(完整版)三角函数系列二倍角公式测试题含答案.doc

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二倍角的三角函数练习(包含答案)

一、选择题1．已知cos（α+β）=，cos（a﹣β）=﹣，则cosαcosβ的值为（）A．0B．C．0或D．0或考点：两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：先用两角和公式的余弦函数对题设中的等式展开后，两式相加即可求得cosαcosβ的值．解答：解：依题意可知，两式相加得2cosαcosβ=0，∴cosαcosβ=0，故选A．点评：本题主要考查了两角和公式的余弦函数．考查了学生对基础知识的理解和应用．2．如果，那么等于（）A．B．C．D．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：由两角和与差的正弦函数公式化简原式，变形得到一个比例式，然后把所求的式子利用同角三角函数的关系化简后，将变形得到的比例式整体代入可求出值．解答：解：由==，得：nsinαcosβ+ncosαsinβ=msinαcosβ﹣mcosαsinβ移项合并得cosαsinβ（n+m）=sinαcosβ（m﹣n），变形得=，则===．故选A点评：本题的解题思路是运用和与差的正弦函数公式和同角三角函数的基本关系把已知和所求的式子化简后找出其联系点，然后利用整体代入的思想解决数学问题．3．已知α，β，γ均为锐角，且tanα=，tanβ=，，则α，β，γ的和为（）A．B．C．D．考点：两角和与差的正切函数．专题：计算题．分析：先根据两角和的正切公式利用tanα和tanβ的值求得tan（α+β）的值，进而利用两角和的正切公式求得tan （α+β+γ）的值，进而根据α，β，γ的范围确定α，β，γ的和．解答：解：tan（α+β）==tan（α+β+γ）==1由α，β，γ都为锐角及各自取值，知0＜α，β，γ＜，即α+β+γ也是锐角，故α+β+γ=．故选B点评：本题主要考查了两角和与差的正切函数，考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．4．在△ABC中，C＞90°，E=sinC，F=sinA+sinB，G=cosA+cosB，则E，F，G之间的大小关系为（）A．G＞F＞E B．E＞F＞G C．F＞E＞G D．F＞G＞E考点：三角函数的积化和差公式；同角三角函数基本关系的运用．专题：综合题．分析：把F和G利用三角函数的和差化积公式及诱导公式化简后，做差得到大小；利用正弦定理和三角形的两边之和大于第三边判断F和E的大小，即可得到三者之间的大小关系．解答：解：因为F=sinA+sinB=2sin cos=2cos cos；G=cosA+cosB=2cos cos=2sin cos；由180°＞C＞90°得到45°＜＜90°，根据正弦、余弦函数的图象得到sin＞cos，所以G﹣F=2cos（sin﹣cos）＞0即G＞F；根据正弦定理得到=，因为a+b＞c，所以sinA+sinB＞sinC即F＞E；所以E，F，G之间的大小关系为G＞F＞E故选A点评：解此题的方法是利用正弦定理和做差法比较大小，要求学生灵活运用三角函数的和差化积公式及诱导公式化简求值．5．化简：的值为（）B．t an2x C．﹣tanx D．c otxA．tan考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．专题：计算题．分析：把原式的分子和分母根据两角和的正弦、余弦函数公式进行化简后合并，再根据同角三角函数间的基本关系化简可得值．解答：解：原式=═=﹣tanx故选C点评：此题是一道基础题，要求学生掌握两角和与差的正弦、余弦函数的公式，以及会利用同角三角函数间的基本关系．6．若A，B为锐角三角形的两个锐角，则tanAtanB的值（）A．不大于1 B．小于1 C．等于1 D．大于1考点：正切函数的值域．专题：计算题．分析：直接利用锐角三角形的性质，确定sinA＞cosB，利用切化弦化简tanAtanB，即可得到选项．解答：解：因为三角形是锐角三角形，所以A+B＞；即：，所以sinA＞cosB，同理sinB ＞cosA，tanAtanB=＞1故选D点评：本题是基础题，考查锐角三角形的性质，切化弦的应用，考查计算能力，常考题型．二、填空题7．（2008•浙江）若，则cos2θ=．考点：诱导公式的作用；二倍角的余弦．分析：由sin（α+）=cosα及cos2α=2cos2α﹣1解之即可．解答：解：由可知，，而．故答案为：﹣．点评：本题考查诱导公式及二倍角公式的应用．8．若cosαcosβ=，则sinαsinβ的取值范围是______．考点：两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：设x=sinαsinβ，利用两角和与差的正弦函数公式分别化简cos（α+β）与cos（α﹣β），将cosαcosβ的值代入，利用余弦函数的值域列出不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为sinαsinβ的取值范围．解答：解：∵cosαcosβ=，设sinαsinβ=x，∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=﹣x，cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=+x，∴﹣1≤﹣x≤1，﹣1≤+x≤1，解得：﹣≤x≤，则sinαsinβ的取值范围是[﹣，]．故答案为：[﹣，]点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及余弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．三、解答题9．在△ABC中，∠B=60°，且tanAtanC=2+，求角A，C的度数．考点：解三角形．专题：计算题．分析：根据B的值，进而确定A+C的值，进而利用两角和与差的正切函数公式求得tanA+tanC的值，进而联立求得tanA和tanC的值，进而求得A和C．解答：解：∵∠B=60°且A+B+C=180°，∴A+C=120°，∴tan（A+C）=．由tanAtanC=2+，∴tanA+tanC=3+，∴tanA，tanC可看作方程x2﹣（3+）x+（2+）=0的两根．解方程得x1=1，x2=2+．当tanA=1，tanC=2+时，A=45°，C=75°．当tanC=1，tanA=2+时，A=75°，C=45°．点评：本题主要考查了解三角形问题，两角和与差的正切函数．考查了学生对三角函数基础知识的掌握．10．若已知方程x2﹣（tanθ+cotθ）x+1=0有两个实根，且其中一个根是2﹣，求cos4θ的值．考点：三角函数的恒等变换及化简求值；一元二次方程的根的分布与系数的关系．专题：计算题．分析：利用方程的根，结合判别式确定sin22θ≤1，通过两个根求出另一个根，推出sin2θ的值，然后求出cos4θ的值．解答：解：∵方程x2﹣（tanθ+cotθ）2x+1=0有两个实根，∴△=（tanθ+cotθ）2﹣4==，即sin22θ≤1．设另一个根为m，则由根与系数的关系可得，（2﹣）m=1，于是，故tanθ+cotθ=4，即，∴sin2θ=（满足sin22θ≤1）．∴cos4θ=1﹣2sin22θ=．点评：本题考查三角函数的化简求值，考查二次方程根的问题，二倍角公式的应用，考查计算能力．11．已知函数y=，求函数的最大值及对应自变量x的集合．考点：三角函数的最值．专题：计算题．分析：利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化简函数y=，然后求出最大值，及其相应的x 值．解答：解：==，y取最大值，只需，即，∴当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=kπ+，k∈Z}．点评：本题考查三角函数的最值，二倍角公式的应用，同时利用两角和的正弦函数化简是本题解题的关键，本题考查计算能力，是基础题．12．如图，在某点B处测得建筑物AE的项点A的仰角为θ，沿B前进30米至C点处测得顶点A的仰角为2θ，再继续前进10米至D点，测得顶点A的仰角为4θ，求θ的大小及建筑物AE的高．考点：解三角形的实际应用．专题：计算题．分析：由题意及仰角的定义画出图形，利用数形结合的思想，利用图形中角与角的联系及三角形求解即可．解答：解：由已知BC=30米，CD=10米，∠ABE=θ，∠ACE=2θ，∠ADE=4θ，在Rt△ABE中，BE=AEcotθ，在Rt△ACE中，CE=AEcot2θ，∴BC=BE﹣CE=AE（cotθ﹣cot2θ）．同理可得：CD=AE（cot2θ﹣cot4θ）．∴即而cotθ﹣cot2θ==．同理可得cot2θ﹣cot4θ=．∴==2cos2θ=∴cos2θ=，结合题意可知：2θ=30°，θ=15°，∴AE=（米）．点评：此题考查了学生会从题意中抽取出图形进而分析问题，还考查了学生们利用三角形解出三角形的边与角，及二倍角的正切公式．。

