6平面直角坐标系知识结构图-教师版
八年级各章知识结构图
知识结构图
第二十五章概率初步
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第二十六章二次函数
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第二十七章相似
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第二十八章锐角三角函数
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第二十九章投影与视图
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第一章有理数
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第二章整式的加减
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第四章图形的认识初步
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第五章相交线与平行线
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第六章平面直角坐标系
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第七章三角形
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第八章二元一次方程组
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第九章不等式与不等式组
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第十章数据的收集、描述与整理
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第十一章全等三角形
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第十二章轴对称
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等十三章实数
知识构图
第十四章一次函数
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第十五章整式的乘除与因式分解
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第十六章分式
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第十七章反比例函数
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第十八章勾股定理
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第十九章四边形
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第二十章数据的分析
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第二十一章二次根式
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第二十二章一元二次方程
知识结构图
第二十三章旋转
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人教版七年级下册数学总复习教学内容
<<<<<<精品资料》》》》》七年级下学期数学知识梳理第五章相交线与平行线一、知识结构图相交线相交线垂线同位角、内错角、同旁内角平行线平行线及其判定平行线的判定平行线的性质平行线的性质命题、定理平移二、知识定义邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。
对顶角：一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角。
垂线：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。
平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
同位角、内错角、同旁内角：同位角：∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。
内错角：∠2与∠6像这样的一对角叫做内错角。
同旁内角：∠2与∠5像这样的一对角叫做同旁内角。
命题：判断一件事情的语句叫命题。
平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。
对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。
三、定理与性质对顶角的性质：对顶角相等。
垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
平行线的性质：性质1：两直线平行，同位角相等。
性质2：两直线平行，内错角相等。
性质3：两直线平行，同旁内角互补。
平行线的判定：<<<<<<精品资料》》》》》<<<<<<精品资料》》》》》ED CBA判定1：同位角相等，两直线平行。
判定2：内错角相等，两直线平行。
判定3：同旁内角相等，两直线平行。
四、经典例题例1 如图，直线AB,CD,EF 相交于点O ，∠AOE=54°，∠EOD=90°，求∠EOB ，∠COB 的度数。
沪教版(上海)-初中数学七年级、八年级、九年级数学全册章节知识点结构思维导图集
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第二十六章 二次函数的章节知识点结构思维导图 第二十七章 圆与正多边形的章节知识点结构思维导图
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第二十八章 统计初步的章节知识点结构思维导图
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第十四章 三角形的章节知识点结构思维导图 第十五章 平面直角坐标系的章节知识点结构思维导图
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上海市（沪教版）八年级数学全册章节思维导图 共八个章节
第十六章 二次根式的章节知识点结构思维导图
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第十七章 一元二次方程的章节知识点结构思维导图
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第十八章 正比例函数和反比例函数的章节知识点结构思维导图 第十九章 几何证明的章节知识点结构思维导图
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第七章 线段与角的画法的章节知识点结构思维导图 第八章 长方体的再认识的章节知识点结构思维导图
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上海市（沪教版）七年级数学全册章节思维导图 共七章
第九章 整式的章节知识点结构思维导图
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第十章 分式的章节知识点结构思维导图 第十一章 图形的运动的章节知识点结构思维导图
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第十二章 实数的章节知识点结构思维导图 第十三章 相交线 平行线的章节知识点结构思维导图
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第二十章 一次函数的章节知识点结构思维导图 第二十一章 代数方程的章节知识点结构思维导图
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第二十二章 四边形的章节知识点结构思维导图 第二十三章 概率初步的章节知识点结构思维导图
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上海市（沪教版）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ年级数学全册章节思维导图 共五章
第二十四章 相似三角形的章节知识点结构思维导图
上海市（沪教版）初中数学全册思维导图集 共二十八章
6.平面直角坐标系中的距离公式(教师版)
第二章 解析几何初步§1 直线与直线的方程第6课时 平面直角坐标系中的距离公式【预习导航】1.若),(),,(2211y x B y x A ,则B A ,两点之间的距离=||AB ______.2.点),(00y x P 到直线0=++C By Ax 的距离=d ______.参考答案:1.212212)()(y y x x -+-.2.2200||BA C By Ax +++.【基础自测】1.原点到直线1043=-y x 的距离为( )A.1B.2C.5D.10 2.若点),4(m M 关于点)3,(-n N 的对称点为)9,6(-P ,则=+n m ( ) A.1 B.2 C.7 D.8 3.若),1(),1,2(m B A -两点之间的距离为5,则m 的值为( )A.3-B.5C.1-或3-D.3-或54.若过点)1,2(P 的直线l 分别交y x ,轴于点B A ,,且||||PB PA =,则l 的方程为( )A.042=-+y xB.032=--y xC.032=+-y xD.052=-+y x 参考答案: 1.B 2.D 3.D 4.A【典例剖析】题型1: 有关距离的问题例1 已知点)7,2(),2,1(B A -,在x 轴上求一点P ,使得||||PB PA =.[思路分析]由题意先设出点P 的坐标,然后根据题目条件列出方程求解即可. [解法一]由题意可设点P 的坐标为)0,(x ,又由于||||PB PA =,因此有:2222)70()2()20()1(-+-=-++x x 解得1=x .所以,所求点P 的坐标为)0,1(.[解法二]由直线AB 斜率为327-=k ,且线段AB 中点为)272,21(+C ,因此直线AB 的垂直平分线方程为: )21(723272--=+-x y . 令0=y ,得1=x .所以,所求点P 的坐标为)0,1(.[规律技巧]两种解法各有利弊,解法一直接求解；解法二则是抓住几何性质入手,值得关注.[变式训练]在直线043=-+y x 上求一点P ,使其到)1,0(),0,3(-B A 的距离相等.解:由题意可设点P 的坐标为),34(y y -,又由于||||PB PA =,因此有:2222)1()34()334(++-=+--y y y y 解得1=y .所以,所求点P 的坐标为)1,1(.例2 (1)求点)2,1(-P 到下列直线的距离: ①3=x ；②5=y ；③0832=-+y x . (2)求两条平行直线0143=-+y x 和01643=-+y x 之间的距离.[思路分析]对点到直线距离公式的理解与应用应全面、正确.[解](1)①因直线3=x 平行于y 轴,故点)2,1(-P 到3=x 的距离4|)1(3|=--=d .②因5=y 平行于x 轴,故)2,1(-P 到直线5=y 的距离为:3|25|=-=d .③由点到直线的距离公式可得:1313432|823)1(2|22=+-⨯+-⨯=d . (2)两条平行直线之间的距离: 343|)16()1(|22=+---=d .[规律技巧]点),(00y x P 到b y a x ==,的距离既可用点到直线的距离公式计算,也可用||0a x d -=或||0b y d -=计算.另外,平行直线0=++C By Ax 与0'=++C By Ax 间的距离22|'|BA C C d +-=.[变式训练]直线0243=+-y x 与直线02186=+-y x 之间的距离为________.解:由直线02186=+-y x 的方程可化为: 022143=+-y x . 故,两直线间的距离为间的距离 1017)4(3|2221|22=-+-=d . 题型2: 有关距离的应用例3 (1)求经过点)2,3(-P ,且与原点距离为3的直线方程.(2)已知动点P 到直线0132=+-y x 和0932=--y x 的距离相等,求动点P 的轨迹方程.[思路分析]对于(1),将直线方程设出来,再由点到直线距离求解即可.只是需要关注设直线方程时,直线的斜率存在与否需要讨论；对于(2),输出点的坐标,根据已知条件直接求解即可.[解](1)当直线的斜率不存在时,直线方程为3=x ,符合题意；当直线的斜率存在时,由题意可设直线方程为)3()2(-=--x k y ,整理可得: 023=---k y kx . 由点到直线的距离公式可得: 3)1(|2300|22=-+---⋅=k k k d ,解得125=k .故,所求直线方程为:3=x 或039125=--y x .(2)设点P 坐标为),(y x ,则由题意可得:2222)3(2|932|)3(2|132|-+--=-++-y x y x ,从而得所求轨迹方程为0432=--y x . [规律技巧]经过定点的直线的斜率是否存在,在设直线方程时常常需要讨论,否则,容易漏解.[变式训练]求直线01953=+-y x 关于点)3,2(对称的直线方程.解:由题意可知,所求直线与已知直线一定平行,故可设所求直线方程为: 053=+-m y x .又由点)3,2(到两直线距离相等可得:2222)5(3|3523|)5(3|193523|-++⨯-⨯=-++⨯-⨯m ,解得19=m (舍),或1-=m . 故,所求直线方程为0153=--y x . 例 4 两条平行直线分别经过点)2,2(--P 和)3,1(Q ,它们之间的距离为d .如果两条直线各自绕着P ,Q 旋转,并且保持平行． (1)求d 的变化范围； (2)用d 表示两条直线的斜率； (3)当d 最大时,求两条直线的斜率． [思路分析]先设两条平行直线的斜率,再逐步求解即可.[解](1)当两条平行直线的斜率均不存在时,3=d ；当两平行直线的斜率均存在时,设斜率为k ,则过点P 的直线为2(2)y k x +=+,即220kx y k -+-=；过点Q 的直线方程为30kx y k --+=.两条平行直线间的距离为: 22|223||35|,11k k k d k k -+--==++令222930251k k u d k -+==+,去分母,整理得2(9)30(25)0u k k u -++-=，即,关于k 的方程2(9)30(25)0u k k u -++-=有实数根.①当9=u 时,方程有实数根； ②当9≠u 时,方程要有实数根,则必有:0)25)(9(4302≥---u u ,即,340≤≤u .综上可知,d 的变化范围为034d ≤≤. (2)由(1)中的方程2(9)30(25)0u k k u -++-=,即 222(9)30(25)0d k k d -++-=,解得2215349d d k d -±-=-. (3)当max 34d =时,2215341539255d d k d -±-==-=--. [规律技巧]本题中求d 的取值范围的方法值得关注.读者可以考虑还有什么方法可以求得(1)中的d 的取值范围.[变式训练]已知点)4,3(P ,以及直线0943=++y x 上的动点Q ,则Q P ,两点间距离的最小值为________.解:由于Q P ,两点间距离的最小值即为点P 到直线0943=++y x 的距离,故所求的最小值为53443|94433|22=++⨯+⨯=d . 【课时作业】 一、选择题1.点)1,1(到直线2=-y x 的距离为( ) A.1 B.2 C.2 D.22 答案:C 由点到直线的距离公式可得: 211|21111|22=+-⨯-⨯=d .2.若过点),5(),,3(b B a A 两点的直线与直线m x y +=平行,则=||AB ( ) A.1 B.2 C.2 D.22 答案:D 由题意得135=--ab ,故2=-a b . 因此,22)()35(||22=-+-=a b AB .3.直线0134=-+y x 与0368=++y x 之间的距离为( )A.21 B.1 C.23D.2 答案:A 由直线的方程0134=-+y x 可化为0268=-+y x ,从而可得: 2168|)2(3|22=+--=d . 4.若点P 在直线02743=--y x 上,点Q的坐标为)1,2(,则当||PQ 最小时,点P 的坐标为( )A.)3,5(-B.)0,9(C.)5,3(-D.)3,5(-答案:A 由于当||PQ 最小时PQ 与已知直线垂直,故验证斜率即可得解.二、填空题5.若点P 在直线06125=++y x 上,点Q 为)2,3(,则||PQ 的最小值为______．答案:1345由题有1345125|621235|22=++⨯+⨯. 6.若x 轴上的点P 到直线0643=+-y x 的距离为6,则P 点坐标为______． 答案:)0,8(或)0,12(- 由题可设)0,(x P ,则有6)4(3|6043|22=-++⨯-x ,解之,得8=x 或12-=x .7.若点),4(a 与直线4310x y --=的距离不大于3,则a 的取值范围为______. 答案:010a ≤≤ 根据题意可得|4431|35a ⨯--≤,解得010a ≤≤.8.若)1,1(到直线cos sin 20x y θθ+-=的距离为d ,则d 的最大值为______. 答案:22+ 由题意可得:|2)4sin(2|sin cos |2sin cos |22-+=+-+=πθθθθθd 故,2222+≤≤--d .三、解答题9.在直线2y x =+上找一点,使它到直线3480x y -+=和310x y --=的距离的平方和最小．解:设点(,2)P x x +,则有1348855x x x d --+==,2321231010x x x d ----==.从而可得:10)32(25322221-+=+x x d d ])1115(2245)1115(22[50122⨯-+-=x 所以当1511x =时,有最小值,此时3711y =.∴点P 的坐标为1537(,)1111.10.已知)3,2(1P ,)5,4(2-P 与点)2,1(-A ,求过点A 且与1P ,2P 距离相等的直线方程． 解法1：当直线斜率不存在时,方程为1-=x ,符合题意；当直线的斜率存在时,设直线的方程为2(1)y k x -=+,即20kx y k -++=，1P ,2P 到直线的距离相等,则有,1254123222+++--=+++-k k k k k k化简得3313+=-k k ,解得13k =-,代入得直线方程为 350x y +-=. 综上可知,所求的直线方程为350x y +-=或10x +=.解法2：若1P ,2P 在直线l 的同侧,1P ,2P 到l 的距离相等,则过1P ,2P 的直线与直线l平行,则过点1P ,2P 的直线的斜率为531423k -==---，∴过点A 且与1P ,2P 距离相等的直线l 方程为350x y +-=；若1P ,2P 在直线l 的异侧时,要1P ,2P 到l 的距离相等,则l 一定过1P ,2P 的中点,则1P ,2P 的中点为)4,1(-,又l 要过点A , 故直线l 的方程是10x +=． 综上可知,所求的直线方程为350x y +-=或10x +=.。
