2019年全国高考理科数学模拟试题
2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟试题卷
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟试题卷注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合}02|{2<--=x x x A ，}log |{2m x x B >=，若B A ⊆，则实数m 的取值范围（ ）A ．]21,(-∞ B ．]4,0(C ．]1,21(D ．]21,0(2. 若复数z 满足232z z i +=-，其中i 为虚数单位，则z=（ ） A ．1+2i B ．1﹣2i C ．﹣1+2i D ．﹣1﹣2i3．在等差数列{}n a 中，810112a a =+，则数列{}n a 的前11项和( ) A. 8 B. 16 C. 22 D. 44 4． 某几何体的三视图如图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为A ．9214π+B ．8214π+C ．9224π+D ．8224π+ 5．若)()1(*3N n xx x n∈+的展开式中存在常数项，则下列选项中n 可为( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 6．某地区高考改革，实行“3+1+2”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有 ( ) A. 8种 B. 12种 C. 16种 D. 20种7. 已知抛物线C: 28=x y ，定点A （0，2），B （0，2-），点P 是抛物线C 上不同于顶点的动点，则∠PBA 的取值范围为 （ ）A. 0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 42，ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 32，ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭8． 若0>ω，函数)3cos(πω+=x y 的图象向右平移3π个单位长度后与函数x y ωsin =图象重合，则ω的最小值为11S=A.211 B.25 C.21 D.239．抛掷两枚骰子，当至少有一枚5点或6点出现时，就说这次试验成功，则在9次试验中成功次数的均值为（ ）A. 3B. 4C. 5D.610. 如图，已知圆锥的顶点为S ，底面圆O 的两条直径分别为AB 和CD ，且AB ⊥CD ，若平面 SAD 平面SBC l =．现有以下四个结论： ① AD ∥平面SBC ； ② AD l //；③ 若E 是底面圆周上的动点，则△SAE 的最大面积等于△SAB 的面积； ④ l 与平面SCD 所成的角为45°． 其中正确结论的个数是( )A. 1B.2C. 3D.411．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为1F 、2F ，且两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形，若110PF =，椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e ，则21e e -的取值范围是( )A ． 2(,)3+∞B ． 4(,)3+∞C ． 2(0,)3D ． 24(,)3312．在数学史上，中国古代数学名著《周髀算经》、《九章算术》、《孔子经》、《张邱建算经》等，对等差级数(数列)])1([)3()2()(d n a d a d a d a a -++⋅⋅⋅+++++++和等比级数（数列）132-+⋅⋅⋅++++n aq aq aq aq a ，都有列举出计算的例子，说明中国古代对数列的研究曾作出一定的贡献.请同学们根据所学数列及有关知识求解下列问题.数阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231232221131211a a a a a a a a a 中，每行的3个数依次成等差数列，每列的3个数依次成等比数列，若422=a ，则这9个数和的最小值为A. 64B.C. 36D. 16二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知平面向量,满足)3,2(,3||,2||=-==, 则=+|| . 14．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果为65，则判断框中的条件m i <中的整数m 的值是 .15. 已知 ， 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤+≥041c by ax y x x ，且目标函数y x z +=2的最大值为 ，最小值为 ，则acb a ++= . 16. 已知0a ＞，若不等式(2)2xax x e +-＞恰好有两个整数解，则a 的取值范围是的 .三、解答题（共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22, 23题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分. 17.（本小题满分12分）已知(2cos ,)=a x x ，(cos ,cos )b x x =-，b a x f ⋅=)(.（1）求函数)(x f y =的最小正周期以及单调递增区间；（2）若锐角ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若1)(-=A f ，1a =，求A B C∆周长的取值范围.18.（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，已知11190B C A ∠=︒，11AB A C ⊥，且1AA AC =.（1）求证：平面11ACC A ⊥平面111A B C ；（2）若11112AA AC B C ===，求二面角111C AA B --的余弦值．19．（本小题满分12分）在2018年高考数学的全国I 卷中，文科和理科的选做题题目完全相同，第22题考查坐标系和参数方程，第23题考查不等式选讲 某校高三质量检测的命题采用了全国I 卷的模式，在测试结束后，该校数学组教师对该校全体高三学生的选做题得分情况进行了统计，得到两题得分的统计表如下已知每名学生只做了一道题 ：（第22题的得分统计表） （ 第23题的得分统计表）(1) 完成如下2x 2列联表，并判断能否有 的把握认为“选做题的选择”与“文、理科的科类”有关；(2) 现有4求这4名考生中至少有2人得分不低于8分的概率；(3) 若以选题的得分率作为决策依据，如果你是当年的考生，你会选择做哪道题，并说明理由.得分率 题目平均分 题目满分 ，结果精确到附：)(22bc ad n K -=，其中.d c b a n +++=20已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左，右焦点分别为12,F F ，过1F 且斜率不为0的直线l 交椭圆C 于M, N 两点，2MNF ∆的周长为8，且2F 到M,N 两点的距离之和的最大值为5. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若椭圆C 的左，右顶点分别为A ，B ，证明：直线MA ，NB 的交点P 在定直线m 上，并求出直线m 的方程.21．（本小题满分12分）设函数22ln )(x a x x x f -= （1）当),0(+∞∈x ，02)(≤+x ax f 恒成立，求实数a的取值范围； （2）设x x f x g -=)()(在],1[2e 上有两个极值点1x ，2x ．① 求实数a 的取值范围； ② 求证：.2ln 1ln 121ae x x >+(二)选考题（共10分。
2019高考理科数学模拟试题10套及答案解析
理科数学 2019年高考模拟试卷理科数学考试时间____分钟题型单项选择题填空题简答题总分得分单项选择题本大题共8小题每题____分共____分。
1.已知会集A={x||x|<2}B={–2012}则AB=A. {01}B. {–101}C. {–2012}D. {–1012}2.在复平面内复数的共轭复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.执行以下列图的程序框图输出的s值为A.B.C.D.4.“十二平均律”是通用的音律系统明朝朱载堉最早用数学方法计算出半音比率为这个理论的发展做出了重要贡献十二平均律将一个纯八度音程分成十二份依次获取十三个单音从第二个单音起每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f则第八个单音的频率为A.B.C.D. 5.某四棱锥的三视图以下列图在此四棱锥的侧面中直角三角形的个数为A. 1B. 2C. 3D. 46.设a b均为单位向量则“”是“a⊥b”的A. 充分而不用要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不用要条件7.在平面直角坐标系中记d为点P cosθsinθ到直线的距离当θm变化时d的最大值为A. 1B. 2C. 3D. 48.设会集则A. 对任意实数aB. 对任意实数a21C. 当且仅当a<0时21D. 当且仅当时21填空题本大题共6小题每题____分共____分。
9.设是等差数列且a1=3a2+a5=36则的通项公式为__________10.在极坐标系中直线与圆相切则a=__________11.设函数f x=若对任意的实数x都建立则ω的最小值为__________12.若x y满足x+1≤y≤2x则2y−x的最小值是__________13.能说明“若f x>f0对任意的x∈02都建立则f x在02上是增函数”为假命题的一个函数是__________14.已知椭圆双曲线若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的极点则椭圆M的离心率为__________双曲线N的离心率为__________简答题综合题本大题共6小题每题____分共____分。
2019年全国高考理科数学模拟试题4及详细答案(精校版)
2019年全国高考理科数学模拟试题4及详细答案（精校版）一、选择题（共12小题，每题5分，总分60分）1.集合,,则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】首先求得集合M,N，然后求解其交集即可.由题意可得：，，结合交集的定义可知：.本题选择B选项.2.已知f（x）=x2+2x·f＇（1），则f＇（0）等于（）A. 0B. –2C. 2D. – 4【答案】D【解析】因为f′（x）=2x+2f′（1），令x=1，可得f′（1）=2+2f′（1），∴f′（1）=-2，∴f′（x）=2x+2f′（1）=2x-4，当x=0，f′（0）=-4．故选D．3.下列命题中为真命题的是（）A. 若B. 命题：若，则或的逆否命题为：若且，则C. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件D. 若命题，则【答案】B【解析】分析：对四个命题，分别进行判断，即可得出结论．详解：对于A，，利用基本不等式，可得，故不正确；对于B，命题：若，则或的逆否命题为：若且，则，正确；对于C，“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件，故不正确；对于D，命题命题，则，故不正确．故选：B．4.若曲线在点(0, b)处的切线方程是, 则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】略5.函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则函数在内有极小值点（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A【解析】6.设函数,则满足的的取值范围是（）A. ,2]B. [0,2]C. [1,+)D. [0,+ )【答案】D【解析】时,成立;时,,即,则.选D.7.