高中数学必修1(北师版)第二章2.2 对函数的进一步认识知识点总结含同步练习与答案
高中数学第二章函数 函数概念学案含解析北师大版必修1
§2对函数的进一步认识2．1函数概念知识点一函数的有关概念[填一填]1．定义2．相关名称(1)自变量是x.(2)函数的定义域是集合A.(3)函数的值域是集合B.3．函数的记法集合A上的函数可记作：f：A→B或y＝f(x),x∈A.[答一答]1．任何两个集合之间都可以建立函数关系吗？提示：不是．首先这两个集合必须为数集,其次满足对一个集合中的任意一个数x,在另一个集合中都有唯一确定的数与之对应．2．对于一个函数y＝f(x),在定义域内任取一个x值,有几个函数值与其对应？提示：有唯一确定的一个函数值与其对应．3．f(x)与f(a)的区别与联系是什么？提示：当x和a都表示自变量时,f(x)与f(a)为同一个函数,但自变量表示不同．f(x)表示以x为自变量的函数．f(a)表示以a为自变量的函数．当x表示自变量,a表示常量时,(1)区别：f(a)是当x＝a时函数f(x)的值,是一个常量,而f(x)是自变量x的函数,一般情况下它是一个变量．(2)联系：f(a)是f(x)的一个特殊值．4．如何理解函数的对应法则？提示：对应法则指的是自变量与因变量之间的存在关系．知识点二区间及有关概念[填一填]1．区间的定义条件：a<b(a,b为实数)．结论：区间闭区间开区间左闭右开区间左开右闭区间符号[a,b](a,b)[a,b)(a,b]定义R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a} 符号(－∞,＋∞)[a,＋∞)(a,＋∞)(－∞,a](－∞,a)5．数集都能用区间表示吗？提示：不能．连续不间断数集可以用区间表示．不连续数集不能用区间表示．6．“∞”是一个数吗？提示：“∞”不是一个数,它指的是“无穷大”．7．区间之间可以像集合之间那样进行“交、并、补”运算吗？若A＝(1,＋∞),B＝(－∞,2],A∩B如何表示？提示：可以运算．A∩B＝(1,2]．1．对函数概念的三点说明(1)函数必须是建立在非空数集上的一个概念．若自变量的取值为空集,则这时函数是不存在的．(2)根据函数的概念,两个变量之间是否具有函数关系需要检验：定义域和对应法则是否给出；在对应法则之下每一个x是否只与唯一的y对应．(3)由于函数的值域被函数的定义域和对应法则完全确定,这样确定一个函数就只需要函数的定义域和对应法则,从而判定两个函数是否为同一个函数只需看其定义域和对应法则是否相同即可．2．对函数符号y＝f(x)的理解在这个函数符号y＝f(x)中,x是自变量,f表示的是对应法则,它可以看作是对x施行的某种运算法则,可以是一个代数式、也可以是一个表格,还可以是一个图像．3．f(x)与f(a)的区别与联系当x和a都表示自变量时,f(x)与f(a)为同一个函数,但自变量表示不同．f(x)表示以x为自变量的函数．f(a)表示以a为自变量的函数．当x表示自变量,a表示常量时,(1)区别：f(a)是当x＝a时函数f(x)的值,是一个常量．而f(x)是自变量x的函数,一般情况下它是一个变量．(2)联系：f (a )是f (x )的一个特殊值． 4．对区间的四点说明(1)区间表示的就是一个集合,只是一个特殊的集合——非空数集． (2)区间的左端点对应的值一定比右端点对应的值小．(3)区间的端点在区间内则写成闭的,如果不在区间内则写成开的．(4)在数轴上表示区间时,用实心的点表示闭区间的端点,用空心点表示开区间的端点.类型一 相同函数的判断【例1】 下列各组函数是否表示同一个函数？ (1)f (x )＝2x ＋1与g (x )＝4x 2＋4x ＋1； (2)f (x )＝x 2－xx与g (x )＝x －1；(3)f (x )＝|x －1|与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1 (x ≥1)，1－x (x <1)；(4)f (n )＝2n －1与g (n )＝2n ＋1(n ∈Z )； (5)f (x )＝x 2－2x 与g (t )＝t 2－2t .【思路探究】 根据解析式判断两个函数f (x )和g (x )是否是同一个函数的步骤是：①先求函数f (x )和g (x )的定义域,如果定义域不同,那么它们不相同,如果定义域相同,再执行下一步；②化简函数的解析式,如果化简后的函数解析式相同,那么它们相同,否则它们不相同．【解】 (1)g (x )＝|2x ＋1|,f (x )与g (x )的对应关系不同,因此是不同的函数． (2)f (x )＝x －1(x ≠0),f (x )与g (x )的定义域不同,因此是不同的函数．(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1 (x ≥1)1－x (x <1),f (x )与g (x )的定义域相同,对应关系相同,因此是相同的函数．(4)f (n )与g (n )的对应关系不同,因此是不同的函数．(5)f (x )与g (t )的定义域相同,对应关系相同,自变量用不同字母表示,仍为同一函数． 规律方法 函数概念含有三个要素,即定义域A ,值域C 和对应关系f ,其中核心是对应关系f ,它是函数关系的本质特征．只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才是同一函数．换言之就是：(1)定义域不同,两个函数也就不同． (2)对应关系不同,两个函数也是不同的．(3)即使定义域和值域都分别相同的两个函数,它们也不一定是同一函数,因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应关系．(1)下列每组函数是同一函数的是( B ) A ．f (x )＝x －1,g (x )＝(x －1)2B ．f (x )＝|x －3|,g (x )＝(x －3)2C ．f (x )＝x 2－4x －2,g (x )＝x ＋2D ．f (x )＝(x －1)(x －3),g (x )＝x －1·x －3 (2)下列每组中两个函数是同一函数的组数为3. ①f (x )＝x 2＋1和f (v )＝v 2＋1 ②y ＝1－x 2|x ＋2|和y ＝1－x 2x ＋2③y ＝x 和y ＝x 3＋x x 2＋1解析：①中对应法则相同,定义域相同,只是表示自变量的字母不同,所以是同一函数． ②中定义域相同,化简后对应法则相同,所以是同一函数． ③化简后对应法则相同,定义域也都是R ,所以是同一函数． 类型二 求函数的定义域 【例2】 求下列函数的定义域． (1)f (x )＝4－xx ＋1； (2)y ＝－x2x 2－3x －2；(3)f (x )＝2x ＋3－12－x ＋1x； (4)y ＝31－1－x.【思路探究】 若一个函数是由两个或两个以上的数学式子的和、差、积、商构成的,则定义域是使各部分有意义的自变量的取值集合的交集．【解】 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧4－x ≥0，x ＋1≠0，解得x ≤4且x ≠－1.所求定义域为{x |x ≤4且x ≠－1}．(2)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧－x ≥0，2x 2－3x －2≠0，解得x ≤0且x ≠－12.