上海昂立智立方数学高中 高一(秋季班) 高数—10秋—02—集合的运算—李新媛-学生版
上海昂立智立方数学高中 高一(秋季班) 高数—10秋—04—子集与推出关系—杨阳-学生版
1、子集与推出关系：设{}{}|,|A a a B b b αβ==具有性质具有性质，则 A B ⊆ 与 αβ⇒ 等价． 2、子集与推出关系的各种表述形式：已知集合{}{}|,|A a a B b b αβ==具有性质具有性质 （1）若A B ⊆，则α是β的充分条件； （2）若A B ⊂，则α是β的充分非必要条件； （3）若A B ⊇，则α是β的必要条件； （4）若A B ⊃，则α是β的必要非充分条件； （4）若A B =，则α是β的充要条件．3、推出关系具有传递性：若αβ⇒，βγ⇒，则αγ⇒，若αβ⇒，βα⇒，则αβ⇔，称α与β等价．设{}|A a a α=具有性质，{}|B b b β=具有性质，则集合A 、B 之间的关系与α、β之间的关系，可用下表表示：集合,A B 之间的关系α与β之间的推出关系 α是β的什么条件 原命题“若α，则β”的真假 逆命题“若β、则α”的真假A ⊂≠B αβ⇒，/βα⇒ 充分非必要条件 真命题 假命题 A ⊃≠Bβα⇒，/αβ⇒必要非充分条件 假命题 真命题 A B =αβ⇔充要条件真命题真命题子集与推出关系知识梳理,A B 不满足以上三种情况/αβ⇒，/βα⇒既非充分又非必要条件假命题 假命题一、子集与推出关系【例1】用“⊆”，“⊇”，“⇒”，“⇐”填空：（1）命题α：我是上海人 ；命题β：我是中国人，A =｛x ︱x 是上海人｝； B =｛x ︱x 是中国人｝．则命题α 命题β； A B ．（2）A =｛x ︱1x >｝；B =｛x ︱3x >｝，命题α：1x >；命题β：3x >．则A B ；命题α 命题β．【例2】试用子集与推出关系判断α是β（甲是乙）的什么条件： （1）α：2>x ；β：2≥x ； （2）α：21x =；β：1x =；（3）甲：220x y +=，乙：0,0x y ==；（4）设{2},{6}A x x B x x =>=<，甲：x A x B ∈∈或，乙：B A x I ∈．【例3】试用子集与推出关系来说明α是β的什么条件．（1）1:=x α，1:2=x β（2）:α正整数n 被5整除, :β正整数n 的个位数是5例题解析【例4】试用子集与推出关系来说明集合A 与B 的关系． （1）{}12A x x =是的约数， {}36B x x =是的约数 （2）{}1A x x =>，{}3B x x =>（3）{}A x x =是矩形，{}B x x =是有一个角为直角的平行四边形【例5】利用子集与推出关系的等价性，写出下列语句的相关条件． （1）写出31x -<<的充分条件； （2）写出31x -<<的必要条件； （3）写出31x -<<的充要条件．【例6】（1）设,x y R ∈，若α：220x y +=，β：0xy =， 则α是β的 条件． （2）设,x y R ∈，若α：,x y 都不为零，β：0xy >，则α是β的 条件． （3）设α：3a b +=，β：1a =且2b =，则α是β的 条件． （4）设α：0≠x 且0≠y ，β：0≠+y x ，则α是β的 条件．【例7】（1）设α：三角形中有一个角是直角，β：三角形的三边满足222AB BC AC +=,则α是β 的 条件．（2）“该平面图形是四边形”是“该平面图形是梯形”的 条件．【巩固训练】1．“2x =”是“2320x x -+=”的 条件．2．“2x ≥”是“2x >”的 条件．3．k 除以4余1，β：k 除以2余1，则α是β的 条件．4．α：是整数的12的数，β：与整数相差12的数，则α是β的 条件．5．设α：x 是奇数，β：x 被4除余1，则α是β的 条件．6．“0xy <”的一个充要条件是（ ）A .0x >B .0y <C .,x y 异号D .0,0x y =>7．设α：实数x 232x x +=，β:4x =-或1x =,则α是β的 条件．8．下列各式中，α是β的必要非充分条件的是（ ） （1）α：()()120x x -+=， β：2x =-（2）α：2b ac =，β：a b b c= （3）α：,a b 不都为偶数， β：a b +不为偶数 （4）α：1x =且2y =-， β：2xy =- A .(1)(2)(3) B .(1)(3)(4) C .(2)(4) D .(1)(3)二、子集与推出关系与集合、命题、充分条件与必要条件等综合应用【例8】设集合{03},{02}M x x N x x =<≤=<≤ ，那么“a M ∈”是“a N ∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【例9】若命题α是命题β的充要条件，命题β是命题γ的必要非充分条件，则命题γ是命题α的______条件．【例10】给定两个命题p ，q .若非p 是q 的必要而不充分条件，则p 是非q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例11】设:13,:124,x m x m m R αβ≤≤+≤≤+∈，α是β的充分条件，求m 的范围．【例12】设:23,:11,x x m x m m R αβ≤<≤->+∈或，α是β的充分条件，求m 的范围．【例13】若1122,,,a b a b R ∈，且都不为零，则“1122a b a b =”是“110a x b +>与220a x b +>解集相同”的（ ） A .充分非必要条件 B .必要非充分条件 C .充要条件 D .既非充分又非必要条件【例14】设2:60a a α+-=，β：10mb +=，若β是α的充分条件，求m 的值．【例15】设,m a R ∈，()()211f x x a x =+-+，()224mg x mx ax =++，若“对一切实数x ，()0f x >”是“对一切实数x ，()0g x >”的充分条件，求实数m 的取值范围．【巩固练习】1．设α：0(0)x a a <<>，β：102x a ≤-，若α是β的充分条件，求实数a 的取值范围．2．设{}2A x x =≥，{}B x x a =>，求满足B A ≠⊂的一个充分条件．3．设A 、B 、C 三个集合，A ⊂≠B 是A ⊂≠(B ∪C)的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知α：集合{}{}24P x x Q x x a ≠=-<<⊂=>，β：{}2a x x ∈≤-，则α与β的推出关系是（ ）A .αβ⇒B .αβ⇔C .βα⇒D .αβ≠>5．已知命题:14x α-≤≤，命题m x m -≤≤-13:β，且βα是的必要条件，求实数m 的取值范围．6．如果,,a b c 都是实数，那么p ：0ac <，是q ：关于x 的方程20ax bx c ++=有一个正根和一个负根的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件7．设,x y R ∈，求证：||||||x y x y +=+成立的充要条件是0xy ≥．1．在判断充分、必要等条件时，通常可以从两方面入手：方法一：直接用逻辑推理的方法进行推理；方法二：借助集合间的包含关系，利用集合思想解决数学中的条件问题．2．本节课，我们利用等价转化的思想把看似没有联系的子集、推出关系，通过集合间的包含关系联系了起来．设{}α具有性质a a A =，{}β具有性质b b B =，具体如下:(1)A B ⊆ ⇔α是β的充分条件； (2)A B ⊇ ⇔α是β的必要条件； (3)A B ≠⊂ ⇔α是β的充分非必要条件；(4)A B ≠⊃⇔α是β的必要非充分条件；(5)A B =⇔α是β的充要条件．反思总结1．若非空集合M N ⊂，则“a M ∈或a N ∈”是“a M N ∈⋂”的 条件．2． 一个整数的末位数字是2，是这个数能被2整除的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件3．p 是q 的充要条件的是：（ ）A ．p ：1a >，q ：二元一次方程组11x y ax y +=⎧⎨+=⎩有唯一解B ． p ：两条对角线互相垂直平分，q ：四边形是正方形C ．p ：325x +>，q ：325x --<-D ． p ：两个三角形相似，q ：两个三角形面积之比等于对应的高之比4．设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A⊆C ，B⊆∁U C”是“A∩B ＝∅”的( )A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件5． （1）“()200ax bx c a ++=≠有实根”是“0ac <”的_____________；（2）“ABC A B C '''△≌△”是“ABC A B C '''△∽△”的_____________．6．已知A 是B 的充分条件，B 是C 的充要条件，A ⌝是E 的充分条件，D 是C 是必要条件，则D 是E ⌝的_____________条件．7．设A ，B 是有限集，定义：d (A ，B )＝card(A ⊆B )－card(A ∩B )，其中card(A )表示有限集A 中元素的个数．命题①：对任意有限集A ，B ，“A ≠B ”是“d (A ，B )＞0”的充分必要条件；课后练习命题②：对任意有限集A ，B ，C ，d (A ，C )≤d (A ，B )＋d (B ，C )．( ) A ．命题①和命题②都成立 B ．命题①和命题②都不成立 C ．命题①成立，命题②不成立 D ．命题①不成立，命题②成立8． 判断下列集合A 与B 的关系．(1) A ＝{x | x 是12的约数}，B ＝{x | x 是36的约数}； (2) A ＝{x | x ＞3}，B ＝{x | x ＞5}；(3) A ＝{x | x 是矩形}，B ＝{x | x 是有一个角为直角的平行四边形}．9． 已知 A ＝{x | x 是等腰三角形}，B ＝{x | p (x )}，试确定一个集合B ，使A ⊆ B ．10．试用子集与推出的关系来说明α是β的什么条件． （1）:1x α=且2y = ； :3x y β+= （2）:0a b α+> ； :0,0a b β>> （3）:0xy α> ； :x y x y β+=+11． 设:14x α≤<，:x m β<，α是β的充分条件，求实数m 的取值范围．12． 设α，β是方程x 2－ax ＋b ＝0的两个实根，试分析a ＞2且b ＞1是两根α，β均大于1的什么条件？13．已知函数2)(bx ax x f -=（1）当0>b 时，若对任意R x ∈都有1)(≤x f 求证b a 2≤.（2）当0a >时，求证；对任意[]1)(,1,0≤∈x f x 的充要条件是b a b 21≤≤-.。
上海昂立智立方数学高中 高一(秋季班) 高数—10秋—02—集合的运算—李新媛-教师版
【例 5】已知集合 A x | 2x 6 0, x R, B x | x a, x R,C x | x 5 ，若
A (B C) x | 4 x 5 ，则实数 a 的值是
集，因为 B C ，则 C 共有 2m 2mn 个。
【例 15】已知 A= t t满足 x x2 2tx 4t 3 0 R , B t t满足 x x2 2tx 2t 0 ,其中 x,t
均为实数
(1) 求 A B ；
(2) 设 m 为实数， g(m) m2 3, 求 M m g(m) A B 。
（1）若 m 2 ，且 a N ，求 A B ； （2）若 m a2 ，且 a 0 时，是否存在这样的实数 a ，使得集合 A B 中仅有一个元素？若存 在，求出 a 的取值范围；若不存在，试说明你的理由．
【难度】★★
【答案】⑴0,1, 2,3 ；⑵ 2 1,1 ．
高一数学秋季课程
集合的运算（教师版）
建议利用韦达定理。
【 例 10 】 已 知 X 是 方 程 x2 px q 0 的 实 数 解 集 ， A={1,3,5,7,9},B={1,4,7,10}. 且
X A , X B X ,则 p+q=
．
【难度】★★ 【答案】26
