第二章运算方法与运算器1
计算机组成原理白中英(第5版)课后习题-运算方法和运算器(圣才出品)
第2章 运算方法和运算器1．写出下列各整数的原码、反码、补码表示（用8位二进制数）。
其中MSB 是最高位（符号位），LSB 是最低位。
（1）-35（2）128（3）-127（4）-1答：（1）[-35]原=1010 0011[-35]反=1101 1100[-35]补=1101 1101（2）[127]原=0111 1111[127]反=0111 1111[127]补=0111 1111（3）[-127]原=1111 1111[-127]反=1000 0000[-127]补=1000 0001（4）[-1]原=1000 0001[-1]反=1111 1110[-1]补=1111 11112．设[x]补=7650....a a a a ，其中i a 取0或1，若要x>-0.5，求0126,,,...a a a a 的取值。
答：[x]补＝a7. a6 a5…a0①若a7=0，则x>0，满足x>-0.5，此时a0→a6可任意；②若a7=1，则x<=0，要满足x>-0.5，需a6=1。
即a7=1，a6=1，a0→a5有一个不为0。
3．有一个字长为32位的浮点数，符号位1位；阶码8位，用移码表示；尾数23位，用补码表示；基数为2。
请写出：（1）最大数的二进制表示；（2）最小数的二进制表示；（3）规格化数所能表示的数的范围。
答：IEEE 754格式（E的取值范围：1～254，全0和全1分别表示0和无穷大）如下。
（1）最大数的二进制：阶码取最大的正数，尾数取最大的正数，表示为0 11111111 11111111111111111111111即2127×（1-2-23）（2）最小数的二进制：阶码取最大的正数，尾数取最大的负数，表示为1 11111110 11111111111111111111111即-2127×2-23（3）规格化数所能表示数的范围：最小的正数：阶码取最小的负数，尾数取最小的正数0 00000001 00000000000000000000001 即2-127×（2-1+2-23）最大的正数：阶码取最大的正数，尾数取最大的正数0 10000000 11111111111111111111111 即2127×（1+2-1-2-23）最大的负数：阶码取最大的正数，尾数取最大的负数1 10000000 11111111111111111111111 即-2127×（2-1+2-23）最小的负数：阶码取最小的负数，尾数取最小的负数1 00000001 00000000000000000000000 即-2-127所以范围是：-2127至-2-127×（2-1+2-23），2-127×（2-1+2-23）至2127×（1+2-1-2-23）4．将下列十讲制数表示成IEEE754标准的32位浮点规格化数。
计算机原理第二章运算方法和运算器
算术移位时，符号位保持不变，其 余位进行相应移动。算术左移相当 于乘以2，算术右移相当于除以2并 向下取整。
乘法运算方法
原码一位乘法
将被乘数和乘数均取原码，从乘数的最低位开始逐位判断，若为1则加上被乘 数的原码，若为0则不变。重复此过程直至乘数所有位均判断完毕。
补码一位乘法
将被乘数和乘数均取补码，从乘数的最低位开始逐位判断，若为1则加上被乘数 的补码并考虑进位，若为0则只考虑进位。重复此过程直至乘数所有位均判断完 毕。
节能技术
采用节能技术，如动态电压调整、睡眠模式等， 以降低运算器在空闲或低负载时的功耗。
06
计算机中数的表示和运算 方法扩展
大数表示和运算方法
大数的概念
超出计算机基本数据类型表示范围的整数或浮点数。
大数表示方法
采用多精度表示法，将大数拆分成多个基本数据类型的数进行表示 和存储。
大数运算方法
设计相应的大数运算算法，如大数加法、减法、乘法、除法等。
转换方法
根据机器数的表示方法，通过相应的运算将其转换为真值。
定点数与浮点数
定点数
表示范围与精度
小数点位置固定的数，可表示整数或 小数。
定点数表示范围有限，精度较高；浮 点数表示范围大，但精度相对较低。
浮点数
小数点位置可变的数，由阶码和尾数 两部分组成，可表示大范围的数值。
02
基本运算方法
定点加减法运算
运算流水线设计
在算术逻辑单元（ALU）中采用流 水线技术，将复杂的运算过程分解 为多个简单的运算步骤，提高运算 速度。
超标量流水线设计
在一个周期内同时发射多条指令， 通过多个功能部件并行执行，进一 步提高处理器的性能。
计算机组成原理 第五课
例:X0X1X2X3C =10110 (奇) X0'X1'X2'X3' C' =11110 由X0'X1'X2'X3'生成C*=
(1 ⊕ 1) ⊕ (1 ⊕ 1)
=1,则
C*⊕C' =1⊕0=1 —— 出错
(4) 优缺点
优点:简单易行,省器件. 缺点:只能发现奇数位错,无纠错能力.
2.1.4 数据校验码
1. 数据校验码:
用以发现或同时能得出错误位置特征的数据编码. 计算机中的错误类型: ; (1)固定性错误---元器件故障; ) (2)突发性错误---噪声干扰. )
2. 检错码--奇偶校验码 (1) 定义
使包括一位校验位在内的数据代码,"1"的个数总是奇 (或偶)数个为合法数据的编码.
