2019聚焦中考数学(辽宁省)复习：考点跟踪突破30图形的旋转
2024九年级数学上册“第二十三章 旋转”必背知识点
2024九年级数学上册“第二十三章旋转”必背知识点一、旋转的基本概念定义：将一个图形绕着某点O转动一个角度的变换叫做旋转。
其中，O叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。
旋转三要素：旋转中心、旋转角度、旋转方向。
二、旋转的性质旋转后的图形与原图形的关系：旋转后的图形与原图形全等。
对应点与旋转中心的距离：对应点到旋转中心的距离相等。
对应点与旋转中心所连线段的夹角：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
图形变化：图形的大小和形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。
三、中心对称定义：若一个图形绕着某个点O旋转180°，能够与另一个图形完全重合，则这两个图形关于这个点对称或中心对称。
这个点叫做对称中心。
中心对称图形：若一个图形绕着某个点O旋转180°，能够与原来的图形完全重合，则这个图形叫做中心对称图形。
这个点叫做该图形的对称中心。
性质：1. 关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分。
2. 关于中心对称的两个图形能够互相重合，是全等形。
3. 关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。
四、关于原点对称的点的坐标在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反。
即点P(x,y)关于原点对称的点的坐标为P'(-x,-y)。
五、作图与应用利用旋转性质作图：关键是连接图形中的每一个关键点与旋转中心，并按要求绕旋转中心转过一定角度，然后在新的位置上截取与原来等长的线段，连接各点得到新的图形。
旋转的应用：旋转在几何图形的变换、证明以及解决实际问题中都有广泛的应用，如通过旋转构造全等图形、证明角相等或线段相等。
六、例题与练习为了加深对旋转知识点的理解和记忆，可以通过做一些相关的例题和练习题来巩固所学内容。
这些题目通常会涉及到旋转的基本概念、性质以及应用等方面的知识点。
综上所述，九年级数学上册 “第二十三章 旋转”的必背知识点主要包括旋转的基本概念、性质、中心对称及其性质、关于原点对称的点的坐标以及作图与应用等方面。
辽宁省2019年、2020年数学中考试题分类(12)——图形的变换(含解析)
辽宁省2019年、2020年数学中考试题分类（12）——图形的变换一．选择题（共19小题）1．（2020•阜新）下列立体图形中，左视图与主视图不同的是()A．正方体B．圆柱C．圆锥D．球2．（2020•盘锦）如图中的几何体是由六个完全相同的小正方体组成的，它的主视图是( )A．B．C．D．3．（2020•锦州）如图，是由五个相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是( )A ．B ．C ．D ．4．（2020•大连）平面直角坐标系中，点(3,1)P 关于x 轴对称的点的坐标是( )A ．(3,1)B ．(3,1)-C ．(3,1)-D ．(3,1)--5．如图，小明在一条东西走向公路的O 处，测得图书馆A 在他的北偏东60︒方向，且与他相距200m ，则图书馆A 到公路的距离AB 为( )A ．100mB ．1002mC ．1003mD ．2003m 6．（2020•大连）如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，40ABC ∠=︒．将ABC ∆绕点B 逆时针旋转得到△A BC ''，使点C 的对应点C '恰好落在边AB 上，则CAA ∠'的度数是( )A ．50︒B ．70︒C ．110︒D ．120︒7．（2020•沈阳）如图是由四个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是( )A．B．C．D．8．（2020•营口）如图所示的几何体是由四个完全相同的小正方体搭成的，它的俯视图是( )A．B．C．D．9．（2020•营口）如图，在ABC∆中，//DE AB，且32CDBD=，则CECA的值为()A．35B．23C．45D．3210．（2020•辽阳）如图是由一个长方体和一个圆锥组成的几何体，它的主视图是()A．B．C ．D ．11．（2019•鞍山）如图，正方形ABCD和正方形CGFE的顶点C，D，E在同一条直线上，顶点B，C，G在同一条直线上．O是EG的中点，EGC∠的平分线GH过点D，交BE于点H，连接FH交EG于点M，连接OH．以下四个结论：①GH BE⊥；②EHM FHG∆∆∽；③21BCCG=-；④22HOMHOGSS∆∆=-，其中正确的结论是()A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④12．（2019•营口）如图，在ABC∆中，//DE BC，23ADAB=，则ADEDBCESS∆四边形的值是() A．45B．1C．23D．49 13．（2019•铁岭）下面四个图形中，属于轴对称图形的是()A．B．C．D．14．（2019•铁岭）如图所示几何体的主视图是()A ．B ．C ．D ．15．（2019•盘锦）如图，是由4个大小相同的正方体组成的几何体，该几何体的俯视图是( )A ．B ．C ．D ．16．（2019•朝阳）如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是( )A ．B ．C ．D ．17．（2019•盘锦）如图，点(8,6)P 在ABC ∆的边AC 上，以原点O 为位似中心，在第一象限内将ABC ∆缩小到原来的12，得到△A B C '''，点P 在A C ''上的对应点P '的坐标为( )A ．(4,3)B ．(3,4)C ．(5,3)D ．(4,4)18．（2019•沈阳）如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是( )A ．B ．C ．D ．19．（2019•沈阳）已知ABC ∆∽△A B C '''，AD 和A D ''是它们的对应中线，若10AD =，6A D ''=，则ABC ∆与△A B C '''的周长比是( )A ．3:5B ．9:25C ．5:3D ．25:9二．填空题（共11小题）20．（2020•阜新）如图，为了了解山坡上两棵树间的水平距离，数学活动小组的同学们测得该山坡的倾斜角20α=︒，两树间的坡面距离5AB m =，则这两棵树的水平距离约为 m （结果精确到0.1m ，参考数据：sin200.342︒≈，cos200.940︒≈，tan 200.364)︒≈．21．（2020•阜新）如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，2AB BC ==．将ABC ∆绕点B 逆时针旋转60︒，得到△11A BC ，则AC 边的中点D 与其对应点1D 的距离是 ．22．（2020•锦州）如图，在ABC ∆中，D 是AB 中点，//DE BC ，若ADE ∆的周长为6，则ABC ∆的周长为 ．23．（2020•盘锦）如图，在矩形ABCD 中，1AB =，2BC =，点E 和点F 分别为AD ，CD 上的点，将DEF ∆沿EF 翻折，使点D 落在BC 上的点M 处，过点E 作//EH AB 交BC 于点H ，过点F 作//FG BC 交AB 于点G ．若四边形ABHE 与四边形BCFG 的面积相等，则CF 的长为 ．24．（2020•盘锦）如图，AOB ∆三个顶点的坐标分别为(5,0)A ，(0,0)O ，(3,6)B ，以点O 为位似中心，相似比为23，将AOB ∆缩小，则点B 的对应点B '的坐标是 ．25．（2020•大连）如图，矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，点E 在边AD 上，CE 与BD 相交于点F ．设DE x =，BF y =，当08x 时，y 关于x 的函数解析式为 ．26．（2020•鞍山）如图，在菱形ABCD 中，60ADC ∠=︒，点E ，F 分别在AD ，CD 上，且AE DF =，AF 与CE 相交于点G ，BG 与AC 相交于点H ．下列结论：①ACF CDE ∆≅∆；②2CG GH BG =；③若2DF CF =，则7CE GF =；④234ABCG S BG =四边形．其中正确的结论有 ．（只填序号即可）27．（2020•葫芦岛）一张菱形纸片ABCD 的边长为6cm ，高AE 等于边长的一半，将菱形纸片沿直线MN 折叠，使点A 与点B 重合，直线MN 交直线CD 于点F ，则DF 的长为 cm ．28．（2020•鞍山）如图，在平面直角坐标系中，已知(3,6)A ，(2,2)B -，在x 轴上取两点C ，D （点C 在点D 左侧），且始终保持1CD =，线段CD 在x 轴上平移，当AD BC +的值最小时，点C 的坐标为 ．29．（2020•沈阳）如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，对角线AC ，BD 相交于点O ，点P 为边AD 上一动点，连接OP ，以OP 为折痕，将AOP ∆折叠，点A 的对应点为点E ，线段PE 与OD 相交于点F ．若PDF ∆为直角三角形，则DP 的长为 ．30．（2020•营口）如图，ABC ∆为等边三角形，边长为6，AD BC ⊥，垂足为点D ，点E 和点F 分别是线段AD 和AB 上的两个动点，连接CE ，EF ，则CE EF +的最小值为 ．三．解答题（共16小题）31．（2020•阜新）如图，ABC ∆在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为A (4,4)，B (1,1)，C (4,1)．（1）画出与ABC ∆关于y 轴对称的△111A B C ；（2）将ABC ∆绕点1O 顺时针旋转90︒得到△222A B C ，2AA 弧是点A 所经过的路径，则旋转中心1O 的坐标为 ；（3）求图中阴影部分的面积（结果保留)π．32．（2020•锦州）如图，ABCD 的对角线AC ，BD 交于点E ，以AB 为直径的O 经过点E ，与AD 交于点F ，G 是AD 延长线上一点，连接BG ，交AC 于点H ，且12DBG BAD ∠=∠． （1）求证：BG 是O 的切线；（2）若3CH =，1tan 2DBG ∠=，求O 的直径．33．（2020•锦州）已知AOB ∆和MON ∆都是等腰直角三角形2()OA OM ON <=，90AOB MON ∠=∠=︒．（1）如图1：连AM ，BN ，求证：AOM BON ∆≅∆；（2）若将MON ∆绕点O 顺时针旋转，①如图2，当点N 恰好在AB 边上时，求证：2222BN AN ON +=；②当点A ，M ，N 在同一条直线上时，若4OB =，3ON =，请直接写出线段BN 的长．34．（2020•朝阳）如图，以AB 为直径的O 经过ABC ∆的顶点C ，过点O 作//OD BC 交O 于点D ，交AC 于点F ，连接BD 交AC 于点G ，连接CD ，在OD 的延长线上取一点E ，连接CE ，使DEC BDC ∠=∠．（1）求证：EC 是O 的切线；（2）若O 的半径是3，9DG DB =，求CE 的长．35．（2020•朝阳）为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A 和人工智能科技馆C 参观学习如图，学校在点B 处，A 位于学校的东北方向，C 位于学校南偏东30︒方向，C 在A 的南偏西15︒方向(30303)km +处．学生分成两组，第一组前往A 地，第二组前往C 地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是40/km h ，第二组乘公交车，速度是30/km h ，两组同学到达目的地分别用了多长时间？哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）．36．（2020•朝阳）如图所示的平面直角坐标系中，ABC ∆的三个顶点坐标分别为(3,2)A -，(1,3)B -，(1,1)C -，请按如下要求画图：（1）以坐标原点O 为旋转中心，将ABC ∆顺时针旋转90︒，得到△111A B C ，请画出△111A B C ；（2）以坐标原点O 为位似中心，在x 轴下方，画出ABC ∆的位似图形△222A B C ，使它与ABC ∆的位似比为2:1．37．（2020•锦州）如图，某海岸边有B ，C 两码头，C 码头位于B 码头的正东方向，距B 码头40海里．甲、乙两船同时从A 岛出发，甲船向位于A 岛正北方向的B 码头航行，乙船向位于A 岛北偏东30︒方向的C 码头航行，当甲船到达距B 码头30海里的E 处时，乙船位于甲船北偏东60︒方向的D 处，求此时乙船与C 码头之间的距离．（结果保留根号）38．（2020•盘锦）如图，某数学活动小组要测量建筑物AB 的高度，他们借助测角仪和皮尺进行了实地测量，测量结果如下表． 测量项目测量数据 测角仪到地面的距离1.6CD m = 点D 到建筑物的距离4BD m = 从C 处观测建筑物顶部A 的仰角67ACE ∠=︒ 从C 处观测建筑物底部B 的俯角 22BCE ∠=︒请根据需要，从上面表格中选择3个测量数据，并利用你选择的数据计算出建筑物AB 的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin670.92︒≈，cos670.39︒≈，tan67 2.36︒≈．sin220.37︒≈，cos220.93︒≈，tan 220.40)︒≈（选择一种方法解答即可）39．（2020•鞍山）图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，MN 为立柱的一部分，灯臂AC ，支架BC 与立柱MN 分别交于A ，B 两点，灯臂AC 与支架BC 交于点C ，已知60MAC ∠=︒，15ACB ∠=︒，40AC cm =，求支架BC 的长．（结果精确到1cm ，参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈，6 2.449)≈40．（2020•葫芦岛）在等腰ADC ∆和等腰BEC ∆中，90ADC BEC ∠=∠=︒，BC CD <，将BEC ∆绕点C 逆时针旋转，连接AB ，点O 为线段AB 的中点，连接DO ，EO ．（1）如图1，当点B 旋转到CD 边上时，请直接写出线段DO 与EO 的位置关系和数量关系；（2）如图2，当点B 旋转到AC 边上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）若4BC =，26CD =，在BEC ∆绕点C 逆时针旋转的过程中，当60ACB ∠=︒时，请直接写出线段OD 的长．41．（2020•葫芦岛）如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度AB ，在观测点C 处测得大桥主架顶端A 的仰角为30︒，测得大桥主架与水面交汇点B 的俯角为14︒，观测点与大桥主架的水平距离CM 为60米，且AB 垂直于桥面．（点A ，B ，C ，M 在同一平面内）（1）求大桥主架在桥面以上的高度AM ；（结果保留根号）（2）求大桥主架在水面以上的高度AB ．（结果精确到1米）（参考数据sin140.24︒≈，cos140.97︒≈，tan140.25︒≈，3 1.73)≈42．（2020•沈阳）在ABC ∆中，AB AC =，BAC α∠=，点P 为线段CA 延长线上一动点，连接PB ，将线段PB 绕点P 逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD ，连接DB ，DC ．（1）如图1，当60α=︒时，①求证：PA DC =；②求DCP ∠的度数；（2）如图2，当120α=︒时，请直接写出PA 和DC 的数量关系．（3）当120α=︒时，若6AB =，31BP =，请直接写出点D 到CP 的距离为 ．43．（2020•丹东）如图，小岛C 和D 都在码头O 的正北方向上，它们之间距离为6.4km ，一艘渔船自西向东匀速航行，行驶到位于码头O 的正西方向A 处时，测得26.5CAO ∠=︒，渔船速度为28/km h ，经过0.2h ，渔船行驶到了B 处，测得49DBO ∠=︒，求渔船在B 处时距离码头O 有多远？（结果精确到0.1)km（参考数据：sin26.50.45︒≈，cos26.50.89︒≈，tan26.50.50︒≈，sin490.75︒≈，cos490.66︒≈，tan 49 1.15)︒≈44．（2020•丹东）如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点A ，B ，C 的坐标分别为(1,2)A ，(3,1)B ，(2,3)C ，先以原点O 为位似中心在第三象限内画一个△111A B C ．使它与ABC ∆位似，且相似比为2:1，然后再把ABC ∆绕原点O 逆时针旋转90︒得到△222A B C ．（1）画出△111A B C ，并直接写出点1A 的坐标；（2）画出△222A B C ，直接写出在旋转过程中，点A 到点2A 所经过的路径长．45．（2020•营口）如图，在矩形ABCD 中，(0)AD kAB k =>，点E 是线段CB 延长线上的一个动点，连接AE ，过点A 作AF AE ⊥交射线DC 于点F ．（1）如图1，若1k =，则AF 与AE 之间的数量关系是 ；（2）如图2，若1k ≠，试判断AF 与AE 之间的数量关系，写出结论并证明；（用含k 的式子表示）（3）若24AD AB ==，连接BD 交AF 于点G ，连接EG ，当1CF =时，求EG 的长．46．（2020•营口）如图，海中有一个小岛A，它周围10海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由东向西航行，在B点测得小岛A在北偏西60︒方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A 在北偏西30︒方向上，如果渔船不改变方向继续向西航行，有没有触礁的危险？并说明理由．（参考数据：3 1.73)≈辽宁省2019年、2020年数学中考试题分类（12）——图形的变换参考答案与试题解析一．选择题（共19小题）1．（2020•阜新）下列立体图形中，左视图与主视图不同的是()A．正方体B．圆柱C．圆锥D．球【解答】解：A．左视图与主视图都是正方形，故选项A不合题意；B．左视图是圆，主视图都是矩形，故选项B符合题意；C．左视图与主视图都是三角形；故选项C不合题意；D．左视图与主视图都是圆，故选项D不合题意；故选：B．2．（2020•盘锦）如图中的几何体是由六个完全相同的小正方体组成的，它的主视图是( )A．B．C．D．【解答】解：从正面看第一层是3个小正方形，第二层右边1个小正方形．故选：B．3．（2020•锦州）如图，是由五个相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：观察图形可知，这个几何体的俯视图是．故选：A ． 4．（2020•大连）平面直角坐标系中，点(3,1)P 关于x 轴对称的点的坐标是( )A ．(3,1)B ．(3,1)-C ．(3,1)-D ．(3,1)--【解答】解：点(3,1)P 关于x 轴对称的点的坐标是(3,1)-故选：B ．5．如图，小明在一条东西走向公路的O 处，测得图书馆A 在他的北偏东60︒方向，且与他相距200m ，则图书馆A 到公路的距离AB 为( )A ．100mB ．1002mC ．1003mD 2003 【解答】解：由题意得，906030AOB ∠=︒-︒=︒，1100()2AB OA m ∴==， 故选：A ．6．（2020•大连）如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，40ABC ∠=︒．将ABC ∆绕点B 逆时针旋转得到△A BC ''，使点C 的对应点C '恰好落在边AB 上，则CAA ∠'的度数是( )A ．50︒B ．70︒C ．110︒D ．120︒【解答】解：90ACB ∠=︒，40ABC ∠=︒，90904050CAB ABC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，将ABC ∆绕点B 逆时针旋转得到△A BC ''，使点C 的对应点C '恰好落在边AB 上，40A BA ABC ∴∠'=∠=︒，A B AB '=， 1(18040)702BAA BA A ∴∠'=∠'=︒-︒=︒， 5070120CAA CAB BAA '∴∠=∠+∠'=︒+︒=︒．故选：D ．7．（2020•沈阳）如图是由四个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：从几何体的正面看，底层是三个小正方形，上层的中间是一个小正方形． 故选：D ．8．（2020•营口）如图所示的几何体是由四个完全相同的小正方体搭成的，它的俯视图是( )A．B．C．D．【解答】解：从上面看易得俯视图：．故选：C．9．（2020•营口）如图，在ABC∆中，//DE AB，且32CDBD=，则CECA的值为()A．35B．23C．45D．32【解答】解：//DE AB，∴32 CE CDAE BD==，∴CECA的值为35，故选：A．10．（2020•辽阳）如图是由一个长方体和一个圆锥组成的几何体，它的主视图是()A ．B ．C ．D ．【解答】解：从正面看，“底座长方体”看到的图形是矩形，“上部圆锥体”看到的图形是等腰三角形，因此选项C 的图形符合题意，故选：C ．11．（2019•鞍山）如图，正方形ABCD 和正方形CGFE 的顶点C ，D ，E 在同一条直线上，顶点B ，C ，G 在同一条直线上．O 是EG 的中点，EGC ∠的平分线GH 过点D ，交BE 于点H ，连接FH 交EG 于点M ，连接OH ．以下四个结论：①GH BE ⊥；②EHM FHG ∆∆∽；③21BC CG=-；④22HOM HOG S S ∆∆=-，其中正确的结论是( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④【解答】解：如图，四边形ABCD 和四边形CGFE 是正方形，BC CD ∴=，CE CG =，BCE DCG ∠=∠，在BCE ∆和DCG ∆中，BC CD BCE DCG CE CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BCE DCG SAS ∴∆≅∆，BEC BGH ∴∠=∠，90BGH CDG ∠+∠=︒，CDG HDE ∠=∠，90BEC HDE ∴∠+∠=︒，GH BE ∴⊥．故①正确；EHG ∆是直角三角形，O 为EG 的中点，OH OG OE ∴==，∴点H 在正方形CGFE 的外接圆上，EF FG =，45FHG EHF EGF ∴∠=∠=∠=︒，HEG HFG ∠=∠，EHM FHG ∴∆∆∽，故②正确；BGH EGH ∆≅∆，BH EH ∴=，又O 是EG 的中点，//HO BG ∴，DHN DGC ∴∆∆∽， ∴DN HN DC CG=， 设EC 和OH 相交于点N ．设HN a =，则2BC a =，设正方形ECGF 的边长是2b ，则NC b =，2CD a =， ∴222b a a a b-=，即2220a ab b +-=，解得：(1a b =-，或(1a b =--（舍去），则212a b =，∴1BC CG=-， 故③正确；BGH EGH ∆≅∆，EG BG ∴=， HO 是EBG ∆的中位线，12HO BG ∴=，12HO EG∴=，设正方形ECGF的边长是2b，22EG b∴=，2HO b∴=，//OH BG，//CG EF，//OH EF∴，MHO MFE∴∆∆∽，∴2222OM OH bEM EF b===，2EM OM∴=，∴121(12)12OM OMOE OM===-++，∴21HOMHOESS∆∆=-，EO GO=，HOE HOGS S∆∆∴=，∴21HOMHOGSS∆∆=-，故④错误，故选：A．