北师大版八年级数学上同步练习7.5三角形内角和定理(含答案解析)
7.5 三角形的内角和(第二课时) 精品同步练习
7.5三角形的内角和（2）姓名________ 班级_________成绩_______ 1．n边形的内角和等于__________．2．你会用设计哪些方案求n边形的内角和？列举其中一种加以说明．3．（1）下列各角不是多边形的内角的是（）．（Ａ）1800（B）5400（C）19000 （D）10800（2）如果一个四边形的一组对角都是直角，那么另一组对角可以（）．（Ａ）都是锐角（B）都是钝角（C）是一个锐角和一个直角（D）是一个锐角和一个钝角（3）如果一个多边形的边数增加1，则它的内角和将（）．（Ａ）增加90°（B）增加180°（C）增加360°（D）不变（4）多边形内角和增加360°，则它的边数（）．（Ａ）增加1 （B）增加2 （C）增加3 （D）不变4．（1）五边形的内角和是__________，六边形的内角和是_________；（2）一个十边形所有内角都相等，它的每一个内角等于；（3）一个多边形的内角和是是2340°，则它的边数等于．5．五边形ABCDE的内角都相等，且∠1＝∠2，∠3＝∠4．求∠CAD的度数．6．如图，在四边形ABCD中，∠1=∠2，∠3=∠4，且∠D+∠C=220°，求∠AOB的度数．7．如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4的度数．4321ODCB A第6题图CE第5题图第7题图8．如果四边形有一个角是直角，另外三个角的度数比是2：3：4，那么这三个内角的度数分别是多少？9、小强把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在BCDE 内部时，他发现2∠A ＝∠1+∠2，你能帮他解释其中的原因吗？【数学阅读】当数学家的15个原因1、从楼上砸下一个西瓜，会有九个经理被砸着，而一个数学家都不会有。
2、当利息或税率调整时，数学家是算的最清楚的一个。
3、数学这个职业是投资回报率最高的职业之一。
只需要投入一枝笔加几张纸。
4、数学家永远不会象发明家那样被专利困扰，他不怕有假冒伪劣产品出现。
北师大版八年级数学上册7.5三角形内角和定理(第1课时)教学设计
1.教师引导学生回顾已学的三角形知识，如三角形的定义、分类等。
2.教师以直观的方式，通过动态课件或实物演示，让学生观察并发现三角形内角和等于180°的现象。
3.教师给出三角形内角和定理的表述，并对定理进行讲解，强调“任意三角形内角和都等于180°”。
4.教师通过具体的例子，如等边三角形、等腰三角形等，说明三角形内角和定理的适用范围。
3.教学评价：
（1）关注学生在课堂上的表现，评价他们的参与度、合作能力和解决问题的能力；
（2）通过课后作业和小测验，了解学生对三角形内角和定理的掌握情况；
（3）开展小组评价，让学生相互评价，提高他们的自我认知和团队协作能力。
4.教学反思：
教师在教学过程中要关注学生的反馈，及时调整教学策略，以提高教学效果。同时，教师要注重自身教学能力的提升，不断学习新的教学理念和方法，为学生提供更优质的教育。
1.培养学生的探究精神，鼓励学生主动发现问题、解决问题；
2.增强学生对数学美的感受，体会数学在生活中的应用价值；
3.培养学生严谨的学习态度，养成良好的学习习惯；
4.激发学生的爱国情怀，通过学习我国数学家的贡献，增强民族自豪感。
在教学过程中，教师要关注学生的个体差异，因材施教，使每个学生都能在原有基础上得到提高，实现全面发展。同时，注重启发式教学，引导学生主动思考、探索，使学生在轻松愉快的氛围中学习数学。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教师出示一块三角形的纸板，引导学生观察三角形，并提出问题：“同学们，你们知道三角形的内角和是多少度吗？如何证明三角形的内角和是180°呢？”
2.学生自由发表观点，教师收集不同的解题思路，为后续教学做好铺垫。
3.教师通过多媒体展示生活中含有三角形的实物图片，如房屋屋顶、三角形标志等，让学生感受三角形在生活中的广泛应用，从而引出本节课的学习内容：三角形内角和定理。
初中数学北师大版八年级上册三角形内角和定理的证明
4.在△ABC中, ∠A=40°，∠A=2∠B，则∠C＝_1_2_0_0 5.在△ABC中，已知∠A=80°，能否知∠B，∠C的度数？ 不能
应用新知
例1 如图，在△ABC中，∠B=38°,∠C=62°， A AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
B
D
C当Leabharlann 达标B组（必做）1.三角形中三角之比为1∶2∶3，则最大角的度数是多少度？
北师大版义务教育教科书八年级数学（上） 7.5 三角形内角和定理
牛顿曾说：没有大胆的猜想，就没有伟大的发现！
情境导入 三角形家族的官司风波
数
有一天图形王国里有一些三角形在一起聚会，可是他们因为
学
内角和的问题吵了起来。一个钝角三角形说：“我的钝角比你们
国
的角都大，所以我的内角和也最大。”一个锐角三角形说：“我 的个子比你大，我是大三角形，你是小三角形，所以我的内角和 肯定比你大。”一个直角三角形说：“不能只看一个钝角大就说
2.已知：△ABC中，∠C=∠B=2∠A.求∠B的度数？ 3.已知:如图，在△ABC中，∠A=60°，∠C=70°
点D、E分別在AB和AC上，且DE∥BC.
求证:∠ADE=50°.
C组（选做）
1.已知,如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB
(1)∠A=60°，则∠D =_____ (2)∠D=100°，则∠A=______ (3)你能写出∠A与∠F之间的关系吗？
2 1
B
A
D
4 3
C
总结反思 学 而 不 思 则 罔
回
头 对自己说:你有什么收获
一
看 ，
对老师说:你有什么疑惑
我 想
对同学说:你有什么启发
7.5.1 三角形内角和定理八年级上册数学北师大版
E
F
∴∠A+∠B+∠C=180°.
B
D
C
思考
多种方法证明的核心是什么？
A
l
l
1
4
2
35
B
B
A
1
2 4 56
P
m
3
C
借助平行线的“移角”的功能， 将三个角转化成一个平角.
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线 叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
总结 为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角 等，这种转化思想是数学中的常用方法.
7.5.1 三角形内角和定理
知识回顾
性质定理
平
行
线
的
性
质
命题证
明步骤
两直线平行，同位角相等 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补
根据题意画出图形 根据题意写出已知及求证 写出证明过程
学习目标
1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内 角和等于180°. 2.应用三角形内角和定理解决相关问题.
课堂小结
三角形内 角和定理 的证明
内容
三角形的内角 和等于180°
证明
借助平行线将三个 内角拼成一个平角
角“凑”到A处，他过点A作直线PQ∥BC(如图)，
他的想法可以吗?
A
P
Q
B
C
证明：如图，过点A作PQ∥BC，则
∠1=∠B( 两直线平行,内错角相等 ),
P
∠2=∠C( 两直线平行,内错角相等 ),
∵∠1+∠2+∠3=180° ( 平角的定义 ), ∴ ∠BAC+∠B+∠C=180° ( 等量代换 ).
数学北师大版八年级上册 第七章 平行线的证明《三角形内角和定理》一等奖创新教案第2课时(含答案)
数学北师大版八年级上册第七章平行线的证明《三角形内角和定理》一等奖创新教案第2课时（含答案）第七章平行线的证明7.5 三角形内角和定理第2 课时一、教学目标1．掌握三角形内角和定理的两个推理，并能运用这些定理解决简单的问题．2．经历探索与证明的过程，进一步发展推理能力．3．在一题多解、一题多变中，积累解决几何问题的经验，提升解决问题的能力．二、教学重点及难点重点：了解并掌握三角形的外角的定义．难点：掌握三角形内角和定理的两个推论，利用这两个推论进行简单的证明和计算．三、教学用具多媒体课件，三角板、直尺。
四、相关资源《三角形外角》动画，《三角形其他外角》动画．五、教学过程【新知导入】△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC的外角.请试着画出△ABC的其他外角.设计意图：外角概念探究意义不大，所以直接明晰这一概念，通过在图中标注其他外角，深化学生对外角概念的理解，同时，在图中标注其他外角的过程也为发现有关外角的结论做了铺垫.【合作探究】图中，∠ACD与其他角有什么关系？请证明你的结论.通过学生讨论，发现：定理三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.定理三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.已知：△ABC.求证：∠ACD=∠A+∠B，∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B.证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形内角和定理），∴∠A+∠B=180°－∠ACB（等式的性质），∵∠ACD+∠ACB=180°（平角的定义）∴∠ACD=180°－∠ACB（等式的性质）∴∠ACD=∠A+∠B（等量代换）∴∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B.在这里，我们通过三角形的内角和定理直接推导出两个新定理.像这样，由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫做这个基本事实或定理的推论.推论可以当做定理使用.设计意图：希望发现有关外角的两个定理.可以对学生进行适当的引导，关系既可以是不等关系，也可以是等量关系.【典例精析】例1 已知，如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC．求证：AD∥BC分析：要证明AD∥BC,只需证明“同位角相等”或“内错角相等”或“同旁内角互补”.证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∠B=∠C（已知）∴∠B=∠EAC（等式的性质）∵AD平分∠EAC（已知）∴∠DAE=∠EAC（角平分线的定义）∴∠DAE=∠B（等量代换）∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）想一想，还有没有其他的证明方法呢？这个题还可以用“内错角相等，两直线平行”来证.证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∠B=∠C（已知）∴∠C=∠EAC（等式的性质）∵AD平分∠EAC（已知）∴∠DAC=∠EAC（角平分线的定义）∴∠DAC=∠C（等量代换）∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）还可以用“同旁内角互补，两直线平行”来证.证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∠B=∠C（已知）∴∠C=∠EAC（等式的性质）∵AD平分∠EAC（已知）∴∠DAC=∠EAC∴∠DAC=∠C（等量代换）∵∠B+∠BAC+∠C=180°∴∠B+∠BAC+∠DAC=180°即：∠B+∠DAB=180°∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）设计意图：例题的图形较复杂，可以给出分析过程，鼓励学生先自行解决，同时对有困难的学生给予必要的指导.“想一想”关注解决问题方法的多样化，通过多种解法，开拓学生思维.例2 如图，P是△ABC内的一点，求证：∠BPC＞∠A.解析：由题意无法直接得出∠BPC＞∠A，延长BP交AC于D，就能得到∠BPC＞∠PDC，∠PDC＞∠A.即可得证．证明：延长BP,交AC于D，∵∠BPC是△PDC的外角(外角定义)，∴∠BPC＞∠PDC(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)．∵∠PDC是△ABD的外角(外角定义)，∴∠PDC＞∠A(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)．∴∠BPC＞∠A.方法总结：利用推论2证明角的大小时，两个角应是同一个三角形的内角和外角．若不是，就需借助中间量转化求证．设计意图：让学生复习“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”，同时体会某些不等关系的递推和论证过程.鼓励学生寻求多种解法，如还可以连接AP，并延长AP交BC于点D ,这时∠BPC 和∠A分别被分成了两个小角，用“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”可以证明.【课堂练习】1.判断下列命题的对错.（1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和. （）×（2）三角形的外角和等于它的内角和的2倍. （）√（3）三角形的一个外角等于两个内角的和. （）×（4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（）√（5）三角形的一个外角大于任何一个内角. （）×（6）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（）√2.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是( )CA.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.无法确定3.如图所示,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE等于( )BA.120°B.115°C.110°D.105°4.如图，AB//CD，∠A＝37°, ∠C＝63°，那么∠F等于（）A.26°B.63°C.37°D.60°5.