2. 补码定点减法
(1)补码减法的规则: 推论: [X-Y]补= [X+(-Y)]补 =[X]补+[-Y]补 已知 [Y]补 ,那么 [-Y]补=? (2)求补: 由[Y]补求[-Y]补,称为对Y求补. (3)求补规则 : 不管真值Y时正数还是负数,求补的方法都是将[Y]补 可见:求补时,从[Y]补的最低位开始向高位扫描,见到第 连同符号位在内各位变反, 末位加1. 一个"1",包括这个"1"的各位不变,其余各位变反 例如:[y]补=1.1010,则环冗余校验码(CRC) CRC
n位数据位和r位校验位只有1位出错,共有n+r种情况, (1) 纠正一位错所需的校验码位数r 加上没有错的一种情况,共有n+r+1种情况,而r位二进 设待编码的信息有效位数为n,则r应满足: 制的编码数为2r,因此 2r≥n+r+1 即 r>log2n n r 1 2 2～4 3 5～11 12～26 4 5
计算机组成原理第四版第二章
+ [y]补 0. 0 1 0 1 [x+y]补 0. 1 1 1 0
所以x+y=+0.1110
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第二章 运算方法和运算器
B 补码减法
➢ 公式：
[x-y]补=[x]补-[y]补=[x]补+[-y]补
➢ 举例
已知 x=+0.1101 ， y=+0.0110，求x-y。 解： [x]补=0.1101 [y]补=0.0110 ，[-y]补=1.1010 [x]补 0. 1 1 0 1 + [-y]补 1. 1 0 1 0 [x-y]补 1 0. 0 1 1 1
最大正数，称为“上溢” 或“正溢出”
两个负数相加，结果 小于机器所能表示的最
小负数，称为“下溢” 或“负溢出”
判断方法
举例说明
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第二章 运算方法和运算器
溢出检测方法常用以下两种方法：
1.采用双符号位（变形补码）判断方法：
变形补码： “00”表示正数、“11”表负数，两符号位同时参加运算， 运算结果符号出现01或10表明溢出。
发生溢出；而在浮点运算时，运算结果超出尾数的表示范围 却并不一定溢出，只有当阶码也超出所能表示的范围时，才 发生溢出。
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3.十进制数串的表示方法
➢ 目前,大多数通用性较强的计算机都能直接 处理十进制形式表示的数据。十进制数串 在计算机内主要有两种表示形式：
➢ 1.字符串形式 ➢ 2.压缩的十进制数串形式
➢ 计算机采用定点数表示时，对于既有整数又有小数的原始数据，需要设 定一个比例因子，数据按其缩小成定点小数或扩大成定点整数再参加运 算，运算结果，根据比例因子，还原成实际数值。若比例因子选择不当， 往往会使运算结果产生溢出或降低数据的有效精度。
第2章_运算方法和运算器74181
01100111ｚ
ｘ⊕ｙ ＝ 01100111
2.5.1 逻辑运算（续9）
事实上,逻辑加还可以通过逻辑乘和逻辑 非来实现：
ｚi＝ｘi∨ｙi =ｘi∧ｙi
同样,逻辑乘也可以用逻辑加和逻辑非来 实现 ：
ｚi＝ｘi∧ｙi ＝ｘi∨ｙi
2.5.2 多功能算术/逻辑运算单元(ALU)
由一位全加器(FA)构成的行波进位加法器， 它可以实现补码数的加法运算和减法运算。
Fi＝Xi⊕Yi⊕Cn＋i Cn＋i＋1＝XiYi＋YiCn＋i＋Cn＋iXi
图2.10 ALU的逻辑结构原理框图
2.5.2 多功能算术/逻辑运算单元(ALU)续2
上式中进位下标用n＋i代替原来全加 器中的i,i代表集成在一片电路上的ALU的
二进制位数。对于4位一片的ALU,i＝ 0,1,2,3。
＝G*＋P*Cn 其中： 成组进位传送输出： P*＝P0P1P2P3 成组进位发生输出：G*＝G3＋G2P3＋G1P2P3＋G0P1P2P3
根据以上表达式,用TTL器件实现的成组 先行进位部件74182的逻辑电路图如图2.12所 示 其中G*称为成组进位发生输出,P*称为成组 进位传送输出。
这种加法/减法器存在两个问题：
一是由于串行进位，它的运算时间很长。假如加 法二器是由就n行位波全进加位器加构法成器，本每身一来位说的，进它位只延能迟完时成间为
《计算机组成原理》白中英第三版课后答案
第一章计算机系统概论习题参考答案1．比较数字计算机和模拟计算机的特点。
解: 模拟计算机的特点: 数值由连续量来表示, 运算过程是连续的;数字计算机的特点: 数值由数字量( 离散量) 来表示, 运算按位进行。
两者主要区别见P1 表1.1。
2．数字计算机如何分类? 分类的依据是什么?解: 分类: 数字计算机分为专用计算机和通用计算机。
通用计算机又分为巨型机、大型机、中型机、小型机、微型机和单片机六类。
