离散数学-3-9 集合的划分和覆盖
离散数学---集合
特定的一些集合的表示符号
自然数集N={0，1，2，…} ， ， ， 自然数集 整数集合Z={…-2，-1，0，1，2，…} 整数集合 ， ， ， ， ， 有理数集合Q={xx=P⁄⁄q，p,q∈Z} 有理数集合 ， ∈ 实数集合R={ x x是实数 是实数} 实数集合 是实数 复数集合C={x x=a+bi,a,b∈R,i=复数集合C={x x=a+bi,a,b∈R,i=-1}
E B A
集合的相等
2、 相等： 、 相等： 定义： 相等， 定义：若 A⊆ B，且B⊆ A则 称A，B相等， ⊆ ， ⊆ 则 ， 相等 记 作A=B。 。 即 ∀ x∈A则 x∈B， 并且有 ∀ x∈B则 x∈A。 ∈ 则 ∈ ， 并且有∀ ∈ 则 ∈ 。 若A，B 不相等记 作 A≠ B
真子集： 真子集：
集合的说明： 集合的说明：
1、描述法中A={ x 1≤x≤5}与A={y1≤y≤5} 、描述法中 与 是表示同一个集合 2、集合中元素是无序的。 、集合中元素是无序的。 {a,b,c},{a,c,b},{b,c,a}表示同一个集合 。 表示同一个集合。 表示同一个集合 3、集合中的元素可能也是集合， 、集合中的元素可能也是集合， 例：A={1，{2}，2，{3，4}，{6}} ， ， ， ， ， =5， {2}∈ A,{6}∈ A=5，2∈A，{2}∈A，6∉A,{6}∈A
求幂集的过程
写出A的全部子集 设A={0，1，2}写出 的全部子集。 ， ， 写出 的全部子集。 元子集： 解：A的0元子集：∅ 的 元子集 A的1元子集：{0}，{1}，{2} 元子集： ， ， 的 元子集 A的 2元子集 ： {0， 1}， {0， 2}， {1， 2}。 元子集： ， ， ， ， ， 。 的 元子集 元子集： ， ， A的3元子集：{0，1，2} 的 元子集 A共有 个子集，即P（A）=8 共有8个子集， （ ） 共有 个子集 一般地如果 ， 一般地如果A=n， 元子集有1个即空集 则A的0元子集有 个即空集∅， 的 元子集有 个即空集∅ A的1元子集共有 n1个， 元子集共有C 的 元子集共有 A的 2元子集共有 2n个，…， 元子集共有C 的 元子集共有 ， A的m元子集共有 mn个，… 元子集共有C 的 元子集共有 n元子集共有 nn=1个， 元子集共有C 元子集共有 个 所以A的子集个数为 的子集个数为C 所以 的子集个数为 0n+ C1n+…+ Cnn=2n
离散数学覆盖关系
在离散数学中，覆盖关系是一种二元关系，用于描述集合之间的包含关系。
具体而言，给定两个集合A和B，如果每个元素在A中至少与B中的一个元素有关联，那么称B覆盖A，表示为A⊆B。
覆盖关系可以用于研究集合的包含和相互关系。
覆盖关系具有以下性质：
自反性：每个集合都覆盖自身，即A⊆A。
反对称性：如果A覆盖B，且B覆盖A，则A和B是相同的集合，即A=B。
传递性：如果A覆盖B，B覆盖C，则A覆盖C。
在离散数学中，覆盖关系还经常用于讨论集合的最小覆盖和最大覆盖。
最小覆盖是指覆盖关系中包含最少元素的覆盖集合，而最大覆盖则是指包含最多元素的覆盖集合。
覆盖关系在实际应用中有广泛的应用，例如在图论中，覆盖关系可以用来描述图的顶点覆盖和边覆盖问题。
此外，在计算机科学中，覆盖问题也经常出现，如集合覆盖问题、任务调度问题等。
离散数学中的覆盖关系是一种用于描述集合之间包含关系的二元关系，它涉及集合的包含、相等、最小覆盖和最大覆盖等概念，并在各个领域中有广泛的应用。
离散数学知识点整理
离散数学知识点整理离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、物理学等领域都有着广泛的应用。
以下是对离散数学中一些重要知识点的整理。
一、集合论集合是离散数学中最基本的概念之一。
集合是由一些确定的、互不相同的对象组成的整体。
集合的表示方法有列举法、描述法等。
列举法就是将集合中的元素一一列举出来，比如{1, 2, 3}；描述法是通过描述元素所具有的性质来表示集合，例如{x ｜ x 是大于 0 小于 5 的整数}。
集合之间的关系包括子集、真子集、相等。
如果集合 A 的所有元素都属于集合 B，那么 A 是 B 的子集；如果 A 是 B 的子集，且 B 中存在元素不属于 A，那么 A 是 B 的真子集；如果两个集合的元素完全相同，那么它们相等。
集合的运算有并集、交集、差集等。
并集是将两个集合中的所有元素合并在一起组成的新集合；交集是两个集合中共同拥有的元素组成的集合；差集是从一个集合中去掉另一个集合中的元素所得到的集合。
二、关系关系是集合中元素之间的某种联系。
比如在一个班级中，同学之间的“同桌关系”就是一种关系。
关系可以用矩阵和图来表示。
矩阵表示中，若元素之间存在关系则对应的位置为1，否则为0；图表示中，用点表示元素，用线表示关系。
关系的性质包括自反性、对称性、反对称性和传递性。
自反性是指每个元素都与自身有关系；对称性是指如果 a 与 b 有关系，那么 b 与 a 也有关系；反对称性是指如果 a 与 b 有关系且 b 与 a 有关系，那么 a ＝b；传递性是指如果 a 与 b 有关系，b 与 c 有关系，那么 a 与 c 有关系。
关系的运算有复合关系和逆关系。
复合关系是将两个关系组合起来得到新的关系；逆关系是将原关系中的元素顺序颠倒得到的关系。
三、函数函数是一种特殊的关系，对于定义域中的每个元素，在值域中都有唯一的元素与之对应。
