三等分角折纸说明
折纸几何公理
折纸几何公理本操作，也叫做折纸几何公理。
假定所有折纸操作均在理想的平面上实行，并且所有折痕都是直线，那么这些公理描述了通过折纸可能达成的所有数学操作：1. 已知 A 、 B 两点，能够折出一条经过 A 、 B 的折痕2. 已知 A 、 B 两点，能够把点 A 折到点 B 上去3. 已知 a 、 b 两条直线，能够把直线 a 折到直线 b 上去4. 已知点 A 和直线 a ，能够沿着一条过 A 点的折痕，把 a 折到自身上5. 已知 A 、 B 两点和直线 a ，能够沿着一条过 B 点的折痕，把 A 折到 a 上6. 已知 A 、 B 两点和 a 、 b 两直线，能够把 A 、 B 分别折到 a 、 b 上容易看出，它们实际上对应着不同的几何作图操作。
例如，操作1 实际上相当于连接已知两点，操作2 实际上相当于作出已知两点的连线的垂直平分线，操作3 则相当于作出已知线段的夹角的角平分线，操作4 则相当于过已知点作已知线的垂线。
真正强大的则是后面两项操作，它们确定出来的折痕要满足一系列复杂的特征，不是尺规作图一两下能作出来的（有时甚至是作不出来的）。
正是这两个操作，让折纸几何有别于尺规作图，折纸这门学问从此处开始变得有趣起来。
更有趣的是，操作5 的解很可能不止一个。
在绝大部分情况下，过一个点有两条能把点A 折到直线a 上的折痕。
操作6 则更猛：把已知两点分别折到对应的已知两线上，最多能够有三个解！一组限定条件能同时产生三个解，这让操作6 变得无比灵活，无比强大。
利用一些并不太复杂的解析几何分析，我们能得出操作6 有三种解的根本原因：满足要求的折痕是一个三次方程的解。
也就是说，给出两个已知点和两条对应的已知线后，寻找符合要求的折痕的过程，本质上是在解一个三次方程！尺规作图到底局限在哪里相比于折纸的几何操作，尺规作图就显得有些不够“强大”了。
不妨让我们先来回顾一下尺规作图里的五个基本操作：过已知两点作直线给定圆心和圆周上一点作圆寻找直线与直线的交点寻找圆与直线的交点寻找圆与圆的交点这5项操作看上去变化多端，但前3项操作都是唯一解，后两项操作最多也只能产生两个解。
立足折纸实验，导向几何本质——以《用正方形纸折30°角》一课为例
立足折纸实验，导向几何本质——以《用正方形纸折30°角》一课为例发布时间：2021-02-04T10:55:50.120Z 来源：《中小学教育》2021年2月1期作者：金晓强[导读]金晓强浙江省嘉兴海宁市丁桥镇初级中学中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982（2021）02-041-02新课标指出，数学教学必须注意从学生的生活情境和感兴趣的事物出发，为他们提供参与的机会，使他们体会到数学就在身边，对数学产生亲切感。
这就要求教师有一双善于发现的眼睛，挖掘身边的数学资源，为学生提供一个有趣的、与自身息息相关的学习内容，使学生在探究、发现的过程中，提升观察力、创造力。
在数学实验中，学生能够学习自己需要的、喜欢的数学，在学中玩，在玩中学，真正体现“学为中心”的理念。
一、问题缘起几何学习是初中数学学习的一大难点，但也是学生热爱数学的一个关键点。
然而现今的数学教育中，应试教育占据绝对主导，课堂上唯解题论、课外唯分数论的现象比比皆是，忽略了学生数学素养的培养，学生真正的能力得不到培养。
有许多学生平时解题能力很强，但在综合性考试中成绩却不尽如人意，原因无非是成为了“解题机器”，不具备相应的数学能力，面对从未谋面的新题型就无从下手。
基于这样的数学现状，笔者通过深入研究《用正方形纸折30°角》这节拓展课，试图从身边的几何入手，教学生一种数学思维、一种解决问题的方法。
二、教学实践这节课是在八年级学习完教材“全等三角形的判定”、“等腰三角形”等知识后，拓展研究的一个课题。
教材内容如下：1.生活中的折纸引入课题。
2.引例：用正方形纸片折30°角的三种方案，其中第一种方案是直接三折，操作时只能通过尝试折叠；第二种方案是先对折，再把一条边折到折痕上；第三种方案是对折后，把另一条边折到折痕中，实质跟方案二无异。
然后分别证明其正确性，篇幅较大。
3.两个关于折叠问题的证明和计算题，与引例没有直接联系。
