人教版初二数学上册分式方程的解法
人教版数学八年级上册15.3分式方程的解法(教案)
1.教学重点
（1）理解分式方程的定义：重点强调分式方程的形式特点，即方程中包含有分母，且分母不为零，让学生充分理解这一核心内容。
举例：如方程2/x = 3/(x+1)，其中x≠0。
（2）掌握分式方程的解法：包括消元法、代入法、加减法等，特别是消元法在求解分式方程中的应用。
举例：消元法求解方程2/x = 3/(x+1)：
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解分式方程的基本概念。分式方程是指含有分母的方程，它是代数方程的一种特殊形式。分式方程在解决实际问题时具有重要作用，能够帮助我们处理比例、速率、百分比等问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设小明和小红的糖果总数为10个，要平均分给两人，我们可以建立分式方程x/2 = 10，其中x表示每人应得的糖果数。通过解这个方程，我们可以得到答案。
2.提升学生的数学建模素养：使学生能够将实际问题抽象为分式方程模型，并运用所学方法求解，从而提高解决实际问题的能力；
3.增强学生的数学运算能力：让学生熟练掌握分式方程的消元、代入、加减等解法，培养他们准确、迅速地进行数学运算的能力。
这些核心素养目标与新教材的要求相符，旨在帮助学生形成系统的数学知识体系，提高数学思维品质和解决问题的综合能力。
难点解析：代入法中，学生可能会遇到以下困难：
-不清楚应该将哪个表达式代入另一个表达式中；
-在代入过程ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，容易忽视方程中的限制条件（如分母不为零）；
-计算过程中可能因粗心导致错误。
（3）分式方程在实际问题中的应用：学生需要学会将实际问题抽象为分式方程，并正确求解。
难点解析：实际问题抽象为分式方程时，学生可能会遇到以下问题：
八年级数学人教版(上册)小专题(十七)分式方程的解法
(7)2x＋ x 2－xx＋ －22＝xx22－－22x. 解：方程两边同乘 x(x－2)，得
(x－2)(2x＋2)－x(x＋2)＝x2－2.
解得 x＝－12. 检验：当 x＝－12时，x(x－2)≠0. ∴原分式方程的解是 x＝－12.
(8)xx2－－2x－1－x x＝1. 解：去分母，得 x－2＋x2＝x(x－1)， 解得 x＝1. 检验：当 x＝1 时，x(x－1)＝0，
∴x＝1 不是原分式方程的解．
∴原分式方程无解．
(5)(2020·陕西)x－x 2－x－3 2＝1. 解：去分母，得 x2－4x＋4－3x＝x2－2x.
解得 x＝45. 检验：当 x＝45时，x(x－2)≠0， ∴原分式方程的解是 x＝45.
(6)x－x 1－1＝（x－1）3（x＋2）. 解：去分母，得 x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3. 去括号，得 x2＋2x－x2－2x＋x＋2＝3. 解得 x＝1. 检验：当 x＝1 时，(x－1)(x＋2)＝0， ∴x＝1 不是原分式方程的解． ∴原分式方程无解．
(3)(2021·广西)x＋x 1＝3xx＋3＋1. 解：去分母得 3x＝x＋3x＋3， 解得 x＝－3. 检验：当 x＝－3 时，3(x＋1)≠0. ∴原分式方程的解为 x＝－3.
(4)(2021·攀枝花)x－x 1－1＝x＋2 1. 解：去分母，得 x(x＋1)－(x2－1)＝2(x－1)， 去括号，得 x2＋x－x2＋1＝2x－2， 解得 x＝3. 检验：当 x＝3 时，(x＋1)(x－1)≠0. ∴原分式方程的解为 x＝3.
第十五章 分式
小专题(十七) 分式方程的解法
解下列方程： (1)2xx＋＋39－1＝x＋2 3. 解：去分母，得 2x＋9－(x＋3)＝2. 解得 x＝－4. 检验：当 x＝－4 时，x＋3≠0. ∴原分式方程的解为 x＝－4.
人教版八年级数学上册1分式方程
分式方程
课题引入
现在回到本章引言中的问题。
为解决引言中提出的问题，我们得到了方程
90
30+
=
60
.