函数的类型有单射、满射和双射。
单射是指不同的定义域元素对应不同的值域元素；满射是指值域中的每个元素都有定义域中的元素与之对应；双射是既是单射又是满射。
3-9 集合的划分和覆盖
定理3-9.1：设{A1，A2，· ，Ar}与{B1，B2，· ，Bs} · · · · 是同一集合X的两种划分，则其交叉划分亦是原集 合的一种划分。
定义3-9.3：给定X的k使 Ar}与{B1，B2，· · · ，Ar}成为{B1，B2，· ，Bs} AjBk，则{A1，A2，· · · · ·
3-9 集合的划分和覆盖
在集合的研究中，除了常常把两个集合 相互比较之外，有时也要把一个集合分成若 干子集加以讨论。本节讲述集合的划分。
一、集合的划分和覆盖 定义3-9.1：若把一个集合A分成若干个叫做分块的
非空集合，使得A中每个元素至少属于一个分块，
那么这些分块的全体构成的集合叫做A的一个覆盖。 如果A中每个元素属于且仅属于一个分块，那么这 些分块的全体构成的集合叫做A的一个划分(或分划)。 定义3-9.1‘：令A为非空集合，S={S1，S2，· ，Sm}， · ·
的加细。
定理3-9.2：任何两种划分的交叉划分，都是原来各
划分的一种加细。 证明：设{A1，A2，· ，Ar}与{B1，B2，· ，Bs}的交 · · · · 叉划分为T，对T中任意元素AiBj必有AiBjAi， AiBjBj，故T必是原划分的加细。
其中①Si，②SiA，③
m i 1
Si=A，集合S称作集合
A的覆盖。如果除以上条件外，另有Si∩Sj=(ij)，
则称S是A的划分(或分划)。
例如，A={a，b，c}，考虑下列子集：
S={{a，b}，{b，c}}，Q={{a}，{a，b}，{a，c}}
D={{a}，{b，c}}，G={{a，b，c}} E={{a}，{b}，{c}}，F={{a}，{a，c}} 则：D、E、G、S、Q是A的覆盖 D、E、G是A的划分 F既不是划分也不是覆盖。
离散数学串讲
第一章命题逻辑1.1 命题及其表示方法1.2 联结词1.3 命题公式与翻译1.4 真值表与等价公式1.5 重言式与蕴含式1.6 其它联结词1.7 对偶与范式1.8 推理理论1.1 命题及其表示方法命题：具有确定真值的陈述句命题的类型（原子命题和复合命题）命题语句的形式（陈述句）命题的表示（一个命题标识符（比如P）表示确定的命题）1.2 联结词1. 否定⌝2.合取∧（TT T）3. 析取∨（FF F）4. 条件→(TF F)5. 双条件↔(同T异F)1.3 命题公式与翻译命题公式●所谓命题的符号化就是把一个用文字叙述的句子相应地写成由命题标识符、联结词和括号表示的合式公式。
●符号化应该注意下列事项:•①确定给定句子是否为命题。
•②句子中连词是否为命题联结词。
•③要正确地表示原子命题和适当选择命题联结词。
命题符号化的重要性●命题符号化是很重要的，一定要掌握好，在命题推理中最先遇到的就是符号化一个问题，解决不好，等于说推理的首要前提没有了。
1.4 真值表与等价公式真值表的构造方法1) 找出公式中所含的全体命题变元P1, P2, …, Pn, (若无下角标就按字典顺序排列), 列出2n个赋值. 赋值从00…0开始, 然后按二进制加法依次写出各赋值, 直到11…1为止.(2) 按从低到高的顺序写出公式的各个层次.(3) 对应各个赋值计算出各层次的真值, 直到最后计算出公式的真值.等价公式等价式的判别方法•真值表法•等价演算法基本等价式(1)对合律（双重否定）：⌝⌝P⇔P(2)幂等律：P∧P⇔P，P∨P⇔P(3)结合律：(P∧Q)∧R⇔P∧(Q∧R)，(P∨Q)∨R⇔P∨(Q∨R)(4)交换律：P∧Q⇔Q∧P，P∨Q⇔Q∨P(5)分配律：P∧(Q∨R)⇔(P∧Q)∨(P∧R)，P∨(Q∧R)⇔(P∨Q)∧(P∨R)(6)德·摩根律：⌝ (P∧Q) ⌝⇔P∨⌝Q，⌝ (P∨Q) ⌝⇔P∧⌝Q(7)吸收律：P∧(P∨Q)⇔P，P∨(P∧Q)⇔P(8)同一律：P∧T⇔P，P∨F⇔P(9)零律：P∧F⇔F，P∨T⇔T(10)否定律：P∧⌝P⇔F，P∨⌝P⇔T(11) 条件式转化律：P→Q⌝⇔P∨Q，P→Q⌝⇔Q→⌝P(12) 双条件式转化律：P↔Q ⇔(P→Q)∧(Q→P) ⇔(P∧Q)∨(⌝P∧⌝Q)⌝ (P↔Q) ⇔P⌝↔Q ⌝⇔P↔Q(13) 输出律(CP规则)：P→(Q→R) ⇔(P∧Q)→R1.5 重言式与蕴含式●定义1-5.1 给定一命题公式，若无论对分量作怎样的指派，其对应的真值永为真，则称该命题公式为重言式或永真公式。
集合的划分名词解释
集合的划分名词解释在数学中，集合是一个基本的概念，用于描述具有某种共同特征的对象的整体。
然而，并非所有的集合都是均匀的、没有内在结构的。
有时，人们需要将一个集合划分为不同的子集，以便更好地理解和分析集合中的元素。
这种操作被称为集合的划分。
集合的划分是指将一个集合分割成多个互不相交的子集，这些子集的并集等于原集合，并且它们的交集为空集。
换句话说，划分是将一个整体切割成若干个部分，每个部分都是独立的、可数的，并且所有部分的结合能够完全覆盖整个整体。
划分可以用图形化的方式来展示。
假设我们有一个集合A，包含了元素a、b、c、d、e，我们可以将集合A划分为三个子集，分别是{a, b}、{c, d}和{e}。
这样的划分可以用一个图示来表示，如下所示：{a, b} {c, d} {e}\ / /\ / /\ / /A在这个图示中，每一个大的方框代表一个集合，每一个小的方框代表集合中的一个子集。
注意，这些子集之间没有交集，且并集等于原集合A。
