导数学生版
第13讲 函数与导数之导数及其应用(学生版)
第13讲 函数与导数之导数及其应用一. 基础知识回顾1.函数的平均变化率:一般地,已知函数y =f (x ),x 0,x 1是其定义域内不同的两点,记Δx=x 1-x 0,Δy =y 1-y 0=f (x 1)-f (x 0)=f (x 0+Δx )-f (x 0),则当Δx ≠0时,商 =Δy Δx 称作函数y =f (x )在区间[x 0,x 0+Δx ](或[x 0+Δx ,x 0])的平均变化率.2.函数y =f (x )在x =x 0处的导数:(1)定义:函数y =f (x)在点x 0处的瞬时变化率 通常称为f (x )在x =x 0处的导数,并记作f ′(x 0),即 .(2)几何意义:函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是过曲线y =f (x )上点(x 0,f (x 0))的 .导函数y =f ′(x )的值域即为 .3.函数f (x )的导函数:如果函数y =f (x )在开区间(a ,b )内每一点都是可导的,就说f (x )在开区间(a ,b )内可导,其导数也是开区间(a ,b )内的函数,又称作f (x )的导函数,记作 .4.基本初等函数的导数公式表(右表) 5.导数运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′= ; (2)[f (x )g (x )]′= ; (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′= [g (x )≠0]. 5.导数和函数单调性的关系:(1)若f ′(x )>0在(a ,b )上恒成立,则f (x )在(a ,b )上是 函数,f ′(x )>0的解集与定义域的交集的对应区间为 区间;(2)若f ′(x )<0在(a ,b )上恒成立,则f (x )在(a ,b )上是 函数,f ′(x )<0的解集与定义域的交集的对应区间为 区间(3)若在(a ,b )上,f ′(x )≥0,且f ′(x )在(a ,b )的任何子区间内都不恒等于零⇔f (x )在(a ,b )上为 函数,若在(a ,b )上,f ′(x )≤0,且f ′(x )在(a ,b )的任何子区间内都不恒等于零⇔f (x )在(a ,b )上为 函数.6.函数的极值:(1)判断f (x 0)是极值的方法:一般地,当函数f (x )在点x 0处连续时,①如果在x 0附近的左侧 ,右侧 ,那么f (x 0)是极大值;②如果在x 0附近的左侧 ,右侧 ,那么f (x 0)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤①求f ′(x );②求方程 的根;③检查f ′(x )在方程 的根左右值的符号.如果左正右负,那么f (x )在这个根处取得 ;如果左负右正,那么f (x )在这个根处取得 .7.函数的最值:(1)函数f (x )在[a ,b ]上必有最值的条件如果函数y =f (x )的图象在区间[a ,b ]上 ,那么它必有最大值和最小值.(2)求函数y =f (x )在[a ,b ]上的最大值与最小值的步骤:①求函数y =f (x )在(a ,b )内的 ;②将函数y =f (x )的各极值与 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.二.典例精析探究点一:导数的运算例1:求下列函数的导数:(1)y =(1-x )⎝⎛⎭⎫1+1x ; (2)y =ln x x ;(3)y =x e x ; (4)y =tan x .原函数 导函数 f (x )=C f ′(x )= f (x )=x α (α∈Q *) f ′(x )= (α∈Q *) F (x )=sin x f ′(x )= F (x )=cos x f ′(x )= f (x )=a x (a >0,a ≠1) f ′(x )= (a >0,a ≠1) f (x )=e x f ′(x )= f (x )=log a x (a >0,a ≠1,且x >0) f ′(x )= (a >0,a ≠1,且x >0) f (x )=ln x f ′(x )=变式迁移1:求下列函数的导数:(1)y =x 2sin x ; (2)y =3x e x -2x +e ; (3)y =ln x x 2+1.探究点二:导数的几何意义例2:已知曲线y =13x 3+43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程; (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程; (3)求满足斜率为1的曲线的切线方程.变式迁移2:求曲线f (x )=x 3-3x 2+2x 过原点的切线方程.探究点三:函数的单调性例3:已知a ∈R ,函数f (x )=(-x 2+ax )e x (x ∈R ,e 为自然对数的底数).(1)当a =2时,求函数f (x )的单调递增区间;(2)若函数f (x )在(-1,1)上单调递增,求a 的取值范围;变式迁移3:已知函数f (x )=x 3+(1-a )x 2-a (a +2)x +b (a ,b ∈R ).(1)若函数f (x )的图象过原点,且在原点处的切线斜率是-3,求a ,b 的值;(2)若函数f (x )在区间(-1,1)上不单调,求a 的取值范围.探究点四:函数的极值例4:若函数f (x )=ax 3-bx +4,当x =2时,函数f (x )有极值-43. (1)求函数f (x )的解析式;(2)若关于x 的方程f (x )=k 有三个零点,求实数k 的取值范围.变式迁移4:设x =1与x =2是函数f (x )=a ln x +bx 2+x 的两个极值点.(1)试确定常数a 和b 的值; (2)试判断x =1,x =2是函数f (x )的极大值点还是极小值点,并说明理由.探究点五:求闭区间上函数的最值例5:已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c ,曲线y =f (x )在点x =1处的切线为l :3x -y +1=0,若x =23时,y =f (x )有极值.(1)求a ,b ,c 的值;(2)求y =f (x )在[-3,1]上的最大值和最小值.变式迁移5:已知函数f (x )=ax 3+x 2+bx (其中常数a ,b ∈R ),g (x )=f (x )+f ′(x )是奇函数.(1)求f (x )的表达式; (2)讨论g (x )的单调性,并求g (x )在区间[1,2]上的最大值和最小值.三.方法规律总结1.准确理解曲线的切线,需注意的两个方面:(1)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征,若直线与曲线只有一个公共点,则直线不一定是曲线的切线,同样,若直线是曲线的切线,则直线也可能与曲线有两个或两个以上的公共点.(2)曲线未必在其切线的“同侧”,如曲线y =x 3在其过(0,0)点的切线y =0的两侧.2.曲线的切线的求法:若已知曲线过点P (x 0,y 0),求曲线过点P 的切线则需分点P (x 0,y 0)是切点和不是切点两种情况求解.(1)点P (x 0,y 0)是切点的切线方程为y -y 0=f ′(x 0)(x -x 0).(2)当点P (x 0,y 0)不是切点时可分以下几步完成:第一步:设出切点坐标P ′(x 1,f (x 1));第二步:写出过P ′(x 1,f (x 1))的切线方程为y -f (x 1)=f ′(x 1)(x -x 1);第三步:将点P 的坐标(x 0,y 0)代入切线方程求出x 1;第四步:将x 1的值代入方程y -f (x 1)=f ′(x 1)(x -x 1)可得过点P (x 0,y 0)的切线方程.3.求可导函数单调区间的一般步骤和方法:(1)确定函数f (x )的定义域;(2)求f ′(x ),令f ′(x )=0,求出它在定义域内的一切实根;(3)把函数f (x )的间断点(即f (x )的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f (x )的定义区间分成若干个小区间;(4)确定f ′(x )在各个开区间内的符号,根据f ′(x )的符号判定函数f (x )在每个相应小开区间内的增减性.4.可导函数极值存在的条件:(1)可导函数的极值点x 0一定满足f ′(x 0)=0,但当f ′(x 1)=0时,x 1不一定是极值点.如f (x )=x 3,f ′(0)=0,但x =0不是极值点.(2)可导函数y =f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)=0,且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同.5.函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的,函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的.函数的极值可以有多有少,但最值只有一个,极值只能在区间内取得,最值则可以在端点取得,有极值的未必有最值,有最值的未必有极值,极值可能成为最值,最值只要不在端点必定是极值.6.求函数的最值以导数为工具,先找到极值点,再求极值和区间端点函数值,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.四.课后作业设计1.在曲线y =x 2+1的图象上取一点(1,2)及附近一点(1+Δx ,2+Δy ),则Δy Δx 为 ( ) A .Δx +1Δx +2 B .Δx -1Δx -2 C .Δx +2 D .2+Δx -1Δx2.若曲线y =x -12在点(a ,a -12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,则a =( )A .64B .32C .16D .83.若函数f (x )=e x +a e -x 的导函数是奇函数,并且曲线y =f (x )的一条切线的斜率是32,则切点的横坐标是 ( )A .-ln 22B .-ln 2 C.ln 22D .ln 2 4.已知函数f (x )=2ln(3x )+8x ,则0lim →∆x f (1-2Δx )-f (1)Δx 的值为 ( ) A .10 B .-10 C .-20 D .205.如图是函数f (x )=x 2+ax +b 的部分图象,则函数g (x )=ln x +f ′(x )的零点所在的区间是 ( )A.⎝⎛⎭⎫14,12 B .