12．（2019•营口）如图，在ABC∆中，//DE BC，23ADAB=，则ADEDBCESS∆四边形的值是() A．45B．1C．23D．49【解答】解：//DE BC ，ADE ABC ∴∆∆∽， ∴24()9ADE ABC S AD S AB ∆∆==， ∴45ADEDBCE S S ∆=四边形， 故选：A ．13．（2019•铁岭）下面四个图形中，属于轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：A 、不属于轴对称图形，故此选项错误；B 、不属于轴对称图形，故此选项错误；C 、属于轴对称图形，故此选项正确；D 、不属于轴对称图形，故此选项错误；故选：C ．14．（2019•铁岭）如图所示几何体的主视图是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：从正面可看到的图形是：故选：B ．15．（2019•盘锦）如图，是由4个大小相同的正方体组成的几何体，该几何体的俯视图是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：从上面看得到的图形是：故选：B ．16．（2019•朝阳）如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：从左边看，从左往右小正方形的个数依次为：2，1．左视图如下：故选：C ．17．（2019•盘锦）如图，点(8,6)P 在ABC 的边AC 上，以原点O 为位似中心，在第一象限内将ABC ∆缩小到原来的12，得到△A B C '''，点P 在A C ''上的对应点P '的坐标为( )A ．(4,3)B ．(3,4)C ．(5,3)D ．(4,4)【解答】解：点(8,6)P 在ABC ∆的边AC 上，以原点O 为位似中心，在第一象限内将ABC ∆缩小到原来的12，得到△A B C '''， ∴点P 在A C ''上的对应点P '的坐标为：(4,3)．故选：A ．18．（2019•沈阳）如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：从上面看易得上面一层有3个正方形，下面左边有一个正方形．故选：A ．19．（2019•沈阳）已知ABC ∆∽△A B C '''，AD 和A D ''是它们的对应中线，若10AD =，6A D ''=，则ABC ∆与△A B C '''的周长比是( )A ．3:5B ．9:25C ．5:3D ．25:9【解答】解：ABC ∆∽△A B C '''，AD 和A D ''是它们的对应中线，10AD =，6A D ''=， ABC ∴∆与△A B C '''的周长比:10:65:3AD A D =''==．故选：C ．二．填空题（共11小题）20．（2020•阜新）如图，为了了解山坡上两棵树间的水平距离，数学活动小组的同学们测得该山坡的倾斜角20α=︒，两树间的坡面距离5AB m =，则这两棵树的水平距离约为 4.7 m （结果精确到0.1m ，参考数据：sin200.342︒≈，cos200.940︒≈，tan 200.364)︒≈．【解答】解：过点A 作水平面的平行线AH ，作BH AH ⊥于H ，由题意得，20BAH α∠==︒，在Rt BAH ∆中，cos AH BAH AB∠=， cos 50.940 4.7()AH AB BAH m ∴=∠≈⨯≈，故答案为：4.7．21．（2020•阜新）如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，2AB BC ==．将ABC ∆绕点B 逆时针旋转60︒，得到△11A BC ，则AC 边的中点D 与其对应点1D 的距离是 2 ．【解答】解：连接BD 、1BD ，如图，90ABC ∠=︒，2AB BC ==，222222AC ∴+=D 点为AC 的中点，122BD AC ∴== ABC ∆绕点B 逆时针旋转60︒，得到△11A BC ，1BD BD ∴=，160DBD ∠=︒，1BDD ∴∆为等边三角形，12DD BD ∴==． 故答案为2．22．（2020•锦州）如图，在ABC ∆中，D 是AB 中点，//DE BC ，若ADE ∆的周长为6，则ABC ∆的周长为 12 ．【解答】解：//DE BC ，ADE ABC ∴∆∆∽，D 是AB 的中点，∴12AD AB =， ∴12ADE ABC ∆=∆的周长的周长 ADE ∆的周长为6，ABC ∴∆的周长为12，故答案为：12．23．（2020•盘锦）如图，在矩形ABCD 中，1AB =，2BC =，点E 和点F 分别为AD ，CD 上的点，将DEF ∆沿EF 翻折，使点D 落在BC 上的点M 处，过点E 作//EH AB 交BC 于点H ，过点F 作//FG BC 交AB 于点G ．若四边形ABHE 与四边形BCFG 的面积相等，则CF 的长为 38．【解答】解：设CF x =，CH y =，则2BH y =-，四边形ABHE 与四边形BCFG 的面积相等，22y x ∴-=，22y x ∴=-，由折叠知，1MF DF x ==-，22EM ED CH y x ====-，90EMF D ∠=∠=︒， 90EMH CMF ∴∠+∠=︒，90C ∠=︒，90CMF CFM ∴∠+∠=︒，EMH MFC ∴∠=∠，90EHM C ∠=∠=︒，EMH MFC ∴∆∆∽， ∴EM EH MF MC =，即22221(1)x x x x-=---， 解得，38x =． 经检验，38x =是原方程的解， 故答案为：38． 24．（2020•盘锦）如图，AOB ∆三个顶点的坐标分别为(5,0)A ，(0,0)O ，(3,6)B ，以点O 为位似中心，相似比为23，将AOB ∆缩小，则点B 的对应点B '的坐标是 (2,4)或(2,4)-- ．【解答】解：如图，OAB ∆∽△OA B ''，相似比为3:2，(3.6)B ， (2,4)B ∴'，根据对称性可知，△OA B ''''在第三象限时，(2,4)B ''--， ∴满足条件的点B '的坐标为(2,4)或(2,4)--． 故答案为(2,4)或(2,4)--．25．（2020•大连）如图，矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，点E 在边AD 上，CE 与BD 相交于点F ．设DE x =，BF y =，当08x 时，y 关于x 的函数解析式为 808y x =+ ．【解答】解：在矩形 中，//AD BC ，DEF BCF ∴∆∆∽，∴DE DF BC BF=， 10BD BC =，BF y =，DE x =， 10DF y ∴=-，∴108x y y -=，化简得：808y x =+， y ∴关于x 的函数解析式为：808y x =+， 故答案为：808y x =+． 26．（2020•鞍山）如图，在菱形ABCD 中，60ADC ∠=︒，点E ，F 分别在AD ，CD 上，且AE DF =，AF 与CE 相交于点G ，BG 与AC 相交于点H ．下列结论：①ACF CDE ∆≅∆；②2CG GH BG =；③若2DF CF =，则7CE GF =；④23ABCG S BG =四边形．其中正确的结论有 ①③④ ．（只填序号即可）【解答】解：ABCD 为菱形，AD CD ∴=， AE DF =，DE CF ∴=，60ADC ∠=︒，ACD ∴∆为等边三角形，60D ACD ∴∠=∠=︒，AC CD =，()ACF CDE SAS ∴∆≅∆，故①正确；过点F 作//FP AD ，交CE 于P 点．2DF CF =，::1:3FP DE CF CD ∴==，DE CF =，AD CD =，2AE DE ∴=，:1:6:FP AE FG AG ∴==，6AG FG ∴=，7CE AF GF ∴==，故③正确；过点B 作BM AG ⊥于M ，BN GC ⊥于N ，60AGE ACG CAF ACG GCF ABC ∠=∠+∠=∠+∠=︒=∠，即180AGC ABC ∠+∠=︒，∴点A 、B 、C 、G 四点共圆，60AGB ACB ∴∠=∠=︒，60CGB CAB ∠=∠=︒，60AGB CGB ∴∠=∠=︒，BM BN ∴=，又AB BC =，()ABM CBN HL ∴∆≅∆，ABCG BMGN S S ∴=四边形四边形，60BGM ∠=︒， 12GM BG ∴=，3BM BG =， 233112222BMG BMGN S S BG BG BG ∆∴==⨯⨯⨯=四边形，故④正确； 60CGB ACB ∠=∠=︒，CBG HBC ∠=∠，BCH BGC ∴∆∆∽，∴BC BH CH BG BC CG==， 则2BG BH BC =，则2()BG BG GH BC -=，则22BG BG GH BC -=，则22GH BG BG BC =-，当90BCG ∠=︒时，222BG BC CG -=，此时2GH BG CG =，而题中BCG ∠未必等于90︒，故②不成立，故正确的结论有①③④，故答案为：①③④．27．（2020•葫芦岛）一张菱形纸片ABCD 的边长为6cm ，高AE 等于边长的一半，将菱形纸片沿直线MN 折叠，使点A 与点B 重合，直线MN 交直线CD 于点F ，则DF 的长为 (333)或(333) cm ．【解答】解：①根据题意画出如图1:菱形纸片ABCD 的边长为6cm ，6AB BC CD AD ∴====，高AE 等于边长的一半，3AE ∴=， 1sin 2AE B AB ∠==， 30B ∴∠=︒， 将菱形纸片沿直线MN 折叠，使点A 与点B 重合，3BH AH ∴==，23cos30BH BG ∴==︒， 623CG BC BG ∴=-=-，//AB CD ，30GCF B ∴∠=∠=︒，3cos30(623)333CF CG ∴=︒=-⨯=-， 6333(333)DF DC CF cm ∴=+=+-=+；②如图2，3BE AE ==，同理可得333DF =-．综上所述：则DF 的长为(333)或(333)cm -．故答案为：(333)+或(333)-．28．（2020•鞍山）如图，在平面直角坐标系中，已知(3,6)A ，(2,2)B -，在x 轴上取两点C ，D （点C 在点D 左侧），且始终保持1CD =，线段CD 在x 轴上平移，当AD BC +的值最小时，点C 的坐标为 (1,0)- ．【解答】解：把(3,6)A 向左平移1得(2,6)A '，作点B 关于x 轴的对称点B '，连接B A ''交x 轴于C ，在x 轴上取点D （点C 在点D 左侧），使1CD =，连接AD ，则AD BC +的值最小，(2,2)B -，(2,2)B ∴'--，设直线B A ''的解析式为y kx b =+，∴2226k b k b -+=-⎧⎨+=⎩， 解得：22k b =⎧⎨=⎩， ∴直线B A ''的解析式为22y x =+，当0y =时，1x =-，(1,0)C ∴-，故答案为：(1,0)-．29．（2020•沈阳）如图，在矩形ABCD中，6AB=，8BC=，对角线AC，BD相交于点O，点P为边AD上一动点，连接OP，以OP为折痕，将AOP∆折叠，点A的对应点为点E，线段PE与OD相交于点F．若PDF∆为直角三角形，则DP的长为52或1．【解答】解：如图1，当90DPF∠=︒时，过点O作OH AD⊥于H，四边形ABCD是矩形，BO OD∴=，90BAD OHD∠=︒=∠，8AD BC==，//OH AB∴，∴12 OH HD ODAB AD BD===，132OH AB∴==，142HD AD==，将AOP∆折叠，点A的对应点为点E，线段PE与OD相交于点F，45APO EPO∴∠=∠=︒，又OH AD⊥，45OPH HOP∴∠=∠=︒，3OH HP ∴==，1PD HD HP ∴=-=；当90PFD ∠=︒时，6AB =，8BC =，22366410BD AB AD ∴=++=，四边形ABCD 是矩形，5OA OC OB OD ∴====，DAO ODA ∴∠=∠，将AOP ∆折叠，点A 的对应点为点E ，线段PE 与OD 相交于点F ， 5AO EO ∴==，PEO DAO ADO ∠=∠=∠，又90OFE BAD ∠=∠=︒，OFE BAD ∴∆∆∽， ∴OF OE AB BD =， ∴5610OF =， 3OF ∴=，2DF ∴=，PFD BAD ∠=∠，PDF ADB ∠=∠，PFD BAD ∴∆∆∽， ∴PD DF BD AD =， ∴2108PD =， 52PD ∴=，综上所述：52PD =或1， 故答案为52或1． 30．（2020•营口）如图，ABC ∆为等边三角形，边长为6，AD BC ⊥，垂足为点D ，点E 和点F 分别是线段AD 和AB 上的两个动点，连接CE ，EF ，则CE EF +的最小值为 33 ．【解答】解：过C 作CF AB ⊥交AD 于E ，则此时，CE EF +的值最小，且CE EF +的最小值CF =，ABC ∆为等边三角形，边长为6，116322BF AB ∴==⨯=， 22226333CF BC BF ∴=-=-=，CE EF ∴+的最小值为33，故答案为：33．三．解答题（共16小题）31．（2020•阜新）如图，ABC ∆在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为A (4,4)，B (1,1)，C (4,1)．（1）画出与ABC ∆关于y 轴对称的△111A B C ；（2）将ABC ∆绕点1O 顺时针旋转90︒得到△222A B C ，2AA 弧是点A 所经过的路径，则旋转中心1O 的坐标为 (2,0) ；（3）求图中阴影部分的面积（结果保留)π．【解答】解：（1）如图，△111A B C 为所作；（2）旋转中心1O 的坐标为(2,0)，故答案为(2,0)；（3）设旋转半径为r ，则2222420r =+=，∴阴影部分的图形面积为：2111111242211542222S r ππ=⋅-⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯=-阴影．32．（2020•锦州）如图，ABCD 的对角线AC ，BD 交于点E ，以AB 为直径的O 经过点E ，与AD 交于点F ，G 是AD 延长线上一点，连接BG ，交AC 于点H ，且12DBG BAD ∠=∠．（1）求证：BG 是O 的切线；（2）若3CH =，1tan 2DBG ∠=，求O 的直径．【解答】（1）证明：AB 为O 的直径，90AEB ∴∠=︒，90BAE ABE ∴∠+∠=︒， 四边形ABCD 为平行四边形，∴四边形ABCD 为菱形，12BAE BAD ∴∠=∠， 12DBG BAD ∠=∠． BAE DBG ∴∠=∠，90DBG ABE ∴∠+∠=︒， 90ABG ∴∠=︒，BG ∴是O 的切线； （2）90ABG AEB ∠=∠=︒，HAB BAE ∠=∠，ABH AEB ∴∆∆∽，2AB AE AH ∴=，1tan 2DBG ∠=， ∴设HE x =，则2BE x =，3CH =，3AE CE x ∴==+，32AH AE HE x ∴=+=+，2(3)(32)AB x x ∴=++，22222(2)(3)AB BE AE x x =+=++，22(3)(32)(2)(3)x x x x ∴++=++，解得1x =或0（舍去），2(31)(32)20AB ∴=++=， 25AB ∴=，即O 的直径为25．33．（2020•锦州）已知AOB ∆和MON ∆都是等腰直角三角形2()OA OM ON <=，90AOB MON ∠=∠=︒．（1）如图1：连AM ，BN ，求证：AOM BON ∆≅∆；（2）若将MON ∆绕点O 顺时针旋转，①如图2，当点N 恰好在AB 边上时，求证：2222BN AN ON +=； ②当点A ，M ，N 在同一条直线上时，若4OB =，3ON =，请直接写出线段BN 的长．【解答】（1）证明：如图1中，90AOB MON ∠=∠=︒，AOM BON ∴∠=∠，AO BO =，OM ON =，()AOM BON SAS ∴∆≅∆．（2）①证明：如图2中，连接AM．同法可证AOM BON∆≅∆，AM BN∴=，45OAM B∠=∠=︒，45OAB B∠=∠=︒，90MAN OAM OAB∴∠=∠+∠=︒，222MN AN AM∴=+，MON∆是等腰直角三角形，222MN ON∴=，2222NB AN ON∴+=．②如图31-中，设OA交BN于J，过点O作OH MN⊥于H．AOM BON∆≅∆，AM BN∴=，OAM OBN∠=∠，AJN BJO∠=∠，90ANJ JOB∴∠=∠=︒，3OM ON==，90MON∠=︒，OH MN⊥，32 MN∴=322 MH HN OH====，222232464()2AH OA OH ∴=-=-=， 4632BN AM MH AH +∴==+=．如图32-中，同法可证4632AM BN -==．34．（2020•朝阳）如图，以AB 为直径的O 经过ABC ∆的顶点C ，过点O 作//OD BC 交O 于点D ，交AC 于点F ，连接BD 交AC 于点G ，连接CD ，在OD 的延长线上取一点E ，连接CE ，使DEC BDC ∠=∠． （1）求证：EC 是O 的切线；（2）若O 的半径是3，9DG DB =，求CE 的长．【解答】解：（1）证明：如图，连接OC ，AB 是直径，90ACB ∴∠=︒， //OD BC ，90CFE ACB ∴∠=∠=︒， 90DEC FCE ∴∠+∠=︒，DEC BDC ∠=∠，BDC A ∠=∠， DEC A ∴∠=∠， OA OC =， OCA A ∴∠=∠， OCA DEC ∴∠=∠， 90DEC FCE ∠+∠=︒，90OCA FCE ∴∠+∠=︒，即90OCE ∠=︒， OC CE ∴⊥，又OC 是O 的半径， CE ∴是O 切线．（2）由（1）得90CFE ∠=︒， OF AC ∴⊥， OA OC =， COF AOF ∴∠=∠， ∴CD AD =，ACD DBC ∴∠=∠，又BDC BDC ∠=∠， DCG DBC ∴∆∆∽， ∴DC DGDB DC=， 29DC DG DB ∴==，3DC ∴=， 3OC OD ==， OCD ∴∆是等边三角形， 60DOC ∴∠=︒，在Rt OCE ∆中tan 60CEOC︒=，∴3CE，CE=．∴3335．（2020•朝阳）为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30︒方向，C在A的南偏西15︒方向(30303)km+处．学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是40/km h，第二组乘公交车，速度是30/km h，两组同学到达目的地分别用了多长时间？哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）．【解答】解：作BD AC⊥于D．依题意得，∠=︒，15∠=︒，ABCCAE45BAE∠=︒，105∴∠=︒，BAC30∴∠=︒．45ACB在Rt BCD ∆中，90BDC ∠=︒，45ACB ∠=︒， 45CBD ∴∠=︒， CBD DCB ∴∠=∠， BD CD ∴=，设BD x =，则CD x =， 在Rt ABD ∆中，30BAC ∠=︒， 22AB BD x ∴==，tan30BDAD︒=，∴xAD=，AD ∴，在Rt BDC ∆中，90BDC ∠=︒，45DCB ∠=︒，sin BD DCB BC ∴∠=BC ∴，30CD AD +=+，30x ∴=+ 30x ∴=，260AB x ∴==，BC ==，第一组用时：6040 1.5()h ÷=；第二组用时：30)h ，1.5<，∴第二组先到达目的地，答：第一组用时1.5小时，第二组先到达目的地．36．（2020•朝阳）如图所示的平面直角坐标系中，ABC ∆的三个顶点坐标分别为(3,2)A -，(1,3)B -，(1,1)C -，请按如下要求画图：（1）以坐标原点O 为旋转中心，将ABC ∆顺时针旋转90︒，得到△111A B C ，请画出△111A B C ； （2）以坐标原点O 为位似中心，在x 轴下方，画出ABC ∆的位似图形△222A B C ，使它与ABC ∆的位似比为2:1．【解答】解：（1）如图，△A B C即为所求．111（2）如图，△A B C即为所求．22237．（2020•锦州）如图，某海岸边有B，C两码头，C码头位于B码头的正东方向，距B码头40海里．甲、乙两船同时从A岛出发，甲船向位于A岛正北方向的B码头航行，乙船向位于A岛北偏东30︒方向的C码头航行，当甲船到达距B码头30海里的E处时，乙船位于甲船北偏东60︒方向的D处，求此时乙船与C码头之间的距离．（结果保留根号）【解答】解：过D 作DF BE ⊥于F ， 603030ADE DEB A ∠=∠-∠=︒-︒=︒，A ADE ∴∠=∠， AE DE ∴=，90B ∠=︒，30A ∠=︒，40BC =（海里）， 280AC BC ∴==（海里），3403AB BC =， 30BE =（海里）， (40330)AE ∴=-（海里）， (40330)DE ∴=（海里），在Rt DEF ∆中，60DEF ∠=︒，90DFE ∠=︒， 30EDF ∴∠=︒，1122EF DE x ∴==，3(60153)DF =-（海里）， 30A ∠=︒，2120303AD DF ∴==-（海里），80120303(30340)CD AC AD ∴=-=-+=海里，答：乙船与C 码头之间的距离为(30340)海里．38．（2020•盘锦）如图，某数学活动小组要测量建筑物AB 的高度，他们借助测角仪和皮尺进行了实地测量，测量结果如下表．测量项目 测量数据 测角仪到地面的距离 1.6CD m = 点D 到建筑物的距离 4BD m = 从C 处观测建筑物顶部A 的仰角 67ACE ∠=︒ 从C 处观测建筑物底部B 的俯角22BCE ∠=︒请根据需要，从上面表格中选择3个测量数据，并利用你选择的数据计算出建筑物AB 的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin670.92︒≈，cos670.39︒≈，tan67 2.36︒≈．sin220.37︒≈，cos220.93︒≈，tan 220.40)︒≈（选择一种方法解答即可）【解答】解：选择 1.6CD m =，4BD m =，67ACE ∠=︒， 过C 作CE AB ⊥于E ，则四边形BDCE 是矩形， 1.6BE CD m ∴==，4CE BD m ==，在Rt ACE ∆中，67ACE ∠=︒，tan AEACE CE∴∠=， ∴2.364AE≈， 9.4AE m ∴≈，9.4 1.611.0()AB AE BE m ∴=+=+=，答：建筑物AB 的高度为11.0m ．39．（2020•鞍山）图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，MN 为立柱的一部分，灯臂AC ，支架BC 与立柱MN 分别交于A ，B 两点，灯臂AC 与支架BC 交于点C ，已知60MAC ∠=︒，15ACB ∠=︒，40AC cm =，求支架BC 的长．（结果精确到1cm ，参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈，6 2.449)≈【解答】解：如图2，过C 作CD MN ⊥于D ， 则90CDB ∠=︒，60CAD ∠=︒，40()AC cm =，3sin 40sin 6040203()CD AC CAD cm ∴=∠=⨯︒==， 15ACB ∠=︒，45CBD CAD ACB ∴∠=∠-∠=︒， 220649()BC CD cm ∴==≈，答：支架BC 的长约为49cm ．40．（2020•葫芦岛）在等腰ADC ∆和等腰BEC ∆中，90ADC BEC ∠=∠=︒，BC CD <，将BEC ∆绕点C 逆时针旋转，连接AB ，点O 为线段AB 的中点，连接DO ，EO ．（1）如图1，当点B 旋转到CD 边上时，请直接写出线段DO 与EO 的位置关系和数量关系； （2）如图2，当点B 旋转到AC 边上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）若4BC =，26CD =，在BEC ∆绕点C 逆时针旋转的过程中，当60ACB ∠=︒时，请直接写出线段OD 的长．【解答】解：（1）DO EO ⊥，DO EO =；理由：当点B 旋转到CD 边上时，点E 必在边AC 上， 90AEB CEB ∴∠=∠=︒，在Rt ABE ∆中，点O 是AB 的中点，12OE OA AB ∴==， 2BOE BAE ∴∠=∠，在Rt ABD ∆中，点O 是AB 的中点，12OD OA AB ∴==， 2DOE BAD ∴∠=∠， OD OE ∴=，。
