有限元理论与技术
有限元的理论基础
有限元的理论基础有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
1.加权余量法：是指采用使余量的加权函数为零求得微分方程近似解的方法称为加权余量法。
（Weigh ted residual method WRM ）是一种直接从所需求解的微分方程及边界条件出发，寻求边值问题近似解的数学方法。
加权余量法是求解微分方程近似解的一种有效的方法。
设问题的控制微分方程为:在V 域内 在S 边界上式中 :L 、B ——分别为微分方程和边界条件中的微分算子；f 、g ——为与未知函数u 无关的已知函数域值；u ——为问题待求的未知函数 ()0B u g -=(5.1.2)()0L u f -=(5.1.1)混合法对于试函数的选取最方便，但在相同精度条件下，工作量最大。
对内部法和边界法必须使基函数事先满足一定条件，这对复杂结构分析往往有一定困难，但试函数一经建立，其工作量较小。
无论采用何种方法，在建立试函数时均应注意以下几点：(1)试函数应由完备函数集的子集构成。
已被采用过的试函数有幂级数、三角级数、样条函数、贝赛尔函数、切比雪夫和勒让德多项式等等。
(2)试函数应具有直到比消除余量的加权积分表达式中最高阶导数低一阶的导数连续性。
(3)试函数应与问题的解析解或问题的特解相关联。
若计算问题具有对称性，应充分利用它。
显然，任何独立的完全函数集都可以作为权函数。
按照对权函数的不同选择得到不同的加权余量计算方法，主要有：配点法、子域法、最小二乘法、力矩法和伽辽金法。
其中伽辽金法的精度最高。
2、虚功原理——平衡方程和几何方程的等效积分“弱”形式虚功原理包含虚位移原理和虚应力原理，是虚位移原理和虚应力原理的总称。
有限元 第2讲 有限元法基本理论
•根据问题性质，忽略部分暂时不必考虑的因素，提出一 些基本假设。使问题的研究限定在一个可行的范围。
•基本假设是学科的研究基础。 •超出基本假设的研究领域是固体力学其它学科的研究。
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弹性力学的基本假设 1. 连续性假设
•——假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体的 介质所充满，各个质点之间不存在任何空隙。
第2章 有限元法基本理论
张 洪 伟
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内容提要
1
弹性力学问题基本描述
弹性问题参量原理
2
3 4
有限元分析基本步骤
有限元解的误差分析
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弹性力学问题的基本描述
基本假设的必要性 •工程问题的复杂性是诸多方面因素组成的。如果不分主 次考虑所有因素，则问题的复杂，数学推导的困难，将 使得问题无法求解。
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弹性力学的基本假设
5. 小变形假设
——假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的影响下， 物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶小量。
——在弹性体的平衡等问题讨论时，可以不考虑因变形所 引起的尺寸变化。 ——忽略位移、应变和应力等分量的高阶小量，使基本方 程成为线性的偏微分方程组。
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弹性力学的基本假设
4. 完全弹性假设
•——对应一定的温度，如果应力和应变之间存在一一对 应关系，而且这个关系和时间无关，也和变形历史无关， 称为完全弹性材料。 •完全弹性分为线性和非线性弹性，弹性力学研究限于线 性的应力与应变关系。 •研究对象的材料弹性常数不随应力或应变的变化而改变。
符号规定：
应力的概念
图示单元体面的法线为y,称为y面，应力 分量垂直于单元体面的应力称为正应力。 正应力记为 y ,沿y轴的正向为正,其下
有限元法的基本原理
有限元法的基本原理有限元法（Finite Element Method）是一种用于求解工程和物理问题的数值计算方法。
它将复杂的结构或物理系统分割成若干个小的、简单的部分，这些部分被称为有限元。
通过对每个有限元进行数学建模和描述，再根据各个有限元之间的相互关系，最终得到整个系统的数学模型，并通过求解模型得到所需的结果。
有限元法的基本原理可以总结为以下几个步骤：1.离散化：将需要分析的实际物体或系统划分为多个小的部分，每个小部分称为有限元。
每个有限元都有自己的几何形状和物理特性。
2.建立方程：对每个有限元进行数学建模，设定适当的假设和方程，并将其转化为一个或多个待求解的方程。
这些方程描述了物体各点之间的关系和行为。
3.组装和边界条件：将所有有限元的方程组合起来形成整个系统的方程。
在这个过程中，考虑到边界条件，如约束和加载，以使系统模型更接近实际情况。
4.求解方程：通过数值解法或迭代算法，对系统方程进行求解。
常用的方法有直接法、迭代法、矢量或矩阵求逆等。
5.后处理：根据求解结果，得到所需的物理量和信息，并进行数据分析和可视化，以获得更深入的认识。
有限元法的最大优点之一是其适用性广泛。
它可以应用于各种复杂的结构和物理系统，包括静力学、动力学、热传导、电磁学等。
通过适当的选择有限元类型和参数，可以对各种材料和结构进行准确的分析和预测。