(1,2) C.⎝⎛⎭⎫12,1 D .(2,3) 6.若曲线y =x 4的一条切线l 与直线x +4y -8=0垂直,则l 的方程为 ( )A .4x -y -3=0B .x +4y -5=0C .4x -y +3=0D .x +4y +3=07.设f (x ),g (x )是R 上的可导函数,f ′(x )、g ′(x )分别为f (x )、g (x )的导函数,且f ′(x )·g (x )+f (x )g ′(x )<0,则当a <x <b 时,有 ( C )A .f (x )g (b )>f (b )g (x )B .f (x )g (a )>f (a )g (x )C .f (x )g (x )>f (b )g (b )D .f (x )g (x )>f (a )g (a )8.函数f (x )的定义域为开区间(a ,b ),导函数f ′(x )在(a ,b )内的图象如图所示,则函数f (x )在开区间(a ,b )内有极小值点( )A .1个B .2个C .3个D .4个9.若函数y =a (x 3-x )在区间⎝⎛⎭⎫-33,33上为减函数,则a 的取值范围是 ( )A .a >0B .-1<a <0C .a >1D .0<a <110.已知函数f (x )=12x 4-2x 3+3m ,x ∈R ,若f (x )+9≥0恒成立,则实数m 的取值范围是( ) A .m ≥32 B .m >32 C .m ≤32 D .m <3211.已知点P 在曲线y =4e x +1上,α为曲线在点P 处的切线的倾斜角,则α的取值范围是 ( )A.⎣⎡⎭⎫0,π4B.⎣⎡⎭⎫π4,π2C.⎝⎛⎦⎤π2,3π4D.⎣⎡⎭⎫3π4,π 12.在下列四个函数中,满足性质:“对于区间(1,2)上的任意x 1,x 2 (x 1≠x 2),|f (x 2)-f (x 1)|<|x 2-x 1|恒成立”的只有 ( )A .f (x )=1xB .f (x )=|x |C .f (x )=2xD .f (x )=x 2 13.已知函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如右图所示,给出以下结论:①函数f (x )在(-2,-1)和(1,2)上是单调递增函数②函数f (x )在(-2,0)上是单调递增函数,在(0,2)上是单调递减函数;③函数f (x )在x =-1处取得极大值,在x =1处取得极小值;④函数f (x )在x =0处取得极大值f (0).则正确命题的序号是②④.(填上所有正确命题的序号).14.已知函数f (x )=x 3+mx 2+(m +6)x +1既存在极大值又存在极小值,则实数m 的取值范围为 .15.已知函数f (x )=f ′(π4)cos x +sin x ,则f (π4)= 16.若点P 是曲线f (x )=x 2-ln x 上任意一点,则点P 到直线y =x -2的最小距离为17.设点P 是曲线y =x 33-x 2-3x -3上的一个动点,则以P 为切点的切线中,斜率取得最小值时的切线方程是18.已知函数f (x )=12x 2-a ln x (a ∈R ).(1)若函数f (x )的图象在x =2处的切线方程为y =x +b ,求a ,b 的值;(2)若函数f (x )在(1,+∞)上为增函数,求a 的取值范围.19.已知a 为实数,且函数f (x )=(x 2-4)(x -a ).(1)求导函数f ′(x );(2)若f ′(-1)=0,求函数f (x )在[-2,2]上的最大值、最小值.20.已知函数f (x )=x 3+mx 2+nx -2的图象过点(-1,-6),且函数g (x )=f ′(x )+6x 的图象关于y 轴对称.(1)求m ,n 的值及函数y =f (x )的单调区间;(2)若a >0,求函数y =f (x )在区间(a -1,a +1)内的极值.21.已知函数f (x )=12(1+x )2-ln(1+x ).(1)求f (x )的单调区间;(2)若x ∈[1e-1,e -1]时,f (x )<m 恒成立,求m 的取值范围.。
第1节 导数的概念及运算法则 - 学生版
导数的概念及运算(讲案)【教学目标】一、平均变化率与瞬时变化率【知识点】 1.变化率事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。
如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值; 2.平均变化率一般地,函数()f x 在区间[]21,x x 上的平均变化率为:2121()()f x f x x x --要点诠释:① 本质:如果函数的自变量的“增量”为x ∆,且21x x x ∆=-,相应的函数值的“增量”为y ∆,21()()y f x f x ∆=-,则函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率为2121()()f x f x y x x x -∆=∆-② 函数的平均变化率可正可负,平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势,即递增或递减幅度的大小。
对于不同的实际问题,平均变化率赋予不同的实际意义。
如位移运动中,位移S (m )从t 1秒到t 2秒的平均变化率即为t 1秒到t 2秒这段时间的平均速度。
高台跳水运动中平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态,要想更精确地刻画物体运动,就要研究某个时刻的速度即瞬时速度。
3.如何求函数的平均变化率求函数的平均变化率通常用“两步”法: ①作差:求出21()()y f x f x ∆=-和21x x x ∆=- ②作商:对所求得的差作商,即2121()()f x f x y x x x -∆=∆-。
要点诠释:1. x ∆是1x 的一个“增量”,可用1x x +∆代替2x ,同样21()()y f x f x ∆=-。
2.x 是一个整体符号,而不是与x 相乘。
3. 求函数平均变化率时注意,x y ,两者都可正、可负,但x 的值不能为零,y 的值可以为零。
若函数()y f x =为常函数,则y =0.4.函数的瞬时变化率:设函数()y f x =在0x 附近有定义,当自变量在0x x =附近改变量为x ∆时,函数值相应的改变00()()y f x x f x ∆=+∆-.如果当x ∆趋近于0时,平均变化率00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆趋近于一个常数l ,那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率.【例题讲解】★☆☆例题1.(2020·江苏张家港·高二期中)函数2()sin f x x x =-在[0,]π上的平均变化率为( ) A .1 B .2 C .π D .2π★☆☆练习1. (2020·武汉市钢城第四中学高二期中)如果函数()f x ax b =+在区间[1,2]上的平均变化率为3,则a =( ) A .3- B .2 C .3D .2-★☆☆练习2.(2020·重庆高二月考)函数2y x x =+在1x =到1x x =+∆之间的平均变化率为( ) A .2x ∆+ B .3x ∆+C .()22x x ∆+∆D .()23x x ∆+∆★☆☆练习3.(2020·皇姑·辽宁实验中学高二月考)函数1y x=在1x =到3x =之间的平均变化率为( ) A .23B .23-C .13-D .13★☆☆例题2:函数y =在1x =处的瞬时变化率为( )A .2B .12 C .12-D .1★☆☆练习1.有一作直线运动的物体,其位移s 与时间t 的关系是23s t t =-,求此物体在2t =时的瞬时速度.知识点要点总结:(1)极限思想是趋近的思想,当平均变化率无限接近于瞬时变化率时,这个瞬时变化率就是平均变化率的极限.(2)求瞬时速度应先求平均速度s v t ∆=∆,再用公式0lim t s v t∆→∆=∆求得瞬时速度.如果物体的运动方程是()s s t =,那么函数()s s t =在0t t =处的导数就是物体在0t t =时的瞬时速度.二、导数的概念【知识点】 1.导数定义:函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是()()xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆0000limlim,我们称它为函数()x f y =在0x x =处的导数,记作() 或0x f '即 0x x y ='()()()xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆'→∆→∆00000limlim= 要点诠释:① 增量x ∆可以是正数,也可以是负,但是不可以等于0。
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导数一.选择题(共17小题)1.(2013•广东模拟)曲线在点处切线的倾斜角为()A.B.C. D.2.(高州市校级模拟)设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[],则点P横坐标的取值范围为()A.(﹣∞,]B.[﹣1,0] C.[0,1]D.[﹣,+∞)3(2016•榆林二模)设曲线在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=()A.2 B.C.D.﹣24(汕头一模)设曲线y=ax2在点(1,a)处的切线与直线2x﹣y﹣6=0平行,则a=()A.1 B.C.D.﹣15曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为()A.B.C.D.6.(2016•贵阳二模)过点(﹣1,0)作抛物线y=x2+x+1的切线,则其中一条切线为()A.2x+y+2=0 B.3x﹣y+3=0 C.x+y+1=0 D.x﹣y+1=07.(湖北)已知函数f(x)在x=1处的导数为3,则f(x)的解析式可能为()A.(x﹣1)3+3(x﹣1)B.2(x﹣1)2C.2(x﹣1)D.x﹣18.(2012•河北模拟)已知直线y=kx是y=lnx的切线,则k的值是()A.e B.﹣e C.D.﹣9已知在R上可导的函数f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)•f′(x)<0的解集为()A(﹣2,0)B(﹣∞,﹣2)∪(﹣1,0)C(﹣∞,﹣2)∪(0,+∞)D(﹣2,﹣1)∪(0,+∞)10.