高中数学空间几何体的结构、三视图和直观图
空间几何体的结构、三视图、直观图
【答案】 B
第八章
第1课时
高三数学（· 理）
探究 4
解决这类问题的关键是准确分析出组合体
的结构特征， 发挥自己的空间想象能力， 把立体图和截面 图对照分析，有机结合，找出几何体中的数量关系，为了 增加图形的直观性，常常画一个截面圆作为衬托．
第八章
第1课时
高三数学（· 理）
思考题 4 (2011· 湖北文)设球的体积为 V1，它的内接 正方体的体积为 V2，下列说法中最合适的是( )
第八章
第1课时
高三数学（· 理）
2．棱锥的结构特征 (1)棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有 _____________________ 一个公共顶点的三角形 ，这些面围成的几何体叫做棱锥． (2)正棱锥的定义：如果一个棱锥的底面是正多边形 ， 并且顶点在底面内的射影是 底面中心 ，这样的棱锥叫做正 棱锥．
【答案】 ①√ ②× ③× ④√ ⑤√ ⑥×
第八章
第1课时
高三数学（· 理）
探究 1 深刻领会基本概念，熟练掌握基本题型的解 法，是学好立体几何的关键，本课涉及到的概念较多，应 多看、多想、多做．
第八章
第1课时
高三数学（· 理）
思考题 1 以下命题： ①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ②若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面， 则该四棱柱 为直四棱柱； ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆； ④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台． 其中正确命题为________
A．V1 比 V2 大约多一半 B．V1 比 V2 大约多两倍半 C．V1 比 V2 大约多一倍 D．V1 比 V2 大约多一倍半
题型一
空间几何体的结构特征
例 1 判断正误 ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； ②底面是矩形的平行六面体是长方体； ③三棱锥的四个面中最多只有三个直角三角形； ④棱台的相对侧棱延长后必交于一点．
课件3：空间几何体的结构特征及其直观图、三视图
侧视图，可以将 D 排除，故选 B.
[答案] (1)D (2)B
第七章 第1讲
第30页
高三一轮总复习 ·新课标 ·数学
抓住3个必备考点 突破3个热点考向
破译5类高考密码
迎战2年高考模拟
限时规范特训
[奇思妙想] 已知某一几何体的正视图与侧视图均如图 2 所
示，则在下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有
体都是圆锥；
第七章 第1讲
第23页
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④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．
其中正确命题的个数是( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
第七章 第1讲
第24页
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考点 3 空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用 斜二测 画法来画，基本步骤是：
1．画几何体的底面
在已知图形中取互相垂直的 x 轴、y 轴，两轴相交于点 O，
画直观图时，把它们画成对应的 x′轴、y′轴，两轴相交于点 O′，且使∠x′O′y′＝ 45°(或 135°) ，已知图形中平行于 x 轴 的线段，在直观图中长度 不变 ，平行于 y 轴的线段，长度 减半．
第七章 第1讲
第3页
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2023年高考数学(文科)一轮复习课件——空间几何体的结构、三视图和直观图
考点二 空间几何体的三视图
例1 (1)(2021·全国乙卷)以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视 图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次 为__③__④__(_或__②__⑤__，__答__案__不__唯__一__)_____(写出符合要求的一组答案即可).
_平__行__且__相__等___
相交于_一__点___，但 不一定相等
延长线交于___一__点_
_平__行__四__边__形___
_三__角__形___
__梯__形__
索引
(2)旋转体的结构特征
名称
圆柱
圆锥
圆台
图形
互相平行且相等，
母线
__垂__直__于底面
相交于__一__点__
轴截面 侧面展开图
索引
2.(易错题)在如图所示的几何体中，是棱柱的为___③__⑤___(填写所有正确的序号). 解析 由棱柱的定义可判断③⑤属于棱柱.
索引
3.如图，长方体ABCD－A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′.剩下的几何体
是( C )
A.棱台
B.四棱柱
C.五棱柱
D.六棱柱
解析 由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱.
索引
训练1 (1)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画
出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( B )
A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 解析 由题知，该几何体的三视图为一个三角形、两个四边形，经分析可 知该几何体为三棱柱.
索引
(2)(2022·成都检测)一个几何体的三视图如图所示，
索引
解析 根据“长对正、高平齐、宽相等”及图中数据，可知图②③只能是侧 视图，图④⑤只能是俯视图，则组成某个三棱锥的三视图，所选侧视图和俯 视图的编号依次是③④或②⑤.若是③④，则三棱锥如图1所示；若是②⑤， 则三棱锥如图2所示.