如图，如果∠1＝100°，∠2＝145°，那么∠3等于( )A．110°B．160°C．137°D．115°解析：方法总结：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，而不是等于任意两个内角的和．6.如图，求证：（1）∠BDC>∠A.（2）∠BDC=∠B+∠C+∠A.证法一：（1）连接AD，并延长AD，如图，则∠1是△ABD的一个外角，∠2是△ACD的一个外角.∴∠1>∠3.∠2>∠4（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）∴∠1+∠2>∠3+∠4（不等式的性质）即：∠BDC>∠BAC.（2）连结AD，并延长AD，如图.则∠1是△ABD的一个外角，∠2是△ACD的一个外角.∴∠1=∠3+∠B∠2=∠4+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∴∠1+∠2=∠3+∠4+∠B+∠C（等式的性质）即：∠BDC=∠B+∠C+∠BAC证法二：（1）延长BD交AC于E（或延长CD交AB于E），如图.则∠BDC是△CDE的一个外角.∴∠BDC>∠DEC.（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）∵∠DEC是△ABE的一个外角（已作）∴∠DEC>∠A（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）∴∠BDC>∠A（不等式的性质）（2）延长BD交AC于E，则∠BDC是△DCE的一个外角.∴∠BDC=∠C+∠DEC（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠DEC是△ABE的一个外角∴∠DEC=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∴∠BDC=∠B+∠C+∠BAC（等量代换）设计意图：巩固三角形外角定理.六、课堂小结今天这节课你学到了什么知识？1．外角2．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和3．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角设计意图：通过对三角形外角及性质的学习，使学生的认识有进一步的升华，再一次体会证明格式的严谨，体会到数学的严密性．七、板书设计7.5 三角形内角和定理（2）1．外角2．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和3．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
八年级数学上册 第七章 平行线的证明三角形内角和定理作业设计 北师大版
5 三角形内角和定理一、选择题1. 在△ABC中，∠A＝75°，∠B－∠C＝15°，则∠C的度数为（）A. 30°B. 45°C. 50°D. 10°2. 在△ABC中，如果∠A=∠B=4∠C，那么∠C的度数是（）A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°3. 下列说法错误的是（）A. 一个三角形中至少有一个角不大于60°B. 锐角三角形中任意两个角的和小于直角C. 一个三角形中至多有一个角是钝角D. 一个三角形中至多有一个角是直角4. 下列叙述中正确的是（）A. 三角形的外角等于两个内角的和B. 三角形的外角大于内角C. 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和D. 三角形每一个内角都只有一个外角5. 如果三角形三个外角的度数比为2∶3∶4，则与之对应的三个内角的度数比为（）A. 4∶3∶2B. 3∶2∶4C. 5∶3∶1D. 3∶1∶56. 三角形的一个外角，不大于和它相邻的内角，这个三角形一定是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 非锐角三角形7. 等腰三角形的一个外角为110°，它的底角为（）A. 55°B. 70°C. 55°或70°D. 以上答案都不对8. 在△ABC中，∠A＝36°，∠C是直角，则∠B＝________.9. 在△ABC中（1）∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶2，则此三角形是______ 三角形；（2）∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，则此三角形是______ 三角形；（3）∠A＝2∠B＝3∠C，则此三角形是______ 三角形；（4）∠A＝∠B＝∠C，则此三角形是______ 三角形；（5）∠A－∠B＝∠C，则此三角形是______ 三角形.10. 如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，则∠DBC＝_______.11. 如图，已知DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠ACB=50°，那么∠EDC=_____________°．12. 如图，在四边形ABCD中，∠ B=70°，∠ C=50°，在顶点D的一个外角为80°，则顶点A的一个外角α=__________.13. 如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝________°．14. 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠ACD=40°,则∠EBC=______．15. 一个承重架的结构如图所示，如果∠1＝155°，那么∠2＝_________°16. 已知∠ABC，∠ACB的平分线交于I.（1）根据下列条件分别求出∠BIC的度数：①∠ABC＝70°，∠ACB＝50°；②∠ACB＋∠ABC＝120°；③∠A＝90°；④∠A＝n°.（2）你能发现∠BIC与∠A的关系吗？17. 如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，AD，BE相交于F，求证：∠C+∠1+∠2+∠3=180°.答案一、选择题1. 【答案】B【解析】∵∠A+∠B+∠C＝180o(三角形内角和为180 o),且∠A=75°，∠B=50°，∴∠C＝180o－（∠A+∠B）＝180 o－（75°+50°）＝55°，故选D.2. 【答案】B【解析】设∠C =k°，则三个内角的度数分别为4k°，4k°，k°，根据三角形内角和定理，可知4k°+4k°+k°=180°，得k°=20°，即∠C的度数是20°．故选B．3. 【答案】B【解析】如果锐角三角形中任意两个角的和小于直角，那么不符合三角形内角和定理．故选B．4. 【答案】C【解析】A、三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，故本选项错误；B、三角形的外角大于和它不相邻的一个内角，故本选项错误．C、符合三角形外角的性质，故本选项正确；D、三角形每一个内角都有两个外角，故本选项错误.故选C．5. 【答案】C【解析】∵三角形三个外角的度数之比为2：3:4，而这三个外角的和为360°，∴这三个外角分别为：80°、120°、160°，∴与这三个外角相邻的内角度数分别为：100°、60°、20°，∴对应的三个内角的度数之比为：100:60:20=5:3:1.故选C.6. 【答案】D【解析】因为三角形的一个外角与它相邻的内角和为180°，而题中说这个外角大于它相邻的内角，所以可知与它相邻的这个内角是一个大于或等于90°的角，则这个三角形就是一个钝角三角形或直角三角形.故选D.7. 【答案】C【解析】因为等腰三角形的一个外角为110°，所以相邻的内角为180°-110°=70°，分两种情况讨论：（1）当此角是底角时，则它的底角为70°；（2）当此角为顶角时，则底角为（180°-70°）÷2=55°∴综上可知，底角为55°和70°．故选C．考点：1.等腰三角形的性质；2.三角形内角和定理；3.三角形的外角性质．8.【答案】54°【解析】根据直角三角形的两个锐角互余得：∠B=90°-∠A=90°-36°=54°．9. 【答案】 (1). 等腰直角； (2). 直角； (3). 钝角； (4). 直角； (5). 直角；【解析】（1）∠A：∠B：∠C=1：1：2，则∠A=∠B，且∠C=90°．则此三角形是等腰直角三角形；（2）∠A：∠B：∠C=2：3：5，设∠A=2x．则2x+3x+5x=180°，解得x=18°．则5x=5×18=90°，则此三角形是直角三角形；（3）∠A=2∠B=3∠C，同（2）求解，解得∠A＞90°，则此三角形是钝角三角形；（4）∠A=∠B=∠C，同（2）求解，解得∠C=90°，则此三角形是直角三角形；（5）∠A-∠B=∠C，同（2）求解，解得∠A=90°，则此三角形是直角三角形．10.【答案】18°【解析】设∠A=x，则∠C=∠ABC=2x．根据三角形内为180°知，∠C+∠ABC+∠A=180°，即2x+2x+x=180°，所以x=36°，∠C=2x=72°．在直角三角形BDC中，∠DBC=90°-∠C=90°-72°=18°．考点：三角形内角和定理．11.【答案】25【解析】∵DE∥BC，∴∠EDC=∠DCB，∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ECD=∠DCB，∴∠EDC=∠ECD，∵∠ACB=50°，∴∠EDC=∠ECD=25°．12.【答案】40°【解析】如图，∵∠B=70°，∠C=50°，∴∠E=180°-∠B-∠C=180°-70°-50°=60°，∴∠α=180°-60°-100°=20°．13.【答案】280【解析】根据三角形内角和定理，可得：∠1+∠2=180°-40°=140°，∠3+∠4=180°-40°=140°，则∠1+∠2 +∠3+∠4=140°+140°=280°.故答案为：280.14. 【答案】140°【解析】∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∴∠ABC=∠ACD=90°﹣∠BCD=40°，∴∠EBC=180°﹣∠ABC=140°．故答案为：140．15.【答案】65【解析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和解答．∵∠1=155°，∠2+90°=∠1，∴∠2=155°-90°=65°．16.【答案】（1）①∠BIC=120°；②∠BIC=120°；③∠BIC=135°；④∠BIC=90°+n°.（2）∠BIC=90°+∠A.【解析】（1）①已知∠ABC，∠ACB，由内角和定理求∠BAC，再根据角平分线性质求∠IBC+∠ICB，在△IBC中，由内角和定理求∠BIC的度数；②已知∠ABC+∠ACB，由内角和定理求∠BAC，再根据角平分线性质求∠IBC+∠ICB，在△IBC中，由内角和定理求∠BIC的度数；③已知∠A，由内角和定理求∠ABC+∠ACB，再根据角平分线性质求∠IBC+∠ICB，在△IBC中，由内角和定理求∠BIC的度数；④已知∠A，由内角和定理求∠ABC+∠ACB，再根据角平分线性质求∠IBC+∠ICB，在△IBC中，由内角和定理求∠BIC的度数；（2）∠BIC的大小不发生变化．可由角平分线的性质及三角形内角和定理求出∠BIC=90°+∠A．解：（1）①∵在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=50°，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=60°，∵BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠IBC=∠ABC=35°，∠ICB=∠ACB=25°，∴∠BIC=180°-∠IBC-∠ICB=120°；②∵在△ABC中，∠ABC+∠ACB=120°，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=60°，∵BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB，∴∠BIC=180°-∠IBC-∠ICB=120°；③∵∠A=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，∵BD、CE分别是∠ABC、∠A CB的平分线，∴∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB，∴∠BIC=180°-∠IBC-∠ICB=135°；④∵∠A=n°，∴∠ABC+∠ACB=180°-n°，∵BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB，∴∠BIC=180°-∠IBC-∠ICB=90°+n°；（2）∠BIC的大小不发生变化．∵BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB，∴∠BIC=180°-∠IBC-∠ICB=180°-（∠ABC+∠ACB），=180°-（180°-∠A），=90°+∠A，17.【答案】证明见解析.【解析】根据三角形外角的性质推出∠2=∠FAB+∠FBA，根据三角形内角和定理，即可推出∠C+∠1+∠2+∠3=∠C+∠1+∠FAB+∠FBA+∠3=∠C+∠CAB+∠ABC=180°．证明：∵∠ADB是△ADC的外角∴∠ADB＝∠3+∠C∵∠1+∠2+∠ADB=180°∴∠1+∠2+∠3+∠C=180°。
新版北师大版八年级上册数学全册同步练习(绝对全面)
新版北师大版八年级上册数学全册同步练习(绝对全面)前言数学是一门基础学科，也是一个人终身受用的学科。
在学习数学的过程中，需要不断地进行练习才能够把数学知识掌握得更为牢固。
本文将介绍北师大版八年级上册数学全册的同步练习，帮助学生巩固数学基础，提高数学水平。
练习内容北师大版八年级上册数学全册包含了以下内容：1.实数的认识与运算2.一次函数及其图像3.二次函数及其图像4.三角形及其性质5.圆的认识与性质6.空间几何体的认识7.数据的处理本文将根据上述内容分别介绍每个部分的同步练习内容。