(2015秋•泉州期末)下列函数求导运算正确的个数为()①(3x)′=3x log3e;②(log2x)′=③(e x)′=e x;④()′=x;⑤(x•e x)′=e x+1.A.1 B.2 C.3 D.411.(2011•江西)若f(x)=x2﹣2x﹣4lnx,则f′(x)>0的解集为()A.(0,+∞)B.(﹣1,0)∪(2,+∞)C.(2,+∞)D.(﹣1,0)12.(2004•浙江)设f′(x)是函数f(x)的导函数,y=f′(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象最有可能的是()A B.C.D.13.(2008•福建)如果函数y=f(x)的图象如图,那么导函数y=f′(x)的图象可能是()A.B.C.D.14.(2008•湖北)若f(x)=﹣x2+bln(x+2)在(﹣1,+∞)上是减函数,则b的取值范围是()A.[﹣1,+∞)B.(﹣1,+∞)C.(﹣∞,﹣1]D.(﹣∞,﹣1)15.(2005•江西)已知函数y=xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),下面四个图象中y=f(x)的图象大致是()A.B.C.D.16.(2009•天津)设函数f(x)=x﹣lnx(x>0),则y=f(x)()A.在区间(,1),(l,e)内均有零点B.在区间(,1),(l,e)内均无零点C.在区间(,1)内无零点,在区间(l,e)内有零点D.在区间(,1)内有零点,在区间(l,e)内无零点17.(2010•辽宁)已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是()A.[0,)B.C.D.二.填空题(共6小题)18.(2011•天心区校级模拟)已知函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是y=x+3,则:f(1)+f′(1)=.19.(2014•河南二模)已知f(x)=alnx+,若对于∀x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2都有>4,则a的取值范围是.20.(2015春•泗阳县期中)如图,直线l是曲线y=f(x)在x=5处的切线,则f(5)+f′(5)=.21.已知函数,则=.22.(2010•惠州模拟)已知f(x)=x2+2x•f′(1),则f′(0)=.23.(2015•天津)已知函数f(x)=a x lnx,x∈(0,+∞),其中a为实数,f′(x)为f(x)的导函数,若f′(1)=3,则a的值为.三.解答题(共7小题)24.(2005•福建)已知函数f(x)=x3+bx2+ax+d的图象过点P(0,2),且在点M(﹣1,f (﹣1))处的切线方程为6x﹣y+7=0.(Ⅰ)求函数y=f(x)的解析式;(Ⅱ)求函数y=f(x)的单调区间.25.(2013•重庆)设f(x)=a(x﹣5)2+6lnx,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6).(1)确定a的值;(2)求函数f(x)的单调区间与极值.26.(2011•江西)设f(x)=﹣x3+x2+2ax(1)若f(x)在(,+∞)上存在单调递增区间,求a的取值范围.(2)当0<a<2时,f(x)在[1,4]的最小值为﹣,求f(x)在该区间上的最大值.27.(2008•四川)已知x=3是函数f(x)=aln(1+x)+x2﹣10x的一个极值点.(Ⅰ)求a;(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅲ)若直线y=b与函数y=f(x)的图象有3个交点,求b的取值范围.28.(2010•韶关模拟)设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值.(Ⅰ)求a、b的值;(Ⅱ)若对任意的x∈[0,3],都有f(x)<c2成立,求c的取值范围.29.(2011•安徽)设,其中a为正实数(Ⅰ)当a=时,求f(x)的极值点;(Ⅱ)若f(x)为R上的单调函数,求a的取值范围.30.(2014•新课标I)设函数f(x)=ae x lnx+,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处得切线方程为y=e(x﹣1)+2.(Ⅰ)求a、b;(Ⅱ)证明:f(x)>1.导数参考答案一.选择题(共17小题)1.B;2.D;3.D;4.A;5.A;6.D;7.A;8.C;9.B;10.B;11.C;12.C;13.A;14.C;15.C;16.C;17.D;二.填空题(共6小题)18.4;19.(4,+∞);20.7;21.;22.-4;23.3;三.解答题(共7小题)24.(2005•福建)已知函数f(x)=x3+bx2+ax+d的图象过点P(0,2),且在点M(﹣1,f (﹣1))处的切线方程为6x﹣y+7=0.(Ⅰ)求函数y=f(x)的解析式;(Ⅱ)求函数y=f(x)的单调区间.【分析】(Ⅰ)求解析式,只需把a,b,d三个字母求出即可.已知点P(0,2)满足f(x),得到d,又点M(﹣1,f(﹣1))处的切线方程为6x﹣y+7=0,可以得到f(﹣1)的值,并且得到f(x)在x=﹣1处的导数为6.(Ⅱ)利用导数研究函数的单调性即可求出函数的单调区间.【解答】解:(Ⅰ)∵f(x)的图象经过P(0,2),∴d=2,∴f(x)=x3+bx2+ax+2,f'(x)=3x2+2bx+a.∵点M(﹣1,f(﹣1))处的切线方程为6x﹣y+7=0∴f'(x)|x=﹣1=3x2+2bx+a|x=﹣1=3﹣2b+a=6①,还可以得到,f(﹣1)=y=1,即点M(﹣1,1)满足f(x)方程,得到﹣1+b﹣a+2=1②由①、②联立得b=a=﹣3故所求的解析式是f(x)=x3﹣3x2﹣3x+2.(Ⅱ)f'(x)=3x2﹣6x﹣3.,令3x2﹣6x﹣3=0,即x2﹣2x﹣1=0.解得.当;当.故f(x)的单调增区间为(﹣∞,1﹣),(1+,+∞);单调减区间为(1﹣,1+)【点评】本题主要考查了两个知识点,一是导数的几何意义,二是利用导数研究函数的单调性,属于函数这一内容的基本知识,更应该熟练掌握.25.(2013•重庆)设f(x)=a(x﹣5)2+6lnx,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6).(1)确定a的值;(2)求函数f(x)的单调区间与极值.【分析】(1)先由所给函数的表达式,求导数fˊ(x),再根据导数的几何意义求出切线的斜率,最后由曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)列出方程求a 的值即可;(2)由(1)求出的原函数及其导函数,求出导函数的零点,把函数的定义域分段,判断导函数在各段内的符号,从而得到原函数的单调区间,根据在各区间内的单调性求出极值点,把极值点的横坐标代入函数解析式求得函数的极值.【解答】解:(1)因f(x)=a(x﹣5)2+6lnx,故f′(x)=2a(x﹣5)+,(x>0),令x=1,得f(1)=16a,f′(1)=6﹣8a,∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y﹣16a=(6﹣8a)(x﹣1),由切线与y轴相交于点(0,6).∴6﹣16a=8a﹣6,∴a=.(2)由(I)得f(x)=(x﹣5)2+6lnx,(x>0),f′(x)=(x﹣5)+=,令f′(x)=0,得x=2或x=3,当0<x<2或x>3时,f′(x)>0,故f(x)在(0,2),(3,+∞)上为增函数,当2<x<3时,f′(x)<0,故f(x)在(2,3)上为减函数,故f(x)在x=2时取得极大值f(2)=+6ln2,在x=3时取得极小值f(3)=2+6ln3.【点评】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性、函数的极值及其几何意义等基础知识,考查运算求解能力,考查分类讨论思想、化归与转化思想.属于中档题.26.(2011•江西)设f(x)=﹣x3+x2+2ax(1)若f(x)在(,+∞)上存在单调递增区间,求a的取值范围.(2)当0<a<2时,f(x)在[1,4]的最小值为﹣,求f(x)在该区间上的最大值.【分析】(1)利用函数递增,导函数大于0恒成立,求出导函数的最大值,使最大值大于0.(2)求出导函数的根,判断出根左右两边的导函数的符号,求出端点值的大小,求出最小值,列出方程求出a,求出最大值.【解答】解:(1)f′(x)=﹣x2+x+2af(x)在存在单调递增区间∴f′(x)≥0在有解∵f′(x)=﹣x2+x+2a对称轴为∴递减∴f′(x)≤f′()=+2a,由0≤+2a,解得a≥﹣.检验a=﹣时,f(x)的增区间为(,),故不成立.故a>﹣.(2)当0<a<2时,△>0;f′(x)=0得到两个根为;(舍)∵∴时,f′(x)>0;时,f′(x)<0当x=1时,f(1)=2a+;当x=4时,f(4)=8a<f(1)当x=4时最小∴=解得a=1所以当x=时最大为【点评】本题考查利用导函数求参数的范围、利用导函数求函数的单调性、求函数的最值.27.(2008•四川)已知x=3是函数f(x)=aln(1+x)+x2﹣10x的一个极值点.(Ⅰ)求a;(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅲ)若直线y=b与函数y=f(x)的图象有3个交点,求b的取值范围.【分析】(Ⅰ)先求导,再由x=3是函数f(x)=aln(1+x)+x2﹣10x 的一个极值点即求解.(Ⅱ)由(Ⅰ)确定f(x)=16ln(1+x)+x2﹣10x,x∈(﹣1,+∞)再由f′(x)>0和f′(x)<0求得单调区间.(Ⅲ)由(Ⅱ)知,f(x)在(﹣1,1)内单调增加,在(1,3)内单调减少,在(3,+∞)上单调增加,且当x=1或x=3时,f′(x)=0,可得f(x)的极大值为f(1),极小值为f(3)一,再由直线y=b与函数y=f(x)的图象有3个交点则须有f(3)<b<f(1)求解,因此,b的取值范围为(32ln2﹣21,16ln2﹣9).【解答】解:(Ⅰ)因为所以因此a=16(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=16ln(1+x)+x2﹣10x,x∈(﹣1,+∞)当x∈(﹣1,1)∪(3,+∞)时,f′(x)>0当x∈(1,3)时,f′(x)<0所以f(x)的单调增区间是(﹣1,1),(3,+∞)f(x)的单调减区间是(1,3)(Ⅲ)由(Ⅱ)知,f(x)在(﹣1,1)内单调增加,在(1,3)内单调减少,在(3,+∞)上单调增加,且当x=1或x=3时,f′(x)=0所以f(x)的极大值为f(1)=16ln2﹣9,极小值为f(3)=32ln2﹣21因此f(16)>162﹣10×16>16ln2﹣9=f(1)f(e﹣2﹣1)<﹣32+11=﹣21<f(3)所以在f(x)的三个单调区间(﹣1,1),(1,3),(3,+∞)直线y=b有y=f(x)的图象各有一个交点,当且仅当f(3)<b<f(1)因此,b的取值范围为(32ln2﹣21,16ln2﹣9).