第五章 递归程序设计
第5章-递归(高级程序设计)
f(n)=
将n-1个盘从一针移到另一针上 n>1
例 Hanoi问题
A
B
void move(char getone, char putone) { printf("%c--->%c\n",getone,putone); } void hanoi(int n,char one,char two,char three) { if(n==1) move(one,three); else C { hanoi(n-1,one,three,two); move(one,three); hanoi(n-1,two,one,three); } } main() { int m; printf("Input the number of disks:"); scanf("%d",&m); printf("The steps to moving %3d disks:\n",m); hanoi(m,'A','B','C'); }
6.2递归算法及其执行过程
（1）用于某些概念的定义： 阶乘： if ( n>0 ) n ! = n ( n-1 ) ! if ( n=0 ) n ! = 1 单链表结点：
struct node{ datatype data struct node * Link;
} 二叉树：二叉树是数据元素的有穷集合，它或者为空集 （空二叉树），或者由一个根元素和其下的两棵互不相交
6.4 递归过程与运行时栈
为了保证递归调用的正确性，需要保存调用点的现场（返回地 址、局部变量、被调用函数的参数等），以便正确地返回，并且按 先进后出的原则来管理这些信息。在高级语言（编译程序）中，是 通过利用“递归工作栈”来实现递归调用的。 f(n) f(n-1) f(n-2) f(1) f(0)
Python语言程序设计基础(第2版)第五章答案
第5章函数和代码复用5.1 函数的基本使用[5.1]: A[5.2]: D[5.3]: 错误。
[5.4]: 合法，因为Python语言是解释执行，即只要在真正调用函数之前定义函数，都可以进行合法调用。
5.2 函数的参数传递[5.5]: 在函数定义时，直接为可选参数指定默认值。
可选参数必须定义在非可选参数后面，可选参数可以有多个。
[5.6]: 在函数定义时，可变参数通过在参数前增加星号（*）实现。
可变数量参数只能在参数列表最后，即它只能有一个。
[5.7]: 返回值是元组类型。
[5.8]: 位置传递：支持可变数量参数，但容易忘记实参的含义；名称传递：不易忘记实参的含义，但不支持可变数量参数。
[5.9]: 如果函数里没有创建同名变量，则可以直接使用，不需global声明。
5.3 模块3：datetime库的使用[5.10]:print( "现在是{0:%Y}年{0:%m}月{0:%d}日{0:%I}:{0:%M}".format(datetime.now()))[5.11]: 答案不限。
举一个例子，输出美式日期格式：print("{0:%I}:{0:%M} {0:%b} {0:%d} {0:%Y}".format(datetime.now()))[5.12]: datetime对象可以直接做加减运算，所以可以用这样的方式给程序计时：1 2 Start = datetime.now() ... # 要计时的代码4 5 6 End = datetime.now() Cost = End – Start Print(Cost)5.4 实例7：七段数码管绘制[5.13]: 相当于C语言中的三目运算符。
[5.14]: 隐藏画笔的turtle形状。
[5.15]: 对应相应的年月日文字输出。
5.5 代码复用和模块化设计[5.16]: 错误，因为”使用函数“是“模块化设计“的必要条件。
递归函数的程序结构
递归函数的程序结构一、引言递归函数是一种非常重要的算法工具，它在许多编程问题中发挥着关键作用。
递归函数能够将复杂问题分解为更小的子问题，并逐个解决，最终完成整个问题的求解。
本文将详细介绍递归函数的程序结构，包括其基本概念、特点、实现方式以及在编程中的应用。
二、递归函数的基本概念递归函数是指一个函数直接或间接地调用自身来解决问题的方法。
在编程中，递归函数通常用于处理分治策略，即将一个大问题分解为若干个小问题，每个小问题又可能进一步分解，直到问题规模足够小或得以解决。
递归函数的输入参数可以是常数或变量，而输出则是解决问题的结果。
三、递归函数的特点1. 分治思想：递归函数利用分治策略将大问题分解为更小的子问题，通过逐个解决子问题来求解原问题。
2. 自我调用：递归函数的核心在于自我调用，即函数自身调用自身来处理更小的子问题。
3. 边界条件：递归函数的边界条件是指当问题规模足够小时停止递归，通常表示问题已得到完全解决。
4. 递归树：在递归过程中，函数调用顺序形成了一棵递归树，可以帮助我们理解问题的分解过程。
四、递归函数的实现方式1. 显式递归：在代码中明确写出递归调用的语句，适用于简单的问题。
2. 隐式递归：通过返回值或中间结果来实现递归，适用于复杂的问题。
3. 尾递归优化：在某些情况下，可以将递归转化为列表或其他数据结构的遍历，以减少内存占用和提高效率。
五、递归函数的应用递归函数在编程中应用广泛，例如排序算法（如快速排序、堆排序）、分治算法（如动态规划）、搜索算法（如二分搜索）等。
