狄利克雷
17. 狄利克雷问题
.
§7.2 狄利克雷问题
例1 求上半平面的调和函数，使其在实轴的一段 实轴其他各点取 .
【解】由上半平面的泊松公式有
上取 ， 而在
.
在 内为调和函数. 令
| | || ||
| | || ̅
̅ ̅
̅
̅
，且
̅ ̅
，
，有
||
||
为 内的调和函数.
§7.2 狄利克雷问题
7.2.2 上半平面上的狄利克雷问题
设
除有限个第一类间断点
外连续， 且
存在且有限. 求上半平面上的有界调和函数
→
上任何非
的点 ， 有
.
→,
，使得对于实轴
将上半平面
复变函数 Complex Functions
朱健民教授主讲
第七章 调和函数
§7.1 调和函数及其性质 §7.2 狄利克雷问题
§7.2 狄利克雷问题
7.2.1 圆盘上的狄利克雷问题
狄利克雷问题： 求一个在区域 内调和、并且在 及其边界 所组成
的闭区域 上连续的函数
的值
.
， 使它在 的边界上取已经给定的连续函数
广义狄利克雷问题： 给定区域 的边界 上的函数 ，它除了在有
限个点
处有第一类间断点外处处连续，求在区域 内的有界调
和函数 ， 使得对于 在 上的所有连续点 处， 有
.
→,∈
对区域
及边界
求解相应的狄利克雷问题.
泊松公式 则对于
§7.2 狄利克雷问题
若 是闭圆盘，有来自上的调和函数， .特别有
或
.
由于 在 上除有限个第一类间断点
其中
.
外均连续，定义 ，
约翰 彼得 古斯塔夫 勒热纳 狄利克雷
约翰 彼得 古斯塔夫 勒热纳 狄利 克雷
德国数学家、柏林科学院院士
01 人物事件
03 人物著作 05 家庭情况
目录
02 科学研究 04 狄利克雷定理
约翰·彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷 (Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet), 1805年2月13 日—1859年5月5日，德国数学家，科隆大学荣誉博士，历任柏林大学和哥廷根大学教授，柏林科学院院士。他是 解析数论的创始人，对函数论、位势论和三角级数论都有重要贡献。主要著作有《数论讲义》《定积分》等。
1822年5月，狄利克雷到达巴黎，选定在法兰西学院和巴黎理学院攻读；其间因患轻度天花影响了听课，幸 好时间不长。1823年夏，他被选中担任M．法伊(Fay)将军的孩子们的家庭教师。法伊是拿破仑时代的英雄，时任 国民议会反对派的领袖。
科学面，他对高斯的《算术研究》进行了研究，并有所创新。对费马大定理，他给出当n=14时，无整数 解的证明；还探讨了二次型、多项式的因子、二次和双二次互反律等问题；还开创了解析数论的研究。
狄利克雷很注重同德、法等外国数学家的交流。其主要论文收集在《狄利克雷论文集》里，共2卷，分别出版 于1889年和1897年。
狄利克雷定理
1.简介 在数论中，狄利克雷定理说明对于任意互质的两个数a,d，有无限多个质数的形式如a+nd，其中n为正整数， 即在算术级数a+d,a+2d,a+3d……中有无限多个质数——有无限个质数模d同余a。狄利克雷函数无法画出图像 2.相关定理 欧几里得证明了有无限个质数，即有无限多个质数的形式如2n+1。 算术级数的质数定理：若a,d互质，则有 其中φ是欧拉函数。取d=2，可得一般的质数定理。 Linnik定理说明了级数中最小的质数的范围：算术级数a+nd中最小的质数少于cd^L，其中L和c均为常数，但 这两个常数的最小值尚未找到。 Chebotarev密度定理是在狄利克雷定理在伽罗瓦扩张的推广。 分析学中，狄利克雷（Dirichlet）判别法是分析学中一条十分重要的判定法则，主要用于判定任意项数项 级数的收敛、函数项级数的一致收敛、反常积分的收敛以及含参变量反常积分的一致收敛等。
狄利克雷定理证明
狄利克雷定理是复变函数论中的一个重要定理，它描述了复平面上的一个区域内所有解析函数的等价性。
这个定理的证明涉及到复分析和拓扑学的一些基本原理和方法。
首先，我们需要了解狄利克雷定理的基本内容。
它指出，在复平面的某个区域内，如果一个函数在其定义域内解析，那么它可以通过一个无穷级数来表示，该级数的项数只取决于区域的直径，而不取决于函数的振幅。
换句话说，对于一个给定的区域，总可以找到一个唯一的无穷级数来表示所有在该区域内解析的函数。
接下来，我们可以通过以下步骤来证明狄利克雷定理：
1. 定义函数空间：首先，我们需要定义一个函数空间，其中包含所有在区域内解析的函数。
这个空间可以通过定义函数的某种性质（例如，函数的连续性、可微性等）来构造。
2. 构造收敛级数：对于任何一个在给定区域内解析的函数，我们可以找到一个无穷级数，它收敛到该函数。
这个级数的项数只取决于区域的直径，而不取决于函数的振幅。
具体来说，我们可以通过选择一个足够小的邻域，使得在该邻域内解析的所有函数都可以用该级数表示。
3. 唯一性证明：为了证明该级数是唯一的，我们需要证明任何两个收敛到同一函数的无穷级数必须是相等的。
这可以通过比较两个级数的项数和系数来实现。
4. 拓扑学应用：最后，我们可以将该定理与拓扑学结合起来，证明任何两个收敛到同一函数的无穷级数必须是相等的。
这是因为任何两个收敛到同一函数的无穷级数都必须在某个点上相等，而这个点可以通过将两个级数进行比较来找到。
综上所述，通过定义函数空间、构造收敛级数、证明唯一性和应用拓扑学原理，我们可以证明狄利克雷定理。
这个定理在复变函数论中具有重要的意义和价值。
数学物理方程第四章 狄利克雷问题
（20141029）第四章 狄利克雷问题一、定义狄利克雷问题（Dirichlet problem ）就是在给定边界条件的区域D 内求解拉普拉斯方程的问题，即20, ()()()u u x f x x D ∇==∈∂当区域D 是一个长为L ，宽为l 的矩形时，即(){},:0, 0D x y x l y L =≤≤≤≤此时狄利克雷问题就变成了求解带有若干边界条件的二阶偏微分方程，即0xx yy u u +=1212(,0)(), (,)(), (0,)(), (,)()u x f x u x L f x u y g y u l y g y ====根据叠加原理，分别求解当120g g ==和120f f ==时方程的解，其解的加和即为原方程的解。
同时120g g ==与120f f ==这两种情形是等价的，因此只需要求解其中一个问题，并改变相应的变量就可以得到另一个解。