初中数学知识结构图思维导图
公式 提公 法 因式 法
单项式除以单项式
同底数幂相除
除法
乘法公式
单项式与多项式 幂的乘法
乘法
运算
分母中 含字母、
分母 不为零
系数 相加 字母 不变
合并 同类项
加减 同类项
每个单项式 升降幂排列
项 次数
多项式
整式
最高项的次 数
意义
单项式
字母指数和
次数
系数
数字因 数
不改变 分式的值
公因式
通分化成同分 母
反比例函数
图象 性质
柱形储藏室轮船卸货 力学问题 电学问题
应用
一次函 数与反 比例函 数
解析式
形如y k x
（k为常数，k 0）
实际问题，图象在第 一象限
看图 象能 口述 性质
y
y
ox o
图象
1.开口方向 2.顶点坐标 3.对称轴 4.增减性 5.极值
性质
看式
子类
型能
口述
性质 ① yax2 ② yax2k
角平分线
条件
全等三角形
SSS
对应边、角、周长 面积、中线、高线、
角平分线相等
性质 表示方法
定义
两个三角形 用符号≌连接
完全重合 两个三角形
关系
位似变换
性质
两角对应 相等
相似三角形
判定
两边成比例 且夹角相等
全等 三角形 与 相似 三
角形
相似图形 形状相同
相似多边形
平行
比例线段
性质
ac bd
对应角相等， 周长的比=相似比 方
(3) a2 a
Y随 x的 增 大 而 增 大
平面直角坐标系知识梳理及经典题型(教师版)
平面直角坐标系知识结构图：一、知识要点：（一）有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对。
记作（a ，b）（二）平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系；a,）一一对应；其1、坐标平面上的任意一点P的坐标，都和惟一的一对有序实数对（b中，a为横坐标，b为纵坐标坐标；2、x轴上的点，纵坐标等于0；y轴上的点，横坐标等于0；坐标轴上的点不属于任何象限（三）四个象限的点的坐标具有如下特征：1、点P （y x ,）所在的象限 横、纵坐标x 、y 的取值的正负性；2、点P （y x ,）所在的数轴 横、纵坐标x 、y 中必有一数为零； （四）在平面直角坐标系中，已知点P ),(b a ，则 1、点P 到x 轴的距离为b ； 2、点P 到y 轴的距离为a ；3、点P 到原点O 的距离为PO ＝ 22b a +（五）平行直线上的点的坐标特征：1、在与x 轴平行的直线上， 所有点的纵坐标相等；点A 、B 的纵坐标都等于m ；2、在与y 轴平行的直线上，所有点的横坐标相等；点C 、D 的横坐标都等于n ；（六）对称点的坐标特征：1、点P ),(n m 关于x 轴的对称点为),(1n m P -， 即横坐标不变，纵坐标互为相反数；象限 横坐标x纵坐标y第一象限 正 正 第二象限 负 正 第三象限 负 负 第四象限正负P （b a ,）abxy OXYA BmXYC Dn2、点P ),(n m 关于y 轴的对称点为),(2n m P -， 即纵坐标不变，横坐标互为相反数；3、点P ),(n m 关于原点的对称点为),(3n m P --，即横、纵坐标都互为相反数；关于x 轴对称 关于y 轴对称 关于原点对称（七）两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征：1、若点P （n m ,）在第一、三象限的角平分线上，则n m =，即横、纵坐标相等；2、若点P （n m ,）在第二、四象限的角平分线上，则n m -=，即横、纵坐标互为相反数；在第一、三象限的角平分线上 在第二、四象限的角平分线上（八）利用平面直角坐标系绘制区域内一些点分布情况平面图过程如下：1、建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x 轴、y 轴的正方向；2、根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；3、在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称。
gcrmpc七级下学期数学知识框架
、|!_一个人总要走陌生的路，看陌生的风景，听陌生的歌，然后在某个不经意的瞬间，你会发现，原本费尽心机想要忘记的事情真的就这么忘记了..七年级下学期数学知识梳理第五章相交线与平行线一、知识结构图相交线相交线垂线同位角、内错角、同旁内角平行线平行线及其判定平行线的判定平行线的性质平行线的性质命题、定理平移二、知识定义邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。
对顶角：一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角。
垂线：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。
1 / 202 / 20平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
同位角、内错角、同旁内角：同位角：∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。
内错角：∠2与∠6像这样的一对角叫做内错角。
同旁内角：∠2与∠5像这样的一对角叫做同旁内角。
命题：判断一件事情的语句叫命题。
平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。
对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。
三、定理与性质对顶角的性质：对顶角相等。
垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
平行线的性质：性质1：两直线平行，同位角相等。
性质2：两直线平行，内错角相等。
3 / 20EDCBA性质3：两直线平行，同旁内角互补。
平行线的判定：判定1：同位角相等，两直线平行。
判定2：内错角相等，两直线平行。
判定3：同旁内角相等，两直线平行。
四、经典例题例 1 如图，直线AB,CD,EF 相交于点O ，∠AOE=54°，∠EOD=90°，求∠EOB ，∠COB 的度数。
高中数学知识结构图（人教A版）
高中数学知识结构图与集合与常常用逻辑用语逻辑用语集合集合集合的含义与表示集合的含义与表示集合间的基本关系集合间的基本关系 集合的基本运算集合的基本运算常用逻辑用语常用逻辑用语（选修）（选修）四种命题四种命题充分条件与必要条件充分条件与必要条件简单的逻辑联结词（或、且、非）简单的逻辑联结词（或、且、非） 全称量词与存在量词全称量词与存在量词函数函数函数的概念函数的概念函数的表示法函数的表示法函数的基本性质函数的基本性质基本初等函数基本初等函数函数的应用函数的应用定义域定义域值域值域 对应关系对应关系单调性单调性最大（小）值最大（小）值 奇偶性奇偶性 指数函数指数函数对数函数对数函数幂函数幂函数指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算指数函数及其性质指数函数及其性质 对数与对数运算对数与对数运算 对数函数及其性质对数函数及其性质函数与方程函数与方程函数模型及其应用函数模型及其应用方程的根与函数的零点方程的根与函数的零点二分法求方程的近似解二分法求方程的近似解几类不同增长的函数模型几类不同增长的函数模型函数模型的应用实例函数模型的应用实例立体几何立体几何 空间几何体空间几何体点、直线、平面点、直线、平面之间的位置关系之间的位置关系空间几何体的结构空间几何体的结构空间几何体的三视图和直观图空间几何体的三视图和直观图空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积直线、平面平行的判定及其性质直线、平面平行的判定及其性质柱、锥、台、球的结构特征柱、锥、台、球的结构特征 简单组合体的结构特征简单组合体的结构特征柱、锥、台的表面积与体积柱、锥、台的表面积与体积球的体积和表面积球的体积和表面积平面及其性质（三个公理）平面及其性质（三个公理） 空间直线与直线之间的位置关系空间直线与直线之间的位置关系空间中直线与平面之间的位置关系空间中直线与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间空间点、直线、平面之间的位置关系的位置关系直线、平面垂直的判定及其性质直线、平面垂直的判定及其性质直线与平面平行的判定直线与平面平行的判定平面与平面平行的判定平面与平面平行的判定 直线与平面平行的性质直线与平面平行的性质 平面与平面平行的性质平面与平面平行的性质 直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定 平面与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定 直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质面与平面垂直的性质直线与圆直线与圆直线与方程直线与方程圆与方程圆与方程 直线的倾斜角和斜率直线的倾斜角和斜率直线的方程直线的方程直线的交点坐标与距离公式直线的交点坐标与距离公式直线、圆的位置关系直线、圆的位置关系倾斜角与斜率倾斜角与斜率两条直线平行与垂直的判定两条直线平行与垂直的判定直线的点斜式方程（含斜截式方程） 直线的两点式方程（含截距式方程） 直线的一般式方程直线的一般式方程 圆的标准方程圆的标准方程圆的一般方程圆的一般方程圆的方程圆的方程空间直角坐标系空间直角坐标系两条直线的交点坐标两条直线的交点坐标两点间的距离两点间的距离 点到直线的距离点到直线的距离两条平行直线间的距离两条平行直线间的距离直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系 直线与圆的方程的应用直线与圆的方程的应用空间直角坐标系空间直角坐标系空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式算法初步算法初步概率与统计概率与统计 统计案例统计案例算法与程序框图算法与程序框图基本算法语句基本算法语句算法案例算法案例算法的概念算法的概念程序框图与算法的基本逻辑结构程序框图与算法的基本逻辑结构 输入语句、输出语句和赋值语句输入语句、输出语句和赋值语句条件语句条件语句 循环语句循环语句随机抽样随机抽样统计统计概率概率求最大公约数（辗转相除法、更相减损术） 秦九韶算法秦九韶算法 进位制进位制简单随机抽样简单随机抽样系统抽样系统抽样 分层抽样分层抽样用样本估计总体用样本估计总体用样本的频率分布估计总体分布用样本的频率分布估计总体分布 用样本的数字特征估计总体的数字特征用样本的数字特征估计总体的数字特征变量间的相关关系变量间的相关关系变量之间的相关关系变量之间的相关关系两个变量的线性相关（线性回归方程）两个变量的线性相关（线性回归方程）随机事件的概率随机事件的概率 古典概型古典概型 几何概型几何概型随机事件的概率随机事件的概率概率的意义概率的意义概率的基本性质概率的基本性质统计案例统计案例（选修）（选修）独立性检验独立性检验回归分析回归分析离散型随机变量离散型随机变量分布列分布列 期望期望 方差方差两点分布两点分布二项分布二项分布 超几何分布超几何分布 正态分布正态分布正态分布密度曲线正态分布密度曲线 3σ分布σ分布条件概率和事件的独立性条件概率和事件的独立性独立事件同时发生的概率独立事件同时发生的概率独立重复试验独立重复试验三角函数三角函数 任意角和弧度制任意角和弧度制三角函数三角函数三角恒等变换三角恒等变换任意角的三角函数与同角三角函数的基本关系任意角的三角函数与同角三角函数的基本关系 三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式 平方关系平方关系商数关系商数关系三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质正弦函数、余弦函数的图象正弦函数、余弦函数的图象正弦函数、余弦函数的性质正弦函数、余弦函数的性质 正切函数的性质与图象正切函数的性质与图象函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的图象）的图象 三角函数模型的简单应用三角函数模型的简单应用两角和与差的正弦、两角和与差的正弦、余弦、正切公式余弦、正切公式余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式解三角形解三角形正弦定理正弦定理 余弦定理余弦定理向量向量平面向量的实际背景及基本概念平面向量的实际背景及基本概念平面向量平面向量平面向量应用平面向量的线性运算平面向量的线性运算向量加法运算及其几何意义向量加法运算及其几何意义向量减法运算及其几何意义向量减法运算及其几何意义 向量数乘运算及其几何意义向量数乘运算及其几何意义平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的数量积平面向量的数量积平面向量数量积的物理背景及其含义平面向量数量积的物理背景及其含义平面向量数量积的坐标表示、模、夹角平面向量数量积的坐标表示、模、夹角空间向量空间向量（选修）（选修）空间向量及其运算空间向量及其运算立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法向量的物理背景与概念向量的物理背景与概念向量的几何表示向量的几何表示 相等向量与共线向量相等向量与共线向量平面向量基本定理平面向量基本定理平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示平面几何中的向量方法平面几何中的向量方法 向量在物理中的应用举例向量在物理中的应用举例空间向量的直角坐标运算空间向量的直角坐标运算空间向量的数量积空间向量的数量积 空间向量的基本定理空间向量的基本定理 空间向量的线性运算空间向量的线性运算数列的概念与简单表示法数列的概念与简单表示法数列数列等比数列的前n 项和项和 等差数列等差数列等差数列的前n 项和项和等比数列等比数列数列的应用数列的应用不等关系与不等式不等关系与不等式不等式不等式 不等式选讲不等式选讲一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法二元一次不等式（组）与简单的线性基本不等式2a bab +≤基本性质基本性质比较大小比较大小二元一次不等式(组)与平面区域与平面区域简单的线性规划问题简单的线性规划问题不等式与绝对值不等式不等式与绝对值不等式柯西不等式柯西不等式 数学归纳法数学归纳法不等式证明的基本方法不等式证明的基本方法比较法、综合法、分析法比较法、综合法、分析法反证法、放缩法反证法、放缩法复数的基本概念复数的基本概念复数代数形式的四则运算复数代数形式的四则运算复数(选修)变化率与导数变化率与导数几种常见函数的导数几种常见函数的导数 导数的运算导数的运算导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用 生活中的优化问题举例生活中的优化问题举例 定积分的概念定积分的概念 微积分基本定理微积分基本定理椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程 椭圆的简单性质椭圆的简单性质双曲线的标准方程和简单性质双曲线的标准方程和简单性质 抛物线及其标准方程抛物线及其标准方程 抛物线的简单性质抛物线的简单性质直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系 圆锥曲线的简单应用圆锥曲线的简单应用平面直角坐标系伸缩变换下的平面图形变化平面直角坐标系伸缩变换下的平面图形变化极坐标系极坐标系极坐标系中简单图形的方程极坐标系中简单图形的方程 柱坐标系、球坐标系简介柱坐标系、球坐标系简介计数原理、二项式定理计数原理、二项式定理分类计数原理和分步计数原理分类计数原理和分步计数原理排列排列 组合组合二项式定理二项式定理坐标系参数方程抛物运动轨迹的参数方程抛物运动轨迹的参数方程直线、圆和圆锥曲线的参数方程直线、圆和圆锥曲线的参数方程 参数方程与普通方程的比较参数方程与普通方程的比较 平摆线和渐开线的参数方程平摆线和渐开线的参数方程优选法与试验设计初步优选法优选法试验设计初步试验设计初步。
