几种常见的分布
几种常见的分布
应用：假设检验。
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各种分布之间的关系
Gamma分布与指数分布、正态分布
当gamma分布的形状系数k为正整数时，gamma分布可看作k个独立的指数分布 之和，当k趋向于较大数值时，分布近似于正态分布。
在Gamma分布中：k=n（正整数）时的gamma分布可以看作n个独立的k=1的 gamma分布（即指数分布）之和，按照中心极限定理，独立同分布随机变量 之和趋于正态分布。
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六、Gamma分布
E[X]=
D[X]=
应用：用于描述随机变量X等到第K件事发生所需等候的时间。
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七、瑞利分布(Rayleigh distribution)
定义：当一个随机二维向量的两个分量呈独立的、有着相同的方差的正态分 布时，这个向量的模呈瑞利分布。
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ห้องสมุดไป่ตู้
四、对数正态分布
定义：如果一个随机变量的对数服从正态分布，那么该随机变量服从对数 正态分布。
应用：金融保险业、投资收益计算等。
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6
五、柯西分布(Cauchy distribution)
应用：主要应用于物理学中，它是描述受迫共振的微分方程的解。在光谱学中， 它用来描述被共振或者其他机制加宽的谱线形状。
应用：在自然情况下，均匀分布极为罕见。在实际问题中，当我们无法区分在 区间内取值的随机变量取不同值的可能性有何不同时，我们就可以假定随机变 量服从区间上的均匀分布。
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4
三、指数分布(Exponential distribution)
6.2数理统计中几种常用的分布.
性质3. 设T～t(n),则:T ～F(1,n) .
2
证明:
由t分布定义 T
2
X Y /n
其中X∼N(0,1),Y～χ (n),且X与Y相互独立. 2 2 (1) / 1 X /1 2 F T 2 Y /n ( n) / n
且 2 (1)与 2 ( n)相互独立.
由F分布定义, ∴ F = T2～F(1,n) .
2
条件: 的点χ
P ( n)
2 2
2
( n )
f ( x)dx
2
(n)为χ 2(n)分布的上分位点.
χ (n)分布 的上分位点 图形如右图.
χ2(n)分布的上分位点可以查 附表5.
2Hale Waihona Puke 13例1:求2 2 0 ( 10 ) ， )。 .05 0.1 (20
1.) 因为
P X z0.05 1 P X z0.05 1 0.05 0.95.
P X 1.64 0.9495.
P X 1.65 0.9505.
z0.05 1.64 1.65 1.645. 2
4
2.)
P X z0.005 1 PX z0.005 1 0.005 0.995.
i 1 n i 1
n
EX i2 n.
2 DX i
D D(
2n.
10
4.应用中心极限定理可得，若 若 X ~ 2 (n) ，则当n充分大时， X n 2n 的分布近似正态分布N(0,1).
11
2 (n)
分布的密度函 数的图形如右 图.
几种常见的分布
十一、几何分布
定义：在第 n 次伯努利实验，才得到第一次成功的机率。更详细的说是：n 次伯努利试验，前 n-1 次皆失败，第 n 次才成功的概率。
应用：射击比赛等。
2020/8/1
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十二、超几何分布
定义：在产品质量的不放回抽检中，若N件产品中有M件次品，抽检n件时所 得次品数X=k，是一个随机变量：
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十、负二项分布(Negative binomial distribution)
定义：已知一个事件在伯努利试验中每次的出现概率是p，在一连串伯努利 试验中，一件事件刚好在第r + k次试验出现第r次的概率。
2020/8/1
取r = 1，负二项分布等于几 何分布。其概率质量函数 为
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六、Gamma分布
E[X]=
D[X]=
应用：用于描述随机变量X等到第K件事发生所需等候的时间。
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七、瑞利分布(Rayleigh distribution)
