一般图形Voronoi图的离散生成
三维Voronoi图的动态实现与研究
三维Voronoi图的动态实现与研究曹锐创石奇偲黄棱潇摘要在计算几何中，离散点构造Voronoi图是一个非常基础且应用广泛的问题。
N个离散点按照最邻近原则划分区域，每个点与它的最近邻区域相关联。
本实验重点研究Voronoi图的三维情况，运用分块的方法动态实现了单一Voronoi细胞和三维Voronoi图的构造。
同时，本实验对均匀分布的随机点产生的性质进行了一系列研究和分析。
关键字：三维Voronoi图，单一Voronoi细胞，分块，均匀分布1.引言在二维（平面）情况下，Voronoi图是由一组连接两邻近点直线的垂直平分线组成的连续多边形组成。
N个在平面上有区别的点，按照最邻近原则划分平面。
每个离散点则各自拥有一个细胞区域，区域内部的点到相对应的离散点距离最近。
在高维情况下，连接两邻近点直线的垂直平分不再是直线，形成Voronoi图的细胞则会从平面上的多边形转变为高维的多面体。
Voronoi图的平面情况和三维情况的区别不光体现在细胞的构成上。
平面情况下，由于可以应用欧拉公式，我们能知道构成Voronoi图的顶点和边数和离散点数为相同数量级。
但涉及到三维情况：首先，每个细胞区域构成多了面的概念；其次，构成细胞的顶点数和边数在数量级上也有了质变，可以达到离散点数数量级的平方。
这为构造三维Vonoroi图带来了困难，导致了时间复杂度和空间复杂度的增加。
三维Voronoi图主要有Quickhull[11]和分块动态实现[12]两种算法，但它们的时间复杂性最差情况下都可以达到θ(n2)。
实验中，我们首先动态实现了单一Voronoi细胞的构造。
事实上，在许多物理应用中，人们更关注的仅是几个单一Voronoi细胞，而不是整个Voronoi图的构造。
运用单一Voronoi 细胞的构造，结合分块方法，我们动态的构造三维Vonoroi图。
尽管在最差情况下，时间复杂性可以达到θ(n2)，但如果考虑离散点是随机均匀分布的，实验结果显示平均复杂度随着离散点数的增加线性增长。
Voronoi图
增添法的基本步骤：
①搜索最邻近单元和相邻单元
最邻近单元为Pn+1所在原V图中某点 的Voronoi多边形Vk以及原来与它 相邻的若干个多边形及相应生成 元；
②局部更新
对于各邻近单元，首先与最邻近单
元Vk中Pk作中垂线，并找其余Vk 的交点，由于Vk是凸多边形，因 而只产生两个交点1、2，1与2连 线把与Vk相关的单元分为“两 半”：与Pn+1“相关的一半”及 “不相关的一半”，使Pn+1与相 关一半的各生成元Pk+1， Pk+2…作 中垂线围成各封闭多边形，即是
增添法 部件合成法
（一）对偶生成法
对偶生成法：主要是指生成V图时先生成其对偶元 Delaunay三角网，再通过做三角网每一三角形三条 边的中垂线，形成以每一三角形顶点为生成元的多 边形网 。
对偶生成法生成V图
对偶生成法的关键是Delaunay三角网的生成。
Delaunay三角网的特性： 任一三角形外接圆内部包含其他点； 三角形均衡或三边均衡，其最小角最大； 使三角网总边长最小； 在确定的n个点上，构造的Delaunay三角网网形唯一。
部件合成
（四）矢量方法生成V图的分析
以上三种方法是矢量方法中常用的，随着并行处理技术的 发展，V图生成页、也出现了并行算法，它使各生成元同 时进行各点的V图计算；
矢量方法生成V图的算法和数据结构都较为复杂，其生成 元是基于离散点集的，对于实际的地理信息，这远远不够， 应该拓展成点、线、面、体及其组合的复杂形体；
Vi Vj
PV1 V2 ...Vn R2 （假定到Pi为0的点不算在Vi内）
voronoi tessellation (vt)法
Voronoi tessellation (VT) 是一种用于将空间划分成离散区域的方法。
它基于一组种子点，这些种子点将空间分割成更小的区域，其中每个区域包含与其最近的种子点相关联的所有点。
Voronoi tessellation 的应用非常广泛，包括但不仅限于城市规划、地理信息系统、生物学、材料科学和地质学等领域。
在城市规划中，VT 被用来确定最佳的服务设施位置；在地理信息系统中，它被用来进行空间分析和区域划分；在生物学中，它可以用来研究细胞的空间分布等。
VT 方法通常基于欧几里得空间，但它也可以扩展到其他类型的空间，如非欧几里得空间。
这种方法对于处理一些复杂的空间分析问题非常有用，因为它可以帮助人们更好地理解空间的结构和特征。
在计算机图形学中，VT 也被用来生成自然景观、地形和地貌。
通过将地面上的点转换成 Voronoi 图案，可以创建出具有逼真感的地形图。
总的来说，Voronoi tessellation 是一种非常有用的空间分析工具，它在许多领域都有着重要的应用。
通过使用这种方法，人们能够更好地理解和利用空间数据，从而帮助他们做出更明智的决策。
Voronoi图