人教版数学选修4-4课件 1.1 平面直角坐标系
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
记忆中
选择恰当的记忆数量
魔力之七：美国心理学家约翰·米勒曾对短时记忆的广 度进行过比较精准的测定：通常情况下一个人的记忆 广度为7±2项内容。
• 思维导引：本题涉及两点间的距离及曲线， 故要想到坐标法解决问题．
解析：以 A，B 所在直线为 x 轴，A，B 中点 O 为坐标原点，建立如图的直角坐标 系．
∵|AB|＝10，∴点 A(－5,0)，B(5,0)．设某地 P 的坐标为(x，y)，并设 A 地运费为 3a 元/公里，则 B 地运费为 a 元/公里，设 P 地居民购货总费用满足条件(P 地居民选择 A 地 购货)：价格＋A 地运费≤价格＋B 地运费，
超级记忆法-记忆 规律
TIP1：我们可以选择记忆的黄金时段——睡前和醒后！ TIP2：可以在每天睡觉之前复习今天或之前学过的知识，由于不受后摄抑制的 影 响，更容易储存记忆信息，由短时记忆转变为长时记忆。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
TIP3：另外，还有研究表明，记忆在我们的睡眠过程中也并未停止，我们的大 脑 会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是 非常 宝贵的，不要全部用来玩手机哦~
•要点二 平面直角坐标系中的伸缩变换
定义：设 P(x，y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换 φ：xy′′＝＝λμxy，，λμ＞＞00，
• 的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，就 坐称标φ伸为缩平变面换 直角伸坐缩标变换系中的________________， 简称______________．
2020春北师大版本数学中考一轮-第06讲-平面直角坐标系与一次函数(培优)-讲义(教师版)
学科教师辅导讲义学员编号：年级：中考课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第06讲-平面直角坐标系及一次函数授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①会画平面直角坐标系，掌握坐标平面内点的坐标特征；②理解一次函数的概念，会利用待定系数法确定一次函数的表达式；③体会一次函数与二元一次方程的关系，能用一次函数解决简单实际问题。
授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂一、知识梳理(一)、平面直角坐标系与点的坐标特征1．平面直角坐标系如图，在平面内，两条互相垂直的数轴的交点O称为原点，水平的数轴叫x轴（或横轴）_，竖直的数轴叫y轴（或纵轴）__，整个坐标平面被x轴、y轴分割成四个象限．2．各象限内点的坐标特征点P(x，y)在第一象限x＞0，y＞0；点P(x，y)在第二象限x＜0，y＞0；点P(x，y)在第三象限x＜0，y＜0；点P(x，y)在第四象限x＞0，y＜0.3．坐标轴上的点的坐标特征点P(x，y)在x轴上y＝0，x为任意实数；点P(x，y)在y轴上x＝0，y为任意实数；体系搭建点P (x ，y )在坐标原点x ＝0，y ＝0.(二)、特殊点的坐标特征1．对称点的坐标特征点P (x ，y )关于x 轴的对称点P 1的坐标为(),x y -；关于y 轴的对称点P 2的坐标为(),x y -；关于原点的对称点P 3的坐标为(),x y --．2．与坐标轴平行的直线上点的坐标特征平行于x 轴：横坐标_不同 _，纵坐标__相同___；平行于y 轴：横坐标__相同__，纵坐标_不同 _． 3．各象限角平分线上点的坐标特征第一、三象限角平分线上的点横坐标与纵坐标___相同_____， 第二、四象限角平分线上的点横坐标与纵坐标___互为相反数_____． 4．点的平移将点P(x ，y)向右(或向左)平移a 个单位，可以得到对应点(x ＋a ，y)[或(x －a ，y)]；将点P(x ，y)向上(或向下)平移b 个单位，可以得到对应点(x ，y ＋b)[或(x ，y －b)]． (三)、距离与点的坐标的关系1．点与原点、点与坐标轴的距离点P (x ，y )到x 轴和y 轴的距离分别是|y |和|x |，点P (x ，y )到坐标原点的距离为x 2＋y 2. 2．坐标轴上两点间的距离(1)在x 轴上两点P 1(x 1,0)，P 2(x 2,0)间的距离|P 1P 2|＝12x x -. (2)在y 轴上两点Q 1(0，y 1)，Q 2(0，y 2)间的距离|Q 1Q 2|＝12y y -.(3)在x 轴上的点P 1(x 1,0)与y 轴上的点Q 1(0，y 1)之间的距离|P 1Q 1|＝x 12＋y 12. (四)、函数有关的概念及图象1．函数的概念一般地，在某一变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有__唯一_确定的值与它对应，那么就说y 是x 的函数，x 是自变量．2．常量和变量在某一变化过程中，保持一定数值不变的量叫做常量；可以取不同数值的量叫做变量． 3．函数的表示方法函数主要的表示方法有三种：(1)解析法；(2)___列表法_____；(3)图象法． 4．函数图象的画法(1) 列表_：在自变量的取值范围内取值，求出相应的函数值；(2) 描点_：以x 的值为横坐标，对应y 的值作为纵坐标，在坐标平面内描出相应的点；(3) _连线_：按自变量从小到大的顺序用光滑曲线连接所描的点．(五)、函数自变量取值范围的确定1．自变量以分式形式出现，它的取值范围是使分母____不为零______的实数． 2．当自变量以二次方根形式出现，它的取值范围是使被开方数为_____非负数_____． 3．当自变量出现在零次幂或负整数次幂的底数中，它的取值范围是使底数不为零的实数．4．在一个函数关系式中，同时有几种代数式，函数自变量的取值范围应是各种代数式中自变量取值范围的公共部分．(六)、一次函数和正比例函数的定义一般地，如果y ＝kx ＋b (k ，b 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的一次函数．特别地，当b ＝_0_时，一次函数y ＝kx ＋b 就为y ＝kx (k 是常数，k ≠0)，这时y 叫做x 的正比例函数． (七)、一次函数的图象与性质1．一次函数的图象(1)一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－b k ，0的一条直线．(2)正比例函数y ＝kx(k≠0)的图象是经过点(0,0)和(1，k)的一条直线．(3)因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两个点即可． 2．一次函数图象的性质函数系数取值大致图象经过的象限函数性质y＝kx(k≠0)k＞0 _一_、三_ y随x增大而增大k＜0 __二、四_ y随x增大而减小y＝kx＋b (k≠0)k＞0，b＞0 一、_二、三y随x增大而增大k＞0，b＜0 一、三、四k＜0，b＞0 一、二、四y随x增大而减小k＜0，b＜0 二、三、四一次函数y＝kx＋b的图象可由正比例函数y＝kx的图象平移得到，b＞0，上移b个单位；b＜0，下移|b|个单位．(八)、利用待定系数法求一次函数的解析式因为在一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)中有两个未知数k 和b ，所以，要确定其关系式，一般需要两个条件，常见的是已知两点坐标P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)代入得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝a 1k ＋b ，b 2＝a 2k ＋b，求出k ，b 的值即可，这种方法叫做__待定系数法_ ．(九)、一次函数与方程、方程组及不等式的关系1．y ＝kx ＋b 与kx ＋b ＝0直线y ＝kx ＋b 与x 轴交点的横坐标是方程kx ＋b ＝0的解，方程kx ＋b ＝0的解是直线y ＝kx ＋b 与x 轴交点的横坐标．2．y ＝kx ＋b 与不等式kx ＋b ＞0从函数值的角度看，不等式kx ＋b ＞0的解集为使函数值大于零(即kx ＋b ＞0)的x 的取值范围；从图象的角度看，由于一次函数的图象在x 轴上方时，y ＞0，因此kx ＋b ＞0的解集为一次函数在x 轴上方的图象所对应的x 的取值范围．3．一次函数与方程组两个一次函数图象的交点坐标就是它们的解析式所组成的二元一次方程组的解；以二元一次方程组的解为坐标的点是两个二元一次方程所对应的一次函数图象的交点．考点一：平面直角坐标系内点的坐标特征例1、 若点P(a ，a －2)在第四象限，则a 的取值范围是( )A ．－2＜a ＜0B ．0＜a ＜2C ．a ＞2D ．a ＜0【解析】故选B ．例2、在平面直角坐标系中，如果mn ＞0，那么点(m ，|n|)一定在( )A ．第一象限或第二象限B ．第一象限或第三象限C ．第二象限或第四象限D ．第三象限或第四象限【解析】故选A.考点二：图形的变换与坐标例1、 在如图所示的方格纸中，把每个小正方形的顶点称为“格点”，以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”．根据图形，解决下面的问题： (1)请描述图中的格点△A′B′C′是由格点△ABC 通过哪些变换方式得到的？ (2)若以直线a ，b 为坐标轴建立平面直角坐标系后，点C 的坐标为(－3,1)，请写出格点△DEF 各顶点的坐标，并求出△DEF 的面积．【解析】(1)先将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转90°，再向右平移5个单位得到△A′B′C′(或先平移再旋转也可)．(2)D(0，－2)，E(－4，－4)，F(2，－3)． S △DEF ＝6×2－12×4×2－12×2×1－12×6×1＝4.例2、在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形(顶点是网格线的交点的三角形)ABC 的顶点A ，C 的坐标分别为(－4,5)，(－1,3)．(1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；(2)请作出△ABC 关于y 轴对称的△A′B′C′；(3)写出点B′的坐标． 【解析】(1)(2)如图所示．(3)B′(2,1)．考点三：函数图象的应用例1、如图，一只蚂蚁从O点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行一周，设蚂蚁的运动时间为t，蚂蚁到O 点的直线距离为s，则s关于t的函数图象大致为( )【解析】 C 本题是典型的数形结合问题，通过对图形的观察，可以看出s与t的函数图象应分为三段：(1)当蚂蚁从点O到点A时，s与t成正比例函数关系；(2)当蚂蚁从点A到点B时，s不变；(3)当蚂蚁从点B回到点O时，s与t成一次函数关系，且回到点O时，s为零．例2、在全民健身环城越野赛中，甲、乙两选手的行程y(千米)随时间(时)变化的图象(全程)如图所示．有下列说法：①起跑后1小时内，甲在乙的前面；②第1小时两人都跑了10千米；③甲比乙先到达终点；④两人都跑了20千米．其中正确的说法有( )A．1个 B．2个C．3个 D．4个【解析】 C 因为利用图象可判断①②④正确，③错误，故选C.考点四：函数自变量取值范围的确定例1、已知函数关系式y＝x－1，则自变量x的取值范围是__________．【解析】x≥1 ，由题意得x－1≥0，所以x≥1.例2、函数y＝13－x中自变量x的取值范围是( )A．x≤3 B．x＜3C．x≠3 D．x＞3【解析】B，因为由题意得3－x＞0，所以x＜3.考点五：一次函数的图象与性质例1、已知一次函数y＝mx＋n－2的图象如图所示，则m，n的取值范围是( ) A．m＞0，n＜2 B．m＞0，n＞2C．m＜0，n＜2 D．m＜0，n＞2【解析】 D 因为从图象上知，图象自左而右是“下降”的，交y轴于正半轴，所以m＜0，n－2＞0，即m＜0，n＞2.例2、如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y=ax，②y=bx，③y=cx，将a，b，c从小到大排列并用“＜”连接为a＜c＜b．【解析】根据三个函数图象所在象限可得a＜0，b＞0，c＞0，再根据直线越陡，|k|越大，则b＞c．则b＞c＞a，故答案为：a＜c＜b．考点六：确定一次函数的解析式例1、如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象经过A(－2，－1)，B(1,3)两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．(1)求该一次函数的解析式；(2)试求△DOC的面积．【解析】(1)把A ，B 点代入得⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－2k ＋b ，3＝k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝43，b ＝53.，∴y＝43x ＋53.(2)由(1)得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53，则OC ＝54，OD ＝53.∴△DOC 的面积＝12×54×53＝2524.例2、如图，已知直线y=x +3的图象与x ，y 的轴交于B ，A 两点，直线l 经过A 点，与线段OB 交于点C 且把△AOB 面积分为2：1两部分． （1）求线段OA ，OB 的长； （2）求直线l 的解析式．【解析】（1）∵令x=0，则y=3；令y=0，则x=﹣3，∴A （0，3），B （﹣3，0）；（2）∵△ABC 与△AOC 的高相等，B （﹣3，0），线段OB 交于点C 且把△AOB 面积分为2：1两部分， ∴C （﹣1，0）或（﹣2，0）． 设直线l 的解析式为y=kx +b （k ≠0），当C （﹣1，0）时，，解得；当C （﹣2，0）．时，，解得．故直线l 的解析式为y=3x +3或y=x +3．考点七、一次函数与方程(组)、不等式的关系例1、如图，已知函数y ＝ax ＋b 和y ＝kx 的图象交于点P ，则根据图象可得二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋b ，y ＝kx 的解是__________．【解析】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2如图所示，二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋b ，y ＝kx 的解就是直线y ＝ax ＋b 与直线y ＝kx 的交点，所以点P 的坐标就是方程组的解，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2.例2、如图，直线y 1＝kx ＋b 过点A(0,2)，且与直线y 2＝mx 交于点P(1，m)，则不等式组mx ＞kx ＋b ＞mx －2的解集是__________．【解析】 1＜x ＜2，由图象可知，当x ＞1时，mx ＞kx ＋b ，把(1，m)和(0,2)代入y 1＝kx ＋b ，得b ＝2，m ＝k ＋2，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y ＝mx －2，得x ＝2，因为y 3＝mx －2平行于y 2＝mx ，所以当x ＜2时，kx ＋b ＞mx －2，故原不等式组的解集为1＜x ＜2.考点八：一次函数的应用例1、小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到宁波天一阁查阅资料，学校与天一阁的路程是4千米，小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达天一阁，图中折线O —A —B —C 和线段OD 分别表示两人离学校的路程s(千米)与所经过的时间t(分)之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：(1)小聪在天一阁查阅资料的时间为__________分钟，小聪返回学校的速度为__________千米/分； (2)请你求出小明离开学校的路程s(千米)与所经过的时间t(分)之间的函数关系； (3)当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？【解析】(1)15，415；(2)由图象可知，s 是t 的正比例函数． 设所求函数的解析式为s ＝kt(k≠0)，代入(45,4)，得4＝45k ，解得k ＝445.∴s 与t 的函数关系式为s ＝445t(0≤t≤45)． (3)由图象可知，小聪在30≤t≤45的时段内s 是t 的一次函数，设函数解析式为s ＝mt ＋n(m≠0)．代入(30,4)，(45,0)，得⎩⎪⎨⎪⎧30m ＋n ＝4，45m ＋n ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－415，n ＝12.∴s＝－415t＋12(30≤t≤45)．