设，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：因为，所以；因为，所以；因为，所以，即，因此，答案选C．8.方程的解所在区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令函数，则函数是上的单调增函数，且是连续函数，根据，可得函数的零点所在的区间为，由此可得方程的解所在区间．令函数，则函数是上的单调增函数，且是连续函数.∵，∴∴故函数的零点所在的区间为∴方程的解所在区间是故选C.9.定义在上的偶函数在上递增,,则满足的的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意，，利用定义在上的偶函数在上递增，可得不等式，从而可求的取值范围．由题意，函数是定义在上的偶函数，且.∵∴∵函数在上递增∴∴或∴或∴的取值范围是故选B.10.函数的图象大致是( )A. B.C. D.【答案】C【解析】函数y＝＋sin x为奇函数，图象关于原点对称，排除B.在同一坐标系下作出函数f(x)＝，f(x)＝－sin x的图象，由图象可知函数y＝＋sin x只有一个零点0且当x>0时f(x)>0，∴选C.11.若不等式对恒成立,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知条件推导出在恒成立，令，利用导数性质求出函数的最小值，由此能求出实数的取值范围．【详解】∵对恒成立∴在恒成立令，则.由得，即在上为增函数；由得，即在上为减函数，∴∴∴实数的取值范围是故选B.12.设是定义在上的奇函数,且,当时,有恒成立,则不等式的解集为( )A. B.C. D.【答案】D【解析】由已知当时总有成立，可构造函数，即可判断函数为减函数，由是定义在上的奇函数，可得为上的偶函数，根据函数在上的单调性和奇偶性，结合的图象，解不等式即可设，则.∵当时，有恒成立∴当时，，即在上为减函数又∵是定义在上的奇函数∴，即为上的偶函数.∵∴函数的图象如图：∵，且∴∴∴根据图象可得或∴不等式的解集为故选D.二、填空题（共4小题，每题5分，总分20分）13.已知幂函数为偶函数，且在区间上是单调增函数，则的值为______________．【答案】16【解析】由题意可得幂指数为偶数，且幂指数为正数，根据当时，幂指数为4，符合题意，可得幂函数的解析式，从而可得的值．∵幂函数为偶函数∴幂指数为偶数∵幂函数在区间上是单调增函数．∴幂指数为正数，即>0解得-3<m<1,所以m=-2,-1,0∴对取值，得到当时，幂指数为4，符合题意，∴解析式为，则.故答案为14.给出下列命题:①“若,则有实根”的逆否命题为真命题;②命题“,”为真命题的一个充分不必要条件是;③命题“,使得”的否定是真命题;④命题:函数为偶函数;命题:函数在上为增函数,则为真命题.其中正确命题的序号是__________【答案】①③【解析】①若，则，故有实根，原命题为真，所以逆否命题也为真，真确；②命题“，”为真命题，则，所以是充要条件，故不正确；③命题“，使得”的否定是，成立；④函数为偶函数成立，所以命题为真，函数在上为增函数成立，命题也为真，为假，所以为假命题，不正确；故答案为①③.15.函数在区间上的值域是,则的最小值是____.【答案】【解析】先画出函数图象，再数形结合得到、的范围，最后计算的最小值即可.函数的图象如图所示：∵∴根据图可知，∴当，，取得最小值为故答案位.16.已知函数,若函数在上为单调函数,则的取值范围是_______________ . 【答案】【解析】f′(x)＝－4x＋，若函数f(x)在[1,2]上为单调函数，即f′(x)＝－4x＋≥0或f′(x)＝－4x＋≤0在[1,2]上恒成立，即≥4x－或≤4x－在[1,2]上恒成立．令h(x)＝4x－，则h(x)在[1,2]上单调递增，所以≥h(2)或≤h(1)，即≥或≤3，又a＞0，所以0＜a≤或a≥1.三、解答题（共6题，总分70分）17.设命题:实数满足,其中;命题:实数满足.(1)若,且为真,求实数的取值范围;(2)若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.解：(1)由得,又,所以,当时, ,即为真时实数的取值范围是.为真时等价于,得,即为真时实数的取值范围是.若为真,则真且真,所以实数的取值范围是.(2)∵是的充分不必要条件∴是的充分不必要条件.∴应满足:,且,解得.∴的取值范围为:.18.已知函数.（1）求函数的定义域;（2）求函数的零点;（3）若函数的最小值为,求的值。
2019全国全国卷模拟原创卷 数学理科(含详细解析)
2019高考全国卷模拟试卷原创试题数学理科一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合2{|230}A x x x =--+>,{|1213}B x x =-≤-≤,则A B ⋂=( ) A.(,0]-∞ B.(3,2]- C.[0,1) D.(1,)+∞2.已知,a b 是单位向量,且(3)1+=-a a b ,则,a b 夹角的余弦值为( )A.23-B.13-C.23D.133.已知2z a i =+(i 为虚数单位,)a R ∈,则下列命题不正确的是( )A.若||2z =,则0a =B.若1z为纯虚数,则0a = C.若2z 为实数,则0a = D.若22z z =,则0a =4.已知双曲线2221(0)x y a a-=>的离心率为2,则a =( )A.3B.33C.2D.2 5.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足lg(8)1()401x x x f x x ⎧+≥⎪=⎨<<⎪⎩,则1(2)()2f f -+-=( )A.3B.－3C.2D.－26.如下图的折线图是某企业1-12月份的收入与支出数据,若从这12个月份中任选两个月的数据进行分析,则这两个月利润(利润=收入-支出)都超过30万的概率为( )A.112 B.118 C.122 D.1247.已知α为第二象限角,且4sin 5α=,则5sin(2)cos()2παπα+++=( ) A.35 B.45- C.25- D.158.某程序的框图如图所示,则运行该程序输出的结果为( )A.5B.18C.58D.62 9.已知3()nx x-展开式中所有项的系数之和为32-,则展开式中的1x的系数为( ) A.－270 B.－90 C.90 D.270 10.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A.316π+B.416π+C.38π+D.48π+ 11.若存在0x >时,使得不等式123xmx m e ≤-+成立,则实数m 的取值范围是( ) A.(,1]-∞ B.(,2]-∞ C.[1,2] D.[2,+)∞ 12.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,若212n nS S n ++=(*)n N ∈,命题p :若10a =,则{}n a为常数数列;命题q :{}n a 为递增数列的充分不必要条件是1102a <≤.则下列命题正确是( ) A.p q ∧ B.p q ∨⌝ C.p q ⌝∧ D.p q ⌝∧⌝二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.)13.某家店卖场,在一周内,计划销售A,B 两种电器,已知这两种电器每台的进价都是1万元,若厂家规定,一家卖场进货的B 的台数不低于A 的台数,且至少要进货B 至少一台,而销售一台A,B 的利润分别为1千元和1千500元,所进电器都能销售出去,则该卖场在一个月内销售A,B 电器的利润的最大值为 .14.中国古代数学名著《九章算术》中记载:“今有羡除”.刘徽注:“羡除,隧道也.其所穿地,上平下邪.”现有一个羡除如图所示,四边形ABCD 、ABFE 、CDEF 均为等腰梯形,AB ∥CD ∥EF ,AB=4,CD=6,EF 到平面ABCD 之间的距离为4,AD=BC=6,则其中四棱锥E-ABCD 的体积为15.在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a ,b ,c ,若cos cos a B b A c -=,且222222a c b ac +-=,则ac= . 16.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左,右焦点分别为F 1,F 2,离心率为22,点A 在椭圆上,且AF 1⊥F 1F 2,连接AF 2,并延长与椭圆交于点B,若22AF F B λ=(0)λ>,则λ= .三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）（一）必考题：共60分.17.(本题满分12分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若2436a a +=,8216S =. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)若12(1)()6n n n a b +=-,求{}n b 的前n 项和18T .18.(本题满分12分)如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,且PA=PC=6,AB=BC=AC=4,点D,O分别是PA,AC的中点.(1)求证:平面BOD⊥平面PAC;(2)求平面BOD与平面PBC所成锐二面角的余弦值.19.(本题满分12分)为提高同学们对数学的学习兴趣,某校开设了数学兴趣班,共有50名学生参加,经过一个月的培训后,该兴趣班每人分别写一篇数学论文,并由评委打分,其得分情况可以绘制成如下的频率分布直方图(满分100分).其中男同学情况如下:得分[70,75) [75,80) [80,85) [85,90) [90,95) [95,100] 男同学人数 4 6 9 6 3 4(1)若得分不低于80分的论文定位优秀论文,优秀论文所占比例高者视为热爱数学团体.①若按性别来看,获得数学爱好者团体的是男同学还是女同学?②试分析:有没有95%以上的把握认为这种区分是合理的?参考公式与数据:22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++(2)若从得分为[70,75),[85,90)的同学中各选取1名同学进行座谈,设其中女同学的人数为ξ,求ξ的分布列与数学.20.(本题满分12分)已知过抛物线E:22(0)y px p =->焦点F 的直线l :y x m =+与圆22(1)2x y +-=相切.(1)求抛物线E 的方程;(2)若直线l 1:21y x =+与抛物线E 交于P,Q 两点,在x 轴上是否存在点N,使得∠PNF= ∠QNF?若存在求出点N 的坐标及△NPQ 的面积;否则,请说明理由.21.(本题满分12分)已知函数()()ln 1f x x m x =-+. (1)若()f x 在[1,)+∞上单调递增,求实数m 的取值范围;(2)试分析函数()f x 在411[,]e e上的零点的个数.22.选修4-4：坐标系与参数方程(本题满分10分)已知曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(其中θ为参数),以原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为cos 2sin 0m ρθρθ-+=. (1)若直线l 与曲线C 相交,求实数m 的取值范围; (2)若6m =,求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值.22.选修4-5：不等式选讲(本题满分10分) 已知0,0a b >>,且2a b +=. (1)求证:31314a b +++≤;(2)求11+11a b ++的最小值.答案与详细解析1.C 解析:本题考查集合的交集运算、一元二次不等式的求解,考查运算求解能力.(3,1),[0,2]A B =-=,则[0,1)A B ⋂=.2. A 解析:本题考查平面向量的数量积运算,夹角的求解,考查运算求解能力与逻辑推理能力.设,a b 的夹角为θ,由(3)1+=-a a b 可得231+⋅=-a a b ,即13cos 1θ+=-,解之得2cos 3θ=-.3. D 解析:本题考查复数的概念与计算,考查运算求解能力.根据复数的运算易知,选项A,B,C都可以得到0a =的结论,对于选项D,由22z z =可得0z =或2z =,显然不存在满足条件的实数a ,即选项D 是错误的.