【例
11】
A
x,
y
y3 x2
a 1, x,
y R, B
从而 B or{3}or{6}or{3, 6}
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集合的运算（教师版）
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专业 引领 共成长
当 B ， a2 4b 0 B {3} ，由-3 是方程 x2 ax b 0 的根且 0 ，a=6,b=9 B {6}，同理可得 a=-12，b=36 B {3, 6} ，a=-3,b=-18
上海昂立智立方数学高中 高一(秋季班) 高一新课-04-命题充要条件-打浦桥校区-学生版
一、课前引入：1、用“⇔⇐⇒,,”填空①某个数能被4整除________某个数是偶数；②两个角相等________两个角是对顶角；③三角形有两个内角相等________三角形是等腰三角形；④两个平面图形全等________两个图形面积相等；*⑤“xx22<”________“10<<x”；二、新课探知：1、四种命题形式及其相互关系:2、充分条件与必要条件：充分条件：若条件α可以使事件β成立，即βα⇒，称α是β的充分条件，或β的充分条件是α必要条件：若没有条件α则事件β不成立，即αβ⇒，称α是β的必要条件，或β的必要条件是α充要条件：对于事件A和B，若BA⇒，且AB⇒，即BA⇔，则称A是B的充要条件；3、集合与子集的推出关系：记条件p、结论q对应的集合分别为A、B，则：若BA⊆，等价于qp⇒，则p是q的充分条件；若BA⊇，等价于qp⇒，则p是q的必要条件；知识引入命题的充要条件与子集若B A =，则p 是q 的充要条件； 从集合的角度解释充分必要条件： 若集合P,Q 满足Q P ⊆，则p ：x ∈P ⇒q ：x ∈Q ，即x ∈P 是x ∈Q 的充分条件，x ∈Q 是x ∈P 的必要条件，用口诀可以记忆为“小充分大必要”。
一、命题的充要条件【例1】将题1中的题改写成：充分条件，必要条件、充要条件 ①某个数能被4整除是某个数是偶数的 ________； ②两个角相等是两个角是对顶角的________；③三角形有两个内角相等是三角形是等腰三角形的________； ④两个平面图形全等是两个图形面积相等的________； ⑤“x x 22<”是“10<<x ”的________； 【例2】:1、“四边形对角线相等”是“四边形是矩形”的( ).A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件2、“四边形是矩形”是“四边形的两组对边分别相等”的( ).A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件.C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件3、“四边形是矩形”是“四边形是正方形”的( ).A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件4、“四边形是正方形”是“四边形是矩形”的( ).A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件知识讲解及例题分析【例3】1、“整数的个位数是5”是“整数是5的倍数”的( ).A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件2、“整数是5的倍数”是“整数是25的倍数”( ).A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件.C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件【例4】试从①1=x ；②1-=x ；③0)3)(1)(1(=-+-x x x 中，选出适合下列条件者，用代号填空（1）12=x 是__________的充分条件； （2）12=x 是__________的必要条件；【巩固训练】1、对任意实数a 、b 、c ，在下列命题中，真命题是（ ）A ．“ac bc >”是“a b >”的必要条件B ．“ac bc =”是“a b =”的必要条件C ．“ac bc >”是“a b >”的充分条件D ．“ac bc =”是“a b =”的充分条件2、已知命题p ：40k -<<；命题q ：函数21y kx kx =--的值恒为负．则命题p 是命题q 成立的（ ）.A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件3、0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的（ ）.A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件.C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件4、已知a b c d ，，，为实数，且c d >．则“a b >”是“a c b d ->-”的（ ） .A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件5、命题232:x x x p =+是命题232:x x q =+的………………………………………………（ ）.A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件.C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件6、设,a b R ∈，则“21a b ab +>⎧⎨>⎩”是“1a >且1b >”的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件7、命题5:≠+y x p 是命题3:≠x q 或2≠y 的……………………………………………………（ ）.A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件.C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件8、给出以下四个条件：①0ab >；②0a >或0b >；③2a b +>；④0a >且0b >.其中可以作为“若,R a b ∈，则0a b +>”的一个充分而不必要条件的是__________.二、*充要条件的证明：①B A ⇒（充分性）②A B ⇒（必要性）【例5】已知是系数一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ，“042=-ac b ”是“方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根”的什么条件？为什么？【巩固训练】1、求证：直线l ：0=+-b y ax 经过两直线05:1=-+y x l 和2l ：0153=+-y x 交点的充要条件是“23=+b a ”.2、已知0≠ab ，求证：1=+b a 的充要条件是0))(1(22=+--+b ab a b a3、已知c b a ,,都是实数，证明：0<ac 是关于x 的方程02=++c bx ax 有一个正根和一个负根的充要条件三、*子集的推出关系【例6】、试用子集的推出关系来说明α是β的什么条件 （1）;1:,1:2==x x βα（2）:α正整数n 被5整除，:β正整数n 的个位数是5【例7】;,421:,31:R m m x m x ∈+≤≤+≤≤βαα是β的充分条件，求m 的取值范围.【巩固训练】1、命题“a b >”是命题“33a b >”……………………………………………………………………（ ）.A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件.C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件2、命题12:<<-x p 是命题1:<x q 或2>x ………………………………………………（ ）.A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件.C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件3、命题1>yx的一个充分不必要条件是……………………………………………………………（ ） .A y x > .B y x < .C 0>>y x .D 0<<x y4、“0x <”是“x a <”的充分非必要条件，则a 的取值范围是5、2<x 是24x <的……………………… ……………（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件6、若x R ∈，则“1x >”是“11x<”的 （ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件7、设集合}06|{2=-+=x x x A ，}01|{=+=mx x B ，则B 是A 的真子集的一个必要不充分条件是（ ）.A }31,21{-∈m .B }31,0{∈m.C}31,21,0{-∈m .D }1,31,21,0{-∈m8、已知集合3|{<=x x M 或}5>x ，}8|{≤≤=x a x P（1）求实数a 的取值范围，使它成为}85|{≤<=x x P M I 的充要条件；（2）求实数a 的一个值，使它成为}85|{≤<=x x P M I 的一个充分但不必要条件； （3）求实数a 的取值范围，使它成为}85|{≤<=x x P M I 的一个必要但不充分条件；1、充要条件：对于事件α和β，若βα⇒，且αβ⇒，即βα⇔，则称α是β的充要条件； 充分不必要：对于事件α和β，若βα⇒，且αβ，则称α是β的充分不必要条件； 必要不充分：对于事件α和β，若αβ⇒，且且αβ，则称α是β的必要不充分条件；2、集合与子集的推出关系：记条件p 、结论q 对应的集合分别为A 、B ，则： 若B A ⊆，等价于q p ⇒，则p 是q 的充分条件； 若B A ⊇，等价于q p ⇒，则p 是q 的必要条件； 若B A =，则p 是q 的充要条件；注意：证明α是β的充要条件：（1）充分性证明：βα⇒，（2）必要性证明：αβ⇒1．若非空集合MN ⊂，则“a M ∈或a N ∈”是“a M N ∈⋂”的 条件．【难度】★2． 一个整数的末位数字是2，是这个数能被2整除的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件【难度】★课后练习反思总结3．p 是q 的充要条件的是：（ ）A ．p ：1a >，q ：二元一次方程组11x y ax y +=⎧⎨+=⎩有唯一解 B ． p ：两条对角线互相垂直平分，q ：四边形是正方形 C ．p ：325x +>，q ：325x --<-D ．p ：两个三角形相似，q ：两个三角形面积之比等于对应的高之比【难度】★★4．设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A⊆C ，B⊆∁U C”是“A∩B ＝∅”的( )A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件【难度】★★5． （1）“()200ax bx c a ++=≠有实根”是“0ac <”的_____________；（2）“ABC A B C '''△≌△”是“ABC A B C '''△∽△”的_____________．【难度】★★6．已知A 是B 的充分条件，B 是C 的充要条件，A ⌝是E 的充分条件，D 是C 是必要条件，则D 是E ⌝的_____________条件．【难度】★★7．设A ，B 是有限集，定义：d (A ，B )＝card(A ⊆B )－card(A ∩B )，其中card(A )表示有限集A 中元素的个数．命题⊆：对任意有限集A ，B ，“A ≠B ”是“d (A ，B )＞0”的充分必要条件； 命题⊆：对任意有限集A ，B ，C ，d (A ，C )≤d (A ，B )＋d (B ，C )．( ) A ．命题⊆和命题⊆都成立 B ．命题⊆和命题⊆都不成立 C ．命题⊆成立，命题⊆不成立 D ．命题⊆不成立，命题⊆成立 【难度】★★★8． 判断下列集合A 与B 的关系．(1) A ＝{x | x 是12的约数}，B ＝{x | x 是36的约数}； (2) A ＝{x | x ＞3}，B ＝{x | x ＞5}；(3) A ＝{x | x 是矩形}，B ＝{x | x 是有一个角为直角的平行四边形}．【难度】★★9． 已知 A ＝{x | x 是等腰三角形}，B ＝{x | p (x )}，试确定一个集合B ，使A ⊆ B ．【难度】★★10．试用子集与推出的关系来说明α是β的什么条件． （1）:1x α=且2y = ； :3x y β+=（2）:0a b α+> ； :0,0a b β>>（3）:0xy α> ；:x y x y β+=+【难度】★★11． 设:14x α≤<，:x m β<，α是β的充分条件，求实数m 的取值范围．【难度】★★12． 设α，β是方程x 2－ax ＋b ＝0的两个实根，试分析a ＞2且b ＞1是两根α，β均大于1的什么条件？【难度】★★11 / 11 专业 引领 共成长高一数学新课课程 命题的充要条件与子集的推出关系 13．已知函数2)(bx ax x f -=（1）当0>b 时，若对任意R x ∈都有1)(≤x f 求证b a 2≤.（2）当0a >时，求证；对任意[]1)(,1,0≤∈x f x 的充要条件是b a b 21≤≤-. 【难度】★★★。
