运筹学 五版

解：设 xi 表示第i种方案的原材料根数。
目标函数： Min z=0x1+0.1x2+0.2x3+0.3x4+0.8x5+0.9x6+1.1x7+1.4x8 约束条件：s.t. x1 + 2x2 + x4 + x6 =100 2x3 + 2x4 + x5 + x6 +3x7 =100 3x1 +x2 + 2x3 + 3x5 + x6 +4x8 =100 x1,x2,x3,x4机械厂生产Ⅰ、Ⅱ、 永久机械厂生产Ⅰ 产品单件工时 设备的 设备加工费 三种产品，均要经过A Ⅲ三种产品，均要经过A、B两道工 设备 有效台时 用（元/h） Ⅰ Ⅱ Ⅲ 序加工。设有两种规格的设备A 序加工。设有两种规格的设备A1、A2 A1 5 10 6000 0.05 A2 7 9 12 10000 0.03 工序； 能完成 A 工序；有三种规格的设备 B1 6 8 4000 0.06 B2 4 11 7000 0.11 工序。 可在A B1、B2、B3能完成 B 工序。Ⅰ可在A、 B3 7 4000 0.05 的任何规格的设备上加工； B的任何规格的设备上加工；Ⅱ 可在 0.25 0.35 0.50 原料（元/件） 任意规格的A设备上加工，但对B工序， 任意规格的A设备上加工，但对B工序， 售价（元/件） 1.25 2.00 2.80 只能在B1设备上加工；Ⅲ只能在A2与B2 只能在B 设备上加工； 只能在A 设备上加工；数据如右上表。 为使该厂获得最大利润，应如何制定产品加工方案？ 设备上加工；数据如右上表。问：为使该厂获得最大利润，应如何制定产品加工方案？
利用EXCEL求线性规划的步骤 求线性规划的步骤 利用 求线性 4、利用“工具栏”之“规划求解”求解
利用EXCEL求线性规划的步骤 求线性规划的步骤 利用 求线性
利用EXCEL求线性规划的步骤 求线性规划的步骤 利用 求线性
最优解为： 最优解为：x1=4,x2=6 maxZ=42
练习： 练习：
用计算机软件求解线性规划问题
关于线性规划问题的求解，有许多好的专业软件和商务软件， 通过计算机可十分方便地完成求解过程。其中简便易行的求解软件 是Excel，下面介绍其使用方法。 （1）建立Excsl工作表。用 一组单元格表示变量，作为可变单元格 （空）；用几组单元格分别表示各约束条件和目标函数的系数；用一 些单元格输入公式表示各组系数和变量的关系。 （2）打开工具栏中的“规划求解”对话框，指定存有目标函数的 单元格为目标单元格，指定表示变量的单元格为可变单元格，建立 约束条件。 （3）在规划求解对话框中按下“求解”按钮，即可求出最优解和 最优值。推出规划求解对话框。
解：如图所示设变量
产品 设备 A1 A2 B1 B2 B3
Ⅰ
x11 x21 x31 x41 x51
Ⅱ
x12 x22 x32
Ⅲ
x23
x43
利润 = [（销售单价 - 原料单价）* 产品件数]之和 - （每台时的设备费用*设备实际使用 的总台时数）之和。
四、配料问题
例．某棉纺织厂拟定32支针织纱混棉配方方案。原棉供应品种10个， 某棉纺织厂拟定32支针织纱混棉配方方案。原棉供应品种10个 32支针织纱混棉配方方案 10 它们的物理指标、单价、质量指标要求如图示， 它们的物理指标、单价、质量指标要求如图示，现要求在满足上 列质量指标的前提下，拟定一个配棉方案，求得各种原棉的配比， 列质量指标的前提下，拟定一个配棉方案，求得各种原棉的配比， 使混棉的成本最低。 使混棉的成本最低。
Ⅰ 30 Ⅱ 10 Ⅲ 0 Ⅳ 50 Ⅴ 0 Ⅵ 0 Ⅶ 0
结果不唯一，其中一解为：
Ⅷ 0
二、人力资源分配的问题
例．福安商场是个中型的百货商场，它 福安商场是个中型的百货商场， 对售货员的需求经过统计分析如右表： 对售货员的需求经过统计分析如右表： 为了保证售货人员充分休息， 为了保证售货人员充分休息，售货人员 休息两天， 每周工作 5天，休息两天，并要求休息的两 天是连续的。 天是连续的。问应该如何安排售货人员的作 既满足工作需要， 息，既满足工作需要，又使配备的售货人员 的人数最少？ 的人数最少？
利用EXCEL求线性规划的步骤 求线性规划的步骤 利用 求线性 1、激活“工具栏”中的“规划求解”
利用EXCEL求线性规划的步骤 求线性规划的步骤 利用 求线性 2、根据线性规划模型建立计算模板 maxZ=3x1 +5x2 x1 ≤ 8 2x2 ≤ 12 3x1 +4 x2 ≤ 36 x1、x2 ≥0
利用EXCEL求线性规划的步骤 求线性规划的步骤 利用 求线性 3、定义决策变量及目标函数、约束条件
调用函数sumproduct定义实际值 E2：E5） 调用函数sumproduct定义实际值 （E2：E5） sumproduct
注：sumproduct表示对应乘积之和 sumproduct表示对应乘积之和
时间 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 所需售货员人数 28 15 24 25 19 31 28
解：设 xi ( i = 1～7)表示星期一至日开始休息的人数,这样我们建立如 下的数学模型。 目标函数： 目标函数： Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 约束条件： 约束条件：s.t. x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≥ 28 x2 + x3 + x4 + x5 + x6 ≥ 15 x3 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 24 x4 + x5 + x6 + x7 + x1 ≥ 25 x5 + x6 + x7 + x1 + x2 ≥ 19 x6 + x7 + x1 + x2 + x3 ≥ 31 x7 + x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 28 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 ≥ 0
