测试精度分析part2 ppt课件

各种方法 均假设随 机误差呈 正态分布
Bessel法
估计最准
确
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第四节 算术平均值的标准偏差与合理 的测量次数
一、算术平均值的标准偏差 x
方差定义
n
(xi x)2
D(x)E(xE(x))2i1
2
n
n
x2D (x)D (i1 nxi)n 12i n1D (xi)n 12i n1
2 i
17
lim( n
xi
i1
n
nx0 ) n
ln i m (xx0)0
当 n 时x， x0
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第三节 标准偏差及其估计
一、标准偏差与测量数据的关系 等精度测量中：
n
(xi x0)2
i1
n
n
i2
i1
n
实际不可得： 无穷次测量 真值未知
n
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二、标准偏差（σ）的特征
σ越小，概率密度曲线越陡，随机误差分 布越集中
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三、标准偏差的意义
n
(xi x0)2
i1
n
n
i2
i1
n
σ反映等精度测量得到的一组数据相对于 真值的分散程度（精密度）
说明： 不是具体一个测量值的误差大小
但可认为同一等精度测量的值都属于同 样标准偏差的概率分布（称为“单次测 量的标准偏差”）
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四、单次测量的标准偏差估计
概念：残余误差（残差） vi xi x
• （What）
ˆ dn
xmaxxmin
• dn查表
• （How）n较小时（n〈5）精度还可以； n较大 时（n〉10）精度差
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最大误差法
• （Why）简单迅速估计出标准偏差的大小,适用于n=1 • （What）
1
ˆ
1 kn
max
• k n 查表
• （How）已知真差（绝对误差）。
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最大残差法
2
2
1
2
e 2 2
2
xx0
3
三、随机误差的特性 1.对称性 2.单值性 3.有界性 4.抵偿性
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第二节 算术平均值与真值
•原
理：
多次重复测量时，取全部测量数据的算术平均值
为测量结果（假设测量数据中只含有随机误差）
表述： xx1x2 nxnn1i n1xi x1, x2, … xn --- 测量数据
方法： 1. 贝塞尔（Bessel）法 2. 佩特斯（Peters）法 3. 极差法 4. 最大误差法 5. 最大残差法
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贝塞尔（Bessel）法
估计式：
n
(xi x)2
n
vi2
ˆ i1
i1
n1
n1
n
n
(xi x0)2
i2
i1
i1
n
n
当 n 时ˆ，
估计较准确，常用；n大时计算复杂
• （Why）简单迅速估计出标准偏差的大小 • （What）
ˆ Kn vmax
• K n 查表
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第四节 极限误差
只含随机误差的 据测 表量 达 xx(数 xM )x
极限误差同样可表示 测量数据的分散程度
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一、单次测量的极限误差 M
1. 区间 ,中出现随机误差的
正态分布的概 率密度函数：
f () 1 e222 2
残差代 数和为0
n
i
x
i1
n21
Peters 法
• （Why）为了避免Bessel公式中对残差乘方和 开方的运算（简化）。
• （What）
n
5n
1.2533 vi
ˆ
i1
4 i1 vi
n(n1) n(n1)
• （How）目前很少应用，但在判断系统误差时 有用。
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极差法
• （Why）简单迅速估计出标准偏差的大小
ma为 x 绝对误kn差 可， 查表
简单，n可以为1 代价高、有破坏性的试验中可用
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最大残差法
估计式： ˆ kn vmax
kn可查表，不要与最大差 误表混 计算简单
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四、单次测量的标准偏差估计
概念：残余误差（残差） vi xi x
方法：
1. 贝塞尔（Bessel）法 2. 佩特斯（Peters）法 3. 极差法 4. 最大误差法 5. 最大残差法
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佩特斯（Peters）法
估计式：
n
n
ˆ
vi
i1
5
vi
i1
2 n(n1) 4 n(n1)
不需计算残差平方根，运算简单，在 n大时适用
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极差法
极差
估计式： ˆwxmaxxmin
dn
dn
dn可查表
不需计算算术平均值，运算更简单， 在n<10时可使用
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最大误差法
估计式：
ˆ
1 kn
max
极限误差表征一定置信概率下的随机不确定度
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4. 给定置信概率P 求极限误差
原理 P： 1 e222d
2
变量代换 ：t
P 2
t t2
e 2dt
2 0
t~P关系
实际应用查表：P195附表一
30
步骤：
P 2
t t2
e 2dt2(t)
2 0
P2(t)
(t) 附表一 t
M
例1：要求P=90%时：t = ? t≈1.65
随机误 差 ,中 在的概率：
P 1 e222d
2 27
2. 单次测量的极限误差
M t
若无特殊说明，且 随机误差服从正态 分布，t默认为3
M 3
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3. 几个概念
t： 置信系数
[-tσ, tσ]： 置信区间
P： 置信概率
α＝1-P：
显著度 (危险系数)
（在置信区间中，置信 概率为P）
γ=n-1： 自由度
成正比
n过大，时间 增长，易引入 更多误差。
n取10次左右为好，不超过20。
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Bessel公式推导
n
i2
i1 ˆ
n
n
vi2
i1
n1
i xi x0
xi xxx0 记xx0 x 算术平均值的
vi x
求和
n
1
i1
n
v i n x i1
n
n
i vi
x
i1
n
i1 n
xi x
残(余)误差v i 绝对误差 i
xi 真值
v 0 性质：（1）残余误差的代数和等于零，即 算术平均值法可以滤除或减小随机误差 （2）残余误差的平方和为最小 v2min
最小二乘法基础
5
n
原因：why
i
由抵偿性，有
limi1 n n
0，其中 i xi x0
n
n
lim
n
i 1
(xi x0 ) n
x2
1 n2
n
i2
i1
等精度测量：
i
x2
12
n
x
n
讨论： n越多， x越小x越 ，接近真
但并非n越大越好
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二、合理的测量次数
例题：已知单次测量的标准偏 10mg
差 需要 x 4mg，求合n适的
解：
x
n
10 n
4
n(10)2 6.25 4
n7
答：至少测7次。19
n并非越大越好：
与
x
1 n
第二章 随机误差
主要内容 随机误差的正态分布及特性 标准偏差的意义、估计 算术平均值的标准偏差 极限误差 合理的测量次数
重点：标准偏差
1
第一节 随机误差与正态分布
一、随机误差发现条件
P9定义 条件：
等精度测量 多次重复测量 仪表有一定的分辨率和精度
2
二、正态分布
f ( )
1
e
(
xx 2
0 2
)