实数的认识与运算对于实数的认识与运算，同步练习主要包括以下内容：1.实数的分类2.整数、有理数和无理数的概念及其表示3.实数运算的基本性质4.实数的绝对值及其性质5.平方数的性质及其应用6.二次根式的概念及其应用一次函数及其图像对于一次函数及其图像，同步练习主要包括以下内容：1.线性函数及其图像2.线性函数的斜率及其性质3.一次函数的应用二次函数及其图像对于二次函数及其图像，同步练习主要包括以下内容：1.二次函数及其图像2.二次函数的性质及其应用三角形及其性质对于三角形及其性质，同步练习主要包括以下内容：1.三角形的分类及其性质2.三角形的内角和及其性质3.三角形的外角和及其性质4.三角形的相似和全等性质及其证明5.三角形的勾股定理及其应用圆的认识与性质对于圆的认识与性质，同步练习主要包括以下内容：1.圆的概念及其性质2.圆的弧、圆心角、周角和弦及其关系3.圆的切线和割线及其性质4.圆的面积及其应用空间几何体的认识对于空间几何体的认识，同步练习主要包括以下内容：1.空间几何体的认识2.立体图形的投影及其应用3.空间几何体的分类及其性质4.空间几何体的表面积和体积及其计算数据的处理对于数据的处理，同步练习主要包括以下内容：1.统计量的概念及其计算2.图表的绘制及其解读3.抽样调查的概念及其应用练习建议为了让同学们更好地掌握数学知识，以下是一些练习建议：1.学习过程中，要有计划地安排好每个知识点的学习和练习时间。
八年级数学上册7.5三角形的内角和定理第2课时三角形的外角说课稿 (新版北师大版)
八年级数学上册7.5三角形的内角和定理第2课时三角形的外角说课稿（新版北师大版）一. 教材分析《八年级数学上册7.5三角形的内角和定理第2课时三角形的外角》这一节，主要介绍了三角形的外角的性质和定理。
通过这一节的学习，让学生能够理解三角形的外角的定义，掌握三角形外角的性质，能够运用三角形的外角定理解决一些几何问题。
二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经学习了三角形的基本概念，角的性质，以及一些基本的几何证明方法。
但是，对于三角形的外角的性质和定理，可能还存在一些理解上的困难。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解三角形外角的性质，并通过例题让学生熟练运用外角定理解决实际问题。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握三角形的外角的定义，理解三角形外角的性质，能够运用三角形的外角定理解决一些几何问题。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、证明等过程，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：让学生体验数学的严谨性和美感，增强对数学的兴趣和信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：三角形的外角的定义，三角形外角的性质，三角形外角定理的应用。
2.教学难点：三角形外角的性质的证明，三角形外角定理的应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等，引导学生主动探究、积极参与。
2.教学手段：利用多媒体课件、几何画板等辅助教学，直观展示三角形的外角的性质和定理。
六. 说教学过程1.导入：通过复习三角形的基本概念和角的性质，引出三角形的外角的定义。
2.探究：引导学生观察三角形的外角的性质，让学生通过几何画板软件自主探索，发现三角形外角的性质。
3.证明：引导学生用已学的知识证明三角形外角的性质，培养学生的逻辑思维能力。
4.应用：通过例题讲解，让学生熟练运用三角形的外角定理解决实际问题。
5.总结：对本节课的主要内容进行总结，强调三角形外角的性质和定理。
2022-2023学年北师大版八年级数学上册《7-5三角形的内角和定理》同步练习题(附答案)
2022-2023学年北师大版八年级数学上册《7.5三角形的内角和定理》同步练习题（附答案）一．选择题1．如图，B，C，D三点在一条直线，∠B＝56°，∠ACD＝120°，则∠A的度数为（）A．56°B．64°C．60°D．76°2．如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于D．若∠BAC＝128°，∠C＝36°，则∠DAE的度数是（）A．18°B．15°C．10°D．8°3．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，CD平分∠ACB，则∠ADC的度数是（）A．100°B．90°C．80°D．70°4．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D为BC边上的一点，点E在AC边上，∠ADE＝∠AED，若∠CDE＝10°，则∠BAD的度数为（）A．20°B．15°C．10°D．30°5．如图，把△ABC沿平行于BC的直线DE折叠，使点A落在边BC上的点F处，若∠B ＝50°，则∠BDF的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°6．如图，五角星的顶点为A、B、C、D、E，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（）A．90°B．180°C．270°D．360°7．如图，在△ABC中，BE平分∠DBC，BD平分∠ABE，CE平分∠BCD，CD平分∠ACE，若∠D＝80°，则∠A等于（）A．30°B．35°C．50°D．85°8．如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠ADC＝90°﹣∠ABD；④BD平分∠ADC；⑤∠BDC＝∠BAC．其中正确的结论有（）A．5B．4C．3D．2二．填空题9．如图，D是△ABC内一点，∠ACB＝70°，∠1＝∠2，则∠D＝°．10．在三角板拼角活动中，小明将一副三角板按如图方式叠放，则拼出的∠α度数为．11．如图，AF和AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B＝35°，∠C＝75°，则∠BAC ＝，∠DAF＝．12．如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为．13．在△ABC中，已知AD是BC边上的高，∠BAD＝80°，∠CAD＝50°，则∠BAC＝．14．如图，若∠A＝∠B＝∠C＝35°，则∠CDB＝°．15．如图，已知线段BE、CF交于点O，∠COE＝150°，那么∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是．16．如图，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，⋅⋅⋅，∠A2020BC的平分线与∠A2020CD的平分线交于点A2021，得∠A2021，则∠A2021＝．三．解答题17．如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，DE⊥AB于点E，连接CE，∠ACE＝∠BCE，∠ACB＝50°，∠B＝60°．求∠CED的度数．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE 交AC的延长线于点E，点F为AC延长线上的一点，连接DF．（1）求∠CBE的度数；（2）若∠F＝25°，求证：BE∥DF．19．如图，在三角形ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝60°，∠C＝20°．（1）∠BAE的度数是．（2）∠DAE的度数是．（3）探究：如果把条件∠B＝60°，∠C＝20°改成∠B﹣∠C＝40°，你认为能得出∠DAE的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．20．“8字”的性质及应用：（1）如图1，AD，BC相交于点O，得到一个“8字”ABCD，试说明∠A+∠B＝∠C+∠D的理由；（2）如图2，以图中给的字母为顶点的“8字”有多少个；（3）如图2，∠ABC和∠ADC的平分线相交于点E，利用（1）中的结论试说明∠E＝（∠A+∠C）的理由．21．∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合）．（1）如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，∠AEB ＝°；（2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D．①若∠BAO＝60°，则∠D＝°；②随着点A，B的运动，∠D的大小是否会变化？如果不变，求∠D的度数；如果变化，请说明理由．22．我们定义：【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为130°、40°、10°的三角形是“完美三角形”．【简单应用】如图1，∠MON＝72°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON 于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与C、B重合点）（1）∠ABO＝°，△AOB（填“是”或“不是”）“完美三角形”；（2）若∠ACB＝90°，求证：△AOC是“完美三角形”；【应用拓展】如图2，点D在△ABC的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC 上取一点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B，若△BCD是“完美三角形”，求∠B的度数．参考答案一．选择题1．解：∵∠ACD是△ABC的外角，∠ACD＝120°，∠B＝56°，∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝120°﹣56°＝64°，故选：B．2．解：∵AD⊥BC，∠C＝36°，∴∠CAD＝90°﹣36°＝54°，∵AE是△ABC的角平分线，∠BAC＝128°，∴∠CAE＝∠BAC＝×128°＝64°，∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝64°﹣54°＝10°．故选：C．3．解：∵∠A＝30°，∠B＝50°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°．∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACB＝×100°＝50°，∴∠ADC＝∠BCD+∠B＝50°+50°＝100°．故选：A．4．解：∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠AED＝∠C+∠CDE，∠ADE＝∠AED，∠B＝∠C，∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝∠ADC﹣∠AED＝∠B+∠BAD﹣∠C﹣∠CDE＝∠BAD﹣∠CDE，∴∠BAD＝2∠CDE＝2×10°＝20°．故选：A．5．解：∵BC∥DE，∠B＝50°，∴∠ADE＝50°，又∵△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，∴∠ADE＝∠EDF＝50°，∴∠BDF＝180°﹣50°﹣50°＝80°，故选：C．6．解：如图，由三角形的外角性质得，∠1＝∠A+∠C，∠2＝∠B+∠D，∵∠1+∠2+∠E＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．故选B．7．解：∵BE平分∠DBC，BD平分∠ABE，CE平分∠BCD，CD平分∠ACE，∴∠ABD＝∠DBE＝∠CBE＝∠ABC，∠ACD＝∠DCE＝∠BCE＝∠ACB．在△BCD中，∠DBC＝∠DBE+∠CBE＝∠ABC，∠DCB＝∠DCE+∠BCE＝∠ACB，∠D＝80°，∴∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，即∠ABC+∠ACB+80°＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣80°＝100°，∴∠ABC+∠ACB＝150°．在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣150°＝30°．故选：A．8．解：∵AD平分∠EAC，∴∠EAC＝2∠EAD，∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB，∴∠EAD＝∠ABC，∴AD∥BC，∴①正确；∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC，∴∠ACB＝2∠ADB，∴②正确；在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD＝180°，∵CD平分△ABC的外角∠ACF，∴∠ACD＝∠DCF，∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCF，∠ADB＝∠DBC，∠CAD＝∠ACB∴∠ACD＝∠ADC，∠CAD＝∠ACB＝∠ABC＝2∠ABD，∴∠ADC+∠CAD+∠ACD＝∠ADC+2∠ABD+∠ADC＝2∠ADC+2∠ABD＝180°，∴∠ADC+∠ABD＝90°∴∠ADC＝90°﹣∠ABD，∴③正确；∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵∠ADB＝∠DBC，∠ADC＝90°﹣∠ABC，∴∠ADB不等于∠CDB，∴④错误；∵∠ACF＝2∠DCF，∠ACF＝∠BAC+∠ABC，∠ABC＝2∠DBC，∠DCF＝∠DBC+∠BDC，∴∠BAC＝2∠BDC，∴⑤正确；即正确的有4个，故选：B．二．填空题9．解：∵∠ACB＝∠2+∠BCD＝70°，∠1＝∠2，∴∠1+∠BCD＝70°，在△BCD中，∠1+∠BCD+∠D＝180°，∴∠D＝180°﹣（∠1+∠BCD）＝180°﹣70°＝110°．故答案为：110．10．解：由题意可得：∠ABC＝45°，∠DBC＝30°，∠A＝90°，∴∠DBA＝∠ABC﹣∠DBC＝45°﹣30°＝15°，∴∠α＝∠A+∠DBA＝90°+15°＝105°．故答案为：105°．11．