(完整版)三角函数系列二倍角公式测试题含答案

二倍角公式评卷人得分一、选择题1.已知2sinθ+3cosθ=0，则tan2θ=（）A． B． C． D．2.已知=，则sin2α+cos（α﹣）等于（）A．﹣B．C．D．﹣3.若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣β），则cos（α+β）=（）A．B．﹣C．D．﹣5.已知cosα=，cos（α+β）=﹣，且α、β∈（0，），则cos（α﹣β）=（）A．B．C．D．6.求值：tan42°+tan78°﹣tan42°•tan78°=（）A．B．C．D．7.已知sinx=﹣，且x在第三象限，则tan2x=（）A．B．C．D．8.已知tanα=4，=，则则tan（α+β）=（）A．B．﹣C．D．﹣9.计算log2sin+log2cos的值为（）A．﹣4 B．4 C．2 D．﹣210.若均α，β为锐角，=（）A．B．C．D．11.已知tanα=，tanβ=，则tan（α﹣β）等于（）A．B．C．D．12.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ=（）A．﹣B．﹣C．D．13.已知sinθ+cosθ=，则tan2θ值为（）A．B．C．D．14.设tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2=0的两个根，则tan（α+β）的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．315.sinα=，α∈（，π），则cos（﹣α）=（）A．B．C．D．16.已知sinα+cosα=﹣，则sin2α=（）A．B．C．D．17.已知，那么cosα=（）A．B．C．D．18.设α﹑β为钝角，且sinα=，cosβ=﹣，则α+β的值为（）A．B．C．D．或19.若tan（α﹣β）=，tanβ=，则tanα等于（）A．﹣3 B．﹣C．3 D．20.=（）A．B．C．D．21.若角A为三角形ABC的一个内角，且sinA+cosA=，则这个三角形的形状为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形第II卷（非选择题）评卷人得分二、填空题22.若tan（α+β）=，tan（β﹣）=，则tan（α+）=．23.（1+tan1°）（1+tan44°）= ．24.若，，，则=．25.已知α为第三象限的角，，则=．26.已知＜α＜，cos（+α）=﹣，则sinα=．27.在△ABC中，已知tanA，tanB是方程3x2﹣7x+2=0的两个实根，则tanC= ．评卷人得分三、解答题28.已知，（1）求sinα的值；（2）求β的值．29.已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求β．二倍角公式试卷答案1.B2.A解答：解：由已知得：==sinα+cosα=，∴（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=1+sin2α=，∴sin2α=﹣，又sinα+cosα=sin（α+），∴sin（α+）=，cos（α﹣）=cos（﹣α）=sin（x+）=，∴sin2α+cos（α﹣）=﹣．3.C解答：解：∵cos（+α）=，0＜α＜，∴＜+α＜，∴sin（+α）==，∵cos（﹣β）=，﹣＜β＜0，∴＜﹣β＜，∴sin（﹣β）==，∵α+β=（+α）﹣（﹣β），∴cos（α+β）=cos[（+α）﹣（﹣β）]=cos（+α）cos（﹣β）+sin（+α）sin（﹣β）===．4.解答：由题意可得：tanα+tanβ=；tanαtanβ=，显然α，β ﹣又tan（α+β）===1且α+β∈，故α+β=﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）5.C解答：由2α∈（0，π），及cosα=，得到cos2α=2cos2α﹣1=﹣，且sin2α==，由α+β∈（0，π），及cos（α+β）=﹣，得到sin（α+β）==，则cos（α﹣β）=cos[2α﹣（α+β）]=cos2αcos（α+β）+sin2αsin（α+β）=﹣×（﹣）+×=．6.C解答：由tan120°=tan（78°+42°）==﹣，得到tan78°+tan42°=﹣（1﹣tan78°tan42°），则tan78°+tan42°﹣tan18°•tan42°=﹣．故选：C．．7.A 8.B 解答：由得tanβ=3，又tanα=4，所以tan（α+β）===，故选：B．9.D 10.B解答：α，β为锐角，则cosα===；则cos（α+β）=﹣=﹣=﹣，cosβ=cos（α+β﹣α）=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα==．11.D 12.B 13.C 14.A 15.A 16.D 17.C 18.C解答：∵α﹑β为钝角，且sinα=，cosβ=﹣，∴cosα=﹣，s inβ=，∴cos（α+β）=cosαco sβ﹣sinαsinβ=﹣×（﹣）﹣×=，又α﹑β为钝角，∴α+β∈（π，2π），∴α+β=．故选：C．19.C解答：∵tan（α﹣β）===，∴可解得：tanα=3．故选：C．20.D 21.B解答：角A为三角形ABC的一个内角，sinA+cosA=sin（A+），如果A∈（0，]，A+∈，sin（A+）∈．A∈（，π），A+∈，sin（A+）∈（﹣1，1）．∵sinA+cosA=，∴A是钝角．三角形是钝角三角形．故选：B．22.解答：∵tan（α+）=tan[（α+β）﹣（β﹣）]，∴又∵∴．故答案为：．23.2 24.解答：∵∴∵，∴，∴===故答案为：25.解答：方法一：因为α为第三象限的角，所以2α∈（2（2k+1）π，π+2（2k+1）π）（k∈Z），又＜0，所以，于是有，，所以=．方法二：α为第三象限的角，，⇒4kπ+2π＜2α＜4kπ+3π⇒2α在二象限，26.解答：∵＜α＜，∴＜α+＜π，又cos（+α）=﹣，∴sin（+α）==，∴sinα=sin[（α+）﹣]=sin（+α）cos﹣cos（+α）sin=×﹣（﹣）×=．故答案为：．27.-7解答：∵tanA，tanB是方程3x2﹣7x+2=0的两个根，则tanA+tanB=，tanAtanB=，∴tanC=tan=﹣tan（A+B）=﹣=﹣728.解答：（1）∵，∴tanα==．∵tanα=，sin2α+cos2α=1，∴sin α=，cos α=．（2）∵，，∴sin（α﹣β）=﹣，∴tan（α﹣β）==﹣7==，∴tanβ=﹣1，∴β=．29.解答：（Ⅰ）由，得∴，于是（Ⅱ）由0＜β＜α＜，得，又∵，∴由β=α﹣（α﹣β）得：cosβ=cos=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）=所以．。

