指数族
指数族的自然形式
指数族的自然形式指数族是概率论和统计学中非常重要的一个概念，它是指由某个可分解为指数函数的函数所定义的一组概率分布。
这组分布具有相同的数学形式，这种形式被称为指数族的自然形式。
在统计学中，指数族是一种完整性高、良好可控的分布族。
它不仅应用广泛，而且可用于解决多种问题。
在实际应用中，指数族分布不仅能够减少计算成本，也避免对数据的过拟合或者欠拟合。
指数族的自然形式具体是什么呢？根据最基本的定义，我们可以得出指数族的自然形式为：$$f_Y(y|\theta) = \exp[\dfrac{1}{\phi}(y\theta-b(\theta))+c(y,\phi)]$$其中，$\phi$、$\theta$和$b(\theta)$、$c(y,\phi)$都是指数族分布的参数。
其中，$b(\theta)$和$c(y,\phi)$又被称为分布的函数。
它们能够通过构造特定的函数，使得概率分布在某些条件下具有特定的形式。
这个表达式的含义是，对于给定的$\theta$和$\phi$，函数$f_Y(y|\theta)$是一个关于$y$的指数函数，其中$y$是随机变量，$\theta$和$\phi$是随机变量的参数。
换句话说，这个表达式指的是，随机变量$Y$的概率密度是一个关于$y$的指数函数来表示。
指数函数往往被认为是一种具有很好数学特性的函数。
同时，指数族分布也有一些重要的性质。
首先，它们的方差是有限的，这对于经典的最小二乘法非常重要。
其次，它们对于无限大的$x$是趋近于0的。
这个性质在表示一些物理量和序列数据时特别重要。
指数族的自然形式对于统计学的应用有着非常重要的作用。
尤其在贝叶斯统计学中，指数族分布被广泛应用于建模。
指数族分布的自然形式可以保证在求取后验概率时计算比较简单，同时也不会出现过拟合或欠拟合的问题。
另外，指数族的自然形式也对大数据处理非常有帮助。
例如，在许多机器学习算法中，权重参数都要通过最大似然估计求取。
充分统计量_完备统计量_指数分布族
对任给 X x1, xn 和 t ,满足 X At ,有
-1-
P X1 x1,, X n xn T t
P
X1
x1,, X n xn ,T
PT t;
t;
P
X1
x1,, X n
PT t;
xn ;
g t,
g t, h x1,, xn h y1,yn :T y1,yn t y1, yn
f x, g T x h x
(0.1)
对每一 与x X 成立.
注： h x不依赖于.
证：只对离散型情况给出证明.这时,
f x, P X x
对于T X 的值域中任意固定的 t ,定义集合
At x :T x t.
充分性 设 f x, 使因子分解式（1.1）成立.则对任意的 x At , T x t 成立,
X1, X 2 ,, X n 的条件与 无关.
即不包含关于参数的信息
2）定理 5.5.1（因子分解定理 Factorization Theorem）：设总体概率函数为 f (x; ) ，
X1, X 2,, X n 为样本，则 T T ( X1, X 2 ,, X n ) 为充分统计量得充分必要条件是：存
2）定理（极小充分统计量的存在定理）： 假定分解定理中的条件成立，且样本空间为欧
式的，则极小充分统计量存在.
3）要求：①信息损失越少越好
②统计量越简化越好
4．指数族：
1）定义：设 (, | p : |) 是可控参数统计结构，加入其密度函数可表示为如下形
k
式： p (x) c( ) exp{ cj ( )Tj (x)}h(x) i 1
期望）可以看作一个变换，且是一对一的变换.