此外，有限元法对于学术和工程研究的意义也非常重大。
它提供了一种理论和实践相结合的方法，可以对实际问题进行数值模拟和优化设计。
通过对有限元模型的分析，可以预测物体或系统的行为和响应，从而为实际工程项目的决策提供有力的支持。
然而，有限元法也存在一些局限性和挑战。
首先，有限元法在建立数学模型和求解方程时需要一定的理论基础和数值计算技术。
其次，模型的精确性和结果的准确性依赖于有限元的选择和划分，以及材料参数和边界条件的准确性。
最后，有限元法的计算量通常很大，特别是对于复杂的结构和多物理场问题，需要高性能计算和有效的算法来提高计算效率。
有限元理论基础及应用
有限元理论基础及应用有限元理论是应用于工程计算领域的一种数值分析方法，它是通过将连续的结构或物体分割成有限数量的离散单元，然后在每个单元上进行近似计算，最终得到整个结构或物体的近似解。
有限元理论广泛应用于结构分析、流体力学、电磁场分析等领域，是工程计算的重要工具。
有限元理论的基础是有限元方法，它将连续的结构或物体以网格的形式划分成一系列有限的单元，通过在每个单元内进行节点位移或其他物理量的近似表示，建立起离散的数学模型。
在有限元方法中，常用的单元形状包括线元、三角形单元、四边形单元等。
每个单元的节点之间通过连接的方式形成整个结构的网格。
有限元理论的基本原理是将连续的物理问题转化为离散的代数问题，通过求解代数方程组得到数值结果。
其基本步骤包括：1.离散化：将连续的结构或物体划分为离散的单元，并在每个单元上建立近似解。
2.建立单元方程：根据结构或物体的本构关系、边界条件等，建立每个单元的方程。
3.组装：根据单元之间的连接方式，将每个单元的方程组装成整个结构或物体的方程。
4.边界条件处理：考虑边界条件对结构或物体的约束作用，修改方程。
5.求解代数方程组：将边界条件处理后的方程组进行求解，得到数值解。
有限元理论的应用非常广泛，主要包括：1.结构分析：有限元方法在结构力学领域的应用非常广泛，可以用于预测结构的应力、变形、疲劳寿命等。
例如，在建筑工程中，可以使用有限元方法对建筑结构进行静力分析，以确保结构的稳定性和安全性。
2.流体力学：有限元方法在流体力学领域的应用包括流体流动、传热、空气动力学等方面。
通过将流体分割成离散的单元，并建立流体的动量方程、能量方程等，可以模拟和预测流体的各种特性。
3.电磁场分析：有限元方法可以用于模拟和分析电磁场的分布、辐射、散射等现象。
在电子器件设计中，有限元方法可以用于预测电磁场的影响和优化设计。
此外，有限元方法还应用于声学、热力学、生物力学等领域。
它的优势包括模拟结果的准确性、适用于复杂几何形状和边界条件、计算速度较快等。
有限元的基本理论知识
位移函数
对三角形单元,假定单元内的位移分量是坐标的线性函数
u = β1 + β 2 x + β 3 y v = β4 + β5 x + β6 y
u= 1 {(ai + bi x + ci y)ui + (a j + b j x + c j y)u j + (a m + bm x + cm y )u m } 2A 1 {(ai + bi x + ci y)vi + (a j + b j x + c j y)v j + (am + bm x + cm y)vm } v= 2A 1 xi y i ai = x j y m x m y j , bi = y j y m , ci = x m x j 1 A = 1 x j y j a j = x m y i xi y m , b j = y m y i , c j = xi x m 2 1 x m y m a m = x i y j x j y i , bm = y i y j , c m = x j x i
S {δ }
{σ } = [D ][B ]{δ }e = [S ]{δ }e
1 [D] = E 2 1 0
= Si
[
Sj
]
e
0 1 0 1 0 2
bi E b [S i ] = i 2 2(1 ) A 1 c 2 i
ci
ci 1 bi 2
单元刚度矩阵
e
X
e j
Y
e j
X
ห้องสมุดไป่ตู้
e m
Y
e T m
普通人有限元分析入门方法--理论学习篇
普通人有限元分析入门方法--理论学习篇展开全文（这文章写的时候估计会被喷，我已经做好心理准备的！）文章开始前，我要先说明：就像文章题目说的一样，本文只是从一个很普通的有限元分析工程人员的角度出发，既没有华丽的学历背景，也没有超一流的企业研发经验，更没有超高的智商，只是从一个普普通通的分析工程师角度和大家说说作为一个普通凡人如何去看待有限元分析学习的问题。
本人在网络上浸淫多年，有限元分析的学习也经历了整整10个年头，从一个无知小白到现在能够解决一些问题的工程人员，一路走来的心酸也是只有自己才知道。
回忆最初的起步，以及网络上看到很多新手学习的艰辛，想到写这样一篇文章，说说咱们这种普通人该如何去玩有限元分析。
我打算把文章分为理论学习篇、软件操作学习篇、实际应用学习篇和有限元分析行业市场分析篇四个部分，主要针对学习有限元分析5年以内的群体。
理论学习篇一说到有限元分析理论学习，我就觉得我上的那个是假大学，为啥随便来几个不是新手的人都是学过这么多课的，看过这么多书的，我上的大学不都是浪出来的么？我相信很多新手和我的感觉是一样一样的。
首先我以我目前的认知以及在网上很多人解答新手的问题来大致罗列下出镜率比较高的理论科目，并大致评估下学习需要的时间（假设我们从20岁开始为有限元分析打基础）。
大学本科四年掌握：高等数学、线性代数、材料力学、理论力学、概率统计，到这里24岁，这一阶段大多数的步调基本一致，接下来开始：1.弹性力学（1年）；2.数值方法（0.5年）；3.有限单元法（1年）；4.振动力学（1年）；5.损伤力学（1年）；6.张量分析（1年）；7.线性空间（1年）；8.软件应用（0.5年）。
