线性代数答案
线性代数试题及答案
04184线性代数(经管类）一、二、单选题1、B:—1 A：—3C：1 D：3做题结果:A 参考答案：D 2、B:dA:abcdC：6 D：0做题结果：A 参考答案:D 3、B：15A：18C:12 D:24做题结果：A 参考答案：B 4、B：—1A：-3C:1 D:3做题结果:A 参考答案：D 6、B:15A：18C:12 D:24做题结果：A 参考答案：B 20、B:kA：k—1C：1 D:k+1做题结果:A 参考答案:B 21、行列式D如果按照第n列展开是【】A。
，B。
,C。
，D。
做题结果:A 参考答案：A22、关于n个方程的n元齐次线性方程组的克拉默法则，说法正确的是【】A:如果行列式不等于0，则方程组必有无穷多解B:如果行列式不等于0，则方程组只有零解C：如果行列式等于0，则方程组必有唯一解D：如果行列式等于0,则方程组必有零解做题结果:A 参考答案：B23、已知三阶行列D中的第二列元素依次为1、2、3，它们的余子式分别为-1、1、2，则D的值为. 【】A:—3B:—7C:3 D:7做题结果：A 参考答案：A24、A：0B:1C：-2 D:2做题结果：A 参考答案：C25、B：dA:abcdC：6 D:0做题结果:A 参考答案：D26、B：a≠0A:a≠2C:a≠2或a≠0 D:a≠2且a≠0做题结果：A 参考答案：D27、A.，B.，C.，D。
做题结果：B 参考答案：B 28、B:16｜A|A:—2|A｜C:2|A｜D:|A｜做题结果：A 参考答案：B29、下面结论正确的是【】A：含有零元素的矩阵是零矩阵B:零矩阵都是方阵C：所有元素都是零的矩阵是零矩阵D:若A,B都是零矩阵,则A=B做题结果：A 参考答案：C30、设A是n阶方程，λ为实数，下列各式成立的是【】C.，D.做题结果：C 参考答案:C31、A。
,B。
，C.，D.做题结果：B 参考答案：B32、设A是4×5矩阵，r（A）=3，则▁▁▁▁▁.【】B:A中存在不为0的4阶子式A:A中的4阶子式都不为0C:A中的3阶子式都不为0 D：A中存在不为0的3阶子式做题结果：A 参考答案:D33、B：a=-1，b=3，c=1,d=3A:a=3，b=-1，c=1，d=3C：a=3，b=—1，c=0，d=3 D：a=—1，b=3，c=0，d=3做题结果：A 参考答案：C34、设A是m×n矩阵，B是s×t矩阵，且ABC有意义，则C是▁▁矩阵. 【】B：m×tA：n×sC：t×m D：s×n做题结果：A 参考答案:A35、含有零向量的向量组▁▁▁【】B:必线性相关A：可能线性相关C:可能线性无关D:必线性无关做题结果：A 参考答案：B36、对于齐次线性方程组的系数矩阵化为阶梯形时▁▁▁. 【】B:只能进行列变换A：只能进行行变换C：不能进行行变换D:可以进行行和列变换做题结果：B 参考答案：A37、非齐次线性方程组中，系数矩阵A和增广矩阵（A，b）的秩都等于4,A是（）4×6矩阵,则▁▁。
线性代数课后习题答案全)习题详解
线性代数课后习题答案全)习题详解第一章 行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：（1）381141102---； （2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ； （4）y x y x x y x yyx y x +++. 解 （1）=---381141102811)1()1(03)4(2⨯⨯+-⨯-⨯+⨯-⨯)1()4(18)1(2310-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯⨯-=416824-++-=4-（2）=ba c a cb cb a ccc aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---=（3）=222111c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---=（4）yx y x x y x y yx y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为2)1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… …)12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个（6）逆序数为)1(-n n3 2 1个 5 2，54 2个 ……………… …)12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… …)2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.解 由定义知，四阶行列式的一般项为43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定，4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为10100=+++或22000=+++∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求.4.计算下列各行列式：（1）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢7110025*********4； （2）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢-265232112131412； （3）⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎣⎢---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢---d c b a100110011001解(1)7110025102021421434327c c c c --1002310021214---34)1(142101+-⨯--=143102211014-- 321132c c c c ++141717001099-(2)2605232112131412-24c c -2605032122130412-24r r -0412032122130412- 14r r -0000032122130412-=0(3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=e c b e c b e c b adf ---=111111111---adfbce =abcdef 4(4)d c b a 100110011001---21ar r +dc b a ab 100110011010---+=12)1)(1(+--dc a ab 10111--+23dc c +010111-+-+cd c ada ab =23)1)(1(+--cdadab +-+111=1++++ad cd ab abcd5.证明: (1)1112222b b a a b ab a +=3)(b a -; (2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=y x z x z y z y x b a )(33+;(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;(4)444422221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-⋅;(5)1221100000100001a x a a a a x x x n n n +-----n n n n a x a x a x ++++=--111 . 证明(1)00122222221312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--= 右边=-=3)(b a(2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开按第一列左边bzay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分bz ay y x by ax x z bx az z y b +++zy x y x z xz y b y x z x z y z y x a 33+分别再分右边=-+=233)1(yx z x z y zy x b y x z x z y z y x a(3) 2222222222222222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(++++++++++++++++=d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边9644129644129644129644122222141312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c 964496449644964422222++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 分成二项按第二列964419644196441964412222+++++++++d d d c c c b b b a a a949494949464222224232423d d c c b b a a c c c c c c c c ----第二项第一项06416416416412222=+ddd c c c bb b a a a (4)4444442222220001ad a c a b a ad a c a b a ad a c a b a ---------=左边)()()222222222222a d d a c c a a d a c ad a c ------ =)()()(111))()((222a d d a c c a b b a d a c ab a d ac a b ++++++--- =⨯---))()((ad a c a b )()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd b c a b +-++-++--+ =⨯-----))()()()((b d b c a d a c a b )()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-(5) 用数学归纳法证明.,1,2212122命题成立时当a x a x a x a x D n ++=+-==假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D:1列展开按第则n D1110010001)1(11----+=+-x xa xD D n n n n 右边=+=-n n a xD 1 所以，对于n 阶行列式命题成立.6.设n 阶行列式)det(ij a D =,把D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依副对角线翻转，依次得n nn n a a a a D 11111 =， 11112n nn n a a a a D = ，11113a a a a D n nnn =，证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(.证明 )det(ij a D =nnnn nn n nn n a a a a a a a a a a D 2211111111111)1(--==∴ =--=--nnn n nnn n a a a a a a a a 331122111121)1()1( nnn n n n a a a a 111121)1()1()1(---=--D D n n n n 2)1()1()2(21)1()1(--+-+++-=-= 同理可证nnn n n n a a a a D 11112)1(2)1(--=D D n n Tn n 2)1(2)1()1()1(---=-= D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(7.计算下列各行列式（阶行列式为k D k ）：(1)aaD n 11=,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；(2)xa a ax aa a x D n =; (3) 1111)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a a D n n n nn n n ------=---+; 提示：利用范德蒙德行列式的结果． (4) nnn nn d c d c b a b a D000011112=; (5)j i a a D ij ij n -==其中),det(;(6)nn a a a D +++=11111111121 ,021≠n a a a 其中.解(1) aa a a a D n 00010000000000001000 =按最后一行展开)1()1(1000000000010000)1(-⨯-+-n n n aa a)1)(1(2)1(--⋅-+n n na a a (再按第一行展开)n n n nn a a a+-⋅-=--+)2)(2(1)1()1(2--=n n a a )1(22-=-a a n(2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行，得ax x a ax x a a x x a aa a x D n ------=0000000 再将各列都加到第一列上，得ax ax a x aaa a n x D n ----+=000000000)1( )(])1([1a x a n x n --+=- (3) 从第1+n 行开始，第1+n 行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n 行经)1(-n 次对换换到第2行…，经2)1(1)1(+=++-+n n n n 次行交换，得 nnn n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++此行列式为范德蒙德行列式∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-•-•-=---=111)1(2)1(112)1()][()1()1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i(4) nn nnn d c d c b a b a D 011112=n n n nd c d c b a b a a 0000111111--展开按第一行0000)11111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+2222 ---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开由此得递推公式：222)(--=n n n n n n D c b d a D即 ∏=-=ni i i iin D c b da D 222)(而 111111112c b d a d c b a D -==得 ∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)j i a ij -=0432********0122210113210)det( --------==n n n n n n n n a D ij n ,3221r r r r --0432111111111111111111111 --------------n n n n,,141312c c c c c c +++152423210222102210002100001---------------n n n n n =212)1()1(----n n n(6)nn a a D a +++=11111111121n n n n a a a a a a a a +------10001001000100100010000114332展开（由下往上）按最后一列1(+n a nn n a a a a a a a ------00000000000000000000000224332 nn n a a a a a a a a ----+--000000000000000001133221 ++ nn n a a a a a a a a -------000000000000000001143322n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=---)11)((121∑=+=ni in a a a a8.用克莱姆法则解下列方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++;01123,2532,242,5)1(4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+.15,065,065,065,165)2(5454343232121x x x x x x x x x x x x x 解 (1)11213513241211111----=D 8120735032101111------=145008130032101111---=1421420005410032101111-=---= 112105132412211151------=D 11210513290501115----=1121023313090509151------=2331309050112109151------=1202300461000112109151-----=000100210151---= 112035122412111512-----=D 11503120270151------=313911230231115-2842840001910023101151-=----=426110135232422115113-=----=D ; 14202132132212151114=-----=D1,3,2,144332211-========∴DDx D D x D D x D D x (2) 510006510006510065100065=D 展开按最后一行61000510065100655-'D D D ''-'=65 D D D ''-'''-''=6)65(5D D '''-''=3019D D ''''-'''=1146566551141965=⨯-⨯=(,11的余子式中为行列式a D D ',11的余子式中为a D D ''''类推D D ''''''',) 5100165100065100650000611=D 展开按第一列6510065100650006+'D 46+'=D 460319+''''-'''=D 1507= 5101065100065000601000152=D 展开按第二列5100651006500061-6510065000610005-365510651065⨯-= 1145108065-=--= 51100650000601000051001653=D 展开按第三列0000105165610050066100510656510650061+= 703114619=⨯+= 51000601000051000651010654=D 展开按第四列61000510065100655000610005100651--51065106565--=395-= 11051000651000651100655=D 展开按最后一列D '+10005100651006512122111=+= 665212;665395;665703;6651145;665150744321=-==-==∴x x x x x ． 9.齐次线性方程组取何值时问,,μλ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解 μλμμμλ-==12111113D ， 齐次线性方程组有非零解，则03=D即 0=-μλμ 得 10==λμ或不难验证，当,10时或==λμ该齐次线性方程组确有非零解.10.齐次线性方程组取何值时问,λ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ 有非零解？解λλλ----=111132421D λλλλ--+--=101112431)3)(1(2)1(4)3()1(3λλλλλ-------+-=3)1(2)1(23-+-+-=λλλ齐次线性方程组有非零解，则0=D 得 32,0===λλλ或不难验证，当32,0===λλλ或时，该齐次线性方程组确有非零解.第二章 矩阵及其运算1. 已知线性变换:⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换.解 由已知:⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x ,故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y , ⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y .2. 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换.解 由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z ,所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .3. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B , 求3AB -2A 及A TB .解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T .4. 计算下列乘积:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134;解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=49635.(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛123)321(;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(=(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10).(3))21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛;解 )21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=632142. (4)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412 ; 解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6520876.(5)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ;解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x=(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.5. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B , 问:(1)AB =BA 吗? 解 AB ≠BA .因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA .(2)(A +B)2=A 2+2AB +B 2吗? 解 (A +B)2≠A 2+2AB +B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148,但⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610,所以(A +B)2≠A 2+2AB +B 2.(3)(A +B)(A -B)=A 2-B 2吗? 解 (A +B)(A -B)≠A 2-B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A ,而⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A ,故(A +B)(A -B)≠A 2-B 2.6. 举反列说明下列命题是错误的:(1)若A 2=0, 则A =0;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A , 则A 2=0, 但A ≠0. (2)若A 2=A , 则A =0或A =E ;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A , 则A 2=A , 但A ≠0且A ≠E . (3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y . 解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y ,则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y .7. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA , 求A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅, A k.解⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k .8. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A , 求A k.解 首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎝⎛=kA kk kk k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫. 用数学归纳法证明: 当k =2时, 显然成立. 假设k 时成立，则k +1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ, 由数学归纳法原理知:⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121.9. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵. 证明 因为A T =A , 所以(B T AB)T =B T (B T A)T =B T A T B =B T AB ,从而B T AB 是对称矩阵.10. 设A , B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA . 证明 充分性: 因为A T =A , B T =B , 且AB =BA , 所以 (AB)T =(BA)T =A T B T =AB ,即AB 是对称矩阵.必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB)T =AB , 所以 AB =(AB)T =B T A T =BA . 11. 求下列矩阵的逆矩阵:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛5221; 解⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A . |A|=1, 故A -1存在. 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225*22122111A A A A A ,故*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225.(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ; 解⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A . |A|=1≠0, 故A -1存在. 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A ,所以*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos .(3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=145243121A . |A|=2≠0, 故A -1存在. 因为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A , 所以 *||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=1716213213012. (4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a 1a 2⋅ ⋅ ⋅a n≠0) .解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A 0021, 由对角矩阵的性质知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n a a a A 10011211 . 12. 解下列矩阵方程:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫ ⎝⎛-=80232.(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--234311*********X ; 解 1111012112234311-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32538122.(3)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ; 解 11110210132141--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111. (4)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X . 解 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=201431012. 13. 利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ;解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x , 从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x .解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x , 故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x .14. 设A k =O (k 为正整数), 证明(E -A)-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.证明 因为A k =O , 所以E -A k =E . 又因为E -A k =(E -A)(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1),所以 (E -A)(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)=E ,由定理2推论知(E -A)可逆, 且(E -A)-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.证明 一方面, 有E =(E -A)-1(E -A).另一方面, 由A k =O , 有E =(E -A)+(A -A 2)+A 2-⋅ ⋅ ⋅-A k -1+(A k -1-A k )=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A),故 (E -A)-1(E -A)=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A),两端同时右乘(E -A)-1, 就有(E -A)-1(E -A)=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.15. 设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E)-1. 证明 由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 即A(A -E)=2E ,或 E E A A =-⋅)(21, 由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A -=-. 由A 2-A -2E =O 得A 2-A -6E =-4E , 即(A +2E)(A -3E)=-4E ,或 E A E E A =-⋅+)3(41)2( 由定理2推论知(A +2E)可逆, 且)3(41)2(1A E E A -=+-.证明 由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 两端同时取行列式得|A 2-A|=2,即 |A||A -E|=2,故 |A|≠0,所以A 可逆, 而A +2E =A 2, |A +2E|=|A 2|=|A|2≠0, 故A +2E 也可逆.由 A 2-A -2E =O ⇒A(A -E)=2E⇒A -1A(A -E)=2A -1E ⇒)(211E A A -=-, 又由 A 2-A -2E =O ⇒(A +2E)A -3(A +2E)=-4E⇒ (A +2E)(A -3E)=-4 E ,所以 (A +2E)-1(A +2E)(A -3E)=-4(A +2 E)-1,)3(41)2(1A E E A -=+-. 16. 设A 为3阶矩阵,21||=A , 求|(2A)-1-5A*|. 解 因为*||11A A A =-, 所以|||521||*5)2(|111----=-A A A A A |1-A =|-2A -1|=(-2)3|A -1|=-8|A|-1=-8⨯2=-16.17. 设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A*也可逆, 且(A*)-1=(A -1)*.证明 由*||11A A A =-, 得A*=|A|A -1, 所以当A 可逆时, 有 |A*|=|A|n |A -1|=|A|n -1≠0,从而A*也可逆.因为A*=|A|A -1, 所以(A*)-1=|A|-1A . 又*)(||)*(||1111---==A A A A A , 所以 (A*)-1=|A|-1A =|A|-1|A|(A -1)*=(A -1)*.18. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A*, 证明:(1)若|A|=0, 则|A*|=0;(2)|A*|=|A|n -1.证明(1)用反证法证明. 假设|A*|≠0, 则有A*(A*)-1=E , 由此得A =A A*(A*)-1=|A|E(A*)-1=O ,所以A*=O , 这与|A*|≠0矛盾，故当|A|=0时, 有|A*|=0.(2)由于*||11A A A =-, 则AA*=|A|E , 取行列式得到 |A||A*|=|A|n .若|A|≠0, 则|A*|=|A|n -1;若|A|=0, 由(1)知|A*|=0, 此时命题也成立.因此|A*|=|A|n -1.19. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A , AB =A +2B , 求B . 解 由AB =A +2E 可得(A -2E)B =A , 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--321011330121011332)2(11A E A B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=011321330. 20. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A , 且AB +E =A 2+B , 求B . 解 由AB +E =A 2+B 得(A -E)B =A 2-E ,即 (A -E)B =(A -E)(A +E).因为01001010100||≠-==-E A , 所以(A -E)可逆, 从而⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=201030102E A B . 21. 设A =diag(1, -2, 1), A*BA =2BA -8E , 求B .解 由A*BA =2BA -8E 得(A*-2E)BA =-8E ,B =-8(A*-2E)-1A -1=-8[A(A*-2E)]-1=-8(AA*-2A)-1=-8(|A|E -2A)-1=-8(-2E -2A)-1=4(E +A)-1=4[diag(2, -1, 2)]-1)21 ,1 ,21(diag 4-= =2diag(1, -2, 1).22. 已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=8030010100100001*A , 且ABA -1=BA -1+3E , 求B .解 由|A*|=|A|3=8, 得|A|=2.由ABA -1=BA -1+3E 得AB =B +3A ,B =3(A -E)-1A =3[A(E -A -1)]-1A 11*)2(6*)21(3---=-=A E A E ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1030060600600006603001010010000161.23. 设P -1AP =Λ, 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001, 求A 11. 解 由P -1AP =Λ, 得A =P ΛP -1, 所以A 11= A=P Λ11P -1.|P|=3, ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141*P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P , 而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ11111120 012001, 故 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=68468327322731. 24. 设AP =P Λ, 其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111201111P , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511, 求ϕ(A)=A 8(5E -6A +A 2).解 ϕ(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)]=diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0).ϕ(A)=P ϕ(Λ)P -1*)(||1P P P Λ=ϕ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111111114. 25. 设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A -1+B -1也可逆, 并求其逆阵. 证明 因为A -1(A +B)B -1=B -1+A -1=A -1+B -1,而A -1(A +B)B -1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A -1(A +B)B -1可逆, 即A -1+B -1可逆. (A -1+B -1)-1=[A -1(A +B)B -1]-1=B(A +B)-1A .26. 计算⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛30003200121013013000120010100121. 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=30122A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12131B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30322B , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A , 而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4225303212131021211B B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=90343032301222B A , 所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521, 即 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521. 27. 取⎪⎭⎫ ⎝⎛==-==1001D C B A , 验证|||||||| D C B A D C B A ≠. 解 41001200210100101002000021010010110100101==--=--=D C B A , 而 01111|||||||| ==D C B A ,故 |||||||| D C B A D C B A ≠. 28. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22023443O O A , 求|A 8|及A 4. 解 令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21A O O A A , 故 8218⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8281A O O A ,1682818281810||||||||||===A A A A A . ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A O O A A . 29. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆, 求(1)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ;解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211C C C C O B A O , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=s n E O O E BC BC AC AC 2143. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧====s n E BC O BC O AC E AC 2143⇒⎪⎩⎪⎨⎧====--121413B C O C O C A C ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---O A B O O B A O 111. (2)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛B C O A .解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211D D D D B C O A , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321.由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==s nE BD CD O BD CD OAD E AD 423121⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-===----14113211B D CA B D O D A D ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A . 30. 求下列矩阵的逆阵:(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025; 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2538B , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--5221122511A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--8532253811B .于是 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----850032000052002125003800001200251111B A B A .(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4121031200210001.解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=4103B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2112C , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------1111114121031200210001B CA B O A BC O A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411212458103161210021210001.第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320; (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; (4)⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313*********2)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---020*********)2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201 33~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000010012013121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1740343013201312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---31003100132021233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031001002021~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000031005010 (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311141312323~r r r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311)5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----22100221002210034311 2423213~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---000000000022********(4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132 242321232~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110141312782~rr r r r r --+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--410004100020201111134221)1(~r r r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----0000041000111102020132~rr +⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004100030110202012.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A ，求A 。
