1.7.1_定积分在几何中的应用
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 1.7.1 定积分在几何中的应用课件 新人教A版选修2-2
排除A；当阴影有在x轴上方也有在x轴下方时，a f(x)dx是两
面积之差，排除B；无论什么情况C都对，故应选C.
b
【误区警示】曲线f(x)与直线x=a，x=b，y=0围成图形的面积 不能均用 f(x)dx表示，要根据图形位置分不同情况选用适当
a b
的积分值表示.
【补偿训练】过原点的直线l与抛物线y=x2-2ax(a>0)所围成的 图形面积为 9 a3，则直线l的方程为(
【方法技巧】求函数图象围成平面图形面积的方法 (1)画出两个函数的图象，先将两个函数方程联立方程组求解， 得到函数图象的交点的横坐标a，b(a<b)，确定积分区间[a， b]. (2)在公共的积分区间上，由上界函数减去下界函数作为被积
函数，定积分的值就等于两个函数图象围成平面图形的面积，
即S= [f1(x)-f2(x)]dx(其中f1(x)>f2(x)).
(2-x)dx.
1 2
2
(3)正确，曲线y=3-x2与直线y=-1的交点为(-2，-1)，
(2，-1)，所以围成的图形面积为 2［(3-x2)-(-1)］dx=
2
2
(4-x2)dx. (2)√ (3)√
答案：(1)×
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)如图中阴影部分的面积是____________.
b
1.判一判 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)曲线y=sin x，x∈[ ， ]，与x轴围成的图形的面积为
3 2 2
3 2 2
sin xdx.(
)
1 0
(2)曲线y=x3与直线x+y=2，y=0围成的图形面积为 x3dx+
1.7.1zrb定积分的简单应用zrb
y 2x
S1 S S1 2 2
y x4
8
y2 2 x
y2 2 x ( 2,2), (8,4). y x4
S=2S1 +S2 =2
2 0
2
0
8
2xdx+ ( 2x - x+4)dx
2
2
8
= 2 2xdx+ ( 2x - x+4)dx
10 60
答 汽车在这1min 行驶的路程是 1350m.
• 法二：由定积分的几何意义，直观的可以得出 路程即为如图所示的梯形的面积，即
30 60 s 30 1350 2
2. 变力做功
一物体在恒力 F 单位 : N的作用下做直线运动 ,如 果物体沿着与力 F 相同的方向移动了 s (单位 : m), 则力 F所作的功为 W Fs.
2
x 和 y x 围成图形的面积.
2
解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示:
y = x x= 0 x=1 解方程组 ⇒ 或 2 y = 0 y =1 y = x
y
y
C o O
2 y xx B
即两曲线的交点为(0,0),(1,1)
y x2
S=S曲边梯形OABC -S曲边梯形OABD
A1
A2
y x3 6x
注意各积分区间上被积函数的形式．
定积分在物理中的应用
1、变速直线运动的路程
设做变速直线运动的物体运动的速度v=v(t)≥0 ， 则此物体在时间区间[a, b]内运动的距离s为
b
s v(t )dt
a
v
v v(t )
高中数学-定积分在几何中的应用-课件
求由一条曲线 y＝f(x)和直线 x＝a，x＝b(a<b)及 y＝0 所围成平面图形的面积 S.
①如图 1 所示，f(x)>0， bf(x)dx>0. a
∴S＝ bf(x)dx. a
②如图 2 所示，f(x)<0， bf(x)dx<0， a
∴S＝| bf(x)dx|＝－ bf(x)dx.
a
a
2×23x32
|
2 0
＝136，
8
S2＝2 [4－x－(－ 2x)]dx
＝4x－12x2＋2
3
2x32|
8 2
＝338，
于是 S＝136＋338＝18.
方法二：选y作为积分变量，
将曲线方程写为x＝y22及x＝4－y.
则S＝2－44－y－y22dy
＝4y－y22－y63|
2 －4
＝18.
变式训练 1：由曲线 y＝ x，直线 y＝x－2 及 y 轴所围成
解．
由方程组
y2＝2x y＝4－x
解出抛物线和直线的交
点为(2,2)及(8，－4)．
方法一：选 x 作为积分变量，由图可看出 S＝S1＋S2，
由于抛物线在 x 轴上方的方程为 y＝ 2x，
在 x 轴下方的方程为 y＝－ 2x，
2
所以 S1＝0 [ 2x－(－ 2x)]dx
＝2
2 1
20x2 dx＝2
❖1．7 定积分的简单应用
❖1.7.1 定积分在几何中的应用
自主学习 新知突破
❖ 1．理解定积分的几何意义．
❖ 2．会通过定积分求由两条或多条曲线 围成的平面图形的面积．
复习回顾
[问题 1]定积分的几何意义．
由三条直线 x＝a，x＝b(a<b)，x 轴及 一条曲线 y＝f(x)(f(x)≥0)围成的曲边 梯形的面积 S＝________.