【点评】此题重点考查利用求导研究函数的单调性,最值问题,函数根的问题;,熟悉函数的求导公式,理解求导在函数最值中的研究方法是解题的关键,数形结合理解函数的取值范围.28.(2010•韶关模拟)设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值.(Ⅰ)求a、b的值;(Ⅱ)若对任意的x∈[0,3],都有f(x)<c2成立,求c的取值范围.【分析】(1)依题意有,f'(1)=0,f'(2)=0.求解即可.(2)若对任意的x∈[0,3],都有f(x)<c2成立⇔f(x)max<c2在区间[0,3]上成立,根据导数求出函数在[0,3]上的最大值,进一步求c的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)f'(x)=6x2+6ax+3b,因为函数f(x)在x=1及x=2取得极值,则有f'(1)=0,f'(2)=0.即解得a=﹣3,b=4.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,f(x)=2x3﹣9x2+12x+8c,f'(x)=6x2﹣18x+12=6(x﹣1)(x﹣2).当x∈(0,1)时,f'(x)>0;当x∈(1,2)时,f'(x)<0;当x∈(2,3)时,f'(x)>0.所以,当x=1时,f(x)取得极大值f(1)=5+8c,又f(0)=8c,f(3)=9+8c.则当x∈[0,3]时,f(x)的最大值为f(3)=9+8c.因为对于任意的x∈[0,3],有f(x)<c2恒成立,所以9+8c<c2,解得c<﹣1或c>9,因此c的取值范围为(﹣∞,﹣1)∪(9,+∞).【点评】本题考查了导数的应用:函数在某点存在极值的性质,函数恒成立问题,而函数①f(x)<c2在区间[a,b]上恒成立与②存在x∈[a,b],使得f(x)<c2是不同的问题.①⇔f(x)max<c2,②⇔f(x)min<c2,在解题时要准确判断是“恒成立”问题还是“存在”问题.在解题时还要体会“转化思想”及“方程与函数不等式”的思想的应用.29.(2011•安徽)设,其中a为正实数(Ⅰ)当a=时,求f(x)的极值点;(Ⅱ)若f(x)为R上的单调函数,求a的取值范围.【分析】(Ⅰ)首先对f(x)求导,将a=代入,令f′(x)=0,解出后判断根的两侧导函数的符号即可.(Ⅱ)因为a>0,所以f(x)为R上为增函数,f′(x)≥0在R上恒成立,转化为二次函数恒成立问题,只要△≤0即可.【解答】解:对f(x)求导得f′(x)=e x …①(Ⅰ)当a=时,若f′(x)=0,则4x2﹣8x+3=0,解得,(所以,是极小值点,是极大值点.(Ⅱ)若f(x)为R上的单调函数,则f′(x)在R上不变号,结合①与条件a>0知ax2﹣2ax+1≥0在R上恒成立,因此△=4a2﹣4a=4a(a﹣1)≤0,由此并结合a>0,知0<a≤1.【点评】本题考查求函数的极值问题、已知函数的单调性求参数范围问题,转化为不等式恒成立问题求解.30.(2014•新课标I)设函数f(x)=ae x lnx+,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处得切线方程为y=e(x﹣1)+2.(Ⅰ)求a、b;(Ⅱ)证明:f(x)>1.【分析】(Ⅰ)求出定义域,导数f′(x),根据题意有f(1)=2,f′(1)=e,解出即可;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)>1等价于xlnx>xe﹣x﹣,设函数g(x)=xlnx,函数h(x)=,只需证明g(x)min>h(x)max,利用导数可分别求得g(x)min,h(x)max;【解答】解:(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=+,由题意可得f(1)=2,f′(1)=e,故a=1,b=2;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=e x lnx+,∵f(x)>1,∴e x lnx+>1,∴lnx>﹣,∴f(x)>1等价于xlnx>xe﹣x﹣,设函数g(x)=xlnx,则g′(x)=1+lnx,∴当x∈(0,)时,g′(x)<0;当x∈(,+∞)时,g′(x)>0.故g(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,从而g(x)在(0,+∞)上的最小值为g()=﹣.设函数h(x)=xe﹣x﹣,则h′(x)=e﹣x(1﹣x).∴当x∈(0,1)时,h′(x)>0;当x∈(1,+∞)时,h′(x)<0,故h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,从而h(x)在(0,+∞)上的最大值为h(1)=﹣.综上,当x>0时,g(x)>h(x),即f(x)>1.【点评】本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等,考查转化思想,考查学生分析解决问题的能力.。
考点18导数与函数的极值、最值(2种核心题型)(学生版) 2025年高考数学大一轮复习(新高考版)
考点18导数与函数的极值、最值(2种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练)【考试提醒】1.借助函数图象,了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.掌握利用导数研究函数最值的方法.4.会用导数研究生活中的最优化问题.【知识点】1.函数的极值(1)函数的极小值函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点处的函数值都小,f′(a)=0;而且在点x=a附近的左侧,右侧,则a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.(2)函数的极大值函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点处的函数值都大,f′(b)=0;而且在点x=b附近的左侧,右侧,则b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.(3)极小值点、极大值点统称为,极小值和极大值统称为.2.函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间[a,b]上有最值的条件:如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条的曲线,那么它必有最大值和最小值.(2)求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大(小)值的步骤:①求函数y=f(x)在区间(a,b)内的;②将函数y=f(x)的各极值与比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.常用结论对于可导函数f(x),“f′(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处有极值”的必要不充分条件【核心题型】题型一 利用导数求解函数的极值问题根据函数的极值(点)求参数的两个要领(1)列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解;(2)验证:求解后验证根的合理性.命题点1 根据函数图象判断极值【例题1】(2024·四川广安·二模)已知函数()()1e xf x ax =+,给出下列4个图象:其中,可以作为函数()f x 的大致图象的个数为( )A .1B .2C .3D .4【变式1】(23-24高三上·黑龙江·阶段练习)如图是函数()y f x =的导函数()y f x ¢=的图象,下列结论正确的是( )A .()y f x =在=1x -处取得极大值B .1x =是函数()y f x =的极值点C .2x =-是函数()y f x =的极小值点D .函数()y f x =在区间()1,1-上单调递减【变式2】(2023·河北·模拟预测)函数4211()f x x x =-的大致图象是( )A . B .C .D .【变式3】(2024高三·全国·专题练习)已知函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示,则下列结论正确的是( )A .曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线斜率小于零B .函数f (x )在区间(-1,1)上单调递增C .函数f (x )在x =1处取得极大值D .函数f (x )在区间(-3,3)内至多有两个零点命题点2 求已知函数的极值【例题2】(2024·宁夏银川·一模)若函数()2()2e xf x x ax =--在2x =-处取得极大值,则()f x 的极小值为( )A .26e -B .4e-C .22e -D .e-【变式1】(2023·全国·模拟预测)函数()2tan πf x x x =--在区间ππ,22æö-ç÷èø的极大值、极小值分别为( )A .π12+,π12-+B .π12-+,3π12-+C .3π12-,π12-+D .π12--,3π12-+【变式2】(多选)(2024·全国·模拟预测)已知2e ,0,()41,0,xx f x x x x x ì>ï=íï---£î则方程2()(3)()30f x k f x k -++=可能有( )个解.A .3B .4C .5D .6【变式3】(2024·辽宁鞍山·二模)()2e xf x x -=的极大值为 .命题点3 已知极值(点)求参数【例题3】(2024·全国·模拟预测)设12,x x 为函数()()()2f x x x x a =--(其中0a >)的两个不同的极值点,若不等式()()120f x f x +³成立,则实数a 的取值范围为( )A .[]1,4B .(]0,4C .()0,1D .