山东省临沂市郯城二中2012-2013学年高二上学期期末考试数学试题含答案

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若三角形的三个内角之比为1∶2∶3，则它们所对的边长之比为( )．A ．1∶2∶3B ．1∶3∶2C ．1∶4∶9D ．1∶2∶32．已知各项不为0的等差数列{}n a ，满足23711220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且7768,b a b b ==则（ ）A ．2B ．4C ．8D ．163. “b a =”是“直线2+=x y 与圆()()222=-+-b x a x 相切”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．已知{}n a 是等差数列，421=+a a ，2887=+a a ，则该数列前8项和8S 等于( )．A ．64B ．80C ．110D ．1205.抛物线x y 412=关于直线0=-y x 对称的抛物线的焦点坐标是（ ） A.(1,0)B.⎪⎭⎫⎝⎛0,161 C.(0,1)D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛161,0 6．给出两个命题：x x p =:的充要条件是x 为正实数；:q 奇函数的图象一定关于原点对称，则下列命题是假命题的是( )．A ．q p ∧B ．q p ∨C ．p ⌝∧qD ．p ⌝∨q 7．下列函数中，最小值为4的函数是( )311..sin (0)sin .4(0,1).log 4log 3x x x A y x B y x x x xC y a a a aD y x π-=+=+<<=+>≠=+且 8．若集合A={23x x << }，B ＝{(3)()x x a x a --<0}，且A B ⊆，则实数a 的取值范围是( )A ．1<a <2B ．1≤a ≤2C ．1<a <3D ． 1≤a ≤3 9．在△ABC 中，若b ＝3，c ＝3，∠B ＝30°，则a ＝( )．A ．3B ．23C ．3或23D ．210．设F 是抛物线C 1：px y 22= (p ＞0) 的焦点，点A 是抛物线与双曲线C 2：22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的一个公共点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为( )．A ．2B ．3C ．52D ．511．设等差数列{}n a 的前n 项和为n s ,且15s >0, 16s <0,则11a s , 22a s ,．．．,1515a s 中最大的是（ ）A ．1515a s B ．99a s C ．88a s D ．11a s12．如图，在四棱锥P ­ABCD 中，底面为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝AB ＝2BC ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点．则BD 与平面ADMN 所成的角θ为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）13．设变量x 、y 满足约束条件236y xx y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为_______________.14．三角形的一边长为14，这条边所对的角为︒60，另两边之比为8：5，则这个三角形的面积为_________．11．巳知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为 16. 已知⎩⎨⎧-=为偶数为奇数n n n n n f ,,)(,若),1()(++=n f n f a n则20112010321.......a a a a a ++++=2012—2013学年度上学期期末模块考试高二数学试题 2013.02第Ⅱ卷（非选择题共90分）二．填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）13 1415 16三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. （本小题满分12分）在锐角三角形中，边a、b是方程x2－2 3 x+2=0的两根，角A、B满足2sin(A+B)－ 3 =0，求角C的度数，边c的长度及△ABC的面积.18．（本小题满分12分）已知顶点在原点, 焦点在x 轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为15，求抛物线的方程.19. （本小题满分12分）制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损. 某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙 项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过 1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？20．（本小题满分12分）已知在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是矩形，且2AD =，1AB =，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是线段AB 、BC 的中点．（Ⅰ）证明：PF FD ⊥；（Ⅱ）判断并说明PA 上是否存在点G ，使得EG ∥平面PFD ；（Ⅲ）若PB 与平面ABCD 所成的角为45o，求二面角A PD F --的余弦值．21．