线性代数试题与答案
04184线性代数（经管类）一、二、单选题1、B:-1A:-3C:1 D:3做题结果：A 参考答案：D 2、B:dA:abcdC:6 D:0做题结果：A 参考答案：D 3、B:15A:18C:12 D:24做题结果：A 参考答案：B 4、B:-1A:-3C:1 D:3做题结果：A 参考答案：D 6、B:15A:18C:12 D:24做题结果：A 参考答案：B 20、B:kA:k-1C:1 D:k+1做题结果：A 参考答案：B 21、行列式D如果按照第n列展开是【】A.,B.,C.,D.做题结果：A 参考答案：A22、关于n个方程的n元齐次线性方程组的克拉默法则，说法正确的是【】A:如果行列式不等于0，则方程组必有无穷多解B:如果行列式不等于0，则方程组只有零解C:如果行列式等于0，则方程组必有唯一解D:如果行列式等于0，则方程组必有零解做题结果：A 参考答案：B23、已知三阶行列D中的第二列元素依次为1、2、3，它们的余子式分别为-1、1、2，则D的值为。
【】A:-3B:-7C:3 D:7做题结果：A 参考答案：A24、A:0B:1C:-2 D:2做题结果：A 参考答案：C25、B:dA:abcdC:6 D:0做题结果：A 参考答案：D26、B:a≠0A:a≠2C:a≠2或a≠0 D:a≠2且a≠0做题结果：A 参考答案：D27、A.,B.,C.,D.做题结果：B 参考答案：B 28、A:-2|A|B:16|A|C:2|A| D:|A|做题结果：A 参考答案：B29、下面结论正确的是【】A:含有零元素的矩阵是零矩阵B:零矩阵都是方阵C:所有元素都是零的矩阵是零矩阵D:若A，B都是零矩阵，则A=B做题结果：A 参考答案：C30、设A是n阶方程，λ为实数，下列各式成立的是【】C.,D.做题结果：C 参考答案：C31、A.,B.,C.,D.做题结果：B 参考答案：B32、设A是4×5矩阵，r（A）=3，则▁▁▁▁▁。
线性代数课后习题答案
线性代数课后题详解第一章 行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：相信自己加油（1）381141102---； （2）ba c a cb cb a （3）222111c b a c b a ； （4）yx y x x y x y yx y x +++. 解 注意看过程解答（1）=---381141102811)1()1(03)4(2⨯⨯+-⨯-⨯+⨯-⨯ )1()4(18)1(2310-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯⨯-=416824-++-=4-（2）=ba c a cb cb a ccc aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---=（3）=222111c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---=（4）yx y x x y x y yx y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：耐心成就大业（1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2；（3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3；（5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ；（6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2.解（1）逆序数为0（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2（3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1（4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3（5）逆序数为2)1(-n n ：3 2 1个5 2，5 4 2个7 2，7 4，7 6 3个……………… …)12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n)1(-n 个（6）逆序数为)1(-n n3 2 1个5 2，5 4 2个……………… …)12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n)1(-n 个4 2 1个6 2，6 4 2个……………… …)2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.解 由定义知，四阶行列式的一般项为43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p已固定，4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为10100=+++或22000=+++∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求.4.计算下列各行列式：多练习方能成大财（1）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢71100251020214214； （2）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢-2605232112131412；（3）⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎣⎢---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢---d c b a 100110011001解 (1)7110025102021421434327c c c c--0100142310202110214--- =34)1(143102211014+-⨯---=143102211014--321132c c c c ++1417172001099-=0(2)2605232112131412-24c c -2605032122130412-24r r -0412032122130412- 14r r -0000032122130412-=0(3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=ec b e c b ec b adf --- =111111111---adfbce =abcdef 4 (4)d c b a 100110011001---21ar r +dc b a ab 100110011010---+ =12)1)(1(+--d c a ab 101101--+ 23dc c +010111-+-+cdc ada ab=23)1)(1(+--cd adab +-+111=1++++ad cd ab abcd5.证明: (1)1112222b b a a b ab a +=3)(b a -; (2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=y x z x z y zy x b a )(33+;(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ; (4)444422221111d c b a d c b a d c b a))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-⋅; (5)1221100000100001a x a a a a x x x n n n +----- n n n n a x a x a x ++++=--111 .证明 (1)00122222221312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((ab a a b a b +--=右边=-=3)(b a (2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开按第一列左边 bzay by ax x byax bx az z bxaz bz ay y b +++++++++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分bzay y x by ax x z bxaz z y b +++ zy x y x z xz y b y x z x z y z y x a 33+分别再分右边=-+=233)1(yx z x z y zy x b y x z x z y z y x a(3) 2222222222222222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(++++++++++++++++=d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边9644129644129644129644122222141312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c964496449644964422222++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 分成二项按第二列964419644196441964412222+++++++++d d d c c c b b b a a a949494949464222224232423d d c c b b a a c c c c c c c c ----第二项第一项06416416416412222=+dd d c c c bb b aa a (4) 444444422222220001a d a c a b a a d a c a b a ad a c a b a ---------=左边 =)()()(222222222222222a d d a c c a b b a d a c a b ad a c a b --------- =)()()(111))()((222a d d a c c a b b a d a c a b a d a c a b ++++++---=⨯---))()((a d a c a b)()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b b d b c a b +-++-++--+ =⨯-----))()()()((b d b c a d a c a b)()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++ =))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-(5) 用数学归纳法证明.,1,2212122命题成立时当a x a x a x a x D n ++=+-==假设对于)1(-n阶行列式命题成立，即 ,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D:1列展开按第则n D1110010001)1(11----+=+-x x a xD D n n n n 右边=+=-n n a xD 1所以，对于n 阶行列式命题成立.6.设n 阶行列式)det(ij a D =,把D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依 副对角线翻转，依次得n nn n a a a a D 11111 =， 11112n nn n a a a a D = ，11113a a a a D n n nn =， 证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(.证明 )det(ij a D =nnn n nn n nnn a a a a a a a a a a D 2211111111111)1(--==∴=--=--nnn n nnn n a a a a a aa a 331122111121)1()1(nnn nn n a a a a 111121)1()1()1(---=--D D n n n n 2)1()1()2(21)1()1(--+-+++-=-= 同理可证nnn n n n a a a a D 11112)1(2)1(--=D D n n T n n 2)1(2)1()1()1(---=-= D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(7.计算下列各行列式（阶行列式为k D k ）：(1)aa D n 11=,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0； (2)xa a ax a aa x D n =; (3) 1111)()1()()1(1111 na a a n a a a n a a a D n n n nn n n ------=---+;提示：利用范德蒙德行列式的结果． (4) nn nn n d c d c ba b a D000011112=; (5)j i a a D ij ij n -==其中),det(; (6)nn a a a D +++=11111111121 ,021≠n a a a 其中.解 (1) aa a a a D n 00010000000000001000 =按最后一行展开)1()1(100000000000010000)1(-⨯-+-n n n a a a )1)(1(2)1(--⋅-+n n n a aa(再按第一行展开)n n n n n a a a+-⋅-=--+)2)(2(1)1()1( 2--=n n a a )1(22-=-a a n(2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行，得ax x a a x x a a x x a aa a x D n ------=000000再将各列都加到第一列上，得ax a x a x aa a a n x D n ----+=0000000000)1()(])1([1a x a n x n --+=-(3)从第1+n 行开始，第1+n 行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n 行经)1(-n 次对换换到第2行…，经2)1(1)1(+=++-+n n n n 次行交换，得nn n n n n n n n n a a a n a a a na a a D )()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++此行列式为范德蒙德行列式∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-∙-∙-=---=1121)1(2)1(112)1()][()1()1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i (4) nn nn n d c d c b a b a D 00011112=nn n n n n d d c d c b a b a a 0000000011111111----展开按第一行0000)1(1111111112c d c d c b a b a b n n n n n n n ----+-+2222---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开由此得递推公式：222)(--=n n n n n n D c b d a D即 ∏=-=ni i i i i n D c b d a D 222)(而 111111112c b d a d c b a D -==得 ∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)( (5)j i a ij -=432140123310122210113210)det(--------==n n n n n n n n a D ij n,3221r r r r --0432111*********111111111--------------n n n n,,141312c c c c c c +++1524232102221002210002100001---------------n n n n n=212)1()1(----n n n (6)nn a a a D +++=11111111121,,433221c c c c c c---nn n n a a a a a a a a a a +-------10000100010000100010001000011433221 展开（由下往上）按最后一列 ))(1(121-+n n a a a a nn n a a a a a a a a a --------00000000000000000000000000022433221n n n a a a a a a a a ----+--000000000000000001133221 ++ nn n a a a a a a a a -------0000000000000001143322n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=---)11)((121∑+==n i in a a a a8.用克莱姆法则解下列方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++;01123,2532,242,5)1(4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+.15,065,065,065,165)2(5454343232121x x x x x x x x x x x x x解 (1)11213513241211111----=D812073503211111------=145008130032101111---=1421420005410032101111-=---=112105132412211151------=D 11210513290501115----= 1121023313090509151------=23313095112109151------=1202300461000112109151-----=14200038100112109151----=142-=11235122412111512-----=D 81150731203271151-------=31390011230023101151-=2842840001910023101151-=----=426110135232422115113-=----=D14202132132212151114=-----=D 1,3,2,144332211-========∴DD x D D x D D x D D x(2)510006510006510065100065=D 展开按最后一行61000510065100655-'D D D ''-'=65 D D D ''-'''-''=6)65(5D D '''-''=3019D D ''''-'''=1146566551141965=⨯-⨯=(,11的余子式中为行列式a D D ',11的余子式中为a D D ''''类推D D ''''''',)5100165100065100650000611=D 展开按第一列6510065100650006+'D 46+'=D 460319+''''-'''=D 1507=5101065100065000601000152=D 展开按第二列5100651006500061-6510065*********-365510651065⨯-=1145108065-=--=5110065000060100051001653=D 展开按第三列51006500061000516500061*********+6100510656510650061+=703114619=⨯+=5100060100005100651010654=D 展开按第四列61000510065100655000610005100651-- 51065106565--=395-=110005100065100651100655=D 展开按最后一列D '+10005100651006512122111=+= 665212;665395;665703;6651145;665150744321=-==-==∴x x x x x ． 9.齐次线性方程组取何值时问,,μλ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解 μλμμμλ-==12111113D ，齐次线性方程组有非零解，则03=D即 0=-μλμ得 10==λμ或不难验证，当,10时或==λμ该齐次线性方程组确有非零解.10.齐次线性方程组取何值时问,λ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解？ 解λλλ----=111132421D λλλλ--+--=101112431)3)(1(2)1(4)3()1(3λλλλλ-------+-= 3)1(2)1(23-+-+-=λλλ齐次线性方程组有非零解，则0=D得 32,0===λλλ或不难验证，当32,0===λλλ或时，该齐次线性方程组确有非零解.第二章 矩阵及其运算1．已知线性变换：⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=,323,53,22321332123211y y y x y y y x y y y x 求从变量321,,x x x 到变量321,,y y y 的线性变换．解由已知：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x故 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=321423736947y y y ⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947xx x y x x x y x x x y2．已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=,54,232,232133212311y y y x y y y x y y x ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=,3,2,3323312211z z y z z y z z y 求从321,,z z z 到321,,x x x 的线性变换．解 由已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321310102013514232102z z z ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=321161109412316z z z所以有 ⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236zz z x z z z x z z z x3．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ,150421321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=B 求.23B A A AB T及-解A AB 23-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1504213211111111113⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1111111112⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0926508503⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---1111111112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=22942017222132⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321111111111B A T⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0926508504．计算下列乘积：(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134; (2)()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1233,2,1; (3)()2,1312-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛; (4)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412; (5)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321),,(x x x a a a a a a a a a x x x ; (6)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛30003200121013013000120010100121. 解(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=49635 (2)()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛123321)10()132231(=⨯+⨯+⨯=(3)()21312-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=632142 (4)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=6520876 (5)()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212*********x x x a a a a a a a a a x x x ()333223113323222112313212111x a x a x a x a x a x a x a x a x a ++++++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯321x x x 322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++= (6)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3000320012101313000120010100121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=90003400421025215．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2101B ，问：(1)BA AB =吗?(2)2222)(B AB A B A ++=+吗?(3)22))((B A B A B A -=-+吗?解(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=8321BA BA AB ≠∴(2) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2914148 但=++222B AB A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛43011288611483⎪⎪⎭⎫⎝⎛=27151610 故2222)(B AB A B A ++≠+(3) =-+))((B A B A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10205222⎪⎪⎭⎫⎝⎛9060而 =-22B A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛430111483⎪⎪⎭⎫⎝⎛7182故22))((B A B A B A -≠-+6．举反列说明下列命题是错误的:（１）若02=A ,则0=A ; （２）若A A =2,则0=A 或E A =;（３）若AY AX =,且0≠A ,则Y X =.解 (1) 取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A 02=A ,但0≠A(2) 取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A A A =2,但0≠A 且E A ≠(3) 取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1011YAY AX =且0≠A 但Y X ≠7．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA ,求kA A A ,,,32 . 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A 利用数学归纳法证明: ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k当1=k 时,显然成立,假设k 时成立,则1+k 时⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==1)1(01101101λλλk k A A A kk 由数学归纳法原理知:⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101λk A k8．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A ,求k A . 解 首先观察⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ001001010012A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=222002012λλλλλ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A由此推测⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---kk kk k k kk k k k A λλλλλλ0002)1(121)2(≥k用数学归纳法证明: 当2=k时,显然成立.假设k 时成立，则1+k 时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ由数学归纳法原理知: ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(1219．设B A ,为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明AB B T 也是对称矩阵.证明 已知：A A T=则 AB B B A B A B B AB B T T T T TT T T ===)()(从而 AB B T也是对称矩阵.10．设B A ,都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是BA AB =.证明 由已知：A A T = B B T=充分性：BA AB =⇒A B AB TT =⇒)(AB AB T = 即AB 是对称矩阵.必要性：AB AB T =)(⇒AB A B TT =⇒AB BA =.11．求下列矩阵的逆矩阵：(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5221； (2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ； (3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121;(4)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4121031200210001; (5)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2500380000120025; (6)⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n a a a 0021)0(21≠a a a n解(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A 1=A1),1(2),1(2,522122111=-⨯=-⨯==A A A A⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=*122522122111A A A A A *-=A A A 11故 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-12251A(2)01≠=A 故1-A 存在θθθθcos sin sin cos 22122111=-===A A A A从而 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-θθθθcos sin sin cos 1A (3) 2=A , 故1-A 存在024312111==-=A A A 而 1613322212-==-=A A A21432332313-==-=A A A故 *-=A A A 11⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=1716213213012(4)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4121031200210001A24=A 0434232413121======A A A A A A68122444332211====A A A A12411032001)1(312-=-=A 12421012021)1(413-=-=A3121312021)1(514=-=A 4421012001)1(523-=-=A5121312001)1(624-=-=A 2121021001)1(734-=-=A*-=A AA11故⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=-4112124581031612100212100011A(5)01≠=A 故1-A 存在而002141312111==-==A A A A005242322212===-=A A A A 320043332313-====A A A A 850044342414=-===A A A A从而⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=-85003200005200211A (6)⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A 0021由对角矩阵的性质知 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n a a a A 1001121112．解下列矩阵方程：(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ; (2) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--234311*********X ;(3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ; (4)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X .解 (1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=80232 (2)1111012112234311-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=32538122 (3)11110210132141--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111(4)11010100001021102341100001010--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=20143101213．利用逆矩阵解下列线性方程组:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++;353,2522,132321321321x x x x x x x x x (2) ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--.0523,132,2321321321x x x x x x x x x解 (1)方程组可表示为 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x故 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x(2) 方程组可表示为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x故 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x 故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x 14．设O A k =(k 为正整数),证明121)(--++++=-k A A A E A E .证明 一方面， )()(1A E A E E --=-另一方面，由O A k=有)()()(1122k k k A A A A A A A E E -+--+-+-=-- ))((12A E A A A E k -++++=-故 )()(1A E A E ---))((12A E A A A E k -++++=-两端同时右乘1)(--A E就有121)(--++++=-k A A A E A E15．设方阵A 满足O E A A =--22,证明A 及E A 2+都可逆,并求1-A 及 1)2(-+E A .证明 由O E A A =--22得E A A 22=-两端同时取行列式: 22=-A A即 2=-E A A ,故 0≠A所以A 可逆,而22A E A =+0222≠==+A A E A 故E A 2+也可逆.由O E A A =--22E E A A 2)(=-⇒E A E A A A 112)(--=-⇒)(211E A A -=⇒-又由O E A A =--22E E A A E A 4)2(3)2(-=+-+⇒ E E A E A 4)3)(2(-=-+⇒11)2(4)3)(2()2(--+-=-++∴E A E A E A E A)3(41)2(1A E E A -=+∴-16．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321011330A ,B A AB 2+=,求B . 解 由B A AB 2+=可得A B E A =-)2(故A E A B 1)2(--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-3210113301210113321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=01132133017．设Λ=-AP P 1,其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001,求11A .解 Λ=-AP P 1故1-Λ=P P A 所以11111-Λ=P P A3=P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=*1141P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P而 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ11111120012001故⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=6846832732273118．设m 次多项式m m x a x a x a a x f ++++= 2210)(,记m m A a A a A a E a A f ++++= 2210)()(A f 称为方阵A 的m 次多项式.(1)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λ2100λλ,证明: ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λk k k2100λλ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Λ)(00)()(21λλf f f ; (2)设1-Λ=P P A ,证明: 1-Λ=P P A k k ,1)()(-Λ=P Pf A f .证明(1) i)利用数学归纳法.当2=k时⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λ212120000λλλλ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222100λλ命题成立,假设k 时成立,则1+k 时⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ΛΛ=Λ+212110000λλλλk kk k ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=++121100k k λλ 故命题成立. ii)左边m m a a a E a f Λ++Λ+Λ+=Λ= 2210)(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛=m m m a a a 21211000001001λλλλ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++++=m m mm a a a a a a a a 2222210121211000λλλλλλ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)(00)(21λλf f =右边 (2) i) 利用数学归纳法.当2=k 时12112---Λ=ΛΛ=P P P P P P A 成立假设k 时成立,则1+k 时11111-+--+Λ=ΛΛ=⋅=P P P P P P A A A k k k k 成立,故命题成立,即 1-Λ=P P A k kii) 证明 右边1)(-Λ=P Pf12210)(-Λ++Λ+Λ+=P a a a E a P m m11221110----Λ++Λ+Λ+=P P a P P a P P a PEP a m m m m A a A a A a E a ++++= 2210)(A f ==左边19．设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为*A ，证明：(1) 若0=A ,则0=*A ;(2) 1-*=n AA .