定义：当一个随机二维向量的两个分量呈独立的、有着相同的方差的正态分 布时，这个向量的模呈瑞利分布。
应用：瑞利分布常用于描述平坦衰落信号接收包络或独立多径分量接受包络统 计时变特性。如两个正交高斯噪声信号之和的包络服从瑞利分布。
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各种分布之间的关系
Gamma分布与指数分布、正态分布
当gamma分布的形状系数k为正整数时，gamma分布可看作k个独立的指数分布 之和，当k趋向于较大数值时，分布近似于正态分布。
在Gamma分布中：k=n（正整数）时的gamma分布可以看作n个独立的k=1的 gamma分布（即指数分布）之和，按照中心极限定理，独立同分布随机变量 之和趋于正态分布。
16种常见概率分布概率密度函数、意义及其应用
目录1. 均匀分布 (1)2. 正态分布（高斯分布） (2)3. 指数分布 (2)4. Beta分布（：分布） (2)5. Gamm 分布 (3)6. 倒Gamm分布 (4)7. 威布尔分布（Weibull分布、韦伯分布、韦布尔分布） (5)8. Pareto 分布 (6)9. Cauchy分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布） (7)210. 分布（卡方分布） (7)8 11. t分布................................................9 12. F分布 ...............................................10 13. 二项分布............................................10 14. 泊松分布（Poisson 分布）.............................11 15. 对数正态分布........................................1. 均匀分布均匀分布X ~U（a,b）是无信息的，可作为无信息变量的先验分布。
2. 正态分布（高斯分布）当影响一个变量的因素众多，且影响微弱、都不占据主导地位时，这个变量 很可能服从正态分布，记作X~N （」f 2）。
正态分布为方差已知的正态分布N （*2）的参数」的共轭先验分布。
1 空f （x ）： —— e 2-J2 兀 o'E(X)， Var(X) _ c 23. 指数分布指数分布X ~Exp （ ）是指要等到一个随机事件发生，需要经历多久时间。
其 中，.0为尺度参数。
指数分布的无记忆性：Plx s t|X = P{X t}。
f （X ）二 y oiE(X) 一4. Beta 分布（一：分布）f （X ）二 E(X)Var(X)=(b-a)2 12Var(X)二1~2Beta 分布记为X 〜Be(a,b)，其中Beta(1,1)等于均匀分布，其概率密度函数 可凸也可凹。
常见的数学分布
常见的数学分布
常见的数学分布
一. 离散分布
1. 伯努利分布
伯努利分布是研究单个成功/失败事件（二元变量）概率的基本
概率分布，只有两种结果，成功/失败，因此伯努利分布也称为二项
分布。
2. 贝叶斯分布
贝叶斯分布主要用于分析估计连续变量，它是基于贝叶斯概率理论，关于一个未知参数的不确定性状况，以后新的观测信号被观测后，这种参数的不确定性会发生变化。
3. 几何分布
几何分布是离散概率分布的一种，主要用于研究成功/失败事件
发生次数的概率分布，即最少要经历多少次失败才能够获得一次成功。
4. 泊松分布
泊松分布是一种离散概率分布，属于参数为λ的二项分布，也叫泊松二项分布，用来描述一段时间内事件发生次数的概率分布，是一种常用的概率分布。
二. 连续分布
1. 正态分布
正态分布是连续概率分布的一种，也叫高斯分布，是最常用的一类概率分布，可以用来描述不同变量的概率分布情况，它的曲线呈现
出钟形，最大值位于均值处。
2. 对数正态分布
对数正态分布又叫做极大似然估计分布，属于一种连续概率分布，可以用来描述变量值的概率分布情况，表现为对数公式，又称为对数正态分布。
3. t 分布
t 分布是一种特殊的正态分布，也叫做学生的 t 分布，它可以
用来描述变量值的概率分布情况，它的曲线呈现出椭圆形。
4. 卡方分布
卡方分布是一种连续概率分布，常用于统计学分析中，它可以用来描述自由度为 k 的某个统计量的概率分布，其图形呈现出单峰形状。
数理统计中几种分布之间的关系
数理统计中有几种常见的概率分布，包括正态分布、泊松分布和指数分布。
这些分布在实际应用中有着重要的意义，它们之间的关系也是数理统计中的一个重要内容。
1. 正态分布正态分布是自然界和社会现象中最常见的分布之一，也被称为高斯分布。
它具有钟形曲线，呈现出中间高、两端低的特点。
正态分布有着许多重要的性质，比如均值和标准差能够完全描述一个正态分布。
