2015年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)答案

2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I 试题参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5分，共计70分．1．5 2．6 34．7 5．566．3- 7．{|12}x x -<<（或(1,2)-） 8．3 910．22(1)2x y -+= 11．2011 12．213．4 14．二、解答题15．本小题主要考查余弦定理、正弦定理，同角三角函数关系与二倍角公式，考查运算求解能力．满分14分．解：（1）由余弦定理知，22212cos 4923272BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，所以BC =．（2）由正弦定理知，sin sin AB BC C A =，所以sin sin 7AB C A BC =⋅==． 因为AB BC <，所以C为锐角，则cos C ===．因此sin 22sin cos 2C C C =⋅== 16．本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．满分14分．证明：（1）由题意知，E 为1B C 的中点，又D 为1AB 的中点，因此DE ∥AC ．又因为DE ⊄平面11AAC C ，AC ⊂平面11AAC C ，所以DE ∥平面11AAC C ．（2）因为棱柱111ABC A B C -直三棱柱，所以1CC ⊥平面ABC ．因为AC ⊂平面ABC ，所以1AC CC ⊥．又因为AC BC ⊥，1CC ⊂平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B ，1BC CC C =I ，所以AC ⊥平面11BCC B ．又因为1BC ⊂平面11BCC B ，所以1BC AC ⊥．（第16题）ABCD EA 11C 1因为1BC CC =，所以矩形11BCC B 是正方形，因此11BC B C ⊥． 因为AC ，1B C ⊂平面1B AC ，1ACB C C =，所以1BC ⊥平面1B AC ．又因为1AB ⊂平面1B AC ，所以11BC AB ⊥．17．本小题主要考查函数的概念、导数的几何意义及其应用，考查运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力．满分14分．解：（1）由题意知，点M ，N 的坐标分别为(5,40)，(20,2.5)．将其分别代入2a y x b =+，得40,25 2.5,400aba b⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩解得1000,0.a b =⎧⎨=⎩（2）①由（1）知，21000y x =（520x ≤≤），则点P 的坐标为21000(,)t t设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 点，32000'y x=-，则l 的方程为2310002000()y x t t t-=--，由此得3(,0)2t A ，23000(0,)B t ．故()f t ==，[5,20]t ∈． ②设624410()g t t t ⨯=+，则651610'()2g t t t ⨯=-．令'()0g t =，解得t =当t ∈时，'()0g t <，()g t 是减函数； 当t ∈时，'()0g t >，()g t 是增函数． 从而，当t =()g t 有极小值，也是最小值， 所以min ()300g t =，此时min ()f t =．答：当t =l 的长度最短，最短长度为18．本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线的方程、直线与直线、直线与椭圆位置关系等基础知识，考查分析问题及运算求解能力．满分16分．解：（1）由题意，2c e a ==且23a c c +=， 解得a =，1c =，则1b =，P（第17题）所以椭圆的标准方程为2212x y +=．（2）当AB x ⊥轴时，AB =3CP =，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为(1)y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ， 将AB 的方程代入椭圆方程，得2222(21)42(1)0k x k x k +-+-=，则1,2x =C 的坐标为2222(,)1212k kk k -++，且则22)12k AB k+===+． 若0k =，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意．从而0k ≠，故直线PC 的方程为22212()1212k k y x k k k+=--++，则P 点坐标为2252(2,)(12)k k k +-+，从而222(3||(12)k PC k k +=+．因为2PC AB =22)12k k +=+，解得1k =±． 此时直线AB 方程为1y x =-或1y x =-+．19．本小题主要考查利用导数研究初等函数的单调性、极值及零点问题，考查综合运用数学思想方法分析与解决实际问题以及逻辑推理能力．满分16分．解：（1）2'()32f x x ax =+，令'()0f x =，解得10x =，223ax =-． 当0a =时，因为2'()30f x x =>（0x ≠），所以函数)(x f 在(,)-∞+∞上单调递增；当0a >时，2(,)(0,)3a x ∈-∞-+∞时，'()0f x >，2(,0)3ax ∈-时，'()0f x <， 所以函数)(x f 在2(,)3a -∞-，(0,)+∞上单调递增，在2(,0)3a -上单调递减；当0a <时，2(,0)(,)3a x ∈-∞-+∞时，'()0f x >，2(0,)3ax ∈-时，'()0f x <， 所以函数)(x f 在(,0)-∞，2(,)3a -+∞上单调递增，在2(0,)3a -上单调递减．