2017-2018学年高中数学参数方程三直线的参数方程检测(含解析)
三直线的参数方程
1．直线的参数方程
(1)过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为
x＝x0＋tcos α y＝y0＋t sin α
(t 为参数)
.
2 参数的几何意义 直线的参数方程中参数 t 的几何意义是：
直线上动点Ｍ到定点M0(x0，y0)的距离就是参数t的绝对值
当M→0M与 e(直线的单位方向向量)同向时，t 取 正数 ； 当M→0M与 e 反向时，t 取 负数 ；当点 M 与点 M0 重 合时，t 为 零 ．
【课后练习】
写出经过点 P(1，－5)，倾斜角是π3的直线参数方程， (1)利用这个参数方程求这条直线与直线 x－y－2 3＝0 的交点 与点 P 的距离， (2)求这条直线和圆 x2＋y2＝16 的两个交点与点 P 的距离之积．
解：直线的参数方程为xy＝＝－1＋5＋tcotssinπ3，π3，
即x＝1＋21t，
①
y＝－5＋
3 2 t.
将①代入直线方程 x－y－2 3＝0，
得 1＋12t＋5－ 23t－2 3＝0，解得 t＝4 3. 根据直线参数方程中参数 t 的几何意义知两条直线的交点与 P
点的距离为 4 3.
又将①代入圆的方程 x2＋y2＝16， 得1＋21t2＋－5＋ 23t2＝16， 即 t2＋(1－5 3)t＋10＝0，则 t1＋t2＝5 3－1， t1·t2＝10(t1，t2 为关于 t 的一元二次方程的两根)，从而直线和圆 的两交点与点 P 的距离之积为 10.
例 3．已知直线的参数方程为xy＝＝2－－14＋t 3t (t 为参数)，它与曲线
(y－2)2－x2＝1 交于 A，B 两点． (1)求|AB|的长； (2)求点 P(－1,2)到线段 AB 中点 C 的距离．
2017-2018年山东省济宁市高三上学期数学期末试卷(理科)与解析
2017-2018学年山东省济宁市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合A={x|x2﹣3x≤0}，B={x|y=lg（2﹣x）}，则A∩B=（）A．{x|0≤x＜2}B．{x|1≤x＜3}C．{x|2＜x≤3}D．{x|0＜x≤2}2．（5分）已知，，且，则m=（）A．﹣3B．﹣1C．1D．33．（5分）已知函数g（x）=log a（x﹣3）+2（a＞0，a≠1）的图象经过定点M，若幂函数f（x）=xα的图象过点M，则α的值等于（）A．﹣1B．C．2D．34．（5分）命题p：若a＜b，则∀c∈R，ac2＜bc2；命题q：∃x0＞0，使得lnx0=1﹣x0，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（¬q）C．（¬p）∧q D．（¬p）∧（¬q）5．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样的一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天其因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达了目的地，问此人第二天走的路程里数为（）A．76B．96C．146D．1886．（5分）已知实数x，y满足条件，则的最大值为（）A．B．﹣1C．1D．7．（5分）已知，，则=（）A．B．C．D．8．（5分）已知a＞0，b＞0，并且，，成等差数列，则a+9b的最小值为（）A．16B．9C．5D．49．（5分）函数y=﹣2cos2x+cosx+1，x∈[﹣，]的图象大致为（）A．B．C．D．10．（5分）“a=﹣1”是函数为奇函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件11．（5分）已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线与x轴的交点为E，线段EF被双曲线C2：的顶点三等分，且两曲线C1，C2的交点连线过曲线C1的焦点F，曲线C2的焦距为2，则曲线C2的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）设f（x）=|lnx|，若函数g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，e2）上有三个零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与抛物线C所围成的图形的面积等于．14．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到的图象对应的函数解析式为．15．（5分）某多面体的三视图，如图所示，则该几何体的外接球的表面积为．16．（5分）设函数，则方程f n （x）=0的根为．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）若b+c=5，，求a的值．18．（12分）已知S n为数列{a n}的前n项和，且3S n=1﹣a n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1=2，E，F分别是CC1，BC的中点．（1）若D是AA1的中点，求证：BD∥平面AEF；（2）若M是线段AE上的任意一点，求直线B1M与平面AEF所成角正弦的最大值．20．（12分）如图，点是圆内的一个定点，点P 是圆A上的任意一点，线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，当点P 在圆A上运动时，点Q的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）点E（2，0），F（0，1），直线QE与y轴交于点M，直线QF与x轴交于点N，求|EN|•|FM|的值．21．（12分）设函数f（x）=x+lnx﹣．（1）讨论函数f（x）的单词性；（2）当a=1时，记g（x）=xf（x），是否存在整数t，使得关于x的不等式t≥g （x）有解？若存在，请求出t的最小值；若不存在，请说明理由．22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程是ρcos2θ=2sinθ．（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，点M为AB的中点，点P的极坐标为，求|PM|的值．23．（10分）设函数f（x）=|x﹣a|+2x．（1）当a=﹣1时，求不等式f（x）≤0的解集；（2）若x≥﹣1时，恒有f（x）≥0成立，求a的取值范围．2017-2018学年山东省济宁市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合A={x|x2﹣3x≤0}，B={x|y=lg（2﹣x）}，则A∩B=（）A．{x|0≤x＜2}B．{x|1≤x＜3}C．{x|2＜x≤3}D．{x|0＜x≤2}【解答】解：A={x|x2﹣3x≤0}={x|0≤x≤3}，B={x|y=lg（2﹣x）}═{x|2﹣x＞0}={x|x＜2}，则A∩B={x|0≤x＜2}，故选：A．2．（5分）已知，，且，则m=（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【解答】解：∵，，∴﹣=（m+2，1），∵，∴=，即m+2=﹣1，得m=﹣3，故选：A．3．（5分）已知函数g（x）=log a（x﹣3）+2（a＞0，a≠1）的图象经过定点M，若幂函数f（x）=xα的图象过点M，则α的值等于（）A．﹣1B．C．2D．3【解答】解：∵y=log a（x﹣3）+2（a＞0，a≠1）的图象过定点M，∴M（4，2），∵点M（4，2）也在幂函数f（x）=xα的图象上，∴f（4）=4α=2，解得α=，故选：B．4．（5分）命题p：若a＜b，则∀c∈R，ac2＜bc2；命题q：∃x0＞0，使得lnx0=1﹣x0，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（¬q）C．（¬p）∧q D．（¬p）∧（¬q）【解答】解：当c=0时，ac2＜bc2不成立，则命题p为假命题，当x=1时，ln1=1﹣1=0，则命题q为真命题，则（¬p）∧q为真命题，其余为假命题，故选：C．5．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样的一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天其因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达了目的地，问此人第二天走的路程里数为（）A．76B．96C．146D．188【解答】解：根据题意，记每天走的路程里数为{a n}，可知{a n}是公比q=的等比数列，由S6=378，得S6==378，解可得a1=192，则a2=a1×q=192×=96；即此人第二天走的路程里数为96；故选：B．6．（5分）已知实数x，y满足条件，则的最大值为（）A．B．﹣1C．1D．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，设，即y=（）x+z，平移曲线y=（）x+z，由图象可知当曲线y=（）x+z经过点A时，此时z取得最大值，由，解得A（1，1），此时z=1﹣（）1=，故选：D．7．（5分）已知，，则=（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴，即．∵，∴．∴==．故选：A．8．（5分）已知a＞0，b＞0，并且，，成等差数列，则a+9b的最小值为（）A．16B．9C．5D．4【解答】解：根据题意，a＞0，b＞0，且，，成等差数列，则+=2×=1；则a+9b=（a+9b）（+）=10++≥10+2=16；即则a+9b的最小值为16；故选：A．9．（5分）函数y=﹣2cos2x+cosx+1，x∈[﹣，]的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：因为函数y=﹣2cos2x+cosx+1，x∈[﹣，]，所以函数为偶函数，故排除A，Dy=﹣2cos2x+cosx+1=﹣2（cosx﹣）2+，x∈[﹣，]，因为cosx≤1，所以当cosx=时，y max=，当cosx=1时，y min=0，故排除C，故选：B．10．（5分）“a=﹣1”是函数为奇函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若函数为奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），即f（﹣x）+f（x）=0，则ln（+a）+ln（+a）=0，即ln（+a）（+a）=0，则（+a）（+a）=1，即•=1，则=1即a2﹣（a+2）2x2=1﹣x2，则，得a=﹣1，则“a=﹣1”是函数为奇函数”的充要条件，故选：C．11．（5分）已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线与x轴的交点为E，线段EF被双曲线C2：的顶点三等分，且两曲线C1，C2的交点连线过曲线C1的焦点F，曲线C2的焦距为2，则曲线C2的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，由可线段EF被双曲线C2：的顶点三等分，得2a=，即p=6a∵两曲线C1，C2的交点A连线过曲线C1的焦点，∴A（3a，6a）在双曲线C2：上，∴⇒．∴曲线C2的离心率e满足：e2=，可得e=故选：D．12．（5分）设f（x）=|lnx|，若函数g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，e2）上有三个零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，e2）上有三个零点，∴y=f（x）与y=ax在区间（0，e2）上有三个交点；由函数y=f（x）与y=ax的图象可知，k1==；f（x）=lnx，（x＞1），f′（x）=，设切点坐标为（t，lnt），则=，解得：t=e．∴k2=．则直线y=ax的斜率a∈（，）．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与抛物线C所围成的图形的面积等于．【解答】解：方法一：抛物线C：x2=4y的焦点（0，1），直线l过抛物线C：x2=4y 的焦点且与y轴垂直，直线与抛物线的交点（﹣2，1），（2，1），直线l的方程为y=1，如图所示，可知l与C围成的图形的面积等于矩形OABF的面积与函数y=x2的图象和x轴正半轴及直线x﹣=2围成的图形的面积的差的2倍（图中阴影部分的2倍）．即l与C所围成的图形的面积S=4﹣2x2dx=4﹣2×x3=4﹣=．故答案为：．方法二：抛物线C：x2=4y的焦点（0，1），直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直，直线与抛物线的交点（﹣2，1），（2，1），则l与抛物线C所围成的图形的面积等于S=2×2dy=2×2×=，∴l与C所围成的图形的面积为，故答案为：．14．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到的图象对应的函数解析式为．【解答】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象知，A=1，=﹣=，∴T=π，即=π，解得ω=2；由五点法画图知，sin（2×+φ）=1，解得φ=﹣=，∴f（x）=sin（2x+）；将y=f（x）的图象向右平移个单位，得到的图象对应的函数解析式为y=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）．故答案为：y=sin（2x﹣）．15．（5分）某多面体的三视图，如图所示，则该几何体的外接球的表面积为．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体是正三棱柱，底面是边长为4的等边三角形，正三棱柱的高是．如图，设底面等腰三角形ABC的外心为G，则CG=，∴直三棱柱外接球的半径R=．∴该几何体的外接球的表面积为4πR2=4π×=．故答案为：．16．（5分）设函数，则方程f n （x）=0的根为﹣1，﹣2，﹣3，…，﹣n．【解答】解：f1（x）=1+x，f2（x）=1+x+=（x+1）（1+），f3（x）=f2（x）+=（x+1）（1+）+=（x+1）[1++]=（x+1）（1+）（1+）．…同理可得：f n（x）=（x+1）（1+）（1+）…（1+）．∴f n（x）=0解为﹣1，﹣2，﹣3，…，﹣n．故答案为：﹣1，﹣2，﹣3，…，﹣n．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）若b+c=5，，求a的值．【解答】（1）由，得，∵sinC≠0，∴，∴，∴，∵，∴，即．（2）由，∴bc=4，∵，∴．18．（12分）已知S n为数列{a n}的前n项和，且3S n=1﹣a n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）当n=1时，3S1=1﹣a1，∴3a1=1﹣a1，∴，当n≥2时，因为3S n=1﹣a n①所以3S n=1﹣a n﹣1②﹣1①﹣②得3a n=a n﹣1﹣a n，∴4a n=a n﹣1，∴．所以数列{a n}是首项为，公比为的等比数列．∴；（2），=，∴，=．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1=2，E，F分别是CC1，BC的中点．（1）若D是AA1的中点，求证：BD∥平面AEF；（2）若M是线段AE上的任意一点，求直线B1M与平面AEF所成角正弦的最大值．【解答】（1）证明：连接DC1，BC1，∵D，E分别是AA1，CC1的中点，∵AD=C1E，AD∥C1E，∴四边形ADCE是平行四边形，∴AE∥DC，∵E，F分别是CC1，BC的中点，∴EF∥BC1，∴平面AEF∥平面BDC1，又BD⊂平面BDC1，∴BD∥平面AEF．（2）解：以A为坐标原点，AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：可知：A（0，0，0），B1（2，0，2），E（0，2，1），F（1，1，0），∴，，=（﹣2，0，﹣2），设平面AEF的法向量为，由，得，令z=2，得x=1，y=﹣1，即，设，则=+=+λ=（﹣2，0，﹣2）+λ（0，2，1）=（﹣2，2λ，λ﹣2）．设直线B1M与平面AEF所成角为θ，则=∴当时，．20．（12分）如图，点是圆内的一个定点，点P 是圆A上的任意一点，线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，当点P在圆A上运动时，点Q的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）点E（2，0），F（0，1），直线QE与y轴交于点M，直线QF与x轴交于点N，求|EN|•|FM|的值．【解答】解：（1）因为点Q在BP的垂直平分线上，所以|QB|=|QP|，∴|QA|+|QB|=|QA|+|QP|=4，从而点Q的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，这时，a=2，，∴b=1，所以曲线C的方程为．（2）由题设知，直线的斜率存在．设直线QE的方程为y=k（x﹣2），Q（x1，y1），E（x2，y2），由，得（1+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣4=0，因为，x2=2，所以，所以，因为点F，N，Q共线，k FN=k FQ，所以，即，又直线QE与y轴的交点纵坐标为y M=﹣2k，所以，|FM|=|1﹣y M|=|1+2k|，所以|EN|•|FM|=4．21．（12分）设函数f（x）=x+lnx﹣．（1）讨论函数f（x）的单词性；（2）当a=1时，记g（x）=xf（x），是否存在整数t，使得关于x的不等式t≥g （x）有解？若存在，请求出t的最小值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）f′（x）=当a＜0时，x∈（0，﹣a）时，f'（x）＜0；x∈（﹣a，+∞）时，f'（x）＞0；当0≤a≤1时，x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0；当a＞1时，x∈（0，a﹣1）时，f'（x）＜0；x∈（a﹣1，+∞）时，f'（x）＞0；综上，当a＜0时，函数f（x）的单调减区间是（0，﹣a）；单调增区间是（﹣a，+∞）；当0≤a≤1时，函数f（x）的单调增区间是（0，+∞）；无单调减区间；当a＞1时，函数f（x）的单调减区间是（0，a﹣1）；单调增区间是（a﹣1，+∞）．（2）当a=1时，g（x）=xf（x）=x2+xlnx，g'（x）=2x+lnx+1，可知函数g'（x）单调递增，，，所以存在唯一，使得g'（x0）=0，即g'（x0）=2x0+lnx0+1=0，当x∈（0，x0）时，g'（x）＜0；x∈（x0，+∞）时，g'（x）＞0；所以，记函数，φ（x0）在上递减．所以，即．由，且t为整数，得t≥0．所以存在整数t满足题意，且t的最小值为0．22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程是ρcos2θ=2sinθ．（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，点M为AB的中点，点P的极坐标为，求|PM|的值．【解答】解：（1）由，得y=3x+1，由曲线C的极坐标方程ρcos2θ=2sinθ，得ρ2cos2θ=2ρsinθ，所以曲线C的直角坐标方程为x2=2y．（2）由，得x2﹣6x﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），所以x1+x2=6，AB的中点是，所以M （3，10）， 点P 的极坐标为，所以点P 的直角坐标为． 则：|PM |=．23．（10分）设函数f （x ）=|x ﹣a |+2x ．（1）当a=﹣1时，求不等式f （x ）≤0的解集；（2）若x ≥﹣1时，恒有f （x ）≥0成立，求a 的取值范围．【解答】解：（1）因为|x +1|+2x ≤0， 所以或，即或x ＜﹣1，则不等式f （x ）≤0的解集是 ．（2）因为为增函数，当a ≤﹣1时，3×（﹣1）﹣a ≥0，从而a ≤﹣3， 当a ≥﹣1时，﹣1+a ≥0，从而a ≥1， 综上，a ≤﹣3，或a ≥1．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =定义域R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质函数 名称 对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a >01a <<定义域 (0,)+∞ 值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。
直线的参数方程(最全)
则 t 的几何意义：t=M0M
t>0
M 在 M0 的上方
t=0 M 与 M0 重合
t<0
M 在 M0 的下方
非标准形式 一般说来，t 不具有上述 几何意义
x x0 at
y
y0
bt
(t 为参数)
表示过定点（x0，y0），斜率
为 b 的直线的参数方程
a
例1
已知直线 L 过点 M0（4，0），倾为
(t为参数）
b （ a2 b2 t）
a2 b2
设: a = cos; b sin; a2 b2t t,则
a2 b2
a2 b2
x y
x0 y0
tcos（t为参数） tsin
当b 0时，t有上述的几何意义。
基础训练
1
直线
x y
2t 1
sin 200 t cos 200
直线的参数方程
2020/7/4
请同学们回忆:
直线的普通方程都有哪些?