因此我们这里求解120g g ==的情形，即0xx yy u u +=12(,0)(), (,)(), (0,)(,)0u x f x u x L f x u y u l y ====根据变量分离法，首先假设函数(,)u x y 可以写作(,)()()u x y X x Y y =代入微分方程可得()''()"()()X x Y t X x Y y =-移项整理得2''()''()0()()X x Y y v X x Y y =-≡-< （可以证明，当上式中的比例常数为非负数时，方程只有0解，与题设不符） 于是有2"()()X x v X x =-2"()()Y y v Y y =对于方程2"()()0X x v X x +=，其对应的特征根方程有两个共轭的复根vi ±，因此其通解为012()(cos sin )X x e C vx C vx =+将边界条件(0,)(,)0u y u l y ==代入微分方程可得 (0)()0X X l ==所以10, sin 0C vl ==进而有, n vl n v lππ==所以 2()sin n X x C x lπ= 当21C =时，就得到了特征值22(/)v n l π=对应的特征函数，即()sin n X x x l π=。
数学家：狄利克雷
• 狄利克雷函数D(x)=1(x为有理数)；0(x为无理数) • 其在任意有穷区间的定积分为零。 • 因为原函数不为零的区间由可数多个点购成，为零测集。 • 故原函数积分为： • ∫[a,b]D(x)dx=0+∫[x∈Q且x∈[a,b]]D(x)dx=1*0=0
6/20/2020
狄利克雷分布
19世纪伟大的数学家：
狄利克雷（P.G.L.Dirichlet，1805－1859）
Байду номын сангаас
狄里克雷（1805～1859） Dirichlet， Peter Gustav Lejeune
• 德国数学家。对数论、数学分 析和数学物理有突出贡献，是 解析数论的创始人之一。1805 年2月13日生于迪伦，1859年5 月5日卒于格丁根。中学时曾受 教于物理学家G.S.欧姆； 1822～1826年在巴黎求学，深 受J.-B.-J.傅里叶的影响 。回国 后先后在布雷斯劳大学、柏林 军事学院和柏林大学任教27年， 对德国数学发展产生巨大影响。 1839年任柏林大学教授，1855 年接任C.F.高斯在哥廷根大学的 教授职位。
生平事迹
生平事迹
• 狄利克雷生于迪伦，其父为邮 局局长。16岁通过中学毕业考
试后，父母希望他攻读法律， 但狄利克雷已选定数学为其终 身职业。1825年，狄利克雷向
法国科学院提交他的第一篇数 学论文，题为“某些五次不定 方程的不可解”，他利用代数 数论方法证明了费马大定理在 n=5的情况；后来亦证明了 n=14的情况。
• 1831年，狄利克 雷成为柏林科学 院院士。1855年 接任C.F.高斯在格 丁学的教授职位。 1859年春与世长 辞。
狄利克雷的一些素描照片
这就是狄利克雷的函数周期性质和三维的物理空间。 狄里克雷函数是周期函数，但是却没有最小正周期，它的周
dirichlet函数的若干分析性质
dirichlet函数的若干分析性质
狄利克雷函数（dirichlet）是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。
狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。
这是一个处处不连续的可测函数。
基本性质
1、定义域为整个实数域R
2、值域为{0,1}
3、函数为偶函数
4、无法画出函数图像，但是它的函数图像客观存在
5、以任意正有理数为其周期，无最小正周期（由实数的连续统理论可知其无最小正周期）
分析性质
1、处处不连续
2、处处不可导
3、在任何区间内黎曼不可积
4、函数是可测函数
5、在单位区间[0,1]上勒贝格可积，且勒贝格积分值为0（且任意区间<a,b>以及R上甚至任何R的可测子集上（区间不论开闭和是否有限）上的勒贝格积分值为0 ）
对性质5的说明：虽然m(R/Q)=+∞，但在R/Q上有f(x)=0，符合可积条件（说明中Q为有理数集）。
函数周期：狄利克雷函数是周期函数，但是却没有最小正周期，它的周期是任意正有理数。
因为不存在最小负有理数和正有理数，所以狄利克雷函数不存在最小正周期。
狄利克雷函数的出现．表示数学家“J对数学的理解发生了深刻的变化。
数学的一些“人造”特征开始展现出来这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”狄利克雷是数学史上第一位重视概念的人。
并且是有意识地“以概念代替直觉”的人。
在狄利克雷之前，数学家们主要研究具体函数进行具体计算，他们不大考虑抽象问题。
但狄利克雷之后，事情逐渐变化了。
人们开始考虑函数的各种性质，例如(函数的)对称性、增减性、连续性等。
迪利克雷收敛定理
迪利克雷收敛定理【原创实用版】目录1.迪利克雷收敛定理的定义2.迪利克雷收敛定理的证明3.迪利克雷收敛定理的应用正文一、迪利克雷收敛定理的定义迪利克雷收敛定理，又称为狄利克雷 - 莱布尼茨收敛定理，是由德国数学家狄利克雷和莱布尼茨在 19 世纪初提出的。
该定理主要用于判断一个可积函数序列的极限是否存在，以及该极限是否等于该函数在区间上的积分。
具体来说，迪利克雷收敛定理表示：若函数 f(x) 在区间 [a, b] 上可积，且函数序列{fn}满足 fn(x) 在区间 [a, b] 上连续，且 fn(x) 趋于 f(x) 在区间 [a, b] 上几乎处处成立，那么 fn(x) 在区间 [a, b] 上的极限存在，且该极限等于 f(x) 在区间 [a, b] 上的积分。
二、迪利克雷收敛定理的证明为了证明迪利克雷收敛定理，我们需要引入一些基本概念：1.设 fn(x) 是 f(x) 的一个有界变差函数，即在区间 [a, b] 上，对任意ε>0，总存在δ>0，当|x-y|<δ时，有|fn(x)-fn(y)|<ε。
2.设 fn(x) 在区间 [a, b] 上连续，即对任意ε>0，总存在δ>0，当|x-y|<δ时，有|fn(x)-fn(y)|<ε。
根据以上两个条件，我们可以得出 fn(x) 在区间 [a, b] 上趋于f(x) 的结论。