集合的划分在数学中应用广泛，尤其在集合论、代数学、离散数学和计算机科学等领域中起着重要的作用。
它帮助我们研究和探索集合的内在结构、性质和关系。
集合的划分有一些重要的特性和性质。
首先，划分中的每个子集都是互不相交的。
这意味着任意两个子集之间的交集为空集。
其次，划分中的每个子集不为空，即每个子集至少包含一个元素。
最后，划分中的子集的并集等于原集合。
这些特性使得划分成为一个有效的工具，可以对集合中的元素进行分类和组织。
在日常生活和实际问题中，集合的划分也经常被使用。
以音乐为例，我们可以将音乐作品按照风格划分为古典音乐、流行音乐和民族音乐等子集。
而在餐厅的菜单上，食物种类的划分也是常见的，例如将主菜、甜品和饮料分开列示。
总结而言，集合的划分是将一个集合分割为多个互不相交的子集的操作，以帮助我们更好地理解和分析集合中的元素。
它在数学研究和实际问题中都是一种重要的工具，通过图形化的方式展示了集合内在的结构和关系。
离散数学第三章集合的基本概念和运算知识点总结
离散数学第三章集合的基本概念和运算知识点总结集合论部分第三章、集合的基本概念和运算3.1 集合的基本概念集合的定义与表⽰集合与元素集合没有精确的数学定义理解：⼀些离散个体组成的全体组成集合的个体称为它的元素或成员集合的表⽰列元素法A={ a, b, c, d }谓词表⽰法B={ x | P(x) }B 由使得P(x) 为真的x构成常⽤数集N, Z, Q, R, C 分别表⽰⾃然数、整数、有理数、实数和复数集合，注意0 是⾃然数.元素与集合的关系：⾪属关系属于∈，不属于?实例A={ x | x∈R∧x2-1=0 }, A={-1,1}1∈A, 2?A注意：对于任何集合A 和元素x (可以是集合)，x∈A和x?A 两者成⽴其⼀，且仅成⽴其⼀.集合之间的关系包含（⼦集）A?B??x (x∈A→x∈B)不包含A?B??x (x∈A∧x?B)相等A = B?A?B∧B?A不相等A≠B真包含A?B?A?B∧A≠B不真包含A?B思考：≠和?的定义注意∈和?是不同层次的问题空集?不含任何元素的集合实例{x | x2+1=0∧x∈R} 就是空集定理空集是任何集合的⼦集Ax (x∈?→x∈A) ?T推论空集是惟⼀的.证假设存在?1和?2，则?1??2 且?1??2，因此?1=?2全集E 相对性在给定问题中，全集包含任何集合，即?A (A?E )幂集定义P(A) = { x | x?A }实例P(?) = {?}，P({?}) = {?,{?}}P({1,{2,3}})={?,{1},{{2,3}},{1,{2,3}}}计数如果|A| = n，则|P(A)| = 2n3.2 集合的基本运算集合基本运算的定义??-~⊕并A?B = { x | x∈A∨x∈B }交A?B = { x | x∈A∧x∈B }相对补A-B = { x | x∈A∧x?B }对称差A⊕B = (A-B)?(B-A)= (A?B)-(A?B)绝对补~A = E-A⽂⽒图（John Venn）关于运算的说明运算顺序：~和幂集优先，其他由括号确定并和交运算可以推⼴到有穷个集合上，即A1?A2?…A n= {x | x∈A1∨x∈A2∨…∨x∈A n}A1?A2?…A n= {x | x∈A1∧x∈A2∧…∧x∈A n}某些重要结果A-B?AA?B ?A-B=?（后⾯证明）A?B=??A-B=A命题演算法证X?Y：任取x ，x∈X?… ?x∈Y 例3 证明A?B?P(A)?P(B)任取xx∈P(A) ?x?A?x?B ? x∈P(B)任取xx∈A ? {x}?A ? {x}∈P(A) ? {x}∈P(B){x}B x∈B包含传递法证X?Y：找到集合T 满⾜X?T 且T?Y，从⽽有X?Y例4 A-B ? A?B证A-B ? AA ? A?B所以A-B ? A?B利⽤包含的等价条件证X?Y：例5 A?C∧B?C ?A?B?C证A?C?A?C=CB?C?B?C=C(A?B)?C=A?(B?C)=A?C=C(A?B)?C=C ?A?B?C命题得证反证法证X?Y：欲证X?Y, 假设命题不成⽴，必存在x 使得x∈X 且x?Y. 然后推出⽭盾.例6 证明A?C ∧ B?C ? A?B?C证假设A?B ? C 不成⽴，则?x (x∈A?B∧x?C)因此x∈A 或x∈B，且x?C若x∈A, 则与A?C ⽭盾；若x∈B, 则与B?C ⽭盾.利⽤已知包含式并交运算：由已知包含式通过运算产⽣新的包含式X?Y ?X?Z?Y?Z, X?Z?Y?Z 例7 证明A?C?B?C ∧ A-C?B-C ? A?B证A?C?B?C，A-C ? B-C上式两边求并，得(A?C)?(A-C) ? (B?C)?(B-C)(AC)(A~C) (BC)(B~C)A(C~C) B(C~C)AE BEA B命题演算法证明X=Y：任取x ，x∈X ?… ?x∈Yx∈Y ?… ?x∈X或者x∈X ?… ? x∈Y例8 证明A?(A?B)=A （吸收律）证任取x,x∈A?(A?B) ? x∈A∨ x∈A?Bx∈A ∨ (x∈A ∧ x∈B) ? x∈A等式替换证明X=Y：不断进⾏代⼊化简，最终得到两边相等例9 证明A?(A?B)=A （吸收律）证(假设交换律、分配律、同⼀律、零律成⽴)A?(A?B)=(A?E)?(A?B) 同⼀律=A?(E?B) 分配律=A?(B?E) 交换律=A?E 零律=A 同⼀律反证法证明X=Y：假设X=Y 不成⽴，则存在x 使得x∈X且x?Y，或者存在x 使得x∈Y且x?X，然后推出⽭盾.例10 证明以下等价条件A?B ? A?B=B ? A?B=A ? A-B=?