点斜式: y y0 k(x x0) y kx b
两点式: y y1 x x1
y2 y1 x2 x1
x y 1 ab
一般式: Ax By C 0
法线式： Ax By C 0 （直线l的法向量（A,B））
t cos t sin
（t为参数）
思考
由M0M te,你能得到直线l的参数方程中
参数t的几何意义吗？
解: M0M te M0M te
y M
又 e是单位向量， e 1
M0M t e t
M0
所以,直线参数方程中
参数t的绝对值等于直
线上动点M到定点M0的 距离. |t|=|M0M|
新北师大版高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》检测卷(含答案解析)(4)
一、选择题1．点(, )A x y 是曲线2cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩，（θ为参数）上的任意一点，则2 -x y 的最大值为（ ） AB5C ．3D3+2．若直线l ：y kx =与曲线C ：2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）有唯一的公共点，则实数k等于（） AB．CD．±3．4sin 4πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与直线122{12x y =-=（t 为参数）的位置关系是（ ） A ．相切 B ．相离C ．相交且过圆心D ．相交但不过圆心4．在方程sin {cos 2x y θθ==（θ为参数）所表示的曲线上的点是 （ ）A ．(2,7)B ．12(,)33C ．(1,0)D ．11(,)225．曲线C 的参数方程为2x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l的参数方程为12x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，则AB 等于（ ） ABCD6．参数方程2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）和极坐标方程6cos ρθ=-所表示的图形分别是（ ） A ．圆和直线B ．直线和直线C ．椭圆和直线D ．椭圆和圆7．已知点(),P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，且[),2θππ∈）上，则点P 到直线21x ty t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）的距离的取值范围是( )A．⎡⎢⎣⎦ B ．0tan 60x = C．D ．:::2x r r q q q e αα==8．在平面直角坐标系中以原点为极点，以x 轴正方向为极轴建立的极坐标系中，直线:20l y kx ++=与曲线2:cos C ρθ=相交，则k 的取值范围是( )A ．k ∈RB ．34k ≥-C ．34k <-D ．k ∈R 但0k ≠9．把曲线12cos 2sin x C y θθ=⎧⎨=⎩：（θ为参数）上各点的横坐标压缩为原来的14，纵坐标压缩为2C 为 A ．221241x y +=B ．224413y x +=C ．2213y x +=D ．22344x y +=10．直线320{20x tsin y tcos =+=- （t 为参数）的倾斜角是( )A ．20B ．70C ．110D ．16011．若动点(,)x y 在曲线2221(0)4x yb b+=>上变化，则22x y +的最大值为（ ）A ．24(04)42(4)b b b b ⎧+<⎪⎨⎪>⎩B ．24(02)42(4)b b b b ⎧+<<⎪⎨⎪⎩C ．244b +D ．2b12．已知点A 是曲线2213x y +=上任意一点，则点A到直线sin()6πρθ+=的距离的最大值是（ ）A．2BCD．二、填空题13．点(),M x y 为此曲线()2234x y ++=上任意一点，则x y +的最大值是______．14．已知直线l的参数方程为12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），则圆心C 到直线l 的距离为___________． 15．坐标系与参数方程选做题）直线截曲线（为参数）的弦长为___________ 16．设点(),x y 是曲线C 2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，且02θπ≤<）上的任意一点，则yx的最大值为________． 17．已知在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程是2sin 4cos 0ρθθ+=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，直线l 的参数方程是1123x t t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（为参数），M （03l 与曲线C 的公共点为P ，Q ，则11PM QM+=_______ 18．直线:30l x y ++=被圆14cos :24sin x C y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）截得的弦长为______.19．曲线4cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩上的点到直线220x y +=的最大距离为__________．20．圆1212x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）被直线0y =截得的弦长为__________．三、解答题21．已知直线l 过定点()1,1P ，且倾斜角为4π，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的坐标系中，曲线C 的极坐标方程为22cos 3ρρθ=+． （1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的参数方程：（2）若直线l 与曲线C 相交于不同的两点A 、B ，求AB 及PA PB ⋅的值．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为1123x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），椭圆C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）（1）将直线l 的参数方程化为极坐标方程；（2）设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.23．在直角坐标系xOy 中，直线l 经过点()3,0P，倾斜角为6π，曲线C的参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求PA PB +的值．24．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），将曲线C 按伸缩变换公式12x x y y =⎧''⎪⎨=⎪⎩，变换得到曲线E（1）求E 的普通方程；（2）直线l 过点()0,2M -，倾斜角为4π，若直线l 与曲线E 交于,A B 两点，N 为AB 的中点，求OMN 的面积.25．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：cos ,sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，π02α<<），曲线1C ：2cos 4+2sin x y ββ=⎧⎨=⎩,（β为参数），1l 与1C 相切于点A ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求1C 的极坐标方程及点A 的极坐标； （2）已知直线2l ：()6R πθρ=∈与圆2C：2cos 20ρθ-+=交于B ，C 两点，记AOB ∆的面积为1S ，2COC ∆的面积为2S ，求1221S S S S +的值. 26．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<）.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线C ：4cos ρθ=.（1）当4πα=时，求C 与l 的交点的极坐标； （2）直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 中点为(1,1)M ，求||AB 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D 解析：D 【分析】利用曲线的参数方程得32co sin -32s x y θθ=+-化简求解即可 【详解】由题()32cos 3sin 23-s x y θθθϕ=+-=++ 故当()cos 1θϕ+=时，2 -x y3+ 故选D 【点睛】本题考查参数方程求最值，考查辅助角公式，是基础题2．D解析：D 【分析】根据题意，将曲线C 的参数方程消去θ，得到曲线C 的普通方程22(2)1x y -+=，可知曲线C 为圆，又知圆C 与直线相切，利用圆心到直线的距离等于半径，求得k 。
高中数学参数方程大题(带答案)
参数方程极坐标系解答题1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作及l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值及最小值．考点：参数方程化成普通方程；直线及圆锥曲线的关系．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值及最小值．解答：解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l：，由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．P到直线l的距离为．则，其中α为锐角．当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．点评：本题考查普通方程及参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴及x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为：，曲线C的参数方程为：（α为参数）．（I）写出直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）首先，将直线的极坐标方程中消去参数，化为直角坐标方程即可；（2）首先，化简曲线C的参数方程，然后，根据直线及圆的位置关系进行转化求解．解答：解：（1）∵直线l的极坐标方程为：，∴ρ（sinθ﹣cosθ）=，∴，∴x﹣y+1=0．（2）根据曲线C的参数方程为：（α为参数）．得（x﹣2）2+y2=4，它表示一个以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，圆心到直线的距离为：d=，∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值=．点评：本题重点考查了直线的极坐标方程、曲线的参数方程、及其之间的互化等知识，属于中档题．3．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值．考点：圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程．专题：计算题；压轴题；转化思想．分析：（1）分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的普通方程，即可得到曲线C1表示一个圆；曲线C2表示一个椭圆；（2）把t的值代入曲线C1的参数方程得点P的坐标，然后把直线的参数方程化为普通方程，根据曲线C2的参数方程设出Q的坐标，利用中点坐标公式表示出M的坐标，利用点到直线的距离公式表示出M到已知直线的距离，利用两角差的正弦函数公式化简后，利用正弦函数的值域即可得到距离的最小值．解答：解：（1）把曲线C1：（t为参数）化为普通方程得：（x+4）2+（y﹣3）2=1，所以此曲线表示的曲线为圆心（﹣4，3），半径1的圆；把C2：（θ为参数）化为普通方程得：+=1，所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴为8，短半轴为3的椭圆；（2）把t=代入到曲线C1的参数方程得：P（﹣4，4），把直线C3：（t为参数）化为普通方程得：x﹣2y﹣7=0，设Q的坐标为Q（8cosθ，3sinθ），故M（﹣2+4cosθ，2+sinθ）所以M到直线的距离d==，（其中sinα=，cosα=）从而当cosθ=，sinθ=﹣时，d取得最小值．点评：此题考查学生理解并运用直线和圆的参数方程解决数学问题，灵活运用点到直线的距离公式及中点坐标公式化简求值，是一道综合题．4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．（Ⅰ）求圆心的极坐标；（Ⅱ）求△PAB面积的最大值．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入即可得出．（II）把直线的参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d，再利用弦长公式可得|AB|=2，利用三角形的面积计算公式即可得出．解答：解：（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入可得：圆C的普通方程为x2+y2﹣2x+2y=0，即（x﹣1）2+（y+1）2=2．∴圆心坐标为（1，﹣1），∴圆心极坐标为；（Ⅱ）由直线l的参数方程（t为参数），把t=x代入y=﹣1+2t可得直线l的普通方程：，∴圆心到直线l的距离，∴|AB|=2==，点P直线AB距离的最大值为，．点评：本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力及计算能力，属于中档题．5．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．考点：椭圆的参数方程；椭圆的应用．专题：计算题；压轴题．分析：由题意椭圆的参数方程为为参数），直线的极坐标方程为．将椭圆和直线先化为一般方程坐标，然后再计算椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．解答：解：将化为普通方程为（4分）点到直线的距离（6分）所以椭圆上点到直线距离的最大值为，最小值为．（10分）点评：此题考查参数方程、极坐标方程及普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．6．在直角坐标系xoy中，直线I的参数方程为（t为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=cos（θ+）．（1）求直线I被曲线C所截得的弦长；（2）若M（x，y）是曲线C上的动点，求x+y的最大值．考点：参数方程化成普通方程．专题：计算题；直线及圆；坐标系和参数方程．分析：（1）将曲线C化为普通方程，将直线的参数方程化为标准形式，利用弦心距半径半弦长满足的勾股定理，即可求弦长．（2）运用圆的参数方程，设出M，再由两角和的正弦公式化简，运用正弦函数的值域即可得到最大值．解答：解：（1）直线I的参数方程为（t为参数），消去t，可得，3x+4y+1=0；由于ρ=cos（θ+）=（），即有ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ，则有x2+y2﹣x+y=0，其圆心为（，﹣），半径为r=，圆心到直线的距离d==，故弦长为2=2=；（2）可设圆的参数方程为：（θ为参数），则设M（，），则x+y==sin（），由于θ∈R，则x+y的最大值为1．点评：本题考查参数方程化为标准方程，极坐标方程化为直角坐标方程，考查参数的几何意义及运用，考查学生的计算能力，属于中档题．7．选修4﹣4：参数方程选讲已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为，曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程；（Ⅱ）若Q为C上的动点，求PQ中点M到直线l：（t为参数）距离的最小值．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得出；（2）利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出，解答：解（1）∵P点的极坐标为，∴=3，=．∴点P的直角坐标把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得，即∴曲线C的直角坐标方程为．（2）曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的普通方程为x﹣2y﹣7=0设，则线段PQ的中点．则点M到直线l的距离.，∴点M到直线l的最小距离为．点评：本题考查了极坐标及直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性等基础知识及基本技能方法，考查了计算能力，属于中档题．8．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=及圆C的交点为O，P，及直线l的交点为Q，求线段PQ的长．考点：简单曲线的极坐标方程；直线及圆的位置关系．专题：直线及圆．分析：（I）圆C的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x﹣1）2+y2=1．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化简即可得到此圆的极坐标方程．（II）由直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=．可得普通方程：直线l，射线OM．分别及圆的方程联立解得交点，再利用两点间的距离公式即可得出．解答：解：（I）圆C的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x﹣1）2+y2=1．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化简得：ρ=2cosθ，即为此圆的极坐标方程．（II）如图所示，由直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=．可得普通方程：直线l，射线OM．联立，解得，即Q．联立，解得或．∴P．∴|PQ|==2．点评：本题考查了极坐标化为普通方程、曲线交点及方程联立得到的方程组的解的关系、两点间的距离公式等基础知识及基本方法，属于中档题．9．在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=4．（1）求曲线C1的普通方程及曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P的坐标．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ、y=ρsinθ，把极坐标方程化为直角坐标方程．（2）求得椭圆上的点到直线x+y﹣8=0的距离为，可得d的最小值，以及此时的α的值，从而求得点P的坐标．解答：解：（1）由曲线C1：，可得，两式两边平方相加得：，即曲线C1的普通方程为：．由曲线C2：得：，即ρsinθ+ρcosθ=8，所以x+y﹣8=0，即曲线C2的直角坐标方程为：x+y﹣8=0．（2）由（1）知椭圆C1及直线C2无公共点，椭圆上的点到直线x+y﹣8=0的距离为，∴当时，d的最小值为，此时点P的坐标为．点评：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，正弦函数的值域，属于基础题．10．已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+）．（Ⅰ）求圆心C的直角坐标；（Ⅱ）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：（I）先利用三角函数的和角公式展开圆C的极坐标方程的右式，再利用直角坐标及极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆C的直角坐标方程，从而得到圆心C的直角坐标．（II）欲求切线长的最小值，转化为求直线l上的点到圆心的距离的最小值，故先在直角坐标系中算出直线l上的点到圆心的距离的最小值，再利用直角三角形中边的关系求出切线长的最小值即可．解答：解：（I）∵，∴，∴圆C的直角坐标方程为，即，∴圆心直角坐标为．（5分）（II）∵直线l的普通方程为，圆心C到直线l距离是，∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是（10分）点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．11．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的参数方程为，（t为参数），曲线C1的方程为ρ（ρ﹣4sinθ）=12，定点A（6，0），点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）直线l及直线C2交于A，B两点，若|AB|≥2，求实数a的取值范围．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）首先，将曲线C1化为直角坐标方程，然后，根据中点坐标公式，建立关系，从而确定点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）首先，将直线方程化为普通方程，然后，根据距离关系，确定取值范围．解答：解：（1）根据题意，得曲线C1的直角坐标方程为：x2+y2﹣4y=12，设点P（x′，y′），Q（x，y），根据中点坐标公式，得，代入x2+y2﹣4y=12，得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为：（x﹣3）2+（y﹣1）2=4，（2）直线l的普通方程为：y=ax，根据题意，得，解得实数a的取值范围为：[0，]．点评：本题重点考查了圆的极坐标方程、直线的参数方程，直线及圆的位置关系等知识，考查比较综合，属于中档题，解题关键是准确运用直线和圆的特定方程求解．