折纸这是个数学问题
折纸这是个数学问题没有3D打印机怎么办？其实只用一张纸，也能创造大千世界——大家还记得以前大脸兔介绍过的折纸达人刘通吗？区区一张方形纸，不剪不裁不拼贴，却能被他折出万千造型。
他是怎么做到的？如果栗子君说是“算”出来的，你信吗？强大的折纸几何学拆开一件折纸作品，将其还原为一张纸，可以看到纸上布满一条条折痕，构成许多几何图形。
这其中蕴含着大量数学概念和原理，例如你学过的相似、轴对称、点对称、全等、比例，以及将来可能要学的迭代、递归等等。
据说在8世纪中期，阿拉伯人就懂得运用几何知识来折纸，同时他们也用折纸来研究几何问题。
到19世纪，欧洲人也开始将折纸用于数学和科学研究。
折着折着，人们发现，折纸能解决的数学问题比想象的多得多。
在几何作图方面，折纸甚至能甩尺规作图几条街，许多任务，比如作正七边形、三等分任意角、求2的立方根等，尺规作图没法完成的，折纸都能搞定。
至于将一张纸等分成13、15、17……份，对刘通这样的折纸玩家来说，不过是基础的入门技能。
这还不算，还有更猛的——跟刘通同为世界顶级折纸大师的美国大叔罗伯特·朗，竟然开发出两个折纸软件TreeMake和ReferenceFinder。
依靠7條折纸公理，这两个软件可以计算出用户想要的任何造型的折痕展开图，以及正确的折叠顺序！什么公理这么逆天？不用说，它就是咱们今天的教学重点——藤田—羽鸟公理中国人发明的折纸，自隋朝传入日本后就立刻受到热烈追捧，最后还成了日本的国粹。
上世纪70年代，日本人又把眼光投向了折纸中的数理问题，掀起一股经久不衰的研究热潮。
其中影响最深远的成果，大概就是“藤田—羽鸟公理”。
这一组公理共7条，其中6条由日裔意大利数学家藤田文章于1991年提出。
藤田指出了折纸过程中的6种基本操作，用来定义纸张如何折叠。
10年后，另一位数学家羽鸟公士郎又补充了一种操作。
于是这7种操作被合称为“藤田—羽鸟公理”。
经罗伯特·朗证明，它们涵盖了折纸过程中的全部折法。
数学史和数学文化(五)
∴射线 BQ，BT 是∠SBC 的三等分线．
(2)若将图 1 中的点 S 与点 D 重合，重复材料中的操作过程得到图 4，请利用图 4， 直接写出 tan 15°＝ 2－ 3 .(不必化简)
图4
【提示】由(1)可知：射线 BQ，BT 是∠DBC 的三等分线，过点 T 作 TJ⊥BC 于点 J，如解图所
图1
图2
图3
下面是证明 BQ，BT 是∠SBC 三等分线的部分过程：
证明：过点 T 作 TK⊥BC 于点 K，则四边形 EBKT 为矩形． 根据折叠，得 EB＝QT，∠EBT＝∠QTB，BT＝TB， ∴△EBT≌△QTB(SAS)． ∴∠BQT＝∠TEB＝90°. ∴BQ⊥PT. …
学习任务： (1)将剩余部分的证明过程补充完整． 解：剩余的证明过程如下： ∵ME＝PQ，EB＝QT，ME＝EB， ∴PQ＝QT. ∴BP＝BT. ∴∠PBQ＝∠TBQ. ∵TK＝BE，∴TK＝TQ.
正方形 ABCD，则矩形 DCGF 是否为黄金矩形？是，请予以证明；不是，请说明理由． 解：留下的矩形 DCGF 是黄金矩形． 理由如下： ∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB＝DC＝AD．
又∵AABF＝ 52－1， ∴AADF＝ 52－1.
即点 D 是线段 AF 的黄金分割点，FADD＝ 52－1. ∴FCDD＝ 52－1. ∴矩形 DCGF 是黄金矩形．
示，则∠TBJ＝13∠DBC．∵四边形 ABCD 为正方形，∴∠DBC＝45°.∴∠TBJ＝15°.由折叠性质，
得 BH＝HT，∴∠TBJ＝∠HTB＝15°.∴∠THJ＝30°.设 BC＝4，则 BE＝1.∵将正方形 ABCD 对 折，折痕记为 MN，再将矩形 MBCN 对折，折痕记为 EF，TJ⊥BC，∴四边形 EBJT 为矩形．∴TJ ＝BE＝1.在 Rt△THJ 中，∠THJ＝30°，∴HT＝2TJ＝2，HJ＝cos 30°·HT＝ 23×2＝ 3.∴BJ ＝BH＋HJ＝HT＋HJ＝2＋ 3，tan∠TBJ＝BTJJ＝2＋1 3＝2－ 3.即 tan 15°＝2－ 3.