【易错剖析】复数问题中,对概念的理解是解题的关键,特别是复数的模长与复数的平方问题往往会与平面向量的计算混淆,这是导致错误的重要原因.要避免这类错误,需要正确理解复数的有关概念,把复数设为a bi +的形式,再计算往往可以避免错误.4. B 解析:本题考查双曲线的性质,考查运算求解能力.由双曲线的离心率可得212a a+=,解之得33a =. 5.B 解析:本题考查函数的奇偶性与函数的求值,考查分类讨论的数学思想.由()f x 是定义在R 上的奇函数可得11(2)()(2)()12322f f f f -+-=--=--=-. 6.C 解析:本题考查折线图与概率的求解,考查应用意识.这12个月中,利润超过30万的有3个月,故所求概率为23212122C P C ==.7. B 解析:本题考查三角函数公式的灵活应用,考查运算求解能力.由条件可得3cos 5α=-,则5sin(2)cos()2παπα+++=5cos 2cos αα-25(2cos 1)cos αα=--45=-. 【易错剖析】在利用4sin 5α=求cos α时,忽略角α所在的象限,可能会得出3cos 5α=,从而导致错误,避免这类错误需要对角α在四个象限内的三角函数的正负,并能灵活应用. 8.B 解析:本题考查程序框图的应用,考查逻辑推理能力.程序的运行过程如下:i=0,S=0;i=1,S=1;i=2,S=5;i=3,S=18;i=4,输出结果S=18.9.A 解析:本题考查二项式定理的应用,考查运算求解能力.在3()nx x-中,令1x =可得展开式中,所有项的系数之和为(2)32n -=-,故5n =,则展开式中的第r +1项为5521553()(3)r r r r r rr T C x C x x --+=⋅⋅-=-⋅⋅,令521r -=-可得3r =,故展开式中的1x的系数为335(3)270C -⋅=-.10. A 解析:本题考查几何体的三视图及表面积的计算,考查空间想象能力.由所给三视图可知,该几何体为圆柱与长方体的组合体,故表面积为2212112(21212)316πππ⨯+⨯⨯+⨯+⨯+=+.【易错剖析】三视图问题的关键是分析三视图对应的几何体,与组合体有关的表面积求解问题,混淆被遮挡部分的表面积往往会导致错误,因此,实际解题中科院通过正确理解三视图中几何体之间的关系通常可以避免错误.11.B 解析:本题考查不等式导数的综合应用,考查逻辑推理能力与运算求解能力. 由于0xe >,所以不等式123x mx m e≤-+可化为(23)1xe mx m +-≤.若0m ≤,不等式显然成立;设()(23)xf x e mx m =+-,则'()(33)xf x e mx m =+-.当1m ≥时,'()0f x >在(0,)+∞上恒成立,故()f x 在(0,)+∞上单调递增,所以,()(0)23f x f m >=-,则只需231m -≤,故12m ≤≤;当01m <<时,由'()0f x >可得33mx m->,由'()0f x <可得330m x m -<<,故()f x 在33(0,)m m -上单调递减,在33(,+)mm-∞上单调递增,故()f x的最小值为3333()01mm mf me m--=-<<,满足条件.综上可知,实数m 的取值范围是(,2]-∞.【难点突破】不等式成立问题一般可以转化为函数的最值问题,本题所给不等式看四级简单,但直接运算比较复杂,根据0xe >把不等式转化为整式的形式再求解,可以避免运算的麻烦,而函数的最大值与最小值一般可以借助函数的单调性进行求解,对参数的正确分类往往是解题的关键.12. C 解析:本题考查数列的通项公式与求和,考查逻辑推理能力与运算求解能力. 在212n n S S n ++=中,令1n =可得1222a a +=,则2122a a =-.由212n n S S n ++=①，可得212(1)n n S S n -+=-(2)n ≥②，由①－②可得142n n a a n ++=-,即12[2(1)]n n a n a n +-=---.当10a =时,22a =,12n a n +=,则2(1)n a n =-(2)n ≥,数列{}n a 递增, {}n a 不是常数数列,即p 是假命题;当10a ≠时,1212(1)n n a na n +-=---(2)n ≥,故1212(1)n n a na n +-=---,所以,214(1)(22)(1)n n a n a ---=-⋅-,即21(22)(1)4(1)n n a a n -=-⋅-+-.由条件可得12a a <且1n n a a +<对任意的正整数2n ≥恒成立.由12a a <可得1122a a <-,解之得123a <;由1n n a a +<可得2111(22)(1)4(1)(22)(1)4n n a n a n ---⋅-+-<-⋅-+,即11(1)(22)2n a --->-.当n 为奇数时,12a <;当n 为偶数时,10a >.综上可知,数列{}n a 的首项1a 的取值范围是2[0,)3,而1(0,]2是2[0,)3的真子集,故q 是真命题,故正确的命题为p q ⌝∧.【难点突破】要解本题,首先要根据条件求出{}n a 的通项公式,这样只需根据1112n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩把已知条件转化为数列各项之间的关系,进而可以分析数列的通项公式,即可得到p ,q 的真假,这是得出正确结论的关键.13.0.5 解析:本题考查线性规划的应用,考查数形结合思想的应用.设该卖场进货A,B 的台数分别为x 台,y 台,则401,x y y x y x N y N+-≤⎧⎪≤⎪⎨≥⎪⎪∈∈⎩,利润0.10.15z x y =+,不等式组表示的平面区域如图所示其中点A(1,1),B(3,1),C(2,2),易得0.10.15z x y =+在点C 处取得最大值0.5.14.20353解析:本题考查空间几何体体积的求解,考查空间想象能力.由条件可得ABCD 是一个等腰梯形,高为226135-=,故四棱锥E-ABCD 的体积为:112035(4+6)354=323⨯⨯⨯. 【易错剖析】求棱锥的体积关键是求出底面积和高,从所给数据中提取重要信息即可得出结论.15.4解析:本题考查正弦定理与余弦定理的应用,考查运算求解能力.由cos cos a B b A c -=及正弦定理可得sin cos sin cos sin A B B A C -=,而sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+,故sin cos cos sin B A A B-=,而sin 0B >,所以,cos 0A =,及90A =︒,由222222a c b ac +-=及余弦定理可得2221cos 24a cb B ac +-==,则14cos a c B ==. 16.5 解析:本题考查椭圆的定义与性质,考查运算求解能力. 设1(,0)(0)F c c ->,由离心率可得22c a =,故2,a c b c ==,将x c =-代入椭圆可得22c y =±,不妨设2(,)2cA c -,00(,)B x y ,由22AF F B λ=可得 002(2,)(,)2c c x c y λ-=-,故00222c c x cy λλλ+⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,把点B 的坐标代入椭圆方程可得222222()()212c cc cc λλλ+-+=,解之得5λ=(舍去负值). 【难点突破】根据所给条件,由椭圆的离心率可以得到a,b,c 的关系,平面向量的运算一般可以转化为坐标运算,因此,解本题的关键是求出点A,B 的坐标,再代入椭圆的方程建立方程即可得出结论.17.【解题指导】(1)利用等差数列与等边数列的定义建立方程组,求出{}n a 的首项与公差即可;(2)求出{}n b 的通项公式,根据各项的正负分类计算即可得出结论. 解:(1)设{}n a 公差为d ,由2436a a +=可得3236a =,故31218a a d =+= ① 由8216S =可得1828216a d += ② 由①②可得16a d ==,∴ 数列{}n a 的通项公式6n a n =; (2)由12(1)()6n n n a b +=-可得12(1)n n b n +=-⋅, ∴ 18T 222222(12)(34)(1718)=-+-++-(12)(12)(34)(34)(1718)(1718)=-++-+++-+(12318)=-++++18(181)1712+=-=-. 18.【解题指导】(1)根据平面垂直的判定定理,把问题转化为线面垂直,再利用线面垂直的判定定理即可得出结论;(2)建立空间直角坐标系,再求出两个平面的法向量,把二面角转化为两个法向量所成的角,再利用向量的运算公式即可得出结论. 解:(1)∵ AB=BC,O 为AC 中点 ∴ OB ⊥AC,又平面PAC ⊥平面ABC,且平面PAC ⋂平面ABC=AC, ∴ OB ⊥平面PAC, 而OB ⊂平面BOD∴ 平面BOD ⊥平面PAC;(2)连接OP,易证OA,OB,OP 两两垂直,分别以OB,OA,OP 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系O-xyz .则O(0,0,0),(23,0,0)B ,(0,2,0)C -,(0,2,0)A ,(0,0,42)P ,故(0,1,22)D ,则(23,0,0),(0,1,22)OB OD ==,(23,2,0),(23,0,42)BC PB =--=-,设平面BOD 的一个法向量为1111(,,)x y z =n ,由1100OB OD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 可得111230220x y z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩,令11z =可得1(0,22,1)=-n , 设平面PBC 的一个法向量为2222(,,)x y z =n ,由2200BC PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 可得2222232023420x y x z ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩,令23z =可得2(22,26,3)=-n , 平面BOD 与平面PBC 所成锐二面角为θ, 则1212933105cos ||||35335θ⋅===⋅⨯n n n n .∴平面BOD与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为3105 35.19.【解题指导】(1)根据已知数据求出男,女同学优秀的比例,再求出K2,与已知数据对比即可得出结论;先分析出[70,75),[85,90)的个数及ξ的可能取值,利用概率与数学期望的求解公式即可得出结论.解:(1)①男同学一共有32,获得优秀的有23,女同学一共有18,获得优秀的有8,男,女同学获得优秀的比例分别为2332,84=189,显然234329>,故获得数学爱好者团体的是男同学;②根据论文是否优秀,可得以下2×2列联表:男同学女同学合计论文优秀23 10 33 论文不优秀9 8 17 合计32 18 50则22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++250(238109)32183317⨯-⨯=⨯⨯⨯1.367 1.323≈>∴有95%以上的把握认为这种区分是合理的;(2)由所给数据可得成绩在[70,75),[85,90)内的同学分别为5人,10人,其中女同学人数分别为1人,4人.ξ的所有可能取值为:0,1,2.则11461151012(0)25C CPC Cξ===,111644111151051011(1)25C C CPC C C Cξ==+=,14115102(2)25CPC Cξ===,故ξ的分布列为ξ0 1 2P12251125225∴ξ的数学期望值为121123 0122525255 Eξ=⨯+⨯+⨯=;20.【解题指导】(1)先利用直线与圆相切,求出直线l的方程,进而求出抛物线的焦点及抛物线的方程;(2)把直线和抛物线方程联立,把∠PNF=∠QNF 转化为0PN QN k k +=,借助二次方程根与系数的关系即可得出结论.解: (1)由直线l :y x m =+与圆22(1)1x y +-=相切可得|1|22m -=,解之得1m =-或3. 