30−
①
方程①的分母中含未知数，像这样分母中含未知数的方程叫做分式
方程。我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母
中。
思考
如何解分式方程①？
我们已经熟悉一元一次方程等整式方程的解法，但是分式方程的分母中
为多少?
【分析】这里的字母，s表示已知数据，设提速前列车的平均速
度为 /ℎ,那么提速前列车行驶s
s
所用时间为________ℎ，
s + 50
提速后列车的平均速度为______
/ℎ,
+ 50
50)所用时间为___________ℎ。
+
提速后列车行( +
根据行驶时间的等量关系可以列出方程。
a是分式方程的解
整式方程
最简公分母为0
a是分式方程的解
课题引入
例4. 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成
1
总工程的 ，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程
3
全部完成.哪个队的施工速度快?
1
【分析】甲队1个月完成总工程的 ，设乙队单独施工1个月能完成总
3
1
1
6
工程的 ，那么甲队半个月完成总工程的______，乙队半个月完成总
解：方程两边乘( − 1)( + 2),得
( + 2) − ( − 1)( + 2) = 3
解得
=1
检验，当 = 1时，( − 1)( + 2) = 0,
初中数学人教版八年级上册分式方程的解法
所得整式方程的解就是①的解，而②
x
1 5
10 x2 25
去分
母后所得整式方程的解却不是②的解呢？
注意：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根， 这种根叫做原方程的增根（即使最简公分母为0的根）， 应舍去，此时，原方程无解。
问题1
在把分式方程转化为整式方程的过程中会产生增根：那么是不是就不要这样 的解呢？采用什么样的方法补救？
解方程
2 3 x3 x
解：方程两边同乘x(x-3)得，
2x=3(x-3)
解得x=9
例1
检验:当x=9时，x(x-3)≠0
所以x=9是原方程的解
4 12 x2 2x x x 2
解：方程两边同乘x(x-2)得
4+x-2=2x
例2
解得x=2 当x=2时，x(x-2)=0,因此x=2不是原方程的解，
故原方程无解。
5 x2
x
1 x2
x
0
解：方程两边同乘x(x+1)(x-1)得
例3
5（x-1）-(x-1)=0 解得x=1.5
检验：当x=1.5时，x(x+1)(x-1)≠0
所以x=1.5是原方程的解
归纳： 解分式方程的一般步骤如下：
（三）、课堂检测（10分钟）
(1) （2）
（3）、当m为何值时，方程 会产生增根？
顺流航行90千米所用的时间为 90 小时，逆流航行60
千米所用的时间为
60 30 v
小时。30 v
根据量间的关系列出方程： 90 60
30 v 30 v
思考:这个方程和我们以前所见过的方程 有什么不同？
1分式
方程 的意
八年级数学人教版(上册)15.3.1分式方程及其解法(共25张PPT)
探究新知
在去分母时，将分式方程转化为整式方程的过程中 出现的不适合于原方程的根 .
特征：增根使最简公分母为零 判断方法：验根时把整式方程的根代入最简公分母
交流讨论
问题1：产生 “ 增根 ” 的原因在哪里呢？
分式方程的求根过程不一定是同解变形，所以分 式方程一定要验根！
问题2：“ 方程有增根 ” 和 “ 方程无解 ” 一样吗？
否为零？
方程的解
例题解析
方程两边同乘以x(x-3)，得 2x=3(x-3)
解得x=9.
检验：当x=9时，x(x-3) ≠0.
所以，原分式方程的解为x=9.
解得x=-2. 检验：当x=-2时，(x+2)(x-2) =0. 因此x=-2不是原分式方程的解．
所以，原分式方程无解.
x = -2 时， 分式方程 的分母为
当堂达标
C
C
C C
C
x=3是增根，原分式方程无解 .
去分母时，原方程的整式部分漏乘． 约去分母后，分子是多项式时， 要注意添括号． 忘记检验 . 注意去括号时前面的负号 .
例题解析
课堂小结：
说能出你这节课的收获和体验让大家与
你分享吗？
解分式方程的步骤
①去分母 ： 化分式方程为整式方程 . 即把分式方 程两边同乘以最简公分母 . ②解这个整式方程 . ③检验 ：把整式方程的解 ( 根 ) 代入最简公分母， 若结果为 0 ，则必须舍去，否则，它是原方程的 根. ④写结论 .