旋转(压轴精选30题)(解析版)-2023-2024学年九年级数学上册《重难点题型-高分突破》
第3单元旋转压轴精选30题一．选择题（共8小题）1．如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上的点，∠BAD＝15°，△ABD经旋转后到达△ACE的位置，那么旋转了（）A．75°B．60°C．45°D．15°【答案】B【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵△ABD经旋转后到达△ACE的位置，∴∠BAC等于旋转角，即旋转角等于60°．故选：B．2．如图直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，将腰CD以D 为中心逆时针旋转90°至ED，连AE、CE，则△ADE的面积是（）A．1B．2C．3D．不能确定【答案】A【解答】解：如图所示，作EF⊥AD交AD延长线于F，作DG⊥BC，∵CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，∴∠EDF+∠CDF＝90°，DE＝CD，又∵∠CDF+∠CDG＝90°，∴∠CDG＝∠EDF，在△DCG与△DEF中，，∴△DCG≌△DEF（AAS），∴EF＝CG，∵AD＝2，BC＝3，∴CG＝BC﹣AD＝3﹣2＝1，∴EF＝1，∴△ADE的面积是：×AD×EF＝×2×1＝1．故选：A．3．将五个边长都为2cm的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心（对角线的交点），则图中四块阴影面积的和为（）A．2cm2B．4cm2C．6cm2D．8cm2【答案】B【解答】解：如图，连接AP，AN，点A是正方形的对角线的交点．则AP＝AN，∠APF＝∠ANE＝45°，∵∠P AF+∠FAN＝∠FAN+∠NAE＝90°，∴∠P AF＝∠NAE，∴△P AF≌△NAE，∴四边形AENF的面积等于△NAP的面积，而△NAP的面积是正方形的面积的，而正方形的面积为4，∴四边形AENF的面积为1cm2，四块阴影面积的和为4cm2．故选：B．4．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则四边形AB1OD的面积是（）A．B．C．D．﹣1【答案】D【解答】方法一：解：连接AC1，∵四边形AB1C1D1是正方形，∴∠C1AB1＝×90°＝45°＝∠AC1B1，∵边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，∴∠B1AB＝45°，∴∠DAB1＝90°﹣45°＝45°，∴AC1过D点，即A、D、C1三点共线，∵正方形ABCD的边长是1，∴四边形AB1C1D1的边长是1，在Rt△C1D1A中，由勾股定理得：AC1＝＝，则DC1＝﹣1，∵∠AC1B1＝45°，∠C1DO＝90°，∴∠C1OD＝45°＝∠DC1O，∴DC1＝OD＝﹣1，＝×OD•AD＝，∴S△ADO∴四边形AB1OD的面积是＝2×＝﹣1，方法二：解：∵四边形ABCD是正方形，∴AC＝，∠OCB1＝45°，∴CB1＝OB1∵AB1＝1，∴CB1＝OB1＝AC﹣AB1＝﹣1，＝•OB1•CB1＝（﹣1）2，∴S△OB1C＝AD•AC＝×1×1＝，∵S△ADC＝S△ADC﹣S△OB1C＝﹣（﹣1）2＝﹣1；∴S四边形AB1OD故选：D．5．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝3，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2015次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（）A．2015πB．3019.5πC．3018πD．3024π【答案】D【解答】解：转动一次A的路线长是：，转动第二次的路线长是：，转动第三次的路线长是：，转动第四次的路线长是：0，转动五次A的路线长是：，以此类推，每四次循环，故顶点A转动四次经过的路线长为：+2π＝6π，2015÷4＝503余3顶点A转动2015次经过的路线长为：6π×504＝3024π．故选：D．6．如图，P是等腰直角△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B＝135°，P′A：P′C＝1：3，则P′A：PB＝（）A．1：B．1：2C．：2D．1：【答案】B【解答】解：如图，连接AP，∵BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，∴BP＝BP′，∠ABP+∠ABP′＝90°，又∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝BC，∠CBP′+∠ABP′＝90°，∴∠ABP＝∠CBP′，在△ABP和△CBP′中，∵，∴△ABP≌△CBP′（SAS），∴AP＝P′C，∵P′A：P′C＝1：3，∴AP＝3P′A，连接PP′，则△PBP′是等腰直角三角形，∴∠BP′P＝45°，PP′＝PB，∵∠AP′B＝135°，∴∠AP′P＝135°﹣45°＝90°，∴△APP′是直角三角形，设P′A＝x，则AP＝3x，根据勾股定理，PP′＝＝＝2x，∴PP′＝PB＝2x，解得PB＝2x，∴P′A：PB＝x：2x＝1：2．故选：B．7．如图，该图形围绕自己的旋转中心，按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（）A．72°B．108°C．144°D．216°【答案】B【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，因而A、C、D都正确，不能与其自身重合的是B．故选：B．8．如图，O是正△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB＝150°；④S四边形AOBO′＝6+3；⑤S△AOC+S△AOB＝6+．其中正确的结论是（）A．①②③⑤B．①②③④C．①②③④⑤D．①②③【答案】A【解答】解：由题意可知，∠1+∠2＝∠3+∠2＝60°，∴∠1＝∠3，又∵OB＝O′B，AB＝BC，∴△BO′A≌△BOC，又∵∠OBO′＝60°，∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确；如图①，连接OO′，∵OB＝O′B，且∠OBO′＝60°，∴△OBO′是等边三角形，∴OO′＝OB＝4．故结论②正确；∵△BO′A≌△BOC，∴O′A＝5．在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′＝90°，∴∠AOB＝∠AOO′+∠BOO′＝90°+60°＝150°，故结论③正确；S 四边形AOBO′＝S△AOO′+S△OBO′＝×3×4+×42＝6+4，故结论④错误；如图②所示，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O 旋转至O″点．易知△AOO″是边长为3的等边三角形，△COO″是边长为3、4、5的直角三角形，+S△AOB＝S四边形AOCO″＝S△COO″+S△AOO″＝×3×4+×32＝6+，则S△AOC故结论⑤正确．综上所述，正确的结论为：①②③⑤．故选：A．二．填空题（共16小题）9．如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝30°，点D在边AB上，，把△ADC绕点D逆时针旋转m（0°＜m＜180°）度后，如果点A恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m＝60°或120°．【答案】60°或120°．【解答】解：如图，D以为圆心，以AD为半径画圆，分别交AC于A1，交BC于A2、交DB于A3．∵∠B＝30°，∠C＝90°，∴∠A＝60°且AD＝A1D，∴△AA1D是等边三角形，∴①旋转角m＝∠ADA1＝60°．②在Rt△BDA2中，∵BD＝AD，且∠B＝30°，∴BC与圆相切于A点，∴∠BDA2＝60°，旋转角m＝∠ADA2＝180°﹣∠BDA2＝120°．③当旋转到A3时，刚好旋转了180°，不符合题意，．故答案为：60°或120°．10．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，把△ABC绕点C顺时针旋转到△A1B1C的位置，A1B1交直线CA于点D．若AC＝6，BC＝8，当线段CD的长为6或5或时，△A1CD是等腰三角形．【答案】见试题解答内容【解答】解：三角形是等腰三角形，有如下三种情况：①当CD＝A1C＝AC＝6时，三角形是等腰三角形；②当CD＝A1D时，∵∠B＝90°﹣∠BCB1＝∠ACB1，∠B＝∠B1，∴∠B1＝∠B1CD，∴B1D＝CD．∵CD＝A1D，∴CD＝A1B1＝5时，三角形是等腰三角形；③当A1C＝A1D时，如图．过点C作CE⊥A1B1于E．∵△A1B1C的面积＝×6×8＝×10×CE，∴CE＝4.8．在△A1CE中，∠A1EC＝90°，由勾股定理知A1E＝＝3.6，∴DE＝6﹣3.6＝2.4．在△CDE中，∠CED＝90°，由勾股定理知CD＝＝．故当线段CD的长为6或5或时，△A1CD是等腰三角形．11．如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若将△P AC 绕点A逆时针旋转60°后，得到△P′AB，则点P与P′之间的距离为6，∠APB＝150°．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接PP′，如图，∵△P AC绕点A逆时针旋转60°后，得到△P′AB，∴∠P AP′＝60°，P A＝P′A＝6，P′B＝PC＝10，∴△P AP′为等边三角形，∴PP′＝PA＝6，∠P′PA＝60°，在△BPP′中，P′B＝10，PB＝8，PP′＝6，∵62+82＝102，∴PP′2+PB2＝P′B2，∴△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°，∴∠APB＝∠P′PB+∠BPP′＝60°+90°＝150°．故答案为6，150°．12．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到正方形AB′C′D′，则图中阴影部分的面积为．【答案】见试题解答内容【解答】解：设B′C′与CD交于点E，连接AE．在△AB′E与△ADE中，∠AB′E＝∠ADE＝90°，∵，∴△AB′E≌△ADE（HL），∴∠B′AE＝∠DAE．∵∠BAB′＝30°，∠BAD＝90°，∴∠B′AE＝∠DAE＝30°，∴DE＝AD•tan∠DAE＝．＝2S△ADE＝2××＝．∴S四边形AB′ED﹣S四边形AB′ED＝1﹣＝．∴阴影部分的面积＝S正方形ABCD13．如图，在Rt△ABC中，已知：∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝3cm，以斜边AB的中点P为旋转中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到Rt△A′B′C′，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为cm2．【答案】见试题解答内容【解答】解：设A′B′交BC于D，在直角△DPB中，BP＝AP＝AC＝3，∵∠A＝60°设PD＝x，则BD＝2x，∵DP2+BP2＝BD2，∴x2+32＝（2x）2，∴DP＝x＝，∵B′P＝BP，∠B＝∠B′，∠B′PH＝∠BPD＝90°，∴△B′PH≌△BPD，∴PH＝PD＝，∵在直角△BGH中，BH＝3+，∴GH＝，BG＝，＝××＝，S△BDP＝×3×＝，∴S△BGH∴S DGHP＝＝cm2．14．如图所示，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A落在CB的延长线上的点E处，则∠BDC的度数为15度．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据旋转的性质△ABC≌△EDB，BC＝BD，则△CBD是等腰三角形，∠BDC＝∠BCD，∠CBD＝180°﹣∠DBE＝180°﹣30°＝150°，∠BDC＝（180°﹣∠CBD）＝15°．故答案为15°．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为42cm．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，∴△ABC≌△BDE，∠CBD＝60°，∴BD＝BC＝12cm，∴△BCD为等边三角形，∴CD＝BC＝CD＝12cm，在Rt△ACB中，AB＝＝13，△ACF与△BDF的周长之和＝AC+AF+CF+BF+DF+BD＝AC+AB+CD+BD＝5+13+12+12＝42（cm），故答案为：42．16．如图，在△ABC中，∠A＝70°，AC＝BC，以点B为旋转中心把△ABC按顺时针旋转α度，得到△A′BC′，点A′恰好落在AC上，连接CC′，则∠ACC′＝110°．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵∠A＝70°，AC＝BC，∴∠BCA＝40°，根据旋转的性质，AB＝BA′，BC＝BC′，∴∠α＝180°﹣2×70°＝40°，∵∠CBC′＝∠α＝40°，∴∠BCC′＝70°，∴∠ACC′＝∠ACB+∠BCC′＝110°；故答案为：110°．17．如图，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E运动过程中，DF的最小值是 1.5．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，取AC的中点G，连接EG，∵旋转角为60°，∴∠ECD+∠DCF＝60°，又∵∠ECD+∠GCE＝∠ACB＝60°，∴∠DCF＝∠GCE，∵AD是等边△ABC的对称轴，∴CD＝BC，∴CD＝CG，又∵CE旋转到CF，∴CE＝CF，在△DCF和△GCE中，，∴△DCF≌△GCE（SAS），∴DF＝EG，根据垂线段最短，EG⊥AD时，EG最短，即DF最短，此时∵∠CAD＝×60°＝30°，AG＝AC＝×6＝3，∴EG＝AG＝×3＝1.5，∴DF＝1.5．故答案为：1.5．18．如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3.6，∠B＝60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为 1.6．【答案】见试题解答内容【解答】解：由旋转的性质可得：AD＝AB，∵∠B＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB，∵AB＝2，BC＝3.6，∴CD＝BC﹣BD＝3.6﹣2＝1.6．故答案为：1.6．19．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），B（0，4），对△AOB 连续作旋转变换，依次得到三角形①，②，③，…，那么第⑤个三角形离原点O最远距离的坐标是（21，0），第2012个三角形离原点O最远距离的坐标是（8049，0）．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵点A（﹣3，0），B（0，4），∴OB＝4，OA＝3，∴AB＝5，∵对△OAB连续作如图所示的旋转变换，∴△OAB每三次旋转后回到原来的状态，并且每三次向前移动了3+4+5＝12个单位，而2012＝3×670+2，∴第⑤个三角形和第2012个三角形都和三角形②的状态一样，∴2012个三角形离原点O最远距离的点的横坐标为670×12+9＝8049，纵坐标为0．第⑤三角形离原点O最远距离的点的横坐标为12+9＝21，纵坐标为0．故答案为（21，0），（8049，0）．20．已知△ABC是边长为1cm的等边三角形，以BC为边作等腰三角形BCD，使得DB＝DC，且∠BDC＝120°，点M是AB边上的一个动点，作∠MDN 交AC边于点N，且满足∠MDN＝60°，则△AMN的周长为2．【答案】见试题解答内容【解答】证明：如图，在AC延长线上截取CM1＝BM，∵△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝∠DCB＝30°，∴∠ABD＝∠ACD＝90°，∴∠DCM1＝90°，∵BD＝CD，∵在Rt△BDM≌Rt△CDM1中，BD ＝CD ∠ABD ＝∠DCM 1＝90°CM 1＝BM ，∴Rt △BDM ≌Rt △CDM 1（SAS ），得MD ＝M 1D ，∠MDB ＝∠M 1DC ，∴∠MDM 1＝120°﹣∠MDB +∠M 1DC ＝120°，∴∠NDM 1＝60°，∵MD ＝M 1D ，∠MDN ＝∠NDM 1＝60°，DN ＝DN ，∴△MDN ≌△M 1DN ，∴MN ＝NM 1，故△AMN 的周长＝AM +MN +AN ＝AM +AN +NM 1＝AM +AM 1＝AB +AC ＝2．故答案为：2．21．如图，△ABC 绕点A 顺时针旋转45°得到△AB ′C ′，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝，则图中阴影部分的面积等于﹣1．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵△ABC 绕点A 顺时针旋转45°得到△AB ′C ′，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝，∴BC ＝2，∠C ＝∠B ＝∠CAC ′＝∠C ′＝45°，∴AD ⊥BC ，B ′C ′⊥AB ，∴AD ＝BC ＝1，AF ＝FC ′＝sin45°AC ′＝AC ′＝1，∴图中阴影部分的面积等于：S △AFC ′﹣S △DEC ′＝×1×1﹣×（﹣1）2＝﹣1．故答案为：﹣1．22．已知：在△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内将△ABC绕A点旋转到△AB′C′位置，且CC′∥AB，则∠BAB′的度数是40°．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵CC′∥AB，∠CAB＝70°，∴∠C′CA＝∠CAB＝70°，又∵C、C′为对应点，点A为旋转中心，∴AC＝AC′，即△ACC′为等腰三角形，∴∠BAB′＝∠CAC′＝180°﹣2∠C′CA＝40°．故填：40°．23．如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD．将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，连接ED．若BC＝10，BD＝9，则△AED的周长是19．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝BC＝10，∵△BAE由△BCD逆时针旋旋转60°得出，∴AE＝CD，BD＝BE，∠EBD＝60°，∴AE+AD＝AD+CD＝AC＝10，∵∠EBD＝60°，BE＝BD，∴△BDE是等边三角形，∴DE＝BD＝9，∴△AED的周长＝AE+AD+DE＝AC+BD＝19．故答案为：19．24．如图：已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC 中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下五个结论：①AE＝CF；②∠APE＝∠CPF；③△EPF是等腰直角三角形；④EF＝AP；⑤S四边形AEPF＝S△ABC．当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），上述结论中始终正确的序号有①②③⑤．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，点P是BC的中点，∴∠EAP＝∠BAC＝45°，AP＝BC＝CP．①在△AEP与△CFP中，∵∠EAP＝∠C＝45°，AP＝CP，∠APE＝∠CPF＝90°﹣∠APF，∴△AEP≌△CFP，∴AE＝CF．正确；②由①知，△AEP≌△CFP，∴∠APE＝∠CPF．正确；③由①知，△AEP≌△CFP，∴PE＝PF．又∵∠EPF＝90°，∴△EPF是等腰直角三角形．正确；④只有当F在AC中点时EF＝AP，故不能得出EF＝AP，错误；⑤∵△AEP≌△CFP，同理可证△APF≌△BPE．＝S△AEP+S△APF＝S△CPF+S△BPE＝S△ABC．正确．∴S四边形AEPF故正确的序号有①②③⑤．三．解答题（共6小题）25．通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接EF，则EF＝BE+DF，试说明理由．（1）思路梳理∵AB＝AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．∵∠ADC＝∠B＝90°，∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线．根据SAS，易证△AFG≌△AFE，得EF＝BE+DF．（2）类比引申如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°点E、F分别在边BC、CD 上，∠EAF＝45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系∠B+∠D＝180°时，仍有EF＝BE+DF．（3）联想拓展如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE＝45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵AB＝AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．∴∠BAE＝∠DAG，∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠EAF＝∠F AG，∵∠ADC＝∠B＝90°，∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线，在△AFE和△AFG中，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF＝FG，即：EF＝BE+DF．