由抛物线E 的焦点在x 轴负半轴可知:0m >,故直线l 的方程为3y x =+, 抛物线的焦点坐标为(3,0)F -, 故抛物线E 的方程为26y x =-;(2)由2621y x y x ⎧=-⎨=+⎩可得241010x x ++=,设1122(,),(,)P x y Q x y ,则121251,24x x x x +=-=, 设点(,0)N t ,由∠PNF=∠QNF 可得直线PN 与QN 的斜率互为相反数, 即0PN QN k k +=,∴12120y yx t x t+=--,即122112()0x y x y t y y +-+=, 而112221,21y x y x =+=+,所以,122112(21)(21)(2121)0x x x x t x x +++-+++=, 即12124(12)()20x x t x x t +-+-=, 即51(12)202t t ---=,解之得12t =. 则点N 到直线PQ 的距离为|101|2555d -+==,2121212||14||5()4PQ x x x x x x =+⋅-=⋅+-251055142=⋅-=. ∴ △△NPQ 的面积为1||212S PQ d =⋅=.【难点突破】直线与圆锥曲线的关系问题,一般可以联立方程,利用二次方程根与系数的关系,建立等式关系,而解析几何中的角相等可以转化为直线的倾斜角问题,再转化为斜率的关系,再与二次方程根与系数的关系即可建立方程,从而得出结论.21.【解题指导】(1)先求出函数的导数,根据导数的正负,可以得到关于x 的不等式恒成立,再借助函数的单调性,求出最值,建立关于m 的不等式即可;(2)先把已知条件转化为函数y m =与1ln y x x=+的交点问题,再利用函数的单调性,求出极致,利用数形结合法即可得出结论.解:(1)由()()ln 1f x x m x =-+可得'()ln 1mf x x x=-+, 令()ln 1m g x x x =-+,则221'()m x m g x x x x+=+=. ①当1m ≥-时,'()0g x ≥在[1,)+∞上恒成立,∴ ()ln 1mg x x x=-+在[1,)+∞上单调递增. 即'()f x 在[1,)+∞上单调递增,故'()f x 的最小值为'(1)f =1m -, 则只需10m -≥,解之得1m ≤,故11m -≤≤; ②当1m <-时,由'()0g x =可得x m =-.当1x m ≤<-时,'()0g x <,当x m >-时,'()0g x >, 即()g x 在[1,)m -上单调递减,在(,)m -+∞上单调递增, 故()g x 的最小值为()ln()2g m m -=-+,即'()f x 的最小值为ln()2m -+,显然ln()20m -+>, 故'()0f x >,所以,()f x 在[1,)+∞上单调递增. 综上可知,实数m 的取值范围是(,1]-∞;(2)由()0f x =可得1ln m x x=+. 令1()ln h x x x =+,则2221ln 1'()1ln ln x x h x x x x x-=-=, 令2()ln 1x x x ϕ=-,则2'()ln 2ln (ln 2)ln x x x x x ϕ=+=+.当4211x e e ≤<时,'()0x ϕ>,当211x e e<≤时,'()<0x ϕ, 故'()x ϕ在4211[,)e e 上单调递增,在211(,]e e上单调递减, 故()x ϕ的最大值为2214()10e eϕ=-<, ∴ '()0h x <在411[,]e e 上恒成立,即()h x 在411[,]e e上单调递减. 故()h x 的最小值为11()e h e e -=,最大值为44414()4e h e e -=.∴ 当1e m e -<或4444e m e ->时,函数()f x 在411[,]e e 上的零点个数为0; 当44144e e m e e--≤≤时,函数()f x 在411[,]e e 上的零点个数为1. 【难点突破】函数零点的个数问题通常可以转化为函数交点问题,进而可以把问题转化为函数的性质问题,再借助导数分析函数在区间411[,]e e上的单调性与极值,这样可以画出函数的大致图象,利用数形结合的方法与m 的取值范围即可得出结论.22.【解题指导】(1)先把直线l 与曲线C 的方程转化为普通方程,通过联立方程,借助二次方程的判别式即可得出结论;(2)设出曲线C 上的点,利用点到直线的距离,把问题转化为三角函数的最值问题,再利用三角函数的性质即可得出结论.解:(1)曲线C 的参数方程化为普通方程可得2214x y +=,直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程可得20x y m -+=,由221420x y x y m ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩可得228440y my m -+-=. 由条件可得22(4)32(4)0m m ∆=--->,解之得2222m -<<; (2)当6m =时,直线l 的普通方程为260x y -+=. 设曲线C 上任一点的坐标为(2cos ,sin )P θθ, 则点P 到直线l 的距离为:|22cos()6||2cos 2sin 6|455d πθθθ++-+==,最大值为|226|210+65=55+. 23.【解题指导】(1)利用分析法先对要证不等式进行平方,进一步分析其成立的充分求解,再借助基本不等式证明充分条件成立即可;(2)先把2a b +=转化为(1)(1)4a b +++=,再通过乘与除的变换,再利用基本不等式即可得出结论. 解:(1)要证31314a b +++≤, 只需证:2(3131)16a b +++≤,即3()22313116a b a b ++++⋅+≤,而2a b +=,所以,只需证231318a b +⋅+≤, 而23131(31)(31)3()28a b a b a b +⋅+≤+++=++=成立,∴ 31314a b +++≤成立; (2)∵ 2a b +=∴ (1)(1)4a b +++=, ∴11+11a b ++111(+)[(1)(1)]411a b a b =+++++ 1111(2)(22)14114b a a b ++=++≥+=++, 当且仅当1111b a a b ++=++且2a b +=,即1a b ==时,11+取得最小值1. ++11a b。
2019年高考数学模拟考试题含答案解析
FDCBA 2019年高考数学模拟试题（理科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1．已知集合}032{2>--=x x x A ，}4,3,2{=B ，则B A C R ⋂)(=A ．}3,2{B ．}4,3,2{C ．}2{D ．φ2．已知i 是虚数单位，iz +=31，则z z ⋅= A ．5B ．10C ．101D ．51 3．执行如图所示的程序框图，若输入的点为(1,1)P ，则输出的n 值为A ．3B ．4C ．5D ．6（第3题） （第4题）4．如图，ABCD 是边长为8的正方形，若13DE EC =，且F 为BC 的中点，则EA EF ⋅=A ．10B ．12C ．16D ．205．若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤+012y x y y x ，则yx z 82⋅=的最大值是A ．4B ．8C ．16D ．326.一个棱锥的三视图如右图，则该棱锥的表面积为 A ．3228516++ B ．32532+C ．32216+D ．32216516++7. 5张卡片上分别写有0，1，2，3，4，若从这5张卡片中随机取出2张，则取出的2张卡片上的数字之和大于5的概率是 A ．101 B ．51 C ．103 D ．548．设n S 是数列}{n a 的前n 项和，且11-=a ，11++⋅=n n n S S a ，则5a = A ．301 B ．031- C ．021 D ．201- 9. 函数()1ln1xf x x-=+的大致图像为10. 底面为矩形的四棱锥ABCD P -的体积为8，若⊥PA 平面ABCD ,且3=PA ，则四棱锥ABCD P -的外接球体积最小值是A ．π625 B ．π125 C ．π6251 D ．π25 11. 已知抛物线()220y px p =>,过焦点且倾斜角为30°的直线交抛物线于A,B 两点，以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，切点的纵坐标是3，则抛物线的准线方程为A ．1x =-B ．2x =-C ．3x =- D ．x =12. 已知函数x x x f ln )(2-=（22≥x ），函数21)(-=x x g ，直线t y =分别与两函数交于B A ,两点，则AB 的最小值为A ．21B ．1C ．23D ．2二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 设样本数据1x ，2x ，...，2018x 的方差是5，若13+=i i x y （2018,...,2,1=i ），则1y ，2y ，...，2018y 的方差是________14. 已知函数x x x f ωωcos 3sin )(-=（0>ω），若3=ω，则方程1)(-=x f 在),0(π的实数根个数是_____15. 我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，...，9填入33⨯ 的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）.一般地，将连续的正整数1，2，3，…， 2n 填入n n ⨯的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的一条对角线上数的和为n N (如：在3阶幻方中，315N =)，则5N =_______16.已知ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1c =，π3C =．若sin sin()sin 2C A B B +-=，则ABC ∆的面积为三、解答题：本大题共6小题，其中17-21小题为必考题，每小题12分，第22—23题为选考题，考生根据要求做答，每题10分． 17.(本小题满分12分)设数列}{n a 是公差为d 的等差数列. (Ⅰ) 推导数列}{n a 的通项公式；(Ⅱ) 设0≠d ，证明数列}1{+n a 不是等比数列.18．(本小题满分12分)某中学为了解全校学生的上网情况，在全校随机抽取了40名学生(其中男、女生各占一半)进行问卷调查，并进行了统计，按男、女分为两组，再将每组学生的月上网次数分为5组：[0，5)，[5，10)，[10，15)，[15，20)，[20，25]，得到如图所示的频率分布直方图．(Ⅰ)写出女生组频率分布直方图中a 的值；(Ⅱ)在抽取的40名学生中从月上网次数不少于20的学生中随机抽取2人，并用X 表示随机抽取的2人中男生的人数，求X 的分布列和数学期望．19.(本小题满分12分)在直三棱柱111C B A ABC -中，21===AA AC AB ，CA BA ⊥。
2019年最新高考数学(理)模拟题及答案带解析
a 3
，所以
S F2 AB
＝
1 | AB || AF2 | sin 60
2
4 3 ， 所 以 a 3 ， | F1F2 |
3 | AB |
2
3 ，所以
2
c 3 ，所以 b2 a2 c2 6 ，所以椭圆 C 的方程为 x2 y2 1 .
96
16. 2 5 【解析】因为 f x 2sin 2x cos2 x m 5 sin(2x ) m ，其中
7
教育类考试资料
（I ）当 a 2 时，求不等式 f ( x) 4 的解集； （II ）如果对于任意实数 x ， f ( x) 1恒成立，求 a 的取值范围．
8
教育类考试资料
数学（理）模拟试题答案
1. B【解析】当 x 2 时， y 3 ；当 x 1 时， y 0 ；当 x 0 时，
y 1 ；当 x 3 时， y 8 ，所以 B { 1,0,3,8} ，所以 A B { 1,0,3} ，
C. 3,3
D. , 1 3,
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．曲线 y x3 与 y x 所围成的封闭图形的面积为
.
3
教育类考试资料
14．已知 an 是等比数列， a5
1 ,4 a3 a7
2
2 ，则 a7
.
15．设
F1,
F2 为椭圆
C
:
