|x ≤﹣3或x ≥}；（2）存在x 使得|x+a|+|x ﹣a|＜4 成立，∴（|x+a|+|x ﹣a|）min ＜4，∴2|a|＜4，解得：﹣2＜a ＜2．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道中档题．欢迎访问“高中试卷网”——。
湖南省岳阳县第一中学2019届高三上学期期中数学(文)试卷(含答案)-推荐
2018年下学期岳阳县一中高三第三次阶段考试试卷数学（文科）一．选择题（共12小题）1．集合A={x|y=ln （x ﹣1）}，集合B={x|﹣1＜x ＜2}，则（R C A ）∩B= （ B ） A ．（﹣1，1）B ．（﹣1，1]C ．（﹣1，2）D ．（1，2）2．已知条件p ：2x x 0-<，条件q ：x 10x 1+≤-，则p 是q 成立的 （ A ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.0.4 1.90.4a 1.9,b log 1.9,c 0.4===已知，则 （ C ）A ．a ＞b ＞cB ．b ＞c ＞aC ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b4．已知向量()()()a 3,1,b 0,1,c k,3==-=，若()a 2bc -⊥，则k 等于（ C ）A ．B ．2C ．﹣3D ．1※5．已知α为第二象限的角，且tan α=﹣34，则sin α+cos α= （ C ） A ．﹣75B ．﹣34 C ．﹣15D ．156．已知函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π），函数的最大值是2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，且f （x ）的图象关于直线x=6π对称，则下列判断正确的是 （ D ） A ．要得到函数f （x ）的图象，只需将y=2cos2x 的图象向左平移12π个单位B ．x ∈[,66ππ-]时，函数f （x ）的最小值是﹣2 C ．函数f （x ）的图象关于直线x=﹣712π对称 D ．函数f （x ）在[23π，π]上单调递增 【分析】由题意可求A ，f （x ）的周期T ，利用周期公式可求ω，利用正弦函数的对称性可求φ，可得f（x）的解析式，利用正弦函数的图象和性质逐一分析各个选项即可判断求解．【解答】解：∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜），函数的最大值是2，∴A=2，∵其图象相邻两条对称轴之间的距离为，∴T==π，解得：ω=2，∵f（x）的图象关于直线x=对称，∴2×+φ=kπ+，k∈Z，解得：φ=kπ+，k∈Z，又∵|φ|＜，解得：φ=．可得：f（x）=2sin（2x+）．对于A，将y=2cos2x的图象向左平移个单位，可得：y=2cos[2（x+）]=2cos（2x+）的图象，故错误；对于B，x∈[﹣，]时，2x+∈[﹣，]，可得f（x）=2sin（2x+）∈[﹣1，2]，故错误；对于C，由于2sin[2×（﹣）+]=﹣2sinπ=0≠±2，故错误；对于D，由x∈[，π]，可得：2x+∈[，]，由正弦函数的图象和性质可得函数f（x）在[，π]上单调递增，故正确．故选：D．7．中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么最小的儿子分到的绵是（ B ）A．167斤 B．184斤 C．191斤 D．201斤【分析】由题意可知，数列为等差数列，公差为d=17，n=8，S8=996，以第1个儿子为首项，即可求出答案．【解答】解：由题意可知，数列为等差数列，公差为d=17，n=8，S 8=996，以第最大的儿子为首项， ∴8a 1+×17=996，解得a 1=65，所以8a 184 故选：B ．8．执行如图程序框图，则输出结果为 （ C ）A ．20200B ．﹣5268.5C ．5050D ．﹣5151【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S=（﹣1）1×12+（﹣1）2×22+（﹣1）3×32+…+（﹣1）100×1002的值，由于S=（﹣1）1×12+（﹣1）2×22+（﹣1）3×32+…+（﹣1）100×100 =（22﹣12）+（42﹣32）+…（1002﹣992）=3+7+11+…+199 ==5050．故选：C ．9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ B ）A ．B ．C ．D ．8【分析】由三视图知该几何体是四棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是四棱锥，且底面是边长为2和4的长方形，由侧视图是等腰直角三角形，直角边长为2， ∴该几何体的体积V==，故选：B ．【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力． 10．已知函数f （x ）=asinx+bcosx （x ∈R ），若x=x 0是函数f （x ）的一条对称轴，且tanx 0=2，则点（a ，b ）所在的直线为 （ A ） A ．x ﹣2y=0B ．x+2y=0C ．2x ﹣y=0D ．2x+y=0 【解答】解：f （x ）=asinx+bcosx=（sinx+cosx ），令sin α=，则cos α=，即tan α=，则f （x ）=cos （x ﹣α），由x ﹣α=k π，得x=α+k π，k ∈Z ， 即函数的对称轴为x=α+k π，k ∈Z ， ∵x=x 0是函数f （x ）的一条对称轴，∴x 0=α+k π，则tanx 0=tan α==2，即a=2b ， 即a ﹣2b=0，则点（a ，b ）所在的直线为x ﹣2y=0， 故选：A ．11．若()f x 为奇函数，且0x 是()xy f x e =-的一个零点，则下列函数中，0x -一定是其零点的函数是 （ B ） A ．()xy f x e1-=-⋅-B ．()x y f x e 1=⋅+C ．()xy f x e 1=⋅-D ．()xy f x e 1=-⋅+【解析】由题意可得()00e0x f x -=，所以()e 0x f x ---=的一个根为0x -，方程可变形为()e 10x f x --=，又因为()f x 为奇函数，所以()e 10x f x --=，即()e 10xf x +=有一个零点为0x -.选B.【点评】本题考查了等差数列的求和公式的应用．12．若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称(P ，Q )是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”(点组(P ，Q )与(Q ，P )看作同一个“伙伴点组”).已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx －1，x >0，－ln （－x ），x <0有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是( B ) A.(－∞，0) B.(0，1) C.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D.(0，＋∞)【解析】依题意，“伙伴点组”的点满足：都在y ＝f (x )的图象上，且关于坐标原点对称. 可作出函数y ＝－ln(－x )(x <0)关于原点对称的函数y ＝ln x (x >0)的图象， 使它与直线y ＝kx －1(x >0)的交点个数为2即可.当直线y ＝kx －1与y ＝ln x 的图象相切时，设切点为(m ，ln m )， 又y ＝ln x 的导数为y ′＝1x，则km －1＝ln m ，k ＝1m，解得m ＝1，k ＝1，可得函数y ＝ln x (x >0)的图象过(0，－1)点的切线的斜率为1， 结合图象可知k ∈(0，1)时两函数图象有两个交点. 二．填空题（共4小题） 13．复数2iz 1i=+（i 为虚数单位）的虚部为 1 ．※14．若x ，y 满足约束条件2x y 0x y 3x 0-≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则z 2x y =+的最大值是 4 ．15．数列{a n }满足()*113n n n n a a a a n N ++-=∈, 数列{b n }满足1n nb a = ，且b 1+b 2+…b 9=90，则b 4•b 6= 91． 【解析】数列{a n }满足()*113n n n n a a a a n N ++-=∈， 可得11n a +﹣1na =3， 数列{b n }满足b n=1na ， 可得{b n }为公差为3的等差数列， 由b 1+b 2+…b 9=90，可得 9b 1+8*92×3=90， 解得b 1=﹣2，[来源:学#科#网]则b 4•b 6=（﹣2+3×3）×（﹣2+5×3）=91． 故答案为：91．16．四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a ，则该四面体体积的最大值为 a 3．【解答】解：如图所示，在四面体ABCD 中，若AB=BC=CD=AC=BD=a ，AD=x ，取AD 的中点P ，BC 的中点E ，连接BP ，EP ，CP ， 易证AD ⊥平面BPC ，所以V A ﹣BCD=S △BPC ×AD=×x=×=×≤a 3，当且仅当，即x=时取等号．故答案为：a 3，三．解答题（本大题共6小题，满分70分）17．设f（x）=log a（1+x）+log a（3﹣x）（a＞0，a≠1），且f（1）=2．（1）求a的值及f（x）的定义域．（2）求f（x）在区间[0，]上的值域．【分析】（1）由f（1）=2求得a的值，由对数的真数大于0求得f（x）的定义域；（2）判定f（x）在（﹣1，3）上的增减性，求出f（x）在[0，]上的最值，即得值域．【解答】解：（1）∵f（x）=log a（1+x）+log a（3﹣x），∴f（1）=log a2+log a2=log a4=2，∴a=2；又∵，∴x∈（﹣1，3），∴f（x）的定义域为（﹣1，3）．