证明(1) 用反证法证明．假设0≠*A 则有E A A =-**1)(由此得O A E A A AA A ===-*-**11)()(O A =∴*这与0≠*A 矛盾，故当0=A 时有0=*A(2) 由于*-=A A A11, 则E A AA =*取行列式得到: nAA A =* 若0≠A 则1-*=n A A若0=A 由(1)知0=*A 此时命题也成立故有1-*=n AA20．取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-==1001D C B A ,验证DCB A DC B A ≠检验: =D C BA =--101001011010010111001010020002--410012002== 而01111==D C B A故 DCB A DC B A ≠21．设⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=22023443O O A ,求8A 及4A解 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=22023443O O A ，令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21A O O A A故8218⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A OO A A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=8281A O O A 1682818281810===A A A A A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A OO A A22．设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆,求1-⎪⎪⎭⎫⎝⎛O B A O ．解 将1-⎪⎪⎭⎫⎝⎛O B A O 分块为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C其中 1C 为n s ⨯矩阵, 2C 为s s ⨯矩阵3C 为n n ⨯矩阵, 4C 为s n ⨯矩阵则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯O B A O s s n n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ==E ⎪⎪⎭⎫⎝⎛s n E O O E 由此得到⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⇒==⇒==⇒==⇒=----122111144133)()(B C E BC B O C O BC A O C O AC A C E AC s n 存在存在故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---O A B O O B A O 111．第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320; (3)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------12433023221453334311; (4) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3403130212011312)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---020*******1)2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--30003100120133~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100001001201 3121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----174034301320 1312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---310031001320 21233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031001002021~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000031005010 (3)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311141312323~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311)5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----221002210022*******12423213~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000000002210032011(4)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132242321232~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110 141312782~r r r r r r --+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--4100041000202011111034221)1(~r r r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----0000041000111102021 32~r r +⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004100030110202012．在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的1-r 阶子式?有没有等于0的r 阶子式?解 在秩是r 的矩阵中,可能存在等于0的1-r 阶子式,也可能存在等于0的r 阶子式.例如，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00000000010000100001α 3)(=αR 同时存在等于0的3阶子式和2阶子式.3．从矩阵A 中划去一行得到矩阵B ,问B A ,的秩的关系怎样?解 )(A R ≥)(B R设r B R =)(，且B 的某个r 阶子式0≠D r .矩阵B 是由矩阵A 划去一行得 到的，所以在A 中能找到与D r 相同的r 阶子式D r ，由于0≠=D D r r ， 故而)()(B R A R ≥.4．求作一个秩是4的方阵,它的两个行向量是)0,0,1,0,1(,)0,0,0,1,1(- 解 设54321,,,,ααααα为五维向量,且)0,0,1,0,1(1=α,)0,0,0,1,1(2-=α,则所求方阵可为,54321⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=αααααA 秩为4,不妨设⎪⎩⎪⎨⎧===)0,0,0,0,0(),0,0,0,0()0,,0,0,0(55443αααx x 取154==x x故满足条件的一个方阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000100000100000011001015．求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式：(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443112112013; (2) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------815073131213123； (3)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---02301085235703273812.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443112112013r r 21~↔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443120131211 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------564056401211~12133r r r r 2000056401211~23秩为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----r r 二阶子式41113-=-．(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073*********⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------15273321059117014431~27122113r r r r r r 200000591170144313~23秩为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----r r .二阶子式71223-=-．(3)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---02301085235703273812434241322~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------0230102420536307121131223~r r r r ++⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0230114000016000071210344314211614~r r r r r r r r -÷÷↔↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000100007121002301秩为3 三阶子式07023855023085570≠=-=-．6．求解下列齐次线性方程组:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++;0222,02,02432143214321x x x x x x x x x x x x (2) ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++;05105,0363,02432143214321x x x x x x x x x x x x(3) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=+-+=-++=+-+;0742,0634,0723,05324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x (4)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-=+-+.0327,01613114,02332,075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解 (1) 对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212211121211⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---3410013100101~即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-==4443424134334x x x x x x x x故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1343344321k x x x x(2) 对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----5110531631121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000001001021~ 即得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-=4432242102x x x x x x x x故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10010012214321k k x x x x(3) 对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----7421631472135132⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000010000100001~即得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====00004321x x x x故方程组的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====00004321x x x x(4) 对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----3127161311423327543⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0000001720171910171317301~即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=4433432431172017191713173x x x x x x x x x x 故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1017201713011719173214321k k x x x x7．求解下列非齐次线性方程组:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+;8311,10213,22421321321x x x x x x x x (2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=-+-=+-=++;694,13283,542,432z y x z y x z y x z y x(3) ⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+=+-+;12,2224,12w z y x w z y x w z y x (4) ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-+-=+-+;2534,4323,12w z y x w z y x w z y x解 (1) 对系数的增广矩阵施行行变换,有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--60003411100833180311102132124~2)(=A R 而3)(=B R ,故方程组无解．(2) 对系数的增广矩阵施行行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----69141328354214132⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0000000021101201~即得⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=zz z y z x 212亦即⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021112k z y x(3) 对系数的增广矩阵施行行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111122122411112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000000100011112~ 即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===++-=0212121w z z y y z y x 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00021010210012121k k w z y x(4) 对系数的增广矩阵施行行变换:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----000007579751025341253414312311112~ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----000007579751076717101~ 即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==--=++=w w z z w z y w z x 757975767171即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00757610797101757121k k w z y x8．λ取何值时,非齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++2321321321,,1λλλλλx x x x x x x x x (1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个解?解 (1)0111111≠λλλ,即2,1-≠λ时方程组有唯一解.(2))()(B R A R <⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21111111λλλλλB ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+----22)1)(1()2)(1(00)1(11011~λλλλλλλλλλ由0)1)(1(,0)2)(1(2≠+-=+-λλλλ 得2-=λ时,方程组无解.(3)3)()(<=B R A R ,由0)1)(1()2)(1(2=+-=+-λλλλ,得1=λ时,方程组有无穷多个解.9．非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+--=++-23213213212,2,22λλx x x x x x x x x 当λ取何值时有解？并求出它的解．解 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=)2)(1(000)1(321101212111212112~2λλλλλλB 方程组有解，须0)2)(1(=+-λλ得2,1-==λλ当1=λ时,方程组解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001111321k x x x当2-=λ时,方程组解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022111321k x x x10．设⎪⎩⎪⎨⎧--=-+--=--+=-+-,1)5(42,24)5(2,122)2(321321321λλλλx x x x x x x x x问λ为何值时,此方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求解．解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------154224521222λλλλ 初等行变换~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------2)4)(1(2)10)(1(00111012251λλλλλλλλ当0≠A ,即02)10()1(2≠--λλ 1≠∴λ且10≠λ时，有唯一解.当02)10)(1(=--λλ且02)4)(1(≠--λλ，即10=λ时，无解.当02)10)(1(=--λλ且02)4)(1(=--λλ，即1=λ时，有无穷多解.此时，增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000000001221 原方程组的解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00110201221321k k x x x (R k k ∈21,)11．试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵：(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛323513123; (2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----1210232112201023. 解（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001323513123⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---101011001200410123~ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----10121121023200010023~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----2102121129227100010003~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21021211233267100010001~。
线性代数答案解答
线性代数答案解答第一章 行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：.解（2）=ba ca cbc b a ccc aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---=（4）yxyx x y x y yx y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+--33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=4.计算下列各行列式：解 (2)2605232112131412-24c c -260532122130412-24r r -0412032122130412-14r r -0000032122130412-=0(4)d c ba 10110011001---21ar r +d cb a ab 10011011010---+ =12)1)(1(+--d c a ab 101101--+ 23dc c +010111-+-+cd c ada ab =23)1)(1(+--cdadab +-+111=1++++ad cd ab abcd7.计算下列各行列式（阶行列式为k D k ）：解(2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行，得ax x a a x xa a x x a a a a x D n ------=0000000ΛΛΛΛΛΛΛΛ 再将各列都加到第一列上，得ax a x a x a a a an x D n ----+=0000000000)1(ΛΛΛΛΛΛΛΛ )(])1([1a x a n x n --+=-(3)从第1+n 行开始，第1+n 行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n行经)1(-n 次对换换到第2行…，经2)1(1)1(+=++-+n n n n Λ次行交换，得nn nn n n n n n n a a a n a a a na a a D )()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++ΛΛΛΛΛΛΛΛ此行列式为范德蒙德行列式∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-•-•-=---=1121)1(2)1(112)1()][()1()1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i Λ∏≥>≥+-=11)(j i n j i(4) nnnnn d c d c b a b a D 011112ONNO=n n n n n nd d c d c b a b a a 000000011111111----ΛONM NO展开按第一行000)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+-+ON NO2222---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开 由此得递推公式：222)(--=n n n n n n D c b d a D 即 ∏=-=ni i i i i n D c b d a D 222)(而 111111112c b d a d c b a D -==得 ∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((6)nn a a a D +++=11111111121ΛΛΛΛΛΛΛΛ,,433221c c c c c c ---nnn n a a a a a a a a a a +-------10000100010000100010001000011433221ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ展开（由下往上）按最后一列))(1(121-+n n a a a a Λnn n a a a a a a a a a --------00000000000000000000000022433221ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ n n n a a a a a a a a ----+--000000000000000001133221ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ++Λ nn n a a a a a a a a -------0000000000000001143322ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛn n n n n n a a a a a a a a a a a a ΛΛΛΛ322321121))(1(++++=---)11)((121∑+==n i in a a a a Λ第二章 矩阵及其运算4．计算下列乘积： 解(2)()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛123321)10()132231(=⨯+⨯+⨯=(4)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=652087613．利用逆矩阵解下列线性方程组:解 (1) 方程组可表示为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x故 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：解3．从矩阵A 中划去一行得到矩阵B ,问B A ,的秩的关系怎样? 解 )(A R ≥)(B R设r B R =)(，且B 的某个r 阶子式0≠D r .矩阵B 是由矩阵A 划去一行得 到的，所以在A 中能找到与D r 相同的r 阶子式D r ，由于0≠=D D r r ， 故而)()(B R A R ≥.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443112112013r r 21~↔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443120131211 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------564056401211~12133r r r r 2000056401211~23秩为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----r r 二阶子式41113-=-．(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073131223123⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------15273321059117014431~27122113r r r r r r 200000591170144313~23秩为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----r r . 二阶子式71223-=-． (3) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---02301085235703273812434241322~rr r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------02301024205363071210 131223~r r r r ++⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0230114000016000071210344314211614~r r r r r r r r -÷÷↔↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000100007121002301秩为3 三阶子式07023855023085570≠=-=-．6．求解下列齐次线性方程组:(2) ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++;05105,0363,02432143214321x x x x x x x x x x x x解(2) 对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----5110531631121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000001001021~ 即得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-=4432242102x x x x x x x x故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10010*********k k x x x x8．λ取何值时,非齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++2321321321,,1λλλλλx x x x x x x x x (1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个解?解 (1) 0111111≠λλλ,即2,1-≠λ时方程组有唯一解.(2) )()(B R A R <⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21111111λλλλλB ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+----22)1)(1()2)(1(00)1(11011~λλλλλλλλλλ由0)1)(1(,0)2)(1(2≠+-=+-λλλλ 得2-=λ时,方程组无解.(3) 3)()(<=B R A R ,由0)1)(1()2)(1(2=+-=+-λλλλ, 得1=λ时,方程组有无穷多个解.11．试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛323513123;解 （1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001323513123⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---101011001200410123~ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----10121121023200010023~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----2102121129227100010003~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21021211233267100010001~故逆矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2102121123326712．(1) 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=132231,113122214B A ,求X 使B AX =;解(1) ()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=132231113122214B A 初等行变换~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--412315210100010001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==∴-4123152101B A X第四章 向量组的线性相关性1．设T T T v v v )0,4,3(,)1,1,0(,)0,1,1(321===, 求21v v -及32123v v v -+.解 21v v -T T )1,1,0()0,1,1(-=T )10,11,01(---=T )1,0,1(-=32123v v v -+T T T )0,4,3()1,1,0(2)0,1,1(3-+=T )01203,41213,30213(-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯= T )2,1,0(=2．设)(5)(2)(3321a a a a a a +=++-其中T a )3,1,5,2(1=, T a )10,5,1,10(2=,T a )1,1,1,4(3-=,求a解 由)(5)(2)(3321a a a a a a +=++-整理得)523(61321a a a a -+=])1,1,1,4(5)10,5,1,10(2)3,1,5,2(3[61T T T --+=T )4,3,2,1(=3．举例说明下列各命题是错误的:(1)若向量组m a a a ,,,21Λ是线性相关的,则1a 可由,,2m a a Λ线性表示.(2)若有不全为0的数m λλλ,,,21Λ使01111=+++++m m m m b b a a λλλλΛΛ成立,则m a a ,,1Λ线性相关, m b b ,,1Λ亦线性相关. (3)若只有当m λλλ,,,21Λ全为0时,等式 01111=+++++m m m m b b a a λλλλΛΛ才能成立,则m a a ,,1Λ线性无关, m b b ,,1Λ亦线性无关.(4)若m a a ,,1Λ线性相关, m b b ,,1Λ亦线性相关,则有不全为0的数, m λλλ,,,21Λ使0,01111=++=++m m m m b b a a λλλλΛΛ 同时成立.解 (1) 设)0,,0,0,1(11Λ==e a 032====m a a a Λ满足m a a a ,,,21Λ线性相关,但1a 不能由,,,2m a a Λ线性表示.(2) 有不全为零的数m λλλ,,,21Λ使01111=+++++m m m m b b a a λλλλΛΛ 原式可化为0)()(111=++++m m m b a b a λλΛ取m m m b e a b e a b e a -==-==-==,,,222111Λ 其中m e e ,,1Λ为单位向量,则上式成立,而m a a ,,1Λ,m b b ,,1Λ均线性相关(3) 由01111=+++++m m m m b b a a λλλλΛΛ (仅当01===m λλΛ) m m b a b a b a +++⇒,,,2211Λ线性无关 取021====m a a a Λ 取m b b ,,1Λ为线性无关组满足以上条件,但不能说是m a a a ,,,21Λ线性无关的.(4) T a )0,1(1= T a )0,2(2= T b )3,0(1= T b )4,0(2= ⎪⎭⎪⎬⎫-=⇒=+-=⇒=+21221121221143020λλλλλλλλb b a a 021==⇒λλ与题设矛盾.4．设144433322211,,,a a b a a b a a b a a b +=+=+=+=,证明向量组 4321,,,b b b b 线性相关.证明 设有4321,,,x x x x 使得 044332211=+++b x b x b x b x 则0)()()()(144433322211=+++++++a a x a a x a a x a a x 0)()()()(443332221141=+++++++a x x a x x a x x a x x(1) 若4321,,,a a a a 线性相关,则存在不全为零的数4321,,,k k k k , 411x x k +=;212x x k +=;323x x k +=;434x x k +=;由4321,,,k k k k 不全为零,知4321,,,x x x x 不全为零,即4321,,,b b b b 线性相 关.(2) 若4321,,,a a a a 线性无关,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+000043322141x x x x x x x x 011000110001110014321=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇒x x x x 由01100011000111001=知此齐次方程存在非零解 则4321,,,b b b b 线性相关. 综合得证.5．设r r a a a b a a b a b +++=+==ΛΛ2121211,,,,且向量组 r a a a ,,,21Λ线性无关,证明向量组r b b b ,,,21Λ线性无关. 证明 设02211=+++r r b k b k b k Λ则++++++++++p r p r r a k k a k k a k k )()()(2211ΛΛΛΛ0=+r r a k Λ 因向量组r a a a ,,,21Λ线性无关,故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=+++000221rr r k k k k k k ΛΛΛΛΛΛΛΛ⇔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001001101121M M ΛM ΛΛM ΛΛΛr k k k 因为0110011011≠=ΛM ΛΛM ΛΛΛ故方程组只有零解 则021====r k k k Λ所以r b b b ,,,21Λ线性无关6．利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:(1) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4820322513454947513253947543173125; (2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---140113130********211.解 (1) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛482032251345494751325394754317312514131233~r r r r r r --- ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛531053103210431731252334~r r r r --⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00003100321043173125 所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1401131302151201221114132~r r r r --⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------222001512015120122114323~r r r r ↔+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000222001512012211， 所以第1、2、3列构成一个最大无关组．7．求下列向量组的秩,并求一个最大无关组:(1) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=41211a ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=41010092a ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=82423a ; (2) )3,1,2,1(1=T a ,)6,5,1,4(2---=T a ,)7,4,3,1(3---=Ta . 解 (1) 3131,2a a a a ⇒=-线性相关.由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛824241010094121321T T T a a a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000032198204121~ 秩为2,一组最大线性无关组为21,a a .(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛743165143121321T T T a a a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------10550189903121~ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0000189903121~ 秩为2,最大线性无关组为TT a a 21,.8．设n a a a ,,,21Λ是一组n 维向量,已知n 维单位坐标向量n e e e ,,,21Λ能 由它们线性表示,证明n a a a ,,,21Λ线性无关.证明 n 维单位向量n e e e ,,,21Λ线性无关 不妨设:nnn n n n nn nn a k a k a k e a k a k a k e a k a k a k e +++=+++=+++=ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ22112222121212121111所以 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T n T T nn n n n n T n T T a a a k k k k k k k k k e e e M ΛΛΛΛΛΛΛM 2121222211121121 两边取行列式，得T n T T nn n n n n T n T T a a a k k k k k k k k k e e e M ΛΛΛΛΛΛΛM 2121222211121121=由002121≠⇒≠T nT TTnTTa a a e e e MM即n 维向量组n a a a ,,,21Λ所构成矩阵的秩为n 故n a a a ,,,21Λ线性无关.9．设n a a a ,,,21Λ是一组n 维向量,证明它们线性无关的充分必要条件 是：任一n 维向量都可由它们线性表示.证明 设n εεε,,,21Λ为一组n 维单位向量，对于任意n 维向量 T n k k k a ),,,(21Λ=则有n n k k k a εεε+++=Λ2211即任一n 维向量都 可由单位向量线性表示. 必要性⇒n a a a ,,,21Λ线性无关，且n a a a ,,,21Λ能由单位向量线性表示，即 nnn n n n nn nn k k k k k k k k k εεεαεεεαεεεα+++=+++=+++=ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ22112222121212121111故⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n T T T nn n n n n T n T T k k k k k k k k k a a a εεεM ΛΛΛΛΛΛΛM 2121222211121121 两边取行列式，得Tn TTnn n n n n T nT T k k k k k k k k k a a a εεεM ΛΛΛΛΛΛΛM 212122*********1=由0021222211121121≠⇒≠nnn n n n T nT T k k k k k k k k k a a a ΛΛΛΛΛΛΛM令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯nn n n n n n n k k k k k k k k k A ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211则 由⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-T n T T T n T T T n T T T n T T a a a A A a a a εεεεεεM M M M 212112121 即n εεε,,,21Λ都能由n a a a ,,,21Λ线性表示，因为任一n 维向量能由单 位向量线性表示，故任一n 维向量都可以由n a a a ,,,21Λ线性表示. 