微积分曹定华修订版课后题答案第九章习题详解

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微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第九章习题详解

第9章习题9-1．判定下列级数的收敛性：115n n a ∞=⋅∑（＞）； ∑∞=-+1)1(n n n∑∞=+131n n ∑∞=-+12)1(2n nn ∑∞=+11ln n n n∑∞=-12)1(n n∑∞=+11n n n 0(1)21n n n n ∞=-⋅+∑．解：（）该级数为等比级数，公比为1a 且0a > 故当1||1a < 即1a >时，级数收敛，当1||1a≥即01a <≤时，级数发散（）(1n S n =++++1=lim n n S →∞=∞∴1n ∞=∑发散（）113n n ∞=+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前项得到的级数，而调和级数11n n ∞=∑发散，故原级数113n n ∞=+∑发散（）1112(1)1(1)222n n nn n n n ∞∞-==⎛⎫+--=+ ⎪⎝⎭∑∑ 而1112n n ∞-=∑ 1(1)2m n n ∞=-∑是公比分别为12的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质知111(1)22n n n n ∞-=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∑收敛，即原级数收敛（）lnln ln(1)1nn n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+故lim n n S →∞=-∞ 所以级数1ln1n nn ∞=+∑发散（）2210,2n n S S +==-∴lim n n S →∞不存在，从而级数1(1)2n n ∞=-∑发散（）1lim lim10n n n n U n→∞→∞+==≠ ∴ 级数11n n n ∞=+∑发散（） (1)(1)1, lim 21212n n n n n n U n n →∞--==++ ∴ lim 0n x U →∞≠，故级数1(1)21n n nn ∞=-+∑发散．判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和：∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+13121n n n ；∑∞=++1)2)(1(1n n n n∑∞=⋅12sin n n n π0πcos 2n n ∞=∑．解：（）1111, 23n n n n ∞∞==∑∑都收敛，且其和分别为和12，则11123n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛，且其和为 12 32（）11121(1)(2)212n n n n n n ⎛⎫=-+ ⎪++++⎝⎭∴121112111211121122322342345212n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-++-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11112212n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭1lim 4n n S →∞=故级数收敛，且其和为14（）πsin 2n U n n = 而πsinππ2lim lim 0π222n n n U n→∞→∞=⋅=≠，故级数1πsin2n n n ∞=⋅∑发散（）πcos2n n U = 而4lim limcos2π1k k k U k →∞→∞== 42lim limcos(21)π1k k k U k +→∞→∞=+=-故lim n n U →∞不存在，所以级数0πcos2n n ∞=∑发散 ※．设1n n U ∞=∑ ＞加括号后收敛，证明1n n U ∞=∑亦收敛．证：设1(0)n n n U U ∞=>∑加括号后级数1n n A ∞=∑收敛，其和为考虑原级数1n n U ∞=∑的部分和1n k k S U ∞==∑，并注意到0(1,2,)k U k >=，故存在0n 使11n n k t k t S U A s ∞===<<∑∑又显然1n n S S +<对一切n 成立，于是，{}n S 是单调递增且有上界的数列，因此，极限lim nn S →∞存在，即原级数1n n U ∞=∑亦收敛习题．判定下列正项级数的收敛性：∑∞=++1n n n )2)(1(1 ∑∞=+1n n n1∑∞=++1n n n n )2(2 ∑∞=+1n n n )5(12；111nn a ∞=+∑ ＞ ∑∞=+1n n b a 1＞ ()∑∞=--+1n a n a n 22＞ ∑∞=-+1n n n 1214； ∑∞=⋅1n nn n 23； ※∑∞=1n n n n !∑∞=+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅1n n n )13(1074)12(753 ∑∞=1n n n3；※∑∞=1n n n 22)!(2； ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+1n nn n 12∑∞=1πn n n3sin2 ∑∞=1πn n n n 2cos 32．解：（）因为211(1)(2)n n n <++而211n n ∞=∑收敛，由比较判别法知级数11(1)(2)n n n ∞=++∑收敛（）因为limlim 10n n n U →∞→∞==≠，故原级数发散（）因为21(1)(1)1n n n n n n n +>=+++，而111n n ∞=+∑发散，由比较判别法知，级数12(1)n n n n ∞=++∑发散（）321n<=而n ∞=是收敛的p -级数3(1)2p => 由比较判别法知级数1n ∞=收敛（）因为111lim lim lim(1)111n n n n n n n n a a a a a→∞→∞→∞+==-++ 11112001a a a >⎧⎪⎪==⎨⎪<<⎪⎩而当1a >时，11n n a ∞=∑收敛，故111nn a ∞=+∑收敛当1a =时，11n n a ∞=∑ 11n ∞=∑发散，故111nn a∞=+∑发散当01a <<时1lim101nn a →∞=≠+，故1lim 1n n a →∞+发散综上所述，当01a <≤时，级数1lim1nn a →∞+发散，当1a >时，1lim 1n n a →∞+收敛（）因为1lim lim lim(1)1n n n nn n n nb a a b a b a b b →∞→∞→∞+==-++1111101b b a b >⎧⎪⎪==⎨+⎪<<⎪⎩ 而当1b >时 11n n b ∞=∑收敛，故11nn a b ∞=+∑收敛当1b =时，1111n n n b ∞∞===∑∑发散，故而由0a > 101a <<+∞+ 故11nn a b ∞=+∑也发散当01b <<时，11lim 0n n a b a →∞=≠+故11n n a b ∞=+∑发散综上所述知，当01b <≤时，级数11n n a b ∞=+∑发散当时，级数11nn a b ∞=+∑收敛（）因为lim n n n→∞=0n a ==>而11n n ∞=∑发散，故级数10)n a ∞=>∑发散（）因为434431121lim lim 1212n n n n n n n n →∞→∞++-==-而311n n∞=∑收敛，故级数21121n n n ∞=+-∑收敛（）因为1113233lim lim lim 1(1)232(1)2n n n n n n n n nU n n U n n +++→∞→∞→∞⋅⋅==>+⋅+由达朗贝尔比值判别法知，级数132nnn n ∞=⋅∑发散（）因为11(1)!1lim lim lim(1)1(1)!n n n n n n n nU n n e U n n n ++→∞→∞→∞+=⋅=+=>+，由达朗贝尔比值判别法知，级数1!nn n n ∞=∑发散（）因为1357(21)(23)4710(31)limlim 4710(31)(34)357(21)n n n n U n n n U n n n +→∞→∞⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅+ 232lim1343n n n →∞+==<+由达朗贝尔比值判别法知原级数收敛（）因为111311lim lim lim 1333n n n n n n nU n n U n n ++→∞→∞→∞++=⋅==<，由达朗贝尔比值判别法知，级数13n n n ∞=∑收敛（）因为22221221(1)[(1)!]2(1)lim lim lim (!)22n n n n n n n nU n n U n +++→∞→∞→∞++=⋅= 由2212121(1)2(1)1lim lim lim 222ln 22ln 2x x x x x x x x x +++→∞→+∞→+∞+++==⋅⋅2121lim 022(ln 2)x x +→+∞==⋅知2121(1)lim lim 012n n n n nU n U ++→∞→∞+==<由达朗贝尔比值判别法知，级数221(!)2nn n ∞=∑收敛（）因为1lim 1212n n n n →∞==<+，由柯西根值判别法知级数121nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑收敛（）因为ππ2sinsin 33lim lim 1π2π33n n nn n n n n→∞→∞==⋅而112233nn n n n ∞∞==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑是收敛的等比级数，它的每项乘以常数π后新得级数12π3n n n ∞=⋅∑仍收敛，由比较判别法的极限形式知，级数1π2sin3n n n ∞=∑收敛（）因为2πcos 322n nn n n ≤而与（）题类似地可证级数12n n n ∞=∑收敛，由比较判别法知级数1πcos 32nn n n ∞=∑收敛．试在，内讨论在什么区间取值时，下列级数收敛：∑∞=1n n n x nn x n ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛123．解：（）因为11lim lim lim 11n n n n n n nU x n nxx U n x n ++→∞→∞→∞=⋅==++由达朗贝尔比值判别法知，当1x >时，原级数发散当01x <<时，原级数收敛而当1x =时，原级数变为调11n n∞=∑，它是发散的综上所述，当01x <<时，级数1nn x n∞=∑收敛（）因为1313(1)2limlim 22n n n n n nx n U xU x n ++→∞→∞⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭==⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭由达朗贝尔比值判别法知，当12x >即2x >时，原级数发散当012x<<即02x <<时，原级收敛而当12x =即 2x =时，原级数变为31n n ∞=∑，而由3lim n n →∞=+∞知31n n ∞=∑发散，综上所述，当02x <<时，级数31()2n n xn ∞=∑收敛习题．判定下列级数是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛：∑∞=--1121)1(n nn 11(1)2(1)2n n nn ∞-=-+-⋅∑ ∑∞=12sin n n nx４ 111π(1)sin πn n n n ∞+=-∑∑∞=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-11210121n n n ； ∑∞=+-1)1(n n x n∑∞=⋅1!)2sin(n n n x ．解：（）这是一个交错级数121n U n =- 1lim lim 021n n n U n →∞→∞==- 1112121n n U U n n +=>=-+ 由莱布尼茨判别法知11(1)21nn n ∞=--∑ 又1111(1)2121n n n n n ∞∞==-=--∑∑，由1121lim 12n n n→∞-= 及11n n ∞=∑发散，知级数1121n n ∞=-∑发散，所以级数11(1)21nn n ∞=--∑条件收敛（）因为2111(1)211(1)22(1)2n n n n n ----+-=+-⋅-⋅ 故11111(1)21111(1)22(1)22(1)2n n n n n n n n n ------+--=+≤+-⋅-⋅-⋅ 1113222n n n-=+= 而112n n ∞=∑收敛，故132n n ∞=∑亦收敛，由比较判别法知11(1)2(1)2n n nn ∞-=-+-⋅∑收敛，所以级数11(1)2(1)2n n n n ∞-=-+-⋅∑绝对收敛（）因为22sin 1,nx n n ≤而级数211n n∞=∑收敛，由比较判别法知21sin n nxn ∞=∑收敛，因此，级数21sin n nxn ∞=∑绝对收敛（）因为121ππ|(1)sin |sin πlimlim 11πn n n n n n n n+→∞→∞-==而211n n∞=∑收敛，由比较判别法的极限形式知，级数111π|(1)sin |πn n n n ∞+=-∑收敛，从而级数11π(1)sin πn n n+-绝对收敛（）因为212121111111210210210n n n n n n ----≤+=+ 而级数112n n ∞=∑收敛的等比级数1()2q = 由比值判别法，易知级数211110n n ∞-=∑收敛，因而21111210n n n ∞-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛，由比较判别法知级数21111210n n n ∞-=-∑收敛，所以原级数21111210n n n ∞-=-∑绝对收敛（）当为负整数时，级数显然无意义；当不为负整数时，此交错级数满足莱布尼茨判别法的条件，故它是收敛的，但因11n x n∞=+∑发散，故原级数当不为负整数时仅为条件收敛（）因为sin(2)1!!n x n n ⋅≤ 由比值判别法知11!n n ∞=∑收敛 1(1)!lim 01!n n n →∞+= ，从而由比较判别法知1sin(2)!n n x n ∞=⋅∑收敛，所以级数1sin(2)!n n x n ∞=⋅∑，绝对收敛．讨论级数∑∞=--111)1(n p n n的收敛性＞．解：当1p >时，由于11111(1)n p p n n n n ∞∞-==-=∑∑收敛，故级数111(1)n p n n ∞-=-∑绝对收敛当01p <≤时，由于111,(1)n n p p u u n n +=>=+ lim 0n n u →∞= 由莱布尼茨判别法知交错级数111(1)n p n n ∞-=-∑收敛，然而，当01p <≤时，11111(1)n p p n n n n ∞∞-==-=∑∑发散，故此时，级数111(1)n p n n ∞-=-∑条件收敛综上所述，当01p <≤时，原级数条件收敛当时，原级数绝对收敛 ※．设级数∑∞=12n n a 及∑∞=12n n b 都收敛，证明级数∑∞=1n n n b a 及()∑∞=+12n n n b a 也都收敛．证：因为2222||||110||222n n n n n n a b a b a b +≤≤=+ 而由已知1nn a ∞=∑及21n n b ∞=∑都收敛，故221111,22n n n n a b ∞∞==∑∑收敛，从而2211122n n n a b ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛，由正项级数的比较判别法知1n n n a b ∞=∑也收敛，从而级数1n n n a b ∞=∑绝对收敛又由222()2,n n n n n n a b a a b b +=++及2211,n n n n a b ∞∞==∑∑ 以及1n n n a b ∞=∑收敛，利用数项级数的基本性质知，221(2)nn n n n aa b b ∞=++∑收剑，亦即21()n n n a b ∞=+∑收敛习题．指出下列幂级数的收敛区间：∑∞=0!n n n x ； ∑∞=0!n n n x nn ；∑∞=⋅022n n n n x ； ∑∞=++-01212)1(n n n n x ． ∑∞=⋅+02)2(n n n n x ； ∑∞=-0)1(2n n nx n．解：（）因为111(1)!limlim lim 011!n n n n na n p a n n +→∞→∞→∞+====+，所以收敛半径r =+∞，幂级数1!n n x n ∞=∑的收敛区间为(,)-∞+∞（）因为-111lim lim lim 1e 11nnn n n n na n p a n n +→∞→∞→∞⎛⎫===-= ⎪++⎝⎭，所以收敛半径1e r p == 当时，级数01!!e n n n n n n n n x n n ∞∞===∑∑，此时11(1)n n n u e u n+=+，因为1(1)n n +是单调递增数列，且1(1)n n+ 所以1n nu u + 从而lim 0n n u →∞≠，于是级数当时，原级数发散类似地，可证当时，原级数也发散可证lim ||0n n u →∞≠ 综上所述，级数0!nn n n x n ∞=∑的收敛区间为（）因为2111limlim ()212n n n n a n p a n +→∞→∞===+ 所以收敛半径为当2x =时，级数221012n n n n x n n∞∞===⋅∑∑是收敛的一级数（）当时，级数22011(1)2n n n n n x n n ∞∞===-⋅⋅∑∑是交错级数，它满足莱布尼茨判别法的条件，故它收敛综上所述，级数202nn n x n∞=⋅∑的收敛区间为（）此级数缺少偶次幂的项，不能直接运用定理求收敛半径，改用达朗贝尔比值判别法求收敛区间令21(1)21n nn x u n +=-+，则22121lim lim 23n n n nu n x x u n +→∞→∞+=⋅=+当21x <时，即||1x <时，原级数绝对收敛当21x >时，即||1x >时，级数0||n n u ∞=∑发散，从而210(1)21n nn x n +∞=-+∑发散，当1x =时，级数变为01(1)21nn n ∞=-+∑ 当1x =-时，级数变为101(1)21n n n ∞+=-+∑ 它们都是交错级数，且满足莱布尼茨判别法的条件，故它们都收敛综上所述，级数21(1)21n nn x n +∞=-+∑的收敛区间为（）此级数为（）的幂级数因为11limlim 2(1)2n n n n a n p a n +→∞→∞===+ 所以收敛半径12r p==，即|2|2x +<时，也即40x -<<时级数绝对收敛当|2|2x +>即4x <-或0x >时，原级数发散当4x =-时，级数变为01(1)n n n∞=-∑是收敛的交错级数，当时，级数变为调和级数11n n∞=∑ 它是发散的综上所述，原级数的收敛区间为（）此级数（）的幂级数12limlim 21n n n n a np a n +→∞→∞===+ 故收敛半径12r =于是当1|1|2x -<即1322x <<时，原级数绝对收敛当1|1|2x ->即12x <或32x >时，原级数发散当32x =时，原级数变为01n n∞=∑是调和级数，发散当12x =时，原级数变为11(1)n n n ∞=-∑，是收敛的交错级数综上所述，原级数的收敛区间为13,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭．求下列幂级数的和函数：∑∞=-1)1(n nnn x ； ∑∞=-1122n n nx ；nn x n n ∑∞=+1)1(1； ∑∞=+0)12(n n x n ．解：（）可求得所给幂级数的收敛半径设1()(1)nnn x S x n ∞==-∑ 则1111()(1)(1)1n n n n n n x S x x n x ∞∞-=='⎡⎤'=-=-=-⎢⎥+⎣⎦∑∑∴001()()d d ln(1) (||1)1xxS x S x x x x x x-'===-+<+⎰⎰ 又当时，原级数收敛，且()S x 在处连续∴1(1)ln(1) (11)nnn x x x n ∞=-=-+-<≤∑ （）所给级数的收敛半经，设211()2n n S x nx ∞-==∑ 当||1x <时，有2121011()d 2d 2d xx xn n n n S x x nxx nx x ∞∞--====∑∑⎰⎰⎰22211nn x xx∞===-∑ 于是22222()1(1)x xs x x x '⎛⎫== ⎪--⎝⎭又当1x =±时，原级数发散故 2122122 (||1)(1)n n xnx x x ∞-==<-∑（）可求所给级数的收敛半径为令1111()(0)(1)(1)n n n n x x s x x n n x n n +∞∞====≠++∑∑ 令11()(1)n n x g x n n +∞==+∑ 则111()1n n g x x x ∞-=''==-∑01()d ()(0)d 1xxg x x g x g x x''''=-=-⎰⎰(0)0,()ln(1)g g x x ''==--()d ()(0)ln(1)d ,(0)0xxg x x g x g x x g '=-=--=⎰⎰所以0()ln(1)d ln(1)ln(1)xg x x x x x x x =--=+---⎰所以1()11ln(1),||1,S x x x x⎛⎫=+--< ⎪⎝⎭且0x ≠当1x ±时，级数为11(1)n n n ∞=+∑和11(1)(1)n n n n ∞=-+∑ 它们都收敛且显然有(0)0S =故111ln(1)(1,0)(0,1)()00,1x x S x x x x ⎧⎛⎫+--∈-⋃⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪=±⎩（）可求得所给级数的收敛半径为且1x ±时，级数发散，设10()n n S x nx ∞-==∑则001()d .1xn n s x x x x∞===-∑⎰ 于是211()()1(1)S x x x '==-- 即1211(1)n n nx x ∞-==-∑ 所以111(21)2nn n n n n n x x nxx ∞∞∞-===+=+∑∑∑221112(1)1(1)xx x x x +=⋅+=--- (||1)x < ．求下列级数的和：∑∞=125n n n ； ∑∞=-12)12(1n nn ；∑∞=--112212n n n ； 1(1)2n n n n ∞=+∑．解：（）考察幂级数21n n n x ∞=∑，可求得其收敛半径1r = ，且当1x ±时，级数的通项2n n u n x =，2lim ||lim n n n u n →∞→∞==+∞，因而lim 0n n u →∞≠，故当1x ±时，级数21nn n x ∞=∑发散，故幂级数21n n n x ∞=∑的收敛区间为（，）设21() (||1)nn S x n x x ∞==<∑，则211()n n S x x n x ∞-==∑令2111()n n S x n x ∞-==∑ 则11011()d xnn n n S x x nx x nx ∞∞-====∑∑⎰再令121()n n S x nx∞-==∑ 则201()d 1xn n xS x x x x∞===-∑⎰ 故221()(||1)1(1)x S x x x x '⎛⎫==< ⎪--⎝⎭，从而有120()d (1)x x S x x x =-⎰ 1231() (||1)(1)(1)x xS x x x x '⎛⎫+==< ⎪--⎝⎭于是 213()() (||1)(1)x x S x xS x x x +==<- 取15x =，则223111()11555()5532115n n n S ∞=+===⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ （）考察幂级数21121n n x n ∞=-∑，可求得收敛半径，设2211111() (||1)2121nn n n S x x x x x n n ∞∞-====<--∑∑令21111()21n n S x x n ∞-==-∑ 则221211()1n n S x x x ∞-='==-∑ 1200d 11()d ln 1-21xxx x S x x x x +'==-⎰⎰即 1111()(0)ln (,(0)0)21xS x S s x+-==- 于是 111()ln,(||<1)21xS x x x+=-，从而 11()()ln (||1)21x xS x xS x x x+==<-取x =则11(21)21n n S n ∞===-∑=（）考察幂级数211(21)n n n x ∞-=-∑，可求得其级数半经为因为212121111(21)2n n n n n n n xnxx ∞∞∞---===-=-∑∑∑令2111()2n n S x nx∞-==∑，则221201()d 1xnn x S x x xx ∞===-∑⎰ 所以212222() (||1)1(1)x xS x x x x '⎛⎫==< ⎪--⎝⎭ 于是212121111(21)2n n n n n n n xnxx ∞∞∞---===-=-∑∑∑3222222 (||1)(1)1(1)x x x x x x x x +=-=<--- 取12x =，得3212111()121102212291()2n n n S ∞-=+-⎛⎫=== ⎪⎛⎫⎝⎭-⎪⎝⎭∑（）考察幂级数1(1)n n n n x ∞=+∑，可求得其收敛半径设1()(1) (||1)n n S x n n x x ∞==+<∑则121011()d xn n n n S x x nxxnx∞∞+-====∑∑⎰又设111()n n S x nx ∞-==∑则101()d 1xn n x S x x x x∞===-∑⎰ 从而121()1(1)x S x x x '⎛⎫== ⎪--⎝⎭2212()d ()(1)xx S x x x S x x ==-⎰2232() ||1(1)(1)x x S x x x x '⎛⎫==< ⎪--⎝⎭取12x =，则31121(1)2822112nn n n S ∞=⨯+⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭∑习题．将下列函数展开成的幂级数： 2cos 2x 2sin x ； 2x x -e211x -； πcos()4x -．解：（）2201cos 11cos (1)2222(2)!n n n x x x n ∞=+==+-∑ 211(1) (-)2(2)!nnn x x n ∞==+-∞<<+∞∑ （）2101sin (1) ()2(21)!2n n n x x x n +∞=⎛⎫=--∞<<+∞ ⎪+⎝⎭∑（）22210011e ()(1) ()!!x n n n n n x x x x x n n ∞∞-+===-=--∞<+∞∑∑ （）211111211x x x ⎡⎤=+⎢⎥--+⎣⎦002011(1)221[(1)]2 ||1n n nn n n n n n n n x x x x x x ∞∞==∞=∞==+-=+-=<∑∑∑∑（）πππcos cos cos sin sin 444x x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭2210sin )(1) ()2(2)!(21)!n n n n x x x x x n n +∞==+⎡⎤=-+-∞<<+∞⎢⎥+⎣⎦∑ ．将下列函数在指定点处展开成幂级数，并求其收敛区间：x -31 在＝１；在 3π 3412++x x 在 21x 在＝３．解：（）因为11113212x x =⋅--- 而 0111 (||112212n n x x x ∞=--⎛⎫=< ⎪-⎝⎭-∑即13x -<< 所以100111(1) (13)3222nn n n n x x x x ∞∞+==--⎛⎫=⋅=-<< ⎪-⎝⎭∑∑ 收敛区间为：（，）（）πππ2π2cos cos ()cos cos()sin sin()333333x x x x ⎡⎤=+-=---⎢⎥⎣⎦22100()()133(1)(1)2(2)!2(21)!n n n n n n x x n n ππ+∞∞==--=-+-+∑∑221011(1)()[)2(2)!3(21)!3n n n n x x n n ππ∞+=⎡⎤=--+-⎢⎥+⎣⎦∑ ()x -∞<<+∞ 收敛区间为(,)-∞+∞（）211111111()1143213481124x x x x x x =-=⋅-⋅--++++++ 001111(1)(1)4284n nn n n n x x ∞∞==--⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ 223011(1)(1)22n n n n n x ∞++=⎛⎫=--- ⎪⎝⎭∑由112x -<且114x -<得13x -<<，故收敛区间为（，）（）因为011113(1)()333313n n n x x x ∞=-=⋅=-⋅-+∑ 10(3)(1)3nnn n x ∞+=-=-∑ 而21011(3)(1)3n n n n x x x ∞+=''⎡⎤-⎛⎫=-=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑ 111(1)(3)3nn n n n x ∞-+=-=-⋅-∑1111(1)(3)3n n n n n x +∞-+=-=-∑ 20(1)(1)(3)3n n n n n x ∞+=-+=-∑ 由313x -<得06x << 故收敛区间为（，）。