（2）∵f（x）=log2（1+x）+log2（3﹣x）=log2[（1+x）（3﹣x）]=log2[﹣（x﹣1）2+4]，∴当x∈（﹣1，1]时，f（x）是增函数；当x∈（1，3）时，f（x）是减函数，∴f（x）在[0，]上的最大值是f（1）=log24=2；又∵f（0）=log23，f（）=log2=﹣2+log215，∴f（0）＜f（）；∴f（x）在[0，]上的最小值是f（0）=log23；∴f（x）在区间[0，]上的值域是[log23，2]．【点评】本题考查了求函数的定义域和值域的问题，利用对数函数的真数大于0可求得定义域，利用函数的单调性可求得值域．18．（本小题满分12分）如图，a，b，c分别是锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边，，sin4BAC5∠=．（1）求sinC的值；（2）若点D在边BC上且BD=3CD，△ABC的面积为14，求AD的长度．【分析】（1）利用两角和与差的三角函数转化求出B的大小，利用两角和的正弦函数求解C的正弦函数值即可．（2）利用正弦定理求出BD，然后利用余弦定理求解AD即可．【解答】解：（1）由题知，则，，因B为锐角，所以……………………（3分），由，所以sinC=sin（∠B+∠BAC）=sinBcos∠BAC+cosBsin∠BAC=……………………．（6分）（2）由正弦定理又，………………．（8分）解得……………………（9分）所以，由余弦定理，AD2=AB2+BD2﹣2AB•BD•cosB，解得AD=5…………………………（12分）【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查计算能力．19．如图，已知四棱锥P–ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC AD∥，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．PAB C DE（1）证明：CE ∥平面PAB ；（2）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2． 【解析】（1）如图，设PA 中点为F ，连接EF ，FB ． 因为E ，F 分别为PD ，PA 中点， 所以EF AD ∥且12EF AD =， 又因为BC AD ∥，12BC AD =， 所以EF BC ∥且EF BC =，即四边形BCEF 为平行四边形， 所以CE BF ∥， 因此CE ∥平面PAB ．MH 是MQ 在平面PBC 上的射影，所以∠QMH 是直线CE 与平面PBC 所成的角．设CD =1．在△PCD 中，由PC =2，CD =1，得CE ，在△PBN 中，由PN =BN =1，PB QH =14，在Rt △MQH 中，QH=14，MQ ，所以sin ∠QMH ，所以直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值是8． 【名师点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，属于中档题．证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面．本题（1）是就是利用方法①证明的． 20．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，向量=（S n ，2），满足条件⊥（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设c n =，求数列{c n }的前n 项和T n ．【分析】（1）根据向量的数量积和可得S n =2n+1﹣2，再根据数列的递推公式即可求出， （2）根据错位相减法即可求出数列{c n }的前n 项和T n 【解答】解：（1）∵⊥，∴•=S n +2﹣2n+1=0，∴S n =2n+1﹣2，当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2n， 当n=1时，a 1=S 1=2满足上式， ∴a n =2n， （2）∵c n ==，∴，两边同乘，得，两式相减得：，∴．【点评】本题考查了向量的数量积和数列的递推公式以及错位相减法，属于中档题 21．已知函数()211ln 22f x x x =+-． （Ⅰ）证明曲线()f x 上任意一点处的切线斜率不小于2；（Ⅱ）设k R ∈，若()()2g x f x kx =-有两个极值点12,x x ，且12x x <，证明： ()22g x <-． 【解析】试题分析：(Ⅰ)先求导函数()f x '，只需证明()2f x '≥成立即可；（Ⅱ）令()()2112ln 2(0)22g x f x kx x x kx x =-=+-->， ()12g x x k x +-'=，可知()120g x x k x=+-='两根为12,x x ，结合韦达定理可化简得()222223ln (1)22x g x x x =-->，研究函数()23ln (1)22x h x x x =-->的单调性，可证结论.当1k >时， ()21212x kx g x x k x x-+=+-='，由()0g x '=得2210x kx -+=， ()2410k ∆=->，设两根为12,x x ，则12122,1x x k x x +==，其中1201x k x k <=<<=()g x 在()10,x 上递增，在()12,x x 上递减，在()2,x +∞上递增，从而()g x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，()()2222222212211ln 2ln 2222x x g x x kx x x x x =+--=+-+-222222222113ln ln 2222x x x x x x x ⎛⎫=+-+-=-- ⎪⎝⎭，即()222223ln (1)22x g x x x =-->， 构造函数()23ln (1)22x h x x x =-->， ()10h x x x-'=<， 所以()h x 在()1,+∞上单调递减， 且()12h =-．故()22g x <-． 22．在平面直角坐标系xoy中，直线140C y +-=，曲线2:{(1x cos C y sin ϕϕϕ==+为参数），以以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.()I 求12,C C 的极坐标方程；()II 若曲线3C 的极坐标方程为(0,0)2πθαρα=><<，且曲线3C 分别交12,C C 于点,A B 两点，求OBOA的最大值． 【解析】()Icos ,sin x y ρθρθ==，1cos sin 40;C θρθ∴+-={1x cos y sin ϕϕ==+， ()2211x y ∴+-=，cos ,sin x y ρθρθ==，()()22cos sin 11ρθρθ∴+-=， 22sin 0ρρθ∴-=， 2:2sin C ρθ∴=()II 曲线3C 为(0,0)2πθαρα=><<，设()()12,,,A B ραρα，122sin ,ρρα==则)12112sin sin sin 21446OB OAρπααααρ⎡⎤⎛⎫==⨯+=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ,3πα∴=max 3.4OB OA =【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查三角函数最值的求法，是中档题． 23．已知函数f （x ）=|x+a|．（1）当a=﹣5时，解不等式f （x ）≤1+|1﹣2x|；（2）若f（x）+f（﹣x）＜4存在实数解，求实数a取值范围．【分析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）根据绝对值数据不等式的性质得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：（1）|x﹣5|﹣|2x﹣1|≤1，当x≤时，5﹣x﹣1+2x≤1，解得：x≤﹣3，当＜x＜5时，5﹣x﹣2x+1≤1，解得：≤x＜5，当x≥5时，x﹣5﹣2x+1≤1，解得：x≥﹣5，故x≥5，综上：不等式解集为{x|x≤﹣3或x≥}；（2）存在x使得|x+a|+|x﹣a|＜4 成立，∴（|x+a|+|x﹣a|）min＜4，∴2|a|＜4，解得：﹣2＜a＜2．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道中档题．欢迎访问“高中试卷网”——。
最新精品湖南省岳阳市第一中学2019届高三上学期第三次质检(期中)数学(理)试题(解析版)
2018-2019学年湖南省岳阳市岳阳县一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别利用一元二次不等式的解法以及二次函数的值域化简集合，根据交集的定义可求出．【详解】集合，，则．故选C.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.．2.在复平面内，复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简，可得复数对应坐标，从而可得答案．【详解】，复数对应的点的坐标为，位于第四象限，故选D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查复数几何意义，是基础题．解题时一定要注意应用，注意运算的准确性，否则很容易出现错误.3.执行如图所示的程序框图，则输出的的值为A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】A【解析】【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的的值．【详解】模拟执行程序框图，第一次运行：满足条件，，；第二次运行：满足条件，，；第三次运行：满足条件，，；满足判断框的条件，继续运行，第四次运行：，，不满足判断框的条件，退出循环．故最后输出的值为4,故选A．【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4.