所求定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤0且x ≠－12. (3)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，2－x >0，x ≠0，解得－32≤x <2且x ≠0.所求定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x <2且x ≠0.(4)由已知得⎩⎨⎧1－x ≥0，1－1－x ≠0，解得x ≤1且x ≠0.所求定义域为{x |x ≤1且x ≠0}．规律方法 函数y ＝f (x )以解析式的形式给出时,函数的定义域就是使这个解析式有意义的自变量的取值范围,具体来说,常有以下几种情况：(1)f (x )为整式型函数时,定义域为R ；(2)f (x )为分式型函数时,定义域为使分母不为零的实数的集合； (3)f (x )为偶次根式型函数时,定义域为使被开方数非负的实数的集合； (4)函数y ＝x 0中的x 不为0；(5)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合,即列出不等式组求各不等式解集的交集．求下列函数的定义域： (1)f (x )＝1x －2； (2)f (x )＝2x ＋6； (3)f (x )＝1－x ＋15＋x ；(4)f (x )＝4－x 22＋x.解：(1)因为使式子1x －2有意义的实数的集合为{x |x ≠2},所以函数f (x )＝1x －2的定义域为{x |x ≠2}．(2)因为使式子2x ＋6有意义的实数的集合为{x |x ≥－3},所以函数f (x )＝2x ＋6的定义域为{x |x ≥－3}．(3)因为使式子1－x 有意义的实数的集合为{x |x ≤1},使式子15＋x有意义的实数的集合为{x |x ≠－5},所以函数f (x )＝1－x ＋15＋x的定义域为{x |x ≤1,且x ≠－5}．(4)因为使式子4－x 22＋x 有意义的实数的集合为{x |x ≠－2},所以函数f (x )＝4－x 22＋x 的定义域为{x |x ≠－2}．类型三 求函数的值域 【例3】 求下列函数的值域： (1)y ＝12x 2－1,x ∈{－1,0,1,2,3,4}；(2)y ＝3＋x 4－x ；(3)y ＝2x 2－4x ＋3； (4)y ＝1－x 21＋x 2.【思路探究】 求函数的值域就是通过函数定义域中x 的取值,根据对应关系确定y 的取值．【解】 (1)(观察法)将x ＝－1,0,1,2,3,4分别代入y ＝12x 2－1,得y ＝－12,－1,－12,1,72,7.∴此函数的值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－12，1，72，7.(2)方法1(分离常数法)：y ＝3＋x 4－x ＝－(4－x )＋74－x ＝－1＋74－x. ∵74－x≠0,∴y ≠－1,∴此函数的值域为{y |y ≠－1}． 方法2(反解法)：∵y ＝3＋x4－x ,∴4y －xy ＝x ＋3,∴x ＝4y －3y ＋1,y ≠－1,∴此函数的值域为{y |y ≠－1}．(3)(配方法)∵2x 2－4x ＋3＝2(x －1)2＋1≥1, ∴y ＝2x 2－4x ＋3≥1＝1, ∴此函数的值域为[1,＋∞)．(4)(分离常数法)∵y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x 2,而该函数的定义域为R , ∴1＋x 2≥1,∴0<21＋x 2≤2,∴－1<－1＋21＋x 2≤1,∴此函数的值域为(－1,1]．规律方法 求函数的值域时,一定要将最终的结果表示成集合或者区间的形式．在用列举法表示函数的值域时,如(1),要注意相同的元素归入一个集合时,只能算作一个．(1)如果f (x )＝x 2－x －6,则f (5)＝14. (2)函数y ＝8x 2(1≤x ≤2)的值域为[2,8]．(3)函数y ＝2x 3x －4的值域是(－∞,23)∪(23,＋∞)．解析：(1)由f (x )＝x 2－x －6得f (5)＝25－5－6＝14. (2)因为1≤x ≤2,所以1≤x 2≤4,14≤1x 2≤1,故2≤8x2≤8.(3)y ＝2x 3x －4＝23(3x －4)＋833x －4＝23＋83(3x －4),因为83(3x －4)恒不为零,而且可以取到其他的所有实数,所以y ≠23.——易错误区—— 忽视函数的定义域导致的错误【例4】 若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2},值域为N ＝{y |0≤y ≤2},则函数y ＝f (x )的图像可能是( )【错解】 选A 或选D.【正解】 B 选项A 中,在集合M 中,当x >0时的元素在N 中没有数与之对应①,不符合函数的定义； 选项C 中,一个变量x 可能对应着两个y 的值,也不符合函数的定义； 选项D 中,一个x 对应着一个y ,但N 为值域②,所以集合N 中的每一个数在M 中也必须有数与之对应,但是N 中存在数在M 中没有数与之对应．故选B.【错因分析】 1.忽视①处即函数定义域中的每一个元素都要有元素与之对应； 2．忽视题目给出的条件即②处N 是函数的值域,而导致错选D. 【防范措施】 1.深刻理解函数定义中的条件对于定义域中的每一个数在对应法则之下都要有唯一一个数与之对应,只要在定义域中存在一个数找不到与之对应的元素,或者是一个数对应着两个或以上的数时均不能称为函数．如本例中的A 项在x >0时,没有数与之对应,故不是函数y ＝f (x )的图像．2．认真审题解题时,除了掌握常规的知识外,还要认真审题,如本例中的集合N 为值域,故也要保证N 中的每个数在M 中也要有数与之对应．设M ＝{x |0≤x ≤2},N ＝{y |0≤y ≤2},给出如图所示的四个图形,其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有( B )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：由函数的定义知,M 中任一元素在N 中都有唯一的元素与之对应,即在x 轴上的区间[0,2]内任取一点作y 轴的平行线,与图像只有一个交点即可．由函数定义知①不是,因为集合M 中1<x ≤2时,在N 中无元素与之对应；③中的x ＝2对应元素y ＝3∉N ,所以③不是；④中x ＝1时,在N 中有两个元素与之对应,所以④不是．一、选择题1．下列关于函数与区间的说法正确的是( D ) A ．函数定义域必不是空集,但值域可以是空集 B ．函数定义域和值域确定后,其对应法则也就确定了 C ．数集都能用区间表示D ．函数中一个函数值可以有多个自变量值与之对应解析：函数的定义域和值域都是非空的数值,故A 错；函数的定义域和对应法则确定后,函数的值域也就确定了,故B 错；数集不一定能用区间表示,故C 错,选D.2．符号y ＝f (x )表示( B ) A ．y 等于f 与x 的积 B ．y 是x 的函数C ．对于同一个x ,y 的取值可能不同D ．f (1)表示当x ＝1时,y ＝1解析：符号y ＝f (x )是一个整体符号,表示y 是x 的函数,则A 错,B 正确；由函数的定义知,对于同一个自变量x 的取值,变量y 有唯一确定的值,则C 错； f (1)表示x ＝1对应的函数值,则D 错．故选B.3．与y ＝x 是同一个函数的是( D ) A ．