12．在直角坐标系xoy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（）=2．（Ⅰ）求C1及C2交点的极坐标；（Ⅱ）设P为C1的圆心，Q为C1及C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为（t∈R为参数），求a，b的值．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；直线及圆的位置关系；参数方程化成普通方程．专题：压轴题；直线及圆．分析：（I）先将圆C1，直线C2化成直角坐标方程，再联立方程组解出它们交点的直角坐标，最后化成极坐标即可；（II）由（I）得，P及Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），从而直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0，由参数方程可得y=x ﹣+1，从而构造关于a，b的方程组，解得a，b的值．解答：解：（I）圆C1，直线C2的直角坐标方程分别为 x2+（y﹣2）2=4，x+y﹣4=0，解得或，∴C1及C2交点的极坐标为（4，）．（2，）．（II）由（I）得，P及Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），故直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0，由参数方程可得y=x﹣+1，∴，解得a=﹣1，b=2．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为普通方程的方法，方程思想的应用，属于基础题．13．在直角坐标系xOy中，l是过定点P（4，2）且倾斜角为α的直线；在极坐标系（以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ（Ⅰ）写出直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C及直线相交于不同的两点M、N，求|PM|+|PN|的取值范围．解答：解：（I）直线l的参数方程为（t为参数）．曲线C的极坐标方程ρ=4cosθ可化为ρ2=4ρcosθ．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入曲线C的极坐标方程可得x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4．（II）把直线l的参数方程为（t为参数）代入圆的方程可得：t2+4（sinα+cosα）t+4=0．∵曲线C及直线相交于不同的两点M、N，∴△=16（sinα+cosα）2﹣16＞0，∴sinαcosα＞0，又α∈[0，π），∴．又t1+t2=﹣4（sinα+cosα），t1t2=4．∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4|sinα+cosα|=，∵，∴，∴．∴|PM|+|PN|的取值范围是．点评：本题考查了直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线及圆相交弦长问题，属于中档题．14．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．考点：点的极坐标和直角坐标的互化．专题：坐标系和参数方程．分析：（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．化为ρ2=2，把代入即可得出；．（II）设P，又C．利用两点之间的距离公式可得|PC|=，再利用二次函数的性质即可得出．解答：解：（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．∴ρ2=2，化为x2+y2=，配方为=3．（II）设P，又C．∴|PC|==≥2，因此当t=0时，|PC|取得最小值2．此时P（3，0）．点评：本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了推理能力及计算能力，属于中档题．15．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=6cosθ，曲线C2的极坐标方程为θ=（p∈R），曲线C1，C2相交于A，B两点．（Ⅰ）把曲线C1，C2的极坐标方程转化为直角坐标方程；（Ⅱ）求弦AB的长度．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：（Ⅰ）利用直角坐标及极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得曲线C2及曲线C1的直角坐标方程．（Ⅱ）利用直角坐标方程的形式，先求出圆心（3，0）到直线的距离，最后结合点到直线的距离公式弦AB的长度．解答：解：（Ⅰ）曲线C2：（p∈R）表示直线y=x，曲线C1：ρ=6cosθ，即ρ2=6ρcosθ所以x2+y2=6x即（x﹣3）2+y2=9（Ⅱ）∵圆心（3，0）到直线的距离，r=3所以弦长AB==．∴弦AB的长度．点评：本小题主要考查圆和直线的极坐标方程及直角坐标方程的互化，以及利用圆的几何性质计算圆心到直线的距等基本方法，属于基础题．16．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=，圆C的参数方程为，（θ为参数，r＞0）（Ⅰ）求圆心C的极坐标；（Ⅱ）当r为何值时，圆C上的点到直线l的最大距离为3．考点：简单曲线的极坐标方程；直线及圆的位置关系．专题：计算题．分析：（1）利用两角差的余弦公式及极坐标及直角坐标的互化公式可得直线l的普通方程；利用同角三角函数的基本关系，消去θ可得曲线C的普通方程，得出圆心的直角坐标后再化面极坐标即可．（2）由点到直线的距离公式、两角和的正弦公式，及正弦函数的有界性求得点P到直线l的距离的最大值，最后列出关于r的方程即可求出r值．解答：解：（1）由ρsin（θ+）=，得ρ（cosθ+sinθ）=1，∴直线l：x+y﹣1=0．由得C：圆心（﹣，﹣）．∴圆心C的极坐标（1，）．（2）在圆C：的圆心到直线l的距离为：∵圆C上的点到直线l的最大距离为3，∴．r=2﹣∴当r=2﹣时，圆C上的点到直线l的最大距离为3．点评：本小题主要考查坐标系及参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程、参数方程及普通方程的互化，点到直线距离公式、三角变换等内容．17．选修4﹣4：坐标系及参数方程在直角坐标xOy中，圆C1：x2+y2=4，圆C2：（x﹣2）2+y2=4．（Ⅰ）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标（用极坐标表示）；（Ⅱ）求圆C1及C2的公共弦的参数方程．考点：简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．专题：计算题；压轴题．分析：（I）利用，以及x2+y2=ρ2，直接写出圆C1，C2的极坐标方程，求出圆C1，C2的交点极坐标，然后求出直角坐标（用坐标表示）；（II）解法一：求出两个圆的直角坐标，直接写出圆C1及C2的公共弦的参数方程．解法二利用直角坐标及极坐标的关系求出，然后求出圆C1及C2的公共弦的参数方程．解答：解：（I）由，x2+y2=ρ2，可知圆，的极坐标方程为ρ=2，圆，即的极坐标方程为ρ=4cosθ，解得：ρ=2，，故圆C1，C2的交点坐标（2，），（2，）．（II）解法一：由得圆C1，C2的交点的直角坐标（1，），（1，）．故圆C1，C2的公共弦的参数方程为（或圆C1，C2的公共弦的参数方程为）（解法二）将x=1代入得ρcosθ=1从而于是圆C1，C2的公共弦的参数方程为．点评：本题考查简单曲线的极坐标方程，直线的参数方程的求法，极坐标及直角坐标的互化，考查计算能力．。
高三数学参数方程试题答案及解析
高三数学参数方程试题答案及解析1.已知曲线，直线（为参数）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；过曲线上任意一点作与夹角为30°的直线，交于点，求的最大值与最小值.【答案】（1）曲线C的参数方程为，（为参数），直线的普通方程为. （2）最大值为;最小值为.【解析】（1）根据题意易得：曲线C的参数方程为，（为参数），直线的普通方程为;（2）由第（1）中设曲线C上任意一点，利用点到直线的距离公式可求得：距离为，则，其中为锐角，且，当时，取得最大值，最大值为.当时，取得最小值，最小值为.试题解析：（1）曲线C的参数方程为，（为参数），直线的普通方程为.（2）曲线C上任意一点到的距离为.则，其中为锐角，且，当时，取得最大值，最大值为.当时，取得最小值，最小值为.【考点】1.椭圆的参数方程;2.直线的参数方程;3.三三角函数的有界性2.在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线(t为参数)相交于A,B两点,则|AB|= .【答案】16【解析】直线的普通方程为x=4,代入曲线的参数方程得t=±2,当t=2时x=4,y=8;当t=-2时,x=4,y=-8,即有两个交点的直角坐标为A(4,8),B(4,-8)于是|AB|=8-(-8)=163.已知动点P,Q都在曲线C: (t为参数)上,对应参数分别为t=与t=2 (0<<2π),M为PQ的中点.(1)求M的轨迹的参数方程;(2)将M到坐标原点的距离d表示为的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.【答案】(1)(2)见解析．【解析】（1）依题意有P(2cos,2sin),Q(2cos2,2sin2),因此M(cos+cos2,sin+sin2).所以M的轨迹的参数方程为(为参数,0<<2π).(2)M点到坐标原点的距离d== (0<<2π).当=π时,d=0,故M的轨迹过坐标原点.4.在极坐标系中，圆上的点到直线的距离的最小值为________．【答案】1【解析】圆的直角坐标方程为，直线的直角坐标方程为，圆心到直线的距离，圆上的点到直线的距离的最小值为.【考点】直角坐标与极坐标、距离公式.5.已知曲线的参数方程为（为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线上的点按坐标变换得到曲线．（1）求曲线的普通方程；（2）若点在曲线上，点，当点在曲线上运动时，求中点的轨迹方程．【答案】（1）；（2）.【解析】本题主要考查参数方程与普通方程的互化、中点坐标公式等基础知识，考查学生的转化能力、分析能力、计算能力.第一问，将曲线C的坐标直接代入中，得到曲线的参数方程，再利用参数方程与普通方程的互化公式，将其转化为普通方程；第二问，设出P、A点坐标，利用中点坐标公式，得出，由于点A在曲线上，所以将得到的代入到曲线中，得到的关系，即为中点的轨迹方程.试题解析：（1）将代入，得的参数方程为∴曲线的普通方程为． 5分（2）设，，又，且中点为所以有：又点在曲线上，∴代入的普通方程得∴动点的轨迹方程为． 10分【考点】参数方程与普通方程的互化、中点坐标公式.6.若直线的参数方程为，(t为参数)，求直线的斜率．【答案】－【解析】k＝.∴直线的斜率为－.7.将参数方程(t为参数)化为普通方程．【答案】＝1【解析】：(解法1)因为－＝4，所以－＝4.化简得普通方程为＝1. (解法2)因为所以t＝，＝，相乘得＝1.化简得普通方程为＝18.已知直线l经过点P(1，1)，倾斜角α＝.(1)写出直线l的参数方程；(2)设l与圆x2＋y2＝4相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．【答案】（1）（2）2【解析】(1)直线的参数方程为即(t为参数)．(2)把直线代入x2＋y2＝4，得＋＝4，t2＋(＋1)t－2＝0，t1t2＝－2，则点P到A、B两点的距离之积为2.9.已知点P(x，y)是圆x2＋y2＝2y上的动点．(1)求2x＋y的取值范围；(2)若x＋y＋a≥0恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）－＋1≤2x＋y≤＋1.（2）a≥－1【解析】(1)设圆的参数方程为2x＋y＝2cosθ＋sinθ＋1＝sin(θ＋φ)＋1，∴－＋1≤2x＋y≤＋1.(2)x＋y＋a＝cosθ＋sinθ＋1＋a≥0，∴a≥－(cosθ＋sinθ)－1＝－sin－1，∴a≥－1.10.若直线（为参数）被圆截得的弦长为最大，则此直线的倾斜角为；【答案】【解析】直线的普通方程为，圆的直角坐标方程为；直线被圆截得的弦长最大，即圆心到直线的距离最小，，当时，.【考点】参数方程与普通方程的转化、极坐标与直角坐标的转化、最值问题.11.设直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的方程为y=3x+4,求l1与l2间的距离.【答案】【解析】将参数方程(t为参数)化为普通方程为3x-y-2=0.由两平行线之间的距离公式可知,所求距离为d==.12.已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 (θ为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l的方程为ρsin ＝2.(1)求曲线C在极坐标系中的方程；(2)求直线l被曲线C截得的弦长．【答案】（1）ρ＝4cos θ.（2）2【解析】(1)由已知得，曲线C的普通方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0，化为极坐标方程是ρ＝4cos θ.(2)由题意知，直线l的直角坐标方程为x＋y－4＝0，由得直线l与曲线C的交点坐标为(2,2)，(4,0)，所以所求弦长为213.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐【答案】(2,2)，【解析】因为直线l的参数方程为 (t为参数)，由x＝t＋1，得t＝x－1，代入y＝2t，得到直线l的普通方程为2x－y－2＝0.同理得到曲线C的普通方程为y2＝2x.联立方程组解得公共点的坐标为(2,2)，14.已知曲线C1的参数方程为 (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．【答案】（1）ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.（2），【解析】(1)∵C1的参数方程为∴∴(x－4)2＋(y－5)2＝25(cos2t＋sin2t)＝25，即C1的直角坐标方程为(x－4)2＋(y－5)2＝25，把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入(x－4)2＋(y－5)2＝25，化简得：ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C2的直角坐标方程为x2＋y2＝2y，解方程组得或∴C1与C2交点的直角坐标为(1,1)，(0,2)．∴C1与C2交点的极坐标为，.15.如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2－x＝0的参数方程为______________．【答案】0≤θ<π【解析】由题意得圆的标准方程为2＋y2＝2，设圆与x轴的另一交点为Q，则Q(1,0)，设点P的坐标为(x，y)，则OP＝OQ cos θ＝cos θ.∴0≤θ<π.16.已知两曲线参数方程分别为（0≤θ＜π）和(t∈R)，它们的交点坐标为。
高中数学函数参数方程解析
高中数学函数参数方程解析一、引言在高中数学学习中，函数参数方程是一个重要的知识点。
本文将从基础概念出发，通过具体题目的举例，分析解题思路和考点，并给出一些解题技巧，帮助读者更好地理解和应用函数参数方程。
二、函数参数方程的基本概念函数参数方程是指用参数表示的函数方程。
一般形式为：y = f(x, a)，其中a为参数。
参数可以是任意实数，通过改变参数的取值，可以得到不同的函数图像。
三、函数参数方程的应用举例1. 例题一：求参数方程y = a^2 - x^2的图像。
解析：将参数方程转化为直角坐标系下的函数方程。
令y = f(x, a) = a^2 - x^2，其中a为参数。
通过改变参数a的取值，可以得到不同的图像。
当a = 1时，函数图像为一个单位圆；当a = 2时，函数图像为一个半径为2的圆。
可以通过改变参数a的取值，观察图像的变化规律。
2. 例题二：求参数方程x = a + t，y = a - t的图像。
解析：将参数方程转化为直角坐标系下的函数方程。
令x = f(t, a) = a + t，y = g(t, a) = a - t，其中a为参数。
通过改变参数a的取值，可以得到不同的图像。
当a = 0时，函数图像为直线y = -x；当a = 1时，函数图像为直线y = 1 - x。
可以通过改变参数a的取值，观察图像的变化规律。
四、函数参数方程的考点分析1. 参数的取值范围：在解题过程中，需要注意参数的取值范围，以保证函数有意义。
例如，在例题一中，参数a不能取负值，否则函数图像将不存在。
2. 函数图像的特点：通过观察函数图像的特点，可以发现一些规律。
例如，在例题一中，当参数a取不同的值时，函数图像的形状和大小都会发生变化。
这表明参数a对函数图像具有一定的控制作用。
3. 函数图像的对称性：在解题过程中，可以通过观察函数图像的对称性来简化问题。
例如，在例题一中，函数图像y = a^2 - x^2关于y轴对称，这可以帮助我们更好地理解和绘制函数图像。
直线参数方程
高三数学参数方程试题答案及解析
高三数学参数方程试题答案及解析1. [选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程（为参数），直线与抛物线相交于两点，求线段的长.【答案】【解析】可以把直线参数方程化为普通方程，与抛物线方程联立解得的坐标，可求线段的长，也可直接把直线的参数方程代入抛物线方程，解关于的方程，利用此直线参数方程中的几何意义，可得．试题解析：直线的普通方程为，即，与抛物线方程联立方程组解得，∴.【考点】直线的参数方程.2.长为3的线段两端点A，B分别在x轴正半轴和y轴的正半轴上滑动，，点P的轨迹为曲线C.（1）以直线AB的倾斜角为参数，求曲线C的参数方程；（2）求点P到点D距离的最大值.【答案】（1）曲线的参数方程为（为参数，）；（2）取得最大值.【解析】本题主要考查参数方程、三角函数的定义、倍角公式、配方法求函数最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、数形结合思想、计算能力.第一问，利用三角函数的定义，结合图象，列出P点的横纵坐标，写出曲线的参数方程；第二问，利用两点间距离公式得到，再利用倍角公式、平方关系、配方法、三角函数有界性求函数最值.（1）设，由题设可知，则，，所以曲线的参数方程为（为参数，）． 5分（2）由（1）得．当时，取得最大值． 10分【考点】参数方程、三角函数的定义、倍角公式、配方法求函数最值.3.直角坐标系中，以原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线：（为参数）和曲线：上，则的最小值为．【答案】3【解析】利用化归思想和数形结合法，把两条曲线转化为直角坐标系下的方程．曲线的方程是，曲线的方程是，两圆外离，所以的最小值为．4.在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（为参数）在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线的方程为，则与的交点个数为。