充分性⇐已知任一n 维向量都可由n a a a ,,,21Λ线性表示，则单位向量组： n εεε,,,21Λ可由n a a a ,,,21Λ线性表示，由8题知n a a a ,,,21Λ线性无关. TsT T βββ,,,21Λ 显然,存在矩阵B A '',,使得 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T s T T T n T T A a a a αααM M 2121,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T s T T T n T T B b b b βββM M 2121 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+∴T n T n T T T T b a b a b a B A M 2211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=T s T T T s T T B A βββαααM M 2121 因此 ()()()B R A R B A R +≤+由于0212221212111≠rrr r r r k k k k k k k k k ΛMMMΛΛ所以方程组只有零解021====r x x x Λ.所以r b b b ,,,21Λ线性无关, 证毕.13．设}0,,),,,({211211=+++∈==n n T n x x x R x x x x x x V ΛΛΛ满足 }1,,),,,({211212=+++∈==n n T n x x x R x x x x x x V ΛΛΛ满足 问21,V V 是不是向量空间？为什么？证明 集合V 成为向量空间只需满足条件： 若V V ∈∈βα,，则V ∈+βα 若R V ∈∈λα,，则V ∈λα 1V 是向量空间，因为：0),,,(2121=+++=n T n αααααααΛΛ 0),,,(2121=+++=n T n βββββββΛΛ T n n ),,,(2211βαβαβαβα+++=+Λ 且)()()(2211n n βαβαβα++++++Λ 0)()(2121=+++++++=n n αααβββΛΛ 故1V ∈+βα ),,,(,21n R αααλαλΛ=∈00)(2121=⋅=+++=+++λαααλλαλαλαn n ΛΛ故1V ∈λα 2V 不是向量空间，因为：)()()(2211n n βαβαβα++++++Λ211)()(2121=+=+++++++=n n αααβββΛΛ故2V ∉+βα ),,,(,21n R λαλαλαλαλΛ=∈λλαααλλαλαλα=⋅=+++=+++1)(2121n n ΛΛ 故当1≠λ时，2V ∉λα14．试证:由T T T a a a )0,1,1(,)1,0,1(,)1,1,0(321===所生成的向量空间就 是3R .证明 设),,(321a a a A =11101110,,321a a a A =02110101011)1(1≠-=-=-于是3)(=A R 故线性无关.由于321,,a a a 均为三维,且秩为3,所以321,,a a a 为此三维空间的一组基,故由321,,a a a 所生成的向量空间就是3R .15．由,)1,1,0,1(,)0,0,1,1(21T T a a ==所生成的向量空间记作1V ,由 ,)1,1,1,0(,)3,3,1,2(21T T a b --=-=所生成的向量空间记作2V ,试证 21V V =.证明 设{}R k k a k a k x V ∈+==1122111,{}R x V ∈+==1122112,λλβλβλ 任取1V 中一向量,可写成2211a k a k +, 要证22211V a k a k ∈+,从而得21V V ⊆由22112211βλβλ+=+a k a k 得 ⎩⎨⎧=+-+=⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-==+1212112122121211212332k k k k k k k k λλλλλλλλλλ 上式中,把21,k k 看成已知数,把21,λλ看成未知数0211021≠=-=D 21,λλ⇒有唯一解21V V ⊆∴同理可证: 12V V ⊆ (001112≠=D Θ)故21V V =16．验证T T T a a a )2,1,3(,)3,1,2(,)0,1,1(321==-=为3R 的一个基,并把 T T v v )13,8,9(,)7,0,5(21---==用这个基线性表示.解 由于06230111321,,321≠-=-=a a a即矩阵),,(321a a a 的秩为3故321,,a a a 线性无关，则为3R 的一个基. 设3322111a k a k a k v ++=，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=++-=++723053232321321k k k k k k k k ⎪⎩⎪⎨⎧-===⇒132321k k k 故321132a a a v -+=设3322112a a a v λλλ++=，则 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++--=++1323893232321321λλλλλλλλ⎪⎩⎪⎨⎧-=-==⇒233321k k k 故线性表示为3212233a a a v --=17．求下列齐次线性方程组的基础解系:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=++-02683054202108432143214321x x x x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=+--03678024530232432143214321x x x x x x x x x x x x(3)02)1(121=++-+-n n x x x n nx Λ.解 (1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=000041431004012683154221081~初等行变换A 所以原方程组等价于⎪⎩⎪⎨⎧+=-=4323141434x x x x x取3,143-==x x 得0,421=-=x x 取4,043==x x 得1,021==x x因此基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=4010,310421ξξ (2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000019719141019119201~367824531232初等行变换A所以原方程组等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=4324311971914191192x x x x x x取2,143==x x 得0,021==x x 取19,043==x x 得7,121==x x因此基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=19071,210021ξξ(3)原方程组即为1212)1(------=n n x x n nx x Λ取0,11321=====-n x x x x Λ得n x n -=取0,114312======-n x x x x x Λ得1)1(+-=--=n n x n ΛΛ取0,12211=====--n n x x x x Λ得2-=n x所以基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=-21100010001),,,(121ΛΛM M M ΛΛΛn n n ξξξn E R A E A R A E R A R E A R A R ==-+≥-+=-+)()()()()()( 由此n E A R A R =-+)()(．23．求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解 系：(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+;32235,122,54321432121x x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧-=+++-=-++=-+-.6242,1635,11325432143214321x x x x x x x x x x x x解 (1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2100013011080101322351211250011~初等行变换B⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴0111,20138ξη(2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=00000221711012179016124211635113251~初等行变换B⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴2011,0719,002121ξξη24．设*η是非齐次线性方程组b Ax =的一个解,r n -ξξ,,1Λ是对应的齐 次线性方程组的一个基础解系,证明: (1)r n -*ξξη,,,1Λ线性无关；(2) r n -***++ξηξηη,,,1Λ线性无关。
线性代数课后习题答案全解.pdf
第一章 行列式1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)381141102−−−;解 381141102−−−=2×(−4)×3+0×(−1)×(−1)+1×1×8 −0×1×3−2×(−1)×8−1×(−4)×(−1) =−24+8+16−4=−4. (2)b a c a c b cb a ;解 ba c a cb cb a=acb +bac +cba −bbb −aaa −ccc =3abc −a 3−b 3−c 3. (3)222111c b a c b a ;解 222111c b a c b a=bc 2+ca 2+ab 2−ac 2−ba 2−cb =(a −b )(b −c )(c −a ). 2(4)y x y x x y x y yx y x +++.解 yx y x x y x y yx y x +++=x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx −y 3−(x +y )3−x =3xy (x +y )−y 3 3−3x 2 y −x 3−y 3−x =−2(x 3 3+y 3 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数:).(1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2;解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1;解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3;解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n −1) 2 4 ⋅ ⋅ ⋅ (2n );解 逆序数为2)1(−n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个)⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅(2n −1)2, (2n −1)4, (2n −1)6, ⋅ ⋅ ⋅, (2n −1)(2n −2) (n −1个)(6)1 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n −1) (2n ) (2n −2) ⋅ ⋅ ⋅ 2. 解 逆序数为n (n −1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅(2n −1)2, (2n −1)4, (2n −1)6, ⋅ ⋅ ⋅, (2n −1)(2n −2) (n −1个) 4 2(1个) 6 2, 6 4(2个) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅(2n )2, (2n )4, (2n )6, ⋅ ⋅ ⋅, (2n )(2n −2) (n −1个) 3. 写出四阶行列式中含有因子a 11a 23 解 含因子a 的项. 11a 23(−1)的项的一般形式为t a 11a 23a 3r a 4s 其中rs 是2和4构成的排列, 这种排列共有两个, 即24和42. ,所以含因子a 11a 23 (−1)的项分别是t a 11a 23a 32a 44=(−1)1a 11a 23a 32a 44=−a 11a 23a 32a 44 (−1), t a 11a 23a 34a 42=(−1)2a 11a 23a 34a 42=a 11a 23a 34a 42 4. 计算下列各行列式:.(1)71100251020214214; 解 71100251020214214010014231020211021473234−−−−−======c c c c 34)1(143102211014+−×−−−= 143102211014−−=01417172001099323211=−++======c c c c .(2)2605232112131412−; 解 2605232112131412−26053212213041224−−=====c c 041203212213041224−−=====r r 0000003212213041214=−−=====r r . (3)efcf bf de cd bd aeac ab −−−;解 ef cf bf de cd bd ae ac ab −−−ec b e c b ec b adf −−−=abcdef adfbce 4111111111=−−−=.(4)dc b a 100110011001−−−. 解d c b a 100110011001−−−dc b aab ar r 10011001101021−−−++===== d c a ab 101101)1)(1(12−−+−−=+01011123−+−++=====cd c ada ab dc ccdad ab +−+−−=+111)1)(1(23=abcd +ab +cd +ad +1. 5. 证明:(1)1112222b b a a b ab a +=(a −b )3 证明;1112222b b a a b ab a +00122222221213a b a b a a b a ab a c c c c −−−−−−=====ab a b a b a ab 22)1(22213−−−−−=+21))((a b a a b a b +−−==(a −b )3 (2) . y x z x z y zy x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax )(33+=+++++++++;证明bzay by ax bx az by ax bx az bz ay bxaz bz ay by ax +++++++++bz ay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a +++++++++++++=bz ay y x by ax x z bxaz z y b y by ax z x bx az y z bz ay x a +++++++=22z y x y x z xz y b y x z x z y z y x a 33+=y x z x z y zy x b y x z x z y z y x a 33+=y x z x z y zy x b a )(33+=.(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ; 证明 2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4−c 3, c 3−c 2, c 2−c 1 得) 5232125232125232125232122222++++++++++++=d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4−c 3, c 3−c 2得)022122212221222122222=++++=d d c c b b a a . (4)444422221111d c b a d c b a d c b a =(a −b )(a −c )(a −d )(b −c )(b −d )(c −d )(a +b +c +d ); 证明 444422221111d c b a d c b a d c b a )()()(0)()()(001111222222222a d d a c c a b b a d d a c c a b b ad a c a b −−−−−−−−−=)()()(111))()((222a d d a c c a b b dc b ad a c a b +++−−−= ))(())((00111))()((a b d b d d a b c b c c bd b c a d a c a b ++−++−−−−−−= )()(11))()()()((a b d d a b c c b d b c a d a c a b ++++−−−−−= =(a −b )(a −c )(a −d )(b −c )(b −d )(c −d )(a +b +c +d ). (5)12211 000 00 1000 01a x a a a a x x xn n n+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−−− =x n +a 1x n −1+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n −1x +a n .证明 用数学归纳法证明.当n =2时, 2121221a x a x a x a x D ++=+−=, 命题成立. 假设对于(n −1)阶行列式命题成立, 即 D n −1=x n −1+a 1 x n −2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n −2x +a n −1则D , n 按第一列展开, 有 11100 100 01)1(11−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−−+=+−x x a xD D n n n n =xD n −1+a n =x n +a 1x n −1+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n −1x +a n 因此, 对于n 阶行列式命题成立. .6. 设n 阶行列式D =det(a ij ), 把D 上下翻转、或逆时针旋转90°、或依副对角线翻转, 依次得n nn n a a a a D 11111 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=, 11112 n nnn a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= , 11113 a a a a D n n nn ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,证明D D D n n 2)1(21)1(−−==, D 3 证明 因为D =det(a =D .ij ), 所以 nnn n n n nnnn a a a a a a a a a a D 2211111111111 )1( ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=−⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−=−− )1()1(331122111121nnn n nn n n a a a a a a a a D D n n n n 2)1()1()2( 21)1()1(−−+−+⋅⋅⋅++−=−=.同理可证 nnn n n n a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−=− )1(11112)1(2D D n n T n n 2)1(2)1()1()1(−−−=−=. D D D D D n n n n n n n n =−=−−=−=−−−−)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(.7. 计算下列各行列式(D k (1)为k 阶行列式): aa D n 1 1⋅⋅⋅=, 其中对角线上元素都是a , 未写出的元素都是0; 解 aa a a a D n 010 000 00 000 0010 00⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(按第n 行展开) )1()1(10 000 00 000 0010 000)1(−×−+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−=n n n aa a )1()1(2 )1(−×−⋅⋅⋅⋅−+n n n a a an n n n n a a a+⋅⋅⋅−⋅−=−−+)2)(2(1)1()1(=a n −a n −2=a n −2(a 2−1).(2)xa aa x a a a xD n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ; 解 将第一行乘(−1)分别加到其余各行, 得 ax x a ax x a a x x a aa a x D n −−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅=000 0 00 0, 再将各列都加到第一列上, 得ax ax a x aaa a n x D n −⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−+=0000 0 000 00 )1(=[x +(n −1)a ](x −a )n −1 (3). 111 1 )( )1()( )1(1111⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅−=−−−+n a a a n a a a n a a a D n n n n nn n ; 解 根据第6题结果, 有 nnn n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )( )1()( )1( 11 11)1(1112)1(1−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−=−−−++此行列式为范德蒙德行列式.∏≥>≥++++−−+−−=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏≥>≥++−−−=112)1()]([)1(j i n n n j i∏≥>≥++⋅⋅⋅+−++−⋅−⋅−=1121)1(2)1()()1()1(j i n n n n n j i∏≥>≥+−=11)(j i n j i .(4)nnnnn d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=11112; 解nnnnn d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=11112(按第1行展开) nn n n n nd d c d c b a b a a 00011111111−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=0)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn −−−−+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−+. 再按最后一行展开得递推公式D 2n =a n d n D 2n −2−b n c n D 2n −2, 即D 2n =(a n d n −b n c n )D 2n −2于是 . ∏=−=ni i i i i n D c b d a D 222)(.而 111111112c b d a d c b a D −==,所以 ∏=−=ni i i i i n c b d a D 12)(.(5) D =det(a ij ), 其中a ij 解 a =|i −j |; ij =|i −j |, 043214 01233 10122 21011 3210)det(⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅==n n n n n n n n a D ij n 04321 1 11111 11111 11111 1111 2132⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅−−−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅−=====n n n n r r r r15242321 0 22210 02210 00210 0001 1213−⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅−−−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅−+⋅⋅⋅+=====n n n n n c c c c =(−1)n −1(n −1)2n −2 (6).nn a a a D +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=1 11 1 1111121, 其中a 1a 2 ⋅ ⋅ ⋅ a n≠0.解nn a a a D +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=1 11 1 1111121 nn n n a a a a a a a a a c c c c +−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−=====−−100001 000 100 0100 0100 0011332212132 1111312112111000011 000 00 11000 01100 001 −−−−−−+−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅=nn n a a a a a a a a∑=−−−−−−+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n i i n n a a a a a a a a 1111131******** 00010 000 00 10000 01000 001)11)((121∑=+=ni i n a a a a .8. 用克莱姆法则解下列方程组: (1) =+++−=−−−−=+−+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;解 因为 14211213513241211111−=−−−−=D , 142112105132412211151−=−−−−−−=D , 284112035122412111512−=−−−−−=D , 426110135232422115113−=−−−−=D , 14202132132212151114=−−−−−=D , 所以 111==D D x , 222==D Dx , 333==DD x , 144−==D D x .(2)=+=++=++=++=+150650650651655454343232121x x x x x x x x x x x x x .解 因为 665510006510006510065100065==D , 15075100165100065100065000611==D , 114551010651000650000601000152−==D , 703511650000601000051001653==D , 39551601000051000651010654−==D , 2121100005100065100651100655==D , 所以66515071=x , 66511452−=x , 6657033=x , 6653954−=x , 6652124=x .9. 问λ, µ取何值时, 齐次线性方程组 =++=++=++0200321321321x x x x x x x x x µµλ有非零解？解 系数行列式为µλµµµλ−==1211111D .令D =0, 得 µ=0或λ=1.于是, 当µ=0或λ=1时该齐次线性方程组有非零解.10. 问λ取何值时, 齐次线性方程组 =−++=+−+=+−−0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解？解 系数行列式为λλλλλλλ−−+−−=−−−−=101112431111132421D=(1−λ)3 =(1−λ)+(λ−3)−4(1−λ)−2(1−λ)(−3−λ) 3+2(1−λ)2 令D =0, 得+λ−3. λ=0, λ=2或λ=3.于是, 当λ=0, λ=2或λ=3时, 该齐次线性方程组有非零解.第二章 矩阵及其运算1. 已知线性变换:++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3 解 由已知:的线性变换.= 221321323513122y y y x x x ,故= −3211221323513122x x x y y y−−−−=321423736947y y y ,−+=−+=+−−=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y .2. 已知两个线性变换++=++−=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x ,+−=+=+−=323312211323z z y z z y z z y , 求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3 解 由已知的线性变换.−= 221321514232102y y y x x x−− −=321310102013514232102z z z−−−−=321161109412316z z z ,所以有 +−−=+−=++−=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .3. 设 −−=111111111A ,−−=150421321B , 求3AB −2A 及A T 解 B .−−− −− −−=−1111111112150421321111111111323A AB−−−−= −−− −=2294201722213211111111120926508503,−= −− −−=092650850150421321111111111B A T.4. 计算下列乘积: (1)−127075321134;解 −127075321134 ×+×+××+×−+××+×+×=102775132)2(71112374=49635.(2)123)321(;解123)321(=(1×3+2×2+3×1)=(10).(3))21(312−;解 )21(312−×−××−××−×=23)1(321)1(122)1(2−−−=632142. (4)−−−−20413121013143110412 ; 解−−− −20413121013143110412 −−−=6520876. (5)321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ;解321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x=(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3321x x x )322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.5. 设 =3121A ,=2101B , 问: (1)AB =BA 吗? 解 AB ≠BA . 因为=6443AB ,=8321BA , 所以AB ≠BA .(2)(A +B )2=A 2+2AB +B 2 解 (A +B )吗? 2≠A 2+2AB +B 2 因为.=+5222B A ,=+52225222)(2B A=2914148,但 + +=++43011288611483222B AB A=27151610,所以(A +B )2≠A 2+2AB +B 2 (3)(A +B )(A −B )=A . 2−B 2 解 (A +B )(A −B )≠A 吗? 2−B 2 因为.=+5222B A ,=−1020B A ,==−+906010205222))((B A B A ,而= −=−718243011148322B A ,故(A +B )(A −B )≠A 2−B 2 6. 举反列说明下列命题是错误的:.(1)若A 2 解 取=0, 则A =0;=0010A , 则A 2 (2)若A =0, 但A ≠0. 2 解 取=A , 则A =0或A =E ;=0011A , 则A 2 (3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y .=A , 但A ≠0且A ≠E . 解 取=0001A , −=1111X ,=1011Y , 则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y .7. 设=101λA , 求A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅, A k 解 . ==12011011012λλλA , ===1301101120123λλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,=101λk A k . 8. 设=λλλ001001A , 求A k 解 首先观察. =λλλλλλ0010010010012A=222002012λλλλλ,=⋅=3232323003033λλλλλλA A A ,=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ,=⋅=545345450050105λλλλλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,=k A k k k k k k k k k k λλλλλλ0002)1(121−−−−. 用数学归纳法证明:当k =2时, 显然成立.假设k 时成立，则k +1时，−=⋅=−−−+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A+++=+−+−−+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ, 由数学归纳法原理知:−=−−−k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121. 9. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T 证明 因为A AB 也是对称矩阵.T (B =A , 所以T AB )T =B T (B T A )T =B T A T B =B T 从而B AB ,T 10. 设A , B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA .AB 是对称矩阵.证明 充分性: 因为A T =A , B T (AB )=B , 且AB =BA , 所以 T =(BA )T =A T B T 即AB 是对称矩阵.=AB ,必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB )T AB =(AB )=AB , 所以T =B T A T 11. 求下列矩阵的逆矩阵:=BA .(1)5221; 解=5221A . |A |=1, 故A −1 存在. 因为−−= =1225*22122111A A A A A ,故 *||11A A A =−−−=1225. (2)−θθθθcos sin sin cos ; 解−=θθθθcos sin sin cos A . |A |=1≠0, 故A −1 存在. 因为−= =θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A , 所以 *||11A A A =−−=θθθθcos sin sin cos . (3)−−−145243121; 解−−−=145243121A . |A |=2≠0, 故A −1 存在. 因为−−−−−= =214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A , 所以 *||11A A A =−−−−−−=1716213213012. (4)n a a a 0021(a 1a 2⋅ ⋅ ⋅a n ≠0) .解=n a a a A 0021, 由对角矩阵的性质知=−n a a a A 10011211 . 12. 解下列矩阵方程:(1) −=12643152X ; 解 −=−126431521X − −−=12642153 −=80232. (2) −=−−234311*********X ; 解 1111012112234311−−− −=X−−− −=03323210123431131 −−−=32538122. (3) −= − −101311022141X ;解 11110210132141−− − − −=X− −=210110131142121 =21010366121=04111. (4)−−−= 021102341010100001100001010X . 解 11010100001021102341100001010−−−−− =X −−− =010100001021102341100001010 −−−=201431012. 13. 利用逆矩阵解下列线性方程组:(1) =++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ; 解 方程组可表示为= 321153522321321x x x , 故 = = −0013211535223211321x x x ,从而有 ===001321x x x . (2) =−+=−−=−−05231322321321321x x x x x x x x x . 解 方程组可表示为=−−−−−012523312111321x x x , 故 =−−−−−= −3050125233121111321x x x , 故有 ===305321x x x . 14. 设A k =O (k 为正整数), 证明(E −A )−1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k −1 证明 因为A . k =O , 所以E −A k E −A =E . 又因为k =(E −A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k −1所以 (E −A )(E +A +A ),2+⋅ ⋅ ⋅+A k −1由定理2推论知(E −A )可逆, 且)=E ,(E −A )−1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k −1.证明 一方面, 有E =(E −A )−1 另一方面, 由A (E −A ).k E =(E −A )+(A −A =O , 有2)+A 2−⋅ ⋅ ⋅−A k −1+(A k −1−A k )=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k −1故 (E −A ))(E −A ),−1(E −A )=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k −1两端同时右乘(E −A ))(E −A ),−1 (E −A ), 就有−1(E −A )=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k −1.15. 设方阵A 满足A 2−A −2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A −1及(A +2E )−1 证明 由A .2 A −A −2E =O 得2或 −A =2E , 即A (A −E )=2E ,E E A A =−⋅)(21, 由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A −=−. 由A 2 A −A −2E =O 得2或 −A −6E =−4E , 即(A +2E )(A −3E )=−4E ,E A E E A =−⋅+)3(41)2( 由定理2推论知(A +2E )可逆, 且)3(41)2(1A E E A −=+−.证明 由A 2−A −2E =O 得A 2 |A −A =2E , 两端同时取行列式得 2即 |A ||A −E |=2,−A |=2,故 |A |≠0,所以A 可逆, 而A +2E =A 2, |A +2E |=|A 2|=|A |2由 A ≠0, 故A +2E 也可逆. 2 ⇒A −A −2E =O ⇒A (A −E )=2E−1A (A −E )=2A −1)(211E A A −=−E ⇒,又由 A 2 ⇒ (A +2E )(A −3E )=−4 E ,−A −2E =O ⇒(A +2E )A −3(A +2E )=−4E所以 (A +2E )−1(A +2E )(A −3E )=−4(A +2 E )−1 ,)3(41)2(1A E E A −=+−.16. 设A 为3阶矩阵, 21||=A , 求|(2A )−1 解 因为−5A *|.*||11A A A =−, 所以 |||521||*5)2(|111−−−−=−A A A A A |2521|11−−−=A A=|−2A −1|=(−2)3|A −1|=−8|A |−1 17. 设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A *也可逆, 且(A *)=−8×2=−16.−1=(A −1 证明 由)*.*||11A A A =−, 得A *=|A |A −1 |A *|=|A |, 所以当A 可逆时, 有n |A −1|=|A |n −1从而A *也可逆.≠0,因为A *=|A |A −1 (A *), 所以−1=|A |−1又A .*)(||)*(||1111−−−==A A A A A , 所以(A *)−1=|A |−1A =|A |−1|A |(A −1)*=(A −1 18. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A *, 证明:)*.(1)若|A |=0, 则|A *|=0;(2)|A *|=|A |n −1 证明.(1)用反证法证明. 假设|A *|≠0, 则有A *(A *)−1 A =A A *(A *)=E , 由此得 −1=|A |E (A *)−1所以A *=O , 这与|A *|≠0矛盾，故当|A |=0时, 有|A *|=0.=O ,(2)由于*||11A A A =−, 则AA *=|A |E , 取行列式得到 |A ||A *|=|A |n 若|A |≠0, 则|A *|=|A |.n −1 若|A |=0, 由(1)知|A *|=0, 此时命题也成立.;因此|A *|=|A |n −1.19. 设−=321011330A , AB =A +2B , 求B . 解 由AB =A +2E 可得(A −2E )B =A , 故− −−−=−=−−321011330121011332)2(11A E A B −=011321330. 20. 设 =101020101A , 且AB +E =A 2+B , 求B .解 由AB +E =A 2 (A −E )B =A +B 得 2即 (A −E )B =(A −E )(A +E ).−E , 因为01001010100||≠−==−E A , 所以(A −E )可逆, 从而=+=201030102E A B .21. 设A =diag(1, −2, 1), A *BA =2BA −8E , 求B . 解 由A *BA =2BA −8E 得 (A *−2E )BA =−8E , B =−8(A *−2E )−1A =−8[A (A *−2E )]−1 =−8(AA *−2A )−1 =−8(|A |E −2A )−1 =−8(−2E −2A )−1 =4(E +A )−1 =4[diag(2, −1, 2)]−1−1)21 ,1 ,21(diag 4−==2diag(1, −2, 1).22. 已知矩阵A 的伴随阵−=8030010100100001*A , 且ABA −1=BA −1+3E , 求B .解 由|A *|=|A |3 由ABA =8, 得|A |=2. −1=BA −1 AB =B +3A ,+3E 得 B =3(A −E )−1A =3[A (E −A −1)]−1 A 11*)2(6*)21(3−−−=−=A E A E−=−−=−1030060600600006603001010010000161. 23. 设P −1 −−=1141P AP =Λ, 其中,−=Λ2001, 求A 11 解 由P . −1AP =Λ, 得A =P ΛP −1, 所以A 11= A =P Λ11P −1 |P |=3, .−=1141*P ,−−=−1141311P ,而−= −=Λ11111120 012001,故−− −−−=31313431200111411111A −−=68468327322731. 24. 设AP =P Λ, 其中−−=111201111P ,−=Λ511,求ϕ(A )=A 8(5E −6A +A 2 解 ϕ(Λ)=Λ). 