三等分角教案
数学活动—三等分角教案教学任务分析教学流程安排教学过程设计一、课题引入：尺规作图三等分角是古希腊数学的三大难题之一，而如今数学上已证实了这个问题无解（借助坐标系可证明60°角不可以用尺规作图三等分）.若将条件放宽，可以将一给定角三等分. 例如通过折纸的方法，或使用其它工具，或者可以配合其他曲线使用.尺规作图三等分任意角是古希腊几何作图三大难题之一，通过史料介绍，可以激发学生的好奇心和探究欲.二、 课题探究问题1：如何三等分直角？1. 量角器2. 含30°角的三角尺3. 折纸操作步骤：（1） 长方形纸片命名为ABCD ；（2） 将纸片对折，使得AD 与BC 重合，折痕为EF ；（3） 翻折左上角，使折痕通过点B ，且点A 落在EF 上，折痕记为BN ；（4） △ABM 为以长方形的宽为一边的等边三角形，射线BM ，BN即为∠ABC 的三等分线.小结：你能概括一下数学活动的过程吗？希望学生通过问题1的解决，了解用折纸的方法解决问题的原理，以及思路：折纸的原理就是全等变换，另外，折之前先通过草图分析点或线的性质，进而折出相应的点或线.同时，经历观察思考、动手操作、实践检验和推理证明的数学活动过程，积累数学活动经验.动手操作是难点，给学生留出足够的动手时间.证明过程中用到本章所学全等的相关知识，增强应用意识.导入：其它行业用到的工具. 问题2：勾尺三等分任意锐角 阅读材料：勾尺的直角顶点为P ，“宽臂”的宽度．．=PQ=QR=RS ，勾尺的一边为MN ，且满足M ，N ，Q 三点共线（所以PQ ⊥MN ）． （1）请根据下面的操作步骤，利用手中的勾尺三等分任意锐角ABC ∠.第一步：画直线DE 使DE ∥BC ，且这两条平行线的距离等于PQ ；第二步：移动勾尺到合适位置，使其顶点P 落在DE 上，使勾尺的MN 边经过点B ，同时让点R 落在ABC ∠的BA 边上；第三步：标记此时点Q 和点P 所在位置，作射线BQ 和射线BP ．BAC（2）证明ABC ∠的三等分线是射线BQ 和射线BP ．问题2的导入，让学生了解不同行业运用工具解决问题，让学生有意识设计工具解决问题，增强应用意识. 通过阅读材料，完成操作过程，培养学生的阅读理解能力.动手操作依然是难点，通过操作勾尺，提高动手操作能力.组内互助，完成操作过程. 在帮助同伴的同时，体验成功的乐趣，收获更加深刻的理解. 最后，运用本章所学的全等及相关知识给出证明，一方面，发展学生严谨的逻辑思维；另一方面，增强学生的应用意识.。
尺规三平分角,角三等分
三等分角、三平分角1、废话部分先说明我没有破解，但是有很多很接近的作图方法，在这里都写出来，希望接下来有共同兴趣的人可以少一点的弯路。
因为这方面的书籍和讯息都很少，我的想法不知道会不会和以前的人的想法重合 另一个就是，利用双曲线的这种方法可以解决任意角度（︒︒360~0），相比我知道的几种工具解决三等分的办法是便捷了许多另外就是由这个三等分衍生出来的好多概念在以后应该会有价值，就不知道是多少年后， 最后对于想深入研究的人我奉劝一句|“放弃吧，很费脑细胞还有时间的”2、双曲线的由来取任意一个角度每一个角度，以顶点为圆心，以任意长度画圆，被这个角度的两条边截出一段弧这段弧会根据圆半径的长短，弧长会相应变化，但是圆心角是不会变化的我们只要三等分弧AB ，就能等到AOB ∠的三平分角，这点不证明把A 、B 为两点连接直线，从圆心O 点作直线AB 