1.7.1_定积分在几何中的应用课件
如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数， 并且 F ¢ (x ) = f (x ) ，则
ò
b
a
f (x )dx = F (x ) | = F (b) - F (a )
b a
.
探究（一）：曲线y2＝x与y＝x2所围成图
形的面积
y y ＝x 2
B
O
1 x
y 2＝x
(1,1)
探究（一）：曲线y2＝x与y＝x2所围成图
y 4 C y ＝x －4
B
A
y=
2x
O
D 4
8
x
S＝S曲边梯形OABC－S△ABD.
探究（二）：直线y＝x－4与曲线
及x轴所围成图形的面积
y y ＝x －4 C 4
B
A
y=
2x
O
D 4
8
x
S＝S曲边梯形OABC－S△ABD.
S =
ò
8
0
1 2xdx - 创4 2
4
归纳小结
1.定积分在几何中的应用，主要用 于求平面曲边图形的面积.解题时，一般 先要画出草图，再根据图形确定被积函 数以及积分的上、下限. 2.定积分只能用于求曲边梯形的面 积，对于非规则曲边梯形，一般要将其 分割或补形为规则曲边梯形，再利用定 积分的和与差求面积.对于分割或补形中 的多边形的面积，可直接利用相关面积 公式求解.
1.7
1.7.1
定积分的简单应用
定积分在几何中的应用
复习巩固
1.定积分ò f (x )dx 的含义及其几何意 a 义分别是什么 n b b- a f ( xi ) å òa f (x )dx = nlim ? n i= 1
y
y＝f(x)
1.7.1 定积分在几何中的应用
因此所求图形的面积
S=
5 2
(x+3)dx-
5 2
(x2-6x+13)dx
=
5 2
(-x2+7x-10)dx=
-
1 3
������3
+
7 2
������2-10������
5 2
=92.
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
课堂篇探究学习
反思感悟利用定积分求不需分割型图形面积的步骤: (1)画出草图,在平面直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象. (2)解方程组求出直线与曲线的交点坐标,以确定积分区间. (3)结合图形利用定积分表示图形的面积. (4)利用微积分基本定理求定积分,即得面积.
������
2
|13
=23
+
1 6
+
2������-
1 3
������
2
|13
=56+6-13×9-2+13
=163.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
(方法二)若选积分变量为 y,
则三个函数分别为 x=y2,x=2-y,x=-3y.
因为它们的交点分别为(1,1),(0,0),(3,-1).
边形的面积就等于上边界对应的函数与下边界对应的函数的差在
[a,b]上的积分.
课前篇自主预习
【做一做2】 曲线y=3x2-12与x轴围成的图形的面积为
.
解析:如图,所求面积
| S=
2 -2
[0-(3x2-12)]dx=
2 -2
(12-3x2)dx=(12x-x3
1.7.1 定积分在几何中的应用
3．若两曲线 y＝x2 与 y＝cx3(c＞0)围成的图形的面积
是23，则
1
c＝____2____.
4.求抛物线y=x2-1，直线x=2，y=0所围成的图形的 面积.
解：如图，由x2-1=0得到抛物线 与x轴的交点坐标是(-1,0)，(1,0).
y
所求面积如图阴影所示：
所以：
S 2 (x2 -1)dx - 1 (x2 -1)dx
思想方法:
数形结合及转化.
例3 求两抛物线y＝8－x2，y＝x2所围成的图形的面积．
解析:作出曲线y＝8－x2，y＝x2的草图，
所求面积为图中阴影部分的面积． 解方程组，yy＝ ＝8x－ 2 x2
变式训练2: 求曲线 y sin x,
y cos x与直线 x 0, x
例2．计算由曲线 y 2x 直线 y x - 4 以及x轴
所围图形的面积Ｓ
y
4 2
O
有其他方 法吗？
S2 S1
A 2 4
8
y
4 y 2x
y x-4
2
S1S2
O
B 2 4
8
x
Ａ：s s1 s2
4 0
2x
dx
8 4
2
x
dx
-
1 2
4
4
Ｂ： s s1 - s2
1
-1
x
x3
2 x3
18
( - x) - ( - x) .