()4,+¥【变式1】(2024·四川绵阳·三模)若函数()()21ln 02f x ax x b x a =-+¹有唯一极值点,则下列关系式一定成立的是()A .0,0a b ><B .0,0a b <>C .14ab <D .0ab >【变式2】(2024·辽宁·一模)已知函数()322f x x ax bx a =+++在=1x -处有极值8,则()1f 等于 .【变式3】(2024·全国·模拟预测)已知函数()()2ln 2f x x x ax a =-+-ÎR .(1)若()f x 的极值为-2,求a 的值;(2)若m ,n 是()f x 的两个不同的零点,求证:()0f m n m n ¢+++<.题型二 利用导数求函数最值求含有参数的函数的最值,需先求函数的定义域、导函数,通过对参数分类讨论,判断函数的单调性,从而得到函数f (x )的最值.命题点1 不含参函数的最值【例题4】(2024·陕西·模拟预测)[]1,2x "Î,有22ln a x x x ³-+恒成立,则实数a 的取值范围为( )A .[)e,+¥B .[)1,+¥C .e ,2éö+¥÷êëøD .[)2e,+¥【变式1】(2024·四川·模拟预测)已知 ()()22ln f x x x a x x =-+-,若存在(]0,e 0x Î,使得()00f x £成立,则实数a 的取值范围是.【变式2】(2024·上海徐汇·二模)如图,两条足够长且互相垂直的轨道12,l l 相交于点O ,一根长度为8的直杆AB 的两端点,A B 分别在12,l l 上滑动(,A B 两点不与O 点重合,轨道与直杆的宽度等因素均可忽略不计),直杆上的点P 满足OP AB ^,则OAP △面积的取值范围是 .【变式3】(2024·全国·模拟预测)已知函数()ln f x x =.(1)求函数()()f xg x x=的最值.(2)证明:()2431e 3e e 044xx x x f x ---->(其中e 为自然对数的底数).命题点2 含参函数的最值【例题5】(2024·四川成都·模拟预测)已知函数21()e (R)2(1)xf x x bx a b a =--Î+,没有极值点,则1ba +的最大值为( )A B .e 2C .eD .2e 2【变式1】(23-24高三下·重庆·阶段练习)若过点(),a b 可以作曲线ln y x =的两条切线,则( )A .ln b a>B .ln b a<C .0a <D .e ab >【变式2】.(2024·全国·模拟预测)函数()()()2ln 1f x x x ax =++-只有3个零点1x ,2x ,3x ()1233x x x <<<,则2a x +的取值范围是 .【变式3】(2024·北京海淀·一模)已知函数12()e a x f x x -=.(1)求()f x 的单调区间;(2)若函数2()()e ,(0,)g x f x a x -=+Î+¥存在最大值,求a 的取值范围.【课后强化】基础保分练一、单选题1.(2023·广西·模拟预测)函数()3f x x ax =+在1x =处取得极小值,则极小值为( )A .1B .2C .2-D .1-2.(2024·四川凉山·二模)若()sin cos 1f x x x x =+-,π,π2x éùÎ-êúëû,则函数()f x 的零点个数为( )A .0B .1C .2D .33.(2024·黑龙江哈尔滨·一模)在同一平面直角坐标系内,函数()y f x =及其导函数()y f x =¢的图象如图所示,已知两图象有且仅有一个公共点,其坐标为()0,1,则( )A .函数()e xy f x =×的最大值为1B .函数()e xy f x =×的最小值为1C .函数()exf x y =的最大值为1D .函数()e xf x y =的最小值为14.(2024·陕西安康·模拟预测)已知函数()2e e 2x xf x a b x =++有2个极值点,则( )A .2016b a <<B .0b >C .4a b <D .2b a>5.(2024·全国·模拟预测)已知函数()()sin cos e xa f x x x x +=+在()0,π上恰有两个极值点,则实数a 的取值范围是( )A .π4e æöç÷ç÷èøB .()π,e-¥C .()π0,eD .π4e ,ö÷÷ø+¥二、多选题6.(2024·全国·模拟预测)已知函数()e xbf x a x=+在定义域内既存在极大值点又存在极小值点,则( )A .0ab > B .24e b a £C .24e 0a b ->D .对于任意非零实数a ,总存在实数b 满足题意7.(2024·湖北武汉·模拟预测)已知各项都是正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且122n n na S a =+,则下列结论正确的是( )A .当()*m n m n >ÎN ,时,m na a >B .212n n n S S S +++<C .数列{}2n S 是等差数列D .1ln n nS n S -³三、填空题8.(2024·上海黄浦·二模)如图是某公园局部的平面示意图,图中的实线部分(它由线段,CE DF 与分别以,OC OD 为直径的半圆弧组成)表示一条步道.其中的点,C D 是线段AB 上的动点,点O 为线段,AB CD 的中点,点,E F 在以AB 为直径的半圆弧上,且,OCE ÐODF Ð均为直角.若1AB =百米,则此步道的最大长度为百米.9.(2023·江西赣州·模拟预测)当0x =时,函数()e x f x a bx -=+取得极小值1,则a b +=.四、解答题10.(2023·河南洛阳·一模)已知函数()211122f x x x =++.(1)求()f x 的图像在点()()22f ,处的切线方程;(2)求()f x 在1,22éùêúëû上的值域.11.(2024·上海静安·二模)已知R k Î,记()x x f x a k a -=+×(0a >且1a ¹).(1)当e a =(e 是自然对数的底)时,试讨论函数()y f x =的单调性和最值;(2)试讨论函数()y f x =的奇偶性;(3)拓展与探究:① 当k 在什么范围取值时,函数()y f x =的图象在x 轴上存在对称中心?请说明理由;②请提出函数()y f x =的一个新性质,并用数学符号语言表达出来.(不必证明)综合提升练一、单选题1.(2024·全国·模拟预测)若函数()()1ln 1f x x x ax =+-+是()0,¥+上的增函数,则实数a 的取值范围是( )A .(],2ln 2-¥B .(]0,2ln 2C .(],2-¥D .(]0,22.(2024·陕西渭南·模拟预测)已知函数()e x f x x a =+在区间[]0,1上的最小值为1,则实数a 的值为( )A .-2B .2C .-1D .13.(23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试)已知函数()ln f x x x ax =-有极值e -,则=a ( )A .1B .2C .eD .34.(2024·广东佛山·二模)若函数()24ln bf x a x x x =++(0a ¹)既有极大值也有极小值,则下列结论一定正确的是( )A .a<0B .0b <C .1ab >-D .0a b +>5.(2023·甘肃兰州·一模)已知函数()2e ln 2xx f x x =+-的极值点为1x ,函数()ln 2x h x x =的最大值为2x ,则( )A .12x x >B .21x x >C .12x x ³D .21x x ³6.(2024·全国·模拟预测)记函数()y f x =的导函数为y ¢,y ¢的导函数为y ¢¢,则曲线()y f x =的曲率()3221y K y ¢¢=éù+ëû¢.则曲线ln y x =的曲率的极值点为( )ABCD7.(2024·北京朝阳·一模)已知n 个大于2的实数12,,,n x x x ×××,对任意()1,2,,i x i n =×××,存在2i y ³满足i i y x <,且i i y x i i x y =,则使得12115n n x x x x -++×××+£成立的最大正整数n 为( )A .14B .16C .21D .238.(2023·河南洛阳·模拟预测)已知函数()f x 及其导函数()f x ¢的定义域均为R ,且()()()22e ,00x f x f x x f ¢-==,则()f x ( )A .有一个极小值点,一个极大值点B .有两个极小值点,一个极大值点C .最多有一个极小值点,无极大值点D .最多有一个极大值点,无极小值点二、多选题9.(2023·全国·模拟预测)对函数()f x ,()g x 公共定义域内的任意x ,若存在常数M ÎR ,使得()()f x g x M -£恒成立,则称()f x 和()g x 是M -伴侣函数,则下列说法正确的是( )A .存在常数M ÎR ,使得()()2log 5f x x =与()125log g x x=是M -伴侣函数B .存在常数M ÎR ,使得()13x f x +=与()13x g x -=是M -伴侣函数C .()ln f x x =与()2g x x =+是1-伴侣函数D .若()()f x g x ¢¢=,则存在常数M ÎR ,使得()f x 与()g x 是M -伴侣函数10.(2024·全国·模拟预测)已知函数()()2e =++xf x ax bx c 的极小值点为0,极大值点为()0m m >,且极大值为0,则( )A .2m =B .4b a=C .存在0x ÎR ,使得()00f x >D .直线3y a =与曲线()y f x =有3个交点11.(2024·全国·模拟预测)已知函数()()2ln e e x f x a b a x =+-,其中e 为自然对数的底数,则( )A .若()f x 为减函数,则()00f <B .若()f x 存在极值,则e 1b a >C .若()10f =,则ln2b >D .若()0f x ³,则b a³三、填空题12.(2022·广西·模拟预测)已知函数()21xx x f x e++=,则()f x 的极小值为 .13.(2023·广东汕头·一模)函数()36f x ax x =-的一个极值点为1,则()f x 的极大值是 .14.(2024·上海闵行·二模)对于任意的12x x ÎR 、,且20x >,不等式1122e ln x x x x a -+->恒成立,则实数a 的取值范围为 .四、解答题15.(2024·安徽·二模)已知函数2()103(1)ln f x x x f x ¢=-+.(1)求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程;(2)求()f x 的单调区间和极值.16.(2024·海南·模拟预测)已知函数()2ln 1,f x x a x a =-+ÎR .