二倍角的三角函数练习(含答案)

系化简后，将变形得到的比例式整体代入可求出值．
解答：解：由
=
= ，得：nsinαcosβ+ncosαsinβ=msin αcosβ﹣ mcosαsinβ
移项合并得 cosαsinβ（ n+m）=sin αcosβ（ m﹣ n），变形得
=
，
则
=
=
=
．
故选 A 点评：本题的解题思路是运用和与差的正弦函数公式和同角三角函数的基本关系把已知和所求的式子化简后找出
4．在 △ABC 中， C＞ 90°， E=sinC ， F=sinA+sinB ， G=cosA+cosB ，则 E， F， G 之间的大小关系为（
）
A ．G＞ F＞ E
B． E＞ F＞ G
C． F＞ E＞ G
D ．F＞ G＞ E
考点：三角函数的积化和差公式；同角三角函数基本关系的运用．
专题：综合题．
（ α+β+γ）的值，进而根据 α， β，γ的范围确定 α， β， γ的和．
解答：解： tan（ α+β） =
=
tan（ α+β+γ）=
=1
由 α， β， γ都为锐角及各自取值，知 0＜ α， β， γ＜，
即 α+β+γ也是锐角，故 α+β+γ= ．
故选 B 点评：本题主要考查了两角和与差的正切函数，考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．
，则 cos2θ=
．
考点：诱导公式的作用；二倍角的余弦．分析：由 sin（α+ ） =cosα及 cos2α=2cos2α﹣ 1 解之即可．
解答：解：由
可知，

二倍角公式练习题

二倍角公式练习题二倍角公式是三角函数中的重要公式之一，它在解决三角函数问题时具有很大的威力和应用价值。

本文将通过练习题的形式，帮助读者更好地理解和掌握二倍角公式。

1. 练习题一已知角A的终边过点（2，-3），且sinA=-0.4，求cos2A的值。

解答：根据已知条件，我们可以先求出角A的正弦值对应的cosA的值。

根据正弦定义 sinA = -0.4，可得纵坐标y = -3由勾股定理可得：(2^2 + (-3)^2) = (√13)^2得到横坐标x = √13所以cosA = x / r = √13 / √13 = 1接下来，利用二倍角公式 cos2A = 2 * cos^2 A - 1，代入cosA的值计算cos2A。

cos2A = 2 * (1^2) - 1 = 2 - 1 = 1所以cos2A的值为1。

2. 练习题二已知角B的终边过点（-5，12），且tanB = 0.8，求sin2B的值。

解答：根据已知条件，我们可以先求出角B的正切值对应的sinB的值。

tanB = 0.8，可得纵坐标y = 12由勾股定理可得：((-5)^2 + 12^2) = 13^2得到横坐标x = -5所以sinB = y / r = 12 / 13接下来，利用二倍角公式 sin2B = 2 * sinB * cosB，代入sinB的值计算sin2B。

cosB = x / r = -5 / 13sin2B = 2 * (12 / 13) * (-5 / 13) = -120 / 169所以sin2B的值为-120 / 169。

3. 练习题三已知角C的终边过点（3，-4），且cscC = -5，求cos2C的值。

解答：根据已知条件，我们可以先求出角C的余割值对应的正弦值。

cscC = -5，可得纵坐标y = -4由勾股定理可得：(3^2 + (-4)^2) = 5^2得到横坐标x = 3所以sinC = r / y = 5 / (-4) = -5 / 4接下来，利用正弦定义 sinC = 1 / sinC，代入sinC的值计算cosC。

(完整版)两角和与差及二倍角公式经典例题及答案

：两角和与差及其二倍角公式知识点及典例知识要点：1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)：cos(α－β)＝； C(α＋β)：cos(α＋β)＝； S(α＋β)：sin(α＋β)＝； S(α－β)：sin(α－β)＝； T(α＋β)：tan(α＋β)＝； T(α－β)：tan(α－β)＝； 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式2S α：sin2α＝； 2T α：tan2α＝；2C α：cos2α＝＝＝；3、在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解决问题:如公式的正用、逆用和变形用等。

如T(α±β)可变形为:tan α±tan β=___________________； tan αtan β= = . 考点自测：1、已知tan α＝4，tan β＝3，则tan(α＋β)＝( )711A 、 711B 、-713C 、 713D 、-2、已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋ sin α＝453，则 sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235 B.235 C ．－45 D.453、在△ABC 中，若cos A ＝45，cos B ＝513，则cos C 的值是( )A.1665B.5665C.1665或5665 D ．－1665 4、若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ的值等于( )A ．0B ．±3C ．0或 3D ．0或±35、三角式2cos55°－3sin5°cos5°值为( )A.32B. 3 C ．2 D ．1 题型训练题型1 给角求值一般所给出的角都是非特殊角，利用角的关系（与特殊角的联系）化为特殊角例1求[2sin50sin10(1)]︒︒︒+.变式1：化简求值：2cos10sin 20.cos 20︒︒︒- 题型2给值求值三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示．如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=--- 例2 设cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，其中α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos(α＋β)．变式2：π3π33π50π,cos(),sin(),4445413βααβ<<<<-=+=已知求sin(α+β)的值.题型3给值求角已知三角函数值求角，一般可分以下三个步骤：(1)确定角所在的范围；(2)求角的某一个三角函数值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调)；（3）求出角。