令－415t＋12＝445t，解得t＝1354.当t＝1354时，s＝445×1354＝3.答：当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是3千米．例2、一次函数y=﹣2x+4的图象如图，图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求A、B两点坐标．（2）求图象与坐标轴所围成的三角形的面积是多少．【解析】（1）对于y=﹣2x+4，令y=0，得﹣2x+4=0，∴x=2；∴一次函数y=﹣2x+4的图象与x轴的交点A的坐标为（2，0）；令x=0，得y=4．∴一次函数y=﹣2x+4的图象与y轴的交点B的坐标为（0，4）；（2）S△AOB=•OA•OB=×2×4=4．∴图象与坐标轴所围成的三角形的面积是4．P(Practice-Oriented)——实战演练➢课堂狙击1．在平面直角坐标系中，点(－3,3)所在的象限是( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】 B2．下列函数中，自变量x的取值范围是x≥3的是( )A．y＝1x－3B．y＝1x－3实战演练②以B为直角顶点，可过B作直线垂直于AB，与y轴交于一点，这一点也符合P点的要求；③以P为直角顶点，与y轴共有2个交点．所以满足条件的点P共有4个．故选B．6、已知一次函数y=kx+b，y随着x的增大而减小，且kb＜0，则在直角坐标系内它的大致图象是（）A． B． C． D．【解析】∵一次函数y=kx+b，y随着x的增大而减小∴k＜0，又∵kb＜0，∴b＞0，∴此一次函数图象过第一，二，四象限．故选A．7．函数y＝x－4的自变量x的取值范围是__________．【解析】x≥4由x－4≥0，得x≥4.8．如果一次函数y＝mx＋3的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围是__________．【解析】m＜09．一次函数y＝x＋2的图象不经过第__________象限．【解析】四∵k＝1＞0，b＝2＞0，∴图象经过第一、二、三象限．10．已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过点(0,2)，且与两坐标轴围成的三角形面积为2，求此一次函数的解析式．【解析】将点(0,2)代入解析式y＝kx＋b(k≠0)中，得b＝2.则一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)与x 轴的交点横坐标为－b k ＝－2k.由题意可得12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2k ×2＝2，则k ＝±1. 所以一次函数的解析式为y ＝x ＋2或y ＝－x ＋2.11. 如图，一次函数y=ax +b 的图象经过点（1，2），点（﹣1，6），且与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ． （1）求出这个一次函数的解析式；（2）求出一次函数图象与两坐标轴围成的图形的面积．【解析】（1）∵一次函数y=ax +b 的图象经过点（1，2），点（﹣1，6）， ∴，解得，∴这个一次函数的解析式为y=﹣2x +4；（2）∵当x=0时，y=4，∴y 轴交于点A （0，4）， ∵当y=0时，x=2，∴与x 轴交于点B （2，0）， ∴一次函数图象与两坐标轴围成的图形的面积：×2×4=4．➢ 课后反击1．在平面直角坐标系中，点A(2,3)与点B 关于x 轴对称，则点B 的坐标为( )A ．(3,2)B ．(－2，－3)C ．(－2,3)D ．(2，－3) 【解析】 D2．下列函数中，自变量x 的取值范围为x ＜1的是( )A ．y ＝11－xB ．y ＝1－1xC ．y ＝1－xD ．y ＝11－x ＋1－x【解析】 D3．一次函数y=x﹣1的图象向上平移2个单位后，不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】因为一次函数y=x﹣1的图象向上平移2个单位后的解析式为：y=x+1，所以图象不经过四象限，故选D4．若点P(a，a－b)在第四象限，则点Q(b，－a)在( )A．第四象限B．第三象限C．第二象限 D．第一象限【解析】A 由题意，得a＞0，a－b＜0，所以a＜b，所以b＞a＞0，－a＜0.5．在一次“寻宝”游戏中，“寻宝”人找到了如图所标示的两个标志点A(2,3)，B(4,1)，A，B两点到“宝藏”点的距离都是10，则“宝藏”点的坐标是( )A．(1,0) B．(5,4)C．(1,0)或(5,4) D．(0,1)或(4,5)【解析】 C6．函数y=|2x|的图象是（）A．B．C．D．【解析】函数y=|2x|，当x≥0时，y=2x；当x≤0时，y=﹣2x，故图象C符合，故选C7、若直线y=kx+b经过第一、二、四象限，则直线y=bx+k的图象大致是（）A．B．C．D．【解析】故选：D．8．已知直线y＝kx＋b经过点(k,3)和(1，k)，则k的值为( )A． 3 B．± 3 C． 2 D．± 2【解析】 B9．在平面直角坐标系中，把直线y＝x向左平移一个单位长度后，其直线解析式为( ) A．y＝x＋1 B．y＝x－1 C．y＝x D．y＝x－2【解析】A10．一辆汽车和一辆摩托车分别从A，B两地去同一城市，它们离A地的路程随时间变化的图象如图所示．则下列结论错误的是( )A．摩托车比汽车晚到1 h B．A，B两地的路程为20 kmC．摩托车的速度为45 km/h D．汽车的速度为60 km/h【解析】C ∵摩托车的速度为(180－20)÷4＝40(km/h)，∴C错误．11．如图，直线y=x﹣2分别交x轴、y轴于A、B两点，O是原点．（1）求△AOB的面积．（2）过△AOB的顶点B画一条直线把△AOB分成面积相等的两部分，求出直线解析式．【解析】（1）令y=x﹣2中x=0，则y=﹣2，∴点B（0，﹣2）；令y=x﹣2中y=0，则x﹣2=0，解得：x=3，∴点A（3，0）．S△AOB=OA•OB=×2×3=3．（2）作出线段AO的中点C，连接BC，如图所示．∵点A（3，0），∴点C（，0）．设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），将点B（0，﹣2）、C（，0）代入y=kx+b中，得：，解得：，∴直线BC的解析式为y=x﹣2．12．为了提高身体素质，有些人选择到专业的健身中心锻炼身体，某健身中心的消费方式如下：普通消费：35元/次；白金卡消费：购卡280元/张，凭卡免费消费10次再送2次；钻石卡消费：购卡560元/张，凭卡每次消费不再收费．以上消费卡使用年限均为一年，每位顾客只能购买一张卡，且只限本人使用．（1）李叔叔每年去该健身中心健身6次，他应选择哪种消费方式更合算？（2）设一年内去该健身中心健身x次（x为正整数），所需总费用为y元，请分别写出选择普通消费和白金卡消费的y与x的函数关系式；（3）王阿姨每年去该健身中心健身至少18次，请通过计算帮助王阿姨选择最合算的消费方式．【解析】（1）35×6=210（元），210＜280＜560，∴李叔叔选择普通消费方式更合算．（2）根据题意得：y普通=35x．当x≤12时，y白金卡=280；当x＞12时，y白金卡=280+35（x﹣12）=35x﹣140．∴y白金卡=．（3）当x=18时，y普通=35×18=630；y白金卡=35×18﹣140=490；令y白金卡=560，即35x﹣140=560，解得：x=20．当18≤x≤19时，选择白金卡消费最合算；当x=20时，选择白金卡消费和钻石卡消费费用相同；当x≥21时，选择钻石卡消费最合算．1．在平面直角坐标系中，点P （﹣20，a ）与点Q （b ，13）关于原点对称，则a+b 的值为（ ）A ．33B ．﹣33C ．﹣7D ．7【解析】选：D ．2．已知函数y=ax+b 经过（1，3），（0，﹣2），则a ﹣b=（ ）A ．﹣1B ．﹣3C ．3D ．7【解析】选：D ．3．深圳某科技公司在甲地、乙地分别生产了17台、15台同一种型号的检测设备，全部运往大运赛场A 、B 两馆，其中运往A 馆18台、运往B 馆14台；运往A 、B 两馆的运费如表1：出发地目的地甲地乙地A 馆 800元/台 700元/台B 馆500元/台600元/台（1）设甲地运往A 馆的设备有x 台，请填写表2，并求出总运费元y （元）与x （台） 的函数关系式； （2）要使总运费不高于20200元，请你帮助该公司设计调配方案，并写出有哪几种方案； （3）当x 为多少时，总运费最小，最小值是多少？【解析】（1）根据题意得：甲运往A 馆有x 台，乙运往A 馆的有（18﹣x ）台，甲地运往B 馆的设备有（17﹣x ）台，乙地运往B 馆的设备有14﹣（17﹣x ）=（x ﹣3）台， ∴y=800x+700（18﹣x ）+500（17﹣x ）+600（x ﹣3），=200x+19300（3≤x ≤17）；出发地目的地甲地乙地A 馆x 台（台）B 馆（台） （台） 直击中考（1）、特殊点的坐标特征1．对称点的坐标特征点P (x ，y )关于x 轴的对称点P 1的坐标为(),x y -；关于y 轴的对称点P 2的坐标为(),x y -；关于原点的对称点P 3的坐标为(),x y --．2．与坐标轴平行的直线上点的坐标特征平行于x 轴：横坐标_不同 _，纵坐标__相同___；平行于y 轴：横坐标__相同__，纵坐标_不同 _． 3．点的平移将点P(x ，y)向右(或向左)平移a 个单位，可以得到对应点(x ＋a ，y)[或(x －a ，y)]；将点P(x ，y)向上(或向下)平移b 个单位，可以得到对应点(x ，y ＋b)[或(x ，y －b)]．（2）、一次函数的图象与性质1．一次函数的图象(1)一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－b k ，0的一条直线．(2)正比例函数y ＝kx(k≠0)的图象是经过点(0,0)和(1，k)的一条直线．重点回顾(3)因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两个点即可（3）、一次函数与方程、方程组及不等式的关系1．y＝kx＋b与kx＋b＝0直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标是方程kx＋b＝0的解，方程kx＋b＝0的解是直线y＝kx＋b与x 轴交点的横坐标．2．y＝kx＋b与不等式kx＋b＞0从函数值的角度看，不等式kx＋b＞0的解集为使函数值大于零(即kx＋b＞0)的x的取值范围；从图象的角度看，由于一次函数的图象在x轴上方时，y＞0，因此kx＋b＞0的解集为一次函数在x轴上方的图象所对应的x的取值范围．名师点拨1、自变量的取值必须使含自变量的代数式有意义，主要体现在以下几种：①含自变量的解析式是整式：自变量的取值范围是全体实数；②含自变量的解析式是分式：自变量的取值范围是使得分母不为0的实数；③含自变量的解析式是二次根式：自变量的取值范围是使被开方式为非负的实数；④含自变量的解析式既是分式又是二次根式时：自变量的取值范围是它们的公共解，一般列不等式组求解；⑤当函数解析式表示实际问题时：自变量的取值必须使实际问题有意义．2、一次函数的k值决定直线的方向，如果k＞0，直线就从左往右上升，y随x的增大而增大；如果k＜0，直线就从左往右下降，y随x的增大而减小；而b值决定直线和y轴的交点，如果b＞0，则与y轴的正半轴相交；如果b＜0，则与y轴交于负半轴；当b＝0时，一次函数就变成正比例函数，图象过原点. 学霸经验➢本节课我学到➢我需要努力的地方是。
人教版高中数学必修二第7讲：平面直角坐标系的基本公式(教师版)
人教版高中数学 平面直角坐标系的基本公式__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________平面上两点间的距离公式和中点坐标公式； 两点间距离公式的推导； 会运用这两个公式解题．一、数轴上的基本公式1．一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或称在这条直线上建立了直线坐标系，在数轴上，若点P 与x 对应，称P 的坐标为x ，记作P (x )．2．位移是一个既有大小，又有方向的量，通常称作位移向量，本书中叫做向量． 从点A 到点B 的向量，记作 ，A 为AB →的起点，B 为AB →的终点，线段AB 的长度称作AB →的长度，记作|AB →|.数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量．．．．．.． 3．在数轴上，点A 作一次位移到点B ，再由点B 作一次位移到点C ，则位移AC →称作位移AB →与位移BC →的和．，记作AC →＝AB →＋BC →. 在数轴上，任意三点A 、B 、C ，向量AB →、BC →、AC →的坐标都具有关系：AC ＝AB ＋BC.4设AB →是数轴上的任一个向量，O 为原点，点A (x 1)、B (x 2)，则AB ＝OB －OA ＝x 2－x 1，A 、B 两点的距离d (A ，B )＝|AB |＝|x 2－x 1| . 二、平面直角坐标系的基本公式1．平面上任意两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)之间的距离d (P 1，P 2)＝|P 1P 2|＝2．平面上任意两点P 1(x 1，y 1)、P (x 2，y 2)的中点P (x ，y )，则x= ,y=如果P 为P 1P 2的中点，则称P 1与P 2关于P 对称．点A (x 0，y 0)关于点M (a ，b )的对称点为(2a －x 0, 2b －y 0).类型一 数轴例1：(1)若点P (x )位于点M (－2)、N (3)之间，求x 的取值范围； (2)试确定点A (a )、B (b )的位置关系．解析：数轴上的点与实数之间是一一对应的关系，所以点的坐标的大小决定彼此的相互位置，显然右边的点的坐标要大于左边的点的坐标．答案：(1)由题意可知，点M (－2)位于点N (3)的左侧，且点P (x )位于点M (－2)、N (3)之间， ∴－2<x <3.(2)确定两点的位置关系，需要讨论实数a 、b 的大小关系：当a >b 时，点A (a )位于点B (b )的右侧；当a <b 时，点A (a )位于点B (b )的左侧；当a ＝b 时，点A (a )与点B (b )重合． 练习1：下列各组点中，点M 位于点N 左侧的是( )A ．M (－2)、N (－3)B ．M (2)、N (－3)C ．M (0)、N (6)D ．M (0)、N (－6)答案：点M (0)在点N (6)的左侧，故选C.练习2：下列各组点中M 位于N 右侧的是（ ）A ．M (-4)、N (－3)B ．M (0)、N (6)C ．M (3)、N (6)D ．M (-4)、N (－6) 答案：D例2：已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，求向量OA →、AB →的坐标．解析：由向量定义求解即可．答案：∵点A 与原点O 的距离为3，∴点A 的坐标为3或－3. 当点A 的坐标为3时， ∵A 、B 之间的距离为1， ∴点B 的坐标为2或4.此时OA →的坐标为3，AB →的坐标为－1或1. 当点A 的坐标为－3时， ∵A 、B 之间的距离为1， ∴点B 的坐标为－4或－2.此时OA →的坐标为－3，AB →的坐标为－1或1. 练习1：已知数轴上的三点A (－1)、B (5)、C (x )．(1)当|AB |＋d (B ，C )＝8时，求x ； (2)当AB ＋CB ＝0时，求x ；(3)当AB →＝BC →时，求x .答案：(1)由题意可知，|AB |＝|5－(－1)|＝6，d (B ，C )＝|x －5|.当|AB |＋d (B ，C )＝8时，有6＋|x －5|＝8，解得x ＝3或x ＝7.(2)由AB ＋CB ＝0可知，5－(－1)＋5－x ＝0，解得x ＝11.(3)由AB →＝BC →可知AB ＝BC ，故5－(－1)＝x －5， 所以x －5＝6，解得x ＝11.练习2：数轴上任意三点A 、B 、C 的坐标分别为a 、b 、c ，那么有下列关系：①AB ＋AC ＝BC ；②AB →＝AC →＋CB →；③|AB |＝|AC |＋|CB |；④BC ＝b －c ；⑤A 、C 两点的中点坐标为c －a2.其中正确的有________．(填序号)答案：② AB 、AC 、BC 的关系为AB ＋BC ＝AC ，故①错误；根据向量的和可知AB →＝AC →＋CB →，故②正确；因为A 、B 、C 三点在数轴上的位置关系共有六种情况，所以|AB |、|AC |、|CB |的关系有三种情况，而|AB |＝|AC |＋|CB |是其中一种情况，故③错误；向量BC →的坐标是终点C 的坐标c 减去起点B 的坐标b ，即BC ＝c －b ，故④错误；A 、C 两点的中点坐标为a ＋c2，故⑤错误．类型二 中点坐标公式例3：平行四边形ABCD 三个顶点坐标分别为A (2,3)、B (4,0)、D (5,3)，求顶点C 的坐标． 解析：运用中点坐标公式先求出▱ABCD 两对角线交点M 的坐标，再求顶点C 的坐标．答案：设AC 与BD 交点为M (a ，b )，则M 为BD 的中点，由中点坐标公式⎩⎪⎨⎪⎧a ＝92b ＝32.又设C (x 0，y 0)，则M 为AC 的中点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧92＝2＋x232＝3＋y 02，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝7y 0＝0.∴C 点坐标为(7,0)．练习1：已知点A 关于点B (2,1)的对称点为C (－4,3)，C 关于D 的对称点为E (－6，－3)，求A 、D的坐标及AD 中点坐标．