将x=0代入得3× (0-1)+6×0=0+k . 解得k=-3 . 将x=1代入得3× (1-1)+6×1=1+k . 解得k=5. 所以k=-3或k=5
八年级-人教版-数学-上册-第2课时-实际问题与分式方程
根据字母的含义确定其取值范围不含负数和 0，从而确定分式 方程的解，在解实际问题中是经常需要考虑的问题．
例1 甲、乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做 6 个， 甲做 90 个的时间和乙做 60 个所用的时间相等，求甲、乙每小时各 做零件多少个．
分析：本题是一道工程问题，工程问题常根据“工作总量＝工 作效率×工作时间”设未知数．本题中工作效率和工作时间均为未 知量，可任选一个设为未知数．
第2课时 实际问题与分式方程
1．分式方程 分母中含未知数的方程叫做分式方程．
2．解分式方程
1 x 1
＝
3 x2 1
．
解：方程两边同乘(x＋1)(x－1)，得 x＋1＝3． 解得 x＝2． 检验：当x＝2时，(x＋1)(x－1)≠0． 所以，原分式方程的解为 x＝2．
3．列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1）审：弄清题意，分清已知量和未知量，并找出相等关系； （2）设：设未知数，并用式子表示出其他相关量； （3）列：根据相等关系列出方程； （4）解：通过解方程，求出未知数的值； （5）验：检验所得的未知数的值是否符合题意； （6）答：根据题意写出答案．
3
全部完成．哪个队的施工速度快？
分析：设乙队单独施工
1
个月能完成总工程的
1 x
．
工程队 工作总量
工作效率
工作时间
甲队
1× 3
1
3
32
3
2
乙队
1
1
1
2x
x
2
根据相等关系列出方程：1× 3＋ 1 ＝1．
3 2 2x
解：设乙队的工作效率为 1 ．
x
记总工程量为 1，根据题意，得 １＋ 1 ＝1．
人教版八年级上册数学15.3分式方程第1课时分式方程及其解法课件
（4） 5 1 0 x2 x x2 x
(4)方程两边乘 x（x+1）（x-1），得5（x-1）-（x+1） =0.
解得：x = 3 .
2
检验：当 x =
3
时， x（x+1）（x-1） ≠ 0.
2
所以 x = 3 是原分式方程的解.
2
5.解关于x 的方程 a b 1（ b ≠ 1）. xa
分式方程和整式方程的区别与联系
区别 联系
分式方程
整式方程
分母中含有未知数
分母中不含未知数
分式方程可以转化为整式方程
< 针对训练 > 下列方程哪些是分式方程？
① x1 5 ② 1 4
3
x x1
④
x π
2x
1
π是常数， 不是未知数
⑤ x2 4
x
③ x2 1
x
知识点2 分式方程的解法
如何解分式方程
（1） 1 2 2x x 3
（2） x 2x 1 x 1 3x 3
(2)方程两边乘 3（x+1），得3x = 2x + 3（x+1）.
解得：x = 3 .
检验：当
x
2
=
3
时，3（x+1） ≠ 0.
2
所以 x = 3 是原分式方程的解.
2
4. 解下列方程：
【选自教材P152 练习】
（3） 2 4 x 1 x2 1
2 x 1
2 1
x x
1
两边同乘
（x－1），约去分母后，得（ D ）
A.2－（2－x）=1
B.2+（2－x）=1
C.2－（2－x）=x－1 D.2+（2－x）=（x－1）
初中数学人教版八年级上册分式方程的解法
一、探究实际问题
如果设江水流速为v km /h,则轮船顺流航行90km
90
60
所用时间为 30 v 逆流航行60km所用间 30 v ，
由方程
90 60 30 v 30 v
可解出v的值。
1、归纳分式方程的概念： 分母中含有未知数的方程。
2、巩固练习 下列各式哪些是分式方程？
(1)
90 60 30 v 30 v
（最简公分母为0）
2、本节课用到的数学思想： 化归思想 、程序化思想和建模思想
1.
2 4 x 1 x2 1
5
1
2.