解：在△ABC中，∠B＝35°，∠C＝75°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣35°﹣75°＝70°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠BAC＝×70°＝35°．∵AF是△ABC的高，∴∠AFC＝90°，∴∠F AC＝90°﹣∠C＝90°﹣75°＝15°，∴∠DAF＝∠DAC﹣∠F AC＝35°﹣15°＝20°．故答案为：70°；20°．12．解：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABF＝∠EBF＝∠ABC＝17.5°，又∵AE⊥BD，∴∠AFB＝∠EFB＝90°，∴∠BAF＝∠BEF＝90°﹣17.5°＝72.5°，∵∠ABC＝35°，∠C＝50°，∴∠BAC＝180°﹣35°﹣50°＝95°，∴∠ADB＝180°﹣95°﹣17.5°＝67.5°，由于BD是△BDE的对称轴，由对称性可知，∠ADB＝∠EDB＝67.5°，∴∠CDE＝180°﹣67.5°﹣67.5°＝45°，故答案为：45°．13．解：如图1：∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝80°+50°＝130°；如图2：∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝80°﹣50°＝30°．故答案为：130°或30°．14．解：延长BD交AC于D，∵∠BDC＝∠DEC+∠C，∠DEC＝∠A+∠B，∴∠BDC＝∠A+∠B+∠C，∴∠CDB＝35°+35°+35°＝105°，故答案为：105．15．解：连接OA，OD，∵∠DOE是△AOE的外角，∴∠2+∠E＝∠DOE①．∵∠COD是△AOC的外角，∴∠1+∠C＝∠COD②，①+②得，∠1+∠2+∠E+∠C＝∠COE＝150°③，同理，∠COD是△ODF的外角，∠DOE是△OBD的外角，∴∠4+∠F＝∠COD④，∠3+∠B＝∠DOE⑤，④+⑤得，∠3+∠4+∠F+∠B＝∠COE＝150°⑥，∴③+⑥得，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝2∠COE＝300°．故答案为：300°．16．解：∵BA1、CA1分别是∠ABC、∠ACD的平分线，∴∠ABA1＝∠A1BC＝∠ABC，∠ACA1＝∠A1CD＝∠ACD，又∵∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，∴∠A1＝∠A1CD﹣∠A1BC＝∠ACD﹣∠ABC＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A＝α；同理∠A2＝∠A1＝（）2α，∠A3＝＝（）3α，∠A4＝＝（）4α，…∠A2021＝（）2021α，即∠A2021＝，故答案为：．三．解答题17．解：∵∠ACE＝∠BCE，∠ACE+∠BCE＝∠ACB＝50°，∴∠BCE＝20°，∠ACE＝30°．∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°，∴∠BDE＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°．∵∠BDE是△CDE的外角，∴∠BDE＝∠BCE+∠CED，∴∠CED＝∠BDE﹣∠BCE＝30°﹣20°＝10°．18．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，∴∠CBD＝130°．∵BE是∠CBD的平分线，∴∠CBE＝∠CBD＝65°；（2）∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°，∴∠CEB＝90°﹣65°＝25°．又∵∠F＝25°，∴∠F＝∠CEB＝25°，∴DF∥BE．19．解：（1）∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣60°﹣20°＝100°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝50°；（2）∵AD⊥BC，∴∠ADE＝90°，而∠ADE＝∠B+∠BAD，∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝50°﹣30°＝20°；故答案为：（1）50°；（2）20°．（3）能．∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝（180°﹣∠B﹣∠C）＝90°﹣（∠B+∠C），∵AD⊥BC，而∠ADE＝∠B+∠BAD，∴∠BAD＝90°﹣∠B，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝90°﹣（∠B+∠C）﹣（90°﹣∠B）＝（∠B﹣∠C），∵∠B﹣∠C＝40°，∴∠DAE＝×40°＝20°．20．解：（1）∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，又∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）图2中有：ABCD、BEDC、ABED，BFDC、BFDH、ABHD6个“8字”；（3）∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠ABE＝∠CBE＝ABC，∠CDE＝∠ADE＝∠ADC，∵∠A+∠ABE＝∠E+∠ADE，∠C+∠CDE＝∠E+∠CBE，∴∠E＝（∠A+∠C）．21．解：（1）∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，∴∠AOB＝90°，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，∴∠BAE＝∠OAB，∠ABE＝∠ABO，∴∠BAE+∠ABE＝（∠OAB+∠ABO）＝45°，∴∠AEB＝135°；故答案为：135；（2）①∵∠AOB＝90°，∠BAO＝60°，∴∠ABN＝150°，∵BC是∠ABN的平分线，∴∠OBD＝∠CBN＝150°＝75°，∵AD平分∠BAO，∴∠DAB＝30°，∴∠D＝180°﹣∠ABD﹣∠BAD﹣∠AOB＝180°﹣75°﹣30°﹣30°＝45°，故答案为：45；②∠D的度数不随A、B的移动而发生变化，设∠BAD＝α，∵AD平分∠BAO，∴∠BAO＝2α，∵∠AOB＝90°，∴∠ABN＝180°﹣∠ABO＝∠AOB+∠BAO＝90+2α，∵BC平分∠ABN，∴∠ABC＝45°+α，∵∠ABC＝180°﹣∠ABD＝∠D+∠BAD，∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝45°+α﹣α＝45°．22．解：（1）∵AB⊥OM，∴∠OAB＝90°，∴∠ABO＝90°﹣∠MON＝90°﹣72°＝18°，∵∠MON＝4∠ABO，∴△AOB为“完美三角形”，故答案为：18；是；（2）证明：∵∠MON＝72°，∠ACB＝90°，∠ACB＝∠OAC+∠MON，∴∠OAC＝90°﹣72°＝18°，∵∠AOB＝72°＝4×18°＝4∠OAC，∴△AOC是“完美三角形”；应用拓展：∵∠EFC+∠BDC＝180°，∠ADC+∠BDC＝180°，∴∠EFC＝∠ADC，∴AD∥EF，∴∠DEF＝∠ADE，∵∠DEF＝∠B，∴∠B＝∠ADE，∴DE∥BC，∴∠CDE＝∠BCD，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∴∠B＝∠BCD，∵△BCD是“完美三角形”，∴∠BDC＝4∠B，或∠B＝4∠BDC，∵∠BDC+∠BCD+∠B＝180°，∴∠B＝30°或∠B＝80°．。
北师大版八年级数学上册：7.5三角形内角和定理(教案)
-理解三角形内角和定理的证明过程：对于部分学生来说，理解三角形内角和定理的证明过程可能存在困难，需要教师采用适当的方法进行引导。
-求解含未知数的三角形内角问题：在求解过程中，涉及代数知识，对于一些学生来说，将代数知识与几何知识结合起来解决问题可能是一个难点。
-空间想象能力的培养：在实际应用中，需要学生将三角形内角和定理应用于三维空间中，这对学生的空间想象能力提出了较高要求。
五、教学反思
在今天的教学中，我重点关注了三角形内角和定理这一知识点。通过引导学生们从日常生活实例入手，让他们感受到数学知识与实际生活的紧密联系。在讲授过程中，我尽量用简洁明了的语言解释三角形内角和定理，并注重让学生动手操作，以提高他们对几何概念的理解。
在课堂上，我发现大部分学生能够积极参与讨论和实验操作，这让我感到很欣慰。不过，我也注意到，在讲解定理的证明过程时，部分学生显得有些迷茫。这说明我在教学中还需要进一步改进，尤其是在解释几何证明过程时，需要更加生动形象、易于理解。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“三角形内角和定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《三角形内角和定理》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算三角形角度的情况？”（如测量三角板角度等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索三角形内角和定理的奥秘。
北师大版八年级数学上册《三角形内角和定理》
MT
B
C
(3)
你还能想出其它证法吗?
当堂练习
1.（1）在△ABC中,∠A=35°,∠ B=43°， 则∠ C= 102°. （2）在△ABC 中,∠C=90°4,0∠°B=50°, 则（∠3）A在=△＿A＿B＿C中＿,.∠A=40°,∠A=2∠B， 则∠C = ＿＿12＿0°＿.
2.（口答）下列各组角是同一个三角形的内角 吗？为什么？
7.5 三角形内角和定理
学习目标
1.理解并掌握三角形内角和定理及其证明过程．（重点） 2.能利用三角形内角和定理进行简单的计算和证明．（难点）
导入新课
观察与思考
内角三兄弟之争
在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟 非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指 着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样 大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们 这个家就再也围不起来了……”“为什么？” 老二很纳闷.
3x+x+(x+15)=180
解得 x=33
所以 3x=99 ，x+15 =48 答:∠A,∠B,∠C的度数分别为99°，33°，48°.
课堂小结
三角形内 角和定理
定理：三角形的内角和等 于180°
定理的证明：作平行线， 将三个内角拼成一个平角
定理的应用
课后作业
见《练习册》本课时练习
∠A=180° –(∠B+∠C).
∠B=180°–(∠A+∠C).
∠C=180° –(∠A+∠B).
∠A+∠B=180° –∠C.
B
∠B+∠C=180° –∠A.
∠A+∠C=180° –∠B.
八年级数学上第七章平行线的证明7.5三角形内角和定理2三角形的外角授课课北师大
感悟新知
1 如图，射线AD，BE，CF构成∠1，∠2，∠3，则
∠1＋∠2＋∠3等于( B )
A．180°
B．360°
知3－三角形的三个外角的度数之比为2∶3∶4，则
与之对应的三个内角的度数之比为( B )
A．4∶3∶2
B．5∶3∶1
C．3∶2∶4
D．3∶1∶5
课堂小结
谢谢观赏
You made my day!
∴∠C= 1EAC （等式的性质） . 2
∵AD平分∠EAC（已知），
∴∠DAC= 1EAC （ 角 平 分 线 的 定 义 ） . 2
∴∠DAC=∠C （等量代换）.
∴AD// BC （内错角相等，两直线平行）.
感悟新知
1 如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝ 30°，
延长BA至点D，则∠CAD的大小为( C )
证明：∵∠1+∠BAC=180°，
∠2+∠BCA=180°，
∠3+∠ABC=180°，
∴∠1+∠2+∠3+（∠BAC+∠BCA+∠ABC）=540°（等
式性质）.
∵∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°（三角形内角和定理），
∴∠1+∠2+∠3=360°.
感悟新知
例3
如图，△CEF的外角为_∠__A_F_C__，__∠__B_E_F___．
第七章 平行线的证明
7.5 三角形内角和定理
第2课时 三角形的外角定理
学习目标
1 课时讲解
三角形外角的定义 三角形外角的性质 三角形的外角和
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
北师大版初中数学八年级(上)7-5-2三角形内角和定理 教学课件 教学课件
A
1
B
F
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.
2
3
C
D
解法2：如图，∠BAE+∠1=180 °， ①
∠CBF +∠2=180 ° ，②
E
∠ACD +∠3=180 ° .③
A
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
1
①+ ②+ ③得
B
∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD+
又因为∠B=∠BAD，
A
1
所以B 80 40,
2
在△ABC中，
∠B+∠BAC+∠C=180°，
所以∠C=180º-40º-70º=70°.
B
D
C
5.如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数.
A
解：∵∠1是△FBE的外角,
B
E
∴∠1=∠B+ ∠E.
同理∠2=∠A+∠D.
G
2
∠A < ∠1 < ∠2
D
E
课堂小结
角一边必须是三角形的一边，另一边必
定义
三角形
的外角
须是三角形另一边的延长线
1.三角形的外角等于与它不相邻的两个
内角的和
性质
2.三角形的外角大于与它不相邻的任何
一个内角
三角形的
外 角 和
三角形的外角和等于360 °
当堂检测
1.判断下列命题的对错.