在实际应用中，正态分布可以用来描述许多自然现象，比如身高、体重等。
另外，中心极限定理告诉我们，大量独立同分布的随机变量之和的分布趋于正态分布。
2. 泊松分布泊松分布是描述单位时间内随机事件发生次数的概率分布。
它适用于描述少量成功事件在长时间内发生的情况。
泊松分布的参数是平均发生率λ，它决定了事件发生的概率。
泊松分布在实际应用中被广泛运用，比如描述单位时间内接到的通信方式数、一段时间内发生的交通事故数等。
3. 指数分布指数分布是描述事件发生间隔时间的概率分布，它是泊松分布的补充。
指数分布的参数是事件发生率λ，它与泊松分布的参数相互关联。
指数分布常用来描述无记忆性的随机变量，比如设备的寿命、服务时间间隔等。
数理统计中，这三种分布之间存在着密切的联系。
正态分布和泊松分布在一定条件下可以近似互相转化。
当事件发生率λ趋向无穷大时，泊松分布将近似于正态分布。
而在一些特殊情况下，指数分布也可以退化为泊松分布。
这三种分布之间并不是孤立存在的，它们在一定条件下是相互联系、相互激发的。
在我的理解中，这三种概率分布之间的关系可以帮助我们更好地理解和应用概率统计的相关知识。
通过对它们之间关系的深入了解，我们可以更准确地选择合适的分布来描述实际问题，从而提高统计分析的准确性和实用性。
总结起来，正态分布、泊松分布和指数分布是数理统计中常见的概率分布，它们之间存在着密切的联系。
深入理解它们之间的关系有助于我们更好地应用统计学知识，提高数据分析的准确性和实用性。
希望通过本篇文章的阐述，能为读者带来一些启发和帮助。
统计学常见的分布类型及案例
统计学常见的分布类型及案例咱来唠唠统计学里常见的分布类型和一些好玩的案例哈。
一、正态分布。
1. 啥是正态分布。
正态分布就像个中间大、两边小的钟，也叫高斯分布。
大部分的数据都集中在中间，离中间越远的数据就越少。
它的图像特别对称，就像你把一个球从中间切开，两边一模一样。
2. 案例。
二、二项分布。
1. 啥是二项分布。
二项分布就像是做很多次只有两种结果的实验。
比如说抛硬币，结果要么是正面，要么是反面，只有这两种情况。
每次实验的结果相互独立，而且每次成功（比如抛硬币得到正面）的概率都是固定的。
2. 案例。
就拿投篮来说吧。
假设一个篮球运动员投篮命中率是60%，他投10次篮。
这就可以用二项分布来分析他投中不同次数的概率。
投中0次、1次、2次……一直到10次的概率都能算出来。
就像你想知道他在这10次投篮里，只投中3次的可能性有多大，就可以用二项分布的公式来计算。
这就好比是一场有固定胜率的小比赛，我们可以算出各种输赢结果的可能性。
还有比如说产品的合格率检测。
假设一个工厂生产的灯泡，合格的概率是90%，从一批生产的灯泡里随机抽取10个来检查。
那这10个灯泡里有几个合格的概率就符合二项分布。
可能这10个灯泡全合格，也可能只有8个合格，二项分布就能告诉我们每种情况的概率是多少。
三、泊松分布。
1. 啥是泊松分布。
泊松分布是用来描述在一段固定时间或者空间内，某个事件发生的次数的概率分布。
这个事件得是那种比较罕见的，而且每次发生都是独立的。
2. 案例。
比如说，在一个小商店里，平均每天有2个顾客来投诉。
那我们可以用泊松分布来计算某一天有0个投诉、1个投诉、3个投诉等等的概率。
你想啊，投诉这种事不会经常发生，而且每个顾客的投诉是相互独立的，没有说这个顾客投诉了就会影响另一个顾客投诉。
再比如说，在一条马路上，平均每小时有3起交通事故。
泊松分布就能帮我们算出某一小时里有5起交通事故或者1起交通事故的概率。
就像数那些偶尔冒出来的小事件，泊松分布就是算这些小事件在某个时间段或者空间里不同发生次数的概率的神奇工具。
几种常见的分布
服从正态分布 N (, 2 ) 的随机变量
X的概率密度是
f (x)
1
e ,
(
x )2 2 2
x
2
X的分布函数P(X≤x)是怎样的呢？
设X~ N (, 2 ) , X的分布函数是
F(x) 1
x
e
(
t )2 2 2
dt
,
x
2
对于连续型随机变量，一般是给出 它的概率密度函数.
一、正态分布的定义
若r.v X的概率密度为
f (x)
1
e ,
(
x ) 2 2
2
x
2
其中 和 2 都是常数， 任意， >0， 则称X服从参数为 和 2的正态分布.
记作 X ~ N (, 2)
f (x)所确定的曲线叫作正态曲线.
P( X k) e k , k0,1,2, ,
k!
其中λ >0 是常数, 则称 X 服从参数为λ 的 泊松分布, 记作X~P(λ ).
泊松分布的图形特点：X~P(λ )
二、二项分布与泊松分布
历史上，泊松分布是作为二项分布的近 似，于1837年由法国数学家泊松引入的.
近数十年来，泊松分布日益显示 其重要性, 成为概率论中最重要的几 个分布之一.
f (x)
1
e ,
(
x )2 2 2
x
2
用求导的方法可以证明， x=μσ
为f (x)的两个拐点的横坐标.