3
13
-1 3
5.如图，求曲线y＝x2与直线y＝2x所围图形的面积S.
解 由方程组yy＝ ＝2x2x，， 可得 x1＝0，x2＝2.
湖北省巴东一中高二数学教案 选修2-2：1.7定积分的简单应用第1课时
§1.7.1 定积分在几何中的应用【学情分析】：在上一阶段的学习中，已经学习了利用微积分基本定理计算单个被积函数的定积分，并且已经理解定积分可以计算曲线与x轴所围面积。
本节中将继续研究多条曲线围成的封闭图形的面积问题。
学生将进一步经历到由解决简单问题到解决复杂问题的过程，这是一个研究问题的普遍方法。
学生能正确的理解定积分的几何意义，是求面积问题的基础。
但是对各种图形分割的技巧以及选择x－型区域或y－型区域计算是比较陌生的。
突破点是一定要借助图形直观，让学生清楚根据曲线的交点划分图形（分块）以及根据曲线的特点（解出变量x还是y简单）选择x－型区域或y－型区域。
【教学目标】：（1）知识与技能：解决一些在几何中用初等数学方法难以解决的平面图形面积问题（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对定积分几何意义的理解（3）情感态度与价值观：体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力．【教学重点】：（1）应用定积分解决平面图形的面积问题，使学生在解决问题的过程中体验定积分的价值以及由浅入深的解决问题的方法。
（2）数形结合的思想方法【教学难点】：利用定积分的几何意义，借助图形直观，把平面图形进行适当的分割，从而把求平面图形面积的问题转化为求曲边梯形面积的问题．教学环节教学活动设计意图一、例题1（1）师：我们已经看到，定积分可以用来计算曲边梯形的面积，事实上，利用定积分还可以求比较复杂的平面图形的面积。
（2）例题1 计算由曲线22,y x y x==所围图形的面积S。
1DC BA1y2=xy=x2O xy生：思考，讨论师（引导，总结）：例1是求由两条抛物线所围成的平面图形的面积．第一步，画图并确定图形大致形状、引入课题的面积．师：我们把这个题目提升为一般类型：即求两条曲线所夹面积：若函数()f x 和()g x 在区间[],a b 上连续且在[],a b 上有()()f x g x ≥,那么由y ＝f (x )，y ＝g （x ）,x =a ,x =b 所围成的有界区域面积为b[()()]d aA f x g x x =-⎰＝b()d af x x ⎰－b()d ag x x ⎰－＝A y=g(x)baOxyy=f(x)我们看到，尽管我们的证明的示意图中曲线()y f x =与()y g x =的均在x 轴上方，但是，由1.6的学习我们可以知道，曲线()y f x =或()y g x =在x 轴下方也不影响我们的证明，结论仍然是正确的。
1.7定积分的几何应用
2
2
围成图形的面积.
解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示:
解方程组 x 0 x 1 y x 或 2 y 0 y 1 y x
y
y
y xx
2
B
2
即两曲线的交点为(0,0),(1,1)
S = S曲 边 梯 形 OABC - S曲 边 梯 形 OABD
B(1，－ 1)． ∴围成图形 (阴影部分 )面积为
S＝
-2
1
(－ x2－ x＋ 2)dx 9 ＝ . 2
1 3 1 2 ＝ (－ x － x ＋ 2x) 3 2
9 答案： (1) 2
例 2 计算由曲线 y 围成的图形的面积.
