全等三角形推理拔高经典题目

截长补短、倍长中线
1、已知：如图， AD 、BE 是△ABC 的高，AD 和EB 的延长线相交于H ， 且BH=AC. 求证：AD=DH -BC
2、如图，四边形ABCD 中，BE 平分∠ABC 交CD 于E ，且DE=CE ，AB=AD+BC ， 求证：AD ∥BC ．
3、已知：如图，AD 是△ABC 的中线，AB=AE ，AC=AF ，∠BAE=∠FAC=90°.
试探究线段AD 与EF 数量和位置关系.
H
E
D
C
B A
E
E
D
C
B
A
4、若△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠ACB，CE是AB边上的中线，延长AB到D，使BD=AB，设CE= a，
a,之间的数量关系
CD= b，求b
5、如图，D是△ABC的BC边上一点且CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线．
求证：∠C=∠BAE．
6、如图，△ABC中，∠A=2∠B，AB=2AC，求证：∠C=90°.
全等训练E D C
B
A
C B
A
1.已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=o ，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交
CB DC ，（或它们的延长线）于点M N ，．
当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时（如图1），易证BM DN MN +=．
（1）当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN ≠时（如图2），线段BM DN ，和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．
（2）当MAN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM DN ，和MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
2. △ABC 中, AB = AC = BC, △DCB 中, DC = DB, ∠BDC = 120︒, E 、F 分别为AB 、AC 上的点, ∠EDF =60︒. 求证: EF = BE + CF ．
B
B
M
B
C
N
C
N
C
N
M 图1
图2
图3
A A A D
D D A
E
3．已知Rt ABC △中，90AC BC C D ==︒，∠，为AB 边的中点，90EDF ∠=°，EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．
（1）当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图1），易证1
2
DEF CEF ABC S S S +=
△△△．
（2）当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC 和不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？
若成立，请给予证明；若不成立，DEF S △、CEF S △、ABC S △又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证
明．
4. 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=α，且60°<α<120°．P 为△ABC 内部一点，且PC=AC ，∠PCA=120°—α．
（1）用含α的代数式表示∠APC ，得∠APC =______________； （2）求证：∠BAP=∠PCB ；
B
C
P
A
（3）求∠PBC 的度数．
5．数学课上，张老师提出问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=︒， 且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE=EF ．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM=EC ， 易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF ”仍然成立，你认为 小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF ” 仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
6．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且∠DCB=∠EBC=1
2
∠A ，BE 、CD 交于点O.求证：BD=CE.
7．如图，在△ABC 中，∠C =2∠B ，∠1=∠2，求证：AB =AC +CD ．
A
D
F
C G
E B
图1
A
D
F
C G E B
图2
A
D
F
C G
E B
图3
B
O
A
D
E
C
F
M
P
E D
C
B A
8.已知：如图， AF 平分
∠BAC ，BC ⊥AF ， 垂足为E ，点D 与点A 关于点E 对称，PB 分别与线段CF ， AF 相交于P ，M ． （1）求证：AB ＝CD ；
（2）若∠BAC ＝2∠MPC ，请你判断∠F 与∠MCD 的数量关系，并说明理由．
9.如图1，直线l 1:y=3x+3与x 轴交于B 点，与直线l 2交于y 轴上一点A ，且l 2与x 轴的交点为C （1，0）. （1）求证:∠ABC=∠ACB.
（2）如图2,过x 轴上一点D(3 ,0)作DE ⊥AC 于E,DE 交y 轴于F 点，交AB 于G 点，求Ｇ点坐标.
（3）如图3，将△ABC 沿x 轴向左平移，AC 边与y 轴交于一点P(P 不同于A 、C 两点)，过P 点作一直线与AB 的延长线交于Q 点，与x 轴交于M 点，且CP=BQ,在△ABC 平移的过程中，线段OM 的长度是否发生变化？若不变，求其长度；若变化，确定其变化范围.
10. 如图，已知AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE=EF ． 求证：AC=BF ．
A B
C
D
E F
11. 已知: 如图, 在△ABC中, AB = AC, D为△ABC外一点, ∠ABD = 60︒,
∠ADB = 90︒-1
2
∠BDC.
求证: AB = BD + DC
12. 如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，AB=AC，∠ABD=60°，过D作ED⊥AD，交AC于点E，恰有DE平分∠BDC．
试判断线段CD、BD 与AC之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．
.
C
E D B
A
C
E D B
A
13.已知四边形ABCD 中，AB AD ⊥，BC CD ⊥，AB BC =，120ABC =o
∠，60MBN =o
∠，
MBN ∠绕B 点旋转，它的两边分别交AD DC ，（或它们的延长线）于E F ，． 当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF =时（如图1），易证AE CF EF +=．
当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF ≠时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请 给予证明；若不成立，线段AE CF ，，EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
图1 A
B C
D
E
F
M N
A
B C
D
E F
M
N
A
B C
D
E F M
N
图2
图3
14.在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图．
试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．
15.如图(1)，Rt△ABC中，∠ACB=-90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F （1）求证：CE=CF．
（2）将图（1）中的△AD E沿AB向右平移到△A’D’E’的位置，使点E’落在BC边上，其它条件不变，如图（2）所示．试猜想：BE'与CF有怎样的数量关系?请证明你的结论．
图（1）
图（2）
16. 我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．
（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；
（2）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，设CD，BE相交于点O，\
若∠A=60°，∠DCB=∠EBC=1
2
∠A．
请你写出图中一个与∠A相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；
（3）在△ABC中，如果∠A是不等于60°的锐角，点D，E分别在AB，AC上，
且∠DCB=∠EBC=1
2
∠A．
探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．
17.在四边形ABCP中，BP平分∠ABC，PD⊥BC于D，且AB+BC=2BD.
求证：∠BAP+∠BCP=180o. B
O
A
D E
C
18．已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB＝OC. （1）如图1，若点O在BC上，求证：AB＝AC；
（2）如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB＝AC；
（3）若点O在△ABC的外部，AB＝AC成立吗？请画图表示．
O B
A
C
B
图1
图2
O
B C
A
19.如图，在△ABC中，∠B=60°，∠A、∠C的角平分线AD、CE相交于F，求证：EF=DF
20.在△ABC中，∠ABC＝100O，∠C的平分线交AB边于E，在AC边上取点D，
使得∠CBD＝20O，连结DE.求∠CED的度数.
A B
C
D
E。