（1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和。（
北师大版八年级(上)数学《三角形内角和定理》同步练习4(含答案)
7.5 三角形内角和定理4一、七彩题:1．（一题多解）如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°，求∠BCD•的度数．2．（巧题妙解题）一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B，∠C应分别等于32°和21°，检验工人量得∠BDC=148°就断定零件不合格．请你运用三角形有关知识说明零件不合格的原因．二、知识交叉题:3．（科内交叉题）如图所示，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD 相交于点F，•∠A=62°，∠ACD=35°，∠ABE=20°，求∠BDC和∠BFD的度数．4．（科内交叉题）如图，已知BE，CE分别是△ABC的内角∠ABC，外角∠ACD的平分线，若∠A=50°，你能求出∠E吗？若∠A= ，则∠E是多少？三、实际应用题5．在足球比赛中，球员越接近球门，射门角度（射球点与球门两边A，B 间的夹角）•就越大，如图所示，你如何证明．四、经典中考题6．（黄冈，3分）如图所示，∠1大于∠2的是（）7．（浙江，3分）如图所示，AB∥CD，∠1=110°，∠ECD=70°，∠E的大小是（）A．30°B．40°C．50°D．60°五、探究学习:1．（旋转变换题）如图所示，把一个直角三角尺ABC绕着30°角的顶点B 顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合．（1）三角尺旋转了多少度？（2）连接CD，试判断△CBD的形状；（3）求∠BDC的度数；2．（阅读理解题）关于三角形内角和定理的证明，•小马和小虎又各自找到了一种“创新”证法．如图1，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°．图1 图2 图3小马的证法：如图2，延长BC到点D，则∠ACD=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）．因为∠ACD+∠ACB=180°（平角的定义），所以∠A+∠B+∠ACB=180°．小虎的证法：如图3，过点A作AD⊥BC于点D，则∠1+∠B=90°，∠2+∠C=90°（直角三角形的两锐角互余），所以（∠1+∠2）+∠B+∠C=180°，即∠BAC+∠B+∠C=•180°．你认为他们的证法对吗？说说你的看法，请给出一种你认为比较简单且正确的证法．3.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，∠BAD>∠CAD，求证：AB>AC．参考答案一、1．解法一：如图1，延长ED交BC于点F，因为AB∥DE，所以∠BFE=∠B=80°（两直线平行，内错角相等），所以∠DFC=100°，所以∠BCD=∠CDE-∠DFC=140°-•100°=40°（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）．图1 图2解法二：如图2，过点C作CF∥DE，所以∠DCF=180°-∠CDE=180°-140•°=40°（两直线平行，同旁内角互补）．因为AB∥DE，所以AB∥CF（•平行于同一条直线的两条直线互相平行），所以∠BCF=∠ABC=80°（两直线平行，内错角相等），所以∠BCD=∠BCF-∠DCF=80°-40°=40°．2．解：如答图，延长CD交AB于E．因为∠C=21°，∠A=90°，所以∠BED=∠A+•∠C=90°+21°=111°．又因为∠CDB=∠B+∠BED，∠B=32°．所以∠CDB=32°+111°=143°≠148°，•故零件不合格．点拨：本题的巧妙之处在于通过作辅助线，•两次利用“三角形的外角等于和它不相邻的两个内角和”，迅速求出∠CDB的值，然后与148°相比较，得出零件不合格．三、3．解：因为∠BDC是△ADC的一个外角，所以∠BDC=∠A+∠ACD．又因为∠A=62°，∠ACD=35°，所以∠BDC=∠A+∠ACD=62°+32°=97°．在△BDF中，∠ABE=20•°，•∠BDC=97°．所以∠BFD=180°-20°-97°=63°．4．解：因为∠ECD是△BCE的外角，所以∠ECD=∠EBC+∠E．因为BE，CE•分别平行∠ABC，∠ACD，所以∠EBC=12∠ABC，∠ECD=12∠ACD．所以12∠ACD=12∠ABC+∠E，•所以∠ACO=•∠ABC+2∠E．又因为∠ACD是△ABC的外角．所以∠ACD=∠A+∠ABC．所以∠A+•∠ABC=•∠ABC+2∠E．所以∠A=2∠E，所以∠E=12∠A=12×50°=25°，若∠A=α，则∠E=12α．三、5．证明：如图，延长AD交BC于E，因为∠BEA>∠C，∠ADB>∠BEA，•所以∠ADB>∠C．四、6．C7．B 点拨：因为AB∥CD，所以∠EDF=∠1=∠110°，因为∠ECD=70°，所以∠EDF=∠ECD+∠E，110°=70°+∠E，所以∠E=40°．五、探究学习1．解：（1）三角板旋转的度数为180°-30°=150°．（2）因为CB=BD，所以△CBD为等腰三角形，（3）因为∠DBE为△CBD的外角，所以∠DBE=∠BCD+∠BDC，又因为△CBD•为等腰三角形，所以∠BCD=∠BDC．所以2∠BDC=∠DBE=30°，所以∠BDC=15°．点拨：这是一类动手操作题．在操作过程中要注意发现规律，•要有把现实模型抽象为数学问题，从而进一步解决问题的能力．2．解：他们两人的证法都不对，•因为小马所使用的“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”与小虎所用“直角三角形的两锐角互余”都是建立在三角形内角和定理的基础上的，不能逆过来证明三角形的内角和定理，这是犯了“循环证明”的错误．证明：如图，过点A作DE∥BC，因为DE∥BC，所以∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，•又因为点D，A，E在同一条直线上，所以∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°，所以∠BAC+∠B+∠C=180°，即三角形的内角和是180°．点拨：一定要清楚三角形内角和定理及其两个推论之间的关系，不要乱用定理．3.证明：如图所示，在BD上找一点E，使DE=DC．因为AD⊥BC，所以在△ADE•与△ADC中,90,AD ADADE ADCDE DC=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，所以△ADE≌△ADC，所以∠C=∠AED．又因为∠AED是△ABE的一个外角，所以∠AED>∠B，所以∠C>∠B，所以AB>AC．。
北师大版初中数学八年级上册《7.5 三角形内角和定理》同步练习卷(含答案解析
北师大新版八年级上学期《7.5 三角形内角和定理》同步练习卷一．选择题（共23小题）1．如图，在△ABC中，∠C=78°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=（）A．282°B．180°C．258°D．360°2．如图，BE、CF是△ABC的角平分线，∠A=50°，BE、CF相交于D，则∠BDC 的度数是（）A．115°B．110°C．100°D．90°3．如图，在△ABC中，AD和BE是角平分线，其交点为O，若∠BOD=70°，则∠ACB的度数为（）A．10°B．20°C．30°D．40°4．如图，BD，CD分别是内角∠ABC和外角∠ACE的平分线，若∠A=70°，则∠D=（）A．30°B．35°C．40°D．45°5．如图，∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点D，设∠BDC=β，那么∠A等于（）A．180°﹣B．180°﹣2βC．90°﹣βD．90°﹣6．如图，△ABC中，∠A=60°，点E、F在AB、AC上，沿EF向内折叠△AEF，得△DEF，则图中∠1+∠2的和等于（）A．60°B．90°C．120°D．150°7．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE外点A'的位置，则下列结论正确的是（）A．∠1+∠2=∠A B．∠1+∠2=2∠A C．∠1﹣∠2=∠A D．∠1﹣∠2=2∠A 8．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=30，∠2=20°，则∠B=（）A．20°B．30°C．40°D．50°9．已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E为AD上一点，且EF⊥BC于点F．若∠C=35°，∠DEF=15°，则∠B的度数为（）A．60°B．65°C．75°D．85°10．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（）A．75°B．80°C．85°D．90°11．如图△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是边AC上的高，则∠DBC的度数是（）A．36°B．26°C．18°D．16°12．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE平分∠ADC，∠B=45°，∠C=35°，则∠AED=（）A．80°B．82.5°C．90°D．85°13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A=26°，则∠ADE度数为（）A．71°B．64°C．38°D．45°14．如图，△ABC中，BD为△ABC的角平分线，CE为△ABC的高，CE交BD于点F，∠A=80°，∠BCA=50°，那么∠BFC的度数是（）A．110°B．l15°C．120°D．125°15．在△ABC中，∠A=150°．第一步：在△ABC上方确定一点A1，使∠A1BA=∠ABC，∠A1CA=∠ACB，如图1．第二步：在△A1BC上方确定一点A2，使∠A2BA1=∠A1BA，∠A2CA1=∠A1CA，如图2．照此下去，至多能进行（）步．A．3B．4C．5D．616．如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=55°，∠D=15°，则∠P 的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°17．小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中∠E=90°，∠C=90°，∠A=45°，∠D=30°，则∠1+∠2等于（）A．150°B．180°C．210°D．270°18．如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO=100°，则∠C的度数为（）A．40°B．41°C．42°D．43°19．如图，乐乐将△ABC沿DE，EF分别翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA 与EB重合于线段EO，若∠DOF=139°，∠C为（）A．38°B．39°C．40°D．41°20．如图，△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH ⊥BE，交BD于点G，交BC于点H．下列结论：①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C；③∠F=∠BAC﹣∠C；④∠BGH=∠ABE+∠C．其中正确个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个21．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A=90°，EG∥BC，且CG⊥EG 于G，下列结论：①∠CEG=2∠DCB；②∠DFB=∠CGE；③∠ADC=∠GCD；④CA平分∠BCG．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．422．如图，△ABC，∠ABC、∠ACB的三等分线交于点E、D，若∠BFC=128°，∠BGC=114°，则∠A的度数为（）A．64°B．62°C．70°D．78°23．如图，将一块直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C，若∠A=50°，则∠ABD+∠ACD的值为（）A．60°B．50°C．40°D．30°二．填空题（共17小题）24．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD与CE交于点M．若MN⊥BC于N，∠A=60°，则∠1﹣∠2=度．25．如图所示，在△ABC中，∠A=52°，若∠ABC与∠ACB的角平分线交于点D1，得到∠D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，得到∠D2；依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，得到∠D5，则∠D5的度数是．26．如图，三角形纸片ABC中，∠A=75°，∠B=60°，将纸片的一个角折叠，使点C落在△ABC内，∠α=25°，则∠β=．27．如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A=55°，∠1=95°，则∠2的度数为．28．如图，将△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A′，若∠C=135°，∠A=15°，则∠A′DB的度数为．29．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上一点，将△ABC沿DE折叠，使点A落在边BC上．若∠A=55°，则∠1+∠2+∠3+∠4=度．30．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且A′B平分∠ABC，A′C 平分∠ACB，若∠BA′C=110°，则∠1+∠2=．31．如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，∠B=48°，∠BAD=28°，将△ABD 沿AD折叠得到△AED，AE与BC交于点F，则∠AFC=°．32．如图，已知AB、CD相交于点O，且∠A=38°，∠B=58°，∠C=44°，则∠D=．33．如图，在△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE相交于点P，若∠A=70°，则∠BPC=°．34．如图，△ABE和△ACD是△ABC分别沿着AB、AC翻折而成的，若∠1=140°，∠2=25°，则∠α度数为．35．如图，点D、E、F、G、H分别是△ABC的边上一点，将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在△ABC内点O处，则∠1+∠2为°．36．如图，BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，BE、CF交于G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，则∠A=．37．如图，是一个不规则的五角星，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=．（用度数表示）38．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，∠DCE=∠DEC，点F在AC、点G在DE的延长线上，∠DFG=∠DGF．若∠EFG=35°，则∠CDF的度数为．39．如图，在△ABC中，∠ABC=100°，∠ACB的平分线交AB边于点E，在AC边取点D，使∠CBD=20°，连接DE，则∠CED的大小=（度）．