2x
，直线 y
x 4 以及
y 2x
x 轴所
解:
两曲线的交点
2
|0 8
8
X型求解法
40 3
x 1 2 y
2
16 2 8
1 2
3
2
[( 4 y )
y ]d y
4
(4 y
44
1 2 1
2
y
2
2
1 6
x 4 y
y ) |0
1 6
3
4
4
40 3
Y型求解法
练习 1（例 2 变式题） ： 计算由曲线 y 2 x 和直线 y x 4 所围成的图形的面积
2π 4 A. B. 5 3 3 π C. D. 2 2 解析：选 B.由图象可知二次函数的表达式为 f(x)＝ 1－ x2，∴ S＝ 1 3 1 1 4 1 2 ＝ (1－ )－(－ 1＋ )＝ . -1 (1－ x )dx＝ (x－3x ) 3 3 3
定积分的应用
b
S a [ f (x)-g(x)]dx
y
a
O
y = f (x)
bx y = g(x)
例1 计算由曲线 y x2 及直线 y x 所围成的平面图形
的面积。
例1 计算由曲线 y x2 及直线 y x 所围成的平面图形
的面积。
解：作出所围成的平面图形
解：在弹性限度内，拉伸（或压
缩）弹簧所需的力Ｆ（x）与弹
簧拉伸（或压缩）的长度x成正
比．
即：F(x)=kx
所以据变力作功公式有
W
L
F(x)dx
0
L 0
kxdx
1kx2 2
|0L
1 2
kL2
作业：
课本58页练习（1）（2） 课本59页练习1,2
的面积为 （ ）
(A) 2 (C) 2 2
e
(B) 2 e (D) e 1 2
e
二、物理中的应用
1、变速直线运动的路程
设物体运动的速度vv(t)，则此物体在时 间间[a, b]内运动的路程s为
b
s a v(t)dt
例 1 一辆汽车的速度一时间曲线如图所示，求
汽车在这 1 min 行驶的路程。
y x
y
x2
解方程组，得交点的横坐标为x=0
和x=1, 即区间为[0，1]。于是，
平面图形的面积
A
1(x x2)dx
0
(1 2
x2
1 3
x3)
1 0
1 6
例 2 求 y = sinx， y = cos x， x 0, x
2
所围成的平面图形的面积。
1.7.1 定积分在几何中的简单应用
a
O a
b
f (x )d x f (x )d x
a
c
b
a
b
f (x )d x -S f (x )d x
a
c
f
c
f (x )d x 。
c
yf (x)
b x
当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成
的曲边梯形位于 x 轴的下方，
一、复习回顾
2、牛顿—莱布尼茨公式
2 2
-1
O
1A
x
-1
＝
2 3
3
1
x
2
0
1 3
x
3
1 0
＝
2 3
-
1 3
＝
1 3
归纳
定 积 分 的 简 单 应 用
求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤：
（1）画草图，求出曲线的交点坐标
（2）将曲边形面积转化为曲边梯形面积 （3）确定被积函数及积分区间 （4）计算定积分，求出面积
四、例题实践求曲边形面积
1.7.1定积分在几何中的简单应用
定 积 分 的 简 单 应 用
一、复习回顾 1、定积分的几何意义：
当 f(x ) 0 时 ， 积 分
a f ( x ) dx
b
在 几 何 上 表 示 由 y = f (x )、
xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
y yf (x) O a b y
x
b
思考
如图, 一桥拱的形状为抛 定 积 物线, 已知该抛物线拱的高为 分 常数h, 宽为常数b. 的 2 简 求证: 抛物线拱的面积 S bh 3 单 应 用 建立平面直角坐标系 确定抛物线方程
高中数学(新课标)选修2课件1.7.1-2定积分的应用
a
a
＝b[f(x)－g(x)]dx.
a
③如图(6)所示，所求面积 S＝S1＋S2＝ac[f(x)－g(x)]dx＋cb[g(x)－f(x)]dx
＝b|f(x)－g(x)|dx.
a
知识点二 定积分在物理中的应用 1．变速直线运动的路程 我们知道，做变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速 度 函数 v＝ v(t)(v(t)≥0)在 时间 区间 [a， b] 上的定 积分 ，即 s ＝ ____b_v_(_t)_d_t ___.
【解析】 (1)由 v(t)＝8t－2t2≥0 得 0≤t≤4，即当 0≤t≤4 时， P 点向 x 轴正方向运动，t>4 时，P 点向 x 轴负方向运动．
故 t＝3 时，点 P 离开原点的路程
s1＝03(8t－2t2)dt＝4t2－23t330 ＝18. (2)当 t＝5 时，点 P 离开原点的位移 s2＝5(8t－2t2)dt
解析：由题意 v＝x′＝8t，t＝12 x，所以 v＝4 x.
