简单的线性规划问题
332简单线性规划问题
审题视角
规范解答
温馨提醒
解 由约束条件x3－ x＋4y5＋y－3≤25≤0 0 ，作出(x，y)的可行域如图所示． x≥1
由x3＝x＋15y－25＝0 ，解得 A1，252.
由xx＝－14y＋3＝0 ，解得 C(1,1)．
2024/10/13
27
题型分类·深度剖析
思想与方法 13.利用线性规划思想求解非线性目标函数的最值
x≥1
(1)设 z＝xy，求 z 的最小值；(2)设 z＝x2＋y2，求 z 的取值范围；
(3)设 z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求 z 的取值范围．
审题视角
规范解答
温馨提醒
(2)z＝x2＋y2 的几何意义是可行域上的点到原点 O 的距离的平方．结合图形
可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin＝|OC|＝ 2，dmax＝|OB|＝
x 4 y 3 3x 5y 25 求z的x最大1 值和最小值.
【解析】ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
由z 2x y y 2x z
A(5,2) C(1, 22)
5
zmin
21
22 5
12 5
z 2 5 2 12 max 2024/10/13
截距为-z的直线
y x 1 C
•B
O
x 4y 3 0
•A
3x 5y 25 0
x－4y＋3≤0 典例：(12 分)变量 x、y 满足3x＋5y－25≤0 ，
x≥1
(1)设 z＝xy，求 z 的最值；(2)设 z＝x2＋y2，求 z 的取值范围；
(3)设 z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求 z 的取值范围．
审题视角
规范解答
温馨提醒
由x3－ x＋4y5＋y－3＝25＝0 0 ，解得 B(5,2)．
3.3.2简单的线性规划问题
变式：求利润z=x+3y的最大值. y
x2y 8
44
x y
16 12
x
0
y 0
4 N（2，3） 3
0
4
8x
y 1 x4
2
y1x z
33
zmax 2 3 3 11
名称 约束条件 线性约束条件 目标函数 线性目标函数
（3）掌握对一些实际优化问题建立线性规划数学 模型并运用图解法进行求解的基本方法和步骤 ．
学习重点：线性规划的图解法
学习难点：寻求线性规划问题的最优解
一、导学提示，自主学习
2.本节主要题型 题型一 求线性目标函数的最值 题型二 线性规划的实际应用 3.自主学习教材P87-P91 3. 3.2简单的线性规划问题
经理,问各截这两种钢板多少张既能满足顾客要求又使所用钢板张
数最少。
分 析
解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，
2x+y≥15,
钢板总张数为Z则,
问
x+2y≥18,
题
x+3y≥27, x≥0
:
y≥0
标目函数: z=x+y (x,y N)
约束条件:
{ 2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0,
33
3
在y轴上的截距为 z 的直线, 3
当点P在可允许的取值范围变化时,
求截距 z 的最值,即可得z的最值. 3
问题：求利润z=2x+3y的最大值. y
x2y 8
44
x y
16 12
简单的线性规划问题
简单的线性规划问题一、基本知识1.规划问题中的可行域，实际上是二元一次不等式（组）表示的平面区域，是解决线性规划问题的基础。
因为对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，数Ax+By+C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x0,y0) （若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便），它的坐标代入Ax+By+c，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧。
2.在求线性目标函数z=ax+by的最大值或最小值时，设ax+by=t，则此直线往右（或左）平移时，t值随之增大（或减小）。
要会在可行域中确定最优解。
3.新概念:①线性约束条件②线性目标函数③线性规划问题④可行解⑤可行域⑥最优解4.重要的思想方法：数形结合化归思想5.解线性规划问题总体步骤：设变量→ 找约束条件，找目标函数找出可行域求出最优解二、典型例题：例1．某工厂生产甲，乙两种产品，已知生产甲种产品1t，需耗A种矿石10t，B种矿石5t，煤4t, 生产乙种产品1t需耗A种矿石4t，B种矿石4t，煤9t，每1t甲种产品的利润是600元。
每1t乙种产品的利润是1000元。
工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t，B种矿石不超过200t，煤不超过360t，甲，乙这两种产品应各生产多少。
（精确到1t)。
能使利润总额达到最大？解：设生产甲，乙两种产品分别为x(t), y(t)，利润总额为Z元，则，Z=600x+1000y。
作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域。
作直线600x+1000y=0即3x+5y=0。
将直线向上平移到如图位置，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，即Z 取最大值。
得x=360/29≈12。
y=1000/29≈34。
例2．某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：问每周生产空调器，彩电，冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少（以千元为单位）？解：设每周生产空调器，彩电，冰箱分别为x 台，y 台，z 台，每周产值为f 元，则f=4x+3y+2z，其中x, y, z满足由(1),(2)得y=360-3x, z=2x。
高中数学必修5：简单的线性规划问题 知识点及经典例题(含答案)
简单的线性规划问题【知识概述】线性规划是不等式应用的一个典型，也是数形结合思想所体现的一个重要侧面.近年的考试中，通常考查二元一次不等式组表示的平面区域的图形形状以及目标函数的最大值或最小值，或求函数的最优解等问题.通过这节课的学习，希望同学们能够掌握线性规划的方法，解决考试中出现的各种问题.解决线性规划的数学问题我们要注意一下几点1.所谓线性规划就是在线性约束条件下求线性目标函数的最值问题；2.解决线性规划问题需要经历两个基本的解题环节（1）作出平面区域；（直线定”界”，特“点”定侧）；（2）求目标函数的最值.（3）求目标函数z=ax+by最值的两种类型：①0b>时，截距最大（小），z的值最大（小）；②0b>时，截距最大（小），z的值最小（大）；【学前诊断】1.[难度] 易满足线性约束条件23,23,0,x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的目标函数z x y=+的最大值是（）A.1B.32C.2D.32.[难度] 易设变量,x y满足约束条件0,0,220,xx yx y≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩则32z x y=-的最大值为( )A.0B.2C.4D.63. [难度] 中设1m >，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ）A．(1,1 B．(1)+∞ C ．(1,3) D ．(3,)+∞【经典例题】例1. 设变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =+的最大值为( )A.5B.4C.1D.8例2. 若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为( )A.4B.3C.2D.1例3. 设,x y 满足约束条件2208400,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数(0,0)z abx y a b =+>>的最小值为8，则a b +的最小值为____________.例4. 在约束条件下0,0,,24,x y x y s x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是( )A.[]6,15B.[]7,15 C.[]6,8 D.[]7,8例5. 设不等式组1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，所表示平面区域是1,Ω平面区域2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称，对于1Ω中任意一点A 与2Ω中的任意一点B ，AB 的最小值等于（ ）A.285B.4C.125D.2例6．对于实数,x y ，若11,21,x y -≤-≤则21x y -+的最大值为_________.例7．在约束条件22240x y x y +++≤下，函数32z x y =+的最大值是___________.例8. 已知函数2()2(,)f x x ax b a b =++∈R ，且函数()y f x =在区间()0,1与()1,2内各有一个零点，则22(3)z a b =++的取值范围是（ ）.A.2⎫⎪⎪⎝⎭B.1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()1,2D.()1,4 例9. 奇函数()f x 在R 上是减函数，若,s t 满足不等式22(2)(2)f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，t s的取值范围是（ ）. A.1,14⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.1,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦例10. 某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品.车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克 A 产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为（A ）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱（B ）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱（C ）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱（D ）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱【本课总结】线性规划是不等式和直线与方程的综合应用，是数形结合的和谐载体，也是高考中的重要考点，近几年的高考题中考查的频率较高，一般以考查基本知识和方法为主，属于基础类题，难度一般不高.1. 解决线性规划问题有一定的程序性：第一步：确定由二元一次不等式表示的平面区域；第二步：令z=0画直线0:0l ax by +=；第三步：平移直线0l 寻找使直线a z y x b b=-+截距取最值（最大或最小）的位置（最优解）.第四步：将最优解坐标代入线性目标函数z ax by =+求出最值2. 解决线性规划问题要特别关注线性目标函数z ax by =+中b 的符号，若b ＞0，则使函数a z y x b b=-+的截距取最大（小）值的点，可使目标函数z ax by =+取最大（小）值，若b <0，则使函数a z y x b b=-+的截距取最大（小）值的点，可使目标函数z ax by =+取最小（大）值， b <0的情况是很多同学容易出现的盲点.3. 