对于光滑、不光滑组合曲线及相应组合成的封闭面域，尽 管可用折线逼近，但折线毕竟不是曲线，在曲线光滑处， 每一点都是转折点，而化为折线，折线交接处的点就成为 唯一转折点，性质突变处。
义G的Voronoi图V（G）为
V（G）={V(g1)，V(g2)，…，V(gn)} 一般V图特性在广义V图中类似存在。
5.2 V图生成方法
V图有着按距离划分邻近区域的普遍特性，应 用范围广。
生成V图的方法很多，一般分为两种： 矢量方法 栅格方法
一、生成V图的矢量方法
矢量方法生成V图大多是对点实体。 方法分为：对偶生成法
义G的Voronoi图V（G）为
V（G）={V（g1），V（g2），…，V（gn）}
V图是与距离紧密相关的，而距离值是由尺度所 基本定义的。不同尺度，距离的概念不一样， 数值往往也不一样，因此不同的尺度空间，有 不同的V图。上述定义同样可推广到3维。
（二）广义Voronoi图
拓展Voronoi图为广义Voronoi图具有广泛意义。
（二）性质
假设平面上有n个离散点，其对应的Voronoi多边
形分别为V1，V2…Vn， Voronoi多边形之间除边
界外，其交集为空集，所有Voronoi多边形的并集 为二维平面R2，即
Vi Vj
PV1 V2 ...Vn R2 （假定到Pi为0的点不算在Vi内）
V1 V2 ...Vn R2
V图、障碍V图、广义V图的多边形边界提供了点、 线、面全形态，障碍、非障碍完备空间，广义加 权距离的等距线、等比线、等势线等，是具有严 密数学意义且极广泛使用价值的轨迹线。
维诺图（VoronoiDiagram）分析与实现
维诺图（VoronoiDiagram）分析与实现一、问题描述1.Voronoi图的定义又叫泰森多边形或Dirichlet图，它是由一组由连接两邻点直线的垂直平分线组成的连续多边形组成。
2.Voronoi图的特点（1）每个V多边形内有一个生成元；（2）每个V多边形内点到该生成元距离短于到其它生成元距离；（3）多边形边界上的点到生成此边界的生成元距离相等；（4）邻接图形的Voronoi多边形界线以原邻接界线作为子集。
3.Voronoi的应用在计算几何学科中的重要地位，由于其根据点集划分的区域到点的距离最近的特点，其在地理学、气象学、结晶学、航天、核物理学、机器人等领域具有广泛的应用。
如在障碍物点集中，规避障碍寻找最佳路径。
二、算法分析与设计Voronoi图有着按距离划分邻近区域的普遍特性，应用范围广。
生成V图的方法很多，常见的有分治法、扫描线算法和Delaunay三角剖分算法。
1.建立Voronoi图方法和步骤本次实验采用的是Delaunay三角剖分算法。
主要是指生成Voronoi图时先生成其对偶元Delaunay三角网，再找出三角网每一三角形的外接圆圆心，最后连接相邻三角形的外接圆圆心，形成以每一三角形顶点为生成元的多边形网。
如下图所示。
建立Voronoi图算法的关键是对离散数据点合理地连成三角网，即构建Delaunay三角网。
建立Voronoi图的步骤为：（1）离散点自动构建三角网，即构建Delaunay三角网。
对离散点和形成的三角形编号，记录每个三角形是由哪三个离散点构成的。
（2）计算每个三角形的外接圆圆心，并记录之。
（3）遍历三角形链表，寻找与当前三角形pTri三边共边的相邻三角形TriA，TriB和TriC。
（4）如果找到，则把寻找到的三角形的外心与pTri的外心连接，存入维诺边链表中。
如果找不到，则求出最外边的中垂线射线存入维诺边链表中。
（5）遍历结束，所有维诺边被找到，根据边画出维诺图。
voronoi图的原理和应用
Voronoi图的原理和应用1. 什么是Voronoi图Voronoi图，也被称为泰森多边形、Dirichlet图或Voronoi多边形，是一种在计算几何学中被广泛应用的图形。
它是由若干个点在平面上产生的一系列曲线分隔而成的区域。
该图形以每个点为中心，将离得最近的点组成的区域划分开来。
2. Voronoi图的原理•步骤1：给定一组点集P，例如2D平面上的点•步骤2：对于每个点p∈P，根据离该点最近的点q∈P，生成一条从点p到点q的线段•步骤3：根据所有的线段形成的区域，将平面划分成多个区域，每个区域都由一个独立的点p∈P和其离该点最近的点q∈P确定3. Voronoi图的性质•Voronoi图是一种分割几何空间的图形，它将平面划分成若干个不重叠区域•每个Voronoi图的区域都由一个独立的点和最近的点共同确定•Voronoi图中的每条边都是由两个不同点之间的中垂线构成•Voronoi图的边界是由无穷远处的点所确定•Voronoi图满足唯一性，即给定一组点集，对应的Voronoi图是唯一的4. Voronoi图的应用4.1 计算几何学Voronoi图在计算几何学中有着广泛的应用。
它可以用于解决近似最近邻问题、最近点问题、空间索引和空间分析等。
通过构建Voronoi图，可以有效地进行空间数据查询和分析，以及空间关系的判断。