8(5E −6Λ+Λ2 =diag(1,1,5)8)[diag(5,5,5)−diag(−6,6,30)+diag(1,1,25)]=diag(1,1,58 ϕ(A )=P ϕ(Λ)P )diag(12,0,0)=12diag(1,0,0).−1 *)(||1P P P Λ=ϕ−−−−−− −−−=1213032220000000011112011112=1111111114.25. 设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A −1+B −1 证明 因为也可逆, 并求其逆阵.A −1(A +B )B −1=B −1+A −1=A −1+B −1而A ,−1(A +B )B −1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A −1(A +B )B −1可逆, 即A −1+B −1 (A 可逆.−1+B −1)−1=[A −1(A +B )B −1]−1=B (A +B )−1 26. 计算A .−−−30003200121013013000120010100121. 解 设 =10211A , =30122A , −=12131B ,−−=30322B ,则 2121B O B E A O E A+=222111B A O B B A A ,而 −= −−+−=+4225303212131021211B B A ,−−= −− =90343032301222B A , 所以 2121B O B E A O E A +=222111B A O B B A A−−−=9000340042102521, 即−−−30003200121013013000120010100121−−−=9000340042102521. 27. 取==−==1001D C B A , 验证|||||||| D C B A D C B A ≠.解 4100120021010*********0021010010110100101==−−=−−=D C B A , 而 01111|||||||| ==D C B A ,故 ||||||||D C B A D C B A ≠. 28. 设 −=22023443O O A , 求|A 8|及A 4解 令. −=34431A ,=22022A , 则=21A O O A A ,故 8218=A O O A A=8281A O O A ,1682818281810||||||||||===A A A A A .= =464444241422025005O O A O O A A . 29. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆, 求 (1)1−O B A O ; 解 设 =−43211C C C C O B A O , 则O B A O 4321C C C C = =s n E O O E BC BC AC AC 2143. 由此得====s n EBC OBC O AC E AC 2143⇒ ====−−121413B C O C O C A C ,所以= −−−O A B O O B A O 111. (2)1−B C O A . 解 设 =−43211D D D D B C O A , 则 = ++= s nE O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321.由此得=+=+==s nEBD CD O BD CD O AD E AD 423121⇒ =−===−−−−14113211B D CA B D O D A D ,所以−= −−−−−11111B CA B O A BC O A . 30. 求下列矩阵的逆阵: (1)2500380000120025; 解 设 =1225A , =2538B , 则−−= =−−5221122511A ,−−==−−8532253811B .于是 −−−−= = =−−−−850032000052002125003800001200251111B A B A .(2)4121031200210001. 解 设 =2101A ,=4103B ,=2112C , 则−= =−−−−−−1111114121031200210001B CA B O A BC O A−−−−−=411212458103161210021210001.第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵: (1)−−340313021201;解−−340313021201(下一步: r 2+(−2)r 1, r 3+(−3)r 1 ~. )−−−020*********(下一步: r 2÷(−1), r 3 ~÷(−2). )−−010*********(下一步: r 3−r 2 ~. )−−300031001201(下一步: r 3 ~÷3. )−−100031001201(下一步: r 2+3r 3 ~. )−100001001201(下一步: r 1+(−2)r 2, r 1+r 3 ~. )100001000001.(2)−−−−174034301320;解−−−−174034301320(下一步: r 2×2+(−3)r 1, r 3+(−2)r 1 ~. )−−−310031001320(下一步: r 3+r 2, r 1+3r 2 ~. )0000310010020(下一步: r 1 ~÷2. )000031005010.(3)−−−−−−−−−12433023221453334311;解−−−−−−−−−12433023221453334311(下一步: r 2−3r 1, r 3−2r 1, r 4−3r 1~. )−−−−−−−−1010500663008840034311(下一步: r 2÷(−4), r 3÷(−3) , r 4~÷(−5). )−−−−−22100221002210034311(下一步: r 1−3r 2, r 3−r 2, r 4−r 2~. )−−−00000000002210032011.(4)−−−−−−34732038234202173132. 解−−−−−−34732038234202173132(下一步: r 1−2r 2, r 3−3r 2, r 4−2r 2~. )−−−−−1187701298804202111110(下一步: r 2+2r 1, r 3−8r 1, r 4−7r 1 ~. )−−41000410002020111110(下一步: r 1↔r 2, r 2×(−1), r 4−r 3~. )−−−−00000410001111020201(下一步: r 2+r 3~. )−−00000410003011020201. 2. 设= 987654321100010101100001010A , 求A .解100001010是初等矩阵E (1, 2), 其逆矩阵就是其本身.100010101是初等矩阵E (1, 2(1)), 其逆矩阵是E (1, 2(−1))−=100010101.− =100010101987654321100001010A= − =287221254100010101987321654.3. 试利用矩阵的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵: (1)323513123;解 100010001323513123~−−−101011001200410123~ −−−−1012002110102/102/3023~−−−−2/102/11002110102/922/7003~−−−−2/102/11002110102/33/26/7001故逆矩阵为−−−−21021211233267.(2)−−−−−1210232112201023.解−−−−−10000100001000011210232112201023~−−−−00100301100001001220594012102321~−−−−−−−−20104301100001001200110012102321~ −−−−−−−106124301100001001000110012102321 ~−−−−−−−−−−10612631110`1022111000010000100021 ~−−−−−−−106126311101042111000010000100001故逆矩阵为−−−−−−−10612631110104211. 4. (1)设 −−=113122214A ,−−=132231B , 求X 使AX =B ;解 因为−−−−=132231 113122214) ,(B A−−412315210 100010001 ~r ,所以−−==−4123152101B A X .(2)设−−−=433312120A , −=132321B , 求X 使XA =B . 解 考虑A T X T =B T . 因为−−−−=134313*********) ,(T T B A−−−411007101042001 ~r ,所以−−−==−417142)(1T T T B A X ,从而−−−==−4741121BA X . 5. 设−−−=101110011A , AX =2X +A , 求X .解 原方程化为(A −2E )X =A . 因为−−−−−−−−−=−101101110110011011) ,2(A E A−−−011100101010110001~,所以−−−=−=−011101110)2(1A E A X .6. 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r −1阶子式? 有没有等于0的r 阶子式?解 在秩是r 的矩阵中, 可能存在等于0的r −1阶子式, 也可能存在等于0的r 阶子式. 例如,=010*********A , R (A )=3.0000是等于0的2阶子式, 010001000是等于0的3阶子式. 7. 从矩阵A 中划去一行得到矩阵B , 问A , B 的秩的关系怎样?解 R (A )≥R (B ).这是因为B 的非零子式必是A 的非零子式, 故A 的秩不会小于B 的秩.8. 求作一个秩是4的方阵, 它的两个行向量是(1, 0, 1, 0, 0), (1, −1, 0, 0, 0).解 用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵:−0000001000001010001100001, 此矩阵的秩为4, 其第2行和第3行是已知向量.9. 求下列矩阵的秩, 并求一个最高阶非零子式: (1)−−−443112112013;解−−−443112112013(下一步: r 1↔r 2 ~. )−−−443120131211(下一步: r 2−3r 1, r 3−r 1 ~. )−−−−564056401211(下一步: r 3−r 2 ~. )−−−000056401211, 矩阵的2秩为, 41113−=−是一个最高阶非零子式.(2)−−−−−−−815073*********;解−−−−−−−815073*********(下一步: r 1−r 2, r 2−2r 1, r 3−7r 1 ~. )−−−−−−15273321059117014431(下一步: r 3−3r 2~. )−−−−0000059117014431, 矩阵的秩是2, 71223−=−是一个最高阶非零子式.(3)−−−02301085235703273812. 解−−−02301085235703273812(下一步: r 1−2r 4, r 2−2r 4, r 3−3r 4~. )−−−−−−023*********63071210(下一步: r 2+3r 1, r 3+2r 1~. )−0230114000016000071210(下一步: r 2÷16r 4, r 3−16r 2. )~−02301000001000071210 ~−00000100007121002301, 矩阵的秩为3, 070023085570≠=−是一个最高阶非零子式.10. 设A 、B 都是m ×n 矩阵, 证明A ~B 的充分必要条件是R (A )=R (B ).证明 根据定理3, 必要性是成立的.充分性. 设R (A )=R (B ), 则A 与B 的标准形是相同的. 设A 与B 的标准形为D , 则有A ~D , D ~B .由等价关系的传递性, 有A ~B .11. 设−−−−=32321321k k k A , 问k 为何值, 可使(1)R (A )=1; (2)R (A )=2; (3)R (A )=3.解 −−−−=32321321k k k A+−−−−−)2)(1(0011011 ~k k k k k r . (1)当k =1时, R (A )=1; (2)当k =−2且k ≠1时, R (A )=2;(3)当k ≠1且k ≠−2时, R (A )=3.12. 求解下列齐次线性方程组: (1) =+++=−++=−++02220202432143214321x x x x x x x x x x x x ;解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有 A = −−212211121211~ −−−3/410013100101,于是 ==−==4443424134334x x x x x x x x ,故方程组的解为−= 1343344321k x x x x (k 为任意常数).(2) =−++=−−+=−++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x ;解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有 A = −−−−5110531631121~−000001001021,于是 ===+−=4432242102x x x xx x x x ,故方程组的解为+−= 10010*********k k x x x x (k 1, k 2 (3)为任意常数).=−+−=+−+=−++=+−+07420634072305324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有 A =−−−−−7421631472135132~1000010000100001,于是 ====0004321x x x x ,故方程组的解为 ====00004321x x x x .(4) =++−=+−+=−+−=+−+03270161311402332075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x .解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有 A =−−−−−3127161311423327543~−−000000001720171910171317301,于是 ==−=−=4433432431172017191713173x x x x x x x xx x ,故方程组的解为−−+= 1017201713011719173214321k k x x x x (k 1, k 2为任意常数).13. 求解下列非齐次线性方程组: (1) =+=+−=−+83111021322421321321x x x x x x x x ;解 对增广矩阵B 进行初等行变换, 有。
《线性代数》课后习题答案
第一章 行列式习题1.11. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。
因为)3(Q Q ⊆，所以)3(Q 中至少含有两个复数。
任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有3)()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。
因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以)3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。
如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。
又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以)3(33)(3)3()3)(3()3)(3(332222212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--=-+-+=++。
综上所述，我们有)3(Q 是数域。
（2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。
（3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ⊄。
（反证法）如果)()(q Q p Q ⊆，则q b a p Q b a +=⇒∈∃,，从而有q ab qb a p p 2)()(222++==。
由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。
所以有0=a 或0=b 。
如果0=a ，则2qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。
线性代数课后习题1-4作业答案(高等教育出版社)
第一章 行列式1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)381141102---;解 381141102---=2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8 -0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1) =-24+8+16-4=-4. (3)222111c b a c b a ; 解 222111c b a c b a=bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).4. 计算下列各行列式:(1)71100251020214214; 解 7110251020214214010014231020211021473234-----======c c c c 34)1(143102211014+-⨯---= 143102211014--=01417172001099323211=-++======c c c c .(2)2605232112131412-;解 2605232112131412-260503212213041224--=====c c 041203212213041224--=====r r 000003212213041214=--=====r r . (3)efcf bf de cd bd aeac ab ---;解 ef cf bf de cd bd ae ac ab ---e c b e c b ec b adf ---=abcdef adfbce 4111111111=---=.(4)dc b a 100110011001---. 解d c b a 100110011001---dc b aab ar r 10011001101021---++===== dc a ab 101101)1)(1(12--+--=+01011123-+-++=====cd c ada ab dc ccdad ab +-+--=+111)1)(1(23=abcd +ab +cd +ad +1. 6. 证明:(1)1112222b b a a b ab a +=(a -b )3;证明1112222b b a a b ab a +00122222221213a b a b a a b a ab a c c c c ------=====ab a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--==(a -b )3 . (2)y x z x z y zy x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax )(33+=+++++++++;证明bzay by ax bx az by ax bx az bz ay bxaz bz ay by ax +++++++++bz ay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a +++++++++++++=bz ay y x by ax x z bxaz z y b y by ax z x bx az y z bz ay x a +++++++=22z y x y x z xz y b y x z x z y z y x a 33+=y x z x z y zy x b y x z x z y z y x a 33+=yx z x z y zy x b a )(33+=.8. 计算下列各行列式(D k 为k 阶行列式): (1)aa D n 1 1⋅⋅⋅=, 其中对角线上元素都是a , 未写出的元素都是0; 解aa a a a D n 0 0010 000 00 000 0010 00⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(按第n 行展开) )1()1(10 000 00 000 0010 000)1(-⨯-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=n n n aa a )1()1(2 )1(-⨯-⋅⋅⋅⋅-+n n n a a an n n nn a a a+⋅⋅⋅-⋅-=--+)2)(2(1)1()1(=a n -a n -2=a n -2(a 2-1).(2)xa a a x a a a xD n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ; 解 将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得 ax x a ax x a a x x a a a a x D n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅=000 0 00 0, 再将各列都加到第一列上, 得ax ax a x aaa a n x D n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-+=0000 0 0000 )1(=[x +(n -1)a ](x -a )n 第二章 矩阵及其运算 1. 计算下列乘积:(5)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ;解⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x=(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.2. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B , 求3AB -2A 及A TB .解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T . 3.已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x ,⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y , 求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换.解 由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z ,所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .4.设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B , 问: (1)AB =BA 吗? 解 AB ≠BA .因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA .(3)(A +B )(A -B )=A 2-B 2吗? 解 (A +B )(A -B )≠A 2-B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A ,而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A ,故(A +B )(A -B )≠A 2-B 2.5. 举反列说明下列命题是错误的: (1)若A 2=0, 则A =0;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A , 则A 2=0, 但A ≠0. (2)若A 2=A , 则A =0或A =E ;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A , 则A 2=A , 但A ≠0且A ≠E . (3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y .解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y ,则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y .7. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A , 求A k .解 首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=222002012λλλλλ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎝⎛=kA kk kk k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫. 用数学归纳法证明: 当k =2时, 显然成立. 假设k 时成立，则k +1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ,由数学归纳法原理知:⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121.8. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵.证明 因为A T =A , 所以(B T AB )T =B T (B T A )T =B T A T B =B T AB , 从而B T AB 是对称矩阵. 11. 求下列矩阵的逆矩阵:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛5221; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A . |A |=1, 故A -1存在. 因为 ⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225*22122111A A A A A ,故 *||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225. (3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121; 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=145243121A . |A |=2≠0, 故A -1存在. 因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A ,所以 *||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=1716213213012.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a 1a 2⋅ ⋅ ⋅a n ≠0) .解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A 0021, 由对角矩阵的性质知 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n a a a A 10011211 . 12. 利用逆矩阵解下列线性方程组: (1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ;解 方程组可表示为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x ,故 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x ,从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x .19.设P -1AP =Λ, 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001, 求A 11. 解 由P -1AP =Λ, 得A =P ΛP -1, 所以A 11= A =P Λ11P -1.|P |=3, ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141*P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P ,而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ11111120 012001,故 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=68468327322731. 20. 设AP =P Λ, 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511, 求ϕ(A )=A 8(5E -6A +A 2). 解 ϕ(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)] =diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). ϕ(A )=P ϕ(Λ)P -1*)(||1P P P Λ=ϕ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111111114.21. 设A k =O (k 为正整数), 证明(E -A )-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1. 证明 因为A k =O , 所以E -A k =E . 又因为 E -A k =(E -A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1), 所以 (E -A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)=E , 由定理2推论知(E -A )可逆, 且 (E -A )-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.证明 一方面, 有E =(E -A )-1(E -A ).另一方面, 由A k =O , 有E =(E -A )+(A -A 2)+A 2-⋅ ⋅ ⋅-A k -1+(A k -1-A k ) =(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A ), 故 (E -A )-1(E -A )=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A ), 两端同时右乘(E -A )-1, 就有(E -A )-1(E -A )=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.22. 设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E )-1.证明 由A 2-A -2E =O 得 A 2-A =2E , 即A (A -E )=2E , 或 E E A A =-⋅)(21,由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A -=-.由A 2-A -2E =O 得A 2-A -6E =-4E , 即(A +2E )(A -3E )=-4E , 或 E A E E A =-⋅+)3(41)2(由定理2推论知(A +2E )可逆, 且)3(41)2(1A E E A -=+-.证明 由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 两端同时取行列式得 |A 2-A |=2, 即 |A ||A -E |=2, 故 |A |≠0,所以A 可逆, 而A +2E =A 2, |A +2E |=|A 2|=|A |2≠0, 故A +2E 也可逆. 由 A 2-A -2E =O ⇒A (A -E )=2E⇒A -1A (A -E )=2A -1E ⇒)(211E A A -=-,又由 A 2-A -2E =O ⇒(A +2E )A -3(A +2E )=-4E ⇒ (A +2E )(A -3E )=-4 E ,所以 (A +2E )-1(A +2E )(A -3E )=-4(A +2 E )-1, )3(41)2(1A E E A -=+-.第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛--340313021201;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--340313021201(下一步: r 2+(-2)r 1, r 3+(-3)r 1. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---020*********(下一步: r 2÷(-1), r 3÷(-2). )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--010*********(下一步: r 3-r 2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201(下一步: r 3÷3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100031001201(下一步: r 2+3r 3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100001001201(下一步: r 1+(-2)r 2, r 1+r 3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001000001.(3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; 解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311(下一步: r 2-3r 1, r 3-2r 1, r 4-3r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------1010500663008840034311(下一步: r 2÷(-4), r 3÷(-3) , r 4÷(-5). )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----22100221002210034311(下一步: r 1-3r 2, r 3-r 2, r 4-r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000000002210032011. 3. 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x ,⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y , 求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换.解 由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z ,所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .4. 试利用矩阵的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛323513123;解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001323513123~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---101011001200410123~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1012002110102/102/3023~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2/102/11002110102/922/7003~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2/102/11002110102/33/26/7001故逆矩阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21021211233267.(2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1210232112201023.解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----10000100001000011210232112201023~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----00100301100001001220594012102321~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------20104301100001001200110012102321~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------106124301100001001000110012102321 ~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----------10612631110`1022111000010000100021 ~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------106126311101042111000010000100001 故逆矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------10612631110104211. 5. (2)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=433312120A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=132321B , 求X 使XA =B . 解 考虑A T X T =B T . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=134313*********) ,(T T B A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---411007101042001 ~r ,所以 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==-417142)(1T T T B A X ,从而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛---==-4741121BA X . 9. 求作一个秩是4的方阵, 它的两个行向量是(1, 0, 1, 0, 0), (1, -1, 0, 0, 0).解 用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵:⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0000001000001010001100001, 此矩阵的秩为4, 其第2行和第3行是已知向量.12. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=32321321k k k A , 问k 为何值, 可使(1)R (A )=1; (2)R (A )=2; (3)R (A )=3.解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----)2)(1(0011011 ~k k k k k r . (1)当k =1时, R (A )=1; (2)当k =-2且k ≠1时, R (A )=2; (3)当k ≠1且k ≠-2时, R (A )=3. P106/ 1.已知向量组A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ;B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示.证明 由 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=312123111012421301402230) ,(B A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------971820751610402230421301~r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------531400251552000751610421301 ~r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----000000531400751610421301~r 知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示.由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000000110201110110220201312111421402~~r r B 知R (B )=2. 因为R (B )≠R (B , A ), 所以A 组不能由B 组线性表示. 4. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关: (1) (-1, 3, 1)T , (2, 1, 0)T , (1, 4, 1)T ; (2) (2, 3, 0)T , (-1, 4, 0)T , (0, 0, 2)T .解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A . 因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000110121220770121101413121~~r r A ,所以R (A )=2小于向量的个数, 从而所给向量组线性相关. (2)以所给向量为列向量的矩阵记为B . 因为022200043012||≠=-=B ,所以R (B )=3等于向量的个数, 从而所给向量组线性相无关.5. 问a 取什么值时下列向量组线性相关？ a 1=(a , 1, 1)T , a 2=(1, a , -1)T , a 3=(1, -1, a )T . 解 以所给向量为列向量的矩阵记为A . 由)1)(1(111111||+-=--=a a a aa a A知, 当a =-1、0、1时, R (A )<3, 此时向量组线性相关.9.设b 1=a 1+a 2, b 2=a 2+a 3, b 3=a 3+a 4, b 4=a 4+a 1, 证明向量组b 1, b 2, b 3, b 4线性相关.证明 由已知条件得a 1=b 1-a 2, a 2=b 2-a 3, a 3=b 3-a 4, a 4=b 4-a 1,于是 a 1 =b 1-b 2+a 3 =b 1-b 2+b 3-a 4 =b 1-b 2+b 3-b 4+a 1, 从而 b 1-b 2+b 3-b 4=0,这说明向量组b 1, b 2, b 3, b 4线性相关.11.(1) 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组:(1)a 1=(1, 2, -1, 4)T , a 2=(9, 100, 10, 4)T , a 3=(-2, -4, 2, -8)T ; 解 由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000000010291032001900820291844210141002291) , ,(~~321r r a a a , 知R (a 1, a 2, a 3)=2. 因为向量a 1与a 2的分量不成比例, 故a 1, a 2线性无关, 所以a 1, a 2是一个最大无关组.12.利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4820322513454947513253947543173125;解 因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛482032251345494751325394754317312513121433~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛531053103210431731253423~rr r r --⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00003100321043173125, 所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---140113*********12211. 解 因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1401131302151201221113142~rr r r --⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------222001512015120122112343~rr r r +↔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---00000222001512012211, 所以第1、2、3列构成一个最大无关组. 13. 设向量组(a , 3, 1)T , (2, b , 3)T , (1, 2, 1)T , (2, 3, 1)T的秩为2, 求a , b .解 设a 1=(a , 3, 1)T , a 2=(2, b , 3)T , a 3=(1, 2, 1)T , a 4=(2, 3, 1)T . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=52001110311161101110311131********) , , ,(~~2143b a a b a b a r r a a a a ,而R (a 1, a 2, a 3, a 4)=2, 所以a =2, b =5. 20.求下列齐次线性方程组的基础解系: (1)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=++-02683054202108432143214321x x x x x x x x x x x x ;解 对系数矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=00004/14/3100401 2683154221081~r A ,于是得⎩⎨⎧+=-=43231)4/1()4/3(4x x x x x .取(x 3, x 4)T =(4, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(-16, 3)T ; 取(x 3, x 4)T =(0, 4)T , 得(x 1, x 2)T =(0, 1)T . 因此方程组的基础解系为ξ1=(-16, 3, 4, 0)T , ξ2=(0, 1, 0, 4)T .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=+--03678024530232432143214321x x x x x x x x x x x x .解 对系数矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000019/719/141019/119/201 367824531232~r A ,于是得⎩⎨⎧+-=+-=432431)19/7()19/14()19/1()19/2(x x x x x x .取(x 3, x 4)T =(19, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(-2, 14)T ; 取(x 3, x 4)T =(0, 19)T , 得(x 1, x 2)T =(1, 7)T . 因此方程组的基础解系为ξ1=(-2, 14, 19, 0)T , ξ2=(1, 7, 0, 19)T .26. 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+3223512254321432121x x x x x x x x x x ;解 对增广矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2100013011080101 322351211250011~r B . 与所给方程组同解的方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=213 843231x x x x x . 当x 3=0时, 得所给方程组的一个解η=(-8, 13, 0, 2)T . 与对应的齐次方程组同解的方程为⎪⎩⎪⎨⎧==-=043231x x x x x . 当x 3=1时, 得对应的齐次方程组的基础解系ξ=(-1, 1, 1, 0)T .(2)⎪⎩⎪⎨⎧-=+++-=-++=-+-6242163511325432143214321x x x x x x x x x x x x . 解 对增广矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=0000022/17/11012/17/901 6124211635113251~r B . 与所给方程组同解的方程为⎩⎨⎧--=++-=2)2/1((1/7)1)2/1()7/9(432431x x x x x x . 当x 3=x 4=0时, 得所给方程组的一个解η=(1, -2, 0, 0)T .与对应的齐次方程组同解的方程为⎩⎨⎧-=+-=432431)2/1((1/7))2/1()7/9(x x x x x x . 分别取(x 3, x 4)T =(1, 0)T , (0, 1)T , 得对应的齐次方程组的基础解系ξ1=(-9, 1, 7, 0)T . ξ2=(1, -1, 0, 2)T .。