40．如图，在△ABC中，∠A=70°∠B=50°，点D，E分别为AB，AC上的点，沿DE折叠，使点A落在BC边上点F处，若△EFC为直角三角形，则∠BDF的度数为．三．解答题（共9小题）41．如图，在△ABC中，AD是高线，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=50°，∠C=70°，求∠EAD与∠BOA的度数．42．在△ABC中，点D在边BA或BA的延长线上，过点D作DE∥BC，交∠ABC 的角平分线于点E．（1）如图1，当点D在边BA上时，点E恰好在边AC上，求证：∠ADE=2∠DEB；（2）如图2，当点D在BA的延长线上时，请直接写出∠ADE与∠DEB之间的数量关系，并说明理由．43．动手操作：一个三角形的纸片ABC，沿DE折叠，使点A落在点Aˊ处．观察猜想（1）如图1，若∠A=40°，则∠1+∠2=°；若∠A=55°，则∠1+∠2=°；若∠A=n°，则∠1+∠2=°．探索证明：（2）利用图1，探索∠1、∠2与∠A有怎样的关系？请说明理由．拓展应用（3）如图2，把△ABC折叠后，BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠1+∠2=108°，利用（2）中结论求∠BA′C的度数．44．在△ABC中，BM平分∠ABC交AC于点M，点P是直线AC上一点，过点P 作PH⊥BM于点H．（1）如图1，当∠ACB=110°，∠BAC=30°，且点P与点C重合时，∠APH=°；（2）如图2，当点P在AC的延长线上时，求证：2∠APH=∠ACB﹣∠BAC；（3）如图3，当点P在线段AM上（不含端点）时，①补全图形；②直接写出∠APH、∠ACB、∠BAC之间的数量关系：．45．如图，在△ABC中，∠CAB=∠CBA，过点A向右作AD∥BC，点E是射线AD 上的一个动点，∠ACE的平分线交BA的延长线于点F．（1）若∠ACB=40°，∠ACE=38°，求∠F的度数；（2）在动点E运动的过程中，的值是否发生变化？若不变，求它的值；若变化，请说明理由．46．在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，F为射线AE上一点（不与点E重合），且FD⊥BC于D．（1）如图①，当点F与点A重合，且∠C=50°，∠B=30°时，求∠EFD的度数，并直接写出∠EFD与（∠C﹣∠B）之间的数量关系．（2）如图②，当点F在线段AE上（不与点A重合），∠EFD与∠C﹣∠B有怎样的数量关系？并说明理由．（3）当点F在△ABC外部时，在图③中画出符合题意的图形，并直接写出∠EFD 与∠C﹣∠B的数量关系．47．已知：如图，AM，CM分别平分∠BAD和∠BCD．①若∠B=32°，∠D=38°，求∠M的度数；②探索∠M与∠B、∠D的关系并证明你的结论．48．△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AE⊥BC，垂足为E，作CF∥AD，交直线AE于点F．设∠B=α，∠ACB=β．（1）若∠B=30°，∠ACB=70°，依题意补全图1，并直接写出∠AFC的度数；（2）如图2，若∠ACB是钝角，求∠AFC的度数（用含α，β的式子表示）；（3）如图3，若∠B＞∠ACB，直接写出∠AFC的度数（用含α，β的式子表示）．49．（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，则∠A，∠B，∠C，∠D四个角的数量关系是；（2）如图2，若∠BCD，∠ADE的角平分线CP，DP交于点P，则∠P与∠A，∠B的数量关系为∠P=；（3）如图3，CM，DN分别平分∠BCD，∠ADE，当∠A+∠B=80°时，试求∠M+∠N的度数（提醒：解决此问题可以直接利用上述结论）；（4）如图4，如果∠MCD=∠BCD，∠NDE=∠ADE，当∠A+∠B=n°时，试求∠M+∠N的度数．北师大新版八年级上学期《7.5 三角形内角和定理》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共23小题）1．如图，在△ABC中，∠C=78°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=（）A．282°B．180°C．258°D．360°【分析】先利用三角形内角与外角的关系，得出∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4），再根据三角形内角和定理即可得出结果．【解答】解：如图，∵∠1、∠2是△CDE的外角，∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，即∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4）=78°+180°=258°．故选：C．【点评】此题主要考查了三角形内角和定理及外角的性质，三角形内角和是180°；三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和．2．如图，BE、CF是△ABC的角平分线，∠A=50°，BE、CF相交于D，则∠BDC 的度数是（）A．115°B．110°C．100°D．90°【分析】根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB=130°，根据角平分线的定义，三角形内角和定理计算．【解答】解：∵∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，∵BE、CF是△ABC的角平分线，∴∠EBC=∠ABC，∠FCB=∠ACB，∴∠EBC+∠FCB=×（∠ABC+∠ACB）=65°，∴∠BDC=180°﹣65°=115°，故选：A．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．3．如图，在△ABC中，AD和BE是角平分线，其交点为O，若∠BOD=70°，则∠ACB的度数为（）A．10°B．20°C．30°D．40°【分析】依据三角形外角性质，即可得到∠ABO+∠BAO=∠BOD=70°，再根据角平分线的定义，即可得到∠ABC+∠BAC=140°，进而得出∠C的度数．【解答】解：∵∠BOD是△ABO的外角，∴∠ABO+∠BAO=∠BOD=70°，又∵AD和BE是角平分线，∴∠ABC+∠BAC=2（∠ABO+∠BAO）=2×70°=140°，∴∠ACB=180°﹣140°=40°，故选：D．【点评】本题主要考查了三角形内角和定理的运用，解题时注意：三角形内角和是180°．4．如图，BD，CD分别是内角∠ABC和外角∠ACE的平分线，若∠A=70°，则∠D=（）A．30°B．35°C．40°D．45°【分析】根据角平分线的定义得到∠DCE=∠ACE，∠DBC=∠ABC，根据三角形的外角的性质计算即可．【解答】解：∵BD，CD分别是∠ABC与外角∠ACE的平分线，∴∠DCE=∠ACE，∠DBC=∠ABC，∵∠ACE﹣∠ABC=∠A=70°，∴∠D=∠DCE﹣∠DBC=∠A=35°，故选：B．【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．5．如图，∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点D，设∠BDC=β，那么∠A等于（）A．180°﹣B．180°﹣2βC．90°﹣βD．90°﹣【分析】在△BCD中利用三角形内角和定理可求出∠BCD+∠CBD的度数，由角平分线的定理可得出∠CBE+∠BCF的度数，由邻补角互补可求出∠ABC+∠ACB 的度数，再在△ABC中利用三角形内角和定理即可求出∠A的度数．【解答】解：∵∠BCD+∠CBD+∠D=180°，∠D=β，∴∠BCD+∠CBD=180°﹣β．∵BD平分∠CBE，CD平分∠BCF，∴∠CBE+∠BCF=2（∠BCD+∠CBD）=360°﹣2β，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠CBE+180°﹣∠BCF=360°﹣（∠CBE+∠BCF）=2β．又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠A=180°﹣2β．故选：B．【点评】本题考查了三角形内角和定理、邻补角以及角平分线的性质，利用三角形内角和定理、角平分线的性质及邻补角互补求出∠ABC+∠ACB的度数是解题的关键．6．如图，△ABC中，∠A=60°，点E、F在AB、AC上，沿EF向内折叠△AEF，得△DEF，则图中∠1+∠2的和等于（）A．60°B．90°C．120°D．150°【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠AEF+∠AFE的度数，再根据折叠的性质求出∠AED+∠AFD的度数，然后根据平角等于180°解答．【解答】解：∵∠A=60°，∴∠AEF+∠AFE=180°﹣60°=120°，∵沿EF向内折叠△AEF，得△DEF，∴∠AED+∠AFD=2（∠AEF+∠AFE）=2×120°=240°，∴∠1+∠2=180°×2﹣240°=360°﹣240°=120°．故选：C．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，翻转变换的性质，整体思想的利用是解题的关键．7．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE外点A'的位置，则下列结论正确的是（）A．∠1+∠2=∠A B．∠1+∠2=2∠A C．∠1﹣∠2=∠A D．∠1﹣∠2=2∠A 【分析】根据折叠的性质和三角形的外角的性质解答即可．【解答】解：∵△A′DE是△ADE沿DE折叠得到，∴∠A′=∠A，∵∠1=∠A+∠3，∠3=∠A′+∠2，∴∠1=∠A+∠A′+∠2，∴∠1﹣∠2=2∠A，故选：D．【点评】本题考查的是三角形的外角性质和图形的翻折变换，理清图中角与角的关系是解决问题的关键．8．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=30，∠2=20°，则∠B=（）A．20°B．30°C．40°D．50°【分析】利用角平分线的定义结合∠1的度数可得出∠CAE的值，进而可得出∠DAE、∠BAD的值，在△ABD中利用三角形内角和定理可求出∠B的值，此题得解．【解答】解：∵AE平分∠BAC，∠1=30，∴∠CAE=∠1=30°，∴∠DAE=∠CAE﹣∠2=10°，∴∠BAE=∠1+∠DAE=40°．∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴∠B=180°﹣∠BAD﹣∠ADB=50°．故选：D．【点评】本题考查了三角形内角和定理，牢记三角形内角和是180°是解题的关键．9．已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E为AD上一点，且EF⊥BC于点F．若∠C=35°，∠DEF=15°，则∠B的度数为（）A．60°B．65°C．75°D．85°【分析】先根据EF⊥BC，∠DEF=15°可得出∠ADB的度数，再由三角形外角的性质得出∠CAD的度数，根据角平分线的定义得出∠BAC的度数，由三角形内角和定理即可得出结论．【解答】解：∵EF⊥BC，∠DEF=15°，∴∠ADB=90°﹣15°=75°．∵∠C=35°，∴∠CAD=75°﹣35°=40°．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAC=2∠CAD=80°，∴∠B=180°﹣∠BAC﹣∠C=180°﹣80°﹣35°=65°．故选：B．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．10．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（）A．75°B．80°C．85°D．90°【分析】依据AD是BC边上的高，∠ABC=60°，即可得到∠BAD=30°，依据∠BAC=50°，AE平分∠BAC，即可得到∠DAE=5°，再根据△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，可得∠EAD+∠ACD=75°．【解答】解：∵AD是BC边上的高，∠ABC=60°，∴∠BAD=30°，∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，∴∠BAE=25°，∴∠DAE=30°﹣25°=5°，∵△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°，故选：A．【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°．解决问题的关键是三角形外角性质以及角平分线的定义的运用．11．如图△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是边AC上的高，则∠DBC的度数是（）A．36°B．26°C．18°D．16°【分析】根据三角形内角和定理求出∠A和∠C，根据垂直的定义得到∠BDC=90°，计算即可．【解答】解：∵∠A+∠C+∠ABC=180°，∠C=∠ABC=2∠A，∴2∠A+2∠A+∠A=180°，解得，∠A=36°，则∠C=72°，∵BD是边AC上的高，∴∠BDC=90°，∴∠DBC=90°﹣∠C=18°，故选：C．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．12．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE平分∠ADC，∠B=45°，∠C=35°，则∠AED=（）A．80°B．82.5°C．90°D．85°【分析】根据三角形的内角和定理可得∠BAC=100°，再利用角平分线的性质得到∠EDC=47.5°，最后利用三角形外角的性质得出结果．【解答】解：∵∠B=45°，∠C=35°，∴∠BAC=180°﹣45°﹣35°=100°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD═50°，∵∠ADC=∠B+∠BAD=50°+45°=95°，∵DE平分∠ADC，∴∠EDC═47.5°，∵∠AED=∠C+∠EDC，∴∠AED=35°+47.5°=82.5°．故选：B．【点评】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的性质及三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和及三角形外角的性质．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A=26°，则∠ADE度数为（）A．71°B．64°C．38°D．45°【分析】由折叠的性质可求得∠ACD=∠BCD，∠BDC=∠CDE，在△ACD中，利用外角可求得∠BDC，即可解决问题．【解答】解：由折叠可得∠ACD=∠BCD，∠BDC=∠CDE，∵∠ACB=90°，∴∠ACD=45°，∵∠A=26°，∴∠BDC=∠A+∠ACD=26°+45°=71°，∴∠ADE=180°﹣71°﹣71°=38°故选：C．【点评】本题主要考查折叠的性质，掌握折叠前后图形的对应线段和对应角相等是解题的关键．14．如图，△ABC中，BD为△ABC的角平分线，CE为△ABC的高，CE交BD于点F，∠A=80°，∠BCA=50°，那么∠BFC的度数是（）A．110°B．l15°C．120°D．125°【分析】依据三角形内角和定理，即可得到∠ABC=50°，依据BD为△ABC的角平分线，可得∠ABD=25°，根据CE为△ABC的高，即可得到∠BEF=90°，再根据三角形外角性质，即可得到∠BFC=∠BEF+∠ABD．【解答】解：∵∠A=80°，∠BCA=50°，∴∠ABC=50°，又∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD=25°，∵CE为△ABC的高，∴∠BEF=90°，∴∠BFC=∠BEF+∠ABD=90°+25°=115°，故选：B．