4.2 计算机图形学Voronoi图在计算机图形学中也有着重要的应用。
例如，在计算多边形的外包围盒时，可以使用Voronoi图的性质来进行快速计算。
利用Voronoi图生成的泰森多边形，可以用于三角剖分、分形图像生成和模拟等方面。
4.3 地理信息系统在地理信息系统中，Voronoi图被广泛应用于空间数据的分析和处理。
例如，通过构建基于Voronoi图的空间索引，可以实现快速的空间查询和聚类分析。
同时，Voronoi图还可以用于边界识别、地块划分和地理信息可视化等方面。
4.4 无线通信Voronoi图还可以用于无线通信系统中的基站规划和覆盖范围分析。
voron tap原理
voron tap原理
Voronoi图是一种用于描述空间分割的数学方法。
它基于一组离散的点，通过将空间分割为相邻区域，并使每个区域内的点到其相应的离散点的距离最近。
这种分割产生了一种多边形网格，称为Voronoi单元，这些单元由空间中的点组成，使得每个点都位于其相应Voronoi单元的内部。
Voronoi图的原理可以通过以下步骤来解释：
1. 首先确定一组离散的点，这些点被称为生成点或种子点。
2. 然后，以这些生成点为中心，在空间中创建一系列的区域，使得每个区域内的点到其最近的生成点的距离最小。
3. 这些区域的边界形成了Voronoi图的边界，而生成点则定义了Voronoi图的顶点。
4. 最终，Voronoi图将空间分割为一组多边形区域，其中每个区域都与其最近的生成点相关联。
Voronoi图在许多领域都有广泛的应用，包括地理信息系统、计算几何学、生物学等。
在计算机图形学中，Voronoi图常用于生成自然景观、模拟地形和创建艺术效果。
在工程和建筑领域，Voronoi图也被用于优化设计和规划空间布局。
总之，Voronoi图的原理基于离散点之间的距离关系，通过将空间分割为相邻区域来描述空间的特征，具有广泛的应用前景和理论基础。
voronoi方法
voronoi方法Voronoi方法是一种广泛应用于计算机图形学、图像处理和计算机视觉等领域的技术。
它通过利用Voronoi图的概念和性质，来对图像进行分割、滤波、提取等操作，从而实现对图像的优化处理。
本文将详细介绍Voronoi方法的基本原理、应用领域、算法流程以及优缺点，并给出一些实例来展示该方法的应用效果。
一、基本原理Voronoi图是一种基于空间点集的离散图，它表示在某个特定区域内，每个点与其最近邻点的关系。
在Voronoi图中，每个点都与其最近的边界相连，这个边界被称为“Voronoi边界”。
Voronoi图的性质和特点使其在图像处理中具有广泛的应用价值。
Voronoi方法的基本原理是将图像看作一个二维空间中的点集，通过计算每个像素点与其最近邻点的关系，构建Voronoi图。
根据Voronoi图的性质和特点，可以对图像进行分割、滤波、提取等操作，从而达到优化处理的效果。
二、应用领域Voronoi方法在计算机图形学、图像处理和计算机视觉等领域有着广泛的应用。
具体应用领域包括但不限于：1. 图像分割：利用Voronoi图的分割性质，可以将图像划分为不同的区域，从而实现图像的分割和提取。
2. 图像滤波：通过Voronoi图的滤波性质，可以对图像进行平滑处理，消除噪声和细节。
3. 形状识别：利用Voronoi图的空间信息，可以对图像中的形状进行识别和提取。
4. 图像变换：通过Voronoi图的变换性质，可以对图像进行压缩、转换和优化。
三、算法流程Voronoi方法的算法流程通常包括以下步骤：1. 初始化：将图像看作一个二维空间中的点集，将每个像素点作为节点，构建Voronoi图的基本结构。
2. 计算Voronoi边界：根据每个像素点与其最近邻点的关系，计算Voronoi边界，从而得到Voronoi图。
3. 图像处理：根据Voronoi图的性质和特点，对图像进行相应的处理操作，如分割、滤波、提取等。
Voronoi图
Voronoi图定义任意两点p 和q 之间的欧氏距离，记作 dist(p, q) 。
就平面情况而言，我们有dist(p, q) = (px-qx)2+ (py-qy)2设P := {p1, …, pn}为平面上任意 n 个互异的点；这些点也就是基点。
按照我们的定义，所谓P对应的Voronoi图，就是平面的一个子区域划分——整个平面因此被划分为n 个单元（cell ），它们具有这样的性质：任一点q位于点pi 所对应的单元中，当且仅当对于任何的pj∈Pj, j≠i,都有dist(q, pi)<dist(q, pj)。
我们将与P对应的Voronoi图记作Vor(P)。
“Vor(P) ”或者“Voronoi图”所指示的仅仅只是组成该子区域划分的边和顶点。
在Vor(P)中，与基点pi 相对应的单元记作V (pi)——称作与pi 相对应的Voronoi单元（Voronoi cell）。
上图是Voronoi图，下图的蓝色点围成的区域（凸包）是它对应的Delaunay三角剖分。