0
x2 x x2 x
90
(3)
1
30 v
(5) x 1 1 2
哪些是整式方程？
(2)
30 v 30 v
90
60
(4) 90(30 v) 60(30 v)
(6) 5 7 x x2
(7)
1 x5
10 x2 25
(8)
5 1 0
x 3 x 1
二、探究分式方程的解法
1. 求探究实际问题的解
90 60 30 v 30 v
第十五章 分式
15.3 分式方程（第一课时）
1.了解分式方程的概念。 2.会用去分母的方法解可化为一元一次方程的简单
分式方程，体会化归思想和程序化思想。 3.了解需要对分式方程的解进行检验的原因。
利用去分母的方法解分式方程。
了解用去分母的方法解分式方程产生增根 的原因。
一、探究实际问题
问题：一艘轮船在静水中的最大航速为 30km /h,它以最大航速沿江顺流航行90km 所用时间，与以最大航速逆流航行60km所 用时间相等，江水的流速为多少？
八年级数学上册《分式方程的解法》教案、教学设计
二、学情分析
八年级学生在数学学习上已具备了一定的基础，对整式方程的解法有较好的掌握。但在面对分式方程时，可能会因为分母不为零的条件、解法的多样性等问题感到困惑。此外，学生在解决实际问题时，可能难以将问题转化为分式方程，需要教师在教学过程中给予引导。
4.反馈与指导：针对学生的练习情况，给予及时反馈和指导，帮助学生纠正错误，提高解题能力。
（五）总结归纳
在总结归纳环节，我将引导学生进行以下思考：
1.分式方程解法的要点：总结分式方程解法的步骤和关键点，加深学生的记忆。
2.解题策略：讨论解题过程中遇到的问题及解决方法，提高学生的解题策略。
3.情感态度与价值观：强调数学学习的重要性，激发学生对数学的热爱，培养学生的自信心。
-能够将实际问题抽象成分式方程，并熟练运用所学的解法求解。
2.过程与方法方面的重难点：
-学生在解题过程中，对解题策略的选择和运用。
-学生在小组合作中，如何有效沟通、分享解题思路。
-学生对解题规律的总结，以及逻辑思维和抽象思维能力的培养。
3.情感态度与价值观方面的重难点：
-培养学生对分式方程解法的兴趣，克服对数学学习的恐惧心理。
3.提出问题：通过提问方式引导学生思考，如“整式方程与分式方程有什么区别和联系？”、“分式方程的解法有哪些？”等问题，激发学生的探究欲望。
（二）讲授新知
在讲授新知环节，我将按照以下步骤进行：
1.分式方程的定义：讲解分式方程的定义，强调分母不为零的条件。
2.解法讲解：详细讲解交叉相乘法、通分法等解分式方程的方法，并通过示例进行演示。
八年级数学上册 分式方程的解法 人教版
解得: x=1
检验：当x=1时，(x-1)(x+2) ＝0 ,因此x＝1不 是原方程的解.
所以，原分式方程无解
备选练习
解下列方程：
(1) 5 7 x x2
解：方程两边乘x(x-2)，得: 5(x-2)=7x 解得: x=-5 检验：当x=-5时，x(x-2) ≠0
所以，原分式方程的解为 x＝-5
①
30v 30v
方程①有何特点？
方程①中含有分式，并且分母中含有未知 数，像这样的方程叫做分式方程.
你还能举出一个分式方程的例子吗？
练习
判断下列各式哪些是分式方程?
(1)xy5; (2)x22y-z; (3)1;
5
3
x
(4) y 0; (5)12x5
x5
x
（1）（2）是整式方程； （3）是分式；
约去分母，得： 90（30－v）＝60（30+ v）
解这个整式方程，得：v＝6
所以江水的流速为6 km/h.
解分式方程的过程，实质上是将方程的两边 乘同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整 式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分 式的最简公分母.
