离散数学集合与关系集合49页PPT
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离散数学关系-PPT
离散数学关系
基本要求和重难点:
• 基本要求
了解序偶与笛卡尔积,掌握关系得性质和运算,重 点掌握关系闭包运算得求法和偏序关系及哈斯图 得正确画法。
• 重难点
关系5种性质得判断,关系得闭包运算和偏序关系 得性质及特殊元素得判断。
引言
日常生活中,大家熟知一些常见关系, 例:家庭集合,有父子关系、夫妻关系等。 全校同学作为一个集合,有同班关系,同组关系。 在计算机科学中,在计算机逻辑设计中,应用了等 价关系,相容关系。 在编译原理、关系数据库、数据结构、数学中也有 关系。
例题
返回第5、3节目录
五、传递性例题
例: A={1,2,3,4} R={<1,4>,<4,3>,<1,3>,<3,1>,<1,2>,<3,2>,<2,3>, <4,2>,<1,1>,<3,3>} R不就是传递得
返回传递性
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六、举 例
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
任何集合上得
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一、自反性
自反性
定义: 若xA,均有xRx,那么称R就是自反得。
A上关系R就是自反得x(xA xRx)
在关系矩阵中,反映为主对角线元素均为1 在关系图中,反映为每结点都有自回路 例1: A＝{1,2,3},R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}
1 23
例2:“＝”关系和“≤”关系就是自反得吗？
S={<4,2>,<2,5>,<3,1>,<1,3>}
基本要求和重难点:
• 基本要求
了解序偶与笛卡尔积,掌握关系得性质和运算,重 点掌握关系闭包运算得求法和偏序关系及哈斯图 得正确画法。
• 重难点
关系5种性质得判断,关系得闭包运算和偏序关系 得性质及特殊元素得判断。
引言
日常生活中,大家熟知一些常见关系, 例:家庭集合,有父子关系、夫妻关系等。 全校同学作为一个集合,有同班关系,同组关系。 在计算机科学中,在计算机逻辑设计中,应用了等 价关系,相容关系。 在编译原理、关系数据库、数据结构、数学中也有 关系。
例题
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五、传递性例题
例: A={1,2,3,4} R={<1,4>,<4,3>,<1,3>,<3,1>,<1,2>,<3,2>,<2,3>, <4,2>,<1,1>,<3,3>} R不就是传递得
返回传递性
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六、举 例
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
任何集合上得
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一、自反性
自反性
定义: 若xA,均有xRx,那么称R就是自反得。
A上关系R就是自反得x(xA xRx)
在关系矩阵中,反映为主对角线元素均为1 在关系图中,反映为每结点都有自回路 例1: A＝{1,2,3},R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}
1 23
例2:“＝”关系和“≤”关系就是自反得吗？
S={<4,2>,<2,5>,<3,1>,<1,3>}
离散数学集合论部分PPT课件
其中P(x)为任何谓词公式。 如：A={x|x∈R ∧ x2+1=0}。 该方程无实数解。 注意： φ ≠{φ } 由定义可知，对任何集合A，有A。这是因为任意元素x，公式xxA总是 为真。
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注意： 与{}是不同的。 {}是以为元素的集合， 而没有任何元素，能 用构成集合的无限序列： ，{}，{{}}，···
例 设A={{1,2,3}, 1,2,3}， 则 {1,2,3} A 且 {1,2,3} A 。
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重要结论
➢对任意集合A, 有A A。 ➢空集是任意集合的子集，且空集是唯一的。 ➢对于任意两个集合A、B，A=B的充 要条件是AB且BA。（这个结论非常简单， 但它非常重要，很多证明都是用这个Fra bibliotek法或思路来证明。）