通过使用递归函数，我们可以将复杂问题分解为更小的子问题，逐个解决，最终得到问题的解。
此外，递归函数还可以用于处理树形结构、表达式求值、图遍历等问题。
六、程序示例以下是一个简单的递归函数示例，用于计算一个整数的阶乘：```pythondef factorial(n):if n == 0: # 边界条件return 1else:return n * factorial(n-1) # 自我调用```七、总结递归函数是一种非常重要的算法工具，它能够将复杂问题分解为更小的子问题，并通过逐个解决子问题来求解原问题。
递归程序设计
计算过程示例
m 20 n 8 k 2 2
确定计算fib(45)所需要的时间的程序
#include <stdio.h> #include <time.h> long fib (int n) { return n<=1 ? 1 : fib(n-1)+fib(n-2); } int main () { double x; x = clock() / CLOCKS_PER_SEC; fib(45); x = clock() / CLOCKS_PER_SEC - x; printf("Timing fib(45): %f.\n", x); return 0; }
long fact (long n) { return n == 0 ? 1 : n * fact(n-1); } long fact(long n) { if (n <= 1) return 1; return n * fact(n - 1); }
main() { printf(“%d”, fact(3)); }
。
2. Fibonacci序列
计算与时间
定义
Fibonacci（斐波那契）序列的递归定义
F0 = 1, F1 = 1 Fn = Fn - 1 + Fn
- 2
(n > 1)
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 65, 99, …
用递归程序实现
long fib (int n) { return
阅读材料：NP问题
/NP-Problem.html
A problem is assigned to the NP (nondeterministic polynomial time) class if it is solvable in polynomial time by a nondeterministic Turing machine. A P-problem (whose solution time is bounded by a polynomial) is always also NP. If a problem is known to be NP, and a solution to the problem is somehow known, then demonstrating the correctness of the solution can always be reduced to a single P (polynomial time) verification. If P and NP are not equivalent, then the solution of NPproblems requires (in the worst case) an exhaustive search. Linear programming, long known to be NP and thought not to be P, was shown to be P by L. Khachian in 1979. It is an important unsolved problem to determine if all apparently NP problems are actually P. A problem is said to be NP-hard if an algorithm for solving it can be translated into one for solving any other NP-problem. It is much easier to show that a problem is NP than to show that it is NP-hard. A problem which is both NP and NP-hard is called an NP-complete problem.
常见的程序设计方法
常见的程序设计方法在计算机程序设计中，常见的程序设计方法有许多种。
程序设计是将问题转化为计算机可以理解和执行的指令或代码的过程，而不同的问题和需求通常需要使用不同的程序设计方法来解决。
下面将介绍一些常见的程序设计方法。
1. 顺序程序设计顺序程序设计是最基础的程序设计方法之一。
顺序程序设计按照指令的顺序逐步执行，从上到下，从左到右。
开发者需要按照问题的逻辑和需求，将指令按照正确的顺序编写。
这种方法简单明了，适用于一些简单的问题，但对于复杂的问题可能会显得不够灵活。
2. 分支程序设计分支程序设计基于条件语句，根据不同的条件选择不同的执行路径。
常见的条件语句有if语句和switch语句。
开发者可以根据不同的条件，执行不同的代码块，从而实现问题的不同分支。
分支程序设计适用于需要根据条件进行不同操作的问题，可以增加程序的灵活性和适应性。