又 F＝kv(k 是比例系数)，且当 v＝10 米/秒时 F＝2 牛，
所以 2＝10k，所以 k＝15，所以 F＝45 x，
又 F 与物体运动的方向相反，
所以 W＝－245 0
xdx＝－185x3220
＝－1165
2(焦耳)．
所以物体从 x＝0 到 x＝2 阻力所做的功为－1165 2焦耳．
解得 t＝0 或 t＝6，
t＝0 对应于 P 点刚开始从原点出发的情况，
∴t＝6 是所求的值．
状元随笔 首先要确定的是所需求的是路程还是位移，然后 用相应的方法求解．
方法归纳
(1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问 题转化为数学问题是关键．
高中数学1.7.1定积分在几何中的应用
1. 7.1 定积分在几何中的应用课前预习学案【预习目标】1. 了解定积分的几何意义及微积分的基本定理. 2．掌握利用定积分求曲边图形的面积 【预习内容】1. 定积分的概念及几何意义2. 定积分的基本性质及运算的应用3．若11(2)ax x+⎰d x = 3 + ln 2，则a 的值为（ D ） A ．6B ．4C ．3D ．24．设2(01)()2(12)x x f x x x ⎧≤<=⎨-<≤⎩，则1()a f x ⎰d x 等于（ C ）A ．34B ．45C ．56D ．不存在5．求函数dx a ax x a f )46()(1022⎰++=的最小值解：∵102231022)22()46(x a ax x dx a ax x ++=++⎰2232212(64)(22)|22x ax a dx x a a x a a ++=++=++⎰．∴22()22(1)1f a a a a =++=++． ∴当a = – 1时f (a )有最小值1． 6．求定分322166x x -+-⎰d x ．7．怎样用定积分表示：x =0，x =1，y =0及f (x )=x 2所围成图形的面积？31)(102101⎰⎰===dx x dx x f S课内探究学案一、学习目标：2. 了解定积分的几何意义及微积分的基本定理. 2．掌握利用定积分求曲边图形的面积 二、学习重点与难点：3. 定积分的概念及几何意义4. 定积分的基本性质及运算的应用三、学习过程（一）你能说说定积分的几何意义吗？例如⎰badx x f )(的几何意义是什么?表示x 轴，曲线)(x f y =及直线a x =，b x =之间的各部分面积的代数和， 在x 轴上方的面积取正，在x 轴下方的面积取负 （二）新课例1．求椭圆12222=+b y a x 的面积。
例2．求由曲线3324,16y y x y y x -=-=所围成的面积。
练习：P58面例3．求曲线y=sinx ,x ]32,0[π∈与直线x=0 ,32π=x ,x 轴所围成图形的面积。
1.7.1定积分在几何中的应用》课件
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
注意：由于定积分是一种和式的极限，它可以为正，也可以为0， 还可以为负．但平面图形的面积一般来说总是为正的．因此，当 定积分为负值时，一定要通过取绝对值处理为正．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
题型一 不分割型图形面积的求解 【例1】 求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成图形的面积．
一般来说，利用定积分求曲边图形面积的基本步骤如下： 第一步：画出图形； 第二步：确定图形范围，通过解方程组求出交点横坐标，确定 积分上、下限； 第三步，确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位 置； 第四步，写出平面图形面积的积分表达式； 第五步，运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面 积．
课堂讲练互动
活页规范训练
题型二 分割型图形面积的求解
【例 2】 求由曲线 y＝ x，y＝2－x，y＝－13x 所围成图形的面积． [思路探索] 可先求出曲线与直线交点的横坐标，确定积分区 间，然后分段利用公式求解． 解 法一 画出草图，如图所示．
解方程组yx＝＋y＝x，2，
堂讲练互动
活页规范训练
解 由yy＝ ＝x－2－x＋4，2， 得
x＝－3， y＝5
或xy＝＝20，，
所以直线 y＝－x＋2 与抛物线 y＝x2－4 的
交点为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为 S，根据图形可得
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
不分割型图形面积的求解步骤： (1)准确求出曲线的交点横坐标； (2)在坐标系中画出由曲线围成的平面区域； (3)根据图形写出能表示平面区域面积的定积分； (4)计算得所求面积．
课前探究学习
课件6：1.7.1 定积分在几何中的应用
变式探究 1：求曲线 y＝ex，y＝e－x 及直线 x＝1 所围成的图形的面积．
解：如图，由yy＝＝ee－x，x， 解得交点为(0,1)， 所求面积为 S＝1(ex－e－x)dx
0
＝(ex＋e－x)|10＝e＋1e－2.
变式探究 2：如图，由两条曲线 y＝x2，y＝14x2 与直线 y＝1 围成平 面区域的面积是__________．
(3)确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置； (4)写出平面图形面积的定积分表达式； (5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积.