微积分课后题答案第九章习题详解

第9章习题9-11．判定下列级数的收敛性：(1) 115n n a ∞=⋅∑（a ＞0）； (2) ∑∞=-+1)1(n n n ;(3) ∑∞=+131n n ; (4) ∑∞=-+12)1(2n nn ; (5) ∑∞=+11ln n n n ; (6) ∑∞=-12)1(n n;(7) ∑∞=+11n nn ; (8) 0(1)21n n n n ∞=-⋅+∑．解：（1）该级数为等比级数，公比为1a ,且0a >,故当1||1a<,即1a >时，级数收敛，当1||1a≥即01a <≤时，级数发散. （2）Q n S =+++L1=lim n n S →∞=∞∴1n ∞=∑发散.（3）113n n ∞=+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数，而调和级数11n n ∞=∑发散，故原级数113n n ∞=+∑发散. （4）Q 1112(1)1(1)222n n nn n n n ∞∞-==⎛⎫+--=+ ⎪⎝⎭∑∑ 而1112n n ∞-=∑,1(1)2m nn ∞=-∑是公比分别为12的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质知111(1)22n n n n ∞-=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∑收敛，即原级数收敛. （5）Q lnln ln(1)1nn n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+L ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+ 故lim n n S →∞=-∞,所以级数1ln1n nn ∞=+∑发散. （6）Q 2210,2n n S S +==-∴ lim n n S →∞不存在，从而级数1(1)2nn ∞=-∑发散.（7）Q 1lim lim10n n n n U n→∞→∞+==≠∴ 级数11n n n ∞=+∑发散. （8）Q (1)(1)1, lim 21212n n n n n n U n n →∞--==++∴ lim 0n x U →∞≠，故级数1(1)21n n nn ∞=-+∑发散.2．判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和：(1) ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+13121n n n ； (2) ※∑∞=++1)2)(1(1n n n n ;(3) ∑∞=⋅12sin n n n π; (4) 0πcos 2n n ∞=∑．解：Q （1）1111, 23n n n n ∞∞==∑∑都收敛，且其和分别为1和12，则11123n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛，且其和为1+12=32. （2）Q11121(1)(2)212n n n n n n ⎛⎫=-+ ⎪++++⎝⎭∴121112111211121122322342345212n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-++-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 11112212n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭1lim 4n n S →∞=故级数收敛，且其和为14. （3）πsin 2n U n n =,而πsinππ2lim lim 0π222n n n U n→∞→∞=⋅=≠，故级数1πsin2n n n ∞=⋅∑发散. （4）πcos 2n n U =,而4lim limcos2π1k k k U k →∞→∞==,42lim limcos(21)π1k k k U k +→∞→∞=+=-故lim n n U →∞不存在，所以级数πcos2n n ∞=∑发散. 3※．设1nn U∞=∑ (U n ＞0)加括号后收敛，证明1nn U∞=∑亦收敛．证：设1(0)nn n UU ∞=>∑加括号后级数1n n A ∞=∑收敛，其和为S .考虑原级数1n n U ∞=∑的部分和1n k k S U ∞==∑，并注意到0(1,2,)k U k >=L ，故存在0n ,使11n n k t k t S U A s ∞===<<∑∑又显然1n n S S +<对一切n 成立，于是，{}n S 是单调递增且有上界的数列，因此，极限lim nn S →∞存在，即原级数1nn U∞=∑亦收敛.习题9-21．判定下列正项级数的收敛性：(1) ∑∞=++1n n n )2)(1(1; (2) ∑∞=+1n n n1;(3) ∑∞=++1n n n n )2(2; (4) ∑∞=+1n n n )5(12；(5) 111nn a ∞=+∑ (a ＞0); (6) ∑∞=+1n n ba 1(a , b ＞0); (7)()∑∞=--+1n a n a n22(a ＞0); (8) ∑∞=-+1n n n 1214； (9) ∑∞=⋅1n nn n 23； (10) ※∑∞=1n n n n !; (11) ∑∞=+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅1n n n )13(1074)12(753ΛΛ; (12) ∑∞=1n n n3；(13) ※∑∞=1n n n 22)!(2； (14) ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+1n nn n 12;(15)∑∞=1πn nn3sin2; (16) ∑∞=1πn n n n 2cos 32．解：（1）因为211(1)(2)n n n <++而211n n ∞=∑收敛，由比较判别法知级数11(1)(2)n n n ∞=++∑收敛.（2）因为lim lim10n n n U →∞→∞==≠，故原级数发散. （3）因为21(1)(1)1n n n n n n n +>=+++，而111n n ∞=+∑发散，由比较判别法知，级数12(1)n n n n ∞=++∑发散. （4）321n<=,而1n ∞=是收敛的p -级数3(1)2p =>,由比较判别法知,级数1n ∞=收敛.（5）因为111lim lim lim(1)111n n n nn n n na a a a a →∞→∞→∞+==-++11112001a a a >⎧⎪⎪==⎨⎪<<⎪⎩而当1a >时，11n n a ∞=∑收敛，故111nn a ∞=+∑收敛; 当1a =时，11n n a ∞=∑= 11n ∞=∑发散，故111nn a∞=+∑发散; 当01a <<时1lim101n n a →∞=≠+，故1lim1nn a →∞+发散; 综上所述，当01a <≤时，级数1lim 1n n a →∞+发散，当1a >时，1lim 1nn a →∞+收敛. （6）因为1lim lim lim(1)1n n n n n n n n b a a b a b a b b→∞→∞→∞+==-++ 1111101b b a b >⎧⎪⎪==⎨+⎪<<⎪⎩ 而当1b >时, 11n n b ∞=∑收敛，故11nn a b ∞=+∑收敛; 当1b =时，1111n n n b ∞∞===∑∑发散，故而由0a >, 101a <<+∞+,故11nn a b ∞=+∑也发散; 当01b <<时，11lim 0n n a b a →∞=≠+故11n n a b ∞=+∑发散; 综上所述知，当01b <≤时，级数11n n a b ∞=+∑发散;当b >1时，级数11nn a b∞=+∑收敛. （7）因为n n n→∞=0n a ==>而11n n ∞=∑发散，故级数10)n a ∞=>∑发散. （8）因为434431121lim lim 1212n n n n n n n n →∞→∞++-==-而311n n ∞=∑收敛，故级数21121n n n ∞=+-∑收敛.（9）因为1113233lim lim lim 1(1)232(1)2n n n n n n n n nU n n U n n +++→∞→∞→∞⋅⋅==>+⋅+由达朗贝尔比值判别法知，级数132nnn n ∞=⋅∑发散. （10）因为11(1)!1lim lim lim(1)1(1)!n n n n n n n nU n n e U n n n ++→∞→∞→∞+=⋅=+=>+，由达朗贝尔比值判别法知，级数1!nn n n ∞=∑发散.（11）因为1357(21)(23)4710(31)limlim 4710(31)(34)357(21)n n n nU n n n U n n n +→∞→∞⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅+L L L L232lim1343n n n →∞+==<+,由达朗贝尔比值判别法知原级数收敛.（12）因为111311lim lim lim 1333n n n n n n nU n n U n n ++→∞→∞→∞++=⋅==<，由达朗贝尔比值判别法知，级数13n n n∞=∑收敛. （13）因为22221221(1)[(1)!]2(1)lim lim lim (!)22n n n n n n n nU n n U n +++→∞→∞→∞++=⋅= 由2212121(1)2(1)1lim lim lim 222ln 22ln 2x x x x x x x x x +++→∞→+∞→+∞+++==⋅⋅2121lim 022(ln 2)x x +→+∞==⋅知2121(1)lim lim 012n n n n n U n U ++→∞→∞+==<由达朗贝尔比值判别法知，级数221(!)2n n n ∞=∑收敛.（14）因为1lim 1212n n n n →∞==<+，由柯西根值判别法知级数121nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑收敛.（15）因为ππ2sinsin 33lim lim 1π2π33n n nn n n n n→∞→∞==⋅而112233nn n n n ∞∞==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑是收敛的等比级数，它的每项乘以常数π后新得级数12π3n n n ∞=⋅∑仍收敛，由比较判别法的极限形式知，级数1π2sin3n n n ∞=∑收敛. （16）因为2πcos 322n nn n n ≤而与（12）题类似地可证级数12n n n ∞=∑收敛，由比较判别法知级数1πcos 32nn n n ∞=∑收敛.2．试在(0，+∞)内讨论x 在什么区间取值时，下列级数收敛：(1) ∑∞=1n n n x ; (2) nn x n ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛123．解：（1）因为11lim lim lim 11n n n n n n nU x n nxx U n x n ++→∞→∞→∞=⋅==++由达朗贝尔比值判别法知，当1x >时，原级数发散; 当01x <<时，原级数收敛; 而当1x =时，原级数变为调11n n ∞=∑，它是发散的. 综上所述，当01x <<时，级数1nn x n ∞=∑收敛.（2）因为1313(1)2limlim 22n n n n n nx n U xU x n ++→∞→∞⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭==⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭,由达朗贝尔比值判别法知，当12x >即2x >时，原级数发散;当012x<<即02x <<时，原级收敛. 而当12x =即 2x =时，原级数变为31n n ∞=∑，而由3lim n n →∞=+∞知31n n ∞=∑发散，综上所述，当02x <<时，级数31()2nn x n ∞=∑收敛.习题9-31．判定下列级数是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛：(1) ∑∞=--1121)1(n nn ; (2) 11(1)2(1)2n n nn ∞-=-+-⋅∑; (3) ∑∞=12sin n n nx ; (４) 111π(1)sin πn n n n ∞+=-∑; (5) ∑∞=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-11210121n n n ； (6) ∑∞=+-1)1(n n x n ;(7) ∑∞=⋅1!)2sin(n n n x ．解：（1）这是一个交错级数121n U n =-, 1lim lim 021n n n U n →∞→∞==-, 1112121n n U U n n +=>=-+ 由莱布尼茨判别法知11(1)21nn n ∞=--∑. 又1111(1)2121n n n n n ∞∞==-=--∑∑，由1121lim 12n n n→∞-=,及11n n ∞=∑发散，知级数1121n n ∞=-∑发散，所以级数11(1)21nn n ∞=--∑条件收敛.（2）因为2111(1)211(1)22(1)2n n n n n ----+-=+-⋅-⋅,故11111(1)21111(1)22(1)22(1)2n n n n n n n n n ------+--=+≤+-⋅-⋅-⋅ 1113222n n n-=+=而112n n ∞=∑收敛，故132n n ∞=∑亦收敛，由比较判别法知11(1)2(1)2n n nn ∞-=-+-⋅∑收敛，所以级数11(1)2(1)2n n nn ∞-=-+-⋅∑绝对收敛. （3）因为22sin 1,nx n n ≤而级数211n n∞=∑收敛，由比较判别法知21sin n nxn ∞=∑收敛，因此，级数21sin n nxn ∞=∑绝对收敛. （4）因为121ππ|(1)sin |sin πlimlim 11πn n n n n n n n+→∞→∞-==而211n n∞=∑收敛，由比较判别法的极限形式知，级数111π|(1)sin |πn n n n ∞+=-∑收敛，从而级数11π(1)sin πn n n+-绝对收敛. （5）因为212121111111210210210n n n n n n ----≤+=+,而级数112nn ∞=∑收敛的等比级数1()2q =;由比值判别法，易知级数211110n n ∞-=∑收敛，因而21111210n n n ∞-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛，由比较判别法知级数21111210n n n ∞-=-∑收敛，所以原级数21111210n n n ∞-=-∑绝对收敛. （6）当x 为负整数时，级数显然无意义；当x 不为负整数时，此交错级数满足莱布尼茨判别法的条件，故它是收敛的，但因11n x n ∞=+∑发散，故原级数当x 不为负整数时仅为条件收敛.（7）因为sin(2)1!!n x n n ⋅≤由比值判别法知11!n n ∞=∑收敛(Q 1(1)!lim 01!n n n →∞+=)，从而由比较判别法知1sin(2)!n n x n ∞=⋅∑收敛，所以级数1sin(2)!n n x n ∞=⋅∑，绝对收敛.2．讨论级数∑∞=--111)1(n pn n 的收敛性(p ＞0)．解：当1p >时，由于11111(1)n p p n n n n ∞∞-==-=∑∑收敛，故级数111(1)n p n n ∞-=-∑绝对收敛. 当01p <≤时，由于111,(1)n n p pu u n n +=>=+ lim 0n n u →∞=,由莱布尼茨判别法知交错级数111(1)n p n n ∞-=-∑收敛，然而，当01p <≤时，11111(1)n p p n n n n ∞∞-==-=∑∑发散，故此时，级数111(1)n p n n∞-=-∑条件收敛. 综上所述，当01p <≤时，原级数条件收敛;当p >1时，原级数绝对收敛.3※．设级数∑∞=12n na及∑∞=12n nb都收敛，证明级数∑∞=1n nn ba 及()∑∞=+12n n nb a也都收敛．证：因为2222||||110||222n n n n n n a b a b a b +≤≤=+ 而由已知1nn a ∞=∑及21n n b ∞=∑都收敛，故221111,22n n n n a b ∞∞==∑∑收敛，从而2211122n n n a b ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛，由正项级数的比较判别法知1n nn a b∞=∑也收敛，从而级数1n nn a b∞=∑绝对收敛.又由222()2,n n n n n n a b a a b b +=++及2211,n n n n a b ∞∞==∑∑,以及1n n n a b ∞=∑收敛，利用数项级数的基本性质知，221(2)nn n n n aa b b ∞=++∑收剑，亦即21()n n n a b ∞=+∑收敛.习题9-41．指出下列幂级数的收敛区间：(1) ∑∞=0!n n n x (0!=1)； (2) ∑∞=0!n nn x nn ；(3) ∑∞=⋅022n n n n x ； (4) ∑∞=++-01212)1(n n n n x ．(5) ∑∞=⋅+02)2(n n n n x ； (6) ∑∞=-0)1(2n n nx n．解：（1）因为111(1)!limlim lim 011!n n n n na n p a n n +→∞→∞→∞+====+，所以收敛半径r =+∞，幂级数1!nn x n ∞=∑的收敛区间为(,)-∞+∞. （2）因为-111lim lim lim 1e 11n nn n n n n a n p a n n +→∞→∞→∞⎛⎫===-= ⎪++⎝⎭，所以收敛半径1e r p==. 当x =e 时，级数01!!e n n n n n n n n x n n ∞∞===∑∑，此时11(1)n n n u e u n+=+，因为1(1)nn +是单调递增数列，且1(1)nn+<e 所以1n nu u +>1,从而lim 0n n u →∞≠，于是级数当x =e 时，原级数发散.类似地，可证当x =-e 时，原级数也发散(可证lim ||0n n u →∞≠),综上所述，级数0!nnn n x n∞=∑的收敛区间为(-e,e).（3）因为2111limlim ()212n n n n a n p a n +→∞→∞===+,所以收敛半径为r =2. 当2x =时，级数221012n n n n x n n∞∞===⋅∑∑是收敛的p 一级数（p =2>1）;当x =-2时，级数22011(1)2n nn n n x n n ∞∞===-⋅⋅∑∑是交错级数，它满足莱布尼茨判别法的条件，故它收敛.综上所述，级数202nn n x n∞=⋅∑的收敛区间为[-2,2].（4）此级数缺少偶次幂的项，不能直接运用定理2求收敛半径，改用达朗贝尔比值判别法求收敛区间.令21(1)21n nn x u n +=-+，则22121lim lim 23n n n nu n x x u n +→∞→∞+=⋅=+.当21x <时，即||1x <时，原级数绝对收敛.当21x >时，即||1x >时，级数0||n n u ∞=∑发散，从而210(1)21n nn x n +∞=-+∑发散，当1x =时，级数变为01(1)21nn n ∞=-+∑;当1x =-时，级数变为11(1)21n n n ∞+=-+∑;它们都是交错级数，且满足莱布尼茨判别法的条件，故它们都收敛.综上所述，级数21(1)21n nn x n +∞=-+∑的收敛区间为[-1,1].（5）此级数为（x +2）的幂级数. 因为11limlim 2(1)2n n n n a n p a n +→∞→∞===+. 所以收敛半径12r p==，即|2|2x +<时，也即40x -<<时级数绝对收敛.当|2|2x +>即4x <-或0x >时，原级数发散.当4x =-时，级数变为1(1)nn n ∞=-∑是收敛的交错级数，当x =0时，级数变为调和级数11n n ∞=∑,它是发散的.综上所述，原级数的收敛区间为[-4,0).（6）此级数（x -1）的幂级数12limlim 21n n n n a np a n +→∞→∞===+ 故收敛半径12r =. 于是当1|1|2x -<即1322x <<时，原级数绝对收敛.当1|1|2x ->即12x <或32x >时，原级数发散.当32x =时，原级数变为01n n ∞=∑是调和级数，发散.当12x =时，原级数变为11(1)n n n ∞=-∑，是收敛的交错级数.综上所述，原级数的收敛区间为13,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 2．求下列幂级数的和函数：(1) ∑∞=-1)1(n n nn x ； (2) ∑∞=-1122n n nx ；(3) nn x n n ∑∞=+1)1(1； (4) ∑∞=+0)12(n n x n ．解：（1）可求得所给幂级数的收敛半径r =1.设1()(1)n nn x S x n ∞==-∑,则1111()(1)(1)1n n n n n n x S x x n x ∞∞-=='⎡⎤'=-=-=-⎢⎥+⎣⎦∑∑ ∴001()()d d ln(1) (||1)1x x S x S x x x x x x-'===-+<+⎰⎰又当x =1时，原级数收敛，且()S x 在x =1处连续.∴1(1)ln(1) (11)nnn x x x n ∞=-=-+-<≤∑ （2）所给级数的收敛半经r =1，设211()2n n S x nx∞-==∑,当||1x <时，有2121011()d 2d 2d xx xn n n n S x x nxx nx x ∞∞--====∑∑⎰⎰⎰22211nn x xx∞===-∑ 于是22222()1(1)x xs x x x '⎛⎫== ⎪--⎝⎭ 又当1x =±时，原级数发散. 故2122122 (||1)(1)n n xnx x x ∞-==<-∑（3）可求所给级数的收敛半径为1.令1111()(0)(1)(1)n n n n x x s x x n n x n n +∞∞====≠++∑∑ 令11()(1)n n x g x n n +∞==+∑,则111()1n n g x x x ∞-=''==-∑01()d ()(0)d 1xxg x x g x g x x''''=-=-⎰⎰(0)0,()ln(1)g g x x ''==--()d ()(0)ln(1)d ,(0)0xxg x x g x g x x g '=-=--=⎰⎰所以0()ln(1)d ln(1)ln(1)xg x x x x x x x =--=+---⎰;所以1()11ln(1),||1,S x x x x ⎛⎫=+--<⎪⎝⎭且0x ≠. 当1x ±时，级数为11(1)n n n ∞=+∑和11(1)(1)nn n n ∞=-+∑,它们都收敛.且显然有(0)0S =.故111ln(1)(1,0)(0,1)()00,1x x S x x x x ⎧⎛⎫+--∈-⋃⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪=±⎩. （4）可求得所给级数的收敛半径为r =1且1x ±时，级数发散，设1()n n S x nx∞-==∑,则1()d .1xn n s x x x x∞===-∑⎰于是211()()1(1)S x x x '==--,即1211(1)n n nx x ∞-==-∑. 所以111(21)2nn n n n n n xx nxx ∞∞∞-===+=+∑∑∑221112(1)1(1)xx x x x +=⋅+=--- (||1)x <3．求下列级数的和：(1) ∑∞=125n n n ； (2) ∑∞=-12)12(1n nn ； (3) ∑∞=--112212n n n ； (4) 1(1)2nn n n ∞=+∑．解：（1）考察幂级数21nn n x∞=∑，可求得其收敛半径1r = ，且当1x ±时，级数的通项2nn u n x =，2lim ||lim n n n u n →∞→∞==+∞，因而lim 0n n u →∞≠，故当1x ±时，级数21n n n x ∞=∑发散，故幂级数21nn n x∞=∑的收敛区间为（-1，1）.设21() (||1)nn S x n xx ∞==<∑，则211()n n S x x n x ∞-==∑令2111()n n S x n x∞-==∑,则11011()d xnn n n S x x nx x nx ∞∞-====∑∑⎰.再令121()n n S x nx∞-==∑,则201()d 1xn n xS x x x x∞===-∑⎰. 故221()(||1)1(1)x S x x x x '⎛⎫==< ⎪--⎝⎭，从而有120()d (1)x x S x x x =-⎰. 1231() (||1)(1)(1)x xS x x x x '⎛⎫+==< ⎪--⎝⎭于是 213()() (||1)(1)x x S x xS x x x +==<- 取15x =，则223111()11555()5532115n n n S ∞=+===⎛⎫- ⎪⎝⎭∑. （2）考察幂级数21121n n x n ∞=-∑，可求得收敛半径r =1，设 2211111() (||1)2121nn n n S x x x x x n n ∞∞-====<--∑∑令21111()21n n S x x n ∞-==-∑,则221211()1n n S x x x ∞-='==-∑. 1200d 11()d ln1-21xxx xS x x x x+'==-⎰⎰即 1111()(0)ln (,(0)0)21xS x S s x+-==-. 于是 111()ln ,(||<1)21xS x x x+=-，从而11()()ln (||1)21x xS x xS x x x+==<-取x =则11(21)21n n S n ∞===-∑=（3）考察幂级数211(21)n n n x∞-=-∑，可求得其级数半经为r =1,因为212121111(21)2n n n n n n n xnxx ∞∞∞---===-=-∑∑∑令2111()2n n S x nx∞-==∑，则22121()d 1xnn x S x x xx ∞===-∑⎰.所以212222() (||1)1(1)x xS x x x x '⎛⎫==< ⎪--⎝⎭,于是212121111(21)2n n n n n n n xnxx ∞∞∞---===-=-∑∑∑3222222 (||1)(1)1(1)x x x x x x x x +=-=<--- 取12x =，得 3212111()121102212291()2n n n S ∞-=+-⎛⎫=== ⎪⎛⎫⎝⎭-⎪⎝⎭∑.（4）考察幂级数1(1)nn n n x∞=+∑，可求得其收敛半径r =1.设1()(1) (||1)nn S x n n xx ∞==+<∑则12111()d xn n n n S x x nxxnx∞∞+-====∑∑⎰.又设111()n n S x nx∞-==∑则101()d 1xn n x S x x x x∞===-∑⎰. 从而121()1(1)x S x x x '⎛⎫== ⎪--⎝⎭, 2212()d ()(1)xx S x x x S x x ==-⎰2232() ||1(1)(1)x x S x x x x '⎛⎫==< ⎪--⎝⎭ 取12x =，则 31121(1)2822112nn n n S ∞=⨯+⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭∑习题9-51．将下列函数展开成x 的幂级数： (1) 2cos2x ; (2) 2sin x ； (3) 2x x -e ; (4) 211x -； (5)πcos()4x -．解：（1）2201cos 11cos (1)2222(2)!nn n x x x n ∞=+==+-∑ 211(1)(-)2(2)!nnn x x n ∞==+-∞<<+∞∑ （2）2101sin (1) ()2(21)!2n n n x x x n +∞=⎛⎫=--∞<<+∞ ⎪+⎝⎭∑（3）22210011e()(1) ()!!x nn n n n x x x x x n n ∞∞-+===-=--∞<+∞∑∑（4）211111211x x x ⎡⎤=+⎢⎥--+⎣⎦0002011(1)221[(1)]2 ||1n n nn n n n nn n n x x x x x x ∞∞==∞=∞==+-=+-=<∑∑∑∑（5）πππcos cos cos sin sin 444x x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭2210(cos sin )2(1) ()2(2)!(21)!n n n n x x x xx n n +∞==+⎡⎤=-+-∞<<+∞⎢⎥+⎣⎦∑ 2．将下列函数在指定点处展开成幂级数，并求其收敛区间：(1)x -31,在x 0＝１； (2) cos x,在x 0=3π; (3) 3412++x x ,在x 0=1; (4) 21x, 在x 0＝３．解：（1）因为11113212x x =⋅---,而0111 (||112212nn x x x ∞=--⎛⎫=< ⎪-⎝⎭-∑即13x -<<). 所以100111(1) (13)3222nnn n n x x x x ∞∞+==--⎛⎫=⋅=-<< ⎪-⎝⎭∑∑.收敛区间为：（-1，3）. （2）πππ2π2cos cos ()cos cos()sin sin()333333x x x x ⎡⎤=+-=---⎢⎥⎣⎦22100()()133(1)(1)2(2)!(21)!n n n n n n x x n n ππ+∞∞==--=-+-+∑221011(1)())2(2)!33nn n n x x n ππ∞+=⎡⎤=--+-⎢⎥⎣⎦∑ ()x -∞<<+∞ 收敛区间为(,)-∞+∞. （3）211111111()1143213481124x x x x x x =-=⋅-⋅--++++++ 001111(1)(1)4284n nn n n n x x ∞∞==--⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑223011(1)(1)22n n n n n x ∞++=⎛⎫=--- ⎪⎝⎭∑由112x -<且114x -<得13x -<<，故收敛区间为（-1，3）（4）因为011113(1)()333313n nn x x x ∞=-=⋅=-⋅-+∑ 1(3)(1)3nnn n x ∞+=-=-∑ 而21011(3)(1)3n n n n x x x ∞+=''⎡⎤-⎛⎫=-=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑111(1)(3)3n n n n n x ∞-+=-=-⋅-∑1111(1)(3)3n n n n n x +∞-+=-=-∑ 2(1)(1)(3)3n nn n n x ∞+=-+=-∑ 由313x -<得06x <<. 故收敛区间为（0，6）.。