【答案】2【解析】曲线，，由圆心到直线的距离，故与的交点个数为2.5.若直线的参数方程为，(t为参数)，求直线的斜率．【答案】－【解析】k＝.∴直线的斜率为－.6.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsin＋m＝0，曲线C2的参数方程为(0<α<π)，若曲线C1与C2有两个不同的交点，则实数m的取值范围是____________．【答案】.【解析】曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为，如图，直线与圆有两个不同的交点，即在直线（经过点的直线）与（经过点的直线）之间，当直线与重合时，，当直线经过点时，，综上得.【考点】直角坐标与极坐标的转化、参数方程与普通方程的转化、直线与圆的位置关系.7.设直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的方程为y=3x+4,求l1与l2间的距离.【答案】【解析】将参数方程(t为参数)化为普通方程为3x-y-2=0.由两平行线之间的距离公式可知,所求距离为d==.8.已知两曲线参数方程分别为(0≤θ<π)和(t∈R),求它们的交点坐标.【答案】(1,)【解析】(0≤θ<π)消去参数后的普通方程为+y2=1(-<x≤,0≤y≤1),消去参数后的普通方程为y2=x,联立两个曲线的普通方程得x=-5(舍)或x=1,所以y=,所以它们的交点坐标为(1,).9.求直线(t为参数)被圆(α为参数)截得的弦长.【答案】2【解析】设圆的半径为R,直线被圆截得的弦长为L,把直线方程化为普通方程为x+y=2.将圆化为普通方程为x2+y2=9.圆心O到直线的距离d==,所以弦长L=2=2=2.所以直线,被圆截得的弦长为2.10.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (t为参数)，它与曲线C：(y－2)2－x2＝1交于A、B两点．(1)求|AB|的长；(2)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离．【答案】（1）（2）【解析】(1)把直线的参数方程代入曲线方程并化简得7t2－12t－5＝0.设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝，t1t2＝－.所以|AB|＝|t1－t2|＝5(2)易得点P在平面直角坐标系下的坐标为(－2,2)，根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为＝.由t的几何意义可得点P到M的距离为|PM|＝·＝.11.已知点P是曲线为参数，上一点，O为原点．若直线OP的倾斜角为，则点的直角坐标为．【答案】【解析】不妨设点(),则由两点斜率的计算公式得,由题知(),则,故填【考点】参数方程倾斜角12.已知曲线C1： (t为参数)，C2：(θ为参数)．(1)化C1、C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3： (t为参数)距离的最小值．解【答案】（1）C1为圆心是(－4,3)，半径是1的圆．C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．（2）【解析】(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：＝1.C1为圆心是(－4,3)，半径是1的圆．C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2)当t＝时，P(－4,4)，Q(8cos θ，3sin θ)，故M.C3为直线x－2y－7＝0，M到C3的距离d＝|4cos θ－3sin θ－13|.从而当cos θ＝，sin θ＝－时，d取得最小值.13.已知曲线C1的参数方程为 (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．【答案】（1）ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.（2），【解析】(1)∵C1的参数方程为∴∴(x－4)2＋(y－5)2＝25(cos2t＋sin2t)＝25，即C1的直角坐标方程为(x－4)2＋(y－5)2＝25，把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入(x－4)2＋(y－5)2＝25，化简得：ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C2的直角坐标方程为x2＋y2＝2y，解方程组得或∴C1与C2交点的直角坐标为(1,1)，(0,2)．∴C1与C2交点的极坐标为，.14. (坐标系与参数方程选做题）极坐标系下，直线与圆的公共点个数是________．【答案】1【解析】因为直线化为直线的普通方程是.圆的普通方程是.所以由圆的圆心（0,0）到直线的距离.又因为圆的半径也为.所以直线与圆相切即公共点的个数为1.故填1.【考点】15.已知曲线（为参数），（为参数）.（1）化的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）过曲线的左顶点且倾斜角为的直线交曲线于两点，求.【答案】（1），曲线为圆心是，半径是1的圆，曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆；（2）.【解析】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查学生的转化能力和计算能力.第一问，利用参数方程与普通方程的互化方法转化方程，再根据曲线的标准方程判断曲线的形状；第二问，根据已知写出直线的参数方程，与曲线联立，根据韦达定理得到两根之和两根之积，再利用两根之和两根之积进行转化求出.试题解析：⑴曲线为圆心是，半径是1的圆．曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆． 4分⑵曲线的左顶点为，则直线的参数方程为（为参数）将其代入曲线整理可得：，设对应参数分别为，则所以. 10分【考点】1.参数方程与普通方程的互化；2.圆和椭圆的标准方程；3.韦达定理；4.直线的参数方程.16.已知曲线（为参数），（为参数）.（1）化的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）过曲线的左顶点且倾斜角为的直线交曲线于两点，求.【答案】（1），曲线为圆心是，半径是1的圆，曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆；（2）.【解析】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查学生的转化能力和计算能力.第一问，利用参数方程与普通方程的互化方法转化方程，再根据曲线的标准方程判断曲线的形状；第二问，根据已知写出直线的参数方程，与曲线联立，根据韦达定理得到两根之和两根之积，再利用两根之和两根之积进行转化求出.试题解析：⑴曲线为圆心是，半径是1的圆．曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆． 4分⑵曲线的左顶点为，则直线的参数方程为（为参数）将其代入曲线整理可得：，设对应参数分别为，则所以. 10分【考点】1.参数方程与普通方程的互化；2.圆和椭圆的标准方程；3.韦达定理；4.直线的参数方程.17.过点M（3，4），倾斜角为的直线与圆C：（为参数）相交于A、B两点，试确定的值.【答案】15【解析】将过点M（3，4），倾斜角为的直线写成参数方程.再将圆的参数方程写成一般方程，联立后求得含t的一元二次方程.将的值转化为韦达定理的根的乘积关系.即可得结论.本小题主要就是考查直线的参数方程中t的几何意义.试题解析：直线l的参数方程为.代入C：.方程得到：.设为方程两根，则.【考点】1.直线的参数方程.2.圆的参数方程.18.已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数）．在极坐标系（与直角坐标取相同的长度单位，且以原点为极点，轴的非负半轴为极轴）中，曲线的方程为．（Ⅰ）求曲线直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线、交于A、B两点，定点，求的值．【答案】（Ⅰ）曲线直角坐标方程为；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）由已知，两边都乘以，得，结合即可求得曲线的直角坐标方程（普通方程）；（Ⅱ）由已知条件，把的参数方程为参数）代入，得由韦达定理可得：，进一步可计算出的值．试题解析：（Ⅰ）由已知，得，．3分（Ⅱ）把的参数方程代入，得．5分．7分【考点】直线的参数方程与极坐标方程．19.已知曲线的参数方程是(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为.（Ⅰ）求点A，B，C，D的直角坐标；（Ⅱ）设P为上任意一点，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）A(1，)，B(－，1)，C(－1，－)，D(，－1)；（Ⅱ）的取值范围是[32,52]【解析】（Ⅰ）根据已知条件可得A（2cos，2sin），B（2cos（＋）,2sin（＋）），C（2cos（＋π）,2sin（＋π）），D（2cos（＋）,2sin（＋）），然后将其化为直角坐标即可；（Ⅱ）设P(2cosφ，3sinφ)，令S＝，利用三角函数求解. 试题解析： (1)由已知可得A（2cos，2sin），B（2cos（＋）,2sin（＋）），C（2cos（＋π）,2sin（＋π）），D（2cos（＋）,2sin（＋）），4分即A(1，)，B(－，1)，C(－1，－)，D(，－1)． 5分(2)设P(2cosφ，3sinφ)，令S＝，则S＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ. 9分因为0≤sin2φ≤1，所以S的取值范围是[32,52]． 10分【考点】极坐标和参数方程、三角函数、直角坐标和极坐标互化.20.参数方程为表示的曲线是（）．A．一条直线B．两条直线C．一条射线D．两条射线【答案】D【解析】因为，，或，所以，参数方程为表示的曲线是两条射线，选D.【考点】曲线的参数方程21.已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程．（Ⅰ）将曲线的参数方程化为普通方程，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）曲线,是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．【答案】（Ⅰ）和；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）参数方程化为普通方程，消去参数即可，极坐标方程化为直角坐标方程，利用两者坐标之间的关系互化，此类问题一般较为容易；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，两曲线都是圆，判断两圆的位置关系，利用圆心距与两半径大小关系判断即可，两圆相交，公共弦和易求.试题解析：（Ⅰ）由消去参数，得的普通方程为：；由，得，化为直角坐标方程为即. 5分（Ⅱ）∵圆的圆心为，圆的圆心为∴，∴两圆相交设相交弦长为，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段∴∴∴公共弦长为 10分【考点】极坐标方程和参数方程.22.（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ。
XXX闻道2017-2018学年度第三次高中联合质量测评理科数学试卷(含答案)
XXX闻道2017-2018学年度第三次高中联合质量测评理科数学试卷(含答案)XXX闻道2017-2018学年度第三次高中联合质量测评理科数学本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1.答题前，考生务必用5毫米黑色签字笔将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2.选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。
不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
第I卷一、选择题1.设复数$z=3+i$（其中$i$为虚数单位），则复数$z-\frac{1}{z}$的虚部为（$\quad$）A。
$z$。
B。
$-1919$。
C。
$-10$。
D。
$xxxxxxxx$2.若集合$M=\{x|x-2x^20\}$，则$M\cap N$（$\quad$）A。
$\varnothing$。
B。
$\left\{\frac{1}{4}\right\}$。
C。
$\left\{\frac{1}{2},\frac{1}{1}\right\}$。
D。
$\left\{\frac{1}{4},+\infty\right\}$3.下图是XXX发布的2017年1月至7月的本市楼市价格同比增长与环比增长涨跌幅数据绘制的雷达图（注：2017年2月与2016年2月相比较，叫同比；2017年2月与2017年1月相比较，叫环比）。
根据该雷达图，则下列结论错误的是（$\quad$）A。
2017年1月至7月该市楼市价格有涨有跌。
B。
2017年1月至7月分别与2016年1月至7月相比较，该市楼市价格有涨有跌。
C。
2017年2月至7月该市市价格涨跌波动不大，变化比较平稳。
D。
2017年1月至7月分别与2016年1月至7月相比较，1月该市楼市价格涨幅最大。
(必考题)高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试题(有答案解析)(1)
一、选择题1．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=(0,0)a b >>的左、右焦点，过1F 的直线l 交椭圆于D 、E 两点，115,DF F E=2DF =2DF x ⊥轴.若点P 是圆22:1O x y +=上的一个动点，则12PF PF ⋅的取值范围是（ ）A ．[3,5]B ．[2,5]C ．[2,4]D ．[3,4]2．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），直线l的方程为4x y +=，则曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值是（ ） ABC ．1D ．23．已知圆的参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为3490cos sin ραρα--=，则直线与圆的位置关系是( ) A ．相切 B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心4．已知P 为曲线3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，0θπ）上一点，O 为原点，直线PO 的倾斜角为4π，则P 点的坐标是（ ） A ．(3,4)B．⎝ C ．(-3,-4)D ．1212,55⎛⎫⎪⎝⎭ 5．已知(,)P x y是椭圆sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩上任意一点，则点P到40x -=的距离的最大值为（ ） AB．2CD．26．直线4x 1t 5(t 3y 1t5⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数)被曲线πρθ4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所截的弦长为( )A ．15B ．710C ．75D ．577．已知抛物线的参数方程为2x 4t y 4t⎧=⎨=⎩，若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为( )A ．22B ．42C ．8D ．48．已知直线l 的参数方程为3332112x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），直线l 与圆2216x y +=相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点坐标为（ ） A ．(3,3)-B ．(3,3)-C ．(3,3)-D ．33(,)-9．已知直线3:2x tl y t⎧=⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），抛物线C 的方程22,y x l =与C 交于12,P P ，则点()0,2A 到12,P P 两点距离之和是（ ）A ．43+B ．2(23)+C ．4(23)+D ．83+10．过()0,2P -，倾斜角为60︒的直线与曲线232y x x =-+交于A B 、两点，则PA PB ⋅= ( )A ．623+B ．16C ．8D ．623-11．直线1sin 70{2cos70x t y t =+=+(t 为参数)的倾斜角为 ( )A ．70°B ．20°C ．160°D ．110°12．直线（为参数）被曲线截得的弦长是（ ）A ．B ．2C ．D ．2二、填空题13．直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A B ，分别在曲线13cos :sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）和曲线2:1C ρ=上，则AB 的最小值为______.14．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知抛物线参数方程为2x 4ty 4t (t =⎧=⎨⎩为参数)焦点为F ，直线l 的极坐标方程为π2ρsin θ4⎛⎫-= ⎪⎝⎭F 到直线l 的距离为______．15．在直角坐标系xOy 中，若直线:x t l y t a =⎧⎨=-⎩（t 为参数）过椭圆4cos :5sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的左顶点，则a =__________．16．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的极坐标方程为()4R πθρ=∈，它与曲线1222x cos y sin αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）,相交于两点A 和 B ，则AB =__________．17．设P 、Q 分别为直线1,82x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数，t R ∈）和曲线1,:2x C y θθ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（θ为参数，R θ∈）上的点，则PQ 的取值范围是______． 18．在极坐标系中，圆1C的方程为4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆2C 的参数方程为1cos (1x a y asin θθθ=-+⎧⎨=-+⎩为参数），若圆1C 与圆2C 外切，则正数a = _________.19．内接于半径为R 的半圆的周长最大的矩形的宽和长分别为_____________20．在椭圆2211612x y +=上找一点，使这一点到直线2120x y --=的距离的最小.则这个点的坐标为________三、解答题21．已知直线1l 过点()1,3M ，倾斜角是3π，直线2:sin cos 20l ρθρθ+-=. （1）写出直线1l 的参数方程；（2）直线1l 与直线2l 的交点为N ，求MN .22．已知直线5:12x l y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的坐标方程为2cos ρθ=． （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点M的直角坐标为(，直线l 与曲线C 的交点为A 、B ，求AB 的值．23．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），椭圆C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数） （1）将直线l 的参数方程化为极坐标方程；（2）设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.24．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为x m y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（其中t 为参数，0)m >．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρθ=，l 被C（1）求实数m 的值；（2）设l 与C 交于点A ，B ，若点P的坐标为(m ，求||||PA PB +的值．25．已知曲线2cos ,:2sin ,x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），设曲线C 经过伸缩变换,12x x y y ='='⎧⎪⎨⎪⎩得到曲线C '，以直角坐标中的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C '的极坐标方程；（2）若,A B 是曲线C '上的两个动点，且OA OB ⊥，求22|OA OB +的最小值．26．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：cos ,sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，π02α<<），曲线1C ：2cos 4+2sin x y ββ=⎧⎨=⎩,（β为参数），1l 与1C 相切于点A ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求1C 的极坐标方程及点A 的极坐标； （2）已知直线2l ：()6R πθρ=∈与圆2C：2cos 20ρθ-+=交于B ，C 两点，记AOB ∆的面积为1S ，2COC ∆的面积为2S ，求1221S S S S +的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A 解析：A 【分析】由题意可得,D E 两点坐标，代入椭圆方程可求出椭圆的焦点，然后设()cos ,sin P θθ， 利用两点间的距离公式以及三角函数的性质可求出12PF PF ⋅的范围. 【详解】由题意可知，(D c，7,5E c ⎛- ⎝⎭，将,D E 代入椭圆方程得2222222222112492412525c c a b a c b a b ⎧⎧+=⎪=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪⎩， 所以()12,0F -，()22,0F ， 设()cos ,sin P θθ， 则12PF PF ⋅==，所以12PF PF ⋅的取值范围是[3,5]. 故选：A 【点睛】本题考查了椭圆的性质，考查了转化与化归的思想，同时考查了圆的参数方程以及三角函数的性质，属于中档题.2．B解析：B 【分析】设曲线C 上任意一点的坐标为),sin θθ，利用点到直线的距离公式结合辅助角公式可得出曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值. 【详解】设曲线C 上任意一点的坐标为),sin θθ，所以，曲线C 上的一点到直线l的距离为d ==42sin πθ⎛⎫-+ ⎪=， 当()232k k Z ππθπ+=+∈时，d取最小值，且min d == B. 【点睛】本题考查椭圆参数方程的应用，考查椭圆上的点到直线距离的最值问题，解题时可将椭圆上的点用参数方程表示，利用三角恒等变换思想求解，考查运算求解能力，属于中等题.3．D解析：D 【分析】分别计算圆和直线的普通方程，根据圆心到直线的距离判断位置关系. 【详解】 圆的参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)224x y ⇒+=直线的极坐标方程为34903490cos sin x y ραρα--=⇐--= 圆心到直线的距离为：925d r =<=相交 圆心坐标代入直线不满足，所以直线不过圆心. 故答案选D 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，直线和圆心的位置关系，综合性较强，意在考查学生的综合应用能力.4．D解析：D 【解析】 【分析】根据两点斜率公式求出点P 的参数θ即可求解. 【详解】设点P 的坐标为(3cos ,4sin )θθ. 由题意知3cos 4sin θθ=，∴3tan 4θ=，又0θπ， ∴3sin 5θ=，4cos 5θ=， ∴4123cos 355x θ==⨯=，3124sin 455y θ==⨯=， ∴点P 的坐标为1212,55⎛⎫⎪⎝⎭.故选D. 【点睛】本题考查椭圆的参数方程，直线的倾斜角.5．A解析：A【分析】设点,sin )P αα，求得点P到直线的距离为d =数的性质，即可求解. 【详解】由题意，点(),P x y是椭圆x y sin αα⎧=⎪⎨=⎪⎩上任意一点，设点,sin )P αα，则点P到直线40x -=的距离为d ==当cos()14πα+=-时，距离dA. 