第三章回归模型的估计概论(高级计量经济学-清华大学
高级计量经济学导论复习资料
第一章高级计量经济学4 1.数据类型:42.经验经济分析的步骤:4 第二章简单回归模型41.回归分析(regression analysis):42.回归分析的主要内容包括:43.变量间的关系:44.变量关系的描述:45.相关关系的类型:46.线性相关的程度:57.回归分析的意义:58.总体回归线(population regression line )/总体回归曲线(population regression curve ):在给定解释变量Xi 条件下被解释变量Yi 的期望轨迹。
59.总体回归函数(PRF):E (y ∣x )=β0+β1x,510.随机干扰项(stochastic disturbance )或随机误差项(stochastic error ):511.样本回归方程(SRF ):01ˆˆˆi i y x =β+β 512.拟合值:当x=i 时,y 通过样本回归方程算出来的值。
即01ˆˆˆi i y x =β+β 5 13.样本回归模型(sample regression model ):01ˆˆˆi i i iY Y u X e =+=β+β+ 5 14.回归分析的主要目的:根据样本回归函数SRF ,估计总体回归函数PRF 。
6 第三章:简单回归方程分析61.简单回归方程:62.线性的含义:63.OLS 斜率估计,β0和β1的普通最小二乘估计值的推算:64.OLS 法是要找到一条直线,使残差平方和最小。
75.残差:是对误差项的估计,因此,它是拟合直线(样本回归函数)和样本点之间的距离。
76.OLS 统计量的代数性质:77.SST=SSE+SSR :88.拟合优度:来衡量样本回归线是否很好地拟合了样本数据的指标。
89.判定系数:解释变异与总变异之比。
即y 的样本变异中被x 解释的部分。
8 10.测量单位:811.在简单回归中加入非线性因素(因变量为对数):8 12.OLS 的基本假设:913.定理2.1: OLS 的无偏性:914.定理2.2 OLS 估计量的抽样方差:9 15.定理2.3:σ²的无偏估计1016.回归标准误差:ˆσ17.1ˆβ的标准误:11221ˆˆ()(())ni i se x x =σβ==-∑10第四章多元回归分析101.多元回归分析的优点:102.多元线性回归模型:103.多元线性回归的OLS估计值:104.SRF样本回归函数:115.拟合值和残差11ˆβ的计算116.偏效应以及17.比较简单回归和多元回归估计值:128.拟合优度(SST、SSR、SSE、R2):139.过原点的回归:1310.多元回归模型的假定及定理3.1、定理3.2:1411.多重共线性:两个或多个自变量之间高度(但不完全)相关。
第三章 回归模型的估计 概论(高级计量经济学-清华大学 潘文清)
2、极大似然估计
对具有pdf或pmf为f(Y;)的随机变量Y(其参数未知), 随机抽取一容量为n的样本Y=(Y1,Y2,…Yn)’其联合分布为:
gn(Y1,Y2,…Yn;)=if(Yi;) 可将其视为给定Y=(Y1,Y2,…Yn)’时关于的函数,称其为关于 的似然函数(likelihood function),简记为L() : L()= gn(Y1,Y2,…Yn;)=if(Yi;) 对离散型分布,似然函数L()就是实际观测结果的概率。 极大似然估计就是估计参数,以使这一概率最大; 对连续型分布,同样也是通过求解L()的最大化问题,来 寻找的极大似然估计值的。
二、类比估计法(The Analogy Principle)
1、基本原理
• 总体参数是关于总体某特征的描述,估计该参数, 可使用相对应的描述样本特征的统计量。 (1)估计总体矩,使用相应的样本矩
(2)估计总体矩的函数,使用相应的样本矩的函数 对线性回归模型: Y=0+1X+u
上述方法都是通过样本矩估计总体矩,因此,也 称为矩估计法(moment methods, MM)。 (3)类比法还有: • 用样本中位数估计总体中位数; • 用样本最大值估计总体最大值; • 用样本均值函数mY|X估计总体期望函数Y|X,等
可见,总体均值的极大似然估计就是样本均值,总 体方差的极大似然估计就是样本方差。
3、极大似然估计的统计性质
由数理统计学知识: (n-1)s*2/2~2(n-1)
因此, Var[(n-1)s*2/2]=2(n-1)
Var(S*2)=24/(n-1)
§3.2 估计总体关系 Estimating a Population Relation 一、问题的引入(Introduction)
计量经济学中级教程(潘省初清华大学出版社)课后习题答案
