第4章-等概率整群抽样和多阶段抽样

i 1 n n i 1 i
n
yi
ˆ) N v(Y
(y (1 f )
M i y )2
n n 1 ˆ ) 687.8 26.2(万公斤) s(Y
687.8
评价：比率估计量将 M i 作为辅助变量引入估计，其估 计方差取决于群均值 Yi 的差异。Yi 的差异比 Yi 的差异 要稳定，所以比率估计比前一种方法获得更好的估计效 果。但比率估计量是有偏的，适合n比较大的情形。
（1）抽样框编制得以简化 （2）实施调查便利，节省费用
（3）对某些特殊结构的总体却有好的估计效果 （4）抽样误差较大(可通过增大样本量的方法 弥补抽样精度的损失)。
4.1.3 群的划分
大致可分为两类
1. 2.
根据行政或地域形成的群体 调查人员人为确定的
分群的原则可用方差分析原理说明： 群内差异尽可能大，群间差异尽可能小
2
评价：和 ( y yM ) 更好的估计效果。
i 1 i i
n
2
2 ˆ ( y Rx ) i 相比，i 1 i 更小，因而有 n
4.3 等概率两阶段抽样
什么是多阶段抽样？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
分多个阶段抽到最终接受调查的样本。
初级单元（PSU）----Primary Sampling Unit 二级单元 (SSU)----Second-stage Sampling Unit 三级单元（TSU）----Third-stage Sampling Unit 最终单元 (USU)----Ultimate Sampling Unit

分别采用几种方法估计
n N ˆ y 33 (22.0 Y i n i 1 10 1 n y yi 25.71 n i 1
（1）等概抽样，无偏估计
23.6) 848.43
2 N (1 f ) ˆ v(Y ) n
2 ( y y ) i i 1
n






简单随机抽样的方差公式为
1 f 2 Vsrs ( y ) S nM

由此可计算出等群抽样的设计效应为
V ( y) deff 1 (M 1) Vsrs ( y )
整群抽样的估计效率，与群内相关系数 的关系密切。
当
1 时，deff＝M 当 0 时，deff＝1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 合计
15 18 26 14 20 28 21 19 31 17 209
22.0 22.8 30.2 21.7 25.3 31.2 26.0 20.5 33.8 23.6 257.1
800 780 1000 700 880 1100 850 800 1200 830 8940
（3）以种植面积为辅助变量的比率估计
已知：种植面积X＝30525（亩） 用种植面积为辅助变量
ˆX Y

n i 1 n
yi x

i 1 i
257.1 30525 877.85 8940
n
ˆ )2 ( y Rx N (1 f ) i i i 1 ˆ) v(Y 127.84 n n 1 ˆ ) 127.84 11.3(万公斤) s(Y
【例4.1】

在一次对某中学在校零花钱的调查中， 以宿舍作为群进行整群抽样。每个宿舍 都有 M=6名学生。用简单随机抽样在全 部N=315间宿舍中抽取n=8个宿舍。全 部48个学生上周每人的零花钱 yij 及相关 计算数据如表4-2所示。试估计该学校学 生平均每周的零花钱 Y ，并给出其95% 的置信区间。
Mi
估计量的方差分别是
1 f nM 2
2 0
V ( y)
(Y YM )
i 1 i i
N
2
N 1
2 2

1 f nM 2
N2
M
i 1
N
2 i
(Yi Y )2
N
N 1
(Y YM ) (1 f )
i 1 i i 2
ˆ) M V ( y) N M V ( y) V (Y N
2 b
n M 1 2 s ( y y ) ij i n( M 1) i 1 j 1 2 w
【例4.2】
4.2.2 群规模不等时的估计
当群规模Mi不等时，有不同的抽取方法和估计方法。
（1）等概抽样，无偏估计
yi 思路：以群规模Mi为权数，乘以各群均值
，
得到群观察值总值yi，再将样本中n个群的群
代替
【例4.3】某县有33个乡，726个村，该年
度某种作物总种植面积30525亩，现采用
等概抽样随机抽出10个乡，要求估计全
县总产量，计算抽样误差。 调查资料如下：
样本乡 编号
村庄数 Mi
作物总产量（乡） yi（万公斤）
种植面积（乡） xi（亩）
yi yi M i
1.4667 1.2667 1.1615 1.55 1.265 1.1143 1.2381 1.079 1.0903 1.3882 ——
ˆ) v(Y
N
2
(y (1 f )
i 1
i
M i y )2
n
n 1
n n n N 2 (1 f ) 1 2 2 2 ( yi y M i 2 y M i yi ) n n 1 i 1 i 1 i 1
若 M 未知，可用样本群平均规模
m
M
n
n
i
当
群内方差为０
群内方差与总体方差相等 群间方差为０
为负时，deff<1