任给平面上两点p 和q ，所谓 p 和q 的平分线（bisector），就是线段 pq 的垂直平分线。
该平分线将平面划分为两张半平面（half-plane）。
点 p 所在的那张开半平面记作 h(p, q) ，点 q 所在的那张开半平面记作 h(q, p) 。
请注意，r ∈ h(p, q) 当且仅当 dist(r, p) < dist(r, q) 。
据此，可以得出如下观察结论：V (pi) = ∩ h(pi, pj) , 1≤j≤n, j≠ i也就是说，V (pi)是(n-1)张半平面的公共交集；它也是一个（不见得有界的）开的凸多边形（convex polygon）子区域.很显然，Voronoi顶点到相邻的三个site距离相等；Voronoi边上任意一点到相邻的两个site距离相等；对于任何点q，我们将以q为中心、内部不含P中任何基点的最大圆，称作q关于P的最大空圆（largest empty circle ），记作Cp(q)。
泰森多边形(Voronoi图)生成算法
泰森多边形(Voronoi图)生成算法一、文档目的本文描述了在geomodel模块中，生成泰森多边形所使用的算法。
二、概述GIS和地理分析中经常采用泰森多边形进行快速插值，和分析地理实体的影响区域，是解决邻接度问题的又一常用工具。
荷兰气候学家A·H·Thiessen提出了一种根据离散分布的气象站的降雨量来计算平均降雨量的方法，即将所有相邻气象站连成三角形，作这些三角形各边的垂直平分线，于是每个气象站周围的若干垂直平分线便围成一个多边形。
用这个多边形内所包含的一个唯一气象站的降雨强度来表示这个多边形区域内的降雨强度，并称这个多边形为泰森多边形。
如图1，其中虚线构成的多边形就是泰森多边形。
泰森多边形每个顶点是每个三角形的外接圆圆心。
泰森多边形也称为Voronoi图，或dirichlet图。
图1 泰森多边形泰森多边形的特性是：●每个泰森多边形内仅含有一个离散点数据●泰森多边形内的点到相应离散点的距离最近●位于泰森多边形边上的点到其两边的离散点的距离相等泰森多边形可用于定性分析、统计分析、邻近分析等。
例如，可以用离散点的性质来描述泰森多边形区域的性质；可用离散点的数据来计算泰森多边形区域的数据；判断一个离散点与其它哪些离散点相邻时，可根据泰森多边形直接得出，且若泰森多边形是n边形，则就与n个离散点相邻；当某一数据点落入某一泰森多边形中时，它与相应的离散点最邻近，无需计算距离。
在泰森多边形的构建中，首先要将离散点构成三角网。
这种三角网称为Delaunay三角网。
三、Delaulay三角形的构建Delaunay三角网的构建也称为不规则三角网的构建，就是由离散数据点构建三角网，如图2，即确定哪三个数据点构成一个三角形，也称为自动联接三角网。
即对于平面上n个离散点，其平面坐标为(x i，y i)，i＝1，2，…，n，将其中相近的三点构成最佳三角形，使每个离散点都成为三角形的顶点。
图2 Delaunay三角网自动联接三角网的结果为所有三角形的三个顶点的标号，如:1,2,8；2,8,3；3,8,7；……为了获得最佳三角形，在构三角网时，应尽可能使三角形的三内角均成锐角，即符合Delaunay三角形产生的准则：1、任何一个Delaunay三角形的外接圆内不能包含任何其它离散点。
障碍Voronoi结晶生成方法
9 Nanjing University of Aeronautics and Astronautics
2014.05.
Hale Waihona Puke 2.Voronoi图的生成方法
2.3 间接法
间接法的基本思想是:假设在平面2维空间中,生长元为n个离散点,首先 生成生长元对应的 Delaunay三角网,接着为每个三角形的所有边作垂直平 分线,由Voronoi图与Delaunay三角网对偶性得出;生长元对应的voronoi图 就是所有的垂直平分线的交 , 即间接地生成生长元对应的 voronoi 图。
3.障碍Voronoi的结晶生成方法 3.4.3 算法具有一些特色之处
(1)为便于计算各像素点的距离,在算法中,对距离作规定:生成元的近邻点距 离为2,对角邻点距离为3。 (2)选用4一模板和8一模板来进行结晶生成。当仅用4一模板时,生成元以 菱形生长(图(a));当仅用8一模板时,生成元以方形生长(图(b));当4一模板和 8一模板交替(具体交替情况可由程序控制)使用时,生成元以接近圆形生长 (图(c))。
障碍Voronoi结晶生成方法
1.Voronoi图的概念和定义
Voronoi结构的概念是由俄国数学家 M.G.Voronoi于1908年发现并以他的名字命名 的。它实质是一种在自然界中宏观和微观实 体以距离相互作用的普遍结构，具有广泛的 应用范围。
1.Voronoi图的概念和定义 1.1 V图定义
V图是对平面n个离散点而言的，它把平面分为几个区，每 一个区包括一个点，该点所在的区是到该点距离最近点的集合。