计量经济学中级教程(潘省初清华大学出版社)课后习题答案计量经济学中级教程习题参考答案第一章绪论1.1 一般说来,计量经济分析按照以下步骤进行:(1)陈述理论(或假说)(2)建立计量经济模型(3)收集数据(4)估计参数(5)假设检验(6)预测和政策分析 1.2 我们在计量经济模型中列出了影响因变量的解释变量,但它(它们)仅是影响因变量的主要因素,还有很多对因变量有影响的因素,它们相对而言不那么重要,因而未被包括在模型中。
为了使模型更现实,我们有必要在模型中引进扰动项u 来代表所有影响因变量的其它因素,这些因素包括相对而言不重要因而未被引入模型的变量,以及纯粹的随机因素。
1.3 时间序列数据是按时间周期(即按固定的时间间隔)收集的数据,如年度或季度的国民生产总值、就业、货币供给、财政赤字或某人一生中每年的收入都是时间序列的例子。
横截面数据是在同一时点收集的不同个体(如个人、公司、国家等)的数据。
如人口普查数据、世界各国2000年国民生产总值、全班学生计量经济学成绩等都是横截面数据的例子。
1.4 估计量是指一个公式或方法,它告诉人们怎样用手中样本所提供的信息去估计总体参数。
在一项应用中,依据估计量算出的一个具体的数值,称为估计值。
如Y 就是一个估计量,1nii YYn==∑。
现有一样本,共4个数,100,104,96,130,则根据这个样本的数据运用均值估计量得出的均值估计值为5.107413096104100=+++。
第二章经典线性回归模型2.1 判断题(说明对错;如果错误,则予以更正)(1)对(2)对(3)错只要线性回归模型满足假设条件(1)~(4),OLS 估计量就是BLUE 。
(4)错R 2 =ESS/TSS 。
(5)错。
我们可以说的是,手头的数据不允许我们拒绝原假设。
(6)错。
因为∑=22)?(tx Var σβ,只有当∑2t x 保持恒定时,上述说法才正确。
2.2 应采用(1),因为由(2)和(3)的回归结果可知,除X 1外,其余解释变量的系数均不显著。
高级计量经济学 广义回归模型PPT共140页
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27、只有把抱怨环境的心情,化为上进的力量,才是成功的保证。——罗曼·罗兰
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28、知之者不如好之者,好之者不如乐之者。——孔子
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29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
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30、意志是一个强壮的盲人,倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢!
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26、要使整个人生都过得舒适、愉快,这是不可能的,因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
高级计量经济学模型与应用
高级计量经济学模型与应用导言计量经济学是一门应用数学和统计学原理来研究经济学理论的学科。
随着数据科学和计量经济学的发展,高级计量经济学模型的重要性日益凸显。
这些模型可以帮助经济学家和决策者更准确地理解经济现象,并做出有根据的政策建议。
本文将介绍几种常见的高级计量经济学模型,并探讨它们在实际中的应用。
ARMA模型ARMA模型(自回归滑动平均模型)是一种时间序列模型,用于描述时间序列的相关性和趋势。
ARMA模型结合了自回归(AR)模型和滑动平均(MA)模型的特点。
在实际应用中,ARMA模型经常被用来分析和预测金融时间序列数据,如股票价格、汇率和利率等。
通过估计ARMA模型的参数,我们可以对未来数据进行预测,从而帮助投资者做出更明智的决策。
面板数据模型面板数据模型是一种经济计量学中常用的模型,用于分析横截面数据和时间序列数据的交叉样本。
面板数据模型具有较强的灵活性,可以用来处理包含多个观察单元和时间点的复杂数据。
在实践中,面板数据模型广泛应用于诸如教育经济学、劳动经济学和区域经济学等领域的研究中。
例如,研究人员可以使用面板数据模型来评估教育政策对学生学习成果的影响,或分析劳动市场的供求关系。
VAR模型VAR模型(向量自回归模型)是一种多元时间序列模型,用于描述多个经济变量之间的动态关系。
VAR模型可以帮助我们了解不同变量之间的相互作用,并预测它们可能的未来走势。
在经济学领域,VAR模型被广泛应用于宏观经济预测、货币政策分析和金融风险管理等方面。
例如,央行可以利用VAR模型,基于过去的经济数据来预测未来的通货膨胀率,从而制定相应的货币政策。