(1) (2) (3) (4)证明顺序：(1) ?(2), (2) ?(3), (3) ?(4), (4) ?(1)(1) ?(2)显然B?A?B，下⾯证明A?B?B.任取x，x∈A?B ? x∈A∨x∈B ? x∈B∨x∈B ? x∈B因此有A?B?B. 综合上述（2）得证.(2) ?(3)A=A?(A?B) ? A=A?B（将A?B⽤B代⼊)(3) ?(4)假设A-B≠?, 即?x∈A-B，那么x∈A且x?B. ⽽x?B ? x?A?B.从⽽与A?B=A⽭盾.(4) ?(1)假设A?B不成⽴，那么x (x∈A ∧ x?B) ? x∈A-B ? A-B≠?与条件（4）⽭盾.集合运算法证明X=Y：由已知等式通过运算产⽣新的等式X=Y ? X?Z=Y?Z, X?Z=Y?Z，X-Z=Y-Z 例11 证明A?C=B?C ∧ A?C=B?C ? A=B证由A?C=B?C 和A?C=B?C 得到(A?C)-(A?C)=(B?C)-(B?C)从⽽有A⊕C=B⊕C因此A⊕C=B⊕C ? (A⊕C)⊕C =(B⊕C)⊕CA⊕(C⊕C) =B⊕(C⊕C) ?A⊕?=B⊕?? A=B3.3 集合中元素的计数集合的基数与有穷集合集合A 的基数：集合A中的元素数，记作card A有穷集A：card A=|A|=n，n为⾃然数.有穷集的实例：A={ a,b,c}, card A=|A|=3；B={ x | x2+1=0, x∈R}, card B=|B|=0⽆穷集的实例：N, Z, Q, R, C 等包含排斥原理：定理设S 为有穷集，P1, P2, …, P m是m 种性质，A i 是S中具有性质P i的元素构成的⼦集，i=1, 2,…, m.则S中不具有性质P1, P2, …, P m 的元素数为证明要点：任何元素x，如果不具有任何性质，则对等式右边计数贡献为１，否则为０证设x不具有性质P1, P2, … , P m ,x?A i, i= 1, 2, … , mx?A i?A j, 1≤i < j ≤m…x?A1?A2?…?A m,x 对右边计数贡献为1 - 0 + 0 -0 + … + (-1)m· 0 = 1例1 求1到1000之间（包含1和1000在内）既不能被5 和6 整除，也不能被8 整除的数有多少个？解：S ={ x | x∈Z, 1≤x ≤1000 },如下定义S的3 个⼦集A, B, C：A={ x | x∈S, 5 | x }，B={ x | x∈S, 6 | x }，C={ x | x∈S, 8 | x }对上述⼦集计数：|S|=1000,|A|= ?1000/5? =200, |B|=?1000/6?=133，|C|= ?1000/8? =125,|A?B|= ?1000/30? =33, |B?C| = ?1000/40? =25,|B?C|= ?1000/24? =41,|A?B?C| = ?1000/120? =8,代⼊公式N = 1000-(200+133+125)+(33+25+41)-8=600例224名科技⼈员，每⼈⾄少会1门外语.英语：13；⽇语：5；德语：10；法语：9英⽇：2; 英德：4；英法：4；法德：4 会⽇语的不会法语、德语求：只会1 种语⾔⼈数，会3 种语⾔⼈数x+2(4-x)+y1+2=13x+2(4-x)+y2=10x+2(4-x)+y3=9x+3(4-x)+y1+y2+y3=19x=1, y1=4, y2=3, y3=2。
离散数学知识点整理
离散数学知识点整理离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、数理逻辑等领域都有着广泛的应用。
下面就来对离散数学的一些重要知识点进行整理。
一、集合论集合是离散数学中最基本的概念之一。
集合是由一些确定的、彼此不同的对象所组成的整体。
集合的表示方法有列举法和描述法。
列举法就是将集合中的元素一一列举出来，用花括号括起来。
描述法是通过描述元素所具有的性质来确定集合。
集合之间的关系包括子集、真子集、相等。
如果集合 A 的所有元素都属于集合 B，那么 A 是 B 的子集；如果 A 是 B 的子集且 A 不等于 B，那么 A 是 B 的真子集；如果集合 A 和集合 B 的元素完全相同，那么 A 和 B 相等。
集合的运算有并集、交集、差集和补集。
并集是将两个集合中的所有元素合并在一起组成的新集合；交集是两个集合中共同的元素组成的新集合；差集是从一个集合中去掉另一个集合中的元素所得到的新集合；补集是在给定的全集 U 中，去掉集合 A 中的元素所得到的新集合。
二、关系关系是集合论中的一个重要概念，它描述了两个集合元素之间的某种联系。
关系可以用关系矩阵和关系图来表示。
关系矩阵是一个二维矩阵，用于表示两个有限集合之间的关系；关系图则是用顶点和边来表示关系。
关系的性质包括自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性。
自反性是指集合中的每个元素都与自身有关系；反自反性则是集合中的每个元素都与自身没有关系；对称性是如果 a 与 b 有关系，那么 b 与 a 也有关系；反对称性是如果 a 与 b 有关系且 b 与 a 有关系，那么 a 等于 b；传递性是如果 a 与 b 有关系，b 与 c 有关系，那么 a 与 c 有关系。
等价关系是一种具有自反性、对称性和传递性的关系，它可以将集合划分为等价类。
偏序关系是一种具有自反性、反对称性和传递性的关系，它可以引出偏序集的概念。