（2）∠B+∠D＝180°时，EF＝BE+DF；∵AB＝AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，∴∠BAE＝∠DAG，∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠EAF＝∠F AG，∵∠ADC+∠B＝180°，∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线，在△AFE和△AFG中，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF＝FG，即：EF＝BE+DF．（3）猜想：DE2＝BD2+EC2，证明：把△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，连接DE′，∴△AEC≌△ABE′，∴BE′＝EC，AE′＝AE，∠C＝∠ABE′，∠EAC＝∠E′AB，在Rt△ABC中，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ABC+∠ABE′＝90°，即∠E′BD＝90°，∴E′B2+BD2＝E′D2，又∵∠DAE＝45°，∴∠BAD+∠EAC＝45°，∴∠E′AB+∠BAD＝45°，即∠E′AD＝45°，在△AE′D和△AED中，∴△AE′D≌△AED（SAS），∴DE＝DE′，∴DE2＝BD2+EC2．26．已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时（如图1），易证BM+DN＝MN．（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）BM+DN＝MN成立．证明：如图，把△ADN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE，则可证得E、B、M三点共线（图形画正确）．∴∠EAM＝90°﹣∠NAM＝90°﹣45°＝45°，又∵∠NAM＝45°，∴在△AEM与△ANM中，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME＝MN，∵ME＝BE+BM＝DN+BM，∴DN+BM＝MN；（2）DN﹣BM＝MN．在线段DN上截取DQ＝BM，在△ADQ与△ABM中，∵，∴△ADQ≌△ABM（SAS），∴∠DAQ＝∠BAM，∴∠QAN＝∠MAN．在△AMN和△AQN中，∴△AMN≌△AQN（SAS），∴MN＝QN，∴DN﹣BM＝MN．27．阅读与理解：图1是边长分别为a和b（a＞b）的两个等边三角形纸片ABC和C′DE叠放在一起（C与C′重合）的图形．操作与证明：（1）操作：固定△ABC，将△C′DE绕点C按顺时针方向旋转30°，连接AD，BE，如图2；在图2中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；（2）操作：若将图1中的△C′DE，绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度α（0°≤α≤360°），连接AD，BE，如图3；在图3中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；猜想与发现：根据上面的操作过程，请你猜想当α为多少度时，线段AD的长度最大是多少？当α为多少度时，线段AD的长度最小是多少？【答案】见试题解答内容【解答】解：操作与证明：（1）BE＝AD．∵△C′DE绕点C按顺时针方向旋转30°，∴∠BCE＝∠ACD＝30°，∵△ABC与△C′DE是等边三角形，∴CA＝CB，CE＝CD，∴△BCE≌△ACD，∴BE＝AD．（2）BE＝AD．∵△C′DE绕点C按顺时针方向旋转的角度为α，∴∠BCE＝∠ACD＝α，∵△ABC与△C′DE是等边三角形，∴CA＝CB，CE＝CD，∴△BCE≌△ACD，∴BE＝AD．猜想与发现：当α为180°时，线段AD的长度最大，等于a+b；当α为0°（或360°）时，线段AD的长度最小，等于a﹣b．28．（1）如图1，在△ABC中，BA＝BC，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE＝∠ABC（0°＜∠CBE＜∠ABC）．以点B为旋转中心，将△BEC 按逆时针旋转∠ABC，得到△BE′A（点C与点A重合，点E到点E′处）连接DE′，求证：DE′＝DE．（2）如图2，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE＝∠ABC（0°＜∠CBE＜45°）．求证：DE2＝AD2+EC2．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵∠DBE＝∠ABC，∴∠ABD+∠CBE＝∠DBE＝∠ABC，∵△ABE′由△CBE旋转而成，∴BE＝BE′，∠ABE′＝∠CBE，∴∠DBE′＝∠DBE，在△DBE与△DBE′中，∵，∴△DBE≌△DBE′（SAS），∴DE′＝DE；（2）证明：如图所示：把△CBE逆时针旋转90°，连接DE′，∵BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝∠BCE＝45°，∴图形旋转后点C与点A重合，CE与AE′重合，∴AE′＝EC，∴∠E′AB＝∠BCE＝45°，∴∠DAE′＝90°，在Rt△ADE′中，DE′2＝AE′2+AD2，∵AE′＝EC，∴DE′2＝EC2+AD2，同（1）可得DE＝DE′，∴DE2＝AD2+EC2．29．图中是一副三角板，45°的三角板Rt△DEF的直角顶点D恰好在30°的三角板Rt△ABC斜边AB的中点处，∠A＝30°，∠E＝45°，∠EDF＝∠ACB ＝90°，DE交AC于点G，GM⊥AB于M．（1）如图①，当DF经过点C时，作CN⊥AB于N，求证：AM＝DN；（2）如图②，当DF∥AC时，DF交BC于H，作HN⊥AB于N，（1）的结论仍然成立，请你说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点．∴CD＝AD＝BD，又∵∠B＝90°﹣∠A＝60°，∴△BCD是等边三角形．又∵CN⊥DB，∴DN＝DB．∵∠EDF＝90°，△BCD是等边三角形，∴∠ADG＝30°，而∠A＝30°．∴GA＝GD．∵GM⊥AB，∴AM＝AD．又∵AD＝DB，∴AM＝DN．（2）解：（1）的结论依然成立．理由如下：∵DF∥AC，∴∠1＝∠A＝30°，∠AGD＝∠GDH＝90°，∴∠ADG＝60°．∵∠B＝60°，AD＝DB，∴△ADG≌△DBH，∴AG＝DH．又∵GM⊥AB，HN⊥AB，∴∠GMA＝∠HND＝90°，∵∠1＝∠A，∴Rt△AMG≌Rt△DNH，∴AM＝DN．30．如图，等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，点P在AC上，将△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ．（1）求∠PCQ的度数；（2）当AB＝4，AP：PC＝1：3时，求PQ的大小；（3）当点P在线段AC上运动时（P不与A重合），请写出一个反映PA2，PC2，PB2之间关系的等式，并加以证明．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题意知，△ABP≌△CQB，∴∠A＝∠ACB＝∠BCQ＝45°，∠ABP＝∠CBQ，AP＝CQ，PB＝BQ，∴∠PCQ＝∠ACB+∠BCQ＝90°，∠ABP+∠PBC＝∠CPQ+∠PBC＝90°，∴△BPQ是等腰直角三角形，△PCQ是直角三角形．（2）当AB＝4，AP：PC＝1：3时，有AC＝4，AP＝，PC＝3，∴PQ＝＝2．（3）存在2PB2＝PA2+PC2，由于△BPQ是等腰直角三角形，∴PQ＝PB，∵AP＝CQ，∴PQ2＝PC2+CQ2＝P A2+PC2，故有2PB2＝PA2+PC2．。
辽宁省数学九年级上学期期末复习专题4 旋转
辽宁省数学九年级上学期期末复习专题 4 旋转姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 10 题；共 30 分)1. （3 分） (2018 九上·番禺期末) 如图，⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD，∠CAB=36°，则∠BCD 的大小是（ ）A . 18° B . 36° C . 54° D . 72° 2. （3 分） (2019·渝中模拟) 在等边△ABC 中，D 是 AC 边上一点，连接 BD，将△BCD 绕点 B 逆时针旋转 60° 得到△BAE，连接 ED，若 BC=5，BD=4，有下列结论：①AE∥BC；②∠ADE=∠BDC；③△BDE 是等边三角形；④△ADE 的周长是 9.其中正确的个数是（ ）A.4 B.3 C.2 D.1 3. （3 分） 如图，在 Rt△ABC 中，AB=AC，D、E 是斜边 BC 上两点，且∠DAE=45°，将△ADC 绕点 A 顺时针旋转 90°后，得 到△AFB，连接 EF，下列结论：①△AED≌△AEF；② = 确的是（ ）;③△ABC 的面积等于四边形 AFBD 的面积；④BE2+DC2=DE2 ⑤BE+DC=DE;其中正第 1 页 共 30 页A . ①②④ B . ③④⑤ C . ①③④ D . ①③⑤ 4. （3 分） 如图，已知∠MON=60°，OP 是∠MON 的角平分线，点 A 是 OP 上一点，过点 A 作 ON 的平行线交 OM 于点 B，AB=4．则直线 AB 与 ON 之间的距离是（ ）A. B.2C.2 D.4 5. （3 分） 平面内两个正六边形有一边 AB 重合在一起，将左侧的正六边形绕平面内的某一点，旋转一定的角 度后能与右侧的正六边形完全重合，平面内这样的旋转中心有（ ）个．A.1 B.3 C.5第 2 页 共 30 页D . 无数 6. （3 分） (2017 八上·云南期中) 如图，把直角△ABC 的斜边 AC 放在定直线 l 上，按顺时针的方向在直线l 上转动两次，使它转到△A2B2C2 的位置，设 AB= 线为（ ），BC=1，则顶点 A 运动到点 A2 的位置时，点 A 所经过的路A.B. C . 2π D. π 7. （3 分） 如图， Rt△ABC 绕 O 点旋转 90°得 Rt△BDE，其中∠ACB=∠E= 90°，AC=3，DE=5， 则 OC 的长 为（ ）A. B. C. D. 8. （3 分） (2018·柘城模拟) 如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣5）（0≤x≤5），记为 C1 ， 它与 x 轴交于点 O， A1；将 C1 绕点 A1 旋转 180°得 C2 ， 交 x 轴于点 A2；将 C2 绕点 A2 旋转 180°得 C3 ， 交 x 轴于点 A3；…如此 进行下去，得到一“波浪线”，若点 P（2018，m）在此“波浪线”上，则 m 的值为（ ）第 3 页 共 30 页A.4 B . ﹣4 C . ﹣6 D.6 9. （3 分） (2019 七下·海珠期末) 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点 O 出发，按一定的规律移动， 依次得到点 A1（0，1）A2（1，1）、A3（1，3）、A4（3，3）、A5（3，6）、A6（6，6）、A7（6，10）、A8（10，10）、……， 根据这个规律，则点 A2019 的坐标是（ ）A . （510555，511565） B . （509545，511565） C . （509545，510555） D . （51055，510555） 10. （3 分） 如图，△ABO 中，AB⊥OB，OB= ，AB=1，把△ABO 绕点 O 旋转 150°后得到△A1B1O，则点 A1 的坐标为第 4 页 共 30 页A . （﹣1， ） B . （﹣1， ）或（﹣2，0） C . （ ，﹣1）或（0，﹣2） D . （ ，﹣1）二、 填空题 (共 6 题；共 24 分)11. （4 分） (2020 八上·温岭期中) 如图，在△AOB 中，∠OAB=∠AOB=15º，OB=5，OC 平分∠AOB，点 P 在射 线 OC 上，Q 是 OA 上一动点，则 PA+PQ 的最小值是________12. （4 分） (2019·通辽) 如图，在边长为 3 的菱形中，， 是 边上的一点，且， 是 边上的一动点，将 长度的最小值是________．沿所在直线翻折得到，连接．则13. （4 分） 如图，在四边形 ABCD 中，∠ADC=30°，∠ABC=60°，AC=BC．若 AD=3，DC=5，则 BD=________．14. （4 分） (2019·嘉祥模拟) 如图，优弧 纸片所在的半径为 2，上一点（点 不与 ， 重合），将图形沿 折叠，得到点 的对称点 ．当折痕 的长 ________．，点 为优弧与相切时，则第 5 页 共 30 页15. （4 分） (2020 九上·镇海期末) 如图，扇形 ABC 的圆心角为 90°，半径为 6，将扇形 ABC 绕 A 点逆时针 旋转得到扇形 ADE，点 B、C 的对应点分别为点 D、E，若点 D 刚好落在 上，则阴影部分的面积为________.16. （4 分） (2014·杭州) 设抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）过 A（0，2），B（4，3），C 三点，其中点 C 在直线 x=2 上，且点 C 到抛物线的对称轴的距离等于 1，则抛物线的函数解析式为________．三、 解答题 (共 8 题；共 66 分)17. （6 分） (2020 八下·中卫月考) 如图，已知 AC⊥BC，BD⊥AD，AD 与 BC 交于点 O，AC=BD.求证：△OAB 是等腰三角形.18. （6 分） 在图中，将大写字母“N”绕它右下侧的顶点按顺时针方向旋转 90°，作出旋转后的图案．19. （6 分） (2017 九上·海淀月考) 在一块长，宽为园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案．的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花（1） 小芳说，‘我的设计方案如图所示，平行于荒地的四边建造矩形的花园，花园四周小路的宽度均相同’， 你能帮小芳算出小路的宽度吗？请利用方程的方法计算出小路的宽度．（2） 小华说，‘我的设计方案是建造一个中心对称的四边形的花园，并且这个四边形的四个顶点分别在矩形 荒地的四条边上’，请你按小华的思路，分别设计符合条件的一个菱形和一个矩形，在图 和图 中画出相应的第 6 页 共 30 页草图，说明所画图形的特征，并简述所画图形符合要求的理由． 20. （8 分） (2019 九上·浙江期中) 如图，在边长为 1 的正方形网格中，△ABC 的顶点均在格点上，把△ABC绕点 C 逆时针旋转 90°后得到△A1B1C．（1） 画出△A1B1C， （2） 求在旋转过程中， AC 所扫过的区域的面积。
人教版九年级数学上册第二十三章《图形的旋转》知识点总结与训练
第 23 章《旋转》复习教案【学习目标】：1、掌握旋转的特色，理解旋转的基天性质。
2、理解中心对称、中心对称图形的定义，认识它们的联系。
3、掌握对于原点对称的点的坐标特色。
【学习过程】一、知识回首1、旋转的定义：把一个平面图形绕平面内沿着转动就叫做图形的旋转.旋转的三因素：旋转；旋转；旋转2、旋转的基天性质：（ 1）对应点到的距离相等。
（2）每一组对应点与旋转中心所连线段的夹角相等都等于。
（3）旋转前后的两个图形是。
3、中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180 ，假如它能够与重合，那么就说对于这个点对称或中心对称。
这个点叫做对称中心。
4、中心对称的性质：（1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过，并且被对称中心。
（2）中心对称的两个图形是图形。
5、中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，假如旋转后的图形能够与完好重合，那么这个图形叫做中心对称图形。
6、中心对称、中心对称图形是两个不一样的观点，它们既有差别又有联系。
差别：中心对称是针对图形而言的，而中心对称图形指是图形。
联系：把中心对称的两个图形当作一个“整体” ，则成为。
把中心对称图形的两个部分当作“两个图形”，则它们。
3、点（ x，y）对于 x 轴对称点是（,）点（,）对于y轴对称点是（-x ，y）点（ x，y）对于原点对称点是（，）二、典型题型题型一：判断是不是中心对称图形例 1 (1) （2012天津）以下汽车标记中，能够看作是中心对称图形的是（）(2)（2012深圳）以下图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A B C D(3) （ 2012北海）以下图形即是轴对称图形，又是中心对称图形的有（）①平行四边形；②正方形；③等腰梯形；④菱形；⑤正六边形A．1 个B．2 个C．3 个D． 4 个根源:2【对应训练】1、 (2012 桂林 ) 下边四个标记图是中心对称图形的是【】A B C D2、（ 2012 铜仁）以下图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个3、（ 2012 毕节）以下图形是中心对称图形的是（）中国教育出@版网4、（ 2012 河南）以下是一种电子记分牌体现的数字图形，此中既是轴对称图形又是中心对称图形的是5、（ 2012 益阳）以下图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A ．B ．C． D ．6、（ 2012 长沙）以下平面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A ．B ．C．D．7、（ 2012，襄阳）以下图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）8、（ 2012，扬州）以下图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A ．平行四边形B．等边三角形C．等腰梯形D．正方形9、（2012南昌）在以下四个黑体字母中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．10、（ 2012东营）以下图形中，是中心对称图形的是()11、（ 2013?济南）民族图案是数学文化中的一块珍宝．以下图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（）A ．B．C．D．12、（ 2013?呼和浩特）察看以下图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．1个B．2 个C．3 个D．4 个题型二：确立旋转角、旋转中心和旋转方向例 2、如图，该图形环绕自己的旋转中心，按以下角度旋转后，不可以．．与其自己重合的是（）Ａ． 72Ｂ．108Ｃ．144Ｄ．216例 3、 (2010 徐州 ) 如图，在 6×4方格纸中，格点三角形甲经过旋转后获得格点三角形乙，则其旋转中心是 ( )A．点M B．格点N C．格点P D．格点Q例 2 图例3图训练题1【对应训练】1、（ 2013?晋江）如图 3，E、F 分别是正方形ABCD的边 AB、BC上的点， BE=CF,连结 CE、DF．将△ BCE绕着正方形的中心 O按逆时针方向旋转到△ CDF的地点，则旋转角是 ( ). A．45B．60C．90 D ．1202、（ 2013?莆田）如图，将Rt△ABC （此中∠ B=35 °，∠ C=90 °）绕点 A按顺时针方向旋转到△ AB 1C1的地点，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（）A ． 55o B． 70o C．125o D． 145oC ADO B训练题 2训练题 3训练题 4训练题 53、（ 2012? 聊城）如图，在方格纸中，△ABC经过变换获得△DEF，正确的变换是（）A．把△ ABC绕点 C逆时针方向旋转90°，再向下平移 2 格B．把△ ABC绕点 C顺时针方向旋转90°，再向下平移 5 格C．把△ ABC向下平移4 格，再绕点 C 逆时针方向旋转180°D．把△ ABC向下平移 5 格，再绕点 C 顺时针方向旋转180°4、（ 2011 舟山）如图，点A、 B、 C、D、O 都在方格纸的格点上，若△COD 是由△ AOB绕点O 按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（）（ A） 30°（ B）45°（ C） 90°（ D）135°5、（ 2011 扬州）如图，在Rt△ ABC中，∠ ACB=90o，∠ A=30o， BC=2，将△ ABC绕点 C按顺时针方向旋转 n 度后，获得△ EDC，此时，点 D 在 AB 边上，斜边 DE 交 AC 边于点 F，则n 的大小和图中暗影部分的面积分别为（）A. 30，2B.60， 23D. 60，3 C. 60，26、(2011湖州， )如图，已知△ OAB是正三角形， OC⊥ OB，OC=OB，将△ OAB 绕点 O 按逆时针方向旋转，使得OA 与 OC重合，获得△ OCD，则旋转的角度是（）A． 150 °B． 120 °C．90°D． 60°B/BC/训练题 6训练题 7训练题 8AC训练题 97、（2012 ，江西）如图正方形 ABCD与正三角形 AEF的极点 A 重合 ,将△AEF绕其极点 A 旋转 ,在旋转过程中 ,当 BE=DF时,∠ BAE的大小能够是.8、（ 2013 衡阳）如图，在直角△ OAB 中，∠ AOB=30 °，将△ OAB 绕点 O 逆时针旋转 100°获得△ OA 1B1，则∠ A 1OB=°．9、（ 2013?吉林省）如图，把 Rt⊿ ABC绕点 A 逆时针旋转 40°，获得 Rt⊿ AB′ C′，点 C′恰巧落在边 AB 上，连结 BB′，则∠ BB′ C′=度 .10、(2011 南京 )如图，E、F 分别是正方形ABCD的边 BC、CD 上的点，BE=CF，连结 AE、 BF，将△ ABE 绕正方形的中心按逆时针方向转到△BCF，旋转角为 a（0°＜ a＜ 180°），则∠ a=______．训练题 10题型三：画旋转图形、中心对称图形例 4、将大写字母 A 绕它上侧的极点按逆时针方向旋转90°，作出旋转后的图案。
2024辽宁中考数学二轮中考考点研究 7.3 图形的对称、平移与旋转 (课件)
BP折叠，点C恰好落在线段AP与EF的交点Q处，BC＝4 3 ，则线段
AB的长是( A )
A. 8
B. 8 2
C. 8 3 D. 10
第8题图
9. 如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点
C′处，点B落在点B′处，其中AB＝9，BC＝6，则FC′的长为( D )
A. 10 B. 4
第14题图
15. 如图，正方形ABCD中，AB＝2，E是CD中点，将正方形ABCD沿 AM折叠，使点B的对应点F落在AE上，延长MF交CD于点N，则DN 的长为__2__5___4_．
第15题图
16.如图，在矩形ABCD中，AD＝8，AB＝4，将矩形ABCD折叠，使 点A与点C重合，折痕为MN，给出以下四个结论：① △CDM≌△CEN；②△CMN是等边三角形；③CM＝5；④BN＝3.其 中正确的结论序号是____①__③__④．
C. 4.5
D. 5
3
第9题图
10. 如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕EF与AC 相交于点O，连接BO，若AB＝4，CF＝5，则OB的长为__2___5___．
第10题图
11. 一张菱形纸片ABCD的边长为6 cm，高AE等于边长的一半，将菱
形纸片沿直线MN折叠，使点A与点B重合，直线MN交直线CD于点F，
第20题图
③请直．接．写出BE的长；
③3 3 －4；
【解法提示】∵AD＝AB＝6，∴AF＝DF＝3.