新课堂·互动探究 利用定积分求平面图形的面积 例 1：求抛物线 y2＝2x 和直线 y＝－x＋4 所围成的图形的面积．
解：先求抛物线和直线的交点，解方程组yy＝2＝－2xx，＋4， 求出交点
【解析】y＝1 与 y＝x2 在第一象限交点 A(1,1)，y＝1 与 y＝x42在第 一象限交点 B(2,1)，
由对称性可知面积 S＝201x2dx＋121dx－0214x2dx＝43.
【答案】 4
3
小结 求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤: (1)作出示意图;(弄清相对位置关系) (2)求交点坐标;(确定积分的上限,下限) (3)确定积分变量及被积函数; (4)列式求解.
a
成的曲边梯形的面积．
1.几种典型的平面图形面积的计算
(1)求由一条曲线 y＝f(x)和直线 x＝a，x＝b(a＜b)及 y＝0 所围成平
面图形的面积 S.
主要有以下三种常见类型：
①如图①所示，f(x)＞0，bf(x)dx＞0，
a
∴S＝bf(x)dx.
a
②如图②所示，f(x)＜0，bf(x)dx＜0，
随堂练习：曲线 y＝cos x0≤x≤32π与坐标轴所围成的图形面积是(
1.7.1定积分在几何中的应用(教学设计)
1.7.1定积分在几何中的应用（教学设计）教学目标：知识与技能目标：通过本节课的探究，学生能够应用定积分解决不太规则的平面图形的面积，能够初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法。
过程与方法目标：探究过程中通过数形结合的思想，加深对知识的理解，同时体会到数学研究的基本思路和方法。
情感、态度与价值观目标：探究式的学习方法能够激发学生的求知欲，培养学生对学习的浓厚兴趣；探究式的学习过程能够培养学生严谨的科学思维习惯和方法，培养学生勇于探索和实践的精神；探究过程中对学生进行数学美育的渗透，用哲学的观点指导学生自主探究。
教学重点：应用定积分解决平面图形的面积，使学生在解决问题的过程中体会定积分的价值。
教学难点：如何恰当选择积分变量和确定被积函数。
教学过程：一、复习回顾：复习定积分的概念、定积分的计算、定积分的几何意义. 二、师生互动，新课讲解： 问题1：（１）．计算dx x ⎰--2224 （２）．计算 sin x dx ππ-⎰解：（1）22222214⨯=-⎰-πdx x （2）0sin =⎰-ππdx x问题2：用定积分表示阴影部分面积解：图1 选择X 为积分变量，曲边梯形面积为图2 选择Y 为积分变量，曲边梯形面积为问题3：探究由曲线所围平面图形的面积解答思路例１（课本P56例1）．计算由曲线2x y =与x y =2所围图形的面积．分析：找到图形----画图得到曲边形.1、曲边形面积解法----转化为曲边梯形，做出辅助线.2、定积分表示曲边梯形面积----确定积分区间、被积函数.3、计算定积分.解：作出草图，所求面积为图中阴影部分的面积.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==22x y xy 得到交点横坐标为 0=x 及1=xdxx f dx x f s b aba⎰⎰-=)()(21dy y g ba⎰)(1=s dyy g ba ⎰)(2－ yAB CD 2x y =x y =21∴ss =曲边梯形OABCs-曲边梯形OABDdx x ⎰=10dx x ⎰-121031233132x x -=313132=-= 变式训练1：计算由4-=x y 与x y 22=所围图形的面积.分析：讨论探究解法的过程1．找到图形----画图得到曲边形.2．曲边形面积解法----转化为曲边梯形，做出辅助线. 3．定积分表示曲边梯形面积----确定积分区间、被积函数. 问题：表示不出定积分.探讨：X 为积分变量表示不到，那换成Y 为积分变量呢？ 4．计算定积分.【课件展示】解答过程 解：作出草图，所求面积为图中阴影部分的面积解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==22xy xy 得到交点坐标为(2,-2)及(8,4) 选ｙ为积分变量∴18216)82(21422=-⨯+=⎰-dy y S解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤：1．画草图，求出曲线的交点坐标． 2．将曲边形面积转化为曲边梯形面积．3．根据图形特点选择适当的积分变量．（注意选择y 型积分变量时，要把函数变形成用y 表示x 的函数）y =x4．确定被积函数和积分区间． 5．计算定积分，求出面积. 例2（课本P57例2）：计算由曲线x y 2=与4-=x y 及x 轴所围平面图形的面积．分析：A: 442128021⨯⨯-=-=⎰dx x s s sB: ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯-+=+=⎰⎰442122844021dx x dx x s s sC: dx y s s s ⎰+⨯+=-=4022124)84(21此题为一题多解，解体的大方向分为选X 做积分变量和选Y 做积分变量.