已知命题，，命题，，则（）A. 命题是假命题B. 命题是真命题C. 命题是真命题D. 命题是假命题【答案】C【解析】当时，，，则不等式成立，即命题是真命题，当时，不成立，即命题是假命题，是真命题，所以命题是真命题，故选.5.函数的单调递增区间是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据，结合，解不等式即可求得答案．【详解】由得：，，所以即的单调递增区间为故选A．【点睛】本题主要考查三角函数的单调性，属于中档题.函数的单调区间的求法：若,把看作是一个整体，(1)由可求得函数的减区间；（2）由可求得增区间．6.已知，，且，则的最小值是A. 4B. 12C. 16D. 18【答案】C【解析】【分析】变形，利用基本不等式可得结果，注意等号成立的条件．【详解】因为所以当且仅当时，取等号．即的最小值是16，故选C．【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.7.若，则（）A. B. C. 1 D.【答案】A【解析】试题分析：由，得或，所以，故选A．【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．视频8.函数为奇函数，该函数的部分图像如右图所表示，、分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为，则该函数的一条对称轴为A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：因为函数为奇函数，所以．所以函数可化为．由，设函数周期为T，可得．所以，所以函数的解析式为．．代入四个选项可得是该函数图象的一条对称轴．考点：1．函数图象的识别．2．三角函数的性质．3．解三角形的知识．9.观察，，，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由，可发现原函数都是偶函数，得到的导函数是奇函数，可归纳出偶函数的导函数为奇函数，从而可得到答案．【详解】由中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；，我们可以推断，偶函数的导函数为奇函数．若定义在上的函数满足，则函数为偶函数，又为的导函数，则奇函数，故，即，故选A．【点睛】本题考查的知识点是归纳推理，及函数奇偶性的性质，属于中档题．归纳推理的一般步骤:一、通过观察个别情况发现某些相同的性质.二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.10.已知球的半径为，三点在球的球面上，球心到平面的距离为，，, 则球的表面积为A. B. C. D.【答案】D【解析】在中，，由正弦定理可得平面截球所得圆的半径（即的外接圆半径），又∵球心到平面的距离∴球的半径，故球O的表面积故选D【点睛】本题考查的知识点是球的体积和表面积，其中根据已知条件求出球的半径是解答本题的关键．11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为A. B. C. D. 3【答案】B【解析】【分析】由三视图可得到几何体的直观图如图所示，平面平面，四棱锥的高为1，四边形是边长为1的正方形，分别计算各侧面积，即可得出结论．【详解】由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面平面，四棱锥的高为1，四边形是边长为1的正方形，则，，，综上可知，面积最大的侧面的面积为，故选B．【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于中档题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.12.在数列中，，，若数列满足，则数列的最大项为A. 第5项B. 第6项C. 第7项D. 第8项【答案】B【解析】【分析】利用累加法求出数列的通项公式，可得，进一步利用，建立不等式组，从而可得结果．【详解】数列中，，，得到：，，，，上边个式子相加得：，解得：．当时，首项符合通项．故：．数列满足，则，由于，故：，解得：，由于是正整数，故．故选B．【点睛】本题主要考查递推公式求数列的通项公式、累加法的应用，数列最大项的求法，属于难题．由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）等差数列、等比数列（先根据条件判定出数列是等差、等比数列）；（2）累加法，相邻两项的差成等求和的数列可利用累加法求通项公式；（3）累乘法，相邻两项的商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项；（4）构造法，形如的递推公式，可构造等比数例，进而得出的通项公式.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知点在不等式组表示的平面区域上运动，则的最大值是______【答案】4【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：阴影部分由可得，由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大．将代入目标函数得，故答案为4．【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值．14.设，是夹角为的单位向量，，则______．【答案】【解析】【分析】将平方，利用平面向量数量积公式以及平面向量数量积的运算法则，求出的值，从而可得结果．【详解】，是夹角为的单位向量，且，则，，故答案为．【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义与运算，是基础题．向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.15.设a＞0，若a n＝且数列{a n}是递增数列，则实数a的范围是__________．【答案】2＜a＜3【解析】由{a n}是递增数列，得解得∴2＜a＜316.对于函数，若存在，使，则称点是曲线的“优美点”，已知，若曲线存在“优美点”，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】曲线存在“优美点”，等价于当时，关于原点对称的函数图象与当时的图象有交点，求得时函数关于原点对称函数的解析式，联立，解得，由基本不等式可得的范围．【详解】，若曲线存在“优美点”，等价于当时，关于原点对称的函数图象与当时的图象有交点，当时，，关于原点对称的函数解析式为，，由与联立，可得在有解，由，当且仅当时，取得等号，即有，则的取值范围是，故答案为【点睛】本题主要考查基本不等式的应用、转化与划归思想的应用，以及新定义的理解和运用，属于难题．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17.已知数列的前项和为，且，数列为等差数列，且公差，；求数列的通项公式；若成等比数列，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】由，得,两式相减，即可发现为等比数列，从而求出的通项公式；由中数列的通项公式，把，和代入，再根据等比数列的性质求出，，，，从而求得公差，得到的通项公式，然后再利用等差数列的求和公式求其前项和．【详解】由，得,相减得：，即，则,当时，，，数列是等比数列，.，，,由题意，而,设，，，，，得或舍去,故.【点睛】本题主要考查等比数列和等差数列的性质，根据数列的递推法求其通项公式，还考查了等差数列的前项的和，属于中档题．已知数列前项和，求数列通项公式，常用公式，将所给条件化为关于前项和的递推关系或是关于第项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 在利用与通项的关系求的过程中，一定要注意的情况.18.中，分别是内角所对的边，且满足．求角的值；若，边上的中线，求的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】由，根据正弦定理，两角和的正弦函数公式，化简可得，由于，可求，进而可求的值；由，结合平面向量数量积的运算可得，解得的值，根据三角形面积公式即可得结果．【详解】，由正弦定理得：，即，从而，即：，又中，，故，得.由，得：，从而或舍，故.【点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的应用，属于中档题．以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.19.设二次函数在区间上的最大值、最小值分别是，集合．（Ⅰ）若，且，求的值；（Ⅱ）若，且，记，求的最小值．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）由方程的根求出函数解析式，再利用函数的单调性求出最值；（Ⅱ）由方程有两相等实根1，求出的关系式，消去得到含有参数函数解析式，进一步求出，再由的单调性求出最小值.试题解析：（Ⅰ）由，可知1分又，故1和2是方程的两实根，所以3分解得，4分所以，当时，即5分当时，即6分（Ⅱ）由题意知方程有两相等实根1，所以，即，8分所以，其对称轴方程为，又，故9分所以，10分11分14分又在单调递增，所以当时，16分考点：二次函数的解析式、二次函数在闭区间上的最值，函数的单调性.20.如图，在中，，，分别为的中点，的延长线交于现将沿折起，折成二面角，连接．（1）求证：平面平面CBD；（2）当时，求二面角大小的余弦值．【答案】（I）证明略（II）【解析】（I）证明：在，又E是CD的中点，得AF⊥CD。
湖南省岳阳县第一中学2019届高三上学期期中数学(文)试卷(含答案)-精编