§8.1 空间几何体的结构及其三视图和直观图
(1)在已知图形中,取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O,画直观图时,
把它们画成对应的x'轴和y'轴,两轴相交于点O',且使∠x'O'y'=45°(或 135°),用它们确定的平面表示水平面.
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(2)已知图形中平行于x轴、y轴的线段,在直观图中,分别画成平行于x' 轴、y'轴的线段. (3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持长度不变,平行于y轴 的线段,在直观图中长度变为原来的④ 一半 . 5.水平放置的平面图形的直观图的面积S直与原平面图形的面积S原的关 系为S直= S原.
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解题导引
解析 过点A,E,C1的截面为AEC1F,如图, 则剩余几何体的左视图为选项C中的图形.故选C.
2 4
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方法技巧
方法 掌握三视图的基本特征
正确认识三视图和直观图是本节的重点和难点.掌握三视图的基本特征 和“长对正、高平齐、宽相等”的原则,注意虚实线的区别,充分发挥 空间想象能力是解题的关键. 例 (2017河北衡水中学七调,5)正方体ABCD-A1B1C1D1 中,E为棱BB1的中点(如图),用过点A,E,C1的平面截去该 正方体的上半部分,则剩余几何体的左视图为 ( C )
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考点二
三视图和直观图
1.三视图是从一个几何体的正前方、正左方、③ 正上方 三个 不同的方向看这个几何体,描绘出的图形,分别称为正视图、侧视图、 俯视图. 2.三视图的排列顺序:先画正视图,俯视图放在正视图的下方,侧视图放 在正视图的右方. 3.三视图的三个原则:长对正、高平齐、宽相等. 4.水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法
第七章 第一节 空间几何体的结构及三视图和直观图
解：①错误，因为棱柱的底面不 错误， 一定是正多边形； 错误， 一定是正多边形；②错误，必须 用平行于底面的平面去截棱锥， 用平行于底面的平面去截棱锥， 才能得到棱台；③正确，因为三 才能得到棱台； 正确， 个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角； 正确， 个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；④正确， 因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱， 因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直 于底面； 正确，正方体 中的四棱锥C 于底面；⑤正确，正方体AC1中的四棱锥 1－ABC，四个 ， 面都是直角三角形； 正确，由棱台的概念可知． 面都是直角三角形；⑥正确，由棱台的概念可知．
答案： 答案：C
2． 如图 ， 几何体的正 主 )视图和侧 左 )视图都正确的是 ． 如图， 几何体的正(主 视图和侧 视图和侧(左 视图都正确的是 ( )
答案： 答案：B
3．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是( ．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是
)
A．三棱锥 ． C．四棱台 ．
B．四棱锥 ． D．三棱台 ．
解析： 解析：由所给三视图与直观图的关 系，可以判定对应的几何体为如图 所示的四棱锥，且PA⊥面ABCD， 所示的四棱锥， ⊥ ， AB⊥BC，BC∥AD. ⊥ ， ∥ 答案： 答案：B
4．(2010·北京高考 一个长方体去掉一个小长方体，所得 ． 北京高考)一个长方体去掉一个小长方体 北京高考 一个长方体去掉一个小长方体， 几何体的正(主 视图与侧 视图与侧(左 视图分别如图所示 视图分别如图所示， 几何体的正 主)视图与侧 左)视图分别如图所示，则该 几何体的俯视图为 ( 主)视图 、 侧(左)视图 、 俯视图 ，分别是从几何体的正前方 、正左方 、 正上方 观察几何体画出的轮廓线． 观察几何体画出的轮廓线．
空间几何体得结构、三视图和直观图
我参与、我快乐！ 2015年1月3日高三一轮复习理科补习班专用编写人：贾长江课题：空间几何体的结构、三视图和直观图【考点分析】(1)几何体作为线面关系的载体，其结构特征是必考内容；(2)考查三视图、直观图及其应用。
【重难点】(1)重点掌握以三视图为命题背景，研究空间几何体的结构特征的题型；(2)熟悉一些典型的几何体模型，如三棱柱、长(正)方体、三棱锥等几何体的三视图。
【知识梳理】1、空间几何体的结构特征从多面体和旋转体来构建本节知识框架。