y ＝|x | B ．y ＝x 2 C ．y ＝x 2xD ．y ＝t解析：对于函数y ＝x 定义域和值域均为R ,而选项A 与B 的值域为[0,＋∞),故A 与B 错；对选项C,定义域为{x |x ∈R 且x ≠0},只有D 正确．二、填空题4．函数y ＝x ＋1x的定义域为{x |x ≥－1,且x ≠0}． 解析：本题考查函数定义域,要使y ＝x ＋1x 有意义,则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0x ≠0,所以解得x ≥－1且x ≠0,即函数定义域为{x |x ≥－1,且x ≠0},求函数定义域和值域的结果都应写成“解集”形式．本题结果还可表示为[－1,0)∪(0,＋∞)等．5．下列函数是同一函数的序号为(3)．(1)f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 x ≥0，－1 x <0；(2)f (x )＝x 2与g (x )＝3x 3； (3)f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝(t －1)2.解析：对于(1)来说,f (x )的定义域中不含有0,而g (x )的定义域为R ,定义域不同． 对于(2)来说,两个函数的定义域都为R ,但f (x )＝|x |,而g (x )＝x ,解析式不同． 故(1)(2)都不是同一函数．而对于(3)来说,尽管两个函数的自变量一个用x 表示,另一个用t 表示,但它们定义域相同,对定义域内同一个自变量,根据表达式,都能得到同一函数值,因此二者是同一函数．三、解答题6．已知函数f (x )＝x 2＋x －1,求 (1)f (2)； (2)f (1x＋1)；(3)若f (x )＝5,求x 的值． 解：(1)f (2)＝4＋2－1＝5.(2)f (1x ＋1)＝(1x ＋1)2＋(1x ＋1)－1＝1x 2＋3x ＋1.(3)f (x )＝5,即x 2＋x －1＝5. 由x 2＋x －6＝0得x ＝2或x ＝－3.。
高中数学必修一 第二章 函数 知识点整理
第二章函数2.1 函数1. 函数（1）函数的定义传统定义：在某一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于在某一个范围内的任一个x的值，都有唯一的y值与它对应，则称y是x的函数，x叫做自变量，y叫做因变量。
近代定义：给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于A中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫做定义在A 上的函数，记作A→B，或y=f(x)，x∈A，此时，x叫做自变量，集合A叫做函数的定义域，集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域，习惯上我们称y是x的函数。
两个定义间的联系：函数的两个定义本质是一致的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合的观点出发。
这样，就不难得知函数的实质是从非空数集A到非空数集B的一个特殊对应。
（2）函数概念的理解①A、B都是非空数集，因此定义域（或值域）为空集的函数不存在。
②在现代定义中，B不一定是函数的值域，如函数y=x2+1可称为实数集R到实数集R的函数，但值域为[1,+∞)。
③对应关系、定义域、值域是函数的三要素，缺一不可，其中对应关系是核心，定义域是根本，当定义域和对应关系已确定，则值域也就确定了。
④函数符号f(x)的含义：f(x)是表示一个整体，一个函数，而记号“f”可以看作是对“x”施加的某种法则（或运算），如f(x)=x2-2x+3，当x=2时，可看做是对“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去它与2的积，再加上3；当“x”为某个代数式（或某一个函数记号）时，则左右两边的所有x都用同一个代数式（或函数记号）代替，如f(2x-1)=(2x-1)2-2(2x-1)+3，f[g(x)]=[g(x)]2-2g(x)+3等，f(a)与f(x)的区别就在于前者是函数值，是常数；而后者是因变量，是变量。
（3）函数的定义域函数的定义域是自变量x的取值范围，但要注意，在实际问题中，定义域要受到实际意义的制约。
高中数学第二章函数2.2对函数的进一步认识(2)教案北师大版必修1
2.2 函数的表示法【教材分析】学生继在初中用运动变化的观点对函数进行定义的基础上，将初中定义中自变量的取值集合与函数值所在的集合抽象出来，上升为高中数学对函数的定义，此定义运用集合与对应的观点来认识函数，更强调两个集合之间的对应关系，实际上是一种微观考查，是对初中定义进行了抽象化、精细化的处理，更加突出了函数概念的本质。
比起初中的学习显得更加抽象，而为了研究函数的性质，我们就要从不同的角度、用不同的方法来表述函数以对其进行探究，帮助我们更深刻地理解函数的性质。
实际上用不同的方法表示函数是研究函数性质的重要手段。
因此，本节内容是上节相关内容的进一步深化。
【学情分析】1.学生的认知起点：本节课的教学对象是高一年级的学生，在本课之前，学生已经在初中用运动变化的观点对函数进行定义的基础上，抽象为高中数学对函数的定义；为了今后进一步探究具体函数的性质，需要从数和形等方面以不同的角度、用不同的方法进行研究，来认识函数的本质。
本节学习的函数的三种表示方法就是为今后研究函数性质作必要的准备，对于学生来说，要真正弄懂它们之间的关系，并能够灵活运用还需要较长一段的时间。
2.学习障碍：对于刚升入高中的高一年级学生来说，函数概念是学生学习的一个难点，由于函数的概念本身就较为抽象，而要想进一步了解函数的性质就更加困难，所以教材在编排上采取了初中、高中逐步深入，适当反复的方法，但这种反复不完全是简单的重复，而是采用从不同的角度、用不同的方法来表示函数以达到在相应层面上逐步深化、提高，从而更好地掌握函数的性质和特征。
学生要想真正掌握这部分内容需要一个较长的过程才能不断完善。
3.心理上：一方面要运用学生身边生活中的实例、直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面要创设条件，让学生自主探究、合作交流，学会提出问题、分析问题、解决问题，充分发挥学生的主观能动性和创造性。
【教学目标】（一）知识与技能：掌握函数的三种表示方法；（二）过程与方法1.会根据不同的实际问题情境选择恰当的方法表示函数；2.了解函数三种表示方法的优缺点，尝试用三种不同的形式表示同一个函数。
北师大版高中数学必修1《二章 函数 2 对函数的进一步认识 2.2 函数的表示法》示范课课件_30
阶
段
段
一
三
2．2 函数及其表示
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1．掌握函数常用的三种表示法．(重点) 2．能根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，了解函数不同表示法的优 缺点． 3．理解分段函数及其表示法，会处理某些简单的分段函数问题．(难点)
[基础·初探] 教材整理 1 函数的表示法 阅读教材 P28～P29“例 2”以上内容，完成下列问题．
x|0＜x≤1＋2a2t t.