x2 a2
y2 b2
1( a
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
2． i 是虚数单位，复数 z a i a R 满足 z2 z 1 3i ，则 z
A. 2 或 5 B. 2 或 5 C.
2019届全国高考高三模拟考试卷数学(理)试题(四)(解析版)
2019届全国高考高三模拟考试卷数学（理）试题（四）（解析版）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．[2019·温州适应]已知i 是虚数单位，则2i1i+等于（ ） A ．1i -B ．1i +C ．1i --D ．1i -+2．[2019·延边质检]已知1=a ，2=b ，()-⊥a b a ，则向量a 、b 的夹角为（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．π23．[2019·六盘水期末]在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1a =，3b =， π6A =，则B =（ ） A ．π6B ．π3C ．π6或5π6D ．π3或2π34．[2019·厦门一模]《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线的概率为（ ）33555．[2019·重庆]已知某几何体的三视图如图所示（侧视图中曲线为四分之一圆弧），则该几何体的体积为（ ）A ．24π+B ．12π-C ．14π-D ．136．[2019·江西联考]程序框图如下图所示，若上述程序运行的结果1320S =，则判断框中应填入（ ）A ．12k ≤B ．11k ≤C ．10k ≤D ．9k ≤7．[2019·江门一模]若()ln f x x =与()2g x x ax =+两个函数的图象有一条与直线y x =平行的公共 切线，则a =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．3或1-8．[2019·湖师附中]已知拋物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线:1l x =-，点M 在拋物线C 上，点M 在直线:1l x =-上的射影为A ，且直线AF 的斜率为3MAF △的面积为（ ） A 3B ．23C ．43D ．839．[2019·河南名校]设点P 是正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 的中点，平面α过点P ，且与 直线1BD 垂直，平面α平面ABCD m =，则m 与1A C 所成角的余弦值为（ ） A 3B 6C ．13D ．22310．[2019·合肥质检]“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等．某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n 件．已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的910．若这堆货物总价是910020010n⎛⎫- ⎪⎝⎭A ．7B ．8C ．9D ．1011．[2019·宁波期末]关于x ，y 的不等式组23000x y x m y m -+>+<->⎧⎪⎨⎪⎩，表示的平面区域内存在点()00,P x y ，满足0023x y -=，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(),3-∞-B ．()1,1-C ．(),1-∞-D ．()1,--∞12．[2019·青岛质检]已知函数()22ln ,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨--≤⎪⎩，若方程()f x a =（a 为常数）有两个不相等的根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),0-∞B ．9,e 16⎛⎫⎪⎝⎭C ．(]9,0,e 16⎡⎫-∞⎪⎢⎣⎭D ．()9,0,e 16⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．[2019·昆明诊断]设0m >，:0p x m <<，:01xq x <-，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的值可以是______．（只需填写一个满足条件的m 即可）14．[2019·合肥质检]设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若51310a a -=，则13S =______． 15．[2019·南通联考]已知角ϕ的终边经过点()1,2P -，函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，则π12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为____． 16．[2019·江南十校]已知在直角坐标系xOy 中，()4,0A ，30,B ⎛⎫，若点P 满足1OP =，PA 的中点为M ，则BM的最大值为__________．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019·咸阳模拟]在ABC△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2cos cos12sin sinB C B C+=．（1）求A∠的大小．（2）若4b c+=，求ABC△的面积的最大值．18．（12分）[2019·贵阳期末]如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分．M市某调查机构针对该市市场占有率最高的两种网络外卖企业（以下简称外卖A、外卖B）的服务质量进行了调查，从使用过这两种外卖服务的市民中随机抽取了1000人，每人分别对这两家外卖企业评分，满分均为100分，并将分数分成5组，得到以下频数分布表：分数人数种类[)0,20[)20,40[)40,60[)60,80[]80,100外卖A50 150 100 400 300外卖B100 100 300 200 300表中得分越高，说明市民对网络外卖服务越满意若得分不低于60分，则表明该市民对网络外卖服务质量评价较高现将分数按“服务质量指标”划分成以下四个档次：视频率为概率，解决下列问题：（1）从该市使用过外卖A 的市民中任选5人，记对外卖A 服务质量评价较高的人数为X ，求X 的数学期望．（2）①从参与调查的市民中随机抽取1人，试求其评分中外卖A 的“服务质量指标”与外卖B 的“服务质量指标”的差的绝对值等于2的概率；②在M 市工作的小王决定从外卖A 、外卖B 这两种网络外卖中选择一种长期使用，如果从这两种外卖的“服务质量指标”的期望角度看，他选择哪种外卖更合适？试说明理由．19．（12分）[2019·潍坊一模]如图，三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，145BAA ∠=︒，平面11AAC C ⊥平面11AA B B ．（1）求证：1AA BC ⊥；（2）若12BB ==，直线BC 与平面11ABB A 所成角为45︒，D 为1CC 的中点，求二面角111B A D C --的余弦值．20．（12分）[2019·宜春期末]椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>2，过焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆截得的弦长为2 （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()0,1P 的动直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，在y 轴上是否存在异于点P 的定点Q ， 使得直线l 变化时，总有PQA PQB ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．21．（12分）[2019·江南十校]已知函数()()()1e 0,x f x ax x a =->∈R （e 为自然对数的底数）． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，()2f x kx >-恒成立，求整数k 的最大值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·广东模拟]在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 2sin x y θθ==⎧⎨⎩（θ为参数），已知点()4,0Q ，点P 是曲线1C 上任意一点，点M 为PQ 的中点，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求点M 的轨迹2C 的极坐标方程；（2）已知直线:l y kx =与曲线2C 交于A ，B 两点，若3OA AB =，求k 的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·陕西质检]已知对任意实数x ，都有240x x m ++--≥恒成立． （1）求实数m 的范围；（2）若m 的最大值为n ，当正数a ，b 满足415326na b a b +=++时，求47a b +的最小值．2019届高三第三次模拟考试卷理 科 数 学（四）答 案一、选择题． 1．【答案】B 【解析】()()()2i 1i 2i 22i1i 1i 1i 1i 2-+===+++-，故选B ． 2．【答案】C【解析】因为()-⊥a b a ，所以()0-⋅=a b a ，所以20-⋅=a a b ，所以1⋅=a b ， 设向量a 、b 的夹角为θ，则11cos 122θ⋅===⨯a b a b ， 由[]0,πθ∈，所以π3θ=，故选C ． 3．【答案】D【解析】由正弦定理得sin sin a bA B=，即112=sin B = 故π3B =或2π3，所以选D ． 4．【答案】A【解析】由题意得，从八卦中任取两卦的所有可能为187282⨯⨯=种，设“取出的两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线”为事件A ，则事件A 包含的情况为：一卦有三根阳线、另一卦有两根阳线和一根阴线，共有3种情况．由古典概型概率公式可得，所求概率为()328P A =．故选A ． 5．【答案】C【解析】根据几何体的三视图，转换为几何体：相当于把棱长为1的正方体切去一个以1为半径的14个圆柱．故21111π114π4V =⋅⋅-⋅⋅=-．故选C ．6．【答案】D【解析】初始值12k =，1S =，执行框图如下：112121320S =⨯=≠，12111k =-=；k 不能满足条件，进入循环； 12111321320S =⨯=≠，11110k =-=；k 不能满足条件，进入循环；132101320S =⨯=，1019k =-=，此时要输出S ，因此k 要满足条件，所以9k ≤．故选D ．【解析】设在函数()ln f x x =处的切点设为(),x y ，根据导数的几何意义得到111k x x==⇒=， 故切点为()1,0，可求出切线方程为1y x =-， 直线和()2g x x ax =+也相切，故21x ax x +=-，化简得到()2110x a x +-+=，只需要满足()214013Δa a =--=⇒=-或． 故答案为D ． 8．【答案】C【解析】因为抛物线的准线:1l x =-，所以焦点为()1,0F ， 抛物线2:4C y x =，点M 在抛物线C 上，点A 在准线l 上， 若MA l ⊥，且直线AF 的斜率3AF k =-， 准线与x 轴的交点为N ，则2tan233πAN ==，()1,23A -，则()33,2M ， ∴114234322MAF S AM AN =⨯⨯=⨯⨯=△．故选C ．9．【答案】B【解析】由题意知，点P 是正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 的中点，平面α过点P ，且与直线1BD 垂直，平面α平面ABCD m =，根据面面平行的性质，可得m AC ∥，所以直线m 与1A C 所成角，即为直线AC 与直线1A C 所成的角， 即1ACA ∠为直线m 与1A C 所成角， 在直角1ACA △中，1126cos 3AC ACA AC ∠===， 即m 与1A C 6B ． 10．【答案】D【解析】由题意，第一层货物总价为1万元，第二层货物总价为9210⨯万元，第三层货物总价为29310⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭万元，，第n 层货物总价为1910n n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭万元，设这堆货物总价为W 万元，则21999123101010n W n -⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23999991231010101010nW n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减得2311999991101010101010nn W n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭919991010109101010110nn n nn n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-⋅+=-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-， 则99910100100100200101010n n nW n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+-⋅=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得10n =，故选D ． 11．【答案】C【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：若平面区域内存在点()00,P x y ，满足0023x y -=， 则说明直线23x y -=与区域有交点，即点(),A m m -位于直线23x y -=的下方即可，则点A 在区域230x y -->，即230m m --->，得1m <-， 即实数m 的取值范围是(),1-∞-，故选C ．12．