三、函数函数是一种特殊的关系，它对于定义域中的每个元素，在值域中都有唯一的元素与之对应。
离散数学知识点整理
离散数学知识点整理离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息技术、通信工程等领域有着广泛的应用。
以下是对离散数学中一些重要知识点的整理。
一、集合论集合是离散数学中最基本的概念之一。
集合是由一些确定的、互不相同的对象所组成的整体。
集合的表示方法有列举法和描述法。
列举法就是将集合中的元素一一列举出来，用花括号括起来；描述法是通过描述元素所具有的性质来表示集合。
集合之间的关系包括子集、真子集、相等。
如果集合 A 的所有元素都属于集合 B，那么 A 是 B 的子集；如果 A 是 B 的子集，且 B 中存在元素不属于 A，那么 A 是 B 的真子集；如果两个集合的元素完全相同，那么它们相等。
集合的运算有并集、交集、差集和补集。
并集是将两个集合中的所有元素合并在一起组成的新集合；交集是两个集合中共同的元素组成的新集合；差集是从一个集合中去掉另一个集合的元素所剩下的元素组成的集合；补集是在给定的全集 U 中，去掉集合 A 的元素，剩下的元素组成的集合。
二、关系关系是集合中元素之间的某种联系。
可以用笛卡尔积来定义关系。
关系的性质包括自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性。
自反性是指集合中的每个元素都与自身有关系；反自反性则是集合中的任何元素都与自身没有关系；对称性是如果 a 与 b 有关系，那么 b 与 a 也有关系；反对称性是如果 a 与 b 有关系且 b 与 a 有关系，那么 a 等于 b；传递性是如果 a 与 b 有关系，b 与 c 有关系，那么 a 与 c 有关系。
关系可以用关系矩阵和关系图来表示。
关系矩阵是一个二维矩阵，其中的元素表示对应元素之间是否有关系；关系图则是用节点表示元素，用有向边表示关系。
三、函数函数是一种特殊的关系，它对于定义域中的每个元素，在值域中都有唯一的元素与之对应。
函数的类型有单射函数（一对一函数）、满射函数（映上函数）和双射函数（一一对应函数）。
单射函数是指不同的定义域元素对应不同的值域元素；满射函数是指值域中的每个元素都有定义域中的元素与之对应；双射函数则同时满足单射和满射的性质。
离散数学教程集合的基本概念
离散数学教程集合的基本概念标题：离散数学教程——集合的基本概念离散数学是数学的一个重要分支，它研究的是数学中离散对象的性质和结构。
在这些离散对象中，集合是最基本的概念之一。
集合是由一些互不相同的、可以区分的对象组成的整体，这些对象可以是数字、字母、图形等。
在离散数学中，集合的概念被广泛地应用于各种不同的领域，包括计算机科学、信息论、统计学等。
一、集合的基本定义1、集合是由一些特定对象组成的整体，这些对象可以是任何类型，如数字、字母、图形等。
2、集合中的对象必须是互不相同的，即集合中的每个对象都是独一无二的，不能有两个或更多的对象重复。
3、集合的元素具有可区分性，即可以根据一定的规则或性质将集合中的对象区分开来。
二、集合的表示在数学中，通常用大写字母来表示集合，如A、B、C等。
如果集合中有多个元素，则可以用列举法或描述法来表示集合。
1、列举法：将集合中的所有元素一一列举出来，用大括号括起来。
例如，A={1, 2, 3}表示集合A包含1、2和3这三个元素。
2、描述法：用特定的符号或语言来描述集合的性质或特征。
例如，B={x|x是正方形}表示集合B包含所有的正方形。
三、集合的运算在离散数学中，集合的运算是最基本的概念之一。
常见的集合运算包括交集、并集、补集等。
1、交集：如果集合A和B的元素都有共同的属性或特征，则称A和B有交集。
记作A∩B或A.B，表示A和B的交集。
2、并集：如果集合A和B的所有元素都属于另一个集合C，则称A 和B的并集为C。
记作A∪B或A.B，表示A和B的并集。
3、补集：如果集合A中存在一些不属于B的元素，则称B为A的补集。
记作∁AB，表示A的补集。
四、集合的性质1、空集：没有任何元素的集合称为空集。
记作∅。
空集是所有集合的子集。
2、全集：包含所有可能元素的集合称为全集。
记作U。
全集是所有集合的超集。
3、幂集：给定一个集合A，A的幂集是指包含A的所有子集的集合。
记作P(A)。
4、子集：如果一个集合B的所有元素都属于另一个集合A，则称B为A的子集。
离散数学集合
离散数学集合离散数学是数学中的一个分支，研究非连续性的结构，包括集合、函数、关系、图论、逻辑等等。
其中，集合是离散数学中的基本概念之一，下面将详细介绍集合的概念和相关内容。
一、集合的定义和符号集合是由一些确定的、独立的对象组成的整体。
这些对象可以是数字、字母、符号、图形等等，称为集合的元素，用大写字母表示整个集合，用小写字母表示集合中的元素。
例如：集合A={1,2,3,4,5}，其中元素1、2、3、4、5是集合A的成员；集合B={a,b,c,d,e}，其中元素a、b、c、d、e是集合B的成员。
表示集合的符号主要有两种：花括号{}，用来表示集合中的元素，如集合A和B的表示方法；省略号…，用来表示集合的连续性，如集合C={1,2,3,…,100}。
二、集合的基本运算集合的基本运算有四个，分别是并、交、差和补。