线性规划问题要重视数形结合思想的运用，善于将代数问题和几何问题相互转化，由线性规划问题引申的其它数形结合题目也要灵活掌握，如：将平面区域条件引申为：22240x y x y +++≤表示圆面等，将目标函数引申为：2224z x y x y =+++表示动点到定点的距离的最值问题；21y z x +=-表示动点与定点连线的斜率的最值问题等. 4. 线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则一般在区域顶点处取得最大或最小值5. 线性规划中易错点提示（1）忽视平面区域是否包括边界.一般最优解都处于平面区域的边界顶点处，若平面区域不包含边界，则可能不存在最值.（2）忽视对线性目标函数z ax by =+中b 的符号的区分.（3）代数问题向其几何意义的转化困难.【活学活用】1. [难度] 中若不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥≤+≥-ay x y y x y x 0220表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（ ） A.4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B.(]0,1 C.41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2. [难度] 中 设变量x y ，满足约束条件1133x y x y x y ⎧--⎪+⎨⎪-<⎩，，．≥≥则目标函数4z x y =+的最大值为（ ） A ．4B ．11C ．12D ．143. [难度] 中 已知变量x 、y 满足约束条件 20,1,70,x y y x x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩则的取值范围是（ ） A ．9,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．9,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦∪[)6,+∞ C ．(],3-∞∪[)6,+∞ D ．[3，6]。
第一部分 第三章 3.3 第二课时 简单的线性规划问题
5．某公司租赁甲、乙两种设备生产A、B两类产品，甲种设 备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每 天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天 的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该 公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租 赁费最少为__________元．
3.3
第 三 章
二元 一次 不等 式组
第二 课时
简单
不 等 式
与简 单的 线性 规划
的线 性规 划问 题
问题
理解教材新知 把握热点考向 应用创新演练
考点一 考点二 考点三
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现在是信息时代，广告可以给公司带来效益．某公 司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的 广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙两个电视台的 收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟． 问题1：设在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为x分 钟，y分钟，试ห้องสมุดไป่ตู้出满足条件的不等关系．
答案：9
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2．在如下图所示的可行域内(阴影部分且包括边界)， 目标函数z＝x－y，则使z取得最小值的点的坐标 为____________．
解析：对直线y＝x＋b进行平移，注意b越大，z越 小故，四个点中，过点A(1,1)时 z取最小值0. 答案：(1,1)
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[例 2]
0≤x≤1 (2011·苏 北 四 市 三 调 )在 约 束 条 件 0≤y≤2 2y－x≥1
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[一点通] 解答线性规划应用题的一般步骤： (1)审题——仔细阅读，对关键部分进行“精读”，准 确理解题意，明确有哪些限制条件，起关键作用的变量 有哪些，由于线性规划应用题中的量较多，为了理顺题 目中量与量之间的关系，有时可借助表格来理顺． (2)转化——设元．写出约束条件和目标函数，从而 将实际问题转化为数学上的线性规划问题． (3)求解——解这个纯数学的线性规划问题． (4)作答——就应用题提出的问题作出回答．
简单的线性规划问题
8）时，直线与原点的距离最近，即z的最小值为12.
解法二：特值验证法
由解法一知，目标函数取得最小值的整点应分布在可行域的 左下侧靠近边界的整点，依次取满足条件的整点A0（0， 15），A1（1，13），A2（2，11），A3（3，9），A4（4， 8），A5（5，8），A6（6，7），A7（7，7），A8（8，7）， A9（9，6），A10（10，6），…，A27（27，0）.
由图可见，当直线z=2x+y经过可行域上的点A时，截距最 大，即z最大.
解方程组 x - 4y 3 0, 3x 5y 25 0
，得A的坐标为(5,2).
∴zmax=2×5+2=12.
当直线z=2x+y经过可行域上的点B时，截距最小，即z
最小.
解方程组
x x
- 4y 1
返回
【解析】设进T 恤x件，运动鞋y双，则有
x 50,y 30,x,y N, x y 40, 36x 48y 2 400,
其目标函数为z=18x+20y. 作出它的可行域如图所示， 由图可知： 当x=50且y=12.5时，z取得最大值1 150. 但x,y∈N*,
（3）由于作图有误差，有时仅由图形不一定就能准确而 迅速地找出最优解，此时可将可能的数逐一检验即可分 晓.
假如你要开一家卖T恤和运动鞋的小商店，由于店面和 资金有限，在你经营时会受到如下限制：①你最多能 进50件T恤；②你最多能进30双运动鞋；③你至少需要 T恤和运动鞋共40件才能维持经营；④已知进货价：T 恤每件36元，运动鞋每双48元.现在你有2 400元资金， 假设每件T恤的利润是18元，每双运动鞋的利润是20元， 问：如何进货可以使你获利最大？
简单的线性规划问题
阅读课本88页“第二自然段”认识下列概 念：
1.约束条件、线性约束条件 2.目标函数、线性目标函数 3.线性规划问题 4.可行解、可行域、最优解
变式：
1 2 3
z 3x 2 y 的最大值？ z 2 x 6 y 的最大值？ z 2 x 3y 的最大值？
3.3.2简单的线性规划 问题(一)
引入新课
例： 某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每 生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙 产品使用4个B配件耗时2h，该厂最多可从配件厂获得 16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所 有的日生产安排是什么？ A 4
16
B 4
若生产一件甲产品获利2万元，生产一 该厂所有的日生产安排是什么？ 件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排 利润最大？
0, 0 0,1 0, 2 0,3 1, 0 1,1 1, 2 1,3 2, 0 2,1 2, 2 2,3 3, 0 3,1 3, 2 设工厂获得的利润为z, 4, 0 4,1 4, 2 则 z=2x+3y
甲产品 乙产品
x y
耗时 1 2
8
12
分析：
甲产品 乙产品
12 8 解：设甲、乙两种产品分别生产x、y件，则
16
x y
A 4
B 4
耗时 1 2
4 x 16 4 y 12 x 2 4 y 3 即 x 2 y 8 x 0 y 0
简单的线性规划问题
解析:如图直线x-y+2=0，x+y-4=0，2x-y-5=0的交点A(1，3) ，
B(3，1)，C(7，9).
1 z4 . 作斜率为 k 1 的平行直线l. (1)设z=x+2y-4，则 y x 2 2 2
当l过C(7，9)时，截距最大，这时z也最大. 即z的最大值是7+2×9-4=21.
z 2.5x 4 y
作出可行域如图所示： 经试验发现，当
x 4, y 4
时，花费最少，为
2.5 4 4 4 26（元）
答：应当为该儿童预定4个单位的午餐和4个单位晚餐
考点
4
综合新题
x 2 y 19 0， 自学范例4 (1)设二元一次不等式组 x y 8 0， 所表示的平面区 2 x y 14 0
满足线性约束条件x、y的解(x，y)叫做可行解
所有可行解组成的集合叫做可行域 使目标函数达到最大值或最小值的可行解 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小 值的问题
线性规划问题
解线性规划的问题，一般用图解法，其步骤如下： (1)设出变量x、y
(2)
(3)
(4)
(5)求出最值，还原成实际问题的解.
点评
这是在高考中第一次以解答题的 形式考查简单的线性规划问题 . 本题是 一道应用题，以投资决策为背景，以 线性规划为素材，考查学生对数学的 应用意识和能力，不落俗套，令人耳 目一新.
19.（本小题满分12分2010年广东高考） 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午 餐含12个单位的碳水化合物，6个单位蛋白质和6个单位的维生 素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋 白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养 中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单 位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元 和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为 该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？ 解：设该儿童分别预订x,y个单位的午餐和晚餐，共花费z元
简单的线性规划问题
2012-12-22
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3.3.2简单线性规划(1_2)--上课用
y-x=0
5
4、 根据0=2x+y平移到 区域的最后一个点时有 最大（小）值
3、根据b的正负值判断向上向下 平移时Z的增减性， 1 O
1 A(2,-1)
5
x
y+1=0
B(-1,-1)
-1
x+y-1=0
x - y 0 1 、 画出x y - 1 0区域 y y 1 0
使 式中，的x、y满足约束条件：
3 z z y x , 为直线3x 5 y z 0 5 5 5 的纵截距
5 x 3 y 15 y x 1 x 5 y 3
5x+3y=15 y y=x+1
5
B(3/2,5/2)
1
X-5y=3 x
O
-1
1
5
A(-2,-1)
B.z=5x+3y D.z=3x+5y
答案:A
第31页
高考题练习：
x y≥2, 1.(2009 浙江)若实数x, y满足不等式组 2 x y≤4, x y≥0, 则2x 3y的最小值是 ________ .