（一）定义
设P是一离散点集合P1，P2，…Pn∈P，定义Pi的Voronoi 区域V（Pi）为所有到Pi距离最小点的集合： V（Pi）={P/d（P，Pi）≤d（P，Pj）， j≠i，j=1，2，…n} 假设P是一离散点集合，P1，P2，…Pn ∈ P，定义P的V图V （P）为： V（P）={V（P1）,V（P2）,…,V（Pn）}
泰森多边形原理
泰森多边形原理泰森多边形原理，也称为Voronoi图或Dirichlet tessellation，是一种用于离散点集合的空间分割技术。
该原理可以用于识别关键的空间特征，例如网格状模式和地形分析。
下面我们来详细分步骤阐述泰森多边形原理。
第一步：构建二维离散点集泰森多边形原理需要构建一个离散点集。
这通常是通过采样空间来实现的，可以是二维图像中的像素网格，也可以是LIDAR传感器从点云数据中生成的几何点集。
第二步：用离散点集构建Voronoi图接下来，需要使用离散点集来构建Voronoi图。
Voronoi图以离散点的位置为中心，在离散空间内（通常是二维平面）形成一系列多边形，这些多边形的边缘是由离散点之间的等距线段形成的。
在二维平面内，可以使用Delaunay三角剖分算法，将每个离散点与其最近邻的点相连成三角形。
通过这种方式，可以构建出按距离分割空间的形态各异的Voronoi图。
第三步：构建泰森多边形通过Voronoi图的边缘，可以创建泰森多边形。
泰森多边形是每个Voronoi多边形的外接圆的闭合环。
这些多边形由离散点之间的等距线段形成，并且每个泰森多边形都是由两个或更多离散点共享的。
第四步：解决边界问题在具有边界的空间中，需要解决泰森多边形的边缘问题。
当点集合包含网格或模糊的边缘时，需要处理泰森多边形的边缘，以确保它们正确地限制了空间。
另外，在处理非点集边界时，需要使用预处理和/或后处理算法来确保边缘条包括在内，并且生成的泰森多边形具有正确的形状。
总结泰森多边形原理是一个十分重要的空间分析技术，可以用于地形分析、网格图形生成等很多领域。
通过四步骤的分解，我们可以大致了解使用泰森多边形原理所需要的基本流程。
当然，在实际应用中，还需要面对许多技术难题，需要不断进行改进和优化才能得到更好的结果。
voronoi多边形法
voronoi多边形法
Voronoi多边形法，也被称为Voronoi图法，是一种描述空间特征的数学方法。
它基于一组离散的点，并将空间分割成一系列多边形区域，每个区域都与一个特定的点有关。
在Voronoi多边形法中，首先需要确定一组离散的点，这些点被称为生成点或种子点。
这些点可以代表某些特定的对象、数据点或者其他空间要素。
生成点的位置以及它们之间的相对关系将决定Voronoi 图的形状。
根据生成点的位置和排列方式，我们可以构建出一张关于空间特征的地图，这张地图由一系列的多边形区域组成。
每个多边形区域都是由距离最近的生成点及其周围邻近点所确定的。
换句话说，每个生成点都是该多边形的一个关键点，而距离最近的邻近点也属于同一多边形。
Voronoi多边形法在各个领域都有广泛的应用。
在地理信息系统中，它可以被用于分析和描述地理空间的特征，比如在城市规划中确定最佳交通路线、分析地形等。
在计算几何学中，Voronoi图被用于寻找最近邻点、处理数据分类、计算最短路径等。
此外，在自然科学领域，Voronoi多边形法也被用于模拟物质结构、分析晶体形态等领域。
Voronoi多边形法的计算步骤较为简单，首先确定生成点的位置，然后计算每个点与其周围邻近点之间的距离，并构建多边形与邻近点的连接。
通过重复这一过程，我们可以得到一个完整的Voronoi图。
总之，Voronoi多边形法是一种有效的数学方法，可以用于描述空间特征和分析空间关系。
它在不同领域具有广泛的应用，且计算步骤简单明了。
通过深入学习和理解这一方法，我们可以更好地利用它来解决各种实际问题。
voronoi方法构建梯度纳米结构
一、概述Voronoi方法是一种常用的构建梯度纳米结构的工具，通过在一组离散的点集上构建Voronoi多面体，可以有效地生成具有梯度结构的材料。
在材料科学领域，构建梯度纳米结构是提高材料性能和功能的重要手段，因此Voronoi方法在材料设计和工程中具有广泛的应用前景。
二、Voronoi方法的原理1. Voronoi多面体概念Voronoi多面体是一种几何学概念，它把空间划分成多个区域，每个点的Voronoi多面体是与离该点最近的所有其他点距离最近的区域。
Voronoi多面体的边界是由平面的一组凸多边形构成的。
2. 构建Voronoi多面体的方法构建Voronoi多面体的方法有多种，其中最常用的是Delaunay三角剖分方法。
Delaunay三角剖分是指在给定一组点的情况下，构建一个无重叠的三角形网格，使得这些三角形的外接圆内不包含任何其他点。
而Voronoi多面体可以通过Delaunay三角剖分的对偶来构建。