数理统计第二章抽样分布2.6节指数族
C ( )exp{Q1 ( )T1 ( x ) Q2 ( )T2 ( x )}h( x )
7
2 其中C ( )= exp 2 , Q1 ( )= 2 ， 2 2 1
Q2 ( )=
1 2
2 ， T ( x )= x ， T ( x ) x , h( x ) 1 1 2 2
f ( x, ) C ( )exp{Q1 ( )T1 ( x ) Q2 ( )T2 ( x )}h( x )
2 n n/ 2 n 其中C ( )=(2 ) exp 2 , Q1 ( )= 2 ， 2 n n 1 Q2 ( )= 2 ，T1 ( x )= xi，T2 ( x ) xi2 , h( x ) 1 2 i 1 i 1
1 e exp{ x log } x! p( x, ) C ( )exp{Q1 ( )T1 ( x )}h( x )
其中C ( )=e , Q1 ( )= log，
T1 ( x ) x , h( x ) 1/ x !
因此根据定义Poisson分布族是指数族.
15
双参数指数族的密度函数为 1 x p( x; , ) exp{ }I[ x ] , , 0 其中和 是两个参数，它的支撑集为
{ x : p( x; , ) 0} =( , ) 与未知参数有关,因此双参数指数分布不是指数族.
n
n
1
n exp xi I[ xi 0,i 1,2, i 1
,n]
,n ]
n n n exp xi ( 1) log xi I[ xi 0,i 1,2, n (( )) i 1 i 1
指数族的自然形式
指数族的自然形式指数族是概率分布的一类重要形式，在统计学和机器学习中有广泛的应用。
它具有很多有用的性质，可以用来描述不同类型的数据分布。
本文将介绍指数族的自然形式及其特点。
指数族的自然形式可以用以下表达式表示：$$p(y;\theta) = h(y) \cdot \exp(\theta^T \cdot T(y) - A(\theta))$$其中，$y$是观测数据，$\theta$是分布的参数，$h(y)$是归一化系数，$T(y)$是统计量，$A(\theta)$是对数配分函数。
指数族的自然形式具有以下几个特点：1. 归一化系数：指数族分布中的归一化系数$h(y)$可以保证概率分布的总和为1，使得分布满足概率公理。
归一化系数的形式可以根据具体的分布类型进行选择。
2. 统计量：指数族分布中的统计量$T(y)$是关于观测数据的函数，可以用来提取数据的特征。
统计量的选择可以根据具体的应用需求进行设计。
3. 对数配分函数：指数族分布中的对数配分函数$A(\theta)$是参数的函数，它可以用来控制分布的形状。
对数配分函数的形式可以根据具体的分布类型进行选择。
指数族分布的自然形式具有很多优点，使得它在统计学和机器学习中得到广泛的应用。
指数族分布的自然形式具有良好的数学性质，使得它在理论推导和分析上更加方便。
通过对数配分函数的求导，可以得到分布的一阶和二阶矩，进而可以计算出分布的均值和方差等重要统计量。
指数族分布的自然形式适用于各种类型的数据。
例如，高斯分布、泊松分布、二项分布等都属于指数族分布的特例。
通过选择不同的统计量和对数配分函数，可以适应不同类型的数据分布。
指数族分布的自然形式还具有很好的可解释性。
通过对参数$\theta$的解释，可以理解分布形状的变化和对应的数据特征。
这对于理解数据的生成过程和进行模型解释都非常有帮助。
指数族分布的自然形式在参数估计和模型推断上也有很多优势。
通过最大似然估计或贝叶斯推断，可以直接求解参数$\theta$的最优值或其后验分布。
中证指数家族图
CSI Central Bank Note (1-3) Index
中证分离债指数
CSI Detachable Convertible Bond Index
中证基金类指数 CSI Fund Indices
中证开放式基金指数
CSI Open-end Fund Index
中证债券型基金指数
SAC Industry Indices (21)
中证银河99指数
CSI Galaxy 99 Index
中证ECPI ESG可持续发展40指数 CSI ECPI ESG China 40 Index
上证股票类指数 SSE Equity Indices
规摸指数
综合指数
Size Indices
Composite Indices
中证地方国有企业100指数
CSI Local SOEs 100 Index
中证200指数
CSI 200 Index
沪深300细分行业指数（47条） 中证国有企业200指数
CSI 300 Industry Group&Industry Indices(47) CSI SOEs 200 Index
中证产业链指数(3条)
中证海外股(不含台湾）指数 中证海外内地股指数
中证锐联香港基本面50指数
CSI Overseas ex Taiwan Index
CSI Overseas Mainland Index
CSI RAFI HK 50 Index
中证华股指数行业指数（40条）中证香港内地国有企业指数
中证香港内地民营企业指数
沪深300周期指数
CSI 300 Cyclical Industry Index