ARCH/GARCH模型ARCH模型(自回归条件异方差模型)和GARCH模型(广义自回归条件异方差模型)是一类用来研究时间序列波动性的模型。
它们被广泛应用于金融风险管理和资产组合优化等领域。
通过建立ARCH/GARCH模型,我们可以对金融数据中的波动性进行建模和预测。
计量经济学第3章参考答案
(3) = TSS
RSS 480 = = 750 2 1− R 1 − 0.36
7. 答: (1) cov( = x, y )
1 2 2 ( xt − x )( y = r σx σ y = 0.9 × 16 ×10 =11.38 ∑ t − y) n −1
∑ ( x − x )( y − y )=
即表明截距项也显著不为 0,通过了显著性检验。 (3)Yf=2.17+0.2023×45=11.2735
2 1 (x f − x ) 1 (45 − 29.3) 2 ˆ 1+ + = × × + = 4.823 t0.025 (8) × σ 1.8595 2.2336 1+ n ∑ ( x −x ) 2 10 992.1
3
2
五、综合题 1. 答: (1)建立深圳地方预算内财政收入对 GDP 的回归模型,建立 EViews 文件,利用地方预 算内财政收入(Y)和 GDP 的数据表,作散点图
可看出地方预算内财政收入(Y)和 GDP 的关系近似直线关系,可建立线性回归模型:
Yt = β1 + β 2 GDPt + u t
第 3 章参考答案
一、名词解释 1. 高斯-马尔可夫定理:在古典假定条件下,OLS 估计量是模型参数的最佳线性无偏估计 量,这一结论即是高斯-马尔可夫定理。 2. 总变差(总离差平方和) :在回归模型中,被解释变量的观测值与其均值的离差平方和。 3. 回归变差(回归平方和) :在回归模型中,因变量的估计值与其均值的离差平方和,也就 是由解释变量解释的变差。 4. 剩余变差(残差平方和) :在回归模型中,因变量的观测值与估计值之差的平方和,是不 能由解释变量所解释的部分变差。 5. 估计标准误差:在回归模型中,随机误差项方差的估计量的平方根。 6. 样本决定系数:回归平方和在总变差中所占的比重。 7. 拟合优度:样本回归直线与样本观测数据之间的拟合程度。 8. 估计量的标准差:度量一个变量变化大小的测量值。 9. 协方差:用 Cov(X,Y)表示,度量 X,Y 两个变量关联程度的统计量。 10. 显著性检验:利用样本结果,来证实一个虚拟假设的真伪的一种检验程序。 11. 拟合优度检验:检验模型对样本观测值的拟合程度,用 R 2 表示,该值越接近 1,模型 对样本观测值拟合得越好。 12. t 检验:是针对每个解释变量进行的显著性检验,即构造一个 t 统计量,如果该统计量 的值落在置信区间外,就拒绝原假设。 13. 点预测:给定自变量的某一个值时,利用样本回归方程求出相应的样本拟合值,以此作 为因变量实际值均值的估计值。
清华大学计量经济学课件
二、经济预测
• 计量经济学模型作为一类经济数学模型,是从 用于经济预测,特别是短期预测而发展起来的。
• 计量经济学模型是以模拟历史、从已经发生的 经济活动中找出变化规律为主要技术手段。
• 对于非稳定发展的经济过程,对于缺乏规范行 为理论的经济活动,计量经济学模型预测功能 失效。
• 模型理论方法的发展以适应预测的需要。
ln(人均食品需求量)=-2.0+0.5ln(人均收 入)-0.8ln(食品价格) +0.8ln(其它商品价格)
⑵ 统计检验 由数理统计理论决定 包括拟合优度检验 总体显著性检验 变量显著性检验
⑶ 计量经济学检验 由计量经济学理论决定 包括异方差性检验 序列相关性检验 共线性检验
⑷ 模型预测检验 由模型的应用要求决定 包括实际
例如:ln(人均食品需求量)=α+βln(人均收入) +γln(食品价格) +δln(其它商品价格)+ε
其中α 、β、γ、δ的符号、大小、 关系
二、样本数据的收集
⑴ 几类常用的样本数据 时间序列数据 截面数据 虚变量离散数据 联合应用
⑵ 数据质量 完整性 准确性 可比性 一致性
三、模型参数的估计
微观计量:
非
选择性样本模型
经
典
微观计量:
计
离散选择模型
量
经
济 学
时间序列:
协整理论—现代宏观计量
时间序列:
ARCH—现代金融计量
Heckman McFadden
Granger Engle
五、计量经济学在经济学科中的地位
△ 从现代西方经济学的特征看 △ 从西方经济学的发展历史看 △ 从世界一流大学经济学课程表看 △ 从国际经济学刊物论文看 △ 从经济学的“世界先进水平”看
[课件]数学建模 相关分析与回归分析 清华大学PPT
r>0
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r <0 表 示大体 上 Y随 着X增 加而递 减。