三角函数系列二倍角公式测试题含答案

二倍角公式一、选择题，则tan2θ=（）A． B． C． D．2.已知=，则sin2α+cos（α﹣）等于（）A．﹣B．C．D．﹣3.若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣β），则cos（α+β）=（）A．B．﹣C．D．﹣5.已知cosα=，cos（α+β）=﹣，且α、β∈（0，），则cos（α﹣β）=（）A．B．C．D．6.求值：tan42°+tan78°﹣tan42°•tan78°=（）A．B．C．D．7.已知sinx=﹣，且x在第三象限，则tan2x=（）A．B．C．D．8.已知tanα=4，=，则则tan（α+β）=（）A．B．﹣C．D．﹣9.计算log2sin+log2cos的值为（）A．﹣4 B．4 C．2 D．﹣210.若均α，β为锐角，=（）A．B．C．D．11.已知tanα=，tanβ=，则tan（α﹣β）等于（）A．B．C．D．12.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y=2x 上，则cos2θ=（）A ． ﹣B ． ﹣C ．D ．13.已知sin θ+cos θ=，则tan2θ值为（）A ．B ．C ．D ．14.设tan α，tan β是方程x 2﹣3x+2=0的两个根，则tan （α+β）的值为（） A ． ﹣3 B ． ﹣1C ． 1D ． 315.sin α=，α∈（，π），则cos （﹣α）=（）A ．B ．C ．D ．16.已知sin α+cos α=﹣，则sin2α=（）A ．B ．C ．D ．17.已知，那么cos α=（）A ．B ．C ．D ．18.设α﹑β为钝角，且sin α=，cos β=﹣，则α+β的值为（）A ．B ．C ．D ．或19.若tan （α﹣β）=，tan β=，则tan α等于（）A ． ﹣3B ． ﹣C ． 3D ．20.=（）A ．B ．C ．D ．21.若角A 为三角形ABC 的一个内角，且sinA+cosA=，则这个三角形的形状为（）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形第II卷（非选择题）二、填空题22.若tan（α+β）=，tan（β﹣）=，则tan（α+）=．23.（1+tan1°）（1+tan44°）= ．24.若，，，则=．25.已知α为第三象限的角，，则=．26.已知＜α＜，cos（+α）=﹣，则sinα= ．27.在△ABC中，已知tanA，tanB是方程3x2﹣7x+2=0的两个实根，则tanC= ．三、解答题28.已知，（1）求sinα的值；（2）求β的值．29.已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求β．二倍角公式试卷答案1.B2.A解答：解：由已知得：==sinα+cosα=，∴（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=1+sin2α=，∴sin2α=﹣，又sinα+cosα=sin（α+），∴sin（α+）=，cos（α﹣）=cos（﹣α）=sin（x+）=，∴sin2α+cos（α﹣）=﹣．3.C解答：解：∵cos（+α）=，0＜α＜，∴＜+α＜，∴sin（+α）==，∵cos（﹣β）=，﹣＜β＜0，∴＜﹣β＜，∴sin（﹣β）==，∵α+β=（+α）﹣（﹣β），∴cos（α+β）=cos[（+α）﹣（﹣β）]=cos（+α）cos（﹣β）+sin（+α）sin（﹣β）===．4.解答：由题意可得：tanα+tanβ=；tanαtanβ=，显然α，β﹣又tan（α+β）===1且α+β∈，故α+β=﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）5.C解答：由2α∈（0，π），及cosα=，得到cos2α=2cos2α﹣1=﹣，且sin2α==，由α+β∈（0，π），及cos（α+β）=﹣，得到sin（α+β）==，则cos（α﹣β）=cos[2α﹣（α+β）]=cos2αcos（α+β）+sin2αsin（α+β）=﹣×（﹣）+×=．6.C解答：由tan120°=tan（78°+42°）==﹣，得到tan78°+tan42°=﹣（1﹣tan78°tan42°），则tan78°+tan42°﹣tan18°•tan42°=﹣．故选：C．．7.A 8.B 解答：由得tanβ=3，又tanα=4，所以tan（α+β）===，故选：B．9.D 10.B解答：α，β为锐角，则cosα===；则cos（α+β）=﹣=﹣=﹣，cosβ=cos（α+β﹣α）=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα==．11.D 12.B 13.C 14.A 15.A 16.D 17.C 18.C解答：∵α﹑β为钝角，且sinα=，cosβ=﹣，∴cosα=﹣，sinβ=，∴cos（α+β）=cosαco sβ﹣sinαsinβ=﹣×（﹣）﹣×=，又α﹑β为钝角，∴α+β∈（π，2π），∴α+β=．故选：C．19.C解答：∵tan（α﹣β）===，∴可解得：tanα=3．故选：C．20.D 21.B解答：角A为三角形ABC的一个内角，sinA+cosA=sin（A+），如果A∈（0，]，A+∈，sin（A+）∈．A∈（，π），A+∈，sin（A+）∈（﹣1，1）．∵sinA+cosA=，∴A是钝角．三角形是钝角三角形．故选：B．22.解答：∵tan（α+）=tan[（α+β）﹣（β﹣）]，∴又∵∴．故答案为：．23.2 24.解答：∵∴∵，∴，∴===故答案为：25.解答：方法一：因为α为第三象限的角，所以2α∈（2（2k+1）π，π+2（2k+1）π）（k∈Z），又＜0，所以，于是有，，所以=．方法二：α为第三象限的角，，⇒4kπ+2π＜2α＜4kπ+3π⇒2α在二象限，26.解答：∵＜α＜，∴＜α+＜π，又cos（+α）=﹣，∴sin（+α）==，∴sinα=sin[（α+）﹣]=sin（+α）cos﹣cos（+α）sin=×﹣（﹣）×=．故答案为：．27.-7解答：∵tanA，tanB是方程3x2﹣7x+2=0的两个根，则tanA+tanB=，tanAtanB=，∴tanC=tan=﹣tan（A+B）=﹣=﹣728.解答：（1）∵，∴tanα==．∵tanα=，sin2α+cos2α=1，∴sin α=，cos α=．（2）∵，，∴sin（α﹣β）=﹣，∴tan（α﹣β）==﹣7==，∴tanβ=﹣1，∴β=．29.解答：（Ⅰ）由，得∴，于是（Ⅱ）由0＜β＜α＜，得，又∵，∴由β=α﹣（α﹣β）得：cosβ=cos=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）=所以．。