3. 循环程序设计循环程序设计允许程序根据需要重复执行一段代码块。
循环语句的常见形式有for循环、while循环和do-while循环。
循环程序设计可以逐次迭代一个过程，直到满足退出条件为止。
这种方法适用于需要重复执行相同或类似操作的问题，提高了程序的效率和可重用性。
4. 递归程序设计递归程序设计是指一个函数或过程在执行过程中调用自身的方法。
通过递归，一个复杂的问题可以被拆分为多个相同或类似的子问题，从而简化解决步骤。
递归程序设计适用于问题可以自我分解为更小规模问题的情况，但需要注意递归深度和终止条件以避免无限循环。
5. 面向对象程序设计面向对象程序设计是一种以对象和类为基本单位的程序设计方法。
它将数据和操作这些数据的函数封装成对象，通过对象之间的交互来解决问题。
面向对象程序设计具有抽象、封装、继承和多态等特性，可以更好地模拟和解决现实世界中的问题。
面向对象程序设计适用于复杂的问题，提高了代码的可读性和可维护性。
6. 函数式程序设计函数式程序设计是一种基于数学函数概念的程序设计方法。
程序设计员实操考核：深入理解递归算法
程序设计员实操考核：深入理解递归算法一、引言递归算法是计算机科学中的重要概念，也是程序设计员实际工作中经常使用的算法之一。
通过递归算法，我们可以解决一系列与问题的分解和子问题求解有关的计算任务。
在程序设计员的实操考核中，深入理解递归算法是一项重要的能力要求。
本文将从概念、原理、应用和实操等多个方面对递归算法进行介绍和解析，以帮助程序设计员更好地掌握和运用递归算法。
二、概念与原理2.1 递归算法的定义递归算法是一种通过函数调用自身的方式来解决问题的方法。
在递归算法中，将一个大问题分解为一个或多个同类的子问题，逐步解决子问题，最终得到原问题的解。
2.2 递归算法的基本原理递归算法的基本原理包括以下几点：•基准情况：递归算法必须设定一个或多个基准情况，当满足基准情况时，递归停止，并返回结果。
•递归调用：递归算法通过调用自身来解决子问题。
在每次递归调用中，问题的规模都会减小，直到满足基准情况。
•合并子问题：递归算法在解决子问题之后，需要将子问题的解合并起来，得到原问题的解。
2.3 递归算法的特点递归算法有以下几个特点：•问题分解：递归算法将一个大问题分解为多个同类的子问题，将问题简化为更小的规模。
•自相似性：在递归算法中，子问题与原问题具有相同的性质，只是规模不同。
•代码简洁：递归算法通常代码较为简洁，能够更清晰地表达问题的结构。
•空间复杂度高：递归算法通常会占用较多的栈空间，可能会导致栈溢出。
三、递归算法的应用递归算法在实际工作中有广泛的应用，以下是几个常见的应用场景：3.1 数学运算递归算法可以用于解决数学中的一些复杂运算问题，比如计算阶乘、斐波那契数列等。
通过递归调用自身，可以简化问题的解决过程。
3.2 数据结构操作递归算法在处理树、图等数据结构时往往更加方便。
通过递归算法，可以对树进行遍历、搜索、插入、删除等操作。
递归算法还可以用于实现图的深度优先搜索等算法。
3.3 文件系统操作递归算法在处理文件系统中的文件和目录时也很常见。
递归算法步骤
递归算法步骤
递归算法是一种通过自身调用来解决问题的算法。
其步骤可以简述为以下几点：
1. 定义递归函数：首先需要定义一个递归函数，该函数负责解决具体的问题。
函数的参数通常包括输入数据和递归所需的其他参数。
2. 设定递归终止条件：在递归函数中，需要设定一个终止条件，当满足这个条件时，递归将停止并返回结果。
这是确保递归不会无限循环的重要部分。
3. 处理基本情况：在递归函数中，需要考虑到一些基本情况，这些情况通常可以直接求解，而不需要继续进行递归。
在这些情况下，可以直接返回结果，从而减少递归的次数。
4. 缩小问题规模：在递归函数中，需要将原始问题划分成更小的子问题。
通过缩小问题规模，可以将原始问题转化为更简单的形式，并且递归地解决这些子问题。
5. 调用递归函数：在递归函数中，需要调用自身来解决子问题。
通过递归调用，可以反复地将问题分解为更小的子问题，直到达到终止条件为止。
6. 整合子问题的解：在递归函数中，需要将子问题的解整合起来，得到原始问题的解。
这通常涉及到对子问题的解进行合并、计算或其他操作。
7. 返回结果：最后，递归函数需要返回结果。
这个结果可
以是最终的解，也可以是在每次递归调用中得到的中间结果。
需要注意的是，在使用递归算法时，要确保递归能够正确地终止，并且要注意避免出现无限递归的情况。
另外，递归算法的效率通常较低，因此在设计算法时要考虑到时间和空间复杂度的问题。
程序设计中的递归算法
程序设计中的递归算法递归算法是程序设计中一种重要的编程思想和技巧。
它通过自身调用来解决问题，使得问题可以分解为更小的子问题，并逐步求解这些子问题，最终得到原问题的解。
在程序设计中，递归算法常常用于处理具有递归性质的问题，解决这些问题时可以简化代码结构，提高代码的可读性和可维护性。
下面将介绍递归算法的定义、特点以及应用领域。
一、递归算法的定义递归算法是指一个函数或过程在其定义中直接或间接地调用自身的算法。
递归算法通过将原问题转化为规模较小的相同问题来求解，直到问题规模缩小到可以直接解决的程度，最后将子问题的解合并为原问题的解。
二、递归算法的特点1. 自相似性：递归算法在问题的求解过程中，使用相同的方法来处理子问题。