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1)假设回归方程不显著 H0:方程不显著 H1:方程显著
ˆy 2/1 y ˆ 2 / n 2 yy
2)计算回归方程的F统计量 F= 回归平方和/自由度(f1) 剩余平方和/自由度(f2)
3)给定显著性水平和两个自由度,查F分布表,得到相应临界值F
4)若F>F,拒绝H0,回归方程显著; 若FF,不能拒绝H0,x与y之间的关系不明显或无关系,回归方程不 显著
计算回归系数b的t值:
t
2
b
b
S
b
2 a y b xy / n 2 y S y S 2 2 b 2 n x x x x
1428879 ( 8 . 3 ) 4087 0 . 5175 2824500 / 12 2
模块BASE中的过程CORR可方便地用于计算变量之间的 相互关系:计算数据集FITNESS中OXYGEN,MAXPULSE, RSTPULSE三个变量和另三个变量RUNTIME,RUNPULSE, WEIGHT之间的相关系数。
以下可看出变量MAXPULSE和RUNPULSE有最大的正相关,OXYGEN 和RUNTIME负相关的绝对值最大,RSTPLUSE和WEIGHT的相关的绝 对值最小。
逻辑回归模型及其参数估计
逻辑回归模型及其参数估计逻辑回归是一种常用的统计学习方法,用于解决二分类问题。
它是一种广义线性模型,通过将线性回归模型的输出通过一个逻辑函数进行映射,将输出限制在0到1之间,从而得到分类的概率。
在逻辑回归模型中,我们假设输出变量y服从伯努利分布,即y只能取0或1,其概率分布函数可以表示为:P(y=1|x) = p(x)P(y=0|x) = 1 - p(x)其中,p(x)是一个关于输入变量x的函数,表示给定输入变量x时,输出变量y取1的概率。
为了建立p(x)与输入变量x之间的关系,我们引入了线性回归模型:p(x) = 1 / (1 + exp(-θ^T x))其中,θ是模型的参数向量,用于描述x与y之间的关系。
由于p(x)的取值范围在0到1之间,因此我们可以将其解释为y取1的概率。
接下来,我们需要对逻辑回归模型的参数进行估计。
一种常用的方法是最大似然估计。
最大似然估计的思想是寻找最大化观测数据出现的概率的参数值,使得观测数据出现的可能性最大化。
假设我们有n个样本,每个样本都是独立同分布的。
对于每个样本(xi, yi),我们可以将其似然函数表示为:L(θ) = ∏[p(xi)]^yi * [1-p(xi)]^(1-yi)为了方便计算,我们通常取对数似然函数:l(θ) = log L(θ) = ∑[yi log(p(xi)) + (1-yi) log(1-p(xi))]我们的目标是最大化对数似然函数。
为了实现这一点,我们可以使用梯度下降等优化算法,通过迭代更新参数θ,使得对数似然函数的值不断增大。
具体而言,我们首先对l(θ)关于θ求偏导数,得到梯度向量。
然后,使用梯度下降算法,通过不断迭代更新θ的值,使得l(θ)逐渐增大。
最终,当梯度向量接近于零时,我们可以认为找到了对数似然函数的最大值,即参数θ的最优解。
需要注意的是,逻辑回归模型的参数估计过程中,我们需要对数据进行预处理,包括特征选择、特征缩放、处理缺失值等。
高级经济计量学课件(绪论——第三章)
变量“线性”,参数”非线
24
随机扰动项ui
◆概念 各个 Yi 值与条件均值 E(Yi X i ) 的偏差 u i 代表排除在模型以外的 所有因素对Y的影响。
Y
u
Xi
X
◆性质: u i 是期望为0有一定分布的随机变量 重要性:随机扰动项的性质决定着计量经济方法的选择
25
◆引入随机扰动项的原因
13
高级计量经济学——本课程核心 第4部分 时间序列计量模型
第10章 第11章 第12章 第13章
时间序列模型 协整与误差修正模型 向量自回归模型 时间序列条件异方差模型
14
高级计量经济学——本课程核心 第5部分 回归分析的深入议题
第14章 面板数据计量模型 ——固定效应与随机效应模型 第15章 二元因变量模型 ——probit与logit回归模型 第16章 计量经济模型的建立 ——传统与现代计量经济学方法论
i
31
第二节 一元线性回归模型的参数估计
1、普通最小二乘法OLS
◆OLS的基本思想: ●不同的估计方法可得到不同的样本回归参 ˆ ˆ ˆ 数 1和 2 ,所估计的 Yi 也不同。 ˆ ●理想的估计方法应使 Yi 与 Yi 的差即剩余 ei 越小越好 ●因 ei 可正可负,所以可以取 ei 2 最小 即 ^ ^ 2 2 min ei min (Yi 1 2 X i )
三、一元线性回归模型
一元线性回归模型形式如下
Yi 0 1 X i ui
上式表示变量Yi和Xi之间的真实关系。其中Yi 称被解释变量(因变量),Xi称解释变量(自变 量),ui称随机误差项,0称常数项,1称回归系 数(通常未知)。 上述模型可以分为两部分。 (1)回归函数部分,E(Yi) = 0 + 1 Xi, (2)随机部分, ui 。