2018年下学期岳阳县一中高三第三次阶段考试试卷数学（文科）一．选择题（共12小题）1．集合A={x|y=ln （x ﹣1）}，集合B={x|﹣1＜x ＜2}，则（R C A ）∩B= （ B ） A ．（﹣1，1）B ．（﹣1，1]C ．（﹣1，2）D ．（1，2）2．已知条件p ：2x x 0-<，条件q ：x 10x 1+≤-，则p 是q 成立的 （ A ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.0.4 1.90.4a 1.9,b log 1.9,c 0.4===已知，则 （ C ）A ．a ＞b ＞cB ．b ＞c ＞aC ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b4．已知向量()()()a 3,1,b 0,1,c k,3==-=，若()a 2bc -⊥，则k 等于（ C ）A ．B ．2C ．﹣3D ．1※5．已知α为第二象限的角，且tan α=﹣34，则sin α+cos α= （ C ） A ．﹣75B ．﹣34 C ．﹣15D ．156．已知函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π），函数的最大值是2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，且f （x ）的图象关于直线x=6π对称，则下列判断正确的是 （ D ） A ．要得到函数f （x ）的图象，只需将y=2cos2x 的图象向左平移12π个单位B ．x ∈[,66ππ-]时，函数f （x ）的最小值是﹣2C ．函数f （x ）的图象关于直线x=﹣712π对称 D ．函数f （x ）在[23π，π]上单调递增 【分析】由题意可求A ，f （x ）的周期T ，利用周期公式可求ω，利用正弦函数的对称性可求φ，可得f （x ）的解析式，利用正弦函数的图象和性质逐一分析各个选项即可判断求解．【解答】解：∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜），函数的最大值是2，∴A=2，∵其图象相邻两条对称轴之间的距离为，∴T==π，解得：ω=2，∵f（x）的图象关于直线x=对称，∴2×+φ=kπ+，k∈Z，解得：φ=kπ+，k∈Z，又∵|φ|＜，解得：φ=．可得：f（x）=2sin（2x+）．对于A，将y=2cos2x的图象向左平移个单位，可得：y=2cos[2（x+）]=2cos（2x+）的图象，故错误；对于B，x∈[﹣，]时，2x+∈[﹣，]，可得f（x）=2sin（2x+）∈[﹣1，2]，故错误；对于C，由于2sin[2×（﹣）+]=﹣2sinπ=0≠±2，故错误；对于D，由x∈[，π]，可得：2x+∈[，]，由正弦函数的图象和性质可得函数f（x）在[，π]上单调递增，故正确．故选：D．7．中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么最小的儿子分到的绵是（ B ）A．167斤 B．184斤 C．191斤 D．201斤【分析】由题意可知，数列为等差数列，公差为d=17，n=8，S8=996，以第1个儿子为首项，即可求出答案．【解答】解：由题意可知，数列为等差数列，公差为d=17，n=8，S8=996，以第最大的儿子为首项，∴8a1+×17=996，解得a 1=65，所以8a 184 故选：B ．8．执行如图程序框图，则输出结果为 （ C ）A ．20200B ．﹣5268.5C ．5050D ．﹣5151【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S=（﹣1）1×12+（﹣1）2×22+（﹣1）3×32+…+（﹣1）100×1002的值，由于S=（﹣1）1×12+（﹣1）2×22+（﹣1）3×32+…+（﹣1）100×100 =（22﹣12）+（42﹣32）+…（1002﹣992） =3+7+11+…+199==5050．故选：C ．9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ B ）A ．B ．C ．D ．8【分析】由三视图知该几何体是四棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是四棱锥，且底面是边长为2和4的长方形，由侧视图是等腰直角三角形， 直角边长为2， ∴该几何体的体积V==，故选：B ．【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力． 10．已知函数f （x ）=asinx+bcosx （x ∈R ），若x=x 0是函数f （x ）的一条对称轴，且tanx 0=2，则点（a ，b ）所在的直线为 （ A ） A ．x ﹣2y=0B ．x+2y=0C ．2x ﹣y=0D ．2x+y=0 【解答】解：f （x ）=asinx+bcosx=（sinx+cosx ），令sin α=，则cos α=，即tan α=，则f （x ）=cos （x ﹣α），由x ﹣α=k π，得x=α+k π，k ∈Z ， 即函数的对称轴为x=α+k π，k ∈Z ， ∵x=x 0是函数f （x ）的一条对称轴，∴x 0=α+k π，则tanx 0=tan α==2，即a=2b ， 即a ﹣2b=0，则点（a ，b ）所在的直线为x ﹣2y=0， 故选：A ．11．若()f x 为奇函数，且0x 是()xy f x e =-的一个零点，则下列函数中，0x -一定是其零点的函数是 （ B ） A ．()xy f x e1-=-⋅-B ．()x y f x e 1=⋅+C ．()x y f x e 1=⋅-D ．()xy f x e 1=-⋅+【解析】由题意可得()00e 0x f x -=，所以()e 0x f x ---=的一个根为0x -，方程可变形为()e 10x f x --=，又因为()f x 为奇函数，所以()e 10x f x --=，即()e 10x f x +=有一个零点为0x -.选B.【点评】本题考查了等差数列的求和公式的应用．12．若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称(P ，Q )是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”(点组(P ，Q )与(Q ，P )看作同一个“伙伴点组”).已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx －1，x >0，－ln （－x ），x <0有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是( B ) A.(－∞，0) B.(0，1) C.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D.(0，＋∞)【解析】依题意，“伙伴点组”的点满足：都在y ＝f (x )的图象上，且关于坐标原点对称. 可作出函数y ＝－ln(－x )(x <0)关于原点对称的函数y ＝ln x (x >0)的图象， 使它与直线y ＝kx －1(x >0)的交点个数为2即可.当直线y ＝kx －1与y ＝ln x 的图象相切时，设切点为(m ，ln m )， 又y ＝ln x 的导数为y ′＝1x，则km －1＝ln m ，k ＝1m，解得m ＝1，k ＝1，可得函数y ＝ln x (x >0)的图象过(0，－1)点的切线的斜率为1， 结合图象可知k ∈(0，1)时两函数图象有两个交点. 二．填空题（共4小题） 13．复数2iz 1i=+（i 为虚数单位）的虚部为 1 ． ※14．若x ，y 满足约束条件2x y 0x y 3x 0-≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则z 2x y =+的最大值是 4 ．15．数列{a n }满足()*113n n n n a a a a n N ++-=∈, 数列{b n }满足1n nb a = ，且b 1+b 2+…b 9=90，则b 4•b 6= 91． 【解析】数列{a n }满足()*113n n n n a a a a n N ++-=∈， 可得11n a +﹣1na =3，数列{b n }满足b n=1na ， 可得{b n }为公差为3的等差数列， 由b 1+b 2+…b 9=90，可得 9b 1+8*92×3=90， 解得b 1=﹣2，[来源:学#科#网]则b 4•b 6=（﹣2+3×3）×（﹣2+5×3）=91． 故答案为：91．16．四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a ，则该四面体体积的最大值为 a 3．【解答】解：如图所示，在四面体ABCD 中，若AB=BC=CD=AC=BD=a ，AD=x ，取AD 的中点P ，BC 的中点E ，连接BP ，EP ，CP ，易证AD ⊥平面BPC ，所以V A ﹣BCD =S △BPC ×AD=×x=×=×≤a 3，当且仅当，即x=时取等号．故答案为：a 3，三．解答题（本大题共6小题，满分70分）17．设f （x ）=log a （1+x ）+log a （3﹣x ）（a ＞0，a ≠1），且f （1）=2． （1）求a 的值及f （x ）的定义域． （2）求f （x ）在区间[0，]上的值域．【分析】（1）由f （1）=2求得a 的值，由对数的真数大于0求得f （x ）的定义域；（2）判定f （x ）在（﹣1，3）上的增减性，求出f （x ）在[0，]上的最值，即得值域． 【解答】解：（1）∵f （x ）=log a （1+x ）+log a （3﹣x ）， ∴f （1）=log a 2+log a 2=log a 4=2，∴a=2； 又∵，∴x ∈（﹣1，3），∴f （x ）的定义域为（﹣1，3）．（2）∵f （x ）=log 2（1+x ）+log 2（3﹣x ）=log 2[（1+x ）（3﹣x ）]=log 2[﹣（x ﹣1）2+4]， ∴当x ∈（﹣1，1]时，f （x ）是增函数； 当x ∈（1，3）时，f （x ）是减函数，∴f （x ）在[0，]上的最大值是f （1）=log 24=2； 又∵f （0）=log 23，f （）=log 2=﹣2+log 215，∴f （0）＜f （）；∴f （x ）在[0，]上的最小值是f （0）=log 23； ∴f （x ）在区间[0，]上的值域是[log 23，2]．【点评】本题考查了求函数的定义域和值域的问题，利用对数函数的真数大于0可求得定义域，利用函数的单调性可求得值域．18．