欧几里得空间习题解答

第九章欧几里得空间习题解答P394.1.1(,)'0(""0)'(')'''(,)A A A αααααβαβαβααβαβ∴=≥=⇔====正定非负性证得由矩阵失去,线性性成立,再由(,)=A A 对称性成立，是一个内积()1111161P394.1.2,(06);19,,P394.1.2|(,)|||||(,)|i ijiji j n nnij i ji j n n ij i j i j A a x y c s B a x y εεαεεεαβαβαβ====⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∴≤=∴--≤∑∑∑∑的度量矩阵即为A不等式为|()393.2P ①, α=(2,1,3,2), β=(1,2,-2,1)|||,)0,,2αβαβαβπαβ∴====∴⊥∴=〈〉393.2P ②, α=(1,2,2,3), β=(3,1,5,1)|||6,(,)18(,)(,)arc cos ||||4arc arc αβαβαβπαβαβ=====∴====393.2P ③, α=(1,1,1,2), β=(3,1,-1,0)||||(,)3,arc 700'30''38αβαβαβ===∴==︒〈〉P393. 3||||||αβαβ+≤+(,)|||()()||||(,)(,)d d d αγαγαββγαββγαββγ∴=-=-+-≤-+-+ =P393.4在4R 中求一单位向量与(1,1,-1),(1,-1,1-,1),(2,1,1,3)正交解设所求212341234123412344123(,,,)1,00230111111111111111020001003,2113013100314,0,14i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x αα==+-+=⎧⎫⎪⎪--+=⎨⎬⎪⎪+++=⎭⎩⎛⎫-⎛⎫⎛⎫--⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--→-→=⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭===-=-∑则且与各向量的内积为0得令得,0,1,3),()-单位化393.5P ①证:因为12(,)0, 1.2,,i n i n γαααα==而是一个基11(,)(,)(,)0.0.nni i i i i i k k γγγαγαγ==∴====∑∑因此,必有393.5P ②证，12(,)(,), 1.2,i i i n γαγα==12(,)0, 1.2i i n γγα∴-==由第①小题：12120,γγγγ-==故P393.61231232211(,,)(,,)2123122αααεεε⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭而1232211212,,3122ααα⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭是正交矩阵,所以是标准正交基11212431231212121124512451131212351152124531235393.7,/2(,)1111(22)(,)222221210)22)1()2s P αεεαεεεεεεεβααββαβαβεεεεεεεεβββαββεεεεηεεηεεεεηεεεε==-+=++==-=-=-+-=-+-=--=++-=+=-+-=++-123解:再正交化称:P394.8，解：123452111310014001110101115X X X X X X ⎛⎫ ⎪ ⎪---⎛⎫⎛⎫ ⎪=→= ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭解出：123014115100010001ηηη-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Schmidt:1221331022711161151311116222105022130005ββηββηβ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==-=-=++-= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭单位化便得到解空间的标准正交基：123766135εεε⎛⎛⎫⎛⎫⎪⎪-⎪⎪⎪⎪====⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭P394.9 11(,)()()f g f x g x d x-=⎰已知2312341,,,x x xαααα====解：111βα==21122111223132321211223434142441234112233111222(,)(,)*2(,)(,)1310(,)(,)232(,)(,)(,)352(,)(,)(,)532(,)2||(,)||3(xdxx xx xx x x αββαβββαβαββαββββββαβαβαββαβββαββββββββββββ--=-=-=--=---=-=---=--=-====⎰又142333116424441218,)()||3945698(,)()||525175x x dxx x x dxββββββ+--=-+===-+==⎰⎰单位化标准正交基312324,1),3)396.17.4133333333133333343313333333313333x x x xPA A Eγγγγ===-=-------⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-----⎪ ⎪==⎪ ⎪-----⎪ ⎪⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭1123443() 4.840Acy Tr A x x λλλλχχ∴===-⇒==-+-=221-秩(A+4E)=1至少为重根,而-(4+4+4)+解(A+4E)x=o,即1111210311111110212003⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪-- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得正交基础体系1100单位化为28λ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭解(A-8E)x=0.得解取自A+4E的一列3-33-31111121124124'1402812T T AT T AT -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭-⎛⎫- ⎪- ⎪=== ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭-单位化为令则112121211111111395.10.10(,,)(,)(,)0,.(,)(,)0P V V V V V k k k V ββαβαβαβββββαβαβ∈≠∅=+=⇒+∈⎫∀∈∴≤⎬==⇒∈⎭11123123111P395.10.2 0dim 1.,,,(2)(,)dim 1.dim 1.n n V V n V i V i L V V n V n αααααααααααα≠∴∉≤-=∈≥∴≤⇒≥-∴≥-故将扩充为的一个正交基那么.P394，11①设两个基：12,12,,,n n εεεηηη及,它们的度量矩阵分别为A 和B,并设121211122111221212'''221122(,,,)(,,,),,(,,)(,,,)(,,)(,,,),(,)(')'()n n n n n n CV X X Y Y X CX Y CY X BY X AY X C AC Y C AC B ηηηεεεαβαεεηηηβεεηηηαβ=∈=========∴=任设所以合同P394.11②，取V 的一个基12,,,,n A ααα其度量矩阵为因为A 正交,故存在矩阵C,使12121212',,,,,,',,,n n n n C AC E ηηηαααηηηηηη=C AC=E做基(,)=()C,那么,的度量矩阵为因此,为标准正交基.1212121212121212211111P394.12,,,,(,)(,,)()(,,),,|(,,)|,,,,(,,|0()0|()|||0,m ij i j m ij m mm m m m m m V G G G G G ααααααααααααααααααααααααααααααααα⨯∈==⇔≠⇔>⇔=≠记:，称，为，的Gram 矩阵称，为，的Gram 行列式证明，线性无关，）证:若m=1,线性无关，成立121211,|(,,)|0(,,)(,)(,,)0,0,1,2,.n m mj k k ij k ik k i k k k jk jk ji j k k k jm G A c c a c c i m αααβββββααααααγ=≠≠≠≠>==⇔=⇔==⇔-=∴⇔==∑∑∑∑若而，不妨设，1212(,,,),,,,j k k m k jj k m k jc L ck γαααααααααα≠≠=-∈⇔=⇔∑∑线性相关211212112121222122122222212122123|()|||||||||cos (,),(,)|(,)|(,),(,)||||cos ||||||(1cos )(||||cos )|(,,)|()G G G αααααθααααααααααααθαααθααθααα====-==类似地:平行六面体积P394，13，设：1222000n n n n nn A αααααα⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭因为A 正交，故A'A=E ，令A=12(,,)n βββ由第1行列，211111,1αα==±由β1与其余各列正交，β1⊥βj （j>1），（β1，βj ）=111100(1)j j a a j α=⇒=>1100A A ±⎛⎫∴= ⎪⎝⎭其中A 1仍为上三角正交矩阵，但阶数少1，故可用归纳法给出证明，且n=1时显然为真，由归纳法原理，证毕。

高等数学课后习题答案第九章

高等数学课后习题答案第九章-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN习题九1. 求函数u =xy 2+z 3-xyz 在点（1，1,2）处沿方向角为πππ,,343αβγ===的方向导数。

解：(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)cos cos cos u u u uy l x z αβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂22(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)πππcoscos cos 5.(2)()(3)343xy xz y yz z xy =++=---2. 求函数u =xyz 在点（5,1,2）处沿从点A （5,1,2）到B （9，4，14）的方向导数。

解：{4,3,12},13.AB AB ==AB 的方向余弦为4312cos ,cos ,cos 131313αβγ=== (5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)2105uyz x uxz yuxy z ∂==∂∂==∂∂==∂故4312982105.13131313u l∂=⨯+⨯+⨯=∂ 3.求函数22221x y z a b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在点处沿曲线22221x y a b +=在这点的内法线方向的方向导数。

解：设x 轴正向到椭圆内法线方向l 的转角为φ，它是第三象限的角，因为2222220,x y b xy y a b a y ''+==-所以在点处切线斜率为2.b y a a'==-法线斜率为cos a b ϕ=. 于是tan sin ϕϕ== ∵2222,,z z x y x a y b ∂∂=-=-∂∂∴2222zl a b⎛∂=--=∂⎝4.研究下列函数的极值：(1)z=x3+y3－3(x2+y2); (2)z=e2x(x+y2+2y);(3)z=(6x－x2)(4y－y2); (4)z=(x2+y2)22()e x y-+;(5)z=xy(a－x－y),a≠0.解：（1）解方程组22360360xyz x xz y y⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩得驻点为（0,0）,(0,2),(2,0),(2,2).z xx=6x－6, z xy=0, z yy=6y－6在点（0，0）处，A=－6，B=0，C=-6，B2－AC=－36<0，且A<0,所以函数有极大值z(0,0)=0.在点（0，2）处，A=－6，B=0，C=6，B2－AC=36>0，所以(0,2)点不是极值点.在点（2，0）处，A=6，B=0，C=－6，B2－AC=36>0，所以(2,0)点不是极值点.在点（2，2）处，A=6，B=0，C=6，B2－AC=－36<0，且A>0,所以函数有极小值z(2,2)=-8.(2)解方程组222e(2241)02e(1)0xxxyz x y yz y⎧=+++=⎪⎨=+=⎪⎩得驻点为1,12⎛⎫-⎪⎝⎭.22224e(21)4e(1)2exxxxxyxyyz x y yz yz=+++=+=在点1,12⎛⎫-⎪⎝⎭处,A=2e,B=0,C=2e,B2-AC=-4e2<0,又A>0,所以函数有极小值e1,122z⎛⎫=--⎪⎝⎭. (3) 解方程组22(62)(4)0(6)(42)0xyz x y yz x x y⎧=--=⎪⎨=--=⎪⎩得驻点为（3,2）,(0,0),(0,4),(6,0),(6,4).Z xx=－2(4y-y2),Z xy=4(3－x)(2－y)Z yy=－2(6x－x2)在点（3，2）处，A=－8，B=0，C=－18，B2－AC=－8×18<0,且A<0，所以函数有极大值z(3,2)=36. 在点（0，0）处，A=0，B=24，C=0，B2－AC>0，所以(0,0)点不是极值点.在点（0，4）处，A=0，B=-24，C=0，B2－AC>0，所以(0,4)不是极值点.在点（6，0）处，A=0，B=-24，C=0，B2－AC>0，所以(6,0)不是极值点.在点（6，4）处，A=0，B=24，C=0，B2－AC>0，所以(6,4)不是极值点.(4)解方程组2222()22()222e(1)02e(1)0x yx yx x yy x y-+-+⎧--=⎪⎨--=⎪⎩得驻点P0(0,0),及P(x0,y0),其中x02+y02=1，在点P0处有z=0，而当（x,y）≠(0,0)时，恒有z>0，故函数z在点P0处取得极小值z=0.再讨论函数z=u e-u由de(1)duzuu-=-，令ddzu=得u=1,当u >1时，d 0d z u <；当u <1时，d 0d z u >,由此可知，在满足x 02+y 02=1的点（x 0,y 0）的邻域内，不论是x 2+y 2>1或x 2+y 2<1,均有2222()1()e e x y z x y -+-=+≤.故函数z 在点（x 0,y 0）取得极大值z =e -1(5)解方程组(2)0(2)0x y z y a x y z x a y x =--=⎧⎨=--=⎪⎩得驻点为12(0,0),,33a a P P ⎛⎫⎪⎝⎭ z xx =-2y , z xy =a -2x -2y , z yy =-2x .故z 的黑塞矩阵为222222ya x y H a x y x ---⎡⎤=⎢⎥---⎣⎦ 于是122033(),().0233aa a H P H P a a a ⎡⎤--⎢⎥⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥--⎢⎥⎣⎦ 易知H （P 1）不定，故P 1不是z 的极值点，H （P 2）当a <0时正定，故此时P 2是z 的极小值点，且3,2733a a a z ⎛⎫=⎪⎝⎭,H （P 2）当a >0时负定，故此时P 2是z 的极大值点，且3,2733a a a z ⎛⎫=⎪⎝⎭.5. 设2x 2+2y 2+z 2+8xz -z +8=0，确定函数z =z (x ,y )，研究其极值。