这是高等数学的内容，如果忘记了，课下 再复习一下.
根据对密度函数的分析，也可初步画出正 态分布的概率密度曲线图.
用上海99年年降雨量的数据画出了 频率直方图.
几种常见的分布
2020/6/20
a
1
分类
连续型随机分布
◆ 正态分布、均匀分布、指数分布、对数正态分布、柯西分布、 Gamma分布、瑞利分布、韦伯分布
离散型随机分布
◆ 二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布
三大抽样分布
◆ 卡方分布、F分布、t分布
分布之间的关系 大数定理、中心极限定理
2020/6/20
2020/6/20
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八、韦伯分布（Weibull distribution）
定义：韦氏分布或威布尔分布，是可靠性分析和寿命检验的理论基础。
= 应用：可靠性和失效分析、极值理论。
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a
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九、二项分布(Bernoulli distribution)
应用：n 次试验在相同条件下进行，各个观察单位的结果相互独立，且只能 具有相互对立的一种结果，二项分布常用于医学领域。当n→∞时，二项分布 近似于正态分布。（注：0-1分布是特殊的二项分布）
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十、负二项分布(Negative binomial distribution)
定义：已知一个事件在伯努利试验中每次的出现概率是p，在一连串伯努利 试验中，一件事件刚好在第r + k次试验出现第r次的概率。
2020/6/20
取r = 1，负二项分布等于几 何分布。其概率质量函数 为
应用：假设检验。
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各种分布之间的关系
Gamma分布与指数分布、正态分布
当gamma分布的形状系数k为正整数时，gamma分布可看作k个独立的指数分布 之和，当k趋向于较大数值时，分布近似于正态分布。
13种常见的统计分布ppt课件
属性
✓ 连续型分布 ✓ 用于描述以方向、位置、周期性（环形）时间、角度等为测度
单位的数字特征
应用
✓ 医学领域内一些现象是以方向或时间度量，具有周期性特点， 如某疾病在一年内各月份的发生数、胎儿在一昼夜间各时点 分娩的频度
✓ 有些数据本身就是以角度来表示：如脑电阴图的上升角，气 象环境的风向玫瑰图
✓ 这些数据不能用通常的均数、标准差描述
1 二项分布 Binomial Distribution
应用 条件
✓ 各观察单位只能具有相互对立的一种结果，如阳性或阴 性，生存或死亡等，属于两分类资料
✓ 已知发生某一结果（阳性）的概率为π，其对立结果的概 率为1-π，实际工作中要求π是从大量观察中获得比较稳 定的数值。
✓ n次试验在相同条件下进行，且各个观察单位的观察结果 相互独立，即每个观察单位的观察结果不会影响到其他观 察单位的结果。如要求疾病无传染性、无家族性等。
9 F分布 F Distribution
属性
✓ 连续型分布 ✓ 用于方差Γ分布 Γ Distribution or Gamma Distribution
属性
✓ 连续型分布 ✓ 正偏态分布，常用于正偏态分布的拟合
11 圆形分布 Circular Distribution
5 均匀分布 Uniform Distribution
属性
✓ 连续型分布 ✓ 数值计算的误差分析 ✓ 任意分布的随机数
理解
✓ 均匀分布在自然情况下极为罕见，而人工栽培的有一定株 行距的植物群落即是均匀分布
✓ 均匀，表示可能性相等的含义
6 正态分布 Normal Distribution
属性
✓ 连续型分布 ✓ 自然界、人类社会、心理和教育中大量现象均按正态形式分布，
分布的表示方法
分布的表示方法分布是概率论和统计学中的重要概念，用于描述随机变量的取值情况。
在实际问题中，我们经常需要对数据进行分析和建模，而分布的表示方法是其中的关键步骤之一。
本文将介绍几种常见的分布表示方法，包括频率分布表、直方图、概率密度函数和累积分布函数。
一、频率分布表频率分布表是一种将数据按照取值范围划分成若干区间，并统计每个区间内数据出现的频数的表格。
通过频率分布表，我们可以直观地了解数据的分布情况。
表格中通常包括区间的上下限、频数和频率等信息。