线性代数试题及答案
线性代数试题及答案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】04184线性代数（经管类）2一、二、单选题1、A:-3 B:-1C:1 D:3做题结果：A 参考答案：D2、A:abcd B:dC:6 D:0做题结果：A 参考答案：D3、A:18 B:15C:12 D:24做题结果：A 参考答案：B4、A:-3 B:-1C:1 D:3做题结果：A 参考答案：D6、A:18 B:15C:12 D:24做题结果：A 参考答案：B20、A:k-1 B:kC:1 D:k+1做题结果：A 参考答案：B21、行列式D如果按照第n列展开是【】A.,B.,C.做题结果：A22、关于n个方程的n元齐次线性方程组的克拉默法则，说法正确的是【】A:如果行列式不等于0，则方程组必有无穷多解B:如果行列式不等于0，则方程组只有零解C:如果行列式等于0，则方程组必有唯一解D:如果行列式等于0，则方程组必有零解做题结果：A 参考答案：B23、已知三阶行列D中的第二列元素依次为1、2、3，它们的余子式分别为-1、1、2，则D的值为。
【】A:-3 B:-7C:3 D:7做题结果：A 参考答案：A24、A:0 B:1C:-2 D:2做题结果：A 参考答案：C25、A:abcd B:dC:6 D:0做题结果：A 参考答案：D26、A:a≠2 B:a≠0C:a≠2或a≠0 D:a≠2且a≠0做题结果：A 参考答案：D27、A.,B.,C.,D.做题结果：B 参考答案：B28、A:-2|A| B:16|A|C:2|A| D:|A|做题结果：A 参考答案：B29、下面结论正确的是【】A:含有零元素的矩阵是零矩阵B:零矩阵都是方阵C:所有元素都是零的矩阵是零矩阵D:若A，B都是零矩阵，则A=B做题结果：A 参考答案：C30、设A是n阶方程，λ为实数，下列各式成立的是【】C.,D.做题结果：C 参考答案：C31、A.,B.,C.,D.做题结果：B 参考答案：B 32、设A是4×5矩阵，r（A）=3，则▁▁▁▁▁。
线性代数习题册(答案)
线性代数习题册答案第一章行列式练习一班级学号1．按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（1）τ(3421)= 5 ;（2）τ(135642)= 6 ;（3）τ(13…(2n-1)(2n)…42) = 2+4+6+…+（2 n-2）= n（n-1）.2．由数字1到9组成的排列1274i56j9为偶排列，则i=8 、j= 3 .3．在四阶行列式中，项12233441a a a a的符号为负.4．003042215=－24 .5．计算下列行列式：（1）122212221-----= －1＋（－8）＋（－8）－（－4）－（－4）―（－4）= －5或（2）111111λλλ---= －3λ＋1＋1－（－λ）－（－λ）―（－λ）= －3λ＋3λ+2=2(2)(1)λλ-+练习 二班级 学号1．已知3阶行列式det()ij a =1，则行列式det()ij a -= －1 . 3(1)11-⋅=-2． 1112344916= 2 .3．已知D=1012110311101254--,则41424344A A A A +++= —1 .用1，1，1，1替换第4行4． 计算下列行列式：(1)111ab c a b c abc +++ = 13233110110011,0110111111r r r r c c a b c b ca b ca b c-----+-==++++++(2)xy x y y x y x x yxy+++(3) 1306 0212 1476----(4) 1214 0121 1013 0131-5．计算下列n阶行列式：(1)n x a a a x aDa a x=（每行都加到第一行，并提公因式。
）(2)131111n +(3)123123123nn n a b a a a a a b a a a a a a b+++练习 三班级 学号1．设线性方程组123123123111x x x x x x x x x λλλ--=⎧⎪++=⎨⎪-++=⎩有惟一解，则λ满足的条件是什么？1,0,1λλλ≠-≠≠2. 求解线性方程组12341234123412345242235232110x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-+=-⎪⎨---=-⎪⎪+++=⎩3.已知齐次线性方程组123123123000x x x x x x x x x λλλ--=⎧⎪-++=⎨⎪--+=⎩有非零解，求λ的值。
线性代数课后习题答案(共10篇)(共6页)
线性代数课后习题答案(共10篇)[模版仅供参考，切勿通篇使用]感恩作文线性代数课后习题答案（一）:高等数学线性代数,概率统计第二版课后答案姚孟臣版最佳答案: 您好,我看到您的问题很久没有人来回答,但是问题过期无人回答会被扣分的并且你的悬赏分也会被没收!所以我给你提几条建议: 线性代数课后习题答案（二）: 谁知道《线性代数与解析几何教程》(上册)的课后习题答案在哪下?但一定要真实,这本书是大一要学的,樊恽,刘宏伟编科学出版社出版.急不知道线性代数课后习题答案（三）:线性代数第五章的课后习题：设a=(a1,a2,...,an)T,a1≠0,A=aaT,证明λ=0是A的n-1重特征值设a=(a1,a2,...,an)T,a1≠0,A=aaT,证明λ=0是A的n-1重特征值答案书上突然冒出一句“显然R(A)=1”,让我非常困惑, R(A) = R(aaT) 线性代数课后习题答案（四）:求线性代数（第三版）,高等教育出版社的习题参考答案华中科技大学数学系的线性代数课后习题答案书店都有卖的,尤其是华科附近的小书店,盗版一大堆~ 线性代数课后习题答案（五）:线性代数：假如一道题目要求某矩阵,如果我求出的矩阵与答案所给的矩阵是等价的,能算是正确答案么?如果只是某两行或某两列位置调换了一下，也不能算是正确答案吗？线性代数课后习题答案应该不正确吧.以我理解矩阵的等价是说 QAP=B A等价到B 是通过了一系列的初等变化,那你求出的矩阵只有一个,要想变成其他还要再变换,就不是原题目的条件了还是不正确啊.行调换或列调换等于在原矩阵左边或右边乘上个初等矩阵线性代数课后习题答案（六）:线性代数第五章的课后习题：设a=(a1,a2,...,an)T,a1≠0,A=aaT,证明λ=0是A的n-1重特征值;求出来对角阵只有一个非零特征值,为什么0就是A的N-1重特征值了?再问一下当0是特征值时对应的特征向量有什么特点么?所求得的对角阵与A 相似,所以A 与对角阵有相同的特征值,看对角阵,有一个非零特征值和0(N –1)重.所以A 也是这样应该懂了吧线性代数课后习题答案（七）:线性代数问题.设A=E-a^Ta,a=[a1,a2,……,an],aa^T=1,则A不能满足的结论是（）.^T=A ^T=A^-1 ^T=E ^2=A只会证A对,不要用排除法.A²=E由A,知A^T=AAA^T=A²=(E-a^Ta)(E-a^Ta)=E-a^Ta-a^Ta+a^Taa^Ta=E-2a^Ta+a^T(aa^T)a=E-2a^Ta+a^Ta==E-a^Ta=A所以C错. 线性代数课后习题答案（八）:线性代数,对称矩阵的证明题如果n阶实对称矩阵A满足A^3=En,证明：A一定是单位矩阵答案是这样的,有点不懂的地方：因为A^3=En所以A的特征值一定是x^3=1的实根（1.是不是因为对应的多项式为f（x）=x^3-1,所以,f(λ)=λ^3-1=0?）所以λ1=λ2=λ3=1A相似于单位矩阵必有A=En（2.我觉得因为A是对称矩阵所以必有正交阵P,使得P^-1*A*P=P"*A*P=∧,∧的对角元为1,1,1,所以相似于E,可是方阵是n阶,λ只是一个特征值,那么就能相似于En吗?相似的对角阵不是应该也是n阶吗,应该有n个特征值啊!）第一问：因为A是实对称矩阵,所以存在正交矩阵PP"AP=∧∧是A的特征值构成的对角阵A=P∧P"A^3=P∧^3P"=E所以∧^3=E所以λ1^3.λn^3都等于1所以λ1=λ2=..=λn=1第二问：因为有n个特征值,且实对称阵必能相似于对角阵(书上的定理)所以A相似于这n个特征值构成的对角阵P"*A*P=E所以 A=PEP"=PP"=E刚才看错题目了,如果还有什么不明白可以发信给我,给你详细讲解线性代数课后习题答案（九）:线性代数线性方程组问题公共解和同解方程组大题,遇到过不少次了答案的作法让人晕作法1：分别求出基础解析方程组1的 k1（）+k2（）方程组2的：k3（）+k4（）然后对比,综合得出一个k（）方法2：先求出方程组1的解,然后代入方程组2..方法3：做一个联合的系数矩阵,很大的,然后说求出来的解就是它们的. 我的问题在于：上面的方法我自己能想到1 2,但是不清楚所谓的公共解和同解的区别在哪里?另外,为什么很错题,这几个方法不论求公共解还是同解都能通用?什么时候用哪个方法啊?两个方程组的公共解,可用方法3.若是两个方程组同解,方法3就不灵了公共解是两个方程组解的交集,包含在两个方程组的解集中同解方程组,两个方程组的解集一样,即基础解系等价(可互相线性表示)这类题目一般综合性强,需根据具体情况来分析使用哪个方法比如:一个方程组可得出明显的基础解系,那么代入另一方程组就方便一些.你可以看看此类的题目,先自己做做看,用什么方法,再与解答比较,最后总结一下,大有好处若有看不透的题目,就拿来问一下,我帮你分析线性代数课后习题答案（十）:一道线性代数的题目题目是判断正误若α1,α2,……αs线性相关,则其中每一个向量都是其余向量的线性组合.我知道答案是错误但是请问反例怎么举拿0和一个非零的放到一起,线性相关,0可以写成非零的那个的线性组合,非零的那个不能写成0的线性组合。
线性代数课后答案(高等教育出版社)
第一章行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:(1)38114112---;解38114112---=2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8 -0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1) =-24+8+16-4=-4.(3)222111cbacba;解222111cbacba=bc2+ca2+ab2-ac2-ba2-cb2=(a-b)(b-c)(c-a).4.计算下列各行列式:(1)71125102214214;解7112510221421411423102211021473234-----======cccc34)1(143102211014+-⨯---=143102211014--=014171721099323211=-++======cccc.(2)265232112131412-;解265232112131412-265321221341224--=====cc412321221341224--=====rr321221341214=--=====rr.(3)efcfbfdecdbdaeacab---;解efcfbfdecdbdaeacab---ecbecbecba d f---=a b c d e fa d fbc e4111111111=---=.(4)dcba111111---.解dcba111111---dcbaabarr11111121---++=====dcaab1111)1)(1(12--+--=+111123-+-++=====cdcadaabdcccdadab+-+--=+111)1)(1(23=abcd+ab+cd+ad+1.6. 证明:(1)1112222bbaababa+=(a-b)3;证明1112222b b a a b ab a +00122222221213a b a b a a b a ab a c c c c ------=====ab a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((ab a a b a b +--==(a -b)3 .(2)yx z x z y zy x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax )(33+=+++++++++;证明bzay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++bz ay by ax x byax bx az z bx az bz ay y b bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a +++++++++++++=bz ay y x byax x z bx az z y b y by ax z x bx az y z bz ay x a +++++++=22z y x yx z x z y b y x z x z y z y x a 33+=y x z xz y z y x b y x z x z y z y x a 33+=y x z xz y z y x b a )(33+=.8. 计算下列各行列式(Dk 为k 阶行列式):(1)aaD n 11⋅⋅⋅=, 其中对角线上元素都是a , 未写出的元素都是0;解a a a a a D n 0 0010 000 00 0000 0010 00⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(按第n 行展开))1()1(10 00 0000 0010 000)1(-⨯-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=n n n aa a )1()1(2 )1(-⨯-⋅⋅⋅⋅-+n n n a a ann n nn a a a+⋅⋅⋅-⋅-=--+)2)(2(1)1()1(=an -an -2=an -2(a2-1).(2)x a a a x aa ax D n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ;解 将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得ax x a ax x a a x x a a a a x D n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅=000 0 00 0 ,再将各列都加到第一列上, 得ax ax a x aaa a n x D n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-+=0000 0 000 00 )1(=[x +(n -1)a](x -a)n第二章 矩阵及其运算 1. 计算下列乘积:(5)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ;解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x=(a11x1+a12x2+a13x3 a12x1+a22x2+a23x3 a13x1+a23x2+a33x3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛321xx x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.2. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321B , 求3AB -2A 及A TB . 解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T . 3. 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,求从z1, z2, z3到x1, x2, x3的线性变换.解 由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z ,所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x . 4. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B , 问: (1)AB =BA 吗?解 AB ≠BA .因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA .(3)(A +B)(A -B)=A2-B2吗? 解 (A +B)(A -B)≠A2-B2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A ,⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A , 而 ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A ,故(A +B)(A -B)≠A2-B2.5. 举反列说明下列命题是错误的:(1)若A2=0, 则A =0;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A , 则A2=0, 但A ≠0. (2)若A2=A , 则A =0或A =E ;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A , 则A2=A , 但A ≠0且A ≠E . (3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y .解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y ,则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y .7. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A , 求Ak .解 首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=222002012λλλλλ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎝⎛=k A kk k k k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫ .用数学归纳法证明:当k =2时, 显然成立. 假设k 时成立，则k +1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ, 由数学归纳法原理知:⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---k k kk k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121.8. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明BTAB 也是对称矩阵. 证明 因为A T =A , 所以 (BTAB)T =BT(BTA)T =BTA TB =BTAB , 从而BTAB 是对称矩阵. 11. 求下列矩阵的逆矩阵:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛5221; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A . |A|=1, 故A -1存在. 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225*22122111A A A A A , 故*||11A A A =-⎪⎭⎫⎝⎛--=1225.(3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121; 解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=145243121A . |A|=2≠0, 故A -1存在. 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A , 所以*||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=1716213213012.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a1a2⋅ ⋅ ⋅an ≠0) .解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A0021, 由对角矩阵的性质知 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n a a a A 10011211 .12. 利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ;解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x ,从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x .19.设P -1AP =Λ, 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001, 求A11.解 由P -1AP =Λ, 得A =P ΛP -1, 所以A11= A=P Λ11P -1.|P|=3,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141*P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P ,而⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ11111120 012001,故⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=68468327322731. 20. 设AP =P Λ, 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511, 求ϕ(A)=A8(5E -6A +A2).解 ϕ(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)] =diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). ϕ(A)=P ϕ(Λ)P -1*)(||1P P P Λ=ϕ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111111114. 21. 设Ak =O (k 为正整数), 证明(E -A)-1=E +A +A2+⋅ ⋅ ⋅+Ak -1.证明 因为Ak =O , 所以E -Ak =E . 又因为 E -Ak =(E -A)(E +A +A2+⋅ ⋅ ⋅+Ak -1), 所以 (E -A)(E +A +A2+⋅ ⋅ ⋅+Ak -1)=E , 由定理2推论知(E -A)可逆, 且(E -A)-1=E +A +A2+⋅ ⋅ ⋅+Ak -1.证明 一方面, 有E =(E -A)-1(E -A). 另一方面, 由Ak =O , 有E =(E -A)+(A -A2)+A2-⋅ ⋅ ⋅-Ak -1+(Ak -1-Ak) =(E +A +A2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A),故 (E -A)-1(E -A)=(E +A +A2+⋅ ⋅ ⋅+Ak -1)(E -A), 两端同时右乘(E -A)-1, 就有(E -A)-1(E -A)=E +A +A2+⋅ ⋅ ⋅+Ak -1.22. 设方阵A 满足A2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E)-1.证明 由A2-A -2E =O 得 A2-A =2E , 即A(A -E)=2E ,或 E E A A =-⋅)(21,由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A -=-.由A2-A -2E =O 得A2-A -6E =-4E , 即(A +2E)(A -3E)=-4E ,或 EA E E A =-⋅+)3(41)2(由定理2推论知(A +2E)可逆, 且)3(41)2(1A E E A -=+-.证明 由A2-A -2E =O 得A2-A =2E , 两端同时取行列式得 |A2-A|=2, 即 |A||A -E|=2, 故 |A|≠0,所以A 可逆, 而A +2E =A2, |A +2E|=|A2|=|A|2≠0, 故A +2E 也可逆. 由 A2-A -2E =O ⇒A(A -E)=2E⇒A -1A(A -E)=2A -1E ⇒)(211E A A -=-,又由 A2-A -2E =O ⇒(A +2E)A -3(A +2E)=-4E ⇒ (A +2E)(A -3E)=-4 E ,所以 (A +2E)-1(A +2E)(A -3E)=-4(A +2 E)-1,)3(41)2(1A E E A -=+-.矩阵的初等变换与线性方程组1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--340313021201(下一步: r2+(-2)r1, r3+(-3)r1. )~⎪⎪⎭⎝--231(下一步: r2÷(-1), r3÷(-2). )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--131121(下一步: r3-r2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--331121(下一步: r3÷3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--131121(下一步: r2+3r3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛-11121(下一步: r1+(-2)r2, r1+r3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛111.(3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------1243323221453334311;解⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------1243323221453334311(下一步: r2-3r1, r3-2r1, r4-3r1. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------1010566388434311(下一步: r2÷(-4), r3÷(-3) , r4÷(-5). )~⎪⎪⎪⎭ ⎝---2210022********(下一步: r1-3r2, r3-r2, r4-r2. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---00000000002210032011.3. 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x ,⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,求从z1, z2, z3到x1, x2, x3的线性变换.解 由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z , 所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .4. 试利用矩阵的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛323513123; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001323513123~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101011001200410123 ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1012002110102/102/3023~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2/102/11002110102/922/7003~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2/12/1121112/33/26/71故逆矩阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2121211233267.(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----1212321122123.解⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----11111212321122123~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----131111225941212321~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------214311112111212321~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------10612431111111212321~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----------1061263111`1221111121~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------106126311101042111000010*********故逆矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------10612631110104211. 5. (2)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=433312120A , ⎪⎭⎫⎝⎛-=132321B , 求X 使XA =B . 解 考虑A TXT =BT . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=134313*********) ,(TTB A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---411007101042001 ~r , 所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==-417142)(1TTTB A X , 从而⎪⎭⎫⎝⎛---==-4741121BA X . 9. 求作一个秩是4的方阵, 它的两个行向量是(1, 0, 1, 0, 0), (1, -1, 0, 0, 0).解 用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵:⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0000001000001010001100001,此矩阵的秩为4, 其第2行和第3行是已知向量.12. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A , 问k 为何值, 可使 (1)R(A)=1; (2)R(A)=2; (3)R(A)=3.解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-----)2)(1(0011011 ~k k k k k r . (1)当k =1时, R(A)=1; (2)当k =-2且k ≠1时, R(A)=2;(3)当k ≠1且k ≠-2时, R(A)=3. P106/1.已知向量组A : a1=(0, 1, 2, 3)T , a2=(3, 0, 1, 2)T , a3=(2, 3, 0, 1)T ;B : b1=(2, 1, 1, 2)T , b2=(0, -2, 1, 1)T , b3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示.证明 由 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=312123111012421301402230) ,(B A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------971820751610402230421301~r⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------531400251552000751610421301 ~r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----000000531400751610421301~r知R(A)=R(A , B)=3, 所以B 组能由A 组线性表示. 由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000000110201110110220201312111421402~~r r B知R(B)=2. 因为R(B)≠R(B , A), 所以A 组不能由B 组线性表示.4. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关: (1) (-1, 3, 1)T , (2, 1, 0)T , (1, 4, 1)T ;(2) (2, 3, 0)T , (-1, 4, 0)T , (0, 0, 2)T .解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000110121220770121101413121~~r r A , 所以R(A)=2小于向量的个数, 从而所给向量组线性相关. (2)以所给向量为列向量的矩阵记为B . 因为22200043012||≠=-=B ,所以R(B)=3等于向量的个数, 从而所给向量组线性相无关.5. 问a 取什么值时下列向量组线性相关？a1=(a , 1, 1)T , a2=(1, a , -1)T , a3=(1, -1, a)T . 解 以所给向量为列向量的矩阵记为A . 由)1)(1(111111||+-=--=a a a aa a A知, 当a =-1、0、1时, R(A)<3, 此时向量组线性相关.9.设b1=a1+a2, b2=a2+a3, b3=a3+a4, b4=a4+a1, 证明向量组b1, b2, b3, b4线性相关. 证明 由已知条件得a1=b1-a2, a2=b2-a3, a3=b3-a4, a4=b4-a1, 于是 a1 =b1-b2+a3=b1-b2+b3-a4 =b1-b2+b3-b4+a1, 从而 b1-b2+b3-b4=0,这说明向量组b1, b2, b3, b4线性相关.11.(1) 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组:(1)a1=(1, 2, -1, 4)T , a2=(9, 100, 10, 4)T , a3=(-2, -4, 2, -8)T ; 解 由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000000010291032001900820291844210141002291) , ,(~~321r r a a a ,知R(a1, a2, a3)=2. 因为向量a1与a2的分量不成比例, 故a1, a2线性无关, 所以a1, a2是一个最大无关组.12.利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4820322513454947513253947543173125;解 因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛482032251345494751325394754317312513121433~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛531053103210431731253423~r r r r --⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00003100321043173125,所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---14011313021512012211. 解 因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---141131302151201221113142~r r r r --⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------22201512015120122112343~r r r r +↔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---00000222001512012211,所以第1、2、3列构成一个最大无关组.13. 设向量组(a , 3, 1)T , (2, b , 3)T , (1, 2, 1)T , (2, 3, 1)T 的秩为2, 求a , b .解 设a1=(a , 3, 1)T , a2=(2, b , 3)T , a3=(1, 2, 1)T , a4=(2, 3, 1)T . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=52001110311161101110311131********) , , ,(~~2143b a a b a b a r r a a a a ,而R(a1, a2, a3, a4)=2, 所以a =2, b =5.20.求下列齐次线性方程组的基础解系:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=++-02683054202108432143214321x x x x x x x x x x x x ;解 对系数矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=00004/14/3100401 2683154221081~r A , 于是得⎩⎨⎧+=-=43231)4/1()4/3(4xx x x x . 取(x3, x4)T =(4, 0)T , 得(x1, x2)T =(-16, 3)T ; 取(x3, x4)T =(0, 4)T , 得(x1, x2)T =(0, 1)T .因此方程组的基础解系为ξ1=(-16, 3, 4, 0)T , ξ2=(0, 1, 0, 4)T .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=+--03678024530232432143214321x x x x x x x x x x x x .解 对系数矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000019/719/141019/119/201 367824531232~r A , 于是得⎩⎨⎧+-=+-=432431)19/7()19/14()19/1()19/2(xx x x x x . 取(x3, x4)T =(19, 0)T , 得(x1, x2)T =(-2, 14)T ; 取(x3, x4)T =(0, 19)T , 得(x1, x2)T =(1, 7)T . 因此方程组的基础解系为ξ1=(-2, 14, 19, 0)T , ξ2=(1, 7, 0, 19)T .26. 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+3223512254321432121x x x x x x x x x x ;解 对增广矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2100013011080101 322351211250011~r B .与所给方程组同解的方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=2 13 843231x x x x x .当x3=0时, 得所给方程组的一个解η=(-8, 13, 0, 2)T . 与对应的齐次方程组同解的方程为⎪⎩⎪⎨⎧==-=0 43231x x x x x .当x3=1时, 得对应的齐次方程组的基础解系ξ=(-1, 1, 1, 0)T .(2)⎪⎩⎪⎨⎧-=+++-=-++=-+-6242163511325432143214321x x x x x x x x x x x x .解 对增广矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=0000022/17/11012/17/901 6124211635113251~r B . 与所给方程组同解的方程为⎩⎨⎧--=++-=2)2/1((1/7)1)2/1()7/9(432431x x x x x x .当x3=x4=0时, 得所给方程组的一个解 η=(1, -2, 0, 0)T .与对应的齐次方程组同解的方程为⎩⎨⎧-=+-=432431)2/1((1/7))2/1()7/9(x x x x x x .分别取(x3, x4)T =(1, 0)T , (0, 1)T , 得对应的齐次方程组的基础解系 ξ1=(-9, 1, 7, 0)T . ξ2=(1, -1, 0, 2)T .。
线性代数习题答案完整版
c1 c2 2c3 c3 c1 c2 c3
二、计算题.