高等数学(经济类)课后习题及答案第九章多元函数微分

习题9-1（A ）1．求下列各函数的表达式：（1）设函数22),(y x y x f -=，求(,)f y x --，),(x x f -．解：(,)f y x --22)()(x y -+-=22x y -=，0)(),(22=--=-x x x x f ．（2）设函数)1(3-+=x f y z ，已知1=y 时，x z =，求)(x f 及z 的表达式．解：由1=y 时，x z =，有)1(13-+=x f x ，即，所以1)1()(3-+=x x f ；而1)1(3-+=-+=x y x f y z ．（3）设函数y y x y x f +-=1)1(),(2，求),(xy y x f +．解：2222))(()()(/1)/1()(),(y x y x y x yx y x y x x y x y y x x y y x f -=-+=+-+=+-+=+．（4）设函数xy y x y x f =+-),(，求),(y x f 的表达式．解：（方法1）因为4)()(4)2(244),(222222y x y x y xy x y xy x xy y x y x f --+=+--++==+-，所以),(y x f 422x y -=．（方法2）令v y x u y x =+=-、，则22uv y v u x -=+=、，于是 422),()(22u v u v u v xy y x y x f v u f -=-+==+-=，，所以),(y x f 422x y -=．2．求下列各函数的定义域，并作定义域草图：（1）)ln(x y z -=；（2）221arcsin xy y z -+=；（3）221arcsin yx x x y z --+=；（4）41)16ln(2222-++--=y x y x z ．1]1)1[(1)1(333-+-=-=-x x x f解：（1）由0>-x y 且0≥x ，得定义域}0,),{(≥>=x x y y x D ．（2）由022>-x y 及1≤y ，有1≤<y x ，得定义域}1),{(≤<=y x y x D ．（3）由0100122>--≥≠≤y x x x xy、、、，有0122>≤<+x x y y x 、、，得定义域}0,,1),{(22≠≤<+=x x y y x y x D ．（4）由040162222≥-+>--y x y x 、，有16422<+≤y x ，或4222<+≤y x ，得定义域}42),{(22<+≤=y x y x D ．3．求下列极限：（1）(,)(1,1)2lim2x y x yx y →-+；（2）xxy a y x sin lim ),0(),(→；（3）22)0,0(),(1sinlim y x x y x +→；（4）2)1,0(),(2tan limxy xyy x →；（5）22(,)(1,1)sin()lim x y x y x y →--；（6）231lim )1,1(),(-+-→xy xy y x .解：（1）(,)(1,1)2121lim2213x y x y x y →--==-++．（2）(,)(0,)(,)(0,)sin limlim x y a x y a xy xya x x →→==．（3）因为221sinyx +有界，而0lim )0,0(),(=→x y x ，所以=+→22)0,0(),(1sinlim yx x y x 0．（4）2111211lim tan lim 212tan lim)1,0(),()1,0(),(2)1,0(),(=⨯⨯==→→→y xy xy xy xy y x y x y x ．（5）222222(,)(1,1)(,)(1,1)sin()()sin()limlim 21 2.x y x y x y x y x y x y x y →→-+-==⨯=-- （6）=++=-++-=-+-→→→)23(lim 1)23)(1(lim231lim)1,1(),()1,1(),()1,1(),(xy xy xy xy xy xy y x y x y x 4．4．证明下列极限不存在：（1）(,)(0,0)lim x y x yx y →-+；（2）242)0,0(),(lim y x y x y x +→．证明：（1）沿)1(-≠=k kx y 取极限，则k kkx x kx x y x y x x x kx y +-=+-=+-→→=11lim lim00，当k 取不同值时，该极限值不同，所以极限(,)(0,0)limx y x yx y →-+不存在．（2）沿0=y 取极限，00lim lim 024200==+→→=x x y y x yx ；沿2x y =取极限，212lim lim 44024202==+→→=x x y x y x x x x y ．由于2420242002lim lim y x y x y x y x x x y x y +≠+→=→=，所以极限242)0,0(),(lim y x yx y x +→不存在．习题9-1（B ）1．某厂家生产的一种产品在甲、乙两个市场销售，销售价格分别为y x 、（单位：元），两个市场的销售量21Q Q 、各自是销售价格的均匀递减函数，当售价为10元时，销售量分别为2400、850件，当售价为12元时，销售量分别为2000、700件．如果生产该产品的成本函数是(2012000+=C )21Q Q +，试用y x 、表示该厂生产此产品的利润L ．解：根据已知，设y a b Q x a b Q 222111-=-=、，由10=x 时，24001=Q ；12=x 时，20001=Q ，有⎩⎨⎧=-=-，，2000122400101111a b a b 得、2001=a44001=b ，于是x Q 20044001-=．由10=y 时，8502=Q ；12=y 时，7002=Q ，有⎩⎨⎧=-=-，，70012850102222a b a b 得、752=a16002=b ，于是y Q 7516002-=．两个市场销售该产品的收入为22217516002004400y y x x yQ xQ R -+-=+=，该产品的成本(2012000+=C y x Q Q 15003200040008800012000)21-+-+=+y x 15004000132000--=．根据利润等于收入减去成本，得)15004000132000(751600200440022y x y y x x L ----+-= 132000752003100840022---+=y x y x ．2．求下列极限：（1）y y x xy )11(lim ),2(),(++∞→；（2）22)0,0(),(1e lim 22yx y x y x +-+→；（3）4422),(),(lim y x y x y x ++∞∞→；（4）(,)lim x y →解：（1）==+=++∞→+∞→211),2(),(),2(),(e ])11[(lim )11(lim x xy y x y y x xyxy e ．（2）法1：令t y x =+22，则当)00()(，，→y x 时，+→0t ，所以 =-=+-+→+→t y x t t y x y x 1e lim 1e lim 022)0,0(),(221．法2：因为)00()(，，→y x 时，1e 22-+y x 与22y x +是等价无穷小，所以1lim 1e lim 2222)0,0(),(22)0,0(),(22=++=+-→+→y x y x y x y x y x y x ．（3）因为224424424422110yx y x y y x x y x y x +≤+++=++≤，而00lim ),(),(=∞∞→y x ， 0)11(lim 22),(),(=+∞∞→y x y x ，根据“夹逼准则”得0lim 4422),(),(=++∞∞→yx y x y x ．（4）令θρθρsin cos ==y x 、，则当)00()(，，→y x 时，0→ρ（其中θ在区间)20[π，内任意变化），所以==+<≤→→θθρπθρsin cos lim lim20022)0,0(),(yx xy y x 0．3．证明极限22222)0,0(),()(lim x y y x y x y x -+→不存在．证明：沿0=y 取极限，00lim )(lim 202222200==-+→→=x x y y x y x x x y ；沿x y =取极限，11lim )(lim 0222220==-+→→=x x x y x y y x y x ．因此，极限22222)0,0(),()(lim x y y x y x y x -+→不存在．4．讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0002)(222222y x y x yx xy y x f ，，，，在点），（00处的连续性．解：沿x y =取极限，由)00(11lim 2lim)(lim 0220，，f yx xyy x f x x x y x x y ≠==+=→→=→=，有 )00()(lim )0,0(),(，，f y x f y x ≠→，所以函数)(y x f ，在点），（00处不连续．习题9-2（A ）1. 求下列函数的偏导数：（1）2z xy =；（2）2cos sin()z xy x y =++；（3）z = （4）2ln(ln )z x y =+；（5）yz x=（0>x ）；（6）z = （7）22y x xyz +=；（8）arctanx yz x y+=-；（9）yx z u =；（10）zy x u )tan(22-=．解：（1）2z y x ∂=+∂2z xy y ∂=∂．（2）2sin cos cos()sin 2cos()zxy xy y x y y xy x y x∂=-⋅++=-++∂， 2sin cos cos()sin 2cos()zxy xy x x y x xy x y y∂=-⋅++=-++∂．（3）12z x x y ∂==∂+ 122z y x y ∂=⋅=∂+．（4）22122ln ln z x x x x y x y ∂=⋅=∂++，22111ln (ln )z y y x y y x y ∂=⋅=∂++．（5）x yxy xyx y xy x y xy x y xy y x z sin cos 21)(sin cos 2332+=-⋅-=∂∂， xyx y x yy x x x y xy x y xy x y z sin cos 211sin cos 2-=⋅-=∂∂．（6）)1(212)1(11xy xy yxy y xy x z --=--⋅--=∂∂，)1(212)1(11xy xy x xy x xy y z --=--⋅--=∂∂．（7）2/3223222222)(y x y y x y x x xy y x y xz+=++⋅-+=∂∂，由变量y x 、的对称性，得2/3223)(y x x y z +==∂∂．（8）222211()1()()1()z x y x y yx y x x y x yx y∂⋅--⋅+-==+∂-++-， ()22221()1()1()1()x y x y z xx y y x y x y x y⋅---⋅+∂==+∂-++-．（9）z z yy z z x u y x y x ln 11ln =⋅=∂∂，z z y x y x z z y u y xy x ln )(ln 22-=-⋅=∂∂， yyx y xz yxz y x z u --==∂∂1．（10）zy x x z x y x x u )(sec 22)(sec 222222-=⋅-=∂∂， z y x y z y y x y u )(sec 2)2()(sec 222222--=-⋅-=∂∂，222)tan(z y x z u --=∂∂． 2. 求曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+++=1,2122x y x z 在点)3,1,1(M 处的切线与x 轴正向的夹角．解：z x ∂=∂，111112x x y y z x ====∂==∂，用α表示曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+++=1,2122x y x z 在点)3,1,1(M 处的切线与y 轴正向的夹角，则21tan =α，所以432621arctan '≈=α． 3. 设xy x y x z xsec)1(e 2-++=，求)0,1(x z 及)0,1(y z ．解：因为1e )0(-+=x x z x ，，所以=11d (1,0)(e 1)(e 1)d xx x x x z x x-=+-=+=e 1+，因为e )1(+=y y z ，，所以1)e (d d)0,1(0=+==y y y yz ．4. 求下列函数的高阶导数：（1）设13323+--=xy xy y x z ，求22223223,,,,z z z z zy x x y x y x∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂.解：xz ∂∂ ,33322y y y x --= y z ∂∂ ;9223x xy y x --=22x z ∂∂ ,62xy = 33xz ∂∂ ,62y = 22y z ∂∂ ;1823xy x -= y x z ∂∂∂2 ,19622--=y y x xy z ∂∂∂2 .19622--=y y x （2）设xy x z ln =，求22x z ∂∂，22y z ∂∂和23yx z ∂∂∂；解：1ln ln +=⋅+=∂∂xy xy y x xy x z ，yxxy x x y z =⋅=∂∂， x xy y x z 122==∂∂，222y x y z -=∂∂，y xy x y x z 12==∂∂∂，2231yy x z -=∂∂∂． 5. 验证：（1）设函数x yz u arctan =，证明0222222=∂∂+∂∂+∂∂zu y u x u ．证：因为2222)()/(1y x yzx y x y z x u +-=-⋅+=∂∂，22222)(y x xyz x u +=∂∂， 2221)/(1y x xzx x y z y u +=⋅+=∂∂，22222)(y x xyz y u +-=∂∂，x y z u arctan =∂∂，022=∂∂zu，所以，00)()(222222222222=++-+=∂∂+∂∂+∂∂y x xyzy x xyz z u y u x u ．（2）设y x z =)1,0(≠>x x ，求证z yzx x z y x 2ln 1=∂∂+∂∂.证明：=∂∂xz ,1-y yx =∂∂y z ,ln x x yy z x x z y x ∂∂+∂∂ln 1 x x xyx y x yy ln ln 11+=-y y x x += .2z =原结论成立．习题9-2（B ）1．设一种商品的需求量Q 是其价格1p 及某相关商品价格2p 的函数，如果该函数存在偏导数，称Q p p Q E 111∂∂-=为需求对价格1p 的弹性、Qp p Q E 222∂∂-=为需求对价格2p 的交叉弹性．如果某种数码相机的销售量Q 与其价格1p 及彩色喷墨打印机的价格2p 有关，为 222110250120p p p Q --+=，当501=p ，52=p 时，求需求对价格1p 的弹性、需求对价格2p 的交叉弹性．解：由211250p p Q -=∂∂，22210p p Q--=∂∂，有1111250Qp Q p p Q E =∂∂-=，Qp p Q p p Q E 222222210+=∂∂-=，当501=p ，52=p 时，50255050250120=--+=Q 需求对价格1p 的弹性：1.0250505015501121======Q p p p Qp E 、、，需求对价格2p 的交叉弹性：=+=====5052225502221210Q p p p Qp p E 、、2．2. 设22arcsiny x x z +=，求x z ∂∂，yz ∂∂.解： =∂∂xz '⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅+-xy x x y x x 2222211322222)(||y x y y y x +⋅+=.||22y x y += =∂∂yz'⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅+-yy x x y x x 2222211=y y x x 1sgn 22+-=. 3. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=，，，，，x y x y y x yx y x f 0)(证明在)00(，点处),(y x f 的两个偏导数都不存在．证：因为极限x xf x f x x ∆=∆-∆→∆→∆1lim )00()0(lim00，，不存在，极限yf y f y ∆-∆→∆)00()0(lim0，，xx ∆-=→∆1lim0不存在，所以在)00(，点处),(y x f 的两个偏导数都不存在． 4. 设y x yx z -+=arctan ，求22x z ∂∂，22y z ∂∂和y x z ∂∂∂2．解：2222)()()()(11y x yy x y x y x y x y x xz+-=-+---++=∂∂，22222)(2y x xy x z +=∂∂， 2222)()()()(11y x xy x y x y x yx y x yz +=-++--++=∂∂，22222)(2y x xy y z +-=∂∂， 22222222222(2)()()z x y y y y x x y x y x y ∂+--=-=∂∂++．5. 设函数222ln z y x u ++=，证明2222222221z y x z u y u x u ++=∂∂+∂∂+∂∂．证明：将函数改写为)ln(21222z y x u ++=，则 222z y x xx u ++=∂∂，2222222222222222)()(2z y x x z y z y x x x z y x x u ++-+=++⋅-++=∂∂，由变量的对称性，有222222222)(z y x y z x y u ++-+=∂∂，222222222)(z y x z y x z u ++-+=∂∂，所以2222222222222222222)()()()(z y x z y x y z x x z y z u y u x u ++-++-++-+=∂∂+∂∂+∂∂ 22222222221)(zy x z y x z y x ++=++++=．习题9-3（A ）1．求下列函数的全微分：（1）1sin()z x y=+；（2）22z x y =+；（3）xyz e =；（4）yxz tanln =；（5）22y x z u +=；（6）ln(32)u x y z =-+.解：（1）因为1cos()z x x y ∂=+∂，221111cos()()cos()z x x y y y y y ∂=+⋅-=-+∂，所以2211111d cos()d cos()d cos()(d d )z x x x y x x y y y y y y=+-+=+⋅-．（2）因为2z xyx ∂=+∂，2z x y ∂=+∂22(dz xydx x dy =++．（3）因为x yx yx z e 2-=∂∂，x yxy z e 1=∂∂，所以 )d d (e 1d e 1d e d 22x y y x xy x x x y z x yx yx y-=+-=．（4）因为2122cot sec cs c z x x x x y y y y y ∂=⋅=∂，22222cot sec ()csc z x x x x x y y y y y y ∂=⋅-=-∂，所以)d d (2csc 2d 2csc 2d 2csc 2d 22y x x y y xyy y x y x x y x y z -⋅=-=（5）因为z xz x u y x ln 222+=∂∂，z yz y u y x ln 222+=∂∂，12222)(-++=∂∂y x z y x zu ，所以z z y x y z yz x z xz u y xy xy xd )(d ln 2d ln 2d 122222222-+++++⋅+⋅=]d )d d (ln 2[2222z zy x y y x x z zy x +++⋅=+．（6）因为132u x x y z ∂=∂-+，332u y x y z ∂-=∂-+，232u z x y z∂=∂-+，所以 d 3d 2d d 3d 2d d 32323232x y z x y zu x y z x y z x y z x y z--+=++=-+-+-+-+．2.求函数zxyu )(=在点)1,2,1(-处的全微分．解:).ln()( ,1)( ),()(121x y x y y u x x y z y u xy x y z x u z z z ⋅=∂∂⋅=∂∂-⋅=∂∂-- 在点)1,2,1(-处，分别有.2ln 21,41 ,21)1,2,1()1,2,1()1,2,1(=∂∂-=∂∂=∂∂---zuyu xu因此，我们有.2ln 21d 41 21dz y dx dz +-=3.求函数)41ln(22y x z -+=当1=x ，2=y 时的全微分．解因为22418y x x x z -+=∂∂，22412y x yy z -+-=∂∂，821=∂∂==y x xz ，421-=∂∂==y x yz ，所以y x z d 4d 8d )2,1(-=，4.求函数xy e z =在点()2,1处当2.0,1.0=∆=∆y x 时的全微分．解由于,2,,,212212e yz e xz xe y z ye x z y x y x xy xy =∂∂=∂∂=∂∂=∂∂====所以，当2.0,1.0=∆=∆y x 时，函数xye z =在点（2，1）处的全微分为.5.02.021.0222e e e dz =⋅+⋅=习题9-3（B ）1. 计算()2.021.04的近似值．解：设函数(,)yz f x y x ==．显然，要计算的值是函数在 1.04, 2.02x y ==时的函数值()1.04,2.02.f取1,2,0.04,0.02.x y x y ==∆=∆=因为 ,),(1-=y x yx y x f ,ln ),(x x y x f y y =(1,2)1,f =(1,2)2,x f =(1,2)0,y f =所以由公式得 2.02(1.04)120.0400.02 1.08≈+⨯+⨯=． 2．计算3397.102.1+的近似值．解：考虑函数33y x z +=，取03.002.02100-=∆=∆==y x y x 、、、，而33223yx x z x +='，33223yx y z y +='，3)21(=，z 、2/1)21(='，x z 、2)21(='，y z ，则)(97.102.10033y y x x z ∆+∆+=+，y y x z x y x z y x z y x ∆'+∆'+≈)()()(000000，，，95.206.001.03)03.0(202.05.03=-+=-⨯+⨯+=．3. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=,0,0,0,),(2222222y x y x y x y x y x f 在点)0,0(O 点处讨论偏导数的存在性、偏导数的连续性以及函数),(y x f 的可微性．解：因为00lim )00()0(lim==∆-∆→∆→∆x x xf x f ，，，00lim )00()0(lim==∆-∆→∆→∆x y yf y f ，，，所以在)0,0(O 点处函数)(y x f ，的两个偏导数都存在，且0)10(0)00(==，、，y x f f ．再讨论可微性，函数在)0,0(O 处的全增量用z ∆表示，则222)()()()00()00(y x yx z y f x f z y x ∆+∆∆⋅∆=∆=∆-∆-∆，，，记22)()(y x ∆+∆=ρ，则2/3222)0,0(),(0])()[()(lim )00()00(limy x yx yf x f z y x y x ∆+∆∆∆=∆-∆-∆→∆∆→ρρ，，不存在（沿0=∆x 取极限，其值为0；沿x y ∆=∆取极限，其值为22/1），所以函数)(y x f ，在)0,0(O 点处不可微．进而得偏导（函）数在)0,0(O 点处不连续（若偏导（函）数在)0,0(O 点处连续，根据可微的充分条件，则函数在点)0,0(O 可微，与函数不可微矛盾）．习题9-4（A ）1.求下列函数的全导数：（1）设函数 32,sin ,t v t u ez vu ===-，求dtdz ；（2）设函数t uv z sin +=，而t e u =，t v cos =，求全导数dtdz ；（3）设函数y x z cos 2=而)(x y y =是x 的可微函数，求xzd d ．解：（1）dtdv v z dt du u z dt dz ∂∂+∂∂==)6(cos 3)2(cos 22sin 2223t t e t e t e t t v u vu -=⋅-+---. （2）tzdt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=t t u ve t cos sin +-= t t e t e t t cos sin cos +-=.cos )sin (cos t t t e t+-= （3）=⋅-=∂∂+∂∂=xy y x y x x y y z x z x z d d sin cos 2d d d d 222cos sin ().x y x y y x '-⋅ 2.求下列函数的一阶偏导数：（1）设函数v uz e =，而y x u +=，y x v -=，求x z ∂∂和yz∂∂；（2）设函数122)(++=xy y x z ，求x z ∂∂和yz ∂∂．解：（1）1e 1e 12⋅-⋅=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂v uv uvu v x v v z x u u z x z =-=v uv u v e 2yx yx y x y -+--e )(22， 21e 1e (1)u uv vz z u z v u y u y v y vv ∂∂∂∂∂=+=⋅-⋅-∂∂∂∂∂2+e u v v u v ==22e ()x yx y x x y +--，（2）这是幂指函数求导，为方便求导，将它写作复合函数，为此令122+=+=xy v y x u 、，则vu z ==⋅+=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂-y u u x vu xv v z x u u z x z v v ln 21)]ln()1(2[)(2222122y x y y x xy x y x xy ++++++，=⋅+=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂-x u u y vu y v v z y u u z y z v v ln 21)]ln()1(2[)(2222122y x x yx xy y y x xy ++++++． 3. 求下列函数的一阶偏导数（其中函数f 具有一阶连续的偏导数或导数）：（1）(e )xyx z f y=，；（2）)(22y x xy f z -=，；（3）)(22y x xf z +=；（4）(,,)u f x xy xyz =．解：（1）121e xy z f f y x y ∂''=⋅+⋅=∂121e xyf y f y''+， 122()e xy z x f f x y y ∂''=⋅-+⋅=∂122e xy xf x f y''-+．（2）212122f x f y x f y f xz '+'=⋅'+⋅'=∂∂，21212)2(f y f x y f x f y z'-'=-⋅'+⋅'=∂∂．（3）=+⋅'+=∂∂2222yx xf x f x z f y x x f '++222，12y z xf y ⨯∂'==∂f yx xy '+22．（4）1231231uf f y f yz f yf yzf x∂''''''=⋅+⋅+⋅=++∂， 123230uf f x f xz xf xzf y∂'''''=⋅+⋅+⋅=+∂， 123300uf f f xy xyf z∂''''=⋅+⋅+⋅=∂． 4. 设函数)(22y x f y z -=，其中)(u f 是可微函数，证明211y zy z y x z x =∂∂+∂∂．证：因为)()(22)()(2222222222y x f y x f xy x y x f y x f y x z --'-=⋅--'-=∂∂， )()(2)(1)()2()()(222222222222222y x f y x f y y x f y x f y y x f y y x f y z --'+-=--⋅-'--=∂∂，所以222222222222112()12().()()()z z yf x y yf x y x x y y f x y yf x y f x y ''∂∂--+=-++∂∂---2222)(yzy x f y y =-=． 5.设函数)(x y xyf z =，其中)(u f 是可微函数，证明z yz y x z x2=∂∂+∂∂．证：因为)()()()()(22x yf x y x y yf xy x y f xy x y yf x z '-=-⋅'+=∂∂，)()(1)()(xyf y x y xf x x y f xy x y xf y z '+=⋅'+=∂∂，所以 z xy xyf x y f y x y xyf x y f y x y xyf y z y x z x2)(2)()()()(22=='++'-=∂∂+∂∂． 6.利用全微分形式的不变性求函数)cos(222z y x eu zy +++=+ 的全微分．解令=+=w z y v ,222z y x ++，由一阶全微分形式的不变性，我们有dw w dv e dw wudv v u du v )sin (-+=∂∂+∂∂=，注意到w v ,又都是z y x ,,的函数，并且,v vdv dy dz dy dz y z∂∂=+=+∂∂ 222.w w w dw dx dy dz xdx ydy zdz x y z∂∂∂=++=++∂∂∂ 将它们带入上式，得.)]sin(2[ )]sin(2[)sin(2 )(2)sin()( )sin (222222222222dz z y x z e dyz y x y edx z y x x zdz ydy xdx z y x dz dy e dww dv e du z y zy z y v ++-+++-+++-=++⋅++-+=-+=+++习题9-4（B ）1.求下列函数的二阶偏导数（其中函数f 具有二阶连续偏导数）：（1）),(y x xy f z +=；（2）)(22y x x f z +=，；解：（1）21f f y xz '+'=∂∂，21f f x y z'+'=∂∂，221211222211211222)()(f f y f y f f y f f y y xz ''+''+''=''+''+''+''=∂∂， 221211222211211222)()(f f x f x f f x f f x x yz''+''+''=''+''+''+''=∂∂， 221211122211211122)()()(f f y x f xy f f f x f f x y f xy zy x z ''+''++''+'=''+''+''+''+'=∂∂∂=∂∂∂．（2）212f x f xz '+'=∂∂，221220f y f y f y z'='+⋅'=∂∂，2221211222212121122442)2(22)2(f x f x f f f x f x f f x f xz''+''+''+'=''+''+'+''+''=∂∂， 2222222122242)20(22f y f f y f y f yz''+'=''+⋅''+'=∂∂， 221222212242)2(2f xy f y f x f y xy zy x z ''+''=''+''=∂∂∂=∂∂∂． 2. 设函数)(3x yxy f x z ，=，其中函数)(v u f ，有二阶连续偏导数，求yx z y z y z ∂∂∂∂∂∂∂222、、．解：2214213)1(f x f x f xf x x y z '+'='+'=∂∂， 24253111221*********11()()2z x xf f x xf f x f x f xf y x x∂''''''''''''''=+++=++∂， )(2)(422221221221141322f x yf y x f x f x y f y x f x x y z y x z ''-''+'+''-''+'=∂∂∂=∂∂∂ 2211421324f y f y x f x f x ''-''+'+'=． 3.设),(y x f z =有连续的一阶偏导数，且θθsin ,cos r y r x ==.求θ∂∂∂∂zr z ,，并证明 .)()()(1)(22222y z x z z r r z ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂θ解由链式法则，得cos sin ,sin cos .z z x z y z z r x r y r x yz z x z y z z r r x y x yθθθθθθθ∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=-⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂于是有222)(1)(θ∂∂+∂∂z r r z 222)cos sin (1)sin (cos y zr x z r r y z x z ∂∂⋅+∂∂⋅-+∂∂⋅+∂∂⋅=θθθθ.)()(22yz x z ∂∂+∂∂=习题9-5（A ）1.若函数)(x y y =分别由下列方程确定，分别求xy d d ：（1）1cos y x y =+；（2）yx y e 2+=；（3）xyy x arctan ln22=+；解（1）法1：设()1cos F x y y x y =--，，则cos 1sin x y F y F x y =-=+、，所以d cos .d 1sin x y F y y x F x y=-=+ 法2：方程1cos y x y =+两边同时对x 求导，有d d cos sin d d y yy x y x x=-，解得d cos d 1sin y yx x y=+．（2）方程yx y e 2+=两边同时对x 求导，有xy x y yy d d e 1d d 2+=，解得yy x y e 21d d -=．（3）令()221(,)arctanln arctan ,2y yF x y x y x x==+- 则 ,),(22y x y x y x F x ++=,),(22yx xy y x F y +-= y x F F dx dy -= .xy yx -+-= 2. 设()y y x =由方程 1yy xe =+所确定的隐函数，求 202.x d ydx=解令 (.)1; 1yyy dy e F x y xe y dx xe =+-=--，当0x =时01y =+，此时x dy e dx==，所以222(1)()(1)yy y y y y dy dy e xe e e xe d ydx dx dx xe --+=--，222022(01)(0)2(01)x d y e e e e dx =--+=-=-. 3.设函数y x z =，而函数)(x y y =由方程yy x e +=确定，求全导数xz d d ．解：方程yy x e +=两边同时对x 求导，有x y x y y d d e d d 1+=，得yx y e 11d d +=， =+=∂∂+∂∂=-x y x x yx x y y z x z x z yy d d ln d d d d 1y y y x x yx e1ln 1++-． 4. 若函数),(y x z z =分别由下列方程确定，求x z ∂∂及yz∂∂．（1）21z y xz -=；（2）xyz z y x 2222=-+；（3）22)sin(xyz xyz =；（4）yz z x ln =．解：（1）法1：设1)(2--=xz y z z y x F ，，，则x yz F z F z F z y x -==-=22、、，所以xyz z F F y z x yz z F F x z z y z x --=-=∂∂-=-=∂∂222，．法2：方程21z y xz -=两边对x 求导，有20z zyzz x x x∂∂--=∂∂，得x yz z x z -=∂∂2，方程21z y xz -=两边对y 求导，有022=∂∂-+∂∂y z x z y z yz ，得xyz z y z --=∂∂22．（以下都按方法2作）（2）方程xyz z y x 2222=-+两边同时对x 求导，有xzxy yz x z zx ∂∂+=∂∂-2222，得 xyz yzx x z +-=∂∂，方程xyz z y x 2222=-+两边同时对y 求导，有yzxy xz y z zy ∂∂+=∂∂-2222，得 xy z xz y y z +-=∂∂（或由变量y x 、的对称性，得xyz xzy y z +-=∂∂）．（3）方程22)sin(xyz xyz =两边对x 求导，有xz xyz yz x z xyz yz xyz ∂∂+=∂∂+⋅2)2()cos(222，即0)2](1)[cos(22=∂∂+-x z xyzyz xyz ，而01)cos(2≠-xyz ，所以022=∂∂+xzxyz yz ，得x z xyz yz x z 222-=-=∂∂，由变量y x 、对称性有yzy z 2-=∂∂．（4）方程yzz x ln =改写为)ln (ln y z z x -=，方程)ln (ln y z z x -=两边对x 求导，有x zz x x z z z y z x z ∂∂+=∂∂+∂∂=)1(1ln 1，得zx z x z +=∂∂，方程)ln (ln y z z x -=两边对y 求导，有)11(ln 0y y z z z y z y z -∂∂+∂∂=，得)(2z x y z y z +=∂∂． 5.设04222=-++z z y x ，求22xz∂∂.解：令,4),,(222z z y x z y x F -++=则 ,2x F x = ,42-=z F z,2zx F F x z z x -=-=∂∂222(2)(2)z z xz x x z ∂-+∂∂=∂- 2)2(2)2(z z xx z --⋅+-=.)2()2(322z x z -+-=6.若函数),(z y x x =，),(z x y y =，),(y x z z =都是由方程0),,(=z y x F 确定的隐函数，其中),,(z y x F 有一阶连续非零的偏导数，证明1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂xzz y y x ．证：因为zx y z x y F F x zF F z y F F y x -=∂∂-=∂∂-=∂∂、、，所以1)()()(-=-⋅-⋅-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂zx y z x y F F F F F F x z z y y x ． 7.若z 是,x y 的函数，并由 222()zx y z yf y ++=确定，求,z z x y∂∂∂∂.解：令 222(,,)()z F x y z x y z yf y =++-22()+()12()2()x y z F x z z zF y f f y y y z zF z yf z f y y y='=-''=-=-，，，因此，2212()()2x zF z x x z z x F z yf f zy y y∂=-=-=∂''-⋅-，2()()()2()().1()()2y zz z z z z zy f yf y f f F z y y y y y y z z y F z yf f zy y y ''----+∂=-=-=∂''-22-习题9-5（B ）1.设函数xyz u e =，而函数)(x y y =、)(x z z =分别由方程xyy e =及z xz e =确定，求全导数xud d ．解：方程xyy e =两边同时对x 求导，有)d d ()d d (e d d xy x y y x y x y x y xy+=+=，得xy y x y -=1d d 2，方程z xz e =两边同时对x 求导，有x z xz x z x z xz z d d d d e d d ==+，得xxz zx z -=d d ，所以 xxz z xy xy y xz yz x z z u x y y u x u x u xyz xyzxyz -+-+=∂∂+∂∂+∂∂=e 1e e d d d d d d 2 )11(e2-+-+=z yzxy z xy yz xyz．2．设函数32yz x u =，而),(y x z z =由方程xyz z y x 3222=++确定，求)1,1,1(xu ∂∂．解：方程xyz z y x 3222=++两边同时对x 求导，有)(322xzxy yz x z zx ∂∂+=∂∂+，用1=x 、11==z y 、代入，有 (1,1,1)(1,1,1)223(1)zz xx∂∂+=+∂∂，得1)1,1,1(-=∂∂xz ．于是x z yz x xyz x u ∂∂+=∂∂22232，所以13232)1,1,1()1,1,1(-=-=∂∂+=∂∂xzxu ．3．设),(xyz z y x f z ++=，求x z ∂∂，y x ∂∂，zy ∂∂. 解：令,z y x u ++= ,xyz v = 则 ),,(v u f z = 把z 看成y x ,的函数对x 求偏导数得xz∂∂ )1(x z f u ∂∂+⋅= ),(x z xy yz f v ∂∂+⋅+整理得xz ∂∂ ,1v u vu xyf f yzf f --+=把x 看成y z ,的函数对y 求偏导数得)1(0+∂∂⋅=yx f u ),(y xyz xz f v ∂∂+⋅+整理得yx ∂∂ ,v u vuyzf f xzf f ++-= 把y 看成z x ,的函数对z 求偏导数得)1(1+∂∂⋅=z y f u ),(zyxz xy f v ∂∂+⋅+ 整理得zy ∂∂ .1v u vu xzf f xyf f +--=4.若函数),(y x z z =由方程133=-xyz z 确定，求yx z∂∂∂2．解：方程133=-xyz z 两边对x 求导，有0)(332=∂∂+-∂∂xz xy yz x z z，得xy z yz x z -=∂∂2，由变量y x 、的对称性，得xyz xzy z -=∂∂2．法１：等式0)(2=∂∂+-∂∂xzxy yz x z z两边同时对y 求导，有 0)(2222=∂∂∂+∂∂+∂∂+-∂∂∂+∂∂∂∂yx z xy x z x y z y z y x z z x z y z z，即2222242222222)()2()(2)(xy z y x xyz z z xy z xyz z xy z yz x xy z xz y z y x z xy z ---=---+-+=∂∂∂- 所以=∂∂∂y x z 2322224)()2(xy z y x xyz z z ---．法２：)(22xyz yz y y x z -∂∂=∂∂∂ 322224222)()2()()2())((xy z y x xyz z z xy z x yz z yz xy z y z y z ---=--∂∂--∂∂+=．5.设 (,)F u v 具有连续的偏导数，方程 [(),()]0F a x z b y z --=（其中,a b 是非零常数）确定z 是,x y 的隐函数，且0aFu bFv +≠，求z zx y∂∂+∂∂. 解：令 (),()u a x z v b y z =-=-因此,x u u z u v u vF aF aF zx F aF bF aF bF ∂=-=-=∂--+y v v z u v u vF bF bF zy F aF bF aF bF ∂=-=-=∂--+，1u v u v u vaF bF z z x y aF bF aF bF ∂∂+=+=∂∂++. 6. 求由下列方程组所确定函数的导数或偏导数：（1）⎩⎨⎧=++=++，，41222z y x z y x 求x y d d 和xzd d ．（2）⎩⎨⎧-=+=，，v u y v u x uu cos e sin e 求x v y u x u ∂∂∂∂∂∂、、及y v∂∂．解：（1）方程组⎩⎨⎧=++=++41222z y x z y x ，两边同时对x 求导，有⎪⎩⎪⎨⎧=++=++，，0d d 2d d 220d d d d 1x z z x y y x x zx y 消去xz d d ，有0)d d 1(d d =+-+x y z x y y x ，得z y x z x y --=d d ，而z y yx x y x z --=--=d d 1d d ．（2）方程组⎩⎨⎧-=+=vu y v u x uu cos e sin e ，两边同时对x 求导，有⎪⎩⎪⎨⎧∂∂+∂∂-∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=)2(.sin cos e 0)1(cos sin e 1x vv u v x u x u x v v u v x u x u u u ，（1）sin v ⨯-（2）cos v ⨯，有xux u v v v u∂∂+∂∂-=)cos (sin e sin ，得)cos (sin e 1sin v v vx u u -+=∂∂，再代入到（2）之中得)]cos (sin e 1[e cos v v u v x v uu -+-=∂∂．方程组⎩⎨⎧-=+=v u y v u x u u cos e sin e ，两边同时对y 求导，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂-∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=.sin cos e 1cos sin e 0y vv u v y u y u y v v u v y u y u u u ，与前面解法类似，得)cos (sin e 1cos v v vy u u -+-=∂∂，)]cos (sin e 1[e in v v u v s y v u u -++=∂∂．习题9-6（A ）1.求下列函数的极值：（1）222),(y x x y x f --=；（2）x y x y x y x f 936),(2233+++-=；（3）)2(e ),(2y y x y x f x++=；（4）2/322)(1),(y x y x f +-=．解：（1）定义域为全平面，并且函数处处可微．由⎩⎨⎧=-==-=，，，，02)(022)(y y x f x y x f y x 得唯一驻点)01(，．2)01(0)01(02)01(-====<-==，、，、，yy xy xx f C f B f A ，042>=-B AC ，根据二元函数极值的充分条件，点)01(，是函数的极大值点，极大值为1)0,1(=f ，该函数无极小值．（2）定义域为全平面，并且函数处处可微．由⎪⎩⎪⎨⎧=+-==++=，，，，063)(09123)(22y y y x f x x y x f y x 即⎩⎨⎧=-=++，，0)2(0)3)(1(y y x x 得函数的所有驻点是)23()03()21()01(4321，、，、，、，----P P P P ． 66)(0)(126)(+-====+==y y x f C y x f B x y x f A yy xy xx ，、，、，，对上述诸点列表判定：所以函数的极大值为4)2,3(=-f ，极小值为4)0,1(-=-f ．（3）定义域为全平面，并且函数处处可微．由⎪⎩⎪⎨⎧=+==+++=，，，，0)22(e )(0)21(e )(2y y x f y y x y x f xyx x 得唯一驻点(01)-，．x yy x xy x xx y x f y y x f y y x y x f e 2)()22(e )()22(e )(2=+=+++=，、，、，， 01>=A 、0=B 、2=C ，022>=-B AC ，根据二元函数极值的充分条件，点)10(-，是函数的极小值点，极小值1)1,0(-=-f ，该函数无极大值．（4）定义域为全平面，函数处处可微．由⎪⎩⎪⎨⎧=+-==+-=，，，，03)(03)(2222y x y y x f y x x y x f y x 得唯一驻点)00(，．由于在)00(，点处函数的二阶偏导数不存在，不能用定理8.2判定，为此根据极值的定义，当022≠+y x （即非)00(，点）时)00(1)(1),(2/322，f y x y x f =<+-=，所以点)00(，是该函数的极大值点，极大值为1)0,0(=f ，该函数无极小值． 2.求函数 5020(0,0)z xy x y x y=++>> 的极值．解：由 22500200z y xx z x yy ∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=∂⎪⎩，解出 52.x y ⎧⎨=⎩＝，222232310040, 1, z z z x y x x y y∂∂∂===∂∂∂∂ 在点(5,2)处，233100404130, 0552AC B A -=⋅-=>=>所以函数在(5,2)处由极小值 (5.2)30z=.3.求曲面 21 (0)z xy z -=>上到原点距离最近的点．解：设 222F,,,(1)x y z x y z z xy λλ+++--2()=，则 2202022010Fx y x F y x y F z z z z xy λλλ∂⎧=-=⎪∂⎪∂⎪=-=⎪∂⎨⎪∂=+=⎪∂⎪⎪--=⎩，解出 0011.x y z λ=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=-⎩，，，因为(0,0,1)是 2222d x y z =++在0z >时的唯一驻点，由题意可知在0z >的曲面上存在与原点距离最小的点，所以(0,0,1)即为所求的点． 4. 将正数12分成三个正数z y x ,,之和使得z y x u 23=为最大. 解令 )12(),,(23-+++=z y x z y x z y x F λ,则223323020012x y z F x y z F x yz F x y x y z λλλ'⎧=+=⎪'=+=⎪⎨'=+=⎪⎪++=⎩，，，，解得唯一驻点)2,4,6(，故最大值为.691224623max =⋅⋅=u5. 用面积为12（m 2）铁板做一个长方体无盖水箱，问如何设计容积最大？解设水箱的长、宽、高分别为z y x 、、，体积为V ，则目标函数为xyz V =（，0>x ，0>y 0>z ），附加条件是1222=++yz xz xy ．设)1222()(-+++=yz xz xy xyz z y x L λ，，（000>>>z y x ，，），由(2)0(2)02()02212x yz L yz y z L xz x z L xy x y xy xz yz λλλ=++=⎧⎪=++=⎪⎨=++=⎪⎪++=⎩，，，，得唯一可能极值点12===z y x 、，根据实际意义，当长方体表面积一定是其体积有最大值，所以当长、宽都为2（m ），高为1（m ）时无盖长方体水箱容积最大(此时体积为4（m 3）)． 6.在斜边长为l 的直角三角形中，求周长最大的三角形及其周长．解：设两直角边长分别为y x 、，三角形周长为L ，则目标函数是l y x L ++=（00>>y x ，），附加条件为222l y x =+．设)()(222l y x l y x y x F -++++=λ，，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==+=，，，222021021l y x y F x F y x λλ在00>>y x ，时得唯一可能极值点2l y x ==，由实际意义，斜边长为一定的直角三角形中，周长有最大值，所以当两直角边长都为2l （即等腰直角三角形）时，其周长最大，且最大周长为l )21(+．7.有一宽为24cm 的长方形铁板，把它折起来做成一断面为等腰梯形的水槽．问怎么折才能使断面的面积最大．解设折起来的边长为xcm ，倾角为α（图8-17），那么梯形的下底长为242x -，上底长为2422cos x x α-+，高为sin x α，所以断面的面积为1[(2422cos )242]sin 2=-++-⋅A x x x x αα，即2224sin 2sin cos sin (012,0)2A x x x x πααααα=-+<<<≤.为求其最大值，我们先来解方程组222224sin 4sin 2sin cos 0,24cos 2cos +(sin cos )0.x A x x A x x x ααααααααα=-+=⎧⎨=--=⎩ 由于sin 0,0x α≠≠，将上述方程组两边约分，得122cos 0,24cos 2cos cos 20.=-+=⎧⎨=-+=⎩x A x x A x x ααααα 解这个方程组，得,8().3x cm πα==根据题意，断面面积的最大值一定存在，又由A 的定义，0,12;0.x α≠≠因此最大值点只可能在区域的内部或开边界2πα=上取到．但当2πα=时，2242A x x =-的最大值为72．因此，该函数的最大值只能在区域的内点处取得，而它只有一个稳定点，因此可以断定(8,)=483723A π>是其最大值．即将铁板折起8cm ，并使其与水平线成3π角时所得断面面积最大．24242x-ax a。