【答案】D【解析】当0x >时，函数()()2ln 11ln f x x x '=-+=-， 由()0f x '>得1ln 0x ->得ln 1x <，得0e x <<，由()0f x '<得1ln 0x -<得ln 1x >，得e x >，当x 值趋向于正无穷大时，y 值也趋向于负无穷大，即当e x =时，函数()f x 取得极大值，极大值为()e 2e eln e 2e e e f =-=-=，当0x ≤时，()223392416f x x x x ⎛⎫=--=-++ ⎪⎝⎭是二次函数，在轴处取得最大值916，作出函数()f x 的图象如图：要使()f x a =（a 为常数）有两个不相等的实根，则0a <或9e 16a <<，即实数a 的取值范围是()9,0,e 16⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，故选D ． 二、填空题． 13．【答案】12（()0,1的任意数均可） 【解析】由01xx <-得01x <<，所以:01q x <<， 又0m >，:0p x m <<，若p 是q 的充分不必要条件，则p q ⇒，q ⇒p ，所以01m <<，满足题意的12m =（()0,1的任意数均可），故答案为12（()0,1的任意数均可）． 14．【答案】65【解析】在等差数列中，由51310a a -=，可得()113410a d a +-=， 即121210a d +=，即1765a d a +==，()113713721313136522a a a S a +∴=⨯=⨯==，故答案为65． 15．【答案】1010-【解析】角ϕ终边经过点()2251,2sin 55P ϕ--⇒==-，15cos 55ϕ==，()f x 两条相邻对称轴之间距离为π3π23T ⇒=， 即2π2π33T ωω==⇒=，()()sin 3f x x ϕ=+， 2522510sin sin cos cos sin 1244425251πππ0πf ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=+=⨯+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 本题正确结果1010-． 16．【答案】3【解析】由()4,0A ，30,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，1OP =，则P 点轨迹为221x y +=，设(),M x y ，则()()()()2222124,2242124P x y x y x y -⇒-+=⇒-+=， M 的轨迹为圆()2,0D ，半径为12，故BM 的最大值为1513222BD +=+=，故答案为3．三、解答题． 17．【答案】（1）π3A =；（23 【解析】（1）由2cos cos 12sin sin B C B C +=，得()1cos 2B C +=-，可得2π3B C +=，所以π3A =．（2）22π113334sin sin 322344242ABCb c S bc A bc bc +⎛⎫⎛⎫===≤=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△， 当且仅当2b c ==时取等号，即ABC △面积的最大值为3． 18．【答案】（1）3.5；（2）①0.24；②见解析． 【解析】（1）对外卖A 服务质量评价较高的概率()4003000.71000P A +==，从该市使用过外卖A 的市民中任选5人，记对外卖A 服务质量评价较高的人数为X ，则()5,0.7X B ～，X ∴的数学期望()50.7 3.5E X =⨯=．（2）①从参与调查的市民中随机抽取1人，其评分中外卖A 的“服务质量指标”与外卖B 的“服务质量指标”的差的绝对值等于2的概率：()20020010030040020030030010001000100010001000100010001000P B =⨯+⨯+⨯+⨯0.040.030.080.09=+++0.24=．②()2001004003000123 1.81000100010001000A E X =⨯+⨯+⨯+⨯=， ()2003002003000123 1.61000100010001000B E X =⨯+⨯+⨯+⨯=， ()()A B E X E X >，A ∴的服务质量指标的期望高于B ，故选外卖A 更合适．19．【答案】（1）见解析；（2）22． 【解析】（1）过点C 作1CO AA ⊥，垂足为O ，因为平面11AAC C ⊥平面11AA B B ，所以CO ⊥平面11AA B B ，故CO OB ⊥， 又因为CA CB =，CO CO =，90COA COB ∠=∠=︒， 所以AOC BOC ≅Rt Rt △△，故OA OB =， 因为145A AB ∠=︒，所以1AA OB ⊥，又因为1AA CO ⊥，所以1AA ⊥平面BOC ，故1AA BC ⊥．（2）以O 为坐标原点，OA ，OB ，OC 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，因为CO ⊥平面11AA B B ，所以CBO ∠是直线BC 与平面11AA B B 所成角， 故45CBO ∠=︒，所以2AB 1AO BO CO ===，()1,0,0A ，()0,1,0B ，()0,0,1C ，()11,0,0A -，()12,1,0B -，()1,0,1D -，设平面11A B D 的法向量为()111,,x y z =n ，则1100A D B D ⎧⎪⎨⎪=⋅⎩⋅=n n ，所以111100z x y z =-+=⎧⎨⎩，令11x =，得()1,1,0=n ，因为OB ⊥平面11AA C C ，所以OB 为平面11AC D 的一条法向量， ()0,1,0OB =，2cos ,2OB OB OB⋅==⋅n n n 所以二面角111B A D C --2． 20．【答案】（1）22184x y +=；（2）存在定点()0,4Q 满足题意． 【解析】（1）因为过焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆截得的弦长为222222b a=，且离心率是22，所以2c a =24b =，28a =， 所以椭圆C 的方程为22184x y +=．（2）当直线l 斜率存在时，设直线l 方程1y kx =+，由22281x y y kx +==+⎧⎨⎩，得()2221460k x kx ++-=，()221624210Δk k =++>， 设()11,A x y ，()22,B x y ，122122421621k x x k x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，假设存在定点()0,Q t 符合题意，PQA PQB ∠=∠，QA QB k k ∴=-，()()()()2112122112121212121211QA QB x y x y t x x x kx x kx t x x y t y t k k x x x x x x +-++++-+--∴+=+==()()()()1212122124421063kx x t x x k t k k t x x +-+--==+-==-， 上式对任意实数k 恒等于零，40t ∴-=，即4t =，()0,4Q ∴．当直线l 斜率不存在时，A ，B 两点分别为椭圆的上下顶点()0,2-，()0,2， 显然此时PQA PQB ∠=∠， 综上，存在定点()0,4Q 满足题意．21．【答案】（1）见解析；（2）k 的最大值为1．【解析】（1）()()()()()1e 0,,1e x xf x ax x a f x ax a =->∈⇒=--⎡⎤⎣⎦'R ，当1a ≥时，()()0f x f x '≥⇒在()0,+∞上递增； 当01a <<时，令()0f x '=，解得1ax a-=， ()f x ⇒在10,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭上递增； 当0a ≤时，()()0f x f x '≤⇒在()0,+∞上递减． （2）由题意得()()1e x f x x =-， 即()1e 2x x kx ->-对于0x >恒成立，方法一、令()()()1e 20x g x x kx x =--+>，则()()e 0x g x x k x =->'， 当0k ≤时，()()0g x g x '≥⇒在()0,+∞上递增，且()010g =>，符合题意； 当0k >时，()()1e 0x g x x x ''=+⇒>时，()g x '单调递增，则存在00x >，使得()000e 0x g x x k '=-=，且()g x 在(]00,x 上递减，在[)0,x +∞上递增()()()0000min 1e 20x g x g x x kx ⇒==--+>， 00000122011x k kx k x x x -∴⋅-+>⇒<⎛⎫+- ⎪⎝⎭， 由0012x x +≥，得02k <<， 又k ∈⇒Z 整数k 的最大值为1，另一方面，1k =时，1021g ⎛⎫< ⎪⎝⎭'，()1e 10g ='->，01,12x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，()0021,211x x ∈⎛⎫+- ⎪⎝⎭，1k ∴=时成立．方法二、原不等式等价于()()1e 20x x k x x-+<>恒成立，令()()()()()()221e 21e 200x x xx x h x x h x x xx -+--+>⇒='=>，令()()()21e 20x t x x x x =-+->，则()()1e 0x t x x x =+>'， ()t x ∴在()0,+∞上递增，又()10t >，1202t ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，∴存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 使得()()()200001e 20x h x t x x x ==-+-='，且()h x 在(]00,x 上递减，在[)0,x +∞上递增，()()0min 00211h x h x x x ∴==+-， 又01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，001311,2x x ⎛⎫⇒+-∈ ⎪⎝⎭，()04,23h x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，2k ∴<，又k ∈Z ，整数k 的最大值为1．22．【答案】（1）24cos 30ρρθ-+=；（2）k =． 【解析】（1）设()2cos ,2sin P θθ，(),M x y ．且点()4,0Q ，由点M 为PQ 的中点， 所以2cos 42cos 22sin sin 2x y θθθθ+==+==⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，整理得()2221x y -+=．即22430x y x +-+=，化为极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=．（2）设直线:l y kx =的极坐标方程为θα=．设()1,A ρα，()2,B ρα， 因为3OA AB =，所以43OA OB =，即1243ρρ=． 联立24cos 30ρρθθα-+==⎧⎨⎩，整理得24cos 30ραρ-⋅+=．则1212124cos 343ρραρρρρ+===⎧⎪⎨⎪⎩，解得7cos 8α=．所以222115tan 1cos 49k αα==-=，则k =． 23．【答案】（1）6m ≤；（2）9．【解析】（1）对任意实数x ，都有240x x m ++--≥恒成立， 又24246x x x x ++-≥+-+=，6m ∴≤．（2）由（1）知6n =，由柯西不等式知：()()414147475329532532a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++++≥ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，当且仅当313a =，1513b =时取等号， 47a b ∴+的最小值为9．。
2019年全国高考数学模拟试卷和答案(理科)(3月份)(全国i卷)
2019年全国高考数学模拟试卷（理科）（3月份）（全国I卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M＝{y|y＝x﹣|x|，x∈R}，N＝{y|y＝，x∈R}，则M∩N＝（）A．{0，1}B．{1}C．{0}D．∅2．（5分）设z＝2+，则在复平面上对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）如图1是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图象．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图2、3所示．你能根据图象判断下列说法错误的是（）①图2的建议为减少运营成本②图2的建议可能是提高票价③图3的建议为减少运营成本④图3的建议可能是提高票价A．①④B．②④C．①③D．②③4．（5分）定义：若＝q（n∈N*，q为非零常数），则称{a n}为“差等比数列”，已知在“差等比数列”{a n}中，a1＝1，a2＝2，a3＝4，则a2019﹣a2018的值是（）A．22019B．22018C．22017D．220165．（5分）如图所示，函数y＝f（x）的图象在点P处的切线方程是y＝﹣x+6，则f（5）和f′（5）的值分别为（）A．B．C．D．6．（5分）己知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球表面积（）A．B．2C．4D．12π7．（5分）△ABC的外心为O，AB＝3，AC＝4，则等于（）A．B．C．3D．8．（5分）将函数y＝sin x的图象向左平移个单位，得到函数y＝f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（）A．y＝f（x）是奇函数B．y＝f（x）的周期是πC．y＝f（x）的图象关于直线x＝对称D．y＝f（x）的图象关于（）对称9．（5分）勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛（1829﹣1905）首先发现，所以以他的名字命名．其作法为：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．现在勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自等边三角形内部的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）＝，若a＜b＜c＜d，且f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），则的值为（）A．﹣1B．0C．1D．211．