证明过程如下：设 x_0∈[a, b]，对任意ε>0，我们取δ=min{1, |x-x_0|}，那么当|x-y|<δ时，有：|fn(x)-fn(y)|≤|fn(x)-f(x_0)|+|f(x_0)-fn(y)|<ε由于 fn(x) 在区间 [a, b] 上连续，故|f(x_0)-fn(y)|<ε，所以|fn(x)-fn(y)|<2ε。
因此，fn(x) 在区间 [a, b] 上趋于 f(x)。
根据以上证明，结合积分的定义，我们可以得出迪利克雷收敛定理的结论。
狄利克雷
狄利克雷（1805～1859）Dirichlet(2010-09-25 00:43:32)分类：工作篇标签：校园狄利克雷（1805～1859）Dirichlet，Peter Gustav Lejeune 德国数学家。
对数论、数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一。
1805年2月13日生于迪伦，1859年5月5日卒于格丁根。
中学时曾受教于物理学家G.S.欧姆；1822～1826年在巴黎求学，深受J.-B.-J.傅里叶的影响。
回国后先后在布雷斯劳大学、柏林军事学院和柏林大学任教27年，对德国数学发展产生巨大影响。
1839年任柏林大学教授，1855年接任C.F.高斯在哥廷根大学的教授职位。
在分析学方面，他是最早倡导严格化方法的数学家之一。
1837年他提出函数是x与y之间的一种对应关系的现代观点。
在数论方面，他是高斯思想的传播者和拓广者。
1863年狄利克雷撰写了《数论讲义》，对高斯划时代的著作《算术研究》作了明晰的解释并有创见，使高斯的思想得以广泛传播。
1837年，他构造了狄利克雷级数。
1838～1839年，他得到确定二次型类数的公式。
1846年，使用抽屉原理。
阐明代数数域中单位数的阿贝尔群的结构。
在数学物理方面，他对椭球体产生的引力、球在不可压缩流体中的运动、由太阳系稳定性导出的一般稳定性等课题都有重要论著。
1850年发表了有关位势理论的文章，论及著名的第一边界值问题，现称狄利克雷问题。
狄利克雷Dirichlet, Peter Gustav Lejeune（1805~1859）狄利克雷(Dirichlet, Peter Gustav Lejeune)德国数学家，1805年2月13日生于德国迪伦；1859年5月5日卒于格丁根。
狄利克雷生活的时代，德国的数学正经历着以高斯（Gauss）为前导的、由落后逐渐转为兴旺发达的时期。
狄利克雷以其出色的数学教学才能，以及在数论、分析和数学物理等领域的杰出成果，成为高斯之后与雅可比(Jacobi)齐名的德国数学界的一位核心人物。
狄利克雷条件
间断点
间断点是指：在非连续函数y=f(x)中某点处xo处有中断现象，那么，xo就称为函数的不连续点。间断点可以 分为无穷间断点和非无穷间断点，在非无穷间断点中，还分可去间断点和跳跃间断点。如果极限存在就是可去间 断点，不存在就是跳跃间断点。
几种间断点常见类型。
可去间断点：函数在该点左极限、右极限存在且相等，但不等于该点函数值或函数在该点无定义。如函数y= （x^2-1)/(x-1)在点x=1处。
跳跃间断点：函数在该点左极限、右极限存在，但不相等。如函数y=|x|/x在点x=0处。
无穷间断点：函数在该点可以无定义，且左极限、右极限至少有一个不存在，且函数在该点极限为∞。如函 数y=tanx在点x=π/2处。
振荡间断点：函数在该点可以无定义，当自变量趋于该点时，函数值在两个常数间变动无限多次。如函数 y=sin(1/x)在x=0处。
①傅里叶变换
①傅里叶变换
②傅里叶逆变换
②傅里叶逆变换
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定义
狄利克雷条件(Dirichlet Conditions) （1 ）在一周期内，连续或只有有限个第一类间断点； （2）在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个； （3）在一周期内，信号是绝对可积的 一般我们遇到的周期信号都能满足狄利克雷条件。 狄利克雷条件是一个信号存在傅里叶变换的充分不必要条件。
背景
傅里叶在提出傅里叶级数时坚持认为，任何一个周期信号都可以展开成傅里叶级数，虽然这个结论在当时引 起许多争议，但持异议者却不能给出有力的不同论据。直到20年后(1829年)狄利克雷才对这个问题作出了令人信 服的回答，狄利克雷认为，只有在满足一定条件时，周期信号才能展开成傅里叶级数。这个条件被称为狄利克雷 条件。
f(t)是t的周期函数，如果t满足狄利克雷条件：在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点， 附f（x）单调或可划分成有限个单调区间，则F（x）以2T为周期的傅里叶级数收敛，和函数S（x）也是以2T为周 期的周期函数，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式 成立。称为积分运算f(t)的傅里叶变换，②式的积分运算叫做F(ω)的傅里叶逆变换。F(ω)叫做f(t)的像函数， f(t)叫做F(ω)的像原函数。F(ω)是f(t)的像。f(t)是F(ω)原像。
dirichlet函数
dirichlet函数
Dirichlet函数一般指狄利克雷函数。
狄利克雷函数是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。
狄里克雷函数是周期函数，但是却没有最小正周期，它的周期是任意负有理数和正有理数。
因为不存在最小负有理数和正有理数，所以狄里克莱函数不存在最小正周期。
狄利克雷函数的出现。
表示数学家“J对数学的理解发生了深刻的变化。
数学的一些“人造”特征开始展现出来这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”狄利克雷是数学史上第一位重视概念的人。
并且是有意识地“以概念代替直觉”的人。
在狄利克雷之前，数学家们主要研究具体函数进行具体计算，他们不大考虑抽象问题。
但狄利克雷之后，事情逐渐变化了。
人们开始考虑函数的各种性质，例如（函数的）对称性、增减性、连续性等。
狄利克雷l函数表达式
狄利克雷函数是一种常用的数学函数，它的表达式为：$$\operatorname{dilog}(z) = \int_1^z \frac{\ln(t)}{1 - t} , dt$$狄利克雷函数有多种应用，例如在计算经典力学系统中物体轨道的形状时常用到这个函数。