此类问题要根据题目的特点选择表示方法，一般情况下用解析法表示.用解 析法表示时，首先找出自变量 x 和函数 y，然后利用题干条件用 x 表示 y，最后 写出定义域.注意：求实际问题中函数的定义域时，除考虑函数解析式有意义外， 还要考虑使实际问题有意义.
(3)在原式中以－x 替换 x，得 af(－x)＋f(x)＝－bx， 于是得aaffx－＋xf＋－fxx＝ ＝b－x，bx， 消去 f(－x)，得 f(x)＝a－bx1. 故 f(x)的解析式为 f(x)＝a－b 1x.
分段函数
[探究共研型]
探究 1 画出函数 y＝|x|的图像，并求 f(－3)，f(3)，f(－1)，f(1)的值．
－3t＋90， t∈[20，30].
由上式可得，t＝9 s 时， 质点的速度 v(9)＝3×9＝27(cm/s)．
[构建·体系]
1．如图，函数 y＝|x＋1|的图像是( )
【解析】 【答案】
y＝|x＋1|＝x－＋x1－，1x，≥x－ ＜1－，1. A
x2＋1，x≤1
2．设函数 f(x)＝2x，x＞1
【提示】 当 a≤0 时，f(a)＝－a. ∵f(a)＝4，∴－a＝4，∴a＝－4. 当 a＞0 时，f(a)＝a2. ∵f(a)＝4，∴a2＝4，∴a＝2，或 a＝－2(舍去)． 综上 a＝－4 或 2.
高中数学北师大版必修1第2章 §1 §2 2.1 函数概念
• 固
新
双
知 应，故圆的面积是半径的函数．
基
合
(2)消费支出随家庭收入的变化而变化，消费支出与家庭收入之间存在
作
课
探 究
依赖关系，但消费支出还要受到其他因素的影响，二者之间不是函数关系．
时 分
• 攻
(3)人的身高与视力之间不存在依赖关系．
层 作
重
业
难
返 首 页
自
当
主
堂
预
达
习 •
(4)价格不变的情况下，商品销售额随销售量的变化而变化，二者存在
探
固
新
A．{x|x≤1}
B．{x|x≥0}
双
知
基
C．{x|x≥1，或x≤0}
D．{x|0≤x≤1}
合
作
课
探
究 • 攻
D [依题意，得x1≥－0x≥0 ，解得0≤x≤1.]
时 分 层 作
重
业
难
返 首 页
自
[合 作 探 究·攻 重 难]
当
主
堂
预
生活中的变量关系及判断
达
习
标
•
•
探 新
下列两个变量之间是否存在依赖关系，其中哪些是函数关系？
标 •
探
固
新 发生变化时，另一个变量是否会随之变化．
双
知
基
2．判断两个具有依赖关系的变量是否是函数关系，关键是看二者之间
合 作
的关系是否具有确定性，即验证对于一个变量的每一个值，另一个变量是否
课
探
时
究 •
课
探
时
究
分
•
层
攻
高中数学北师大版必修1第二章《函数》复习 PPT课件 图文
网络构建
核心归纳
知识点一 对函数的进一步认识
(1)函数是描述变量之间依赖关系的重要数学 模型．它的三要素是定义域、值域和对应关 系．函数的值域是由定义域和对应关系所确 定的．
(2)研究函数要遵从“定义域优先”的原则， 表示函数的定义域和值域时，要写成集合的 形式，也可用区间表示．
(3)函数的表示方法有三种：解析法、图像法 和列表法．在解决问题时，根据不同的需要， 选择恰当的方法表示函数是很重要的．
3．幂函数的奇偶性
令 α＝pq(其中 p，q 互质，p，q∈N*，q>1)．
p
(1)若 q 为奇数，则 y＝xq 的奇偶性取决于 p 是奇数还是偶
p
p
数．当 p 是奇数时，y＝xq 是奇函数；当 p 是偶数时，y＝xq
是偶函数．
p
(2)若 q 为偶数，则 p 必是奇数，此时 y＝xq 既不是奇函数，
察前三个图像，由于在第一象限内，函数值随 x 的增大而减
小，则幂指数 α 应小于零．其中第一个函数图像关于原点对
称，第二个函数图像关于 y 轴对称，而第三个函数的定义域
1
为(0，＋∞)，所以第一个图像对应 y＝x－3 ，第二个图像对
2
3
应 y＝x－3 ，第三个图像对应 y＝x－2 .后四个图像都通过(0,0)
D．12，2，－2，－12
解析 考查幂函数y＝xα的指数α与图像的关 系．①α>0时，当x>1时，指数大的图像在上 方，当0<x<1时，指数大的图像在下方．② α<0时，当x>1时，指数大的图像在上方，当 0<x<1时，指数大的图像在下方．故无论指 数正负，当x>1时，指数大的图像在上方， 当0<x<1时，指数大的图像在下方．由图像 知C1，C2的指数为正，排除A，C，x>1时， C1在C2上方，所以C1的指数大于C2的指 数．故选B．
高一数学北师大版必修1课件：第2章 函数 2.2 对函数的进一步认识 2.2.3 映射
【思路点拨】 解答本题中的(1)只要将 x＝1，y＝2 代入对应关系
求出(3x－2y＋1,4x＋3y－1)的值即可；解答(2)可利用方程的观点，解
方程组3x－2y＋1＝1，
4x＋3y－1＝2 求出 x、y 的值便可．(3)即方
程组3a－2b＋1＝a， 4a＋3b－1＝b 是否有解．
【解析】 (1)当 x＝1，y＝2 时，3x－2y＋1＝0,4x＋3y－1＝9. 故 A 中元素(1,2)的像为(0,9)．
对应，记这种对应所成的映射 f：A→B.若集合 B＝{1,2,3,4,5}，那么集
合 A 不可能是( )
A．{4,6,8}
B．{4,6}
C．{2,4,6,8}
D．{10}
【解析】 按对应法则“先乘12再减 1”，结合集合 B＝{1,2,3,4,5} 可知 A 中的元素可以为 4,6,8,10,12.但是不可能为 2.由映射的定义可知， 选 C.