上海昂立智立方数学高中 高一(秋季班) 高一新课-05-集合与命题章节复习-学生版-李栋
高一数学（学生版）教师日期学生课程编号课型复习课课题集合与命题章节复习教学目标1．理解集合的意义，掌握集合的表示方法；2．掌握子集的概念及“交、并、补”运算；3．理解充分条件、必要条件与充要条件的意义，会判断条件的充分性、必要性或充分必要性，并由判断依据进行计算．教学重点1.集合“交、并、补”运算；2.命题的证明，充分条件、必要条件、充要条件的判别；3.集合子集与推出关系的判定和计算．教学安排版块时长1例题解析602巩固训练303师生总结304课后练习301、集合的概念（1）集合：能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合，简称集。
集合中的各个对象叫做这个集合的元素。
集合常用大写字母C B A 、、…来表示，集合中的元素用c b a 、、…表示。
（2）集合的性质：集合中的元素具有确定性、互异性、无序性。
（3）元素与集合之间的关系：①若a 是集合A 的元素，就记作A a ∈，读作“a 属于A ”； ②若a 不是集合A 的元素，就记作A a ∉，读作“a 不属于A ”（4）常用的数集：自然数集N ，正整数集*N ；整数集Z ；有理数集Q ；实数集R ；集合与命题章节复习知识梳理常用的集合的特殊表示法：实数集R （正实数集+R ）、有理数集Q （负有理数集-Q ）、整数集Z （正整数集+Z ）、自然数集N （包含零）、不包含零的自然数集*N ；（5）点的集合简称点集，即以直角坐标平面内的点作为元素构成的集合 （6）集合的分类：有限集、无限集和空集2、集合的表示方法：列举法、描述法①列举法：将集合中的元素一一列举出来②描述法：将集合中的元素所具有的性质描述出来，其形式为}{p x x A 满足性质=，其中x 为元素的一般形式，p 为元素的公共属性；③有时集合也可用图示法（数轴、韦恩图）来表示；3、集合之间的关系（1）子集：如果集合A 中任何一个元素都属于集合B ，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作:A B ⊆或B A ⊇，读作“A 包含于B 或B 包含A ”。
上海昂立智立方数学高中 高一(秋季班) 高一新课-02-集合的运算(教师版)—松江—朱国文
高一数学新课（教师版）教师日期学生课程编号课型复习课题集合的运算教学目标1.理解交集、并集的概念及性质；2.能熟练运用数轴和V enn图进行集合的交、并、补运算3.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确进行集合的交集与并集运算．4.通过观察和类比，借助V enn图理解集合的交集及并集运算，树立数形结合的思想，体会类比的作用，感受集合作为一种语言在表示数学内容时的简洁和准确.教学重点1.交、并、补运算2.交、并、补运算的书写3.利用Venn图、数轴表示集合运算教学安排版块时长1知识梳理302例题解析403巩固训练404师生总结105课后练习30【问题1】用V enn图分别表示下列各组中的三个集合，你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗？(1)A＝{－1,1,2,3}，B＝{－1，－2,1}，C＝{－1,1}；(2)A＝{x|x≤3}，B＝{x|x>0}，C＝{x|0<x≤3}；问：上述每组集合中，,,A B C之间均具有怎样的关系？答：V enn图如下图所示，(1) (2)容易看出，集合C中的每一个元素既在集合A中，又在集合B中.【问题2】考察下面集合的元素A={x|x为10的正约数}；B={x|x为15的正约数}；C={x|x为10与15的正公约数}问：上述集合中，A，B，C之间具有什么关系？答：用列举法表示，则A={1，2，5，10}，B={1，3，5，15}，C={1，5}容易看出，集合C的元素恰是集合A与B的公共元素。
【问题3】考察下列各组中的三个集合，(1)A＝{1,3,5}，B＝{2,4,6}，C＝{1,2,3,4,5,6}；(2)A＝{x|x是有理数}，B＝{x|x是无理数}，C＝{x|x是实数}．(3) A＝{x|x≤0，x∈R}，B＝{x|x>0，x∈R}，C＝R；问：你能说出集合C与集合A，B之间的关系吗？答：集合A和集合B的元素并在一起即为集合C的元素．知识引入【问题4】考察下列各组中的三个集合，(1)A ＝{1,3,5}，B ＝{2,4,6}，S ＝{1,2,3,4,5,6}；(2)A ＝{x |x 是有理数}，B ＝{x |x 是无理数}，S ＝{x |x 是实数}． (3) A ＝{x |x ≤0，x ∈R }，B ＝{x |x >0，x ∈R }，S ＝R ； 问：(1)你能说出集合S 与集合A ，B 之间的关系吗？ (2)若在S 中除去元素A 得到的集合是什么？答：集合A 和集合B 的元素并在一起即为集合C 的元素．若在S 中除去元素A 得到的集合是集合B一、交集 1、交集的概念文字语言 由所有属于集合A 且属于集合B 的元素构成的集合叫做A 与B 的交集，记作A B I ，读作“A 交B ”符号语言{|,}A B x x A x B =∈∈I 且图形语言BABA2、交集的性质①A A A =I ； ②A ∅=∅I ； ③A B B A =I I ； ④A B A ⊆I ； ⑤A B B ⊆I ；⑥A B A B A ⊆⇔=I ； ⑦()()A B C A B C =I I I I . 二、并集 1、并集的概念文字语言由所有属于集合A 或属于集合B 的元素构成的集合叫做A 与B 的并集，记作A B U ，读作“A 并B ”符号语言{|,}A B x x A x B =∈∈U 或知识讲解图形语言BABA注：“x A x B ∈∈或”含有三种意思：①x A ∈但x B ∉；②x B ∈但x A ∉；③x A ∈且x B ∈. 2、并集的性质①A A A =U ； ②A A ∅=U ； ③A B B A =U U ； ④A B A ⊇U ； ⑤A B B ⊇U ；⑥A B A B B ⊆⇔=U ； ⑦()()A B C A B C =U U U U . ⑧反演律：()()()A B C A B A C =I U I U I ；()()()A B C A B A C =I I U U U 三、补集 1、补集、全集文字语言我们在研究集合与集合之间的关系时，如果集合包含我们所要研究的各个集合，那么这个集合可以看成一个 全集 。
沪教版高一数学上册《集合的运算》教案及教学反思
沪教版高一数学上册《集合的运算》教案及教学反思教学背景本堂课是高一数学上册的第一单元，内容是集合的定义、表示法及运算。
在集合运算中，包括交集、并集、差集等。
在教学中，我们需要引导学生掌握集合概念及各类集合运算，并培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学目标本节课的教学目标主要有以下几个方面：•了解集合的定义和表示法；•掌握集合的运算规则及性质；•培养学生的逻辑思维能力；•提高学生的解决实际问题能力。
教学内容一、集合的基本概念通过引导学生思考，了解集合的基本概念，理解集合的含义及其特点。
在此基础上，引入集合的表示法及分类。
二、集合的运算1.集合的交集介绍交集的概念及其运算规则。
通过示例引导学生理解交集的含义和性质。
2.集合的并集介绍并集的概念及其运算规则。
通过示例引导学生理解并集的含义和性质。
3.集合的补集介绍补集的概念及其运算规则。
通过示例引导学生理解补集的含义和性质。
4.集合的差集介绍差集的概念及其运算规则。
通过示例引导学生理解差集的含义和性质。
三、实际问题解决通过一些实际问题，引导学生运用集合运算解决实际问题，培养学生的思维能力和解决问题的能力。
教学方法本节课主要采用讲授与练习相结合的方式进行教学。
在讲授过程中，引导学生积极思考，并通过课堂练习及小组合作，提高学生对知识的掌握程度。
教学流程一、集合的基本概念1.导入：通过贴图或视频等形式，引起学生思考“集合”的基本概念。
2.讲解：讲解集合的基本概念，包括集合的定义、元素及表示法。
3.案例分析：通过实例引导学生理解集合的概念及其分类。
二、集合的运算1.集合的交集1.讲解：讲解交集的概念及运算规则。
2.案例分析：引导学生进行案例分析，理解交集的性质。
3.练习：对交集进行巩固练习。
2.集合的并集1.讲解：讲解并集的概念及运算规则。
2.案例分析：引导学生进行案例分析，理解并集的性质。
3.练习：对并集进行巩固练习。
3.集合的补集1.讲解：讲解补集的概念及运算规则。
上海昂立智立方数学高中 高一(秋季班) 高数—10秋—01—集合的概念与表示、集合间的关系—杨威-教师版
集； 记作：A B 或 B A；读作：A 真包含于 B 或 B 真包含 A。
注意：1）、空集是任何集合的子集； 2）、空集是任何非空集合的真子集； 3）、任何一个集合是它本身的子集 新疆
王新敞 奎屯
D·
·B
优于 P ' ，如果 中的点 Q 满足：不存在 中的其它点优于 Q ，那么所有
O
C·
x
这样的点 Q 组成的集合是劣弧 （
）
A． AB
【难度】★★★ 【答案】D
B． BC
C． CD
D． DA
【例 12】直角坐标平面除去两点 A(1, 1) 、 B(2 , 2) 可用集合表示为（ ）
高一数学秋季课程
8． A y y x2 a, x R ，1 A ，则 a 的取值范围 A (x, y) y x2 a, x R ， (1,2) A ，则 a =
【难度】★★
【答案】 ,1 ，1
； ．
9．已知由实数组成的集合 A，1 A ，又满足:若 x A,则 1 A ． 1 x
(1)设 A 中含有 3 个元素,且 2 A, 求 A；
二、集合之间的关系
1、子集： 定义：对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，我们就说集 合 A 包含于集合 B，或集合 B 包含集合 A，此时我们称 A 是 B 的子集。 即： 若任意x A x B，则A B
记作： A B或B A ；读作：A 包含于 B 或 B 包含 A；
【难度】★★ 【答案】因为 5∈A，所以 a2＋2a－3＝5，
解得 a＝2 或 a＝－4. 当 a＝2 时，|a＋3|＝5，不符合题意，应舍去． 当 a＝－4 时，|a＋3|＝1，符合题意，所以 a＝－4.