狄利克雷函数在数学中还有一种叫法，叫做二次调和线积分函数。
狄利克雷函数具有复平面上的函数值，其中$z$ 为复数。
狄利克雷函数在$0<\operatorname{Re}(z)<1$ 和$\operatorname{Re}(z)>1$ 的区域内是有定义的。
对于$\operatorname{Re}(z)<0$ 的区域，狄利克雷函数的值可以通过下列公式得到：$$\operatorname{dilog}(z) = \operatorname{dilog}(1/z) + i \pi \ln(z)$$狄利克雷函数有一些重要的性质，例如：$$\operatorname{dilog}(1) = \frac{\pi^2}{6}$$$$\operatorname{dilog}(-1) = \frac{\pi^2}{4}$$$$\operatorname{dilog}(e^{i \pi}) = \frac{\pi^2}{4}$$狄利克雷函数也有一些常见的数学应用，例如：计算经典力学系统中物体轨道的形状在统计物理学中用来计算热力学系统的热力学量在数学物理学中用来计算量子场论中的Feynman 图在计算机科学中用来计算图论算法的复杂度狄利克雷函数也有一些推广，例如三角狄利克雷函数和多项式狄利克雷函数。
狄利克雷函数的多项式推广是指对狄利克雷函数做Taylor 展开，得到的多项式。
狄利克雷函数的多项式推广的表达式为：$$\operatorname{dilog}(z) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} z^n}{n^2}$$狄利克雷函数的多项式推广在某些情况下可以用来近似狄利克雷函数，但是这个多项式推广的收敛范围有限，只能在$|z|<1$ 的区域内使用。
初中数学数学名师狄利克雷
狄利克雷狄利克雷，P．G．L．(Dirichlet，Peter Gustav Lejeune)1805年2月13日生于德国迪伦；1859年5月5日卒于格丁根．数学．狄利克雷生活的时代，德国的数学正经历着以C．P．高斯(Gauss)为前导的、由落后逐渐转为兴旺发达的时期．狄利克雷以其出色的数学教学才能，以及在数论、分析和数学物理等领域的杰出成果，成为高斯之后与C．G．J．雅可比(Jacobi)齐名的德国数学界的一位核心人物．狄利克雷出身于行政官员家庭，他父亲是一名邮政局长．狄利克雷少年时即表现出对数学的浓厚兴趣，据说他在12岁前就自攒零用钱购买数学图书．1817年入波恩的一所中学，除数学外，他对近代史有特殊爱好；人们称道他是个能专心致志又品行优良的学生．两年后，他遵照父母的意愿转学到科隆的一所教会学校，在那里曾从师物理学家G．欧姆(Ohm)，学到了必要的物理学基础知识．16岁通过中学毕业考试后，父母希望他攻读法律，但狄利克雷已选定数学为其终身职业．当时的德国数学界，除高斯一人名噪欧洲外，普遍水平较低；又因高斯不喜好教学，于是狄利克雷决定到数学中心巴黎上大学，那里有一批灿如明星的数学家，诸如P．S．拉普拉斯(Laplace)、A．勒让德(Legendre)、J．傅里叶(Fourier)、S．泊松(Poisson)、S．拉克鲁瓦(Lacroix)、J．B．比奥(Biot)等等．1822年5月，狄利克雷到达巴黎，选定在法兰西学院和巴黎理学院攻读；其间因患轻度天花影响了听课，幸好时间不长．1823年夏，他被选中担任M．法伊(Fay)将军的孩子们的家庭教师．法伊是拿破仑时代的英雄，时任国民议会反对派的领袖．狄利克雷担任此职，不仅收入颇丰，而且受到视如家人的善待，还结识了许多法国知识界的名流．其中，他对数学家傅里叶尤为尊敬，受其在三角级数和数学物理方面工作的影响颇深．另一方面，狄利克雷从未放弃对高斯1801年出版的数论名著《算术研究》(Dispui-sitiones arithmeticae)的钻研．据传他即使在旅途中也总是随身携带此书，形影不离．当时还没有其他数学家能完全理解高斯的这部书，狄利克雷是第一位真正掌握其精髓的人．可以说，高斯和傅里叶是对狄利克雷学术研究影响最大的两位数学前辈．1825年，狄利克雷向法国科学院提交他的第一篇数学论文，题为“某些五次不定方程的不可解”(Mémoire sur L'impossibilite de quelques équations indéterminées du cinquieme degré)．他利用代数数论方法讨论形如x5+y5=A•z5的方程．几周后，勒让德利用该文中的方法证明了xn+yn=zn当n=5时无整数解；狄利克雷本人不久也独立证明出同一结论．(后来狄利克雷再次研究费马大定理时，证明n=14时该方程无整数解．) 1825年11月，法伊将军去世．1826年，狄利克雷在为振兴德国自然科学研究而奔走的A．洪堡(von Humboldt)的影响下，返回德国，在布雷斯劳大学获讲师资格(他在法国未攻读博士学位，而由科隆大学授予他荣誉博士头衔，这是获讲师资格的必要条件)，后升任编外教授(extraordinary professor，为介于正式教授和讲师之间的职称)．1828年，狄利克雷又经洪堡的帮助来到学术空气较浓厚的柏林，任教于柏林军事学院．同年，他又被聘为柏林大学编外教授(后升为正式教授)，开始了他在柏林长达27年的教学与研究生涯．由于他讲课清晰，思想深邃，为人谦逊，谆谆善诱，培养了一批优秀数学家，对德国在19世纪后期成为国际上又一个数学中心产生了巨大影响．1831年，狄利克雷成为柏林科学院院士．同年，他和哲学家M．门德尔松(Mende1ssohn)的外孙女丽贝卡•门德尔松-巴托尔特(Rebecca Mendelssohn-Bartholdy)结婚．1855年高斯去世，狄利克雷被选定作为高斯的继任到格丁根大学任教．与在柏林繁重的教学任务相比，他很欣赏在格丁根有更多自由支配的时间从事研究(这一时期主要从事一般力学的研究)．可惜美景不长，1858年夏他去瑞士蒙特勒开会，作纪念高斯的演讲，在那里突发心脏病．狄利克雷虽平安返回了格丁根，但在病中遭夫人中风身亡的打击，病情加重，于1859年春与世长辞．狄利克雷的主要科学工作如下．数论狄利克雷在柏林的早期数论工作，集中在改进高斯在《算术研究》及其他数论文章中的证明或表述方式．如高斯给出的二次互反律的第一个证明相当烦琐，需对8种情形作分别的处理；狄利克雷简化了这一证明，把全部情形归结为2种．其后，他在高斯的理论中引入了一些更深入的问题和结果．