（5分）已知F1，F2分别是双曲线x2＝1（b＞0）的左、右焦点，过点F1与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点P，若点P在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，2）B．（）C．（1，）∪（2，+∞）D．（2，+∞）12．（5分）如图直线l⊥平面α，垂足为O，正四面体ABCD的棱长为2，C在平面α内，β是直线l上的动点，则当O到AD的距离为最大时，正四面体在平面α上的射影面积为（）A．1B．4+2C．2+2D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最小值为．14．（5分）已知函数f（x）＝lnx+e x，若f（x2）＜f（2﹣x），则实数x的取值范围是．15．（5分）某班从4名男生和3名女生中选出3名志愿者，若选出的3人中既有男生又有女生，则不同的选法共有种．16．（5分）已知数列{a n}满足a n+2﹣2a n+1+a n＝0，且a4＝，若函数f（x）＝sin2x+2cos2，记y n＝f（a n），则数列{y n}的前7项和为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．（12分）如图，线段CD是某铁路线上的一条穿山隧道，开凿前，在CD所在水平面上的山体外取点A、B，在四边形ABCD中，测得AB＝50米，∠BAC＝45°∠DAC＝75°，∠ABD＝30°，∠DBC＝75°．（1）试求B、D之间的距离及B、C之间的距离；（2）求应开凿的隧道CD的长．18．（12分）已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是等腰直角三角形，∠C＝90°，点B1在底面上的射影D落在BC上．（1）求证：AC⊥平面BB1C1C；（2）若AB1⊥BC1，且∠B1BC＝60°，求二面角B﹣AB1﹣C1的余弦值．19．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，左右顶点分别为A，B，Q为椭圆C上一点，△QAB面积的最大值为2．（1）求椭圆C的方程；（2）当点Q不为椭圆C的顶点时，设直线AQ与y轴交于点P，过原点O作直线AQ的平行线OM且与椭圆C交于点M，问是否存在常数λ使得|AP|•|AQ|＝λ|OM|2成立？若存在，求出常数λ；若不存在，说明理由．20．（12分）自2018年河北省进行高考改革后，高中生的生涯规划教育显得特别重要．某市组织全体教师举行了一次“生涯规划知识竟赛”．为了解本次竟赛的成绩情况，从中抽取了50人的成绩（得分均为整数，满分100分）进行统计，这50人考试成绩全部介于60分到100分之间，将考试成绩按如下方式分成8组，第一组[60，65]，第二组[65，70）…第八组[95，100]，得到的频率分布直方图如图．（1）若从考试成绩属于第6组和第8组的所有人中随机抽取2人，设他们的成绩为x，y，求满足|x﹣y|≤5的事件的概率；（2）为了奖励教师，该市决定给测试成绩在[90，100]内的教师发放奖金，其中测试成绩在[90，95]内的教师可获得奖金5000元，测试成绩在[95，100]内的教师可获得奖金10000元，现在对这50人成绩在[90，100]内的教师中随机抽取3人进行回访，求此3人获得奖金的总和X（单位：元）的分布列和数学期望．21．（12分）已知函数f（x）＝mx﹣﹣（3﹣m）lnx（m＞0）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数g（x）＝me x﹣x有两个零点x1，x2，其中x1＜x2，记t＝，证明：x1+x2随t的增大而增大．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，A（2，0），以O为极点，x轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系．点P是曲线ρ＝2（0≤θ≤2π）上的动点，AP的中点为Q．（Ⅰ）求点Q的轨迹C1的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线C2：＝1经伸缩变换后得到曲线C3，射线θ＝（ρ＞0）分别与C1和C3交于M，N两点，求|MN|．[选修4-5:不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣2a|+a．（Ⅰ）若不等式f（x）≤2解集为{x|﹣8≤x≤0}，求实数a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若不等式f（x）≤（k2﹣1）x﹣3解集非空，求实数k的取值范围．2019年全国高考数学模拟试卷（理科）（3月份）（全国I卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M＝{y|y＝x﹣|x|，x∈R}，N＝{y|y＝，x∈R}，则M∩N＝（）A．{0，1}B．{1}C．{0}D．∅【解答】解：M＝（﹣∞，0]，N＝[0，+∞）；∴M∩N＝{0}．故选：C．2．（5分）设z＝2+，则在复平面上对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由z＝2+＝，得．则在复平面上对应的点的坐标为（2，﹣1），在第四象限．故选：D．3．（5分）如图1是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图象．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图2、3所示．你能根据图象判断下列说法错误的是（）①图2的建议为减少运营成本②图2的建议可能是提高票价③图3的建议为减少运营成本④图3的建议可能是提高票价A．①④B．②④C．①③D．②③【解答】解：根据题意和图（2）知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出的变少了，即说明了此建议是降低成本而保持票价不变；由图（3）看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明了此建议是提高票价而保持成本不变，综上可得①④正确，②③错误．故选：D．4．（5分）定义：若＝q（n∈N*，q为非零常数），则称{a n}为“差等比数列”，已知在“差等比数列”{a n}中，a1＝1，a2＝2，a3＝4，则a2019﹣a2018的值是（）A．22019B．22018C．22017D．22016【解答】解：在“差等比数列”{a n}中，a1＝1，a2＝2，a3＝4，可得＝2，a2﹣a1＝1，即有数列{a n+1﹣a n}为首项为1，公比为2的等比数列，可得a n+1﹣a n＝2n﹣1，则a2019﹣a2018的值为22017．故选：C．5．（5分）如图所示，函数y＝f（x）的图象在点P处的切线方程是y＝﹣x+6，则f（5）和f′（5）的值分别为（）A．B．C．D．【解答】解：根据图象可知：P是切点，x＝5是切点的横坐标，可得f（5）＝×5+6＝，f′（5）＝k＝，故选：A．6．（5分）己知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球表面积（）A．B．2C．4D．12π【解答】解：根据几何体的三视图，把几何体转换为：所以：该几何体的球心为O，R＝，．故选：D．7．（5分）△ABC的外心为O，AB＝3，AC＝4，则等于（）A．B．C．3D．【解答】解：取AB，AC的中点E，F，则•＝•（﹣）＝•﹣•＝2•﹣2•＝2||||cos∠OAF﹣2||||cos∠OAE＝2||||﹣2||||＝2||2﹣2||2＝2×22﹣2×（）2＝，故选：D．8．（5分）将函数y＝sin x的图象向左平移个单位，得到函数y＝f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（）A．y＝f（x）是奇函数B．y＝f（x）的周期是πC．y＝f（x）的图象关于直线x＝对称D．y＝f（x）的图象关于（）对称【解答】解：将函数y＝sin x的图象向左平移个单位，得到函数y＝f（x）的函数图象，则f（x）＝sin（x+）＝﹣cos x，其图象关于（﹣，0）对称，故选：D．9．（5分）勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛（1829﹣1905）首先发现，所以以他的名字命名．其作法为：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．现在勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自等边三角形内部的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，设BC＝2，以B为圆心的扇形的面积为＝，∴ABC的面积为××2×2＝，∴勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形的面积，即为×3﹣2＝2π﹣2，故勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形的概率为＝，故选：B．10．（5分）已知函数f（x）＝，若a＜b＜c＜d，且f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），则的值为（）A．﹣1B．0C．1D．2【解答】解：如函数f（x）＝图象，∵a＜b＜c＜d，且f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），通过图象可得：a与b关于对称，∴a+b＝﹣1；由f（c）＝f（d），可得：；那么．即cd＝1；则＝﹣1；故选：A．11．（5分）已知F1，F2分别是双曲线x2＝1（b＞0）的左、右焦点，过点F1与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点P，若点P在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，2）B．（）C．（1，）∪（2，+∞）D．（2，+∞）【解答】解：设F1（﹣c，0），双曲线x2＝1（b＞0）的渐近线方程为y＝±bx，过点F1与双曲线的一条渐近线平行的直线方程为y＝b（x+c），联立渐近线方程y＝﹣bx，可得交点P（﹣c，），点P在以线段F1F2为直径的圆外，可得（﹣c）2+（）2＞c2，即有b2＞3，可得双曲线的离心率e＝＝＞2，但e＞1，即e＞2．故选：D．12．（5分）如图直线l⊥平面α，垂足为O，正四面体ABCD的棱长为2，C在平面α内，β是直线l上的动点，则当O到AD的距离为最大时，正四面体在平面α上的射影面积为（）A．1B．4+2C．2+2D．4【解答】解：由题意，直线BC与动点O的空间关系：点O是以BC为直径的球面上的点，所以O到AD的距离为四面体上以BC为直径的球面上的点到AD的距离，最大距离为AD到球心的距离（即BC与AD的公垂线）+半径＝+1．再考虑取得最大距离时四面体的投影情况，此时我们注意到AD垂直平面OBC，且平行平面α，故其投影是以AD为底，O到AD的距离投影，即（+1）cos45°＝+为高的等腰三角形，其面积＝×2×（+）＝+．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最小值为﹣2．【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，由z＝x+2y，得y＝﹣x+，由图可知，当直线y＝﹣x+过点A（2，﹣2）时，目标函数取得最小值为2﹣2×2＝﹣2．故答案为：﹣2．14．（5分）已知函数f（x）＝lnx+e x，若f（x2）＜f（2﹣x），则实数x的取值范围是{x|﹣2＜x＜1且x≠0}．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝lnx+e x，其定义域为（0，+∞），其导数f′（x）＝+e x，当x＞0时，有f′（x）＞0，即函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，又由f（x2）＜f（2﹣x），则，解可得：﹣2＜x＜1且x≠0，即x的取值范围为{x|﹣2＜x＜1且x≠0}；故答案为：{x|﹣2＜x＜1且x≠0}．15．（5分）某班从4名男生和3名女生中选出3名志愿者，若选出的3人中既有男生又有女生，则不同的选法共有30种．【解答】解：这3人中既有男生又有女生，包括2男1女和1男2女两种情况．若3人中有2男1女，则不同的选法共有C42C31＝18 种，若3人中有1男2女，则不同的选法共有C41C32＝12种，根据分类计数原理，所有的不同的选法共有18+12＝30 种，故答案为：3016．（5分）已知数列{a n}满足a n+2﹣2a n+1+a n＝0，且a4＝，若函数f（x）＝sin2x+2cos2，记y n＝f（a n），则数列{y n}的前7项和为7．【解答】解：根据题意，数列{a n}满足a n+2﹣2a n+1+a n＝0，则数列{a n}是等差数列，又由a4＝，则a1+a7＝a2+a6＝a3+a5＝2a4＝π，函数f（x）＝sin2x+2cos2＝sin2x+cos x+1，f（a1）+f（a7）＝sin2a1+cos a1+1+sin2a7+cos a7+1＝sin2a1+cos a1+1+sin2（π﹣a1）+cos（π﹣a1）+1＝2，同理可得：f（a2）+f（a6）＝f（a3）+f（a5）＝2，f（a4）＝sinπ+cos+1＝1，则数列{y n}的前7项和f（a1）+f（a2）+f（a3）+f（a4）+f（a5）+f（a6）+f（a7）＝7；故答案为：7．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．（12分）如图，线段CD是某铁路线上的一条穿山隧道，开凿前，在CD所在水平面上的山体外取点A、B，在四边形ABCD中，测得AB＝50米，∠BAC＝45°∠DAC＝75°，∠ABD＝30°，∠DBC＝75°．（1）试求B、D之间的距离及B、C之间的距离；（2）求应开凿的隧道CD的长．【解答】解：（1）在ABD中，∵∠DAC＝75°，∠CAB＝45°，∴∠DAB＝120°，又∠DBA＝30°，∴∠ADB＝30°，∴△ABD为为等腰三角形，∴AB＝AD＝50m．由余弦定理可得BD2＝502+502﹣2•50•50•cos120°＝502•3，∴BD＝50m．△ABC中，∠CAB＝45°，∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝30°+75°＝105°，∴∠ACB＝30°，由正弦定理可得＝．∴BC＝50m．AC＝∴AC＝25（）m．（2）在△BCD中，∠DAC＝75°，BC＝50m，BD＝50m，根据余弦定理可得CD＝＝25（）m．18．（12分）已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是等腰直角三角形，∠C＝90°，点B1在底面上的射影D落在BC上．（1）求证：AC⊥平面BB1C1C；（2）若AB1⊥BC1，且∠B1BC＝60°，求二面角B﹣AB1﹣C1的余弦值．