二、直方图直方图是一种用矩形表示数据分布的图形。
横轴表示数据的取值范围，纵轴表示频数或频率。
通过直方图，我们可以更清晰地观察数据的分布情况，包括数据的集中趋势、离散程度和偏态等特征。
三、概率密度函数概率密度函数是描述连续型随机变量分布的函数。
它表示在某个取值点附近的概率密度，即单位区间内的概率。
概率密度函数通常用符号f(x)表示，其中x为随机变量的取值。
通过概率密度函数，我们可以计算出在某个区间内的概率，并进一步分析数据的分布特征。
四、累积分布函数累积分布函数是描述随机变量分布的函数，表示随机变量小于等于某个取值的概率。
累积分布函数通常用符号F(x)表示，其中x为随机变量的取值。
通过累积分布函数，我们可以计算出在某个取值以下的概率，并进一步分析数据的分布情况。
以上是几种常见的分布表示方法，它们在数据分析和建模中起着重要的作用。
通过这些方法，我们可以更好地理解数据的分布特征，从而为后续的数据处理和决策提供依据。
在实际应用中，我们可以根据具体问题选择合适的分布表示方法，并结合统计学方法进行数据分析和模型建立。
分布的表示方法是数据分析和建模中的重要环节，它能够帮助我们更好地理解数据的分布情况。
通过频率分布表、直方图、概率密度函数和累积分布函数等方法，我们可以揭示数据的分布特征，为后续的数据处理和决策提供支持。
在实际应用中，我们应根据具体问题选择合适的方法，并结合统计学知识进行分析和建模。
概率论常见的几种分布
概率论常见的几种分布常见的概率论分布有：均匀分布、正态分布、泊松分布和指数分布。
1. 均匀分布均匀分布是指在一段区间内，各个取值的概率是相等的。
比如在一个骰子的例子中，每个面出现的概率是相等的，为1/6。
均匀分布在实际应用中常用于随机数生成、样本抽取等场景。
2. 正态分布正态分布又被称为高斯分布，是最常见的概率分布之一。
正态分布的特点是呈钟形曲线，数据集中在均值周围，并且具有对称性。
正态分布在自然界中广泛存在，比如人的身高、体重等都近似服从正态分布。
在统计学和数据分析中，正态分布的应用非常广泛，例如在建模、假设检验和置信区间估计等方面。
3. 泊松分布泊松分布是一种离散概率分布，描述了在一段时间或空间内，某事件发生的次数的概率分布。
泊松分布的特点是事件之间是独立的，并且事件发生的平均速率是恒定的。
泊松分布在实际应用中常用于描述稀有事件的发生概率，比如电话呼叫中心的接听次数、交通事故的发生次数等。
4. 指数分布指数分布是描述连续随机变量的概率分布，用于描述时间间隔的概率分布。
指数分布的特点是事件之间是独立的，并且事件发生的速率是恒定的。
指数分布在实际应用中常用于描述如等待时间、寿命等连续性事件的概率分布。
这四种分布在概率论和统计学中都有广泛的应用。
它们分别适用于不同的场景和问题，能够帮助人们理解和分析数据。
在实际应用中，我们常常需要通过对数据进行建模和分析来确定数据的分布类型，从而更好地理解数据的特征和规律。
除了这四种常见的分布外，还有其他许多概率分布，例如二项分布、伽玛分布、贝塔分布等。
每种分布都有其独特的特点和应用领域。
在实际应用中，选择合适的分布模型对数据进行建模和分析是非常重要的，可以帮助我们更好地理解数据，做出准确的推断和预测。
概率论中常见的几种分布包括均匀分布、正态分布、泊松分布和指数分布。
每种分布都有其特点和应用场景，在实际问题中选择合适的分布模型对数据进行建模和分析是非常重要的。
通过对数据的分布进行研究，我们能够更好地理解数据的规律和特征，为决策提供科学依据。
3章几种常见的分布
在Gamma分布中：k=n（正整数）时的gamma分布可以看作n个独立的k=1的 gamma分布（即指数分布）之和，按照中心极限定理，独立同分布随机变量 之和趋于正态分布。
几种常见的分布
2019/5/27
1
分类
连续型随机分布
◆ 正态分布、均匀分布、指数分布、对数正态分布、柯西分布、 Gamma分布、瑞利分布、韦伯分布、三角形分布
离散型随机分布
◆ 二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布
三大抽样分布
◆ 卡方分布、F分布、t分布
分布之间的关系
2019/5/27
应用：在自然情况下，均匀分布极为罕见。在实际问题中，当我们无法区分在 区间内取值的随机变量取不同值的可能性有何不同时，我们就可以假定随机变 量服从区间上的均匀分布。
2019/5/27
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三、指数分布(Exponential distribution)