跟踪训练 3 若将本例中的条件改为“f(a)·f(b)＝f(c)”，这样的映 射有几个？
【解析】 由于 f(a)、f(b)、f(c)的取值属于{－1,0,1}，故 f(a)·f(b) ＝f(c)时，f(a)，f(b)，f(c)取值的情况如表所示．
f(a) f(b) f(c) 1 －1 －1 －1 1 －1 111 －1 －1 1 －1 0 0 0 －1 0 000 100 010 由表可知这样的映射有 9 个．
2.2.3 映射
【课标要求】 1.了解映射的概念，知道什么叫一一映射. 2.理解函数与映射的区别和联系．
[基础·初探] 教材整理 1 映射的概念 阅读教材 P32 的有关内容，完成下列问题． 1．映射的概念 两个 非空 集合 A 与 B 间存在着对应关系 f，而且对于 A 中的 每一个 元 素 x，B 中总有 唯一 的一个元素 y 与它对应，就称这种对应为从 A 到 B 的映 射，记作 f：A→B .
北师大版高中数学必修1《二章 函数 2 对函数的进一步认识 2.2 函数的表示法》示范课课件_28
学习目标
1.能利用函数的图像研究方程பைடு நூலகம்根的个数问题； 2.能利用函数的图像求参数的取值范围.
2.
y 4
3
2
1
–1 O –1
x 123456
–2
(1)
y 3
2
1
–2 –1 O –1
x
1
2
3
4
(2)
3.
y 3
2
1
–2 –1 O –1
x
1
2
3
4
5
–2
–3
4. a>0
讨论探究一及变式：
1、本题中分段函数图像如何作出,应注意什 么？
2、探究一中方程的根及变式中函数的零点 应分别等价转化成什么求解？
3、总结哪几类问题可以转化成同一种方法 来解决？
探究二
y 3
2
1
–2
–1 O
–1
x
1
2
3
4
讨论探究二变式：
1、本题中分段函数第一段函数解析式带有 参数，图像怎么作？
2、变式及思考中函数零点个数的区别可以 转化成什么解决？
达标检测
1、C
2、1 b 2 3、 3 a 1
4
课堂总结
函数的图像（3）
考纲展示
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择图像法、列表 法、解析法表示函数. 2.会运用函数图像理解和研究函数的性质，解决方程解 的个数与不等式的解的问题.
考情分析
以基本初等函数的图像以及图像的变换为辅助，进 行数值比较、求方程的近似解、求函数的零点、求集合、 求参数的取值范围等是高考考查热点，重点考查学生综 合运用知识能力、数形结合思想、函数与方程思想，题 型以选择题、填空题为主，属中档题。
北师大版高中数学课本目录(含重难点及课时分布)
高中数学课本内容及其重难点北师大版高中数学必修一·第一章集合（考点的难度不是很大，是高考的必考点）· 1、集合的基本关系· 2、集合的含义与表示· 3、集合的基本运算（重点)（2课时）·第二章函数· 1、生活中的变量关系· 2、对函数的进一步认识· 3、函数的单调性（重点）· 4、二次函数性质的再研究（重点)· 5、简单的幂函数(5课时)·第三章指数函数和对数函数· 1、正整数指数函数· 2、指数概念的扩充· 3、指数函数（重点）· 4、对数· 5、对数函数（重点）· 6、指数函数、幂函数、对数函数增减性（重点）(3课时）·第四章函数应用· 1、函数与方程· 2、实际问题的函数建模（2课时）北师大版高中数学必修二·第一章立体几何初步· 1、简单几何体· 2、三视图（重点）· 3、直观图（1课时）· 4、空间图形的基本关系与公理（重点)· 5、平行关系(重点）· 6、垂直关系（重点)· 7、简单几何体的面积和体积（重点）· 8、面积公式和体积公式的简单应用(重点、难点）(4课时）·第二章解析几何初步· 1、直线与直线的方程· 2、圆与圆的方程· 3、空间直角坐标系（4课时）北师大版高中数学必修三·第一章统计· 1、统计活动：随机选取数字· 2、从普查到抽样· 3、抽样方法· 4、统计图表· 5、数据的数字特征(重点）· 6、用样本估计总体· 7、统计活动：结婚年龄的变化· 8、相关性· 9、最小二乘法(3课时)·第二章算法初步· 1、算法的基本思想· 2、算法的基本结构及设计（重点）· 3、排序问题（重点）· 4、几种基本语句（2课时）·第三章概率· 1、随机事件的概率（重点）· 2、古典概型(重点）· 3、模拟方法――概率的应用（重点、难点）（4课时)北师大版高中数学必修四·第一章三角函数· 1、周期现象与周期函数· 2、角的概念的推广· 3、弧度制· 4、正弦函数（重点)· 5、余弦函数（重点）· 6、正切函数(重点）· 7、函数的图像（重点)· 8、同角三角函数的基本关系(重点、难点）（5课时）·第二章平面向量· 1、从位移、速度、力到向量· 2、从位移的合成到向量的加法（重点）· 3、从速度的倍数到数乘向量（重点）· 4、平面向量的坐标（重点)· 5、从力做的功到向量的数量积(重点）· 6、平面向量数量积的坐标表示（重点)· 7、向量应用举例（难点）（5课时）·第三章三角恒等变形(重点）· 1、两角和与差的三角函数· 2、二倍角的正弦、余弦和正切· 3、半角的三角函数· 4、三角函数的和差化积与积化和差· 5、三角函数的简单应用（难点）（4课时)北师大版高中数学必修五·第一章数列· 1、数列的概念· 2、数列的函数特性· 3、等差数列（重点）· 4、等差数列的前n项和（重点）· 5、等比数列（重点）· 6、等比数列的前n项和（重点)· 7、数列在日常经济生活中的应用(6课时）·第二章解三角形（重点）· 1、正弦定理与余弦定理正弦定理· 2、正弦定理· 3、余弦定理· 4、三角形中的几何计算（难点）· 5、解三角形的实际应用举例(6课时）·第三章不等式· 1、不等关系· 1。
高一数学必修1(北师大版)第2章归纳总结
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
专题探究
第二章 ·本章归纳总结
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函数的定义域 [例 1] (1)求函数 y＝ |xx2＋－13|－x－24的定义域． (2)已知 y＝f(1－2x)的定义域是[－1,2]，求函数 y＝f(x)的 定义域．
第二章 ·本章归纳总结
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[解析] (1)y＝－12＋221x＋1 5. ∵x≥0，∴2x＋5≥5.∴0<2x＋1 5≤15. ∴－12<y≤35. ∴原函数的值域为(－12，35]．
第二章 ·本章归纳总结
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
(2)y＝x2x－2－x＋x 1＝x2x－2－x＋x＋1－1 1＝1－x2－1x＋1， ∵x2－x＋1＝(x－12)2＋34≥34， ∴0<x2－1x＋1≤43， ∴－13≤1－x2－1x＋1<1， ∴原函数的值域为[－13，1)．