原棉品种 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 产地 奉城 美棉 青浦 商丘 阵行 菏泽 禹城 青浦 闵行 品质指标 2073 2703 2625 2133 2386 2538 2248 2403 2190 公制支数 6035 5580 6125 5825 6635 5950 6350 6196 6375 棉结杂质 139 108 67 104 83 79 82 52 94 短绒率（%） 15.67 17.83 16.71 13.45 16.13 16.37 18.46 16.76 17.88 原棉单价 302.18 302.18 334.56 318.36 302.18 302.18 285.98 334.56 302.18 混用上限（%） 15 19 15 20 25 20 15 10 15 原配棉方案 10 19 0 12 19 11 11 9 0 解：1.变量：现假设各种原棉的配比为xj20 (j=1,2,3……10) 新配棉方案（最优解） 15 19 0 3 25 15 0 3 项目 X10 质量要求 单县 ≥2300 2241 6220 ≥5800 ≤100 112 ≤16.8 19.44 302.18 最小 25 0 303.16元/百公斤 0 300.24元/百公斤
五、投资问题
例．某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：项 某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。已知： 200万元 从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利110% 项目B 110%； 目A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利110%；项目B：从第 一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利125% 125%， 一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利125%，但规定每年最大投资额 不能超过30万元；项目C 需在第三年年初投资，第五年末能收回本利140% 30万元 140%， 不能超过30万元；项目C：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利140%，但规 定最大投资额不能超过80万元；项目D 需在第二年年初投资， 80万元 定最大投资额不能超过80万元；项目D：需在第二年年初投资，第五年末能收回本 155%，但规定最大投资额不能超过100万元； 100万元 利155%，但规定最大投资额不能超过100万元； 项目 风险指数（次/万元） 据测定每万元每次投资的风险指数如右表： 据测定每万元每次投资的风险指数如右表： A 1 问： 应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？ a）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？ 应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在330 330万元的 b）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在330万元的 基础上使得其投资总的风险系数为最小？ 基础上使得其投资总的风险系数为最小？
§1.4 线性规划的应用举例
一、原材料合理利用
m的圆钢各 例1．某工厂要做100套钢架，每套用长为2.9 m,2.1 m,1.5 m的圆钢各 某工厂要做100套钢架，每套用长为2.9 100套钢架 一根。已知原料每根长7.4 m， 应如何下料，可使所用原料最省？ 一根。已知原料每根长7.4 m，问：应如何下料，可使所用原料最省？
2.目标函数：混棉的成本最小 minZ=302.18X1+302.18X2+334.56X3+318.36X4+302.18X5+302.18X6+285.98X7+3 34.56X8 +302.18X9+302.18X10
（续） 3.约束条件 约束条件： 3.约束条件：三类约束因素 （1）质量指标约束 品质指标： 品质指标：2073x1＋2073x2＋2625x3＋2133x4＋2386x5＋2538x6＋2248x7＋2403x8＋ 2190x9＋2241x10≥2300 公制支数：6035x1＋5580x2＋6125x3＋5825x4＋6635x5＋2950x6＋6350x7＋6196x8＋ 公制支数： 6375x9＋6220x10≥5800 棉结杂质： 棉结杂质： 139x1＋108x2＋67x3＋104x4＋83x5＋79x6＋82x7＋52x8＋94x9＋112x10 ≤ 100 短绒率： 短绒率： 15.67x1＋17.83x2＋16.71x3＋13.45x4＋16.13x5＋16.37x6＋18.46x7＋ 16.76x8＋17.88x9＋19.44x10 ≤ 16.8 配比平衡的约束。原配比之和为100% （2）配比平衡的约束。原配比之和为100% x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8＋x9＋x10 ＝ 100% （3）不同原棉配比上限的约束 x1≤0.15； x2≤0.19； x3≤0.15；x4≤0.20；x5≤0.25； ≤0.15； ≤0.19； ≤0.15； ≤0.20； ≤0.25； x6≤0.20； x7≤0.15； x8≤0.10；x9≤0.15；x10≤0.25； ≤0.20； ≤0.15； ≤0.10； ≤0.15； ≤0.25； 4.变量非负 变量非负： ≥0(j=1,2,3……10) 10) 4.变量非负： xj≥0(j=1,2,3 模型运算结果：最小成本为300.07 300.07， 模型运算结果：最小成本为300.07，配比为 x1＝0.15； x2＝0.19； x3＝0；x4＝0.02；x5＝0.25； 0.15； 0.19； 0.02； 0.25； x6＝0.20； x7＝0.15； x8＝0 ；x9＝0.0405；x10＝0； 0.20； 0.15； 0.0405；