二倍角的正弦余弦正切公式习题及答案

二倍角的正弦、余弦、正切公式[基础自测]1．思考辨析(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( ) (2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．( ) (3)对于任意的角α，cos 2α＝2cos α都不成立．( )[解析] (1)×.二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角的正切公式，要求α≠π2＋k π(k ∈Z )且α≠±π4＋k π(k ∈Z )，故此说法错误．(2)√.当α＝k π(k ∈Z )时，sin 2α＝2sin α. (3)×.当cos α＝1－32时，cos 2α＝2cos α. [答案] (1)× (2)√ (3)× 2．sin 15°cos 15°＝________.14 [sin 15°cos 15°＝12×2sin 15°cos 15°＝12sin 30°＝14.] 3．12－cos 2π8＝________. －24 [12－cos 2π8＝12－1＋cos π42＝12－12－12×22＝－24.]4．若tan θ＝2则tan 2θ＝________. －43 [tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×21－22＝－43.] [合作探究·攻重难]给角求值(1)cos π7cos 3π7cos 5π7的值为( ) A ．14 B ．－14 C ．18D ．－18(2)求下列各式的值：①cos 415°－sin 415°；②1－2sin 275°；③1－tan 275°tan 75°；④1sin 10°－3cos 10°.(1)D [(1)∵cos 3π7＝－cos 4π7，cos 5π7＝－cos 2π7，∴cos π7cos 3π7cos 5π7＝cos π7cos 2π7cos 4π7＝8sin π7cos π7cos 2π7cos 4π78sin π7＝4sin 2π7cos 2π7cos 4π78sin π7＝2sin 4π7cos 4π78sin π7＝sin 8π78sin π7＝－18. (2)①cos 415°－sin 415°＝(cos 215°－sin 215°)(cos 215°＋sin 215°)＝cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32.②1－2sin 275°＝1－(1－cos 150°)＝cos 150°＝－cos 30°＝－32. ③1－tan 275°tan 75°＝2×1－tan 275°2tan 75° ＝2×1tan 150°＝－2 3.④1sin 10°－3cos 10°＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10° ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°＝4(sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°)2sin 10°cos 10°＝4sin 20°sin 20°＝4.][规律方法] 对于给角求值问题，一般有两类：(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.[跟踪训练] 1．求下列各式的值 (1)cos 72°cos 36°； (2)1sin 50°＋3cos 50°.[解] (1)cos 36°cos 72°＝2sin 36°cos 36°cos 72°2sin 36°＝2sin 72°cos 72°4sin 36°＝sin 144°4sin 36°＝14.(2)原式＝cos 50°＋3sin 50°sin 50°cos 50°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 50°＋32sin 50°12×2sin 50°cos 50°＝2sin 80°12sin 100°＝2sin 80°12sin 80°＝4.给值求值、求角问题(1)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，π2≤α＜3π2，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值；(2)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且sin 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4，求α.[思路探究] 依据以下角的关系设计解题思路求解：(1)α＋π4与2α＋π2，α－π4与2α－π2具有2倍关系，用二倍角公式联系； (2)2α＋π2与2α差π2，用诱导公式联系． [解] (1)∵π2≤α＜3π2，∴3π4≤α＋π4＜7π4. ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＞0，∴3π2＜α＋π4＜7π4， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45，∴cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×35＝－2425，sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝725， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22cos 2α－22sin 2α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425－22×725＝－31250.(2)∵sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－1＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α，∴原式可化为1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，解得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1或cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－12.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4，故α＋π4＝0或α＋π4＝2π3，即α＝－π4或α＝5π12.母题探究：1.在例2(1)的条件下，求sin 4α的值．[解] 由例2(1)解析知sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝2×725×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425＝－336625.2．将例2(1)的条件改为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，0＜x ＜π4，求cos 2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 的值．[解] ∵0＜x ＜π4，∴π4－x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4.又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1213.又cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝2×513×1213＝120169， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，∴原式＝120169513＝2413.[规律方法] 解决条件求值问题的方法(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系.(2)当遇到\f(π,4)±x 这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通.cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x .类似的变换还有：cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －1，sin 2x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 等.化简证明问题[探究问题]1．解答化简证明问题时，如果遇到既有“切”，又有“弦”的情况，通常要如何处理？提示：通常要切化弦后再进行变形．2．证明三角恒等式时，通常的证明方向是什么？提示：由复杂一侧向简单一侧推导．(1)化简：1tan θ＋1＋1tan θ－1＝________.(2)证明：3tan 12°－3sin 12°(4cos212°－2)＝－4 3.[思路探究](1)通分变形．(2)切化弦通分，构造二倍角的余弦→二倍角的正弦→约分求值(1)－tan 2θ[(1)原式＝tan θ－1＋tan θ＋1(tan θ＋1)(tan θ－1)＝2tan θtan2θ－1＝－2tan θ1－tan2θ＝－tan2θ.(2)左边＝3sin 12°－3cos 12°cos 12°2sin 12°(2cos212°－1)＝23⎝⎛⎭⎪⎫12sin 12°－32cos 12°2sin 12°cos 12°cos 24°＝23sin(12°－60°)sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48°＝－43＝右边，所以原等式成立．][规律方法]证明三角恒等式的原则与步骤(1)观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.(2)证明恒等式的一般步骤：①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.[当堂达标·固双基]1．下列各式中，值为32的是( ) A ．2sin 15°cos 15° B ．cos 215°－sin 215° C ．2sin 215°D ．sin 215°＋cos 215°B [2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝12；cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32；2sin 215°＝1－cos 30°＝1－32；sin 215°＋cos 215°＝1，故选B.]2．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4B [易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝32(2cos 2x －1)＋32＋1＝32cos 2x＋52，则f (x )的最小正周期为π，当x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4.]3．若sin α＝3cos α，则sin 2αcos 2α＝________. 6 [sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2sin αcos α＝6cos αcos α＝6.]4．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是________.3 [∵sin 2α＝－sin α， ∴2sin αcos α＝－sin α. 由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π知sin α≠0，∴cos α＝－12，∴α＝2π3， ∴tan 2α＝tan 4π3＝tan π3＝ 3.] 5．已知π2＜α＜π，cos α＝－45. (1)求tan α的值；(2)求sin 2α＋cos 2α的值．[解](1)因为cos α＝－45，π2＜α＜π，所以sin α＝3 5，所以tan α＝sin αcos α＝－34.(2)因为sin 2α＝2sin αcos α＝－24 25，cos 2α＝2cos2α－1＝7 25，所以sin 2α＋cos 2α＝－2425＋725＝－1725.。