答案:4
第32页
解析:作出可行域如下图. 作直线l:2x+3y=0,平移l,当l过点A(2,0)时,2x+3y有最小值4.
D.5
z=5×1+0=5.
答案:D
第34页
则z x 2y的最大值为
A.4 答案:B B.3 C.2
y≤1, 3.(2010 全国Ⅰ若变量 ) x、y满足约束条件 x y≥0, x y 2≤0,
简单的线性规划问题(二)
3 ．在△ ABC 中，三顶点坐标为 A (2,4) ， B(－1,2)，C(1,0)，点P(x，y)在△ABC内部 及边界运动，则z＝x－y的最大，最小值分 别是 ( ) A．3,1 B．－1，－3 C．1，－3 D．3，－1
解析：本题运用线性规划问题的图象解 法．只需画出约束条件对应的可行域，即 一个封闭的三角形区域(含边界)，再平移直 线x－y＝0使之经过可行域，观察图形，找 出动直线纵截距最大时和最小时经过的点， 然后计算可得答案． 答案：C
x－y＝－1， 解方程组 x＋y＝5，
得 A(2,3)，
所以 zmin＝2×2－3×3＝－5. 当直线经过点 B 时， 直线的纵截距最小， 此时 z 最大．
x－y＝3， 解方程组 x＋y＝1，
得 B(2，－1)，
所以 zmax＝2×2－3×(－1)＝7. 所以 2x－3y 的取值范围是[－5,7]
[点评] 对于线性规划中的最优整数解的问 题，当解方程组得到的解不是整数解时， 可用下面的方法求解： ①平移直线法：先在可行域内打网格，再 描整点，平移直线 l ，最先经过或最后经过 的整点坐标是整点最优解． ②检查优值法：当可行域内整点个数较少 时，也可将整点坐标逐一代入目标函数求 值，经比较得出最优解． ③调整优值法：先求非整点最优解及最优 值，再借助不定方程知识调整最优值，最
[解] 设隔出大房间 x 间，小房间 y 间，获得收 益为 z 元，则
18x＋15y≤180， 1000x＋600y≤8000， x≥0，y≥0，且x，y∈N， 6x＋5y≤60，① 即5x＋3y≤40，② x≥0，y≥0，且x，y∈N.
目标函数为 z＝200x＋150y， 画出可行域如右图 8 所示．
简单的线性规划典型例题
简单的线性规划典型例题篇一：典型例题：简单的线性规划问题典型例题【例1】求不等式｜x－1｜+｜y－1｜≤2表示的平面区域的面积.【例2】某矿山车队有4辆载重量为10 t的甲型卡车和7辆载重量为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次甲型卡车每辆每天的成本费为252元，乙型卡车每辆每天的成本费为160元.问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低?参考答案例1：【分析】依据条件画出所表达的区域，再根据区域的特点求其面积.【解】｜x－1｜+｜y－1｜≤2可化为或其平面区域如图：或或∴面积S=×4×4=8【点拨】画平面区域时作图要尽量准确，要注意边界.例2：【分析】弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解.【解】设每天派出甲型车x辆、乙型车y辆，车队所花成本费为z元，那么z=252x+160y，作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图作出直线l0：252x+160y=0，把直线l向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使在y轴上的截距最小.观察图形，可见当直线252x+160y=t经过点（2，5）时，满足上述要求.此时，z=252x+160y取得最小值，即x=2，y=5时，zmin=252×2+160×5=1304.答：每天派出甲型车2辆，乙型车5辆，车队所用成本费最低.【点拨】用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系f（x，y）=t的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点.篇二：不等式线性规划知识点梳理及经典例题及解析线性规划讲义【考纲说明】（1）了解线性规划的意义、了解可行域的意义；（2）掌握简单的二元线性规划问题的解法．（3）巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值的方法；（4）会用画网格的方法求解整数线性规划问题．（5）培养学生的数学应用意识和解决问题的能力．【知识梳理】简单的线性规划问题一、知识点1. 目标函数: Ｐ＝２ｘ＋ｙ是一个含有两个变量ｘ和ｙ的函数，称为目标函数．2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域.3. 整点:坐标为整数的点叫做整点．4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题．只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划．二、疑难知识导析线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科.主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.1.对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．2.确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域．若直线不过原点，通常选择原点代入检验． 3. 平移直线ｙ＝－kｘ＋Ｐ时，直线必须经过可行域．4.对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．5.简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.积储知识：一．1.点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上，则点P坐标适合方程，即Ax0+By0+C=02. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），则当B>0时，Ax0+By0+C>0;当B0时，Ax0+By0+C0 注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同,（2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反,即：1.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax1+By1+C）( Ax2+By2+C)>02.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线Ax+By+C=0的两侧，则有（Ax1+By1+C）( Ax2+By2+C)①二元一次不等式Ax+By+C>0（或②二元一次不等式Ax+By+C≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线. 三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法: 方法一:取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地, 当C≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。
不等式简单的线性规划问题线性规划的实际应用
目标函数的线性规划
二维线性规划问题的概念
二维不等式线性规划问题是指具有两个决策变量和一组不等式约束条件的线性规划问题。
二维线性规划问题的求解方法
求解二维不等式线性规划问题通常采用图解法和单纯形法。
二维不等式线性规划问题
多维不等式线性规划问题
多维不等式线性规划问题是指具有多个决策变量和一组不等式约束条件的线性规划问题。
详细描述
运输问题优化在实际应用中需要考虑多个因素，如运输方式、运输距离、运输成本、运输时间等。通过不等式简单的线性规划方法，我们可以得到最优的运输计划方案，实现运输成本和时间的最佳组合。
运输问题的优化案例
资源分配问题优化是一种解决资源利用和分配问题的技术，通过合理的资源分配计划，企业可以实现资源的最大化利用和经济效益的最大化。
总结词
线性规划可以确定最经济的生产计划，通过对生产计划中的各种因素进行限制和优化，可以最大化企业的利润或最小化成本。
详细描述
生产计划优化
运输问题是企业物流管理的重要环节，线性规划可以用来优化运输计划，提高物流效率和降低成本。
线性规划可以确定最经济的运输计划，通过对运输路线、运输量、运输成本等因素进行限制和优化，可以最大化运输效率并降低运输成本。
要点一
要点二
详细描述
人员安排问题优化在实际应用中需要考虑多个因素，如人员素质、工作经验、工作能力、岗位需求等。通过不等式简单的线性规划方法，我们可以得到最优的人员安排计划方案，实现人力资源的最大化和员工工作效率的最大化。
人员安排问题的优化案例
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应用场景的特定约束条件的定义
应用场景的特定约束条件对线性规划的影响
处理应用场景的特定约束条件的方法
图解法求解简单线性规划问题
y x=1
C
在该平面区域上
问题 1：ｘ有无最大(小)值？ 问题２：ｙ有无最大(小)值？ 问题３：2ｘ+ｙ有无最大(小)值？
B
o
A
第2页/共10页
x-4y=-3
3x+5y=25
x
设z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ满足下列条件
求ｚ的最大值和最小值。
y x=1
x-4y≤-3 3x+5y≤25，
可行域：所有可行解组成的集合。 最优解：使目标函数达到最大值
y
或 最小值 的可 行 解。
C
设Z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ
x-4y≤-3
满足下列条件 3x+5y≤25 ，
B
x≥1
o
x-4y=-3
Ａ
3x+5y=25
x
求ｚ的最大值和最小值。 第5页－3
例1：设z＝2x－y,式中变量x、y满足下列条件 3x+5y≤25
x≥1
C
B
o
x-4y=-3
Ａ
3x+5y=25
x
第3页/共10页
x-4y≤-3
设z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ满足下列条件 3x+5y≤25 ，
求ｚ的最大值和最小值。
x≥1
问题 1: 将z＝2ｘ+ｙ变形?