上海昂立智立方数学高中-高一(秋季班)-高数—10秋—03—命题和充要条件—贾德淼-教师版
高一数学秋季班（教师版）一、命题的概念1、一般地，我们把可以判断真假的语句叫做命题。
2、命题通常用陈述句表示，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。
3、一般地，如果命题α成立可以推出命题β也成立，那么就说由可以推出，记作βα⇒。
相反的，如果成立不能推出成立，那么就说由不可以推出，记作αβ。
4、如果，并且αβ⇒，那么就说与等价，记作βα⇔。
二、四种命题形式1、一个数学命题用条件，结论表示就是“如果 α，那么”，把结论与条件交换，就得到一个新命题“如果 ，那么”，我们把这个命题叫做原命题的逆命题。
2、如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的条件与结论的否定，我们把这两个命题叫做互否命题。
如果其中一个叫做原命题，那么另外一个叫做原命题的否命题。
3、命题、的否定分别记作α、β。
4、如果把原命题“如果，那么”结论的否定作条件，把条件的否定作结论，那么就可以得到一个新命题，我们将它叫做原命题的逆否命题。
5、四种命题形式及其相互关系:命题和充要条件知识梳理6、常见结论的否定形式：（拓展内容）三、充要条件1、充分条件与必要条件：一般地，用α、β分别表示两个命题，如果成立，可以推出也成立，即，那么叫做的充分条件。
叫做的必要条件。
2、充要条件：α⇔，那么既是的充分条件又是的必要条件，如果既有，又有，即有β这时我们就说是的充要条件。
一、有关命题的概念【例1】判断下列语句是否是命题：⑴张三是四川人；⑵1010是个很大的数；⑶220x x +=；⑷260x +>；⑸112+>；【难度】★【答案】⑴是命题；⑵不是命题；⑶不是命题；⑷不是命题；⑸是命题．【例2】判断下列语句是不是命题，若是，判断出其真假，若不是，说明理由. （1）矩形难道不是平行四边形吗（2）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗（3）求证：R x ∈，方程012=++x x 无实根.（4）5>x（5）人类在2020年登上火星. 【难度】★【答案】（1）是命题，且是真命题.（2）不是命题，这是疑问句，没有对垂直于同一条直线的两直线是否平行作出判断. （3）不是命题，是祈使句. （4）是开语句，不是命题. （5）是命题.但目前无法判断真假.【例3】下面有四个命题：①若a -不属于N ，则a 属于N ；②若a b ∈∈N N ，，则a b +的最小值为2；③212x x +=的解可表示为{}11，．其中真命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【难度】★★ 【答案】A例题解析【解析】①假命题，如12a =；②假命题，集合N 中最小的数是0，如01a b ==，；③假命题，{}11，与集合元素的互异性矛盾．【例4】下列判断中正确的是( ).A. “12是偶数且是18的约数”是真命题B. “方程210x x ++=没有实数根”是假命题C. “存在实数x ，使得23x +≤且216x >”是真命题D. “三角形的三个内角的和大于或等于120︒”是假命题【难度】★★ 【答案】C【例5】对于直角坐标平面内的任意两点11()，A x y 、22()，B x y ，定义它们之间的一种“距离”： 1212AB x x y y =-+-．给出下列三个命题： ①若点C 在线段AB 上，则AC CB AB +=； ②在ABC ∆中，若90C ∠=︒，则222AC CB AB +=； ③在ABC ∆中，AC CB AB +>．其中真命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【难度】★★★ 【答案】A【解析】记，，A B C 三点的坐标分别为()()()，，，，，A A B B C C x y x y x y ， 则+≥A C C B A C C B A B A B AC CB x x x x y y y y x x y y AB +=-+--+--+-=，当，C C x y 都分别在，A B x x 与，A B y y 之间时，上面的不等式取到等号，故①正确，③不一定； 对于②，取(00)(01)(10)，，，，，C A B ，则②中等式左边112=+=，右边2(11)4=+=，故②假．【巩固训练】1、判断命题真假：如果2a <，那么2a < （ ）【难度】★ 【答案】真2、若[]2,5x ∈和{}|14x x x x ∈<>或都是假命题，则x 的范围是__________ 【难度】★★ 【答案】[)1,2【解析】[]2,5x ∈和{}|14x x x x ∈<>或都是假命题，则2,514x x x <>⎧⎨≤≤⎩或3、已知,A B 是两个集合，下列四个命题： ①B ,A x A x B ⇔∈∉不包含于对任意有 ②B A A B ⇔⋂=∅不包含于 ③B A A ⇔不包含于不包含B④B ,A x A x B ⇔∈∉不包含于存在 其中真命题的序号是 【难度】★★ 【答案】③④【解析】①反例：{}{}1,2,3,2,3,4A B ==4、下面有四个命题：①集合N 中最小的数是1；②若a -不属于N ，则a 属于N ；③若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2；④x x 212=+的解可表示为{}1,1.其中真命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【难度】★★ 【答案】A【解析】①假命题，集合N 中最小的数是0； ②假命题，如12a =；③假命题，如0,1a b ==；④假命题，{}1,1与集合元素的互异性矛盾.二、命题的四种形式及其关系【例6】命题“若x y =，则||||x y =”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假【难度】★★【答案】逆命题：若||||x y =，则x y = （假，如1x =，1y =-）否命题：若x y ≠，则||||x y ≠ （假，如1x =，1y =-） 逆否命题：若||||x y ≠，则x y ≠ （真，∵||||x y x y =⇒=）【例7】有4个命题：（1）没有男生爱踢足球；（2）所有男生都不爱踢足球；（3）至少有一个男生不爱踢足球； （4）所有女生都爱踢足球；其中是命题“所有男生都爱踢足球”的否定是_______【难度】★★ 【答案】（3）【例8】写出命题“若b a ,都是偶数，则b a +是偶数”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假. 【难度】★★【答案】逆命题:若b a +是偶数，则b a ,都是偶数，它是假命题; 否命题:若b a ,不都是偶数，则b a +不是偶数，它是假命题; 逆否命题:若b a +不是偶数，则b a ,不都是偶数，它是真命题.【例9】写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假． ⑴“负数的平方是正数”；⑵“若a 和b 都是偶数，则a b +是偶数”； ⑶“当0c >时，若a b >，则ac bc >”； ⑷“若5x y +=，则3x =且2y =”； 【难度】★★【答案】⑴逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．（假） 否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数．（假） 逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数．（真） ⑵逆命题：若a b +是偶数，则a 和b 都是偶数．（假） 否命题：若a 和b 不全是偶数，则a b +不是偶数．（假）逆否命题为：若a b +不是偶数，则a 和b 不都是偶数．（真）⑶分析：“当0c >时”是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是a b >，结论是ac bc >． 逆命题：当0c >时，若ac bc >，则a b >．（真） 否命题：当0c >时，若a b ≤，则ac bc ≤．（真） 逆否命题：当0c >时，若ac bc ≤，则a b ≤．（真） ⑷逆命题：若3x =且2y =，则5x y +=．（真） 否命题：若5x y +≠，则3x ≠或2y ≠．（真） 逆否命题：若3x ≠或2y ≠，则5x y +≠．（假）【例10】已知命题p ：方程210x mx ++=有两个不相等的实负根，命题q ：方程24(2)10x m x +-+=无实根；若p 与q 中有且仅有一个为真命题，求实数m 的取值范围．【难度】★★★【答案】由命题p 可以得到：2400m m ⎧∆=->⎨>⎩∴2m >由命题q 可以得到：2(2)160m ∆=--< ∴26m -<< 因为,p q 有且仅有一个为真当p 为真，q 为假时，262,6m m m or m >⎧⇒≥⎨≤-≥⎩当p 为假，q 为真时，22226m m m ≤⎧⇒-<≤⎨-<<⎩所以，m 的取值范围为{|6m m ≥或22}m -<≤．【巩固训练】1、有下列四个命题：①“若0x y +=，则,x y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1q ≤，则220x x q ++=有实根”的逆否命题； ④“等边三角形的三个内角相等”逆命题； 其中真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【难度】★★【答案】C【解析】①的逆命题为“若,x y 互为相反数，则0x y +=”，为真命题； ②的否命题为“不全等的三角形，面积一定不等”，为假命题；③为真命题，∵1q ≤时，一元二次方程的判别式440q ∆=-≥，故有实根，原命题为真，从而它的逆否命题为真命题； ④为真命题，“逆命题为三个内角都相等的三角形是等边三角形”.2、原命题：“设a b c ∈R ，，，若a b >，则22ac bc >”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有（ ）个．A ．0B ．1C ．2D ．4 【难度】★★【答案】C【解析】逆命题和否命题是真命题．3、命题：“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是（ ）A ．若21x ≥，则1x ≥或1x -≤B ．若11x -<<，则21x <C ．若1x >或1x <-，则21x >D ．若1x ≥或1x -≤，则21x ≥ 【难度】★★ 【答案】D4、有下列四个命题：①命题“若1xy =，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若1≤m ，则220x x m -+=有实根”的逆否命题；④命题“若A B B =，则A B ⊆”的逆否命题．其中是真命题的是 （填上你认为正确的命题的序号）． 【难度】★★【答案】①②③【解析】①、②显然正确；③当1≤m 时，有440≥m ∆=-，∴方程有实数根，即原命题为真， ∴它的逆否命题也为真；④A B B =则B A ⊆，∴原命题为假，因而其逆否命题也为假． 5．原命题的否命题是“三条边相等的三角形是等边三角形”，原命题的逆命题是三、有关等价命题【例12】与命题“，，不全是负数”等价的命题是（ ） A 、，，中至少有一个是正数 B 、，，全不是负数C 、，，中只有一个是负数D 、，，中至少有一个是非负数 【难度】★ 【答案】D【例13】与“一元二次方程有一正根、一负根”等价的命题是（ D ）A 、B 、C 、D 、【难度】★★ 【答案】D【例14】命题：已知a ，b 为实数，若20x ax b ++≤有非空解集，则240a b -≥。
高中数学高一第一学期1.3集合的运算_教案1-沪教版
学生观察，交流发现问题积极回答问题。
概念深化
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A，B的并集。
记作：A B（读作‘A并B’），
即A B ={x|x A，或x B})。
2．并集的性质
（1）A A=A
（2）A Φ=A
（3）A B=B A
例5设A=｛x|-1<x<2｝，B=｛x|1<x<3｝，求A∪B．
解：A B=｛x|-1<x<2｝ ｛x|1<x<3｝=｛x|-1<x<3｝。
学生独立完成，交流答案。总结经验教训
课堂练习
例1设集合A={-4，2m-1，m2}，B={9，m-5，1-m}，又A B={9}，
求实数m的值。
解：∵A B={9}，A={-4，2m-1，m2}，B={9，m-5，1-m}，
（2）A={x|x>1}，B={x|x<3}，C={x|1<x<3}
引导学生从集合中的元素加以说明
归纳总结：
集合C是由即属于集合A且又属于集合B的元素组成的。
学生观察，交流发现问题积极回答问题
概念形成
给出交集定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合，叫做A，B的交集。
记作A B（读作‘A交B’），
例2设A=｛x|x是等腰三角形｝，B=｛x|x是直角三角形｝，求A B。
解：A B=｛x|x是等腰三角形｝ ｛x|x是直角三角形｝
A B =｛x|x是等腰直角三角形｝。
A=｛(x，y)|y=-4x+6｝，B=｛(x，y)|y=5x-3｝，求A B．
解A B=｛(x，y)|y=-4x+6｝ ｛(x，y)|y=5x-3｝
上海高一数学知识点总结
上海高一数学知识点总结一、集合1、集合的概念集合是由某些确定的对象组成的整体。
集合中的对象称为元素。
2、集合的表示方法列举法：将集合中的元素一一列举出来。
描述法：用集合中元素的共同特征来表示集合。
3、集合间的关系子集：若集合 A 中的元素都属于集合 B，则 A 是 B 的子集，记作A⊆B。
真子集：若 A⊆B 且A≠B，则 A 是 B 的真子集，记作 A⊂B。