并、交、差和补四种运算的含义和符号如下表所示：运算符号含义并集∪ 将两个集合中所有元素组成的新集合交集∩ 两个集合中共同拥有的元素组成的新集合差集 - 求一个集合A中存在，另一个集合B中不存在的元素所组成的集合补集 A' 补集实际上也是差集，即A与全集U之间的差集例如，若集合A={1,2,3,4,5}，集合B={4,5,6,7,8}，则它们之间的并、交、差和补分别为：三、集合的特殊情况1. 空集空集是不含任何元素的集合，用∅表示。
空集是任何集合的子集，常常用于证明一个子集是空集或不为空集。
集合表达式结果A∩B ∅即A和B没有任何公共元素A-∅ {1,2,3} 即A中存在的元素∅-B ∅即空集和任何集合之间的差集都是空集2. 子集集合A是集合B的子集，当且仅当A中的任何元素都在B中出现，用符号A⊆B表示。
如果集合A不是集合B的子集，则用符号A⊈B表示。
集合表达式结果A⊆B TRUE 即A中的任何元素都在B中出现B⊆A FALSE 即B中的元素不全在A中出现3. 并、交的结合律和分配律并、交的结合律和分配律也称为结合律和分配律，它们分别是：并、交的结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C，A∩(B∩C)=(A∩B)∩C；并、交的分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。
离散数学知识点归纳
离散数学知识点归纳一、集合论。
1. 集合的基本概念。
- 集合是由一些确定的、彼此不同的对象组成的整体。
这些对象称为集合的元素。
例如，A = {1,2,3}，其中1、2、3是集合A的元素。
- 集合的表示方法有列举法（如上述A的表示）和描述法（如B={xx是偶数且x < 10}）。
2. 集合间的关系。
- 子集：如果集合A的所有元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作A⊆ B。
例如，{1,2}⊆{1,2,3}。
- 相等：如果A⊆ B且B⊆ A，则A = B。
- 真子集：如果A⊆ B且A≠ B，则A是B的真子集，记作A⊂ B。
3. 集合的运算。
- 并集：A∪ B={xx∈ A或x∈ B}。
例如，A = {1,2}，B={2,3}，则A∪B={1,2,3}。
- 交集：A∩ B = {xx∈ A且x∈ B}。
对于上述A和B，A∩ B={2}。
- 补集：设全集为U，集合A相对于U的补集¯A=U - A={xx∈ U且x∉ A}。
二、关系。
1. 关系的定义。
- 设A、B是两个集合，A× B的子集R称为从A到B的关系。
当A = B时，R称为A上的关系。
例如，A={1,2}，B = {3,4}，R={(1,3),(2,4)}是从A到B的关系。
2. 关系的表示。
- 关系矩阵：设A={a_1,a_2,·s,a_m}，B={b_1,b_2,·s,b_n}，R是从A到B的关系，则R的关系矩阵M_R=(r_ij)，其中r_ij=<=ft{begin{matrix}1,(a_i,b_j)∈ R0,(a_i,b_j)∉ Rend{matrix}right.。
- 关系图：对于集合A上的关系R，用节点表示A中的元素，若(a,b)∈ R，则用有向边从a指向b。
3. 关系的性质。
- 自反性：对于集合A上的关系R，如果对任意a∈ A，都有(a,a)∈ R，则R 是自反的。
例如，A={1,2,3}，R = {(1,1),(2,2),(3,3)}是自反关系。
离散数学 3-9 集合的划分和覆盖3-10 等价关系与等价类
离 散 数 学
Discrete Mathematics
山东科技大学 信息科学与工程学院
二、关系的性质与闭包的关系
1、定理3-8.1：设R是X上的二元关系，则 (1)R是自反的，当且仅当r(R)=R (2)R是对称的，当且仅当s(R)=R (3)R是传递的，当且仅当t(R)=R
证明 只证明①
①必要性: 令R为自反. 由于RR, 并取右方R为S,
以及任何包含R的自反关系 T, 有S T, 可见R满足
加细
定义3-9.3：给定X的任意两个划分{A1，A2，· ，Ar}与{B1， · · ，Bs}，若对每一个Aj均有Bk使AjBk，则{A1，A2，· ， B2，· · · · · ，Bs}的加细。 Ar}称为{B1，B2，· · · 定理3-9.2：任何两种划分的交叉划分，都是原来各划分的 一种加细。 证明：设{A1，A2，· ，Ar}与{B1，B2，· ，Bs}的交叉划分 · · · · 为T，对T中任意元素AiBj必有AiBjAi，AiBjBj，故T必 是原划分的加细。
8、定理3-8.6：若RAA，则
①rs(R)=sr(R)
②rt(R)=tr(R)
③st(R)ts(R)
作业
• P127: (1),(2),(7):a,c
3-9 集合的划分和覆盖
在集合的研究中，除了常常把两个集合 相互比较之外，有时也要把一个集合分成若 干子集加以讨论。
一、集合的划分和覆盖
例题1：设集合T={1，2，3，4}，R={<1，1>， <1，4>，<4，1>，<4，4>，<2，2>，<2，3>， <3，2>，<3，3>}。验证R是T上的等价关系。 解：画出R的关系图
离散数学划分的定义
离散数学划分的定义
嘿，朋友们！今天咱来聊聊离散数学里一个挺重要的概念——划分。
这玩意儿可有意思啦！
你可以把划分想象成是给一堆东西进行分组。
比如说，咱有一堆不同颜色的球，红的、蓝的、绿的等等，那我们就可以按照颜色把它们分成不同的组，这就是一种划分。
在离散数学里，划分是对一个集合进行的操作哦。
它是把一个集合分成若干个互不相交的子集，而且这些子集合起来又能完全覆盖原来的集合。
这不就跟我们刚才分球是一个道理嘛！