的垂线，我们会得到一个类似直角坐标系的图形（可能有人在这里要彪了，你这是要利用直角坐标系，不是的哈，乖乖看下去，我只如果A、B间距是固定的，随着圆心在垂线DE上下运动，我们就能得到任意一个角度我用几何画板作图，大家可以学一下这个软件，毕竟手工作图误差是很大的对于这个任意角度，我们反推，在已知弧AB的两个三等分点的情况下，得到三平分点随着圆心上下移动的轨迹这个是一条栓曲线的一部分图像，接下来我给出证明把两个三平分点与点A 、B 连接，我们会得到一个等腰梯形，并且线段AF=FG=GB因为F 、G 点事三平分点，GOB FOG AOF ∠=∠=∠,点A 、F 、G 、B 在同一圆上，所以AF=FG=GB接下来是证明线段FG 平行AB ，弧AF=弧GB （因为FG 是三平分点），所以线段FG 平行于AB ，线段FG 也是垂直于DE 的直线DE 垂直于AB ，FG 平行于AB ，又DE 平分线段AB ，所以直线DF 也是FOG ∠的平分线，最主要的，我们要得到线段HG=21GB ， FG=GB （相等角在同一个圆上所对应的弦是相等的），DE 平分线段FG , ∴ HG=21 FG=21GB ∴HG=21GBHG=21GB 圆心O 是直线DE 上任一点，恒有HG=21GB ，这个符合双曲线的第二个定义：平面内到一个定点B 和一条直线DF 的距离的比是常数e=2，e 〉1时的动点曲线轨迹叫做双曲线，∴∠AOB 的之中右边的三等分点的轨迹是一条双曲线，同理得证左边的三等分点也是一条双曲线3、接下来是推理出双曲线的解析式，求出解析式112422=-y x当∠AOB 是零度的时候, AB 的长度不随着圆点O 的变动而变动∴零度的弧就是与线段AB 重合，三等分点如图所示为i ，i 同时是线段AB 的三等分点，同时也是三等分点轨迹与线段AB 的轨迹的交点和双曲线的顶点之一设直线AB 与直线DE 的交点是j,假设线段ji 是一个距离单位，那么根据数量关系就有线段AB=6ji, iB=2ji B 点事双曲线的一个焦点我们假设双曲线的解析式是12222=-by a x ， 222c b a =+，原点到双曲线顶点的距离是a,原点到焦点的距离是c, iB=c-a=2ij 我们已经把ij 设为基本距离单位，∴c-a=2离心率e=ac =2 联立方程⎪⎩⎪⎨⎧==-22ac a c 解得a=2,c=4, 222c b a =+ ∴b=32所以双曲线的方程式112422=-y x上边的是繁琐的一些证明，无非我们要得到的就是三等分点的轨迹是双曲线，要得到这条双曲线的相关的一些规律，希望这些规律能够在你尺规作图三等分角的时候有所帮助，现在我把我掌握的一些好玩的规律给大家介绍介绍。
第1部分 第5章 数学文化和数学史(五)
根据上述叙述完成下题： (1)若MN＝4. ①图3中AB＝ 2 5 ； ②图4中的黄金矩形为 BCDE ．
【提示】①由折叠，得BF＝12BM＝12MN＝2，在Rt△ABF中，AF＝MN＝4，∴AB
＝
AF2＋BF2 ＝2
5 .②∵AD＝AB＝2
5 ，∴CD＝AD－AC＝2(
5
－1)．∴
CD BC
＝
∵AQ⊥BD， ∴OA＝OQ. ∴四边形ADQB是平行四边形．
∵AB＝AD，
∴四边形ADQB是菱形．
∴AB＝BQ＝a. 根据勾股定理，得AB2＝BF2＋AF2， ∴a2＝BF2＋(2BF)2.
∴BF＝ 55a.
∴FQ＝BF＋BQ＝
55a＋a＝1＋
55a，AF＝2BF＝2
5
5 a.
根据勾股定理，得AQ2＝FQ2＋AF2＝1＋ 55a2＋2 5 5a2＝25＋5 5a2. ∵AQ·BD＝c， ∴BD＝AcQ. ∵AQ＋BD＝b， ∴AQ＋AcQ＝b. ∴AQ2＋AcQ2 2＝b2－2c.