解方程：
1 10 x 5 x2 25
怎样才能拿得起？王国维《人间词话》中曾提出，古今之成大事业者，须经过三重境界。这三重境界体现的正是儒家精神，所以正是路径所在。 第一重境界是“昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路”。登上高楼，远眺天际，正是踌(chóu)躇(chú)满志，志存高远，高瞻远瞩，一腔抱负。人生，志向决定方向，格局决定高度；小溪只能入湖，大河则能入海。所以做事，要先立心中志向；成事，要先拓胸中格局。
如何才能放得下？唐代禅宗高僧青原行思曾提出参禅的三境界，那正是路径所在。 第一重境界是“看山是山，看水是水”。人之最初，比如年少之时，心思是简单的，看到什么就是什么，别人说什么就相信什么。这样看待世界当然是简单而粗糙的，所看到的往往只是表面。但同时，正是因为简单而不放在心上，于是不受其困扰，这就是放下的心境。只是还太脆弱，容易被现实击碎。 第二重境界是“看山不是山，看水不是水”。人随着年龄渐长，经历的世事渐多，就发现这个世界的问题越来越多、越来越复杂，经常是黑白颠倒、是非混淆，无理走遍天下、有理寸步难行，好人无好报、恶人活千年。这时人是激愤的，不平的，忧虑的，怀疑的，警惕的，复杂的。于是人不愿意再轻易地相信什么，容易变得争强好胜、与人比较、绞尽脑汁、机关算尽，永无满足的一天。大多数人都困在这一阶段，虽然纠结、挣扎、痛苦，这却恰恰是顿悟的契机。因为看到了，才能出来；经历了，才能明白。 第三重境界是“看山还是山，看水还是水”。那些保持住本心、做得到忍耐的人，等他看得够了，经得多了，悟得深了，终于有一天豁然顿悟，明白了万般只是自然，存在就有存在的合理性，生会走向灭，繁华会变成寂寞，那些以前认为好的坏的对的错的，都会在规律里走向其应有的结局，人间只是无常，没有一定。这个时候他就不会再与人计较，只是做自己，活在当下之中。任你红尘滚滚，我自清风朗月；面对世俗芜杂，我只一笑了之。这个时候，就是放下了。
初中数学人教版八年级上册15.3 分式方程
先把分式方程转化为整式方程，再把使得分式方程 中分母为零的未知数的值代入到转化后的整式方程 中，即可求得待定量的值.
列分式方程解应用题
一般步骤
列 (1)审：找出问题中已知与未知的数量关系；
分 (2)设：一般是直接设未知数，个别是间接设未知数；
式 方
(3)列：根据等量关系列出分式方程；
程 (4)解：解转化后的整式方程；
3
所以 2 m ≠2,解得m≠0.综上所述，m的取值范围为m＜6
3
且m≠0.故选C.
本题在求m的取值范围时，只注意到方程
2 x2
xm 2 x
2
的解为正数，而忽略了排除分式方程无解的情况.
题型一 解分式方程
角度a 可化为一元一次方程的分式方程
例8 解方程：
y
6y 2
12 4y
4
y2 4 y2 4y 4
角度b 解含有字母的分式方程
例9 解方程： x m x (m -2, m -1). x1 x1 x1
思路导图
方程两边同乘 （x-1）(x+1)，把 分式方程转化为 整式方程，解整 式方程
检验，将求得 的整式方程的 解代入分式方 程的最简公分 母中，检验是 否为零
写出 原分 式方 程的 解
解：方程两边同乘(x-1)(x+1)，得(m+2)x=-m.
续表
知识 解读
(1)问题中的数量关系可能不止一个，分析得出 与未知的等量关系，选择适当的未知数可以简 化方程； (2)列方程时要保持单位统一； (3)注意在分式方程应用题中检验意义的双重性， 既要检验得到的整式方程的解是否是列出的分 式方程的解，又要检验其是否符合实际意义
注意：列分式方程解应用题一定要检验，同时还要 保证其结果符合实际意义.
人教版八年级数学上册第15章：分式方程及其解法
这个程是我们以前学过的方程吗？它与一元一次方程有什 么区别？
新课讲解
1 分式方程的概念
观察前面所列方程：
90 60 30+v 30 v
此方程的分母中含有未知数v,像这样分母中含未知数的方 程叫做分式方程.
新课讲解
下列方程中,哪些是分式方程？哪些是整式方程？
(1) x 2 x 23
真相揭秘：分式两边同乘了等于0的式子,所得整 式方程的解使分母为0,这个整式方程的解就不是 原分式方程的解.