把以上的内容相加，大概7年时间，WTF！这些学完已经30+了，这玩意我还是按照及其保守的时间，实际操作起来只会长不会短，有人说我可以一起学，有这种想法的人可以试试，或者去问问身边群里那些正在学习的人（这类人肯定不少，而且多数都是新手），听听他们学习之后的感受。
第二章 有限元分析基本理论
第二章 有限元分析基本理论有限元法的基本思路是将一个连续求解区域分割成有限个不重叠且按一定方式相互连接在一起的子域(单元)，利用在每一个单元内假设的近似函数来分片地表示全求解域上待求的未知场函数。
单元内的场函数通常由未知场函数或其导数在单元各个节点的数值和其插值函数来近似表示。
这样，未知场函数或其导数在各个节点上的数值即成为未知量(自由度)。
根据单元在边界处相互之间的连续性，将各单元的关系式集合成方程组，求出这些未知量，并通过插值函数计算出各个单元内场函数的近似值，从而得到全求解域上的近似解。
有限元将一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题进行求解。
如果将区域划分成很细的网格，也即单元的尺寸变得越来越小，或随着单元自由度的增加及插值函数精度的提高，解的近似程度将不断被改进。
如果单元是满足收敛要求的，近似解最后可收敛于精确解。
2.1 有限元分析的基本概念和计算步骤首先以求解连续梁为例，引出结构有限元分析的一些基本概念和计算步骤。
如图2-1，连续梁承受集中力矩作用。
将结构离散为三个节点，两个单元。
结构中的节点编号为1、2、32.1.1单元分析在有限元分析过程中，第一步是进行结构离散，并对离散单元进行分析，分析的目的是得到单元节点的力与位移的关系。
单元分析的方法有直接法和能量法，本节采用直接法。
从连续梁中取出一个典型单元e ，左边为节点i ，右边为节点j 。
将节点选择在支承点处，单元两端只产生转角位移e i θ、ej θ，顺时针转动为正。
独立的单元杆端内力为弯矩i m 、j m ，顺时针为正。
记：{}e j i eu ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=θθ为单元e 的节点位移向量；{}ej i em m f ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=为单元e 的杆端力向量。
根据结构力学位移法可得如下平衡方程：⎪⎭⎪⎬⎫+=+=e j e e i e e j ej e e i e e i k k m k k m θθθθ22211211 (2-1)式中：ee e e ee i k k i k k 2412212211====，lEIi e =，EI 、l 分别为单元e 的抗弯刚度和长度。
《有限元理论与数值方法》第三讲-杆、梁结构有限元分析
Finite Element Theory and Numerical Method
一、杆、梁的物理力学模型
拉压杆单元如图3-6所示，已知等直杆件杆长为 l 横截面面积为 A 材料弹性模量为 E 所受轴向分布载荷集度为 p(x) 杆端位移分别为 u1 u2
杆端力分别记为 F1 F2
1、建立位移场
F1, u1 xa
1
a p(x)
2 F2 , u2
x
设局部坐标系下杆中任意点a的坐标为 xa
因为只有两个边界条件 u1
形函数具有如下性质： 1)本端为1，它端为0 2)单元内任意一点总和为1
N1(0) 1
N1(1) 0
N2 (0) 0 N2 (1) 1
N1() N2 () 1
2、应变分析
du dx
dN dx
ue
dN1 dx
B为应变矩阵或者几何矩阵。
dN2 dx
u
e
1 l
1 l
ue
[B1
B2 ]ue Bue
图示所示桁架 l 2m
EA 1.2106 kN
试求1-2杆和1-4杆单元的局部坐标单元 刚度矩阵
1-2杆：抗拉刚度 EA / l 6106 kN/m
F1 10N 3
1
F2 20N 4
2
ke1
EA l
1 1
1
1
6
105
1 1
1
1
kN
/
m
1-4杆：抗拉刚度 EA /( 2l) 4.24264 105 kN/m
第二章有限元分析基本理论
第二章有限元分析基本理论有限元分析是一种数值计算方法，广泛应用于结构分析、流体力学、热传导等工程领域。
它通过将连续的物理问题离散化为有限个简单的子问题，再通过数值方法求解这些子问题，最终得到原始问题的近似解。
有限元分析的基本理论包括三个方面：离散化、加权残差和求解方法。
首先是离散化。
离散化是指将原始的连续问题转化为离散的子问题。
有限元分析中常用的离散化方法是将求解区域分割成有限的子域，称为单元。
每个单元内部的场量（如位移、温度等）可以用其中一种函数近似表示。
离散化的关键是选择适当的单元形状和适量的节点，使得子问题的离散解能够较好地近似原问题的解。
接下来是加权残差方法。
加权残差方法是有限元分析的核心思想，用于构造子问题的弱型方程。
弱型方程是原始问题的一种积分形式，由应力平衡和边界条件推导而来。
在加权残差方法中，我们引入加权函数，将弱型方程乘以权函数，再对整个求解区域进行积分，从而将连续问题转化为离散问题。
通过选择合适的权函数，可以使得该离散问题具有良好的数学特性，比如对称、正定等。
最后是求解方法。
有限元分析的求解方法主要包括直接法和迭代法。
直接法适用于小型问题，通过对离散问题的系数矩阵进行直接求解，得到场量的离散解。
而迭代法适用于大型问题，通过迭代求解线性代数方程组，得到场量的近似解。
迭代法的常用算法有雅可比法、高斯-赛德尔法、共轭梯度法等。