高等数学课后习题答案--第九章

9. 设 x n ＞0，
10. 讨论下列级数的收敛性(包括条件收敛与绝对收敛)
182
⑴ ⑶ ⑸ ⑺ ⑼
x sin ; n n =1 ∞ n (−1) n −1 n −1 ; ∑ 3 n =1 n +1 ∞ (−1) ( x > 0 ); ∑ n =1 n + x
∑ (−1)
∞
n +1
⑵ ⑷ ⑹ ⑻ ⑽
180
(4) (6)
∑
∞
∞
n =1 ∞
∑
n =1
ln n ln n 1 ln n 1 n 1 , = = 3 . 收敛; < 2 2 n n n n n n n2 1 1 1 , < , 收敛; n ln (n + 2) ln(n + 2) 2
n
(5)
收敛;
(7) (8) (13) (14)
∑ (
n =1
n −1
)
n
发散
由于 lim (10
a −1
1 n
n →∞
= ln a , 而 n n − 1 > n a − 1 ;
(11)
发散;
∑
n =1
∞
∞
∑
n =1
( n + 1 − n − 1 ), ( n + 1 − (2n − n + 1 − n − 1) = (n −
2 2 2 2 2
(9) 收敛;
收敛;
5.利用级数收敛的必要条件，证明： nn (1) lim = 0， (2) n →∞ ( n !) 2
∞
n →∞
lim
( 2 n) ! = 0. 2 n ( n +1)

微积分曹定华修订版课后题答案第九章习题详解.doc

微积分第九章答案

9.1 二重积分的概念与性质习题9.11. 根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：（1）()2D x y d σ+⎰⎰与()3Dx y d σ+⎰⎰，其中积分区域D 为由x 轴、y 轴与直线1x y +=所围成。

解：因为在D 上，()()23x y x y +≥+，所以()()23D Dx y d x y d σσ+≥+⎰⎰⎰⎰。

（2）()2Dx y d σ+⎰⎰与()3Dx y d σ+⎰⎰，其中积分区域D 为由圆周()()22212x y -+-=所围成。

解：因为在D 上，()()23x y x y +≤+，所以()()23D Dx y d x y d σσ+≤+⎰⎰⎰⎰。

（3）()ln D x y d σ+⎰⎰与()2ln D x y d σ+⎡⎤⎣⎦⎰⎰，其中积分区域D 为三角形闭区域，三顶点分别为()()()1,0,1,1,2,0.解：因为在D上，()()2ln ln x y x y +≥+⎡⎤⎣⎦，所以()()2l n l n DDxy d x y d σσ+≥+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰。

（4）()ln Dx y d σ+⎰⎰与()2ln D x y d σ+⎡⎤⎣⎦⎰⎰，其中(){},35,01D xy x y =≤≤≤≤。

解：因为在D上，()()2ln ln x y x y +≤+⎡⎤⎣⎦，所以()()2ln l n DD x y d x y d σσ+≤+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰。

2. 利用二重积分的性质估计下列积分的值：（1）()DI xy x y d σ=+⎰⎰，其中(){},01,01.D x y x y =≤≤≤≤ 解：在D 上，()02xy x y ≤+≤，所以0 2.I ≤≤ （2）22sin sin DI x yd σ=⎰⎰，其中(){},0,0.D x y x y ππ=≤≤≤≤解：在D 上，220sin sin 1x y ≤≤，所以20.I π≤≤（3）()1DI x y d σ=++⎰⎰，其中(){},01,02.D x y x y =≤≤≤≤解：在D 上，114x y ≤++≤，所以28.I ≤≤（4）()2249DI xy d σ=++⎰⎰，其中(){}22,4.D x y xy =+≤解：在D 上，22134925x y ≤++≤，所以52100.I ππ≤≤ 9.2 二重积分的计算法习题9.23. 计算下列二重积分：（1）()22Dxy d σ+⎰⎰，其中(){},1,1.D x y x y =≤≤解：()()11122222111282.33Dx y d dx x y dy x dx σ---⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ （2） ()32Dx y d σ+⎰⎰，其中D 为由两坐标轴及直线2x y +=所围成的闭区域。

微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第三章习题详解

第三章习题3-11．设s =12gt ２，求2d d t s t=．解：22221214()(2)2lim lim 22t t t g g dss t s dt t t t →→=-⨯-==-- 21lim(2)22t g t g →=+= 2．设f (x )=1x，求f '(x 0) (x 0≠0)．解：1211()()()f x x x x--'''===00201()(0)f x x x '=-≠ 3．（1）求曲线2y x =上点（2，4）处的切线方程和法线方程；（2）求过点（3，8）且与曲线2y x =相切的直线方程；（3）求xy e =上点（2，2e ）处的切线方程和法线方程；（4）求过点（2，0）且与xy e =相切的直线方程。

解：略。

4．下列各题中均假定f ′(x 0)存在，按照导数定义观察下列极限，指出A 表示什么：(1) 0limx ∆→00()()f x x f x x-∆-∆=A ;(2) f (x 0)=0, 0limx x →0()f x x x-＝A ； (3) 0limh →00()()f x h f x h h+--=A ．解：(1)0000000()()[()]()limlim ()x x f x x f x f x x f x f x x x→-→--+--'=-=-- 0()A f x '∴=- (2)00000()()()limlim ()x x x x f x f x f x f x x x x x →→-'=-=---0()A f x '∴=-(3)000()()limh f x h f x h h→+--00000[()()][()()]lim h f x h f x f x h f x h→+----=000000()()[()]()lim limh h f x h f x f x h f x h h→-→+-+--=+- 000()()2()f x f x f x '''=+= 02()A f x '∴=5．求下列函数的导数：(1) y ；(2) y；(3) y 3225x x．解：(1)12y x x ==11221()2y x x -''∴=== (2)23y x-=225133322()33y x x x ----''∴==-=-=(3)2152362y x x xx -==15661()6y x x -''∴===6．讨论函数y x =0点处的连续性和可导性．解：30lim 0(0)x x f →==000()(0)0lim lim 0x x x f x f x x →→→--===∞-∴函数y =0x =点处连续但不可导。