比如说有个集合 A 包含了数字 1、2、3、4、5，那我们可以把它划分成{1,2}、{3,4}、{5}这几个子集。
你看，这些子集之间没有重复的元素，而且它们加起来就是集合 A 所有的元素啦。
划分可是有很多用处的哦！它能帮助我们更好地理解和处理一些复杂的问题呢。
就好像我们把一个大难题拆分成一个个小问题来解决，多轻松呀！
再举个例子吧，想象一个班级里的同学，我们可以按照性别来划分，分成男生组和女生组；也可以按照兴趣爱好来划分，比如喜欢音乐的一组，喜欢运动的一组等等。
这样是不是一下子就让班级的情况变得更清晰啦？
总之，划分在离散数学里真的是很重要的一个概念呀！它就像一把神奇的钥匙，能打开很多知识的大门呢！离散数学的世界丰富多彩，划分就是其中一颗闪亮的星星呀！。
离散数学知识点整理
离散数学知识点整理离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、数理逻辑等领域都有着广泛的应用。
下面我们来对离散数学中的一些重要知识点进行整理。
一、集合论集合是离散数学中最基本的概念之一。
集合是由一些确定的、互不相同的对象所组成的整体。
比如，｛1, 2, 3}就是一个集合。
集合的运算包括并集、交集、差集和补集。
并集是将两个集合中的所有元素合并在一起组成的新集合；交集是两个集合中共同拥有的元素组成的集合；差集是从一个集合中去掉另一个集合中的元素所得到的集合；补集是在给定的全集范围内，某个集合的补集就是全集中不属于该集合的元素组成的集合。
集合的关系有包含、相等、真包含等。
二、数理逻辑数理逻辑是用数学方法来研究逻辑问题。
命题是具有真假值的陈述句。
比如，“今天是晴天”就是一个命题。
命题逻辑中的连接词有“非”“与”“或”“蕴含”“等价”等。
通过这些连接词，可以将简单命题组合成复合命题，并研究其真假性。
谓词逻辑则是对命题逻辑的扩展，它引入了量词“存在”和“任意”，能够更精确地表达命题。
三、关系关系是集合中元素之间的某种联系。
比如，在整数集合中，“大于”就是一种关系。
关系可以用矩阵和关系图来表示。
关系的性质包括自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性。
等价关系是一种特殊的关系，满足自反性、对称性和传递性。
比如，在整数集合中，“模 n 同余”就是一种等价关系。
偏序关系则是满足自反性、反对称性和传递性的关系。
四、函数函数是一种特殊的关系，对于定义域中的每个元素，在值域中都有唯一的元素与之对应。
函数的类型有单射、满射和双射。
单射是指不同的自变量对应不同的函数值；满射是指函数的值域等于整个目标集合；双射则是既单射又满射。
五、图论图由顶点和边组成。
可以分为无向图和有向图。
图的遍历算法有深度优先搜索和广度优先搜索。
最短路径问题是图论中的一个重要问题，比如迪杰斯特拉算法可以用来求解单源最短路径。
六、树树是一种特殊的图，没有回路且连通。
离散数学(3.9划分与覆盖)
3.7.3 全集的划分
(The Partition of the
Universal Set U)
设A,B,C是全集U的子集,则
{A, A},{B, B},{C, C },{AB, AB , A B, A B} 及 {ABC, A BC, AB C, ABC , AB C , A BC , A B C, A B C },
S5={ {a}, {b}, {c}, {d}, {e}, {f}, } （ （
1 ） 1 ）
说明: (1)若S是A的划分,则S也一定是A的覆盖.
(2) 任意给定集合A的划分或覆盖不是唯一的.
(3) 给定了集合A的划分或覆盖,则A便唯一确定.
(4) 覆盖中各子集可重叠,划分则不然.
(5) 以非空集A为元素的集合S={A}称为A的最小划 分.
离散数学discretemathematics1第三章集合与关系setsandrelations第三章集合与关系setsandrelations31集合及其运算setsoperationswithsets32序偶与笛卡尔积orderedpairscartesianproduct系33关系relations34关系的性质thepropetiesofrelations35复合关系与逆关系compoundrelationsinverse36关系的闭包运算closureoperations37集合的划分与覆盖partitioncoverofsets38等价关系equivalentrelations39相容关系compatibilityrelations310序关系orderedrelationsrelationsorderedrelationsrelations37集合的划分与覆盖partitioncoverofsets371集合的划分partitionofsets第三章集合与关系setsrelationsba??ba??372集合的覆盖coverofsets373全集的划分thepartitionoftheuniversalsetuthepartitionoftheuniversalsetu37集合的划分与覆盖1当ij时时2371集合的划分partitionofsets定义371设有非空集合asa1a2
3-9_12 集合划分覆盖等价及序关系
定理3-10.4：设R1和R2为非空集合A上的 等价关系，则R1=R2当且仅当A/R1=A/R2。
定理的证明见书134页中，在此省略。
本次课小结及要求
小结：
1. 集合的划分和覆盖的概念
3.