原问题的求解方法和子问题的求解方法是一致的，它们之间只在问题规模上存在差异。
2. 递归调用：递归算法通过函数或过程的自身调用来解决问题。
在每一次递归调用中，问题规模都会减小，直到问题规模缩小到可以直接解决的程度。
3. 终止条件：递归算法必须有一个终止条件，当满足终止条件时，递归停止，不再进行调用。
否则，递归将陷入无限循环。
三、递归算法的应用领域递归算法在程序设计中应用广泛，以下是几个常见的应用领域：1. 数学计算：递归算法可以用于解决数学问题，如斐波那契数列、阶乘等。
例如，斐波那契数列可以使用递归算法来求解，其定义如下：```fib(n) = fib(n-1) + fib(n-2)，其中n >= 2。
fib(0) = 0，fib(1) = 1。
```2. 数据结构：递归算法在数据结构中的应用非常广泛，如二叉树的遍历、图的深度优先搜索等。
以二叉树的中序遍历为例，其递归算法实现如下：```void inorderTraversal(TreeNode* root) {if (root == nullptr) {return;}inorderTraversal(root->left);cout << root->val << " ";inorderTraversal(root->right);}```3. 字符串处理：递归算法可以用于解决字符串处理的问题，如字符串反转、括号匹配等。
递归算法及程序实现
递归算法及程序实现递归算法是一种在函数中调用自身的算法。
递归算法通常用于解决可以分解为相同问题的问题，每次递归调用将问题划分为更小的子问题。
递归算法包含两个重要的部分：基本情况和递归情况。
基本情况是递归算法中结束递归的条件。
当递归到达基本情况时，算法将停止递归，并返回结果。
递归情况是递归算法中的循环调用部分，通过调用自身并传递更小的子问题来解决原始问题。
递归情况通常将问题缩小，直到达到基本情况。
下面以一个常见的例子来说明递归算法及其实现方法：求解阶乘。
阶乘是指将一个自然数N连乘，即N!=N*(N-1)*(N-2)*...*2*1、阶乘是一个常见的数学计算，可以使用递归算法来解决。
首先，定义一个递归函数，命名为factorial，它接受一个整数作为参数，并返回该整数的阶乘。
```pythondef factorial(n):if n == 1:return 1else:return n * factorial(n-1)```在这个递归函数中，有两种情况。
当n等于1时，递归到达基本情况，函数返回1、否则，递归调用自身，并将n减1传递给函数。
每次递归调用都会将问题缩小，直到达到基本情况。
接下来，可以使用这个递归函数来计算任意整数的阶乘。
例如，计算5的阶乘，可以调用factorial函数：```pythonresult = factorial(5)print(result) # 输出结果120```在这个例子中，求解5的阶乘需要进行5次递归调用，即factorial(5) -> factorial(4) -> factorial(3) -> factorial(2) -> factorial(1)。
最终，递归到达基本情况，返回1，并依次完成阶乘的乘法运算。
值得注意的是，递归算法需要考虑递归深度的问题。
如果递归深度过大，可能导致栈溢出或性能下降。
因此，在编写递归算法时，需要仔细考虑递归深度和算法的效率。
c程序设计第二版谭浩强课后答案
c程序设计第二版谭浩强课后答案C程序设计第二版是谭浩强教授编写的一本广泛使用的计算机程序设计教材，它以C语言为基础，深入浅出地介绍了程序设计的基本概念、语法规则和编程技巧。
这本书的课后习题对于加深理解C语言的知识点非常有帮助。
以下是部分课后习题的答案，供参考：第一章程序设计和C语言概述1. 问题一：简述程序设计的基本步骤。
- 答案：程序设计的基本步骤包括需求分析、设计、编码、测试和维护。
2. 问题二：C语言的主要特点是什么？- 答案：C语言的主要特点包括简洁高效、结构化、可移植性、丰富的运算符、灵活的数据类型和内存管理能力。
第二章 C语言程序的结构1. 问题一：C语言程序的基本结构是什么？- 答案：C语言程序的基本结构包括预处理指令、函数定义和主函数。
2. 问题二：什么是函数？C语言中函数的定义规则是什么？- 答案：函数是一段具有特定功能的代码块，可以被重复调用。
C 语言中函数的定义规则包括返回类型、函数名和参数列表。
第三章数据类型、运算符和表达式1. 问题一：C语言中的基本数据类型有哪些？- 答案：C语言中的基本数据类型包括整型（int）、字符型（char）、浮点型（float和double）。
2. 问题二：算术运算符有哪些？它们的优先级是怎样的？- 答案：算术运算符包括加（+）、减（-）、乘（*）、除（/）和模（%）。
它们的优先级从高到低依次是乘除、模、加减。
第四章控制语句1. 问题一：C语言中的条件语句有哪些？- 答案：C语言中的条件语句包括if语句、if...else语句和switch语句。
2. 问题二：循环语句有哪些？它们的基本结构是什么？- 答案：C语言中的循环语句包括while循环、do...while循环和for循环。
它们的基本结构是初始化、条件判断和迭代。
第五章数组1. 问题一：什么是数组？数组的声明方式有哪些？- 答案：数组是相同数据类型元素的集合。
数组的声明方式包括在函数内部声明和全局声明。
递归程序设计方法
递归程序设计⽅法