分类依据: 专用和通用是根据计算机的效率、速度、价格、运行的经济性和适应性来划分的。
通用机的分类依据主要是体积、简易性、功率损耗、性能指标、数据存储容量、指令系统规模和机器价格等因素。
3．数字计算机有那些主要应用?( 略)4．冯. 诺依曼型计算机的主要设计思想是什么? 它包括哪些主要组成部分?课后答案网解: 冯. 诺依曼型计算机的主要设计思想是: 存储程序和程序控制。
存储程序: 将解题的程序( 指令序列) 存放到存储器中;程序控制: 控制器顺序执行存储的程序, 按指令功能控制全机协调地完成运算任务。
主要组成部分有: 控制器、运算器、存储器、输入设备、输出设备。
5．什么是存储容量? 什么是单元地址? 什么是数据字? 什么是指令字?解: 存储容量: 指存储器能够容纳的二进制信息的数量, 一般见单位KB、 MB、 GB来度量, 存储容.com量越大, 表示计算机所能存储的信息量越多, 反映了计算机存储空间的大小。
单元地址: 单元地址简称地址, 在存储器中每个存储单元都有唯一的地址编号, 称为单元地址。
数据字: 若某计算机字是运算操作的对象即代表要处理的数据, 则称数据字。
指令字: 若某计算机字代表一条指令或指令的一部分, 则称指令字。
6．什么是指令? 什么是程序?解: 指令: 计算机所执行的每一个基本的操作。
程序: 解算某一问题的一串指令序列称为该问题的计算程序, 简称程序。
7．指令和数据均存放在内存中, 计算机如何区分它们是指令还是数据?解: 一般来讲, 在取指周期中从存储器读出的信息即指令信息; 而在执行周期中从存储器中读出的信息即为数据信息。
白中英计算机组成原理第2章_运算方法与运算器 (1)解析
定点整数的表示范围
纯整数的表示范围为(x1x2…xn各位均为0时 最小；各位均为1时最大，x0为符号位) 0≤|ｘ|≤ 2n －1
例如：n＝8，最大值编码：11111111 表示： 11111111＝100000000－1 ＝28－1
目前计算机中多采用定点纯整数表示，因此 将定点数表示的运算简称为整数运算
第二章 运算方法和运算器
重点：数据表示 简介：运算方法和运算器 补充：数字逻辑
二进制数
便于计算机存储及物理实现 特点：逢二进一，由0和1两个数码组成，基数
为2，各个位权以2k表示 二进制数：
anan-1…a1a0.b1b2…bm＝ an×2n＋an-1×2n-1＋…＋a1×21＋a0×20 ＋b1×2-1＋b2×2-2＋…＋bm×2-m 其中ai，bj非0即1
定点小数的表示范围
纯小数的表示范围为(x1x2…xn各位均为0时 最小；各位均为1时最大，x0为符号位) 0≤|ｘ|≤1－2-n
例如，n＝8，最大值编码：0.11111111 表示： 0.11111111 ＝1.0－0.00000001 ＝1-2-8
非常大和非常小的数
如何用定点数来表示非常大(e.g. 2×10+33 )的数和非常小(e.g. 9×10-28 )的数？
00111010B＝3AH，F2H＝11110010B
十六进制数的加减运算类似十进制
•逢16进位1，借1当16
23D9H＋94BEH＝B897H
A59FH－62B8H＝42E7H
计算机组成原理
7
真值和机器数
真值：现实中真实的数值 机器数：计算机中用0和1数码组合表达的数值 定点数：固定小数点的位置表达数值的机器数
一个Ｒ进制数Ｎ可以写成 Ｎ＝Ｒe×Ｍ
经典：计算机组成原理-第2章-运算方法和运算器
第二章：运算方法和运算器
2．1 数据与文字的表示方法 2．2 定点加法、减法运算 2．3 定点乘法运算 2．4 定点除法运算 2．5 定点运算器的组成 2．6 浮点运算方法和浮点运算器
其中尾数域所表示的值是1.M。因为规格化的浮点数的尾数域最
左位（最高有效位）总是1。故这一位经常不予存储，而认为隐藏
在小数点的左边。
64位的浮点数中符号位1位，阶码域11位，尾数域52位，指数偏
移值是1023。因此规格化的64位浮点数x的真值为：
x=(－1)s ×(1.M) × 2E－1023 e=E－1023
[X]反=1.x1x2...xn 对于0，有[+0]反=[-0]反之分：
[+0]反=0.00...0
[-0]反=1.11...1
我们比较反码与补码的公式
[X]反=2-2-n+X
[X]补=2+X
可得到 [X]补=[X]反+2-n
8
若要一个负数变补码，其方法是符号位置1，其余各位0变1，1变 0，然后在最末位（2-n）上加1。
10100.10011=1.010010011*24 e=4 于是得到：S=0,E=4+127=131=10000011, M=010010011 最后得到32位浮点数的二进制存储格式为： 0100 0001 1010 0100 1100 0000 0000 0000=（41A4C000）164
计算机组成原理第11-浮点数的运算1
