抽样调查理论与方法 金勇进(第二版)第4章等概率整群抽样和多阶段抽样

Yˆ N n y 1

i 1 n
yi
33 10
( 2 2 .0 2 3 .6 ) 8 4 8 .4 3
n
y i 2 5 .7 1
i 1
v ( Yˆ )
N (1 f )
2

i 1
n
( yi y ) n 1
2
1 5 6 7 .9
n
ˆ s (Y )
•便于调查，节省费用 •避免了对小单元的过多调查造成的浪费； •不需要编制所有小单元的抽样框
多阶段抽样每一个阶段的抽样可以相同，也可以 不同，它通常与分层抽样、整群抽样、系统抽样 结合使用。
4.3.2 多阶段抽样估计量的均值和方差

定理4.4 对于两阶段抽样，有
ˆ ˆ E ( ) E 1 [ E 2 ( )]
N (1 f ) n

i 1
( yi M i y ) n 1
2
6 8 7 .8
6 8 7 .8 2 6 .2 ( 万 公 斤 )
评价：比率估计量将 M i 作为辅助变量引入估计，其估 计方差取决于群均值 Y 的差异。Y 的差异比 Y 的差异 要稳定，所以比率估计比前一种方法获得更好的估计效 果。但比率估计量是有偏的，适合n比较大的情形。
i i
i
（3）以种植面积为辅助变量的比率估计
已知：种植面积X＝30525（亩） 用种植面积为辅助变量
Yˆ X

n i 1 n i 1 2
yi xi

2 5 7 .1 8940
3 0 5 2 5 8 7 7 .8 5
2 ˆ ( yi R xi )
v ( Yˆ ) s ( Yˆ )
1567.9 39.6( 万 公 斤 )
评价：虽是无偏估计量，但方差估计与 y i 之 间的差异有关，适合于 y i 之间差异不大的整 群抽样。
（2 ） 等概抽样，比率估计
Yˆ M

t
n i 1 n i 1
yi
i

2
726
n
2 5 7 .1 209
8 9 3 .0 8
M
v ( Yˆ ) s ( Yˆ )
n
M
y ij
nM
1
n
n
yi
i 1
Yˆ N M y

i 1 j 1
n
M
N y ij n

定理 4.1：y 是
Y
的无偏估计，即
E y Y

定理 4.2：
V (y) 1 f n
y
的方差为：
1
N 1

i 1
N

Yi Y

2

1 f nM
Sb
2

定理 4.3： ( y ) 的样本估计为： V
整群抽样的效率分析
群内相关系数 表达式为：

E ( Y ij Y )( Y ik Y ) E ( Y ij Y )
2
上式中的分子为：
(Y
N
M
ij
Y )( Y ik Y )
NM ( M 1 ) 2
上式中的分母为：
(Y
N
M
ij
Y )
2
NM
NM 1 MN
第4章 等概率整群抽样和多阶 段抽样

由若干有联系的基本单元所组成的集合称为群。抽样时 抽取群，并对入选群的所有基本单元进行调查，这种方 法就是整群抽样。

当群规模比较大时，由于群内单元通常具有相似性，对 群内单元进行再抽样，这就是两阶段抽样，其中的群也 称为初级抽样单元，群内再抽样的单元称为二级抽样单 元。
【例4.2】
4.2.2 群规模不等时的估计
当群规模Mi不等时，有不同的抽取方法和估计方法。
（1）等概抽样，无偏估计 思路：以群规模Mi为权数，乘以各群均值 i y 总和平均，求得群总和均值 y ，再除以 ，
得到群观察值总值yi，再将样本中n个群的群

M
i 1 N
群平均规模
M N
i
估计公式为：
y

i 1
n
M i yi nM

1 nM

i 1
n
yi
y M

yN MN

Yˆ M
0
若 M 未知，可用样本群平均规模 n 代替

M
i
m n
总体总值Y的估计为
ˆ Y M0y
总量估计的另一公式为
Yˆ N n

i 1
n
yi
估计量的方差为
ˆ V (Y ) N (1 f )
15 18 26 14 20 28 21 19 31 17 209
22.0 22.8 30.2 21.7 25.3 31.2 26.0 20.5 33.8 23.6 257.1
800 780 1000 700 880 1100 850 800 1200 830 8940