ExponentialFamiliesofRandomVariables：随机变量的指数族
Exponential Families of Random VariablesOctober,2009For this section,the parameter θ∈R k can be vector valued.A family of continuous (discrete)random variables is called an exponential family if the probability density functions (probability mass functions)can be expressed in the form f X (x |θ)=h (x )c (θ)exp ki =1θi t i (x )..(1)for x in the common domain of the f X (x |θ).Obviously h and c are non-negative functions.The t i (x )are real-valued functions of the observations.We may initially write the density functions using another parameterization ηand we use a mapping η→θto put the density into the form seen in (1).In this form,θis called the natural parameter .Example 1.Fix a value for r .For X a negative binomial random variable,f X (x |p )= x +r −1x p r(1−p )x .Let θ=log(1−p ),and t (x )=x ,then we can write this expressionf X (x |θ)= x +r −1x (1−e θ)r exp(θx ).Example 2.For X a gamma random variable,f X (x |α,β)=1Γ(α)βαx α−1e −x/βfor 0≤x,0otherwise .Now let θ1=αand θ2=−1/β,t 1(x )=log x and t 2(x )=x ,then for x ≥0f X (x |θ)=x−1(−θ2)θ1Γ(θ1)exp (θ1log x +θ2x ).Example 3.For X a normal random variable,f X (x |µ,σ2)=1√2πσ2exp −(x −µ)22σ2=1√2πσ2e −µ2/2σ2exp−x 22σ2+µx σ2Here θ1=µ/2σ2and θ2=1/σ2,t 1(x )=x and t 2(x )=x 2puts the normal distribution in the form thatshows it to be an exponential family.Herec (θ)=θ1/22√2πexp(−θ1).1Note that for continuous random variables1=c(θ)h(x)expki=1θi t i(x)dx.Thus,0=∂c(θ)∂θih(x)expki=1θi t i(x)dx+c(θ)t i(x)h(x)expki=1θi t i(x)dx,0=1c(θ)∂c(θ)∂θi+Et i(X),and−∂∂θilog c(θ)=Et i(X).Example4.For X a negative binomial random variable,θ=log(1−p)c(θ)=(1−eθ)r,t(x)=x.log c(θ)=r log(1−eθ)EX=−∂∂θilog c(θ)=reθ1−eθ=r(1−p)1−(1−p)=r1p+1Example5.For X a gamma random variable,c(θ)=(−θ2)θ1Γ(θ1).log c(θ)=θ1log(−θ2)+logΓ(θ1). ThenE[log X]=−∂∂θ1(θ1log(−θ2)+logΓ(θ1))=−log(−θ2)−ddθ1logΓ(θ1)=log(β)−ddαlogΓ(α),andEX=−∂∂θ2(θ1log(−θ2)+logΓ(θ1))=−θ1θ2=αβExercise6.Find EX and EX2for the normal distribution using c(θ). Exercise7.For a one parameter exponential family,f X(x|θ)=h(x)c(θ)exp(θt(x)), use the ideas of the cumulant generating function tofind Var(t(X)).2。
充分统计量_完备统计量_指数分布族
为T X 的函数,而另一个仅为 x 的函数,与参数 无关,则T X 是 的充分统计量.