ｘ±ｙ＝(Mｘ2Eｘ－Eｙ±Mｙ)2Eｙ， Eｘ<＝Eｙ
12/31/2023
信 息 科 学 与 工 程 学 院1
两数首先均为规格化数，进行规格化浮点数的加减运 算需经过5步完成： （1）对阶操作：低阶向高阶补齐，使阶码相等。 （2）尾数运算：阶码对齐后直接对尾数运算。 （3）结果规格化：对运算结果进行规格化处理（使补码尾 数的最高位和尾数符号相反）。如溢出则需右规；如不是 规格化时应左规。 （4）舍入操作：丢失位进行0舍1入或恒置1处理。 （5）判断溢出：判断阶码是否溢出，下溢则将运算结果置 0（机器0），上溢则中断。
14 12/31/2023
信 息 科 学 与 工 程 学 1院4
第二章 运算方法和运算器
２、乘、除法运算步骤 浮点数的乘除运算大体分为以下几个步骤：
１＞ 0 操作数检查。 ２＞ 阶码加/减操作。 ３＞ 尾数乘/除操作。 ４＞ 结果规格化 ５＞ 舍入处理。
15 12/31/2023
信 息 科 学 与 工 程 学 1院5
18 12/31/2023
信 息 科 学 与 工 程 学 1院8
第二章 运算方法和运算器
当尾数用原码表示时,舍入规则比较简单。最简便的方法,是只要尾数的最低位 为1,或移出的几位中有为1的数值位,就是最低位的值为1。 另一种是0舍1入法,即当丢失的最高位的值为1时,把这个1加到最低数值位上进 行修正,否则舍去丢失的的各位的值。 当尾数是用补码表示时,所用的舍入规则,应该与用原码表示时产生相同的处理 效果。 具体规则是：
(4) 右规
当 尾数溢出（ >1）时，需 右规 即尾数出现 01. ×× …×或 10. ×× …×时
尾数 1，阶码加 1
12/31/2023
计算机组成原理-第2周下-定点加减法运算
[y]补= 1 1 0 1 1 10 0110
所以
ｘ＋ｙ＝+0110
6
例: x＝-11001 ,y＝-00011，求 x+y＝？
解:[x]补=1 0 0 1 1 1， [y]补=1 1 1 1 0 1
[x]补=1 0 0 1 1 1 +
丢掉
[y]补=1 1 1 1 0 1 11 0 01 0 0 由以上三例看到,补码加法的特点: (1) 符号位要作为数的一部分一 起参加运算。 (2) 要在模2n+1的意义下相加， 即超过2n+1的进位要丢掉!
13
[例16] ｘ＝－1101, ｙ＝－1011,求ｘ＋ｙ。 [解:] [ｘ]补＝10011 [ｙ]补＝10101 [ｘ]补 ＋ [ｙ]补 [ｘ＋ｙ]补 10011 10101 01000
两个负数相加的结果成为正数,这同样是错误的。 之所以发生错误,是因为运算结果产生了溢出。两个正数相 加,结果大于机器所能表示的最大正数,称为正溢出。而两个负数 相加,结果小于机器所能表示的最小负数,称为负溢出。
21
常见的门电路
1．与门 真值表表示的两输入端与门如表2-1所示，逻辑符号如图 2-1所示。从与门的逻辑关系上可以看出，如果输入端A 作为控制端，则A的值将会决定输入端B的值是否能被输 出到端口Y。
Y AB
A
B
Y=AB
0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 表2-1 两输入端与门的真值表
27
5．或非门
真值表表示的两输入端或非门如表2-5所示，逻辑符号如 图2-5所示。可以利用或非门的输入端A来控制输入端B。 当A=0时，（输入信号被反相输出）；当A=1时，则不管 B的值是什么，Y都为0。
第二章 计算方法和运算器(一)
教学内容：
第二章计算方法和运算器（一）
例：用32位（4字节）表示规格化浮点数，阶码占8位，为定点整数补码形式；尾数占24位，用规格化定点小数补码表示。
1．字符的表示方法
美国信息交换标准码(American Standard Code for Information Interchange)，简称为ASCII码，是目前国际上通用的字符二进制编码，微型计算机中也普遍采用它作为字符的编码。它是7位二进制编码。
作业
P69习题1、2、3、4、5题
教学反馈Байду номын сангаас
四川警安职业学院标准教案纸
课程名称
计算机组成原理（第五讲）
任课教师
陈平
授课时间
地点
多媒体
授课班级
人数
教学目标
1.掌握数据与字符在机内的表示
2.掌握数的机器码表示之间的相互换算
教学重点
1.数值在机内的表示
2.数的机器码表示
教学难点
数的机器码之间的相互换算
教学时数
2节
教学方法
讲授法、演示法、实践操作法
教学手段
计算机组成原理(第四版)复习重点及例子
计算机组成原理复习重点及要求第二章运算方法和运算器1．定点数的表示方法：掌握定点数的概念；掌握定点数的机器码表示（主要是原码、补码和移码）。
2．定点数的运算方法：掌握补码加减运算方法、溢出概念及检测方法。