【点睛】本题主要考查了椭圆的参数方程的应用，以及点到直线的距离公式和三角函数的性质的应用，其中解答中合理利用椭圆的参数方程，设点,sin )P αα，再利用点到直线的距离公式和三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.6．C解析：C 【解析】 【详解】分析：先把参数方程和极坐标方程化为普通方程，并求出圆心到直线的距离d ，再利用关系：l =l ．详解：直线415(t 315x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数)化为普通方程：直线3410x y ++= ． ∵曲线πρθ4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，展开为2cos sin cos sin ρθθρρθρθ=-∴=-，， 化为普通方程为22x y x y +=- ，即22111()()222x y -++＝， ∴圆心11()22C r -，，圆心C到直线距离110d == ， ∴直线被圆所截的弦长75l =． 故选C ．点睛：本题考查直线被圆截得弦长的求法，正确运用弦长l 、圆心到直线的距离、半径r 三者的关系：l =是解题的关键．7．C解析：C 【解析】分析：先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立，消去y ，根据韦达定理求得12x x +的值，进而根据抛物线的定义可知1222p p AB x x =+++， 求得答案． 详解：抛物线的参数方程为24t 4x y t⎧=⎨=⎩，普通方程为24y x = ，抛物线焦点为10（，） ，且直线l 斜率为1，则直线方程为1y x =- ，代入抛物线方程24y x =得2610x x -+=，设112212,6Ax y B x y x x ∴+=（，），（，） 根据抛物线的定义可知|121262822p pAB x x x x p =+++=++=+=，， 故选：C ．点睛：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系，抛物线的简单性质．对学生基础知识的综合考查．关键是：将直线的方程代入抛物线的方程，消去y 得到关于x 的一元二次方程，再结合根与系数的关系，利用弦长公式即可求得|AB|值，从而解决问题．8．C解析：C 【解析】分析：将直线l 的参数方程化为普通方程，与圆方程联立，由韦达定理结合中点坐标公式可得结果.详解：直线112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数），即x =-， 代入圆2216x y +=化简可得y y -+=2680，126y y ∴+=，即AB 的中点的纵坐标为3，AB ∴的中点的横坐标为=故AB的中点的坐标为()，故选C.点睛：本题主要考查参数方程化为普通方程，以及直线与圆的位置关系，属于中档题. 消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法.9．C解析：C 【分析】先写出直线的标准参数方程，再代入y 2＝2x ，利用直线参数方程t 的几何求解. 【详解】将直线l参数方程化为122x y t ''⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t′为参数)，代入y 2＝2x ，得t′2＋4(2＋16＝0，设其两根为t 1′，t 2′，则t 1′＋t 2′＝－4(2， t 1′t 2′＝16>0.由此知在l 上两点P 1，P 2都在A(0，2)的下方， 则|AP 1|＋|AP 2|＝|t 1′|＋|t 2′|＝|t 1′＋t 2′|＝4(2． 故答案为C 【点睛】(1)本题主要考查直线的参数方程和t 的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 过定点()00,P x y 、倾斜角为α的直线的参数方程00x x tcos y y tsin αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.当动点A 在定点()00,P x y 上方时,0,||t t PA >=且. 当动点B 在定点()00,P x y 下方时,0,|t t PB =-且.(3)解答本题不能直接把参数方程代入圆的方程，一定要化成标准形式，才能利用参数方程t 的几何意义解答.10．B解析：B 【解析】设直线参数方程12,()22x t t y 为参数⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入曲线，得2122(3160,16,t t t t -+==由参数t 的几何意义可知，PA PB ⋅1216t t ==．选B.【点睛】对于过定点P 且知道倾斜角（或斜率）的直线，与曲线交于两点A,B,求22,,PB PA PB PA PB PA +⋅+等式子的值时，我们常设直线的参数方程，再利用参数t 的几何意义解题．11．B解析：B 【解析】 由题设可知02cos70sin 20tan 201sin 70cos 20y k x -====-，故依据直线的斜率与与倾斜角之间的关系可知该直线的倾斜角为020α=，应选答案B 。
高中数学 第二讲 参数方程测评习题(含解析)新人教A版选修4-4-新人教A版高二选修4-4数学试题
第二讲测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.若直线l 的参数方程为{x =2017+3t ,y =2016-t (t 为参数),则直线l 的斜率等于()A.3B.-3C.1D.-13l 的斜率k=-13=-13.2.直线3x-4y-9=0与圆:{x =2cosθ,y =2sinθ(θ为参数)的位置关系是()A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心(0,0),半径为2,圆心到直线3x-4y-9=0的距离d=95<2,故直线与圆相交但直线不过圆心.3.参数方程为{x =t +1t ,y =2(t 为参数)表示的曲线是()A.一条直线B.两条直线C.一条射线D.两条射线2表示一条平行于x 轴的直线,而由x=t+1t知x ≥2或x ≤-2,所以参数方程表示的曲线是两条射线.4.已知椭圆的参数方程为{x =2cost ,y =4sint(t 为参数),点M 在椭圆上,对应参数t=π3,点O 为原点,则直线OM的斜率为() A.√3 B.-√33C.2√3D.-2√3t=π3时,x=1,y=2√3,则M (1,2√3),所以直线OM 的斜率k=2√3. 5.已知圆的渐开线{x =r (cosφ+φsinφ),y =r (sinφ-φcosφ)(φ为参数)上一点的坐标为(3,0),则渐开线对应的基圆的面积为()A.πB.3πC.4πD.9π(3,0)代入参数方程得{3=r (cosφ+φsinφ), ①0=r (sinφ-φcosφ),②由②得φ=tan φ,即φ=0.再代入①得r=3,即基圆的半径为3,故其面积为9π.6.已知直线l 的参数方程为{x =a +t ,y =b +t (t 为参数),l 上的点P 1对应的参数是t 1,则点P 1与点P (a ,b )之间的距离是() A.|t 1| B.2|t 1| C.√2|t 1|D.√22|t 1|P 1的坐标为(a+t 1,b+t 1),则点P 1与点P 之间的距离为√t 12+t 12=√2|t 1|.7.直线{x =1+12t ,y =-3√3+√32t(t 为参数)和圆x 2+y 2=16相交于A ,B 两点,则线段AB 中点的坐标为() A.(3,-3) B.(3,-√3) C.(√3,-3)D.(-√3,3)(1+12t)2+(-3√3+√32t)2=16,得t 2-8t+12=0.设点A ,B 对应的参数分别为t 1,t 2,则t 1+t 2=8,t 1+t 22=4.所以线段AB 的中点的坐标满足{x =1+12×4,y =-3√3+√32×4, 即{x =3,y =-√3.故所求的中点坐标为(3,-√3).8.已知经过曲线{x =3cosθ,y =4sinθ(θ为参数,0≤θ≤π)上的一点P 与原点O 的直线PO ,若它的倾斜角为π4,则点P 的极坐标为() A.(3,π4) B.(3√22,π4) C.(-125,π4)D.(12√25,π4)将曲线化成普通方程为x 29+y 216=1(y ≥0),将其与直线PO :y=x 联立可得点P 的坐标为(125,125).利用直角坐标与极坐标的互化公式可得点P 的极坐标为(12√25,π4).9.与普通方程x 2+y-1=0等价的参数方程是() A.{x =sint ,y =cos 2t (t 为参数) B.{x =tanφ,y =1-tan 2φ(φ为参数) C.{x =√1-t ,y =t (t 为参数) D.{x =cosθ,y =sin 2θ(θ为参数)A 中,由于普通方程x 2+y-1=0中x 可以取得一切实数,但A 中x 大于等于-1,小于等于1,故错误;选项B 中,结合正切函数的图象可知,满足题意;选项C 中,由偶次根式的定义可知,x 不可能取得一切实数,故错误;选项D 中,结合余弦函数的有界性可知x 不能取得一切实数,错误.故选B .10.已知直线l :{x =√3t ,y =2-t (t 为参数)和抛物线C :y 2=2x ,l 与C 分别交于点P 1,P 2,则点A (0,2)到P 1,P 2两点的距离之和是() A.4+√3 B.2(2+√3) C.4(2+√3)D.8+√3{x =-√32t ',y =2+12t '(t'为参数,t'=-2t ),将其代入y 2=2x ,得t'2+4(2+√3)t'+16=0. 设t'1,t'2分别为方程的根,则t'1+t'2=-4(2+√3),t'1t'2=16>0,由此可知t'1,t'2均小于零,则|AP 1|+|AP 2|=|t'1|+|t'2|=|t'1+t'2|=4(2+√3).11.若曲线C 的参数方程为{x =2+3cosθ,y =-1+3sinθ(θ为参数),直线l 的方程为x-3y+2=0,则曲线C 上到直线l的距离为7√1010的点的个数为() A.1B.2C.3D.4C 的普通方程为(x-2)2+(y+1)2=9,它表示以(2,-1)为圆心,半径为3的圆,其中圆心(2,-1)到直线x-3y+2=0的距离d=√10=7√1010,且3-7√1010<7√1010, 故过圆心且与l 平行的直线与圆交于两点,满足题意的点即为该两点.12.导学号73574066过抛物线{x =2t 2,y =√3t (t 为参数)的焦点的弦长为2,则弦长所在直线的倾斜角为() A.π3 B.π3或2π3 C.π6D.π6或5π6y 2=32x ,它的焦点坐标为(38,0).设弦所在直线的方程为y=k (x -38),由{y 2=32x ,y =k (x -38)消去y ,得64k 2x 2-48(k 2+2)x+9k 2=0.设弦的两个端点的坐标为(x 1,y 1),(x 2,y 2),则|x 1-x 2|=√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√(34·k 2+2k 2)2-916=√1+k2,解得k=±√3.故倾斜角为π3或2π3.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.在平面直角坐标系xOy 中,若直线l 1:{x =2s +1,y =s (s 为参数)和直线l 2:{x =at ,y =2t -1(t 为参数)平行,则常数a 的值为.1的普通方程为x=2y+1,l 2的普通方程为x=a ·y+12,即x=a2y+a2,因为l 1∥l 2,所以2=a2,故a=4.14.设P (x ,y )是圆C :(x-2)2+y 2=4上的动点,记以射线Ox 为始边、以射线OP 为终边的最小正角为θ,则以θ为参数的圆C 的参数方程为.C 的圆心坐标为(2,0),半径为2,如图,由圆的性质知以射线Cx 为始边、以射线CP 为终边的最小正角为2θ,所以圆C 的参数方程为{x =2+2cos2θ,y =2sin2θ(θ为参数).x =2+2cos2θ,y =2sin2θ(θ为参数)15.在平面直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为ρcos θ=4的直线与曲线{x =t 2,y =t 3(t 为参数)相交于A ,B 两点,则|AB|=.ρcos θ=4化为直角坐标方程是x=4,而由曲线的参数方程消参得x 3=y 2,所以y 2=43=64, 即y=±8.所以|AB|=|8-(-8)|=16.16.若直线{x =tcosα,y =tsinα(t 为参数)与圆{x =4+2cosα,y =2sinα(α为参数)相切,则此直线的倾斜角α=.y=x ·tan α,圆(x-4)2+y 2=4,如图所示,sin α=24=12,则α=π6或α=5π6.5π6三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线: (1){x =7cosφ,y =4sinφ(φ为参数);(2){x =1-5t ,y =7t (t 为参数).因为{x =7cosφ,y =4sinφ,所以{x7=cosφ,y4=sinφ.两边平方相加,得x 249+y 216=cos 2φ+sin 2φ=1,故所求的普通方程为x 249+y 216=1,它表示焦点在x 轴上,且长轴长为14,短轴长为8,中心在原点的椭圆. (2)因为{x =1-5t ,y =7t ,所以将t=y 7代入x=1-5t ,得x=1-5·y7,即7x+5y-7=0.故所求的普通方程为7x+5y-7=0, 它表示过(0,75)和(1,0)的一条直线.18.(本小题满分12分)已知直线l 1的方程为{x =1+t ,y =-5+√3t (t 为参数),直线l 2的方程为x-y-2√3=0.求直线l 1和直线l 2的交点P 的坐标及点P 与点Q (2√3,-5)间的距离.{x =1+t ,y =-5+√3t代入x-y-2√3=0,得t=2√3,∴点P 的坐标为(1+2√3,1).又点Q 为(2√3,-5),∴|PQ|=√12+62=√37.19.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为{x =1+3cost ,y =-2+3sint (t 为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴非负半轴为极轴)中,直线l 的方程为√2ρsin (θ-π4)=m (m ∈R ).(1)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程; (2)设圆心C 到直线l 的距离等于2,求m 的值.消去参数t ,得圆C 的普通方程为(x-1)2+(y+2)2=9.由√2ρsin (θ-π4)=m , 得ρsin θ-ρcos θ-m=0.所以直线l 的直角坐标方程为x-y+m=0. (2)依题意,圆心C 到直线l 的距离等于2, 即2=2,解得m=-3±2√2.20.(本小题满分12分)已知在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为{x =3+2cosθ,y =-4+2sinθ(θ为参数).(1)以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求圆C 的极坐标方程; (2)若A (-2,0),B (0,2),圆C 上任意一点M (x ,y ),求△ABM 面积的最大值.因为圆C 的参数方程为{x =3+2cosθ,y =-4+2sinθ(θ为参数),所以其普通方程为(x-3)2+(y+4)2=4.将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入,得(ρcos θ-3)2+(ρsin θ+4)2=4,化简得ρ2-6ρcos θ+8ρsin θ+21=0.故圆C 的极坐标方程为ρ2-6ρcos θ+8ρsin θ+21=0.(2)由题意知直线AB 的方程为x-y+2=0,点M (x ,y )到直线AB :x-y+2=0的距离d=√2,△ABM 的面积S=12×|AB|×d=|2cos θ-2sin θ+9|=|2√2sin (π4-θ)+9|.所以△ABM 面积的最大值为9+2√2. 21.导学号73574067(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1:{x =tcosα,y =tsinα(t 为参数,t ≠0),其中 0≤α<π.在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=2sin θ,C 3:ρ=2√3cos θ. (1)求C 2与C 3交点的直角坐标;(2)若C 1与C 2相交于点A ,C 1与C 3相交于点B ,求|AB|的最大值.曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2-2y=0,曲线C 3的直角坐标方程为x 2+y 2-2√3x=0.联立{x 2+y 2-2y =0,x 2+y 2-2√3x =0,解得{x =0,y =0或{x =√32,y =32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和(√32,32).(2)曲线C 1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R ,ρ≠0),其中0≤α<π.因此点A 的极坐标为(2sin α,α),点B 的极坐标为(2√3cos α,α).所以|AB|=|2sin α-2√3cos α|=4|sin (α-π3)|.当α=5π6时,|AB|取得最大值,且最大值为4. 22.导学号73574068(本小题满分12分)已知曲线C 1的参数方程是{x =2cosφ,y =3sinφ(φ为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD 的顶点都在C 2上,且A ,B ,C ,D 依逆时针次序排列,点A 的极坐标为(2,π3). (1)求点A ,B ,C ,D 的直角坐标;(2)设P 为C 1上的任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值X 围.由已知可得A ,B ,C ,D 的直角坐标分别为A (2cos π3,2sin π3),B (2cos (π3+π2),2sin (π3+π2)), C (2cos (π3+π),2sin (π3+π)),D (2cos (π3+3π2),2sin (π3+3π2)),即A (1,√3),B (-√3,1),C (-1,-√3),D (√3,-1).(2)设P (2cos φ,3sin φ),令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2, 则S=16cos 2φ+36sin 2φ+16=32+20sin 2φ. 因为0≤sin 2φ≤1,所以S 的取值X 围是[32,52].。
高中数学 第二讲 参数方程 三 直线的参数方程学案(含解析)4-4
三直线的参数方程1．直线的参数方程（1)过点M0（x0,y0）,倾斜角为α的直线l的参数为错误!（t为参数)．（2）由α为直线的倾斜角知,α∈已知直线l的方程为3x－4y＋1＝0，点P（1，1)在直线l上，写出直线l的参数方程，并求点P到点M(5,4）的距离．由直线参数方程的概念，先求其斜率，进而由斜率求出倾斜角的正弦值、余弦值，从而得到直线参数方程．由直线方程3x－4y＋1＝0可知，直线的斜率为错误!,设直线的倾斜角为α，则tan α＝错误!，sin α＝错误!，cos α＝错误!.又点P(1，1)在直线l上，所以直线l的参数方程为错误!(t为参数）．因为3×5－4×4＋1＝0，所以点M在直线l上．由1＋错误!t＝5，得t＝5，即点P到点M的距离为5.理解并掌握直线参数方程的转化,弄清参数t的几何意义，即直线上动点M到定点M0的距离等于参数t的绝对值，是解决此类问题的关键．1．一直线过P0(3,4）,倾斜角α＝错误!,求此直线与直线3x＋2y＝6的交点M与P0之间的距离．解：由题意设直线的参数方程为错误!（t为参数），将它代入已知直线3x＋2y－6＝0，得3错误!＋2错误!＝6。
解得t＝－错误!，∴｜MP0｜＝|t|＝错误!。
2．已知直线l的参数方程为错误!求直线l的倾斜角．解:将参数方程化成另一种形式错误!若2t为一个参数,则错误!在α∈已知直线l经过点P(1，1），倾斜角α＝错误!，(1）写出直线l的参数方程；(2)设l与圆x2＋y2＝4相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．（1)由直线参数方程的概念可直接写出方程；(2)充分利用参数几何意义求解．(1）∵直线l过点P（1，1)，倾斜角为错误!，∴直线的参数方程为错误!即错误!(t为参数)为所求．(2）∵点A,B都在直线l上，所以可设它们对应的参数为t1和t2，则点A，B的坐标分别为A错误!，B错误!，将直线l的参数方程代入圆的方程x2＋y2＝4整理得到t2＋（错误!＋1)t－2＝0,①又∵t1和t2是方程①的解，从而t1t2＝－2。
(六十二) 参数方程 Word版含解析