4. 用行列式性质计算.
103 100 204 (1) 199 200 395 ；
301 300 600
ab ac ae (2) bd cd de .
bf cf ef
3 100 4
314
解：
原式
c1 c2
=
1
200
5 100 1
2
5 2000.
0 010
5 5 0
5 5 3 0
5 11
r2 r1
6
2
0 (1)13 6
2 40 ；
5 5
5 5 0
6 1 1 1 1 1 1 1 r2 r1 1 1 1 1
r3 r1
6 3 1 1 c1c2 c3 c4
1 3 1 1 r4 r1 0 2 0 0
(2) D
6
6
48 ；
6131 1131 0 0 2 0
3
111
111
( A) 2 ； 3
( B )1；
( C )2；
(D)8 . 3
6
xyz
2x 2y 2z x y z x y z
解：因为 4 0 3 1 ，则 4 0 1 2 4 0 3 2 4 0 3 2 1 2 .
3
3 33
33
111
1 1 1 111 111
故选 A .
2. 如果行列式的所有元素变号，则( ).
和
.
答案： a11a23a32a44 ， a11a23a34a42 .
三、计算题.
205 10.利用 n 阶行列式定义计算行列式 D = 4 1 9 ．
线性代数习题及答案解析
1. 三阶行列式()100420563= 。
A. 6B. 1C. 2 答：A 。
2. n 阶行列式()00100200n=。
A.!nB. 2!- C. 1(1)!--n nn答：C 。
二、讨论题1. n 阶行列式怎样定义的？答：n 阶行列式是这样定义的：（1）位于不同行，不同列n 个元素的乘积；（2）共有!n 项，每一项确定：行标为自然数排列，列标为1,,n m m ，当列标为偶数排列时取正号，为奇数排列时取负号；（3）一般项为11(1),-n N m nm a a 即11(1)=-∑n N m nm D a a 。
2.从左上角到右下角，对角线称为什么？ 答：主对角线。
一、选择题1、将行列式转置，行列式值（ ）。
A. 变B. 不变C. 不确定 答：B 。
2、把行列式某一行的倍数加到另一行，行列式（ ）。
A. 不变B. 变C. 不确定 答：A 。
二、填空题1. 行列式123456789D =中12a 的代数余子式为 。
答 ： 12(1)(6)+--。
三、讨论题1、按第一列展开行列式的定理指的是什么？ 答：111111n n a A a A D ++=。
2.、按第一列展开行列式与第二列代数余子式乘积之和的定理指的是什么？答：1121120n n a A a A ++=。
一、选择题1、行列式100302540=（ ）。
A. 6B.（-8）C. 8答：B 。
2、行列式1000520067389104=（ ）。
A. 2!B. 3!C. 4!答：C 。
二、填空题1、行列式12345006D == 。
答：用上三角行列式24。
2、行列式127158169D =-=- 。
答：-8（其解题过程为：2131127715071588160816+==-+r r D r r ）。
三、讨论题1、用化零降阶法计算行列式111111a D a a=等于什么？答：213222301111011(1)(1)(2)1111---+--=-=-+--a a r ar a Da a a a a r r a。
王晓峰著《线性代数》习题解答
王晓峰著《线性代数》习题解答第一章1. 解下列方程组, 并在直角坐标系中作出图示.1)⎩⎨⎧=-=+21y x y x ;2)⎩⎨⎧=+=+5331y x y x ; 3)⎩⎨⎧=-=-2221y x y x .解: 1) 将第一个方程减去第二个方程, 得2y =-1, y =-1/2, 再代入第个方程解得x =1+1/2=3/2,⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,23方程有唯一解.2) 将第二个方程除以3得35=+y x , 与第一个方程相比较知此方程组为矛盾方程组, 无解,3) 将第2个方程除以2, 可以得到第一个方程, 令y =t 为任意实数, 则x =1+t , 方程组的解集.2. 用Gauss 消元法解下列线性方程组.1)⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=++-=-+333693132472321321321x x x x x x x x x2)⎩⎨⎧-=-+=+-223252321321x x x x x x3)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-=--=+54212302433214243241x x x x x x x x x x4)⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+=+033803403232132121x x x x x x x x解: 1) 对增广矩阵进行变换:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--−−−−→−+-⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----−−−−→−-⨯+⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----−−−−→−+-⨯+-⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----0000751010301)2(000075104721)3/1(12115302115304721)3()2(333693131124721123323121r r r r r r r r r则x 3为自由变量, 令x 3=t 为任意实数, 则x 1=10-3t , x 2=5t -7, 方程有无穷多解, 解集为(10-3t , 5t -7, t ).2) 对增广矩阵进行变换:⎥⎦⎤⎢⎣⎡--−−−→−+⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡---−−−→−⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡---−−−−→−+-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡---121001012121025218/1816802521)3(2123252112221r r r r r则x 3为自由变量, 令x 3=t 为任意实数, 则x 1=-t , x 2=2t -1,解集为(-t , 2t -1, t ).3) 对增广矩阵进行变换:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−→−+-⨯+⨯+⨯-⨯⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----−−−−→−+-⨯+⨯⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----−−−−→−⨯-⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------−−−→−+⨯+⨯↔⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------−−−−→−+-⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----11000101001001010001)3()32()35()43(34340003235100313201043001)7(461370032351003641043001)12/1()1(613700820120036410430012336410120300112043001)2(50412120300112043001142434443233242324241r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r方程有唯一解x 1=x 2=x 3=x 4=1.4) 此为齐次方程, 对系数矩阵进行变换⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-−−−→−+⨯+⨯⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−−−→−+⨯+-⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−−−→−+-⨯+-⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-10003000211)6/1(6001301021)3(390130032)4()2(3381340321323312323121r r r r r r r r r r r r r可知方程有唯一零解x 1=x 2=x 3=0.3. 确定下列线性方程组中k 的值满足所要求的解的个数. 1) 无解: 2) 有唯一解:⎩⎨⎧=++=++;486362z y x kz y x⎩⎨⎧-=-=+123214y x y kx3) 有无穷多解:⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++12524z y x z y x kz y x解:1) 对增广矩阵作变换:⎥⎦⎤⎢⎣⎡--−−−−→−+-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡143800621)3(486362121k k r r k因此, 要使方程组无解, 须使8-3k =0, 解得k =8/3, 即当k 取值为8/3时, 方程无解. 2) 对增广矩阵作变换:⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++--−−−−−→−+-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡--−−−→−↔⎥⎦⎤⎢⎣⎡--14612301232)2(141123212321412121k k r kr k r r k因此, 如要方程组有唯一解, 必须有0123≠+k , 即32-≠k . 3) 对增广矩阵作变换⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--−−−→−+⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----−−−−→−+-⨯+-⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-0440*******1331301110411)1()1(11215121411323121kkk r r k k k r r r r k因此, 如要方程组有无穷多解, 必须4-4k =0, 即当k =1时, 方程组才有无穷多解.4. 证明: 如果对所有的实数x 均有ax 2+bx +c =0, 那么a =b =c =0.证: 既然对所有的实数x 都有ax 2+bx +c =0成立, 那么具体地分别取x =0, x =1, x =2代入上式也成立, 则有⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=02400c b a c b a c , 这是关于a ,b ,c 的齐次线性方程组, 对其系数矩阵作变换:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--−−−−→−+-⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−→−↔↔⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100320111)4(100124111124111100213221r r r r r r看出此方程只有唯一零解, 因此有a =b =c =0.5. 讨论以下述阶梯矩阵为增广矩阵的线性方程组是否有解; 如有解区分是唯一解还是无穷多解.1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---0000320003212)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--410030201231 3)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--00004000320040214)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--0000010013201021 解: 1) 方程组有一个自由变元x 2, 因此方程组有无穷多解. 2) 方程组的三个变元均为首项变元, 因此方程组有唯一解. 3) 第三个方程0=4说明此方程无解.4) 方程组的三个变元均为首项变元, 因此方程组有唯一解.6. 对给定方程组的增广矩阵施行行初等变换求解线性方程组..1)⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=+-3284432253y x y x y x 2)⎩⎨⎧=--+=--+302859322207124w z y x w z y x 3)⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=--+=+-+222242*********w z y x w z y x w z y x 解: 1) 对增广矩阵进行变换:⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−−−−→−+⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−−−→−⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−−−→−+⨯+-⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−−→−↔⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---781007231032811974190723103281)28/1(74190922803281)3()3(2253443328132814432253322312113r r r r r r r r r方程组无解.2) 对增广矩阵进行变换⎥⎦⎤⎢⎣⎡--−−−−→−+⨯⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---−−→−⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−−−→−+-⨯⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----−−−→−⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡----5452100100960317/4545210021154731422713410021154731)3(302859321154731)4/1(302859322207124122211r r r r r r可以看出y 和w 为自由变元, 则令y =s , w =t , s 与t 为任意常数, 则x =100-3s +96t , z =54+52t . 方程的解集表示为(100-3s +96t , s , 54+52t , t ). 3) 对增广矩阵进行变换()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-−−−−−→−+⨯⨯+-⨯⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−−−−→−+-⨯+-⨯⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−−→−↔⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----0000100021021211)2/1(2/1)2(04002000212121211)4()2(2222411112212121211222242121212111111212232312121r r r r r r r r r r r 可知y 与z 为自由变元, 令y =s , z =t , s 与t 均为任意实数, 则,212121=+-=w t s x , 方程组的解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛+-0,,,212121t s t s7. 对给定齐次线性方程组的系数矩阵施行行初等变换求解下列方程组.1) ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+=+-02020z y x yx z y x 2)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+++0202202w z y w y x w z y x解: 1) 对系数矩阵作初等变换.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−→−+-⨯+⨯-⨯⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−−−−→−+-⨯+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−→−⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−−−→−+-⨯+-⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--100010001)3/1()3/2()5/3(350032103101)2(320321011131320230111)1()2(21101211113233321223121r r r r r r r r r r r r r r方程只有零解, x =y =z =0.2) 对系数矩阵作初等变换⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-−−−−−→−+-⨯+⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--−−−−→−-⨯⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--−−−−→−+⨯+-⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−−→−↔⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−−−→−+-⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--110000102001)2()2/1(11002/12/1100201)3/1()2/1(3300112002012)1(114011201121112011401121)1(11202021112113233232123221r r r r r r r r r r r r r r因此, w 为自由变元, 令w =t 为任意实数, 则x =-2t , y =0, z =t , 方程组的解集为 (2t , 0, t , t ).8. 设一线性方程组的增广矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--32223411121α求α的值使得此方程组有唯一解.解: 对增方矩阵求初等变换⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+−−→−+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--−−−−→−+-⨯+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--420034601121126034601121)2(32223411121323121αααr r r r r r因此, 此方程组要有唯一解, 就必须满足α+2≠0, 即α≠-2.9. 设一线性方程组的增广矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----0410*******β1) 此方程有可能无解吗? 说明你的理由. 2) β取何值时方程组有无穷多解?解: 1) 此方程一定有解, 因为此方程是齐次方程, 至少有零解. 2) 对此增广矩阵做初等变换⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--−−−→−+⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−−→−++⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----0500011001216016001100121204103520121323121βββr r r r r r因此, 只有当β+5=0, 即β=-5时,方程才有无穷多解.10. 求λ的值使得下述方程组有非零解.⎩⎨⎧=-+-=+-0)2(0)2(y x y x λλ 解: 对系数矩阵作初等行变换:⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---−−−−−→−+-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡---−−−→−↔⎥⎦⎤⎢⎣⎡---1)2(021)2(1221211222121λλλλλλλr r r r因此, 要使方程有非零解, 必须有(λ-2)2+1=0, 但(λ-2)2+1≥0对λ取任何实数值总是成立, 因此必有(λ-2)2+1≠0, 因此, 无论λ取什么值此方程组都不会有非零解.11. 求出下列电路网络中电流I 1,I 2,I 3的值.解: 根据基尔霍夫定律可得如下方程组:⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+-52384202132321I I I I I I I 对增广矩阵做初等行变换⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−→−+-⨯+-⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−→−-⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--−−−−→−+⨯+-⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--−−−−→−⨯+-⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-13/1510013/2201013/7001)3()2(13/1510042104301)13/1(151300421043011)5(535042100111)2/1()3(502384200111132331232231r r r r r r r rr r r r最后得I 1=7/13, I 2=22/13, I 3=15/1312. 一城市局部交通流如图所示.(单位: 辆/小时)51) 建立数学模型2) 要控制x 2至多200辆/小时, 并且x 3至多50辆小时是可行的吗? 解: 1} 将上图的四个结点命名为A , B , C , D , 如下图所示:5则每一个结点流入的车流总和与流出的车流总和应当一样, 这样这四个结点可列出四个方程如下:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++-=-+=+D x x C x x x Bx x x A x x 3502001503005453243121对增广矩阵进行变换:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---−−−−→−++-⨯+-⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−−−−→−+-⨯+-⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−−−→−+-⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--000000350110002001011050010101)1()1(35011000350110001500111015001101)1()1(35011000200101101500111030000011)1(350110002001011015001101300000111323431232221r r r r r r r r r r r r r可见x 3和x 5为自由变量, 因此令x 3=s , x 5=t , 其中s ,t 为任意正整数(车流量不可能为负值), 则可得x 1=500-s -t , x 2=s +t -200, x 4=350-t .2) 令x 2=200, x 3=s =50, 代入上面的x 2的表达式, 得200=50+t -200, 求出t =350, 则x 1=500-s -t =100, x 4=0, 是可行的.13. 在应用三的货物交换经济模型中, 如果交换系统由下表给出, 试确定农作物的价值x 1, 农具及工具的价值x 2, 织物的价值x 3的比值.313131313131313131CM F C M F解: 根据上表可得关于x 1, x 2,x 3的三个齐次方程如下:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=+-=++-032313103132310313132321321321x x x x x x x x x对系数矩阵做行初等变换:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--−−−→−+⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--−−−−→−-⨯+⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−−−→−+-⨯+⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−−→−↔⨯⨯⨯⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---0001101012000110121)3/1(1330330121)1(221111212133332313131323131313212232312121321r r r r r r r r r r r r r r可见方程有非零解, x 3为自由变量, 令x 3=t 为任意正实数, 则有x 1=x 2=x 3=t , 即三种价值的比值为1:1:1.第二章1. 1. 写出下列方程组的矩阵形式:1) x 1-2x 2+5x 3=-1;2) ⎩⎨⎧=+=-1223231x x x x 3) ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=++002045z x z y z y x 解:1) []15,2,1321=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-x x x ; 2)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡12110102321x x x ;3) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-000101120415z y x2. 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=212121A , ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=212234B求: 1) 3A -2B ;2) 若X 满足A T +X T =B T , 求X .. 解: 1)⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--------=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-10110105)4(623)4(64366834244686363632122342212121323B A2)因X 满足A T +X T =B T , 等号两边同时转置, 有 A +X =B ,等号两边同时减去A , 得 X =B -A , 因此有⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--------=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=404113221122122314212121212234A B X3. 计算下列矩阵的乘积:1)[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-213121; 2) []214321-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡; 3)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-103110021212321; 4)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡011011120101130213 解:1)[]1211231213121=⨯+⨯+⨯-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-2)[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡8463422124)1(423)1(322)1(221)1(12143213)⎥⎦⎤⎢⎣⎡---==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯+⨯+⨯-⨯+⨯+⨯-⨯+⨯+⨯--⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1341410)1(21102021122320112)1(312010312213302111031100212123214)⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯+-⨯+⨯-⨯+-⨯+⨯=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⨯+-⨯+⨯-⨯--⨯+⨯⨯+-⨯+⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡83)2(1)2(310)2(2)2(11322113021300)1(11101)1(21001)1(011130213011011120101130213 4. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=201210003,310120101B A求: 1) (A +B )(A -B );2) A 2-B 2.比较1)和2)的结果, 可得出什么结论? 解: 1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-+567063519111110102511330104)201210003310120101)(201210003310120101())((B A B A2)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-655142418405612009105055041120121000320121000331012010131012010122B A 可得出的结论: 大家知道, 在代数公式上有a 2-b 2=(a +b )(a -b ), 而将此公式中的a 和b 换成矩阵A 与B , 就不一定成立了, 这是因为矩阵乘法一般不满足交换律, 即一般AB ≠BA , 当然也就有A 2-B 2≠(A +B )(A -B ).5. 已知矩阵A ,B ,C , 求矩阵X ,Y 使其满足下列方程:⎩⎨⎧+=+=-T B A Y X CY X )(2解: 将此方程编上号, 用类似解线性方程组一样的办法来解,⎩⎨⎧+=+=-)2()()1(2T B A Y X C Y X将方程(1)的左边和(2)的左边和左边相加, 右边和右边相加, 等号还是成立, 得: 3X =C +(A +B )T 两边同乘1/3, 得TB AC X )(3131++=(3)(2)式等号两边都加上X , 得 Y =(A +B )T -X (4) 将(3)式代入到(4)式, 得CB A B AC B A Y T T T 31)(32)(3131)(-+=+--+=因此⎪⎩⎪⎨⎧-+=++=CB A YC B A X T T T T 3132323131316. 如矩阵AB =BA , 则称A 与B 可交换, 试证:1) 如果B 1, B 2都与A 可交换, 那么B 1+B 2, B 1B 2, 也与A 可交换; 2) 如果B 与A 可交换, 那么B 的k (k >0)次幂B k 也与A 可交换. 证: 1) 因B 1, B 2都与A 可交换, 即AB 1=B 1A , AB 2=B 2A , 则 (B 1+B 2)A =B 1A +B 2A =AB 1+AB 2=A (B 1+B 2) 即B 1+B 2与A 可交换. 而且(B 1B 2)A =B 1(B 2A )=B 1(AB 2)=(B 1A )B 2=(AB 1)B 2=A (B 1B 2), 因此B 1B 2与A 可交换.2)因B 与A 可交换, 即AB =BA , 则用归纳法, 当k =1时, 有B 1=B , 结论显然成立. 假设当k =m 时假设成立, 即AB m =B m A , 则当k =m +1时, 有AB m +1=AB m B =B m AB =B m BA =B m +1A , 结论也成立.7. 如矩阵A =A T , 则称A 为对称矩阵.设A ,B 都是n 阶对称矩阵, 证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA . 证: 已知A =A T , B =B T ,充分性: 假设AB =BA , 则(AB )T =B T A T =BA =AB , 因此AB 为对称矩阵. 必要性: 如果AB 为对称矩阵, 即(AB )T =AB , 则因 (AB )T =B T A T =BA , 可得BA =AB . 8. 设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n a a a A21其中a i ≠a j , 当i ≠j (i , j = 1,2, …, n ). 试证: 与A 可交换的矩阵一定是对角矩阵. 证:假设矩阵B ={b ij }n 与A 可交换, 即有BA =AB , 而BA 相乘得到的矩阵为B 的第j 列所有元素都乘上a j 得到的矩阵, AB 相乘得到的矩阵为B 的第i 行元素都乘上a i 得到的矩阵. 即BA ={a j b ij }n , AB ={a i b ij }n , 但对于任给的i ,j ,i ≠j , 因AB =BA , 因此有a j b ij =a i b ij , 因a i ≠a j , 所以必有b ij =0, 即B 只能是对角矩阵.9. 检验以下两个矩阵是否互为可逆矩阵?⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000210012100121,1000210032104321B A解: 计算AB 和BA 如下:410000100001000011100012)2(1110013)2(21112)2(111014)2(31213)2(21112)2(11110002100121001211000210032104321I AB =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⨯⨯+-⨯⨯⨯+-⨯+⨯⨯+-⨯⨯⨯+-⨯+⨯⨯+-⨯+⨯⨯+-⨯⨯==⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=41000010000100001110001)2(211100112)2(311)2(21110213)2(41112)2(311)2(21111000210032104321100021********21I AB =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⨯⨯-+⨯⨯⨯+⨯-+⨯⨯-+⨯⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯-+⨯⨯-+⨯⨯==⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=因此A 与B 确实互为逆矩阵.10. 设A ,B ,C 为n 阶方阵, 且C 非奇异, 满足C -1AC =B , 求证B m =C -1A m C (m 为正整数). 证: 用归纳法, 当m =1时条件已经成立为C -1AC =B , 假设当m =k 时, 命题成立, 即有 B k =C -1A k C , 则当m =k +1时, 有B k +1= B k B =C -1A k CC -1AC = C -1A k (CC -1)AC = C -1A k IAC = C -1A k AC = C -1A k +1C , 命题得证.11. 若n 阶矩阵A 满足A 2-2A -4I =0, 试证A +I 可逆, 并求(A +I )-1. 证: 将A 2-2A -4I =0改写为A 2-2A -3I =I ,先解一元二次方程组x 2-2x -3=0, 根据公式a acb b x 2422,1-±-=其中a =1, b =-2, c =-3, 则⎩⎨⎧-=+±=13212422,1x , 因此可将多项式x 2-2x -3因式分解为x 2-2x -3=(x -3)(x +1), 那么, 根据矩阵相乘相加的性质也就能将A 2-2A -3I 因式分解为 A 2-2A -3I =(A -3I )(A +I )=(A +I )(A -3I ), 因此我们有(A -3I )(A +I )=(A +I )(A -3I )=I , 即A +I 与A -3I 互为逆矩阵, (A +I )-1=A -3I .12. 