∵AE＝AC＝5，在Rt△AEF中，EF＝ AE2 AF 2 ＝
＝4，52 32
又∵在等边△ABD中，BF＝AB·sin∠BAF＝6×
3 2
＝3 3，∴BE＝BF－EF＝3 3－4；
辽宁省铁岭市实验学校人教版九年级数学上册：23.1图形的旋转(教案)
2.教学难点
-空间想象能力的培养：学生对旋转后的图形空间位置关系想象困难，需要借助直观教具或动态演示来帮助理解。
-坐标系中旋转的计算：学生在进行旋转变换的坐标计算时，容易混淆坐标轴的变化关系，难以准确计算旋转后的坐标。
-例题：在标。
-练习题：给定一个三角形，将其绕某点旋转一定角度，求旋转后的三角形坐标。
二、核心素养目标
1.培养学生的空间想象力和几何直观能力，通过旋转图形的学习，使学生能够理解和应用旋转的性质，形成对几何图形变换的深入认识。
2.提高学生的逻辑思维和推理能力，通过旋转图形的作图与分析，培养学生严谨的数学思维和解决问题的方法。
3.强化学生的数学应用意识，将旋转知识应用于解决实际问题，增强数学与生活、其他学科的联系。
4.培养学生的团队协作和交流能力，通过小组合作探讨旋转相关题目，促进学生在互动中学习，提高表达与倾听的技巧。
5.激发学生的创新意识，鼓励学生探索旋转图形的新变换，培养学生独立思考和创造性地解决问题的能力。
三、教学难点与重点
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了图形旋转的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对图形旋转的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调旋转的三要素（旋转中心、旋转方向、旋转角度）和旋转的计算方法这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和动态演示来帮助大家理解。
辽宁省2019年、2020年中考数学试题分类汇编(12)——图形的变换
2019年、2020年辽宁省数学中考试题分类（12）——图形的变换一．轴对称图形（共1小题）1．（2019•铁岭）下面四个图形中，属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．二．关于x轴、y轴对称的点的坐标（共1小题）2．（2020•大连）平面直角坐标系中，点P（3，1）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（3，1）B．（3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣3，﹣1）三．轴对称-最短路线问题（共2小题）3．（2020•鞍山）如图，在平面直角坐标系中，已知A（3，6），B（﹣2，2），在x轴上取两点C，D（点C在点D左侧），且始终保持CD＝1，线段CD在x轴上平移，当AD+BC 的值最小时，点C的坐标为．4．（2020•营口）如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为．四．翻折变换（折叠问题）（共3小题）5．（2020•盘锦）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，点E和点F分别为AD，CD上的点，将△DEF沿EF翻折，使点D落在BC上的点M处，过点E作EH∥AB交BC于点H，过点F作FG∥BC交AB于点G．若四边形ABHE与四边形BCFG的面积相等，则CF的长为．6．（2020•葫芦岛）一张菱形纸片ABCD的边长为6cm，高AE等于边长的一半，将菱形纸片沿直线MN折叠，使点A与点B重合，直线MN交直线CD于点F，则DF的长为cm．7．（2020•沈阳）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC，BD相交于点O，点P为边AD上一动点，连接OP，以OP为折痕，将△AOP折叠，点A的对应点为点E，线段PE与OD相交于点F．若△PDF为直角三角形，则DP的长为．五．旋转的性质（共2小题）8．（2020•大连）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°．将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，则∠CAA′的度数是（）A．50°B．70°C．110°D．120°9．（2020•阜新）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2．将△ABC绕点B逆时针旋转60°，得到△A1BC1，则AC边的中点D与其对应点D1的距离是．六．作图-旋转变换（共1小题）10．（2020•阜新）如图，△ABC 在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为A （4，4），B （1，1），C （4，1）．（1）画出与△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1；（2）将△ABC 绕点O 1顺时针旋转90°得到△A 2B 2C 2，弧AA 2是点A 所经过的路径，则旋转中心O 1的坐标为 ；（3）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．七．几何变换综合题（共3小题）11．（2020•锦州）已知△AOB 和△MON 都是等腰直角三角形（√22OA ＜OM ＝ON ），∠AOB ＝∠MON ＝90°．（1）如图1：连AM ，BN ，求证：△AOM ≌△BON ；（2）若将△MON 绕点O 顺时针旋转，①如图2，当点N 恰好在AB 边上时，求证：BN 2+AN 2＝2ON 2；②当点A，M，N在同一条直线上时，若OB＝4，ON＝3，请直接写出线段BN的长．12．（2020•葫芦岛）在等腰△ADC和等腰△BEC中，∠ADC＝∠BEC＝90°，BC＜CD，将△BEC绕点C逆时针旋转，连接AB，点O为线段AB的中点，连接DO，EO．（1）如图1，当点B旋转到CD边上时，请直接写出线段DO与EO的位置关系和数量关系；（2）如图2，当点B旋转到AC边上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）若BC＝4，CD＝2√6，在△BEC绕点C逆时针旋转的过程中，当∠ACB＝60°时，请直接写出线段OD的长．13．（2020•沈阳）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC．（1）如图1，当α＝60°时，①求证：P A＝DC；②求∠DCP的度数；（2）如图2，当α＝120°时，请直接写出P A和DC的数量关系．（3）当α＝120°时，若AB＝6，BP=√31，请直接写出点D到CP的距离为．八．平行线分线段成比例（共1小题）14．（2020•营口）如图，在△ABC中，DE∥AB，且CDBD =32，则CECA的值为（）A ．35B ．23C ．45D ．32 九．相似三角形的性质（共1小题）15．（2019•沈阳）已知△ABC ∽△A 'B 'C '，AD 和A 'D '是它们的对应中线，若AD ＝10，A 'D '＝6，则△ABC 与△A 'B 'C '的周长比是（ ）A ．3：5B ．9：25C ．5：3D ．25：9一十．相似三角形的判定与性质（共7小题）16．（2019•鞍山）如图，正方形ABCD 和正方形CGFE 的顶点C ，D ，E 在同一条直线上，顶点B ，C ，G 在同一条直线上．O 是EG 的中点，∠EGC 的平分线GH 过点D ，交BE 于点H ，连接FH 交EG 于点M ，连接OH ．以下四个结论：①GH ⊥BE ；②△EHM ∽△FHG ；③BC CG =√2−1；④S △HOMS △HOG =2−√2，其中正确的结论是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④ 17．（2019•营口）如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD AB =23，则S △ADES 四边形DBCE 的值是（ ）A ．45B ．1C ．23D ．49 18．（2020•锦州）如图，在△ABC 中，D 是AB 中点，DE ∥BC ，若△ADE 的周长为6，则△ABC 的周长为 ．19．（2020•大连）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在边AD上，CE与BD相交于点F．设DE＝x，BF＝y，当0≤x≤8时，y关于x的函数解析式为．20．（2020•鞍山）如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝60°，点E，F分别在AD，CD上，且AE＝DF，AF与CE相交于点G，BG与AC相交于点H．下列结论：①△ACF≌△CDE；②CG2＝GH•BG；③若DF＝2CF，则CE＝7GF；④S四边形ABCG=√34BG2．其中正确的结论有．（只填序号即可）21．（2020•锦州）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点E，以AB为直径的⊙O经过点E，与AD交于点F，G是AD延长线上一点，连接BG，交AC于点H，且∠DBG=12∠BAD．（1）求证：BG是⊙O的切线；（2）若CH＝3，tan∠DBG=12，求⊙O的直径．22．（2020•朝阳）如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，过点O作OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点F，连接BD交AC于点G，连接CD，在OD的延长线上取一点E ，连接CE ，使∠DEC ＝∠BDC ．（1）求证：EC 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径是3，DG •DB ＝9，求CE 的长．一十一．位似变换（共2小题）23．（2019•盘锦）如图，点P （8，6）在△ABC 的边AC 上，以原点O 为位似中心，在第一象限内将△ABC 缩小到原来的12，得到△A ′B ′C ′，点P 在A ′C ′上的对应点P ′的坐标为（ ）A ．（4，3）B ．（3，4）C ．（5，3）D ．（4，4）24．（2020•盘锦）如图，△AOB 三个顶点的坐标分别为A （5，0），O （0，0），B （3，6），以点O 为位似中心，相似比为23，将△AOB 缩小，则点B 的对应点B '的坐标是 ．一十二．作图-位似变换（共2小题）25．（2020•朝阳）如图所示的平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （﹣3，2），B （﹣1，3），C （﹣1，1），请按如下要求画图：（1）以坐标原点O 为旋转中心，将△ABC 顺时针旋转90°，得到△A 1B 1C 1，请画出△A 1B 1C 1；（2）以坐标原点O 为位似中心，在x 轴下方，画出△ABC 的位似图形△A 2B 2C 2，使它与△ABC的位似比为2：1．26．（2020•丹东）如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点A，B，C的坐标分别为A（1，2），B（3，1），C（2，3），先以原点O为位似中心在第三象限内画一个△A1B1C1．使它与△ABC位似，且相似比为2：1，然后再把△ABC绕原点O逆时针旋转90°得到△A2B2C2．（1）画出△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标；（2）画出△A2B2C2，直接写出在旋转过程中，点A到点A2所经过的路径长．一十三．相似形综合题（共1小题）27．（2020•营口）如图，在矩形ABCD中，AD＝kAB（k＞0），点E是线段CB延长线上的一个动点，连接AE，过点A作AF⊥AE交射线DC于点F．（1）如图1，若k＝1，则AF与AE之间的数量关系是；（2）如图2，若k≠1，试判断AF与AE之间的数量关系，写出结论并证明；（用含k的式子表示）（3）若AD＝2AB＝4，连接BD交AF于点G，连接EG，当CF＝1时，求EG的长．一十四．解直角三角形的应用（共1小题）28．（2020•鞍山）图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，MN为立柱的一部分，灯臂AC，支架BC与立柱MN分别交于A，B两点，灯臂AC与支架BC交于点C，已知∠MAC＝60°，∠ACB＝15°，AC＝40cm，求支架BC的长．（结果精确到1cm，参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732，√6≈2.449）一十五．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）29．（2020•阜新）如图，为了了解山坡上两棵树间的水平距离，数学活动小组的同学们测得该山坡的倾斜角α＝20°，两树间的坡面距离AB＝5m，则这两棵树的水平距离约为m（结果精确到0.1m，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）．一十六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）30．（2020•盘锦）如图，某数学活动小组要测量建筑物AB的高度，他们借助测角仪和皮尺进行了实地测量，测量结果如下表．测量项目测量数据测角仪到地面的距离CD＝1.6m点D到建筑物的距离BD＝4m从C处观测建筑物顶部A的仰角∠ACE＝67°从C处观测建筑物底部B的俯角∠BCE＝22°请根据需要，从上面表格中选择3个测量数据，并利用你选择的数据计算出建筑物AB（结果精确到0.1米，参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36．sin22°的高度．≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）（选择一种方法解答即可）31．（2020•葫芦岛）如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度AB，在观测点C处测得大桥主架顶端A的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点B的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离CM为60米，且AB垂直于桥面．（点A，B，C，M在同一平面内）（1）求大桥主架在桥面以上的高度AM；（结果保留根号）（2）求大桥主架在水面以上的高度AB．（结果精确到1米）（参考数据sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25，√3≈1.73）一十七．解直角三角形的应用-方向角问题（共5小题）32．（2020•大连）如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东60°方向，且与他相距200m，则图书馆A到公路的距离AB为（）A ．100mB ．100√2mC ．100√3mD ．200√33m33．（2020•朝阳）为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A 和人工智能科技馆C 参观学习如图，学校在点B 处，A 位于学校的东北方向，C 位于学校南偏东30°方向，C 在A 的南偏西15°方向（30+30√3）km 处．学生分成两组，第一组前往A 地，第二组前往C 地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是40km /h ，第二组乘公交车，速度是30km /h ，两组同学到达目的地分别用了多长时间？哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）．34．（2020•锦州）如图，某海岸边有B ，C 两码头，C 码头位于B 码头的正东方向，距B 码头40海里．甲、乙两船同时从A 岛出发，甲船向位于A 岛正北方向的B 码头航行，乙船向位于A 岛北偏东30°方向的C 码头航行，当甲船到达距B 码头30海里的E 处时，乙船位于甲船北偏东60°方向的D 处，求此时乙船与C 码头之间的距离．（结果保留根号）35．（2020•丹东）如图，小岛C和D都在码头O的正北方向上，它们之间距离为6.4km，一艘渔船自西向东匀速航行，行驶到位于码头O的正西方向A处时，测得∠CAO＝26.5°，渔船速度为28km/h，经过0.2h，渔船行驶到了B处，测得∠DBO＝49°，求渔船在B处时距离码头O有多远？（结果精确到0.1km）（参考数据：sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50，sin49°≈0.75，cos49°≈0.66，tan49°≈1.15）36．（2020•营口）如图，海中有一个小岛A，它周围10海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由东向西航行，在B点测得小岛A在北偏西60°方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏西30°方向上，如果渔船不改变方向继续向西航行，有没有触礁的危险？并说明理由．（参考数据：√3≈1.73）一十八．简单几何体的三视图（共1小题）37．（2020•阜新）下列立体图形中，左视图与主视图不同的是（）A．正方体B．圆柱C．圆锥D．球一十九．简单组合体的三视图（共9小题）38．（2020•盘锦）如图中的几何体是由六个完全相同的小正方体组成的，它的主视图是（）A．B．C．D．39．（2020•锦州）如图，是由五个相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（）A．B．C．D．40．（2020•沈阳）如图是由四个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（）A．B．C．D．41．（2020•营口）如图所示的几何体是由四个完全相同的小正方体搭成的，它的俯视图是（）A．B．C．D．42．（2020•辽阳）如图是由一个长方体和一个圆锥组成的几何体，它的主视图是（）A．B．C．D．43．（2019•铁岭）如图所示几何体的主视图是（）A．B．C．D．44．（2019•盘锦）如图，是由4个大小相同的正方体组成的几何体，该几何体的俯视图是（）A．B．C．D．45．（2019•朝阳）如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是（）A．B．C．D．46．（2019•沈阳）如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（）A．B．C．D．2019年、2020年 辽宁省数学中考试题分类（12）——图形的变换参考答案与试题解析一．轴对称图形（共1小题）1．【解答】解：A 、不属于轴对称图形，故此选项错误； B 、不属于轴对称图形，故此选项错误； C 、属于轴对称图形，故此选项正确； D 、不属于轴对称图形，故此选项错误； 故选：C ．二．关于x 轴、y 轴对称的点的坐标（共1小题）2．【解答】解：点P （3，1）关于x 轴对称的点的坐标是（3，﹣1） 故选：B ．三．轴对称-最短路线问题（共2小题）3．【解答】解：把A （3，6）向左平移1得A ′（2，6），作点B 关于x 轴的对称点B ′，连接B ′A ′交x 轴于C ，在x 轴上取点D （点C 在点D 左侧），使CD ＝1，连接AD ， 则AD +BC 的值最小， ∵B （﹣2，2）， ∴B ′（﹣2，﹣2），设直线B ′A ′的解析式为y ＝kx +b ， ∴{−2k +b =−22k +b =6， 解得：{k =2b =2，∴直线B ′A ′的解析式为y ＝2x +2， 当y ＝0时，x ＝﹣1， ∴C （﹣1，0）， 故答案为：（﹣1，0）．4．【解答】解：过C作CF⊥AB交AD于E，则此时，CE+EF的值最小，且CE+EF的最小值＝CF，∵△ABC为等边三角形，边长为6，∴BF=12AB=12×6＝3，∴CF=2−BF2=√62−32=3√3，∴CE+EF的最小值为3√3，故答案为：3√3．四．翻折变换（折叠问题）（共3小题）5．【解答】解：设CF＝x，CH＝y，则BH＝2﹣y，∵四边形ABHE与四边形BCFG的面积相等，∴2﹣y＝2x，∴y＝2﹣2x，由折叠知，MF＝DF＝1﹣x，EM＝ED＝CH＝y＝2﹣2x，∠EMF＝∠D＝90°，∴∠EMH+∠CMF＝90°，∵∠C＝90°，∴∠CMF+∠CFM＝90°，∴∠EMH＝∠MFC，∵∠EHM＝∠C＝90°，∴△EMH ∽△MFC ， ∴EM MF=EH MC ，即2−2x 1−x=√(1−x)2−x 2，解得，x =38．经检验，x =38是原方程的解， 故答案为：38．6．