(1)当1a =时,求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程;(2)当0a >时,若函数()f x 有最小值2,求a 的值.17.(2024·陕西西安·模拟预测)已知函数ln 1()ex f x x =-.(1)求()f x 的最大值;(2)证明:当0x >时,()e x f x x <.18.(2024·福建·模拟预测)已知函数()ln f x a x bx =-在()()1,1f 处的切线在y 轴上的截距为2-.(1)求a 的值;(2)若()f x 有且仅有两个零点,求b 的取值范围.19.(2024·全国·模拟预测)已知函数()()21e 2e 22xx f x a ax =+--.(1)若曲线()y f x =在30,2a æö-ç÷èø处的切线方程为4210ax y ++=,求a 的值及()f x 的单调区间.(2)若()f x 的极大值为()ln2f ,求a 的取值范围.(3)当0a =时,求证:()2535e ln 22x f x x x x +->+.拓展冲刺练一、单选题1.(2023·湖南衡阳·模拟预测)若曲线()(0)kf x k x=<与()e x g x =有三条公切线,则k 的取值范围为( )A .1,0e æö-ç÷èøB .1,eæö-¥-ç÷èøC .2,0e æö-ç÷èøD .2,e æö-¥-ç÷èø2.(2023·河南·三模)已知函数2()ln f x x x =,则下列结论正确的是( )A .()f x 在=x 12e -B .()f x 在x =e2C .()f x 在=x 12e -D .()f x 在x =e 23.(2023·湖北·模拟预测)设函数3()22f x x x =-,若正实数a 使得存在三个两两不同的实数b ,c ,d 满足(,())a f a ,(,())b f b ,(,())c f c ,(,())d f d 恰好为一个矩形的四个顶点,则a 的取值范围为( )A .10,2æùçúèûB .1,12éùêúëûC .æçèD .ùúû4.(2024·湖北·二模)已知函数()1e e e x x xaxf x x +=++(e 为自然对数的底数).则下列说法正确的是( )A .函数()f x 的定义域为RB .若函数()f x 在()()0,0P f 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为2e 2e 2-,则1a =C .当1a =时,()f x m =可能有三个零点D .当1a =时,函数的极小值大于极大值二、多选题5.(2023·安徽·一模)已知函数()()3R f x x x x =-Î,则( )A .()f x 是奇函数B .()f x 的单调递增区间为,æ-¥ççè和ö¥÷÷ø+C .()f xD .()f x 的极值点为,æççè6.(2024·浙江杭州·二模)过点()2,0P 的直线与抛物线C :24y x =交于,A B 两点.抛物线C 在点A 处的切线与直线2x =-交于点N ,作NM AP ^交AB 于点M ,则( )A .直线NB 与抛物线C 有2个公共点B .直线MN 恒过定点C .点M 的轨迹方程是()()22110x y x -+=¹D .3MN AB的最小值为三、填空题7.(2024·全国·模拟预测)函数()()2ln ln f x x k x x k =-++在定义域内为增函数,则实数k的取值范围为 .8.(2023·江苏淮安·模拟预测)已知函数()2ln f x x ax =-有三个零点,则a 的取值范围是 .四、解答题9.(23-24高三下·山东菏泽·阶段练习)已知函数()()21e x f x x ax =--,R a Î.(1)当e2a =时,求()f x 的单调区间;(2)若方程()0f x a +=有三个不同的实根,求a 的取值范围.10.(2024·山西吕梁·二模)已知函数()()2ln 20a f x a x x a x =--¹.(1)当1a =时,求()f x 的单调区间和极值;(2)求()f x 在区间(]0,1上的最大值.。
考点17导数与函数的单调性(3种核心题型)(学生版) 2025年高考数学大一轮复习核心题型(新高考版
考点17导数与函数的单调性(3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练)【考试提醒】1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用函数的单调性判断大小,求参数的取值范围等简单应用【知识点】1.函数的单调性与导数的关系条件恒有结论f ′(x )>0f (x )在区间(a ,b )上________f ′(x )<0f (x )在区间(a ,b )上________函数y =f (x )在区间(a ,b )上可导f ′(x )=0f (x )在区间(a ,b )上是________2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步,确定函数的 ;第2步,求出导数f ′(x )的;第3步,用f ′(x )的零点将f (x )的定义域划分为若干个区间,列表给出f ′(x )在各区间上的正负,由此得出函数y =f (x )在定义域内的单调性.常用结论1.若函数f (x )在(a ,b )上单调递增,则当x ∈(a ,b )时,f ′(x )≥0恒成立;若函数f (x )在(a ,b )上单调递减,则当x ∈(a ,b )时,f ′(x )≤0恒成立.2.若函数f (x )在(a ,b )上存在单调递增区间,则当x ∈(a ,b )时,f ′(x )>0有解;若函数f (x )在(a ,b )上存在单调递减区间,则当x ∈(a ,b )时,f ′(x )<0有解【核心题型】题型一 不含参函数的单调性确定不含参数的函数的单调性,按照判断函数单调性的步骤即可,但应注意两点,一是不能漏掉求函数的定义域,二是函数的单调区间不能用并集,要用“逗号”或“和”隔开.【例题1】(2023·全国·模拟预测)已知函数()()()ln 2ln 4f x x x =-+-,则()f x 的单调递增区间为( )A .()2,3B .()3,4C .(),3-¥D .()3,+¥【变式1】(2024·四川成都·三模)已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x >时,()()1ln f x x x =-,则当0x <时,()f x 的单调递增区间为( )A .(),e -¥-B .()e,0-C .(),0¥-D .()1,0-【变式2】(2024·四川巴中·一模)已知奇函数()f x 的导函数为()f x ¢,若当0x <时()2af x x x=-,且()10f ¢-=.则()f x 的单调增区间为 .【变式3】(2024·河南开封·三模)已知函数()33ln f x x x =-,()f x ¢为()f x 的导函数.(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程;(2)求函数()()()9g x f x f x x¢=--的单调区间和极值.题型二 含参数的函数的单调性(1)研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为零的点和函数的间断点【例题2】(多选)(23-24高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习)函数()322f x x ax x=++(R a Î)的大致图象可能为( )A .B .C .D .【变式1】(2024·天津·二模)已知()()ln R f x x ax x a =+×Î,(1)当2a =时,求()f x 在点()()e e f ,处的切线方程;(2)讨论()f x 的单调性;(3)若函数()f x 存在极大值,且极大值为1,求证:()2e xf x x -£+.【变式2】(2024·陕西商洛·三模)已知函数()()2212ln 2f x a x x ax a =--ÎR .(1)求函数()f x 的单调区间;(2)当0a >时,若函数()2e e 2x x g x a =+和()22h x a x =的图象在()0,1上有交点,求实数a 的取值范围.【变式3】(2024·全国·模拟预测)已知函数()(2)ln f x a x a x =+-.(1)讨论()f x 的单调性;(2)证明:当0a >时,()9ln f x a >.(参考数据:ln 20.693»)题型三 函数单调性的应用由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)函数在区间(a ,b )上单调,实际上就是在该区间上f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立.(2)函数在区间(a ,b )上存在单调区间,实际上就是f ′(x )>0 (或f ′(x )<0)在该区间上存在解集命题点1 比较大小或解不等式【例题3】(2024·四川成都·模拟预测)若函数()f x 对任意的x ÎR 都有()()f x f x ¢<恒成立,则2(2)f 与2e (ln 2)f 的大小关系正确的是( )A .2(2)f >2e (ln 2)fB .2(2)f =2e (ln 2)fC .2(2)f <2e (ln 2)f D .无法比较大小【变式1】(2023·全国·模拟预测)比较11101011a =-,ln1.2b =,0.115ec =的大小关系为( )A .a c b >>B .b c a >>C .b a c>>D .a b c>>【变式2】(23-24高三上·湖南衡阳·期末)已知函数()()21e ln 12xf x x a x =--+.(1)证明:当1a £时,()1f x ≥对[)0,x Î+¥恒成立.(2)若存在()1212,x x x x ¹,使得()()12f x f x =,比较()()1211x x ++与2e e a的大小,并说明理由.【变式3】(23-24高三上·河北保定·阶段练习)已知函数()()2ln 12x f x x =++.(1)当[)0,x Î+¥时,比较()f x 与x 的大小;(2)若函数()2cos 2x g x x =+,且()()2e 10,0a f g b a b æö=->>ç÷èø,证明:()()211f b g a +>+.命题点2 根据函数的单调性求参数【例题4】(2023·全国·模拟预测)若对任意的1x ,2(,)x m Î+¥,且12x x <,122121ln ln 2x x x x x x -<-,则实数m 的取值范围是( )A .1,e e æöç÷èøB .1,e e éùêúëûC .1,e ¥éö+÷êëøD .1,e æö+¥ç÷èø【变式1】(23-24高三上·广东汕头·期中)设()0,1a Î,若函数()(1)x xf x a a =++在()0,¥+递增,则a 的取值范围是( )A.B.