【解答】（1）证明：∵B1D⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴B1D⊥AC，又∵BC⊥AC，B1D∩BC＝D，∴AC⊥平面BB1C1C；（2）解：连接B1C，∵AC⊥平面BB1C1C，BC1⊂平面BB1C1C，∴AC⊥BC1，∵AB1⊥BC1，AC∩AB1＝A，∴BC1⊥平面AB1C．∵B1C⊂平面AB1C，∴BC1⊥B1C，∴四边形BB1C1C为菱形．∵∠B1BC＝60°，B1D⊥BC于D，∴D为BC的中点．∵B1在底面ABC上的射影是BC的中点，∴B1D⊥平面ABC，以D为坐标原点，过D平行于CA得直线为x轴，BC所在直线为y 轴，DB1所在直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系．设BC＝CA＝AA1＝1，由题意可知，B（0，，0），C（0，﹣，0），，A（1，﹣，0）．设C1（x，y，z），由，得C1（0，﹣1，）．设平面ABB1的法向量为，由，得；设平面AB1C1的法向量为．由，得．∴cos＜＞＝．由图可知，二面角B﹣AB1﹣C1为钝二面角，∴二面角B﹣AB1﹣C1的余弦值为﹣．19．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，左右顶点分别为A，B，Q为椭圆C上一点，△QAB面积的最大值为2．（1）求椭圆C的方程；（2）当点Q不为椭圆C的顶点时，设直线AQ与y轴交于点P，过原点O作直线AQ的平行线OM且与椭圆C交于点M，问是否存在常数λ使得|AP|•|AQ|＝λ|OM|2成立？若存在，求出常数λ；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）由题意得，e＝＝，a2﹣b2＝c2，当Q为椭圆的上顶点时，△AQB的面积取得最大值且为•b•2a＝2，解得，a＝2，b＝，c＝，所以椭圆方程为：…（4分）（2）依题意可得直线AQ的斜率存在，设直线AQ：y＝k（x+2），则P（0，2k）联立，并整理得：（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣4＝0．△＝64k2﹣4×（2k2+1）×（8k2﹣4）＝16＞0，…（6分）则﹣2x Q＝，∴x Q＝，|AQ|＝|x Q﹣（﹣2）|＝，|AP|＝2，|AQ||AP|＝…（8分）∵直线AQ的平行线OM，直线OM：y＝kx；联立消去y得：（1+2k2）x2﹣4＝0；|OM|2＝（1+K2）x＝（1+k2）•＝…（10分）∴，∴λ＝2．故存在常数λ＝2，使得|AP|•|AQ|＝λ|OM|2成立…（12分）20．（12分）自2018年河北省进行高考改革后，高中生的生涯规划教育显得特别重要．某市组织全体教师举行了一次“生涯规划知识竟赛”．为了解本次竟赛的成绩情况，从中抽取了50人的成绩（得分均为整数，满分100分）进行统计，这50人考试成绩全部介于60分到100分之间，将考试成绩按如下方式分成8组，第一组[60，65]，第二组[65，70）…第八组[95，100]，得到的频率分布直方图如图．（1）若从考试成绩属于第6组和第8组的所有人中随机抽取2人，设他们的成绩为x，y，求满足|x﹣y|≤5的事件的概率；（2）为了奖励教师，该市决定给测试成绩在[90，100]内的教师发放奖金，其中测试成绩在[90，95]内的教师可获得奖金5000元，测试成绩在[95，100]内的教师可获得奖金10000元，现在对这50人成绩在[90，100]内的教师中随机抽取3人进行回访，求此3人获得奖金的总和X（单位：元）的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由频率分布直方图知第6组的频率为0.016×5＝0.08，第8组的频率为0.008×5＝0.04；所以第6组有4人，第8组有2人，从这6人中随机抽取2人，有＝15种情况，其中明显|x﹣y|≤5的2人必须来自同一组，共有+＝7种情况；所以求满足|x﹣y|≤5的事件的概率为P＝；（2）由频率分布直方图知，第7组的频率为1﹣（0.008×2+0.016×2+0.04×2+0.06）×5＝0.06；所以第7组共有3人，由（1）知第8组有2人，从这5人中随机抽取3人，此3人获得奖金的总和X（单位：元）的所有可能取值为15000，20000，25000；计算P（X＝15000）＝＝，P（X＝20000）＝＝，P（X＝25000）＝＝；所有X的分布列为：数学期望为E（X）＝15000×+20000×+25000×＝21000．21．（12分）已知函数f（x）＝mx﹣﹣（3﹣m）lnx（m＞0）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数g（x）＝me x﹣x有两个零点x1，x2，其中x1＜x2，记t＝，证明：x1+x2随t的增大而增大．【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）＝，记h（x）＝mx2﹣（3﹣m）x+1，则△＝（3﹣m）2﹣4m＝m2﹣10m+9，当m∈[1，9]时，△≤0，f′（x）≥0，函数f（x）递增，当0＜m＜1时，△＞0，h（x）有2个大于0的根x1＝，x2＝，令f′（x）＞0，得x∈（0，x1）∪（x2，+∞），令f′（x）＜0，得x∈（x1，x2），当m＞9时，△＞0，h（x）有2个小于0的根，故f′（x）＞0，f（x）递增，综上，当m≥1时，函数f（x）在（0，+∞）递增，无递减区间，当0＜m＜1时，函数在（0，）递增，在（，）递减，在（，+∞）递增，（2）由题意得m＝，m＝，故lnx1＝lnm+x1，lnx2＝lnm+x2，故x2﹣x1＝lnx2﹣lnx1，又＝t，x1＜x2，则t＞1，且，解得：x1＝，x2＝，故x1+x2＝，令r（x）＝，x∈（1，+∞），则r′（x）＝，令u（x）＝﹣2lnx+x﹣，则u′（x）＝﹣+1+＝＞0，故u（x）递增，故对任意x∈（1，+∞），u（x）＞u（1）＝0，故r′（x）＞0，故r（x）在（1，+∞）递增，故x1+x2随t的增大而增大．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，A（2，0），以O为极点，x轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系．点P是曲线ρ＝2（0≤θ≤2π）上的动点，AP的中点为Q．（Ⅰ）求点Q的轨迹C1的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线C2：＝1经伸缩变换后得到曲线C3，射线θ＝（ρ＞0）分别与C1和C3交于M，N两点，求|MN|．【解答】解：（1）根据题意，曲线ρ＝2（0≤θ≤2π），即x2+y2＝4，设P（x1，y1），Q（x，y），则x＝，y＝，即x1＝2x﹣2，y1＝2y，代入x2+y2＝4可得（2x﹣2）2+（2y）2＝4，变形可得：（x﹣1）2+y2＝1，即点Q的直角坐标系方程为（x﹣1）2+y2＝1，（2）根据题意，⇒，将其代入C2：＝1可得：x′2+y′2＝1，则曲线C2的极坐标方程为ρ＝1，所以|ON|＝1，又|OM|＝2cos＝，则|MN|＝|OM|﹣|ON|＝﹣1．[选修4-5:不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣2a|+a．（Ⅰ）若不等式f（x）≤2解集为{x|﹣8≤x≤0}，求实数a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若不等式f（x）≤（k2﹣1）x﹣3解集非空，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝|x﹣2a|+a，∴不等式f（x）≤2化为|x﹣2a|≤2﹣a，∴a﹣2≤x﹣2a≤2﹣a，解得3a﹣2≤x≤a+2；又f（x）≤2的解集为{x|﹣8≤x≤0}，∴，解得a＝﹣2；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，f（x）＝|x﹣4|﹣2，不等式f（x）≤（k2﹣1）x﹣3化为|x+4|+1≤（k2﹣1）x，令g（x）＝|x+4|+1＝，作出g（x）的图象，如图所示；由图象知，要使不等式的解集非空，应满足：k2﹣1＞1或k2﹣1≤﹣，即k2＞2或k2≤，解得k＜﹣或﹣≤k≤或x＞，所以实数k的取值范围是{k|k＜﹣或﹣≤k≤或k＞}．。
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球 O的表面积为
．
三、 解答题： 共 70 分. 解答应写出文字说明、 证明过程
或演算步骤.第 17-21 题为必考题， 每个试题考生都必须作
答. 第22、 23 题为选考题， 考生根据要求作答.
（一） 必考题： 共 60 分.
17. （本小题满分 12 分）
数列{an}为递增的等比数列，{a1，a3，a5}哿{-8，-3，-2，0，1，4，
则该几何体的体积为 （ ）
A.
8 3
B.
10 3
C.
14 3
D.
16 3
8． 设点 Q 是直线 l ∶ x=-1 上任意一点， 过点 Q 作抛物线 C∶
y2=4x 的两条切线 QS， QT， 切点分别为 S， T， 设切线 QS， QT
的斜率分别为 k1， k2， F 是抛物线的焦点， 直线 QF 的斜率为
（）
A． 2
B． 3
C． 4
D． 5
6． 如图， D 是边长为 4 的正
C
三 角 形 AC 的 中 点 ，
若 BE =
1 3
EC， 则EEA·EED= （ ）
D
A. 9 B. 11
E
4
4
C. 13 D. 15
A
B
4
4
7. 右图的网格是由边长为 1
的小正方形构成， 一几何体的三
视图在这个网格中如下图所示
B．
4姨2 7
+2
C. 1+ 姨 3 2
D． 1+ 姨 5 2
二、 填空题： 本大题共 4 小题， 每小
i=0
否 i≤10？ 是
x=i
题 5 分.
13． 已知 sin（琢+30°）=2sin（60°-琢），则
sin（2琢+240°）的值为
．
14． 右图的程序框图
y=2x-1 i=i+1 输出y
输出多个 y 的值， 则这些数值的方差
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12．
过双曲线
x2 a2
-
y2 b2
=1（a>0，b>0）的右焦点
F2（c，0）作圆
x2+y2=a2 的切线， 切点为 M， 延长 F2M 交抛物线 y2=-4cx 于点
P，其中O为坐标原点，若OO#M=
1 2
（OO2F2+OO2P），
开始
则双曲线的离心率为 （ ）
A.
1+ 姨 2 2
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GUANＧ ＤONG JIAO YU GAO ZHONG
2019 年全国高考理科数学模拟试题
■广东省中山市第一中学 许少华
一、 选择题： 本大题共 12 小题， 每小题 5 分， 在每小题
给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合 P={x|log2（x-1）≤1}，Q={x|x2-2x-3<0}， 则 P∩Q=
则实数 a 的值为 （ ）
A． 2
B． 3
C． 4
D． 5
11． 已知平行于 x 轴 的 直 线 分 别 交 两 曲 线 y =e2x+1 与 y =
姨2x-1 于 A， B， 则|AB|的最小值为 （ ）
A． 3+ln2 4
B． 3-ln2 4
C． 5+ln2 4
D． 5-ln2 4
广东教育·高中 2019 年第 3 期 55
为
．
结束
0*x+2y-4≥0， 15． 若实数 x， y 满足不等式 )**x-y-3≤0， 且 2x+y 的最大
*
+**x-ay+4≥0，
值为 5， 则实数 a 的值为
.
16． SC 是 球 O 的 直 径 ， A， B 是 该 球 面 上 两 点 ， AB =
姨 3 ， ∠ASC=∠BSC=30°， 棱锥 S-ABC 的体积为 姨 3 ， 则
某婴幼儿游泳馆为吸引顾客，
推出优惠活动： 对首次消费的顾客
按 60 元收费， 并注册成会员， 对会员消费的不同次数给予相 应的优惠， 标准如下：
消费次数
第 1 次 第二次 第三次 不少于 4 次
收费比例
1
0.95
0.90
0.85
该游泳馆从注册的会员中， 随机抽取了 100 位会员统计 他们的消费次数， 得到数据如下：
平面 ABC 与半圆柱的下底面共面， 且 AC⊥BC， P 为弧AO12B1
上 （不与 A1B1 重合） 的动点． （1） 证明： PA1⊥PB．
（2） 若四边形 ABB1A1 为正方
形，
且 AC=BC，
∠PB1A1 =
π 4
，
求
二面角 P-A1B1-C 的余弦值． 19. （本小题满分 12 分）
消费次数
1次
2次
3次
不少于 4 次
查， 则在 ［2500， 3000） （元） 月收入段应抽出 （ ） 人
A． 18
B． 20
C． 23
D． 25
4. 在锐角 驻ABC 中， 角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，若
b a
+
a b
=6cosC，则
c2 a2+b2
的值是（
）
A．
2 3
B．
1 5
C．
1 3
D．
2 5
5. 设函数 f（x-2）-x2 是奇函数， 则 f（-3）+（-1）的值为
k0， 则下列结论正确的是 （ ）
A． k1-k2=k0
B． k1k2=2k0
C． k1-k2=2k0
D． k1+k2=2k0
9． 若直线 l∶y=kx-1 与曲线 C∶ f（x）=x-1+
1 ex
没有公共点，
则
实数 k 的最大值为 （ ）
A． －1
B． 1 2
C． 1
D． 姨 3
10． 若 （x+ay-3z）9 的展开式中含 x4y2z3 的系数为-13608，
9，16，27}，数列{bn}满足 b1=2，bn+1-2bn=8an．
（1） 求数列{an}和{bn}的通项公式．
（2）
设数列{cn}满足
cn=
4n bn·bn+1
，
且数列{cn}的前 n 项和
Tn，
并求使得
Tn>
1 am
对任意
n∈N*
都成立的正整数
如图， 是一个半圆柱与多面体 ABB1A1C 构成的几何体，
人， 并根据所得数据画了样本的频率分布直方图 （如下图）．
频率/组距
0.0005
0.0004
0.0003
0.0002
0.0001
月收入（元） 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
为了分析居民的收入与年龄、 学历、 职业等方面的关系，
要从这 10 000 人中再用分层抽样方法抽出 100 人作进一步调
（）
A． {x|-2<x<3}
B． {x|1<x<3}
C． {x|1<x≤3}
D． {x|-2<x≤3}
2. 若复数 z 满足 z- 姨 3 （1+z）i=1， 则复数 z+z2+i 对应的
点位于 （ ）
A． 第四象限
B． 第三象限
C． 第二象限
D． 第一象限
3． 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10 000