ｙ＝-2ｘ+ z
问题 2: z几何意义是__斜__率__为__-2_的__直__线__在__y_轴__上__的__截__距___。
有关概念
约束条件：由ｘ、ｙ的不等式（方程）构成的不等式组。
线性约束条件：约束条件中均为关于x、y的一次不等式或方程。
简单的线性规划问题
简单的线性规划问题例1：求z =3x +5y 的最大值和最小值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤+.35,1,1535y x x y y x解：不等式组所表示的平面区域如图所示：例2：若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1x ＋y ≥0x －y －2≤0，求目标函数z ＝x －2y 的最大值[解析] 先作出可行域如图．作直线x －2y ＝0在可行域内平移，当x －2y －z ＝0在y 轴上的截距最小时z 值最大．当移至A (1，－1)时，z max ＝1－2×(－1)＝3，1.在平面直角坐标系中，若点(3t －2，t )在直线x －2y ＋4＝0的下方，则t 的取值范围是( C)A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(0,2) [解析] ∵点O (0,0)使x －2y ＋4>0成立，且点O 在直线下方，故点(3t －2，t )在直线x －2y ＋4＝0的下方⇔3t －2－2t ＋4>0，∴t >－2.[点评] 可用B 值判断法来求解，若B>0，令d ＝B (Ax 0＋By 0＋C )，则d >0⇔点P (x 0，y 0)在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方；d <0⇔点P (x 0，y 0)在直线Ax ＋By ＋C ＝0的下方．2．设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，则z ＝2x ＋y的最大值为( C )A ．－2B ．4C ．6D ．8 [解析]⎩⎪y≥1，最大值为( C )A．－1 B．0 C．3 D．4[解析]作出可行域如图，作直线l0：2x－y＝0，平移l0当平移到经过点A(2,1)时，z max＝3.⎩⎪x －3y ＋4≤0，＝3x －y 的最大值为( D )A ．－4 B ．0 C.43D ．4[解析]该线性约束条件所代表的平面区域如图，易解得A (1,3)，B (1，53)，C (2,2)，由z ＝3x －y 得y ＝3x －z ，由图可知当x ＝2，y ＝2时，z 取得最大值，即z 最大＝3×2－2＝4.故选D.5．已知x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，y －x ≥0，x ≥0.目标函数z ＝ax ＋y只在点(1,1)处取最小值，则有( D ) A．a>1 B．a>－1 C．a<1D．a<－1[解析]作出可行域如图阴影部分所示．由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z.只在点(1,1)处z取得最小值，则斜率－a>1，故a<－1，故选D.6．已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0，若目标函数z ＝x ＋ay (a ≥0)恰好在点(2,2)处取得最大值，则a 的取值范围为( C )A ．0<a <13B ．a ≥13C ．a >13D ．0<a <12[解析] 作出可行域如图，∵目标函数z ＝x ＋ay 恰好在点A (2,2)处取得最大值，故－1a>－3，∴a >13.★7.若2x ＋4y <4，则点(x ，y )必在( D )A ．直线x ＋y －2＝0的左下方B ．直线x ＋y －2＝0的右上方C ．直线x ＋2y －2＝0的右上方D ．直线x ＋2y －2＝0的左下方 [解析] ∵2x ＋4y ≥22x ＋2y ，由条件2x ＋4y <4知， 22x ＋2y <4，∴x ＋2y <2，即x ＋2y －2<0，故选D.★8．设O 为坐标原点，点M 的坐标为(2,1)，若点N (x ，y )满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，2x ＋y －12≤0，x ≥1，则使OM →·ON →取得最大值的点N 的个数是( D )A ．1 B ．2 C ．3D ．无数个[分析] 点N (x ，y )在不等式表示的平面区域之内，U ＝OM →·ON →为x ，y 的一次表达式，则问题即是当点N 在平面区域内变化时，求U 取到最大值时，点N 的个数．[解析] 如图所示，可行域为图中阴影部分，而OM →·ON →＝2x ＋y ，所以目标函数为z ＝2x ＋y ，作出直线l ：2x ＋y ＝0，显然它与直线2x ＋y －12＝0平行，平移直线l 到直线2x ＋y －12＝0的位置时目标函数取得最大值，故2x ＋y －12＝0上每一点都能使目标函数取得最大值，故选D.9．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤3，x ＋2y －2≥0，所表示的平面区域为S ，若A 、B为区域S 内的两个动点，则|AB |的最大值为(B)A ．25 B.13 C ．3 D. 5[解析] 在直角坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形观察不难得知，位于该平面区域内的两个动点中，其间的距离最远的两个点是(0,3)与(2,0)，因此|AB |的最大值是13，选B.10.若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( B )A ．－1 B ．1 C.32D ．2[解析] 本题考查了不等式组所表示的平面区域及数形结合思想解决问题的能力．由约束条件作出其可行域，如图由图可知当直线x ＝m 过点P 时，m 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y －3＝0，得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，∴P (1,2)，此时x ＝m ＝1.[点评] 对于可行域中含有参数的情形，不妨先取特殊值来帮助分析思路．★11.设实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧4x －y －10≤0，x －2y ＋8≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为12，则2a ＋3b 的最小值为(A) A.256 B.83 C.113D ．4[解析] 由可行域可得，当x ＝4，y ＝6时，目标函数z ＝ax ＋by 取得最大值，∴4a ＋6b ＝12，即a 3＋b2＝1，∴2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·(a 3＋b 2)＝136＋b a ＋a b ≥136＋2＝256，故选A.12．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥0，y ≤4.表示的平面区域为D ，若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是( D )A ．(0,1) B ．(1,2) C ．[2,4] D ．[2，＋∞)[解析] 作出可行区域，如图，由题可知点(2，a 2)应在点(2,4)的上方或与其重合，故a 2≥4，∴a ≥2或a ≤－2，又a >0且a ≠1，∴a ≥2.★13．在坐标平面上，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≤－3|x |＋1，所表示的平面区域的面积为( B ) A. 2 B.32 C.322D ．2[解析] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≤－3|x |＋1，的图形如图．解得：A (0,1) D (0，－1) B (－1，－2) C (12，－12)S △ABC ＝12×|AD |×|x C －x B |＝12×2×(12＋1)＝32，故选B.★14．已知动点P (x ，y )在正六边形的阴影部分(含边界)内运动，如图，正六边形边长为2，若使目标函数z ＝kx ＋y (k >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则k 值为(A) A. 3 B.32C. 2 D ．4[解析] 由题可知，当x ＝0时，z ＝kx ＋y ＝y ，因此要使目标函数z ＝kx ＋y (k >0)取得最大值，则相应直线经过题中的平面区域内的点时，相应直线在y 轴上的截距最大．由目标函数z ＝kx ＋y (k >0)取得最大值的最优解有无穷多个，结合图形分析可知，直线kx ＋y ＝0的倾斜角为120°，于是有－k ＝tan120°＝－3，k ＝3，选A.★15．在直角坐标系xOy中，已知△AOB的三边所在直线的方程分别为x＝0，y＝0,2x＋3y＝30，则△AOB内部和边上整点(即坐标均为整数的点)的总数为( B )A．95 B．91 C．88 D．75 [解析]由2x＋3y＝30知，y＝0时，0≤x≤15，有16个；y＝1时，0≤x≤13；y＝2时，0≤x≤12；y＝3时，0≤x≤10；y＝4时，0≤x≤9；y＝5时，0≤x≤7；y＝6时，0≤x≤6；y＝7时，0≤x≤4；y＝8时，0≤x≤3；y＝9时，0≤x≤1，y＝10时，x＝0.∴共有16＋14＋13＋11＋10＋8＋7＋5＋4＋2＋1＝91个．16．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，y ≥－x ，x ≤a ，表示的平面区域S 的面积为4，点P (x ，y )∈S ，则z ＝2x ＋y 的最大值为___6_____．[解析]由题意知⎩⎪⎨⎪⎧12a a ＝4，a >0，∴a ＝2，易得z ＝2x＋y 的最大值为6.★17.若由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤my ＋n ，x －3y ≥0，y ≥0，(n >0)确定的平面区域的边界为三角形，且它的外接圆的圆心在x 轴上，则实数m ＝__－33.[解析] 根据题意，三角形的外接圆圆心在x 轴上， ∴OA 为外接圆的直径，∴直线x ＝my ＋n 与x －3y ＝0垂直， ∴1m ×13＝－1，即m ＝－33.18．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≥1，3x －y ≤3，则目标函数z ＝4x＋y 的最大值为_11_____[解析]如图，满足条件的可行域为三角形区域(图中阴影部分)，故z ＝4x ＋y 在P (2,3)处取得最大值，最大值为11.19．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：22(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为___15_____(百万元)．[解析] 设需购买A 矿石x 万吨，B 矿石y 万吨，则根据题意得到约束条件为：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，0.5x ＋0.7y ≥1.9，x ＋0.5y ≤2，目标函数为z ＝3x ＋6y ，当目标函数经过(1,2)点时目标函数取得最小值，最小值为：z min ＝3×1＋6×2＝15.1百吨需要资金2百万元，需场地2百平方米，可获利润3百万元；投资生产B 产品时，每生产1百米需要资金3百万元，需场地1百平方米，可获利润2百万元．现该单位有可使用资金14百万元，场地9百平方米，如果利用这些资金和场地用来生产A 、B 两种产品，那么分别生产A 、B 两种产品各多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？[解析] 设生产A 产品x 百吨，生产B 产品y 百米，共获得利润S 百万元，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤14，2x ＋y ≤9，x ≥0，y ≥0，目标函数为S ＝3x ＋2y.