3．定点运算器：掌握全加器的功能；掌握行波进位加减法器的结构及工作原理；理解多功能ALU的结构原理；掌握定点运算器的基本结构及其特点（包括单总线结构、双总线结构和三总线结构）。
4．浮点数的表示方法：掌握浮点数的概念；掌握浮点数表示的一般格式；掌握浮点数规格化表示的方法及其意义。
5．浮点数的运算方法：掌握浮点数的加减运算方法及步骤。
第三章存储系统1．理解多级存储器体系结构的意义及各级存储器的主要作用。
2．SRAM存储器：理解存储器芯片的逻辑结构（包括存储阵列、双译码方式、读写控制等）；掌握SRAM存储器芯片的外部引脚特征（包括地址、数据、控制引脚）；掌握SRAM存储器容量扩充方法（包括位扩展、字扩展、字位同时扩展，以及与CPU 的连接等）。
3．DRAM存储器：掌握DRAM存储器的存储原理；理解DRAM存储器的刷新问题及刷新方法；掌握DRAM存储器芯片的外部引脚特征。
4．ROM存储器：掌握ROM存储器的种类；掌握EPROM的擦、写特点。
5．Cache存储器：掌握cache存储器的作用及工作原理，理解程序局部性原理的意义；掌握cache－主存系统性能指标的计算方法（包括命中率、平均访问时间及效率）；掌握各种主存与cache的地址映射方式及其特点，理解各种映射方式下的主存与cache的地址格式及其各字段的含义；理解替换策略对cache存储器的意义。
6．虚拟存储器：掌握虚拟存储器的作用及相关概念；掌握各式虚拟存储器的工作原理及特点（包括页式、段式和段页式虚拟存储器）；掌握各式虚拟存储器的地址变换过程，掌握各自的虚地址格式及其各字段的含义。
第四章指令系统1．指令系统的基本概念：掌握机器指令、指令系统、系列机、CISC、RISC等概念。
计算机组成原理习题 第二章运算方法和运算器
第二章习题一、填空题：1.一个定点数由A.______和B.______两部分组成，根据小数点位置不同，定点数有C.______和D.______两种表示方法。
2.数的真值变成机器码可采用A. ______表示法，B. ______表示法，C.______表示法，移码表示法。
3.若[ x1 ]补 = 11001100， [x2 ]原 = 1.0110 ，则数x1和x2的十进制数真值分别是A.______和B.______。
4.移码表示法主要用于表示浮点数的A.______码，以利于比较两个B.______数的大小和进行C.______操作。
5.按IEEE754标准，一个浮点数由A.___, 阶码E, 尾数M三个域组成。
其中阶码E 的值等于指数的B.___, 加上一个固定C.___。
6.若浮点数格式中阶码的基数已定，且尾数采用规格化表示法，则浮点数的表示范围取决于A. 的位数，而精度取决于B. 的位数。
二、选择题：1.（2000）10化成十六进制数是______。
A．（7CD）16 B.（7D0）16 C.（7E0）16 D.（7FO）162.在小型或微型计算机里，普遍采用的字符编码是______。
A. BCD码B. 16进制C. 格雷码D. ASCⅡ码3.下列有关运算器的描述中，______是正确的。
A.只做算术运算，不做逻辑运算B. 只做加法C.能暂时存放运算结果D. 既做算术运算，又做逻辑运算4.某机字长32位。
其中1位符号位，31位表示尾数。
若用定点整数表示，则最大正整数为______。
A. +(231-1)B. +(230-1)C. +(231+1)D. +(230+1)5.至今为止，计算机中的所有信息仍以二进制方式表示的理由是______。
A．节约元件 B. 运算速度快 C. 物理器件性能决定 D. 信息处理方便6.某机字长32位，其中1位符号位，31位表示尾数。
若用定点整数表示，则最小负整数为______。
@@运算方法和运算器解析
2018/10/15
1
第2章主要内容
数据的表示法
数的表示 字符的表示
数据的运算法
加减法运算 乘除法运算
运算的电路实现
2018/10/15 2
补充内容（进制之间的转换）
十进制——二进制
如 （20.59375）10=（10100.10011）2 （ 100.11011 ）2=（4.84375）10
2018/10/15
15
机器数的定点表示法
(1)定点表示法: 定点数是小数点固定在某一位置的数.可看成所有的 数都采用同样的阶码aj( 如 j=0, a0=1 ), aj可略去不 表示,也叫比例因子.因此,定点数可简化为: Sf (数符)和 S(尾数) 理论上讲,比例因子可任意选择,但一般把尾数表示成 纯小数或纯整数.比例因子的选择有以下要求: (2)比例因子的选择: 不能太大:会丢失有效数字,影响运算精度. 当比例因子为21时,S=0.011 当比例因子为22时,S=0.001,损失1位 若数N=0.11 当比例因子为23时,S=0.000,损失2位 不能太小:可能使数超过机器允许的范围. 如:0111+0101=1100,正数相加,变成了负数.