2、空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用_________画法来画，基本规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为__________，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中__________.平行于x轴和z轴的线段长度在直观图中______________，平行于y轴的线段长度在直观图中________________.3、通过预习，你能说出正四面体、正棱锥、正棱柱的概念吗？【①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体；④棱台的相对侧棱延长后必交于一点．其中真命题的序号是__________【通关训练1】以下命题：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为( )A．0个B．1个C．2个D．3个审核人审批人 班级 小组 姓名 组评 师评 2题型二 空间几何体的三视图且体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )题型三 空间几何体的直观图的面积为( )A.34a2B.38a2C.68a2D.616a2【通关训练3】 如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A ．2＋ 2B.1＋22C.2＋22 D ．1＋ 2【我的收获】。
第1讲 空间几何体的结构特征及三视图和直观图
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第八章 立体几何
7
常用结论 1．常见旋转体的三视图 (1)球的三视图都是半径相等的圆． (2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形． (3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形． (4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形．
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5
2.三视图 (1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的_正__前______方、 __正__左_____方、___正__上____方观察几何体画出的轮廓线． (2)三视图的画法 ①基本要求：_长__对__正____，_高__平__齐____，__宽__相__等___． ②画法规则：__正__侧_____一样高，__正__俯_____一样长，__侧__俯_____一样宽；看不到的线画 __虚_______线．
第八章 立体几何
8
2．斜二测画法中的“三变”与“三不变”
坐标轴的夹角改变 “三变”与y轴平行的线段的长度变为原来的一半
图形改变
“三不变”平 与行x，性z轴不平改行变的线段的长度不改变 相对位置不改变
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第八章 立体几何
9
二、习题改编 1．(必修 2P19 练习 T2 改编)下列说法正确的是 ( ) A．相等的角在直观图中仍然相等 B．相等的线段在直观图中仍然相等 C．正方形的直观图是正方形 D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行 解析：选 D.由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行性不变．
解析：由斜二测画法的特点，知该平面图形的直观图的原图，即在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 ABCO 是一个长为 4 cm，宽为 2 cm 的矩形，所以四边形 ABCO 的面积为 8 cm2.
第七章第一节 空间几何体的结构特征及三视图与直观图 文 湘教版课件
2．已知正三角形ABC的边长为2，那么△ABC的直观图 △A′B′C′的面积为________． 解析：如图，图①、图②所示的分别是实际图形和直观图． 从图②可知，A′B′＝AB＝2，
O′C′＝12OC＝ 23，C′D′＝O′C′sin 45°＝ 23× 22＝ 46.所
以
S△A′B′C′12A′B′·C′D′＝12×2×
()
解析：给几何体的各顶点标上字母，如图1.A，E在侧投影面上 的投影重合，C，G在侧投影面上的投影重合，几何体在侧投影 面上的投影及把侧投影面展平后的情形如图2所示，故正确选项 为B(而不是A)． 答案：B
2．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下 底面的面积之比为 1∶16，截去的圆锥的母线长是 3 cm，则 圆台的母线长为________ cm. 解析：抓住轴截面，利用相似比，由底面 积之比为 1∶16，设半径分别为 r,4r. 设圆台的母线长为 l，截得圆台的上、下底 面半径分别为 r、4r.根据相似三角形的性质 得3＋3 l＝4rr，解得 l＝9. 所以，圆台的母线长为 9 cm. 答案：9
相对位置不改变.
3．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图
形的面积的关系
S
＝ 直观图
2 4S
原图形，S
原图形＝2
2S 直观图．
4．转化与化归思想
利用转化与化归思想解决棱台、圆台的有关问题 由棱台和圆台的定义可知棱台和圆台是分别用平行于棱锥和
圆锥的底面的平面截棱锥和圆锥后得到的，所以在解决棱台和圆台
4．三视图 (1)几何体的三视图包括 正(主) 视图、 侧(左)视图、 俯 视 图，分别是从几何体的 正前 方、 正左 方、 正上 方观察几
何体画出的轮廓线． (2)三视图的画法 ①基本要求：长对正 ，高平齐 ， 宽相等 ． ②画法规则：正侧 一样高， 正俯 一样长， 侧俯 一样
第一讲空间几何和结构特征以及三视图和直观图讲解
各棱长都为2的正三棱锥的三视图如图所示：
2 2
3
3
2 2
2
2 3 体高h 2 3
三、斜二测画法：
平行于x轴长度不变平行于 x轴 平行于y轴长度减半平行于 y轴 平行于z轴长度不变平行于 z轴
是底面中心的棱锥.特别地，各条棱均相等的正三棱锥又叫
正四面体. (3)平行六面体：指的是底面为平行四边形的四棱柱.