ö÷÷øC.ö÷÷øD.æççè【变式2】(多选)(23-24高三上·河南·阶段练习)已知函数()2ln f x x ax x =--,下列命题正确的是( )A .若1x =是函数()f x 的极值点,则1a =B .若()10f =,则()f x 在[]0,2x Î上的最小值为0C .若()f x 在()1,2上单调递减,则1a ≥D .若()()l ln x x f x -≥在[]1,2x Î上恒成立,则2a ≥【变式3】(23-24高三上·山东青岛·期末)若函数2()e 1x f x a x =+-在(0,)+¥上单调递增,则a 的取值范围是 .【课后强化】基础保分练一、单选题1.(2023·全国·高考真题)已知函数()e ln x f x a x =-在区间()1,2上单调递增,则a 的最小值为( ).A .2e B .eC .1e -D .2e -2.(23-24高三上·山西大同·阶段练习)设()af x x a x=-+在()1,+¥上为增函数,则实数a 取值范围是( )A .[)0,¥+B .[)1,+¥C .[)2,-+¥D .[)1,-+¥3.(2024·云南楚雄·一模)若a b >,则函数()2()y a x a x b =--的图象可能是( )A .B .C .D .4.(2024高三下·全国·专题练习)已知函数()()ln 224(0)f x x a x a a =+--+>,若有且只有两个整数12,x x 使得1()0>f x ,且2()0f x >,则实数a 的取值范围为( )A .[ln 3,2)B .(0,2ln 3]-C .(0,2ln 3)-D .[2ln 3,2)-5.(2024·全国·模拟预测)已知8sin 15a =,3ln 2b =,25c =,则,,a b c 的大小关系为( )A .a b c >>B .a c b>>C .b a c>>D .c b a>>二、多选题6.(2023·全国·模拟预测)已知函数()33f x x x =-,则( )A .函数()()()'g x f x f x =× 是偶函数B .y x =-是曲线()y f x =的切线C .存在正数(),a f x 在(),a a -不单调D .对任意实数a ,()(f a f a £+7.(23-24高三上·江西宜春·期中)下列函数中,是奇函数且在区间()0,1上是减函数的是( )A .()exf x =B .()sin f x x =-C .()1f x x=D .3()2f x x x=-三、填空题8.(2024·云南大理·模拟预测)函数()12ln f x x x =--的最大值为.9.(2024·全国·模拟预测)已知函数()2e e e x x x g x x x =--,若方程()g x k =有三个不同的实根,则实数k 的取值范围是 .四、解答题10.(2024·江西南昌·一模)已知函数()()2ln2ln f x x x x =+-.(1)求()f x 的单调递减区间;(2)求()f x 的最大值.11.(2024·江苏盐城·模拟预测)已知函数()2ln f x ax x x =--.(1)讨论()f x 的单调性;(2)若不等式()0f x ≥恒成立,求a 的取值范围.综合提升练一、单选题1.(2023·贵州毕节·一模)给出下列命题:①函数2()2x f x x =-恰有两个零点;②若函数()4a af x x x =-+在(1,)+¥上单调递增,则实数a 的取值范围是[1,)-+¥;③若函数()f x 满足()(1)4f x f x +-=,则12918101010f f f æöæöæö+++=ç÷ç÷ç÷èøèøèøL ;④若关于x 的方程20x m -=有解,则实数m 的取值范围是(0,1].其中正确的是( )A .①③B .②④C .③④D .②③2.(2023·江西·模拟预测)已知函数()32f x ax bx cx d =+++的大致图象如图所示,则( )A .0,0,0a b c >><B .0,0,0a b c ><<C .0,0,0a b c ><>D .a 0,b 0,c 0<>>3.(2024·云南昆明·模拟预测)已知函数()()()1e x f x x a =-+在区间()1,1-上单调递增,则a 的最小值为( )A .1e -B .2e -C .eD .2e 4.(2024·全国·模拟预测)已知函数2()4e e 2e x x xf x x =--,()f x ¢为()f x 的导函数,()()e xf xg x ¢=,则( )A .()g x 的极大值为24e 2-,无极小值B .()g x 的极小值为24e 2-,无极大值C .()g x 的极大值为4ln22-,无极小值D .()g x 的极小值为4ln22-,无极大值5.(2024·全国·模拟预测)已知13,,ln2e 14a b c ===-,则它们之间的大小关系是( )A .a b c <<B .a c b <<C .c a b<<D .c b a<<6.(2023·贵州遵义·模拟预测)若函数()2e x axf x -=在区间()1,3上单调递增,则a 的可能取值为( )A .2B .3C .4D .57.(2024·全国·模拟预测)若22ln 2e a -=,12e b =,ln 24c =,则a ,b ,c 的大小顺序为( )A .a c b<<B .c a b <<C .a b c <<D .b a c<<8.(2023·吉林通化·模拟预测)已知函数()e ln xf x a x =-有两个大于1的零点,则a 的取值范围可以是( )A .(]0,1B .1e 1,e æùçúèûC .1ee ,e æùçúèûD .)e 12e e ,e +éë二、多选题9.(22-23高三上·云南昆明·阶段练习)已知函数21e 1xx y x -=×-,则( )A .函数的极大值点为=0x B .函数的极小值点为=0x C .函数在(1,)+¥上单调递增D .函数在31,2æöç÷èø上单调递减10.(2023·云南昆明·模拟预测)已知函数3()f x x mx n =--,其中,m n ÎR ,下列选项中,能使函数()y f x =有且仅有一个零点的是( )A .1m =-,1n =B .0m =,1n =C .3m =,2n =D .3m =,3n =-11.(2023·山东泰安·一模)已知函数()()()ln f x x x ax a =-ÎR 有两个极值点1x ,2x ()12x x <,则( )A .102a <<B .2112x a<<C .21112x x a->-D .()10<f x ,()212f x >-三、填空题12.(2024·四川成都·三模)已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x >时,()()1ln f x x x =-,则当0x <时,()f x 的单调递增区间为 .13.(2023·湖南·模拟预测)已知函数()sin esin a xf x a x =-,对于任意12,x x ÎR ,都有()()12e 2f x f x -£-,则实数a 的取值范围为 .14.(2023·广东广州·模拟预测)已知函数()()()222e 22e 0x xf x a x a x a =--->恰有两个零点,则=a .四、解答题15.(2024·全国·模拟预测)已知函数2()ln f x x ax bx =+-.(1)当1a =,3b =时,求()f x 的单调区间;(2)若函数()f x 在2x =处取得极值ln 2,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程.16.(2024·全国·模拟预测)已知函数()2()e x f x a a x =+-.(1)讨论()f x 的单调性;(2)证明:当0a >时,()4ln 2f x a ≥+.17.(2024·全国·模拟预测)已知函数()()21ln 12f x x x a x =+++,a ÎR .(1)讨论()f x 的单调性;(2)证明:当1a <-时,()21a f x +>.18.(2024·青海·模拟预测)已知函数()()3211132f x x mx m x =+-+.(1)讨论()f x 的单调性;(2)若()f x 有3个不同的零点,求m 的取值范围.19.(2023·全国·模拟预测)已知函数()e xf x ax b =+-,其中e 为自然对数的底数.(1)若()f x 在区间(]1,2上不是单调函数,求a 的取值范围.(2)当0x ≥时,()2112f x x b ≥+-恒成立,求a 的取值范围.拓展冲刺练一、单选题1.(2024·全国·模拟预测)下列函数是奇函数且在()0,¥+上单调递减的是( )A .()32xxf x -=+B .()2222x xxxf x ---=+C .()3f x x x=-D .()(12log f x x =2.(2024·全国·模拟预测)已知函数()32()log 2(0a f x x ax x a a =-+->且1)a ¹在区间(1,)+¥上单调递减,则a 的取值范围是( )A .20,3æùçúèûB .2,13éö÷êëøC .(1,2]D .[2,)+¥3.(2024·甘肃兰州·三模)函数()21ln f x x ax x =-++-,若()f x 在0,12æöç÷èø是减函数,则实数a 的取值范围为( )A .(,2]-¥B .(,2)-¥C .(,3]-¥D .(3),-¥4.(2024·全国·模拟预测)已知 2.012.0111110312,ln ,1001011021001015a b c æöæö=++==+ç÷ç÷èøèø,则( )A .a b c <<B .c b a <<C .<<b c aD .<<c a b二、多选题5.(2024·云南昆明·模拟预测)已知函数()321f x x ax ax =+-+,则下列说法正确的是( )A .若()f x 为R 上的单调函数,则3a <-B .若2a =时,()f x 在()1,1-上有最小值,无最大值C .若()1f x -为奇函数,则0a =D .当0a =时,()f x 在1x =处的切线方程为310x y --=6.(2024·云南曲靖·一模)下列不等式正确的是( )A .πe e π>B .1ln 0.99-<C .15sin 15<D .11sin 3π<三、填空题7.(2024·全国·模拟预测)已知1a >,0b >,1c >,且e e ln a b a b --==a ,b ,c 的大小关系为 .(用“<”连接)8.(2023·安徽·二模)若不等式2ln 23x ax a -£-对(0,)"Î+¥x 恒成立,则实数a 的取值范围为 .四、解答题9.(2024·湖南衡阳·二模)已知函数()()321f x ax bx a =++ÎR ,当2x =时,()f x 取得极值3-.(1)求()f x 的解析式;(2)求()f x 在区间[]1,3-上的最值.10.(2024·陕西西安·三模)已知函数1()ln ()m f x mx x m x-=--ÎR ,函数1π()ln ,[0,cos 2g x x x q q =+Î在区间[1,)+¥上为增函数.(1)确定q 的值,求3m =时曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程;(2)设函数()()()h x f x g x =-在,()0x Î+¥上是单调函数,求实数m 的取值范围.11.(2024·辽宁丹东·一模)已知函数()ln 1f x x mx =++.(1)讨论函数()f x 的单调性;(2)当1m =时,数列{}n a 满足11a =,1()n n a f a +=①求证:12n n a -£;②求证:22223111(1)(1(1e na a a +++<L .。