应用：主要用于描述独立事件发生的时间间隔。自然界中有很多种“寿命”可 以用指数分布来描述，如电子元件的寿命、动物的寿命、电话的通话时间、服 务系统的服务时间等。
定义：已知一个事件在伯努利试验中每次的出现概率是p，在一连串伯努利 试验中，一件事件刚好在第r + k次试验出现第r次的概率。
2019/5/27
取r = 1，负二项分布等于几 何分布。其概率质量函数 为
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十二、几何分布
定义：在第 n 次伯努利实验，才得到第一次成功的机率。更详细的说是：n 次伯努利试验，前 n-1 次皆失败，第 n 次才成功的概率。
应用：泊松分布适合于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数。如某 一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台 的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一块产品上的缺陷 陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布方分布
地理分布用语
地理分布用语如下：
1.水平分布：指地理现象在水平方向上的分布，例如特定气候条件下植物的分布范围。
2.随机分布：指地理现象在某个区域内的分布是随机的，没有明显的规律性，如森林中野生动物的分布。
3.均匀分布：指地理现象在某个区域内的分布是均匀的，每个部分都有相同或相近的分布密度，如平原上农作物的种植。
4.向心分布：指地理现象以某个中心点为目标，向四周扩散，例如城市周边的居民区。
5.集群分布：指地理现象在某个区域内集中分布，存在密集区域和稀疏区域，如某些矿产资源的分布。
6.带状分布：指地理现象在某个区域内沿着某个方向延伸成带状的分布模式。
几种常见的分布
应用
指数分布经常用于描述可靠性工 程、生存分析和排队理论。
正态混合分布
1 定义
正态混合分布是多个正态分布的混合。
2 特征
正态混合分布的概率密度函数是多个正态分布的线性组合。
3 应用
正态混合分布在统计建模中常用于处理复杂的数据分布。
负二项分布
定义
负二项分布描述了在重复的 独立实验中，达到一定数量 的成功之前的失败次数。
几种常见的分布
统计学中有许多不同的分布。其中包括正态分布、二项分布、泊松分布、均 匀分布、指数分布等多种分布。
正态分布
1
定义
正态分布也被称为高斯分布，是自然界
特征
2
中最常见的分布。
正态分布呈钟形曲线，其均值和方差决
定了曲线的位置和形状。
3
应用
正态分布广泛用于统计学和自然科学领 域，具有许多重要的性质。
特征
负二项分布取决于两个参数， 失败的概率和达到成功所需 的次数。
应用
负二项分布用于模拟撞车次 数、机器失效次数以及其他 计数数据。F分布1 Nhomakorabea定义
F分布是两个独立的卡方分布的比值。
特征
2
F分布具有两个自由度参数，用于描述其
形状和尾部重量。
3
应用
F分布经常用于方差分析、回归分析和统 计推断。
二项分布
定义
二项分布描述在重复的独立实验 中，成功和失败的次数。
特征
二项分布取决于两个参数，试验 的次数和成功的概率。
应用
二项分布用于模拟二分类问题和 风险评估。
泊松分布
定义
泊松分布描述了在给定时间内发生事件的次数。
特征
泊松分布是一种离散分布，其均值和方差相等。
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一、常见数据类型数据可大致分为离散我们先来看一看平时遇到的数据。
在正式的解释分布之前，型数据和连续型数据。
离散型数据结果只当你掷骰子的时候，离散型数据顾名思义就是只取几个特定的值。
例如：。
1,2,3,4,5,6，不会出现类似1.5,2.5有连续型数据这个范围可以是有限的或者是连续型数据可以取任意值。
在一个给定的范围内，等54kg,54.4kg,54.33333kg无穷的。
例如：一个人的体重或者身高，可以取值等都没有问题。
下面就开始介绍分布的类型。
二、分布类型）Bernoulli Distribution伯努利分布（首先从最简单的分布开始，伯努利分布实际上是一个听起来最容易理解的分布。
代表0failure1代表success及伯努利分布一次实验有两个可能的结果，比如pX表示失，一个取值为1并代表成功，成功概率为0随机变量pX一个取值为pq1?或者说1?p。