平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有 多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个
四棱柱为平行六面体的两个充要条件：
充要条件① ；
充要条件②
(写出你认为正确的两个充要条件)
B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形 成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能 是正六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
解析：A错误.如图(1)所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在
一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥.
解析：由三视图知，由4块木 块组成.
答案：4
5.如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直 观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形的形 状是 .
解析：将直观图还原得▱OABC，
则∵O′D′＝
OD＝2O′D′＝4 OC＝
O ′ C′ ＝ 2
cm，
cm，
C′D′＝O′C′＝2 cm，∴CD＝2 cm， =2 cm, OA＝O′A′＝6 cm＝OC，故原图形为菱形.
答案：菱形
7.1 空间几何体的结构、三视图和直观图
体叫棱柱
C、有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何 体叫棱锥 D、棱台是平行于底面截棱锥所得到的平面与底面之 间的部分
【分析】根据柱、锥、台的概念作出判断.
【解析】A，B中，不满足“每相邻两个侧面的公
共边互相平行”，所以不是棱柱；C中，不满足各个三 角形有唯一的公共顶点.
考点一 几何体的结构特征
判断图中所示物体是不是台体，为什么?
【分析】用台体的定义判断.
【解析】以上三图都不是台体，（1）中延长
AA1,DD1，它们交于一点，而延长BB1,CC1，它们交于
另一点，此图不能还原成锥体，故不是台体；（2）中 面ABCD与面A1B1C1D1不平行，故也不是台体；（3） 中⊙O与⊙O1也不平行，故（3）也不是台体. 【评析】判断是否是台体要看两点：一是看底面 是否平行，二是看是否可以还原成锥体.
＊对应演练＊
如图，长方体ABCD—A1B1C1D1.
(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
(2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成 的几何体还是 棱柱吗？如果 是，是几棱柱？ 如果不是，说 明理由.
（1）是棱柱，并且是四棱柱.因为以长方体相对的两个 面作底面都是四边形，其余各面都是矩形，当然是平行
母线.
D（A错误.如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在 一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不一定是 棱锥.
B错误.如图，若△ABC
不是直角三角形或是直
角三角形，但旋转轴不
是直角边，所得的几何
体都不是圆锥.
C显然错误.故应选D.）
考点三
基本元素的计算
圆台侧面的母线长为2a，母线与轴的夹角为30°,一个 底面的半径是另一个底面半径的2倍.求两底面的半径和 两底面面积之和.
空间几何体的结构特征及三视图和直观图 经典课件(最新)
图 12
高中数学课件
【反思·升华】 三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从几何体的正前方、 正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线，主视图反映了物体的长度和高度；俯视图反 映了物体的长度和宽度；左视图反映了物体的宽度和高度，由此得到：主俯长对正，主 左高平齐，俯左宽相等．
(1)由几何体的直观图画三视图需注意的事项：①注意正视图、侧视图和俯视图对应 的观察方向；②注意能看到的线用实线画，被挡住的线用虚线画；③画出的三视图要符 合“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征；
高中数学课件
空间几何体的结构特征及三视图和直观图 课件
高中数学课件
1．空间几何体
【最新考纲】
(1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生
活中简单物体的结构．
Hale Waihona Puke (2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，
能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二侧画法画出它们的直观图．
高中数学课件
(3)旋转体的展开图 ①圆柱的侧面展开图是矩形，矩形的长(或宽)是底面圆周长，宽(或长)是圆柱的母线 长； ②圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径长是圆锥的母线长，弧长是圆锥的底面周 长； ③圆台的侧面展开图是扇环，扇环的上、下弧长分别为圆台的上、下底面周长．
注：圆锥和圆台的侧面积公式 S 圆锥侧＝21cl 和 S 圆台侧＝21(c′＋c)l 与三角形和梯形的面积 公式在形式上相同，可将二者联系起来记忆．
答案：D
高中数学课件
高频考点 2 空间几何体的三视图 【例 2.1】 (2018 年高考·课标全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构 件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图 8 中木构件右边的小长方体是榫头．若如图 摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图 可以是( )
1.2空间几何体的三视图和直观图
1 V ( S S S S )h 3
柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？
上底扩大
上底缩小
V Sh
S 0
S S V 1 Sh 1 V ( S S S S )h 3 3
S为底面面积， h为锥体高
S , S 分别为上、下
底面面积，h 为台体 高
柱体（棱柱、圆柱）的体积公式：
V Sh
（其中S为底面面积，h为柱体的高）
锥体体积
h
椎体（圆锥、棱锥）的体积公式：
1 V Sh 3
（其中S为底面面积，h为高）
由此可知， 棱柱与圆柱的体积公式类似，都是 底面面积乘高； 棱锥与圆锥的体积公式类似，都是 1 底面面积乘高的 ． 3
台体体积
台体（棱台、圆台）的体积公式
考向二 空间几何体的三视图
【例2 】►(2012·湖南) 某几何体的正视图和侧视图均如图 所 示 ， 则 该 几 何 体 的 俯 视 图 不 可 能 是 ( )．
[审题视点] 根据正视图和侧视图相同逐一判断．
正视图
侧视图
圆台
俯视图
根据三视图想象它们表示的几何体的结构特征
正视图
侧视图
正四棱台 俯视图
简单组合体的三视图
水平直观图
正方形的水平直观图
y y
0 0
x
x
1. 水平方向线段长度不变;
变化 规则
2. 竖直方向的线段向右倾斜450，长度减半;
3. 平行线段仍然平行.