（本小题满分12分）如图，a ，b ，c 分别是锐角△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，，sin 4BAC 5∠=． （1）求sinC 的值；（2）若点D 在边BC 上且BD=3CD ，△ABC 的面积为14，求AD 的长度．【分析】（1）利用两角和与差的三角函数转化求出B 的大小，利用两角和的正弦函数求解C 的正弦函数值即可．（2）利用正弦定理求出BD ，然后利用余弦定理求解AD 即可． 【解答】解：（1）由题知，则，，因B 为锐角，所以……………………（3分），由，所以sinC=sin （∠B+∠BAC ）=sinBcos ∠BAC+cosBsin ∠BAC=……………………．（6分）（2）由正弦定理又，………………．（8分）解得……………………（9分）所以，由余弦定理，AD 2=AB 2+BD 2﹣2AB •BD •cosB ，解得AD=5…………………………（12分）【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查计算能力．19．如图，已知四棱锥P –ABCD ，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC AD ∥，CD ⊥AD ，PC =AD =2DC =2CB ，E 为PD 的中点．（1）证明：CE ∥平面PAB ；（2）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2）8． 【解析】（1）如图，设PA 中点为F ，连接EF ，FB ． 因为E ，F 分别为PD ，PA 中点， 所以EF AD ∥且12EF AD =， 又因为BC AD ∥，12BC AD =， 所以EF BC ∥且EF BC =，即四边形BCEF 为平行四边形， 所以CE BF ∥， 因此CE ∥平面PAB ．PABCDEMH 是MQ 在平面PBC 上的射影，所以∠QMH 是直线CE 与平面PBC 所成的角．设CD =1．在△PCD 中，由PC =2，CD =1，CE在△PBN 中，由PN =BN =1，PB QH =14，在Rt △MQH 中，QH=14，MQ ，所以sin ∠QMH =8，所以直线CE 与平面PBC ． 【名师点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，属于中档题．证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面．本题（1）是就是利用方法①证明的． 20．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，向量=（S n ，2），满足条件⊥（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设c n =，求数列{c n }的前n 项和T n ．【分析】（1）根据向量的数量积和可得S n =2n+1﹣2，再根据数列的递推公式即可求出， （2）根据错位相减法即可求出数列{c n }的前n 项和T n 【解答】解：（1）∵⊥， ∴•=S n +2﹣2n+1=0， ∴S n =2n+1﹣2，当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2n， 当n=1时，a 1=S 1=2满足上式， ∴a n =2n， （2）∵c n ==，∴，两边同乘，得，两式相减得：，∴．【点评】本题考查了向量的数量积和数列的递推公式以及错位相减法，属于中档题 21．已知函数()211ln 22f x x x =+-． （Ⅰ）证明曲线()f x 上任意一点处的切线斜率不小于2；（Ⅱ）设k R ∈，若()()2g x f x kx =-有两个极值点12,x x ，且12x x <，证明： ()22g x <-． 【解析】试题分析：(Ⅰ)先求导函数()f x '，只需证明()2f x '≥成立即可；（Ⅱ）令()()2112ln 2(0)22g x f x kx x x kx x =-=+-->， ()12g x x k x +-'=，可知()120g x x k x=+-='两根为12,x x ，结合韦达定理可化简得()222223ln (1)22x g x x x =-->，研究函数()23ln (1)22x h x x x =-->的单调性，可证结论.当1k >时， ()21212x kx g x x k x x-+=+-='， 由()0g x '=得2210x kx -+=， ()2410k ∆=->，设两根为12,x x ，则12122,1x x k x x +==，其中1201x k x k <=<<= ()g x 在()10,x 上递增，在()12,x x 上递减，在()2,x +∞上递增，从而()g x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，()()2222222212211ln 2ln 2222x x g x x kx x x x x =+--=+-+- 222222222113ln ln 2222x x x x x x x ⎛⎫=+-+-=-- ⎪⎝⎭， 即()222223ln (1)22x g x x x =-->， 构造函数()23ln (1)22x h x x x =-->， ()10h x x x-'=<， 所以()h x 在()1,+∞上单调递减， 且()12h =-．故()22g x <-．22．在平面直角坐标系xoy中，直线140C y +-=，曲线2:{(1x cos C y sin ϕϕϕ==+为参数），以以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系. ()I 求12,C C 的极坐标方程；()II 若曲线3C 的极坐标方程为(0,0)2πθαρα=><<，且曲线3C 分别交12,C C 于点,A B 两点，求OB OA 的最大值．【解析】()Icos ,sin x y ρθρθ==，1cos sin 40;C θρθ∴+-={ 1x cos y sin ϕϕ==+， ()2211x y ∴+-=， cos ,sin x y ρθρθ==， ()()22cos sin 11ρθρθ∴+-=， 22sin 0ρρθ∴-=， 2:2sin C ρθ∴=()II 曲线3C 为(0,0)2πθαρα=><<， 设()()12,,,A B ραρα，122sin ,ρρα==则)12112sin sin sin 21446OBOA ρπααααρ⎡⎤⎛⎫==⨯+=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ,3πα∴= max 3.4OB OA = 【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查三角函数最值的求法，是中档题．23．已知函数f （x ）=|x+a|．（1）当a=﹣5时，解不等式f （x ）≤1+|1﹣2x|；（2）若f （x ）+f （﹣x ）＜4存在实数解，求实数a 取值范围．【分析】（1）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）根据绝对值数据不等式的性质得到关于a 的不等式，解出即可．【解答】解：（1）|x ﹣5|﹣|2x ﹣1|≤1，当x ≤时，5﹣x ﹣1+2x ≤1，解得：x ≤﹣3， 当＜x ＜5时，5﹣x ﹣2x+1≤1，解得：≤x ＜5，当x ≥5时，x ﹣5﹣2x+1≤1，解得：x ≥﹣5，故x ≥5，综上：不等式解集为{x|x ≤﹣3或x ≥}；（2）存在x 使得|x+a|+|x ﹣a|＜4 成立，∴（|x+a|+|x ﹣a|）min ＜4，∴2|a|＜4，解得：﹣2＜a ＜2．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道中档题．欢迎访问“高中试卷网”——。
湖南省岳阳县第一中学2019届高三上学期期中数学(文)试卷(含答案)-超值
2018年下学期岳阳县一中高三第三次阶段考试试卷数学（文科）一．选择题（共12小题）1．集合A={x|y=ln （x ﹣1）}，集合B={x|﹣1＜x ＜2}，则（R C A ）∩B= （ B ） A ．（﹣1，1）B ．（﹣1，1]C ．（﹣1，2）D ．（1，2）2．已知条件p ：2x x 0-<，条件q ：x 10x 1+≤-，则p 是q 成立的 （ A ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.0.4 1.90.4a 1.9,b log 1.9,c 0.4===已知，则 （ C ）A ．a ＞b ＞cB ．b ＞c ＞aC ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b4．已知向量()()()a 3,1,b 0,1,c k,3==-=，若()a 2bc -⊥，则k 等于（ C ）A ．B ．2C ．﹣3D ．1※5．已知α为第二象限的角，且tan α=﹣34，则sin α+cos α= （ C ） A ．﹣75B ．﹣34 C ．﹣15D ．156．已知函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π），函数的最大值是2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，且f （x ）的图象关于直线x=6π对称，则下列判断正确的是 （ D ） A ．要得到函数f （x ）的图象，只需将y=2cos2x 的图象向左平移12π个单位B ．x ∈[,66ππ-]时，函数f （x ）的最小值是﹣2C ．函数f （x ）的图象关于直线x=﹣712π对称 D ．函数f （x ）在[23π，π]上单调递增 【分析】由题意可求A ，f （x ）的周期T ，利用周期公式可求ω，利用正弦函数的对称性可求φ，可得f （x ）的解析式，利用正弦函数的图象和性质逐一分析各个选项即可判断求解． 【解答】解：∵函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜），函数的最大值是2，∴A=2，∵其图象相邻两条对称轴之间的距离为，∴T==π，解得：ω=2，∵f （x ）的图象关于直线x=对称，∴2×+φ=k π+，k ∈Z ，解得：φ=k π+，k ∈Z ，又∵|φ|＜，解得：φ=．