【点评】本题考查了三角形的内角和定理、三角形外角的性质以及角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．15．在△ABC中，∠A=150°．第一步：在△ABC上方确定一点A1，使∠A1BA=∠ABC，∠A1CA=∠ACB，如图1．第二步：在△A1BC上方确定一点A2，使∠A2BA1=∠A1BA，∠A2CA1=∠A1CA，如图2．照此下去，至多能进行（）步．A．3B．4C．5D．6【分析】由三角形内角和定理可得出∠ABC+∠ACB=30°，由∠A1BA=∠ABC、∠A1CA=∠ACB结合三角形内角和定理可求出∠A1=120°，同理可求出∠A2=90°、∠A3=60°、…、∠A n=180°﹣30°•（n+1），令∠A n＞0°，求出n的最大值即可．【解答】解：∵∠A=150°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=30°．∵∠A1BA=∠ABC，∠A1CA=∠ACB，∴∠A1BC+∠A1CB=2（∠ABC+∠ACB）=60°，∴∠A1=180°﹣（∠A1BC+∠A1CB）=120°．同理可得：∠A2=90°，∠A3=60°，…，∠A n=180°﹣30°•（n+1），∴当∠A n＞0°时，180°﹣30°•（n+1）＞0°，解得n＜5，∴至多能进行4步．故选：B．【点评】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理找出∠A n=180°﹣30°•（n+1）是解题的关键．16．如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=55°，∠D=15°，则∠P 的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°【分析】延长PC交BD于E，根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据三角形的内角和定理可得∠A+∠1=∠P+∠3，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠5，整理可得∠P=（∠A﹣∠D），然后代入数据计算即可得解．【解答】解：如图，延长PC交BD于E，∵∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，∴∠1=∠2，∠3=∠4，由三角形的内角和定理得，∠A+∠1=∠P+∠3①，在△PBE中，∠5=∠2+∠P，在△DCE中，∠5=∠4﹣∠D，∴∠2+∠P=∠4﹣∠D②，①﹣②得，∠A﹣∠P=∠P+∠D，∴∠P=（∠A﹣∠D），∵∠A=55°，∠D=15°，∴∠P=（55°﹣15°）=20°．故选：B．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并作辅助线然后整理出∠A、∠D、∠P三者之间的关系式是解题的关键．17．小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中∠E=90°，∠C=90°，∠A=45°，∠D=30°，则∠1+∠2等于（）A．150°B．180°C．210°D．270°【分析】根据三角形的内角和定理和三角形外角性质解答即可．【解答】解：如图：∵∠1=∠D+∠DOA，∠2=∠E+∠EPB，∵∠DOA=∠COP，∠EPB=∠CPO，∴∠1+∠2=∠D+∠E+∠COP+∠CPO=∠D+∠E+180°﹣∠C=30°+90°+180°﹣90°=210°，故选：C．【点评】此题考查三角形内角和，关键是根据三角形的内角和定理和三角形外角性质解答．18．如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO=100°，则∠C的度数为（）A．40°B．41°C．42°D．43°【分析】连接AO、BO．由题意EA=EB=EO，推出∠AOB=90°，∠OAB+∠OBA=90°，由DO=DA，FO=FB，推出∠DAO=∠DOA，∠FOB=∠FBO，推出∠CDO=2∠DAO，∠CFO=2∠FBO，由∠CDO+∠CFO=100°，推出2∠DAO+2∠FBO=100°，推出∠DAO+∠FBO=50°，由此即可解决问题．【解答】解：如图，连接AO、BO．由题意EA=EB=EO，∴∠AOB=90°，∠OAB+∠OBA=90°，∵DO=DA，FO=FB，∴∠DAO=∠DOA，∠FOB=∠FBO，∴∠CDO=2∠DAO，∠CFO=2∠FBO，∵∠CDO+∠CFO=100°，∴2∠DAO+2∠FBO=100°，∴∠DAO+∠FBO=50°，∴∠CAB+∠CBA=∠DAO+∠OAB+∠OBA+∠FBO=140°，∴∠C=180°﹣（∠CAB+∠CBA）=180°﹣140°=40°，故选：A．【点评】本题考查三角形内角和定理、直角三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识，学会把条件转化的思想．19．如图，乐乐将△ABC沿DE，EF分别翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA 与EB重合于线段EO，若∠DOF=139°，∠C为（）A．38°B．39°C．40°D．41°【分析】根据翻折的性质得出∠A=∠DOE，∠B=∠FOE，进而得出∠DOF=∠A+∠B，利用三角形内角和解答即可．【解答】解：∵将△ABC沿DE，EF翻折，∴∠A=∠DOE，∠B=∠FOE，∴∠DOF=∠DOE+∠EOF=∠A+∠B=139°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣139°=41°，故选：D．【点评】本题考查三角形内角和定理、翻折的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会把条件转化的思想，属于中考常考题型．20．如图，△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH ⊥BE，交BD于点G，交BC于点H．下列结论：①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C；③∠F=∠BAC﹣∠C；④∠BGH=∠ABE+∠C．其中正确个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】①根据BD⊥FD，FH⊥BE和∠FGD=∠BGH，证明结论正确；②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确；③证明∠DBE=∠BAC﹣∠C，根据①的结论，判断出错误；④根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确．【解答】解：①∵BD⊥FD，∴∠FGD+∠F=90°，∵FH⊥BE，∴∠BGH+∠DBE=90°，∵∠FGD=∠BGH，∴∠DBE=∠F，①正确；②∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∠BEF=∠CBE+∠C，∴2∠BEF=∠ABC+2∠C，∠BAF=∠ABC+∠C，∴2∠BEF=∠BAF+∠C，②正确；③∠ABD=90°﹣∠BAC，∠DBE=∠ABE﹣∠ABD=∠ABE﹣90°+∠BAC=∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC，∵∠CBD=90°﹣∠C，∴∠DBE=∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，由①得，∠DBE=∠F，∴∠F=∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，③错误；④∵∠AEB=∠EBC+∠C，∵∠ABE=∠CBE，∴∠AEB=∠ABE+∠C，∵BD⊥FC，FH⊥BE，∴∠FGD=∠FEB，∴∠BGH=∠ABE+∠C，④正确，∴正确的有①②④，共三个，故选：B．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键21．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A=90°，EG∥BC，且CG⊥EG 于G，下列结论：①∠CEG=2∠DCB；②∠DFB=∠CGE；③∠ADC=∠GCD；④CA平分∠BCG．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据平行线、角平分线、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．【解答】解：①∵EG∥BC，∴∠CEG=∠ACB，又∵CD是△ABC的角平分线，∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，故正确；④无法证明CA平分∠BCG，故错误；③∵∠A=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴∠ADC+∠BCD=90°．∵EG∥BC，且CG⊥EG，∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°，∴∠ADC=∠GCD，故正确；②∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，∴∠AEB+∠ADC=90°+（∠ABC+∠ACB）=135°，∴∠DFE=360°﹣135°﹣90°=135°，∴∠DFB=45°=∠CGE，∴∠CGE=2∠DFB，∴∠DFB=∠CGE，故正确．∴正确的为：①②③，故选：C．【点评】本题主要考查的是三角形内角和定理，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键．22．如图，△ABC，∠ABC、∠ACB的三等分线交于点E、D，若∠BFC=128°，∠BGC=114°，则∠A的度数为（）A．64°B．62°C．70°D．78°【分析】设∠GBC=x，∠DCB=y，在△BFC和△BGC中，根据三角形内角和定理列方程，相加可得：3x+3y的值，即可求结论．【解答】解：设∠GBC=x，∠DCB=y，在△BFC中，2x+y=180°﹣128°=52°①，在△BGC中，x+2y=180°﹣114°=66°②，解得：①+②：3x+3y=118°，∴∠A=180°﹣（3x+3y）=180°﹣118°=62°，故选：B．【点评】本题考查了三角形的内角和定理、三等分线的定义，利用整体的思想解决问题比较简便．23．如图，将一块直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C，若∠A=50°，则∠ABD+∠ACD的值为（）A．60°B．50°C．40°D．30°【分析】根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=130°，∠DBC+∠DCB=180°﹣∠DBC=90°，进而可求出∠ABD+∠ACD的度数．【解答】解：在△ABC中，∵∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，在△DBC中，∵∠BDC=90°，∴∠DBC+∠DCB=180°﹣90°=90°，∴∠ABD+∠ACD=130°﹣90°=40°；故选：C．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和为180°，此题难度不大．二．填空题（共17小题）24．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD与CE交于点M．若MN⊥BC于N，∠A=60°，则∠1﹣∠2=30度．【分析】利用三角形内角和和角平分线的定义，构建方程组即可解决问题；【解答】解：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠MBC=∠ABC，∠MCB=∠ACB，∴∠BMC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠A）=90°+∠A=120°，∴∠1+∠BMN=120°①，∵MN⊥BC，∴∠2+∠BMN=90°②，①﹣②得：∠1﹣∠2=30°．故答案为：30【点评】此题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型．25．如图所示，在△ABC中，∠A=52°，若∠ABC与∠ACB的角平分线交于点D1，得到∠D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，得到∠D2；依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，得到∠D5，则∠D5的度数是56°．【分析】根据角平分线的性质和三角形的内角和定理可得．【解答】解：∵∠A=52°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣52°=128°，又∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∴∠ABD1=∠CBD1=∠ABC，∠ACD1=∠BCD1=∠ACB，∴∠CBD1+∠BCD1=（∠ABC+∠ACB）=×128°=64°，∴∠BD1C=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣64°=116°，同理∠BD2C=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣96°=84°，依此类推，∠BD5C=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣124°=56°．故答案为：56°．【点评】此题主要考查角平分线的性质和三角形的内角和定理，解决本题的关键是利用三角形内角和定理．26．如图，三角形纸片ABC中，∠A=75°，∠B=60°，将纸片的一个角折叠，使点C落在△ABC内，∠α=25°，则∠β=65°．【分析】首先根据四边形内角和定理可得：∠α+∠β+（180°﹣∠C）+∠A+∠B=360°，再算出∠C的度数，代入相应数值，即可算出∠β．【解答】解：根据四边形内角和定理可得：∠α+∠β+（180°﹣∠C）+∠A+∠B=360°，∵∠A=75°，∠B=60°，∴∠C=45°，∵∠α=25°，∴25°+∠β+180°﹣45°+75°+60°=360°，解得∠β=65°．故答案为：65°．【点评】本题主要考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．27．如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A=55°，∠1=95°，则∠2的度数为15°．【分析】首先根据三角形内角和定理可得∠AEF+∠AFE=125°，再根据邻补角的性质可得∠FEB+∠EFC=360°﹣125°=235°，再根据由折叠可得：∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=235°，然后计算出∠1+∠2的度数，进而得到答案．【解答】解：∵∠A=55°，∴∠AEF+∠AFE=180°﹣55°=125°，∴∠FEB+∠EFC=360°﹣125°=235°，∵由折叠可得：∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=235°，∴∠1+∠2=235°﹣125°=110°，∵∠1=95°，∴∠2=110°﹣95°=15°，故答案为：15°．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，四边形的内角和等于360°，熟记定理并准确识图是解题的关键．28．如图，将△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A′，若∠C=135°，∠A=15°，则∠A′DB的度数为120°．