答案：设A (x 1，y 1)，∵A 、C 中点是B ，∴x 1－42＝2，y 1＋32＝1，∴x 1＝8，y 1＝－1，即A (8，－1)． 设D (x 2，y 2)，∵D 是C 、E 中点，∴x 2＝－4－62＝－5，y 2＝3－32＝0.即D (－5,0)．∴A 、D 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫8－52，－1＋02，即⎝⎛⎭⎪⎫32，－12.练习2：设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点为P (2，－1)，则|AB |等于( )A ．5B ．4 2C ．2 5D ．210答案：设A (a,0)、B (0，b )．由中点坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧2＝a ＋02－1＝0＋b2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝－2.即A (4,0)、B (0，－2)， ∴|AB |＝－2＋－2－2＝25，故选C.类型三 两点间距离公式例4：已知A (3，－4)与B (a,3)两点间距离为72，求a 的值．解析：用两点间距离公式即可. 答案：∵d (A ，B )＝72，∴(a －3)2＋(3＋4)2＝(72)2， ∴a ＝10或a ＝－4.练习1：求下列两点间的距离：(1)A (2,5)、B (3，－4)；(2)A (2－1，3＋2)、B (2＋1，3－2)； 答案：(1)Δx ＝3－2＝1，Δy ＝－4－5＝－9.∴d (A ，B )＝Δx 2＋Δy 2＝12＋－2＝82.(2)Δx ＝2＋1－(2－1)＝2， Δy ＝(3－2)－(3＋2)＝－22，∴d (A ，B )＝Δx 2＋Δy 2＝22＋－222＝2 3.练习2：已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(1,1)、(2，－1)、(－1，－3)，则第四个顶点的坐标为________．答案：(4,3)或(－2，－1)或(0，－5) ①当(1,1)与(2，－1)为一条对角线的两端点时，第四个顶点的坐标为(4,3)；②当(1,1)与(－1，－3)为一条对角线的两端点时，第四个顶点的坐标为(－2，－1)；③当(2，－1)与(－1，－3)为一条对角线的两端点时，第四个顶点的坐标为(0，－5)．1．下列命题：①相等的向量，它们的坐标相等；反之，若数轴上两个向量的坐标相等，则这两个向量相等； ②对于任何一个实数，数轴上存在一个确定的点与之对应；③数轴上向量AB →的坐标是一个数，实数的绝对值为线段AB 的长度，如果起点指向终点的方向与数轴同方向，则这个实数取正数，反之取负数；④起点和终点重合的向量是零向量，它的方向是任意的，它的坐标是0. 其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：D2．A 、B 为数轴上的两点，B 的坐标为－5，BA ＝－6，则A 的坐标为( )A ．－11B ．－1或11C ．－1D ．1或－11 答案：A3．数轴上点P 、M 、N 的坐标分别为－2、8、－6，则在①MN ＝NM ；②MP ＝－10；③PN ＝－4中，正确的表示有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 答案：C4．点P (2，－1)关于点M (3,4)的对称点Q 的坐标为( )A ．(1,5)B ．(4,9)C ．(5,3)D ．(9,4) 答案：B5．以A (5,5)、B (1,4)、C (4,1)为顶点的三角形是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形 答案：B6.数轴上一点P (x )，它到A (－8)的距离是它到B (－4)距离的3倍，则x ＝________.答案： －2或－57.已知点A (2x )、B (x )，点A 在点B 的右侧，则x 的取值范围为________．答案： (0，＋∞)8. 已知三角形的三个顶点A (2,1)、B (－2,3)、C (0，－1)，则BC 边上中线的长为__________．答案：39. 已知A (6,1)、B (0，－7)、C (－2，－3)．(1)求证：△ABC 是直角三角形； (2)求△ABC 的外心的坐标．答案：(1)|AB |2＝(0－6)2＋(－7－1)2＝100，|BC |2＝(－2－0)2＋(－3＋7)2＝20，|AC |2＝(－2－6)2＋(－3－1)2＝80，因为|AB |2＝|BC |2＋|AC |2，所以△ABC 为直角三角形，∠C ＝90°.(2)因为△ABC 为直角三角形，所以其外心是斜边AB 的中点，所以外心坐标为(6＋02，1－72)，即(3，－3).10．已知两点A 、B 的坐标如下，求AB 、|AB |.(1)A (2)、B (5)；(2)A (－2)、B (－5)．答案： (1)AB ＝5－2＝3，|AB |＝|5－2|＝3. (2)AB ＝(－5)－(－2)＝－3， |AB |＝|(－5)－(－2)|＝3._________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1．数轴上向量AB →的坐标为－8，且B (－5)，则点A 的坐标为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：C2．数轴上两点A (2x ＋a )，B (2x )，则A 、B 两点的位置关系是( )A ．A 在B 左侧 B ．A 在B 右侧C ．A 与B 重合D ．由a 的取值决定 答案：D3．已知两点A (a ，b )、B (c ，d )，且a 2＋b 2－c 2＋d 2＝0，则( )A ．原点一定是线段AB 的中点 B ．A 、B 一定都与原点重合C ．原点一定在线段AB 上但不是中点D ．以上结论都不正确 答案：D4．已知线段AB 的中点在坐标原点，且A (x,2)、B (3，y )，则x ＋y 等于( )A ．5B ．－1C ．1D ．－5 答案：D5．点M 到x 轴和到点N (－4,2)的距离都等于10，则点M 的坐标为________．答案：(2,10)或(－10,10)能力提升6．下列各组点：①M (a )和N (2a )；②A (b )和B (2＋b )；③C (x )和D (x －a )；④E (x )和F (x 2)．其中后面的点一定位于前面的点的右侧的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④ 答案：B7. 已知数轴上A 、B 两点的坐标分别为13、－13，则d (A ，B )为( )A ．0B ．－23C.23D.19 答案：C8. 已知数轴上两点A (a )、B (b )，则在数轴上满足条件|P A |＝|PB |的点P 坐标为( )A.b －a 2B.a －b 2C.a ＋b 2 D ．b －a答案：C9. 设A (3,4)，在x 轴上有一点P (x,0)，使得|P A |＝5，则x 等于( )A ．0B ．6C ．0或6D ．0或－6 答案：C10. 已知菱形的三个顶点分别为(a ，b )、(－b ，a )、(0,0)，则它的第四个顶点是( )A ．(2a ，b )B ．(a －b ，a ＋b )C ．(a ＋b ，b －a )D ．(a －b ，b －a ) 答案：B11. 设M 、N 、P 、Q 是数轴上不同的四点，给出以下关系：①MN ＋NP ＋PQ ＋QM ＝0； ②MN ＋PQ －MQ －PN ＝0；③PQ－PN＋MN－MQ＝0；④QM＝MN＋NP＋PQ.其中正确的序号是________．答案：①②③12. 等腰三角形ABC的顶点是A(3,0)，底边长|BC|＝4，BC边的中点是D(5,4)，则此三角形的腰长为________．答案：2613. 根据下列条件，在数轴上分别画出点P(x)．(1)|x－1|≤2；(2)|x＋2|>1.答案：(1)∵|x－1|≤2，∴－1≤x≤3，∴点P(x)表示坐标为－1和3的两点A、B间的线段AB(包括两个端点)，画图如下：(2)∵|x＋2|>1，∴x<－3或x>－1，∴点P(x)表示以坐标为－3和－1的两点C、D为端点的两条射线CE、DF，画图如下：14. △ABC中，AO是BC边上的中线，求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．答案：以BC边所在直线为x轴，边BC的中点为原点建立直角坐标系，如图，设B(－a,0)、O(0,0)、C(a,0)，其中a>0，A(m，n)，则|AB|2＋|AC|2＝(m＋a)2＋n2＋(m－a)2＋n2＝2(m2＋n2＋a2)，|AO|2＋|OC|2＝m2＋n2＋a2，∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．。
坐标系(教师版)
东北师大附中2011-2012学年高三数学（理）第一轮复习导学案54坐标系编写教师：夏文显 审稿教师：周仁哲 一、知识梳理 1．平面直角坐标系（1）平面直角坐标系的概念：在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系. 它使平面上任一点P 都可以由唯一的实数对(,)x y 确定. （2）平面直角坐标系中的伸缩变换：设点(,)P x y 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换,(0),:,(0)x x y y λλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩的作用下， 点(,)P x y 对应到点(,)P x y '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 2．极坐标系：（1）极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系.（2）极坐标系内任意一点的极坐标的规定：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ. 有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标，记作(,)M ρθ.一般的，不作特殊说明时，我们认为0ρ≥，θ可取任意实数. （3）负极径的规定：在极坐标系中，极径ρ允许取负值，当0ρ<时，点(,)M ρθ 位于极角θ的终边的反向延长线上， 且||||OM ρ=，从而点(,)M ρθ也可以表示为(,2)k ρθπ+(,(21))k ρθπ-++或，k Z ∈. （4）极坐标和直角坐标的互化：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位. 设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(,)x y ，极坐标是(,)ρθ，如图，可以得到它们之间的关系：c o s ,s i n .x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，222,tan (0).x y yx x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩（5）简单曲线的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程(,)0f ρθ=，并且坐标适合方程(,)0f ρθ=的点都在曲线C 上，那么方程(,)0f ρθ=叫做曲线C 的极坐标方程. （6）常见的几种圆与直线的极坐标方程： ① 圆的极坐标方程：（ⅰ）圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程：r ρ=. （ⅱ）圆心在(,0)a ，半径为a 的圆的极坐标方程：2cos a ρθ=. （ⅲ）圆心在(,)2a π，半径为a 的圆的极坐标方程：2sin a ρθ=.② 直线的极坐标方程：（ⅰ）过极点，倾斜角为α的直线的极坐标方程：()R θαρ=∈.（ⅱ）过点(,0)a (0)a >，且垂直于极轴的直线的极坐标方程：cos a ρθ=. （ⅲ）过点(,)2a π(0)a >，且平行于极轴的直线的极坐标方程：sin a ρθ=.二、题型探究探究一：平面直角坐标系中的伸缩变换的应用例1 （1）在平面直角坐标系中，方程122=+y x 所对应的图形经过伸缩变换2,3.x x y y '=⎧⎨'=⎩后的图形为______.（2）在同一直角坐标系中，若经过伸缩变换3,.x x y y '=⎧⎨'=⎩后，曲线C 变为曲线2299x y ''+=，则曲线C 的方程为________________.（3）在同一直角坐标系中，若伸缩变换ϕ将直线22=-y x 变成直线42='-'y x ，则伸缩变换ϕ为________________.解：（1）由伸缩变换2,3.x x y y '=⎧⎨'=⎩得到1,21.3x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩，将其代入122=+y x 中，得到经过伸缩变换后的图形的方程是22149x y ''+=，故经过伸缩变换后的图形为椭圆. （2）将3,.x x y y '=⎧⎨'=⎩代入2299x y ''+=得到122=+y x ，故所求曲线C 的方程为122=+y x .（3）设伸缩变换为,(0),:,(0).x x y y λλϕμμ'=⋅>⎧⎨'=⋅>⎩ 将其代入42='-'y x ，得42=-y x μλ，将22=-y x 变成244x y -=，比较系数得1, 4.λμ== 故所求伸缩变换为,:4.x x y y ϕ'=⎧⎨'=⎩.例2 定义变换cos sin ,:sin cos .x y x T x y y θθθθ'⋅+⋅=⎧⎨'⋅-⋅=⎩可把平面直角坐标系上的点(,)P x y 变换到这一平面上的点(,)P x y '''. 特别地，若曲线C 上一点P 经变换公式T 变换后得到的点P '与点P 重合，则称点P 是曲线C在变换T 下的不动点. 已知3tan 4θ=，且02πθ<<， （Ⅰ）求椭圆2213x y +=的左焦点1F 和右焦点2F 经变换公式T 变换后得到的点1F '和2F '的坐标； （Ⅱ）求椭圆2213x y +=在变换T 下的所有不动点的坐标. 解：当3tan 4θ=，且02πθ<<时，变换公式T 为 43,55:34.55x y x T x y y ⎧'+=⎪⎪⎨⎪'-=⎪⎩（Ⅰ）椭圆2213x y +=的左焦点1F 和右焦点2F的坐标为12(0),0)F F ， 设111222(,),(,)F x y F x y ''于是，1143(05534(055x y ⎧=⋅+⋅=⎪⎪⎨⎪=⋅-⋅=⎪⎩，即1F '的坐标为(又224305534055x y ⎧=⋅=⎪⎪⎨⎪=⋅=⎪⎩，即2F '的坐标为.（Ⅱ）设(,)P x y 是椭圆2213x y +=在变换T 下的不动点， 则有 43,5534.55x y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 3(3,)x yP y y ∴=∴在椭圆2213x y +=上， 2233(3)1221,113222x x y y y y y ⎧⎧==-⎪⎪⎪⎪∴+=∴=±∴⎨⎨⎪⎪==-⎪⎪⎩⎩ 因而椭圆2213x y +=的不动点共有两个，分别为31(,)22和31(,)22--.探究二：求动点轨迹的极坐标方程例3 如图，点A 在直线5x =上移动，等腰OPA ∆的顶角OPA ∠为120︒（,,O P A 按顺时针方向排列）， 若取O 为极点，x 正半轴为极轴，建立极坐标系 （Ⅰ）写出直线5x =所对应的极坐标方程； （Ⅱ）求点P 的轨迹的极坐标方程.解：（Ⅰ）直线5x =所对应的极坐标方程为cos 5ρθ= （Ⅱ）设00(,),(,)A P ρθρθ因为点A 在直线cos 5ρθ=上所以 00cos 5ρθ=①因为OPA ∆为等腰三角形，且OPA ∠120=︒ 而0,OP OA ρρ==，30POA ∠=︒ 所以0ρ 且 030θθ=-︒，将它们代入 ① 中，得Pcos(30)5θ-︒=探究三：极坐标与极坐标方程的应用例4 在直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos()13πρθ-=，,M N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点．（Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程，并求,M N 的极坐标； （Ⅱ）设,M N 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．解：（Ⅰ）由cos()13πρθ-=得：1cos sin 122ρθρθ+=，∴ 曲线C 的直角坐标方程为1122x y +=，即 20x +-=， 当0θ=时，2ρ=，∴ M 的极坐标(2,0)；当2πθ=时，3ρ=，∴ N 的极坐标(,)32π．（Ⅱ）M 的直角坐标为(2,0)，N 的直角坐标为(0,，∴ P 的直角坐标为(1,，则P 的极坐标为)6π，直线OP 的极坐标方程为 ,(,)6πθρ=∈-∞+∞． 例5 在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为4cos ,2sin .x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=-（0ρ>）． （Ⅰ）化曲线1C 、2C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）设曲线1C 与x 轴的一个交点的坐标为(,0)(0)P m m >，经过点P 作曲线2C 的切线l ，求切线l 的方程．