最佳的视觉美感，都采取了黄金矩形的设计，如：古希腊时期的巴特农神庙、法国的
巴黎圣母院、名画《蒙娜丽莎》外相框等．某数学兴趣小组通过下列操作得到黄金矩
形，将一矩形纸片按图1－图4方式折叠：
图1
图2
图3
图4
第一步：在矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线AB，并将AB折到图3中所示的AD处； 第四步：展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥ND，则图4中就会出现黄金 矩形．
解：留下的矩形DCGF是黄金矩形．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
折纸作三等分角证明
折纸作三等分角证明一、前言折纸是一种有趣的手工艺，它可以用简单的纸张和折叠方式创造出各种形状和图案。
其中，三等分角是一个比较有趣的主题，许多人都想知道如何用折纸来证明三等分角。
本文将介绍如何用折纸作三等分角的证明方法。
二、基础知识在开始讲解如何用折纸作三等分角之前，我们需要了解一些基础知识。
1. 什么是三等分角？三等分角指将一个角度平均分成三份，每份大小相等的情况。
将60度的角度平均分为3份，则每份为20度。
2. 折纸中常用的术语在折纸中，有一些常用的术语需要了解：① 折线：指在纸张上画出来的线段，表示需要将纸张沿着该线段进行折叠。
② 折痕：指由于沿着折线进行折叠而产生的痕迹。
③ 点：指在纸张上画出来的点，表示需要将两条折线对齐并重合在该点处。
④ 角：指由两条相交的直线所形成的空间部分。
三、证明方法下面将介绍两种用折纸作三等分角的证明方法。
1. 利用正五边形我们需要准备一个正五边形。
将正五边形的一个顶点对折到对边的中点处，并将其压平，得到一个三角形。
接下来，将该三角形的底边向内折叠，使其与上方的两条线段重合，得到一个新的三角形。
再次将该三角形的底边向内折叠，使其与上方的两条线段重合，得到一个更小的三角形。
重复以上步骤直至无法再次折叠为止。
最后得到的三角形所对应的角度就是原来正五边形每个顶点所对应的角度除以3。
由于正五边形每个顶点所对应的角度为360度/5=72度，因此每个顶点所对应的角度除以3为24度。
因此我们成功地用折纸作出了24度角，即实现了三等分角。
2. 利用黄金比例另一种证明方法是利用黄金比例。
在一张长宽比为黄金比例（即1：1.618）的纸张上画出一条线段AB，并在该线段上取一点C。
接下来，在纸张上画出一条与线段AB垂直的线段DE，并让其与线段AB相交于点F。
将纸张沿着线段AF折叠，使点C和点D重合。
此时，纸张上的线段BF就是原来角度的三等分线。
为了证明这个结论，我们可以利用黄金比例的性质。
折三等分的方法-概述说明以及解释
折三等分的方法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在日常生活和工作中，我们经常会遇到需要将一段线段等分成三等分的情况，例如在制作手工艺品、建筑设计或数学问题中。
因此，掌握折三等分的方法具有重要的实用意义。
本文将介绍传统方法、利用几何原理的方法和数学推导的方法三种折三等分的方法，帮助读者更好地理解和掌握这一技巧。
通过深入探讨这三种方法，不仅可以拓展我们的思维视野，还可以应用到实际生活和工作中，提高工作效率和解决问题的能力。
1.2 文章结构本文将分为三个部分来讨论折三等分的方法。
首先，我们将介绍传统的折叠方法，即如何通过简单的折叠方式将一段线段折成三等分。
然后，我们将探讨利用几何原理的方法，通过一定的几何知识来实现折三等分。
最后，我们将介绍数学推导的方法，通过数学计算来实现折三等分。
通过这三个部分的介绍，读者将了解到不同的折三等分方法，并能够根据自己的需求选择合适的方法来实现折三等分。
1.3 目的:本文的目的是探讨如何将一条线段折成三等分的方法，通过对传统方法、利用几何原理的方法和数学推导的方法进行对比和分析，希望能够提供读者多种方式来解决这一常见问题。
同时，通过深入研究折三等分的方法，可以帮助读者更加深入理解几何学和数学知识，并在实际生活中应用这些知识。
最终，希望读者能够通过本文对折三等分的方法有一个全面的了解，为解决类似问题提供更多思路和方法。
2.正文2.1 传统方法：在传统方法中，折三等分一条线段的常用方法是使用折纸的方式。
具体步骤如下：1. 在一张纸上画一条边长为a的线段，表示被折叠的线段。
2. 将纸对折，确保线段的一个端点与折痕上的交点对齐。
3. 从线段的另一个端点开始，利用折纸的方式将线段依次三等分。