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集合的基本概念
例:
1. 二十六个英文字母可以看成是一个集合；
2. 所有的自然数看成是一个集合； 3. 重庆邮电大学计算机学院2010级的本科学生可以看成是一个集合； 4. 这间教室中的所有座位可以看成是一个集合。
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集合的元素
组成一个集合的那些对象或单元称为这 个集合的元素。通常，用小写的英文字母a, b, c,…表示集合中的元素。元素可以是单 个的数字也可以是字母，还可以是集合。
下列选项正确的是（ 3 ）；
（1） 1A
（2）{1,2,3} A
（3）{{4,5}} A （4） ØA
例3.4 下列各选项错误的是（2）；
（1） Ø Ø
（2） Ø Ø
（3） Ø { Ø }
（4） Ø { Ø }
例3.5 在0 ___ Ø 之间填上正确的符号：（4）
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注意： 与{}是不同的。 {}是以为元素的集合， 而没有任何元素，能 用构成集合的无限序列： ，{}，{{}}，···
例 设A={{1,2,3}, 1,2,3}， 则 {1,2,3} A 且 {1,2,3} A 。
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重要结论
➢对任意集合A, 有A A。 ➢空集是任意集合的子集，且空集是唯一的。 ➢对于任意两个集合A、B，A=B的充 要条件是AB且BA。（这个结论非常简单， 但它非常重要，很多证明都是用这个Fra bibliotek法或思路来证明。）
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集合的基本概念
例:
1. 二十六个英文字母可以看成是一个集合；
2. 所有的自然数看成是一个集合； 3. 重庆邮电大学计算机学院2010级的本科学生可以看成是一个集合； 4. 这间教室中的所有座位可以看成是一个集合。
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集合的元素
组成一个集合的那些对象或单元称为这 个集合的元素。通常，用小写的英文字母a, b, c,…表示集合中的元素。元素可以是单 个的数字也可以是字母，还可以是集合。
下列选项正确的是（ 3 ）；
（1） 1A
（2）{1,2,3} A
（3）{{4,5}} A （4） ØA
例3.4 下列各选项错误的是（2）；
（1） Ø Ø
（2） Ø Ø
（3） Ø { Ø }
（4） Ø { Ø }
例3.5 在0 ___ Ø 之间填上正确的符号：（4）
离散数学集合10.13版.ppt
如果a是集合A的一个元素, 则记为 a∈A
读做“a属于A”, 或说“a在A中”。 ; 如果a不是集合A的一个元素, 则记为
a A
读做“a不属于A”, 或说“a不在A中”。 ; 任一元素, 对某一集合而言, 或属于该集合, 或不属于该集合,
二者必居其一, 不可兼得。
第二章 集 合
仅含有一个元素的集合称为单元素集合。 应把单元素集合与这个元素区别开来。例如{A}与A不同, {A} 表示仅以A为元素的集合, 而A对{A}而言仅是一个元素, 当然这个 元素也可以是一个集合, 如A={1,2}。 称含有有限个元素的集合为有限集合。称不是有限集合的集 合为无限集合或无穷集。有限集合的元素个数称为该集合的基数 或势。第五章将给出有限集、无限集、基数等概念的更精致的陈 述。集合A的基数记为|A|, 例如
∩的定义
(x∈A∨x∈B)∧(x∈A∧x∈C) ∨在∧上可分配
(x∈A∪B)∧(x∈A∪C)
∪的定义
x∈(A∪B)∩(A∪C)
∩的定义
因此, A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。
第二章 集 合
定理 2.2-3 设A、B、C和D是论述域U的任意子集合, 那么下
列断言是真: (a) A∪A=A ;
第二章 集 合
定理 2.2-6 设A是U的任意子集, 那么
。也就是说, A的补的
补是A。
A A
第二章 集 合 定理2.2-7 (德·摩根定律)设A和B是U的任意子集, 那么
_______
(a) A B A B
_______
(b) A B A B
第二章 集 合 图 2.2-1
第二章 集 合
( A) {B | B A}
一个给定集合的幂集是唯一的, 因此求一个集合的幂集是以 集合为运算对象的一元运算。
读做“a属于A”, 或说“a在A中”。 ; 如果a不是集合A的一个元素, 则记为
a A
读做“a不属于A”, 或说“a不在A中”。 ; 任一元素, 对某一集合而言, 或属于该集合, 或不属于该集合,