水平直观图
正三角形的水平直观图
由三视图求几何体的相关量
若一个正三棱柱的三视图如图所示， 求这个三棱 柱的高和底面边长以及左视图的面积．
空间几何体的结构、三视图、直观图
第 8页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
棱台、圆台的特征 用平行于底面的平面去截棱锥、圆锥，截面与底面间的部分 叫棱台、圆台． 几何体的三视图 正视图、侧视图、俯视图．又称为：主视图、左视图、俯视 图．
第 9页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
三视图的画法要求 (1)在画三视图时， 重叠的线只画一条， 挡住的线要画成虚线， 单位不注明，则按 mm 计． (2)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前 方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．画三视图的基本 要求是：“正俯一样长、正侧一样高、俯侧一样宽”． (3)由三视图想象几何体特征时要根据“长对正、高平齐、宽 相等”的基本原则．
第12页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
(4) 直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何 体都是圆锥． (5)若在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连 线是圆柱的母线． (6)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．
第13页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)× 解析 (1)(2)(3)(4)的反例见下面四个图．
第 3页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
课前自助餐
第 4页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
棱柱的结构特征 (1)定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每 相邻两个四边形的公共边都互相平行． (2)性质：①侧棱长相等；②侧面都是平行四边形．
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高考调研 ·高三总复习·数学（理）
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高考调研 ·高三总复习·数学（理）
【讲评】 立体几何中“截、展、拆、拼” ①“截”：指的是截面，平行于柱、锥底面的截面以及旋 转体的轴截面，它们集中反映了几何体的主要元素的数量关 系，能够列出有关量的关系． ②“展”：指的是侧面和某些面的展开图，在有关沿表面 的最短路径问题中，就是求侧面或某些面展开图上两点间的距 离．注意展开方式往往不止一种．
第7章-第1节-空间几何体的结构特征及其三视图和直观图
(2)由题目所给旳几何体旳正视图和俯视图，可知该几何体 为半圆锥和三棱锥旳组合体，如图所示．
进而可知侧视图为等腰三角形，且轮廓线为实线，故选D. 答案：D
(3)由正视图、侧视图可知，当体积最小时，底层有3个小正 方体，上面有2个，共5个；当体积最大时，底层有9个小正方 体，上面有2个，共11个．故这个几何体旳最大致积与最小体积 旳差是6.
一、空间几何体旳构造特征
名称
构造特征
(1)棱柱旳侧棱都平行且相等
全等
旳多边形，而且相平互 行
，上下底面是 .
多面体
(2)棱锥旳底面是任意多边形，侧面是有一种
公共顶点
旳三角形.
(3)棱台可由平行于底面
旳平面截棱锥得
到，其上下底面是相同 多边形．
名称
构造特征
(1)圆柱能够由矩形
绕其任一边旋转得到.
答案：A
(2)因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，所以EH∥B1C1，又EH⊄平 面BCC1B1，所以EH∥平面BCC1B1，又EH⊂平面EFGH，平面 EFGH∩平面BCC1B1＝FG，所以EH∥FG，故EH∥FG∥B1C1，所 以选项A，C正确；因为A1D1⊥平面ABB1A1，EH∥A1D1，所以 EH⊥平面ABB1A1，又EF⊂平面ABB1A1，故EH⊥EF，所以选项B 也正确．故选D.