【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠B，根据两直线平行，同位角相等可得∠ADE=∠B，再根据翻折变换的性质可得∠A′DE=∠ADE，然后根据平角等于180°列式计算即可得解．【解答】解：∵∠C=135°，∠A=15°，∴∠B=180°﹣∠A﹣∠C=180°﹣15°﹣135°=30°，∵△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A′，∴∠ADE=∠B=30°，∠A′DE=∠ADE=30°，∴∠A′DB=180°﹣30°﹣30°=120°．故答案为120°．【点评】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．29．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上一点，将△ABC沿DE折叠，使点A落在边BC上．若∠A=55°，则∠1+∠2+∠3+∠4=235度．【分析】依据三角形内角和定理，可得△ABC中，∠B+∠C=125°，再根据∠1+∠2+∠B=180°，∠3+∠4+∠C=180°，即可得出∠1+∠2+∠3+∠4=360°﹣（∠B+∠C）=235°．【解答】解：∵∠A=55°，∴△ABC中，∠B+∠C=125°，又∵∠1+∠2+∠B=180°，∠3+∠4+∠C=180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°﹣（∠B+∠C）=360°﹣125°=235°，故答案为：235．【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，综合运用各定理是解答此题的关键．30．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且A′B平分∠ABC，A′C 平分∠ACB，若∠BA′C=110°，则∠1+∠2=80°．【分析】连接AA′．首先求出∠BAC，再证明∠1+∠2=2∠BAC即可解决问题．【解答】解：连接AA′．∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∠BA'C=110°，∴∠A′BC+∠A′CB=70°，∴∠ABC+∠ACB=140°，∴∠BAC=180°﹣140°=40°，∵∠1=∠DAA′+∠DA′A，∠2=∠EAA′+∠EA′A，∵∠DAA′=∠DA′A，∠EAA′=∠EA′A，∴∠1+∠2=2（∠DAA′+∠EAA′）=2∠BAC=80°，故答案为80°．【点评】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识，属于中考常考题型．31．如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，∠B=48°，∠BAD=28°，将△ABD 沿AD折叠得到△AED，AE与BC交于点F，则∠AFC=104°．【分析】根据折叠的性质求出∠FAD=∠BAD=28°，根据三角形外角性质求出∠ADF，再根据三角形外角性质求出∠AFC即可．【解答】解：∵∠BAD=28°，将△ABD沿AD折叠得到△AED，AE与BC交于点F，∴∠BAD=∠FAD=28°，∵∠B=48°，∴∠ADF=∠B+∠BAD=48°+28°=76°，∴∠AFC=∠FAD+∠ADF=28°+76°=104°，故答案为：104．【点评】本题考查了折叠的性质和三角形外角的性质，能根据折叠的性质求出∠FAD的度数是解此题的关键．32．如图，已知AB、CD相交于点O，且∠A=38°，∠B=58°，∠C=44°，则∠D= 64°．【分析】根据三角形内角和定理即可求出答案．【解答】解：∵∠A+∠D=∠C+∠B，∴∠D=64°，故答案为：64°【点评】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是熟练运用三角形内角和定理，本题属于基础题型．33．如图，在△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE相交于点P，若∠A=70°，则∠BPC=110°．【分析】根据四边形的内角和等于360°，求出∠DPE的度数，再根据对顶角相等解答．【解答】解：∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，∴∠DPE=360°﹣90°×2﹣70°=110°，∴∠BPC=∠DPE=110°．故答案为：110°．【点评】本题考查了多边形的内角和，对顶角相等的性质，熟记定理并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．34．如图，△ABE和△ACD是△ABC分别沿着AB、AC翻折而成的，若∠1=140°，∠2=25°，则∠α度数为80°．【分析】依据∠1=140°，∠2=25°，可得∠3=15°，利用翻折变换前后对应角不变，得出∠2=∠EBA，∠3=∠ACD，进而得出∠BCD+∠CBE的度数，再根据三角形外角性质，即可得到∠α的度数．【解答】解：∵∠1=140°，∠2=25°，∴∠3=15°，由折叠可得，∠2=∠EBA=25°，∠3=∠ACD=15°，∴∠EBC=50°，∠BCD=30°，∴由三角形外角性质可得，∠α=∠EBC+∠DCB=80°，故答案为：80°．【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及三角形外角的性质的运用，利用翻折变换前后对应角不变得出是解题关键．35．如图，点D、E、F、G、H分别是△ABC的边上一点，将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在△ABC内点O处，则∠1+∠2为180°．【分析】根据折叠的性质得：∠A=∠DOE，∠B=∠GOH，∠C=∠EOF，中间以O 的顶点的周角为360°，和三角形内角和定理可得结论．【解答】解：由折叠的性质得：∠A=∠DOE，∠B=∠GOH，∠C=∠EOF，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠DOE+∠GOH+∠EOF=180°，∴∠1+∠2=360°﹣180°=180°，故答案为；180．【点评】本题考查了三角形内角和定理和折叠的性质，熟练掌握折叠前后的两个角相等是关键．36．如图，BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，BE、CF交于G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，则∠A=80°．【分析】根据三角形的内角和定理，及角平分线上的性质先计算∠ABC+∠ACB 的度数，从而得出∠A的度数．【解答】解：如图，连接BC．∵BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，∴∠ABE=∠DBE=∠ABD，∠ACF=∠DCF=∠ACD，又∠BDC=140°，∠BGC=110°，∴∠DBC+∠DCB=40°，∠GBC+∠GCB=70°，∴∠EBD+∠FCD=70°﹣40°=30°，∴∠ABE+∠ACF=30°，∴∠ABE+∠ACF+∠GBC+∠GCB=70°+30°=100°，即∠ABC+∠ACB=100°，∴∠A=80°．故答案为：80°．【点评】本题考查角平分线的性质及三角形的内角和定理，根据题意作出辅助线，构造出三角形是解答此题的关键．37．如图，是一个不规则的五角星，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．（用度数表示）【分析】根据三角形外角性质，可得∠1=∠C+∠2，∠2=∠A+∠D，那么有∠1=∠C+∠A+∠D，再根据三角形内角和定理有∠1+∠B+∠E=180°，从而易求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．【解答】解：如右图所示，∵∠1=∠C+∠2，∠2=∠A+∠D，∴∠1=∠C+∠A+∠D，又∵∠1+∠B+∠E=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．故答案是：180°．【点评】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质．三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和．38．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，∠DCE=∠DEC，点F在AC、点G在DE的延长线上，∠DFG=∠DGF．若∠EFG=35°，则∠CDF的度数为70°．【分析】根据三角形内角和定理求出x+y=145，在△FDC中，根据三角形内角和定理求出即可．【解答】解：∵∠DCE=∠DEC，∠DFG=∠DGF，∴设∠DCE=∠DEC=x°，∠DFG=∠DGF=y°，则∠FEG=∠DEC=x°，∵在△GFE中，∠EFG=35°，∴∠FEG+∠DGF=x°+y°=180°﹣35°=145°，即x+y=145，在△FDC中，∠CDF=180°﹣∠DCE﹣∠DFC=180°﹣x°﹣（y°﹣35°）=215°﹣（x°+y°）=70°，故答案为：70°．【点评】本题考查了三角形内角和定理，能求出x+y=145是解此题的关键．39．如图，在△ABC中，∠ABC=100°，∠ACB的平分线交AB边于点E，在AC边取点D，使∠CBD=20°，连接DE，则∠CED的大小=10（度）．【分析】根据题意和图象，通过作辅助线，可以求得∠CED的度数，本题得以解决．【解答】解：延长CB到F，∵在△ABC中，∠ABC=100°，∠CBD=20°，∴∠ABF=80°，∠ABD=80°，∴AB平分∠FBD，又∵∠ACB的平分线交AB边于点E，∴点E到边BF，BD，AC的距离相等，∴点E在∠ADB的平分线上，即DE平分∠ADB，∵∠DBC=∠ADB﹣∠ACB，∠DBC=20°，∴，∴10°=，∵∠DEC=∠ADE﹣∠ACE=，∴∠DEC=10°，故答案为：10．【点评】本题考查三角形内角和定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．40．如图，在△ABC中，∠A=70°∠B=50°，点D，E分别为AB，AC上的点，沿DE折叠，使点A落在BC边上点F处，若△EFC为直角三角形，则∠BDF的度数为110°或50°．【分析】由内角和定理得出∠C=60°，根据翻折变换的性质知∠DFE=∠A=70°，再分∠EFC=90°和∠FEC=90°两种情况，先求出∠DFC度数，继而由∠BDF=∠DFC ﹣∠B可得答案．【解答】解：∵△ABC中，∠A=70°、∠B=50°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=60°，由翻折性质知∠DFE=∠A=70°，当∠EFC=90°时，∠DFC=∠DFE+∠EFC=160°，则∠BDF=∠DFC﹣∠B=110°；当∠FEC=90°时，∠EFC=180°﹣∠FEC﹣∠C=30°，∴∠DFC=∠DFE+∠EFC=100°，∠BDF=∠DFC﹣∠B=50°；综上，∠BDF的度数为110°或50°，故答案为：110°或50°．【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质及三角形内角和定理，熟知折叠的性质、三角形的内角和定理、三角形外角性质是解答此题的关键．。
北师大版八年级数学上册：7.5.1《三角形内角和定理》
数学基础知识
艾宾浩斯遗忘曲线
数学解题
如何保证数量 选准一本与教材同步的辅导书或练习 册。 如何保证质量 题不在多，而在于精，学会“解剖麻雀”。
1.做完一节的全部练习后，对照答案进 落实：不仅要落实思维过程，而且要落 行批改。 实解答过程。 2.先易后难，先解决会做的题； 3.对于例题，有两种处理方式：“先做后 看”与“先看后测”。
)
A.40°
B.50°
C.60°
D.140°
关闭
B
答案
轻松尝试应用 1 2 3 4 5 6
2.下图能说明∠1>∠2 的是(
)
关闭
C
答案
轻松尝试应用 1 2 3 4 5 6
3.如图,AE∥BD,∠1=120°,∠2=40°,则∠C 的度数是(
)
A.10°
B.20°
C.30°
D.40°
关闭
因为直线 AE∥BD,所以∠2=∠AEC=40°. 又因为∠1+∠AEC+∠C=180°, 所以 B ∠C=20°.
关闭
解析
答案
轻松尝试应用轻 松尝试应用轻松 尝试应用轻松尝 试应用 1 2 3 4 5 6
4.已知在△ABC中,∠A=∠B=∠C,则∠C的度数是
.
关闭
90°
答案
轻松尝试应用 1 2 3 4 5 6
5.如图,∠1,∠2,∠3,∠4 的度数的和是
.
关闭
280°
答案
轻松尝试应用 1 2 3 4 5 6
5
三角形内角和定理
第一课时
三角形内角和定理
快乐预习感知
学前温故
新课早知
三角形的内角和是
180
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A
B C
7.5 三角形内角和定理
※课时达标
1.已知，如图1，△ABC 中，∠B=∠DAC ，则∠BAC 和∠ADC 的关系是( ).
A ．∠BAC ＜∠ADC
B ．∠BAC=∠AD
C C ．∠BAC ＞∠ADC
D ．不能确定
2.对于△ABC ，下列命题中是假命题的为 ( ) .
A.若∠A+∠B=∠C ，则△ABC 是直角三角形
B.若∠A+∠B ＞∠C ，则△ABC 是锐角三角形
C.若∠A+∠B ＜∠C ，则△ABC 是钝角三角形
D.若∠A=∠B=∠C ，则△ABC 是斜三角形
3.在△ABC 中，已知∠A+∠C=2∠B ，∠C －∠A=80°，则∠C 的度数是( ).
A ．60°
B ．80°
C ．100°
D ．120°
4.如图2，∠A 、∠DOE 和∠BEC 的大小关系是( ).
A ．∠A ＞∠DOE ＞∠BEC
B ．∠DOE ＞∠A ＞∠BEC
C ．∠BEC ＞∠DOE ＞∠A
D ．∠DO
E ＞∠BEC ＞∠A
5.如图3，∠B=∠C ，则∠ADC 与∠AEB 的关系是( ).
A ．∠ADC ＞∠AE
B B.∠ADC=∠AEB
C ．∠ADC ＜∠AEB
D ．不能确定
※课后作业
★基础巩固
1.在△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C=1∶2∶3，则∠C=________．
图3 A
B C
D E
F A B
D E 2.△ABC 中，若∠A=30°，∠B=2
1∠C ，则∠B=________，∠C=________． 3.△ABC 中，∠B=40°，∠C=60°，AD 是∠A 的平分线，则∠DAC 的度数为_____．
4.△ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB ，∠B=63°，则∠DCA=________．
5.如图4，点D 在△ABC 边BC 的延长线上，DE ⊥AB 于E ，交AC 于F ，∠B=50°，∠CFD=60°，则∠ACB=________．
☆能力提高 6.已知：如图，
AB ∥CD ，AD ∥BC ，∠1=50°， ∠2=80°．求
∠C 的度数．
7.已知：如图，D 是△ABC 的∠C 的外角平分线与BA 的延长线的交点．
求证：∠BAC ＞∠B ．
●中考在线
8.已知：如图，在△ABC 中，BD 、CE 是∠B 、∠C 的平分线，且相交于点O ．
求证：∠BOC=90°+
21∠A ．
21 A B C D D A B C E A B C D E
O
9.如图，已知DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠B＝70°，∠ACB＝50°，求∠EDC和∠BDC的度数.
A
D E
B C
10.如图，AB∥CD，EF⊥AB于O ，∠2＝135°，求∠1的度数．下面提供三个思路：（1）过F作FH∥AB，
（2）延长EF交CD于I；
（3）延长GF交AB于K．请你利用三个思路中的两个思路，求∠1的度数．。