败，失败概率为q(0,1)∈xp(1?p)，我们(0,1)x这里，概率分布函数为px(1?p)1?x，其中∈xx1?也可以写成如下形式：x=0x=1pP(x)={1?p x=1，，，x=0p，P(x)={1?p，但是这俩概率加和应该0.5成功和失败的概率没必要相同，也就是没必要都是，比如可以是下面的图：为1.p(failure)=0.85p(success)=0.15p(failure)这个图就是p(success)=0.15，，=0.85。
服从伯努利下面说一下随机变量的期望，一个分布的期望就是这个分布的均值。
X X分布的随机变量的期望值就是：p)=p?(1?E(X)=1?p+0?(1?p)=pE(X)=1?p+0服从伯努利分布的随机变量的方差是：p)(1?=p?p=pV(X)=E(X)?[E(X)] V(X)=E(X2)?[E(X)]2=p?p2=p(1?p)222明天今天会不会去健身，还有许多伯努利分布的例子，比如说明天是否会下雨，乒乓球比赛是不是会赢。
）均匀分布（Uniform Distribution而任何一个结果出现的概率中的任何一个，1到6当你掷骰子的时候，结果出现与伯努利分布不都是相同的，这就是均匀分布最原始的雏形。
你可能看出来了，n n个出现的结果的概率都是相同的。
同的是，这X X为均匀分布是指密度函数如下：一个随机变量<∞≤b?f(x)=1ba?∞<a f(x)=1b?a?∞<a≤b<∞下图为均匀分布的密度图的样子：.这也就是为啥均匀分布的昵称是矩咱们可以看出来均匀分布的密度图是个矩形，形分布。
ba b对于均匀分布来说都是参数，分布的参数。
a和10只。
例子：假如花店每日销售的花束数量均匀分布，最多40只，最少之间的概率。
由于随机变量所有可能到30我们来尝试计算每日卖花数量在15之间的概到30，并且卖花数量是均匀分布，所有在151发生的事件的概率和为=0.5(30?15)?。
类似的对于每日卖花数量?1(40?10)=0.5(30?15)率为1(40?10)=?1?(20?10)。
1?(20?10)大于20发生的概率就是?1(40?10)=23231(40?10)X若随机变量服从均匀分布，那么它的均值和方差分别为：X E(X)=E(X)=(a+b)2Mean->(a+b)2V(X)= Variance->V(X)=(b?a)21212?a)(b2b=0a=0，所以对于标准的均匀分布和标准的均匀分布的密度参数为b=0a=0 的密度函数为：otherwise0≤x≤1f(x)={10otherwise0≤x≤10，f(x)={1，，，Distribution）二项分布（Binomial.XX可能的值是什比如XX，表示你赢得比赛的次数。
我们假定一个随机变量，它可以是任何数字，赢得比赛的次数。
么？，失败的概率可0.5 成功，失败。
因此，成功概率= 如果就两个可能的结果。
1=0.5q=p? q=p?1=0.5以容易地计算为：。
以及所有试验的成功和失败概率相只有两种结果是可能的分布，如成功或失败，同的情况称为二项分布。
那么失败的，前面的例子如果实验成功的概率是发生结果的可能性不同时，0.2=1?0.2=0.8q q=1?0.2=0.8概率可以很容易地计算出来，。
只有两次每次试验都是独立的，因为之前的结果并不决定或影响当前的结果。
nnp，其中n和p重复n次的可能结果的实验称为二项式。
二项分布的参数是p pn是试验的总数，是每个试验中成功的概率。
基于上述解释，二项分布的性质是： 1. 每次实验独立成功或失败。
- 2. 试验中只有两种可能的结果n共进行了次相同的试验。
n3.（试验是相同的。
）4. 所有试验的成功和失败的概率是相同的。
二项分布的数学表达式由下式给出：qx)!x!pP(x)=n!(n? P(x)=n!(n?x)!x!pxqn?x xx?n一个二项分布图，其中成功的概率不等于失败的概率长这样：.成功概率与失败概率相等，长这样：二项分布均值和方差：pμ=n?pμ=n?Mean ->q?p?Var(X)=n qp?Var(X)=n?Variance ->Distribution）正态分布（Normal如果任何分布具有以下特征，正态分布可以表示宇宙中大多数的事件发生情况。
则称为正态分布：均值、中位数、众数在一个分布中取相同的值；1.μx=对称；2. 分布曲线关于x=μ.3. 曲线下面的面积总和为；中心位置的左半边和右半边对应位置的概率取值相同。
4.但是，如果试验次数接近无穷大，则形状正态分布与二项分布有很大的不同。
将非常相似。