（⼀）递归程序设计⽅法的要点
1）对于含有递归特征的问题，最好设计递归形式的算法。
但也不要单纯追求形式。
应在算法设计的分析过程中“就事论事”。
例如，在利⽤分割求解设计算法时，⼦问题和原问题的性质相同;或者，问题的当前⼀步解决之后，余下的问题和原问题性质相同，则⾃然导致递归求解。
2）实现递归函数，⽬前必须利⽤“栈”。
⼀个递归函数必定能改写为利⽤栈实现的⾮递归函数，反之，⼀个利⽤栈实现的⾮递归函数可以改写为递归函数。
需要注意的是递归函数递归层次的深度决定所需存储量的⼤⼩。
3）分析递归算法的⼯具是递归树，从递归树上可以得到递归函数的各种相关信息。
例如：递归树的深度即为递归函数的递归深度;递归树上的结点数⽬恰为函数中的主要操作重复进⾏的次数;若递归树蜕化为单⽀树或者递归树中含有很多相同的结点，则表该递归函数不适⽤。
4）递归函数中的尾递归都是可以容易消除的。
5）递归函数⼀定要有⼀个递归出⼝。
即整个递归函数应该是收敛的。
规模应该越来越⼩。
（⽰例分析⼀）斐波那契数列
有如下的数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…（n>=1）
得到如下的递推关系式：F(0)=0，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）
F(2)=F(1)+F(0)=1+0=1
F(3)=F(2)+F(1)=1+1=2
F(4)=F(3)+F(2)=2+1=3
F(5)的递归树如下。
常见的程序设计方法
常见的程序设计方法常见的程序设计方法1. 顺序程序设计顺序程序设计是一种最基础的程序设计方法，它是按照程序中各个语句的先后顺序执行，没有分支和循环的控制结构。
程序从开始执行，按照语句的顺序逐一执行，直到结束。
2. 分支程序设计分支程序设计是在程序执行过程中根据条件的不同选择执行不同的语句或语句块。
常见的分支程序设计包括if语句和switch语句。
if语句根据条件的真假执行不同的代码块，而switch语句根据不同的取值执行相应的代码块。
3. 循环程序设计循环程序设计是在程序执行过程中根据条件的不同重复执行某段代码块。
常见的循环程序设计包括while循环、do-while循环和for循环。
while循环在执行前先判断条件，如果条件为真则执行循环体，执行完循环体后判断条件，直到条件为假才结束循环。
do-while循环先执行一次循环体，然后再判断条件，如果条件为真则继续执行循环体，直到条件为假才结束循环。
for循环是一种常用的循环结构，它在执行前初始化一个计数器，然后在每次循环迭代时执行循环体，并更新计数器，直到满足循环结束的条件。
4. 递归程序设计递归程序设计是指一个函数在函数体内调用自身的过程。
递归函数通常包含一个或多个终止条件，当满足终止条件时，递归停止并返回结果，否则继续调用自身进行下一步计算。
5. 模块化程序设计模块化程序设计是将整个程序划分为多个模块或函数的过程。
每个模块或函数负责完成特定的任务，通过调用其他模块或函数实现功能的组合。
模块化程序设计使得程序结构清晰，易于维护和调试，并且可以提高代码的重用性。
6. 面向对象程序设计面向对象程序设计是一种基于对象的程序设计方法。
面向对象程序设计的核心概念是类和对象，通过定义类来描述对象的属性和行为，并通过创建对象来实现功能。
面向对象程序设计具有封装性、继承性和多态性等特点，使得程序的设计和开发更加灵活和可扩展。
，常见的程序设计方法包括顺序程序设计、分支程序设计、循环程序设计、递归程序设计、模块化程序设计和面向对象程序设计。
递归程序设计
5 - 20
上述讨论表明： (1) 递归程序可以采用不同的计算规则来进行计算； (2) 采用不同的计算规则来计算递归程序时，对相同的变元，计算过程 可能终止，也可能不终止； (3) 如果对于不同的计算规则，相应的递归程序（对相同的自变元）的 计算过程都终止，则它们所得的结果一定相同； (4) 在(3)的情况下，因为计算过程不同，所以虽然得到的结果相同，但 其效率（计算时间和存储量）却可能差别大。 总之，在递归程序的执行过程中，计算规则的选取是很重要的。本章及 后面的章节中，将统一规定: 采用”最左，最内”的计算规则，即在计算过程中，总是先计算最 内层的F中最左的一个。 例如，在例6中，计算A(1,2)的第一种计算顺序就是按”最左，最 内”的计算规则进行的。但在例7中，按”最左，最内”的计算规则 去计算F(1,2)却是不终止的，故不能认为F(1,2)＝0. 虽然”最左，最内”的规则未必是最佳的，但现今具有处理递归调用 功能 的程序设计语言大都采用这种计算规则。
5-7
递推与递归
递归是设计和描述算法的一种有力的工具，它在复 杂算法的描述中经常被采用。能采用递归描述的算 法通常有这样特征，为求解规模为N的问题，设法 将它分解成一些规模较小的问题，然后从这些小问 题的解方便地构造出大问题的解，并且这些规模较 小的问题也能采用同样的分解和综合方法，分解成 规模更小的问题，并从这些更小问题的解构造出规 模稍大问题的解。特别的，当规模N=1时，能直接 得到解。
5 - 15
…递归程序的例子…