课时达标检测（六十二） 参数方程1．(2018·河南息县第一高级中学段测)已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝m ＋sin α(α为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋55t ，y ＝4＋255t (t 为参数)．(1)求曲线C 与直线l 的普通方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，且|PQ |＝455，求实数m 的值．2．在极坐标系中，已知三点O (0,0)，A ⎝⎛⎭⎫2，π2，B ⎝⎛⎭⎫22，π4. (1)求经过点O ，A ，B 的圆C 1的极坐标方程；(2)以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(θ是参数)，若圆C 1与圆C 2外切，求实数a 的值． 3．(2018·湖北宜昌模拟)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝x ，圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝－2＋sin θ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线l 与圆C 的极坐标方程；(2)设直线l 与圆C 的交点为M ，N ，求△CMN 的面积．4．(2018·豫南九校联考)在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B .(1)若α＝π3，求线段AB 的中点M 的坐标；(2)若|PA |·|PB |＝|OP |2，其中P (2，3)，求直线l 的斜率．5．(2018·江西百校联盟模拟)在平面直角坐标系xOy 中，C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝k (t －1)(t 为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 2：ρ2＋10ρcos θ－6ρsin θ＋33＝0.(1)求C 1的普通方程及C 2的直角坐标方程，并说明它们分别表示什么曲线； (2)若P ，Q 分别为C 1，C 2上的动点，且|PQ |的最小值为2，求k 的值．6．(2018·湖南岳阳模拟)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝6sin θ，以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋at ，y ＝1＋t (t 为参数)．(1)求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程；(2)直线l 与曲线C 交于B ，D 两点，当|BD |取到最小值时，求a 的值．7．(2018·河南六市联考)在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知点M 是曲线C 1上任意一点，点N 是曲线C 2上任意一点，求|MN |的取值范围． 8．极坐标系与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)．曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝8cos θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，与x 轴的交点为F ，求1|AF |＋1|BF |的值．。
2017-2018学年高中数学人教A版选修4-4学案：第二讲 三
三直线的参数方程[对应学生用书P27]1．直线的参数方程(1)过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)(2)由α为直线的倾斜角知α∈[0，π)时，sin α≥0. 2．直线参数方程中参数t 的几何意义参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0的距离． (1)当M 0M ―→与e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数． (2)当M 0M ―→与e 反向时，t 取负数，当M 与M 0重合时，t ＝0.[对应学生用书P27][例1] 已知直线l 的方程为3x －4y ＋1＝0，点P (1,1)在直线l 上，写出直线l 的参数方程，并求点P 到点M (5,4)的距离．[思路点拨] 由直线参数方程的概念，先求其斜率，进而由斜率求出倾斜角的正、余弦值，从而得到直线参数方程．[解] 由直线方程3x －4y ＋1＝0可知，直线的斜率为34，设直线的倾斜角为α，则tan α＝34，sin α＝35，cos α＝45. 又点P (1,1)在直线l 上，所以直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t ，y ＝1＋35t(t 为参数)．因为3×5－4×4＋1＝0，所以点M 在直线l 上． 由1＋45t ＝5，得t ＝5，即点P 到点M 的距离为5.理解并掌握直线参数方程的转化，弄清参数t 的几何意义，即直线上动点M 到定点M 0的距离等于参数t 的绝对值是解决此类问题的关键．1．设直线l 过点A (2，－4)，倾斜角为5π6，则直线l 的参数方程为________________．解析：直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos 5π6，y ＝－4＋t sin 5π6(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－32t ，y ＝－4＋12t(t 为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－32t ，y ＝－4＋12t(t 为参数)2．一直线过P 0(3,4)，倾斜角α＝π4，求此直线与直线3x ＋2y ＝6的交点M 与P 0之间的距离．解：设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋22t ，y ＝4＋22t ，将它代入已知直线3x ＋2y －6＝0，得3(3＋22t )＋2(4＋22t )＝6. 解得t ＝－1125， ∴|MP 0|＝|t |＝1125.[例2] 已知直线l 经过点P (1,1)，倾斜角α＝π6， (1)写出直线l 的参数方程．(2)设l 与圆x 2＋y 2＝4相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积． [思路点拨] (1)由直线参数方程的概念可直接写出方程；(2)充分利用参数几何意义求解．[解] (1)∵直线l 过点P (1,1)，倾斜角为π6， ∴直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝1＋t sin π6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t为所求．(2)因为点A ，B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2，则点A ，B 的坐标分别为A (1＋32t 1,1＋12t 1)，B (1＋32t 2,1＋12t 2)，以直线l 的参数方程代入圆的方程x 2＋y 2＝4整理得到t 2＋(3＋1)t －2＝0，①因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2. 所以|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝|－2|＝2.求解直线与圆或圆锥曲线有关的弦长时，不必求出交点坐标，根据直线参数方程中参数t 的几何意义即可求得结果，与常规方法相比较，较为简捷．3．直线l 通过P 0(－4,0)，倾斜角α＝π6，l 与圆x 2＋y 2＝7相交于A 、B 两点． (1)求弦长|AB |； (2)求A 、B 两点坐标．解：∵直线l 通过P 0(－4,0)，倾斜角α＝π6，∴可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋32t ，y ＝t 2.代入圆方程，得(－4＋32t )2＋(12t )2＝7. 整理得t 2－43t ＋9＝设A 、B 对应的参数分别t 1和t 2， 由根与系数的关系得t 1＋t 2＝43，t 1t 2＝9 ∴|AB |＝|t 2－t 1|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝2 3. 解得t 1＝33，t 2＝3，代入直线参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋32t ，y ＝12t ，得A 点坐标(12，332)，B 点坐标(－52，32)．4.如图所示，已知直线l 过点P (2,0)，斜率为43，直线l 和抛物线y 2＝2x 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M ，求：(1)P ，M 间的距离|PM |； (2)点M 的坐标．解：(1)由题意，知直线l 过点P (2,0)，斜率为43， 设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝43， cos α＝35，sin α＝45，∴直线l 的参数方程的标准形式为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35t ，y ＝45t(t 为参数)． *∵直线l 和抛物线相交，∴将直线l 的参数方程代入抛物线方程y 2＝2x 中， 整理得8t 2－15t －50＝0，Δ＝152＋4×8×50＞0. 设这个二次方程的两个根为t 1，t 2， 由根与系数的关系得t 1＋t 2＝158，t 1t 2＝－254. 由M 为线段AB 的中点， 根据t 的几何意义，得|PM | ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝1516. (2)因为中点M 所对应的参数为t M ＝1516， 将此值代入直线l 的参数方程的标准形式(*)， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35×1516＝4116，y ＝45×1516＝34，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4116，34.[对应学生用书P28]一、选择题1．直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t2，y ＝2－32t ，M 0(－1,2)和M (x ，y )是该直线上的定点和动点，则t 的几何意义是( )A ．有向线段M 0M 的数量B ．有向线段MM 0的数量C ．|M 0M |D ．以上都不是解析：参数方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋(－12)(－t )，y ＝2＋32(－t ).答案：B2．曲线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3t 2＋2，y ＝t 2－1(t 是参数)，则曲线是( ) A ．线段 B ．双曲线的一支 C ．圆D ．射线解析：由y ＝t 2－1得y ＋1＝t 2，代入x ＝3t 2＋2， 得x －3y －5＝0(x ≥2)．故选D. 答案：D3．直线⎩⎨⎧x ＝2＋3t ，y ＝－1＋t (t 为参数)上对应t ＝0，t ＝1两点间的距离是( )A ．1 B.10 C ．10D ．2 2解析：因为题目所给方程不是参数方程的标准形式，参数t 不具有几何意义，故不能直接由1－0＝1来得距离，应将t ＝0，t ＝1分别代入方程得到两点坐标(2，－1)和(5,0)，由两点间距离公式来求出距离，即(2－5)2＋(－1－0)2＝10.答案：B4．若直线⎩⎨⎧ x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎨⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，那么直线倾斜角α为( )A.π6B.π4C.π3D.π6或5π6解析：直线化为yx ＝tan α，即y ＝tan α·x ， 圆方程化为(x －4)2＋y 2＝4， ∴由|4tan α|tan 2α＋1＝2⇒tan 2α＝13， ∴tan α＝±33，又α∈[0，π)，∴α＝π6或5π6. 答案：D 二、填空题5．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝－3－22t(t 为参数)上到点M (2，－3)的距离为2且在点M下方的点的坐标是________．解析：把参数方程化成标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22(－t )，y ＝－3＋22(－t )，把－t 看作参数，所求的点在M (2，－3)的下方，所以取－t ＝－2，即t ＝2，所以所求点的坐标为(3，－4)．答案：(3，－4)6．若直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－35t ，y ＝45t(t 为参数)，则直线l 的斜率为______．解析：由参数方程可知，cos θ＝－35，sin θ＝45.(θ为倾斜角)．∴tan θ＝－43，即为直线斜率． 答案：－437．已知直线l 1：⎩⎨⎧ x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)，l 2：⎩⎨⎧x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)，若l 1∥l 2，则k ＝____________；若l 1⊥l 2，则k ＝________.解析：将l 1，l 2的方程化为普通方程，得 l 1：kx ＋2y －4－k ＝0，l 2：2x ＋y －1＝0， l 1∥l 2⇒k 2＝21≠4＋k1⇒k ＝4. l 1⊥l 2⇒(－2)·(－k2)＝－1⇒k ＝－1. 答案：4 －1 三、解答题8．设直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝5＋3t ，y ＝10－4t (t 为参数)．(1)求直线的普通方程；(2)将参数方程的一般形式化为参数方程的标准形式． 解：(1)把t ＝x －53代入y 的表达式 得y ＝10－4(x －5)3，化简得4x ＋3y －50＝0，所以直线的普通方程为4x ＋3y －50＝0. (2)把参数方程变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－35(－5t )，y ＝10＋45(－5t )，令t ′＝－5t ，即有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－35t ′，y ＝10＋45t ′(t ′为参数)为参数方程的标准形式．9．已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长度．解：因为直线l 的斜率为1，所以直线l 的倾斜角为π4. 椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点为(3，0)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，代入椭圆方程x 24＋y 2＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋22t 24＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝1，整理，得5t 2＋26t －2＝0. 设方程的两实根分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－265，t 1·t 2＝－25， |t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2 ＝⎝⎛⎭⎪⎫－2652＋85＝85，所以弦AB 的长为85.10．已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l 经过定点P (3,5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|P A |·|PB |的值． 解：(1)曲线C ：(x －1)2＋(y －2)2＝16， 直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝5＋32t(t 为参数)．(2)将直线l 的参数方程代入圆C 的方程可得t 2＋(2＋33)t －3＝0， 设t 1，t 2是方程的两个根，则t 1t 2＝－3，所以|P A ||PB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝3.。
高中数学 第二章 参数方程 三 直线的参数方程检测(含解析)4-4
三、直线的参数方程A 级 基础巩固一、选择题1．直线错误!(α为参数，0≤α〈π)必过点（ ）A ．（1,－2）B ．(－1，2)C ．（－2，1）D ．（2，－1)解析:由参数方程可知该直线是过定点（1，－2)，倾斜角为α的直线．答案：A2．对于参数方程错误!和错误!下列结论正确的是（ )A ．是倾斜角为30°的两平行直线B ．是倾斜角为150°的两重合直线C ．是两条垂直相交于点（1，2)的直线D ．是两条不垂直相交于点(1,2）的直线解析：因为参数方程错误!可化为标准形式错误!所以其倾斜角为150°.同理,参数方程错误!可化为标准形式错误!所以其倾斜角也为150°。
又因为两直线都过点(1，2），故两直线重合．答案：B3．若直线｛x ＝1－2t ，y ＝2＋3t （t 为参数）与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝（ ） A.83B ．－6C ．6D ．－错误!解析：由直线的参数方程可得直线的斜率为－错误!,由题意得直线4x ＋ky ＝1的斜率为－错误!，故－错误!×错误!＝－1，解得k ＝－6。
答案:B4．直线错误!(t 是参数，0≤θ〈π)与圆错误!(α是参数)相切,则θ＝ （ ）A.错误!B.错误! C 。
错误!或错误! D.错误!或错误!解析:直线为y ＝x tan θ,圆为(x －4)2＋y 2＝4，因为直线与圆相切，所以圆心(4，0）到直线x tan θ－y＝0的距离等于半径2,即错误!＝2，解得tan θ＝±错误!，易知θ＝错误!或错误!.答案：C5．若圆的方程为错误!（θ为参数），直线的方程为错误!（t为参数），则直线与圆的位置关系是（)A．相交过圆心B．相交而不过圆心C．相切D．相离解析：圆的圆心坐标是(－1，3）,半径是2，直线的普通方程是3x－y＋2＝0，圆心到直线的距离是错误!＝错误!＝错误!〈2，故直线与圆相交而不过圆心．答案：B二、填空题6．若直线l的参数方程为错误!（t为参数)，则直线l的斜率为________．解析：由参数方程可知,cos θ＝－错误!，sin θ＝错误!(θ为倾斜角），所以tan θ＝－错误!,即为直线斜率．答案：－错误!7．已知直线l：错误!(t为参数）,圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ,则圆心C到直线l的距离为________．解析:直线l的普通方程为2x－y＋1＝0，圆ρ＝2cos θ的直角坐标方程为x2＋y2－2x ＝0,即（x－1）2＋y2＝1，圆心为（1，0）．故圆心C到直线l的距离为错误!＝错误!。
2017-2018学年数学人教A版选修4-4优化练习：第二讲 三 直线的参数方程 Word版含解析
[课时作业] [A 组 基础巩固]1．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t sin 70°，y ＝2＋t cos 70°(t 为参数)的倾斜角为( )A ．70°B ．20°C ．160°D ．110°解析：将直线参数方程化为标准形式：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 20°，y ＝2＋t sin 20°(t 为参数)，则倾斜角为20°，故选B. 答案：B2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)与二次曲线交于A ，B 两点，A ，B 对应的参数值分别为t 1，t 2，则|AB |等于( )A ．|t 1＋t 2|B ．|t 1|＋|t 2|C ．|t 1－t 2|D.|t 1＋t 2|2解析：由参数t 的几何意义可知，|AB |＝|t 1－t 2|，故选C. 答案：C3．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1－π2t ，y ＝2＋π2t (t 为参数)，则直线l 的斜率为( )A ．1B ．－1 C.π2D ．－π2解析：直线参数方程一般式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)，表示直线过点M 0(x 0，y 0)，斜率k ＝ba，故k ＝π2－π2＝－1.故选B.答案：B4．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－4t ，y ＝1＋3t (t 为参数)与圆ρ＝2cos θ的位置关系为( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法确定解析：直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－4t ，y ＝1＋3t (t 为参数)的普通方程为3x ＋4y ＋2＝0，圆ρ＝2cos θ的普通方程为x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，圆心到直线3x ＋4y ＋2＝0的距离d ＝1＝r ，所以直线与圆的位置关系为相切．答案：B5．直线⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝－33＋32t (t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A ，B 两点，则AB 的中点坐标为( )A ．(3，－3)B ．(－3，3)C ．(3，－3)D ．(3，－3)解析：⎝⎛⎭⎫1＋12t 2＋⎝⎛⎭⎫－33＋32t 2＝16， 得t 2－8t ＋12＝0， t 1＋t 2＝8，t 1＋t 22＝4.因此中点为⎩⎨⎧x ＝1＋12×4，y ＝－33＋32×4，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－ 3.答案：D6．已知直线⎩⎨⎧x ＝－2＋t cos 45°，y ＝1＋t sin 45°，点M (32，a )在直线上，则点M 到点(－2，1)的距离为________．解析：令32＝－2＋t cos 45°， 解得t ＝8.由t 的几何意义得点M (32，a )到点(－2，1)的距离为8. 答案：87．直线 ⎩⎨⎧x ＝－2－12t ，y ＝4＋32t (t 为参数)上与点P (－2,4)距离等于4的点Q 的坐标为________．解析：∵直线的参数方程为标准形式， ∴由t 的几何意义可知|PQ |＝|t |＝4，∴t ＝±4，当t ＝4时，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4，y ＝4＋23；当t ＝－4时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝4－2 3.答案：(－4,4＋23)或(0,4－23)8．直线l 经过点M 0(1,5)，倾斜角为π3，且交直线x －y －2＝0于M 点，则|MM 0|＝________.解析：由题意可得直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t (t 为参数)，代入直线方程x －y－2＝0，得1＋12t －⎝⎛⎭⎫5＋32t －2＝0，解得t ＝－6(3＋1)，根据t 的几何意义可知|MM 0|＝6(3＋1)．答案：6(3＋1)9．