庞浩 计量经济学3第三章 多元线性回归模型
2.样本回归函数SRF
条件均 值形式
ˆ ˆ X ˆ Y i 1 2 i
ˆ ˆ X ˆ X ˆ X ˆ Y i 1 2 2i 3 3i k ki
ˆ ˆ X e Yi 1 2 i i
个别值 ˆ ˆ X ˆ X ˆ X e 形式 Yi 1 2 2i 3 3i k ki i
16
X e 0
多元线性回归模型参数的 最小二乘估计
ˆ e Y X
ˆ X e X Y X X
X e 0
ˆ X Y X X
ˆ ( X X )1 X Y
17
二、参数最小二乘估计的性质
在古典假定下,多元线性回归模型的最小二乘估 计式是最佳线性无偏估计(BLUE)。 1.线性 参数的最小二乘估计式是被解释变量Yi的线性 组合。 ˆ ( X X )1 X Y
X 31 X k 1 1 X 32 X k 2 2 X 3 n X kn nk k k 1
Y X U
8
总体回归函数与样本回归函数 的矩阵形式
总体回归函数 条件期 望形式
E (Y ) X Y X U
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三、参数最小二乘估计的分布
依据线性,参数的最小二乘估计是被解 1 ˆ ( X X ) X Y 释变量Y 的线性函数
i
Yi 1 2 X 2i 3 X 3i k X ki ui
ui ~ N (0, ) (i 1,2,, n) ˆ ( j 1,2,, k ) 服从正态分布
9
三、多元线性回归模型的古典假定
u1 Eu1 0 u Eu 0 2 2 E (U ) E E ( ui ) 0 un Eun 0 n1 2.同方差和无自相关假定
《高级计量经济学》课程教学大纲
《高级计量经济学》课程教学大纲一、课程名称:高级计量经济学Advanced Econometrics二、课程编号:0200131三、学时与学分:64/4四、先修课程:数学分析、高等代数、概率论与数理统计、微观经济学、宏观经济学、计量经济学五、课程教学目标:在学习计量经济学的基本理论和基本方法的基础上,从矩阵代数的角度,进一步了解计量经济学的理论、方法,具备应用所学的理论和方法分析经济问题能力。
六、适用学科专业:经济学实验班七、基本数学内容与学时安排第一章两个变量之间的关系(2学时)1。
1 双变量关系示例2.1 相关系数1。
3 双变量概率模型双量线性回归模型双变量最小二乘模型中的推断双变量的回归型的方差分析与预测第二章双变量关系的其他方面(2学时)2.1时间作为回归元2.2变量变换2。
3非线性关系2。
4滞后因变量作为回归元2.5平稳和非平稳序列2.6自回归方程的最大似然估计第三章K元线性方程(4学时)3.1 K变量模型的矩阵表达式3。
2偏相关系数3.3 K元方程的推断3。
4预测第四章K元线性方程设定错误的若干检验(8学时)4。
1设定错误4.2模型评估与诊断检验4.3参数不变性的检验4。
4结构变化的检验4.5 虚拟变量第五章最大似然估计、广义最小二乘法及工具变量估计(6学时)5.1最大似然估计量5.2线性模型的ML估计5.3似然比、沃尔德与拉格郎日乘数检验5.4有非球性干扰项的线性模型的ML估计5.5工具变量估计量第六章异方差和自相关(8学时)6.1异方差性的检验6。
2异方差性下的估计6.3自相关干扰6。
4自相关干扰的检验6.5对具有自相关干扰关系式的估计6.6预测6。
7自回归条件异方差(ARCH模型、GARCH模型等)第七章单变量时间序列建模(4学时)7。
1 AR、MA和ARMA 过程的性质7.2平稳性检验7。
3ARIMA模型的识别、估计和检验7。
4预测第八章自回归分布滞后关系(6学时)8.1 自回归分布滞后关系8。
高级计量经济学系统回归模型
系统模型的一般形式
由于造成系统回归模型估计问题的根源不 同,因而相应的处理方法也不同。 现有的计量经济学软件提供了多种解决问 题的办法,从事应用研究的人员需要了解 各种方法所针对的问题,从而有能力选择 适当的技术,并对其做出正确的解释。
10
联立方程组模型的形式
结构形式(Structural form)
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联立方程组模型产生的问题
在联立方程的结构式中,解释变量不仅包含前定 变量,而且包含内生变量,因而产生下列问题:
用作解释变量的内生变量与方程误差项出现相关;
此时用OLS得到的结构参数估计量是有偏的,并且是不
一致的; 方程间的误差项可能出现相关。
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联立方程组模型产生的问题