二者必居其一, 不可兼得。
第二章 集 合
仅含有一个元素的集合称为单元素集合。 应把单元素集合与这个元素区别开来。例如{A}与A不同, {A} 表示仅以A为元素的集合, 而A对{A}而言仅是一个元素, 当然这个 元素也可以是一个集合, 如A={1,2}。 称含有有限个元素的集合为有限集合。称不是有限集合的集 合为无限集合或无穷集。有限集合的元素个数称为该集合的基数 或势。第五章将给出有限集、无限集、基数等概念的更精致的陈 述。集合A的基数记为|A|, 例如
∩的定义
(x∈A∨x∈B)∧(x∈A∧x∈C) ∨在∧上可分配
(x∈A∪B)∧(x∈A∪C)
∪的定义
x∈(A∪B)∩(A∪C)
∩的定义
因此, A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。
第二章 集 合
定理 2.2-3 设A、B、C和D是论述域U的任意子集合, 那么下
列断言是真: (a) A∪A=A ;
第二章 集 合
定理 2.2-6 设A是U的任意子集, 那么
。也就是说, A的补的
补是A。
A A
第二章 集 合 定理2.2-7 (德·摩根定律)设A和B是U的任意子集, 那么
_______
(a) A B A B
_______
(b) A B A B
第二章 集 合 图 2.2-1
第二章 集 合
( A) {B | B A}
一个给定集合的幂集是唯一的, 因此求一个集合的幂集是以 集合为运算对象的一元运算。
离散数学-3-1集合的概念和表示法.ppt
一、集合的概念
集合是不能精确定义的数学基本概念, 当我 们讨论某一类对象时，就把这一类对象的 全体称为集合。这些对象称为集合中元素。 元素也是抽象的，无法精确定义，可以认 为是存在于世界上的一切客观物体。 例如：地球上的人。
公园里的花。 坐标平面上的点。
1
一、集合的概念
通常用大写字母表示一个集合，例A，B， 。 用小写字母表示一个集合的元素，例a, b, x, y, 。 若元素a属于集合A，记作aA, 否则记aA。 若一个集的元素个数是有限，称有限集， 否则称为无限集。 有限集合的元素个数称为该集合的基数， 集合A的基数记为|A|。
集合的元素又是无序的，即1,2,3和3,1,2是同一集合。
集合的元素还可以允许是一个集合，如S= 1,2, 3,
{a},a
4
二．集合之间的关系
集合之间有二种基本关系：
1）相等：两个集A，B称作相等，当且仅当A，B的元素完 全相同，记A=B，否则AB。(P82 外延性原理） 例 { {1, 2}, 4} {1, 2, 4} { 1, 3, 5 }={x x是正奇数} 2）子集（Ｐ83 定义3-1.1）：A，B为两个集合，若A的每 个元素都是B的元素，称A为B的子集，或A包含在B内， 或Ｂ包含Ａ，记AB或BA。 即 A B x(xAxB) 根据子集的定义，可立即有：对任意集合A，B，C： 1）AA； （自反性） 2）AB，BC则AC；(传递性）
但B中至少有一个元素不属于A，则称A为B的真子集，或A包含在B内， 记AB。
即A B x (xAxB)(x)(xBxA) ABABAB
例如：Z Q
又例如：设 A=a，B=a,b，C=a,b,c 则
AB，BC，AC，但 AA
6
三、空集
集合是不能精确定义的数学基本概念, 当我 们讨论某一类对象时，就把这一类对象的 全体称为集合。这些对象称为集合中元素。 元素也是抽象的，无法精确定义，可以认 为是存在于世界上的一切客观物体。 例如：地球上的人。
公园里的花。 坐标平面上的点。
1
一、集合的概念
通常用大写字母表示一个集合，例A，B， 。 用小写字母表示一个集合的元素，例a, b, x, y, 。 若元素a属于集合A，记作aA, 否则记aA。 若一个集的元素个数是有限，称有限集， 否则称为无限集。 有限集合的元素个数称为该集合的基数， 集合A的基数记为|A|。
集合的元素又是无序的，即1,2,3和3,1,2是同一集合。
集合的元素还可以允许是一个集合，如S= 1,2, 3,
{a},a
4
二．集合之间的关系
集合之间有二种基本关系：
1）相等：两个集A，B称作相等，当且仅当A，B的元素完 全相同，记A=B，否则AB。(P82 外延性原理） 例 { {1, 2}, 4} {1, 2, 4} { 1, 3, 5 }={x x是正奇数} 2）子集（Ｐ83 定义3-1.1）：A，B为两个集合，若A的每 个元素都是B的元素，称A为B的子集，或A包含在B内， 或Ｂ包含Ａ，记AB或BA。 即 A B x(xAxB) 根据子集的定义，可立即有：对任意集合A，B，C： 1）AA； （自反性） 2）AB，BC则AC；(传递性）
但B中至少有一个元素不属于A，则称A为B的真子集，或A包含在B内， 记AB。
即A B x (xAxB)(x)(xBxA) ABABAB
例如：Z Q