如为解二元型理论中的某些困难问题，他开始讨论三元型的课题，提出了一个富有成果的新领域．1837年7月27日，狄利克雷在柏林科学院会议上，提交了对勒让德的一个猜想的解答，他证明任一形如an+b，n=0，1，2，…的算术级数，若a，b互素，则它含有无穷多个素数(即算术级数的素是复数)和二元二次型类数的计算等分析学工具和方法，成为解析数论的开创性工作．1842年，狄利克雷开始研究具有高斯系数的型，首次运用了“盒子原理”——若将多于n个的物体放入n个盒子，则至少有一个盒子含有多于一个的物体，它在现代数论的许多论证中起重要作用．1846年，他在属于代数数论的单元理论的文章“复单元理论(Zur Theorie der plexen Einheiten)中，获得了一个漂亮而完整的结果，现称狄利克雷单元定理：对由一个不可约方程及其r个实根和s对复根定义的代数数域 K=Q(α)，一切单元构成的阿贝尔群的秩为r+s-1，其有限阶元部分由域中单位根组成．1863年，狄利克雷的《数论讲义》(Vorlesungen über Zahlen-theorie)由他的学生和朋友R．戴德金(Dedekind)编辑出版，这份讲义不仅是对高斯《算术研究》的最好注释，而且融进了他在数论方面的许多精心创造，之后多次再版，成为数论经典之一．分析狄利克雷是19世纪分析学严格化的倡导者之一．1829年，他在克雷尔(Crell)杂志发表了他最著名的一篇文章“关于三角级数的收敛性”(Sur la convergence des séries trigonométri-ques)．该文是在傅里叶有关热传导理论的影响下写成的，讨论任意函数展成形如1/2a0+(a1cosx+b1sinx)+(a2cos2x+b2sin2x)+…的三角级数(现称傅里叶级数)及其收敛性．早在18世纪，D．伯努利(Bernoulli)和L．欧拉(Euler)就曾在研究弦振动问题时考察过这类级数．傅里叶在19世纪初用它讨论热传导现象，但未虑及其收敛性．A．L．柯西(Cauchy)在1823年开始考虑它的收敛问题．狄利克雷在文中指出柯西的推理不严格，其结论也不能涵盖某些已知其收敛性的级数．他进而考虑形式上对应于给定函数f(x)的三角级数的前n项的和，检验它跟f(x)的差是否趋于零，后成为判断级数收敛的经典方法．狄利克雷证明：若f(x)是周期为2π的周期函数，在-π＜x dx有限，则在f(x)所有的连续点处，其傅里叶级数收敛到f(x)，在函数的跳跃点处，它收敛于函数左右极限值的算术平均．这是第一个严格证明了的有关傅里叶级数收敛的充分条件，开始了三角级数理论的精密研究．1837年，狄利克雷再次回到上述课题，发表题为“用正弦和余弦级 tionen durch Sinus-und Cosinusreihen)的文章，其中扩展了当时普遍采用的函数概念(即由数学符号及运算组成的表达式为函数的概念)，引入了现代的函数概念：若变量y以如下方式与变量x 相关联，即只要给x指定一个值，按一个规则可确定唯一的y值，则称y是独立变量x的函数．为说明该规则具有完全任意的性质，狄利克雷举出了“性状极怪”的函数实例：当x 为有理数时，y=c；当x为无理数时，y=d≠c 现称狄利克雷函数)．但狄利克雷的连续函数概念仍是直观的，并根据等距取函数值求和的方法定义其积分．在此基础上，狄利克雷建立了傅里叶级数的理论．数学物理1839年，狄利克雷发表了3篇涉及力学的数学论文，讨论多重积分估值的方法，用于确定椭球体对其内部或外部任意质点的引力，开始了他对数学物理问题的研究．这方面最重要的文章发表于1850年，提出了研究拉普拉斯方程的边值问题(现称狄利克雷问题或第一边值问题)：求满足偏微分方程的位势函数V(x，y，z)，使它在球面边界上取给定的值．这一类型的问题在热力学和电动力学中特别重要，也是数理方程研究中的基本课题．狄利克雷本人曾用所谓的狄利克雷原理给出了问题的解．1852年，他讨论球在不可压缩流体中的运动，得到流体动力学方程的第一个精确解．。
狄利克雷 数论
狄利克雷数论《狄利克雷论》是一本著名的古典数学著作，它的著作者是希腊数学家狄利克雷（c.460-c.370BC）。
它最早以书面形式出现于公元前300年，是一部重要的古典数学著作，被认为是研究极限概念的先驱之作，对数学史上的研究者来说，《狄利克雷数论》是一个经典的里程碑。
在《狄利克雷数论》中，狄利克雷论述了数学的某些基本概念，例如因数分解、有理数、有理方程和有理偏微分方程。
他还详细讨论了数论中的概念，如最大公因数和最小公倍数。
他特别探讨了以上概念在求解方程中的应用，以及用求解有理方程的方法来求解同余方程组的方法。
在《狄利克雷数论》的其他部分，狄利克雷阐述了极限和隐函数等概念。
他解释了极限的实际意义，并用数学表达式证明了极限的存在性。
同时，他还介绍了隐函数的概念，以明确地说明数学概念之间的关系。
另外，他也讨论了古代科学家如皮亚诺、阿基米德和唐卡斯所提出的1.72、3/4和3.14等数学概念。
最后，《狄利克雷数论》也被认为是古代数学史上第一部真正的著作。
狄利克雷的这部著作极其崇高，用他的话来说，他将数学的知识带到了新的高度。
这部书给数学界带来了新的思想，并开创了这个领域未来发展的先河。
《狄利克雷数论》历经数千年，一直被认为是古典数学史上最重要的著作之一。
它深刻地影响了后世数学家的思想，为古典数学的发展奠定了基础。
不仅如此，它还被多家高校纳入教学大纲，是全世界许多学生学习数学的入门读物。
以上就是关于《狄利克雷数论》的简单介绍，结束了今天的文章介绍。
这本书对数学的发展有着重要的影响，因此本文对其历史价值以及对古典数学的贡献做了较为详细的介绍，以期能够唤起读者对古典数学的兴趣，让更多的人领略古典数学的魅力。
狄利克雷函数的定义
狄利克雷函数的定义狄利克雷函数（Dirichlet function）是数学分析中的一类特殊函数，得名于德国数学家彼得·狄利克雷。
它在实数集上的定义如下：$$D(x) = \begin{cases} 1, & \text{如果} x \in \mathbb{Q} \\ 0, & \text{如果} x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$$其中，$\mathbb{Q}$表示有理数集。
狄利克雷函数是一个非常特殊的函数，它的定义与传统函数的定义有所不同。
传统函数的定义通常是给出输入和输出之间的关系，而狄利克雷函数的定义则是基于输入的性质来确定输出的值。
狄利克雷函数的图像是非常奇特的。