二倍角公式练习题--有答案

精品文档二倍角正弦、余弦与正切公式练习题一选择题3*41.已知sin ,cos 则〉终边所在的象限是（） 2 52 5A 第一象限B第二象限 C 第三象限 D第四象限2.已知 sin xtanx ：0则,1 cos2x =( )A 、2COSX Bf?2cosx C■, 2 sin xD2 sin x1 …sin2：£ 亠3.右 tan -Z则二（) 24cos2： -4sin2：A 1o155ABCD-1414224. log 2 sin15 0log 2cos15 的值是()A 1B -1C 2D -2pZ -TT_____________________ _______________________________5.若〔三(—-,)化简1 sin 21 -sin 2二的结果是()4 2A2sin rB2cosr C-2si nrD-2cos )- n36. 已知sin（： -x) ,sin 2x 的值为（)A 714 16 19BCD25252525 -二填空题7. tan22.50 -1 _n —1tan 22.H + 0=tan2 25ta n22.508.已知 sin x =_1贝U sin 2(x —巴)=249. 计算 sin6°sin42°sin66°sin 78° = _____________________ 10. 已知 f(cos ；) =3cosx 2 则三解答题CL CL(1 sin 二"cos ： )(sincos —)11. 化简 --------------2 2〈2 +2cosaf (sin§)二（二：:：：：::2 二）00hoII*3n H «口再x m(0-2)应sin(2— X)J2 x• 、2cos ——S 5x '-M 2孚血7585'(：十)cos2xcos千口再 32=2 0+22=20"严32= 2Q —2sin 20“0皿0-0骥池溢>〉泪肖0选择题DBDDCA填空题题-2; 2、2 解答题 11.解二：:：:-:::2 二, 2 CL<~ 2 参考答案10题4 一3\2 2原式= acos 0 2… … 2 a …… (1 2sin cos 2cos 1)(s in cos — ) 2 2 2 2 2CL CL 2(1 - 2cos 2 £ -1)a … aa aa2cos (sincos —)(s incos —)a a a a a2cos —(s in cos —)(s in cos —)2 2 2 2 2_a -2cos —2a= (cos? sin 列2« .= cos sin2二 COS :aCL CLCOS3 - sin 3)12.解；0：：：x jr < — 4 JI Tt0 x — 4 4 即 cosx sin 12. 2x 二13 cos 2 x -sin 2 x原式 = — 72 (cosx—sinx) 2 =2(cos x sin x)24 13 2ta nx13.解 tan2x — 1 -ta n 2x= -2^2 ■■- 2 tan 2 x - tan x - . 2 = 0解得 tanx-2 或 tanx-t21 -ta nx=1 ta n x 2=32.21 一 ‘2214.证明：由 3s in 2 : =1-2s in 2：得 3s in 2: = cos2 ：……① 由 3sin 2 = 2sin 2 -得 3sin cos ：•二 sin 2 一： ②：都是锐角3兀即 cos （二亠 2F ） =0 又；0 ：： : 2卩2所以：£亠21-'=—2J； — ::: x :::■:2tan x 0tanx =_ cosx -sin xsin x cosxcosx = 0分子分母同时除以 cosx 得①十②得sin ： cos2 : cos _：＞ sin2cos ： cos 2 - - sin ： sin 2 ： = 0精品文档欢迎您的下载，资料仅供参考!致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。

高中数学二倍角的三角函数总结练习含答案解析X

5.2 二倍角的三角函数1.二倍角的三角函数公式(1)sin 2α=①.(2)cos 2α=②=③=④.(3)tan 2α=⑤(其中α、2α≠kπ+π2,k∈Z).2.二倍角的三角函数公式的推导和角公式中以⑥代替其中的⑦就可以得到二倍角公式.3.二倍角的余弦公式的变形公式(1)降幂公式:sin2α=⑧,cos2α=⑨.(2)升幂公式:1+cos 2α=⑩,1-cos 2α=.一、选择题1.已知θ是第三象限角,若sin4θ+cos4θ=59,那么sin 2θ等于( )A.2√23 B.-2√23C.23D.-232.已知tan x=2,则tan[2(x-π4)]等于( )A.43 B.-43C.34D.-343.tan 67°30'-tan 22°30'的值为( )A.1B.√2C.2D.44.√1-sin24°等于( )A.√2cos 12°B.2cos 12°C.cos 12°-sin 12°D.sin 12°-cos 12° 5.设-3π<α<-5π2,化简√1-cos (α-π)2的结果是( )A.sin α2 B .cos α2 C .-cos α2 D.-sin α2 6.函数y=12sin 2x+sin 2x,x∈R 的值域是( ) A.-12,32 B.-32,12 C.-√22+12,√22+12 D.-√22-12,√22-12 二、填空题7.cos 20°·cos 40°·cos 80°= . 8.已知sin θ2+cos θ2=2√33,那么sin θ= ,cos 2θ= .9.已知4cos Acos B=√6,4sin Asin B=√2,则(1-cos 4A)(1-cos 4B)= . 10.已知方程x 2-tan α+1tanαx+1=0的一个根是2+√3,则sin 2α= . 三、解答题 11.化简:2cos 4x -2cos 2x+122tan(π4-x)sin (π4+x).12.求(tan 10°-√3)sin 40°的值.13.在一块半径为R 的半圆形的铁板中截取一个内接矩形ABCD,使其一边CD 落在圆的直径上,问应该怎样截取才可以使矩形ABCD 的面积最大,并求出这个矩形的面积.知识清单①2sin αcos α ②cos 2α-sin 2α ③2cos 2α-1 ④1-2sin 2α ⑤2tanα1-tan 2α ⑥α ⑦β ⑧1-cos2α2⑨1+cos2α2⑩2cos 2α 2sin 2α基础过关一、选择题1.A ∵sin 4θ+cos 4θ=(sin 2θ+cos 2θ)2-2sin 2θcos 2θ=1-12sin 22θ, ∴1-12sin 22θ=59,∴sin 22θ=89.∵π+2kπ<θ<3π2+2kπ,k∈Z,∴2π+4kπ<2θ<3π+4kπ,k∈Z,∴sin 2θ>0, ∴sin 2θ=2√23. 2.C tan [2(x -π4)]=tan 2x-π2=sin(2x -π2)cos(2x -π2)=-cos2xsin2x =-1tan2x=-1-tan 2x 2tanx,当tan x=2时,原式=4-12×2=34.3.C 原式=sin67°30'cos67°30'-sin22°30'cos22°30' =sin67°30'cos67°30'-cos67°30'sin67°30'=sin 267°30'-cos 267°30'sin67°30'·cos67°30' =-cos135°12sin135°=√2212×√22=2.4.C 212°-2sin12°cos12°+cos 212°=√(sin12°-cos12°)2=|sin 12°-cos 12°|=cos 12°-sin 12°. 5.C ∵-3π<α<-5π2,∴-3π2<α2<-5π4, ∴cos α2<0, ∴√1-cos (α-π)2=√1+cosα2=√1+2cos 2α2-12=√cos 2α2=cos α2=-cos α2.6.C y=12sin 2x+1-cos2x 2=√22√22sin 2x-√22cos 2x +12=√22sin 2x-π4+12.∵x∈R,∴2x -π4∈R,sin 2x-π4∈[-1,1],∴函数的值域是-√22+12,√22+12. 二、填空题7.答案 18解析 cos 20°·cos 40°·cos 80° =sin20°·cos20°·cos40°·cos80°sin20°=12sin40°·cos40°·cos80°sin20°=14sin80°cos80°sin20°=18sin160°sin20°=18.8.答案 13;79 解析 ∵sin θ2+cos θ2=2√33,∴sin θ2+cos θ22=43,即1+2sin θ2cos θ2=43, ∴sin θ=13,∴cos 2θ=1-2sin 2θ=1-2×132=79.9.答案 3解析 (1-cos 4A)(1-cos 4B)=2sin 22A·2sin 22B=4(sin 2Asin 2B)2.由已知可知4cos Acos B·4sin Asin B=√12,∴sin 2Asin 2B=√32,∴(1-cos 4A)(1-cos 4B)=4×√322=3.10.答案 12解析设已知方程的另一个根为x 1,则x 1·(2+√3)=1,∴x 1=2-√3, ∴tan α+1tanα=4, ∴tan 2α+1tanα=4.∵tan 2α+1tanα=sin 2α+cos 2αsinα·cosα=2sin2α=4,∴sin 2α=12. 三、解答题 11.解析原式=2cos 2x (cos 2x -1)+122tan(π4-x)sin 2(π4+x)=12-12sin 22x 2sin (π4+x)tan(π4-x)=12cos 22xcos(π4-x)2sin 2(x+π4)sin(π4-x)=12sin 2(π2+2x)sin(π4+x)2sin (x+π4)cos(π4+x)=12sin 2(π2+2x)2sin(x+π4)cos(x+π4)=12sinπ2+2x=12cos 2x.12.解析 (tan 10°-√3)sin 40° =sin10°-√3cos10°cos10°·sin 40°=2(sin10°cos60°-cos10°sin60°)cos10°·sin 40°=-2sin50°cos10°·sin 40°=-2cos40°sin40°cos10°=-sin80°cos10°=-cos10°cos10°=-1.13.解析如图,设∠AOD=θ,则OD=OAcos θ=Rcos θ,AD=OAsin θ=Rsin θ,S 矩形ABCD =CD·AD=2OD·AD=2Rcos θ·Rsin θ=R 2sin 2θ. 而R 2sin 2θ≤R 2,其中等号成立的条件是sin 2θ=1,即2θ=90°,于是θ=45°.此时这个矩形的邻边长比为2∶1,C、D 距O 的距离分别为√22R 时,矩形的面积最大,且(S 矩形ABCD )max =R 2.。