4. 展开纸，即可得到线段被三等分的点的位置。
这种传统方法比较简单易懂，但是需要纸张和尺子等辅助工具，操作相对繁琐。
在实际应用中，为了更精确地进行三等分，还可以借助工具如尺规等几何仪器来帮助完成操作。
有关三等分角的综述
有关三等分角的综述作者：孙兴波来源：《中学教学参考·理科版》2010年第06期三等分角是历史最为长久、流传最为广泛的一个几何作图问题.所谓三等分角问题,就是说任意给定一个角,作图工具仅限于直尺和圆规,问能不能将这个角三等分.一、简单说明三等分角是不可能的下面我们给出三等分角问题的代数方程:设已知角的三分之一为α,则已知角的为3α,我们取它的余弦(或正弦).根据平面三角学的三倍角公式有cos3α=4cos3α-3cosα.令2cos3α=m,2cosα=x,我们得到:x2-3x-m=0.容易看到,这就是三等分角问题的代数方程,这个方程的根x,一旦能用尺规作图作出来,则∠α的大小就可以用尺规作出来.然而,这个代数方程对于任意给定的已知角,它的根x并不能表示成“可作图几何量”,因此三等分角问题用尺规作图法是不能解决的.二、解决方法正是因为这个用平面解析几何无法解决,但又看似“简单”的问题,就使得许多数学家和业余数学爱好者不断地研究它,希望能够解决它.而对这个问题的研究只能沿如下两个方面进行:求近似的作图方法和借助其他的作图工具.(一)求近似的作图方法(这就要求有较高的精确度)1952年,德国画家杜勒(Albrecht.Durer)提出“三等分角”的一个近似解法:给定∠AOB,以O为圆心,OA为半径作弧得扇形OAB;在AB上取点C,使AC∶BC=2∶1;取点E,使BE=BD;点F为EC的三等分点,EF∶FC=1∶2;在圆弧上取点G,使BG=BF,则∠BOG≈13∠AOB.以∠BOG作为∠AOB的三等分角近似程度有多大呢?不妨设OA=1,∠AOB=3α,则AB=2sin32α,AC=23AB,BC=13AB.故AC•BC=29AB2=89sin232α.延长DC交圆O于D′,则CD′=CD+2cos32α.由圆幂定理得CD•CD′=AC•BC,即CD(CD+2cos32α)=89sin232α.CD=cos232α+89sin232α-cos32α.=43sin232α+2cos232α-2cos32αcos232α+89sin232α.BG=BF=BC+23CE=BC+23(BE-BC)=13BC+23BE.设∠BOG=β,则sinβ2=BG/2=BC/6+BE/3-23sin232a-2cos3a21-三等分中的误差随着∠AOB的增大而增大.但是,对于60度角大约只差1″,对于90度角大约只差18″.(二)突破作图工具的限制,借助其他的作图工具1.用新的思想方法(1)尼科梅德斯的蚌线构造一条蚌线要从一条直线L和一点P开始.过P画射线与L相交.在每条这样的射线上,以L为界向外截出一段固定的长度a并取点.那么这些点的轨迹便形成蚌线.蚌线的极坐标方程是:r=a+bsecθ.三等分已知角P可采用如下办法:取∠P为直角三角形△QPR的一个锐角.以P为极点,QR 为固定线L画一条蚌线,使得它由L向外截出的固定长度等于斜边长PQ的两倍2h.过R点作RS⊥QR并交蚌线于S点.现∠QPT即为∠QPR的三分之一(T为PS与QR的交点).证明:令M为TS的中点,则RM=h,这是因为△SRT为直角三角形,其斜边中点到各顶点等距离.现因MS=MR=h,所以∠1=∠2=k°.而∠3是△SMR的一个外角,从而∠3=2k°.又因MR=PR=h,又有∠3=∠4=2k°.∵PQ与RS共面,且同垂直于QR,∴PQ∥RS.∴∠2=∠5=k°.这样一来,∠QPR=3k°,而13∠QPR=k°=∠5.由此,∠QPR被三等分.(2)希皮亚斯(Hippias,约公元前5世纪)的割圆曲线设ABCD是正方形,弧BED是以A为圆心的四分之一圆弧,如果圆的半径从AB位置,同时以匀速绕A转动到AD,同时直线BC也以匀速向AD位置作平行移动,转动的半径和作平行移动的直线最终都同时和AD相重合.它们的交点的轨迹(如图中的曲线BFNG)就称为割圆曲线.它显然有以下性质:∠BAD∠EAD=它的极坐标方程为:r=2θa/(πsinθ)(a为正方形的边长).设已知角为∠DAX,以顶角A为圆心,在正方形ABCD内作圆弧BD,并在圆弧内作割圆曲线BFG,设AX交割圆曲线于F.将FH三等分,使PH=13FH,作PN∥AD,交割圆曲线于N,过A点作直线AN,交圆弧BD于M.又作NK垂直AD于K.因为所以即∠DAM=13∠DAX.除这两种以外还其他的很多方法.