在实数轴上，狄利克雷函数在有理数点上的取值为1，在无理数点上的取值为0。
由于有理数和无理数在实数轴上是密集分布的，所以狄利克雷函数在任意一段区间上的取值都是不连续的。
这意味着狄利克雷函数在实数轴上几乎处处不连续，无法用传统的连续函数来近似。
狄利克雷函数的不连续性可以通过极限的概念来理解。
对于任意给定的实数$x$，我们可以通过有理数序列和无理数序列来逼近它。
如果$x$是有理数，那么狄利克雷函数在$x$点的取值为1；如果$x$是无理数，那么狄利克雷函数在$x$点的取值为0。
由于有理数和无理数序列都可以无限逼近$x$，所以无论$x$的取值如何，狄利克雷函数始终无法在$x$点处连续。
狄利克雷函数的不连续性也可以用数学分析中的极限和连续性的概念来解释。
在实数轴上，如果函数在某一点的左极限和右极限不相等，那么这个函数在该点处不连续。
对于狄利克雷函数来说，它的左极限为0，右极限为1，因此在任意一点处，狄利克雷函数的左极限和右极限均不相等，所以狄利克雷函数在实数轴上处处不连续。
狄利克雷函数的不连续性给数学分析带来了很多困扰。
在实际问题中，我们通常需要处理连续函数，而狄利克雷函数的不连续性使得我们无法使用它来描述实际问题。
狄利克雷函数图像
狄利克雷函数图像在数学领域中，狄利克雷函数（Dirichlet Function）作为一种特殊的定义函数，在实数域上有着独特的性质和图像。
狄利克雷函数是以19世纪德国数学家狄利克雷（Peter Gustav Lejeune Dirichlet）的名字命名的，其数学定义是一种周期函数，其图像在数学分析中有着重要的应用与研究价值。
狄利克雷函数定义狄利克雷函数通常记作D(x)，其定义如下：$$D(x)=\\begin{cases} 1, \\text{若} x\\in\\mathbb{Q},\\\\ 0, \\text{若} x\ot\\in\\mathbb{Q}. \\end{cases}$$其中，$\\mathbb{Q}$表示有理数集合。
简单来说，狄利克雷函数在有理数上的取值为1，在无理数上的取值为0。
这个定义看似简单却涉及到了数论中有理数与无理数性质的深入研究。
狄利克雷函数的图像狄利克雷函数的图像十分特殊，它在定义域内有着明显的间断点。
在数轴上画出狄利克雷函数的图像时，可以看到函数在每个有理数处的函数值为1，而在无理数处的函数值为0，这种跳跃式的变化使得函数的图像呈现出了很独特的形态。
下面我们展示狄利克雷函数在区间[0,1]上的简图：0 . . . . . . . 1在这个简图中，横轴代表实数轴上的数值，纵轴代表狄利克雷函数的取值。
图中的间断点表明狄利克雷函数的取值在有理数和无理数之间突变，呈现出明显的分段性质。
狄利克雷函数的这种特殊图像性质对于分析函数的性质以及探讨实数轴上的点集性质具有重要的意义。
通过对狄利克雷函数的研究，我们可以更深入地理解数学中集合和函数的性质，这也使得狄利克雷函数成为数学分析中的一大研究对象。
狄利克雷函数的图像反映了数学中有理数和无理数之间的特殊差异，同时也引发了人们对于连续性和间断性的思考。
通过深入研究狄利克雷函数的图像，我们可以更好地理解数学中诸多难题，推动数学理论的发展与应用。
狄利克雷函数是不是初等函数
狄利克雷函数是不是初等函数狄利克雷函数（Dirichlet function）是数学分析中的一种函数，由德国数学家彼得·戈特弗里德·莱夫·狄利克雷于1837年引入。
狄利克雷函数是一种特殊的函数，其定义方式相对简单，但却具有复杂的性质，因此引起了数学界的广泛关注。
狄利克雷函数的定义如下：对于任意实数x，若x是有理数，则狄利克雷函数的值为1；若x是无理数，则狄利克雷函数的值为0。
简单来说，狄利克雷函数在有理数上的值为1，在无理数上的值为0。
初等函数是指可以由有限次的加、减、乘、除、乘方、开方、指数和对数运算得到的函数。
根据初等函数的定义，我们可以发现狄利克雷函数并不满足初等函数的条件。
狄利克雷函数的定义中包含了对有理数和无理数的判断，这涉及到了数学中的集合论和实数的性质，而初等函数的定义中并没有涉及到这些内容。
狄利克雷函数的性质非常特殊。
首先，狄利克雷函数在任意点x处的极限并不存在。
对于任意实数x，无论它是有理数还是无理数，狄利克雷函数在x处的左极限和右极限总是不相等的。
这是因为无理数的邻域中既包含有理数也包含无理数，而狄利克雷函数在有理数和无理数上的取值不同。
狄利克雷函数在实数轴上几乎处处不连续。
几乎处处不连续是指函数在实数轴上只有有限个或可数个间断点的性质。
狄利克雷函数在有理数处连续，在无理数处不连续，因此几乎处处不连续。
狄利克雷函数的任意闭区间上都是不一致可积的。
不一致可积是指函数在某个区间上的积分结果不收敛的性质。
狄利克雷函数在任意闭区间上的积分结果都是无穷大或负无穷大，因此不一致可积。
狄利克雷函数在实数轴上的支集为有理数集。
支集是指函数在非零值的区间上的集合。
狄利克雷函数只在有理数上取值为1，因此其支集为有理数集。
狄利克雷函数不是初等函数。
初等函数是由有限次的加、减、乘、除、乘方、开方、指数和对数运算得到的函数，而狄利克雷函数的定义中涉及到了对有理数和无理数的判断，以及函数的极限、连续性、可积性等复杂性质。
狄利克雷l函数
狄利克雷l函数
狄利克雷L函数，又称对应于模q的特征Ⅹ（n）的狄利克雷L 函数。
狄利克雷L函数在数学中，狄利克雷L函数是狄利克雷级数的特例，它是形如下式的复变量函数在此χ是一个狄利克雷特征。
此函数可解析延拓为整个复平面上的亚纯函数。
又称对应于模q的特征Ⅹ（n）的狄利克雷L函数，即函数，其中q≥1，Ⅹ（n）是模q的一个特征，复变数s=σ+it，σ>1。
它在q=1时就是黎曼函数。
这类函数最初是由狄利克雷在研究算术级数中的素数分布问题时引进的。
它的性质和作用，都与黎曼函数类似，在许多数论问题中有重要应用。
狄利克雷收敛定理
狄利克雷收敛定理狄利克雷收敛定理，也被称为狄利克雷判别法或狄利克雷测试法，是数学分析中的一项重要定理。
它是由法国数学家狄利克雷在19世纪提出的，用于判断给定序列的级数是否收敛。
狄利克雷收敛定理给出了一定条件下级数的收敛性判定准则。
它的基本思想是通过研究序列的部分和序列的性质，来判断级数是否收敛。
下面我们将详细介绍该定理的内容和应用。
在开始介绍狄利克雷收敛定理之前，我们首先需要了解一些相关的数学概念和定义。
在数学中，级数是由无穷多个数按照一定规则相加而成的表达式。