X X服从正态分布的随机变量的密度函数为：<∞<xef(x)=12πσ???√?∞f(x)=12πσe{?12(x?μσ)2}?∞<x<∞}(){?2x12?μσX X服从均匀分布的随机变量的均值和方差，如下：μE(X)=Mean -> E(X)=μσVar(X)= Variance ->Var(X)=σ22)σN(μ,～μσX X是两个参数，随机变量σ(standard 这里μ(mean)和deviation) 的不同取值的变化图如下：～N(μ,σ)，密度图如下：0，方差为1标准正态分布的均值为<∞xe∞<f(x)=12π??√f(x)=12πe?x22∞<x<∞?x22.Poisson Distribution）泊松分布（它可以是任何数假设你在一个呼叫中心工作，大概一天能接收到多少个电话？呼叫数量就可以用泊松分布建模，下面是别的例子：字。
1. 每天在医院记录的紧急呼叫数量。
2. 每天在一个地区报告的盗窃数量。
3. 一小时内到达沙龙的客户数量。
4. 一个特定城市报告的自杀人数。
书每页的打印错误数量。
5.其中我们的兴趣仅泊松分布适用于事件发生在任意随机时间点或者空间的情况，当以下假设有效时，分布称为泊松分布：在于事件的发生次数。
任何成功的事件都不应该影响另一个成功事件的结果。
?在较短的时间间隔内成功的概率必须等于在较长的时间间隔内成功的概率。
?现在，如果任何分布满足上述假设，那随着间隔变小，间隔内成功的概率接近零。
?么它是一个泊松分布。
泊松分布中使用的一些符号是：λλ是事件发生的速率?t t是时间间隔的长度?tX是在时间间隔内事件发生的次数tX?XX X的概率分布就叫做泊松分布。
这里X叫做泊松随机变量，同时.tλμ?=μt内时间发生的平均次数也就是均值，所以t。
tμ=λ我们用?μ表示时间X PMF为：X的服从泊松分布的随机变量x=0,1,2,......P(X=x)=eP(X=x)=e?uμxx!x=0,1,2,......u?!μxxλμμ泊松分布图也被定义为在一个时间段内发生均值次。
μ是分布的参数，λμ如下：下图显示了均值增加而导致的曲线移动：可以感觉到，随着平均值的增加，曲线向右移动。
X的均值和方差：X服从泊松分布的随机变量.μE(X)=-> E(X)=μMeanμVar(X)=-> Var(X)=μVariance）Exponential Distribution指数分布（指数分布想想通话间的时间间隔是多少？我们再来考虑一下呼叫中心的例子。
指数分布对呼叫之间的时间间隔建模。
来解决我们的问题。
其他例子：两站地铁到达之间的时间长度1.到达加油站的时间长度2.空调的使用寿命3.从机器的预期寿命到人的预期寿命，指数分布可指数分布广泛用于生存分析。
用来传递这些结果。
X PDF 随机变量为：X服从指数分布，它的≥0λe,xf(x)= f(x)=λeλx,x≥0λx>0λ参数λ>0也叫做速率。
tλt。
t对于生存分析，的故障率，假设它存活到λ被称为设备在任何时间X的均值和方差：服从指数分布的随机变量X E(X)= Mean -> E(X)=1λλ1)Var(X)=(-> Var(X)=(1λ)2Variance 2λ1下图显示了这一点：曲线越平滑。
此外，速率越大，曲线越下降快，速率越低，.eP{X≤x}=1?对应P{X≤x}=1?e?λx为了简化计算，下面给出了一些公式。
?λx x x于左边密度曲线下的面积。
xeP{X>x}=1?右侧密度曲线下的面积。
xP{X>x}=1?e?λx对应于?λx xexxP{x<X≤}=e?x2P{x1<X≤x2}=e?λx1?e?λx2对应于和x12?λx?λx21121之间密度曲线下的面积。
三、分布之间的关系伯努利分布和二项分布伯努利分布是二项分布的一个特例，只有一次试验。
1.伯努利和二项分布只有两种可能的结果，即成功和失败。
2.泊松分布和二项分布泊松分布是二项分布的极限分布，条件如下：∞n试验次数足够多或者说∞n -> 1..p p ->0 2. 每次试验成功的概率相同，无穷小或者λnp=，有限。
3. np=λ& 正态分布和泊松分布正态分布和二项分布正态分布是在以下条件下二项分布的另一种极限形式，条件如下：∞n 1. 试验次数无限大∞n ->qp qp和都不是无限小的。
2.∞λ∞λ-> 正态分布也是参数的泊松分布的一个极限情况。
指数分布和泊松分布tλ的时间段内的指数分布，那么长度为如果随机事件之间的时间遵循速率为tλλt的事件总数遵循具有参数的泊松分布。
λt总结概率分布在许多领域都很普遍，即保险学，物理学，工程学，计算机科学甚至社它有一个简单的应用程序会科学，其中心理学和医学学生广泛使用概率分布。
这篇文章强调了在日常生活中观察到的六个重要分布，并解释和广泛的使用。
现在你将能够识别，关联和区分这些分布。
了它们的应用。
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