在求解中还需要注意计算误差的控制和收敛性的判定。
除了这三个基本理论，有限元分析还有一些相关的概念和技术。
例如，网格生成用于生成离散化的单元网格；后处理用于对离散解进行可视化和数据分析；材料模型用于描述材料的本构关系。
这些概念和技术在具体的有限元分析应用中，有着重要的作用。
综上所述，有限元分析的基本理论包括离散化、加权残差和求解方法。
离散化将连续问题转化为离散子问题，加权残差方法用于构造子问题的弱型方程，求解方法用于求解离散问题。
掌握这些基本理论，对于理解和应用有限元分析方法具有重要意义。
有限元法的理论基础
有限元法的理论基础有限元法是一种离散化的数值计算方法，对于结构分析而言，它的理论基础是能量原理。
能量原理表明，在外力作用下，弹性体的变形、应力和外力之间的关系受能量原理的支配，能量原理与微分方程和定解条件是等价的。
下面介绍有限元法中经常使用的虚位移原理和最小势能原理。
1.虚位移原理虚位移原理又称虚功原理，可以叙述如下：如果物体在发生虚位移之前所受的力系是平衡的(物体内部满足平衡微分方程，物体边界上满足力学边界条件），那么在发生虚位移时，外力在虚位移上所做的虚功等于虚应变能（物体内部应力在虚应变上所做的虚功）。
反之，如果物体所受的力系在虚位移（及虚应变）上所做的虚功相等，则它们一定是平衡的。
可以看出，虚位移原理等价于平衡微分方程与力学边界条件。
所以虚位移原理表述了力系平衡的必要而充分的条件。
虚位移原理不仅可以应用于弹性性力学问题，还可以应用于非线性弹性以及弹塑性等非线性问题。
2.最小势能原理最小势能原理可以叙述为：弹性体受到外力作用时，在所有满足位移边界条件和变形协调条件的可以位移中，真实位移使系统的总势能取驻值，且为最小值。
根据最小势能原理，要求弹性体在外力作用下的位移，可以满足几何方程和位移边界条件且使物体总势能取最小值的条件去寻求答案。
最小势能原理仅适用于弹性力学问题。
2.2有限元法求解问题的基本步骤弹性力学中的有限元法是一种数值计算方法，对于不同物理性质和数学模型的问题，有限元法的基本步骤是相同的，只是具体方式推导和运算求解不同，有限元求解问题的基本步骤如下。
2.2.1问题的分类求解问题的第一步就是对它进行识别分析，它包含的更深层次的物理问题是什么？比如是静力学还是动力学，是否包含非线性，是否需要迭代求解，要从分析中得等到什么结果等。
对这些问题的回答会加深对问题的认识与理解，直接影响到以后的建模与求解方法的选取等。
2.2.2建模在进行有限元离散化和数值求解之值，我们为分析问题设计计算模型，这一步包括决定哪种特征是所要讨论的重点问题，以便忽略不必要的细节，并决定采用哪种理论或数学公式描述结果的行为。
有限元基本理论
一、有限单元法的基本思想（1）将一个连续域化为有限个单元并通过有限个结点相连接的等效集合体。
由于单元能按照不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同形状，因此可以模型化几何形状复杂的求解域。
（2）有限元法利用在每一个单元内假设的近似函数来分片地表示全求解域上待求的未知场数。
单元内的近似函数由未知场函数在单元的各个结点的数值和其插值函数来表达。
（3）一个问题的有限元分析中，未知场函数在各个结点上的数值就成为新的未知量，从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。
（4）一经求解出这些未知量，就可以通过插值函数计算出各个单元内场函数的近似值，从而得到整个求解域上的近似解。
显然，随着单元数目的增加，也即单元尺寸的缩小，或者随着单元自由度的增加以及插值函数精度的提高，解的近似程度将不断改进，如果单元是满足收敛要求的，近似解最后将收敛于精确解。
图1 有限元分析流程图二、有限元分析过程概述1 结构的离散化结构的离散化是有限单元法分析的第一步，它是有限单元法的基本概念。
所谓离散化简单地说，就是将要分析的结构物分割成有限个单元体，并在单元体的指定点设置结点，使相邻单元的有关参数具有一定的连续性，并构成一个单元的集合体，以它代替原来的结构。
如果分析的对象是桁架，那么这种划分十分明显，可以取每根杆件作为一个单元，因为桁架本来是由杆件组成的。
但是如果分析的对象是连续体，那么为了有效地逼近实际的连续体，就需要考虑选择单元的形状和分割方案以及确定单元和结点的数目等问题。
2 选择位移模式在完成结构的离散之后，就可以对典型单元进行特性分析。
此时，为了能用结点位移表示单元体的位移、应变和应力，在分析连续体问题时，必须对单元中位移的分布作出一定的假设，也就是假定位移是坐标的某种简单的函数，这种函数称为位移模式或插值函数。
选择适当的位移函数是有限单元法分析中的关键。
通常选择多项式作为位移模式。
其原因是因为多项式的数学运算（微分和积分）比较方便，并且由于所有光滑函数的局部，都可以用多项式逼近。
有限元理论与方法
有限元理论与方法有限元法是一种数值计算方法，用于求解复杂物理问题的近似解。
它将连续问题离散化为离散问题，并通过求解离散问题来近似求解原问题。
有限元法广泛应用于结构力学、流体力学、电磁场等领域。
有限元法的理论基础是分片连续函数空间的降维表示。
它将求解区域分割成许多简单的有限元单元，例如三角形、四边形或立方体等。
每个单元内的解通过一组形函数进行近似表示，形函数通常是局部性质的，即只在该单元内非零。
通过建立形函数与解之间的关系，可以将原问题转化为求解离散问题。
在解离散问题时，有限元法通过构建代数方程组以及边界条件来获得解。
代数方程组通常通过对能量变分或Galerkin方法进行离散化得到。
通过求解代数方程组，可以获得有限元法的近似解。