又例如：设 A=a，B=a,b，C=a,b,c 则
AB，BC，AC，但 AA
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三、空集
【精品】离散数学(集合、关系、函数、集合的基数)PPT课件
第1章 集合
1.3 集合的运算
1.3.2 集合的交运算
定理1.3
设A，B，C是三个集合，则下列分配律成立： A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C） A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）
定理1.4 设A，B为两个集合，则下列关系式成立： A∪（A∩B）＝A A∩（A∪B）＝A
这个定理称为吸收律，读者可以用文氏图验证。
A＝B，C＝D
第1章 集合
1.2 集合之间的关系
定理1.1 集合A和集合B相等的充分必要条件是A⊆B且B⊇A。 定义1.3 如果集合A是集合B的子集，但A和B不相等，也就 是说在B中至少有一个元素不属于A，则称A是B的真子集，记作
A⊂B 或 B⊃A 例如：集合A＝｛1，2｝，B＝｛1，2，3｝，那么A是B的真子集
A∩B＝｛1，3，5｝
第1章 集合
1.3 集合的运算
1.3.2 集合的交运算 集合的交运算的文氏图表示，见图3.2，其中阴影部分就是A∩B。
U
A
B
第1章 集合
1.3 集合的运算
1.3.2 集合的交运算 由集合交运算的定义可知，交运算有以下性质： （1）幂等律：A∩A＝A （2）同一律：A∩U＝A （3）零律：A∩＝ （4）结合律：(A∩B)∩C＝A∩(B∩C) （5）交换律：A∩的运算
1.3.2 集合的交运算 定义1.7 任意两个集合A、B的交记作A∩B，它也是一个集合， 由所有既属于A又属于B的元素构成，即
A∩B ＝｛x | x属于A且x属于B｝ 例如，A＝｛a，b，c｝，B＝｛b，c，d，e｝，则
A∩B＝｛b，c｝ 又如，A＝｛1，2，3，4，5｝，B＝｛1，3，5，7，9｝，则
定义1.4 若集合U包含我们所讨论的每一个集合，则称U是所讨论 问题的完全集，简称全集。
离散数学关系完整ppt课件
因为A ⊆ A，B∩C ⊆ B和B∩C ⊆ C，所以有 A×(B∩C) ⊆ A×B和A×(B∩C) ⊆ A×C成立， 因此A×(B∩C) ⊆(A×B)∩(A×C)。
因此A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C)。 同理可证(B∩C)×A=(B×A)∩(C×A)。
精选ppt
11
(3) 对(x,y)∈A×(B-C)，有x∈A且y∈B-C，所以x∈A且 y∈B且yC。由x∈A且y∈B得(x,y)∈A×B，由y C 得(x,y) A×C，所以(x,y)∈(A×B)-(A×C)。因此 A×(B-C) ⊆(A×B)-(A×C)。
(B∪C)×A = (B×A)∪(C×A)。
(2) A×(B∩C) = (A×B)∩(A×C)， (B∩C)×A = (B×A)∩(C×A)。
(3) A×(B -C) = (A×B)- (A×C)，
(B -C)×A = (B×A) - (C×A)。
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9
证明 (1) 对(x, y)∈A×(B∪C)，有x∈A 且 y∈B∪C，因此x∈A 且(y∈B 或y∈C)，当y ∈B 时，由x∈A 和y∈B 得(x, y)∈A×B，当 y∈C 时，由x∈A 和y∈C 得(x, y)∈A×C，所 以(x, y)∈(A×B)∪(A×C)，即A×(B∪C) ⊆ (A×B)∪(A×C)。
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6
定理2.1 如果B1A1，B2A2，则 B1×B2 A1×A2。
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7
证明 对(x, y)∈B1×B2，有x∈B1 且y∈B2， 又因为B1 A1 ，B2 A2 ，则x∈A1 且 y∈A2，所以(x, y)∈A1×A2，即B1×B2
A1×A2。
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8
定理2.2 A, B, C 是任意集合，则： (1) A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C)，
因此A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C)。 同理可证(B∩C)×A=(B×A)∩(C×A)。