问：遇到一题多解时，你会想到什么？ 答：找最简单的解法.问：以次题为例，如何寻找最简解法？ 答：我们熟悉X 做积分变量的类型；做辅助线时，尽量将曲边形转化成我们熟悉的平面图形，如三角形、矩形、梯形和曲边梯形组合的图形. 变式训练2：计算由曲线x y sin =与x y cos =及0=x 、2π=x所围平面图形的面积．【学生活动】学生独立思考【成果展示】邀请一位同学把自己的成果展示给大家21S S S +=dxxdxxS⎰⎰-=441sincosππdxxdxxS⎰⎰-=24242cossinππππ例3 求两抛物线y＝8－x2，y＝x2所围成的图形的面积．变式训练3：（1）、求抛物线y=x2-1，直线x=2，y=0所围成的图形的面积。
定积分在几何中的应用-文档资料
直线与x轴交点为(4,0)
SS S x [ 2 x d x (x 4 ) d x ] 1 2 2xd
0 4 4 8 8
x d x 4 ) d x ( x d x x d x ) ( x 4 ) d x 2 (x 2 2
0 4 4
0 4
4
确 定的 f () x 原 函 数 F () x
1、平面图形的面积
y
y f( x )
y
y f ( x ) 2
y f ( x ) 1
o
a
b x
o
Байду номын сангаас
a
b x
曲边梯形的面积
曲边梯形的面积
A f(x ) dx a
b
A [ f( x ) f ( x )] dx 1 a 2
b
1、平面图形的面积
2 y x 4 及其在点 ( 2 , 0) 和 ( 2 , 0 ) 处 2． 求抛物线 的切线所围成的图形的面积 .
x d x x d x
2 0 0
1
1
D
2 y xx
A
1
2
例 2 计算由曲线 y 2x ， 直线 y x 4以及 x 轴所围 成的图形的面积.
解 两曲线的交点
( 0 ,0 ) ,( 8 ,4 ) .
y 2x
S2
S1
y x 4
y 2x y x4
3
y x2
A 6 x x) d x 1 (x
3 2 2
0
3 yx 6 x
A x 6) xd x 2 (x
2 3 0
3
于是所求面积
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求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤: (1)作出示意图;(弄清相对位置关系) (2)求交点坐标;(确定积分的上限,下限) (3)确定积分变量及被积函数; (4)列式求解.
课本P58页练习
求下列曲线所围成的图形的面积:
(1)y=x2,y=2x+3;
(2)y=ex,y=e,x=0.
32 (1) S ((2 x 3) x )dx 1 3
1.7.1 定积分在几何中 的应用
目标导航
学习目标 1.能说出定积分的几何意 义; 2.学会利用定积分求平面图形 的面积; 3.加深定积分基本定理及性质 的应用. 重点难点 重点:利用定积分求简单平面图 形的面积; 难点:利用定积分求较为复杂的图形 的面积.
复习
前面，我们运用分割→近似代替→求和→取极限 的过程，求出了一些曲边梯形(由函数 y f ( x ) ( f ( x ) ≥ 0 ) 的图象和直线 x a , x b , x 轴围成的 平面图形)的面积. 并把它们浓缩成了一个结果:定积分( f ( x )dx )
2 3 0
2 3
( x 6 x x )dx
3 2
A1
A2
y x3 6x
3
于是所求面积
0 3
A A1 A2
2 3
253 A 2 ( x 6 x x )dx 0 ( x x 6 x )dx . 12 说明：注意各积分区间上被积函数的形式．
2
注：
b
a
f ( x )dx S1 S表示下面各平面图形的面积值: 图1.曲边梯形 y y f ( x) 图 2.如图 y
y f2 ( x) y f1 ( x )
A1 f ( x )dx
a
o
a
b
b
x
A2 [ f 2 ( x ) f1 ( x )]dx
2 2
图形的面积. y x
解：
x 0及x 1 2 y x 两曲线的交点 O(0, 0) B(1,1)
y x
C
y2
S S曲梯形OABC - S曲梯形OABD
1 0
B
xdx x dx
2
1
1
2 y x D
2 3 x 2 1 1 2 x . 3 3 0 3 3 3 0 1 3 1 2 3 x 1 2 2 或S ( x - x )dx ( x ) . 0 3 3 0 3
4
3 16 64 26 2 2 3 2 2 1 2 2 8 2 x 2 |0 ( x 2 x 4 x ) |2 18 3 3 3 3 3 2
类型2：由两条曲线y=f(x)和y=g(x)，直线 x=a,x=b(a<b)所围成平面图形的面积S
y f ( x)
y g ( x)
3 2
(2)S (e e x )dx 1
0
1
课堂小结
求在直角坐标系下平面图形的面积步骤: 1. 作图象; 2. 求交点的横坐标,定出积分上、下限;
3. 确定被积函数，用定积分表示所求的面积，
特别注意分清被积函数的上、下位置;
4. 用牛顿－莱布尼茨公式求定积分.
