线性代数试题及答案
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（试卷一）
一、
填空题（本题总计20分，每小题2分）
1. 排列7623451的逆序数是_______。
2. 若
122
21
12
11=a a a a ，则=1
6
030
322211211a a a a 3. 已知n 阶矩阵
A 、
B 和
C 满足E ABC =，其中E 为n 阶单位矩阵，则
CA
B =-1。
4. 若
A 为n m ⨯矩阵，则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是
_________ 5. 设
A 为86⨯的矩阵，已知它的秩为
4，则以
A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为
__2___________。
6. 设A 为三阶可逆阵，⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=-1230120011
A
，则=*A 7.若A 为n m ⨯矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是
8.已知五阶行列式1
23453
201
111111
2
1403
54321=D ，则=++++4544434241A A A A A 9. 向量α=(2,1,0,2)
T
-的模（范数）______________
。 10.若()
T
k 11=α与()
T
121-=β
正交，则=k
二、选择题（本题总计10分，每小题2分） 1. 向量组r ααα,,,21 线性相关且秩为s ，则(D)
Ａ．s r
=
Ｂ．s r ≤
Ｃ．r s
≤
Ｄ．r s <
2. 若A 为三阶方阵，且
043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A (A)
Ａ．8 Ｂ．8-
Ｃ．
34
Ｄ．3
4-
3．设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( d )
Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R <
Ｃ．)()
(A R B R = Ｄ．)()(A R B R ≥
4. 设n 阶矩阵
A 的行列式等于D ，则
()
*
kA 等于_____。c
)(A *kA )(B *A k n )(C *-A k n 1 )(D *A
5. 设n 阶矩阵
A ，
B 和
C ，则下列说法正确的是_____。
)(A AC AB = 则 C B = )(B 0=AB ,则0=A 或0=B
)(C T T T B A AB =)( )(D 22))((B A B A B A -=-+
三、计算题（本题总计60分。1-3每小题8分,4-7每小题9分）
1. 计算n 阶行列式2222
1 =D 2222
2 22322 2122
2
-n
n
22
22 。
2．设A 为三阶矩阵，*
A 为A 的伴随矩阵，且2
1=
A ，求*A A 2)3(1--.
3．求矩阵的逆
111211120A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭
4. 讨论λ为何值时，非齐次线性方程组2
123123123
1x x x x x x x x x λλλλλ⎧++=⎪
++=⎨⎪++=⎩
① 有唯一解； ②有无穷多解； ③无解。
5. 求下非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系和此方程组的通解。
⎪⎩⎪
⎨⎧=++=+++=+++5
221322431
43214321x x x x x x x x x x x 6.已知向量组
()T
32011=α、
()T
53112=α、
()T
13113-=α、
()T 94214=α、()
T
52115=α，求此向量组的一个最大无关组，并把其余向量用该最大无关
组线性表示．
7. 求矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--=201034011A 的特征值和特征向量．
四、证明题（本题总计10分）
设η为
b AX =()0≠b 的一个解，12
,n r ξξξ-为对应齐次线性方程组0=AX 的基础解系，证明
12,,n r ξξξη-线性无关。
（答案一）
一、填空题（本题总计20分，每小题 2 分）
1~15；2、3；3、CA ；4、()n b A R A R ==),(；5、2；6、⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛123012001；7、()n A R <；8、0；9、3；10、1。.二、选择
题（本题总计 10 分，每小题 2分 1、D ；2、A ；3、D ；4、C ；5、B 三、计算题（本题总计60分，1-3每小题8分，4-7他每小题9分）
1、
解：D
)
,,4,3(2n i r r i =-0002
1 0002
2 001
22
03022-n 2
002
2-n ------3分
122r r -
000
1 0
0022 -
012
2 -
030
2
2--n
2
00
2
2--n -------6分
)!2(2)2()3(21)2(1--=-⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯=n n n ----------8分
（此题的方法不唯一，可以酌情给分。）
解：（1）⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-11111111124121311211111111112A AB ------1分