【解答】解：①根据题意画出如图1：∵菱形纸片ABCD 的边长为6cm ， ∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝6， ∵高AE 等于边长的一半， ∴AE ＝3，∵sin ∠B =AEAB =12， ∴∠B ＝30°，将菱形纸片沿直线MN 折叠，使点A 与点B 重合， ∴BH ＝AH ＝3， ∴BG =BHcos30°=2√3，∴CG ＝BC ﹣BG ＝6﹣2√3， ∵AB ∥CD ，∴∠GCF ＝∠B ＝30°，∴CF ＝CG •cos30°＝（6﹣2√3）×√32=3√3−3， ∴DF ＝DC +CF ＝6+3√3−3＝（3√3+3）cm ； ②如图2，BE ＝AE ＝3， 同理可得DF ＝3√3−3．综上所述：则DF 的长为（3√3+3）或（3√3−3）cm ． 故答案为：（3√3+3）或（3√3−3）．7．【解答】解：如图1，当∠DPF ＝90°时，过点O 作OH ⊥AD 于H ，∵四边形ABCD 是矩形，∴BO ＝OD ，∠BAD ＝90°＝∠OHD ，AD ＝BC ＝8， ∴OH ∥AB ， ∴OH AB=HD AD=OD BD=12，∴OH =12AB ＝3，HD =12AD ＝4，∵将△AOP 折叠，点A 的对应点为点E ，线段PE 与OD 相交于点F ， ∴∠APO ＝∠EPO ＝45°， 又∵OH ⊥AD ，∴∠OPH ＝∠HOP ＝45°， ∴OH ＝HP ＝3， ∴PD ＝HD ﹣HP ＝1； 当∠PFD ＝90°时，∵AB ＝6，BC ＝8，∴BD =√AB 2+AD 2=√36+64=10，∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝OC ＝OB ＝OD ＝5，∴∠DAO ＝∠ODA ，∵将△AOP 折叠，点A 的对应点为点E ，线段PE 与OD 相交于点F ，∴AO ＝EO ＝5，∠PEO ＝∠DAO ＝∠ADO ，又∵∠OFE ＝∠BAD ＝90°，∴△OFE ∽△BAD ，∴OF AB =OE BD ， ∴OF 6=510，∴OF ＝3，∴DF ＝2，∵∠PFD ＝∠BAD ，∠PDF ＝∠ADB ，∴△PFD ∽△BAD ，∴PD BD =DF AD ， ∴PD 10=28，∴PD =52，综上所述：PD =52或1，故答案为52或1． 五．旋转的性质（共2小题）8．【解答】解：∵∠ACB ＝90°，∠ABC ＝40°，∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣40°＝50°，∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，∴∠A′BA＝∠ABC＝40°，A′B＝AB，∴∠BAA′＝∠BA′A=12（180°﹣40°）＝70°，∴∠CAA'＝∠CAB+∠BAA′＝50°+70°＝120°．故选：D．9．【解答】解：连接BD、BD1，如图，∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，∴AC=√22+22=2√2，∵D点为AC的中点，∴BD=12AC=√2，∵△ABC绕点B逆时针旋转60°，得到△A1BC1，∴BD1＝BD，∠DBD1＝60°，∴△BDD1为等边三角形，∴DD1＝BD=√2．故答案为√2．六．作图-旋转变换（共1小题）10．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）旋转中心O1的坐标为（2，0），故答案为（2，0）；（3）设旋转半径为r，则r2＝22+42＝20，∴阴影部分的图形面积为：S阴影=14⋅πr2−12×2×4−12×2×2+12×1×1=5π−112．七．几何变换综合题（共3小题）11．【解答】（1）证明：如图1中，∵∠AOB＝∠MON＝90°，∴∠AOM＝∠BON，∵AO＝BO，OM＝ON，∴△AOM≌△BON（SAS）．（2）①证明：如图2中，连接AM．同法可证△AOM≌△BON，∴AM＝BN，∠OAM＝∠B＝45°，∵∠OAB＝∠B＝45°，∴∠MAN＝∠OAM+∠OAB＝90°，∴MN2＝AN2+AM2，∵△MON是等腰直角三角形，∴MN2＝2ON2，∴NB2+AN2＝2ON2．②如图3﹣1中，设OA交BN于J，过点O作OH⊥MN于H．∵△AOM≌△BON，∴AM＝BN，∠OAM＝∠OBN，∵∠AJN＝∠BJO，∴∠ANJ＝∠JOB＝90°，∵OM＝ON＝3，∠MON＝90°，OH⊥MN，∴MN＝3√2，MH＝HN═OH=3√2 2，∴AH=√OA2−OH2=42−(322)2=√462，∴BN＝AM＝MH+AH=√46+3√22．如图3﹣2中，同法可证AM＝BN=√46−3√22．12．【解答】解：（1）DO⊥EO，DO＝EO；理由：当点B旋转到CD边上时，点E必在边AC上，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，在Rt△ABE中，点O是AB的中点，∴OE＝OA=12AB，∴∠BOE＝2∠BAE，在Rt△ABD中，点O是AB的中点，∴OD＝OA=12AB，∴∠DOE＝2∠BAD，∴OD＝OE，∵等腰△ADC，且∠ADC＝90°，∴∠DAC＝45°，∴∠DOE＝∠BOE+∠DOE＝2∠BAE+2∠BAD＝2（∠BAE+∠DAE）＝2∠DAC＝90°，∴OD⊥OE；（2）仍然成立，理由：如图2，延长EO到点M，使得OM＝OE，连接AM，DM，DE，∵O是AB的中点，∴OA＝OB，∵∠AOM＝∠BOE，∴△AOM≌△BOE（SAS），∴∠MAO＝∠EBO，MA＝EB，∵△ACD和△CBE是等腰三角形，∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠CAD＝∠ACD＝∠EBC＝∠BCE＝45°，∵∠OBE＝180°﹣∠EBC＝135°，∴∠MAO＝135°，∴∠MAD＝∠MAO﹣∠DAC＝90°，∵∠DCE＝∠DCA+∠BCE＝90°，∴∠MAD＝∠DCE，∵MA＝EB，EB＝EC，∴MA＝EC，∵AD＝DC，∴△MAD≌△ECD，∴MD＝ED，∠ADM＝∠CDE，∵∠CDE+∠ADE＝90°，∴∠ADM+∠ADE＝90°，∴∠MDE＝90°，∵MO＝EO，MD＝DE，∴OD=12ME，OD⊥ME，∵OE=12 ME，∴OD＝OE，OD⊥OE；（3）①当点B在AC左侧时，如图3，延长EO到点M，使得OM＝OE，连接AM，DM，DE，同（2）的方法得，△OBE≌△OAM（SAS），∴∠OBE＝∠OAM，OM＝OE，BE＝AM，∵BE＝CE，∴AM＝CE，在四边形ABECD中，∠ADC+∠DCE+∠BEC+∠OBE+∠BAD＝540°，∵∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠DCE＝540°﹣90°﹣90°﹣∠OBE﹣∠BAD＝360°﹣∠OBE＝360°﹣∠OAM﹣∠BAD，∵∠DAM+∠OAM+∠BAD＝360°，∴∠DAM＝360°﹣∠OAM﹣∠BAD，∴∠DAM＝∠DCE，∵AD＝CD，∴△DAM≌△DCE（SAS），∴DM＝DE，∠ADM＝∠CDE，∴∠EDM＝∠ADM+∠ADE＝∠CDE+∠ADE＝∠ADC＝90°，∵OM＝OE，∴OD＝OE=12ME，∠DOE＝90°，在Rt△BCE中，CE=√22BC＝2√2，过点E作EH⊥DC交DC的延长线于H，在Rt△CHE中，∠ECH＝180°﹣∠ACD﹣∠ACB﹣∠BCE＝180°﹣45°﹣60°﹣45°＝30°，∴EH=12CE=√2，根据勾股定理得，CH=√3EH=√6，∴DH＝CD+CH＝3√6，在Rt△DHE中，根据勾股定理得，DE=√EH2+DH2=2√14，∴OD=√22DE＝2√7，②当点B在AC右侧时，如图4，同①的方法得，OD＝OE，∠DOE＝90°，连接DE，过点E作EH⊥CD于H，在Rt△EHC中，∠ECH＝30°∴EH=12CE=√2，根据勾股定理得，CH=√6，∴DH＝CD﹣CH=√6，在Rt△DHE中，根据勾股定理得，DE＝2√2，∴OD=√22DE＝2，即：线段OD的长为2或2√7．13．【解答】（1）①证明：如图1中，∵将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，∴PB＝PD，∵AB＝AC，PB＝PD，∠BAC＝∠BPD＝60°，∴△ABC ，△PBD 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠PBD ＝60°，∴∠PBA ＝∠DBC ，∵BP ＝BD ，BA ＝BC ，∴△PBA ≌△DBC （SAS ），∴P A ＝DC ．②解：如图1中，设BD 交PC 于点O ．∵△PBA ≌△DBC ，∴∠BP A ＝∠BDC ，∵∠BOP ＝∠COD ，∴∠OBP ＝∠OCD ＝60°，即∠DCP ＝60°．（2）解：结论：CD =√3P A ．理由：如图2中，∵AB ＝AC ，PB ＝PD ，∠BAC ＝∠BPD ＝120°，∴BC ＝2•AB •cos30°=√3BA ，BD ═2BP •cos30°=√3BP ， ∴BCBA =BDBP =√3，∵∠ABC ＝∠PBD ＝30°，∴∠ABP ＝∠CBD ，∴△CBD ∽△ABP ， ∴CDPA =BCAB =√3，∴CD =√3P A ．（3）过点D 作DM ⊥PC 于M ，过点B 作BN ⊥CP 交CP 的延长线于N ．如图3﹣1中，当△PBA 是钝角三角形时，在Rt △ABN 中，∵∠N ＝90°，AB ＝6，∠BAN ＝60°，∴AN ＝AB •cos60°＝3，BN ＝AB •sin60°＝3√3，∵PN =√PB 2−BN 2=√31−27=2，∴P A ＝3﹣2＝1，由（2）可知，CD =√3P A =√3，∵∠BP A ＝∠BDC ，∴∠DCA ＝∠PBD ＝30°，∵DM ⊥PC ，∴DM =12CD =√32如图3﹣2中，当△ABP 是锐角三角形时，同法可得P A ＝2+3＝5，CD ＝5√3，DM =12CD =5√32，综上所述，满足条件的DM 的值为√32或5√32． 故答案为√32或5√32． 八．平行线分线段成比例（共1小题）14．【解答】解：∵DE ∥AB ，∴CE AE =CD BD =32，∴CE CA 的值为35， 故选：A ．九．相似三角形的性质（共1小题）15．【解答】解：∵△ABC ∽△A 'B 'C '，AD 和A 'D '是它们的对应中线，AD ＝10，A 'D '＝6， ∴△ABC 与△A 'B 'C '的周长比＝AD ：A ′D ′＝10：6＝5：3．故选：C ．一十．相似三角形的判定与性质（共7小题）16．【解答】解：如图，∵四边形ABCD 和四边形CGFE 是正方形，∴BC ＝CD ，CE ＝CG ，∠BCE ＝∠DCG ，在△BCE 和△DCG 中，{BC =CD ∠BCE =∠DCG CE =CG∴△BCE ≌△DCG （SAS ），∴∠BEC ＝∠BGH ，∵∠BGH +∠CDG ＝90°，∠CDG ＝∠HDE ，∴∠BEC +∠HDE ＝90°，∴GH ⊥BE ．故①正确；∵△EHG 是直角三角形，O 为EG 的中点，∴OH ＝OG ＝OE ，∴点H 在正方形CGFE 的外接圆上，∵EF ＝FG ，∴∠FHG ＝∠EHF ＝∠EGF ＝45°，∠HEG ＝∠HFG ，∴△EHM ∽△FHG ，故②正确；∵△BGH ≌△EGH ，∴BH ＝EH ，又∵O 是EG 的中点，∴HO ∥BG ，∴△DHN ∽△DGC ，∴DN DC =HN CG ，设EC 和OH 相交于点N ．设HN ＝a ，则BC ＝2a ，设正方形ECGF 的边长是2b ，则NC ＝b ，CD ＝2a ，∴b−2a 2a =a 2b ，即a 2+2ab ﹣b 2＝0，解得：a ＝（﹣1+√2）b ，或a ＝（﹣1−√2）b （舍去），则2a 2b =√2−1， ∴BC CG =√2−1，故③正确；∵△BGH ≌△EGH ，∴EG ＝BG ，∵HO 是△EBG 的中位线，∴HO =12BG ，∴HO =12EG ，设正方形ECGF 的边长是2b ，∴EG ＝2√2b ，∴HO =√2b ，∵OH ∥BG ，CG ∥EF ，∴OH ∥EF ，∴△MHO ∽△MFE ，∴OM EM =OH EF =√2b 2b =√22， ∴EM =√2OM ，∴OM OE =(1+√2)OM =1+√2=√2−1， ∴S △HOMS △HOE =√2−1，∵EO ＝GO ，∴S △HOE ＝S △HOG ，∴S △HOMS △HOG =√2−1，故④错误，故选：A ．17．【解答】解：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴S △ADE S △ABC =（AD AB ）2=49， ∴S △ADE S 四边形DBCE =45，故选：A ．18．【解答】解：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∵D 是AB 的中点，∴AD AB =12， ∴△ADE 的周长△ABC 的周长=12 ∵△ADE 的周长为6，∴△ABC 的周长为12，故答案为：12．19．【解答】解：在矩形 中，AD ∥BC ，∴△DEF ∽△BCF ，∴DE BC =DF BF ，∵BD =√BC 2+CD 2=10，BF ＝y ，DE ＝x ，∴DF ＝10﹣y ，∴x 8=10−y y ，化简得：y =80x+8，∴y关于x的函数解析式为：y=80x+8，故答案为：y=80x+8．20．【解答】解：∵ABCD为菱形，∴AD＝CD，∵AE＝DF，∴DE＝CF，∵∠ADC＝60°，∴△ACD为等边三角形，∴∠D＝∠ACD＝60°，AC＝CD，∴△ACF≌△CDE（SAS），故①正确；过点F作FP∥AD，交CE于P点．∵DF＝2CF，∴FP：DE＝CF：CD＝1：3，∵DE＝CF，AD＝CD，∴AE＝2DE，∴FP：AE＝1：6＝FG：AG，∴AG＝6FG，∴CE＝AF＝7GF，故③正确；过点B作BM⊥AG于M，BN⊥GC于N，∵∠AGE＝∠ACG+∠CAF＝∠ACG+∠GCF＝60°＝∠ABC，即∠AGC+∠ABC＝180°，∴点A、B、C、G四点共圆，∴∠AGB＝∠ACB＝60°，∠CGB＝∠CAB＝60°，∴∠AGB＝∠CGB＝60°，∴BM＝BN，又AB＝BC，∴△ABM≌△CBN（HL），∴S四边形ABCG＝S四边形BMGN，∵∠BGM＝60°，∴GM=12BG，BM=√32BG，∴S四边形BMGN＝2S△BMG＝2×12×12BG×√32BG=√34BG2，故④正确；∵∠CGB＝∠ACB＝60°，∠CBG＝∠HBC，∴△BCH∽△BGC，∴BCBG =BHBC=CHCG，则BG•BH＝BC2，则BG•（BG﹣GH）＝BC2，则BG2﹣BG•GH＝BC2，则GH•BG＝BG2﹣BC2，当∠BCG＝90°时，BG2﹣BC2＝CG2，此时GH•BG＝CG2，而题中∠BCG未必等于90°，故②不成立，故正确的结论有①③④，故答案为：①③④．21．【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝90°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD为菱形，∴∠BAE=12∠BAD，∵∠DBG=12∠BAD．∴∠BAE＝∠DBG，∴∠DBG+∠ABE＝90°，∴∠ABG＝90°，∴BG是⊙O的切线；（2）∵∠ABG＝∠AEB＝90°，∠HAB＝∠BAE，∴△ABH∽△AEB，∴AB2＝AE•AH，∵tan∠DBG=1 2，∴设HE＝x，则BE＝2x，∵CH＝3，∴AE＝CE＝3+x，∴AH＝AE+HE＝3+2x，∴AB2＝（3+x）•（3+2x），∵AB2＝BE2+AE2＝（2x）2+（3+x）2，∴（3+x）•（3+2x）＝（2x）2+（3+x）2，解得x＝1或0（舍去），∴AB2＝（3+1）（3+2）＝20，∴AB=2√5，即⊙O的直径为2√5．22．【解答】解：（1）证明：如图，连接OC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵OD∥BC，∴∠CFE＝∠ACB＝90°，∴∠DEC+∠FCE＝90°，∵∠DEC＝∠BDC，∠BDC＝∠A，∴∠DEC＝∠A，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A，∴∠OCA ＝∠DEC ，∵∠DEC +∠FCE ＝90°，∴∠OCA +∠FCE ＝90°，即∠OCE ＝90°，∴OC ⊥CE ，又∵OC 是⊙O 的半径，∴CE 是⊙O 切线．（2）由（1）得∠CFE ＝90°，∴OF ⊥AC ，∵OA ＝OC ，∴∠COF ＝∠AOF ，∴CD̂=AD ̂， ∴∠ACD ＝∠DBC ，又∵∠BDC ＝∠BDC ，∴△DCG ∽△DBC ，∴DC DB =DG DC ，∴DC 2＝DG •DB ＝9，∴DC ＝3，∵OC ＝OD ＝3，∴△OCD 是等边三角形，∴∠DOC ＝60°，在Rt △OCE 中tan60°=CE OC， ∴√3=CE 3，∴CE =3√3．一十一．位似变换（共2小题）23．【解答】解：∵点P （8，6）在△ABC 的边AC 上，以原点O 为位似中心，在第一象限内将△ABC 缩小到原来的12，得到△A ′B ′C ′， ∴点P 在A ′C ′上的对应点P ′的坐标为：（4，3）．故选：A ．24．【解答】解：如图，∵△OAB∽△OA′B′，相似比为3：2，B（3.6），∴B′（2，4），根据对称性可知，△OA″B″在第三象限时，B″（﹣2，﹣4），∴满足条件的点B′的坐标为（2，4）或（﹣2，﹣4）．故答案为（2，4）或（﹣2，﹣4）．一十二．作图-位似变换（共2小题）25．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）如图，△A2B2C2即为所求．26．【解答】解：（1）如图所示：点A1的坐标为（﹣2，﹣4）；（2）如图所示：由勾股定理得OA =√12+22=√5，点A 到点A 2所经过的路径长为90×π×√5180=√5π2． 一十三．相似形综合题（共1小题）27．【解答】解：（1）AE ＝AF ．∵AD ＝AB ，四边形ABCD 矩形，∴四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD ＝90°，∵AF ⊥AE ，∴∠EAF ＝90°，∴∠EAB ＝∠F AD ，∴△EAB ≌△F AD （ASA ），∴AF ＝AE ；故答案为：AF ＝AE ．（2）AF ＝kAE ．证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝∠ABC ＝∠ADF ＝90°，∴∠F AD +∠F AB ＝90°，∵AF ⊥AE ，∴∠EAF ＝90°，∴∠EAB +∠F AB ＝90°，∴∠EAB ＝∠F AD ，∵∠ABE +∠ABC ＝180°，∴∠ABE ＝180°﹣∠ABC ＝180°﹣90°＝90°， ∴∠ABE ＝∠ADF ．∴△ABE ∽△ADF ，∴AB AD =AE AF ，∵AD ＝kAB ，∴AB AD =1k ， ∴AE AF =1k ， ∴AF ＝kAE ．（3）解：①如图1，当点F 在线段DC 上时，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，∵AD ＝2AB ＝4，∴AB ＝2，∴CD ＝2，∵CF ＝1，∴DF ＝CD ﹣CF ＝2﹣1＝1．在Rt △ADF 中，∠ADF ＝90°，∴AF =√AD 2+DF 2=√42+12=√17， ∵DF ∥AB ，∴∠GDF ＝∠GBA ，∠GFD ＝∠GAB ， ∴△GDF ∽△GBA ，∴GF GA =DF BA =12， ∵AF ＝GF +AG ，∴AG =23AF =23√17． ∵△ABE ∽△ADF ，∴AE AF =AB AD =24=12， ∴AE =12AF =12×√17=√172． 在Rt △EAG 中，∠EAG ＝90°，∴EG =√AE 2+AG 2=(172)2+(2173)2=5√176， ②如图2，当点F 在线段DC 的延长线上时，DF ＝CD +CF ＝2+1＝3，在Rt △ADF 中，∠ADF ＝90°，∴AF =√AD 2+DF 2=√42+32=5．∵DF ∥AB ， ∵∠GAB ＝∠GFD ，∠GBA ＝∠GDF ，∴△AGB ∽△FGD ，∴AGFG =ABFD =23， ∵GF +AG ＝AF ＝5， ∴AG ＝2，∵△ABE ∽△ADF ，∴AEAF =AB AD =24=12， ∴AE =12AF =12×5=52，在Rt △EAG 中，∠EAG ＝90°，∴EG =√AE 2+AG 2=√(52)2+22=√412．综上所述，EG 的长为5√176或√412． 一十四．解直角三角形的应用（共1小题）28．【解答】解：如图2，过C 作CD ⊥MN 于D ，则∠CDB ＝90°，∵∠CAD ＝60°，AC ＝40（cm ），∴CD ＝AC •sin ∠CAD ＝40×sin60°＝40×√32=20√3（cm ），∵∠ACB ＝15°，∴∠CBD ＝∠CAD ﹣∠ACB ＝45°，∴BC =√2CD ＝20√6≈49（cm ），答：支架BC 的长约为49cm ．一十五．