2020秋季六年级明星班第1—2讲拓展练习

2020秋季数学思维六年级明星班第1—2讲拓展练习第1讲：《立体图形的表面积》1、三个较小的正方体木块分别粘在一个大的正方体木块的三个面上，其中每个小木块粘贴面的四个顶点分别是大木块粘贴面各边的一个六等分点（粘贴面如右下图所示），如果4个木块的棱长各不相同，且最大的棱长是6厘米，那么这个立体图形的表面积是多少平方厘米？2、实践课上，同学们需要从一个棱长为10厘米的正方体木料中挖去一个长10厘米、宽1厘米、高1厘米的长方体，并求出剩余部分的表面积，下面是甲、乙、丙、丁四位同学操作后计算出的结果，正确的是（）。

①甲算出剩余部分的表面积为618平方厘米；②乙算出剩余部分的表面积为622平方厘米；③丙算出剩余部分的表面积为598平方厘米；④丁算出剩余部分的表面积为638平方厘米。

A.①、②、④B.①、③、④C.②、③、④D.①、②、③、④3、如图，从棱长为5厘米的大正方体上面中心位置向下挖出一个棱长为2厘米的小正方体，接着再从下面中心位置向上挖出一个棱长为3厘米的小正方体，并把挖出的两个正方体粘贴在大正方体的侧面，则此时这个立体图形的表面积为多少平方厘米？4、有6个长、宽、高分别是5厘米、4厘米、3厘米的长方体，把它们的某些面染上红色，使得这6个长方体分别恰有1个面、2个面、3个面、4个面、5个面、6个面是红色的。

染色后，将所有的长方体切割为棱长为1厘米的小正方体，分割完毕后，恰有一面是红色的小正方体最多有多少个？第2讲：《立体图形的体积》5、把一个棱长为7厘米的正方体木块锯成两个大小不一的长方体，其中小长方体的表面积比大长方体的表面积少84平方厘米，则小长方体木块的体积为多少立方厘米？6、一个长方体的宽和高相等，且等于长的一半，将这个长方体切成12个小长方体，这些小长方体的表面积之和为864平方厘米。

则原来大长方体的体积为多少立方厘米？7、在一个棱长为20厘米的正方体容器的下底固定一个实心长方体，当容器内盛有m 升水时，水面恰好经过长方体的上底面。

如果将容器倒置，长方体有8厘米露出水面。

已知长方体的底面积是正方体底面积的81，则实心长方体的体积是多少立方厘米，容器内装有多少升水？8、有棱长分别为1厘米、3厘米、4厘米的三种正方体木块，如果用这三种木块拼成一个尽可能小的大正方体（每种木块至少用一块），那么最多需要这三种木块共多少块，最少需要这三种木块共多少块？9、一个长方体容器，底面是一个边长为60厘米的正方形，容器里直立着一个长方体铁块，它的高是100厘米，底面是一个边长为15厘米的正方形，这时容器里的水深110厘米。

现在把铁块轻轻地向上提起25厘米。

那么露出水面的铁块长多少厘米？答案1、大正方体的棱长为6厘米，那么每个面的面积为6×6=36（平方厘米）；对于较小的3个小正方体，由于棱长互不相同，所以粘贴面的正方形分别是下面三个阴影正方形之一。

（如下图）第一个阴影正方形的面积占大正方形面积的，面积为36×=26（平方厘米）；第二个阴影正方形的面积占大正方形面积的，面积为36×=20（平方厘米）；第三个阴影正方形的面积占大正方形面积的，面积为36×=18（平方厘米）；所以这个立体图形的表面积为6×6×6+（26+20+18）×4=472（平方厘米）。

2、原来正方体的表面积为10×10×6=600（平方厘米），挖去长方体后，剩余部分一共有四种不同的情况，如下图所示：第一种情况，剩余部分的表面积为600-1×1×2=598（平方厘米）；第二种情况，剩余部分的表面积为600-1×1×2+1×10×2=618（平方厘米）；第三种情况，剩余部分的表面积为600-1×1×2+1×10×4=638（平方厘米）；第四种情况，剩余部分的表面积为600+1×1×2+1×10×2=622（平方厘米）；所以甲、乙、丙、丁算的都是正确的，故本题选D。

3、观察图，从大正方体中挖出一个棱长为2厘米的正方体和一个棱长为3厘米的正方体后，大正方体的表面少了一个2×2的正方形面积和一个3×3的正方形面积，大正方体的内部却增加了4个2×2的正方形面积和4个3×3的正方形面积，以及1个（3×3-2×2）的回字形面积。