集合相等：若 A⊆B 且 B⊆A，则 A=B。
4、集合的运算交集：由属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合，记作A∩B。
并集：由属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合，记作 A∪B。
补集：设全集为 U，集合 A 的补集是由不属于 A 但属于 U 的元素组成的集合，记作∁UA。
二、函数1、函数的概念设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。
函数的定义域：自变量 x 的取值范围。
函数的值域：函数值的集合。
2、函数的表示方法解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。
图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系。
列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系。
3、函数的单调性增函数：设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值 x1，x2，当 x1<x2 时，都有 f(x1)＜f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数。
减函数：设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值 x1，x2，当 x1<x2 时，都有 f(x1)＞f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数。
4、函数的奇偶性奇函数：对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x)＝f(x)，那么函数 f(x)是奇函数。
上海昂立智立方数学高中 高一(秋季班) 高数—10秋—15—指数函数—周宝瑞-教师版
高一数学秋季班（教师版）教师日期学生课程编号课型专题课题指数函数教学目标1．掌握指数函数的概念，明确指数函数的定义域；2．掌握指数函数图象，学会利用指数函数单调性来比较大小，包括较为复杂的含字母讨论的类型；3．通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法．教学重点1、指数函数的图像与性质及应用；2、有关指数函数的复合函数的单调性．教学安排版块时长1 知识梳理102 例题解析503 巩固训练304 师生总结205 课后练习101.根式的运算性质：(1)当n 为任意正整数时，()n=a(2)当n 为奇数时，n n a =a ；当n 为偶数时，n na =|a |=⎩⎨⎧<-≥)0()0(a a a a(3)根式的基本性质：n m npmp a a =，（a ≥0） 2.分数指数幂的运算性质：)()(),()(),(Q n b a ab Q n m aa Q n m a a a n n n mnnm n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+3.指数函数 函数名称 指数函数定义函数且叫做指数函数图 象定义域值域过定点 图象过定点，即当时，．奇偶性非奇非偶n a (0xy a a =>1)a ≠1a >01a <<R (0,)+∞(0,1)0x =1y =知识梳理xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy(0,1)O1y =指数函数单调性在上是增函数 在上是减函数变化对图象的影响 在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低．1、3a a a ⋅⋅的分数指数幂表示为【难度】★ 【答案】43a2、函数xy 2=的值域是【难度】★★ 【答案】),1[+∞3、函数21(0,1)x y aa a -=+>≠且的图像必经过点【难度】★★ 【答案】)2,2(4、下列函数中值域是+R 的是（ ）A 、125xy -= B 、113xy -⎛⎫= ⎪⎝⎭C 、112xy ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D 、21x y =-【难度】★★ 【答案】B5、已知函数2()f x x bx c =-+满足(1)(1)f x f x +=-，且(0)3f =，比较()x f b 与()x f c 的大小关系 R R a a a 热身练习【难度】★★★【答案】∵(1)(1)f x f x +=-，∴函数()f x 的对称轴是1x =．故2b =，又(0)3f =，∴3c =． ∴函数()f x 在(]1-，∞上递减，在[)1+，∞上递增．若0x ≥，则321x x ≥≥，∴(3)(2)x x f f ≥； 若0x <，则321x x <<，∴(3)(2)x x f f >．综上可得(3)(2)x x f f ≥，即()()x x f c f b ≥．考点一、指数函数的概念和性质【例1】在下列函数中，是指数函数的有_________________①1()2x y =②11()2x y -=③23x y =•④(0,0,1)xy a x a a =≥>≠⑤1xy =⑥21()2x y =⑦12y x =【难度】★ 【答案】①⑥【例2】函数2(33)xy a a a =-+是指数函数，求a 的值 【难度】★★ 【答案】2【例3】函数12(0.58)xy -=-的定义域是【难度】★★ 【答案】(),3-∞-【例4】函数()xa a x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1在()+∞∞-∈,x 上是减函数，求a 的取值范围【难度】★★例题解析【答案】1515⎛⎛-+- ⎝⎭⎝⎭U【巩固训练】1．指出下列函数哪些是指数函数？（1）4xy =；（2）4y x =；（3）4xy =-；（4）(4)xy =-；（5）1(21)(1)2x y a a a =->≠且；（6）4x y -=． 【难度】★【答案】（1）（5）（6）2．作出函数12x y -=与12x y -=的图像．【难度】★★ 【答案】3．已知x>0, 函数2(8)xy a =-的值恒大于1，则实数a 的取值范围是_____________ 【难度】★★【答案】33a ora ><-4．函数(0,1)xy a a a =>≠在区间[1,2]上的最大值比最小值大2a，则实数a 的值是_____ 【难度】★★ 【答案】1322or5．函数2xy =的图像与函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像关于_________对称，它们的交点坐标是______【难度】★★ 【答案】.y 轴，()0,1考点二、指数函数的图像及其应用【例5】指数函数①()x f x m =②()x g x n =满足不等式01m n <<<，则它们的图象是 ( )【难度】★★ 【答案】C【例6】(1)函数2xy -=-的图象一定过____________象限.(2)函数1()3x f x a -=+的图象一定过定点P ，则P 点的坐标是_________.(3)函数3xy -=与___________的图象关于y 轴对称.【难度】★★ 【答案】(1)=,它可以看作是指数函数图象作关于轴对称的图象,因此一定过第三象限和第四象限. (2) 的图象可以看作把 的图象向右平移一个单位再向上平移3个单位而得到,且 一定过点 ,则应过点.(3)图象与 关于轴对称的函数为.【例7】方程22x x +=的实根的个数为_______________. 【难度】★★ 【答案】2【例8】.比较下列各组数的大小:(1) 0.17(和0.27(；(2) 163()4和154()3-；(3) 20.8-和125()3-；(4) 13a 和12a （0a >，1a ≠）；(5)31.1和 1.71.1；（6）2306.-和340.6-。
上海昂立智立方数学高中 高一(秋季班) 高数—10秋—08—基本不等式—翁军成-教师版
高一数学秋季班（教师版）教师日期学生课程编号08课型同步复习课题基本不等式教学目标1.掌握基本不等式的概念；2.掌握几个重要不等式；3.掌握比较法，综合法，分析法证明不等式的基本思路；4.掌握简单基本不等式的相关证明问题；教学重点1.掌握不等式的使用条件；2.掌握不等式的变形；3.掌握多次使用不等式的方法；教学安排版块时长1知识梳理10 2例题解析60 3巩固训练40 4师生总结10 5课后练习60一、基本不等式：1.若,a b R ∈，222a b ab +≥，当且仅当a =b 时取等号2.（1）“积定和最小”：ab b a 2≥+⇔如果积ab 是定值P ，那么当a b =时，和a b +有最小值2P ；（2）“和定积最大”：22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab ⇔如果和a b +是定值S ，那么当a b =时，积ab 有最大值214S 。
3.若,a b R +∈，2222a b a b ab ++≥≥ 加权平均》算术平均》几何平均二、均值不等式：若a 、b 为正数，则2a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号变式：222()22a b a b ab ++≥≥ 推广：123,,,,n a a a a L 是n 个正数，则12na a a n+++L 称为这n 个正数的算术平均数，12n n a a a ⋅⋅⋅L 称为这n 个正数的几何平均数， 它们的关系是：1212n nn a a a a a a n++⋅⋅⋅+≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅，当且仅当12n a a a ===L 时等号成立。
知识梳理基本不等式一、简单基本不等式问题【例1】条件“0>a 且0>b ”是结论“ab ba ≥+2”成立的 条件。
【难度】★【答案】充分非必要条件【例2】已知正数y x ,满足12=+y x ，求yx 11+的最小值。
判断下述解法正确与否，若不正确，请给出正确的解法，若正确，则说明理由。
y x xyxy y x xy y x y x 112422221,2110,0+∴≥∴≥+=≥+∴>>ΘΘ的最小值为24【难度】★【答案】不正确，忽略了前两个小不等式中的取等条件，当时，即，取得最小值。
昂立智立方春季班新生入学测试卷——高三数学
A． r 1 或r 1 3
B． r 1 或r 1且r 0 3
C． r 1 或r 1 3
D． r 1 或r 1 3
（）
4、已知非零向量
AB与AC满足 |
AB AB
|
|
AC AC
|
BC
0, 且 |
AB AB
|
|
AC AC
|
1, 2
则△ABC
的形状是（
）
A．三边均不相等的三角形
的结论成为推广后的一个特例），试提出一个猜想或设计一个问题，尝试研究解决。
源于名校，成就所托
100
4、在 2 4 3 的展开式中，有理数的项共有
项；
____；
5、已知以 T
4 为周期的函数
f
(x)
m
1 x2 ,
1 x 2 ,
个实数解，则 m 的取值范围为
x 1,1 ，其中 m 0 。若方程 3 f (x) x 恰有 5 x 1,3
。
三、解答题（第一题 15 分，第二题 20 分，第三题 20 分）
2
2 x
2、为得到函数
y
cos
2x
π 3
的图像，只需将函数
y
sin
2x
的图像（
）
A．向左平移 5π 个长度单位 12
B．向右平移 5π 个长度单位 12
C．向左平移 5π 个长度单位 6
D．向右平移 5π 个长度单位 6
3、若 lim ( r )2n1 存在，则 r 的取值范围是 n 1 2r
y
经
过
矩
阵
a
c
b
d
的变换得到新的点
P x, y
上海昂立智立方数学高中 高数—10暑—05—集合的概念与表示、集合间的关系—周宝瑞-教师版
高一数学暑假班（教师版）教师日期学生课程编号课型课题集合的概念与表示、集合间的关系教学目标1．理解集合含义，理解元素与集合“属于”关系，深刻理解集合元素的确定性、互异性、无序性；掌握常用数集专用符号；能选择合适的表达方式描述集合；2．深刻理解集合与集合之间的包含以及相等关系；掌握子集、真子集、空集、两个集合相等等概念；会写出任意集合的所有子集、真子集。
教学重点会用列举法、描述法表示集合；掌握集合间的关系教学安排版块时长1例题解析502巩固训练403师生总结104课后练习20一、集合的概念（一）、知识精讲 （1）集合的概念我们把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合，简称集。
集合中的各个对象叫做这个集合的元素。
对于一个给定的集合，集合中的元素具有确定性、互异性、无序性。
（2）集合的元素特征确定性是指一个对象要么是给定集合的元素，要么不是这个集合的元素，二者必居其一。
比如“著名的数学家”、“较大的数”、“高一一班成绩好的同学”等都不能构成集合，因为组成集合的元素不确定。
互异性是指对于一个给定的集合，集合中的元素是各不相同的，也就是说，一个给定的集合中的任何两个元素都是不同的对象，集合中的元素不重复出现。
例如由元素1,2,1组成的集合中含有两个元素：1,2。
无序性是指组成集合的元素没有次序，只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集集合的概念与表示、集合间的关系例题解析知识梳理集合定义 特征与元素关系表示与集合关系把能够确切指定的对象看作一个整体确定性、无序性、互异性属于、不属于 描述法、列举法、图示法子集、真子集、相等合是相等的。