解：（Ⅰ）曲线1C ：221164x y +=；曲线2C ：22(1)(2)5x y -++=（不含点(0,0)）； 曲线1C 为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是4，短半轴长是2的椭圆；曲线2C 为圆心为(1,2)-的圆（除去原点O ）．（Ⅱ）曲线1C ：221164x y +=与x 轴的交点坐标为(4,0)-和(4,0)，因为0m >，所以点P 的坐标为(4,0)，显然切线l 的斜率存在，设为k ，则切线l 的方程为(4)y k x =-，由曲线2C 为圆心为(1,2)-=，解得32k ±=，所以切线l 的方程为34)2y x ±=-． 三、方法提升（1）极坐标系和极坐标的理解：极坐标系和直角坐标系的最大区别在于：平面直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的；而极坐标系中，对于给定的有序数对(,)ρθ,可以确定平面上的一点，但是平面内的一点的极坐标，却不是惟一的（如：判断点14(,)23P π-与曲线sin 2θρ=的位置关系）． （2）极坐标与直角坐标的互化注意事项：注意极坐标与直角坐标的互化需满足三个条件：① 原点与极点重合；② x 轴正半轴与极轴重合；③ 长度单位相同.极坐标和直角坐标的互化中，需注意等价性，特别是两边同乘以ρ时，要注意0ρ=是否是方程的解，若不是，要去掉该解.（3）由极坐标方程给出的问题，若不好处理，就将之转化为直角坐标方程，再加以解决.（4）求动点的极坐标轨迹方程的步骤与在直角坐标系中求轨迹方程类似，关键是从几何的角度获得ρ与θ的等量关系，要注意利用题中的几何条件以及正弦定理和余弦定理．四、课时作业 一、选择题（1）将点M 的直角坐标(M -化为极坐标，正确的是 C（A ）(2)2π， （B ）(2)3π，-（C ）2(2)3π， （D ）(22),3k k Z ππ+∈， （2）在同一平面直角坐标系中，直线22x y -=经过伸缩变换,4.x x y y '=⎧⎨'=⎩后，得到的直线方程为 B（A ） 24x y ''+= （B ）24x y ''-= （C ）24x y ''+= （D ）24x y ''-=（3）在极坐标系中，与点(2,)3P π关于极点对称的点的坐标是 D（A ）(2,)3π--（B ）4(2,)3π- （C ）(2,)3π- （D ）2(2,)3π-（4）在极坐标系中，圆2sin ρθ=的圆心与点(1,)D π的距离为 A（A （B ） 2 （C ）0 （D ）1 （5）在极坐标系中，圆心坐标是(,)(0)a a π>，半径为a 的圆的极坐标方程是 A（A ）32cos ()22a ππρθθ=-≤≤（B ）cos (0)a ρθθπ=≤<（C ）32sin ()22a ππρθθ=-≤< （D ）sin (0)a ρθθπ=≤<（6）在极坐标系中，若02θπ≤<，则曲线2sin ρθ= 与cos 1ρθ=- 的交点的极坐标为 D（A ）3(2,)4π（B ）(2,)4π- （C ）5)4π （D ）3)4π （7）在极坐标系中，若直线l 的方程是sin()16πρθ+=，点P 的坐标为(2,)π，则点P 到直线l 的距离为 B（A ）0 （B ） 2 （C ）4 （D ）3 （8）在极坐标系中，已知两点,A B 的极坐标分别为(3,)3π，(4,)6π，则AOB ∆（其中O 为极点）的面积为 C（A ）1 （B ） 2 （C ）3 （D ）4 二、填空题（9）在极坐标系中，若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线4cos ρθ=于,A B 两点，则||AB =______________________. （10）已知曲线12C C ，的极坐标方程分别为cos 3ρθ=，4cos ρθ=(0,0)2πρθ≥≤<则曲线1C 与2C 交点的极坐标为 ． 6π（，）（11）在极坐标系中，圆2ρ=上的点到直线()6sin 3cos =+θθρ的距离的最小值是 ．1 （12）设直线1l 的参数方程为1,3.x t y a t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系得另一直线2l 的方程为sin 3cos 40ρθρθ-+=，若直线1l 与2l ，则实数a 的值为 ．9a =或11a =- 三、解答题（13）已知圆1O 和圆2O 的极坐标方程分别为4cos ρθ=，4sin ρθ=-（Ⅰ）把圆1O 和圆2O 的极坐标方程化成直角坐标系方程； （Ⅱ）求经过圆1O 和圆2O 交点的直线的直角坐标方程． 解：（Ⅰ）圆1O 的直角坐标方程为2240x y x +-=；圆2O 的直角坐标方程为2240x y y ++=．（Ⅱ）22224040x y x x y y ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩ 解得 1100x y =⎧⎨=⎩ 和 2222x y =⎧⎨=-⎩ 即圆1O 和圆2O 交于点(0,0)和(2,2)-，所以，所求直线方程为y x =-． （所求方程也可以通过两个圆方程相减得到）（14）在极坐标系中，圆2cos ρθ=与直线3cos 4sin 0a ρθρθ++=相切，求实数a 的值． 解：圆2cos ρθ=的直角坐标方程为：22(1)1x y -+=，直线3cos 4sin 0a ρθρθ++=的普通方程为：340x y a ++=，1=，解得：2a =，或8a =-所以，所求实数a 的值为2a =，或8a =-．（15）在极坐标系下，已知圆:cos sin O ρθθ=+和直线:sin()4l πρθ-=， （Ⅰ）求圆O 和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）当(0,)θπ∈时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标. 解：（Ⅰ）圆O 的直角坐标方程为： 220x y x y +--=，直线l 的直角坐标方程为：10x y -+=，（Ⅱ）由 220,10.x y x y x y ⎧+--=⎨-+=⎩，得0,1.x y =⎧⎨=⎩ 故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为(1,)2π（16）已知圆C的参数方程为12cos ,2sin .x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），若P 是圆C 与x 轴正半轴的交点，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设过点P 的圆C 的切线为l ，求直线l 的极坐标方程．解： 由题设知,圆心(1,(2,0)C P60CPO ∠=，故过P 点的切线的倾斜角为30所以，直线l的直角坐标方程为2)y x =-， 将它化成极坐标方程为：sin(30)1ρθ-= 所以，所求切线l 的极坐标方程为 sin(30)1ρθ-=．。
基于知识结构教学的初中数学单元设计研究——以“平面直角坐标系”单元设计为例
基于知识结构教学的初中数学单元设计研究以 平面直角坐标系 单元设计为例赵㊀翠(山东省济南市莱芜区汶源学校ꎬ山东济南２７１１００)摘㊀要:数学学科具有较强的思维性与逻辑性ꎬ但初中学生对数学知识的认知水平有限ꎬ教材便将完整的知识结构打乱进行重排.数学教师在设计单元教学内容时ꎬ应当挖掘单元内不同知识间的联系ꎬ通过重新调整教学顺序帮助学生将琐碎的知识点串联起来ꎬ最终构建系统的知识结构图.文章以初中教材«平面直角坐标系»单元为例ꎬ详细介绍了如何基于知识结构开展单元设计教学ꎬ在带领学生掌握基础知识的同时ꎬ引导学生形成严谨的数学思维ꎬ最终实现知识的迁移.关键词:知识结构ꎻ初中数学ꎻ单元设计中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)１１－００５０－０３收稿日期:２０２４－０１－１５作者简介:赵翠(１９６８.８ )ꎬ女ꎬ本科ꎬ中小学正高级教师ꎬ从事中小学数学教学研究.㊀㊀数学学习不是一蹴而就的ꎬ而是知识的吸收与再组织的过程ꎬ如果学生无法将学过的知识联系起来ꎬ那么这些知识在脑海中就是一盘散沙ꎬ无法学以致用.教材中知识的排版顺序虽然能够帮助学生快速掌握知识要点ꎬ却不利于学生站在宏观角度思考知识点之间的关联[１].因此ꎬ初中数学教师需要基于知识结构进行单元教学ꎬ让学生在学习时做到 瞻前顾后 ꎬ将单元内细碎的知识要点串联起来ꎬ最终汇总为系统的知识结构图.１ 平面直角坐标系 单元设计要想带领学生透彻理解平面直角坐标系的内涵ꎬ首先需要了解平面直角坐标系是由什么构成的.教材中指出ꎬ平面直角坐标系是由两条互相垂直的数轴组成ꎬ且这两条数轴在原点处重合.因此ꎬ平面直角坐标系的教学讲解与数轴是分不开的.笔者认为ꎬ可从六个方面为学生讲解平面直角坐标系与数轴之间的联系:一是基本概念的讲解ꎻ二是两点之间的距离与其中点的坐标ꎻ三是关于原点对称的两个点之间存在什么坐标特征ꎻ四是数轴上的点与平面直角坐标系内点的运动问题ꎻ五是如何运用数轴以及坐标系解决实际问题ꎻ六是基于知识结构的数轴与平面直角坐标系总结.１.１基本概念的讲解为了能够准确表示一条直线上的某一个点的位置ꎬ我们引出了数轴.教师可以借助生活情境进行教学ꎬ具体如例１.在此基础上ꎬ教师可以引导学生进行深层分析ꎬ如何精准表达某一个点在平面内的位置ꎬ此时引出何为平面直角坐标系ꎬ具体如例２.例１㊀假设某一中学门外有一条南北向的马路ꎬ在大门往南８ｍ处种着一棵杨树ꎬ在大门往南５ｍ处种着一棵柳树ꎬ而在大门往北４ｍ处种着一棵苹果树ꎬ在大门往北６ｍ处安装了一根电线杆ꎬ请大家在纸上绘制出上述情境.例２㊀在上面的分析中我们已经可以使用数轴表示一条直线上某一个点的位置ꎬ那么请大家思考如何确定一个平面上某一个点的位置.教学意图:数轴及平面直角坐标系的概念都是０５在精准确定某一点位置的基础上提出的ꎬ前者为一维空间 直线ꎬ后者为二维空间 平面.１.２两点之间的距离与其中点的坐标１.２.１两点之间的距离要想确定数轴上两个点的距离ꎬ可以将这两个点的位置分别表示为ａ与ｂꎬ那么它们之间的距离为｜ａ－ｂ｜.要想确定平面坐标上两个点的距离ꎬ我们可以将这两个点的位置表示为(ｘ１ꎬｙ１)及(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ此时它们间的距离有三种情况:情况一:如果两个点的横坐标相同ꎬ即ｘ１＝ｘ２ꎬ那么距离为｜ｙ１－ｙ２｜ꎻ情况二:如果两个点的纵坐标相同ꎬ即ｙ１＝ｙ２ꎬ那么距离为｜ｘ１－ｘ２｜ꎻ情况三:如果两个点的横纵坐标都不相同ꎬ那么距离为(ｘ１－ｘ２)２＋(ｙ１－ｙ２)２.教学意图:无论是数轴还是平面直角坐标系的学习ꎬ学生都需要掌握两点距离的计算方式[２].如果平面直角坐标系中两个点连成的直线能够与ｘ轴或者ｙ轴平行ꎬ那么我们就可以将其简化为数轴上两点距离的算法.如果这两个点连成的直线与ｘ轴或者ｙ轴不存在平行关系ꎬ那么学生就可以使用勾股定理进行计算.１.２.２中点的坐标例３㊀设数轴上存在一条线段ＡＢꎬ点Ｃ是该线段的中点ꎬ请大家计算出不同线段的中点位置ꎬ见表１.在计算完成后ꎬ请大家推理出数轴上线段中点坐标的计算公式.表１㊀数轴上线段中点的位置Ａ点Ｂ点Ｃ点５９－３－７－４８㊀㊀例４㊀设平面坐标系中存在八个点ꎬ我们将其位置表示为:Ａ(－１ꎬ－１)ꎬＢ(３ꎬ３)ꎬＣ(１ꎬ１)ꎬＤ(１ꎬ４)ꎬＥ(－３ꎬ３)ꎬＦ(－１ꎬ１)ꎬＧ(５ꎬ－１)ꎬＨ(３ꎬ－２)ꎬＩ(３ꎬ２)ꎬＪ(１ꎬ－２)ꎬ求ＣＧꎬＢＥꎬＤＪꎬＨＩꎬＦＦ的中点坐标.在完成后思考:线段两点的坐标与中点坐标间存在什么关系?教学意图:学生在学习完成数轴上线段中点的位置表示方式后ꎬ就可以根据这一规律来类比坐标系线中段中点位置的表示方式.１.３关于原点对称的两点之间的坐标特征例５㊀已知的平面直角坐标系如下图１所示ꎬ当әＡＢＣ经过变换后可以得到әＰＱＲꎬ请写出不同点的坐标:Ａ点坐标为ꎬＢ点坐标为ꎬＣ点坐标为ꎬＰ点坐标为ꎬＱ点坐标为ꎬＲ点坐标为.完成后请观察Ａ点与Ｐ点㊁Ｂ点与Ｑ点㊁Ｃ点与Ｒ点的坐标符号之间存在什么关系ꎬ并总结出一般规律.图１㊀平面直角坐标系示意图教学意图:学生在本环节学习中应当明白ꎬ当坐标系中某一点的坐标为(ａꎬｂ)时ꎬ其关于原点对称的点的坐标为(－ａꎬ－ｂ)ꎬ即两个点的横坐标互为相反数ꎬ纵坐标也互为相反数.１.４数轴上的点与平面直角坐标系内点的运动例６㊀设某一数轴上存在两个点Ａ与Ｂꎬ其位置分别为－８和９.动点Ｐ将从点Ｂ开始以每秒两个单位的速度向负方向移动ꎬ动点Ｑ将从点Ａ开始以每秒一个单位的速度向正方向移动ꎬ当运动了ｔ秒后ꎬ请写出两个动点Ｐ与Ｑ的位置.例７㊀坐标系内存在一点Ａꎬ其坐标为(８ꎬ－３).将点Ａ先沿ｙ轴向上移动４个单位ꎬ得到点Ｂꎬ该点的坐标为多少?若将点Ａ先沿ｘ轴向右移动４个单位ꎬ得到点Ｃꎬ该点的坐标为多少?请观察点Ｂ与点Ｃ的坐标ꎬ你能发现怎样的规律?教学意图:学生可以发现ꎬ数轴上动点的变化规律与坐标内动点的变化规律是相似的.１.５运用数轴以及坐标系解决实际问题例８㊀某市的货运车司机王师傅在某一天上午一直行驶在南北走向的公路上ꎬ如果我们将朝南的１５方向设为正方向ꎬ朝北的方向设为负方向ꎬ那么王师傅这一段时间的位置变化为(单位为ｋｍ):－４ꎬ－１ꎬ＋５ꎬ－７ꎬ＋１０ꎬ－３ꎬ＋１３ꎬ当王师傅将最后一件货物送完后ꎬ终点距离最开始的距离有多远ꎬ终点在出发点的哪个方向上?例９㊀在长方形ＡＢＣＤ中ꎬＡＢ＝６ꎬＢＣ＝４ꎬ以ＡＢ边所在的直线为ｘ轴ꎬＡ点原点ꎬＡＤ边所在的直线为ｙ轴ꎬ建立平面直角坐标系.请根据以上信息写出长方形四个点的坐标位置.如果改变平面直角坐标系ꎬ那么这四个顶点的坐标又会发生怎样的变化?教学意图:当面对生活问题时ꎬ很多学生难以将关键信息运用起来ꎬ此时我们可以构建数轴以及坐标系来刻画某一点的位置ꎬ将复杂的问题简单化.２基于知识结构开展单元教学设计的实践思考«平面直角坐标系»这一单元的内容在初中数学教学中十分重要ꎬ学生在后续的知识学习中还使用坐标系作为解题工具ꎬ教师应当深度挖掘教材内容ꎬ引导学生进行深层分析[３].然而«平面直角坐标系»单元的内容较为零散ꎬ如何有效运用知识结构开展单元教学设计ꎬ这是一个值得深思的问题.２.１如何讲解单元知识课堂中教师需要做好知识衔接的准备ꎬ先为学生讲解数轴知识ꎬ并以此为基础展开坐标系模块的教学.该过程应当引导学生思考数轴与坐标系知识间的联系ꎬ从而帮助学生更加系统地理解平面直角坐标系.例如ꎬ教师在为学生讲解如何计算 坐标系内两点之间的距离 时ꎬ切不可直接将推导过程展示给学生ꎬ而是应当启发学生对 数轴上两点之间的距离 的计算方式进行深度思考ꎬ并以此为基础推导出平面直角坐标系内两点的距离计算方式.这一教学方法不仅可以提升学生的自主探究力ꎬ更是能够加强学生对两个知识点的理解.２.２如何引导学生思考当学生在学习完成数轴知识内容后ꎬ教师需要将此作为教学基础开展后续的平面直角坐标系教学ꎬ该方式可以让学生面对新知识时不再犯怵ꎬ而是可以主动运用数轴规律进行推导.由此看来ꎬ基于知识结构的单元教学设计并不是简单的知识堆砌ꎬ其可以帮助学生将琐碎的知识点汇集起来ꎬ最终成为一个整体.当学生能够理解数轴与平面直角坐标系之间的联系时ꎬ就能够实现一维至二维的飞跃ꎬ数学思维得到不断完善.２.３如何开展后续学习当学生学习完成数轴以及平面直角坐标系的内容后ꎬ教师可以引导学生思考:我们如何表示某一个点在三维空间中的位置呢?该扩展性问题可以让学生对空间直角坐标系产生基本的认知.基于之前的知识结构和学习经验ꎬ学生可以很快根据平面直角坐标系的概念推理出空间直角坐标系的概念ꎬ并参照教师课堂中的教学流程ꎬ通过合作学习的方式分析空间内两个点的距离的计算公式㊁空间内两个点构成的线段的中点位置表示方式及运用空间直角坐标系解决实际问题.３结束语通过上述的分析能够发现ꎬ运用知识结构开展单元设计能够很好地解决以往教学中知识割裂的状态.该教育理念认为初中数学教师应当根据知识的内在结构进行系统教学ꎬ鼓励学生探究不同知识要点间的关联.因此ꎬ数学教师必须熟悉教材中不同单元知识点的联系ꎬ并通过清晰明了的单元设计方案引导学生构建系统的知识体系及逻辑结构.实践表明ꎬ基于知识结构的单元设计能够有效提升初中学生的数学思维ꎬ让学生在课堂学习中完成知识的迁移ꎬ最终形成完善的核心素养.参考文献:[１]陈丽莉.浅谈基于ＳＴＥＭ理念的初中数学单元教学设计研究:以 一元一次方程 为例[Ｊ].理科爱好者ꎬ２０２２(５):９１－９３.[２]杨小丽.初中数学单元教学设计的策略探析[Ｊ].数学通报ꎬ２０２２(９):２１－２６.[３]王志海.浅析初中数学单元教学设计的基本策略[Ｊ].新课程ꎬ２０２２(３４):１２２－１２３.[责任编辑:李㊀璟]２５。
八年级秋季班第9讲：平面直角坐标系1-教师版