有限元法具有许多优点。
首先，它适用于各种不规则的几何形状。
通过将问题的几何形状分割为简单的单元，可以处理复杂的几何形状。
其次，有限元法具有高自由度的适应性。
通过增加或减少单元的数量，可以调整有限元方法的精度。
此外，它还可以处理不同类型的物理现象。
通过选择适当的形函数，可以将有限元法应用于结构、流体、热力学等各种领域。
然而，有限元法也存在一些局限性。
首先，它是一种近似方法，因此在求解过程中可能引入误差。
在实际应用中，需要评估误差，并确保误差的控制在允许范围内。
其次，有限元法在处理大规模问题时可能需要大量的计算资源。
解决大规模问题可能需要并行计算或者使用高性能计算机。
此外，有限元法对网格质量和网格依赖性较为敏感，因此需要谨慎选择网格划分方法。
总的来说，有限元理论和方法是一种重要的数值计算方法，广泛应用于科学和工程领域。
它的理论基础是分片连续函数空间的降维表示，以及代数方程组的离散化求解。
有限元法具有适应各种几何形状、高自由度的特点，并可应用于各种物理现象。
然而，它也存在误差引入、计算资源需求大等局限性。
为了获得精确的解，需要在实际应用中合理选择方法和调整参数。
有限元法的理论和要点
有限元法的理论和要点(1)有限元法的理论正规想学有限元的理论的人请选专门的参考书学习。
这里粗略说明一下有限元法的理论概要。
说明是简短的，而使用的是专门术语。
现在有不理解的地方，以后再学。
每积累一点经验，都会加深一点理解的。
有限元法有位移法、应力法、混合法。
以下举最普通的位移法说明一下。
(2)看不见的有限元的内容●有限元法一个黑箱分析系统[图 1 有限元法的模型]把作为对象的物体分割成小部分（称这部分为单元）再输入边界条件（约束、载荷）。
把各个小部分的结构特性用公式近似。
把这些小的部分组合起来就可得到全部力的平衡方程式。
使用给出的边界条件解出平衡方程式。
从结果求得单元内部的应力、应变、位移等。
有限元法的困难的理论和公式作为黑箱。
用户可以把 CAE 系统作为黑箱子来使用。
最重要的是准备适当的输入数据。
输入数据决定结果。
即输入数据的制作方法左右着结果。
●黑箱的内容是什么？有限单元法的理论是一种 Rayleigh-Ritz 法和 Galerkin 法。
以结构分析的情况为例，是一种用能量原理把未知数的位移，以近似解求出的数值分析法。
●有限单元法的结果正确吗？用数学公式表示单元内部的位移场（称这为位移函数）。
单元的位移函数满足完全性和合适性条件，有限单元法的近似解是收敛于严密解的，这可以用数学来证明。
所谓完全性就是位移函数可以表示刚体位移和常应变状态。
合适条件是在单元内部及单元的边界它的位移是连续的。
(2)要点：有限元分析法对于结构分析是非常有效的手段。
但是，想改变认识，由有限单元分析得到的结果，可以说要超过你所制成的输入数据以上的东西是没有的。
即使使用多么好的程序，输入的数据精度差的话，结果也差的。
有限元方法的数学理论
有限元方法的数学理论有限元方法是一种数值计算方法，用于求解常微分方程、偏微分方程和积分方程等数学问题。
它通过将求解区域分割成有限数量的简单形状（如三角形、四边形等）的小区域，将求解问题转化为在这些小区域上的近似解的求解问题。
在有限元方法的数学理论中，有以下几个重要概念：1. 有限元空间：有限元空间是定义在求解区域上的函数空间，它由离散化的形状函数（也称为有限元函数）和它们所对应的节点组成。
形状函数是一组基函数，它们用于近似描述在每个小区域上的解。
2. 变分问题和弱形式：有限元方法通过引入变分问题和弱形式来求解原始的偏微分方程问题。
变分问题是将原始问题转化为一个能够描述解的变分和测试函数的问题。
弱形式是变分问题的特定形式，它通过引入积分和部分积分来简化求解过程。
3. 有限元离散化：有限元方法利用离散化技术将求解区域划分成有限数量的小区域，称为单元。
每个单元上的解用形状函数近似表示，并通过求解线性方程组来得到近似解。
有限元离散化同时确定了单元之间的连接方式，以及解在相邻单元之间的边界条件。
4. 误差估计和收敛性分析：有限元方法通过误差估计和收敛性分析来评估数值解的精度。
误差估计是通过比较数值解和精确解之间的差异来确定数值解的误差大小。
收敛性分析则是研究如果将离散化细化，数值解是否趋向于精确解。
5. 稳定性和收敛阶：有限元方法的稳定性和收敛阶是评价该方法的两个重要性质。
稳定性指的是当离散化细化时，数值解的稳定性是否得到保持。
收敛阶指的是当离散化细化时，数值解的误差与离散化大小的关系。
以上是有限元方法的几个数学理论方面的介绍，了解这些理论可以帮助我们更好地理解有限元方法的原理和应用。
有限元理论
有限元理论
有限元理论（finite element theory）是一种数值分析方法，它的核心思想是将实体的几何形状分解为若干有限的元素，以及在这些元素上建立一系列的数学方程，从而确定这些元素的性质。
有限元理论主要用于分析复杂几何形状实体的力学、热力学等性质。
有限元理论的应用覆盖面很广，可用于分析各种结构物的变形、振动、强度和稳定性，还可以用于分析流体的流动特性，从而提高设计的效率和准确性。
在有限元理论中，实体的几何形状被划分为几何单元，比如点、线、面和体，每个单元又由若干个有限元素构成。
为了求解几何形状实体的变形、振动、强度和稳定性，需要建立若干个有限元素的数学方程，从而确定各有限元素的性质，从而求解实体的整体性能。
有限元理论可以使用计算机求解，其优点是准确、快速。
另外，有限元理论还可以用来分析复杂的材料性质，比如金属、塑料等，从而更好地了解这些材料的性能，提高设计的效率和准确性。