一直线过P 0(3,4)，倾斜角α＝π4，求此直线与直线3x ＋2y ＝6的交点M 与P 0之间的距离．解析：∵直线过P 0(3,4)，倾斜角α＝π4，∴直线参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋22t ，y ＝4＋22t (t 为参数)，代入3x ＋2y ＝6得9＋322t ＋8＋2t ＝6，t ＝－1152，∴M 与P 0之间的距离为1152.10．已知直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t(t 为参数)，则该直线被圆x 2＋y 2＝9截得的弦长是多少？解析：将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t (t 为参数)转化为直线参数方程的标准形式为⎩⎨⎧x ＝1＋25t ′，y ＝2＋15t ′(t ′为参数)，并代入圆的方程，得(1＋25 t ′)2＋(2＋15t ′)2＝9， 整理，得5t ′2＋8t ′－45＝0. 设方程的两根分别为t 1′、t 2′，则有 t 1′＋t 2′＝－85，t 1′·t 2′＝－4. 所以|t 1′－t 2′|＝(t 1′＋t 2′)2－4t 1′t 2′＝645＋16＝1255， 即直线被圆截得的弦长为1255.[B 组 能力提升]1．过点(1,1)，倾斜角为135°的直线截圆x 2＋y 2＝4所得的弦长为( ) A.225B.425 C ．22 D.325解析：直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)，代入圆的方程，得t 2＋2＝4，解得t 1＝－2，t 2＝ 2.所以所求弦长为|t 1－t 2|＝|－2－2|＝2 2. 答案：C2．若直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，那么直线倾斜角α为( )A.π6B.π4C.π3D.π6或5π6解析：直线化为yx ＝tan α，即y ＝tan α·x ，圆方程化为(x －4)2＋y 2＝4， ∴由|4tan α|tan 2α＋1＝2⇒tan 2α＝13，∴tan α＝±33，又α∈[0，π)，∴α＝π6或5π6.答案：D3．已知直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)，l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)，若l 1∥l 2，则k ＝________；若l 1⊥l 2，则k ＝________.解析：将l 1，l 2的方程化为普通方程，得 l 1：kx ＋2y －4－k ＝0，l 2：2x ＋y －1＝0， l 1∥l 2⇒k 2＝21≠4＋k1⇒k ＝4.l 1⊥l 2⇒(－2)·⎝⎛⎭⎫－k 2＝－1⇒k ＝－1. 答案：4 －14．直线l ： ⎩⎨⎧x ＝－1＋3t ，y ＝1＋t(t 为参数)上的点P (－4，1－3)到l 与x 轴交点间的距离是________．解析：在直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋3t ，y ＝1＋t中，令y ＝0，得t ＝－1.故l 与x 轴的交点为Q (－1－3，0)． 所以|PQ |＝ (－1－3＋4)2＋(1－3)2＝4(3－1)2＝23－2.答案：23－25．(1)求过点P (－1,3)且平行于直线l ：⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝2－3t (t 为参数)的直线的参数方程；(2)求过点P (－1,3)且垂直于直线l ：⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝2－3t(t 为参数)的直线的参数方程．解析：(1)由题意，直线l 的斜率k ＝－3，则倾斜角θ＝120°，所以过点P (－1,3)且平行于直线l 的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos 120°t ，y ＝3＋sin 120°t ，即⎩⎨⎧x ＝－1－12t ，y ＝3＋32t (t 为参数)．(2)由(1)知直线l 的斜率k ＝－3，则所求直线的斜率为33，故所求直线的倾斜角为30°， 所以过点P (－1,3)且垂直于直线l 的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos 30°t ，y ＝3＋sin 30°t ，即⎩⎨⎧x ＝－1＋32t ，y ＝3＋12t (t 为参数)．6．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．求a 的值及直线l 的直角坐标方程．解析：由点A ⎝⎛⎭⎫2，π4在直线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝ 2.所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.。
(部编版)2020学年高中数学第二章参数方程三直线的参数方程检测含解析新人教A版选修(1)
三、直线的参数方程A 级 基础巩固一、选择题1．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝－2＋t sin α(α为参数，0≤α<π)必过点( )A ．(1，－2)B ．(－1，2)C ．(－2，1)D ．(2，－1)解析：由参数方程可知该直线是过定点(1，－2)，倾斜角为α的直线． 答案：A2．对于参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t cos 30°，y ＝2＋t sin 30°和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 30°，y ＝2－t sin 30°，下列结论正确的是( )A ．是倾斜角为30°的两平行直线B ．是倾斜角为150°的两重合直线C ．是两条垂直相交于点(1，2)的直线D ．是两条不垂直相交于点(1，2)的直线解析：因为参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t cos 30°，y ＝2＋t sin 30°，可化为标准形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 150°，y ＝2＋t sin 150°，所以其倾斜角为150°. 同理，参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 30°，y ＝2－t sin 30°，可化为标准形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋（－t ）cos 150°，y ＝2＋（－t ）sin 150°，所以其倾斜角也为150°.又因为两直线都过点(1，2)，故两直线重合． 答案：B3．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t (t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝( )A.83 B ．－6 C ．6D ．－83解析：由直线的参数方程可得直线的斜率为－32，由题意得直线4x ＋ky ＝1的斜率为－4k，故－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k ＝－1，解得k ＝－6.答案：B4．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos θ，y ＝t sin θ(t 是参数，0≤θ<π)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos α，y ＝2sin α(α是参数)相切，则θ＝ ( ) A.π3B.2π3 C.π6或5π6D.π3或2π3解析：直线为y ＝x tan θ，圆为(x －4)2＋y 2＝4，因为直线与圆相切，所以圆心(4，0)到直线x tan θ－y ＝0的距离等于半径2，即|4tan θ|tan 2θ＋1＝2，解得tan θ＝±32，易知θ＝π6或5π6. 答案：C5．若圆的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝3＋2sin θ(θ为参数)，直线的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1，y ＝6t －1(t 为参数)，则直线与圆的位置关系是( )A ．相交过圆心B ．相交而不过圆心C ．相切D ．相离解析：圆的圆心坐标是(－1，3)，半径是2，直线的普通方程是3x －y ＋2＝0，圆心到直线的距离是|－3－3＋2|10＝2105＝ 85<2，故直线与圆相交而不过圆心． 答案：B 二、填空题6．若直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－35t ，y ＝45t (t 为参数)，则直线l 的斜率为________．解析：由参数方程可知，cos θ＝－35，sin θ＝45(θ为倾斜角)，所以tan θ＝－43，即为直线斜率．答案：－437．已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1＋4t (t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，则圆心C 到直线l 的距离为________． 解析：直线l 的普通方程为2x －y ＋1＝0，圆ρ＝2cos θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，圆心为(1，0)．故圆心C 到直线l 的距离为|2－0＋1|22＋12＝355.8．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．解析：直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a ，消去参数t 后得y ＝x －a .椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ，消去参数φ后得x 29＋y 24＝1.又椭圆C 的右顶点为(3，0)，代入y ＝x －a 得a ＝3. 答案：3 三、解答题9．在直线坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝3＋22t (t 为参数)，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ－2cos θ.(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与y 轴的交点为P ，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|PA ||PB |的值． 解：(1)直线l 的普通方程为x －y ＋3＝0， 因为ρ2＝4ρsin θ－2ρcos θ，所以曲线C 的直角坐标方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5.(2)将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝3＋22t (t 为参数)代入曲线C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，得到t 2＋22t －3＝0，所以t 1t 3＝－3，所以|PA ||PB |＝|t 1t 2|＝3.10．极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－1＝0的直线与x 轴的交点为P ，与椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |.解：直线ρcos θ＋ρsin θ－1＝0的斜率为－1，令θ＝0，得ρ＝1，所以直线与x 轴交于点(1，0)[如令θ＝π，得ρ＝－1，将点的极坐标化为直角坐标还是(1，0)]，所以直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝22t (t 为参数)．①椭圆的普通方程为x 2＋4y 2＝4，②因为Δ＝128>0，根据参数t 的几何意义知 |PA |·|PB |＝|t 1·t 2|＝65.B 级 能力提升1．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数，0≤θ≤π2和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝－22t(t 为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________． 解析：曲线C 1和C 2的普通方程分别为x 2＋y 2＝5，① x －y ＝1，②其中0≤x ≤5，0≤y ≤5，联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，所以C 1与C 2的交点坐标为(2，1)． 答案：(2，1)2．已知直线C 1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1，y ＝2t ＋1(t 为参数)，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ，设曲线C 1，C 2相交于A ，B 两点，则|AB |＝________．解析：曲线C 2的极坐标方程可变为ρ2＝4ρsin θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0，将C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1，y ＝2t ＋1，代入，得5t 2－6t －2＝0，则t 1＋t 2＝65，t 1t 2＝－25，则|AB |＝1＋22|t 1－t 2|＝5·（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝5×⎝ ⎛⎭⎪⎫652＋4×25＝2955. 答案：29553．(2016·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，消去参数得y ＝x ·tan α.设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为kx －y ＝0.由圆C 的方程(x ＋6)2＋y 2＝25知，圆心坐标为(－6，0)，半径为5. 又|AB |＝10，由垂径定理及点到直线的距离公式得 |－6k |1＋k2＝25－⎝ ⎛⎭⎪⎫1022，即36k 21＋k 2＝904，整理得k 2＝53，解得k ＝±153，即l 的斜率为±153.。
课时作业7：三 直线的参数方程
三 直线的参数方程一、选择题1.若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t(t 为参数)，则直线的斜率为( )A.23 B.－32C.32D.－23答案 B解析 直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t 的普通方程为y ＝－32x ＋72，所以直线的斜率为－32.2.直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝－2＋t sin α(α为参数，0≤α<π)必过点( )A.(1，－2)B.(－1,2)C.(－2,1)D.(2，－1)答案 A解析 当t ＝0时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，所以直线必过点(1，－2).3.已知直线l 过点A (2,1)，且与向量a ＝(－1,1)平行，则点P (－1，－2)到直线l 的距离是( ) A. 2 B.22 C.3 2 D.2答案 C解析 由已知得直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t ，y ＝1＋t (t 为参数).因为直线上的任意一点M 的坐标可表示为(2－t,1＋t )，所以|PM |＝(2－t ＋1)2＋(1＋t ＋2)2＝2(t 2＋9)， 当t ＝0时，|PM |有最小值，最小值是32，此时|PM |为点P 到直线l 的距离.4.若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2t ，y ＝－12＋at (t 为参数)与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－s ，y ＝1＋s (s 为参数)互相垂直，那么a 的值等于( )A.1B.－13C.－23 D.－2答案 D解析 直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2t ，y ＝－12＋at(t 为参数)的斜率为y ＋12x ＝－a2，直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－s ，y ＝1＋s (s 为参数)的斜率为y －1x －1＝－1，由两直线垂直得－a2×(－1)＝－1得a ＝－2，故选D.5.若⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0－3λ，y ＝y 0＋4λ(λ为参数)与⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)表示同一条直线，则λ与t 的关系是( ) A.λ＝5t B.λ＝－5t C.t ＝5λ D.t ＝－5λ答案 C解析 由x －x 0，得－3λ＝t cos α，由y －y 0，得4λ＝t sin α，消去α的三角函数，得25λ2＝t 2，得t ＝±5λ，借助于直线的斜率，可排除t ＝－5λ，所以t ＝5λ.6.直线⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝－33＋32t (t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A ，B 两点，则AB 的中点坐标为( ) A.(3，－3) B.(－3，3) C.(3，－3) D.(3，－3)答案 D解析 将x ＝1＋t 2，y ＝－33＋32t 代入圆的方程，得⎝⎛⎭⎫1＋t 22＋⎝⎛⎭⎫－33＋32t 2＝16， 整理得t 2－8t ＋12＝0，设A ，B 两点对应的参数值分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝8， ∴AB 的中点M 对应参数t ＝t 1＋t 22＝4， ∴x ＝1＋12×4＝3，y ＝－33＋32×4＝－3，故AB 中点M 的坐标为(3，－3). 二、填空题7.已知直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t ，y ＝2－4t (t 为参数)与直线l 2：2x －4y ＝5相交于点B ，且点A (1,2)，则|AB |＝________.答案 52解析 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t ，y ＝2－4t 代入2x －4y ＝5，得t ＝12，则B ⎝⎛⎭⎫52，0.又A (1,2)，所以|AB |＝52. 8.直线⎩⎨⎧x ＝2＋22t ，y ＝－3－22t (t 为参数)上到点M (2，－3)的距离为2且在点M 下方的点的坐标是________. 答案 (3，－4)解析 直线参数方程的标准式为⎩⎨⎧x ＝2－22d ，y ＝－3＋22d (d 为参数)，则M 对应的参数为d ＝－2，∴⎩⎨⎧x ＝2－22×(－2)＝3，y ＝－3＋22×(－2)＝－4，∴点M 的坐标为(3，－4).9.已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝1＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝4⎝⎛⎭⎫ρ>0，3π4<θ<5π4，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为________. 答案 (2，π)解析 因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝1＋t ，所以直线l 的普通方程为y ＝x ＋2. 因为曲线C 的极坐标方程为 ρ2cos 2θ＝4⎝⎛⎭⎫ρ>0，3π4<θ<5π4， 可得曲线C 的直角坐标方程为x 2－y 2＝4(x <0).联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝4(x <0)，y ＝x ＋2，解得交点坐标为(－2,0)，所以交点的极坐标为(2，π).10.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －3，y ＝t(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＋3＝0，则圆心C 到直线l 的距离为__________. 答案522解析 易得直线l 的普通方程为x －y ＋3＝0，圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，所以圆心到直线的距离d ＝|2＋3|12＋(－1)2＝522. 三、解答题11.已知直线l 过点A (－2,3)，倾斜角为135°，求直线l 的参数方程，并且求直线上与点A 距离为32的点的坐标. 解 直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos 135°，y ＝3＋t sin 135°(t 为参数)， 即⎩⎨⎧x ＝－2－22t ，y ＝3＋22t (t 为参数).①设直线上与点A 距离为32的点为B ，且点B 对应的参数为t ，则|AB |＝|t |＝3 2.所以t ＝±3 2.把t ＝±32代入①，得当t ＝32时，点B 在点A 的上方，点B 的坐标为(－5，6)； 当t ＝－32时，点B 在点A 的下方，点B 的坐标为(1,0).12.已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l 经过定点P (3,5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程； (2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|P A |·|PB |的值. 