平面直角坐标系是七年级第15章的内容，本节主要学习了平面直角坐标系的有关概念，点与坐标的对应关系，坐标系作为一个平台，利用数形结合的思想来研究数学问题．知识点1：点的坐标的概念与应用1、在平面内取一点O，过点O画两条互相垂直的数轴，且使它们以点O为公共原点，这样，就在平面内建立了一个直角坐标系．一般地，水平放置的数轴，它的正方向向右，这条数轴叫做横轴（记作x轴），铅直放置的数轴，它的正方向向上，这条数轴叫做纵轴（记作y轴）．横轴、纵轴统称坐标轴，点O叫做坐标原点．2、在平面直角坐标系中，点P所对应的有序实数对（a，b）称为点P的坐标，记作P（a，b），其中a叫做横坐标，b叫做纵坐标，x轴上的点的纵坐标为0，y轴上的点的横坐标为0，原点O的坐标为（0，0），在直角坐标平面内，所有的点与所有的有序实数对是一一对应的．平面直角坐标系内容分析知识结构模块一：点的坐标的概念与应用知识精讲【例1】 （1）数轴上的所有点与实数的全体之间有_______的关系；（2）直角坐标平面上的所有点与所有有序实数对之间具有________的关系． 【难度】★【答案】（1）一一对应；（2）一一对应．【解析】根据数轴及直角坐标系的性质可知都是一一对应的关系． 【总结】考查数轴及直角坐标系的概念．【例2】 如图，在直角坐标平面内写出各点的坐标．（小方格的边长为1） 【难度】★【答案】()()()()30300202A B C D --，；，；，；，； ()()()()22332233E F G H ----，；，；，；，． 【解析】准确找到原点，根据坐标的特征即可写出各点的坐标． 【总结】考查坐标的概念及书写．【例3】 已知P （a ，b ），（1） 若点P 在原点，则a =_______，b =___________； （2） 若点P 在x 轴上，则a =_______，b =___________； （3） 若点P 在y 轴上，则a =_______，b =___________． 【难度】★【答案】（1）0,0a b ==；（2）a 为一切实数，0b =；（3）0a =，b 为一切实数． 【解析】原点()00，，x 轴上的点特征是纵坐标为0，即()0a ，，y 轴上的点特征是横坐标 为0，即()0b ，． 【总结】考查坐标系中特殊位置的点的坐标特征．例题解析AB C DE FGHO xy【例4】 在直角坐标平面内，点P 的坐标是（a ，b ），如果ab =0，那么点p 在_______上． 【难度】★ 【答案】坐标轴【解析】000ab a b =∴==，或，则点在y 轴上或x 轴上． 【总结】考查坐标系中特殊位置的点的特征．【例5】 如图，点P 的坐标是_______，点P 到x 轴的距离等于___________；到y 轴的距 离等于__________点Q 的坐标是___________，点Q 到x 轴的距离等于_________，到y 轴的距离等于___________．【难度】★★【答案】()34P ，；4；3；()52Q --，；2；5．【解析】第一象限内点的符号特征()++，，第三象限内点的符号 特征()--，，到x 轴的距离是纵坐标的绝对值，到y 轴的距离是横坐标的绝对值． 【总结】考查坐标的概念，注意对点到坐标轴的距离的准确理解．【例6】 如图，写出矩形ABCD 各顶点的坐标：A ：_________，B ：__________，C ：____________，D ：___________． 【难度】★★【答案】()()()()32424434A B C D ----，；，；，；，． 【解析】根据点的坐标特征可得各点坐标．【总结】考查写点的坐标特征，注意每个象限的符号特征．【例7】 在直角坐标平面内，点M 的坐标为（-3，y ），点N 的坐标为（x ，4），如果M 、N 两点表示同一点，那么x =_______，y =________． 【难度】★★【答案】34x y =-=，．【解析】表示同一点，则横坐标和纵坐标都相等． 【总结】考查坐标系中相同的两个点的坐标特征．P QO yx34 --2ABCD O xy11【例8】 在直角坐标平面内一点A 的横坐标是3，纵坐标是2，那么点A 的坐标是_______；如果点B 的横坐标是2，纵坐标是3，那么点B 的坐标是_______．这样．点A 与点B 是表示__________的两点．（填写“相同”或“不同”） 【难度】★★【答案】()()3223A B ，；，；不同． 【解析】根据坐标的表示方法即可写出A B 、两点坐标，横、纵坐标不同，则表示的点不同． 【总结】考查坐标的概念与书写．【例9】 （1）已知在平面直角坐标系中点A （2，y ）到x 轴的距离为3，求y 的值； （2）若在平面直角坐标系中有一点B （a ，b ），求点B 到y 的距离． 【难度】★★【答案】（1）3y =±；（2）点B 到y 轴的距离为a ．【解析】到x 轴的距离是纵坐标的绝对值，到y 轴的距离是横坐标的绝对值． 【总结】考查坐标系中点到坐标轴的距离的概念及运用．【例10】 下列判断中：①在平面内有公共原点而且互相垂直的两条数轴，就构成了平面直角坐标系；②坐标平面内所有的点与所有实数之间是一一对应的；③在直角坐标平面内（x ，y ）与点(y ，x )表示不同的两点；④原点O 的坐标是（0，0），它即在x 轴上，又在y 轴上，其中错误的个数是（ ）． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【难度】★★ 【答案】A【解析】①正确；②错误，坐标平面内所有的点与所有有序实数对之间是一一对应的； ③正确；④正确．故选A【总结】考查直角坐标系的概念及坐标系中点的坐标的概念．【例11】 在平面直角坐标系中，已知点A （0，2），B （2，0），C （3，1）．在图中进行如下操作：（1） 画△ABC ；（2） 画一个△DEF ，使△ABC ≌△DEF ． 【难度】★★ 【答案】略【解析】（1）按照坐标描出各点，再联结各点组成三角形． （2）将ABC 平移即可得DEF ． 【总结】考查根据已知点的坐标进行画图．【例12】 在平面直角坐标系中，如果点P 到x 轴的距离等于4，到y 轴的距离等于5，这样的点P 共有（ ）． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【难度】★★★ 【答案】D【解析】根据到x 轴的距离是纵坐标的绝对值，到y 轴的距离是横坐标的绝对值，故可得P 点的坐标为：()()()545454(54)----，；，；，；，，故选D【总结】考查点到坐标轴的距离与坐标间的关系，综合性较强，注意多种情况的考虑．【例13】 如图，在直角坐标平面内有两点A 、B ，连接AB ，如果AB 是正方形ABCD 的一条边，请画出正方形ABCD ，并写出它的各顶点的坐标． 【难度】★★★【答案】()()()()24224244A B C D ----，；，；，；， 或()()()()24228284A B C D ------，；，；，；，． 【解析】根据正方形四边相等的特征，描出C D 、两点， 顺次联结即可画出正方形ABCD【总结】考查对正方形的理解及点的坐标的综合运用， 注意进行分类讨论，综合性较强．ABxyO 1 1xyOABCDEF【例14】 在直角坐标平面内，横坐标与纵坐标都是整数的点叫做格点，顶点都是格点的三角形叫做格点三角形，如图，给出直角坐标系，设格点A （-2，1），请画出一个格点三角形，使A 在它的内部且这个三角形的面积最小，并写出这个三角形的各个顶点的坐标． 【难度】★★★【答案】格点三角形不唯一，面积最小的三角形顶点坐标为：()()()302013---，；，；，，此时面积为32．【解析】以一个小正方形的对角线的长为底，两个小正方形的 对角线长为腰，这样的格点三角形面积最小． 【总结】考查直角坐标系中作图．【例15】 在直角坐标平面内，已知点A （x ，y ）的坐标满足22(2)(4)0x y -+-=，点B （x ，y ）的坐标满足2(2)|2|0x y -+-=，点C （x ，y ）的坐标满足220x y +=． 连接AB 、BC 、CA ，试问：△ABC 是一个怎么的三角形?说明你的理由． 【难度】★★★ 【答案】钝角三角形．【解析】22(2)(4)024x y x y -+-=∴==，，， ()24A ∴，； 2(2)|2|022x y x y -+-=∴==，，，()22B ∴，；()2200000x y x y C +=∴==∴，，，，在直角坐标系中画出ABC 可知，ABC 为钝角三角形．【总结】本题综合性较强，一方面考查非负数的和为零的基本模型的运用，另一方面考查点 的坐标在坐标系中的表示．xyO1．坐标平面由两条坐标轴和四个象限构成， 如图1，可以看成坐标平面的六个区域：x 轴，y 轴，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 注意：坐标轴上的点不属于任何一个象限．2. 点P （a ，b ）到x 轴的距离为|b |，到y 轴的距离为|a |．3. 特殊位置的点的坐标的特征： （1）坐标轴上的点：① 点P 的坐标为（a ，0）⇔点P 在x 轴上； ② 点P 的坐标为（0，b ）⇔点P 在y 轴上； （2）各象限内的点：① 点P ()a b ，在第一象限⇔00a b >>，； ② 点P （a ，b ）在第二象限⇔00a b <>，； ③ 点P （a ，b ）在第三象限⇔00a b <<，； ④点P （a ，b ）在第四象限⇔00a b ><，．模块二：平面直角坐标系知识精讲【例16】 （1）()P x y ，在第一象限内，则x y 、满足 ， ()P x y ，在第二象限内，则x y 、满足 ；（2）()P x y ，在第三象限内，则x y 、满足 ， ()P x y ，在第四象限内 则x y 、满足 ． 【难度】★【答案】（1）00x y >>，；00x y <>，；（2）00x y <<，；00x y ><，． 【解析】根据点在各象限内的坐标特征：可得答案． 【总结】考查各个象限内点的坐标特征．【例17】 （1）()P x y ，在x 轴上，则x y 、满足 ，()P x y ，在y 轴上，则x y 、满足 ；（2）()P x y ，在y 轴左边，则x y 、满足 ，()P x y ，在y 轴右边，则x y 、满足 ；（3）()P x y ，在x 轴上方，则x y 、满足 ， ()P x y ，在x 轴下方， 则x y 、满足 ． 【难度】★【答案】（1）x 为一切实数，0y =；0x =，y 为一切实数；（2）0x <，y 为一切实数；0x >，y 为一切实数； （3）x 为一切实数，0y >；x 为一切实数，0y <． 【解析】根据点在直角坐标系内的坐标特征：可得答案． 【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征．例题解析【例18】 （1）点()M x y ，的坐标满足0xy=，那么()M x y ，的位置可能是 ； （2）点()M x y ，的坐标满足0yx=，那么()M x y ，的位置可能是 ．【难度】★【答案】（1）除原点外的y 轴上；（2）除原点外的x 轴上． 【解析】（1）000xx y y=∴=≠，，，M ∴在除原点外的y 轴上； （2）000yy x x=∴=≠，，，M ∴在除原点外的x 轴上． 【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征．【例19】 （1）点()M x y ，的坐标满足0xy =，则M 在 上； （2）点()N x y ，的坐标满足0xy <则点()N x y ，在 象限． 【难度】★【答案】（1）坐标轴；（2）第二或第四象限内． 【解析】（1）000xy x y =∴==，或，M ∴在x 轴或y 轴上；（2）0xy <，x y ∴、异号，N ∴在第二或第四象限内． 【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征．【例20】 在直角坐标平面内，如果点O 的坐标是（0，0），那么点O 叫做______点，x 轴上的点的坐标特征是___________坐标为零；y 轴上的点坐标特征是_______坐标为零． 【难度】★★【答案】（1）原点；纵；横 【解析】根据坐标特征可得答案． 【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征．【例21】 若点P （x ， y ）在第二象限，且|1|2x -=，|3|5y +=，则点P 的坐标为（A ．（－1，2）B ．（3，－8）C ．（2，－1）D ．（－8，3）【难度】★★ 【答案】A ．【解析】|1|2313528x x x y y y -=∴==-+=∴==-，或；，或，P 在第二象限，∴横坐标为负，纵坐标为正，()1212x y P ∴=-=∴-，，，，故选A ． 【总结】考查第二象限内点的坐标特征．【例22】 （1）已知点A （m ，n ）在第四象限，那么点B （n ，m ）在第 象限； （2）若P (a ，－b )是第二象限内的点，则Q (－a ，ab )是第 象限内的点． 【难度】★★【答案】（1）二；（2）一． 【解析】（1）()A m n ，在第四象限，00m n ∴><，，()B n m ∴，在第二象限；（2）()P a b -，在第二象限，00000a b b a ab ∴<->∴<∴->>，，，，， ()Q a ab ∴-，在第一象限内． 【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征．【例23】 解下列各题：（1） 如果点A （m ，3-m ）是第二象限的点，那么m 应满足什么条件? （2） 已知点P （a ，b ）在y 轴的负半轴上，写出a ，b 的取值范围；（3） 已知点P （x ，y ）的坐标满足2(2)|4|0x y +++=，那么点P 在第几象限? 【难度】★★【答案】（1）0m <；（2）0a =，0b <；（3）P 在第三象限． 【解析】（1）()3A m m -，在第二象限，030030m m m m m ∴<->∴<<∴<且，且，；（2）()P a b ，在y 轴的负半轴上，00a b ∴=<，；（3）2(2)|4|024x y x y +++=∴=-=-，，，P ∴在第三象限． 【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征．【例24】 直角坐标系中，等边三角形的一个顶点的坐标是A （0，），另两个顶点B 、C都在x 轴上，求B 、C 的坐标．【难度】★★【答案】()()1010B C -，，，或()()1010C B -，，，． 【解析】因为等边三角形，又()03A ，，所以1BO CO ==， 所以()()1010B C -，，，或()()1010C B -，，，． 【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征及三角形的性质，本题综合性较强，建议老师选择性的讲解．【例25】 请在直角坐标平面内画出四条直线x =3，x =-4，y =4，y =-2．（1） 这四条直线所围成的四边形是一个怎样的四边形?（2） 现有点A 2，3），B （5，-1），C （2，3，D （-3，5），E 6，2）， F （10-2），请问：哪些点在这个四边形的内部?各在什么象限? 【难度】★★★【答案】（1）围成的是长方形；（2）如图可得：在直角坐标系中描出各点，可知：A B C E F 、、、、在四边形内部；第一象限内的点：D 、F ；第二象限内的点：A ；第三象限内的点：B ；第四象限内的点：C E 、．【解析】（1）根据3,4,4,2x x y y ==-==-画出图形可知，围成的四边形是长方形．（2）如图可得：在直角坐标系中描出各点， 可知：A B C E F 、、、、在四边形内部 第一象限内的点：D 、F ； 第二象限内的点：A ； 第三象限内的点：B ； 第四象限内的点：C E 、．【总结】考查直角坐标系内点的坐标．3【例26】 （1）在第二，四象限内，两坐标轴夹角平分线上的点的横坐标和纵坐标之间的关系是 ；（2）在第一，三象限内，两坐标轴夹角平分线上的点的横坐标和纵坐标之间的关系是 ．【难度】★★★【答案】（1）互为相反数；（2）相等．【解析】解：（1）二、四象限角平分线为y x =-，横、纵坐标互为相反数；（2）一、三象限角平分线为y x =，横、纵坐标相等； 【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征，注意进行归纳总结．【例27】 若点P (3a -9，1-a )是第三象限的整数点(横、纵坐标都是整数)，那么a = ． 【难度】★★★ 【答案】2a =．【解析】解：()391P a a --，是第三象限内的点，39010a a ∴-<-<，；，3113a a a ∴<>∴<<，；，横、纵坐标都是整数，2a ∴=． 【总结】考查第三象限的点的坐标的符号特征，注意对整数的理解．【习题1】 （1）直角坐标平面内的横轴与纵轴是互相_________的，而且交点就是________点，它的坐标是__________；（2）第_______象限内的点的横纵坐标都是负数；第________象限内的点的横纵坐标异号；横纵坐标相等的点在________________；横纵坐标互为相反数的点在______________．【难度】★【答案】（1）垂直，原点，()00，；（2）三，二或四，一、三象限的角平分线上， 二、四象限的角平分线上．【解析】（1）根据直角坐标系的概念可知；（2）根据直角坐标系内点的坐标的特征可知． 【总结】考查直角坐标系的概念以及点的概念及坐标特征．随堂检测【习题2】 在x 轴上的点的纵坐标是（ ） A ．正数B ．负数C ．零D ．实数【难度】★ 【答案】C【解析】x 轴上点的特征(),0m ，故选C ． 【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征．【习题3】 如果0mn>且0m n +>，那么P （m ，n ）在（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【难度】★【答案】A【解析】0mm n n >∴，、同号，又()00m n m n P m n +>∴>>∴，0，，，在第一象限． 【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征．【习题4】 如果点A （m ，n ）在第二象限，则点B （-m +1，3n +5）在第______象限 【难度】★★ 【答案】一 【解析】解：()A m n ，在第二象限，00m n ∴<>，，10350m n ∴-+>+>，， ()135B m n ∴-++，在第一象限内． 【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征．【习题5】 横坐标为3的点一定在（）．A ． 与x 轴平行，且与x 轴的距离为3的直线上B ． 与y 轴平行，且与y 轴的距离为3的直线上C ． 与x 轴正半轴相交，与y 轴平行，且与y 轴的距离为3的直线上D ． 与y 轴正半轴相交，且与x 轴的距离为3的直线上 【难度】★★ 【答案】C【解析】点的横坐标为3，则这个点为()3m ，，根据坐标特征，故选C ． 【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征，注意进行总结．