2．完备性
1）定义： F { p(x; ), }，设 g(x) 是定义在样本空间 上的一个实函数，一般来
说，积分（如果存在） E[g(x)] g(x) p(x; )dx （ ），因此上述积分（数学
}
exp{
x2 2 2
x 2}
其中 c(, )
1 2
exp{
2 2 2
},
c1
(
,
)
2
, c2 (,
)
1 2
2
h(x) 1,T1(x) x,T2 (x) x2
伽玛分布族：
p ,
(x)
( )
x 1ex
exp{ x ( 1) ln x} ( )
c( , ) exp{c1( , )x c2 ( , ) ln x}, x 0
计 量 T T (X1, X2,, Xn ) 称 为 的 充 分 统 计 量 ， 如 果 在 给 定 T 的 取 值 后 ，
X1, X 2 ,, X n 的条件与 无关.
即不包含关于参数的信息
2）定理 5.5.1（因子分解定理 Factorization Theorem）：设总体概率函数为 f (x; ) ，
P
X
x
T
X
t
P
X P
x,T
T X
X t
t
P P T t
0.
也与 无关.因此,条件分布 f x t f x t 与无关,即T X 是的充分统计量.
必要性 设 T X 是 的充分统计量,由充分统计量的定义, P X x T X t 与
参数 无关,它是 x 的函数,记为 h x. 于是,对任意固定的 t ,当 x At 时,T x t
数理统计9：完备统计量，指数族，充分完备统计量法，CR不等式
数理统计9：完备统计量，指数族，充分完备统计量法，CR不等式昨天我们给出了统计量是UMVUE的⼀个必要条件：它是充分统计量的函数，且是⽆偏估计，但这并⾮充分条件。
如果说⼀个统计量的⽆偏估计函数⼀定是UMVUE，那么它还应当具有完备性的条件，这就是我们今天将探讨的内容。
由于本系列为我独⾃完成的，缺少审阅，如果有任何错误，欢迎在评论区中指出，谢谢！⽬录Part 1：完备统计量完备统计量跟充分统计量从名字上看是相对应的，但是完备统计量的意义不像充分统计量那么明确——充分统计量代表能“完全包含”待估参数信息的统计量，⽽完备统计量则是使得不同的参数值对应不同的统计量分布。
具体说来，完备统计量的定义是这样的：设总体分布族的密度函数为\(f(x;\theta)\)，这⾥\(\theta\in \Theta\)是待估参数，称\(\Theta\)为参数空间（其实我们之前接触过但没有专门提过参数空间的概念）。
设\(T=T(\boldsymbol{X})\)为⼀统计量，若对任何可测函数\(\varphi(\cdot)\)具有以下的条件：\[\mathbb{E}[\varphi(T(\boldsymbol{X}))]=0\Rightarrow \mathbb{P}(\varphi(T(\boldsymbol{X}))=0)=1,\quad \forall\theta\in\Theta, \]就称\(T(\boldsymbol{X})\)是完备统计量。
如果放宽条件，当\(\varphi(\cdot)\)是有界函数时上式成⽴，则称此统计量是有界完备统计量。
显然，有界完备统计量必是完备统计量。
从线性代数的⾓度来看，可以把函数空间视为⼀个⽆限维向量空间，那么取期望就可以视为该向量空间上的⼀个映射，容易验证此映射具有线性映射的性质：\[\mathbb{E}[f(T(\boldsymbol{X}))+g(T(\boldsymbol{X}))]=\mathbb{E}[f(T(\boldsymbol{X}))]+\mathbb{E}[g(T(\boldsymbol{X}))],\\ \mathbb{E}[\lambdaf(T(\boldsymbol{X}))]=\lambda\mathbb{E}[f(T(\boldsymbol{X}))], \]完备性就要求\(T(\boldsymbol{X})\)的选择，会使得期望映射成为⼀个单射（可以回顾单射的条件是\(\mathrm{null}\mathbb{E}=\{0\}\)，可参考此），也就意味着每⼀个期望值都对应唯⼀的可测函数\(\varphi(\cdot)\)。