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
3．函数的性质
函数的性质主要包括函数的单调性、奇偶性，这是考试
考查的重点中的重点，与此相关的综合题，不仅局限于函数
本身的综合，还可以是与不等式的交叉综合，但归根结底都
要利用函数的性质来进行解题．
4．二次函数
熟练掌握二次函数的三种表示方式：
(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
第二章 ·本章归纳总结
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
(1)已知函数 y＝f(x)的定义域为[－1,3]，求函数 f(x2－1) 的定义域．
(2)已知函数 f(x2－1)的定义域为[－1,3]，求 f(1－3x)的定 义域．
高中数学北师大版必修一：第二章 函数概念 x
梳理
函数的概念： 给定两个 非空数集 A和B，如果按照某个对应关系 f，对于集合 A 中任何 一个数x，在集合 B 中都存在 唯一确定 的数f(x)与之对应，那么就把对应 关系f叫作定义在集合A上的函数，记作f：A→B，或 y＝f(x) ， x∈A. 其 中，x叫作 自变量 ，集合A叫作函数的 定义域 ，集合{f(x)|x∈A}叫作函 数的 值域 .习惯上我们称y是x的函数. 用函数的上述定义可以轻松判断：A＝{0}，B＝{1}，f：0→1，满足函数 定义，其图像(0,1)自然是函数图像.
R
[a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) (－∞，＋∞)
取遍数轴上所有的值
2.注意：(1)“∞”读作无穷大，是一个符号，不是数，以－∞或＋∞作为 区间一端时，这一端必须是小括号. (2)区间是数集的另一种表示方法，区间的两个端点必须保证左小、右大.
题型探究
类型一 函数关系的判断 命题角度1 给出三要素判断是否为函数 例1 判断下列对应是否为集合A到集合B的函数. (1)A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|； 解 A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数.
跟踪训练2 若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝ {y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图像可能是
解析 A中，定义域为[－2,0]，不符合题意； B中，定义域为[－2,2]，值域为[0,2]，符合题意； C中，存在一个x值对应2个y值的情形，不是函数； D中，定义域为[－2,2]，但值域不是[0,2]，不符合题意.
解答
反思与感悟
判断对应关系是否为函数，主要从以下三个方面去判断：(1)A，B必须 是非空数集；(2)A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；(3)A中 任何一个元素在B中的对应元素必须唯一.
高中数学必修1(北师版)第二章2-5简单的幂函数知识点总结含同步练习与答案
⎧ |1 − m| > |m|, ⎨ |1 − m| ⩽ 2, ⎩ |m| ⩽ 2,
即
⎧ (1 − m)2 > m 2 , ⎨ −2 ⩽ m − 1 ⩽ 2, ⎩ −2 ⩽ m ⩽ 2,
解得
即 −1 ⩽ m <
1 1 ，所以 m 的取值范围是 [−1, ) ． 2 2
⎧ ⎪m < 1 , 2 ⎨ −1 ⩽ m ⩽ 3, ⎪ ⎩ −2 ⩽ m ⩽ 2,
若函数 y = (x + 1)(x − a) 为偶函数，则 a = （ ） A．−2 B．−1 C．1 D．2 解：C 因为 f (x) 为偶函数，定义域为 R，所以 f (1) = f (−1)，即 (1 + 1)(1 − a) = (−1 + 1)(−1 − a)，所以 a = 1． 已知 f (x) 是定义 R 在上的奇函数，且当 x > 0 时，f (x) = x3 + x + 1，求 f (x) 的解析 式． 解：设 x < 0，则 −x > 0，用 −x 替换 f (x) = x3 + x + 1 中的 x，得
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x > 0, x = 0, x < 0.
如果奇函数 f (x) 在区间 [3, 7] 上是增函数且最小值为 5 ，那么 f (x) 在区间 [−7, −3] 上是 A．增函数且最小值是 −5 B．增函数且最大值是 −5 C．减函数且最大值是 −5 D．减函数且最小值是 −5 解：B 因为奇函数 f (x) 在区间 [3, 7] 上是增函数，所以 f (x) 在[−7, −3] 上也是增函数，且奇函数 f (x) 在区间 [3, 7] 上 f (3)min = 5 ，则 f (x) 在区间 [−7, −3] 上有 f (−3)max = −f (3) = −5，故选 B． 定义 [−2, 2] 在上的偶函数 g(x) ，当 x ⩾ 0 时，g(x) 单调递减，若 g(1 − m) < g(m) 成立， 求 m 的取值范围． 解：因为 g(x) 是偶函数，所以
北师大版数学必修一课件：2.1-2.2函数的概念
(－∞，a]
{x|x<a}
(－∞，a) ( －∞， ＋∞)
R
取遍数轴上所有的值
思考 (1)对于区间[a，b]而言，区间端点a，b应满足什么关系？
答 答 若a，b为区间的左右端点，则a<b. 不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示. (2)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？
2x＋3≥0， 要使函数有意义，需2－x>0， x≠0，
解
3 解得－2≤x<2，且 x≠0，
3 1 1 所以函数 y＝ 2x＋3－ ＋x 的定义域为x－2≤x<2，且x≠0 . 2－x
解析答案
题型四 例4
求函数值
1 已知 f(x)＝ (x∈R，且 x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R). 1＋x
(1)求 f(2)，g(2)的值；
解 1 1 1 ∵f(x)＝ ，∴f(2)＝ ＝3. 1＋x 1＋2
又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6.
解析答案
(2)求f(g(3))的值.
解 1 1 ∵g(3)＝3 ＋2＝11，∴f(g(3))＝f(11)＝ ＝12. 1＋11
2
反思与感悟
解析答案
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当堂检测
示函数y＝f(x)图像的是( B )
解析 由函数的概念知答案为B.