可得：f （x ）=2sin （2x+）．对于A ，将y=2cos2x 的图象向左平移个单位，可得：y=2cos[2（x+）]=2cos （2x+）的图象，故错误；对于B ，x ∈[﹣，]时，2x+∈[﹣，]，可得f （x ）=2sin （2x+）∈[﹣1，2]，故错误；对于C ，由于2sin[2×（﹣）+]=﹣2sin π=0≠±2，故错误； 对于D ，由x ∈[，π]，可得：2x+∈[，]，由正弦函数的图象和性质可得函数f （x ）在[，π]上单调递增，故正确．故选：D ．7．中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么最小的儿子分到的绵是 （ B ） A ．167斤 B ．184斤C ．191斤D ．201斤【分析】由题意可知，数列为等差数列，公差为d=17，n=8，S 8=996，以第1个儿子为首项，即可求出答案．【解答】解：由题意可知，数列为等差数列， 公差为d=17，n=8，S 8=996，以第最大的儿子为首项， ∴8a 1+×17=996，解得a 1=65，所以8a 184 故选：B ．8．执行如图程序框图，则输出结果为（ C ）A．20200 B．﹣5268.5 C．5050 D．﹣5151【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S=（﹣1）1×12+（﹣1）2×22+（﹣1）3×32+…+（﹣1）100×1002的值，由于S=（﹣1）1×12+（﹣1）2×22+（﹣1）3×32+…+（﹣1）100×100=（22﹣12）+（42﹣32）+…（1002﹣992）=3+7+11+…+199==5050．故选：C．9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ B ）A．B．C．D．8【分析】由三视图知该几何体是四棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是四棱锥，且底面是边长为2和4的长方形，由侧视图是等腰直角三角形，直角边长为2，∴该几何体的体积V==，故选：B．【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力． 10．已知函数f （x ）=asinx+bcosx （x ∈R ），若x=x 0是函数f （x ）的一条对称轴，且tanx 0=2，则点（a ，b ）所在的直线为 （ A ） A ．x ﹣2y=0B ．x+2y=0C ．2x ﹣y=0D ．2x+y=0 【解答】解：f （x ）=asinx+bcosx=（sinx+cosx ），令sin α=，则cos α=，即tan α=，则f （x ）=cos （x ﹣α），由x ﹣α=k π，得x=α+k π，k ∈Z ， 即函数的对称轴为x=α+k π，k ∈Z ， ∵x=x 0是函数f （x ）的一条对称轴，∴x 0=α+k π，则tanx 0=tan α==2，即a=2b ， 即a ﹣2b=0，则点（a ，b ）所在的直线为x ﹣2y=0， 故选：A ．11．若()f x 为奇函数，且0x 是()xy f x e =-的一个零点，则下列函数中，0x -一定是其零点的函数是 （ B ） A ．()xy f x e1-=-⋅-B ．()x y f x e 1=⋅+C ．()x y f x e 1=⋅-D ．()xy f x e 1=-⋅+【解析】由题意可得()00e 0x f x -=，所以()e 0x f x ---=的一个根为0x -，方程可变形为()e 10x f x --=，又因为()f x 为奇函数，所以()e 10x f x --=，即()e 10x f x +=有一个零点为0x -.选B.【点评】本题考查了等差数列的求和公式的应用．12．若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称(P ，Q )是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”(点组(P ，Q )与(Q ，P )看作同一个“伙伴点组”).已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx －1，x >0，－ln （－x ），x <0有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是( B ) A.(－∞，0) B.(0，1) C.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D.(0，＋∞)【解析】依题意，“伙伴点组”的点满足：都在y ＝f (x )的图象上，且关于坐标原点对称. 可作出函数y ＝－ln(－x )(x <0)关于原点对称的函数y ＝ln x (x >0)的图象， 使它与直线y ＝kx －1(x >0)的交点个数为2即可.当直线y ＝kx －1与y ＝ln x 的图象相切时，设切点为(m ，ln m )， 又y ＝ln x 的导数为y ′＝1x，则km －1＝ln m ，k ＝1m，解得m ＝1，k ＝1，可得函数y ＝ln x (x >0)的图象过(0，－1)点的切线的斜率为1， 结合图象可知k ∈(0，1)时两函数图象有两个交点. 二．填空题（共4小题） 13．复数2iz 1i=+（i 为虚数单位）的虚部为 1 ． ※14．若x ，y 满足约束条件2x y 0x y 3x 0-≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则z 2x y =+的最大值是 4 ．15．数列{a n }满足()*113n n n n a a a a n N ++-=∈, 数列{b n }满足1n nb a = ，且b 1+b 2+…b 9=90，则b 4•b 6= 91． 【解析】数列{a n }满足()*113n n n n a a a a n N ++-=∈， 可得11n a +﹣1na =3， 数列{b n }满足b n=1na ，可得{b n}为公差为3的等差数列，由b1+b2+…b9=90，可得9b1+8*92×3=90，解得b1=﹣2，[来源:学#科#网]则b4•b6=（﹣2+3×3）×（﹣2+5×3）=91．故答案为：91．16．四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a，则该四面体体积的最大值为a3．【解答】解：如图所示，在四面体ABCD中，若AB=BC=CD=AC=BD=a，AD=x，取AD的中点P，BC的中点E，连接BP，EP，CP，易证AD⊥平面BPC，所以V A﹣BCD=S△BPC×AD=×x=×=×≤a3，当且仅当，即x=时取等号．故答案为：a3，三．解答题（本大题共6小题，满分70分）17．设f（x）=log a（1+x）+log a（3﹣x）（a＞0，a≠1），且f（1）=2．（1）求a的值及f（x）的定义域．（2）求f（x）在区间[0，]上的值域．【分析】（1）由f（1）=2求得a的值，由对数的真数大于0求得f（x）的定义域；（2）判定f（x）在（﹣1，3）上的增减性，求出f（x）在[0，]上的最值，即得值域．【解答】解：（1）∵f（x）=log a（1+x）+log a（3﹣x），∴f（1）=log a2+log a2=log a4=2，∴a=2；又∵，∴x ∈（﹣1，3），∴f （x ）的定义域为（﹣1，3）．（2）∵f （x ）=log 2（1+x ）+log 2（3﹣x ）=log 2[（1+x ）（3﹣x ）]=log 2[﹣（x ﹣1）2+4]， ∴当x ∈（﹣1，1]时，f （x ）是增函数； 当x ∈（1，3）时，f （x ）是减函数，∴f （x ）在[0，]上的最大值是f （1）=log 24=2； 又∵f （0）=log 23，f （）=log 2=﹣2+log 215，∴f （0）＜f （）；∴f （x ）在[0，]上的最小值是f （0）=log 23； ∴f （x ）在区间[0，]上的值域是[log 23，2]．【点评】本题考查了求函数的定义域和值域的问题，利用对数函数的真数大于0可求得定义域，利用函数的单调性可求得值域．18．（本小题满分12分）如图，a ，b ，c 分别是锐角△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，，sin 4BAC 5∠=． （1）求sinC 的值；（2）若点D 在边BC 上且BD=3CD ，△ABC 的面积为14，求AD 的长度．【分析】（1）利用两角和与差的三角函数转化求出B 的大小，利用两角和的正弦函数求解C 的正弦函数值即可．（2）利用正弦定理求出BD ，然后利用余弦定理求解AD 即可． 【解答】解：（1）由题知，则，，因B 为锐角，所以……………………（3分），由，所以sinC=sin （∠B+∠BAC ）=sinBcos ∠BAC+cosBsin ∠BAC=……………………．（6分）（2）由正弦定理又，………………．（8分）解得……………………（9分）所以，由余弦定理，AD 2=AB 2+BD 2﹣2AB •BD •cosB ，解得AD=5…………………………（12分）【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查计算能力．19．如图，已知四棱锥P –ABCD ，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC AD ∥，CD ⊥AD ，PC =AD =2DC =2CB ，E 为PD 的中点．（1）证明：CE ∥平面PAB ；（2）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2． 【解析】（1）如图，设PA 中点为F ，连接EF ，FB ． 因为E ，F 分别为PD ，PA 中点， 所以EF AD ∥且12EF AD =， 又因为BC AD ∥，12BC AD =， 所以EF BC ∥且EF BC =，即四边形BCEF 为平行四边形， 所以CE BF ∥， 因此CE ∥平面PAB ．PABCDEMH 是MQ 在平面PBC 上的射影，所以∠QMH 是直线CE 与平面PBC 所成的角．