证明: 如果A =AB , 但B 不是单位矩阵, 则A 必为奇异矩阵.证: 用反证法, 假设A 为可逆, 其逆为A -1, 则对于A =AB 两边同时左乘A -1, 得 A -1A =A -1AB , 即I =B , 这与B 不是单位矩阵相矛盾, 因此A 必为奇异矩阵.13. 判别下列矩阵是否初等矩阵?1) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100020001, 2) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100 3) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡010100201, 4) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100410001 解: 1) 是初等矩阵P (2(-2)),2) 是初等矩阵P (1,3), 3) 不是初等矩阵,4) 是初等矩阵P (3(-4), 2).14. 求3阶方阵A 满足⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231232221331332123111333231232221131211555a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A解: 从等式看出A 左乘一矩阵相当于对此矩阵作初等行变换r 3×(-5)+r 1, 因此A 为一相应的初等矩阵, 即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-=100010501)1),5(3(P A15. 设A ,B ,C 均为n 阶可逆矩阵, 且ABC =I , 证明BCA =I证: 因B ,C 为可逆矩阵, 则BC 也是可逆矩阵, 且(BC )-1=C -1B -1, 因ABC =I , 对此等式两边右乘(BC )-1, 即ABC (BC )-1=I (BC )-1, 因为BC (BC )-1=I , 因此上式化简为A =(BC )-1, 因此当然有 BCA =BC (BC )-1=I .16. 设A ,B 均为n 阶方阵, 且)(21I B A +=, 证明: A 2=A 的充分必要条件是B 2=I .证: 充分性: 假设B 2=I , 则A IB I B I B B I B A =+=+=++=+=)(21)22(41)2(41)(41222必要性: 如果A 2=A , 则有)2(41)(41)(2122I B B I B I B ++=+=+等式两边乘4得I B B I B ++=+2222,等式两边同时减去2B +I 得 B 2=I 证毕.17. 如果n 阶矩阵A 满足A 2=A , 且A ≠I , 则A 为奇异矩阵.证: 用反证法, 假设A 为可逆, 其逆为A -1, 则上式两边左乘(或者右乘)A -1, 得 AAA -1=AA -1, 即A =I , 但这与A ≠I 相矛盾, 因此A 的逆不存在, 即A 为奇异矩阵.18. 求下列矩阵的逆矩阵:1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=285421122A ; 2) ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=1111111111111111A 3)),,2,1,0(000000000000121n i a a a a a A i n n=≠⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-解: 用对[A |I ]进行行初等变换为[I |A -1]的办法来求:1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--−−−→−↔⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=100285001122010421100285010421001122]|[21r r I A⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−−−−→−+⨯+-⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----−−−−→−+-⨯+-⨯11390002196003/13/111)3/1()3(15018180021960010421)5()2(12323121r r r r r r r r ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----−−−→−⨯⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----−−−−−→−+-⨯+9/19/13/11006/16/13/10109/19/23/20019/16/11139001120609/19/23/2001)9/1(321323r r r r r r 因此, 最后得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-9/19/13/16/16/13/19/19/23/21A 2)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=10001111010011110010111100011111]|[I A⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------−−−−→−+-⨯+-⨯+-⨯10010220010120200011220000011111)1()1()1(413121r r r r r r ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------−−−→−↔1001022000112200010120200001111123r r⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------−−−−−→−+⨯+-⨯11002200001122000101202002/102/10101)2/1()1(1242r r r r⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------−−−−→−+⨯+-⨯11114000001122000101202002/12/1010012/1)1(1343r r r r⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------−−−−→−+⨯+⨯+⨯111140002/12/12/12/102002/12/12/12/100204/14/14/14/100012/12/14/1342414r r r r r r ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------−−−−→−⨯-⨯-⨯4/14/14/14/110004/14/14/14/101004/14/14/14/100104/14/14/14/100014/1)2/1()2/1(432r r r 因此有A A 414/14/14/14/14/14/14/14/14/14/14/14/14/14/14/14/11=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=-3)⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-10000000000010000001000]|[121n n a a aa I A⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−→−↔↔↔----01000000100000001000100000012121211n n n n n n a a a a r r r r r r ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−→−⨯⨯⨯--0/1010000/100100000/10010/1000001/1/1/11211121n n n n n a a a a a r a r a r因此, 最后得⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--0/10000/10000/1/10001211n n a a a a A19. 解下列矩阵方程, 求出未知矩阵X .1) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡12643152X 2) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--132321433312120X解: 令⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=12643152B A , 则要解的方程为AX =B将方程两边左乘上A 的逆A -1, 可得A -1AX =A -1B , 即 X =A -1B 下面求A -1:⎥⎦⎤⎢⎣⎡--−−−−→−+-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−→−↔⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21101031)2(0152103110310152]|[2121r r r r I A⎥⎦⎤⎢⎣⎡--−−−→−-⨯+⨯21105301)1(3212r r r 因此有⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-21531A 因此⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==-80232126421531B A X 2) 令⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=132321433312120B A 则矩阵方程为XA =B设A 的逆存在为A -1, 则方程两边右乘A -1, 得XAA -1=BA -1,即X =BA -1 下面求A -1:[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−−→−⨯↔⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=10043300112002/102/32/112/1100433010312001120|121r r r I A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-−−−→−⨯+⨯12/302/12/30002/12/11002/102/32/112/13231r r r⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--−−−−−→−+-⨯+⨯12/34/34/100002/12/11002/14/14/701)2/3(2/13212r r r r ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--−−−→−-⨯463100002/12/11002/14/14/701)4(3r⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----−−−−−→−+-⨯+-⨯4631002310107115001)4/7()2/1(1323r r r r因此,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-46323171151A 最后得⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==-47411246323171151323211BA X20. 求矩阵X 满足AX =A +2X , 其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=410011103A解: 将方程两边减去2X , 得AX -2X =A因2X =2IX , 因此上面的方程可以从右边提取公因子X , 得 (A -2I )X =A假设A -2I 可逆, 则方程两边同时左乘(A -2I )-1, 得(A -2I )-1(A -2I )X =(A -2I )-1A , 即X =(A -2I )-1A设B =A -2I , 则X =B -1A , 而⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=210011101200020002410011103B 下面用行初等变换求B 的逆B -1:[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−−−→−+-⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=100210011110001101)1(100210010011001101|21r r I B⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----−−−−→−+-⨯+-⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--−−−→−-⨯+⨯111100122010112001)1()1(111100011110001101)1(11323232r r r r r r r则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-1111221121B最后得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----==-3222342254100111031111221121A B X 验算:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=+1054459341364446844104100111032X A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10544593413322234225410011103AX21. 利用分块的方法, 求下列矩阵的乘积:1) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100110201110021; 2) ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡d d c c b b a a00000010001010001000000解:1) 将乘积分块为[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-2|100110201110021I C B A其中[]10,201102,101=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=C B A[][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡30111220110210001020110210101|22BI AC I C B A2) 将乘积分块为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡22222220000001000110001000000dI O cI I bI I O aI d d c c b b a a⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=bd c bd c ac a ac a I bd c I acI aI 010*******)(2222第三章1. 计算下列行列式:1) 4321; 2) 22b b a a ; 3) 7040-解: 1) 26432414321-=-=⨯-⨯=;2) )(2222a b ab b a ab b b a a -=-=;3) 0)4(0707040=-⨯-⨯=-.2. 计算下列三阶行列式:1)241130421--; 2) 320001753-; 3) b a c a c b cb a 解: 1) 将行列式按第一列展开81021342124131241130421=+-=⨯-⨯-=-- 2) 将行列式按第二行展开172353275320001753=⨯-⨯==- 3)3333333c b a abc c b a abc abc abc b a c a c b cb a ---=---++=3. 计算下列行列式:1)000000005544332222211111b a b a b a e d c b a e d c b a ;2)x yy x y x y x D n 0000000000=;3) f e d c b a 0000000000解: 1) 将行列式按第一列展开后, 得到的各子式再按第二列展开, 这样展开后的后三列构成的任何三阶子式都至少包括一行0, 因此后三列任何三阶子式均为0, 整个行列式的值D =0. 2) 将行列式按第一列展开得nn n n n y x y x y x y y x y x y x x D 11)1(0000000)1(0000000++-+=-+=3) 先对第一列展开, 然后对第二列展开, 得abdfbadf fe dbafe dab D -=-=-=-=000004. 利用行列式的性质计算下列行列式1) 2605232112131412-; 2)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---;3) 2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a解: 下面都将所求行列式的值设为D .1) 因为第1行加到第2行以后, 第2行将和第4行相等, 因此行列式的值D =0; 2) 首先从第1,2,3行分别提取公因子a ,d ,f , 再从第1,2,3列提取公因子b ,c ,e , 得abcdef abcdef adfbce ef cfbfde cd bd ae ac ab 4020200111111111111=-=---=---3) 将第2,3,4列都展开, 并统统减去第1列, 得9644129644129644129644122222++++++++++++=d d d d c c c cb b b b a a a a D 再将第3列减去2倍的第2列, 第4列减去3倍的第2列, 得62126212621262122222=++++=d d c cb b a a D5. 把下列行列式化为上三角形行列式, 并计算其值1) 1502321353140422-----; 2) 2164729541732152-----解:1)121034805350024211203840553004221)2/3(2150232135314042232413121------↔=-----+⨯+⨯+⨯=-----c c r r r r r r 131002050021102042101300520001210024258535034801210024243423242---↔=--+⨯+⨯=-----↔=c c r r r r r r270)27(512270002050021102042)2(43-=-⨯⨯⨯=----+-⨯=r r2)0210311061202251)1()2(12461759243712251216472954173215241312113----+-⨯+-⨯+⨯=------↔=-----r r r r r r c c93000030031102251133000300311022511)2(021061203110225143423232-=--+⨯=--+⨯+-⨯=---↔=r r r r r r r r6. 计算下列n 阶行列式1) 12125431432321-n n n2) a bbba b a解: 1) 设此行列式的值为D , 将第2,3,…,n 列均加于第一列, 则第一列的所有元素均为)1(21321+=++++n n n , 将此公因式提出, 因此有121125411431321)1(21-+=n nn n D再令第n 行减去第n -1行, 第n -1行减去第n -2行, …, 第2行减去第1行, 可得11111111111111111)1(21111011101110321)1(21-----+=--+=n n n n n n n n n n n n D 1)1(21)()1)(1(21)000000111111111)(1(21----+=---++=n n n n n n n n nn n2) 此题和第3题的2)一样, 因此有n n nb a D 1)1(+-+=7. 证明下列行列式1) ))()((111a c c b b a ab ca bc c b a ---=2) nb a n ab a ba b b a b a ba )(222-=证: 1)=----=----+-⨯+-⨯=)()()()(001)1()1(1113221c a b b a c ac a b c a b b a c bc a c a b a c c cc ab ca bc c b a))()(())()((11))((a c c b b a b c c a b a b c c a b a ---=---=----=2) 用归纳法, 设D n 为所求行列式值, 当n =1时,221b a a b ba D -==, 等式成立. 假设当n =k 时假设成立, 即有kk b a k aba b a b b a ba ba D )(222-==当n =k +1时,按第一列展开=+=+221k aba b ab b a b a ba D k=+++=1212k aba b b a ba b bk aa bab ba ba a12222222222)()()()(+-=--=-=-=k kk k k b a b a b a b a D D b D a证毕.8. 求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=210111302A 的伴随矩阵A *, 并求A -1. 解:31130,32130,12111312111=-==--==--=A A A 11132,42032,22011322212=-=-=-==--=A A A 2112,21002,11011332313-=-=-=-==-=A A A因此得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=221142331332313322212312111*A A A A A A A A A A A 的行列式为5132012||131312121111=⨯+⨯+⨯=++=A a A a A a A 因此有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---==-22114233151||1*1A A A9. 设A 为三阶方阵, A *是A 的伴随矩阵, 且|A |=1/2, 求行列式|(3A )-1-2A *|的值.解: 因11**121||,||1---===A A A A A A A , 以及1131)3(--=A A , 还有2||1||1==-A A ,则27162278||32|32||31||2)3(|13111*1-=⨯-=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=-=------A A A A A A10. 设A 为n 阶可逆阵, A 2=|A |I , 证明: A 的伴随矩阵A *=A . 证: 因A 可逆, 则在等式A 2=|A |I 两边乘A -1, 得A =|A |A -1, 即A A A ||11=-, 而因为*1||1A A A =-, 所以有A =A *, 证毕.11. 用克莱姆法则解下列方程组.(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++10329253142321321321x x x x x x x x x(2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++24324322256511322121432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解: (1) 方程的系数矩阵A 为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=113215421A , 常数向量T ]102931[=β, 则求A 的逆矩阵:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------−−−−→−+-⨯+-⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-10311700151890001421)3()5(1001130102150014213121r r r r⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----−−−−→−-⨯103117009/19/5210001421)9/1(2r ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−−−→−+⨯+-⨯19/79/830009/19/521009/29/10017)2(3212r r r r⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−−→−⨯3/127/727/810009/19/521009/29/10013/13r⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----−−−−→−+-⨯3/127/727/81003/227/1127/101009/29/1001)2(23r r 因此得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-3/127/727/83/227/1127/109/29/11A则方程的解X 为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-5431029313/127/727/83/227/1127/109/29/11321βA x x x X即x 1=3,x 2=4,x 3=5.(2) 方程的系数矩阵A 为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=43114312251151132A , 常数向量[]T 2226=β先求A 的逆A -1:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−→−↔⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡10004311010043120001511320010251110004311010043120010251100015113221r r⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------−−−−→−+-⨯+-⨯+-⨯10102200012007100021111000102511)1()2()2(413121r r r r r r ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------−−−−→−+⨯+-⨯101022000141160000211110003114011)1(3212r r r r ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------−−−−→−-⨯↔014116002/102/1011000021111000311401)2/1(343r r r⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------−−−−→−+⨯+-⨯+-⨯311150002/102/1011002/102/512010201150016)1()4(332313r r r r r r ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------−−−−→−-⨯5/35/15/15/110002/102/1011002/102/51201020115001)5/1(4r ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------−−−−→−+⨯+-⨯+-⨯5/35/15/15/1100010/15/110/75/1010010/75/210/295/70010110000011)2()5(342414r r r r r r 因此有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------=-5/35/15/15/110/15/110/75/110/75/210/295/711001A则⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------==⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-002022265/35/15/15/110/15/110/75/110/75/210/295/7110014321βA x x x x X 即x 1=0, x 2=2, x 3=0, x 4=0.12. 如果齐次线性方程组有非零解, k 应取什么值?⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=++-0)4(20)6(2022)5(z k x y k x z y x k解: 此方程组的系数矩阵A 为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=k kk A 402062225要使方程组有非零解, 必须有det(A )=0.而k k k k kr r rr k kk A ---+--+⨯+-⨯=---=402242242252)2(402062225)det(2321k kk k r r rr k kk --+---+⨯+-⨯=-----=4022121005)2(2)2(402212225)2(1213)8)(5)(2(80061020122402212201)5)(2(3121----=---+⨯+⨯=-----=k k k kr r rr k k k因此, 只有当k =5或者k =2或者k =8时, 此方程组才有非零解.13. 问λ, μ取何值时, 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ 有非零解?解: 此方程组的系数矩阵A 为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1211111μμλA , 要使方程组有非零解, 必须det(A )=0,而012101111)1()1(1211111)det(3121----+-⨯+-⨯==μλμλλμμλr r rr Aμλμμλμλμλ)1(12111)1(121113-=---=----=列展开按第因此, 只有当λ=1或者μ=0时, 方程组才有非零解.第四章1. 设α1=(1,1,1), α2=(-1,2,1), α3=(2,3,4), 求β=3α1+2α2-α3解: β=3α1+2α2-α3=3(1,1,1)+2(-1,2,1)-(2,3,4)=(3,3,3)+(-2,4,2)-(2,3,4) =(3-2-2, 3+4-3, 3+2-4)=(-1, 4, 1)2. 设3(α1-α)+2(α2+α)=5(α3+α), 求α, 其中α1=(2,5,1,3), α2=(10,1,5,10), α3=(4,1,-1,1) 解: 将上述方程整理: 3α1-3α+2α2+2α=5α3+5α -3α+2α-5α=-3α1-2α2+5α3 (-3+2-5)α=-3α1-2α2+5α3 -6α=-3α1-2α2+5α3 最后得)4,3,2,1()6531023,653521,653125,3103101()65,65,65,310()310,35,31,310()23,21,25,1()1,1,1,4(65)10,5,1,10(31)3,1,5,2(21653121321=-+++-+-+=--+=--+=-+=αααα3. 设R 为全体实数的集合, 并且设}0,,,|),,,({11211=++∈==n n n x x R x x x x x X V 满足, }1,,,|),,,({11212=++∈==n n n x x R x x x x x X V 满足.问V 1,V 2是否向量空间? 为什么?解: (一般的技巧: 凡是对R n 作一个齐次线性方程的约束的集合都是向量子空间, 而作非齐次线性方程的约束的集合则因为它不穿过原点, 就不是向量子空间).V 1是向量空间, 且是R n 的向量子空间, 因为nR V ⊂1, 而任给R k V Y X ∈∈,,1, 设0),,,,(0),,,,(121121=+==++=n n n n y y y y y Y x x x x x X则令),,,(2211n n y x y x y x Y X Z +++=+= ,则因=++++++=+++n n n y x y x y x z z z 221121011=+++++=n n y y x x , 则1V Y X ∈+,因为),,,(21n kx kx kx kX =, 而0)(11=++=++n n x x k kx kx 则1V kX ∈,因此, V 1是R n 的向量子空间.而V 2不是向量空间, 是因为1000≠+++ , 零向量O 不属于V 2, 2V O ∉.4. 试证: 由)1,1,1(),1,1,0(),1,0,0(321===ααα所生成的向量空间就是R 3证: 因为3321),,(R Span ⊂ααα, 只须证),,(3213αααSpan R ⊂, 任给3321),,(R d d d D ∈=, 试求实数x 1,x 2,x 3使。
线性代数课后题答案
⎛ 1 1⎞ A 2 = A ,但 A ≠ 0 且 A ≠ E 取A= ⎜ ⎜ 0 0⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 1 0⎞ ⎛ 1 1⎞ ⎛ 1 1⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ X = (3) 取 A = ⎜ Y = ⎜ 0 0⎟ ⎜ − 1 1⎟ ⎜ 0 1⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ AX = AY 且 A ≠ 0 但 X ≠ Y
(2) ⎛ 1 0⎞ 2 3 k 7．设 A = ⎜ ⎜ λ 1⎟ ⎟ ,求 A , A ,L, A . ⎝ ⎠ ⎛ 1 0 ⎞⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎟ ⎟ 解 A2 = ⎜ ⎜ λ 1⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟=⎜ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ λ 1 ⎠ ⎝ 2λ 1 ⎠
4
⎛ 1 A3 = A2 A = ⎜ ⎜ 2λ ⎝
故
( A + B )( A − B ) ≠ A 2 − B 2
6．举反列说明下列命题是错误的: （１）若 A 2 = 0 ,则 A = 0 ; （２）若 A 2 = A ,则 A = 0 或 A = E ; （３）若 AX = AY ,且 A ≠ 0 ,则 X = Y . ⎛ 0 1⎞ 解 (1) 取 A = ⎜ A 2 = 0 ,但 A ≠ 0 ⎜ 0 0⎟ ⎟ ⎝ ⎠
0 ⎞⎛ 1 ⎟⎜ ⎜ 1⎟ ⎠⎝ λ
0⎞ ⎛ 1 ⎟=⎜ ⎜ 1⎟ ⎠ ⎝ 3λ
0⎞ ⎟ 1⎟ ⎠
⎛ 1 0⎞ 利用数学归纳法证明: A k = ⎜ ⎜ kλ 1 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ 当 k = 1 时,显然成立,假设 k 时成立,则 k + 1 时 1 0⎞ ⎛ 1 0 ⎞⎛ 1 0 ⎞ ⎛ Ak = Ak A = ⎜ ⎜ kλ 1 ⎟ ⎟⎜ ⎜ λ 1⎟ ⎟=⎜ ⎜ ( k + 1)λ 1 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 1 由数学归纳法原理知: A k = ⎜ ⎜ kλ ⎝ ⎛λ ⎜ 8．设 A = ⎜ 0 ⎜0 ⎝
线性代数 (陈建龙 著) 科学出版社 课后答案
22. AT(A−1)T = (A−1A)T = ET = E ⇒ (A−1)T = (AT) −1 = A−1.
23. A2 = (PBP−1)(PBP−1) = PB(P−1P)BP−1 = PBEBP−1 = PB2P−1. 依此类推, 对于任意的正整数k, Ak = PBkP−1.
设f(x) = anxn + … + a1x + a0, 则 f(A) = anAn + … + a1A + a0E = anPBnP−1 + … + a1PBP−1 + a0PP−1
10. 提示: 比较(AB)T与AB.
⎛1 0 0⎞ ⎛a b c ⎞
⎛0 0 0⎞
11. 提示: 令 A = ⎜ 0 1 2⎟ , B = ⎜ u v w⎟ 满足 AB = BA. 再令 C = ⎜ 0 0 2⎟ ,
⎜⎝ 3 1 2⎟⎠ ⎜⎝ x y z ⎟⎠
⎜⎝ 3 1 1 ⎟⎠
AB = BA ⇔ CB = BC. 从而推得一切与矩阵 A 可交换的矩阵如下:
⎛0⎞ ⎛1⎞ ⎛0⎞ ⎛0⎞ ⎛1⎞ ⎛4⎞ ⎛0⎞ ⎛0⎞ ⎛4⎞ ⎛1⎞ ⎛0⎞ ⎛4⎞
8.
⎜ ⎜ ⎜
2 0
⎟ ⎟ ⎟
,
⎜ ⎜ ⎜
0 0
⎟ ⎟ ⎟
,
⎜ ⎜ ⎜
0 3
⎟ ⎟ ⎟
;
⎝0⎠ ⎝0⎠ ⎝0⎠
或
⎜ ⎜ ⎜ ⎝
2 0 0
⎟ ⎟ ⎟ ⎠
,
⎜ ⎜ ⎜ ⎝
0 0 0
⎟ ⎟ ⎟ ⎠
,
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
12.
⎛ ⎜⎝
−1⎞ 3 ⎠⎟
.
13.