指数族的自然形式
指数族的自然形式指数族是概率统计学中一类重要的分布族，它具有很多重要的性质和应用。
指数族分布的自然形式指的是该分布的概率密度函数（或概率质量函数）可以写成以下形式：p(x|\theta) = h(x) \exp(\theta^T T(x) - A(\theta))其中，x表示随机变量的取值，\theta是分布的参数向量，h(x)是归一化常数，T(x)是充分统计量，A(\theta)是对数配分函数。
不同的指数族分布具有不同的h(x)、T(x)和A(\theta)。
指数族的自然形式在统计学和机器学习中具有广泛的应用。
首先，指数族分布在参数估计中起到了重要的作用。
由于指数族的形式简洁，参数估计可以通过最大似然估计或贝叶斯估计等方法进行。
其次，指数族分布在生成模型中也有广泛的应用。
例如，高斯分布、泊松分布以及二项分布等都属于指数族分布，可以用于建模实际问题中的数据分布。
此外，指数族分布还可以通过加入约束或引入适当的变换，扩展为更加复杂的分布，如混合高斯分布和隐马尔可夫模型等。
在机器学习中，指数族分布也被广泛应用于分类和回归等任务。
通过引入适当的特征函数和权重向量，可以将指数族分类器构建为线性模型。
这种基于指数族分布的分类器具有很好的解释性和可解释性，且具有良好的泛化能力。
此外，指数族分布还可以用于构建概率图模型，如隐马尔可夫模型和条件随机场等，用于解决序列标注和结构化预测等问题。
除了上述应用，指数族的自然形式还在信息论、统计推断和模型选择等领域有重要的应用。
例如，指数族分布在信息论中的重要性质之一是，它是一类充分统计量的指数分布，可以用于构建渐近无偏估计和最小可辨识信息量准则等。
指数族的自然形式还具有凸优化性质，可以方便地进行参数优化和模型选择。
指数族的自然形式是一类重要的概率分布族，具有广泛的应用。
它在参数估计、生成模型、分类和回归、概率图模型以及信息论等方面都有重要的作用。
了解指数族的自然形式以及其性质和应用，对于理解和应用概率统计和机器学习方法都具有重要的意义。
一类指数分布族的参数估计问题
第 ６卷 第 ６期 ２００７年 ６月
南 阳师 范学 院学报
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＮ ｎ ａ ｇ Ｎ ｒ ｌＵｎ ｖ ｒｉ ｏ ｒ ａ ａ ｙ ｎ ｏ ｍａ ｏ ｉｅ ｓｔ ｙ
Ｖ０ ． ． １ ６ Ｎｏ ６
Ｊ ｎ ２０ ｕ ． ０ ７
关 键 词 ： 损 失 函数 ； ａ ｅ 估 计 ； 偏 估 计 ；Ｃ— 下 界 ； 对 称 熵 损 失 函数 熵 Ｂ ｙｓ 无 ｑ 中 图分 类 号 ：Ｏ ２ １ ３ ｌ ． 文 献标 识 码 ： Ａ 文 章 编 号 ：６ １— １ ２ ２ ０ ） ６— ０ ２—０ １７ ６ ３ （０ ７ ０ ０ ２ ３
的 数 分 ，＝ ｛ ） 指 族 布 ｅ 一 （）） ） Ｃｐ 吉 ｘ （
（为 归一化 常数） ｃ ，则 ０具 有 无 偏 估 计 ＝
Ｌ， Ｉ ） （ ｎ ． Ｏ ８
定 理 １ 设 Ｘ服 从 仅 含 一 个 未 知参 数 ０的指
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Ｒ（ ，（ ） ｉ ０８ Ｘ ）
讨论 参 数的 Ｂ ｙ ｓ ａｅ 估计 ．
１ 参 数 估 计 问题 及 估 计 量 的 相关 性 质
设 服从 仅 含一个 未 知参数 ０的指 数 族分 布 ：
，
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最 小方 差无偏 估计 （ ＭＶＵ ． Ｅ）
数 分 ： ＝ｅ｛寺（｝ ） 中 族 布 ）Ｈｐ Ｉ （ ， ｘ一 ）（ 其 Ｃ Ｉ， Ｉ