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(3) 对(x,y)∈A×(B-C)，有x∈A且y∈B-C，所以x∈A且 y∈B且yC。由x∈A且y∈B得(x,y)∈A×B，由y C 得(x,y) A×C，所以(x,y)∈(A×B)-(A×C)。因此 A×(B-C) ⊆(A×B)-(A×C)。
(B∪C)×A = (B×A)∪(C×A)。
(2) A×(B∩C) = (A×B)∩(A×C)， (B∩C)×A = (B×A)∩(C×A)。
(3) A×(B -C) = (A×B)- (A×C)，
(B -C)×A = (B×A) - (C×A)。
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证明 (1) 对(x, y)∈A×(B∪C)，有x∈A 且 y∈B∪C，因此x∈A 且(y∈B 或y∈C)，当y ∈B 时，由x∈A 和y∈B 得(x, y)∈A×B，当 y∈C 时，由x∈A 和y∈C 得(x, y)∈A×C，所 以(x, y)∈(A×B)∪(A×C)，即A×(B∪C) ⊆ (A×B)∪(A×C)。
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定理2.1 如果B1A1，B2A2，则 B1×B2 A1×A2。
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7
证明 对(x, y)∈B1×B2，有x∈B1 且y∈B2， 又因为B1 A1 ，B2 A2 ，则x∈A1 且 y∈A2，所以(x, y)∈A1×A2，即B1×B2
A1×A2。
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定理2.2 A, B, C 是任意集合，则： (1) A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C)，
离散数学第3章-集合与关系
（1） 任一对象a，对某一集合A来说，a属于A或a不属于A， 两者必居其一，且仅居其一。并且当a属于A时，称a是A的成
员，或A包含a，a在A之中，a属于A。即 a A a A
（2）集合中元素具有互异性和无序性。如{a,b,c,d}={a,b,b,c,d}
3-1 集合的概念和表示法
(3) 集合的元素个数可以是有限个也可以是无限个，具有有限个元素的集 合的为有限集，否则称为无限集。 (4) 集合中的元素也可以是集合，如
称为A和B的笛卡尔积，记作：A B
例：A {、、 、、
则：
3-4 序偶和笛卡尔积
5、多重直积：
A1 A2 A3是集合，A1 A2是笛卡尔集，也是集合仍可再作笛卡尔积
A A A A A A ( ) { , , | , , }
1
2
3
1
2
3
1
1
2
2
3
3
A A A { , , | , , }
E AB
S={x∣(x∈A)∧（xB）}
={x∣（x∈A）∧ （x∈B）}
3-2 集合的运算
b）集合A关于全集E的补。 E-A称为A的绝对补，记作~A。
E A
~A={x∣(x∈E）∧（x A）}
~ A有下列性质： ⑴ ~（ ~A）=A
⑵ ~E=
⑶~ =E
⑷A∪~A=E
⑸A∩~A=
3-2 集合的运算
* 以后判断两集合相等就主要用这一重要定理。
定理：对任一Set A， A
3-1 集合的概念和表示法
例：若A={a,b,c},写出其所有子集。 解：Ø 、{a}、{b}、{c}、{a，b}、{a，c}、{b，c}、{a，b，c}均是A的子 集
员，或A包含a，a在A之中，a属于A。即 a A a A
（2）集合中元素具有互异性和无序性。如{a,b,c,d}={a,b,b,c,d}
3-1 集合的概念和表示法
(3) 集合的元素个数可以是有限个也可以是无限个，具有有限个元素的集 合的为有限集，否则称为无限集。 (4) 集合中的元素也可以是集合，如
称为A和B的笛卡尔积，记作：A B
例：A {、、 、、
则：
3-4 序偶和笛卡尔积
5、多重直积：
A1 A2 A3是集合，A1 A2是笛卡尔集，也是集合仍可再作笛卡尔积
A A A A A A ( ) { , , | , , }
1
2
3
1
2
3
1
1
2
2
3
3
A A A { , , | , , }
E AB
S={x∣(x∈A)∧（xB）}
={x∣（x∈A）∧ （x∈B）}
3-2 集合的运算
b）集合A关于全集E的补。 E-A称为A的绝对补，记作~A。
E A
~A={x∣(x∈E）∧（x A）}
~ A有下列性质： ⑴ ~（ ~A）=A
⑵ ~E=
⑶~ =E
⑷A∪~A=E
⑸A∩~A=
3-2 集合的运算
* 以后判断两集合相等就主要用这一重要定理。
定理：对任一Set A， A
3-1 集合的概念和表示法