（3）集合与元素的字母表示、元素与集合的关系集合常用大写字母C B A 、、…来表示，集合中的元素用c b a 、、…表示，如果a 是集合A 的元素，就记作A a ∈，读作“a 属于A ”；如果a 不是集合A 的元素，就记作A a ∉，读作“a 不属于A ”（4）常用的数集及记法数的集合简称数集，我们把常用的数集用特定的字母表示：全体自然数组成的集合，即自然数集，记作N ，不包含零的自然数组成的集合，记作*N 全体整数组成的集合，即整数集，记作Z 全体有理数组成的集合，即有理数集，记作Q 全体实数组成的集合，即实数集，记作R常用的集合的特殊表示法：实数集R （正实数集+R ）、有理数集Q （负有理数集-Q ）、整数集Z （正整数集+Z ）、自然数集N （包含零）、不包含零的自然数集*N ；（5）集合的分类我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集我们引进一个特殊的集合——空集，规定空集不含元素，记作∅，例如，方程012=+x 的实数解所组成的集合是空集，又如，两个外离的圆，它们的公共点所组成的集合也是空集。
上海昂立智立方数学高中 高一(秋季班) 高数—10秋—05—不等式基本性质—李新媛-教师版
高一数学秋季班（教师版）教师日期学生课程编号课型同步复习课题不等式基本性质教学目标1．理解和掌握不等式的基本性质，掌握不等式各个性质之间条件与结论的逻辑关系；2．熟练运用作差法和做商法比较大小，熟知作商法的条件；3．能熟练解决二元一次线性域值问题．教学重点1．运用不等式的基本性质判断大小关系；2．利用做差或作商法判断大小．3．不等式范围问题.教学安排版块时长1 知识梳理102 例题解析603 巩固训练304 师生总结205 课后练习30一、不等式的性质： （1）;a b b a <⇔> （2） （3）;c b c a b a +>+⇒> （4）;,d b c a d c b a +>+⇒>>（5）;0,;0,bc ac c b a bc ac c b a <⇒<>>⇒>> （6）;0,0bd ac d c b a >⇒>>>> （7）;0nn b a b a >⇒>>、 （8）;0n nb a b a >⇒>>（9）;11,0,ba b a ab b a <⇒>≠且同号、 （10）.b a b a b a +≤±≤-注：在高考中，不等式性质的判断题常有出现，一般我们判断此类问题主要采用两种方法： 其一：按照性质进行判断，此种方法要求我们对不等式性质有一个全面熟练的掌握。
其二：采用赋值法/特殊值法进行判断，此种方法对于证明假命题非常适用；二、比较两式大小的常见方法：作差法、作商法作差法：作差是两式比较大小的常用方法，基本步骤如下： 第一步：作差；第二步：变形，常采用配方，因式分解等恒等变形手段；第三步：定号，重点是能确定是大于0，还是等于0，还是小于0．最后得结论．概括为“三步，—结论”，这里的“变形”一步最为关键．;,c a c b b a >⇒>>不等式基本性质知识梳理注1：有的问题直接作差不容易判断其符号，这时可根据两式的特点考虑先变形，到比较易于判断符号时，再作差，予以比较；注2：含参不等式的大小判断要注意符号问题，具体根据不等式性质判断．注意分类合理恰当． 作商法：注：在两式无法确定正负号或是否可能为0的情况下无法适用.作商法的基本步骤是：①求商，②变形，③与1比大小从而确定两个数的大小.一、不等式基本性质【例1】设和都是非零实数，不等式和同时成立的充要条件是_______ 【难度】★【答案】0,0a b >< 【解析】110b a a b ab->⇒>Q ，根据，可知要使两者同时成立，则0,0a b ><．【例2】下列四个命题中，为真命题的是（ ）A. 若a b >，则22ac bc >B. 若a b >，c d >则a c b d ->-C. 若a b >，则22a b >D. 若a b >，则11a b< 【难度】★★ 【答案】C【解析】此题是2016年模考题，较主流的一种出法，利用不等式基本性质即得，较常规【例3】设0ab >，下面四个不等式中，正确的是________ ①||||a b a +>②||||a b b +<③||||a b a b +<-④||||||a b a b +>-A 、①和②B 、①和③C 、①和④D 、②和④a b b a >ba 11>b a >例题解析【难度】★★ 【答案】C【解析】0ab >Q ，所以,a b 同号，再根据不等式性质即可求得【例4】已知101a b c <-<<<<，则下列不等式成立的是_________A 、22b c a <<B 、1ab c ab +<C 、111b a c<< D 、2b ab bc ac >-+ 【难度】★★ 【答案】C【解析】本题,,a b c 的范围均限制的非常具有区分度，此类问题可以采用赋值法的方式进行排除判断，本题是此类方法较为典型的例题，赋值法也是考试中较为快捷的排除手段，准确率高【例5】已知三个不等式： （1）;0>ab (2);bda c > (3).ad bc > 以其中两个作为条件,余下一个作结论,则可以组成_____个正确命题. 【难度】★★ 【答案】3【解析】解法一：显然0()(),011ab c d ab ab bc ad c da b a bab c dbc ad bc ad ab ab a b >⎧⎪⇒⋅>⋅⇒>⎨>⎪⎩>⎧⇒⋅>⋅⇒>⎨>⎩ 第三个命题是".0,,">>>ab ad bc bda c 则且若下面证明这个命题也正确.首先,由b d a c >知,0,.0<≠ab ab 若则由b d a c >可得，即ad bc ab bdab a c <⋅<⋅),()(这与bc>ad 矛盾.因此只能ab>0.综上所述,可以组成3个正确命题.解法二：由式（2）00,c d c d bc ada b a b ab->⇔->⇔>式（1）就是分母大于0，式（3）等价于分子大于0。
上海昂立智立方数学高中 高一(秋季班) 高数—10秋—13—函数值域和最值—郑悦-教师版
高一数学秋季班（教师版）教师日期学生课程编号13 课型复习课题函数值域和最值教学目标1.复习函数值域和最值的定义；2.梳理求函数值域的方法；3.归纳不同方法的适用情况；4.提升变式拓展与综合运用能力；教学重点1.各种函数值域求法的例题讲解与练习；2.综合运用与转化能力；教学安排版块时长1 知识梳理102 例题解析503 巩固训练504 师生总结105 课后练习60一、函数的值域1、函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示；2、分段函数的值域是各个区间上值域的并集；3、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进行分类讨论；叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述；4、若对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集；5、求函数值域的方法十分丰富，应注意总结；二、函数的最值1、设函数()y f x =定义域为A ，则当x A ∈时总有()()0f x f x M ≤=，则称当0x x =时()f x 取最大值M ；当x A ∈时总有()()1f x f x N ≥=，则称当1x x =时()f x 取最小值N ；2、求函数的最值问题可以化归为求函数的值域问题；3、闭区间的连续函数必有最值。
三、函数的值域的求法 1．直接观察 2．配方3．基本不等式/耐克函数 4．判别式法5．分离常数法/部分分式法 6．换元 7．数形结合 8．单调性 9．奇偶性(*) 知识梳理函数值域和最值一、特殊方法1．直接观察对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
【例1】求函数3y x =-的值域；【难度】★【答案】∵故函数的值域是：【例2】求函数213y x x =-+-的值域 【难度】★★ 【答案】5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2．配方法主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题．对于求二次函数()20y ax bx c a =++≠或可转化为形如()()()()20f x a g x bg x c a =++≠⎡⎤⎣⎦的函数的值域（最值）一类问题，我们常常可以通过配方法来进行求解；【例3】求函数[]225,1,2y x x x =-+∈-的值域； 【难度】★【答案】将函数配方得：∵ 由二次函数的性质可知：当x=1时，，当时，故函数的值域是：[4，8]【例4】求二次函数[]242,1,4y x x x =-+-∈的值域； 【难度】★【答案】函数的定义域为[]1,4，2242(2)2y x x x =-+-=--+，从而函数为对称轴为2x =的开口向下的二次函数，2min 44422y ∴=-+⨯-=-，max 2y =.即函数的值域为[]2,2-.注：学过指数函数和对数函数后应用的更为广泛一些。
上海昂立智立方数学高中 高数—10暑—04—一元二次方程根的分布—周波-教师版
高一数学暑假班（教师版）教师日期学生课程编号课型复习课课题一元二次方程根的分布教学目标利用二次函数的图像，解决一元二次方程根的分布．教学重点三种常见类型一元二次方程根的分布的求法．教学安排版块时长1例题解析60 2巩固训练30 3师生总结30 4课后练习30设方程()200ax bx c a++=≠的不等两根为12,x x且12x x<，相应的二次函数为()20f x ax bx c=++=，方程的根即为二次函数图象与x轴的交点，它们的简单分布情况见下表分布情况两个负根即两根都小于0()120,0x x<<两个正根即两根都大于0()120,0x x>>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()12x x<<大致图象（>a）得出的结论()200baf∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩()200baf∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩()00<f大致图象（<a）一元二次方程根的分布知识梳理得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f综合结论（不讨论a）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a分布情况两根都小于k即kx k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象（>a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f大致图象（<a ）kkk得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f综合结论（不讨论a）()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()0<⋅k f a分布情况两根都在()n m ,内两根有且仅有一根在()n m ,内（图象有两种情况，只画了一种）一根在()n m ,内，另一根在()q p ,内，q p n m <<<大致图象（>a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()000f m f n f p f q ⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()0f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩大致图象（0 < a）得出的结论()()2f mf nbm na∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅nfmf()()()()f mf nf pf q⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩或()()()()f m f nf p f q<⎧⎪⎨<⎪⎩综合结论（不讨论a）——————()()0<⋅nfmf()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<qfpfnfmf根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()nm,外，即在区间两侧12,x m x n<>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a>时，()()f mf n<⎧⎪⎨<⎪⎩；（2）0a<时，()()f mf n>⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：1︒ 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <g 不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值．如方程()2220mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为2m，由213m <<得223m <<即为所求；2︒ 方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0∆=，此时由0∆=可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数．如方程24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围．分析：①由()()300f f -<g 即()()141530m m ++<得出15314m -<<-；②由0∆=即()2164260m m -+=得出1m =-或32m =，当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =时，根()33,0x =∉-，故32m =不满足题意；综上分析，得出15314m -<<-或1m =-1、与零有关的根的分布【例1】已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围．【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】由()()0102200m f ∆>⎧⎪-+⎪->⎨⎪>⎪⎩g ⇒ ()218010m m m m ⎧+->⎪>-⎨⎪>⎩ ⇒ 3223220m m m ⎧<->+⎪⎨>⎪⎩或 ⇒ 例题解析0322m <<-或322m >+即为所求的范围．【例2】若方程05)2(2=-+-+m x m x的根满足下列条件，分别求出实数m 的取值范围．（1） 方程两实根均为正数；（2） 方程有一正根一负根．【难度】★★ 【答案】见解析【解析】分析 讨论二次方程根的分布，应在二次方程存在实根的条件下进行．代数方法与图象法是研究二次方程根的分布问题的主要方法．解1 （1）由题意，得.45244050)2(0)5(4)2(00022121-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<≥-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧>->--≥---⇒⎪⎩⎪⎨⎧>>+≥∆m m m m m m m m m x x x x 或所以，当4-≤m时，原方程两实根均为正数；（2）由题意，得.505021>⇒<-⇒⎩⎨⎧<≥∆m m x x 所以，当5>m时，原方程有一正根一负根．解2 二次函数m x m x y -+-+=5)2(2的图象是开口向上的抛物线．（1）如图，由题意，得4052)2(4)2(022050)2(020)0(22-≤⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤-+--->-->-⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤->->m m m m m m a b f a b f 。