三、Voronoi方法在梯度纳米结构设计中的应用1. 生成梯度结构的材料Voronoi方法可以用来生成梯度结构的材料，通过在材料中的一组离散点上构建Voronoi多面体，可以实现对材料的局部性质进行调控，例如强度、导热性等。
这种梯度结构的材料在力学、光学、热学等方面具有很好的性能表现。
2. 材料的形貌调控利用Voronoi方法构建梯度纳米结构可以实现对材料的形貌进行调控，例如在金属材料中通过构建梯度纳米结构可以提高材料的耐蚀性和耐磨性。
在聚合物材料中，可以通过Voronoi方法实现对材料的表面粗糙度和亲疏水性的调控。
3. 材料的功能性设计Voronoi方法还可以用于实现材料的功能性设计，例如可以通过在材料表面上构建Voronoi多面体来实现对光学功能材料的设计，例如制备具有光子晶体结构的材料。
在电子器件中，Voronoi方法还可以用于实现对半导体材料的局部掺杂，从而实现对电子输运性能的调控。
空间分析-voronoi图构建方法与应用
空间数据库查询技术
空间数据库
空间数据库是存储和管理空 间数据的数据库系统，通过 空间数据库查询技术可以快 速获取构建Voronoi图所需的
空间数据。
查询优化
空间数据库查询技术通常采 用查询优化技术，以提高查 询效率，减少构建Voronoi图
所需的时间。
数据存储
空间数据库的数据存储方式 对构建Voronoi图的速度和效 率也有影响，合理的数据存 储方式可以提高构建效率。
详细描述
利用Voronoi图对城市商业设施进行空间分析，可以识别出 商业设施的密集区域和稀疏区域，了解各区域商业设施的竞 争状况和服务范围，有助于优化商业布局，提高城市整体商 业发展水平。
地震灾害影响范围评估
总结词
Voronoi图可用于评估地震灾害的影 响范围，通过对受灾区域进行空间分 析，可以快速识别出受灾严重的区域， 为抢险救灾和灾后重建提供决策支持。
计算几何方法
计算几何
计算几何是构建Voronoi图的重要方法之一，通过计算几何 中的几何对象和算法，能够高效地生成Voronoi图。
常用算法
计算几何中常用的算法包括凸包算法、几何扫描算法等， 这些算法能够提高Voronoi图的构建效率。
精度控制
计算几何方法通常需要精度控制，以确保生成的Voronoi图 满足精度要求。
种群密度估计
通过Voronoi图，可以估计动物种群的密度，了解种群分布和数 量。
移动路径分析
Voronoi图可以用于分析动物的移动路径和活动范围，了解动物 的迁徙和行为模式。
04
Voronoi图的实际案例分 析
城市商业设施分布分析
总结词
通过Voronoi图分析城市中商业设施的分布情况，可以发现 商业设施在空间上的聚集程度和分布规律，为城市规划和商 业布局提供决策依据。
Voronoi图及其应用研究
接下来，对有限元模型进行网格划分，并根据材料的晶体结构和物理性质设 置相应的本构模型。最后，通过有限元求解器解算方程，得到材料的塑性变形行 为和应力应变曲线。
通过对比不同案例的分析结果，可以得出以下结论： (1)基于Voronoi图的 晶体塑性有限元多晶几何建模能够准确描述材料的塑性变形行为和应力应变曲线。 (2)不同的晶粒尺寸和形状分布会对材料的塑性变形产生影响。较小的晶粒尺寸 和更复杂的晶粒形状会导致材料具有更高的屈服强度和塑性变形能力。
基于图论的图像分割嵌入式应用
基于图论的图像分割技术在许多嵌入式应用中都发挥着重要的作用。下面我 们列举几个典型的例子：
1、无人驾驶汽车
无人驾驶汽车是近年来研究的热点之一。在无人驾驶汽车中，基于图论的图 像分割技术可以用于识别和区分道路上的各种对象，如车辆、行人、交通标志等。 此外，还可以利用图论中的路径规划算法来制定行驶路径，确保车辆的安全行驶。
1、图像处理：在图像处理中，Voronoi图可用于图像分割、特征提取和图像 增强等方面。例如，将图像中的像素点作为输入点集，通过计算距离和插值，生 成Voronoi图，进而实现图像分割和特征提取。
2、数据挖掘：在数据挖掘中，Voronoi图可用于聚类分析、关联规则挖掘和 频繁项集挖掘等方面。通过将数据点作为输入点集，生成Voronoi图，可以更好 地理解数据分布和结构，从而发现隐藏在数据中的有用信息。
2、简化模型建立：无需手动创建复杂的几何模型，而是通过自动生成的多 晶几何模型进行模拟和分析。
3、优化计算效率：通过使用高效的有限元算法和计算机集群，可以大幅缩 短计算时间。
案例分析
以一个多晶铜材料的晶体塑性有限元分析为例，详细介绍如何基于Voronoi 图的晶体塑性有限元多晶几何建模。首先，根据实验测量的晶粒尺寸和形状分布， 创建代表晶粒的点集合，并生成Voronoi图。然后，将Voronoi图导入有限元分析 软件中，建立有限元模型。在设置边界条件时，需考虑材料的固定约束和加载条 件。
voronoi多面体细分法
voronoi多面体细分法
Voronoi 多面体细分法是一种几何建模技术，它基于 Voronoi 图或 Voronoi 分割，用于将空间分割成不同的区域。