【习题6】 已知：两点A （11x y ，），B （22x y ，），当坐标满足什么条件时，才能使点A 、B 都在平行于y 轴的某一直线上，该条件是（）．A ．12x x =B ．12y y =C ．12||||x x =D ．12||||y y =【难度】★★ 【答案】A【解析】横坐标相等，两点的连线垂直x 轴，平行于y 轴，故选A ． 【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征．【习题7】 已知：点P （x ，y ），且x ，y 是方程24(2)(5)0x y ++-=的解，那么点P在（）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【难度】★★ 【答案】B【解析】解：24(2)(5)025x y x y ++-=∴=-=，，，()25P ∴-，在第二象限，故选B ．【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征，注意非负数的和为零的模型的运用．【习题8】 如图，（1）A 、B 、C 、D 四点的横坐标不变，将它们的纵坐标都除以-1，得到E 、F 、G 、H ，再将它们对应的点联结起来，写出这八个点的坐标；（2）将A 、B 、C 、D 四点的横坐标都乘以-1，纵坐标不变，得到M 、N 、P 、Q ，请画出四边形MNPQ ，并写出各点的坐标． 【难度】★★【答案】（1）()()()()33312112A B C D ----，、，、，、，， ()()()()33312112E F G H --------，、，、，、，； （2）()()()()33312112M N P Q ，、，、，、，，画图略． 【解析】（1）根据图形中点所处的位置得到A 、B 、C 、D 四点的坐标， 然后再根据规定的计算得到相应的坐标． 【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征．OA B CD xy1 -1-11【习题9】在直角坐标平面内，已知点A（-2，1），另有一点B，且直线AB平行于x轴，如果A、B两点距离是4，那么B的坐标是_________．【难度】★★【答案】()61B-，．B，或()21【解析】//-，、距离为4，当B在A左侧时，横坐标为6 AB x轴，∴纵坐标相等，A B()B21∴，．61∴-，；当B在A右侧时，横坐标为2，()B【总结】考察坐标的性质及点的移动、点之间的距离，注意要考虑分类．【习题10】在直角坐标平面内有直线l∥x轴，直线l上有两点A、B，已知点A的坐标），且与A、B两点的距离等于3，求点B的坐标．【难度】★★★【答案】3B．B或3【解析】//AB x轴，∴纵坐标相等，A B、距离为3，当B在A3，3∴，B当B在A3，3B∴．【总结】考察坐标的性质及点的移动、点之间的距离，注意要考虑分类．【习题11】已知：点A（a，-3），B（-4，b），若A、B两点的连线平行于x轴，a，b应满足什么条件?【难度】★★★【答案】3a≠-．b=-且4【解析】解：//a≠-．∴=-且4bAB x轴，∴纵坐标相等，3【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征，注意A、B是不同的两点．【作业1】已知点A 的坐标是（m ，n ），如果m ≠0且n =0，那么点A 在（）A ．x 轴上B ．y 轴上C ．x 轴上，但不能包括原点D ．y 轴上，但不能包括原点【难度】★ 【答案】C【解析】解：0n =，A ∴在x 轴上，0m ≠，A ∴不在原点上，故选C ． 【总结】考查坐标系内点的特征．【作业2】已知B （a ，b ）在第三象限，那么点A （-a +2，b -1）在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【难度】★ 【答案】D【解析】()B a b ，在第三象限，00a b ∴<<，，2010a b ∴-+>-<， ()21A a b ∴-+-，在第四象限，故选D 【总结】考查各象限内的点的符号特征．【作业3】（1）如果点P （m ，n ）在第三象限两坐标轴夹角的平分线上，那么m 、n 应该满足的条件是__________；（2）在平面直角坐标系xoy 中有点M （-4，4），连接MO ，那么∠MOx =________． 【难度】★★【答案】（1）相等，（2）45︒．【解析】（1）一、三象限的角平分线上的点特征为：横、纵坐标相等；二、四象限角平分线上的点的特征为：横、纵坐标互为相反数．（2）∵M （-4，4），∴点M 在二四象限的角平分线上， ∴∠MOx =45︒． 【总结】考查直角坐标系内各象限内的点的坐标特征．课后作业【作业4】在平面直角坐标系中有点A （0，3），B （0，-2），C （6，-2），那么△ABC是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【难度】★★ 【答案】C【解析】∵A （0，3），B （0，-2），，A B ∴、在y 轴上，且5AB =，∵B （0，-2），C （6，-2），BC y ∴⊥轴，且6BC =，ABC ∴是直角三角形． 故选C【总结】考查点的坐标的特征与几何图形的综合应用．【作业5】在直角坐标平面内，已知点P （-2，1），另有一点Q ，且直线PQ 平行于y 轴．如果P 、Q 两点的距离是6，那么点Q 的坐标是_________． 【难度】★★【答案】()27Q -，或()25Q --，． 【解析】//PQ y 轴，∴横坐标相等，P Q 、距离为6，当Q 在P 上方时，纵坐标为7，()27Q ∴-，；当Q 在P 下方时，纵坐标为5-，()25Q ∴--，． 【总结】考查坐标的性质及点的移动、点之间的距离，注意要分类讨论．【作业6】在平面直角坐标系中，已知点P （0，2），在y 轴上有点Q ，它到点P 的距离等于3，求点Q 的坐标． 【难度】★★【答案】()05Q ，或()01Q -，． 【解析】当点Q 在点P 上方时，纵坐标为5，()05Q ∴，； 当点Q 在点P 下方时，纵坐标为1-，()01Q ∴-，【总结】考查坐标的性质及点的移动、点之间的距离，注意要考虑分类．【作业7】在如图所示的平面直角坐标系中画出与△ABC 全等的所有三角形，已知每个三角 形的顶点坐标均为整数，请写出每个三角形的顶点坐标． 【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】由图可知：()()()133244A B C ----，、，、，． ①当把每个点向左平移一个单位时，得： ()()()111234234A B C ----，、，、，； ②当把每个点向上平移一个单位时，得： ()()()222143143A B C ----、、，，，； ③ A B C 、、三点关于y 轴对称得： ()()()333133244A B C ---、，、，，； ④A B C 、、三点关于x 轴对称得： ()()()444133244A B C ---、，、，，；⑤111A B C 、、三点关于y 轴对称得：()()()555234234A B C ---、，、，，； ⑥111A B C 、、三点关于x 轴对称得：()()()666234234A B C ---、，、，，； ⑦222A B C 、、三点关于y 轴对称得：()()()777143143A B C ---、，、，，； ⑧222A B C 、、三点关于x 轴对称得：()()()888143143A B C ---、，、，，； 故以上的点都满足题意．【总结】考查点的移动及点的对称的特征，综合性较强，注意从多个角度去考虑．【作业8】在直角坐标平面内有一个圆，圆心是A （2，0），该圆与x 轴有一个交点是B （5，0），那么这个圆的周长等于________，圆的面积等于________． 【难度】★★ 【答案】69ππ、． 【解析】解：()()2050A B ，、，，3r AB ∴==，2269C r S r ππππ∴====，．【总结】考查两点距离与圆的周长及面积公式的综合运用．ABCOxy【作业9】在△ABC 中，AB =BC ，∠B =90°，顶点A 在原点，AB 边在x 轴上，且AB =6，求点C 的坐标． 【难度】★★【答案】()66C ，或()66-，或()66--，或()66-，． 【解析】A 在原点，AB 边在x 轴上，6AB =，()60B ∴，或()60-，90B ∠=︒，C ∴的横坐标为6或6-，AB BC =，()66C ∴，或()66-，或()66--，或()66-，【总结】考查点的距离与特征结合直角三角形的综合应用．【作业10】在直角坐标平面内，有一点C （a ，b ），垂直于x 轴的直线AB 经过点C ，已知点A （5，-2），ab 的值是154，a 与b 的值各是多少?【难度】★★★ 【答案】21520a b ==，． 【解析】AB x ⊥轴，点C （a ，b ）在AB 上，A （5，-2），112155554420a ab b b ∴==∴=∴=，，，． 【总结】考查点的坐标的特征，注意进行合理计算．【作业11】已知点M 为平行于x 轴且到x 轴的距离为5的直线上的一点，它到y 轴的距离是6，且M 的坐标． 【难度】★★★【答案】()65M ，或()65-，或()65-，或()65--，．【解析】∵点M 到x 轴的距离是5，∴点M 的纵坐标的绝对值是5， ∴点M 的纵坐标为5±．∵点M 到y 轴的距离是6，∴点M 的横坐标的绝对值是6， ∴点M 的纵坐标为6±，∴点M 的坐标为()65M ，或()65-，或()65-，或()65--，． 【总结】考查坐标系内点坐标的特征，注意距离与坐标之间的关系．。
新课程初中数学知识结构体系
作者：马涛
分类 解法 应用
分式 二次根式
方程、不等式
整式
代数式
数轴、相反数、
倒数、绝对值
有理数
实数
无理数 分类 运算
数据的收集
数与代数
数据的处理 统计
数据的分析、决策 意义
概率
统计 与概率
事件
概率的计算
频率、列表、画树状图
变量、概念、 图象、 常量 表示 表达式
平面直角坐标系 证明的方法
函数
图形与坐标
图形与证明
证明的依据 证明的含义 图形的相似
图形的旋转
空间与图形Fra bibliotek图形与变换 图形的认识
图形的平移 图形的轴对称 尺规作图 三角形、四边形、圆
初 中 数 学 知 识 树
实践 与应用
课题学习
实践活动
相交线、平行线 体、面、线、点
感受数学联系，整体
综合应用
丰富解决问题的策略
培养应用意识
发展思维能力
返
树立学习信心
回
说明
以新课程标准为参照，根据和谐教学法整体建构思想
设计的。体现整体性、 科学性、时代性、可操作性； 又以“知
初中数学知识点及结构图新人教版
适用文档七年级数学（上）知识点人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容.第一章有理数 一． 知识框架二．知识看法1.有理数：(1) 凡能写成q (p,q 为整数且p0)形式的数，都是有理数 .正整数、0、负整数统称整数；正p分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数； -a不必定是负数，+a 也不必定是正数； 不是有理数；正有理数 正整数正整数正分数整数 零(2) 有理数的分类: ① 有理数零② 有理数 负整数负有理数 负整数分数 正分数负分数负分数2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线 .3．相反数：(1只有符号不一样的两个数，我们说此中一个是另一个的相反数； 0的相反数还是0；)(2)相反数的和为0a+b=0a、b互为相反数.4.绝对值：(1 )正数的绝对值是其自己，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点走开原点的距离；a(a0)a a(a0)(2)绝对值可表示为：a0(a0)或；绝对值的问题常常分类谈论；a(a0)a(a0)文案大全适用文档5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大； （2）正数永久比 0大，负数永久 比0小；（3）正数大于全部负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小； （5）数轴上 的两个数，右侧的数总比左侧的数大； （6）大数-小数 ＞0，小数-大数 ＜0.6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数； 注意：0没有倒数；若a ≠0，那么a 的倒数是 1； a若ab=1 a 、b 互为倒数；若 ab=-1 a 、b 互为负倒数. 有理数加法法规：1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 3）一个数与0相加，仍得这个数. 8．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律： a +b=b+a ；（2）加法的联合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）. 9．有理数减法法规：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即 a-b=a+（-b ）. 有理数乘法法规：1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘； 2）任何数同零相乘都得零；3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定. 有理数乘法的运算律：1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的联合律：（ab ）c=a （bc ）； 3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac. ．有理数除法法规：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不可以做除数， 即a 无心义.013．有理数乘方的法规：（1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当 n 为正奇数时:(-a)n =-a n 或(a -b)n =-(b-a)n ,当n 为正偶数时:(-a)n =a n 或(a-b)n =(b-a)n . 14．乘方的定义：1）求相同因式积的运算，叫做乘方；2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；15．科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，此中a 是整数数位只有一位的数，这类记数法叫科学记数法.16. 近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位 .17. 有效数字：从左侧第一个不为零的数字起，到精确的位数止，全部数字，都叫这个近似 数的有效数字.18. 混杂运算法规：先乘方，后乘除，最后加减.本章内容要修业生正确认识有理数的看法， 在实质生活和学习数轴的基础上，理解正负数、相反数、绝对值的意义所在。
苏教版人教版数学八年级上册知识点总结
新苏科版《数学》（八年级上册）知识点总结第一章轴对称图形一、知识结构：二、知识归纳：轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，则这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫对称轴，两个图形中对应点叫做对称点。
轴对称图形：把一个图形沿某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，则成这个图形是轴对称图形，这条直线式对称轴。
垂直平分线：垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线轴对称性质：1、成轴对称的两个图形全等。
2、如果两个图形成轴对称，则对称轴是对应点连线的垂直平分线。
3、成轴对称的两个图形的任何对应部分成轴对称。
4、成轴对称的两条线段平行或所在直线的交点在对称轴上。
线段的对称性：1、线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是对称轴。
2、线段的垂直平分线上的点到线段两端距离相等。
3、到线段两端距离相等的点在垂直平分线上。
角的对称性：1、角是轴对称图形，角平分线所在的直线是对称轴。
2、角平分线上的点到角的两边距离相等。
3、到角的两边距离相等的点在角平分线上。
等腰三角形的性质：1、等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是对称轴。
2、等边对等角。
3、三线合一 。
等腰三角形判定：1、两边相等的三角形是等边三角形 。
2、等边对等角 。
等边三角形判定及性质：1、三条边相等的三角形是等边三角形 。
2、等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。
3、等边三角形每个角都等于60°。
等腰梯形定义：两腰相等的梯形是等腰梯形 。
等腰梯形性质：1、等腰梯形是轴对称图形，过两底中点的直线是对称轴。
2、等腰梯形在同一底上的两个角相等。
3、等腰梯形对角线相等 。
等腰梯形判定：1.、两腰相等的梯形是等腰梯形 。
2、在同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形 。
第二章 勾股定理与平方根一．勾股定理1、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，则这个三角形是直角三角形。