下面用一个简单的联立方程模型来证明上述结论。 考虑由两个方程组成的方程组模型 Y1i 0 1Y2i 2 X i u1i Y2i 0 1Y1i 2 X i u2i
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结构形式与简化形式的比较
简化形式参数是结构形式参数的函数,简化形式误差项是 结构形式误差项的函数。 简化形式参数考虑了内生变量之间的相互依存性,可以度 量前定变量的变化对内生变量的综合影响,包括直接和间 接影响。结构形式参数只表示单一自变量变化的直接影响。 简化形式本身是模型解的表达式,根据已知的外生变量值 和内生变量滞后值,可以由简化形式直接计算出内生变量 的值。 简化形式可以直接用于做政策分析和预测,但是结果的含 义不同于用结构模型做的预测。
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模型识别的条件
设:
G=模型中内生变量(方程)的个数 K=模型中前定变量的个数; Gi=第i个方程中内生变量的个数; ki=第i个方程中前定变量的个数;
高级计量经济学3
第3章 最小二乘法和最小二乘估计Chapter 3 Least Squares线性模型中的参数估计有多种方法,其中最小二乘法是最为著名的。
即使已经发现其他方法比较优越,但是最小二乘法仍然是线性模型估计的基础方法,最小二乘估计的性质已经得到了广泛应用。
§3.1 最小二乘回归(least squares regression)随机线性关系i i i y ε+'=βx 中的未知系数是我们考虑的重点,也是我们进行估计的主要目标。
这时我们有必要区分母体变量(例如β和i ε)和它们的样本估计,对应地表示为b 和i e 。
母体回归方程可以表示为:βx x i i i y E '=]|[它的估计表示为:b x i i y '=ˆ (3.1) 与第i 个数据点相关的扰动项可以表示为:βx i i i y '-=ε (3.2) 如果获得了回归系数的估计,则可以利用回归方程的残差来估计随机扰动项,即 b x i i i y e '-= (3.3) 根据这些定义和表示,可以得到:i i i i i e y +'=+'=b x βx ε (3.4)母体量β是每个i y 的概率分布中的未知系数,我们希望利用样本数据),(i i y x 来估计这些参数。
虽然这是一个统计推断问题,但是我们仍然可以直观地认为应该选取向量b ,使得拟合直线b x i '尽量地靠近数据点。
如果描述这种靠近性,需要一定的拟合准则,其中最为广泛使用的是最小二乘法。
§3.1.1 最小二乘系数向量可以通过极小化下述残差平方和来获得最小二乘系数向量。
∑∑=='-=n i i n i i y e120120)(b x (3.5) 其中0b 表示系数向量的选择。
利用矩阵形式表示上述残差平方和:)()()(Minminze 000000Xb y Xb y e e b b -'-='=S (3.6) 将上述目标函数展开得到(注意利用标量的转置不变的性质):0000002)(Xb X b Xb y y y e e b ''+'-'='=S (3.7)极小化的一阶条件为(相当于对向量求导数,要么利用向量展开,要么利用向量求导公式):022)(000='+'-=∂∂Xb X y X b b S (3.8) 假设b 是最小二乘的解,则它必须满足最小二乘正规方程(least square normal equations): y X Xb X '=' (3.9) 如果解释变量矩阵的满秩条件满足,则有:K rank rank K n K K =='⨯⨯)()(X X X这说明矩阵K K ⨯')(X X 是可逆矩阵,因此正规方程的唯一解为:y X X X b ''=-1)( (3.10) 注意到上述条件只是极小化问题的必要条件,为了判断充分性,我们需要求出目标函数的Hessian 矩阵:X X bb b '='∂∂∂2)(2S (3.11) 如果这个Hessian 矩阵是正定的,则可以判断所得到的解是唯一的最小二乘解。
高铁梅《计量经济分析方法和建模》第03章基本回归模型
但是只能用于不严格的线性说明;公式法更为一般,可用于说明
非线性模型或带有参数约束的模型。
高铁梅《计量经济分析方法和建模》 第03章基本回归模型
•
3.2.1 列表法
• 说明线性方程的最简单的方法是列出方程中要使用的变
量列表。首先是因变量或表达式名,然后是自变量列表。例
如,要说明一个线性消费函数,用一个常数 c 和收入 inc 对
第03章基本回归模型
• 3.3.2 估计样本 • 可以说明估计中要使用的样本。EViews会用当前工作文档 样本来填充对话框。 • 如果估计中使用的任何一个序列的数据丢失了,EViews 会临时调整观测值的估计样本以排除掉这些观测值。EViews通 过在样本结果中报告实际样本来通知样本已经被调整了。 •