这种方法在计算机图形学、计算机辅助设计和计算机模拟等领域被广泛应用。
Voronoi 多面体细分法的基本原理是根据一组离散的点（称为种子点）来定义空间中的分割。
每个种子点将空间分割为一个以该点为中心的区域，该区域内的所有点到该种子点的距离都比到其他种子点的距离近。
这样的分割产生了一组多边形，这些多边形的边界由相邻的种子点之间的垂直平分线组成。
Voronoi 图也被称为Dirichlet 分割。
在计算机图形学中，Voronoi 多面体细分法可以用于生成复杂的地形、自然景观和纹理。
它还可以用于分割空间以进行碰撞检测和路径规划。
在计算机辅助设计中，Voronoi 多面体细分法可以用于生成艺术品、建筑和产品设计的复杂结构。
在计算机模拟中，Voronoi 多面体细分法可以用于模拟流体动力学、颗粒材料和生物组织的行为。
Voronoi 多面体细分法的优点之一是它能够生成具有高度复杂
性和真实感的结构，而且可以通过调整种子点的位置和数量来控制分割的精细程度。
然而，Voronoi 多面体细分法也有一些局限性，例如在处理大规模数据时可能会导致计算复杂度增加，以及在某些情况下可能会产生不均匀的分割。
总的来说，Voronoi 多面体细分法是一种强大的工具，可以用于各种领域的建模和仿真，它提供了一种灵活和有效的方法来处理空间分割和结构生成的问题。
voronoi多边形的生成原理
voronoi多边形的生成原理
Voronoi多边形是由一组离散点生成的多边形。
它们的生成基于一个称为Voronoi图的基于点的分割方法。
这个方法的基本思想是将平面分割成一些相互不重叠的区域，每个区域都以一个离散点为中心，并且包含离该点最近的所有其他点。
生成Voronoi图的方法有很多种。
其中一种常用的方法是基于Fortune算法。
这个算法首先将点按照x坐标排序，然后将它们一一插入一个扫描线数据结构中。
在扫描线向右移动的过程中，每当遇到一个点时，就会在扫描线上创建一个新的边。
这个边会将扫描线上的点分成两个部分，并且将它们所属的区域分割开来。
当扫描线遇到两个点之间的空白区域时，它会在这里创建一个新的顶点。
这个顶点将作为边的交点，并且被添加到一个数据结构中。
这个数据结构，也就是Delaunay三角网，是由Voronoi图的双重图
组成的。
最后，Voronoi图可以通过将Delaunay三角网的三角形外接圆
相互连接形成。
这些连接形成了Voronoi多边形的顶点。
总之，Voronoi图是一种非常有用的工具，可以在各种应用中使用，包括地理信息系统、图形学、计算机视觉等。
了解其生成原理，可以帮助我们更好地理解其应用和工作原理。
- 1 -。
vor径向线定义
Vor径向线定义1. 什么是Vor径向线Vor径向线是一种用于描述和刻画离散点集的几何性质的概念。
它是一种由Voronoi图（也称为Vor图）所生成的曲线，用于将平面上的点集划分为若干个区域，并且每个区域内的点都离其所对应的Vor径向线最近。
2. Vor径向线的生成方法Vor径向线的生成方法基于Voronoi图的概念。
Voronoi图是由一组点集所生成的一种图形，它将平面划分为若干个区域，每个区域内的点都离其所对应的点集中的点最近。
2.1 构建Voronoi图构建Voronoi图的方法有多种，其中一种常用的方法是通过计算每个点到其他点的距离来确定每个点所对应的区域。
具体步骤如下： 1. 给定一组点集。
2. 对于每个点，计算它与其他点之间的距离。
3. 将每个点与离它最近的点连接起来，得到一组边。
4. 将边连接起来，形成Voronoi图。
2.2 生成Vor径向线生成Vor径向线的方法是通过Voronoi图来实现的。
在Voronoi图中，每个点所对应的区域被称为Vor区域，Vor径向线就是沿着Vor区域的边界生成的曲线。
具体步骤如下： 1. 根据给定的点集构建Voronoi图。
2. 对于每个Vor区域，沿着其边界生成Vor径向线。
3. Vor径向线的应用领域Vor径向线在许多领域中都有广泛的应用，包括地理信息系统、计算机图形学、模式识别等。
3.1 地理信息系统在地理信息系统中，Vor径向线被用于描述和分析地理空间数据。
通过构建Vor径向线，可以将地理空间数据划分为不同的区域，从而更好地理解和分析地理现象。
3.2 计算机图形学在计算机图形学中，Vor径向线被用于生成地形、水流、植被等自然景观的模拟。
通过构建Vor径向线，可以生成具有真实感的地形和景观，用于游戏开发、虚拟现实等领域。
3.3 模式识别在模式识别中，Vor径向线被用于描述和识别图像中的对象。
通过构建Vor径向线，可以将图像中的对象划分为不同的区域，并提取出对象的特征，从而实现图像的自动识别和分析。