例：若A={a,b,c},写出其所有子集。 解：Ø 、{a}、{b}、{c}、{a，b}、{a，c}、{b，c}、{a，b，c}均是A的子 集
《离散数学集合》课件
满射。
双射
03
如果一个映射既是单射又是满射，则称该映射为双射。
函数的基本性质
确定性
对于任意一个输入，函数只能有一个输出。
互异性
函数的输出与输入一一对应，没有重复的输 出值。
可计算性
对于任意给定的输入，函数都能计算出唯一 的输出值。
域和陪域
函数的输入值的集合称为函数的定义域，函 数输出的集合称为函数的陪域。
04
集合的运算性质
并集运算性质
并集的交换律
对于任意集合A和B，有A∪B=B∪A。
并集的幂等律
对于任意集合A，有A∪A=A。
并集的结合律
对于任意集合A、B和C，有 A∪(B∪C)=(A∪B)∪C。
并集的零律
对于任意集合A和空集∅，有A∪∅=ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ。
交集运算性质
交集的交换律
对于任意集合A和B，有A∩B=B∩A。
在数学中的应用
集合论
集合论是数学的基础，它为数学提供了基本的逻辑和概念 框架。通过集合，可以定义和讨论概念、关系和性质等。
概率论
在概率论中，集合用来表示事件，事件发生的概率可以定 义为该事件所对应的集合的元素个数与样本空间所对应的 集合的元素个数之比。
拓扑学
拓扑学是研究几何形状在大范围内变化的学科。在拓扑学 中，集合用来表示空间中的点、线、面等元素，以及它们 之间的关系。
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03
集合的分类
有穷集和无穷集
有穷集
集合中元素的数量是有限的，可以明 确地列举出集合中的所有元素。例如 ，集合{1, 2, 3}是一个有穷集。
无穷集
集合中元素的数量是无限的，无法列 举出集合中的所有元素。例如，自然 数集N={1, 2, 3,...}是一个无穷集。
离散数学集合.ppt
2. 设S , 试判断下列各式是否正 a , 3 , 4 , 确，并将正确的题号填入括号内。
A.
S
B.
S
C.
S
D.
S
A B C
答案：
B P ( P ( A ))，判断下列论断 3. 设 A , 是否正确，并将“Y”或“N”填入相应论断 后面的括号中。
{ a , { a } }, { , a , { a } }}
练习
1. 试判断下列各式是否正确，并将正确的题 号填入括号内。
B. a a ,a a a A. C.
a a , a a a D.
答案： A B D
9. 排中律
10. 矛盾律 11. 余补律 12. 双重否定律 13. 补交转换律
AA=E
AA=
=E, A= A E=
A-B= AB
20
基本集合恒等式(续)
14. 关于对称差的恒等式 (1) 交换律 AB=BA (2) 结合律 (AB)C=A(BC) (3) 对的分配律 A(BC)=(AB)(AC) (4) A=A, AE= ~ A (5) AA=, A ~ A= E
第4章 关系
4.0 集合及相关概念
4.1 关系的定义及其表示
4.2 关系运算
4.3 关系的性质
4.4 等价关系与偏序关系
1
4.0 集合及其运算
集合及其表示法
包含(子集)与相等 空集与全集 集合运算(,, - , ~ , ) 基本集合恒等式 包含与相等的证明方法
~ AB= { x | x是外地走读生}
(A-B) D= { x | x是北京住校生, 并且喜欢听音乐} ~ D ~ B= { x | x是不喜欢听音乐的住校生}
集合和关系
离散数学 14
2019/1/15
空集
空集：没有任何元素的集合。
对任一集合A， 有A
A x(x∈→x∈A)
空集是唯一的。 若存在空集 1 ，2 ，由以上定理
1 2 ∧ 2 1 1 ＝ 2
2019/1/15
离散数学
15
例：设a,b,c 各不相同，判断下述等式中哪个等式 成立。
2019/1/15
离散数学
33
集合运算的主要运算律
排中律： A ~A＝E 矛盾律： A~A＝ 吸收律： A (AB)＝A A(A B)＝A 德· 摩根律： A(B C)＝(AB)(AC) A(BC)＝(AB)(AC) ~(B C)＝~B~C ~(BC)＝~B ~C ~＝E ~E＝ 双重否定律： ~(~A)＝A 补交转换律: A－B＝A ∩ ~B
20
练习
例1：集合A为以空集为唯一元素的集合， B = ρ(ρ(A))，判断下列式子是否正确。 （1） ∈ B （2） B （3）{} B （4）{{} ，{{}}} B （5）{ ，{{}}} ∈ B
解: A={}, P(A)={,{}} P(P(A))={,{},{{}},{,{}}}
离散数学 5
2019/1/15
例如，集合A＝{a，{b，c}，d，{{d}}}
这里a∈A，{b，c}∈A，d∈A，{{d}}∈A，但是 b A , {d} A. b 和 {d}是A的元素的元素.