高中数学三角函数二倍角公式方法总结-含答案

高中数学三角函数二倍角公式方法总结一、单选题（本大题共21小题，共105.0分） 1. 若sin(π−α)=35，则cos 2α=( )A. −2425B. −725C. 725D. 2425【答案】C 【解析】【分析】本题考查余弦的倍角公式和诱导公式，是基础题．先由诱导公式得sin α=35，再由余弦的倍角公式cos2α=1−2sin 2α代入即可．【解答】解：由sin (π−α)=35，得sin α=35， ∴cos2α=1−2sin 2α=1−2×925=725．故选C ．2. 已知sin α=25，则cos(π+2α)= ( )A. 725B. −725C. 1725D. −1725【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式的应用，根据诱导公式得到cosα=35，再利用二倍角公式求解，属于基础题．【解答】解：选D .法一：因为sin α=25，所以cos 2α=1−2sin 2α=1−825=1725，所以cos(π+2α)=−cos 2α=−1725，故选D3. 已知cosα−sinα=15，则cos (2α−π2)=( )．A. −2425B. −45C. 2425D. 45【答案】C 【解析】【分析】本题考查三角函数给值求值问题，考查诱导公式以及二倍角公式，属于基础题．将cosα−sinα=15两边平方，可得2sinαcosα=2425，再利用诱导公式即可求解．【解答】解：∵cosα−sinα=15，两边同时平方得：sin 2α+cos 2α−2sinαcosα=125， ∴2sinαcosα=2425，故cos(2α−π2)=cos(π2−2α)=sin2α=2sinαcosα=2425．故选C ．4. 已知cos (π2−α)=15，则cos2α=( )A. 725B. −725C. 2325D. −2325【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查了本题考查三角函数的化简求值，属于基础题．由已知根据三角函数的诱导公式，求得sinα=15，再由余弦二倍角，即可求解．【解答】解：由cos(π2−α)=15，得sinα=15，所以．故选：C ．5. 已知cos (π+α)=−13，则sin (π2+2α)=( )A. 19B. −19C. 79D. −79【答案】D【解析】【分析】本题考查了诱导公式和二倍角公式，属于基础题．由cos (π+α)=−cosα=−13，可得cosα，又sin (π2+2α)=cos2α，由二倍角公式可得答案．【解答】解：由cos (π+α)=−cosα=−13，可得cosα=13，由sin (π2+2α)=cos2α=2cos2α−1=−79，故选D6.已知sin (π6+α)=13，则cos (2π3−2α)=()A. 15B. 23C. −79D. 59【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了三角函数的诱导公式和余弦的二倍角公式，属于基础题．利用三角函数的诱导公式化简得cos (2π3−2α)=−cos [2(π6+α)]，再利用余弦的二倍角公式，即可求解．【解答】解：由题意，可得cos (2π3−2α)=−cos [π−(2π3−2α)]=−cos (π3+2α)=−cos [2(π6+α)]=2sin2(π6+α)−1=2×(13)2−1=−79，故选C．7.已知sin(π6−α)=√33，则cos(2α+2π3)=()A. 23B. 13C. −23D. −13【答案】D 【解析】【分析】本题考查二倍角公式和诱导公式，属基础题．由诱导公式可得cos(π3+α)=sin(π6−α)=√33，再由二倍角公式可得cos(2π3+2α)=2cos 2(π3+α)−1，代值计算可得．【解答】解：∵sin(π6−α)=√33，∴cos(π3+α)=cos[π2−(π6−α)]=sin(π6−α)=√33， ∴cos(2π3+2α)=2cos 2(π3+α)−1=2×(√33)2−1=−13．故选：D ．8. 已知sin(α+π3)=12，则A. −1B. 0C. 12D. 1【答案】B 【解析】【分析】本题考查利用诱导公式，二倍角公式求值，属于基础题．由诱导公式，二倍角公式得cos(2α+2π3)=1−2sin 2(α+π3)，利用诱导公式可得sin(2π3−α)=sin(α+π3)，即可解决．【解答】解：已知sin(α+π3)=12，则cos(2α+2π3)=cos2(α+π3)=1−2sin 2(α+π3)=1−12=12，sin(2π3−α)=sin[π−(α+π3)]=sin(α+π3)=12，故sin(2π3−α)−cos(2π3+2α)=12−12=0，故选：B ．9.已知sin(π3−α)=−34，则cos(2021π3−2α)=()A. 18B. −18C. 3√78D. −3√78【答案】A【解析】【分析】本题主要考查二倍角的余弦公式和诱导公式，属于较易题．先由诱导公式化简，再利用二倍角公式即可求出结果．【解答】解：因为sin (π3−α)=−34，所以cos (2021π3−2α)=cos[673π+(2π3−2α)]=18．故选A．10.已知sin(π5−α)=14，则cos(2α+3π5)=()A. −78B. 78C. 18D. −18【答案】A【解析】【分析】本题考查诱导公式和二倍角公式，结合诱导公式和二倍角公式求解即可．【解答】解：因为cos(2α+3π5)=cos[2(α+3π10)]=cos[2(π2−(π5−α))]=2cos2[π2−(π5−α)]−1=2sin2(π5−α)−1，又因为sin(π5−α)=14，所以cos(2α+3π5)=2×(14)2−1=−78，故选A．