解析答案
1
2
3
4
5
2.下列各组函数中表示同一函数的是( D ) A.f(x)＝x 与 g(x)＝( x)2 B.f(x)＝|x|与 g(x)＝x(x>0) C.f(x)＝2x－1 与 g(x)＝2x＋1(x∈N*) x2－1 D.f(x)＝ 与 g(x)＝x＋1(x≠1) x－1
北师大版高中数学必修1《二章 函数 2 对函数的进一步认识 2.2 函数的表示法》示范课课件_18
4.已知函数f (x)对任意的实数a，b都 有f (a·b)＝f (a)＋f (b)成立. (1)求f (0)与f (1)的值； (2)若f (2)＝p，f (3)＝q (p，q均为常
数)，求f (36)的值.
5.设f (x)是定义在实数集R上的函数， 满足f (0)＝1且对任意实数a，b都有 f (a)－f (a－b)＝b (2a－b＋1)，则 f (x)的解析式可以为 ( A )
r 5
2
-5 O 2 6 p
3.画出定义域为{x| –3≤x≤8, 且x≠5}， 值域为{y | –1≤y≤2，y≠0}的一个函 数的图象. (1)如果平面直角坐标系中点P (x, y)的 坐标满足–3≤x≤8，–1≤y≤2，那么 其中哪些点不能在图象上？ (2)将你的图象和其他同学的相比较， 有什么差别吗？
3.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 并且 f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x＋4， 求f(x)的解析式.
12. 已知f (x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝0， 且f (x＋1)＝f (x)＋x＋1，求f (x).
13．已知f (x)为二次函数，且 f (2x＋1)＋f (2x－1)＝16x2－4x＋6， 求f (x).
14.如果函数f (x)满足方程
af
( x) Leabharlann f(1 )
ax,
x
x∈R且x≠0，a为常数，且a≠±1，
说明两图象的关系.
10.己知函数f (x) = 2x－1，
g(
x)
x
2, 1,
x 0, x0
求f [g(x)]和g[f (x)]的解析式.
11.已知f (x)＝ 1 (x∈R且x≠－1)， x1
北师大版高中数学必修一2-1、2-2 对函数的进一步认识.docx
2-1、2-2 对函数的进一步认识基 础 巩 固一、选择题1．下列图形是函数y ＝－|x |(x ∈[－2,2])的图像的是( )[答案] B[解析] y ＝－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x (0≤x ≤2)x (－2≤x <0)中，y ＝－x (0≤x ≤2)是直线y ＝－x 上满足0≤x ≤2的一条线段(包括端点)，y ＝x 是直线y ＝x 上满足－2≤x <0的一条线段(包括左端点)，其图像在原点及x 轴的下方，故选B.2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (x >0)－1 (x ＝0)2x －3 (x <0)，则f {f [f (5)]}为( )A ．0B ．－1C ．5D ．－5 [答案] D[解析] 根据分段函数解析式可知，f (5)＝0，而f (0)＝－1，f (－1)＝2×(－1)－3＝－5.故f {f [f (5)]}＝f [f (0)]＝f (－1)＝－5. 3．若f (x ＋1x )＝x 2＋1x2，则f (x )＝( )A ．x 2－2B ．x 2＋1x 2C ．x 2＋2D ．x 2－1x2 [答案] A[解析] ∵f (x ＋1x )＝(x ＋1x)2－2，∴f (x )＝x 2－2.故选A.4．已知函数f (x )由下表给出，则f (3)等于( )A.－1 B [答案] D[解析] 由表中函数值f (3)＝－4，故选D.5．(2011·浙江理)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0x 2，x >0，若f (a )＝4，则实数a ＝( )A. －4或－2B. －4或2 C ．－2或4 D ．－2或2[答案] B[解析] 本题主要考查分段函数求函数值等基础知识． 当a ≤0时，f (a )＝－a ＝4，∴a ＝－4； 当a >0时，f (a )＝a 2＝4，∴a ＝2.综之：a ＝－4或2，选B.6．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1＝2x ＋3，且f (m )＝6，则m 等于( )A ．－14 B.14 C.32 D ．－32[答案] A[解析] 令2x ＋3＝6，得x ＝32，所以m ＝x 2－1＝12×32－1＝－14.或先求f (x )的解析式，再由f (m )＝6，求m 的值．二、填空题7．已知函数f (x )在[－1,2]上的图像如图所示，则f (x )的解析式为________．[答案]f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 －1≤x ≤0－12x 0<x ≤2[解析] 观察图像，知此函数是分段函数，并且在每段上均是一次函数，利用待定系数法求出解析式．当－1≤x ≤0时，f (x )＝x ＋1；当0<x ≤2时，f (x )＝－x2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 －1≤x ≤0－12x 0<x ≤2.8．一辆汽车在某段路程中的行驶速度v 与时间t 的关系如图所示，则该汽车在前3小时内行驶的路程为________km ，假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2006km ，那么在t ∈[1,2)时，汽车里程表读数S 与时间t 的函数解析式为________．[答案] 220 S ＝80t ＋1976，且t ∈[1,2)[解析] 前3小时行驶路程为50＋80＋90＝220(km)． ∵t ∈[1,2)时里程表读数S 是时间t 的一次函数，可设为S ＝80(t －1)＋b ，当t ＝1时，S ＝2006＋50＝2056＝b ，∴S ＝80(t －1)＋2056＝80t ＋1976.三、解答题9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2(x ≤－1)，2x (－1<x <2)，x22(x ≥2).(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－74；(2)求f (4)；(3)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14；(4)若f (a )＝3，求a 的值．[解析] (1)∵－74<－1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－74＝－74＋2＝14.(2)∵4>2，∴f (4)＝422＝8.(3)∵－1<14<2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝2×14＝12.(4)∵当x ≤－1时，x ＋2≤1；当x ≥2时，x 22≥2；当－1<x <2时，－2<2x <4，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <2，2a ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，a22＝3，∴a ＝32或a ＝ 6.∴a 的值为32或 6.能 力 提 升一、选择题1．若g (x )＝1－2x ，f [g (x )]＝1－x 2x 2(x ≠0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A ．1B ．3C ．15D ．30 [答案] C[解析] 由g (x )＝1－2x ＝12，得x ＝14，代入1－x 2x 2得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝15.2．