上海昂立智立方数学高中 高数—10暑—14—不等式单元复习—杨阳-教师版
高二数学暑假班（教师版）教师日期学生课程编号课型复习课课题不等式单元复习教学目标1、不等式的性质2、不等式的证明3、不等式的解法4、不等式的应用教学重点1、注重不等式的解法，解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化．2、不等式的应用，不等式应用问题体现了一定的综合性．这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等式、解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值．教学安排版块时长1 例题解析802 巩固训练303 师生总结104 课后练习30一、不等式的性质（一）、知识精讲1．不等式的性质(1)对称性：a >b ⇔________；(2)传递性：a >b ，b >c ⇒________； 例题解析无理不等式 不 等 式不等式的性质基本不等式不等式的解法比较法 综合法 分析法 放缩法 反证法 换元法 函数法不等式的证明有理不等式超越不等式 绝对值不等式一元一次不等式(组)一元二次不等式(组) 整式高次不等式(组) 分式高次不等式(组) 指数不等式(组) 对数不等式(组) 三角不等式(组)不等式的应用函数的定义域、值域与单调性、取值范围问题、最值问题、方程根的分布、数列不等式、函数不等式的证明、实际应用问题线性规划知识梳理基本不等式(3)加法性质：a >b ⇔________；推论：a >b ，c >d ⇒________；(4)乘法性质：a >b ，c >0⇒________；推论：a >b >0，c >d >0⇒________； (5)乘方性质：a >b >0⇒________________________； (6)开方性质：a >b >0⇒________________________； (7)倒数性质：a >b ，ab >0⇒________________.2．两个实数大小的比较(1)作差法：设a ，b ∈R ，则a >b ⇔a －b >0，a <b ⇔a －b <0，这是比较两个实数大小和运用比较法的依据．(2)作商法：依据：设a >0，b >0，则a >b ⇔__________，a <b ⇔ab<1.(3)函数法：构造函数，根据函数的单调性作出判断．(4)特殊值法：若是选择题可以用特殊值法比较大小，若是填空题或解答题，也可以用特殊值法探路． 3．不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质 ①a >b ，ab >0⇒1a <1b .②a <0<b ⇒1a <1b.③a >b >0,0<c <d ⇒a c >bd .④0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a.(2)有关分数的性质若a >b >0，m >0，则①b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －m a －m (b －m >0)．②a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －mb －m (b －m >0)．答案：1. (1)b <a (2)a>c (3)a ＋c>b ＋c a ＋c >b ＋d (4)ac>bc ac>bd(5)a n >b n (n ∈N 且n ≥2) (6)n a >nb (n ∈N 且n ≥2) (7)1a <1b2. (2)ab >1（二）典型例题【例1】(教材改编)若0<a <b ，且a ＋b ＝1，则将a ，b ，12，2ab ，a 2＋b 2从小到大排列为________．【难度】★【答案】 a <2ab <12<a 2＋b 2<b【解析】 ∵0<a <b 且a ＋b ＝1，∴a <12<b <1，∴2b >1且2a <1，∴a <2b ·a ＝2a (1－a )＝－2a 2＋2a ＝－2(a －12)2＋12<12.即a <2ab <12，又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab >1－12＝12，即a 2＋b 2>12，a 2＋b 2－b ＝(1－b )2＋b 2－b ＝(2b －1)(b －1)，又2b －1>0，b －1<0，∴a 2＋b 2－b <0，∴a 2＋b 2<b ，综上，a <2ab <12<a 2＋b 2<b .【例2】已知a ≠1且a ∈R ，试比较11－a与1＋a 的大小．【难度】★★ 【答案】详见解析【解析】∵11－a －(1＋a )＝a 21－a ，①当a ＝0时，a 21－a ＝0，∴11－a＝1＋a .②当a <1，且a ≠0时，a 21－a >0，∴11－a >1＋a .③当a >1时，a 21－a <0，∴11－a<1＋a .【例3】下面的推理过程⎭⎪⎬⎪⎫a >b ⇒ac >bc c >d ⇒bc >bd ⇒ac >bd ⇒a d >bc ，其中错误之处的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【难度】★★ 【答案】D【解析】由a >b ⇒ac >bc ，c >d ⇒bc >bd 都是对不等式两边同乘一实数，只有当该实数为正数时，不等号才不改变方向，故这两步都错误；由于不等式具有传递性，所以得出ac >bd 是正确的，由ac >bd ⇒a d >bc是对不等式ac >bd 两边同除cd ，由于不知cd 的正、负，故这一步也是错误的．【例4】若a >0>b >－a ，c <d <0，则下列结论：①ad >bc ；②a d ＋bc <0；③a －c >b －d ；④a (d －c )>b (d －c )中成立的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【难度】★★ 【答案】 C【解析】 方法一 ∵a >0>b ，c <d <0，∴ad <0，bc >0，∴ad <bc ，故①错误．∵a >0>b >－a ，∴a >－b >0，∵c <d <0，∴－c >－d >0，∴a (－c )>(－b )(－d )，∴ac ＋bd <0， ∴a d ＋b c ＝ac ＋bd cd<0，故②正确． ∵c <d ，∴－c >－d ，∵a >b ，∴a ＋(－c )>b ＋(－d )，a －c >b －d ，故③正确． ∵a >b ，d －c >0，∴a (d －c )>b (d －c )，故④正确，故选C. 方法二 取特殊值．【例5】已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(答案用区间表示)． 【难度】★★ 【答案】(3,8)【解析】方法一(配凑法)：设2x －3y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－3.解得⎩⎨⎧m ＝－12，n ＝52.∴2x －3y ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )，∵－1<x ＋y <4,2<x －y <3，[∴－2<－12(x ＋y )<12，5<52(x －y )<152，∴3<－12(x ＋y )＋52(x －y )<8，即3<2x －3y <8，所以z ＝2x －3y 的取值范围为(3,8)．方法二(运用线性规划解决,选择性内容)：如图，图中的交点分别为A (3，1)，B (1，－2)．当目标函数z ＝2x －3y 经过点A 时，z ＝3，经过点B 时，z ＝8，故z ∈(3，8)．例6 设x ，y 为实数，满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，则x 3y4的最大值是________． 【难度】★★ 【答案】27【解析】由4≤x 2y ≤9，得16≤x 4y 2≤81.又3≤xy 2≤8，∴18≤1xy 2≤13，∴2≤x 3y 4≤27.又x ＝3，y ＝1满足条件，这时x 3y 4＝27.∴x 3y4的最大值是27.【巩固训练】1． 若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( )A ．a ＋1b >b ＋1a B.b a >b ＋1a ＋1C ．a －1b >b －1a D.2a ＋b a ＋2b >a b【难度】★ 【答案】A【解析】取a ＝2，b ＝1，排除B 与D ；另外，函数f (x )＝x －1x是(0，＋∞)上的增函数，但函数g (x )＝x ＋1x在(0,1]上递减，在[1，＋∞)上递增，所以，当a >b >0时，f (a )>f (b )必定成立，但g (a )>g (b )未必成立，这样，a －1a >b －1b ⇔a ＋1b >b ＋1a.2． 设a >b >c >0，x ＝a 2＋(b ＋c )2，y ＝b 2＋(c ＋a )2，z ＝c 2＋(a ＋b )2，则x ，y ，z 的大小关系是_________．【难度】★★ 【答案】 z >y >x【解析】 方法一 y 2－x 2＝2c (a －b )>0，∴y >x .同理，z >y ，∴z >y >x .方法二 令a ＝3，b ＝2，c ＝1，则x ＝18，y ＝20，z ＝26，故z >y >x .3． 已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是( )A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a c >bc，则a >bC ．若a 3>b 3且ab <0，则1a >1bD ．若a 2>b 2且ab >0，则1a <1b【难度】★★ 【答案】C【解析】当c ＝0时，可知A 不正确； 当c <0时，可知B 不正确；对于C ，由a 3>b 3且ab <0知a >0且b <0，所以1a >1b 成立，C 正确；当a <0且b <0时，可知D 不正确．4． 已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题①若ab >0，bc －ad >0，则c a －d b >0； ②若ab >0，c a －db >0，则bc －ad >0；③若bc －ad >0，c a －db >0，则ab >0.其中正确的命题是________． 【难度】★★ 【答案】①②③【解析】∵ab >0，bc －ad >0，∴c a －d b ＝bc －adab >0，∴①正确；∵ab >0，又c a －db >0，即bc －ad ab>0，∴bc －ad >0，∴②正确；∵bc －ad >0，又c a －db >0，即bc －ad ab>0，∴ab >0，∴③正确．故①②③都正确．5． 比较a a b b 与a b b a (a ，b 为不相等的正数)的大小． 【难度】★★ 【答案】详见解析【解析】 a a b b a b ba ＝a a －b b b －a ＝⎝⎛⎭⎫ab a －b ， 当a >b >0时，ab >1，a －b >0，∴⎝⎛⎭⎫a b a －b >1；当0<a <b 时，ab<1，a －b <0，∴⎝⎛⎭⎫a b a －b >1.(11分) 综上所述，当a ，b 为不相等的正数时，总有a a b b >a b b a .6． (1)设x <y <0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)·(x ＋y )的大小；(2)已知a ，b ，x ，y ∈(0，＋∞)且1a >1b ，x >y ，求证：x x ＋a >yy ＋b .【难度】★★ 【答案】详见解析【解析】方法一 (x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y )＝(x －y )[x 2＋y 2－(x ＋y )2]＝－2xy (x －y )，∵x <y <0，∴xy >0，x －y <0，∴－2xy (x －y )>0， ∴(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y )．方法二 ∵x <y <0，∴x －y <0，x 2>y 2，x ＋y <0.∴(x 2＋y 2)(x －y )<0，(x 2－y 2)(x ＋y )<0， ∴0<x 2＋y 2x －y x 2－y 2x ＋y ＝x 2＋y 2x 2＋y 2＋2xy<1，∴(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y )． (2)证明x x ＋a －yy ＋b＝bx －ayx ＋a y ＋b.∵1a >1b 且a ，b ∈(0，＋∞)，∴b >a >0，又∵x >y >0，∴bx >ay >0，∴bx －ay x ＋a y ＋b >0，∴x x ＋a >yy ＋b .7． 某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠． 【难度】★★ 【答案】详见解析【解析】设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元/人，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元， 则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34nx ，y 2＝45nx .所以y 1－y 2＝14x ＋34nx －45nx ＝14x －120nx ＝14x (1－n 5)．当n ＝5时，y 1＝y 2；当n >5时，y 1<y 2；当n <5时，y 1>y 2. 因此当单位去的人数为5人时，两车队收费同等优惠； 当单位去的人数多于5人时，甲车队收费更优惠； 当单位去的人数少于5人时，乙车队收费更优惠．二、不等式的证明（一）、知识精讲▲知识点1 利用比较法证明不等式1.定义：对于任意两个实数,a b ，有0;0;a b a b a b a b >⇒->=⇒-=a b <⇒0a b -<。