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现状与优化分析 ） ： ２ ０ １ ４ ２ ２ １ ２ ３ 。 ｏ ｒ ｏ ｎ ｏ ｉ 图。在 不混淆 的情况下 ， 简称 作者简介 ： 刘欣（ １ ９ ７ ７ 一） ， 女， 河北承德人 ， 承德石油高等专科学校 介绍 二维 平面普通 Ｖ
ｏ ｒ ｏ ｎ ｏ ｉ 图为 Ｖ ｏ ｒ ｏ ｎ ｏ ｉ 图 ，普 通 Ｖ ｏ ｒ ｏ ｎ ｏ ｉ 多 边 形 为 社科 数理部讲 师 ， 硕士， 研究 方向为计算 几何 、 算 法设 普 通 Ｖ
摘要 ： 由于一般 图形形状和位置 的任意性 ， 一般 图形 Ｖ ｏ ｒ ｏ ｎ ｏ ｉ 图往往 比较 复杂， 难 以将传统 的构造 法直接应用 到一般 图形 Ｖ ｏ ｒ ｏ ｎ ｏ ｉ 图的构造 中。本文介绍 了一般 图形 Ｖ ｏ ｒ ｏ ｎ ｏ ｉ 图的 离散构造法 ， 并给 出算 法步骤及优势分析。
・
１ ６ ２・
懋
价 值 工 程
一
般 图 形 Ｖｏ ｒ ｏ ｎ ｏ ｉ 图 的 离 散 生成
刘欣 Ｌ Ｉ Ｕ Ｘｉ ｎ
（ 承德石油 高等专科 学校社科 与数理部 ， 承德 ０ ６ ７ ０ ０ ０）
Ｔ ｈ ｅ Ｄｉ ｓ ｃ ｒ ｅ ｔ ｅ Ｇｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ Ｇｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｌ Ｇｒ ａ ｐ ｈ ｓ ｆ ｏ ｒ Ｖｏ ｒ ｏ ｎ ｏ ｉ Ｄｉ ａ ｇ ｒ ａ ｍ
基 金项 目： 河北省高等学校科学技术研究项 ， 编号为 Ｑ Ｎ ２ ０ １ ３ １ １ ５ ９ ； 承德市软科学研究计划项 目 （ 承 德市 公 交 线路 的 发 展
离散 构造 方法。 １ 普通 Ｖ ｏ ｒ ｏ ｎ ｏ ｉ 图的定义 本文主 要研 究二维 平面 内的一般 图形 Ｖ ｏ ｒ ｏ ｎ ｏ ｉ 图， 先
１ ． ０ ６ １ ． ６ ８
超总效率
２ ． Ｏ ９ １ ． ５ ７ １ ． ３ ４ １ ． ０ ５
１ ． Ｏ ６ １ ． ６ ８
超总效率， 规模效益
特 色鲜 明的教学研 究型大学。通过运 用 Ｄ Ｅ Ａ方法对该 校 二级学院 的办 学绩效进行 全面 分析 ，实证结 果表 明 Ｄ Ｅ Ａ 方法对二级学院办学绩效 的评价是客观 的 ， 也符合 现实情 况， 是 非常有效 的 ， 可 以为其他 高校二 级学 院的办学绩 效 评价 提供借 鉴作用和参考依据。
般 图形 Ｖ ｏ ｒ ｏ ｎ ｏ ｉ 图（ 泰森 多边 形 ） 的传 统构造 方法主 杂 ， 从而使得难 以将传统 的构造 方法直接应用到一般 图形 要来 自于普通 Ｖ ｏ ｒ ｏ ｎ ｏ ｉ 图的构造 。但 由于 一般图形的任意 Ｖ ｏ ｒ ｏ ｎ ｏ ｉ 图 的构造 中。 本 文主要 介绍一般 图形 Ｖ ｏ ｒ ｏ ｎ ｏ ｉ 图的
（ Ｄ ｅ ｐ ａ ｒ ｔ ｍｅ ｎ ｔ ｏ ｆ Ｓ ｏ ｃ ｉ ｌ ａ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ａ ｎ ｄ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｔ ｉ ｃ ｓ ， Ｃ ｈ ｅ ｎ ｇ ｄ ｅ Ｐ ｅ ｔ ｒ ｏ ｌ ｅ ｕ ｍ Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ， Ｃ ｈ ｅ ｎ ｇ ｄ ｅ ０ ６ ７ ０ ０ ０ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
计等 。 表 ７ 二 级 学 院 超 总 效 率 值
学院
学院 １ ２ 学院 １ １ 学院 １ ０ 学院９
学院３ 学院 ４
Ｖ ｏ ｒ ｏ ｎ ｏ ｉ 多边形。下面 给出精确的数学语言描述。
性 的理工科 院校 ，该校 的战略 目标定位是到 ２ ０ ２ ０年 建成
２ ． ０ ９ １ ． ５ ７ １ ． ３ ４ １ ． ０ ５
关键 词 ： 一 般 图形 ； Ｖ ｏ ｒ ｏ ｎ ｏ ｉ 图； 离散 生 成
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ： ｇ ｅ ｎ ｅ ｒ ｌ ａ ｇ ｒ ａ ｐ ｈ ｓ ； Ｖｏ ｒ ｏ ｎ ｏ ｉ ｄ ｉ ａ ｇ ｒ ａ ｍ； ｄ ｉ ｓ ｃ ｒ ｅ ｔ ｅ ｇ ｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ
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中图分类号 ： Ｔ Ｐ ３ ９ １
文献 标 识 码 ： Ａ
文章编号 ： １ ０ ０ ６ — ４ ３ ｌ １ （ ２ ０ １ ５ ） １ ９ — ０ １ ６ ２ — ０ ２
０ 引 言
一
性 ，一般 图形Ｖ ｏ ｒ ｏ ｎ ｏ ｉ 图的 Ｖ ｏ ｒ ｏ ｎ ｏ ｉ 边 的形状 往往 比较 复