设CD =1．在△PCD 中，由PC =2，CD =1，CE在△PBN 中，由PN =BN =1，PB QH =14，在Rt △MQH 中，QH=14，MQ ，所以sin ∠QMH ，所以直线CE 与平面PBC ． 【名师点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，属于中档题．证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面．本题（1）是就是利用方法①证明的． 20．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，向量=（S n ，2），满足条件⊥（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设c n =，求数列{c n }的前n 项和T n ．【分析】（1）根据向量的数量积和可得S n =2n+1﹣2，再根据数列的递推公式即可求出， （2）根据错位相减法即可求出数列{c n }的前n 项和T n 【解答】解：（1）∵⊥，∴•=S n +2﹣2n+1=0， ∴S n =2n+1﹣2，当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2n， 当n=1时，a 1=S 1=2满足上式， ∴a n =2n， （2）∵c n ==，∴，两边同乘，得，两式相减得：，∴．【点评】本题考查了向量的数量积和数列的递推公式以及错位相减法，属于中档题 21．已知函数()211ln 22f x x x =+-． （Ⅰ）证明曲线()f x 上任意一点处的切线斜率不小于2；（Ⅱ）设k R ∈，若()()2g x f x kx =-有两个极值点12,x x ，且12x x <，证明： ()22g x <-． 【解析】试题分析：(Ⅰ)先求导函数()f x '，只需证明()2f x '≥成立即可；（Ⅱ）令()()2112ln 2(0)22g x f x kx x x kx x =-=+-->， ()12g x x k x +-'=，可知()120g x x k x=+-='两根为12,x x ，结合韦达定理可化简得()222223ln (1)22x g x x x =-->，研究函数()23ln (1)22x h x x x =-->的单调性，可证结论.当1k >时， ()21212x kx g x x k x x-+=+-='， 由()0g x '=得2210x kx -+=， ()2410k ∆=->，设两根为12,x x ，则12122,1x x k x x +==，其中1201x k x k <=<<= ()g x 在()10,x 上递增，在()12,x x 上递减，在()2,x +∞上递增，从而()g x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，()()2222222212211ln 2ln 2222x x g x x kx x x x x =+--=+-+- 222222222113ln ln 2222x x x x x x x ⎛⎫=+-+-=-- ⎪⎝⎭， 即()222223ln (1)22x g x x x =-->， 构造函数()23ln (1)22x h x x x =-->， ()10h x x x-'=<， 所以()h x 在()1,+∞上单调递减， 且()12h =-．故()22g x <-．22．在平面直角坐标系xoy中，直线140C y +-=，曲线2:{(1x cos C y sin ϕϕϕ==+为参数），以以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系. ()I 求12,C C 的极坐标方程；()II 若曲线3C 的极坐标方程为(0,0)2πθαρα=><<，且曲线3C 分别交12,C C 于点,A B 两点，求OB OA 的最大值．【解析】()I cos ,sin x y ρθρθ==，1cos sin 40;C θρθ∴+-={ 1x cos y sin ϕϕ==+， ()2211x y ∴+-=， cos ,sin x y ρθρθ==， ()()22cos sin 11ρθρθ∴+-=， 22sin 0ρρθ∴-=， 2:2sin C ρθ∴=()II 曲线3C 为(0,0)2πθαρα=><<， 设()()12,,,A B ραρα，122sin ,ρρα==则)12112sin sin sin 21446OBOA ρπααααρ⎡⎤⎛⎫==⨯+=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ,3πα∴= max 3.4OB OA = 【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查三角函数最值的求法，是中档题．23．已知函数f （x ）=|x+a|．（1）当a=﹣5时，解不等式f （x ）≤1+|1﹣2x|；（2）若f （x ）+f （﹣x ）＜4存在实数解，求实数a 取值范围．【分析】（1）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）根据绝对值数据不等式的性质得到关于a 的不等式，解出即可．【解答】解：（1）|x ﹣5|﹣|2x ﹣1|≤1，当x ≤时，5﹣x ﹣1+2x ≤1，解得：x ≤﹣3， 当＜x ＜5时，5﹣x ﹣2x+1≤1，解得：≤x ＜5，当x ≥5时，x ﹣5﹣2x+1≤1，解得：x ≥﹣5，故x ≥5，综上：不等式解集为{x|x ≤﹣3或x ≥}；（2）存在x 使得|x+a|+|x ﹣a|＜4 成立，∴（|x+a|+|x ﹣a|）min ＜4，∴2|a|＜4，解得：﹣2＜a ＜2．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道中档题．欢迎访问“高中试卷网”——。
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2018-2019学年湖南省岳阳市岳阳县一中、汨罗一中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集2，3，4，5，，集合，，则A. B. 3，5，C. 3，4，D. 2，3，4，5，【答案】A【解析】【分析】进行并集、补集的运算即可．【详解】P∪Q={1，3，4，5}；∴∁U（P∪Q）={2，6}．故选：A．【点睛】考查列举法表示集合的概念，并集、补集的运算,属于基础题.2.函数的定义域为A. RB.C.D.【答案】D【解析】【分析】要使得f（x）有意义，显然需满足，这样解该不等式组即可求出f（x）的定义域．【详解】要使f（x）有意义，则；解得2＜x＜4；∴f（x）的定义域为（2，4）．故选：D．【点睛】本题考查函数定义域的概念及求法，对数函数的定义域，对数的真数大于0，属于基础题.3.已知，，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用对数函数的单调性比较b与c，再与常数0和1比较，得出结果.【详解】因为=log>1>0>且所以故选：C【点睛】本题考查的是利用对数函数的单调性比较b与c，再与常数0和1比较大小，这是常用的方法.4.已知幂函数在单调递增，则实数m的值为A. B. 3 C. 或3 D. 1或【答案】B【解析】【分析】根据幂函数的定义与性质，列方程求出m的值，再判断m是否满足条件．【详解】幂函数y=在（0，+∞）单调递增，∴m2﹣2m﹣2=1，解得m=3或m=﹣1；又m2+m﹣1＞0，∴m=3时满足条件，则实数m的值为3．故选：B．【点睛】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．5.在空间四边形ABCD中，，顺次连接它的各边中点E、F、G、H，所得四边形EFGH的形状是A. 梯形B. 矩形C. 正方形D. 菱形【答案】D【解析】【分析】作出如图的空间四边形，连接AC，BD可得一个三棱锥，将四个中点连接，得到一个四边形，可证明其是一个菱形．【详解】如图所示，空间四边形ABCD中，连接AC，BD可得一个三棱锥，将四个中点连接，得到四边形EFGH，由中位线的性质知，EH∥FG，EF∥HG；∴四边形EFGH是平行四边形，又AC=BD，∴HG=AC=BD=EH，∴四边形EFGH是菱形．故选：D．【点睛】本题考查了空间中直线与直线位置关系的应用问题，也考查了线线平行、中位线的性质应用问题，是基础题．6.已知函数在上为增函数，则实数m的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】若函数f（x）=2x2﹣mx+3在[﹣2，+∞）上为增函数，则，解得答案．【详解】若函数f（x）=2x2﹣mx+3在[﹣2，+∞）上为增函数，则，解得：m∈（﹣∞，﹣8]，故选：A．【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．7.方程的解的个数是A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】方程的解的个数等于函数和图像交点的个数，如图所示，可知函数和图像有两个交点．8.函数的单调递增区间是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求对数函数的定义域，再求t=﹣x2+2x+3在定义域内的增区间，再利用二次函数得性质得出结论．【详解】由函数f（x）=log2（﹣x2+2x+3），可得﹣x2+2x+3＞0，求得﹣1＜x＜3，故函数的定义域为{x|﹣1＜x＜3 }．函数f（x）=log2（﹣x2+2x+3）的单调递增区间，即t=﹣x2+2x+3在定义域内的增区间．而t=﹣x2+2x+3在定义域内的增区间为（﹣1，1），故选：C．【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，属于中档题．9.有一长方体木块，其顶点为，，，，一小虫从长方体木块的一顶点A绕其表面爬行到另一顶点，则小虫爬行的最短距离为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分三种情况，将两个平面展成一个平面后，对角线长最短，比较谁更小，即可．