【典例剖析】 (1)(2023·湖南高考)某几何体旳正视图和侧视图均
如图所示，则该几何体旳俯视图不可能是
(2)在一个几何体旳三视图中，正视图和俯视图如图所示， 则相应旳侧视图可觉得
(3)(2023·广州模拟)用若干个体积为1旳正方体搭成一种几何
体，其正视图、侧视图都是如图所示旳图形，则这个几何体旳
答案：C
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第1讲空间几何体的结构、三视图和直观图
一、选择题
1.关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是()
A.棱柱的侧棱长都相等
B.棱锥的侧棱长都相等
C.三棱台的上、下底面是相似三角形
D.有的棱台的侧棱长都相等
解析根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等.
答案 B
2.如图所示的几何体是棱柱的有()
A.②③⑤
B.③④⑤
C.③⑤
D.①③
解析由棱柱的定义知③⑤两个几何体是棱柱.
答案 C
3.(2017·衡水中学月考)将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()
解析易知侧视图的投影面为矩形，又AF的投影线为虚线，即为左下角到右上角的对角线，∴该几何体的侧视图为选项D.
答案 D
4.如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图，该几何体的侧视图为()
解析由直观图和正视图、俯视图可知，该几何体的侧视图应为面P AD，且EC投影在面P AD上且为实线，点E的投影点为P A的中点，故B正确.
答案 B
5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多
面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为
()
A.6 2
B.42
C.6
D.4
解析如图，设辅助正方体的棱长为4，三视图对应的多面体为
三棱锥A－BCD，最长的棱为AD＝（42）2＋22＝6.
答案 C
6.某几何体的正视图和侧视图均为如图所示的图形，则在下图的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是()
A.①③
B.①④
C.②④
D.①②③④
解析 由正视图和侧视图知，该几何体为球与正四棱柱或球与圆柱体的组合体，故①③正确. 答案 A
7.(2015·全国Ⅱ卷)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( ) A.18 B.17 C.16
D.15
解析 由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥.设正方体的
棱长为1，则三棱锥的体积为V 1＝13×12×1×1×1＝1
6.剩余部分的体积V 2＝13－16＝56.因此，V 1V 2
＝15.
答案 D
8.(2017·石家庄质检)一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图可能为( )
解析 由题图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面ACD ⊥平面BCD .
所以该三棱锥的侧视图可能为选项D. 答案 D 二、填空题
9.(2017·福建龙岩联考)一水平放置的平面四边形OABC ，用斜二测画法画出它的直观图O ′A ′B ′C ′如图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形OABC 面积为________.
解析 因为直观图的面积是原图形面积的2
4倍，且直观图的面积为1，所以原图形的面积为2 2. 答案 2 2
10.(2017·兰州模拟)已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于________. 解析 由题知此正方体的正视图与侧视图是一样的，正视图的面积与侧视图的面积相等为 2. 答案
2
11.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________.
解析 由题中三视图可知，三棱锥的直观图如图所示，其中P A ⊥平面ABC ，M 为AC 的中点，且BM ⊥AC .故该三棱锥
的最长棱为PC.在Rt△P AC中，PC＝P A2＋AC2＝22＋22＝2 2.
答案2 2
12.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是上底面
A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P－ABC的正视图与侧视图的
面积的比值为________.
解析三棱锥P－ABC的正视图与侧视图为底边和高均相等
的三角形，故它们的面积相等，面积比值为1.
答案 1
13.在如图所示的空间直角坐标系O－xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)，给出编号①②③④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()
A.①和②
B.③和①
C.④和③
D.④和②
解析如图，在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图
的画图规则判断三棱锥的正视图为④，俯视图为②.
答案 D
14.如图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是()
A.4
B.5
C.3 2
D.3 3
解析 由三视图知几何体的直观图如图所示，计算可知线段AF 最长，且AF ＝BF 2＋AB 2＝3 3.
答案 D
15.(2017·长郡中学月考)已知△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形，那么原△ABC 的面积为________.
解析 如图，过C ′作y ′轴的平行线C ′D ′，与x ′轴交于点D ′.则C ′D ′＝3
2a sin 45°＝6
2a .又C ′D ′是原△ABC 的高CD 的直观图， 所以CD ＝6a .
故S △ABC ＝12AB ·CD ＝62a 2. 答案 62a 2
16.(2016·
北京卷)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________.
解析 由题中三视图可画出长为2、宽为
1
、高为
1的长方
体，将该几何体还原到长方体中，如图所示，该几何体为四棱柱ABCD－A′B′C′D′.
故该四棱柱的体积V＝Sh＝1
2×(1＋2)×1×1＝
3
2.
答案3 2。