原码表示法
N＋1位原码： x0x1x2 … xn [X]原=符号位+|X| 定点整数： [x]原＝x x0 [x]原＝2n－x= 2n+|x| -2n<x≤0 定点小数： [x]原＝x 1>x 0 [x]原＝1－x=1+|x| -1<x≤0
2018/10/15 8
反码表示法
不管是定点整数或定点小数
《计算机组成原理-白中英版》习题答案
第二章运算方法和运算器1.写出下列各数的原码、反码、补码、移码表示（用8位二进制数）。
其中MSB是最高位（又是符号位）LSB是最低位。
如果是小数，小数点在MSB之后；如果是整数，小数点在LSB之后。
(1) -35/64 (2) 23/128 (3) -127 (4) 用小数表示-1 (5) 用整数表示-1解：(1)先把十进制数-35/64写成二进制小数：(-35/64)10=(-100011/1000000)2=(-100011×2-6)2=(-0.100011)2令x=-0.100011B∴ [x]原=1.1000110 (注意位数为8位) [x]反=1.0111001[x]补=1.0111010 [x]移=0.0111010(2) 先把十进制数23/128写成二进制小数：(23/128)10=(10111/10000000)2=(10111×2-111)2=(0.0001011)2令x=0.0001011B∴ [x]原=0.0001011 [x]反=0.0001011[x]补=0.0001011 [x]移=1.0001011(3) 先把十进制数-127写成二进制小数：(-127)10=(-1111111)2令x= -1111111B∴ [x]原=1.1111111 [x]反=1.0000000[x]补=1.0000001 [x]移=1.0000001(4) 令x=-1.000000B∴ 原码、反码无法表示[x]补=1.0000000 [x]移=0.0000000(5) 令Y=-1=-0000001B∴ [Y]原=10000001 [Y]反=11111110[Y]补=11111111 [Y]移=011111115.已知X和Y, 用变形补码计算X+Y, 同时指出运算结果是否溢出。
（2）X=0.11011 Y= -0.10101解：x+y = 0.00110无溢出6.已知X 和Y, 用变形补码计算X-Y, 同时指出运算结果是否溢出。
白中英计算机组成原理第2章-运算方法与运算器
2024年7月16日星期二
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2.1 数据与文字的表示方法
2.1.1 数据格式 2.1.2 数的机器码表示 2.1.1 数据格式 2.1.3 字符与字符串的表示方法 2.1.4 汉字的表示方法 2.1.5 校验码
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2.1.1 数据格式——定点数
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2.0 数据的类型（1/2）
按数制分：
十进制：在微机中直接运算困难；
二进制：占存储空间少，硬件上易于实现，易于运算；
十六进制：方便观察和使用；
二-十进制：4位二进制数表示1位十进制数，转换简单。 按数据格式分：
真值：没有经过编码的直观数据表示方式，其值可带正负号， 任何数制均可；
-8 1000 0000 -7 1001 0001 -6 1010 0010 …… …… ……
可以比较直观地判断两个数据的大小； 0 0000 1000
浮点数运算时，容易进行对阶操作；
+1 0001 1001
表示浮点数阶码时，容易判断是否下溢； …… …… ……
当阶码为全0时，浮点数下溢。
+7 0111 1111
优点 与真值对应关系简单；
缺点 参与运算复杂，需要将数值位与符号位分开考虑。
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补码表示法的引入（1/3）
要将指向5点的时钟调整到3点整，应如何处理？
5-2=3
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5+10=3（12自动 丢失。12就是模）
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补码表示法的引入（2/3）
继续推导： 5-2=5+10（MOD 12） 5+（-2）=5+10（MOD 12） -2=10（MOD 12）
第二章运算方法与运算器（浮点数的加减法，IEEE754标准3264浮点规格化数）
第⼆章运算⽅法与运算器（浮点数的加减法，IEEE754标准3264浮点规格化数）这⼀章，主要介绍了好多种计算⽅法。
下⾯，写⼀点⾃⼰对于有些计算（⼿写计算过程）的见解。
1.原码、反码、补码 原码：相信⼤家都会写，符号位在前⼆进制数值在后，凑够位数即可。
反码：原码符号位不变，其他位全部取反。
补码：反码末位加⼀ / 原码符号位不变，从右往左数第⼀个1及其右边的各位不变，其余位全部取反2.IEEE754的转换 IEEE754标准32/64浮点规格化数形式：X = (-1)S * 1.M * 2E-127(其中，S-阶符，M-尾数，E-阶码) 32位的规格化浮点数：SEM00000...(即⼆进制SEM后⾯补0，写够32位) 以27/64为例： ①化形式：27/64 = + (1.1011)2 * 2-2 ②找SEM：S=0，M=1011，E=(125)10=(01111101)2 ③写结果：00111110 11011000 00000000 00000000 = （3ED800）163.变形补码计算加减法 变形补码没什么稀奇，不过是符号位变成两位⽽已（00为正，11为负），它的价值在于可以作溢出判断（结果00//11表⽰未溢出，01-上溢（所谓上溢符号位还是0），11-下溢（下溢符号位还是1）），就正常求补码（符号位double），放在⼀起加和，做溢出判断，最后别忘了把补码再转换回原码作为最终结果。