作出可行域如图，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝9，2x ＋3y ＝14，解得直线2x ＋y ＝9和2x ＋3y ＝14的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫134，52，平移直线y ＝－32x ＋S2，当它经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫134，52时，直线y ＝－32x ＋S 2在y 轴上截距S 2最大，S 也最大．此时，S ＝3×134＋2×52＝14.75.因此，生产A 产品3.25百吨，生产B 产品2.5百米，可获得最大利润，最大利润为1475万元★21.北京某商厦计划同时出售新款空调和洗衣机，由于这两种产品的市场需求量大，供不应求，因此该商厦要根据实际情况（如成本、工资）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大，通过调查，得到这两种产品的有关数据如下表：试问：怎样确定两种产品的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润刘多少？正解：设空调、洗衣机的月供应量分别为x 、y ，总利润是p ，那么满足条件： .9600,942223023960)2(3)23(31:8226386)22()3()2()23(2220:)2()5(30230:)1()4(86)3(0,0)2(110105)1(3002030元的最大值是时即当此时当且仅当解之得得由得由p y x y x y x p y x y x p n m n m n m yx y n m x n m y x n y x m p y x y x yx p y x y x y x ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=+=+≤≤∴+++=∴⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=+=+∴+=++++++=≤+≤≤+≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=≥≥≤+≤+10．某公司准备进行两种组合投资，稳健型组合投资每份由金融投资20万元，房地产投资30万元组成；进取型组合投资每份由金融投资40万元，房地产投资30万元组成．已知每份稳健型组合投资每年可获利10万元，每份进取型组合投资每年可获利15万元．若可作投资用的资金中，金融投资不超过160万元，房地产投资不超过180万元，那么这两种组合投资各应注入多少份，才能使一年获利总额最多？[解析] 设稳健型投资x 份，进取型投资y 份，利润总额为z (单位：10万元，则目标函数为z ＝x ＋1.5y (单位：10万元)，线性约束条件为：⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋40y ≤160，30x ＋30y ≤180，x ≥0，y x ∈N ，y ∈N，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，x ＋y ≤6，x ≥0，y x ∈N ，y ∈N，作出可行域如图，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝8，x ＋y ＝6，得交点M (4,2)，作直线l 0：x ＋1.5y ＝0，平移l 0，当平移后的直线过点M 时，z 取最大值：z max ＝(4＋3)×10万元＝70万元．答：稳健型投资4份，进取型投资2份，才能使一年获利总额最多.(理)(2012·辽宁文，9)设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤10，0≤x ＋y ≤20，0≤y ≤15，则2x ＋3y 的最大值为( )A ．20B ．35C ．45D ．55[答案] D[解析] 本题考查线性规划的知识． 作出可行域如图所示：令z ＝2x ＋3y ，则y ＝－23x ＋13z .要使z 取得最大值，需直线y ＝－23x ＋13z 在y 轴上的截距最大，移动l 0：y ＝－23x当l 0过点C (5,15)时，z 取最大值z max ＝55.解线性规划问题，准确作出可行域是关键，同时还要注意目标函数z ＝2x ＋3y 与z ＝2x －3y 最优解是不同的．13．(文)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3t ，B 原料2t ；生产每吨乙产品要用A 原料1t ，B 原料3t ，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13t ，B 原料不超过18t.那么该企业可获得最大利润是( )A ．12万元B ．20万元C ．25万元D ．27万元[答案] D[解析] 设生产甲、乙两种产品分别为x t ，y t ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，x ≥0，y ≥0，获利润ω＝5x ＋3y ，画出可行域如图，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝13，2x ＋3y ＝18，解得A (3,4)．∵－3<－53<－23，∴当直线5x ＋3y ＝ω经过A 点时，ωmax ＝27.(理)(2011·四川文，10)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10t 的甲型卡车和7辆载重量为6t 的乙型卡车，某天需送往A 地至少72t 的货物，派用的每辆车需载满且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人；运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用甲乙卡车的车辆数，可得最大利润z ＝( )A ．4650元B ．4700元C ．4900元D ．5000元[答案] C[解析] 设该公司派甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋6y ≥72，2x ＋y ≤19，x ＋y ≤12，0≤x ≤8，x ∈N 0≤y ≤7，y ∈N利润z ＝450x ＋350y ，可行域如图所示．解⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝19，x ＋y ＝12，得A (7,5)．当直线350y ＋450x ＝z 过A (7,5)时z 取最大值， ∴z max ＝450×7＋350×5＝4900(元)．故选C. ．(理)某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多0.25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率少0.05.(1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P 甲，P 乙；(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x ，y 分别表示生产甲、乙产品的数量，在(1)的条件下，求x ，y 为何值时，z ＝xP 甲＋yP 乙最大，最大值是多少？[解析] (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧P 甲－P 乙＝0.251－P 甲＝P 乙－0.05，解得⎩⎪⎨⎪⎧P 甲＝0.65，P 乙＝0.4，故甲产品为一等品的概率P 甲＝0.65，乙产品为一等品的概率P 乙＝0.4.(2)依题意得x 、y 应满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋8y ≤32，20x ＋5y ≤55，x ≥0，y ≥0，且z ＝0.65x ＋0.4y .作出以上不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分)，即可行域．作直线l ：0.65x ＋0.4y ＝0即13x ＋8y ＝0，把直线l 向上方平移到l 1的位置时，直线经过可行域内的点M ，且l 1与原点的距离最大，此时z 取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝8，4x ＋y ＝11，得x ＝2，y ＝3.故M 的坐标为(2,3)，所以z 的最大值为z max ＝0.65×2＋0.4×3＝2.5.16．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5min ，生产一个骑兵需7min ，生产一个伞兵需4min ，已知总生产时间不超过10h.若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润W (元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？[解析] (1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ， 所以利润W ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300. (2)约束条件为：⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋－x －y ，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x ∈Z ，y ∈Z .整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x ∈Z ，y ∈Z .目标函数为W ＝2x ＋3y ＋300， 如图所示，作出可行域．初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移初始直线经过点A 时，W 有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50.最优解为A (50,50)，所以W max ＝550(元)．答：每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，为550元．2．已知a ，b ∈R ＋，a ＋b ＝1，M ＝2a ＋2b ，则M 的整数部分是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] B[解析] ∵a ，b ∈R ＋，a ＋b ＝1，∴0<a <1，设t ＝2a ，则t ∈(1,2)，M ＝2a＋2b＝2a＋21－a＝t ＋2t≥22，等号在t ＝2时成立，又t ＝1或2时，M ＝3，∴22≤M <3，故选B.3．(2011·湖北高考)直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20，表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个[答案] B[解析] 直线2x ＋y －10＝0与不等式组表示的平面区域的位置关系如图所示，故直线与此区域的公共点只有1个，选B.4．(2011·黄山期末)设二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19≥0，x －y ＋8≥0，2x ＋y －14≤0，所表示的平面区域为M ，使函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是( )A ．[1,3]B ．[2，10]C ．[2,9]D ．[10，9][答案] C[解析] 作出不等式表示的平面区域如图，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －19＝0，x －y ＋8＝0，得A (1,9)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －19＝0，2x ＋y －14＝0，得B (3,8)，当函数y ＝a x 过点A 时，a ＝9，过点B 时，a ＝2，∴要使y ＝a x 的图象经过区域M ，应有2≤a ≤9.5．