级数的求和过程被称为收敛，如果该过程得到的和趋于一个有限值；如果和趋于无穷大或无穷小，则称该级数为发散。
狄利克雷收敛定理给出了求和过程的一种判别方法。
设有级数∑(ak * bk)，其中ak和bk分别是两个数列。
若满足以下三个条件，那么该级数收敛：1. 数列bk单调趋于零：即存在一个正整数N，使得对所有n>N，满足bk+1 ≤ bk ≤ bn。
2. 数列∑ak的部分和序列Sn（即前n项的和）是有界的：即存在一个正实数M，使得对所有n，满足|S1| ≤ |S2| ≤ ... ≤ |Sn| ≤ M。
3. 数列∑ak的部分和序列Sn是单调递减的：即对所有n，满足Sn+1 ≤ Sn。
当级数满足这三个条件时，狄利克雷收敛定理告诉我们该级数是收敛的。
需要注意的是，这个定理并不能告诉我们级数收敛于哪个具体的值，只能证明该级数收敛。
狄利克雷收敛定理的证明较为复杂，超出了本文的讨论范围。
但是我们可以通过一些例子来说明该定理的应用。
例子1：考虑级数∑(sin n) / n，其中n为正整数。
我们可以将该级数的数列ak设为1 / n，数列bk设为sin n。
首先，因为|sin n| ≤ 1，我们可以看出数列bk是有界的。
其次，数列ak = 1 / n是一个单调递减趋于零的数列。
因此，根据狄利克雷收敛定理，该级数收敛。
例子2：考虑级数∑(cos n) / n，其中n为正整数。
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[编辑本段]基本简介桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。
这一现象就是我们所说的抽屉原理。
抽屉原理的一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n＋1或多于n＋1个元素放到n个集合中去，其中必定至少有一个集合里至少有两个元素。
”抽屉原理有时也被称为鸽巢原理（“如果有五个鸽子笼，养鸽人养了6只鸽子，那么当鸽子飞回笼中后，至少有一个笼子中装有2只鸽子”）。
它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明一些数论中的问题，因此，也称为狄利克雷原理。
它是组合数学中一个重要的原理。
[编辑本段]抽屉原理常见形式原理1 把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。
[证明]（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是题设的n+k(k≥1)，这不可能.原理2 把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体。
[证明]（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符，故不可能原理3 把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体。
.原理1 2 3都是第一抽屉原理的表述第二抽屉原理：把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体。
[证明]（反证法）：若每个抽屉都有不少于m个物体，则总共至少有mn个物体，与题设矛盾，故不可能二．应用抽屉原理解题抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作用。
许多有关存在性的证明都可用它来解决。
例１：400人中至少有两个人的生日相同.解：将一年中的366天视为366个抽屉，400个人看作400个物体，由抽屉原理1可以得知：至少有两人的生日相同.又如：我们从街上随便找来13人，就可断定他们中至少有两个人属相相同.“从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。
”“从数1，2，...，10中任取6个数，其中至少有2个数为奇偶性不同。
”例2：幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，那么不管怎样挑选，在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同，试说明道理.解：从三种玩具中挑选两件，搭配方式只能是下面六种：（兔、兔），（兔、熊猫），（兔、长颈鹿），（熊猫、熊猫），（熊猫、长颈鹿），（长颈鹿、长颈鹿）。
把每种搭配方式看作一个抽屉，把7个小朋友看作物体，那么根据原理1，至少有两个物体要放进同一个抽屉里，也就是说，至少两人挑选玩具采用同一搭配方式，选的玩具相同.上面数例论证的似乎都是“存在”、“总有”、“至少有”的问题，不错，这正是抽屉原则的主要作用.（需要说明的是，运用抽屉原则只是肯定了“存在”、“总有”、“至少有”，却不能确切地指出哪个抽屉里存在多少.）抽屉原理虽然简单，但应用却很广泛，它可以解答很多有趣的问题，其中有些问题还具有相当的难度。
下面我们来研究有关的一些问题。
[编辑本段]整除问题把所有整数按照除以某个自然数m的余数分为m类，叫做m的剩余类或同余类，用[0]，[1]，[2]，…，[m-1]表示.每一个类含有无穷多个数，例如[1]中含有1，m+1，2m＋1，3m＋1，….在研究与整除有关的问题时，常用剩余类作为抽屉.根据抽屉原理，可以证明：任意n+1个自然数中，总有两个自然数的差是n的倍数。
例1 证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数。
分析与解答在与整除有关的问题中有这样的性质，如果两个整数a、b，它们除以自然数m的余数相同，那么它们的差a-b是m的倍数.根据这个性质，本题只需证明这8个自然数中有2个自然数，它们除以7的余数相同.我们可以把所有自然数按被7除所得的7种不同的余数0、1、2、3、4、5、6分成七类.也就是7个抽屉.任取8个自然数，根据抽屉原理，必有两个数在同一个抽屉中，也就是它们除以7的余数相同，因此这两个数的差一定是7的倍数。