（2）由（1）知，函数)(x f 的两个极值为b f =)0(，b a a f +=-3274)32(， 则函数)(x f 有三个零点等价于0)274()32()0(3<+=-⋅b a b a f f ，从而⎪⎩⎪⎨⎧<<->0274,03b a a 或⎪⎩⎪⎨⎧-<<<.2740,03a b a 又a c b -=，所以当0>a 时，02743>+-c a a 或当0<a 时，02743<+-c a a ． 设c a a a g +-=3274)(． 因为函数)(x f 有三个零点时，a 的取值范围恰好是),23()23,1()3,(+∞--∞ ， 则在)3,(--∞上0)(<a g ，且在),23()23,1(+∞ 上0)(>a g 均恒成立， 从而01)3(≤-=-c g ，且01)23(≥-=c g ，因此1=c ． 此时，]1)1()[1(1)(223a x a x x a ax x x f -+-++=-++=．因函数有三个零点，则01)1(2=-+-+a x a x 有两个异于1-的不等实根， 所以032)1(4)1(22>-+=---=∆a a a a ，且01)1()1(2≠-+---a a ， 解得),23()23,1()3,(+∞--∞∈ a ． 综上1=c ．20．本小题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，函数与方程等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分．解：（1）证明：因为da a a a n n nn 222211==-++（=n 1，2，3）是同一个常数，所以12a，22a，32a，42a依次构成等比数列． （2）令a d a =+1，则1a ，2a ，3a ，4a 分别为d a -，a ，d a +，d a 2+（d a >，d a 2->，0≠d ）．假设存在1a ，d ，使得1a ，22a ，33a ，44a 依次构成等比数列，则34))((d a d a a +-=，且426)2()(d a a d a +=+． 令a d t =，则3)1)(1(1t t +-=，且46)21()1(t t +=+（121<<-t ，0≠t ）， 化简得02223=-+t t （*），且12+=t t ．将12+=t t 代入（*）式，0143132)1(2)1(2=+=++=+=-+++t t t t t t t t ，则41-=t ．显然41-=t 不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在1a ，d ，使得1a ，22a ，33a ，44a 依次构成等比数列．（3）假设存在1a ，d 及正整数n ，k ，使得n a 1，k n a +2，kn a 23+，k n a 34+依次构成等比数列，则)(21211)()2(k n k n nd a d a a +++=+，且)2(21311)2()3()(k n k n k n d a d a d a ++++=++．分别在两个等式的两边同除以)(21k n a +及)2(21k n a +，并令1a dt =（31->t ，0≠t ），则)(22)1()21(k n k n t t +++=+，且)2(23)21()31()1(k n k n k n t t t ++++=++． 将上述两个等式两边取对数，得)1ln()(2)21ln()2(t k n t k n ++=++，且)21ln()2(2)31ln()3()1ln()(t k n t k n t k n ++=+++++． 化简得)]21ln()1ln(2[)]1ln()21[ln(2t t n t t k +-+=+-+， 且)]31ln()1ln(3[)]1ln()31[ln(3t t n t t k +-+=+-+． 再将这两式相除，化简得)1ln()31ln(4)1ln()21ln(3)21ln()31ln(t t t t t t ++=+++++ （**）． 令)(t g )1ln()21ln(3)21ln()31ln()1ln()31ln(4t t t t t t ++-++-++=， 则)31)(21)(1()]1ln()1(3)21ln()21(3)31ln()31[(2)('222t t t t t t t t t t g ++++++++-++=．令=)(t ϕ)1ln()1(3)21ln()21(3)31ln()31(222t t t t t t +++++-++，则=)('t ϕ)]1ln()1()21ln()21(2)31ln()31[(6t t t t t t +++++-++． 令)(')(1t t ϕϕ=，则=)('1t ϕ)]1ln()21ln(4)31ln(3[6t t t +++-+． 令)(')(12t t ϕϕ=，则0)31)(21)(1(12)('2>+++=t t t t ϕ．由0)0()0()0()0(21====ϕϕϕg ，0)('2>t ϕ，知)(2t ϕ，)(1t ϕ，)(t ϕ，)(t g 在)0,31(-和),0(+∞上均单调．故)(t g 只有唯一零点0=t ，即方程（**）只有唯一零点0=t ，故假设不成立． 所以不存在1a ，d 及正整数n ，k ，使得na 1，kn a +2，k n a 23+，kn a 34+依次构成等比数列．2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅱ（附加题）参考答案21．【选做题】A ．[选修4-1：几何证明选讲]本小题主要考查圆的基本性质和相似三角形等基础知识， 考查推理论证能力．满分10分．证明：因为AC AB =，所以C ABD ∠=∠．又因为E C ∠=∠，所以E ABD ∠=∠， 又BAE ∠为公共角，可知ABD ∆∽AEB ∆． B ．