x+y： 以x=11011, y=00011为例： ①求补：[11011]补=0011011, [00011]补=0000011 ②加和：011011 + 000011 = 0011110；符号位00，未溢出，故x+y=11110 x-y：(这⾥把减法化为加法，即 x-y = x+(-y)，另外[-y]补 = [y]补 从右往左数第⼀个1及其右边的各位不变，其余位全部取反，这次连带符号位也要取反) 以x=11011, y=-11111为例： ①求补：[11011]补=0011011, [-11111]补=1100001，[-y]补=0011111 ②加和：[x]补+[-y]补 = 0011011 + 0011111 = 0111010；符号位01，正溢（上溢）；故x-y=+1110104.浮点数加减法（我⽤的是补码计算） 这⾥⾯涉及的东西⽐较多，每⼀步都需要仔细，错⼀步结果就错了。
计算机组成原理第2章5-定点原码并行乘法运算
第二章 运算方法和运算器
n位乘n位积可能为2n位.乘积的最后是所有部分积之和，有n个数相加，而FA只有 两个输入端，所以需要改造 方法一：硬件实现方法(串行的“加法和移位”),硬件结构简单,速度太慢(已经淘 汰). 方法二：阵列乘法器
信 息 科 学 与 工 程 学 院3
与 工 程 学 院7
第二章 运算方法和运算器
时间延迟：
这种乘法器要实现 n 位 × n 位时，需要 n ( n-1) 个全加器和 2n 个“与” 门。该乘法器的总的乘法时间可以估算如下 令Ta为“与门”的传输延迟时间,Tf为全加器(FA)的进位传输延迟时间,假 定用2级“与非”逻辑来实现FA的进位链功能,那么就有：
第二章 运算方法和运算器
不带符号的阵列乘法器
设有两个不带符号的二进制整数： A＝am－1…a1a0 B＝bn－1…b1b0 在二进制乘法中,被乘数A与乘数B相乘,产生m＋n位乘积P：
P=A×B＝pm＋n－1…p1p0 乘积P 的数值为：
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第二章 运算方法和运算器
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第二章 运算方法和运算器
带符号的阵列乘法器
阵列乘法器只能处理原码的乘法运算，但在计算机中数据经常采用补码表示， 为实现补码乘法运算，就需要采用带符号的阵列乘法器。 带符号的阵列乘法器可借助无符号的阵列乘法器加上求补电路实现。
算前求补+乘法器+算后求补
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第二章 运算方法和运算器
在对2求补时，令A = an…a1a0是给定的(n + 1)位带符号的数，要求确定它的补 码形式。进行求补的方法就是采用按位扫描技术,从数的最右端a0开始，由右向左 进行扫描，直到找到第一个“1”。
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真值 X
十进制 二进制
[X]原 [X]补 [X]反
1000 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 -
+0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +010 +011 +100 +101 +110 +111 -
-0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8
-000 -001 -010 -011 -100 -101 -110 -111 -1000
0000 1111 1110 1101 1100 1011 1010 1001 1000 1000
1111 1110 1101 1100 1011 1010 1001 1000 22
2.1 数据与文字的表示方法
Pn-1rn-1+Pn-2rn-2+…Piri…P2r2+P1r1+P0 +P-1r-1+P-2r-2….P-mr-m =(((((…Pn-1r1+Pn-2）r1+。。。) r1+P0 + (((((…(P-mr-1+P-m-1) r-1…….P-2)r-1 +P-1)r-1
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2.1 数据与文字的表示方法
5
2.1 数据与文字的表示方法
1。编码：BCD码,ASCII码 0000-----0；0001----1；0010---2 0011-----3；0100----4；0101---5 0110-----6；0111----7；1000---8 1001-----9 0011000 0---0 。。。。 00111001----9 转换简单，编码效率低，运算器复杂
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2.1 数据与文字的表示方法
n x 2 x0 原码 [ x]原 n n n 2 x 2 x 0 x 2 定点整数
X1= + 9 = + 1001B X2=– 9 =– 1001B
定点小数
[ x]原
X1= + 0.75 = + 0.11B X2=– 0.75 =– 0.11B
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2.1 数据与文字的表示方法
浮点数 小数点的位置不固定，根据需要而浮动。 任何一个数N的浮点表示形式为 N=M×2E
尾数，常为纯小数 阶码，常为纯整数
1位 es
k位 e
+
1位 ms
n位 m
–
阶码部分E
0
–
-1
尾数部分M
+ 0 +1
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2.1 数据与文字的表示方法
浮点数的表示范围 若阶码数值部分为K位，尾数数值部分为n K个1 位，均用补码表示，则
补码的引入 模和同余
利用补码可将减法运算转换成为加法运算
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2.1 数据与文字的表示方法
补码 [ x]补 M x 定点整数 [ x]
(mod M )
x 2n x 0 n 1 补 n 2 x 0 x 2 X1= + 9 = + 1001B [X1]补=0000 1001. X2=– 9 =– 1001B [X2]补=1111 0111.