《微积分第二篇》第九章习题解答

三、各章习题解答IX. 【习题9.1】-- 【习题9.5】3. 验证题.3e d d 2y xyx -=-x x C y 23e e --+=(1) 验证函数(C 为任意常数)为二阶微分方程的通解，并求该方程满足初始条件的特解．|0==x y ()(),3e e e e 32e e 3e e d dd d 22232323y C C C xx y x x x x x x x x -=++-=--=+=--------解：因故所给函数是所给方程的通解. 在所给函数中, 令x =0、y =0, 得,1,10-=⇒+=C C 于是所求的特解为.e e 23x x y --+-=xx x y y e ,e 21==(2) 验证函数都是微分方程的解，并求该方程的通解.解:，右边左边==++-+=0e e )1(2e )2(x x x x x x 02 =+-y y'y''方程的通解：下式说明代入方程将x x y y y e ,e 111==''=':e )2(e )1(22代入方程得、又将xx x y x y +=''+='.0e e 2e 2 =+-=+-x x x y y'y''.e 2方程的通解所以x x y =.e e 21x x x C C y +=由此可得该方程的通解为）为任意常数、21(C C3. 解答题423222(53)d (33)d 0x xy y x x y xy y y +-+-+=263,P Qxy y y x∂∂=-=∂∂42320(,)d (0,)d (53)d d ,x y x yP x y x Q y y x xy y x y y C -=+--=⎰⎰⎰⎰5223331.23x x y xy y C +-+=解：设因为(1) 求微分方程的通解.所以原方程为全微分方程，故得原方程的通解为42322253,33,P x xy y Q x y xy y =+-=-+e e 0)()(=++-++dy e e dx e e y y x x y x 的y (1)=0时的特解.11ln(1)ln(1)ln 11y xy x y xy x y x e dy dx e e e dy dxe e C e e =--+=-⇒-=-++-+⎰⎰解：原方程分离变量得，两边积分得，(2) 解方程(3)01()(1)(1).1,0(1)(1)0,(1)(1)0.y x y x C e e C x y e e CC e e -+===-+=⇒=-+=即得原方程的通解为其中为任意常数令代入通解得故所求特解为解：,yu x=令代入原方程得,y xu =有,dy du xu dx dx +故＝xx +y y y ='求微分方程的通解.1;du u xu dx u+=+yu x=将代回，即得d d xu u x =，两边积分得分离变量得211ln ,2u x C =+原方程的通解22(2ln )y x x C =+(其中C =2C 1为任意常数).解：代入原方程得,y xu =有,dy du x u dx dx +故＝sec ,duu x u u dx+=+两边积分得sin ln ,u x C =+,yu x=令d cos d ,xu u x=分离变量得d sec d y y yx x x=+(4)求微分方程的通解.两边积分,d 2d 02d d xxy y xy x y =⇒=-解：对应的齐次方程为d x-(5) (不用公式) 求方程的通解.232d x e x yx y -=yu x =将代回，即得原方程的通解sinln yx C x=+(其中C 为任意常数).,d 2d ⎰⎰=x xy y 即得,ln ||ln 2C x y '+=代入原方程得则令,)(2)(,)(22x x C x x C y x x C y +'='=.2x C y =,)(2x xe x C -='.21d )(22C e x xe x C x x +-=-=⎰)21(22C e x y x +-=.)(为任意常数C 最后得原方程的通解为解得又f (x )=x +1=(x +1) e 0x , 其中λ=0, 非特征方程的根, 取k =0 . 可设原方程特解y *=ax+b .得y *’=a , y *”=0, 代入原方程解得a =-1/4 , b =-1/4 . 于是方程的特解为解：特征方程为，14+=-''x y y .e e 2221x x C C Y +=-其重根为r 1,2=〒2.42=-r 齐次方程的通解为3. 方程求通解( 各题中的C , C 1, C 2皆为任意常数. )(1)求方程的通解.则该方程为（）：;02)B (;02)A (=-'-''=+'+''y y y y y y (2)设二阶线性微分方程的通解为x x e C e C y 221+=-.02)D (;02)C (=-'+''=+'-''y y y y y y ).1(41*+-=x y解：特征方程为，.e )sin cos (21x x C x C Y +=特征重根为r 1,2=1〒i.0222=++r r 齐次方程的通解为又因f (x )= (0cos2x +10sin2x )e 0x , 其中λ〒ωi=0〒2i, 不是特征方程的根, 取k =0 . 从而可设原方程有特解为y *=a cos2x +b sin2x ，于是y *’=－2a sin2x +2b cos2x , y *”=－4a cos2x -4b sin2x ，代入原方程得(2B －A )cos2x －(B +2A )sin x =5sin2x .对比系数解得A =－2，B=－1. 故得特解.2sin 2cos 2*x x y --=所以原方程的通解为.2sin 2cos 2e )sin cos (*21x x x C x C y Y y x --+=+=-xy y y 2sin 1022=+'+''(3)求方程的通解.111213。

微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第四章习题详解

习题 4-11.验证函数f (x )=lnsin x 在[π5π,66]上满足罗尔定理的条件，并求出相应的ξ，使f ′(ξ)=0.解: 显然()ln sin f x x =在5π,66x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续,在π5π,66⎛⎫⎪⎝⎭内可导,且π5π()()ln 266f f ==-,满足罗尓定理的条件. 令cos ()cot 0sin xf x x x '===,则π2x =即存在ππ5π(,)66ξα=∈,使()0f ξ'=成立.2. 下列函数在指定区间上是否满足罗尔定理的三个条件?有没有满足定理结论中的ξ ?[][][]2(1)()1,;(2)(),;1,10,21sin ,0π(3)()0,π1,exf x f x x x x f x x =-=--<≤⎧=⎨=⎩解: (1) 2()1e x f x =-在[]1,1-上连续,在()1,1-内可导,且(1)1,(1)1,e e f f -=-=- 即 (1)(1)f f-= () f x ∴在[]1,1-上满足罗尓定理的三个条件. 令 2()20e x f x x '==得 0x =, 即存在0(1,1)ξ=∈-,使()0f ξ'=.(2) 101()1112xx f x x x x -≤<⎧==-⎨-≤≤⎩显然()f x 在(0,1),(1,2)内连续,又1111(10)lim ()lim (1)0,(10)lim ()lim (1)0,(10)(10)(1)0,即x x x x f f x x f f x x f f f --++→→→→-==-=+==-=-=+==所以()f x 在1x =处连续,而且22(00)lim ()lim (1)1(0),(20)lim ()lim (1)1(2),x x x x f f x x f f f x x f ++--→→→→+==-==-==-==即()f x 在0x =处右连续,在2x =处左连续,所以()f x 在[]0,2 上连续.又1111()(1)1(1)lim lim 1,11()(1)1(1)lim lim 111x x x x f x f x f x x f x f x f x x --++-→→+→→--'===-----'===--(1)(1)(f f f x -+''∴≠∴在1x =处不可导,从而()f x 在(0,2)内不可导. 又 (0)(2)1f f ==又由 101()112x f x x -<<⎧'=⎨<<⎩ 知 ()0f x '≠综上所述,函数()f x 满足罗尓定理的条件(1),(3)不满足条件(2),没有满足定理结论的ξ. (3) 由0(00)lim sin 0(0)1x f x f +→+==≠=知()f x 在0x =不右连续,() f x ∴在[]0,π上不连续,显然()f x 在()0,π上可导,又(0)1,(π)0f f ==,即(0)(π)f f ≠,且()cos (0,π) f x x x '=∈,取π(0,π)2ξ=∈,有π()cos cos02f ξξ'===.综上所述,函数()f x 满足罗尓定理的条件(2),不满足条件(1),(3),有满足定理结论的ξ,ξ=π2.3. 不用求出函数()(1)(2)(3)f x x x x =---的导数，说明方程()0f x '=有几个实根，并指出它们所在的区间.解: 显然()f x 在[]1,2上连续,在()1,2内可导,且(1)(2)0f f ==,由罗尓定理知,在()1,2内至少存在一点1ξ,使1()0f ξ'=,即()0f x '=在()1,2内至少有一个实根.同理 ()0f x '=在()2,3内也至少有一个实根2ξ.又()0f x '=是二次方程,最多有两个实根,故()0f x '=有两个实根,分别在区间()1,2和()2,3内.4. 验证拉格朗日中值定理对函数3()2f x x x =+在区间［0，1］上的正确性.解: 显然3()2f x x x =+在［0，1］上连续,在()0,1内可导,满足拉格朗日中值定理的条件.若令2(1)(0)()32310f f f x x-'=+==-则3x =±,取3ξ=,即存在(0,1)3ξ=,使得(1)(0)()10f f f ξ-=-成立.从而拉格朗日中值定理对函数3()2f x x x =+在［0，1］上成立.5※. 设()f x '在［a ,b ］上连续，在［a ,b ］内可导，f ′(a ) = 0，f ′′(x ) > 0，证明：f ′(a )> f (b )。

微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第九章习题详解

AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF第9章习题9-11．判定下列级数的收敛性： (1) 115nn a ∞=⋅∑（a ＞0）； (2) ∑∞=-+1)1(n n n ;(3) ∑∞=+131n n ; (4) ∑∞=-+12)1(2n n n ;(5) ∑∞=+11ln n n n; (6) ∑∞=-12)1(n n ;(7) ∑∞=+11n nn ; (8) 0(1)21n n n n ∞=-⋅+∑．解：（1）该级数为等比级数，公比为1a,且0a >,故当1||1a<,即1a >时，级数收敛，当1||1a≥即01a <≤时，级数发散. （2）(1n S n =++++1=lim n n S →∞=∞∴ 1n ∞=∑发散.（3）113n n ∞=+∑是调和级数11n n∞=∑去掉前3项得到的级数，而调和级数11n n ∞=∑发散，故原级数113n n ∞=+∑发散.AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF（4）1112(1)1(1)222n n nn n n n ∞∞-==⎛⎫+--=+ ⎪⎝⎭∑∑ 而1112n n ∞-=∑,1(1)2mnn ∞=-∑是公比分别为12的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质知AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF111(1)22n n n n ∞-=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∑收敛，即原级数收敛.（5）lnln ln(1)1nn n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+故lim n n S →∞=-∞,所以级数1ln1n nn ∞=+∑发散. （6）2210,2n n S S +==-∴ lim n n S →∞不存在，从而级数1(1)2n n ∞=-∑发散.（7）1lim lim10n n n n U n→∞→∞+==≠∴ 级数11n n n∞=+∑发散.（8）(1)(1)1, lim 21212n n n n n n U n n →∞--==++ ∴ lim 0n x U →∞≠，故级数1(1)21n n nn ∞=-+∑发散. 2．判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和：(1) ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+13121n n n ； (2) ※ ∑∞=++1)2)(1(1n n n n ;(3) ∑∞=⋅12sin n n n π; (4) 0πcos 2n n ∞=∑．解：（1）1111, 23n nn n ∞∞==∑∑都收敛，且其和分别为1和12，则AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF11123n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛，且其和为1+12=32.（2）11121(1)(2)212n n n n n n ⎛⎫=-+ ⎪++++⎝⎭AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF∴121112111211121122322342345212n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-++-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11112212n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭1lim 4n n S →∞=故级数收敛，且其和为14. （3）πsin 2n U n n =,而πsinππ2lim lim 0π222n n n U n→∞→∞=⋅=≠，故级数1πsin2n n n ∞=⋅∑发散.（4）πcos2n n U =,而4lim limcos2π1k k k U k →∞→∞==,42lim limcos(21)π1k k k U k +→∞→∞=+=-故lim n n U →∞不存在，所以级数0πcos2n n ∞=∑发散. 3※．设1n n U ∞=∑ (U n ＞0)加括号后收敛，证明1n n U ∞=∑亦收敛．证：设1(0)n n n U U ∞=>∑加括号后级数1n n A ∞=∑收敛，其和为S .考虑原级数1n n U ∞=∑的部分和1n k k S U ∞==∑，并注意到0(1,2,)k U k >=，故存在0n ,使11n n k t k t S U A s ∞===<<∑∑又显然1n n S S +<对一切n 成立，于是，{}n S 是单调递增且有上界的数列，因此，极限lim n n S →∞存在，即原级数1n n U ∞=∑亦收敛.习题9-2 1．判定下列正项级数的收敛性：(1) ∑∞=++1nnn)2)(1(1; (2) ∑∞=+1nnn1;(3) ∑∞=++ 1nnnn)2(2; (4) ∑∞=+1n nn)5(12；AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAFAHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF(5) 111nn a ∞=+∑ (a ＞0); (6) ∑∞=+1n nba 1 (a ,b ＞0); (7) ()∑∞=--+1n an a n 22 (a ＞0); (8) ∑∞=-+1n n n 1214；(9) ∑∞=⋅1n nnn 23； (10)※∑∞=1n nn n !; (11) ∑∞=+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅1n n n )13(1074)12(753 ; (12) ∑∞=1n nn 3；(13)※∑∞=1n n n 22)!(2； (14) ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+1n nn n 12;(15) ∑∞=1πn nn3sin2; (16) ∑∞=1πn nn n 2cos 32．解：（1）因为211(1)(2)n n n<++而211n n∞=∑收敛，由比较判别法知级数11(1)(2)n n n ∞=++∑收敛.（2）因为lim 10n n n U →∞==≠，故原级数发散. （3）因为21(1)(1)1n n n n n n n +>=+++，而111n n ∞=+∑发散，由比较判别法知，级数12(1)n n n n ∞=++∑发散.（4321n<=,而1n ∞=是收敛的p -级数3(1)2p =>,由比较判别法知,级数1n ∞=收敛.（5）因为111lim lim lim(1) 111nnn nn n nnaaa aa→∞→∞→∞+==-++AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAFAHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF11112001a a a >⎧⎪⎪==⎨⎪<<⎪⎩而当1a >时，11nn a ∞=∑收敛，故111nn a∞=+∑收敛;当1a =时，11nn a ∞=∑= 11n ∞=∑发散，故111nn a∞=+∑发散;当01a <<时1lim101nn a →∞=≠+，故1lim1n n a →∞+发散;综上所述，当01a <≤时，级数1lim1nn a →∞+发散，当1a >时，1lim1nn a →∞+收敛.（6）因为1lim lim lim(1)1n n n nn n n nb a a b a b a b b →∞→∞→∞+==-++1111101b b a b >⎧⎪⎪==⎨+⎪<<⎪⎩ 而当1b >时, 11nn b ∞=∑收敛，故11nn a b∞=+∑收敛;当1b =时，1111nn n b ∞∞===∑∑发散，故而由0a >, 101a <<+∞+,故11n n a b∞=+∑也发散;当01b <<时，11lim 0n n a b a →∞=≠+故11n n a b∞=+∑发散;综上所述知，当01b <≤时，级数11nn a b∞=+∑发散;当b >1时，级数11nn a b∞=+∑收敛.（7）因为lim1n nn→∞=na==>AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAFAHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF而11n n ∞=∑发散，故级数10)n a ∞=>∑发散.（8）因为434431121lim lim 1212n n n n n n n n→∞→∞++-==-而311n n∞=∑收敛，故级数21121n n n ∞=+-∑收敛. （9）因为1113233lim lim lim 1(1)232(1)2n n n n n n n n nU n n U n n +++→∞→∞→∞⋅⋅==>+⋅+由达朗贝尔比值判别法知，级数132nnn n ∞=⋅∑发散.（10）因为11(1)!1lim lim lim(1)1(1)!n n n n n n n nU n n e U n n n ++→∞→∞→∞+=⋅=+=>+，由达朗贝尔比值判别法知，级数1!nn n n ∞=∑发散.（11）因为1357(21)(23)4710(31)limlim 4710(31)(34)357(21)n n n nU n n n U n n n +→∞→∞⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅+232lim 1343n n n →∞+==<+,由达朗贝尔比值判别法知原级数收敛.（12）因为111311lim lim lim 1333n n n n n n nU n n U n n ++→∞→∞→∞++=⋅==<，由达朗贝尔比值判别法知，级数13n n n ∞=∑收敛.（13）因为22221221(1)[(1)!]2(1)lim lim lim (!)22n n n n n n n nU n n U n +++→∞→∞→∞++=⋅= 由2212121(1)2(1)1lim lim lim 222ln 22ln 2x x x x x x x x x +++→∞→+∞→+∞+++==⋅⋅AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF2121lim 022(ln 2)x x +→+∞==⋅知2121(1)lim lim 012n n n n nU n U ++→∞→∞+==<AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF由达朗贝尔比值判别法知，级数221(!)2n n n ∞=∑收敛.（14）因为1lim1212n n n n →∞==<+，由柯西根值判别法知级数121nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑收敛.（15）因为ππ2sinsin 33lim lim 1π2π33n n nn n n n n→∞→∞==⋅ 而112233nn n n n ∞∞==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑是收敛的等比级数，它的每项乘以常数π后新得级数12π3n nn ∞=⋅∑仍收敛，由比较判别法的极限形式知，级数1π2sin3n nn ∞=∑收敛.（16）因为2πcos 322n nn n n ≤而与（12）题类似地可证级数12n n n∞=∑收敛，由比较判别法知级数1πcos 32nn n n ∞=∑收敛.2．试在(0，+∞)内讨论x 在什么区间取值时，下列级数收敛：(1) ∑∞=1n nnx ; (2) nn x n ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛123．解：（1）因为11lim lim lim 11n n n n n n nU x n nxx U n x n ++→∞→∞→∞=⋅==++由达朗贝尔比值判别法知，当1x >时，原级数发散;AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF当01x <<时，原级数收敛;而当1x =时，原级数变为调11n n∞=∑，它是发散的.综上所述，当01x <<时，级数1nn x n∞=∑收敛.（2）因为1313(1)2limlim 22n n n n n nx n U xU x n ++→∞→∞⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭==⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭,由达朗贝尔比值判别法知，当12x >即AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF2x >时，原级数发散;当012x <<即02x <<时，原级收敛.而当12x =即 2x =时，原级数变为31n n ∞=∑，而由3lim n n →∞=+∞知31n n ∞=∑发散，综上所述，当02x <<时，级数31()2n n x n ∞=∑收敛.习题9-31．判定下列级数是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛：(1) ∑∞=--1121)1(n nn ; (2) 11(1)2(1)2n n nn ∞-=-+-⋅∑;(3) ∑∞=12sin n n nx; (４) 111π(1)sin πn n n n ∞+=-∑;(5) ∑∞=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-11210121n n n ； (6) ∑∞=+-1)1(n n x n ;(7) ∑∞=⋅1!)2sin(n n n x ．解：（1）这是一个交错级数121n U n =-, 1lim lim 021n n n U n →∞→∞==-,1112121n n U U n n +=>=-+ 由莱布尼茨判别法知11(1)21n n n ∞=--∑.又1111(1)2121n n n n n ∞∞==-=--∑∑，由1121lim12n n n→∞-=,及11n n∞=∑发散，知级数AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF1121n n ∞=-∑发散，所以级数11(1)21nn n ∞=--∑条件收敛. （2）因为2111(1)211(1)22(1)2n n n n n ----+-=+-⋅-⋅,故11111(1)21111(1)22(1)22(1)2n n n n n n n n n ------+--=+≤+-⋅-⋅-⋅AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF1113222n n n-=+=而112nn ∞=∑收敛，故132nn ∞=∑亦收敛，由比较判别法知11(1)2(1)2n n nn ∞-=-+-⋅∑收敛，所以级数11(1)2(1)2n n nn ∞-=-+-⋅∑绝对收敛.（3）因为22sin 1,nx n n ≤而级数211n n∞=∑收敛，由比较判别法知21sin n nxn ∞=∑收敛，因此，级数21sin n nx n∞=∑绝对收敛.（4）因为121ππ|(1)sin |sin πlimlim 11πn n n n n n n n+→∞→∞-==而211n n∞=∑收敛，由比较判别法的极限形式知，级数111π|(1)sin |πn n n n ∞+=-∑收敛，从而级数11π(1)sin πn n n+-绝对收敛. （5）因为212121111111210210210n n n n n n ----≤+=+,而级数112n n ∞=∑收敛的等比级数1()2q =;由比值判别法，易知级数211110n n ∞-=∑收敛，因而21111210n n n ∞-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛，由比较判别法知级数21111210n n n ∞-=-∑收敛，所以原级数21111210n n n ∞-=-∑绝对收敛.（6）当x 为负整数时，级数显然无意义；当x 不为负整数时，此交错级数满足莱布尼茨判别法的条件，故它是收AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF敛的，但因11n x n∞=+∑发散，故原级数当x 不为负整数时仅为条件收敛.（7）因为sin(2)1!!n x n n ⋅≤由比值判别法知11!n n ∞=∑收敛(1(1)!lim 01!n n n →∞+=)，从而由比较判别法知1sin(2)!n n x n ∞=⋅∑收敛，所以级数AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF1sin(2)!n n x n ∞=⋅∑，绝对收敛. 2．讨论级数∑∞=--111)1(n pn n 的收敛性(p ＞0)．解：当1p >时，由于11111(1)n p pn n n n ∞∞-==-=∑∑收敛，故级数111(1)n pn n ∞-=-∑绝对收敛.当01p <≤时，由于111,(1)n n p pu u n n +=>=+ lim 0n n u →∞=,由莱布尼茨判别法知交错级数111(1)n pn n ∞-=-∑收敛，然而，当01p <≤时，11111(1)n p pn n n n ∞∞-==-=∑∑发散，故此时，级数111(1)n pn n ∞-=-∑条件收敛.综上所述，当01p <≤时，原级数条件收敛;当p >1时，原级数绝对收敛.3※．设级数∑∞=12n n a 及∑∞=12n n b 都收敛，证明级数∑∞=1n n n b a 及()∑∞=+12n n n b a 也都收敛．证：因为2222||||110||222n n n n n n a b a b a b +≤≤=+ 而由已知1nn a ∞=∑及21n n b ∞=∑都收敛，故221111,22n nn n a b ∞∞==∑∑收敛，从而2211122n n n a b ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛，由正项级数的比较判别法知1n nn a b ∞=∑也收AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF敛，从而级数1n n n a b ∞=∑绝对收敛.又由222()2,n n n n n n a b a a b b +=++及2211,n nn n a b ∞∞==∑∑,以及1n n n a b ∞=∑收敛，利用数项级数的基本性质知，221(2)nn n n n a a b b ∞=++∑收剑，亦即21()n n n a b ∞=+∑收敛.习题9-41．指出下列幂级数的收敛区间：(1) ∑∞=0!n nn x (0!=1)； (2) ∑∞=0!n n n x nn ；AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF(3) ∑∞=⋅022n n nnx ； (4) ∑∞=++-01212)1(n n nn x ．(5) ∑∞=⋅+02)2(n nnn x ； (6) ∑∞=-0)1(2n n nx n．解：（1）因为111(1)!limlim lim 011!n n n n na n p a n n +→∞→∞→∞+====+，所以收敛半径r =+∞，幂级数1!nn x n ∞=∑的收敛区间为(,)-∞+∞.（2）因为-111lim lim lim 1e 11n nn n n n na n p a n n +→∞→∞→∞⎛⎫===-= ⎪++⎝⎭，所以收敛半径1e r p==.当x =e时，级数01!!en nn n n n n n x n n∞∞===∑∑，此时11(1)n nnu eu n+=+，因为1(1)nn+是单调递增数列，且1(1)n n+<e 所以1n nu u +>1,从而lim 0n n u →∞≠，于是级数当x =e 时，原级数发散.类似地，可证当x =-e 时，原级数也发散(可证lim ||0n n u →∞≠),综上所述，级数0!n n n n x n∞=∑的收敛区间为(-e,e).（3）因为2111limlim ()212n n n na n p a n +→∞→∞===+,所以收敛半径为r =2.当2x =时，级数221012nn n n x n n∞∞===⋅∑∑是收敛的p 一级数（p =2>1）;AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF当x =-2时，级数22011(1)2nn n n n x n n ∞∞===-⋅⋅∑∑是交错级数，它满足莱布尼茨判别法的条件，故它收敛.综上所述，级数202nn n x n∞=⋅∑的收敛区间为[-2,2].AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF（4）此级数缺少偶次幂的项，不能直接运用定理2求收敛半径，改用达朗贝尔比值判别法求收敛区间.令21(1)21n nn x u n +=-+，则22121lim lim 23n n n nu n x x u n +→∞→∞+=⋅=+.当21x <时，即||1x <时，原级数绝对收敛.当21x >时，即||1x >时，级数0||n n u ∞=∑发散，从而210(1)21n nn x n +∞=-+∑发散，当1x =时，级数变为01(1)21nn n ∞=-+∑;当1x =-时，级数变为11(1)21n n n ∞+=-+∑;它们都是交错级数，且满足莱布尼茨判别法的条件，故它们都收敛.综上所述，级数21(1)21n nn x n +∞=-+∑的收敛区间为[-1,1].（5）此级数为（x +2）的幂级数.因为11limlim2(1)2n n n na n p a n +→∞→∞===+.所以收敛半径12r p==，即|2|2x +<时，也即40x -<<时级数绝对收敛.当|2|2x +>即4x <-或0x >时，原级数发散.当4x =-时，级数变为01(1)n n n∞=-∑是收敛的交错级数，当x =0时，级数变为调和级数11n n∞=∑,它是发散的.AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF综上所述，原级数的收敛区间为[-4,0). （6）此级数（x -1）的幂级数12limlim 21n n n na np a n +→∞→∞===+ 故收敛半径12r =.于是当1|1|2x -<即1322x <<时，原级数绝对收敛.当1|1|2x ->即12x <或32x >时，原级数发散.AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF当32x =时，原级数变为01n n ∞=∑是调和级数，发散.当12x =时，原级数变为11(1)n n n ∞=-∑，是收敛的交错级数.综上所述，原级数的收敛区间为13,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭.2．求下列幂级数的和函数：(1) ∑∞=-1)1(n n nn x ； (2) ∑∞=-1122n n nx ；(3) nn x n n ∑∞=+1)1(1； (4) ∑∞=+0)12(n n x n ．解：（1）可求得所给幂级数的收敛半径r =1.设1()(1)n nn x S x n ∞==-∑,则1111()(1)(1)1n n n n n n x S x x n x ∞∞-=='⎡⎤'=-=-=-⎢⎥+⎣⎦∑∑∴001()()d d ln(1) (||1)1x x S x S x x x x x x-'===-+<+⎰⎰又当x =1时，原级数收敛，且()S x 在x =1处连续.∴1(1)ln(1) (11)nnn x x x n ∞=-=-+-<≤∑ （2）所给级数的收敛半经r =1，设211()2n n S x nx ∞-==∑,当||1x <时，有2121011()d 2d 2d xx xn n n n S x x nxx nx x ∞∞--====∑∑⎰⎰⎰AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF22211nn x xx ∞===-∑ 于是22222()1(1)x x s x x x '⎛⎫== ⎪--⎝⎭又当1x =±时，原级数发散.AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF故 2122122 (||1)(1)n n xnx x x ∞-==<-∑（3）可求所给级数的收敛半径为1.令1111()(0)(1)(1)n n n n x x s x x n n x n n +∞∞====≠++∑∑ 令11()(1)n n x g x n n +∞==+∑,则111()1n n g x x x ∞-=''==-∑01()d ()(0)d 1xxg x x g x g x x''''=-=-⎰⎰(0)0,()ln(1)g g x x ''==--()d ()(0)ln(1)d ,(0)0xxg x x g x g x x g '=-=--=⎰⎰所以0()ln(1)d ln(1)ln(1)xg x x x x x x x =--=+---⎰;所以1()11ln(1),||1,S x x x x⎛⎫=+--< ⎪⎝⎭且0x ≠.当1x ±时，级数为11(1)n n n ∞=+∑和11(1)(1)n n n n ∞=-+∑,它们都收敛.且显然有(0)0S =.故111ln(1)(1,0)(0,1)()00,1x x S x x x x ⎧⎛⎫+--∈-⋃⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪=±⎩. （4）可求得所给级数的收敛半径为r =1且1x ±时，级数发散，设1()n n S x nx ∞-==∑,则001()d .1xn n s x x x x∞===-∑⎰ 于是211()()1(1)S x x x '==--,即1211(1)n n nx x ∞-==-∑.AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF所以111(21)2nn n n n n n xx nxx ∞∞∞-===+=+∑∑∑221112(1)1(1)xx x x x +=⋅+=--- (||1)x <3．求下列级数的和：AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF(1) ∑∞=125n nn ； (2) ∑∞=-12)12(1n nn ；(3) ∑∞=--112212n n n ； (4) 1(1)2n n n n ∞=+∑．解：（1）考察幂级数21n n n x ∞=∑，可求得其收敛半径1r = ，且当1x ±时，级数的通项2n n u n x =，2lim||lim n n n u n →∞→∞==+∞，因而lim 0n n u →∞≠，故当1x ±时，级数21nn nx∞=∑发散，故幂级数21n n n x ∞=∑的收敛区间为（-1，1）. 设21() (||1)nn S x nx x ∞==<∑，则211()n n S x x n x ∞-==∑令2111()n n S x nx∞-==∑,则11011()d xnn n n S x x nxx nx ∞∞-====∑∑⎰.再令121()n n S x nx ∞-==∑,则201()d 1xn n xS x x x x∞===-∑⎰. 故221()(||1)1(1)x S x x x x '⎛⎫==< ⎪--⎝⎭，从而有120()d (1)x x S x x x =-⎰. 1231() (||1)(1)(1)x xS x x x x '⎛⎫+==< ⎪--⎝⎭ 于是 213()() (||1)(1)x x S x xS x x x +==<- 取15x =，则223111()11555()5532115n n n S ∞=+===⎛⎫- ⎪⎝⎭∑.AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF（2）考察幂级数21121n n x n ∞=-∑，可求得收敛半径r =1，设2211111() (||1)2121nn n n S x x x x x n n ∞∞-====<--∑∑AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF令21111()21n n S x x n ∞-==-∑,则221211()1n n S x x x ∞-='==-∑.1200d 11()d ln1-21xxx xS x x x x+'==-⎰⎰即 1111()(0)ln (,(0)0)21x S x S s x+-==-.于是 111()ln ,(||<1)21x S x x x+=-，从而11()()ln (||1)21x xS x xS x x x+==<-取x =则11(21)21n n S n ∞===--∑=（3）考察幂级数211(21)n n n x ∞-=-∑，可求得其级数半经为r =1,因为212121111(21)2n n n n n n n xnxx ∞∞∞---===-=-∑∑∑令2111()2n n S x nx∞-==∑，则221201()d 1xnn x S x x xx ∞===-∑⎰.所以212222() (||1)1(1)x x S x x x x '⎛⎫==< ⎪--⎝⎭,于是212121111(21)2n n n n n n n xnxx ∞∞∞---===-=-∑∑∑3222222 (||1)(1)1(1)x x x x x x x x +=-=<---AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF取12x =，得3212111()121102212291()2n n n S ∞-=+-⎛⎫=== ⎪⎛⎫⎝⎭-⎪⎝⎭∑.AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF（4）考察幂级数1(1)n n n n x ∞=+∑，可求得其收敛半径r =1.设1()(1) (||1)n n S x n n x x ∞==+<∑则121011()d xn n n n S x x nxxnx ∞∞+-====∑∑⎰.又设111()n n S x nx ∞-==∑则101()d 1xn n x S x x x x ∞===-∑⎰.从而121()1(1)x S x x x '⎛⎫== ⎪--⎝⎭,2212()d ()(1)xx S x x x S x x ==-⎰2232() ||1(1)(1)x x S x x x x '⎛⎫==< ⎪--⎝⎭ 取12x =，则31121(1)2822112nn n n S ∞=⨯+⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ 习题9-51．将下列函数展开成x 的幂级数：(1) 2cos 2x ; (2) 2sin x ； (3) 2x x -e ; (4)211x -；(5)πcos()4x -．解：（1）2201cos 11cos (1)2222(2)!nn n x x x n ∞=+==+-∑AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF211(1)(-)2(2)!nnn x x n ∞==+-∞<<+∞∑ （2）2101sin (1) ()2(21)!2n n n x x x n +∞=⎛⎫=--∞<<+∞ ⎪+⎝⎭∑（3）22210011e()(1) ()!!x nn n n n x x x x x n n ∞∞-+===-=--∞<+∞∑∑AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF（4）211111211x x x ⎡⎤=+⎢⎥--+⎣⎦0002011(1)221[(1)]2 ||1n n nn n n n nn n n x x x x x x ∞∞==∞=∞==+-=+-=<∑∑∑∑（5）πππcos cos cos sin sin 444x x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭2210(cos sin )2(1) ()2(2)!(21)!n n n n x x x xx n n +∞==+⎡⎤=-+-∞<<+∞⎢⎥+⎣⎦∑ 2．将下列函数在指定点处展开成幂级数，并求其收敛区间： (1) x-31,在x 0＝１； (2) cos x,在x 0=3π;(3)3412++x x ,在x 0=1; (4) 21x , 在x 0＝３．解：（1）因为11113212x x =⋅---,而0111 (||112212nn x x x ∞=--⎛⎫=< ⎪-⎝⎭-∑即13x -<<). 所以100111(1) (13)3222nnn n n x x x x ∞∞+==--⎛⎫=⋅=-<< ⎪-⎝⎭∑∑.收敛区间为：（-1，3）.（2）πππ2π2cos cos ()cos cos()sin sin()333333x x x x ⎡⎤=+-=---⎢⎥⎣⎦AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF22100()()133(1)(1)2(2)!2(21)!n n n n n n x x n n ππ+∞∞==--=-+-+∑∑221011(1)())2(2)!33nn n n x x n ππ∞+=⎡⎤=--+-⎢⎥⎣⎦∑ ()x -∞<<+∞AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF收敛区间为(,)-∞+∞. （3）211111111()1143213481124x x x x x x =-=⋅-⋅--++++++ 001111(1)(1)4284n nn n n n x x ∞∞==--⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑223011(1)(1)22n n n n n x ∞++=⎛⎫=--- ⎪⎝⎭∑由112x -<且114x -<得13x -<<，故收敛区间为（-1，3）（4）因为011113(1)()333313n n n x x x ∞=-=⋅=-⋅-+∑1(3)(1)3nnn n x ∞+=-=-∑ 而21011(3)(1)3n n n n x x x ∞+=''⎡⎤-⎛⎫=-=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑111(1)(3)3n n n n n x ∞-+=-=-⋅-∑1111(1)(3)3n n n n n x +∞-+=-=-∑ 2(1)(1)(3)3n n n n n x ∞+=-+=-∑ 由313x -<得06x <<. 故收敛区间为（0，6）.如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！33387 826B 艫Hn32578 7F42 罂 y#• 33471 82BF 芿24819 60F3 想27944 6D28 洨。