解 (1)曲线C ：(x －1)2＋(y －2)2＝16，直线l ：⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝5＋32t (t 为参数).(2)将直线l 的参数方程代入圆C 的方程，可得 t 2＋(2＋33)t －3＝0，设t 1，t 2是方程的两个根，则t 1t 2＝－3， 所以|P A ||PB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝3.13．(2020·全国Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t －t 2，y ＝2－3t ＋t 2(t 为参数且t ≠1)，C 与坐标轴交于A ，B 两点． (1)求|AB |；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程． 解 (1)令x ＝0，则t 2＋t －2＝0， 解得t ＝－2或t ＝1(舍去)， 则y ＝2＋6＋4＝12，即A (0,12)． 令y ＝0，则t 2－3t ＋2＝0， 解得t ＝2或t ＝1(舍去)，则x ＝2－2－4＝－4，即B (－4,0)． ∴|AB |＝(0＋4)2＋(12－0)2＝410. (2)由(1)可知k AB ＝12－00－(－4)＝3，则直线AB 的方程为y ＝3(x ＋4)， 即3x －y ＋12＝0.由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得，直线AB 的极坐标方程为3ρcos θ－ρsin θ＋12＝0.14.给出两条直线l 1和l 2，斜率存在且不为0，如果满足斜率互为相反数，且在y 轴上的截距相等，那么直线l 1和l 2叫做“孪生直线”.现在给出4条直线的参数方程如下：l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2t ，y ＝－4－2t (t 为参数)；l 2：⎩⎨⎧x ＝3－22t ，y ＝－4－22t (t 为参数)；l 3：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝1－t (t 为参数)；l 4：⎩⎨⎧x ＝6＋22t ，y ＝8＋22t (t 为参数).其中能构成“孪生直线”的是________. 答案 直线l 3和直线l 4解析 根据条件，两条直线构成“孪生直线”意味着它们的斜率存在且不为0，且互为相反数，且在y 轴上的截距相等，也就是在y 轴上交于同一点.对于本题，首先可以判断出l 1，l 2，l 3，l 4斜率分别为－1,1，－1,1，斜率互为相反数条件很明显.再判断在y 轴上的截距，令x ＝0得出相应的t 值，代入y 可得只有直线l 3和直线l 4在y 轴上的截距相等，而其斜率又恰好互为相反数，可以构成“孪生直线”.15.在极坐标系中，曲线F 的极坐标方程为ρ＝4cos θsin 2θ.以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，单位长度不变，直线l 1，l 2均过点F (1,0)，且l 1⊥l 2，直线l 1的倾斜角为α. (1)写出曲线F 的直角坐标方程和l 1，l 2的参数方程；(2)设直线l 1和l 2分别与曲线F 交于点A ，B 和C ，D ，线段AB ，CD 的中点分别为M ，N ，求|MN |的最小值. 解(1)F ：y 2＝4x ，l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t sin α，y ＝t cos α(t 为参数).(2)将l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α代入y 2＝4x ，得t 2sin 2α－4t cos α－4＝0，① 则t M ＝t A ＋t B 2＝2cos αsin 2α. 将l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t sin α，y ＝t cos α代入y 2＝4x ，得t 2cos 2α＋4t sin α－4＝0，② 则t N ＝t C ＋t D 2＝－2sin αcos 2α，于是|MN |＝|FM |2＋|FN |2＝t 2M ＋t 2N＝2cos 2αsin 4α＋sin 2αcos 4α≥22|sin αcos α|＝42|sin 2α|≥42， 因为α∈[0，π)，所以当且仅当α＝π4时，等号成立.且此时满足方程①②的判别式均大于零，故|MN|的最小值为4 2.。
2017_2018学年高中数学第二章参数方程一第三课时参数方程和普通方程的互化优化练习新人教A版选修
一第三课时参数方程和普通方程的互化[课时作业][A组基础巩固]1．参数方程为Error!(0≤t≤5)的曲线为()A．线段B．双曲线的一支C．圆弧D．射线解析：化为普通方程为x＝3(y＋1)＋2，即x－3y－5＝0，由于x＝3t2＋2∈[2,77]，故曲线为线段．故选A.答案：A2．参数方程Error!(θ为参数)表示的曲线是()A．直线B．圆C．线段D．射线解析：x＝cos2θ∈[0,1]，y＝sin2θ∈[0,1]，∴x＋y＝1，(x∈[0,1])为线段．答案：C3．直线y＝2x＋1的参数方程是()A.Error!B.Error!C.Error!D.Error!解析：由y＝2x＋1知x，y可取全体实数，故排除A、D，在B、C中消去参数t，知C 正确．答案：C4．下列各组方程中，表示同一曲线的是()πA.Error!(θ为参数且θ∈(0，2))与xy＝1B.Error!(θ为参数)与Error!(θ为参数)bC.Error!(θ为参数且a≠0)与y＝xax2 y2D.Error!(a＞0，b＞0，θ为参数且0≤θ＜π)与＋＝1a2 b2解析：A中前者x＞0，y＞0，后者x，y∈R，xy≠0；C中前者x∈[－|a|，|a|]，y∈[－|b|，|b|]，后者无此要求；D中若0≤θ＜2π，则二者相同．答案：B5．参数方程Error!(t为参数且t∈R)代表的曲线是()A．直线B．射线1C．椭圆D．双曲线1 解析：∵x＝2t＋21－t＝2－t(22t＋2)，y＝2t－1＋2－t＝2－t(22t－1＋1)＝×2－t(22t＋2)，∴21 y＝x，且2x≥22，y≥2，故方程表示的是一条射线．答案：B6．方程Error!(t是参数)的普通方程是________，与x轴交点的直角坐标是________．解析：由y＝t2－1，得t2＝y＋1，代入x＝3t2＋2，可得x－3y－5＝0，又x＝3t2＋2，所以x≥2，当y＝0时，t2＝1，x＝3t2＋2＝5，所以与x轴交点的坐标是(5,0)．答案：x－3y－5＝0(x≥2)(5,0)7．设y＝tx(t为参数)，则圆x2＋y2－4y＝0的参数方程是________．解析：把y＝tx代入x2＋y2－4y＝0，4t4t2得x＝，y＝，1＋t2 1＋t2所以参数方程为Error!(t为参数)．答案：Error!(t为参数)8．将参数方程Error!(θ为参数)，转化为普通方程是________________，该曲线上的点与定点A(－1，－1)的距离的最小值为________．解析：易得直角坐标方程是(x－1)2＋y2＝1，所求距离的最小值应为圆心到点A的距离减去半径，易求得为5－1.答案：(x－1)2＋y2＝15－19．化普通方程x2＋y2－2x＝0为参数方程．解析：曲线过(0,0)点，可选择(0,0)为定点，可设过这个定点的直线为y＝kx，选择直线的斜率k为参数，不同的k值，对应着不同的点(异于原点)，所以Error!2故(1＋k2)x2－2x＝0，得x＝0或x＝.1＋k22 2k将x＝代入y＝kx中，得y＝.1＋k2 1＋k2所以Error!(k为参数)是原曲线的参数方程．10．参数方程Error!(θ为参数)表示什么曲线？2y y2 1 1 解析：显然＝tan θ，则＋1＝，cos2θ＝，x x2 cos2θy2＋1x21 1 2tan θ 1x＝cos2θ＋sin θcos θ＝sin 2θ＋cos2θ＝×＋cos2θ，即x＝×2 2 1＋tan2θ 2y2x 1＋，y2 y21＋1＋x2 x2y2 y y2 x＋yx(1＋x2)＝＋1，得x＋＝，即x2＋y2－x－y＝0.该参数方程表示圆．x x x[B组能力提升]1．参数方程Error!(t为参数)表示的图形为()A．直线B．圆C．线段(但不包括右端点) D．椭圆3t2 x5－t2解析：从x＝中解得t2＝，代入y＝中，整理得到2x＋y－5＝0.但由t2 1＋t2 3－x1＋t2x＝≥0解得0≤x<3.所以化为普通方程为2x＋y－5＝0(0≤x<3)，表示一条线段，但不3－x包括右端点．答案：C2．参数方程Error!(t为参数)表示的曲线()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线y＝x对称解析：方程Error!⇒Error!⇒Error!1 1它表示以点(，－2)和点(，2)为端点的线段，故关于x轴对称．2 2答案：A3．已知两曲线参数方程分别为Error!(0≤θ＜π)和Error!(t∈R)，它们的交点坐标为________．x2解析：将两曲线的参数方程化为一般方程分别为＋y2＝1(0≤y≤1，－5＜x≤5)和54 2 5y2＝5x，联立解得交点坐标为(1，5 ).2 5答案：(1，5)4．若直线l1：Error!(t为参数)与直线l2：Error!(s为参数)垂直，则k＝________.3k k 解析：直线l1化为普通方程是y－2＝－(x－1)，该直线的斜率为－.2 2直线l2化为普通方程是y＝－2x＋1，该直线的斜率为－2，k 则由两直线垂直的充要条件，得(－2 )·(－2)＝－1，即k＝－1.答案：－15．已知方程y2－6y sin θ－2x－9cos2 θ＋8cos θ＋9＝0(0≤θ＜2π)．(1)试证：不论θ如何变化，方程都表示顶点在同一椭圆上的抛物线；(2)θ为何值时，该抛物线在直线x＝14上截得的弦最长，并求出此弦长．解析：(1)证明：方程y2－6y sin θ－2x－9cos2θ＋8cos θ＋9＝0可配方为(y－3sin θ)2＝2(x－4cos θ)，∴图象为抛物线．设其顶点为(x，y)，则有Error!x2 y2消去θ，得顶点轨迹是椭圆＋＝1.16 9x2 y2∴不论θ如何变化，方程都表示顶点在同一椭圆＋＝1上的抛物线．16 9(2)联立Error!消去x，得y2－6y sin θ＋9sin2θ＋8cos θ－28＝0，弦长|AB|＝|y1－y2|＝4 7－2cos θ，当cos θ＝－1即θ＝π时，弦长最长为12.6.水库排放的水流从溢流坝下泄时，通常采用挑流的方法减弱水流的冲击作用，以保护水坝的坝基．如图是运用鼻坝进行挑流的示意图．已知水库的水位与鼻坝的落差为9m，鼻坝的鼻坎角为30°，鼻坝下游的基底比鼻坝低18 m．求挑出水流的轨迹方程，并计算挑出的水流与坝基的水平距离．解析：建立如图所示的直角坐标系．设轨迹上任意一点为P(x，y)．1 由机械能守恒定律，得mv2＝mgh.2鼻坝出口处的水流速度为v＝2gh＝18g.3 6g 取时间t为参数，则有x＝vt cos 30°＝t，21 3 2g 1y＝vt sin 30°－gt2＝t－gt2，2 2 2所以，挑出水流的轨迹的参数方程为4Error!(t为参数)，1 3消去参数t，得y＝－x2＋x.27 31 3取y＝－18，得－x2＋x＝－18，27 39 3＋27 3 9 3－27 3解得x＝＝18 3或x＝＝－9 3(舍去)．2 2挑出的水流与坝基的水平距离为x＝18 3≈31.2(m)．挑出水流的轨迹方程为1 3y＝－x2＋x，x∈[0,18 3 ]．27 35。
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三、直线的参数方程
A 级 基础巩固
一、选择题
1．直线⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，
y ＝－2＋t sin α(α为参数，0≤α<π)必过点( )
A ．(1，－2)
B ．(－1，2)
C ．(－2，1)
D ．(2，－1)
解析：由参数方程可知该直线是过定点(1，－2)，倾斜角为α的直线． 答案：A
2．对于参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t cos 30°，y ＝2＋t sin 30°和⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 30°，
y ＝2－t sin 30°，下列结论正确的是( )
A ．是倾斜角为30°的两平行直线
B ．是倾斜角为150°的两重合直线
C ．是两条垂直相交于点(1，2)的直线
D ．是两条不垂直相交于点(1，2)的直线
解析：因为参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t cos 30°，y ＝2＋t sin 30°，可化为标准形式⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 150°，
y ＝2＋t sin 150°，所以其倾斜角为150°.
同理，参数方程⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 30°，
y ＝2－t sin 30°，
可化为标准形式⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1＋（－t ）cos 150°，
y ＝2＋（－t ）sin 150°，
所以其倾斜角也为150°.
又因为两直线都过点(1，2)，故两直线重合． 答案：B
3．若直线⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，
y ＝2＋3t (t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝( )
A.8
3 B ．－6 C ．6
D ．－83
解析：由直线的参数方程可得直线的斜率为－3
2，
由题意得直线4x ＋ky ＝1的斜率为－4
k
，
故－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫
－4k ＝－1，解得k ＝－6.
答案：B
4．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos θ，y ＝t sin θ(t 是参数，0≤θ<π)与圆⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos α，
y ＝2sin α(α是参数)相切，
则θ＝ ( )
A.π3
B.2π
3 C.π6或5π6
D.π3或2π3
解析：直线为y ＝x tan θ，圆为(x －4)2
＋y 2
＝4，因为直线与圆相切，所以圆心(4，0)到直线x tan θ－y ＝0的距离等于半径2，即|4tan θ|tan 2
θ＋1
＝2，解得tan θ＝±
3
2
，易知θ＝π6或5π
6
. 答案：C
5．若圆的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝3＋2sin θ(θ为参数)，直线的方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1，y ＝6t －1(t 为参
数)，则直线与圆的位置关系是( )
A ．相交过圆心
B ．相交而不过圆心
C ．相切
D ．相离
解析：圆的圆心坐标是(－1，3)，半径是2，直线的普通方程是3x －y ＋2＝0，圆心到直线的距离是|－3－3＋2|10
＝210
5＝
8
5
<2，故直线与圆相交而不过圆心． 答案：B 二、填空题
6．若直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝1－3
5
t ，
y ＝4
5
t (t 为参数)，则直线l 的斜率为________．
解析：由参数方程可知，cos θ＝－35，sin θ＝4
5(θ为倾斜角)，
所以tan θ＝－4
3，即为直线斜率．
答案：－4
3
7．已知直线l ：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，
y ＝1＋4t (t 为参数)，圆
C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，则圆心C
到直线l 的距离为________．
解析：直线l 的普通方程为2x －y ＋1＝0，圆ρ＝2cos θ的直角坐标方程为x 2
＋y 2
－2x ＝0，即(x －1)2
＋y 2
＝1，圆心为(1，0)．
故圆心C 到直线l 的距离为|2－0＋1|22＋12
＝35
5. 答案：35
5
8．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．
解析：直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，
y ＝t －a ，消去参数t 后得y ＝x －a .
椭圆C ：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ，消去参数φ后得x 29＋y 2
4＝1.
又椭圆C 的右顶点为(3，0)，代入y ＝x －a 得a ＝3. 答案：3 三、解答题
9．在直线坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2
2
t ，y ＝3＋2
2
t (t 为参数)，在以O 为极点，
x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ－2cos θ.
(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；
(2)若直线l 与y 轴的交点为P ，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|PA ||PB |的值． 解：(1)直线l 的普通方程为x －y ＋3＝0， 因为ρ2
＝4ρsin θ－2ρcos θ，
所以曲线C 的直角坐标方程为(x ＋1)2
＋(y －2)2
＝5.
(2)将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2
2
t ，y ＝3＋2
2
t (t 为参数)代入曲线C ：(x ＋1)2
＋(y －2)2
＝5，得
到t 2
＋22t －3＝0，
所以t 1t 3＝－3，
所以|PA ||PB |＝|t 1t 2|＝3.
10．极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－1＝0的直线与x 轴的交点为P ，与椭圆
⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |. 解：直线ρcos θ＋ρsin θ－1＝0的斜率为－1，令θ＝0，得ρ＝1，所以直线与
x 轴交于点(1，0)[如令θ＝π，得ρ＝－1，将点的极坐标化为直角坐标还是(1，0)]，
所以直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2
2
t ，y ＝22t (t 为参数)．①
椭圆的普通方程为x 2
＋4y 2
＝4，② 将①代入②中，得5t 2－22t －6＝0，③ 因为Δ＝128>0，根据参数t 的几何意义知 |PA |·|PB |＝|t 1·t 2|＝6
5
.
B 级 能力提升
1．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨
⎧x ＝5cos θ，
y ＝5sin θ
⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数，0≤θ≤π2和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2
2t ，
y ＝－2
2t (t 为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为
________．
解析：曲线C 1和C 2的普通方程分别为
x 2＋y 2＝5，① x －y ＝1，②
其中0≤x ≤5，0≤y ≤5，
联立①②解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2，
y ＝1，
所以C 1与C 2的交点坐标为(2，1)． 答案：(2，1)
2．已知直线C 1的参数方程⎩⎪⎨
⎪
⎧x ＝t －1，y ＝2t ＋1
(t 为参数)，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ，
设曲线C 1，C 2相交于A ，B 两点，则|AB |＝________．
解析：曲线C 2的极坐标方程可变为ρ2
＝4ρsin θ，化为直角坐标方程为x 2
＋y 2
－4y ＝0，
将C 1：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝t －1，y ＝2t ＋1，代入，得5t 2
－6t －2＝0，
则t 1＋t 2＝65，t 1t 2＝－25，则|AB |＝1＋22|t 1－t 2|＝5·（t 1＋t 2）2
－4t 1t 2＝5×
⎝ ⎛⎭
⎪⎫652
＋4×25＝2955. 答案：2955
3．(2016·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2
＋y 2
＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程；
(2)直线l 的参数方程是⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，
y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，
求l 的斜率．
解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2
＋12ρcos θ＋11＝0.
(2)由直线l 的参数方程⎩⎪⎨
⎪
⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α
(t 为参数)，
消去参数得y ＝x ·tan α.
设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为kx －y ＝0.
由圆C 的方程(x ＋6)2
＋y 2
＝25知，圆心坐标为(－6，0)，半径为5. 又|AB |＝10，由垂径定理及点到直线的距离公式得 |－6k |1＋k
2
＝
25－⎝ ⎛⎭
⎪⎫1022
，即36k 2
1＋k 2＝904，
整理得k 2
＝53，解得k ＝±153，
即l 的斜率为±
15
3
.。