(2012·郑州高一期末)如图△OAB是边长为2的等边三角形，直线x＝t截这个三角形位于此直线左方的图形面积(见图中阴影部分)为y，则函数y＝f(t)的大致图形为图中的( )[答案] D[解析] 易知表示图形面积的曲线关于点(1，32)对称，故可排除A，B，又阴影部分面积在[0,1]上的增加速度先慢后快，故曲线应先缓后陡，同理在[1,2]上曲线应先陡后缓，故选D.二、填空题3．已知f (x )满足f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，则f (2)＝________.[答案] －1[解析] 设f (x )的定义域为C ，由f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x 知，x ∈C ，1x ∈C ，将原式中的x 换为1x，原式仍成立，即有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11x ＝3x .与原式联立⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f (x )＝3x ，f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，解得f (x )＝2x－x ，∴f (2)＝22－2＝1－2＝－1.4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2(－1≤x <0)－12x (0<x <2)3(x ≥2)，则f {f [f (－34)]}＝__________，f (x )的定义域是__________．[答案] 32 {x |x ≥－1且x ≠0}[解析] ∵－1<－34<0，∴f (－34)＝2×(－34)＋2＝12，而0<12<2，∴f (12)＝－12×12＝－14，∵－1<－14<0，∴f (－14)＝2×(－14)＋2＝32，∴f {f [f (－34)]}＝32.函数f (x )的定义域为{x |－1≤x <0}∪{x |0<x <2}∪{x |x ≥2}＝{x |x ≥－1且x ≠0}．三、解答题5．画出下列函数的图像： (1)y ＝|x －5|＋|x ＋3|； (2)y ＝2x －3，x ∈Z ，且|x |≤2； (3)y ＝x 2－2|x |－1；(4)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x (x ≥0)，－x 2－2x (x <0).[解析] (1)y ＝|x －5|＋|x ＋3|＝ ⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2 (x <－3)，8 (－3≤x <5)，2x －2 (x ≥5).图像如图(1)所示．(2)y ＝2x －3， ∵x ∈Z ，且|x |≤2.∴x ＝±2，±1,0，图像如图(2)中的五个点．(3)y ＝x 2－2|x |－1＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1 (x ≥0)，x 2＋2x －1(x <0).图像如图(3)所示．(4)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x (x ≥0)－x 2－2x (x <0)的图像如图(4)所示．6．如右图所示，半径为R 的圆的内接等腰梯形ABCD ，它的下底AB 是⊙O 的直径，上底CD 的端点在圆周上，写出这个梯形周长y 和腰长x 之间的关系式，并求出它的定义域．[解析] 设腰长AD ＝BC ＝x ， 作DE ⊥AB 交AE 于点E ，连结BD ， 则∠ADB ＝90°，∴Rt △ADE ∽Rt △ABD .∴AD 2＝AE ·AB ，AE ＝x 22R .∴CD ＝AB －2AE ＝2R －x2R.∴周长y 满足关系式y ＝2R ＋2x ＋⎝⎛⎭⎪⎫2R －x 2R ＝－x 2R ＋2x ＋4R .即周长y 与腰长x 之间的关系式为y ＝－1Rx 2＋2x ＋4R .∵四边形ABCD 为圆内接梯形，∴AD >0，AE >0，CD >0.即⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x22R>0，2R －x 2R>0，⇒0<x <2R .所以函数的定义域为{x |0<x <2R }． 7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x (－1≤x <0)，x 2(0≤x <1)，x (1≤x ≤2).(1)求f (－8)，f (－23)，f (12)，f (32)的值；(2)作出函数的简图； (3)求函数的定义域和值域．[分析] 给出的函数是分段函数，应注意在不同的自变量取值范(1)根据自变量的值，选用相应关系式求函数值．(2)在不同的区间，依次画出函数图像．[解析] 函数的定义域为[－1,0)∪[0,1)∪[1,2]＝[－1,2]．(1)因为－8∉[－1,2]，所以f (－8)无意义．因为－1≤x <0时，f (x )＝－x ，所以f (－23)＝－(－23)＝23. 因为0≤x <1时，f (x )＝x 2，所以f (12)＝(12)2＝14. 因为1≤x ≤2时，f (x )＝x ，所以f (32)＝32. (2)在同一坐标系中分段画出函数的图像，如图所示：(3)由第(2)问中画出的图像可知，函数的定义域为[－1，2]，函数的值域为[0,2]．[点评] 1.解答本题第(1)、(2)题时，应注意自变量的取值范围．2．分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代3．画图像时，则应分段分别作出其图像，在作每一段图像时，先不管定义域的限制，用虚线作出其图像，再用实线保留定义域内的一段图像即可．。
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描述：高中数学必修1(北师版)知识点总结含同步练习题及答案
第二章 函数 2.2 对函数的进一步认识
一、知识清单
函数的相关概念
函数的表示方法 映射函数的定义域的概念与求法
函数的值域的概念与求法 函数的解析式的概念与求法
分段函数 复合函数二、知识讲解
1.函数的相关概念
函数的概念
设 ， 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合 中的任意一个数 ，在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 为从集合 到集合 的一个函数( function)．记作：
其中， 叫做自变量，自变量取值的范围（数集 ）叫做这个函数的定义域． 叫做因变量，与 的值相对应的 值叫做函数在 处的函数值，所有函数值构成的集合
叫做这个函数的值域．
相同函数的概念
如果两个函数的自变量取值集合相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数为相同函数．相同函数的图象是一致的，图象一致的函数必然是相同函数．
连续数集的区间表示
研究函数时常用到区间的概念．设 ， 是两个实数，而且 ，我们规定：
① 满足不等式 的实数 的集合叫做闭区间，表示为 ；
② 满足不等式 的实数 的集合叫做开区间，表示为 ；
③ 满足不等式 的实数 的集合以及满足不等式 的实数 的集合都叫做半开半闭区间，分别表示为 和 ．
这里的实数 与 都叫做相应区间的端点．
实数集的区间表示
实数集 可以用区间表示为 ，“ ”读作“无穷大”．我们可以把满足 ， ， ， 的实数 的集合分别表示为 ， ， ， ．
A B f A x B f (x )f :A →B A B y =f (x ),x ∈A .
x A y x y x {y | y =f (x ),x ∈A }
a b a <b a ⩽x ⩽b x [a ,b ]a <x <b x (a ,b )a ⩽x <b x a <x ⩽b x [a ,b )(a ,b ]a b R (−∞,+∞)∞x ⩾a x >a
x ⩽b x <b x [a ,+∞)(a ,+∞)(−∞,b ](−∞,b )A
集合 的函数关系的有（ ）
N 012
．数轴表示为（2）{x | 2⩽x⩽8 且8] t
（3）函数 的图象是由
N
的映射的是（ ）
（2）函数图象如图所示：
y
的距离 与点。