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差大于0，且53,a a 是函数=)(x f 45142+-x x 的两个零点，数列{}n b 的前n 项的和为n S ，且n n b S 211-=．（Ⅰ） 求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ） 记n n n b a c ⋅=,求证：2()3n c n N *≤∈．22．（本小题满分14分），已知圆022:22=--+y x y x G 经过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点F 及上顶点B ．过椭圆外一点(,0)()M m m a >作倾斜角为π65的直线l 交椭圆于C 、D 两点． ⑴求椭圆的方程；⑵若右焦点F 在以线段CD 为直径的圆E 的内部，求m 的取值范围．2012—2013学年度上学期期末模块考试高二数学试题答案 2013.02一选择题二．填空题13、 3 14、 15、 193622=+y x 16、 -1三．解答题17. 解答：解：由2sin(A+B)－ 3 =0，得sin(A+B)=32, ∵△ABC 为锐角三角形∴A+B=120°, C=60°…………………………4分 又∵a 、b 是方程x 2－2 3 x+2=0的两根，∴a+b=2 3 ,a ·b=2, ∴c 2=a 2+b 2－2a ·bcosC=(a+b)2－3ab=12－6=6,∴c= 6 , …………………………8分S △ABC =12 absinC=12 ×2×32 =32 …………………………12分18.解：依题意可设抛物线方程为：ax y =2（a 可正可负），与直线y=2x+1截得的弦为AB ；则可设A （x 1,y 1）、B （x 2,y 2）联立⎩⎨⎧+==122x y axy 得01)4(42=+-+x a x …………………………4分即4421a x x --=+ 4121=x x …………………………6分15]1)44[(5]4))[(1(2212212=---=-++=a x x x x k AB 得：a=12或-4（6分）…………………………10分 所以抛物线方程为xy 122=或x y 42-= …………………………12分.19.解：设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目. 则：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+008.11.03.010y x y x y x (目标函数为：y x z 5.0+=。

…………………………4分上述不等式表示的平面区域如图所示（含边界），阴影部分表示可行域. …………………………6分作直线05.0:0=+y x l ，并作平行于0l 的一组直线y x z 5.0+=，)(R z ∈，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M 点，且与直线05.0=+y x 距离最大，这里M 点是直线10=+y x 和直线8.11.03.0=+y x 的交点.解方程组：⎩⎨⎧=+=+8.11.03.010y x y x 得⎩⎨⎧==64y x ，此时，765.041=⨯+⨯=z （万元）. …………………………10分答：投资人分别4万元和6万元时，才能使可能的盈利最大…………………………12分20． 解法一：（Ⅰ）∵ PA ⊥平面ABCD ，90BAD ∠=o，1AB =，2AD =，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()()0,0,0,1,0,0,(1,1,0),(0,2,0)A B F D ．…………2分不妨令(0,0,)P t ∵(1,1,)PF t =-u u u r ，(1,1,0)DF =-u u u r∴111(1)()00PF DF t =⨯+⨯-+-⨯=u u u r u u u rg ，即PF FD ⊥．…………………………4分（Ⅱ）设平面PFD 的法向量为(),,n x y z =r，由00n PF n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r，得00x y tz x y +-=⎧⎨-=⎩，令1z =，解得：2t x y ==． ∴,,122t t n ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ． ………………………………………………………6分设G 点坐标为(0,0,)m ，1,0,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，则1(,0,)2EG m =-u u u r ，要使EG ∥平面PFD ，只需0EG n =u u u r r g，即1()0102224t t tm m -⨯+⨯+⨯=-=，∴ 数列{}n b 是等比数列，31,321==q b ∴ .3211n n n qb b ==-………………………………………………… 8分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知113)12(2,3)12(2+++=-==n n n n n n n c n b a c ……………… 9分 ∴ 1112(21)2(21)8(1)0333n n n n n n n n c c ++++---=-=≤，即1n n c c +≤∴ 12123n n c c c c -≤≤≤≤=L故 2()3n c n N *≤∈ ………………………12分22. 解: （1）∵圆G ：02222=--+y x y x 经过点F 、B∴F （2，0），B （0，2），∴2=c ，2=b ………………2分∴62=a 故椭圆的方程为12622=+y x ………………4分（2）设直线l 的方程为)6()(33>--=m m x y。