但值得注意的是希腊数学家都是从运动的观点来认识这两条曲线的.2.改变机械工具阿基米德的滑动传杆装置:假设我们要三等分的角为∠AOB,如图,延长∠AOB的边AO,令AO表示以∠AOB的顶点O 为圆心的圆的半径.∵∠AOB是△OBD的外角,∴z=y+x.同理,∠BCO是△COD的外角,∴x=y+y,即z=3y.由此,y是∠AOB大小的13,从而∠AOB已被三等分.值得注意的是,无论是新的想法,还是新的工具,他们都有一个非常重要的共同点:都是从运动的观点来考虑问题、分析问题、解决问题.这一点思想正是笛卡尔《解析几何学》的主要思想(方程与几何图形相结合起来,从运动的观点看).参考文献[1](美)T.帕帕斯著,张远南,张昶译.数学趣闻集锦[M].上海:上海教育出版社,1998.[2]张卿.妙趣横生的数学难题[M].天津:天津人民出版社,1980.11.[3]王志雄.数学美食城[M].北京:民主与建设出版社,2000.1.[4]袁小明,胡炳生,周焕山.数学思想发展简史[M].上海:上海出版社,1991.[5](美)H.伊夫斯著,欧阳绛译.数学史概论[M].太原:山西人民出版社,1986.3.(责任编辑金铃)。
小纸船的梦将一张长方形的纸对折
小纸船的梦-将一张长方形的纸对折正方形折纸一边三等分方法的探究上海中学数学・２０１４年第１２期正方形折纸一边三等分方法的探究２００２３４上海师范大学数理学院陆新生折纸是一种许多人熟悉的活动，在幼儿园，教师就会经常教孩子们折各种东西．但笔者讨论的不是如何折某个物体，而是折纸一边的三等分折法．将折纸的一边二等分、四等分都是比较容易做到的，也容易得出理论上的精确折法，但将一边三等分就不那么容易了，通常人们会先将纸卷起，形成三层，再慢慢调整，当认为调整到位时，将纸折平，这样就能将纸的一边三等分，但这种方法是近似的、不精确的．近些年，经过许多人的努力，已经找到了多种将正方形折纸一边三等分的精确折法，最有名的是由日本学者芳贺和夫发现的三种折法，现在被学界称之为芳贺折纸三定理．笔者讨论各种三等分折法，分析其教育价值．１芳贺折纸三定理１．１第一定理芳贺折纸第一定理的主要内容：如图１，Ｅ为正方形折纸ＡＢＣＤ一边ＡＢ的中点，将纸的右下角向上翻折，使点Ｃ与点Ｅ重合并将纸折平，底边ＣＤ翻折至Ｅｊ的位置与折纸左边相交于点Ｈ，则Ｈ为ＡＤ的三等分点，即ＡＨ：ＨＤ一！：１不妨设ＢＡ—ＢＣ一１，Ｌ—姜一ＢＦ—ａ，则ＢＥ一１／２，Ｅ‘Ｆ＼一ＦＣ＝１一ａ．由勾股定理１ｇ＼、、２／？Ｆ得ｎ２＋ｆ寺１一２．＼厶，Ｊ，／７１ｔ，７，７解之得口一３／８，ＥＦ—ＣＦ，“—５／８．’ｆｊ川一利用△ＡＨＥ、△ＢＥＦ与△ＪＨＧ的相似关系可以一…一一…一“－４｝｜ｌ，、求得ＡＨ＝２／３．当然也可以方便地求得ＥＨ一５／６，Ｈｊ一１／６，ＧＪ一１／８．ＨＧ一５／２４．１．２第二定理芳贺折纸第二定理的主要内容：如图２，Ｅ为正方形折纸ＡＢＣＤ一边ＡＤ的中点，沿连接Ｂ、Ｅ两点的直线将折纸翻折，点Ａ翻折至Ｆ点，若ＥＦ的延长线交ＣＤ边于Ｇ点，则ＤＧ：ＧＣ一２：１，即Ｇ为ＣＤ的一个三等分点．用千篇一律的方式加以巩固，不仅学生容易生厌，同时也会由于问题处在同一层次，无法激发学生进一步探究的热情．不同的知识之间有时具有某种共性，通过合情推理中的类比手段，可以打开学生设计问题的思路．从活动ｌ的问题开放，到活动２的条件、结论全开放，一步一步解放学生的思维，帮助学生体会设计问题的乐趣，提高学生的学习兴趣．平行四边形的边和角是两种不同的元素，类比“边”，设计有关“角”的问题，激发了学生的思维广度．２．３猜想可能结论，设计问题合情推理的核心是猜想，但是猜想不是空想，它必须建立在确定的事实基础之上，结合与之相关的定理知识，作出合乎情理的判断．因此，它是有本之木，不是无源之水．活动３第问在简单图形中增加一条线段，图形的变化，导致新结论的出现，从而顺理成章地引发学生的猜想，同时实现了从计算题到证明题的自然过渡．第问再从证明题到计算题，使得学生对几何中的两种常见题型有了全面的了解，拓宽了知识的应用模式．２．４动手实验操作。
等边三角形三等分方法
等边三角形三等分方法嘿，大家知道不，要把一个等边三角形三等分，这可不是个简单事儿呢！但别着急，且听我慢慢道来。
咱先想想啊，这等边三角形，三边相等，三个角也都相等，都是 60 度。
那怎么才能把它三等分呢？有一种方法呢，就是从一个顶点向对边引一条线。
哎呀，就好像你要把一块蛋糕平均分给三个人，你得从中间切一刀一样。
但是这一刀得切得恰到好处，不能偏了也不能歪了。
那怎么才能找到这个恰到好处的位置呢？这可得好好琢磨琢磨。
你可以先在这个等边三角形的一条边上，找一个中点，然后把这个中点和相对的顶点连起来。