收稿 日期 ：０ ６— Ｉ一 ５ ２ ０ ０ ２
证 在布 ， ｛ ） 明 分族 ｅ 一 ） ） ｘ 吉 ） Ｃ ｐ
指数分布族
指数族3.1指数分布族对于每个感兴趣的分布都可能获得属性（例如均值、方差和极大似然估计量稍后正确的定义）。
然而，这可能是麻烦的，代数学是沉闷的并且我们无法看到重点。
反而，我们考虑到这是一个包含几个我们总所周知分布的“伞形”分布族，我们将对这样的分布得到一个均值和方差的一般式（在这个课程中，当我们考虑到这是一个广义线性模型时就将会是很有用的）。
用这些结果去表达极大似然估计就是充分统计量的函数，由此是最佳无偏估计量（在完整的假设下）。
换句话说，对于这个分布族的最大似然估计量（在之前我们已经遇到很多次）的确是最佳参数据计量（在最小方差方面）。
假设随机变量变量X t有概率分布，并且可以写成如下形式f(y;ω)=exp(s(y)η(ω)−b(ω)+c(y)) 3.1如果X t的分布（离散随机变量的概率分布函数和连续随机变量的概率密度函数）可以写成上面的形式，则称X t属于指数族分布。
大量的众所周知的概率分布都属于这个分布族。
因此通过理解指数组的性质，我们可以得到大量分布函数的总结。
例 3.1.1（a）指数分布X~Exp(λ)，因此概率密度函数f(y;λ)=λe−λy可以写成logf(y;λ)=(−yλ+logλ)因此s(y)=−y，η(λ)=λ（b）二项分布P(X=y)=C n yπk(1−π)n−y可以被写成logP(y;λ)=ylog(π1−π)+nlog(1−π)+logC n y因此s(y)=y,η(π)= log(π1−π),b(π)=nlog(1−π),c(y)=logC n y 应该提到的是当θ是一个向量的维度大于1时，可以简单的概括指数族。
假设θ是一个P维向量。
P属于指数族，当分布族满足f(y;ω)=exp(s(y)′θ(ω)−b(ω)+c(y))此时s(y)=(s1(y),···,s p(y))({s i}线性无关)，θ(ω)=(θ1(ω),···,θp(ω))3.1.1 自然指数分布族若我们让θ=η（ω），并且η是一个可逆函数（因此空间包含ω和θ呈一对一对应关系），然后我们重写3.1得f(y;θ)=exp(s(y)η(ω)−k(θ)+c(y))此时k(θ)=b(η−1(θ))，当s(y)=y时成为自然指数分布族。
指数族的标准形式
指数族的标准形式指数族是概率论中的一类重要分布族，它包括了众多常见的概率分布，如正态分布、泊松分布、伽马分布等。
指数族的标准形式是指将指数族中的分布都表示为以下形式：$$f(y;\theta) = \exp\left\{\frac{y\theta-b(\theta)}{a(\phi)}+c(y,\phi)\right\} $$其中，$y$是随机变量，$\theta$是分布的参数，$a(\phi)$、$b(\theta)$和$c(y,\phi)$是已知的函数，$\phi$是分布的超参数。
这个形式的好处在于，它可以方便地进行推导和计算，同时也具有很好的数学性质。
按类划分，指数族可以分为以下几类：1. 正态分布族正态分布族是指所有满足以下形式的分布：$$f(y;\mu,\sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left\{-\frac{(y-\mu)^2}{2\sigma^2}\right\}$$其中，$\mu$和$\sigma^2$分别是分布的均值和方差。
正态分布族的标准形式为：$$f(y;\theta) = \exp\left\{\frac{y\theta-\theta^2/2}{\sigma^2/2}\right\} $$其中，$\theta=\mu/\sigma^2$，$a(\phi)=1/\phi$，$b(\theta)=\theta^2/2$，$c(y,\phi)=-\log(\sqrt{2\pi\phi})$。