微积分各章习题及详细答案

《微积分》各章习题及详细答案(总42页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第一章函数极限与连续一、填空题1、已知x xf cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。

3、0→x 时，x x sin tan -是x 的阶无穷小。

4、01sin lim 0=→xx k x 成立的k 为。

5、=-∞→x e x x arctan lim 。

6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。

7、=+→xx x 6)13ln(lim 0 。

8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。

9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。

10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。

11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。

12、函数x xx f +=13arcsin )(的定义域是__________。

13、lim ____________x →+∞=。

14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。

15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。

二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。

（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。

2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有。

高等数学第九章习题答案

高等数学第九章习题答案高等数学第九章习题答案高等数学是大学数学的一门重要课程，涵盖了广泛的数学知识和技巧。

第九章是高等数学中的一个重要章节，主要涉及到微分方程和级数。

本文将为大家提供高等数学第九章习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。

1. 求解微分方程dy/dx = 2xy。

首先，我们可以将该微分方程转化为变量分离的形式。

将dy/dx移项得到dy/y = 2xdx。

对两边同时积分，得到ln|y| = x^2 + C，其中C为常数。

再对等式两边取指数，得到|y| = e^(x^2 + C)。

由于指数函数的定义域为正数，所以我们可以去掉绝对值符号，得到y = ±e^(x^2 + C)。

因此，该微分方程的通解为y = Ce^(x^2)，其中C为任意常数。

2. 求解微分方程dy/dx = y^2 - 1。

同样地，我们将该微分方程转化为变量分离的形式。

将dy/dx移项得到dy/(y^2 - 1) = dx。

对两边同时积分，得到∫(1/(y^2 - 1))dy = ∫dx。

对左边的积分进行分解，得到∫(1/[(y+1)(y-1)])dy = ∫dx。

通过部分分式的方法，我们可以将左边的积分化简为∫[(1/2)/(y-1) - (1/2)/(y+1)]dy = ∫dx。

继续进行积分，得到(1/2)ln|y-1| - (1/2)ln|y+1| = x + C，其中C为常数。

再对等式两边取指数，得到|y-1|/|y+1| = e^(2x+2C)。

由于指数函数的定义域为正数，所以我们可以去掉绝对值符号，得到(y-1)/(y+1) = e^(2x+2C)。

进一步化简得到y =(1+e^(2x+2C))/(1-e^(2x+2C))。

因此，该微分方程的通解为y =(1+e^(2x+2C))/(1-e^(2x+2C))，其中C为任意常数。

3. 求解级数∑(n=1到∞) [(n+1)/n^2]。

首先，我们可以对级数进行变形，得到∑(n=1到∞) [(n+1)/n^2] = ∑(n=1到∞) [1/n - 1/n^2]。

高等数学课后习题答案第九章2

第九章习题解答（3）习题9.7计算下列对面积的积分1、dS z y x )342(++∫∫Σ，其中Σ为平面1432=++zy x 在第一卦限的部分解：曲面方程为3424y x z --=dxdydxdy dS 36119164=++=积分区域为30,20:≤≤≤≤y x D dS z y x )342(++∫∫Σdxdy D∫∫?=361461433614=?=2、∫∫ΣdS z2其中Σ为半球面221y x z --=被21=z 截取的部分解：曲面方程为221yx z --=dxdyyx dS 2211--=积分区域为430:22≤+≤y x D dS z ∫∫Σ2dxdy y x yx D ∫∫----=222211∫∫-=πθ0230212)1(dr r r d 12787320πθπ==∫d 3、dS z y x )(222++∫∫Σ，其中Σ为圆锥面22y x z +=被1=z 截取的部分解：曲面方程为22yx z +=dxdydS 2=积分区域为10:22≤+≤y x D dS z yx )(222++∫∫Σdxdy y x D∫∫+=2)(222∫∫=πθ201322dr r d π2=4、dS z x x xy ∫∫Σ+--)22(2，其中Σ为平面622=++z y x 在第一卦限的部分解：曲面方程为y x z 226--=dxdydS 3=积分区域为xy x D -≤≤≤≤30,30:dS z x x xy ∫∫Σ+--)22(2dxdyy x x xy D∫∫+---=)62322(32∫∫-+---=3302)62322(3xdy y x x xy dx ∫-+-------=30222)]3(6)3()3(3)3(2)3([3dxx x x x x x x x ∫+-=323]9103[3dx x x 4278127108149-=+×-×=5、dS y x )(22∫∫Σ+，其中Σ为旋转抛物面222y x z --=在xoy 面上方的部分解：曲面方程为222yx z --=dxdyy x dS )(4122++=积分区域为20:22≤+≤y x D dS y x )(22∫∫Σ+dxdy y x y x D∫∫+++=)(41)(2222∫∫+=πθ2022341drr r d ∫∫+=πθ20220231161duu u d 其中du u u222031+∫单独计算为设tdt du t u 2sec ,tan ==，du u u 222031+∫==∫dt tt22arctan 063cos sin ∫-22arctan 062cos )(cos )1(cos tt d t 15596151307263265242)11(41316=-=-=-=∫dv v vdS y x )(22∫∫Σ+3014915596162ππ=×=（6）、dS xz z y y x )(222222++∫∫Σ，其中Σ为圆锥面22y x z +=被圆柱面xy x 222=+所截取的部分解：曲面方程为22yx z +=dxdydS 2=积分区域为：θπθcos 20,20:≤≤≤≤r DdS x z z y y x )(222222++∫∫Σdrr d )1sin (cos 2222cos 2052+=∫∫θθθθπθθθθπd )cos cos (cos 6222621086+-×=∫8229)2047(322)!!6!!5!!10!!9!!8!!7(62226πππ=+=×+-×=2、求抛物面)10)((2122≤≤+=z y x z 的质量，此壳的密度z=μ解：dSz M ∫∫Σ=dxdyy x dS 221++=积分区域为：20,20:≤≤≤≤r D πθdS z M ∫∫Σ=dr r rd 223212+=∫∫πθ∫∫--=2arctan 06220cos cos )cos 1(2t td t d πθdu u u d )11(24131620-=∫∫πθdu u u d )11(2413162-=∫∫πθ)33315139(-+-=π)136(152+=π3、求均匀抛物面壳)410(22≤≤+=z y x z 的重心解：∫∫Σ=dSM dxdyy x dS )(4122++=积分区域为：210,20:≤≤≤≤r D πθ∫∫Σ=dS M dr r r d 22102414+=∫∫πθ)2()2(1)2(22102r d r r d +=∫∫πθdu u u d 21020)(1+=∫∫πθ)122(6)1(322121232-=+??=ππu 由对称性得~~==y xMz 1~=∫∫ΣzdS ∫∫+=πθ2021023411dr r rd M ∫∫+=πθ201231161duu ud M∫∫--=ππθ204062cos cos )cos 1(161t t d t d Mdv v v d M )11(1612012146∫∫-=πθ×=M 8π=-+-)32215124()12(1528+?M π70235+=所以重心为?????+70235004、设稳定不可压缩的流体速度场为→→→→++=k z y j y x i xz V 22，Σ是圆柱面122=+y x 的外侧被平面1,0==z z 截取的位于第一、第四卦限部分，求流体流向Σ指定一侧的流量Φ解：Φzdxdyy ydzdx x xzdydz 22++=∫∫Σ设;0:1=Σz ;0:2=Σy ;1:3=Σz 于是-Σ-Σ12Σ3Σ+构成封闭的曲面∫∫∫∫∫?Σ+Σ-Σ-Σ++=++=dv z yx zdxdy y ydzdx x xzdydz )(2222321dz z r rdr d ][21010220+=∫∫∫πθ2)21(21320πθπ=+=∫∫dr r r d =++∫∫Σ+Σ-Σ-zdxdy y ydzdx x xzdydz 22321+∫∫Σ-310dxdy ∫∫Σ-20dzdx ∫∫Σ+32dxdy y 8sin 210322πθθπ==∫∫dr r d 所以838222πππ=-=++=Φ∫∫Σzdxdy y ydzdx x xzdydz 5、计算下列对坐标的曲面积分（1）、∫∫Σdxdy yx 22，其中是球面2222a z y x =++下半部分的下侧解：球面方程为222y x a z ---=，积分区域为ar ≤≤≤≤0,20:πθ取外法线方向为正∫∫Σdxdy y x 22dxdy y x a y x D)(22222----=∫∫dxdyy x a yx D22222--=∫∫drr a r∫∫-=102252022cos sinθθπ1052)!!7!!5!!5!!3(4)sin (sin 84cos 1220752022a a dr t t d a ππθθππ=-=--=∫∫（2）、∫∫Σ+dydz y 2)1(，其中是球面1222=++z y x 的外侧在0≥x 的部分解：球面方程为221y x x --=，积分区域为10,20:≤≤≤≤r πθ取外法线方向为正∫∫Σ+dydz y 2)1(dr r r d ∫∫+=1220)1sin (θθπdrr r r d ∫∫++=122320)sin 2sin (θθθπ∫++=πθθθ202)21sin 32sin 41(d 45)82cos 1(20ππθθπ=+-=∫d （3）、∫∫Σdxdy z2，其中是圆锥面22y x z +=被平面1=z 截取的有限部分的下侧解：积分区域为10,20:≤≤≤≤r πθ取外法线方向为正∫∫Σdxdy z 2∫∫+-=Ddxdyy x )(22dr r d ∫∫-=10320πθ2412ππ-=×-=（4）、xdxdyydzdx xdydz ++∫∫ΣΣ是圆柱面122=+y x 的外侧被平面3,0==z z 截取的位于第一限部分解：=++∫∫Σxdxdy ydzdx xdydz C B A ++∫∫Σ=xdydz A ，∫∫Σ=ydzdx B ，∫∫Σ=zdxdy C 由于Σ在xoy 面的投影区域面积为零，所以0==∫∫Σzdxdy C ∫∫Σ=xdydz A dy y dz dydz y yzD∫∫∫∫-=-=1023021143cos 3202ππ==∫tdt ∫∫Σ=ydzdx B dy x dz dydz x zxD∫∫∫∫-=-=1023021143cos 3202ππ==∫tdt 所以=++∫∫Σxdxdy ydzdx xdydz 2304343πππ=++=++C B A（5）、∫∫Σ-+-+-dxdy x z dzdx z y dydz y x )()()(Σ{}c z b y a x z y x ≤≤≤≤≤≤=0,0,0),,(解：用高斯公式、∫∫Σ-+-+-dxdy x z dzdx z y dydz y x )()()(abcdv 3==∫∫∫（6）、∫∫Σ++zxdxdyyzdzdx xydydz Σ{}1,0,0,0),,(=++====z y x z y x z y x 的外侧解：用高斯公式、∫∫Σ++zxdxdyyzdzdx xydydz =++=∫∫∫dv z y x )(∫∫∫---++yx xdzz y x dydx101010)(∫∫---+--+=xdy y x y x y x dx 10210])1(21)1)([(∫∫----=xdy y xy x dx 102210]21[21∫------=10322])1(31)1()1)(1[(21dx x x x x x 81)3132(21103=+-=∫dx x x 习题9.81、利用高斯公式计算（1）、∫∫Σ++dxdyz dzdx y dydz x 222Σ{}a z a y a x z y x ≤≤≤≤≤≤=0,0,0),,(的表面的外侧解：∫∫Σ++dxdy z dzdx y dydz x 222=++=∫∫∫dv z y x )(2∫∫∫?zdv 64236azdz aa ==∫（2）、∫∫Σ-+dxdyy x dzdx y xydydz 4223Σ)1,0,0(),0,01(),0,0,1(),0,0,0(:为顶点的四面体的表面的外侧解：∫∫Σ-+dxdy y x dzdx y xydydz 4223=+=∫∫∫dv y y )23(∫∫∫?ydv5任取一点y 得到与四面体的截面面积为2)1(21y dzdx yD-=∫∫于是245)413221(25)1(255102=+-=-=∫∫∫∫dy y y ydv （3）、zdxdy ydzdx xdydz ++∫∫Σ，222:y x a z --=Σ的上侧解：加一个底面1Σ0=z ，则1Σ+Σ=Σ′3326433a a dv zdxdy ydzdx xdydz ππ=×==++∫∫∫∫∫?Σ′而：001=-=++∫∫∫∫ΣxyD dxdy zdxdy ydzdx xdydz 所以32azdxdy ydzdx xdydz π=++∫∫Σ（4）、dxdy z x dzdx y z dydz x y )()()(222-+-+-∫∫Σ，221:y x z --=Σ在xoy 面上方的上侧解：加一个底面1Σ0=z ，则1Σ-Σ=Σ′dxdy z x dzdx y z dydz x y )()()(2221-+-+-∫∫Σ-Σππ23)1(3310-=-×-=-=∫∫∫∫dz z dv 而：dxdyz x dzdx y z dydz x y )()()(2221-+-+-∫∫Σ4cos 1023202πθθπ-=-=-=∫∫∫∫dr r d dxdy x xyD45423)()()(222πππ-=+-=-+-+-∫∫Σdxdy z x dzdx y z dydz x y 2、设稳定的、不可压缩的流体的速度场为→→→→++=k z j y i x V 222，Σ是球面2222a z y x =++的外侧位于第一卦限部分，求流体流向Σ指定一侧的流量Φ解：Φdxdy z dzdx y dydz x 222++=∫∫Σ设;0:1=Σx ;0:2=Σy ;0:3=Σz 于是-Σ-Σ12Σ3Σ-构成封闭的曲面∫∫∫∫∫?Σ+Σ+Σ+Σ++=++dv z y x dxdy z dzdx y dydz x )(2222321dzz r rdr d ar a ])sin (cos [2002022++=∫∫∫-θθθπ∫∫-+=adr r a r d 022220)sin (cos 2πθθθ∫∫-+adrr a r d 02220)(πθ∫-=20424)sin (sin 4πdt t t a )42(244a a -+π8384444aa a πππ=+=而222321=++∫∫Σ+Σ+Σdxdy z dzdx y dydz x 所以dxdy z dzdx y dydz x 222++=∫∫Σ834aπ=三重积分也可以另解为：任取一点z ，得到截面z D 的面积为)(422z a dxdy zD -=∫∫π根据对称性有∫∫∫++dv z y x )(24032083)(466a dz z z a dxdy zdz a D azππ=-==∫∫∫∫第九章习题解答完毕2008-5-11于利民开发区宏信广场。