(2012·河南洛阳市模拟)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥3x ，x ＋ay ≤7，其中a >1，若目标函数z ＝x ＋y 的最大值为4，则a的值为________．[答案] 2[解析]作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．∵y ＝－x ＋z ，∴欲使z 最大，只需使直线y ＝－x ＋z 的纵截距最大，∵a >1，∴直线x ＋ay ＝7的斜率大于－1，故当直线y ＝－x ＋z 经过直线y ＝3x 与直线x ＋ay ＝7的交点(71＋3a ，211＋3a)时，目标函数z 取得最大值，最大值为281＋3a .由题意得281＋3a＝4，解得a ＝2. 6．(2012·太原部分重点中学联考)设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －1≥0，2x －y －6≤0，x ＋y －k －2≥0，且x 2＋y 2的最小值为m ，当9≤m ≤25时，实数k 的取值范围是( )A ．(17－2,5)B ．[17－2,5]C ．(17－2,5]D ．(0,5][答案] B[解析]不等式组表示的可行域如图中的阴影部分，x 2＋y 2的最小值m 即为|OA |2，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －1＝0x ＋y －k －2＝0，得A (k ＋32，k ＋12)．由题知9≤(k ＋32)2＋(k ＋12)2≤25，解得17－2≤k ≤5.作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分．作出直线2x ＋y＝0，平移该直线，当平移到经过平面区域内的点(3,0)时，相应的直线在x 轴上的截距最大，此时z ＝2x ＋y 取得最大值，最大值是6，故选C.8．某人有楼房一幢，室内面积共计180m 2，拟分隔成两类房间作为旅游客房．大房间每间面积18m 2，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积15m 2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元．如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？[解析] 设隔出大房间x 间，小房间y 间时收益为z 元，则x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ 18x ＋15y ≤180，1000x ＋600y ≤8000，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈Z ，且z ＝200x ＋150y . 约束条件可化简为：⎩⎪⎨⎪⎧ 6x ＋5y ≤60，5x ＋3y ≤40，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈Z .可行域为如图所示的阴影部分(含边界)作直线l ：200x ＋150y ＝0，即直线l ：4x ＋3y ＝0把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过点B ，且与原点的距离最大，此时z ＝200x ＋150y 取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 6x ＋5y ＝60，5x ＋3y ＝40，得到B (207，607)． 由于点B 的坐标不是整数，而最优解(x ，y )中的x ，y 必须都是整数，所以，可行域内的点B (207，607)不是最优解，通过检验，当经过的整点是(0,12)和(3,8)时，z 取最大值1800元．于是，隔出小房间12间，或大房间3间、小房间8间，可以获得最大收益．[点评] 当所求解问题的结果是整数，而最优解不是整数时，可取最优解附近的整点检验，找出符合题意的整数最优解．。
(完整版)简单的线性规划问题(附答案)
简单的线性规划问题[学习目标] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．知识点一 线性规划中的基本概念知识点二 线性规划问题 1．目标函数的最值线性目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)对应的斜截式直线方程是y ＝－a b x ＋z b ，在y 轴上的截距是zb ，当z 变化时，方程表示一组互相平行的直线．当b >0，截距最大时，z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值； 当b <0，截距最大时，z 取得最小值，截距最小时，z 取得最大值． 2．解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即，(1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解．(3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值． (4)答：写出答案．知识点三 简单线性规划问题的实际应用 1．线性规划的实际问题的类型(1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小． 常见问题有： ①物资调动问题例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？ ②产品安排问题例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A 、B 、C 三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？ ③下料问题例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？ 2．解答线性规划实际应用题的步骤(1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．(2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．(3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．题型一 求线性目标函数的最值例1 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．12B ．11C ．3D ．－1答案 B解析 首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y ＝－3x ＋z 经过点A 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2，x －y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，此时z ＝3x ＋y ＝11.跟踪训练1 (1)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为( ) A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1(2)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＋2y －8≤0，x ≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为________．答案 (1)D (2)1解析 (1)如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2； 当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.(2)由题意，作出约束条件组成的可行域如图所示，当目标函数z ＝3x ＋y ，即y ＝－3x ＋z 过点(0,1)时z 取最小值1.题型二 非线性目标函数的最值问题例2 设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，求(1)x 2＋y 2的最小值； (2)yx的最大值． 解 如图，画出不等式组表示的平面区域ABC ，(1)令u ＝x 2＋y 2，其几何意义是可行域ABC 内任一点(x ，y )与原点的距离的平方．过原点向直线x ＋2y －4＝0作垂线y ＝2x ，则垂足为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，y ＝2x 的解，即⎝⎛⎭⎫45，85， 又由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2y －3＝0，得C ⎝⎛⎭⎫1，32， 所以垂足在线段AC 的延长线上，故可行域内的点到原点的距离的最小值为|OC |＝ 1＋⎝⎛⎭⎫322＝132， 所以，x 2＋y 2的最小值为134.(2)令v ＝yx ，其几何意义是可行域ABC 内任一点(x ，y )与原点相连的直线l 的斜率为v ，即v＝y －0x －0.由图形可知，当直线l 经过可行域内点C 时，v 最大， 由(1)知C ⎝⎛⎭⎫1，32， 所以v max ＝32，所以y x 的最大值为32.跟踪训练2 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1，则(x ＋3)2＋y 2的最小值为________．答案 10解析 画出可行域(如图所示)．(x ＋3)2＋y 2即点A (－3,0)与可行域内点(x ，y )之间距离的平方．显然AC 长度最小，∴AC 2＝(0＋3)2＋(1－0)2＝10，即(x ＋3)2＋y 2的最小值为10. 题型三 线性规划的实际应用例3 某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A ，B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？解 设每天分别生产甲产品x 桶，乙产品y 桶，相应的利润为z 元，于是有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，z ＝300x ＋400y ，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x ＋400y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(4,4)时，相应直线在y 轴上的截距达到最大，此时z ＝300x ＋400y 取得最大值， 最大值是z ＝300×4＋400×4＝2 800， 即该公司可获得的最大利润是2 800元．反思与感悟 线性规划解决实际问题的步骤：①分析并根据已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数(直线)求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解．跟踪训练3 预算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才行？解 设桌子、椅子分别买x 张、y 把，目标函数z ＝x ＋y ， 把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋20y ≤2 000，y ≥x ，y ≤1.5x ，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.由⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋20y ＝2 000，y ＝x ，解得⎩⎨⎧x ＝2007，y ＝2007，所以A 点的坐标为⎝⎛⎭⎫2007，2007.由⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋20y ＝2 000，y ＝1.5x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝752，所以B 点的坐标为⎝⎛⎭⎫25，752. 