2. 泊松分布族泊松分布族是指所有满足以下形式的分布：$$f(y;\lambda) = \frac{\lambda^y}{y!}\exp(-\lambda)$$其中，$\lambda$是分布的均值和方差。
泊松分布族的标准形式为：$$f(y;\theta) = \exp\left\{y\theta-e^{\theta}\right\}$$其中，$\theta=\log\lambda$，$a(\phi)=1/\phi$，$b(\theta)=e^{\theta}$，$c(y,\phi)=-\log(y!)$。
相同的分布函数 -回复
相同的分布函数 -回复相同的分布函数是指两个或多个随机变量具有相同的累积分布函数（CDF），也称为共同分布。
CDF是随机变量的一个函数，描述了在小于等于给定值的随机变量的概率。
相同的分布函数表明两个或多个随机变量具有相同的概率特征，即它们得到不同值的概率相等。
本文将介绍相同分布函数的定义、性质和应用。
定义假设X和Y是两个随机变量，有如下两种情况：1. X和Y的概率密度函数（PDF）相同。
在第一种情况下，可以将X和Y看作是来自相同的随机过程，并且它们的概率密度函数可以在所有取值点上相等。
在第二种情况下，如果X和Y的CDF相同，这意味着X和Y取得不同值的概率相等。
它们可能来自不同的随机过程，但在统计学上它们表现出相同的特征。
性质1. 对于任何给定的值x，P(X<=x) = P(Y<=x)。
也就是说，在所有点上X和Y的概率相等。
2. 如果X和Y具有相同的CDF，那么它们的期望、方差、协方差和相关系数都相等。
证明假设X和Y的CDF分别为F(x)和G(x)，则P(X<=x) = F(x)如果F(x) = G(x)，则P(X<=x)一定等于P(Y<=x)。
E(Y) = ∫x g(x)dxVar(X) = Var(Y)证毕。
应用1. 在假设检验中，研究人员需要将一个样本与已知的分布函数进行比较。
如果样本服从与已知分布相同的分布函数，则可以使用已知分布的性质来进行假设检验。
2. 在回归分析中，研究人员需要对随机变量之间的关系进行建模。
如果两个变量具有相同的分布函数，则可以假定它们之间存在线性关系，因为它们共享相同的概率特征。
结论相同分布函数是指两个或多个随机变量具有相同的累积分布函数。
它们可能来自不同的随机过程，但在统计学上它们表现出相同的特征。
相同的分布函数在假设检验、回归分析和贝叶斯推断中都具有重要应用。
除了以上提到的应用，相同分布函数还有其他重要的相关内容。
1. 独立性如果两个随机变量具有相同的分布函数，并且它们是相互独立的，则可以进行更复杂的概率计算。
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David M. Blei
1.介绍
·我们讨论指数族，一个非常灵活的指数族。
·你说听过的大多数分布都属于指数族。
——二项分布，高斯分布，多项分布，狄利克雷分布，伽马分布，泊松分布，贝塔分布。
2.建立
一般一个指数族分布具有以下形式：
p(x|η)=h(x)exp?{ηΤt x ?a(η)}
3．高斯分布
·作为一个连续型的例子，考虑高斯分布。
·我们所熟悉的高斯分布的形式为
2(x?μ)p x μ,σ2 ={ ·我们拆开平方化成指数族形式为
1μ12122p x μ,σ = x?x?μ?logσ ·我们看到 μ1η= ，? t x =(x,x2)
1 / 5
这个等式不同的部分分别为：
——自然参数η
——充分统计量t x
——底层测量值h(x)，如计数测量或勒贝格度
——对数标准化a(η)，
a η =log h(x)exp?{ηΤt x }
这里我们在样本空间之上集成非规范密度，这可确保密度集成为一个。 ·统计值t x 被认为是充分的是因为η的可能性仅仅取决于x通过t x 。 ·指数族已基本连接图形模型世界。对于我们的目的，我们用指数族作为组件定向图形模型。如：高斯模型的混合。