• • 在方程结果的顶部, EViews报告样本已经得到了调整。从 1978年2002年期间的25个观测值中, EViews使用了24个观测值。
高铁梅《计量经济分析方法和建模》 第03章基本回归模型
• 3.3.3 估计选项 • EViews提供很多估计选项。这些选项允许进行以下操 作:对估计方程加权,计算异方差性,控制估计算法的各 种特征。
• EViews中的公式是一个包括回归变量和系数的数学表 达式。要用公式说明一个方程,只需在对话框中变量列表处 输入表达式即可。EViews会在方程中添加一个随机附加扰 动项并用最小二乘法估计模型中的参数。
•
高铁梅《计量经济分析方法和建模》 第03章基本回归模型
• 用公式说明方程的好处是可以使用不同的系数向量。
年中国城镇居民可支配收入的51.4%用来消费。
高铁梅《计量经济分析方法和建模》 第03章基本回归模型
• 2. 标准差 (Std.Error) • 标准差项报告了系数估计的标准差。标准差衡量了系数估 计的统计可信性----标准差越大,估计中的统计干扰越大。 • 估计系数的协方差矩阵是由以下公式计算得到的:
高级计量经济学- 回归模型的估计PPT文档45页
coCha nel 62、少而好学,如日出之阳;壮而好学 ,如日 中之光 ;志而 好学, 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也,匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里,与其说好 的教师 是幸福 ,不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战,就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
高级计量经济学- 回归模型 的估计
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一, 也是成 功的利 器之一 。没有 它,天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ,徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿.丘吉 尔。 30、我奋斗,所以我快乐。--格林斯 潘。
计量经济学复习课之概论与回归模型
则
TSS (Yi Y ) 2 ˆ ) (Y ˆ Y )) 2 ((Yi Y i i ˆ ) 2 2 (Y Y ˆ )(Y ˆ Y ) (Y ˆ Y )2 (Yi Y i i i i i
计量经济学模型的应用
结构分析 经济预测
政策评价
理论检验与发展
多元线性回归模型 Multiple Linear Regression
学习目标
多元线性回归模型、回归方程与估计的 回归方程 回归方程的拟合优度与显著性检验 利用回归方程进行预测 用Eviews进行回归分析
多元线性回归模型
计量经济学是经济预测的科学
计量经济学从根上说,是对经验规律的认识以及将这 些规律推广为经济学“定律”的系统性努力,这些 “定律”被用来进行预测,即关于什么可能发生或者 什么将会发生的预测。
因此,广义地说,计量经济学可以称为经济预测的科 学。
计量经济学的三个主要作用
描述经济现实(Describing economic reality) 检验经济理论假设(Testing hypotheses about economic theory) 预测未来经济活动(Forecasting future economic activity)
Econometrics
Mathematics
Statistics
计量经济学的三个要素
计量经济学的三个要素是经济理论、经济数据和统计 方法。 对于解释经济现象来说,“没有计量的理论”和“没 有理论的计量”都是不够的,正如计量经济学创始人 之一的弗里希所强调的那样,它们的结合是计量经济 学的发展能够取得成功的关键。
• 应用计量经济学则以建立与应用计量经济学模 型为主要内容,强调应用模型的经济学和经济 统计学基础,侧重于建立与应用模型过程中实 际问题的处理。
高级计量经济学 广义回归模型
②若新变量的引入未能改进R2,且对其他回归参数估计值 的t检验也未带来什么影响,则认为该变量是多余的,应该 舍弃。
③若新变量的引入未能改进R2,且显著地影响了其他回归 参数估计值的符号与数值,同时本身的回归参数也通不过t 检验,这说明出现了严重的多重共线性。舍弃该变量。
则:
j=E(lnY|X)/Xj
解释为:Xj变化1个单位时Y的相对变化量。
多重共线性(multicollinearity)
1.非 多 重 共 线 性 假 定
rk (X 'X ) = rk (X ) = k .