[选修4-2：矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的特征值与特征向量的概念等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 解：由已知，得αα2-=A ，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡2211101y x y x ， 则⎩⎨⎧=-=-,2,21y x 即⎩⎨⎧=-=,2,1y x 所以矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0211A ．从而矩阵A 的特征多项式)1)(2()(-+=λλλf ， 所以矩阵A 的另一个特征值为1． C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]本小题主要考查圆的极坐标方程、极坐标与直角坐标的互化等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy ． 圆C 的极坐标方程为04)cos 22sin 22(222=--+θθρρ， 化简，得04cos 2sin 22=--+θρθρρ．则圆C 的直角坐标方程为042222=-+-+y x y x ， 即6)1()1(22=++-y x ，所以圆C 的半径为6． D ．[选修4-5：不等式选讲]本小题主要考查含绝对值不等式的解法，考查分类讨论的能力．满分10分．（第21-A 题）解：原不等式可化为⎪⎩⎪⎨⎧≥---<23,23x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥.233,23x x 解得5-≤x 或31-≥x ． 综上，原不等式的解集是|{x 5-≤x 或}31-≥x ．22．【必做题】本小题主要考查空间向量、二面角和异面直线所成角等基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力．满分10分．解：以{，，}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -，则各点的坐标为B （1，0，0），C （1，1，0），D （0，2，0），P （0，0，2）． （1）因为⊥AD 平面PAB ，所以是平面PAB 的一个法向量，=（0，2，0）．因为=PC （1，1，2-），=PD （0，2，2-），设平面PCD 的法向量为=（x ，y ，z ），则0=⋅，0=⋅， 即⎩⎨⎧=-=-+.022,02z y z y x 令1=y ，解得1=z ，1=x ．所以=（1，1，1）是平面PCD 的一个法向量． 从而33,cos =>=<m AD ， 所以平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值为33． （2）因为=BP （1-，0，2），设==BP BQ λ（λ-，0，λ2）)10(≤≤λ，又=CB （0，1-，0），则=+=BQ CB CQ （λ-，1-，λ2），又=（0，2-，2）， 从而21021||||,cos 2++=>=<λλDP CQ ．设t =+λ21，∈t [1，3]，则109920)951(9291055,cos 2222≤+-=+->=<t t t t ．当且仅当59=t ，即52=λ时，|,cos |><的最大值为10103． 因为x y cos =在0(，)2π上是减函数，此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值． （第22题）又因为52122=+=BP ，所以55252==BP BQ ． 23．【必做题】本小题主要考查计数原理、数学归纳法等基础知识，考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力．满分10分． 解：（1）(6)13f =．（2）当6≥n 时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=-+-+++=-++++=+-+++=-++++=-+-++=+++=56),3221(2,46),312(2,36),321(2,26),322(2,16),3121(2,6),32(2)(t n n n n t n n n n t n n n n t n n n n t n n n n t n n n n n f （∈n N *）．下面用数学归纳法证明： ①当6=n 时，13362626)6(=+++=f ，结论成立； ②假设k n =（6≥k ）时结论成立，那么1+=k n 时，1+k S 在k S 的基础上新增加的元素在)1,1(+k ，)1,2(+k ，)1,3(+k 中产生，分以下情形讨论：1）若t k 61=+，则5)1(6+-=t k ，此时有3322123)()1(+-+-++=+=+k k k k f k f 31212)1(++++++=k k k ，结论成立； 2）若161+=+t k ，则t k 6=，此时有13221)()1(++++=+=+k k k k f k f 31)1(21)1(2)1(-++-++++=k k k ，结论成立； 3）若261+=+t k ，则16+=t k ，此时有2312122)()1(+-+-++=+=+k k k k f k f 32)1(212)1(-++++++=k k k ，结论成立； 4）若361+=+t k ，则26+=t k ，此时有232222)()1(+-+++=+=+k k k k f k f 3121)1(2)1(++-++++=k k k ，结论成立； 5）若461+=+t k ，则36+=t k ，此时有232122)()1(++-++=+=+k k k k f k f 31)1(212)1(-++++++=k k k ，结论成立； 6）若561+=+t k ，则46+=t k ，此时有131221)()1(+-+++=+=+k k k k f k f 32)1(21)1(2)1(-++-++++=k k k ，结论成立． 综上所述，结论对满足6≥n 的自然数n 均成立．。