嘿，这就出现了一条中线。
这条中线可是很重要的哦，它把这个等边三角形分成了两个面积相等的三角形。
那接下来怎么办呢？再从另外一个顶点向这条中线引一条垂线呀！这条垂线和中线的交点，就是我们要找的那个三等分点啦！是不是很神奇？还有一种方法呢，就是利用角度。
我们都知道等边三角形的每个角是 60 度，那我们能不能找到一个角度是 20 度的线呢？如果能找到，那不就可以把 60 度的角分成三个 20 度啦！哈哈，说起来简单，做起来可不容易哦。
你可以试着用圆规和直尺来画。
先画一个圆，然后以这个等边三角形的一个顶点为圆心，以这个顶点到对边中点的距离为半径画弧，交对边于一点。
再以这个点为圆心，同样的半径画弧，交原来的弧于另一点。
连接这个顶点和这两个交点，就得到了两条线，这两条线和原来的边所形成的角就是 20 度啦！这样不就把这个角三等分了嘛。
哎呀呀，是不是有点复杂？不过没关系，多试试就会啦！想想看，如果连一个等边三角形都搞不定，那还怎么去面对更复杂的图形呢？这就好像生活中的困难一样，不能因为难就退缩呀，得鼓起勇气去挑战，去尝试。
总之呢，把等边三角形三等分的方法有很多，就看你能不能找到最适合自己的那一种。
就像人生的道路也有很多条，你得找到最适合自己走的那一条。
大家都加油哦，相信你们一定能行！。
尺规三等分角是什么
尺规作图三等分角是在公元前五世纪由古希腊人提出来的难题，该命题已经被数学家伽罗瓦用《近世代数》和《群论》证明是不可能的。
该问题的完整叙述为：在只用圆规及一把没有刻度的直尺将一个给定角三等分。
在尺规作图（尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图）的前提下，此题无解。
三等分角大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，它和“立方倍积问题”、“化圆为方问题”一起被称为“古代三大几何难题”。
两千多年来，从初学几何的青少年到经验丰富的学者，数以万计的人都曾经研究过“三等分角问题”，希腊数学家阿基米德(Archimedes，前287-前212年)曾用线条作图法宣称解决了“三等分角问题”；帕普斯(Pappus，约公元300年)在它有独创性的名著中曾证明用一固定双曲线也能解“三等分角问题”：希腊数学家尼科梅达斯(Nicomedes．公元前二世纪)称他的“蚌线法”也可三等分一个角，直至1837年，法国数学家旺策尔(Wantzel，pierrela urene，1814-1848)才用代数的方法证明了尺规作图不可能(任意角三等分)。
三角形的叠纸方法
三角形的叠纸方法
三角形的叠纸方法是一种非常有趣的手工活动，它不仅可以锻炼我们的手眼协调能力，还可以培养我们对几何形体的感性认识。
下面我将为大家介绍一下三角形的叠纸方法。
首先，我们需要准备一张正方形的纸张。
将其对角线折叠，然后再将其展开。
这样就会在中心处留下一个折痕。
接着，将左上角和右下角向中心处折叠，使得它们两个边缘与中心折痕重合。
然后再将右上角和左下角也向中心处折叠，并且使得它们两个边缘与中心折痕重合。
现在我们已经得到了一个小三角形。
接下来，我们需要将这个小三角形沿着中心线对称地复制出来。
具体方法是将整个纸张沿着中心线对折，并且使得两侧完全重合。
然后再将左边的小三角形向右移动，并且使得它们两个底部的边缘与中心线重合。
最后再将右边的小三角形向左移动，并且使得它们两个底部的边缘与中心线重合。
这样我们就得到了一个大三角形。
如果我们想要得到更多的小三角形，可以继续将大三角形按照上述方法进行复制和移动。
最后，我们可以得到一个由许多小三角形组成的大图案。
总的来说，三角形的叠纸方法是一种简单而有趣的手工活动。
通过这种方法，我们可以锻炼我们的手眼协调能力，同时也可以培养我们对几何形体的感性认识。
尺规三等分角是什么意思
尺规三等分角是什么意思
1、把一个角用2条线将它3等分，那么那两条线就是三等分线。
三等分角线是可以用来三等分任意角的曲线。
若只用标准的尺规作图，不配合曲线或是有刻度的直尺，“三等分一个已知角”在历史上已证明是尺规作图所不能解决的问题，但仅用尺规作出某一个三角形，并作出各角的三等分角线是可以做到的。
2、三等分角线（Trisectrix）是可以用来三等分任意角的曲线。
若只用标准的尺规作图，不配合曲线或是有刻度的直尺，“三等分一个已知角”在历史上已证明是尺规作图所不能解决的问题，但仅用尺规作出某一个三角形，并作出各角的三等分角线是可以做到的。
有许多的曲线可以作为三等分角的辅助，而进行三等分角的方式也各有不同。