定点数与浮点数 定点数 约定机器中所有数据的小数点位置是固 定不变的。 小数点隐含表示。 可表示成纯小数或纯整数。 定点数X＝X0 X1X2…Xn表示形式
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2.1 数据与文字的表示方法
定点数的表示范围 原码定点数 (字长n+1位) 纯小数：–(1－2-n )~(1-2-n ) 1.1111111 例:字长为8位,则 最小定点小数: -127/128 最大定点小数: 127/128 纯整数：–( 2n －1)~(2n -1) 0.1111111 例:字长为8位,则 11111111. 最小定点整数: -127 01111111. 最大定点整数: 127
2.1 数据与文字的表示方法
规格化的浮点数 为了充分利用尾数的有效数位，规定尾数值 应在0.5~1之间。 补码表示时，尾数的最高位应与符号位不同
当 1/2 <= M < 1 时，应有0.1 … 的形式 当 –1 <= M < - 1/2 时，应有1.0 … 的形式
为什么是<=? 补码的表示范围比原 码宽,可以表示-1, [-1]补=1.0000000, 是规格化的浮点数 为什么是<，而不是<=? [-1/2]原=1.1000000 [-1/2]补=1.1000000 不是规格化的浮点数
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三、小数点处理
2。浮点处理 ---用一组0/1组合表示小数点的位置—阶码 。浮点数的定义 N=+/-RE×M；E：阶码；M：尾数；R：基 数（2） 例：+111.1101=0.1111101×23 -111.1101=-0.1111101×23
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2.1 数据与文字的表示方法
(四）数的机器码表示 无符号数：正整数。 带符号数：正数或负数。 真值： 带“+”、“–”的数值本身。 例：+0.01、-1000 机器数（机器码）：最高位为符号位， “0”表示“+”，“1”表示“–”。 原码 反码 补码
-8 -7 -6 -5 -4 -3 8个负数 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 7个正数 +6 +7
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2.1 数据与文字的表示方法
真值与三种机器数间的对照
真值 X
十进制 二进制
[X]原[X]补[X]反 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 -
数值型数据 数据信息 非数值型数据 控制信息 指令信息等
一、数值型数据的表示方法
数值型数据的三个要素： 符号，数码，小数点
4
2.1 数据与文字的表示方法
（一) 符号的表示方法 ---符号数码化：0---正数；1----负数 ---放在最前面 ---机器数：符号数码化的数 ---无符号化，或用ASCII码 (二) 数码部分的表示 由10个阿拉伯的数字构成 1。编码：BCD码，ASCII码
X 最大正数 (1 2 ) 2
n
2 k 1
0.1...1 2
n个1
01...1
K个0
X 最小正数 2 2
n
2k
0.0...1 2
第n位
10...0
K个 1 X 绝对值最大负数 (最小负数 ) 1 2 0.1...1 1.0...0 2 n个 0
27
2 k 1
20
2.1 数据与文字的表示方法
机器码的表数范围不同 原、反码的表数范围相对于零点对称 补码的表数范围，负方向比正方向宽 以字长4位(含符号位)的纯整数为例 原码、反码表数范围 -0 +0
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7
7个负数
7个正数
补码表数范围（多表示一个负数）
三种不同机器数以及真值之间的转换
[X]补 XS=0时，数值位不变 XS=1时，数值位变反加1 [X]原 XS=0时，数值位不变 XS=1时，数值位变反 [X]反
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X真值
+/- 变成 0/1
数值位不变
2.1 数据与文字的表示方法
原码与补码的直接转换法 当X为正数时，[X]补=[X]原=X； 当X为负数时，由原码求补码的简便算法： 符号位不变，最后面的1及其后各位保 持不变，中间各位按位取反。 例： [X]原= 1 . 111001 1000 [X]补= 1 . 000110 1000 不变 取反 不变
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2.1 数据与文字的表示方法
模：计量器的溢出容量，用M表示。当运算结 果超出计量范围，溢出部分舍弃。 n+1 字长为n+1位时 1000…0 n+1 n+1 定点整数的模为2 。 定点小数的模为2 。 10.00…0 同余：两整数A、B除以模M，所得的余数相同。 可记作A=B （mod M ） 当模为12时 4和16同余，可写作 4 = 16 （mod 12） 4-2=4+10 -2和10同余，可写作 –2 = 10 （mod 12)
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2.1 数据与文字的表示方法
定点数的表示范围 补码定点数 (字长n+1位) 纯小数：－1~1－2-n 例:字长为8位，则 1.0000000 最小定点小数: －1 最大定点小数: 127/128 0.1111111 纯整数：－2n ~ 2n－1 例:字长为8位，则 10000000. 最小定点整数: －128 最大定点整数: 127 01111111.
x 1 x 0 n ( 2 2 ) x 0 x 1
[X1]反=0.1100000 [X2]反=1.0011111
X1= + 0.75 = + 0.11B X2=– 0.75 =– 0.11B
0的表示形式不唯一
[+ 0]反= 00000000 [– 0]反= 11111111
r进制数的表示方法：
（Pn-1Pn-2…Pi…P2P1P0.P-1P-2….P-m)r = Pn-1rn-1+Pn-2rn-2+…Piri…P2r2+P1r1+P0 +P-1r-1+P-2r-2….P-mr-m 2） 计算机中常用的进位基数制 十进制 基数 10 二进制 2 八进制 十六进制 K进制 8 16 0~9 ABC DEF K 逢8进1 逢16进1 逢K进1 0123 4567
定点小数 [ x]补