总之，有限元理论是一种有效的数值分析方法，它可以用来分析复杂的几何形状实体的力学、热力学等性质，并可以用于分析各种材料的性质，从而提高设计的效率和准确性，因此在工程设计中受到了广泛的应用。
有限元理论与方法
第一章 绪论有限元发展过程：有限元法在西方起源于收音机和导弹的结构设计，发表这方面文章最早而且最有影响的是西德J.H.Argyrb 教授，于1954—1955年间分阶段在《Aircraft Engineering 》上发表上许多有关这方面的论文，并在此基础上写成了《能量原理与结构分析》，此书容提供了有限元法的理论基础。
美国的M.T.Turner 、 R.W.cloagh 、 H.C.martin 和L.J.Topp 等人于1956年发表了了篇题为《复杂结构的刚度和挠度分析》一文，此文提出了计算复杂结构刚度影响系数的方法，并说明了如何利用计算机进行分析。
美国于1960年在一篇介绍平面应力分析的论文中，首先提出了有限元的名字。
1965年英国及其合作者解决了将有限元法应用于所有场的问题，使有限元法的应用更加广泛。
有限元法的基本思路：有限元法的基本思路和基本原理以结构力学中的位移法为基础，把复杂的结构或连续体看成为有限个单元的组合，各单元彼此在节点处连续而组成整体，把连续体分成有限个单元和节点，称之为离散化，先对单元进行特性分析，然后根据各单元在节点处的平衡协调条件建立方程，综合后作整体分析。
这样一分一合，先离散再综合的过程，就把复杂结构或连续体的计算问题转化为简单单元的分析与综合问题。
有限元分析中可采取三种方法：位移法——取节点位移作为基本未知数力 法——取节点力作为基本未知数混合法——有限元法分析过程：1、结构离散化（单元划分）2、选择位移模式为了能用节点位移表示单元体的位移、应变和应力，在分析连续体时，必须对单元中位移的分布做出一定的假定，也就是假定位移是坐标的某种简单函数，这种函数称为位移模式或位移函数（形函数）。
{}[]{}e u N δ= (1)3、分析单元的力学特性（1）利用几何方程：由位移表达式导出用点位移表示单元应变的关系式 {}[]{}e εδ=B {}ε为单元任一点的应变列阵 (2)非线性有限元线性有限元几何非线性 材料非线性有限元（2）利用物理方程，由应变的表达式导出用节点位移表示单元应力的关系式{}[][]{}[]{}eD D δδε=B = (3) {}δ是单元任一点的应力列阵 []D 是材料的弹性矩阵（3）利用虚功原理建立作用于单元上的节点力和节点位移之间的关系式，即单元的刚度方程（平衡方程）[]{}{}e e K R δ=4、计算等效节点力弹性体经过离散化后，假定力是通过节点从一个单元传递到另一个单元，但是作为实际的连续体，力是从单元的公共边界传递到另一个单元的，因而，这种作用在单元边界上的表面力、体积力、集中力等都需要等效移置到节点上去，所用方法虚功等效。
有限元理论与技术
填空题：1、利用有限单元法求解弹性力学问题时，简单来说包含结构离散化、单元分析、整体分析三个主要步骤。
2、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。
苴具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。
3、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的,另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。
4、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变：另一部分是与位苣坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。
5、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常屋应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。
6、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使白们在公共结点处具有相同的位移时，也能在整个公共边界上具有相同的位移。
7、在有限单元法中，单元的形函数“在丄结点"=:丄：在其他结点M=_0_及丄。
8、为了提髙有限单元法分析的精度，一般可以采用两种方法：一是将单元的尺寸减小，以便较好地反映位移和应力变化情况；二是一采用包含更髙次项的位移模式，使位移和应力的精度提高。
9、在有限单元法中，结点力是指结点对单元的作用力。
(J)10、在平而三结点三角形单元的公共边界上应变和应力均有突变。
(V )11、 __________________ 形函数N,(xi,yi)= (i=j)Ni(xi,yi)= ___ (iHj)简答题：1、有限元分析的基本思路答：首先，将物体或求解域离散为有限个互不重叠仅通过节点互相连接的子域(即单元)，原始边界条件也被转化为节点上的边界条件，此过程称为离散化。
英次，在单元内，选择简单近似函数来分片逼近未知的求解函数，即分片近似。
具体做法是在单元上选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各3、针对附图所示的有限（单元刚度矩阵用H变量或其导数的肖点值•与所选用的插值函数组成的线性表达式，这是有限元法的创意和稱华所在。
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弹性力学填空题：1、连续体力学包括固体力学、流体力学、热力学和电磁场力学，非连续体力学包括量子力学。
2、弹性力学所研究的范围属于固体力学中弹性阶段。