1 2 xdx 4 (8 4) 2
3 2 8 0
1 2 x y 2
x 4 y
练习 2
2 计算由曲线 y 2 x 和直线 y x 4所围成的图形的面积 解: 两曲线的交点
y2 2 x ( 2,2), (8,4). y x4 S 2 S1 S2
a
o
a
b
b
x
图 y3.如图
0
a
b
图4.如图 y y f2 ( x)
x
0
a
b x
b
y f ( x)
A3 f ( x )dx
a
b
A4 [ f 2 ( x ) f1 ( x )]dx
a
y f1 ( x )
类型1.求由一条曲线y=f(x)和直线
x=a,x=b(a<b)及x轴所围成平面图形的面积
y
y f ( x)
o
a
y g ( x)
b x
(2)
(1)
总结： 当 x∈[a， b]有 f(x)>g(x)时， 由直线 x＝a， x＝b(a≠b) 和曲线 y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积 S＝
f x g x dx . a
b
例 2 计算由两条抛物线 y x 和 y x 所围成的
3. 确定被积函数，用定积分表示所求的面积，
特别注意分清被积函数的上、下位置;
4. 用牛顿－莱布尼茨公式求定积分.
练习1. 求抛物线y=x2-1，直线x=2，y=0所围成的 图形的面积。
解：如图：由x2-1=0得到抛物线与x轴 的交点坐标是(-1,0)，(1,0).所求面积 如图阴影所示：
所以：
y
S
例1
计算由曲线 y 2 x ，直线 y x 4以及 x 轴所
y 2x
围成的图形的面积.
解:
两曲线的交点
S1
y 2x (0,0), (8, 4). y x 4 直线与x轴交点为(4,0)
S2 y x4
S S1 S2
4
2 2 3 1 2 40 8 2 8 x |0 ( x 4 x ) |4 3 2 3
2
2
0
2 xdx ( 2 x x 4)dx
2
8
y 2x y x 4 x 4 y S1 S2 S1
y2 2 x
x
1 2 y 2
1 2 1 2 1 3 4 法 2：s [( 4 y ) y ]dy ( 4 y y y ) |2 18 2 2 2 6
0 3 1
o
A
x
练习 3：计算由曲线 y x 3 6 x 和 y x 2 所围成的图形的面积.
y x3 6x (0,0), ( 2,4), ( 3,9). 2 y x 0
解: 两曲线的交点
y x2
A1
A2 ( x x 6 x)dx
a b
微积分基本定理（牛顿－莱布尼茨公式）
b
a
f ( x )dx F ( x ) F (b) F (a )
b a
我们知道定积分 f ( x )dx 的几何意义：
a
b
它是介于 x 轴、函数 f ( x ) 的图象及两条直线 x a , x b 之间的各部分面积的代数和 .( 在 x 轴 上方的面积取正号，在 x 轴下方的面积取负号)
S ( x 1)dx ( x 2 1)dx
2 1 1
2
1
x x 8 ( x) ( x) 3 3 3 1 1
3
2
3
1
法2：s
8
0
2 2 x | 8 3 2 2 40 16 2 8 3 3 4 1 2 法3：s [( 4 y ) y ]dy 0 2 1 2 1 3 4 ( 4 y y y ) |0 2 6 1 2 1 3 40 4 4 4 4 2 6 3
(
8 0
4
0
2 xdx ( x 4)dx
4
2 xdx
0
2 xdx [
8
8
4 8
2 xdx ) ( x 4)dx
4
4
2 xdx ( x 4)dx]
8
8
4
方法小结
求在直角坐标系下平面图形的面积步骤: 1. 作图象; 2. 求交点的横坐标,定出积分上、下限;