【详解】分三种情况：①当小虫沿表面经过棱BB1时，将平面A1ABB1和平面B1BCC1展成一个平面，则小虫沿对角线AC1爬，最短．此时最短距离为；②当小虫沿着表面经过棱A1B1时，将平面A1ABB1和平面A1B1C1D1展成一个平面，则小虫沿对角线AC爬，最短距离为：3；③当小虫沿着表面经过棱BC时，将平面ABCD和平面1BBCC1展成一个平面，则小虫沿对角线AC1爬，最短距离为：2，比较的大小可知，3最小．故选：B．【点睛】本题考查了多面体和旋转体表面上的最短距离，把两个平面展开成一个平面．属中档题．10.已知函数是偶函数，且在上是增函数，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由偶函数的性质可得不等式即：，结合在上是增函数脱去符号可得：，求解对数不等式可得：，表示为区间形式即.本题选择C选项.点睛：对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．11.函数的图象大致为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据条件判断函数的奇偶性，结合图象对称关系进行排除，然后利用特殊值的符号是否对应进行判断即可．【详解】f（﹣x）=﹣xln|﹣x|=﹣xlnx=﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除B，D，当x=时，f（）=ln||=ln＜0，排除C，故选：A．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和特殊值的符号的对应性是否一致进行排除是解决本题的关键．12.已知是定义在上的奇函数，且，当a，，且时，成立，若对任意的恒成立，则实数m的取值范围是A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用函数的奇偶性将已知不等式化为：a，b∈[﹣1，1]时，且a≠﹣b时，成立，根据增函数定义得函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，从而求得最大值为f（1）=1，然后将已知不等式先对x恒成立，再对a恒成立，就可以求出m的范围．【详解】∵f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，∴当a，b∈[﹣1，1]，且a≠﹣b时，有>0 成立，∴f（x）是定义在[﹣1，1]上的增函数，∴f（x）max=f（1）=1，∴f（x）＜m2﹣2am+1对任意的x∈[﹣1，1]恒成立⇔f（x）max＜m2﹣2am+1，∴1＜m2﹣2am+1，即2am﹣m2＜0对任意的a∈[﹣1，1]恒成立．令g（a）=2am﹣m2，则2am﹣m2＜0对任意的a∈[﹣1，1]恒成立转化为：解得：m＜﹣2 或m＞2．故选：B．【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单点调性、含三个变量的不等式对2个变量恒成立求第三个变量取值范围的问题．解决办法是按顺序先对一个字母恒成立，转化为最值，再对另一个字母恒成立，转化为最值即可．属难题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数的图象恒过定点P，则点P坐标为______．【答案】【解析】【分析】令对数的真数等于1，求得x、y的值，可得对数函数的图象经过的定点的坐标．【详解】函数y=log a（2x﹣1）+2，令2x﹣1=1，求得x=1，y=2，可得函数y=log a（2x﹣1）+2的图象恒过定点P（1，2），故答案为：（1，2）．【点睛】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，属于基础题．14.已知函数，则的值是__________．【答案】5【解析】由题意，得，，则.15.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则______【答案】【解析】【分析】根据题意，由函数为奇函数可得f（0）=0可求c，根据所求函数解析式可先求f（2），再根据f（﹣2）=﹣f （2）即可求解．【详解】根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时，f（x）=2x﹣c，∴f（0）=1﹣c=0，∴c=1，又由当x≥0时，f（x）=2x﹣1，∴f（2）=3，又由函数为奇函数，则f（﹣2）=﹣f（2）=﹣3，故答案为：﹣3．【点睛】本题考查函数奇偶性的性质，关键是充分利用奇函数的性质．16.定义区间，，，的长度均为，其中已知函数的定义域为，值域为，则区间长度的最大值与最小值的差______．【答案】1【解析】【分析】函数的图象，如图所示，y=|2x﹣1|=，x=﹣1或，求出区间[a，b]长度的最大值与最小值，即可得出结论．【详解】函数的图象，如图所示，y=|2x﹣1|=，x=﹣1或，故[a，b]的长度的最大值为﹣（﹣1）=+1，最小值为﹣0=，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为1，故答案为:1．【点睛】考查学生理解掌握指数函数定义域和值域的能力，运用指数函数图象增减性解决数学问题的能力．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.计算下列各式的值：；已知，求和的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1）利用对数的性质、运算法则直接求解．（2）利用指数的性质、运算法则直接求解．【详解】解：．，．，，．【点睛】本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.已知函数，，且．1判断并证明函数的奇偶性；2求满足的实数x的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）当时x的取值范围是；当时x的取值范围是．【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意，先求出函数的定义域，进而结合函数的解析式可得f（﹣x）=﹣f（x），即可得结论；（Ⅱ）根据题意，f（x）＞0即log a（2+x）＞log a（2﹣x），分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论可得x的取值范围，综合即可得答案．【详解】解：1根据题意，，则有，解可得，则函数的定义域为，又由，则是奇函数；2由得当时，，解得；当时，，解得；当时x的取值范围是；当时x的取值范围是．【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，注意判断奇偶性要先求出函数的定义域，属于中档题．19.如图，圆柱的底面半径为，球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．(Ⅰ) 计算圆柱的表面积；(Ⅱ）计算图中圆锥、球、圆柱的体积比．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）.【解析】【分析】(1)根据圆柱侧面积加两个底面积得圆柱表面积，(2)根据圆锥、球、圆柱的体积公式计算，再求比值.【详解】(Ⅰ)已知圆柱的底面半径为，则圆柱和圆锥的高为，圆锥和球的底面半径为，则圆柱的表面积为；(Ⅱ）由(Ⅰ)知，，【点睛】本题考查圆柱侧面积以及圆锥、球、圆柱的体积公式，考查基本求解能力.20.如图所示，在正方体中，S，E，G分别是，BC，SC的中点．求证：直线平面．求直线EG与所成角的正切值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接SB，则EG∥SB，由此能证明直线EG∥平面BDD1B1．（2）取BD的中点O，连接SO，则SO∥DD1，EG∥SB，从而∠BSO为直线EG与DD1所成角，由此能求出直线EG与DD1所成角的正切值．【详解】证明：如图，连接SB，、G分别是BC、SC的中点，∴，又平面，EG平面，直线EG∥平面解：取BD的中点O，连接SO，则，由知，则为直线EG与所成角，设，则，，，，直线EG与所成角的正切值为【点睛】本题考查线面平行的证明和线面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.我国加入WTO时，根据达成的协议，某产品的市场供应量P与市场价格x的关系近似满足其中t为关税的税率，且，x为市场价格，b、k为正常数当时的市场供应量曲线如图所示．根据图象求b、k的值当关税的税率时，求市场供应量P不低于1024时，市场价格至少为多少？【答案】（1），；（2）市场供应量P不低于1024时，市场价格至少为1024【解析】【分析】（1）根据待定系数法即可求出k，b的值，（2）根据指数函数的图象和性质可得≥10，解得即可【详解】解：由图可知，解得，解得，，由可得，设，当时，，市场供应量P不低于1024时，，解得，，解得故市场供应量P不低于1024时，市场价格至少为1024．【点睛】本题考查了指数函数在实际生活中的应用和分析问题，解决问题的能力，属于中档题．22.已知二次函数满足，且的最小值是．求的解析式；若关于x的方程在区间上有唯一实数根，求实数m的取值范围；函数，对任意，都有恒成立，求实数t的取值范围．【答案】（1）(2) （3）【解析】试题分析：（1）因，故对称轴为，故可设，再由得.（2）有唯一实数根可以转化为与有唯一的交点去考虑.（3），任意都有不等式成立等价于，分、、和四种情形讨论即可. 解析：（1）因，对称轴为，设，由得，所以.（2）由方程得，即直线与函数的图象有且只有一个交点，作出函数在的图象.易得当或时函数图象与直线只有一个交点，所以的取值范围是.（3）由题意知.假设存在实数满足条件，对任意都有成立，即，故有，由.当时，在上为增函数，，所以；当时，，.即，解得，所以.当时，即解得.所以.当时，，即，所以，综上所述，，所以当时，使得对任意都有成立.点睛：（1）求二次函数的解析式，一般用待定系数法，有时也需要根据题设的特点合理假设二次函数的形式（如双根式、顶点式、一般式）；（2）不等式对任意的恒成立可以等价转化为恒成立.。