2019/1/15
离散数学
6
常用集合符号
N：全体自然数的集合,
称作自然数集; Z：全体非负整数的集合, 称作非负整数集; I： 全体整数的集合, 称作整数集; P：全体素数的集合, 称作素数集; Q：全体有理数的集合, 称作有理数集; R：全体实数的集合, 称作实数集; C：全体复数的集合, 称作复数集;
2019/1/15
空集
空集：没有任何元素的集合。
对任一集合A， 有A
A x(x∈→x∈A)
空集是唯一的。 若存在空集 1 ，2 ，由以上定理
1 2 ∧ 2 1 1 ＝ 2
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离散数学
15
例：设a,b,c 各不相同，判断下述等式中哪个等式 成立。
2019/1/15
离散数学
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集合运算的主要运算律
排中律： A ~A＝E 矛盾律： A~A＝ 吸收律： A (AB)＝A A(A B)＝A 德· 摩根律： A(B C)＝(AB)(AC) A(BC)＝(AB)(AC) ~(B C)＝~B~C ~(BC)＝~B ~C ~＝E ~E＝ 双重否定律： ~(~A)＝A 补交转换律: A－B＝A ∩ ~B
20
练习
例1：集合A为以空集为唯一元素的集合， B = ρ(ρ(A))，判断下列式子是否正确。 （1） ∈ B （2） B （3）{} B （4）{{} ，{{}}} B （5）{ ，{{}}} ∈ B
解: A={}, P(A)={,{}} P(P(A))={,{},{{}},{,{}}}
离散数学 5
2019/1/15
例如，集合A＝{a，{b，c}，d，{{d}}}
这里a∈A，{b，c}∈A，d∈A，{{d}}∈A，但是 b A , {d} A. b 和 {d}是A的元素的元素.
2019/1/15
离散数学
6
常用集合符号
N：全体自然数的集合,
称作自然数集; Z：全体非负整数的集合, 称作非负整数集; I： 全体整数的集合, 称作整数集; P：全体素数的集合, 称作素数集; Q：全体有理数的集合, 称作有理数集; R：全体实数的集合, 称作实数集; C：全体复数的集合, 称作复数集;
离散数学集合 PPT
(A×C)∪(A×D)∪(B×C)∪(B×D)
32
本章主要掌握集合的谓词表示法，和集合的 基本运算，以及序偶的概念，集合的笛卡尔 集，及相关定理。定理的证明相对简单，所 以证明略。
对于数学归纳法，由于中学就已学过，所以 这里就省略。
33
思考题：
1 AB与AB能同时成立吗？ 2 何为一个集合的幂集，含有n个元素的集合，其
有序偶:它不仅与含有的元素x，y有关，还与x，y出现的次序有关。
这样的偶集称为有序偶，并记为：<x,y>
例如，用<x，y>表示平面直角坐标系下的横坐标为x且纵 坐标为y的点时，则<x，y>和<y，x>在xy时就代表不 同的点，因而就不相同。
25
用集合定义有序偶
定义1 有序偶的集合定义：若x，y为任意两个元素， 令 <x，y>={{x}，{x，y}}
6
例1 如果论域是整数集I，那么能被3整除的正整数集合S 用归纳法可定义如下：
（1）（基础）3S， （2）（归纳）如果xS和yS，则x+yS
7
集合的特殊情况
1、不含任何元素的集合称为空集，记为φ 2、含讨论问题所需全部元素的集合称为全集，记为∪ 3、 称含有有限个元素的集合为有限集合 4、 含有无限个元素的的集合称为无限集合或无限集 5、 集合A中元素的个数（或基数或集合的势）记为:|A|
(A=B 当且仅当AB 且 BA） 3)集合的包含关系具有传递性:即
若A B且B C，则A C
9
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
10
子集的两种特殊情况（平凡子集）： 1）空集是任一集合的子集。 2）任何集合都是它自己的子集。
32
本章主要掌握集合的谓词表示法，和集合的 基本运算，以及序偶的概念，集合的笛卡尔 集，及相关定理。定理的证明相对简单，所 以证明略。
对于数学归纳法，由于中学就已学过，所以 这里就省略。
33
思考题：
1 AB与AB能同时成立吗？ 2 何为一个集合的幂集，含有n个元素的集合，其
有序偶:它不仅与含有的元素x，y有关，还与x，y出现的次序有关。