例３ Fibonacci函数 φ(x)if x=0 then 0 else if x=1 then 1 elseφ(x-1)+ φ(x-2) 其中，x为非负整数 我们有φ(0)=0 φ(1)=1 φ(2)= φ(1)+ φ(0)=0+1=1 φ(3)= φ(2)+ φ(1)=1+1=2 φ(4)= φ(3)+ φ(2)=2+1=3 φ(5)= φ(4)+ φ(3)=3+2=5 … 例４ 计算xy 利用下述公式不难编出相应的递 归程序 F(x,y)= xy: 1 y=0 F(x,y)=1 2 y为偶数 F(x,y)=(x*x)y/2 3 y为奇数 F(x,y)=xy-1*x F(x,y)if y=0 then 1 Else if even(y) then F(x*x,y/2) Else F(x,y-1)*x 其中，x 为正实数；y为非负整数 例如：F(4,3)=F(4,2)*4=F(16,1)*4 =F(16,0)*64=64
c语言递归程序设计
关于递归程序设计1.什么是递归？(1)函数自已调用自己;(2)函数a调用函数b,而函数b又调用a。
2.递归算法的优缺点优点：源程序非常简洁，有一些算法本质上只有递归算法。
缺点：消耗较多的内存和运行时间，效率不高。
3.第一型递归算法（一切递推式都可化为递归）例1：用递归函数计算fac(n)=n!。
例2：用递归函数计算fibonacci数列第n项4.第二型递归算法(事件或操作递归)例1：用递归法实现N元数组a[0]~a[N-1]冒泡排序。
算法设计：a[0]~a[r]由大到小冒泡排序当r==0时，空操作；当r>0时，(1)将a[0]到a[r]中的最小元浮动到a[r];(2)对a[0]~a[r-1]选择排序void BubSort(int a[],int r) {int j,t;if(r <= 0)return;for (j = 0;j < r;j++)if (a[j] < a[j+1]) {t = a[j];a[j] = a[j+1];a[j+1] = t;}BubSort(a,r-1);} 第一次调用格式：BubSort(a,N-1);例2：用递归法实现N元数组a[0]~a[N-1]逆序存贮。
算法设计:a[s]~a[r]逆序存贮：当s>=r时，空操作；当s<r时，(1)交换a[s]与a[r]的值；(2)对a[s+1]~a[r-1]逆序存贮。
void reverse(int a[N],int s,int r) {int t;if (s >= r)return;t = a[s];a[s] = a[r];a[r] = t;reverse(a,s+1,r-1);}第一次调用格式: reverse(a,0,N-1);。
《VB程序设计》第五章第五节 递归过程
《VB程序设计》第五章第五节递归过程第五节递归过程Sub过程可以是递归的，递归调用是指在过程中直接或间接地调用过程本身。
例如：Private Funion FNC(x As Integer)……Dim y As Integer,z As SingleZ=FNC(y As Integer)……End Function在函数FNC的过程中，要调用FNC函数本身。
递归是一种十分有用的程序设计技术，很多数学模型和算法设计本身就是递归的。
因此用递归过程描述它们比用非递归方法要简洁，可读性好，可理解性好。
从上例中看到，在函数FNC中调用函数FNC本身，似乎是无终止的自身调用，显然程序不应该有无终止的调用，而只应该出现有限次数的递归调用。
因此应该用If语句（条件语句）来控制终止的条件（称为边界条件或结束条件），只有在某一条件成立时才继续执行递归调用，否则不再继续。
若一个递归过程无边界条件，则是一个无穷的递归过程。
在编写递归程序时应考虑两个方面：这就是递归的形式和递归的结束条件。
如果没有递归的形式就不可能通过不断的递归来接近目标；如果没有递归的结束条件，递归就不会结束。
[例Ex_MuiNl]用递归的方法计算n!，即5！=4！*5，4！=3！*4，…。
根据阶乘得出表达式：n!=1*2*3*…*(n-1)*n,但这不是递归的形式，因此需要对它进行改造如下：n!=n*(n-1)!(n-1)!=(n-1)*(n-2)！……n=1时，n!=1于是得出下面的递归公式：递归的结束条件为：n=1时，n!=1。
程序代码如下，Muln函数过程就是递归求解函数：Private Function Muln(n As Integer) As IntegerIf n=0 or n=1 Then′结束条件n=0或n=lMuln=1ElseMuln=Muln(n-1)*nEnd ifEnd FunctionPrivate Sub Form_Click()Dim M As Integer, I As IntegerI=InputBox(″请输入一个正整数″)M=Muln((i)Print I; "!="; MEnd Sub递归求解的过程分成两个阶段：第一阶段是“回推”，第二阶段是“递推”。
简述递归设计的实施步骤
简述递归设计的实施步骤什么是递归设计递归设计是一种计算机编程中常用的技术，它通过在问题求解的过程中调用相同的算法来递归地解决更小规模的子问题，最后以此逐步解决原始问题。
递归设计可以简化复杂的问题，提高代码的可读性和可维护性。
实施步骤递归设计通常包含以下几个主要步骤：1. 确定递归基递归基是递归算法中的终止条件，用于确定问题的最简单情况。
在设计递归算法时，需要确保递归基是能够终止递归的条件，否则算法将无限循环下去，造成栈溢出等问题。
2. 将问题拆分为子问题在递归设计中，将原始问题拆分为更小规模的子问题是关键步骤。