11.已知sin(π3−α)=−25，则cos(2015π3−2α)=()A. −1725B. −78C. 1725D. 78【答案】A【解析】【分析】本题考查了诱导公式及二倍角公式的应用，运用诱导公式化简cos(2015π3−2α)，再由二倍角公式即可求得，难度一般．【解答】解：cos(2015π3−2α)=cos(671π+2π3−2α)=cos(π+2π3−2α)=−cos(2π3−2α)=2sin2(π3−α)−1=2×(−25)2−1=−1725．故选A．12.已知sin(π6−α)=23，则cos(2π3+2α)=()A. √53B. 19C. −√53D. −19【答案】D【解析】【分析】本题考查诱导公式以及二倍角公式的应用，属于基础题．运用诱导公式以及二倍角公式化简求值，即可得到答案．【解答】解：因为sin(π6−α)=23，则．故选D．13.已知cos(α−π2)=35，则sin2α−cos2α的值为()A. 725B. −625C. 925D. −725【答案】D【解析】cos(α−π2)=cos(π2−α)=sinα=35，sin 2α−cos 2α=−cos2α=2sin 2α−1=2×(35)2−1=−725.14. 已知sin (π6−α)=13，则cos (2π3+2α)的值是( )A. 79B. 13C. −13D. −79【答案】D 【解析】【分析】本题考查了诱导公式以及余弦的二倍角公式，属于中档题．本题关键为已知角与未知角之间的转化．【解答】解：∵sin(π6−α)=13，∴cos(π3−2α)=cos[2(π6−α)]=1−2sin2(π6−α)=79， ∴cos(2π3+2α)=cos[π−(π3−2α)]=−cos(π3−2α)=−79．故选D ．15. sin(π6−α)=13，则cos(2α−π3)的值是( )A. 79B. −79C. −13D. 13【答案】A 【解析】【分析】本题主要考查了诱导公式与二倍角的余弦公式求值，是基础题．设，则，利用诱导公式及二倍角公式即可求出．【解答】解：设θ=π6−α，则α=π6−θ，且sinθ=13，则cos(2α−π3)=cos[2(π6−θ)−π3]=cos(−2θ)=cos2θ=1−2sin2θ=1−2×19=79，故选A．16.已知sin(π3−α)=√33，则cos(π3+2α)的值为()A. 23B. 13C. −13． D. −23【答案】C【解析】解：∵sin(π3−α)=√33，∴sin[π2−(π6+α)]=cos(π6+α)=√33，∴cos(π3+2α)=2cos2(π6+α)−1=2×(√33)2−1=−13．故选：C．先由诱导公式可得cos(π6+α)=√33，再由余弦的二倍角公式，得解．本题考查二倍角公式和诱导公式的应用，属于基础题．17.已知cos(π6−α)=23，则cos(2α+2π3)的值为()A. 59B. 19C. −19D. −59【答案】B【解析】【分析】本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．先求得sin(α+π3)=23，再由二倍角公式求解即可．【解析】解：∵cos(π6−α)=23=sin(α+π3)，∴cos (2α+2π3)=cos2(α+π3)=1−2sin2(α+π3)=19．故选B．18.若α∈(0,π2)，且sin2α+cos2α=14，则sin2α=()A. −√32B. −√34C. √34D. √32【分析】本题主要考查了三角函数的求值问题，先利用倍角公式求出sinα，从而求出α，进而即可得到结果．【解答】解：∵sin 2α+cos2α=sin 2α+1−2sin 2α=1−sin 2α=14， ∴sin 2α=34，又α∈(0,π2)， ∴sinα=√32，则α=π3， ∴sinα=sin 2π3=sin (π−π3)=sin π3=√32．故选D ．19. 已知α满足cos2α=79，则cos (π4+a)cos (π4−a)=( )．A. 718B. 2518C. −718D. −2518【答案】A 【解析】【分析】本题主要考查三角函数的诱导公式和二倍角公式，属于基础题．根据诱导公式可得cos (π4+α)cos (π4−α)=cos (π4+α)sin (π4+α)，再根据二倍角公式即可得出答案．【解答】解：∵cos2α=79，∴cos (π4+α)cos (π4−α)=cos (π4+α)sin (π4+α)=12sin (π2+2α)=12cos2α=718．故选A ．20. 设cos(α+π10)=15，则sin(2α−3π10)=( )A. −35B. 35C. −2325D. 2325【答案】D本题考查了诱导公式，二倍角公式及其应用，属于基础题．设β=α+π10，则α=β−π10，可得2α−3π10=2β−π2，再利用诱导公式及二倍角公式可得答案．【解答】解：设β=α+π10，则α=β−π10，所以2α−3π10=2β−π2，因为cos(α+π10)=15，所以cosβ=15，则sin(2α−3π10)=sin(2β−π2)=−cos2β=1−2cos 2β=1−2×125=2325．故选D ．21. 已知cos(π6−α)=√33，则sin(5π6−2α)的值为( ) A. −13B. 13C. 23D. −23【答案】B 【解析】【分析】本题考查了诱导公式和二倍角公式，由二倍角公式得cos(π3−2α)=cos2(π6−α)=2cos 2(π6−α)−1=−13，再由诱导公式即可得出结果．【解答】解：∵cos(π6−α)=√33，∴cos(π3−2α)=cos2(π6−α)=2cos 2(π6−α)−1=−13， ∴sin(5π6−2α)=sin[π2+(π3−2α)]=cos(π3−2α)=−13，故选B ．。