新课讲解
★分式方程解的检验——必不可少的步骤
解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能 使原方程的分母为0,所以分式方程的解必须检验．
检验方法： 将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不
新课讲解
下面我们再讨论一个分式方程：
x
1 5
10 x2 25
解：方程两边同乘(x+5)(x-5),得
x+5=10, 解得x=5.
x=5是原分式 方程的解吗？
检验：将x=5代入原方程中,分母x-5和x2-25的值都为0,
相应的分式无意义.因此x=5虽是整式方程x+5=10的解,
但不是原分式方程
x
1
RJ八(上) 教学课件
第十五章 分 式
15.3 分式方程
第1课时 分式方程及其解法
学习目标
1.理解分式方程的概念. 1.掌握解分式方程的基本思路和方法.（重点） 2.理解分式方程时可能无解的原因.（难点）
情境导入
一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它沿江以最大 航速顺流航行90千米所用时间,与以最大航速逆流航行60千 米所用时间相等.江水的流速为多少？ 设江水的流速为v千米/时,根据题意可列出怎样的方程？
八年级数学上分式方程的解法（简单易学）
⼋年级数学上分式⽅程的解法（简单易学）分式⽅程的解法
1．分式⽅程的概念
分母中含有未知数的有理⽅程叫做分式⽅程．
2．解分式⽅程的基本思想⽅法
分式⽅程转换为整式⽅程
3．解分式⽅程时可能产⽣增根，因此求得的结果必须检验
去分母法解分式⽅程的具体做法是：把⽅程的分母分解因式后，找出分母的最简公分母；然后
将⽅程两边同乘以最简公分母，将分式⽅程化成整式⽅程．注意去分母时，不要漏乘；最后还
要注意解分式⽅程必须把⽅程的根代⼊最简公分母验根，特别注意：使最简公分母为零的根是
增根，须舍去，使最简公分母不为零的根才是原⽅程的解。
人教版八年级数学上《分式方程》知识全解
《分式方程》知识全解课标要求1.会解一元一次分式方程（方程中的分式不超过两个）2.能根据具体问题中的数量关系，列出上述类型的方程，并进一步体会这类重要的刻画现实世界的数学模型的作用．知识结构1. 分式方程概念，和产生增根的原因．2. 分式方程的解法3.列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题．内容解析（1）分式方程的概念：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程（2）分式方程的解法： ①能化简的先化简．②方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程③解整式方程；④)验根．（3）分式方程的应用: 以工程问题为例，能将此类问题中的相等关系用分式方程表示；建立数学模型，会解含字母系数的分式方程．重点难点本节的重点是：分式方程的概念,，解分式方程和列分式方程解应用题．教学重点的解决方法：分式方程是一种有效描述现实世界的模型，把分式方程转化为整式方程来解分式方程，把未知化已知，从而渗透数学转化思想．本节内容的难点是：分式方程产生增根的原因和列分式方程解应用题教学难点的解决方法：强化用数学的意识，增进同学之间的配合，体验在数学活动中运用知识解决问题的成功体验．教法导引（1）注重渗透化归思想，实际问题紧紧扣住等量关系解分式方程注意转化的思想，而实际问题由于背景的多变性，其数量关系也是动态多变，难以把握，只能以不变应万变，紧紧扣住“等量关系”这一主线，有意识的培养学生对例题、习题的阅读理解能力．教给学生一些避免产生增根的方法,例：解方程： 22+-x x - 4162-x = 1 解：移项，得22+-x x - )2)(2(16-+x x - 1 = 0整理，得 )2)(2()2(4-+-x x x = 0 ① 化简，得24+x = 0 ② 因为 24+x ≠ 0 所以 原方程无解．（2）注重启发式设问和同学讨论相结合，使同学在讨论中解决问题，掌握分式方程解法与应用，避免负迁移．．．．．分式方程的解法理论中，我们一直采用了在分式方程两边同乘以最简公分母从而转化为整式方程的解法．这种方法充分体现了转化思想的理论精髓，而转化思想恰好是整个方程解法理论的核心思想，使各种方程（组）最终转化为一元一次方程，让人们看到一个和谐统一的体系，生动的数学展现于眼前．不过这种变形不属于方程的同解变形原理，它的恶果之一是产生增根的现象．