所以满足条件的可行域是以A ⎝⎛⎭⎫2007，2007，B ⎝⎛⎭⎫25，752， O (0,0)为顶点的三角形区域(如图)．由图形可知，目标函数z ＝x ＋y 在可行域内的最优解为B ⎝⎛⎭⎫25，752， 但注意到x ∈N *，y ∈N *，故取⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝37.故买桌子25张，椅子37把是最好的选择．1．若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A ．－1B ．1 C.32D ．22．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ≥－22，2x ＋3y ≥9，2x ≤11，x ∈N *，y ∈N *，则z＝10x ＋10y 的最大值是( ) A ．80 B ．85 C ．90 D ．953．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ≤1，x ＋y ≥1，则z ＝x 2＋y 2的最小值为________．一、选择题1．若点(x, y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域， 则2x －y 的最小值为( ) A ．－6 B ．－2 C ．0 D ．22．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为( )A ．－4B ．0 C.43 D ．43．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥0，x －y ≥0，则z ＝y －1x的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．(－∞，0]C ．[－1，＋∞)D ．[－1,1)4．若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a 的整点(x ，y )(整点是指横、纵坐标都是整数的点)恰有9个，则整数a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．05．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤4，x ＋by ＋c ≤0，目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为7，最小值为1，则b ，c的值分别为( ) A ．－1,4 B ．－1，－3 C ．－2，－1 D ．－1，－26．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥5，x －y ＋5≥0，x ≤3，使z ＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为( )A ．－3B ．3C ．－1D ．1二、填空题7．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，y ≤2，x ＋y ≥2，则z ＝x ＋2y 的取值范围是________．8．已知－1≤x ＋y ≤4且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(答案用区间表示)．9．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y给定．若M (x ，y )为D上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为________．10．满足|x |＋|y |≤2的点(x ，y )中整点(横纵坐标都是整数)有________个．11．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________．三、解答题12．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，目标函数z ＝2x －y ，求z 的最大值和最小值．13．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，求a 的取值范围．14．某家具厂有方木料90 m 3，五合板600 m 2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m 3，五合板2 m 2，生产每个书橱需要方木料0.2 m 3，五合板1 m 2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元． (1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？ (2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？ (3)怎样安排生产可使所得利润最大？当堂检测答案1．答案 B 解析 如图，当y ＝2x 经过且只经过x ＋y －3＝0和x ＝m 的交点时，m 取到最大值，此时，即(m,2m )在直线x ＋y －3＝0上，则m ＝1. 2．答案 C解析 该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由于x ，y ∈N *，计算区域内与⎝⎛⎭⎫112，92最近的点为(5,4)，故当x ＝5，y ＝4时，z 取得最大值为90.3．答案 12解析实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，则z 的最小值为原点到直线AB 的距离的平方， 故z min ＝⎝⎛⎭⎫122＝12.课时精练答案一、选择题 1．答案 A解析 画出可行域，如图所示，解得A (－2,2)，设z ＝2x －y ，把z ＝2x －y 变形为y ＝2x －z ， 则直线经过点A 时z 取得最小值； 所以z min ＝2×(－2)－2＝－6，故选A. 2．答案 D解析 作出可行域，如图所示．联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －4＝0，x －3y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.当目标函数z ＝3x －y 移到(2,2)时，z ＝3x －y 有最大值4. 3．答案 D解析 作出可行域，如图所示，y －1x的几何意义是点(x ，y )与点(0,1)连线l 的斜率，当直线l 过B (1,0)时k l 最小，最小为－1.又直线l 不能与直线x －y ＝0平行，∴k l ＜1.综上，k ∈[－1,1)．4．答案 C 解析不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，当a ＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)．当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)5个整点．故选C. 5．答案 D解析 由题意知，直线x ＋by ＋c ＝0经过直线2x ＋y ＝7与直线x ＋y ＝4的交点，且经过直线2x ＋y ＝1和直线x ＝1的交点，即经过点(3,1)和点(1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋b ＋c ＝0，1－b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝－2.6．答案 D解析 如图，作出可行域，作直线l ：x ＋ay ＝0，要使目标函数z ＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x ＋y ＝5重合，故a ＝1，选D.二、填空题 7．答案 [2,6]解析 如图，作出可行域，作直线l ：x ＋2y ＝0，将l 向右上方平移，过点A (2,0)时，有最小值2，过点B (2,2)时，有最大值6，故z 的取值范围为[2,6]．8．答案 [3,8] 解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋y ≤4，2≤x －y ≤3表示的可行域，如图中阴影部分所示．在可行域内平移直线2x －3y ＝0，当直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的交点A (3,1)时，目标函数有最小值z min ＝2×3－3×1＝3； 当直线经过x ＋y ＝－1与x －y ＝3的交点B (1，－2)时，目标函数有最大值z max ＝2×1＋3×2＝8.所以z ∈[3,8]． 9．答案 4解析 由线性约束条件⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)代入z ＝2x ＋y ，得z 的最大值为4.10．答案 13解析 |x |＋|y |≤2可化为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2 (x ≥0，y ≥0)，x －y ≤2 (x ≥0，y ＜0)，－x ＋y ≤2 (x ＜0，y ≥0)，－x －y ≤2 (x ＜0，y ＜0)，作出可行域为如图正方形内部(包括边界)，容易得到整点个数为13个． 11．答案 21解析 作出可行域(如图)，即△ABC 所围区域(包括边界)，其顶点为A (1,3)，B (7,9)，C (3,1)方法一 ∵可行域内的点都在直线x ＋2y －4＝0上方， ∴x ＋2y －4＞0，则目标函数等价于z ＝x ＋2y －4，易得当直线z ＝x ＋2y －4在点B (7,9)处，目标函数取得最大值z max ＝21. 方法二 z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5·5， 令P (x ，y )为可行域内一动点，定直线x ＋2y －4＝0， 则z ＝5d ，其中d 为P (x ，y )到直线x ＋2y －4＝0的距离． 由图可知，区域内的点B 与直线的距离最大， 故d 的最大值为|7＋2×9－4|5＝215.故目标函数z max ＝215·5＝21. 三、解答题12．解 z ＝2x －y 可化为y ＝2x －z ，z 的几何意义是直线在y 轴上的截距的相反数，故当z 取得最大值和最小值时，应是直线在y 轴上分别取得最小和最大截距的时候．作一组与l 0：2x －y ＝0平行的直线系l ，经上下平移，可得：当l 移动到l 1，即经过点A (5,2)时，z max ＝2×5－2＝8.当l 移动到l 2，即过点C (1,4.4)时，z min ＝2×1－4.4＝－2.4.13．解 先画出可行域，如图所示，y ＝a x 必须过图中阴影部分或其边界．∵A (2,9)，∴9＝a 2，∴a ＝3. ∵a ＞1，∴1＜a ≤3.14．解 由题意可画表格如下：(1)设只生产书桌x 张，可获得利润z 元， 则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ≤90，2x ≤600，z ＝80x ，x ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≤900，x ≤300，x ≥0⇒0≤x ≤300.所以当x ＝300时，z max ＝80×300＝24 000(元)，即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24 000元． (2)设只生产书橱y 个，可获得利润z 元， 则⎩⎪⎨⎪⎧0.2y ≤90，1·y ≤600，z ＝120y ，y ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧y ≤450，y ≤600，y ≥0⇒0≤y ≤450.所以当y ＝450时，z max ＝120×450＝54 000(元)，即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54 000元． (3)设生产书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z 元， 则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ＋0.2y ≤90，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤900，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0.z ＝80x ＋120y .在平面直角坐标系内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域(如图)．作直线l ：80x ＋120y ＝0，即直线l ：2x ＋3y ＝0.把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，此时z ＝80x ＋120y 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝900，2x ＋y ＝600， 解得，点M 的坐标为(100,400)． 所以当x ＝100，y ＝400时，z max ＝80×100＋120×400＝56 000(元)．因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大．。