接着把挖出的两个正方体粘贴到大正方体的侧面，表面积又增加了4个3×3的正方形面积和2个2×2的正方形面积。

所以此时立体图形的表面积就相当于棱长为5厘米的正方体的表面积+5个2×2的正方形面积+7个3×3的正方形面积+1个（3×3-2×2）的回字形面积。

具体过程如下：5×5×6+2×2×5+3×3×7+（3×3-2×2）=238（平方厘米）。

4、如图，AB=5厘米，BC=4厘米，BF=3厘米。

①将一个表面染色，切割后，最多可以得到（5÷1）×（4÷1）=20（个）有一面是红色的小正方体，如图：②将2个表面染色，切割后，最多可以得到20×2=40（个）有一面是红色的小正方体，例如：将长方体上、下两个5×4的面染上红色。

③将3个表面染色，思考的方法和上面类似，那么最多得到36个有一面是红色的小正方体，例如：将长方体的上、下两个5×4的面和侧面一个4×3的面染色，这样最多就有16×2+4=36（个）一面是红色的小正方体。

如图：④将4个表面染色，切割后，最多可以得到32个一面为红色的小正方体，例如：将长方体的上、下两个5×4的面和左、右两个4×3的面染色，这样最多有12×2+4×2=32（个）一面为红色的小正方体。

⑤将5个表面染色，切割后，最多可以得到27个一面为红色的小正方体，例如：除了后面，其它五个面都染色，这样就有9×2+3×2+3=27（个）一面为红色的小正方体。

⑥将6个表面染色，切割后，最多可以得到[（5-2）×（4-2）+（5-2）×（3-2）+（4-2）×（3-2）]×2=22（个）一面为红色的小正方体。

所以将所有的长方体按要求染色并分割后，最多能得到20+40+36+32+27+22=177（个）小正方体恰有1个面是红色的。

5、通过画图，仔细观察，我们发现大、小两个长方体的左、右面都是相等的，小长方体木块的表面积比大长方体木块的表面积少84平方厘米，也就是它们前、后、上、下四个面的面积和相差84平方厘米。

我们用a表示小长方体的长，b表示大长方体的长，由此可得：7×b×4-7×a×4=84化简得：b-a=3又因为a+b=7，根据和差问题的解题思路可知，a=（7-3）÷2=2（厘米）所以小长方体的体积为2×7×7=98（立方厘米）。

6、本题只知道长、宽、高的关系，并不知道其长度各是多少，因此要列算式求体积比较繁琐，我们不妨设宽和高都为x厘米，长为2x厘米，根据“这些小长方体的表面积之和为864平房厘米”列方程解答，具体过程如下：解：设原来大长方体的宽和高为x厘米，则长为2x厘米。

2x・x・6+2x・x・2+x・x・8=86424x2=864x2=36x=6所以原来大长方体的体积为2x・x・x=2×6×6×6=432（立方厘米）。

7、由“长方体的底面积是正方体底面积的”可知，实心长方体的底面积为20×20×=50（平方厘米）；要求出长方体的体积，我们还要求出长方体的高。

设长方体的高为h厘米，根据正方体容器内倒置前后水的体积不变，我们可以列出方程来解答，具体过程如下：解：设长方体的高为h厘米。

（20×20-50）×h=（20×20-50）×（h-8）+20×20×（20-h）350h=350h-2800+8000-400h400h=5200h=13所以实心长方体的体积是13×50=650（立方厘米）。

容器内装有（20×20-50）×h=350×13=4550（立方厘米）的水，也就是4.55升水。

8、因为每种木块至少用一块，所以拼成的大正方体的棱长至少为7厘米。

要使木块用的最多，那么就要尽量少用棱长为4厘米和棱长为3厘米的正方体，多用棱长为1厘米的正方体，即棱长为4厘米和3厘米的正方体各用1块，其余都用棱长为1厘米的正方体，所需要的木块最多。

三种木块最多一共需要（73-43-33）÷13+2=254（块）。

同理，要使拼成的大正方体棱长为7厘米，且木块用的最少，那么棱长为4厘米的正方体只能用1块，接下来就要尽可能多用棱长为3厘米的正方体，这样才能使棱长为1厘米的正方体用的少。

故棱长为4厘米的正方体用1块，放在大正方体的顶点位置，棱长为3厘米的正方体用7块，分别放在大正方体剩余7个顶点的位置，剩下的位置全部用棱长为1厘米的正方体填充，故三种木块最少一共需要（73-43-33×7）÷13+1+7=98（块）。

9、根据题意，我们可以画出正视图。

图中深色和浅色阴影部分都表示水的体积，从图上可以看出，左右两图中浅色阴影①和②两部分水的体积分别是相同的，那么我们只要考虑左、右两图深色阴影部分水的体积相同即可。

即左图深色阴影部分③的体积等于右图上、下深色阴影部分的体积之和。

由此我们可以列方程解答。

具体过程如下：解：设右图上面深色阴影部分的高为h厘米。

60×60×（110-100）=15×15×25+（60×60-15×15）×h解得h=9那么露出水面的铁块长25-9=16（厘米）。