增根并不是方程的根，它跟随非同解变形进来之后，还要用检验的方式把它清除出去，这是一种迂回的，有点费力的处理方法．是一个容易引发讨论和思考的知识点．分式方程两边同乘以最简公分母从而转化为整式方程的解法，在实践中经常对分式的四则运算产生强烈的负迁移．．．，如化简2222x y x y x y x y+-+++时经常有学生这样运算：22222x y x y x y x y x x y x y+-+=++-=++这肯定是受分式方程解法的影响所致，而且有时这种影响极其顽固，很难改正．分式的四则运算不能支持分式方程的解决，分式方程的解决又影响分式的四则运算，这种内耗和对抗大大削弱了分式理论的和谐性．学法建议分式方程的重点是解分式方程和列分式方程解应用题，难点是分式方程产生增根的原因和列分式方程解决实际问题．因而在学习中应注意：(1)分母中含有字母的方程不一定是分式方程，当且仅当字母中有未知数时，才是分式方程，如解关于x 的方程：13x a +=，22m n x m n n-=-等都是整式方程，究其原因在于限定未知数是x ，则字母a 、 m 、 n 是已知数，不满足分式方程定义． （通过观察，从中感知分式方程的特征）(2)严格遵循解分式方程的步骤：化、解、验．在解分式方程应用题时，切不可忘记检验．(3)认真审题，可借助表格、图表来分析题意，找出适合题意的相等关系，建立方程． 例：为改善居住环境，小康村拟在村后荒山上种植720棵树，由于共青团员的支持，实际每日比原计划多种20棵，结果提前4天完成任务，原计算每天种植多少棵？设原计划每天种植x 棵，根据题意得方程______ __．题目设原计划每天种植x 棵，那么可用来列方程的相等关系是实际比原计划提前4天完成任务．由题意，原计划植树720x 天，而实际每天植树(20)x +棵，实际植树天数为72020x +天，所以根据相等关系可列方程720720420x x -=+． （易错点是：已知量不会用未知数表示，找不到等量关系）(4)进行一题多解、一题多问及一题多变的训练，提高思维的敏捷性、解题方法的灵活性．(5)类比整式方程的解法和应用，使所学知识系统化，进而形成技能、技巧，巩固双基． 例 解方程：x 5 = 27-x 解：移项，得 x 5 －27-x = 0 通分，得)2(7)2(5---x x x x = 0 整理，得 )2()5(2-+x x x = 0 ① 分子取0，得 x + 5 = 0 ②即 x = -5说明：从①式到②式是此解法的关键．①式中，如分子与分母没有含未知数的公因式，那就能够做到分子取0时保证分母不得0；然后根据分式值为0的条件，把分式．．等于0的式子改写为分子．．等于0的式子，即完成了分式方程向整式方程的转化，而且符合方程的同解变形原理的精神，不会有增根或丢根的现象发生．。
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教材版本：新人教版八年级数学上册15．3 分式方程
课题：15．3 分式方程
备课人：遵义市第十九中学江金财
教学目标：
知识与技能目标
1．了解分式方程的定义；
2．会解可化为一元一次方程的分式方程；
3．掌握解分式方程验根的方法，方法了解解分式方程产生增根的原因。
过程与方法目标经历解分式方程中的过程，感受由分式方程转化为整式方程的过程，渗透转化、归纳的数学思想，发展学生分析问题和解决问题的能力。
情感与态度目标
1．通过背景材料引入，体会数学来源于生活，激发学生对生活的热爱；2．通过创设问题串，让学生仔细观察、对比、归纳，体会数学学习中的探索性和创造性，培养学生合作、交流以及数学的应用意识。
教学重点与难点
教学重点：
1．分式方程的解法。
2．转化、归纳思想在解分式方程（数学学习）中的重要运用。
教学难点：
理解解分式方程时可能无解的原因；
教学准备：粉笔、视频材料、PPT。
问题解决：
1．分式方程转化为整式方程的方法；
2．分式方程解的检验方法。
教学过程
课前背景展示：
“我解决过的每一个问题都成为日后用以解决其他问题的法则．”——笛卡尔（著名数学家、物理学家、哲学家）。
播放视频：曹冲称象的故事。
一、问题导入
问题1 刚刚大家看了这个故事，大家知道吗？曹冲为何没有直接给大象称重？
追问为何称得石头的重量，就能得到大象的重量？教师故事引入，以此说明“转化”思想在生活中的重要运用，过渡到
“转化”思想在数学学习中的重要运用
教师启头：今天就用转化的思想来学习解分式方程。
问题2认真观察，回答问题：
x +1 x 3 2 1 4
1
3x 4; 2 2x=4; 3 ； 4 ； 5 厂二
3 2 x+1x x-2x-4
1. 哪些是方程?