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）29．【解答】解：过点A 作水平面的平行线AH ，作BH ⊥AH 于H ，由题意得，∠BAH ＝α＝20°，在Rt △BAH 中，cos ∠BAH =AH AB ，∴AH ＝AB •cos ∠BAH ≈5×0.940≈4.7（m ），故答案为：4.7．一十六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）30．【解答】解：选择CD ＝1.6m ，BD ＝4m ，∠ACE ＝67°，过C 作CE ⊥AB 于E ，则四边形BDCE 是矩形，∴BE ＝CD ＝1.6m ，CE ＝BD ＝4m ，在Rt △ACE 中，∵∠ACE ＝67°，∴tan ∠ACE =AE CE ， ∴AE 4≈2.36，∴AE ≈9.4m ，∴AB ＝AE +BE ＝9.4+1.6＝11.0（m ），答：建筑物AB 的高度为11.0m ．31．【解答】解：（1）∵AB 垂直于桥面，∴∠AMC ＝∠BMC ＝90°，在Rt △AMC 中，CM ＝60，∠ACM ＝30°，tan ∠ACM =AM CM， ∴AM ＝CM •tan ∠ACM ＝60×√33=20√3（米），答：大桥主架在桥面以上的高度AM 为20√3米；（2）在Rt △BMC 中，CM ＝60，∠BCM ＝14°，tan ∠BCM =BM CM ，∴MB ＝CM •tan ∠BCM ≈60×0.25＝15（米），∴AB ＝AM +MB ＝15+20√3≈50（米）答：大桥主架在水面以上的高度AB 约为50米．一十七．解直角三角形的应用-方向角问题（共5小题）32．【解答】解：由题意得，∠AOB ＝90°﹣60°＝30°，∴AB =12OA ＝100（m ），故选：A ．33．【解答】解：作BD ⊥AC 于D ．依题意得，∠BAE ＝45°，∠ABC ＝105°，∠CAE ＝15°，∴∠BAC ＝30°，∴∠ACB ＝45°．在Rt △BCD 中，∠BDC ＝90°，∠ACB ＝45°，∴∠CBD ＝45°，∴∠CBD ＝∠DCB ，∴BD ＝CD ，设BD ＝x ，则CD ＝x ，在Rt △ABD 中，∠BAC ＝30°，∴AB ＝2BD ＝2x ，tan30°=BD AD， ∴√33=x AD ， ∴AD =√3x ，在Rt △BDC 中，∠BDC ＝90°，∠DCB ＝45°，∴sin ∠DCB =BD BC =√22，∴BC =√2x ，∵CD +AD ＝30+30√3，∴x +√3x =30+30√3，∴x ＝30，∴AB ＝2x ＝60，BC =√2x =30√2，第一组用时：60÷40＝1.5（h）；第二组用时：30√2÷30=√2（h），∵√2＜1.5，∴第二组先到达目的地，答：第一组用时1.5小时，第二组用时√2小时，第二组先到达目的地．34．【解答】解：过D作DF⊥BE于F，∵∠ADE＝∠DEB﹣∠A＝60°﹣30°＝30°，∴∠A＝∠ADE，∴AE＝DE，∵∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝40（海里），∴AC＝2BC＝80（海里），AB=√3BC＝40√3（海里），∵BE＝30（海里），∴AE＝（40√3−30）（海里），∴DE＝（40√3−30）（海里），在Rt△DEF中，∵∠DEF＝60°，∠DFE＝90°，∴∠EDF＝30°，∴DF=√32DE＝（60﹣15√3）（海里），∵∠A＝30°，∴AD＝2DF＝120﹣30√3（海里），∴CD＝AC﹣AD＝80﹣120+30√3=(30√3−40)海里，答：乙船与C码头之间的距离为(30√3−40)海里．35．【解答】解：设B处距离码头O有xkm，在Rt△CAO中，∠CAO＝26.5°，∵tan∠CAO=CO OA，∴CO＝AO•tan∠CAO＝（28×0.2+x）•tan26.5°≈2.8+0.5x（km），在Rt△DBO中，∠DBO＝49°，∵tan∠DBO=DO BO，∴DO＝BO•tan∠DBO＝x•tan49°≈1.15x（km），∵DC＝DO﹣CO，∴6.4＝1.15x﹣（2.8+0.5x），∴x≈14.2（km）．因此，B处距离码头O大约14.2km．36．【解答】解：没有触礁的危险；理由：如图，过点A作AN⊥BC交BC的延长线于点N，由题意得，∠ABE＝60°，∠ACD＝30°，∴∠ACN＝60°，∠ABN＝30°，∴∠ABC＝∠BAC＝30°，∴BC＝AC＝12海里，在Rt△ANC中，AN＝AC•sin60°＝12×√32=6√3海里，∵AN＝6√3海里≈10.38海里＞10海里，∴没有危险．一十八．简单几何体的三视图（共1小题）37．【解答】解：A．左视图与主视图都是正方形，故选项A不合题意；B．左视图是圆，主视图都是矩形，故选项B符合题意；C．左视图与主视图都是三角形；故选项C不合题意；D．左视图与主视图都是圆，故选项D不合题意；故选：B．一十九．简单组合体的三视图（共9小题）38．【解答】解：从正面看第一层是3个小正方形，第二层右边1个小正方形．故选：B．39．【解答】解：观察图形可知，这个几何体的俯视图是．故选：A．40．【解答】解：从几何体的正面看，底层是三个小正方形，上层的中间是一个小正方形．故选：D．41．【解答】解：从上面看易得俯视图：．故选：C．42．【解答】解：从正面看，“底座长方体”看到的图形是矩形，“上部圆锥体”看到的图形是等腰三角形，因此选项C的图形符合题意，故选：C．43．【解答】解：从正面可看到的图形是：故选：B．44．【解答】解：从上面看得到的图形是：故选：B．45．【解答】解：从左边看，从左往右小正方形的个数依次为：2，1．左视图如下：故选：C．46．【解答】解：从上面看易得上面一层有3个正方形，下面左边有一个正方形．故选：A．。
最新中考聚焦中考数学(辽宁省)复习：考点跟踪突破30图形的旋转
考点跟踪突破30图形的旋转一、选择题(每小题5分，共25分)1．(鞍山模拟)下列交通标志中，是中心对称图形的是(D)2．(2015·德州)如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为(C)A．35°B．40°C．50°D．65°,第2题图),第3题图) 3．(2015·乌鲁木齐)如图，将斜边长为4的直角三角板放在直角坐标系xOy中，两条直角边分别与坐标轴重合，P为斜边的中点．现将此三角板绕点O顺时针旋转120°后点P的对应点的坐标是(B)A．(3，1) B．(1，－3)C．(23，－2) D．(2，－23)4．(丹东模拟)如图，在平面直角坐标系中，点B，C，E在y轴上，Rt△ABC经过变换得到Rt△ODE.若点C的坐标为(0，1)，AC＝2，则这种变换可以是(A) A．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1D．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3,第4题图),第5题图)5．(2015·宁波)如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形．若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为( A )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③点拨：如图①，设图形①的长和宽分别是a ，c ，图形②的边长是b ，图形③的边长是d ，原来大长方形的周长是l ，则l ＝2(a ＋2b ＋c)，根据图示，可得⎩⎨⎧a ＝b ＋d …（1），b ＝c ＋d …（2），(1)－(2)，可得：a －b ＝b －c ，∴2b ＝a ＋c ，∴l ＝2(a ＋2b ＋c)＝2×2(a ＋c)＝4(a ＋c)，或l ＝2(a ＋2b ＋c)＝2×4b＝8b ，∴2(a ＋c)＝l 2，4b ＝l 2，∵图形①的周长是2(a ＋c)，图形②的周长是4b ，l 2的值一定，∴图形①②的周长是定值，不用测量就能知道，图形③的周长不用测量无法知道．∴分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为①②.故选：A二、填空题(每小题5分，共25分)6．(辽阳模拟)若点(a ，1)与(－2，b)关于原点对称，则a b ＝__12__．7．(抚顺模拟)如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC.若点F是DE的中点，连接AF，则AF＝__5__．,第7题图),第8题图) 8．(2015·绵阳)如图，在等边△ABC内有一点D，AD＝5，BD＝6，CD＝4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则∠CDE的正切值为．9．如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第24秒，点E在量角器上对应的读数是__144__度．解析：连接OE，∵∠ACB＝90°，∴A，B，C在以点O为圆心，AB为直径的圆上，∴点E，A，B，C共圆，∵∠ACE＝3×24＝72°，∴∠AOE＝2∠ACE＝144°.∴点E在量角器上对应的读数是144°,第9题图),第10题图)10．(2015·衢州)已知，正六边形ABCDEF在直角坐标系内的位置如图所示，A(－2，0)，点B在原点，把正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，经过2015次翻转之后，点B的坐标是．三、解答题(共50分)11．(8分)如图，在方格纸中，△ABC的三个顶点和点P都在小方格的顶点上，按要求画一个三角形，使它的顶点在方格的顶点上．(1)将△ABC平移，使点P落在平移后的三角形内部，在图甲中画出示意图；(2)以点C为旋转中心，将△ABC旋转，使点P落在旋转后的三角形内部，在图乙中画出示意图．解：(1)平移后的三角形如图所示：(2)如图所示，旋转后的三角形如图所示：12.(10分)(2014·抚顺)如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：(1)画出△ABC向上平移4个单位长度后得到的△A1B1C1；(2)画出△DEF绕点O按顺时针方向旋转90°后所得到的△D1E1F1；(3)△A1B1C1和△D1E1F1组成的图形是轴对称图形吗？如果是，请直接写出对称轴所在直线的解析式．解：(1)△A 1B 1C 1如图所示 (2)△D 1E 1F 1如图所示 (3)△A 1B 1C 1和△D 1E 1F 1组成的图形是轴对称图形，对称轴为直线y ＝x 或y ＝－x －213．(10分)(2015·铁岭)已知点D 是等腰直角三角形ABC 斜边BC 所在直线上一点(不与点B 重合)，连接AD.(1)如图1，当点D 在线段BC 上时，线段AD 绕点A 逆时针方向旋转90°得到线段AE ，连接CE ，求证：BD ＝CE ，BD ⊥CE.(2)如图2，当点D 在线段BC 延长线上时，探究AD ，BD ，CD 三条线段之间的数量关系，写出结论并说明理由；(3)若BD ＝3CD ，直接写出∠BAD 的度数．解：(1)证明：∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∵∠DAE ＝90°，∴∠DAE ＝∠CAE ＋∠DAC ＝90°，∵∠BAC ＝∠BAD ＋∠DAC ＝90°，∴∠BAD＝∠CAE ，在△BAD 和△CAE 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ，AD ＝AE ，∴△BAD ≌△CAE(SAS )，∴BD ＝CE ，∠ACE ＝∠ABC ＝45°，∴∠BCE ＝∠ACB ＋∠ACE ＝90°，∴BD⊥CE(2)2AD2＝BD2＋CD2，理由：如图2将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE，与(1)同理可证CE＝BD，CE⊥BD，∵∠EAD＝90°，AE＝AD，∴ED＝2AD，在Rt△ECD中，ED2＝CE2＋CD2，∴2AD2＝BD2＋CD2(3)如图3，①当D 在BC边上时，将线段AD1绕点A顺时针方向旋转90°得到线段AE，连接BE，与(1)同理可证△ABE≌△ACD1，∴BE＝CD1，BE⊥BC，∵BD＝3CD，∴BD1＝3BE，∴tan∠BD1E＝BEBD1＝33，∴∠BD1E＝30°，∵∠EAD1＝∠EBD1＝90°，∴四边形A，D1，B，E四点共圆，∴∠EAB＝∠BD1E＝30°，∴∠BAD1＝90°－30°＝60°；②将线段AD 绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AF，连接CF，同理可证：∠CFD2＝30°，∵∠FAD2＝∠FCD2＝90°，∴四边形A，F，D2，C四点共圆，∴∠CAD2＝∠CFD2＝30°，∴∠BAD2＝90°＋30°＝120°，综上，∠BAD的度数为60°或120°14．(10分)(2015·南昌)如图，正方形ABCD 与正方形A 1B 1C 1D 1关于某点中心对称，已知A ，D 1，D 三点的坐标分别是(0，4)，(0，3)，(0，2)．(1)求对称中心的坐标．(2)写出顶点B ，C ，B 1，C 1的坐标．解：(1)根据对称中心的性质，可得对称中心的坐标是D 1D 的中点，∵D 1，D 的坐标分别是(0，3)，(0，2)，∴对称中心的坐标是(0，2.5) (2)∵A ，D 的坐标分别是(0，4)，(0，2)，∴正方形ABCD 与正方形A 1B 1C 1D 1的边长都是：4－2＝2，∴B ，C 的坐标分别是(－2，4)，(－2，2)，∵A 1D 1＝2，D 1的坐标是(0，3)，∴A 1的坐标是(0，1)，∴B 1，C 1的坐标分别是(2，1)，(2，3)，综上，可得顶点B ，C ，B 1，C 1的坐标分别是(－2，4)，(－2，2)，(2，1)，(2，3)15．(12分)(2015·自贡)在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，cos ∠ABC ＝35，将△ABC 绕点C 顺时针旋转，得到△A 1B 1C .(1)如图①，当点B 1在线段BA 延长线上时．①求证：BB 1∥CA 1；②求△AB 1C 的面积；(2)如图②，点E 是BC 边的中点，点F 为线段AB 上的动点，在△ABC 绕点C 顺时针旋转过程中，点F 的对应点是F 1，求线段EF 1长度的最大值与最小值的差．解：(1)如图1，①证明：∵AB ＝AC ，B 1C ＝BC ，∴∠1＝∠B ，∠B ＝∠ACB ，∵∠2＝∠ACB(旋转角相等)，∴∠1＝∠2，∴BB 1∥CA 1；②过A 作AF ⊥BC 于F ，过C 作CE ⊥AB于E ，∵AB ＝AC ，AF ⊥BC ，∴BF ＝CF ，∵cos ∠ABC ＝35，AB ＝5，∴BF ＝3，∴BC ＝6，∴B 1C ＝BC ＝6，∵CE ⊥AB ，∴BE ＝B 1E ＝35×6＝185，∴BB 1＝365，CE ＝45×6＝245，∴AB 1＝365－5＝115，∴△AB 1C 的面积为：12×115×245＝13225(2)如图2，过C 作CF ⊥AB 于F ，以C 为圆心CF 为半径画圆交BC 于F 1，EF 1有最小值，此时在Rt △BFC 中，CF ＝245，∴CF 1＝245，∴EF 1的最小值为245－3＝95；如图，以C 为圆心BC 为半径画圆交BC 的延长线于F 1′，EF 1′有最大值；此时EF 1′＝EC ＋CF 1′＝3＋6＝9，∴线段EF 1′的最大值与最小值的差为9－95＝365。
九年级数学： 第23章《旋转》复习知识点及复习题
2020春人教版九级数学第23章《旋转》寒假复习知识点及复习题知识点一轴对称与轴对称图形1．轴对称：如果两个平面图形沿一条直线对折后能够_________，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴．2．轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够 _________，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．3．轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴_________，对应线段_______，对应角_______．4．简单的轴对称图形(1)线段是轴对称图形， _______________________是它的一条对称轴．(2)角是轴对称图形， ___________________是它的对称轴．(3)等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形_____________、底边上的中线、 ___________重合(也称“三线合一”)，它们所在的直线是等腰三角形的对称轴．知识点二图形的平移与旋转1．图形的平移(1)平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．(2)平移的性质①平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小；②一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且_______；对应线段平行(或在一条直线上)且_______，对应角_______．2．图形的旋转(1)旋转：在平面内，将一个图形绕一个_______按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．这个定点称为 _________，转动的角称为_________．(2)旋转的性质①旋转不改变图形的形状和大小；②对应点到旋转中心的距离_______；③任意一组对应点与 _________的连线所成的角都等于旋转角；④对应线段 _____，对应角_______．知识点三中心对称与中心对称图形1．中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转 ______，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心．2．中心对称图形：把一个图形绕某个点旋转 ______，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．复习练习题1.如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE.若AB的长为2，则FM的长为( )2．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′.若∠1＝25°，则∠BAA′的度数是( )A ．55° B．60° C ．65° D．70°3．如图，若将△ABC 绕点O 逆时针旋转90°，则顶点B 的对应点B 1的坐标为( )A ．(－4，2)B ．(－2，4)C ．(4，－2)D ．(2，－4)4.如图，直线y ＋2与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，把△AOB 沿直线AB 翻折后得到△AO ′B ，则点O ′的坐标是( )5．如图，直线y ＝23x ＋4与x 轴，y 轴分别交于点A 和点B ，点C ，D 分别为线段AB ，OB 的中点，点P 为OA 上一动点，当PC ＋PD 最小时，点P 的坐标为( )A ．(－3，0)B ．(－6，0)C ．(－32，0)D ．(－52，0)6．如图，把△ABC 沿着BC 的方向平移到△DEF 的位置，它们重叠部分的面积是△ABC 面积的一半，若BC ＝3，则△ABC 移动的距离是( )A.32B.33C.62D.3－627.中国古代建筑中的窗格图案实用大方，寓意吉祥．以下给出的图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )8．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，如果将△ABC 先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到△A 1B 1C 1，那么点A 的对应点A 1的坐标为( )A ．(4，3)B ．(2，4)C ．(3，1)D ．(2，5)9．(2017·潍坊)如图，将一张矩形纸片ABCD 的边BC 斜着向AD 边对折，使点B 落在AD 上，记为B′，折痕为CE ；再将CD 边斜向下对折，使点D 落在B′C 上，记为D′，折痕为CG ，B′D′＝2，BE ＝13BC ，则矩形纸片ABCD 的面积为________．10.如图，点P 在等边△ABC 的内部，且PC ＝6，PA ＝8，PB ＝10，将线段PC 绕点C 顺时针旋转60°得到P′C，连接AP′，则sin∠PAP′的值为___．。
辽宁辽阳市九年级数学上册第二十三章《旋转》经典复习题(含答案)