3、弹性力学的基本假定为：连续性、完全弹性、均匀性和各向同性、变形很小、无初应力。
4、连续性假设是指：物体内部由连续介质组成，物体中应力、应变和位移分量为连续的，可用连续函数表示。
5、均匀性和各向同性假设是指：物体内各点和各方向的介质相同，即物理性质相同，物体的弹性常数杨氏模量和泊松比不随坐标和方向的变化而变化。
6完全弹性假设是指：物体在外载荷作用下发生变形，在外载荷去除后，物体能够完全恢复原形，材料服从胡克定律，即应力与形变成正比。
7、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程为：平衡方程、几何方程和物理方程，三组方程分别表示：应力与载荷关系、应变与位移关系、应力与应变关系。
8、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。
9、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。
10、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。
11、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。
与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量, 也就是正应力和切应力。
12、建立平衡方程时，在正六面微分体的6个面上共有9个应力分量，分别为：，其中正应力为：_________________ ，剪应力为：__________________________ ，这些应力分量与外载荷共同建立丄个方程。
13、建立几何方程时，线应变为__________ ，角应变为____________ ，这些应变与位移共同建立_6_个方程。
14、物理方程表示应力与应变的关系，即为胡克定律，其中弹性常数E和卩分别表示材料的杨氏模量和泊松比，物理方程组共包含6个方程。
15、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题，两者所研究得对象分别为等厚度薄平板和等截面长柱体。
16、平面应力问题和平面应变问题基本方程中：平衡方程和几何方程相同，物理方程不相同。
（相同或不相同）17、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。
15、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。
18、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。
19、弹性力学中边界条件通常可以分为：位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。
20、弹性力学问题的解法分为解析法、变分法和差分法，就解题方法而言，又分为如下两种方法：位移法和应力法。
21、将平面应力情况下的物理方程中的弹性模量E，泊松比分别换成及就要得到平面应变情况下相应的物理方程。
22、位移法为物理方程与几何方程联立消除应变分量,得到应力与位移的函数方程式，再与平衡方程联立消除应力，得到载荷与位移的方程式。
简答题：1、在弹性力学中根据什么分别推导出平衡微分方程、几何方程、物理方程，这三个方程分别表示什么关系？答：在弹性力学中，（1）根据微元的力平衡分析导出了平衡微分方程，它表达变形体微元内部应力与作用在微元上外载荷之间的关系；（2）根据微元变形的连续性推导出几何方程，它表达变形体内部应变与位移之间的关系；（3）根据广义胡克定律导出物理方程，它表达变形体内部应变与应力之间的关系。
2、简述泛函、变分原理、虚位移与最小能量原理。
虚功方程表达什么关系？答：泛函：泛函也是一种“函数”，它的独立变量一般不是通常函数的“自变量”，而是通常函数本身。
泛函是函数的函数。
由于函数的值是由自变量的选取而确定的，而泛函的值是由自变量函数确定的，故也可以将其理解为函数的函数。
变分原理：将弹性力学的基本方程-偏微分方程的边值问题转换为代数方程求解的一种方法。
虚位移：位移边界条件所容许的位移的微小改变量。
最小能量原理：在所有几何可能位移中，真实位移使得总势能取最小值。
虚功方程：表达外力所做虚功与变形体内部变形能量（内能）增加之间的关系。
3、什么是平面应力问题？什么是平面应变问题？分别写出平面应力问题和平面应变问题的物理方程。
答：平面应力和平面应变都是简化空间问题而设定的概念。
平面应力：只在平面内有应力，与该面垂直方向的应力可忽略，即平面应力是指所有的应力都在一个平面内，如果平面是OXY平面，那么只有正应力（TX cy 剪应力T xy它们都在一个平面内），没有cz T Z，T zx例如薄板微小变形拉压问题。
平面应变：只在平面内有应变，与该面垂直方向的应变可忽略，即平面应变是指所有的应变都在一个平面内。
如果平面是OXY平面，则只有正应变£和剪应变丫xy而没有£，丫yz 丫zx例如水坝侧向水压问题。
4、 简述平面应力问题与平面应变问题的区别。
答：平面应力问题是指很薄的等厚度薄板， 只在板边上受有平行于板面并且不沿 厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面并且不沿厚度变化。
对应的应力分量 只有J ，二y，xy。
而平面应变问题是指很长的柱形体，在柱面上受有平行于横 截面并且不沿长度变化的面力，同时体力也平行于横截面并且不沿长度变化， 对 应的位移分量只有u 和V 。