例2：对于任意的五个自然数，证明其中必有3个数的和能被3整除.证明∵任何数除以3所得余数只能是0，1，2，不妨分别构造为3个抽屉：[0]，[1]，[2]①若这五个自然数除以3后所得余数分别分布在这3个抽屉中(即抽屉中分别为含有余数为0,1,2的数)，我们从这三个抽屉中各取1个(如1~5中取3,4,5)，其和(3+4+5=12)必能被3整除.②若这5个余数分布在其中的两个抽屉中，则其中必有一个抽屉，包含有3个余数（抽屉原理），而这三个余数之和或为0，或为3，或为6，故所对应的3个自然数之和是3的倍数.③若这5个余数分布在其中的一个抽屉中，很显然，必有3个自然数之和能被3整除.例2′：对于任意的11个整数，证明其中一定有6个数，它们的和能被6整除.证明：设这11个整数为：a1，a2，a3……a11 又6=2×3①先考虑被3整除的情形由例2知，在11个任意整数中，必存在：3|a1+a2+a3，不妨设a1+a2+a3=b1；同理，剩下的8个任意整数中，由例2，必存在：3 | a4+a5+a6.设a4+a5+a6=b2；同理，其余的5个任意整数中，有：3|a7+a8+a9，设：a7+a8+a9=b3②再考虑b1、b2、b3被2整除.依据抽屉原理，b1、b2、b3这三个整数中，至少有两个是同奇或同偶，这两个同奇（或同偶）的整数之和必为偶数.不妨设2|b1+b2则：6|b1+b2，即：6|a1+a2+a3+a4+a5+a6∴任意11个整数，其中必有6个数的和是6的倍数.例3：任意给定7个不同的自然数，求证其中必有两个整数，其和或差是10的倍数.分析：注意到这些数队以10的余数即个位数字，以0，1，…，9为标准制造10个抽屉，标以[0]，[1]，…，[9].若有两数落入同一抽屉，其差是10的倍数，只是仅有7个自然数，似不便运用抽屉原则，再作调整：[6]，[7]，[8]，[9]四个抽屉分别与[4]，[3]，[2]，[1]合并，则可保证至少有一个抽屉里有两个数，它们的和或差是10的倍数.[编辑本段]面积问题例：九条直线中的每一条直线都将正方形分成面积比为2:3的梯形，证明：这九条直线中至少有三条经过同一点.证明：如图，设直线EF将正方形分成两个梯形，作中位线MN。
由于这两个梯形的高相等，故它们的面积之比等于中位线长的比，即|MH|:|NH| 。
于是点H有确定的位置（它在正方形一对对边中点的连线上，且|MH|:|NH|＝２:３）. 由几何上的对称性，这种点共有四个（即图中的H、J、I、K）.已知的九条适合条件的分割直线中的每一条必须经过H、J、I、K 这四点中的一点.把H、J、I、K看成四个抽屉，九条直线当成９个物体，即可得出必定有３条分割线经过同一点硬挨卡萨uhjakf看看 .应该是（物体数-1）×抽屉数+1[编辑本段]染色问题例1正方体各面上涂上红色或蓝色的油漆（每面只涂一种色），证明正方体一定有三个面颜色相同.证明：把两种颜色当作两个抽屉，把正方体六个面当作物体，那么6=2×2+2，根据原理二，至少有三个面涂上相同的颜色.例2 有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。
分析与解答首先要确定3枚棋子的颜色可以有多少种不同的情况，可以有：3黑，2黑1白，1黑2白，3白共4种配组情况，看作4个抽屉.根据抽屉原理，至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色在同一个抽屉里，也就是他们所拿棋子的颜色配组是一样的。
例3：假设在一个平面上有任意六个点，无三点共线，每两点用红色或蓝色的线段连起来，都连好后，问你能不能找到一个由这些线构成的三角形，使三角形的三边同色？解：首先可以从这六个点中任意选择一点，然后把这一点到其他五点间连五条线段，如图，在这五条线段中，至少有三条线段是同一种颜色，假定是红色，现在我们再单独来研究这三条红色的线。
这三条线段的另一端或许是不同颜色，假设这三条线段（虚线）中其中一条是红色的，那么这条红色的线段和其他两条红色的线段便组成了我们所需要的同色三角形，如果这三条线段都是蓝色的，那么这三条线段也组成我们所需要的同色三角形。
因而无论怎样着色，在这六点之间的所有线段中至少能找到一个同色三角形。
例3′（六人集会问题）证明在任意6个人的集会上，或者有3个人以前彼此相识，或者有三个人以前彼此不相识。
”例3”：17个科学家中每个人与其余16个人通信，他们通信所讨论的仅有三个问题，而任两个科学家之间通信讨论的是同一个问题。
证明：至少有三个科学家通信时讨论的是同一个问题。
解：不妨设A是某科学家，他与其余16位讨论仅三个问题，由鸽笼原理知，他至少与其中的6位讨论同一问题。
设这6位科学家为B，C，D，E，F，G，讨论的是甲问题。
若这6位中有两位之间也讨论甲问题，则结论成立。
否则他们6位只讨论乙、丙两问题。
这样又由鸽笼原理知B至少与另三位讨论同一问题，不妨设这三位是C，D，E，且讨论的是乙问题。
若C，D，E中有两人也讨论乙问题，则结论也就成立了。
否则，他们间只讨论丙问题，这样结论也成立。
三．制造抽屉是运用原则的一大关键例1 从2、4、6、…、30这15个偶数中，任取9个数，证明其中一定有两个数之和是34。
分析与解答我们用题目中的15个偶数制造8个抽屉：此抽屉特点：凡是抽屉中有两个数的，都具有一个共同的特点：这两个数的和是34。
现从题目中的15个偶数中任取9个数，由抽屉原理（因为抽屉只有8个），必有两个数可以在同一个抽屉中（符合上述特点）.由制造的抽屉的特点，这两个数的和是34。
例2：从1、2、3、4、…、19、20这20个自然数中，至少任选几个数，就可以保证其中一定包括两个数，它们的差是12。
分析与解答在这20个自然数中，差是12的有以下8对：｛20，8｝，｛19，7｝，｛18，6｝，｛17，5｝，｛16，4｝，｛15，3｝，｛14，2｝，｛13，1｝。
另外还有4个不能配对的数｛9｝，｛10｝，｛11｝，｛12｝，共制成12个抽屉（每个括号看成一个抽屉）.只要有两个数取自同一个抽屉，那么它们的差就等于12，根据抽屉原理至少任选13个数，即可办到（取12个数：从12个抽屉中各取一个数（例如取1，2，3，…，12），那么这12个数中任意两个数的差必不等于12）。
例3：从1到20这20个数中，任取11个数，必有两个数，其中一个数是另一个数的倍数。
分析与解答根据题目所要求证的问题，应考虑按照同一抽屉中，任意两数都具有倍数关系的原则制造抽屉.把这20个数按奇数及其倍数分成以下十组，看成10个抽屉（显然，它们具有上述性质）：｛1，2，4，8，16｝，｛3，6，12｝，｛5，10，20｝，｛7，14｝，｛9，18｝，｛11｝，｛13｝，｛15｝，｛17｝，｛19｝。