这样的偶集称为有序偶，并记为：<x,y>
例如，用<x，y>表示平面直角坐标系下的横坐标为x且纵 坐标为y的点时，则<x，y>和<y，x>在xy时就代表不 同的点，因而就不相同。
25
用集合定义有序偶
定义1 有序偶的集合定义：若x，y为任意两个元素， 令 <x，y>={{x}，{x，y}}
6
例1 如果论域是整数集I，那么能被3整除的正整数集合S 用归纳法可定义如下：
（1）（基础）3S， （2）（归纳）如果xS和yS，则x+yS
7
集合的特殊情况
1、不含任何元素的集合称为空集，记为φ 2、含讨论问题所需全部元素的集合称为全集，记为∪ 3、 称含有有限个元素的集合为有限集合 4、 含有无限个元素的的集合称为无限集合或无限集 5、 集合A中元素的个数（或基数或集合的势）记为:|A|
(A=B 当且仅当AB 且 BA） 3)集合的包含关系具有传递性:即
若A B且B C，则A C
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大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
10
子集的两种特殊情况（平凡子集）： 1）空集是任一集合的子集。 2）任何集合都是它自己的子集。
离散数学第三章-集合课件.ppt
例1、选择适当的谓词表示下列集合。
(1) 小于5的非负整数集 {x | x N x 5}
(2) 奇整数集合
{x | x 2n 1 n Z}
(3) 10的整倍数集合， {x | x 10n n Z} (4) {3,5,7,11,13,17,19} {x | x是素数 2 x 20}
则 A B为 mn 元集。
(2) 笛卡儿积是集合，有关集合的运算都适合。
(3) 一般，A B B A 。
3、 n 阶(n 2)笛卡儿积。
A1 A2 An
x1, x2, , xn | x1 A1 x2 A2 xn An
特别，当 A1 A2 记为 An 。
An A 时，
(4) A (~ B C)
例3、用集合公式表示下列文氏图中的阴影部分。 (1)
解： A B C
(2)
解：(A B) (A C) (B C)
三 包含排斥定理
设A和 B是两个有限集合，则 A B A B A B ，
其中 A, B 分别表示 A、B的元数．
把包含排斥定理推广到n个集合的情况可用如下定
A {a1, a2 , an}
表示集合 A 含有元素 a1, a2 , an
注意： (1) a A或 a A
(2) 集合中的元素均不相同
{a,b, c},{a,b,b, c},{c, a,b}
表示同一个集合。 (3) 集合的元素可以是任何类型的事物，
一个集合也可以作为另一个集合的元素。
例如：A a,{b,c},b,{b}
2、集合的表示法。 (1) 列举法(将元素一一列出)
例如：A {2,3, 4,5}
(2) 描述法(用谓词概括元素的属性)
例如：B {x | x Z 2 x 5}
复合关系和逆关系集合与关系离散数学PPT精品文档
A IA
R A
B
1。 1。
。a
2。 2。 。b
3。
3。
。c
。d
从这两个图看出它们的复合都等于R。
第17页
二、关系的乘幂
令R是A上关系，由于复合运算可结合，所以关系的 复合可以写成乘幂形式。即
R ◦ R=R2， R2 ◦ R=R ◦ R2 =R3，…
Rn+1＝Rn ◦ R
R0＝{<x,x>|x∈A}＝IA
RS=k∨inj==(1Ri1(∧RiSk∧1j)S∨kj()Ri2∧(1S≤2ij≤)∨m,...1∨≤(jR≤ti)n∧Snj)
第8页
（3）矩阵法（续）
R ={<1,b>,<2,c>,<2,d>,<3,a>} S={<a,y>,<b,x>,<b,z>,<c,s>,<d,y>,<d,t>}
0100 0011 1000
复合关系和逆关系
第1页
本节讲述关系的运算 二元关系是以序偶为元素的集合，除了可进行集
合并、交、补等运算外，还可以进行一些新的运 算。 知识点： 复合运算： 定义 计算方法 证明 逆运算 定义 计算方法 证明
第2页
关系的定义域与值域
定义域(domain) ：关系R中所有序偶<x,y>的第一元素 x组成的集合，称为R的定义域，记作dom R， 即 dom R={x|(y)(<x,y>R)}
S={<x,y>| y=2x+3}
R x
x2+3x
S 2(x2+3x)+3 = 2x2+6x+3