2. 哪些是整式方程、哪些是分式方程？
3. 在上述的方程之中，哪些方程的解为 x=2?
借助上述问题巩固分式方程、整式方程的定义、方程的解的定义。
二、问题探究
(1)复习巩固，建立新知
2 (x+1) =3x 去括号得：2x+2=3x 移项得：2x-3x=-2 合并同类项得：-x=-2 系数化为1得：x=2
问题 解一元一次方程的步骤是怎样的？
师生总结：①去分母②去括号③移项④合并同类项⑤系数化为 1。
问题你们都会解一元一次方程了，那么你们能解这样一个分式方程:
3
2
吗？
x 1 x
转化为分母不含字母的方程吗？
解：方程两边同时乘以2x (x+3)，得
x+3=2? (2x )
解这个整式方程，得x=1 检验：x=1 时，2x (x+3)工 0 所以，x=1是原分式方程的解。
追问 假如解得x=- 1，他是原方程的解吗?
解整式方程:
X +1 = X 3 2
解：去分母(两边同时乘以
6）得:
追问
洙彳与宁.I 的分母区别是什么？你能不能将
3 =2 x 1 x
3
师生探讨，学生总结，因为x=— 1时，
无意义，所以不是原方程的解,
X +1
也就是说所得的整式方程与原分式方程不是同解方程。
三、问题归纳
问题 刚才在解分式方程时，是怎样做的呢？步骤是怎样的呢？ 步骤可以概括为：一化、二解、三检验、四作答。
追问 为何要检验？怎样检验的呢？
1 •方程两边同乘一个等于0的数，那么所得的整式方程与原分式方程 不是同解方程•这时原分式方程无解。
2 •检验方法：将整式方程的解带入最简公分母即可。
温馨提醒：首先要因式分解哦
解：方程两边同时乘以(x+2) ? ( x-2 )，得
x+2=4
解这个整式方程，得x=2
检验：x=2 时，(x+2) ? (x-2 ) =0
所以，x=2不是原分式方程的解，原分式方程无解。
问题 在解分式方程时，有一些要注意的问题是什么呢？ 教师引导，学生总结三点注意：漏乘、添括号、检验
四、知识运用
解：方程两边同时乘以(x+1) ? (x-1 )，得
2 (x+1) =4
解这个整式方程，得x=1
检验：x=1 时，(x+1) ? (x-1 ) =0
所以，x=1不是原分式方程的解，原分式方程无解。
刚才大家知道了解分式方程最关键的是把分式方程转化为整式方程, 现在大家试一试。
请将下列分式方程转化为整式方程
例1解分式方程:
1 4
x _2 _ X 2 _4
解分式方程
2 4
x -1 x 2 -1
2
5
1
3 二一 - 一=0 可以转换为 5(x-1)-(x T) =0 x+x x -x
五、 课堂小结
通过这节课的学习，你有哪些收获？学生发言说心得。
师生共同交流并总结：今天所学用一、二、三来简单总结: 一个方法：解分式方程；
两个思想：转化的思想、类比的思想； 三点注意：漏乘、添括号、检验。
六、 布置作业 （一） 作业
教材154页，习题15. 3第1题。
（二） 课后思考
所有的分式方程都能转化为一元一次方程吗？能, 请举出反例。
七、当堂检测（每题20分， 共5题）
1 .下列方程中，分式方程疋（
)
八
x —2 x
1 3 A . B .
2 3 x-2 x
X - 1
3 - x x
C . 2x 10
D .
5 JI 2
2 •解方程
1 —
x 可以转换为x =-2
2x -8 x -7 x —7 可以转换为 2x -8 -(x -7) =1
请说明理由，不能,
2
3 1
3
芫二=3;
AKO 2
2x-1 4 4x 2-1
八、板书设计 课题：解分式方程 一、 定义：
二、 解分式方程的步骤
①化②解 ③检验④作答 三、 转化的数学思想
归纳的数学思想
九、教学反思
整体设计合理，重难点把握得当，授课效果良好，多数同学能解可化 为一元一次方程的分式方程，并能规范、完善的体现相应过程，恰当做到 了转化、化归思想的渗透。
但引入部分偏长，当堂检测部分没能完整的做到 当堂评、当堂提高。
例题展示:
1.
作业布置:。