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一、交集运算一般地，我们把属于集合A 且属于集合B 的所有元素构成的集合，叫集合A 与B 的交集，记作：A B ⋂ 由定义可知，{,}A B x x A x B ⋂=∈∈且. 任意两个非空集合A 、B 的交集有以下四种情况：ABBABABA任意两个非空集合A 、B 的交集具有以下性质： 1、A B B A ⋂=⋂2、A B A ∅⊆⋂⊆，A B B ∅⊆⋂⊆3、A ∅⋂=∅，即空集与任何集合的交集都是空集4、,A B A B A B A A B B ⊆⇔⋂=⊆⇔⋂= 二、并集运算一般地，我们把属于集合A 或者属于集合B 的所有元素构成的集合，叫集合A 、B 的并集，记作：A B ⋃ 由定义可知，{,}A B x x A x B ⋃=∈∈或.任意两个非空集合A 、B 的并集有以下四种情况：ABBABABA任意两个非空集合A 、B 的并集具有以下性质： 1、A B B A ⋃=⋃2、A A B ⊆⋃, B A B ⊆⋃3、A A ∅⋃=，即空集与任何集合的并集都等于该集合4、A B A B B ⊆⇔⋃=，B A A B A ⊆⇔⋃=集合的运算知识梳理三、补集运算一般地，设U 是全集，A U ⊆，定义由属于U 但不属于A 的元素构成的集合叫A 的补集，记作：U C A 在维恩图中，我们以矩形表示全集，集合A 的补集U C A 表示下图空白部分AC U AU补集的运算性质： 1、U A C A ⋂=∅ 2、U A C A U ⋃=3、()U U C C A A =；U C U =∅；U C U ∅= 四、 集合的运算律1、交换律：A B B A ⋂=⋂；A B B A ⋃=⋃2、结合律：()()A B C A B C ⋂⋂=⋂⋂；()()A B C A B C ⋃⋃=⋃⋃3、分配律：()()()A B C A B A C ⋂⋃=⋂⋃⋂；()()()A B C A B A C ⋃⋂=⋃⋂⋃4、德摩根定律：()U U U C A C B C A B ⋂=⋃；()U U U C A C B C A B ⋃=⋂一、有关交集的问题【例1】（1）已知集合{}R x x y y M ∈==,|2，{}32|2+-==x y y N ，求N M I ；例题解析（2）已知集合{}(,)|210A x y x y =+=，{}(,)|35B x y x y =-=，求B A I ，并说明它的意义.【例2】（1）已知集合{}|A x x =是三角形，{}|B x x =是等腰三角形，{}|C x x =是直角三角形，求A B ⋂，()A B C ⋂⋂.（2）已知集合{}{}|20,,|1,A x x x R B x x x R =-≤∈=<-∈，{}|2C x x =>-，求,,()A B A C A B C ⋂⋂⋂⋂.【例3】（1）已知22,,{|46},{|218}x R y R A y y x x B y y x x ∈∈==-+==--+且，求A B I ； （2）已知22,,{|46},{|218}x R y R A x y x x B y y x x ∈∈==-+==--+且，求A B I ； （3）已知集合A =},1|{2Z x x y x ∈-=,},12|{A x x y y B ∈-==,则B A I =。
【例4】已知集合{}*|51,A x x k k N ==+∈，{}|6,B x x x Q =≤∈，求A B ⋂．【例5】已知集合{}{}{}|260,,|,,|5A x x x R B x x a x R C x x =->∈=≥∈=≤，若{}()|45A B C x x ⋂⋂=≤≤，则实数a 的值是 ．【例6】已知集合},2,1{3a a M -=，}3,1,0{2a a N -+=且M ∩N={0，1}，则实数a 的解集是（）A.{0}B.{0，1}C.{1}D.φ【例7】已知集合{}{}2230,A x x x B x x a =--==>，φ≠⋂B A ，求实数a 的取值范围.【例8】已知集合{}R x x x x A ∈=--=,0322,{}1B x a x a =<<-，且A B A ⋂=，求实数a 的值组成的集合C ．【例9】设集合{}{}22x x 3x 180,B x x ax b 0A =--==++=.若⋂A B=B ,求实数a,b 所满足的条件。
【例10】已知X 是方程02=++q px x 的实数解集，A={1,3,5,7,9},B={1,4,7,10}.且X X B X A =⋂=⋂,φ,则p+q= ．【例11】()()()(){}23,1,,,,1115,,2y A x y a x y R B x y a x a y x y R x ⎧-⎫==+∈=-+-=∈⎨⎬-⎩⎭，φ=⋂B A ，则=a ．【例12】已知{}R x x p x x A ∈=+++=,01)2(2，若φ=⋂+R A ，则实数p 的取值范围 ．【例13】设集合{}1,A x x m x =-≤∈R ，()(){}20B x x a x a =-⋅-=． （1）若2m =，且a ∈N ，求A B I ；（2）若2m a =，且0a ≥时，是否存在这样的实数a ，使得集合A B I 中仅有一个元素？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，试说明你的理由．【例14】设m 、n 为自然数，m>n ，集合A={1，2，3…，m}，集合B={1，2，3，…n}，满足φ≠⋂C B 的A 的子集C 共有___________个。
【例15】已知A={}{}{}{}22t x 2tx 4t 30R ,B t x 2tx 2t 0t 满足x t 满足x +--≠==+-=≠∅,其中x,t 均为实数(1) 求B ⋂A ；(2) 设m 为实数，2g(m)m 3,=-求{}M m g(m)A B =∈⋂。
【巩固训练】1. 已知集合{}{}2|,,|2,0M y y x x R N y y x x ==∈==+>，则M N =I __。
2．定义{}|A B x x A x B -=∈∉且，若{}1,2,3,4A =，{}2,3,6B =，则A B -= ．3．定义{}|A B x x A x B +=∈∈或，若{}1,2,3,4A =，{}2,3,6B =，则A B += ．4．设2{230},{10}M x x x N x ax =--==-=，若N N M =I ，求所有满足条件的实数a 的集合。
5．{}{}=⋂∈++-==∈-==B A R x x x y y B R x x y y A ,,152,,22 ．6．已知集合{}(,)|21A x y y x ==-，{}22(,)|9110B x y x y x =++-=，求B A I ．7．已知集合{},,,A a b c d =，{},,,B b c d e ={},,C a d f =，则()A B C ⋂⋂与()A B C ⋂⋂的关系是 ．8．已知集合3|,1A x x x n Z n ⎧⎫==∈⎨⎬-⎩⎭、，{}2,1,1,2,3B =--，则A B ⋂= ．9．已知集合{}2|320A x x x =-+=，{}22|2(1)(5)0B x x a x a =-++-=． (1)若{}2A B ⋂=，求实数a 的值； (2) 若A B B ⋂=，求实数a 的取值范围．10．已知非空集合{}{}0)(),(,1),(2=+==-=y x x y x B x y y x A ，则B A I ＝＿＿＿。
11．已知集合{}{}|23,|121A x x B x m x m =≤≤=+≤≤-，当A B =∅I 时，求实数m 的取值范围.二、有关并集的问题【例16】已知集合{}{,,,},{,,,},,,A a b c d B b d e f C a d f ===，求()A B C ⋂⋃.【例17】}1x 3{<≥=或x x A ，}3x {≤>=或πx B 求，.【例18】已知集合{}|35A x x =-≤≤，{}|43B x x =-<<，{}|40C x x =-≤<，求A B ⋃，()A B C ⋂⋃，()()A C B C ⋃⋂⋃，并比较三者的关系.【例19】集合 {},,12R x x y y M ∈-==集合{}23x y x N -==，则N M I = ；N M ⋃=_______．【例20】已知集合{}{}21,3,,1,A x B x ==，若A B A =U ，则满足条件的实数x 的个数是（）.（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4【例21】已知集合{}2|320A x x x =-+=，{}22|2(1)(5)0B x x a x a =-++-=．若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围．【例22】若集合}72,4,2{23+--=x x x A ，}73,22,3,4{232++++-+-=y y y y y y B ，且A ∩B={2，5}，则A ∪B=___________。
【例23】已知三个关于x 的方程：022,0)1(,03442222=-+=+-+=+-+a ax x a x a x a ax x 中至少有一个方程有实数根，求a 的取值范围B A I B A Y【巩固训练】1．已知集合{}{}|1,|2P x x Q x x =≤=>-，1|2S x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，则()P Q S ⋂⋃= ．2．已知集合{}{}42,,|4,A x x k k Z B x x k k Z ==+∈==∈，则A B =U .3．已知集合{},,,A a b c d =，{},,,B b c d e ={},,C a d f =，则()A B C ⋃⋂与()()A C B C ⋂⋃⋂的关系是 ．4．已知{|3}A x a x a =≤≤+,{|1B x x =<-或5}x >, 若A B B =U ,求a 的取值范围.5．已知非空集合{}|2132P x m x m =+≤≤-，{}|313Q x x =-<<，若P Q Q ⋃⊆，求实数m 的取值范围.6.设222{40},{2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=． (1)若A B B ⋂=，求a 的值； (2)若A B B ⋃=，求a 的值．7．若非空集合{|135},{|115}X x a x a Y x x =+≤≤-=≤≤，则使得Y X Y =U 成立的所有a 的集合是（A ）{|07}a a ≤≤ （B ）{|37}a a ≤≤（C ）{|7}a a ≤ （D ）空集8．设{}{}015,022=++==++=cx x x B b ax x x A ，{}{}3,5,3=⋂=⋃B A B A ，则=++c b a ________9．若{}{}{}082,065,0192222=-+==+-==-+-=x x x C x x x B a ax x x A ； （1）当B A B A Y I =时，求a 的值；（2）当φφ=⊆C A B A I I ,，求a 的值三、有关补集的问题【例24】设},,{},,{},,,,,{d c b B b a A e d c b a U ===，分别写出)()(),(B C A C B A C U U U I Y ,)(B A C U I ,)()(B C A C U U Y ,并指出他们之间哪些集合具有相等关系.【例25】已知全集U Z =，},12|{},,2|{Z k k x x B Z k k x x A ∈-==∈==，写出,U U C A C B .【例26】设*{8,},{1,3,4,5,6,7}I I x x x N A C B =≤∈⋃=，{1,2,4,5,6,8}I C A B ⋃=，{1,5,6}I I C A C B ⋂=，求集合A 和集合B【例27】已知全集32{1,3,2}S x x x =--，A ={1,21x -}，如果}0{=A C S ，则这样的实数x 是否存在？若存在，求出x ，若不存在，说明理由。