分别采用几种方法估计
n
（1）等概抽样，无偏估计
N
M
2 i
(Y i Y )
2
N 1
V ( Yˆ ) M 0 V ( y ) N M V ( y )
2 2 2
N (1 f )
2

i 1
N
(Y i Y M i ) N 1
2
n
2

N (1 f ) n

i 1
N
M
2 i
(Y i Y )
2
N 1
ˆ V ( y ) 与 V (Y )

在整群抽样中，被抽中群中的SSU全部 进入样本。但在很多情况下，群中单元 具有相似性，尤其在群比较大时，显然 没有必要调查PSU中的所有SSU，而是 在每个被抽中PSU中对SSU再抽取子样 本，这就是两阶段抽样。同样的道理，
还可以有三阶段抽样、四阶段抽样等， 我们统称为多阶段抽样。
多阶段抽样特点
2
Y
i 1 2
N
2 i
Y

N 1 S 1 M 1
1 f n
( N M 1) M S
2 2
( N 1)

1 f nM
1 M 1
(Y
i N
N
i
Y )
2

i
N
M Y ij Y j
县总产量，计算抽样误差。 调查资料如下：
样本乡 编号
村庄数 Mi
作物总产量（乡） yi（万公斤）
种植面积（乡） xi（亩）
yi yi M
1.4667 1.2667 1.1615 1.55 1.265 1.1143 1.2381 1.079 1.0903 1.3882 ——
i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 合计
v( y ) 1 f nM
Yˆ NM y
2 2 V ( Yˆ ) V ( NM y ) N M V ( y )
sb
2
总体总值 的估计量 及其方差
ˆ ) N 2 M 2v( y ) v (Y
【例4.1】

在一次对某中学在校零花钱的调查中， 以宿舍作为群进行整群抽样。每个宿舍 都有M=6名学生。用简单随机抽样在全 部N=315间宿舍中抽取n=8个宿舍。全 部48个学生上周每人的零花钱 y ij 及相关 计算数据如表4-2所示。试估计该学校学 生平均每周的零花钱 Y ，并给出其95% 的置信区间。
群的规模小，估计的精度可以提高但费用增 大；


群规模不宜过大

对于规模很大的群，通常需要采用多阶段抽样。
有群规模相等与不相等两种情况

4.1.5 符号说明
表 4.1
4.2 等概率整群抽样

4.2.1 群规模相等时的估计
群规模相同，均为M，则 Y 的估计量为：
ˆ Y y

i 1 j 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ˆ ˆ ˆ V ( ) V1 [ E 2 ( )] E 1 [V 2 ( )]
E V 式中， 2 ，2 表示在固定初级单元时对第二阶段抽样 V 求均值和方差；E 1 ， 1 表示对第一阶段抽样求均值和 方差。
证明：
ˆ 记 E () ，
2 2 ˆ ˆ ˆ V ( ) E ( ) E 1 E 2 ( )
S
2
故 又可写为：
2
N
(Y
M
ij
Y )( Y ik Y )
2

( NM 1 )( M 1 ) S
用简单随机抽样方法抽取n个群，每个群内的M个 单元全部进入样本，则等群抽样均值估计量 y 的方 差可用群内相关系数近似表示
1 M
2
V (y)
V (y)
1 f nM
总体均值估计为

n i 1 n i 1
y
yi
i
M
这里辅助变量不是Xi而是群规模Mi 总体总量估计为
Yˆ M 0 y M

0
n i 1 n i 1
yi
i

M
估计量的方差分别是
1 f nM
2
(Y
i 1
N
i
YM i )
2
V (y)
N 1

1 f nM
2

i 1
2
(Y
i 1
N
i