4. 5.
整数集合上的整除关系。
一个单位里，部门之间的责任关系。
若将命题演算中所有合式公式都以主析取（或主合 取）范式表示，那么可建立全体合式公式上的蕴含关系。
3-12.1 偏序关系
定义3-12.1[偏序关系] (partial order) :
设A ，R A A，若R是自反的、反对 称的和传递的，则称R是A上的偏序关系。 常将偏序关系R记为“≤”，并将 xRy记为 x≤y。序偶<A, ≤>称为偏序集(partially ordered定义3-10.2[等价类Equivalence classes]： 设R是非空集合A上的等价关系， 对任意的aA，定义 [a]R = {xA | aRx}， 称为a关于R的等价类，简称a的等价类， 在不混淆的情况下记为[a]。 显然[a]R非空，因为a [a]R
定理3-10.1 设R是非空集合A上的等价关系， 对于任意a, bA，有aRb iff [a]R =[b]R。 证明：假设[a]R =[b]R，因为a [a]R ，
定义3-12.4[全序关系linear order]： 在偏序集 <A,≤>中，如果A是一个链，则称<A, ≤>为全序集合 或称线序集合，在这种情况下，二元关系“≤”称 为全序关系或线序关系。
全序集[linearly ordered sets] <A, ≤>就是对任意 x，yA，或者有x≤y或者有y≤x成立。 例如，定义在自然数集合N上的“小于等于” 关系“≤”是偏序关系，且对任意i，jN，必有 i≤j 或 j≤i 成立，故也是全序关系。
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9
本课小结
覆盖 划分 交叉划分 划分的加细
10
作业
P130 （2）
11
网上兼职赚都不是唯一的。
6
一、集合的覆盖和划分
例：4个元素的集合A共有多少个不同的划分。
解：A的最大(所有元素），最小划分（各元素单列）都各 有一个 把4个元素分成1，3两部分，有4种可能； 把4个元素分成2，2两部分，有3种可能；
把4个元素分成1，1，2三部分，有6种可能。 故总共有1＋1＋3＋6＋4＝15种。
第三章 集合与关系
3-9 集合的划分和覆盖 授课人：李朔 Email:chn.nj.ls@
1
一、集合的覆盖和划分
在集合的讨论中，常须把一个集合分成若干子集加以讨论， 这就是集的划分问题。如一个班男、女生。一个学院不同 专业。
P128 定义3-9.1 若把一个集合A分成若干个称为分块的非空子集，使 得A中每个元素至少属于一个分块，那么这些分块的全体构成的集合 称为A的一个覆盖。 上述定义与下面定义是等价。 令A为给定非空集合，S ={S1, S2, , Sm},其中SiA且Si (i=1, m 2, , m) 且 S i A
4
一、集合的覆盖和划分
例 A={a, b, c}
则 S={{a, b},{b, c}}、Q={{a},{a, b},{a, c}}都 为A的覆盖，而D={{a},{b,c}}、G={{a,b,c}}、 E={{a},{b},{c}}为A的划分。而且称G为A的最小 划分（由集合的全部元素组成），而E为A的最大 划分（每个元素构成一个单元素分块）。
*划分必是覆盖，覆盖未必是划分
5
一、集合的覆盖和划分
例3 设A=1,2,3，试确定A的所有划分。
解：有一个划分块的划分是：1,2,3 有两个划分块的划分是：1,2,3 2,1,3 3,1,2 有三个划分块的划分是：1,2,3
上图是A的所有划分的示意图。(a)表示有一个划分块的划分1,2,3。 (b)、(c)和(d)表示有两个划分块的划分1,2,3、2,1,3和 3,1,2。(e) 表示有三个划分块的划分1,2,3。
8
三、划分的加细
B2, , Bs}，若对于每一个Aj均有Bk，使得Aj Bk，则{A1, A2, , , Ar}称为{B1, B2,,Bs}的加细。 定理3.9.2 任何两种划分的交叉划分，都是原划分的一种加 细。 证明： 设{A1, A2, , Ar}和{B1, B2, , Bs}的交叉划分为T，对T 中的任意元素Aj Bj，必有Aj Bj Aj , Aj Bj Bj 故T必是原划分的加细。
3
一、集合的覆盖和划分
例 设 A=a,b,c，以下是A的子集构成的集合： S=a,b,b,c Q=a,a,b,a,c D=a,b,c G=a,b,c E=a,b,c F=a,a,c 试确定哪些集合是A的覆盖？哪些集合是A的划分？哪 些集合既不是覆盖，也不是划分？ 解：S和Q是A的覆盖，但不是划分； D、G和E是A的覆盖，也是划分； F不是A的覆盖，也不是划分。
7
二、交叉划分
P129 定义3-9.2 若{A1, A2, , Ar}与{B1, B2, , Bs} 是同一集合A的两种划分，则其中所有AiBj 所组成的 集，称为原来两种划分的交叉划分。 例 P129 所有生物 定理3-9.1 设{A1, A2, , Ar}与{B1, B2, , Bs}是同一 集合X上的两种划分，则其交叉划分也是原集合的一种划 分。
i 1
则称S是集合A的一个覆盖。 *如果A中每个元素属于且仅属于一个分块，那么这些分块的全体构成的 集叫做A的一个划分（或分划）。即：若有Si Sj = (ij)，则称S为 A的一个划分。
2
一、集合的覆盖和划分
例 设 A=a,b,c，以下是A的子集构成的集合： S=a,b,b,c Q=a,a,b,a,c D=a,b,c G=a,b,c E=a,b,c F=a,a,c 试确定哪些集合是A的覆盖？哪些集合是A的划分？哪 些集合既不是覆盖，也不是划分？