一、选择题1．下面四个图案是常用的交通标志，其中为中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．如图，在ABC 中，75CAB ∠=︒，在同一平面内，将ABC 绕点A 旋转到AB C ''△的位置，使得CC //AB '，则BAB '∠=（ ）A ．30B ．35︒C ．40︒D ．50︒3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．等边三角形B ．平行四边形C ．圆D ．五角星4．下列图形中，是中心对称但不是轴对称的图形是（ ）A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．等边三角形 5．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，60B ∠=︒，1BC =，A B C ''由ABC 绕点C 顺时针旋转得到，其中点A '与点A 、点B '与点B 是对应点，连接AB '，且点A 、B '、A '在同一条直线上，则AA '的长为（ ）A ．3B ．23C ．4D ．45 6．“保护生态，人人有责”．下列生态环保标志中，是中心对称图形的是（ ） A ． B ．C ．D ．7．如图，正方形ABCD 的边长为1，将其绕顶点C 旋转，得到正方形CEFG ，在旋转过程中，则线段AE 的最小值为（ ）A ．32-B ．2-1C ．0．5D ．512- 8．如图，将一个含30角的直角三角尺AOB 放在平面直角坐标系中，两条直角边分别与坐标轴重叠．已知30OAB ∠=︒，12AB =，点D 为斜边AB 的中点，现将三角尺AOB 绕点O 顺时针旋转90︒，则点D 的对应点D 的坐标为（ ）A ．(33,3)B ．(63,6)-C ．(3,33)-D ．(33,3)- 9．下列图形：线段、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、直角梯形，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．310．如图：在△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，现将△ABC 绕点C 逆时针旋转至△EFC ，使点E 恰巧落在AB 上，连接BF ，则BF 的长度为（ ）A．3B．2 C．1 D．211．已知等边△ABC的边长为8，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是( )A．22B．4 C．23D．不能确定12．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．13．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．14．如果齿轮A以逆时针方向旋转，齿轮E旋转的方向（）A．顺时针B．逆时针C．顺时针或逆时针D．不能确定15．下列图形是中心对称图形的是（）A．B．C．D．二、填空题16．如图．面积为8的正方形ABCD的顶点A在数轴上，点A表示实数2，正方形ABCD绕点A旋转时，顶点B的运动轨迹与数轴的交点表示的数为______________17．如图，O 是正方形ABCD 的中心，M 是ABCD 内一点，90DMC ∠=︒，将DMC 绕O 点旋转180°后得到BNA ．若3MD =，4CM =，则MN 的长为______．18．如图，在Rt ABC △中，C 为直角顶点，20ABC ∠=︒，O 为斜边AB 的中点，将OA 绕点O 逆时针旋转()0180θθ︒<<︒至OP ，当BCP 恰为以BC 为腰的等腰三角形时，θ的值为______．19．如图，把ABC ∆绕点A 旋转，点B 旋转至BC 边的点D 位置，EAC α∠=︒，则ADE ∠的度数为_____．20．如图，在ABC 中，AB AC =，30B ∠=︒，将ABC 绕点A 沿顺时针方向旋转一周，当BC 边的对应边与AC 平行时，旋转角为______度．21．如图所示，将△ABC 绕AC 的中点O 顺时针旋转180°得到△CDA ，添加一个条件_____，使四边形ABCD 为矩形．22．将点P （-2，3）向右平移3个单位得到点P 1，点P 2与点P 1关于原点对称，则P 2的坐标是______23．矩形是中心对称图形，对矩形ABCD 而言，点A 的对称点是点____.24．如图，△ABC 中，∠BAC ＝20°，△ABC 绕点A 逆时针旋转至△AED ，连接对应点C 、D ，AE 垂直平分CD 于点F ，则旋转角度是_____°．25．若点()3,5B n +与点()4,A m 关于原点O 中心对称，则m n +=______________． 26．如图，在Rt ABC 中，5AB =，4BC =，如果ABC 绕点B 旋转，使点C 落在AB 边上的点D 处得到EBD △，则点A 到BE 的距离是__________．三、解答题27．将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两张全等的三角形胶片△ABC 和△DEF ，将这两张三角形胶片的顶点B 与顶点E 重合，把△DEF 绕点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O ．（1）当△DEF 旋转至如图②位置，点B （E ），C ，D 在同一直线上时，AF 与CD 的数量关系是_______；（2）当△DEF 继续旋转至如图③位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．28．己知，如图，点P 是等边△ABC 内一点，∠APB=112°，如果把△APB 绕点A 旋转，使点 B 与点C 重合，此时点P 落在点P '处，求PP C '∠的度数．29．在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，点(0 0)O ，，点(10 0)A ，，点(0 6)B ，．以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点O ，B ，C 的对应点分别为点D ，E ， F ．（Ⅰ）如图①，当点D 落在BC 边上时，求点D 的坐标；（Ⅱ）如图②，当点D 落在线段BE 上时，AD 与BC 交于点H ．①求证ADB △≌BCA ；②求出ABH 面积．30．在6×6方格中，每个小正方形的边长为1，点A ，B 在小正方形的格点上，请按下列要求画一个以AB 为一边的四边形，且四边形的四个顶点都在格点上．（1）在图甲中画一个是中心对称图形但不是轴对称图形；（2）在图乙中画一个既是中心对称图形又是轴对称图形．参考答案。
辽宁沈阳市九年级数学上册第二十三章《旋转》知识点(含答案)
一、选择题1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．如图，将△ABC 绕点C(0,1)旋转180°得到△A′B′C′，设点A 的坐标为(,)a b ，则点A′的坐标为( )A ．(,)a b --B ．2(),a b --+C ．(),1a b --+D ．(,1)a b --- 3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 4．以原点为中心，将点P （3，4）旋转90°，得到的点Q 所在的象限为（ ） A ．第二象限B ．第三象限C ．第四象限D ．第二或第四象限 5．如图，△ABC 中，AB =6，AC =4，以BC 为对角线作正方形BDCF ，连接AD ，则AD 长不可能是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．86．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，60B ∠=︒，1BC =，A B C ''由ABC 绕点C 顺时针旋转得到，其中点A '与点A 、点B '与点B 是对应点，连接AB '，且点A 、B '、A '在同一条直线上，则AA '的长为（ ）A ．3B ．3C ．4D ．457．如图，正方形ABCD 内一点P ，5AB =，2BP =，把ABP △绕点B 顺时针旋转90°得到CBP '，则PP '的长为（ ）A ．22B ．23C ．3D ．328．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，将ABC 绕点C 顺时针旋转80°，得到DEC ，若3120B A ∠=∠=︒，则α∠的度数是（ ）A ．60︒B ．50︒C ．40︒D ．3010．如图，正方形ABCD 的边长为1，将其绕顶点C 旋转，得到正方形CEFG ，在旋转过程中，则线段AE 的最小值为（ ）A 32B 2-1C ．0．5D ．51211．如图，等边△OAB的边OB在x轴上，点B坐标为（2，0），以点O为旋转中心，把△OAB逆时针转90︒，则旋转后点A的对应点A'的坐标是（）A．（-1，3）B．（3，-1）C．（31-，）D．（-2，1）12．如图，正方形OABC的两边OA，OC分别在x轴、y轴上，点D(5，3)在边AB上，以C 为中心，把△CDB旋转90º，则旋转后点D的对应点D的坐标是( )A．(-2，0) B．(-2，10) C．(2，10)或(-2，0) D．(10，2)或( -2，10) 13．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，∠BAC的度数为（）．A．60 °B．75°C．85°D．90°14．如图，△ABC的顶点在网格中，现将△ABC绕格点O顺时针旋转α角（0°＜α＜360°），使旋转后所得三角形的顶点也在格点上，则当旋转前后的图形形成轴对称图形时，符合条件的α角的度有（）A．1个B．3个C．6个D．8个15．如图①，正方形A的一个顶点与正方形B的对称中心重合，重叠部分面积是正方形A面积的12，如图②，移动正方形A的位置，使正方形B的一个顶点与正方形A的对称中心重合，则重叠部分面积是正方形B面积的（）A ．12B ．14C ．16D ．18二、填空题16．如图．面积为8的正方形ABCD 的顶点A 在数轴上，点A 表示实数2-，正方形ABCD 绕点A 旋转时，顶点B 的运动轨迹与数轴的交点表示的数为______________17．如图，将边长为6的正方形ABCD 绕点A 逆时针方向旋转30︒后得到正方形A B C D ''''，则图中阴影部分面积为____________．18．如图，直角ABC 中，60ACB ∠=︒，在水平桌面上ABC 绕C 点按顺时针方向旋转到ECD 位置，且点B 、C 、E 在一条直线上，那么旋转角是______度．19．在ABC 中，2AB =，3AC =，以CB 为边作一个形状等边三角形BCD △，则DA 的最大值是________．20．如图，在平面直角坐标系中，将ABC 绕点A 顺时针旋转到111A B C △的位置，点B ，O （分别落在点1B ，1C 处，点1B 在x 轴上，再将11AB C △绕点1B 顺时针旋转到112A B C 的位置，点2C 在x 轴上，再将112A B C 绕点2C 顺时针旋转到222A B C △的位置，点2A 在x 轴上，依次进行下去，…，若点(3,0),(0,4),5A B AB =，则点2021B 的坐标为________．21．如图，在ABC 中，4AB =， 5.8BC =，60B ∠=︒，将ABC 绕点A 顺时针旋转得到ADE ，当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，则CD 的长为________．22．如图所示，把一个直角三角尺ACB 绕30角的顶点B 顺时计旋转，使得点A 落在CB 的延长线上的点E 处，则BCD ∠的度数为______．23．如图，把△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△A 'B 'C '，此时A ′B ′⊥AC 于D ，已知∠A ＝50°，则∠B ′CB 的度数是_____°．24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2cm，AB＝3cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△FBE，则点E与点C之间的距离是_________cm．25．如图，△ABC、△BDE都是等腰直角三角形，BA＝BC，BD＝BE，AC＝4，DE＝22．将△BDE绕点B逆时针方向旋转后得△BD'E'，当点E'恰好落在线段AD'上时，则CE'＝_______．26．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝5，点D为线段AC上一动点，将线段BD 绕点D逆时针旋转90°，点B的对应点为E，连接AE，则AE长的最小值为_____．三、解答题27．在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．（1）试在图中作出△ABC 以A 为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB 1C 1； （2）若点B 的坐标为(-3，5)，试在图中画出平面直角坐标系，并标出A ，C 两点的坐标． 28．如图，P 是正方形ABCD 内一点，△ABP 绕着点B 旋转后能到达△CBE 的位置． （1）旋转的角度是多少度？（2）若BP =3cm ，求线段PE 的长．29．如图，等边△ABC 中，P 是BC 边上任意一点，将△ABP 绕点A 逆时针旋转60°．（1）请用圆规和无刻度的直尺作出旋转后的三角形（保留作图痕迹，不写作法和证明）； （2）记点P 的对应点为P ʹ，试说明△APP ʹ的形状，并说明理由30．如图，已知ABC 的顶点A ，B ，C 的坐标分别是()2,3A -、()3,2B -、()1,1C -．（1）作出ABC 关于原点O 的中心对称图形111A B C △，写出点1A 的坐标；（2）将ABC 绕原点O 按顺时针方向旋转90 后得到222A B C △，画出222A B C △，并写出点2A 的坐标．。
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考点跟踪突破30 图形的旋转
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(鞍山模拟)下列交通标志中，是中心对称图形的是( D )
2．(2018·德州)如图，在△ABC 中，∠CAB ＝65°，将△ABC 在平面内绕点A 旋转到△AB′C′的位置，
使CC′∥AB ，则旋转角的度数为( C )
A ．35°
B ．40°
C ．50°
D ．65°
,第2题图) ,第3题图)
3．(2018·乌鲁木齐)如图，将斜边长为4的直角三角板放在直角坐标系xOy 中，两条直角边分别与坐标轴重合，P 为斜边的中点．现将此三角板绕点O 顺时针旋转120°后点P 的对应点的坐标是( B )
A ．(3，1)
B ．(1，－3)
C ．(23，－2)
D ．(2，－23)
4．(丹东模拟)如图，在平面直角坐标系中，点B ，C ，E 在y 轴上，Rt △ABC 经过变换得到Rt △ODE.若点C 的坐标为(0，1)，AC ＝2，则这种变换可以是( A )
A ．△ABC 绕点C 顺时针旋转90°，再向下平移3
B ．△AB
C 绕点C 顺时针旋转90°，再向下平移1
C ．△ABC 绕点C 逆时针旋转90°，再向下平移1
D ．△ABC 绕点C 逆时针旋转90°，再向下平移3
,第4题图) ,第5题图)
5．(2018·宁波)如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形．若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为( A )
A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．①②③
点拨：如图①，
设图形①的长和宽分别是a ，c ，图形②的边长是b ，图形③的边长是d ，原来大长方形的周长是l ，则l
＝2(a ＋2b ＋c)，根据图示，可得⎩⎨⎧a ＝b ＋d …（1），b ＝c ＋d …（2），
(1)－(2)，可得：a －b ＝b －c ，∴2b ＝a ＋c ，∴l ＝2(a ＋2b ＋c)＝2×2(a ＋c)＝4(a ＋c)，或l ＝2(a ＋2b ＋c)＝2×4b ＝8b ，∴2(a ＋c)＝l 2，4b ＝l 2
，∵图形①的周长是2(a ＋c)，图形②的周长是4b ，l 2
的值一定，∴图形①②的周长是定值，不用测量就能知道，图形③的周长不用测量无法知道．∴分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为①②.故选：A
二、填空题(每小题5分，共25分)
6．(辽阳模拟)若点(a ，1)与(－2，b)关于原点对称，则a b ＝__12
__．
7．(抚顺模拟)如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC.若点F是DE的中点，连接AF，则AF＝__5__．
,第7题图),第8题图) 8．(2018·绵阳)如图，在等边△ABC内有一点D，AD＝5，BD＝6，CD＝4，将△ABD绕A点逆时针旋
转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则∠CDE的正切值为．
9．如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第24秒，点E 在量角器上对应的读数是__144__度．
解析：连接OE，∵∠ACB＝90°，∴A，B，C在以点O为圆心，AB为直径的圆上，∴点E，A，B，C共圆，∵∠ACE＝3×24＝72°，∴∠AOE＝2∠ACE＝144°.∴点E在量角器上对应的读数是144°
,第9题图),第10题图) 10．(2018·衢州)已知，正六边形ABCDEF在直角坐标系内的位置如图所示，A(－2，0)，点B在原点，把正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，经过2018次翻转之后，点B的坐
标是．
三、解答题(共50分)
11．(8分)如图，在方格纸中，△ABC的三个顶点和点P都在小方格的顶点上，按要求画一个三角形，使它的顶点在方格的顶点上．
(1)将△ABC平移，使点P落在平移后的三角形内部，在图甲中画出示意图；
(2)以点C为旋转中心，将△ABC旋转，使点P落在旋转后的三角形内部，在图乙中画出示意图．
解：(1)平移后的三角形如图所示：
(2)如图所示，旋转后的三角形如图所示：
12.(10分)(2017·抚顺)如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形
的顶点叫格点，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
(1)画出△ABC 向上平移4个单位长度后得到的△A 1B 1C 1；
(2)画出△DEF 绕点O 按顺时针方向旋转90°后所得到的△D 1E 1F 1；
(3)△A 1B 1C 1和△D 1E 1F 1组成的图形是轴对称图形吗？如果是，请直接写出对称轴所在直线的解析式．
解：(1)△A 1B 1C 1如图所示 (2)△D 1E 1F 1如图所示 (3)△A 1B 1C 1和△D 1E 1F 1组成的图形是轴对称图形，
对称轴为直线y ＝x 或y ＝－x －2
13．(10分)(2018·铁岭)已知点D 是等腰直角三角形ABC 斜边BC 所在直线上一点(不与点B 重合)，连接AD.
(1)如图1，当点D 在线段BC 上时，线段AD 绕点A 逆时针方向旋转90°得到线段AE ，连接CE ，求证：BD ＝CE ，BD ⊥CE.
(2)如图2，当点D 在线段BC 延长线上时，探究AD ，BD ，CD 三条线段之间的数量关系，写出结论并说明理由；
(3)若BD ＝3CD ，直接写出∠BAD 的度数．
解：(1)证明：∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∵∠DAE ＝90°，∴∠DAE ＝
∠CAE ＋∠DAC ＝90°，∵∠BAC ＝∠BAD ＋∠DAC ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAE ，在△BAD 和△CAE 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ，AD ＝AE ，
∴△BAD ≌△CAE(SAS )，∴BD ＝CE ，∠ACE ＝∠ABC ＝45°，∴∠BCE ＝∠ACB ＋∠ACE ＝90°，
∴BD ⊥CE (2)2AD 2＝BD 2＋CD 2，理由：如图2将线段AD 绕点A 逆时针方向旋转90°得到线段AE ，
连接CE ，与(1)同理可证CE ＝BD ，CE ⊥BD ，∵∠EAD ＝90°，AE ＝AD ，∴ED ＝2AD ，在Rt △ECD 中，ED 2＝CE 2＋CD 2，∴2AD 2＝BD 2＋CD 2 (3)如图3，①当D 在BC 边上时，将线段AD 1绕点A 顺时针方向旋转90°得到线段AE ，连接BE ，。