的取值范围是
1 ,1 M 1
群内相关系数也可由样本统计量
2 2 sb sw ˆ 2 2 sb ( M 1) sw
s ,s
2 w
2 b
估计
M n 2 s ( y y ) i n 1 i 1
n M ˆ 1 n Y y yij nM yi n i 1 i 1 j 1
ˆ NMy Y
i 1 j 1
n
M
Nyij n

定理 4.1： y 是 Y 的无偏估计，即
E y Y

定理 4.2：
y 的方差为：
N 1 f 1 V ( y) Yi Y n N 1 i 1
4.1.1 定义

整群抽样（ cluster sampling ）是将总体 划分为若干群，然后以群（cluster）为抽 样单元，从总体中随机抽取一部分群，对 被选群内的所有单元进行调查的一种抽样 技术。
2014-10-6
3
例

欲估计某高校大学生拥有手机数量，大学共有40000 名学生，10000个宿舍（每个宿舍4名学生）。


2
1 f 2 Sb nM

定理 4.3： V ( y ) 的样本估计为： 1 f 2 v( y ) sb nM
ˆ NMy Y 2 2 ˆ V (Y ) V ( NMy ) N M V ( y )
2 2 ˆ v(Y ) N M v( y )
总体总值 的估计量 及其方差
4.1.4 群的规模

群的规模大，估计的精度差但费用省；
群的规模小，估计的精度可以提高但费用增 大；


群规模不宜过大

对于规模很大的群，通常需要采用多阶段抽样。
有群规模相等与不相等两种情况

4.1.5 符号说明
表 4.1
4.2 等概率整群抽样

4.2.1 群规模相等时的估计
群规模相同，均为M，则 Y 的估计量为：
总量估计的另一公式为
n N ˆ y Y i n i 1
估计量的方差为
ˆ) V (Y N2
(Y Y ) (1 f )
i 1 i
N
2
n
n
N 1
2 ( y y ) i i 1
它的无偏估计为
2 N (1 f ) ˆ) v(Y n
n 1
均值估计 y 的方差为
V ( y)
N
2
M ( Y Y ) Y Y ij i i i j
N 2 N N


2
2 M Yij Y 2 Yij Y Yik Y i j jk 2 2 ( NM 1) S ( M 1)( NM 1) S

2 (Yij Y )(Yik Y ) ( NM 1)(M 1) S 2
N M
用简单随机抽样方法抽取n个群，每个群内的M个 单元全部进入样本，则等群抽样均值估计量 y 的方 差可用群内相关系数近似表示
Yi Y 1 1 f i 1 V ( y) 2 V ( y) N 1 M nM 2 1 f ( NM 1) 2 S 1 M 1 2 n M ( N 1) 1 f 2 S 1 M 1 nM
第4章 等概率整群抽样和多阶 段抽样

由若干有联系的基本单元所组成的集合称为群。抽样时 抽取群，并对入选群的所有基本单元进行调查，这种方 法就是整群抽样。

当群规模比较大时，由于群内单元通常具有相似性，对 群内单元进行再抽样，这就是两阶段抽样，其中的群也 称为初级抽样单元，群内再抽样的单元称为二级抽样单 元。

在整群抽样中，被抽中群中的SSU全部 进入样本。但在很多情况下，群中单元 具有相似性，尤其在群比较大时，显然 没有必要调查PSU中的所有SSU，而是 在每个被抽中PSU中对SSU再抽取子样 本，这就是两阶段抽样。同样的道理，