通过将问题分解为更简单、更可解决的子问题，可以逐步递归解决原始问题。
3. 调用自身解决子问题一旦将问题拆分为子问题，就可以通过调用自身来解决子问题。
递归调用函数或方法是递归设计的核心，需要确保递归调用能够正确地处理子问题。
4. 合并子问题的解在递归设计中，通过逐步解决子问题，最终合并子问题的解来得到原始问题的解。
这个合并子问题的过程是递归算法的关键，需要确保逐步解决的子问题的解能够正确地组合起来。
5. 处理边界情况在实施递归设计时，还需要考虑边界情况。
边界情况是指与递归基不完全匹配但需要额外处理的特殊情况，例如当输入参数为空或越界时，需要单独处理。
6. 测试和调试完成递归设计后，需要进行测试和调试。
由于递归设计涉及到函数自身的调用，容易出现死循环或错误的解决方案等问题。
因此，测试和调试是保证递归算法正确性的重要一环。
递归设计示例：计算阶乘下面以计算阶乘为例，演示递归设计的实施步骤：步骤1：确定递归基对于计算阶乘的递归算法，递归基是n为0或1时，阶乘的结果为1。
步骤2：拆分问题计算阶乘的问题可以拆分为计算(n-1)的阶乘的子问题。
步骤3：调用自身解决子问题递归调用自身来解决子问题，即计算(n-1)的阶乘。
步骤4：合并子问题的解递归调用得到(n-1)的阶乘后，将其乘以n得到n的阶乘。
步骤5：处理边界情况在计算阶乘的递归算法中，边界情况是n为0或1的情况，需要额外处理。
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从上述二例可以看出，当明显存在迭代解法 时，可以避免递归。显然，只要引入辅助变 量就可以用递推迭代方法得到效率较高的程 序，因为它避免了重复。 但是，不惜一切代价去避免递归也不是不明 智的。递归这一有力的工具在解决不少问题 时是十分有效的。从下面几个例子，我们就 能知道很多实际问题使用递归的方法有较大 的优越性，它常使较为复杂的问题变得清晰 与方便，可阅读性也好，所以递归方法在程 序设计中也是十分重要的方法之一。
以上函数或过程都调用本身，所以是递归定义的。
例2 计算Fibonacci数列 0，1，1，2，3，5，8，……
该数列的计算公式为
当n 1 0 F (n) 1 当n 2 F (n 1) F (n 2) 当n 2
用函数，则可以写成
program A53 (INPUT,OUTPUT); var I : INTEGER; function F(N : INTEGER) : INTEGER; begin if N=1 then F : =0 else if N=2 then F : =1 else F : =F(N-1)+F(N-2) end; begin READ(I); WRITERLN(F(I)); end.
while语句的转化
While P(X’) do begin X’:=G(X’); Y’:=H(X’,Y) end; X’：一组控制变量； P：循环结束判断条件 G、H：任一函数；
求ex=1+x+x2/2!+x3/3!+… program A(INPUT,OUTPUT); var I:INTEGER; X,EPSILON,TERM,SUM:REAL; BEGIN READ(X,EPSILON); SUM:=1.0; I:=0; TERM:=1.0; while TERM>EPSILON DO BEGIN I:=I+1; TERM:=TERM*X/I; SUM:=SUM+TERM END; WRITELN(SUM) END. program A(INPUT,OUTPUT); var X,EPSILON,TERM,SUM:REAL; I:INTEGER; procedure PW(I:INTEGER;TERM,SUM:REAL); BEGIN if TERM>EPSILON then PW(I+1,TERM*X/(I+1),SUM+TERM* X/(I+1)) else WRITELN('EXP(',X,')IS',SUM) end; BEGIN SUM:=1.0; I:=0;TERM:=1.0 ; READ(X,EPSILON); PW(I,TERM,SUM); END.
递归与递推是互可转换的。下面介绍循环语句转化成递 归程序的一般方法。
for语句的转化
Y:=A; for I:=1 to N do Y:=G(I,Y,X’) Y:存放结果的变量； 转化后的递归函数PF： G：任一函数； function PF(N:INTEGER;X’:T):TYPE； X’：一组与Y无关的变量； begin 如求n!时，Y相当于F， if N=0 then PF:=A; G(I,Y,X’)=I*F else PF:=G(N,PF(N-1,X’),X’) F : =1 end;
从效率来看，递归不一定可取。例如， 为使程序效率提高，或者使用的计算 机速度不快时，我们常用递推程序来 代替递归程序。而像FORTRAN语言本 身就限止使用递归程序。
对于n!，我们又有程序
program A54 (INPUT,OUTPUT); var I : INTEGER; function FACT(P : INTEGER) : INTEGER; var I,F : INTEGER; begin F : =1 for I : =1 to P do F : =F*Ｉ; FACT : =F end; begin READ(I); WRITERLN(F(I)) end.