5、 弹性力学的基本假设，分别简述各个假设？答：1）连续性假定：引用这一假定后，物体中的应力、应变和位移等物理量就 可看成是连续的，因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来 表示他们的变化规律。
2） 完全弹性假定：这一假定包含应力与应变成正比的含义，亦即二者呈线性关 系，复合胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程。
3） 均匀性假定：在该假定下，所研究的物体内部各点的物理性质显然都是相同 的。
因此，反应这些物理性质的弹性常数（如弹性模量 E 和泊松比卩等）就不随位置坐标而变化。
4） 各向同性假定：各向同性是指物体的物理性质在各个方向上都是相同的，也 就是说，物体的弹性常数也不随方向变化。
5） 小变形假定：研究物体受力后的平衡问题时，不用考虑物体尺寸的改变，而 仍然按照原来的尺寸和形状进行计算。
同时，在研究物体的变形和位移时，可以 将它们的二次幕或乘积略去不计，使得弹性力学的微分方程都简化为线性微分方 6简述材料力学和弹性力学在研究对象、研究方法方面的异同点。
；x-'-■■y1；「x - "l "yE11—y -" 1 二xyxyxy-xyG平面应力问题物理方程 平面应变物理方程答：在研究对象方面，材料力学基本上只研究杆状构件，也就是长度远大于高度和宽度的构件；而弹性力学除了对杆状构件作进一步的、较精确的分析外，还对非杆状结构，例如板和壳，以及挡土墙、堤坝、地基等实体结构加以研究。
在研究方法方面，材料力学研究杆状构件，除了从静力学、几何学、物理学三方面进行分析以外，大都引用了一些关于构件的形变状态或应力分布的假定，这就大简化了数学推演，但是，得出的解答往往是近似的。
弹性力学研究杆状构件，一般都不必引用那些假定，因而得出的结果就比较精确，并且可以用来校核材料力学里得出的近似解答。
7、简述弹性力学的研究方法。
答：在弹性体区域内部，考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。
即根据微分体的平衡条件，建立平衡微分方程；根据微分线段上形变与位移之间的几何关系，建立几何方程；根据应力与形变之间的物理关系，建立物理方程。
此外，在弹性体的边界上还要建立边界条件。
在给定面力的边界上，根据边界上微分体的平衡条件，建立应力边界条件；在给定约束的边界上，根据边界上的约束条件建立位移边界条件。
求解弹性力学问题，即在边界条件下根据平衡微分方程、几何方程、物理方程求解应力分量、形变分量和位移分量。
8、弹性力学中应力如何表示？正负如何规定？答：弹性力学中正应力用二表示，并加上一个下标字母，表明这个正应力的作用面与作用方向；切应力用•表示，并加上两个下标字母，前一个字母表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个字母表明作用方向沿着哪一个坐标轴。
并规定作用在正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。
相反，作用在负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。
有限元法填空题：1、利用有限单元法求解弹性力学问题时，简单来说包含结构离散化、单元分析、整体分析三个主要步骤。
2、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。
其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。
3、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。
4、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。
5、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。
6为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时，也能在整个公共边界上具有相同的位移。
7、在有限单元法中，单元的形函数N i在丄结点N i=丄；在其他结点N i=_0_及刀Nid。
8、为了提高有限单元法分析的精度，一般可以采用两种方法：一是将单元的尺寸减小，以便较好地反映位移和应力变化情况；二是采用包含更高次项的位移模式，使位移和应力的精度提高。
9、在有限单元法中，结点力是指结点对单元的作用力。
（V）10、在平面三结点三角形单元的公共边界上应变和应力均有突变。
（V ）11、形函数N i（xi,yi）= （i=j）N i（xi,yi）= —（i 工j）简答题：1、有限元分析的基本思路答:首先，将物体或求解域离散为有限个互不重叠仅通过节点互相连接的子域（即单元），原始边界条件也被转化为节点上的边界条件，此过程称为离散化其次，在单元内，选择简单近似函数来分片逼近未知的求解函数， 即分片近 似。
具体做法是在单元上选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性 表达式，这是有限元法的创意和精华所在。
而整体区域上的解函数就是这些单元 上的简单近似函数的组合。
最后，基于与原问题数学模型（基本方程和边界条件）等效的变分原理或加 权残值法，建立有限元方程（即刚度方程），从而将微分方程转化为一组变量或 其导数的节点值为未知量的代数方程组。
从而借助矩阵表示和计算机求解代数方 程组得到原问题的近似解。
2、简述有限元法求解中离散处理所遵循原则。