解释变量不是完全线性相关的或接近完全线性相关的。
rxi xj 1, rxi xj 不近似等于 1。
就模型中解释变量的关系而言,有三种可能。 (1)rxi xj = 0,解释变量间毫无线性关系,变量间相互正交。这时已不 需要多重回归,每个参数j 都可以通过 y 对 xj 的一元回归来估计。 (2) rxi xj = 1,解释变量间完全共线性。此时模型参数将无法确定。 直观地看,当两变量按同一方式变化时,要区别每个解释变量对被解释变 量的影响程度就非常困难。 ( 3)0 < rxi xj < 1,解释变量间存在一定程度的线性关系。实际中常遇到 的是这种情形。随着共线性程度的加强,对参数估计值的准确性、稳定性 带 来 影 响 。因 此 我 们 关 心 的 不 是 有 无 多 重 共 线 性 ,而 是 多 重 共 线 性 的 程 度 。
bj可能不会显著地异于“任何”假设 • t检验值变小,可能将重要的变量排除在模型之外
• 使区间预测的“区间”变大,使预测失去意义。
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(2)在计量经济学中,除了精确分布已知的情况, 最佳渐近正态性,或称为渐近有效性(asymptotic efficiency),是最常选择的准则。
(3)渐近有效估计量的直观表述为
二、类比估计法(The Analogy Principle)
第三章 回归模型的估计: 概论
Regression Model Estimation: General Approaches
第二章指出,当联合概率分布p(X,Y)已知时,在 MSE最小化准则下,E(Y|X)是Y的最佳代表,被称 为是Y关于X的回归函数(regression function),也可 称为总体回归函数(population regression function)。
对于某一样本(Y1,Y2,…,Yn)’,则有一个估计值 (estimate):
t=h(Y1,Y2,…,Yn)
一、衡量参数估计量优劣的准则 Criteria for an Estimator
1、有限样本准则
记T为所选取的统计量,则T与参数的差异可用 均方误(mean square error, MSE)刻画:
1、基本原理 • 总体参数是关于总体某特征的描述,估计该参数,
可使用相对应的描述样本特征的统计量。 (1)估计总体矩,使用相应的样本矩
(2)估计总体矩的函数,使用相应的样本矩的函数 对线性回归模型: Y=0+1X+u
上述方法都是通过样本矩估计总体矩,因此,也 称为矩估计法(moment methods, MM)。
要寻找最佳估计量,则需在约束∑ci=1下求解 min ∑ci2
记 Q=∑ci2-(∑ci -1)
则 Q/ci=2ci -
(i=1,2,…,n)
Q/= - (∑ci -1) 由极值求解条件得:
ci=/2, ∑ci =1 于是 ∑ci = n/2 =2/n, ci=1/n
Theorem. 从任何总体中进行简单随机抽样,样本均 值是总体期望的最小方差线性无偏估计量(minimum variance linear unbiased estimator,MVLUE)。
2、总体均值的估计 对E(Y)=,Var(Y)=2的某总体随机抽样,由类
比法(矩法)知:
记T=∑iciYi,ci为不全为0的常数。 E(T)=E(∑ciYi)=∑ciE(Yi)=∑ci Var(T)=∑ci2Var(Yi)=2∑ci2 于是,任何无截距项,系数和为1的Yi的线性组 合都是的无偏估计量。
2、无限样本准则(Asymptotic Criteria)
有限样本往往需要知道估计量的精确分布,而这是建立 在对总体分布已知的情况下的。
如果总体分布未知,则需要依赖无限样本准则:
注意: (1)一致性的充分条件是:lim E(Tn)=, 且 lim Var(Tn)=0 (2)同一参数可能会有多个一致估计量。如从对称分布的
而当上述总体回归函数呈现线性形式
E(Y|X)=X’0 时,则称回归模型 Y=X’+u 关于E(Y|X)正确设定,这时“真实”参数0等于最 佳线性最小二乘解*:
0=*=[E(XX’)]-1E(XY)
且
E(u|X)=0 E(Xu)=0
问题是:我们往往不知道总体的p(X,Y)。因此, 只能通过样本来估计总体的相关信息。
总体中抽样,则样本均值与样本中位数都是总体期望=E(Y) 的一致估计量。
在实践中,为了区分同一参数不同的一致估计量, 需要从退化极限分布(degenerate limiting distribution) 转向渐近分布(asymtotic distribution)
尤其是,一致估计量具有以参数真实值为中心的 渐近正态分布(asymptotic normal distribution)。
(3)类比法还有: • 用样本中位数估计总体中位数; • 用样本最大值估计总体最大值; • 用样本均值函数mY|X估计总体期望函数Y|X,等
Questions: Are analog estimator sensible from a statistical point of view?
How reliable are they? What shall we do when an analog estimator is unreliable?
定义: T is an unbiased estimator of iff E(T- )=0, for all .
对无偏估计量, MSE=Variance,因此,在实践 中还希望从无偏估计量中选择方差最小的。于是, 有如下最小方差无偏准则(minimum variance unbiasedness criterion)
定义: T is a minimum variance unbiased estimator, or MVUE, of iff
(a) E(T- )=0 for all , and (b) V(T)≤V(T*) for all T* such that E(T*- )=0
最小方差无偏估计量也称为无偏有效估计量 (Unbiased and efficient estimator)
E(T-)2 由于T关于的均方误有如下分解式
E(T- )2=Var(T)+[E(T)- ]2 记[E(T)- ]=E(T)- 为T关于的偏差(bias)。
Var(T)刻画了统计量T的真正的离散程度,如果它 较小,表明T不太受数据随机波动的影响;
如果E(T)-较小,表明T的分布密切围拢着。
根据样本估计总体构成了回归分析的主体内容。
§3.1 参数估计:概论 Parameter Estimation: General Approaches
设(Y1,Y2,…,Yn)’是从未知总体Y~f(Y)中随机抽取 的一个样本,并由此估计总体的特征,如参数。
我们可以寻找一个关于的估计量(estimator)T, 它是关于所抽样本Y的函数:T=h(Y)