for I : =1 to P do F : =F*Ｉ;
if N=0 then FACT : =1 else FACT : =N*FACT(N-1);
转化后的递归过程：
procedure PW(X’,Y): begin if P(X’) then PW(G(X’),H(G(X’),Y)); else OUTPUT(Y) end;
else if N=2 then F : =1 else F : =F(N-1)+F(N-2)
2. 递归与迭代程序
递归实质是一种循环结构，他把较复杂情形的计算 逐次地归结为“较简单”情形的计算，一直归结到 “最简单”情形的计算，并得到计算结果为止。 递归程序的效率(时间和空间效率)比迭代程序低。 递归程序较容易理解和阅读、实现直观。 迭代从变量的原值推出它的一个新值。
一般，一个递归程序可以表示为基语句S （不包含P）和P自身的组合 ，即 P [ S , P] 若程序P包含着对自己的引用，则称它为 是直接递归的；若P包含着对另一程序Q 的引用，而Q又直接或间接地引用P，则 称为是间接递归的。 递归算法的准确表示为
P if B then [S , P]
转化后的递归过程：
procedure PR(X’,Y): begin if not P(X’) then PR(G(X’),H(X’,Y)); else OUTPUT(Y) end;
repeat语句的转化
repeat Y:=H(X’,Y) X’:=G(X’); until P(X’);
3 递归数据结构例3 Hanoi塔问题 Nhomakorabea
Hanoi塔问题实质一种游戏。它是一块钢板上面并 放三根竖针（见图5.2）。左面一根针上串有64个 盘。要把盘移到右边一根针上，条件是可利用一 根临时针存放，一次只能移动一个盘，且不允许 将大盘放在小盘上面。
根据上述要求，可用一过程描述塔的移动。设： procedure MOVETOWER(N，A，B，C) 其中N表示盘数， A，B，C表示三根针。若现 需将一片盘从A针移到B针，用C针作临时存放， 可三次调用这过程，就能完成。即 MOVETOWER(N，A，B，C) MOVETOWER(N-1，A，C，B) MOVETOWER(N-1，C，B，A)
对于Fibonacci数列，可表示成 program A55 (INPUT,OUTPUT); var I : INTEGER; function F(N : INTEGER) : INTEGER; var P,L,T,I : INTEGER; begin if N=1 then F : =0 else if N=2 then F : =1 else begin L : =0; T ：=1； for I : =3 to N do begin P : =L; L : =T; T : =P+L end; F : =T end; end; begin READ(I); WRITERLN(F(I)); end.
2）过程
program A52 (IMPUT,OUTPUT); var I,J : INTEGER; procedure FACT (N : INTEGER; var R : INTEGER); var W : INTEGER; begin if N=0 then R : =1 else begin FACT(N-1,W); R : =N*W end end; begin READ(I); FACT(I,J); WRITELN(J) end.
程序中数据分为 静态：变量存贮分配在编译时静态进行
编译时无法预先规定它们所需要分配的存贮空 动态： 间大小，只在运行时实行动态存贮分配。这种 结构往往是递归给定的，称为动态数据结构； 如：序列、链表、树、图等
链表
链表也是一种序列结构，它是链式连接若干 个节点而成的，表的递归定义是： 1）空表； 或 2）T与基类型T的表的链接。 它和链式连接是通过指针来实现的。指针是 一种数据类型，语言中它表示为 Type Tp =↑T 其定义是类型Tp的值是指向类型T的数据的 指针。
当给定类型Tp的指针变量P时，可表示成 var p : Tp 我们引入固有过程new(P)就等效于动态地分配了一个 类型为T的变量，生成了一个类型为Tp的引用这个新变 量的指针，并把这个指针赋给变量P（见图5.9）
执行new(P)后，P可作为指针值本身被引用，由P引用的 变量记为P↑，这就是类型为T的动态分配的变量。
例1 计算阶乘的函数
阶乘的计算公式为
若n 0 1 fact (n) n fact (n 1) 若n 0
我们可方便的表示成如下递归函数或过 程：
1）函数
若n 0 1 fact (n) n fact (n 1) 若n 0
program A51 (IMPUT,OUTPUT); var I : INTEGER; function FACT (N : INTEGER) : INTEGER; begin if N=0 then FACT : =1 else FACT : =N*FACT(N-1); end; begin READ(I); WRITELN(FACT(I)); end.
指针可以赋值，并用作参数，也可检查它是否 相等或不等，并用它来联接与产生动态变量。 特别要注意，指针运算P : =Q； P↑：=Q↑在 程序中是具有不同的概念。
若设P，Q均是指针变量，如图5.10所示， 则P : =Q表示使得P具有与Q相同的“指 针值”（图5.11），而P↑：=Q↑表示 把Q指向的动态变量的值赋给P所指向的 动态变量（如图5.12所示）。
显然，若N 1，则移动不成立。下面，用递 归过程调用，方便地编出打印从第一针到第 三针转移的任何高度的程序。程序清单为