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Q Q、c.n -、、n ）发散•n =1ACO A CO A °° 1是调和级数7 1去掉前3项得到的级数，而调和级数、-发散，故原级数—n 仝n n 三n1 +(-1)nQ n4 Q n2 2丿“ 1a （「1）m1而肯，7 （亠是公比分别为1的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质知 n 壬2 n 经 2 2(5) T In—In n -ln(n 1) n +1 是 S n =(ln1 -In 2) (In 2-In 3) |"[ln n -ln(n 1)]QO故ng —,所以级数j 亠发散•判定下列级数的收敛性:习题9-1CO __________⑵ ' (、n 1 - n)；n 42 (—1)nn42nCOr'Tn 丄n 1 n 1 「(一1)n2;n T(8)na (-1) nnzo 2n 1解: （1）该级数为等比级数, 1 11公比为一，且a 0,故当|一卜：1,即a 1时，级数收敛，当|一 |亠1即0 ：：： a 乞1a a a时, 级数发散• (2) T S n=（迈- .1）（七- 一 2）川（百-」n ）发散• (3) oOzn 吕n 3(4)cOn -丄n 4j<2 2 收敛，即原级数收敛.Q Q. limS 不存在，从而级数「(-1)n2发散• n—门 n 丄 n +1 (7) T lim U = lim 1 - 0n Y n Y n00n +1.级数D 发散•n 二 n2 .判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和:oOn n故lim U n 不存在，所以级数 7 cos 一发散.n‘：n£2QOoa3 *.设7 U n (U n > 0)加括号后收敛，证明、• U n 亦收敛.n 理 n 』(6) TS2n =0, S2n 1--2U n(-1)n 2n 1i ium丰nA(")nn 2n 1发散.1n(n 1)(n2)cd_n(3) ' n sin - n 仝 2nCO(4) 7 COSn=0解:(1)■ -都收敛，且其和分别为n 吕3n1和1，则二丄•丄收敛，且其和为2 n 吕 2n 3n(2)1_1『12 丄 1]n(n 1)(n 2)2 n n 1 n 2lim S n故级数收敛，且其和为丄.n —*4 4.n sin — (3) U n 二 nsin —，而 limU n =lim - 2= 0 ,2n f re ? n 200冗故级数' n sin 发散.心2 n2n-n =cos 一 2 ，而 k i m U 4k =k i mcos2kn 1，k i m U4k 2 limcos(2 k 1) n -1k —5 -1 2□a,故级数、Zn 4od QO ao QO 证：设7 U n(U n 0)加括号后级数7 A n收敛，其和为S.考虑原级数V U n的部分和S n八，U k,并注n=i n・nd k -1意到U k o(k =1,2,丨1()，故存在n。

,使又显然S n ：：： S n 1对一切n成立，于是, {&}是单调递增且有上界的数列，因此，极限lim S n存在，即原n_scQ Q级数7 U n亦收敛•n 4习题9-2 判定下列正项级数的收敛性:(1 )cOn 1 (n 1)(n 2)cOn=1n A n(n 2)QO⑷心n(n25)，匸宀(a> 0)；n 1 1 a二-^n (a, b> 0);n 1 a b(a>0);(8)n2n -1(9 )n3n ，n -1 n 2(10)% 、、 n;n -1n!(11 )3 5 7 (2n 1)n j 4 7 10 ：(3n 1)(12)(13 )QO (14)、'n(15 )QO二2 sin詰;(16)n=1QOzn=1n cos2罟2n解: 因为(n 1)(n 2)1 ,:::而v 收敛,n nm n由比较判别法知级数□OZn=1收敛.(n 1)( n 2)(2) 因为n m U n lim J —=1工0，故原级数发散•i「n • 1(3) 因为n 2n(n 1) (4)因为n>---n(n 1) n 11发散，由比较判别法知，级数打丄2发散. n Tn(n +1)1.n (n25)001，而心.n(n25)3是收敛的p一级数(p 1),由比较判别法2知,级数…-------- 收敛./(n 2 +5)(5)因为 lim n —产：1 1 a二 lim n —产：1• a n艸11 a n而当a 1时, 当a =1时, n4 1 a^ — = 1发散，故'、当0 : a ：：1时lim 」 n—-T a n1= 1=0，故lim ——-发散；综上所述，当 0 ::: a < 1 时,级数 1 1 lim 发散，当a 1时，lim 收敛.n :-1 a nn .；：1• a n(6)因为而当b ・1时, 当b =1时, a b n lim n — 1 =lim b n n —a b n a b n b n 二丄收敛,n^b n J收敛； n nv a b n =x' 1发散，故而由a - 0, 当。

”1 时，n ma ^n nd a ■b n发散;综上所述知，当0：：：b^1时，级数、发散;当b>1时,级数收敛.(7)因为惨 n 2 a -n 2-a2an-lim . 一n 八-n 2a - n 2 _ a- a)(a 0)发散.(8)因为n 4 n 3冋吟J im：2宀11而V 4收敛，故级数7 n^1n::3n、、丄发散.nn 土 n 2—发散. n £ n!r 2n 3 2 彳=lim 1, n¥3n +43由达朗贝尔比值判别法知原级数收敛.2(x 1) 22x 12ln 2U *(n +1)2二x 叭尹訐？二0知n 叫吉=n叫歹■ o 1□0由达朗贝尔比值判别法知，级数Vn =1nm 昇收敛. (9)因为 3n 1限亍 n ^(^1).2° +n 2n3nlim j 201) 23-.1由达朗贝尔比值判别法知，级数 (10)因为 lim 皿nU nn 1= lim^- n；： (n 1)!1lim(1 )n =e • 1，由达朗贝尔比值判别法知, n—F ： n(11)因为 lim 虹n厂U n俯匹(2n山2"3) n7 10 ||( (3n 1) (3n 4) 4 7 10 川(3n 1)3 5 7(2n 1)(12)因为 limU nU n-J 3n 13n由达朗贝尔比值判别法知，级数::n、3收 n =1 3(13)因为 lim 仏 nU n=lim n y-[(n 1)!]22n 2(n 1)2=lim (n!)2 n ；： 2(n 1)22n 1 1 2x 1鸾收釦2n(14)因为 n im ：n U>n im ：2n=-<1，由柯西根值判别法知级数、2 n# 2n 1收敛.n n2 sin 「(15)因为 limF 2nn 3nnsin 「 =lim — =1 n —n 3n二 2nn -一n仍收敛，由比较判别3nn 43匚］n法的极限形式知，级数 2nsin -n 收敛.n 432 n nn cos —3n（16）因为 ---------------- n —n 而与（12）题类似地可证级数n n:-ncos —— Zn 4试在（0, +8内讨论x 在什么区间取值时，下列级数收敛:QO⑵、n 3n =1由达朗贝尔比值判别法知，当 X 1时, 当0 ：：：x ：：：1时，原级数收敛；oO解: （1）因为 IIxn 1U n 1 xlim limn _‘ U n nn 1= lim 坐 x nn 1而当X =1时,原级数变为调，它是发散的.n 三n综上所述，当 7 n0 . x ：1时，级数V —收敛.nmn（2）因为..U lim n —「’ Unx x2由达朗贝尔比值判别法知，当-1即x 2时，原级数发散；1即0 x 2时，原级收敛.而当 x厂1即"2时，原级数变为'3n n =1，而由QO=•：：知n 3发散，综上所述，当0 ：：： x ：：：2n =1n是收敛的等比级数，它的每项乘以常数二后新得级数7n'、、• -n 收敛，由比较判别法知级数收敛.2n 原级数发散；v n 3（x ）n收敛.n 丘 2习题 1.判定下列级数是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛:时，级数 9-3□a A:』(Fn4M)n <2nsin nxZ 2 nJ n= (—1)n1n 41 . nsin ; n n noOzn -1102n 1(-1)nn= n xJ.:sin(2nx)n !解: (1) 这是一个交错级数2n -1,limU n=0,n jj 2n -12n -1 2n 1 由莱布尼茨判别法知 COA、(-1)nn=12n -1又E (-1) 2n -1 n a 2n -1，由 limn y -2n —1 J (-$ n =1 1—条件收敛• 2n -1 (2)因为 (-1)22(_1)2 2n：=3 ------- 故2n (—1)n』愛'故而收敛，故亦收敛，由比较判别法知 n 吕 2 n £ 2 对收敛• (3)因为 sin nx n 2 绝对收敛• (4)因为而'丄收敛, 绝对收敛• ,及:丄发散，知级数oO z (-1)n2 (1)2 2n < 2 ,而级数 '」&收敛，由比较判别法知、- n一收敛, sin nx n 2 |(-1)n1 lim ------ n •；： ^sin -1 m n ・ n sin— n n =1 由比较判别法的极限形式知，级数a | ( T)n 1(5)因为2n1022丄1n oazn =1 2 n-1发散，所以级数所以级数心(-1严2n Q Q ” 收敛，因此，级数7 sinnx nT n 2■^sin J 收敛，从而级数(-1)时1n n n.n sin m n,而级数 +收敛的等比级数(q 』)；由比值 n#2n2•:二 1/ 1 1 I判别法，易知级数躺收敛，因而7 二 1门收敛，由比较判别法知级数、110 - n4 2 10 -n =1n =1n 2n 12 10 一Q Q敛，所以原级数7 2n 102n J 绝对收敛. (6)当x 为负整数时，级数显然无意义；当 x 不为负整数时，此交错级数满足莱布尼茨判别法的条件，故它是收敛的，但因 a '—发散，故原级数当X 不为负整数时仅为条件收敛(7)因为sin(2n x)n!1< —n!由比值判别法知 1—收敛(T lim (n 1)! n - n!= 0),从而由比较判别法知□a z n -1n !sin(2n x)n !收敛，所以级数fsinm ，绝对收敛. n! 讨论级数V (-1) nz ! n二丄的收敛性 n p(p > 0).解: 当p 1时，由于n p二丄 nm np-收敛，故级数1 (_1)n」 1p 绝对收敛.n=1当0 ::： p 乞1时，由于U n p (n 1)p 二 U n 1,lim u n = 0，由莱布尼茨判别法知交错级数 n .匚 °° 1V (_1严 1 n A n p 收敛，然而，当0 ：：： p 空1时, 二(T) n -1 1 n p 二 1 nd n p p 发散，故此时，级数(-1) n -1 1n p 条件收敛. 综上所述，当0 ：：： p 冬1时，原级数条件收敛 ;当p>1时，原级数绝对收敛• CO QO v/ 2 2 3 v .设级数7 a n 及 b n 都收敛，证明级数 oO QO7 anbn 及一 i.an • bn 2也都收敛.n=1证：因为 0 习a n b n | J anl |bn|i b n 2QO及V b n2都收敛,□O CO . 故 V 2a n 2? ^b n 2 收敛, n 3 2 nm 2 00(11从而a 2a n 2-b n 2收敛，由正项级 122丿数的比较判别法知 Z a n b n 也收敛，从而级数送a n b n 绝对收敛•又由敛区间为nx 1当X = 2时，级数V ------ =7 —2是收敛的P 一级数(P=2>1 )；n 22Q Q Q QcQ(a n b n )^a n 2- 2a n b n b n 2,及，a.^^b n 2,以及7 a n b n 收敛，利用数项级数的基本性质知，(a n 2 - 2a n b n - b n 2)收剑，亦即 n 1od、(a n n 4-bj 2收敛.习题9-4指出下列幕级数的收敛区间: (1) co n v . x (0!=1)； n O n! n!n⑵ n x ；n 」n x n"R ; :: x 2n 1f (x 2)nn 卫 2n n ，解: 因为p = limn -^c=lim n厂n 1an 1 a nn、—(x-1)n• n =0 n—=0，所以收敛半径r ::,幕级数打—的收心n!2(2)因为 p = lim n —sc an 1a n二 lim -- n .；： n= lim 1 1n •；： 11=e ，所以收敛半径re . Pod !当x=e 时，级数v 牛x nn=0 n-e n ，此时U n 1n mne_Un (1」)nn1，因为(1)n是单调递增数列，且n(1 • l)n<e 所以U n 1n U n >1,从而呻宀，于是级数当X =e时，原级数发散.类似地，可证当x=-e 时，原级数也发散(可证lim | u n F 0),综上所述,::n !Z +x n的收敛区间为 n=0 n(-e,e).= lim 1(丄)2 n；：2 n 1=1,所以收敛半径为r=2 2 ⑶因为pJ im：nnn=0oO x n悶 1当x=-2时，级数a 「二P （-1）" 1是交错级数，它满足莱布尼茨判别法的条件，故它收敛 n z Q 2 n n m n旳x n综上所述，级数v 〒—的收敛区间为[-2,2].y 2 n（4）此级数缺少偶次幕的项，不能直接运用定理间•条件，故它们都收敛•（5）此级数为（x+2 ）的幕级数.1所以收敛半径r2，即|x 2| <2时，也即-4 . x 0时级数绝对收敛•当|x 2| 2即x ：：： -4 P或x 0时，原级数发散•旳1当x =-4时，级数变为 a （-1）n 1是收敛的交错级数，n=0 n001当x=0时，级数变为调和级数,它是发散的•nm n综上所述，原级数的收敛区间为 [-4,0）. （6）此级数（x-1 ）的幕级数1故收敛半径r.2113于是当|x -1|即x 时，原级数绝对收敛 22 2 11 32求收敛半径, 改用达朗贝尔比值判别法求收敛区令山=(-1) n=，则 liml2n 1 n -::un 1U n2n 3x 2 二 x 2.当x 2：：：1 时, 即| X | ：：： 1时，原级数绝对收敛•当x 21时, cd即|x| .1时，级数\ju n |发散，从而n =0O0"”12n 1x--- 发散，当x = 1时，级数变为;当X 1时,1级数变为：#1）n1h；它们都是交错级数，且满足莱布尼茨判别法的Q Q综上所述，级数 J （-1）nz 2n+12n 1—的收敛区间为卜1,1].因为p = limn —SCai 1a n-俚2 (n +1)1_2当| x T| 即x 或x 时，原级数发散2 2 23:: 1当x 时，原级数变为是调和级数，发散2n 1 :: 1 当x时，原级数变为7 (-1)n，是收敛的交错级数2n 二n综上所述，原级数的收敛区间为求下列幕级数的和函数:X所以 g(x)二一 o In(1 -x)dx 二 x In(1 - x) - xln(1 _x)；(1) conM)n-； n 生n、2nx 2n，；n 4COA- I nx ；空 n(n 1) CO、(2n1)x n.n =0解: (1 )可求得所给幕级数的收敛半径旳x n设 S(x)八(-1)n，则S(x)W |^1)n —1n» n一八(-1)n x nJ—n 吕1 x又当 x=1时，原级数收敛，且 S(x)在x=1处连续.CO(2)所给级数的收敛半经r=1，设S(x)=v 2nx 2nJ,当|x|：：：1时，有n¥于是 (x 2s(x F 丿2x€ (1-x )又当X = 1时，原级数发散故 Z 2nx 2n」=—2x> 2(| x|c1)n 壬(1 - X )(3) 可求所给级数的收敛半径为1.QO令s(x)八.nn 1x 1、• X(X =0) nm n(n 1) x nd n(n 1)□0令g(x)八n#n 1xn(n 1)QO则g (x)八n =1n -4x1 1 -所以 S(x) =1 1 In (1 -x),| x|：：：1,且 x=0. l x 丿当x _1时，级数为'、• CO d CO A—和' (-1)n1 n2 n(n 1) ，它们都收敛•且显然有S(0)=0.n(n 1) 1 1 -1 In (1 —x) X (-1,0)-. (0,1) x =0,x_1(4 )可求得所给级数的收敛半径为r=1且x_1时，级数发散，设S(x)八， n =0nx n」,则0 s(x)dx 二 \ x n 卫 1-X 1 1 S(x)y 口，即 J nx nJ(1) 解: (1-x)2'所以'(2n 1)x n =2x' nx n_ln =0QOx nn £求下列级数的和: ::2 、、、' n ， n ± 5 ::2n -1(1)考察幕级数 odz oOn^(2n -1)2n'⑷二n(n 1)n d 2n，可求得其收敛半径 r =1 ，且当X —1时，级数的通项U n 2n miu n —n mn八：，因而 lim 山=0 ,故当x _1时, n —,> - oOoo级数v n 2x n发散，故幕级数v2 n二 n x的收敛区间为(-1, 1). 设 S(x) = n 2x n (| x p ：： 1),则 S(x) = x t n 2x n *oO2 n 4令S (x)八n xn=1x/ .0 S(x)dx 二 ' nxn=1oOn -1=x nx再令£(x)八nx nT,则 J 0 S 2(x)dx =送1 -xCO ACOI2n 二 c \ 丁2n_2x ，则 3 (x) = ' xQO*n -厂…n 生(2 n -1)22 y 2 1「2(3)考察幕级数(2n -1)x 2nJ，可求得其级数半经为r=1,因为--x■ ■令 S(x)二 ' 2nx 2n4，则 p 0(x)dx 八 x2n取X J ，得2(4)考察幕级数a n(n 1)x n，可求得其收敛半径r=1故 S 2(x) x1_x (1_x)2(|x|")，从而有"g2・(1-x)S(x) =xS i (x)=x x 2(1-X)3Q Q(2)考察幕级数1 1 2() 5 531」 515321—x 2n，可求得收敛半径r=1，设1 1 +x S 1(x)V(0)寸石(s,(0) ")• 1 .八s(xr 尹仁,(沪)，从而1-x 2■x 21 -x 2■所以S 1(x)二2x1 -x 2(1-x 2)21(1)3j2n-1 2 '2)_102n, 2心1 2匕)(i ) 解: oO设 S(x)八 n(n 1)x n(| x|：：：1)n 4x::::则［0S(x)dx=^ nx n书=x?送 n x nA.n 2n^oO又设S/x)八nxn i从而S i (x)n」则 x0Sdx)dxV一 n 一、xn 41 -x1 _x1= (1-x)2习题9-5将下列函数展开成 x 的幕级数:2 xcos ； 2x sin —;⑶2A 2n⑸ cos(x ).(1) 2 xcos 一21 cosx1 1 ::x 2n(2n)!.xsin 2 八(-1)nnW1 x(2n +1)!迈丿2n 1（-二：:：X ；：「：）(3) 2 -xxe 二 x'」(n £ n! oO2、nn-x ) (-1) n=S 12n 1x (_：-：： X ： -)n! 1 1 -x 21丄•丄 2 |H -x 1 x (5) cos n 二 cos x cos- 4 nsin xsin 4 2 .将下列函数在指定点处展开成幕级数，并求其收敛区间: 1 (1) ,在 X 0—1；3 - x 1 ⑶ 2 ,在 X 0-1；x 4x 3解: (1 1)因为1 二 --* 13-x 21-X-12,而 (2) cosx,在 x 0=—；3， 1 (4) 2，在 x o =3. xx -1(| D 卜：1 即-V x 3).2收敛区间为：（-1, 3）nn In2n2(2) cosx=cos (x ) =cos-cos(x )—sin sin(x ) [3333 3 3收敛区间为(Y , •二).1 1 1 11 1 1 1(3)( --- — ---- )-X 2+4X +3 2 1+X 3 + X 4[+口 8 忙_1~4~ 由|x? 1 且|x —1| v.1得一1 v x c3，故收敛区间为(-1, 3)故收敛区间为（0, 6）所以1 M fx-1 Y 腭(X-1)nn~12 n 卫.2 律 2n1（―1 ：：x ：：3）.（4）因为 1 1 1——— -- ---------x 3 1 . _x -33A O0（宁二 _ ' (-[)_n =0(x - 3)n由::1 得0 ：：。