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简单的线性规划问题一、内容分析线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出。
教科书利用生产安排的具体实例，介绍了线性规划问题的图解法，引出线性规划等的概念，最后举例说明了简单的二元线性规划在饮食营养搭配中的应用，突出体现了优化的思想．本节课为该单元的第3课时，主要内容是线性规划的相关概念和简单的线性规划问题的解法．重点是如何根据实际问题准确建立目标函数，并依据目标函数的几何含义运用数形结合方法求出最优解。
二、学情分析本节课学生在学习了不等式、直线方程的基础上，又通过实例，理解了平面区域的意义，并会画出平面区域，还能初步用数学关系式表示简单的二元线性规划的限制条件，将实际问题转化为数学问题. 从数学知识上看，问题涉及多个已知数据、多个字母变量，多个不等关系，从数学方法上看，学生对图解法的认识还很少，数形结合的思想方法的掌握还需时日，这都成了学生学习的困难．三、设计思想本课以问题为载体，以学生为主体，以数学实验为手段，以问题解决为目的，以几何画板作为平台，激发他们动手操作、观察思考、猜想探究的兴趣。
注重引导帮助学生充分体验“从实际问题到数学问题”的建构过程，“从具体到一般”的抽象思维过程，应用“数形结合”的思想方法，培养学生的学会分析问题、解决问题的能力。
四、教学目标1．了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等相关概念．了解线性规划模型的特征：一组决策变量（x，y）表示一个方案；约束条件是一次不等式组；目标函数是线性的，求目标函数的最大值或最小值．熟悉线性约束条件（不等式组）的几何表征是平面区域（可行域）．体会可行域与可行解、可行域与最优解、可行解与最优解的关系。
2．在实验探究的过程中，让学生体验数学活动充满着探索与创造，培养学生的数据分析能力、探索能力、合情推理能力及动手操作、勇于探索的精神。
3．在应用图解法解题的过程中,培养学生运用数形结合思想解题的能力和化归能力，体验数学来源于生活，服务于生活，体验数学在建设节约型社会中的作用。
五、教学重、难点求线性目标函数的最值问题是重点；从数学思想上看，学生对为什么要将求目标函数最值问题转化为经过可行域的直线在y轴上的截距的最值问题？以及如何想到要这样转化？存在一定疑虑及困难；教学应紧扣问题实际，通过突出知识的形成发展过程，引入数学实验来突破这一难点。
六、教学过程设计（一）引入（1）情景某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h.该产每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？请学生读题，引导阅读理解后，列表→建立数学关系式→画平面区域，学生就近既分工又合作，教师关注有多少学生写出了线性数学关系式，有多少学生画出了相应的平面区域，在巡视中并发现代表性的练习进行展示，强调这是同一事物的两种表达形式数与形.【问题情景使学生感到数学是自然的、有用的，学生已初步学会了建立线性规划模型的三个过程：列表 →建立数学关系式→ 画平面区域，可放手让学生去做，再次经历从实际问题中抽象出数学问题的过程，教师则在数据的分析整理、表格的设计上加以指导】 教师打开几何画板，作出平面区域. （2）问题师：进一步提出问题，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采 用哪种生产安排利润最大？学生不难列出函数关系式z=2x+3y.师：这是关于变量x ，y 的一次解析式，从函数的观点看x ，y 的变化引起z 的变化， 而y x 、是区域内的动点的坐标，对于每一组y x 、的值都有唯一的z 值与之对应，请算出几个z 的值. 填入课前发下的实验探究报告单中的第２—４列进行观察,看看你有什么发现？学生会选择比较好算的点，比如整点、边界点等.【学生思维的最近发现区是上节的相关知识，因此教师有目的引导学生利用几何直观解决问题，虽然这个过程计算比较繁琐，操作起来有难度，但是教学是一个过程，从中让学生体会科学探索的艰辛，这样引导出教科书给出的数形结合的合理性，也为引入信息技术埋下伏笔】 （二）实验教师打开画板，当堂作出图，在区域内任意取点，进行计算,请学生与自己的数据对比，继续在实验探究报告单上补充填写画板上的新数据.利润最大的实验探究报告单实验目的1． 求z=2x+3y 的最大值，使x ，y 满足约束条件2．理解用图解法求线性规划问题的最优解，体会数形结合的思想. 进行实验与收集数据(1)打开几何画板依次画出点、线构造平面区域。
(2)在区域内任取一点M ，度量横坐标及纵坐标，计算z=2x+3y 的值，并制表显示在屏幕上。
(3)拖动点M 在区域内运动，观察度量值z 的变化，猜想z 取得最大值时点M 的位置.同时请学生将有代表性的位置的数据记录在下表中的第２—5列：教师引导学生提出猜想：点M的坐标为（4，2）时， z=2x+3y取得最大值14.【在信息技术与课程整合过程中，为改变老师单机的演示学生被动观看的现状，让学生参与进来，老师（可以根据学生要求）操作，学生记录，共同提出猜想，在当前技术条件受限时不失为一个好方法】师：这有限次的实验得来的结论可靠吗？我们毕竟无法取遍所有点，因为区域内的点是无数的！况且没有计算机怎么办，数据复杂手工无法计算怎么办？因此，有必要寻找操作性强的可靠的求最优解的方法.【形成认知冲突，激发求知欲望，调整探究思路，寻找解决问题的新方法】继续观察实验报告单，聚焦每一行的点坐标和对应的度量值，比如M（3.2, 1.2）时方程是2x+3y=10，填写表中的第6—7列，引导学生先在点与直线之间建立起联系 ------点M的坐标是方程2x+3y=10的解，那么点M就应该在直线2x+3y=10上，反过来直线2x+3y=10经过点M，当然也就经过平面区域，所以点M的运动就可转化为直线的平移运动。
教师拖动直线并跟踪，学生看到直线平移时可以取遍区域内的所有点！这样我们的猜想就非常合乎情理了.然后顺利过渡到直线与平面区域之间的关系.师：由于我们可以将x，y所满足的条件用平面区域表示了，你能否也给利润z=2x+3y作出几何解释呢？学生很自然地联想到上面实验的结果，将等式z=2x+3y视为关于x，y的一次方程，它在几何上表示直线，当z取不同的值时可得到一族平行直线.请把你猜想1换一种说法：猜想与假设2_______________________________________________________ 直线z=2x+3y经过点（4，2）时，z=2x+3y取得最大值14.将直线z=2x+3y改写为y=-2x/3+z/3，这时你能把猜想2再换一种说法吗？此时水到渠成.猜想与假设3_______________________________________________________直线y=-2x/3+z/3经过点Ｍ时，在y轴上的截距最大，此时z=2x+3y取得最大值14.最后探究出“z=2x+3y最值问题可转化为经过可行域的直线y=-2x/3+z/3在y轴上的截距的最值问题”来解决，实现其图解的目的.【借助计算机技术用运动变化的方法，创设实验环境，形成多元联系，展示数学关系式、平面区域、表格等各种形态的表现形式，在数、图、表的关联中进行观察、分析，从而逐步帮助学生进行有层次的猜想，也为我们的研究提供一种方向，这是新课程积极倡导的合情推理】教师介绍线性规划、线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域和最优解等概念. (三)探究师：在上述问题中，若生产一件甲产品获利３万元，生产一件乙产品获利２万元，又应当如何安排生产才能获得最大的利润？再换几组数据试试（课本第100页），让学生“主动”更换数据，教师借助几何画板“被动”地进行操作演示，师生继续实验…，发现结论同样成立. 进一步发现目标函数直线的纵截距与z的最值之间的关系，有时并不是截距越大，z值越大.实验结论_______________________________________________________“目标函数的最值问题可转化直线z =2x+3y与平面区域有公共点时，在区域内找一个点M，使直线经过点M时在y轴上的截距最大”【从笔算到计算，从点到直线再到平面（区域），从一个函数到多个函数，从特殊到一般，从具体到抽象的认识过程，使学生经历数学知识形成、发现、发展的过程，获得问题的解决，这有助于培养学生的科学素养】（四）练习小结学生练习Ｐ104第1题.[及时检验学生利用图解法解线性规划问题的情况，练习目的：会用数形结合思想，将求z =2x+y的最大值转化为直线y =-2x+z与平面区域有公共点时，在区域内找一个点Ｍ，使直线经过点Ｍ时在y轴上的截距最小的问题，为节省时间，教师可预先画好平面区域，让学生把精力集中到求最优解的解决方案上]（五）实例展示（课本Ｐ100页例5饮食营养搭配）营养学家指出，成人良好的日常饮食至少应该提供0.075kg的碳水化合物， 0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪.1kg食物A含有0.105kg的碳水化合物，0.07kg的蛋白质，0.14kg的脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg的碳水化合物，0.14kg的蛋白质，0.07kg的脂肪，花费21元.为了满足营养学家的指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg?【一是使学生认识到现实生活中存在许多简单的二元线性规划问题，二是让学生经历完整的分析研究问题、制定解决问题的策略的过程，让学生全面参与课堂教学，完善知识结构体系】这里要关注平面区域本题是开放型的，而引例是封闭型的.（六）课后伸申师：在上述线性规划问题中，线性约束条件及线性目标函数是确定的，求最优解.这是问题的一方面，另一方面(1)若要求结果为整数呢？最优解是在哪？(2)若已知有唯一（或无数）最优解时，反过来确定线性约束条件或目标函数某些字母系数的取值（范围），又如何解决呢？（七）小结求最优解的一般步骤（板书）：(1)画线性约束条件所确定的平面区域；(2)取目标函数z=0,过原点作相应的直线；(3)平移该直线，观察确定区域内最优解的位置；(4)解有关方程组求出最优解，代入目标函数得最值.作业：Ｐ104页练习2，Ｐ106页习题3、4，Ｐ107页习题3.七、教学反思1．为了将学生从繁琐的数字计算和画区域图中解脱出来，将精力放在对最优解的理解和突出思想方法上，可根据下列不同的情况，设计教学条件，支持教学．(1)理想的实验应该是在网络环境的支持下完成的，教学之前，老师将积件传输到学生的计算机中，学生在单机的条件下自己动手操作．(2)在学生缺乏信息技术工具的条件下，教学和作业都应避免繁琐的计算，而把注意力放在“算理”上．2．在教育技术平台上进行师生互动“操盘”，改变单一的教师演示的模式，通过实时的动态模拟，实现数、图、表的多元联系，这初步体现了教学过程中教师、学生、内容、媒体四要素功能的转变，激发了学生探究的兴趣，提高了他们的实验、分析、探究能力，最终获得问题的解决。