导数大题求参归类(学生版)
导数大题求参归类目录题型01 恒成立求参:常规型题型02 恒成立求参:三角函数型题型03恒成立求参:双变量型题型04 恒成立求参:整数型题型05恒成立求参:三角函数型整数题型06“能”成立求参:常规型题型07“能”成立求参:双变量型题型08“能”成立求参:正余弦型题型09 零点型求参:常规型题型10 零点型求参:双零点型题型11 零点型求参:多零点综合型题型12 同构型求参:x1,x2双变量同构题型13 虚设零点型求参高考练场热点题型归纳题型01恒成立求参:常规型【解题攻略】利用导数求解参数范围的两种常用方法:(1)分离参数法:将参数和自变量分离开来,构造关于自变量的新函数,研究新函数最值与参数之间的关系,求解出参数范围;(2)分类讨论法:根据题意分析参数的临界值,根据临界值作分类讨论,分别求解出满足题意的参数范围最后取并集.1(2024上·北京·高三阶段练习)设a>0,函数f(x)=x a ln x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)≤x,求a的取值范围;(3)若f (x)≤1,求a.2(2024上·甘肃武威·高三统考期末)已知函数f x =2xe x+a ln x+1.(1)当a=0时,求f x 的最大值;(2)若f x ≤0在x∈0,+∞上恒成立,求实数a的取值范围.【变式训练】1(2023上·江苏镇江·高三校考阶段练习)已知函数f x =x2-ax e x.(1)若f x 在-2,-1上单调递增,求实数a的取值范围;(2)若f x ≥sin x对x∈-∞,0恒成立,求实数a的取值范围.2(2024上·山西·高三期末)已知函数f x =m x-12-2x+2ln x,m≥2.(1)求证:函数f x 存在单调递减区间,并求出该函数单调递减区间a,b的长度b-a的取值范围;(2)当x≥1时,f x ≤2xe x-1-4x恒成立,求实数m的取值范围.3(2024·全国·模拟预测)已知函数f(x)=2x2-a ln x-1,a∈R.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若对任意的x∈(0,+∞),不等式f(x+1)>(x+1)2+1x+1-1e x恒成立,求实数a的取值范围.题型02恒成立求参:三角函数型【解题攻略】三角函数与导数应用求参:1.正余弦的有界性2.三角函数与函数的重要放缩公式:x≥sin x x≥0.1(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =sin xx,g x =a cos x.(1)求证:x∈0,π2时,f x <1;(2)当x∈-π2,0∪0,π2时,f x >g x 恒成立,求实数a的取值范围;(3)当x∈-π2,0∪0,π2时,f x2>g x 恒成立,求实数a的取值范围.2(2023上·全国·高三期末)已知函数f (x )=e x sin x -2x .(1)求曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程;(2)求f (x )在区间0,π2上的最大值;(3)设实数a 使得f (x )+x >ae x 对x ∈R 恒成立,求a 的最大整数值.【变式训练】1(2023上·湖北省直辖县级单位·高三校考阶段练习)已知函数f x =e ax -2ax a ∈R ,a ≠0 .(1)讨论f x 的单调性;(2)若不等式f x ≥sin x -cos x +2-2ax 对任意x ≥0恒成立,求实数a 的取值范围.2(2023上·甘肃定西·高三甘肃省临洮中学校考阶段练习)已知函数f x =e x-sin x-cos x,f x 为其导函数.(1)求f x 在-π,+∞上极值点的个数;(2)若f (x)≥ax+2-2cos x a∈R对∀x∈-π,+∞恒成立,求a的值.题型03恒成立求参:双变量型【解题攻略】一般地,已知函数y =f x ,x ∈a ,b ,y =g x ,x ∈c ,d(1)若∀x 1∈a ,b ,∀x 2∈c ,d ,总有f x 1 <g x 2 成立,故f x max <g x min ;(2)若∀x 1∈a ,b ,∃x 2∈c ,d ,有f x 1 <g x 2 成立,故f x max <g x max ;(3)若∃x 1∈a ,b ,∀x 2∈c ,d ,有f x 1 <g x 2 成立,故f x min <g x min ;(4)若∃x 1∈a ,b ,∃x 2∈c ,d ,有f x 1 <g x 2 成立,故f x min <g x max .1(2023·四川攀枝花·统考模拟预测)已知函数f x =ae x -x a ∈R .(1)当a =1时,求f x 的单调区间;(2)设函数g x =x 2-1 e x -x -f x ,当g x 有两个极值点x 1,x 2x 1<x 2 时,总有tg x 2 ≥2+x 1 ex 2+x 22-3 成立,求实数t 的值.2(2024上·四川成都·高三成都七中校考阶段练习)设函数f x =e x -ax ,其中a ∈R .(1)讨论函数f (x )在[1,+∞)上的极值;(2)若函数f (x )有两零点x 1,x 2x 1<x 2 ,且满足x 1+λx 21+λ>1,求正实数λ的取值范围.【变式训练】1(2023·上海松江·校考模拟预测)已知函数f (x )=ax -a ln x -e xx.(1)若a =0,求函数y =f (x )的极值点;(2)若不等式f (x )<0恒成立,求实数a 的取值范围;(3)若函数y =f (x )有三个不同的极值点x 1、x 2、x 3,且f (x 1)+f (x 2)+f (x 3)≤3e 2-e ,求实数a 的取值范围.2(2023下·山东德州·高三校考阶段练习)已知函数f x =2ln x +12(a -x )2,其中a ∈R .(1)讨论函数f x 的单调性;(2)若f x 存在两个极值点x 1,x 2x 1<x 2 ,f x 2 -f x 1 的取值范围为34-ln2,158-2ln2 ,求a 的取值范围.题型04恒成立求参:整数型【解题攻略】恒成立求参的一般规律①若k ≥f (x )在[a ,b ]上恒成立,则k ≥f (x )max ;②若k ≤f (x )在[a ,b ]上恒成立,则k ≤f (x )min ;③若k ≥f (x )在[a ,b ]上有解,则k ≥f (x )min ;④若k ≤f (x )在[a ,b ]上有解,则k ≤f (x )max ;如果参数涉及到整数,要注意对应解中相邻两个整数点函数的符号1(2023上·湖北·高三校联考阶段练习)已知f x =e x -2x +a .(1)若f x ≥0恒成立,求实数a 的取值范同:(2)设x 表示不超过x 的最大整数,已知e x +2ln x -e +2 x +2≥0的解集为x x ≥t ,求et .(参考数据:e ≈2.72,ln2≈0.69,ln3≈1.10)2(2023上·浙江·高三校联考阶段练习)已知函数f x =ae x-2,g x =x+1x+2ln x,e=2.71828⋯为自然对数底数.(1)证明:当x>1时,ln x<x2-12x;(2)若不等式f x >g x 对任意的x∈0,+∞恒成立,求整数a的最小值.【变式训练】1(2023·江西景德镇·统考一模)已知函数f x =sin x+sin ax,x∈0,π2.(1)若a=2,求函数g x =f x +sin x值域;(2)是否存在正整数a使得f xx>3cos x恒成立?若存在,求出正整数a的取值集合;若不存在,请说明理由.2(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =5+ln x,g x =kxx+1k∈R.(1)若函数f x 的图象在点1,f1处的切线与函数y=g x 的图象相切,求k的值;(2)若k∈N∗,且x∈1,+∞时,恒有f x >g x ,求k的最大值.(参考数据:ln5≈1.61,ln6≈1.7918,ln2+1≈0.8814)题型05恒成立求参:三角函数型整数1(2020·云南昆明·统考三模)已知f(x)=e x-2x-1 2.(1)证明:f(x)>0;(2)对任意x≥1,e sin x+x2-ax-1-ln x>0,求整数a的最大值.(参考数据:sin1≈0.8,ln2≈0.7)2(2020上·浙江·高三校联考阶段练习)已知函数f x =a sin x +sin2x ,a ∈R .(1)若a =2,求函数f x 在0,π 上的单调区间;(2)若a =1,不等式f x ≥bx cos x 对任意x ∈0,2π3恒成立,求满足条件的最大整数b .【变式训练】1(2022·全国·高三专题练习)已知函数f (x )=e x +a cos x -2x -2,f ′(x )为f (x )的导函数.(1)讨论f ′(x )在区间0,π2 内极值点的个数;(2)若x ∈-π2,0时,f (x )≥0恒成立,求整数a 的最小值.2(2023·云南保山·统考二模)设函数f x =x sin x ,x ∈R (1)求f x 在区间0,π 上的极值点个数;(2)若x 0为f x 的极值点,则f x 0 ≥λln 1+x 20 ,求整数λ的最大值.题型06“能”成立求参:常规型【解题攻略】形如f x ≥g x 的有解的求解策略:1、构造函数法:令F x =f x -g x ,利用导数求得函数F x 的单调性与最小值,只需F x max≥0恒成立即可;2、参数分离法:转化为a≥φx 或a≤φx 恒成立,即a≥φx min或a≤φx max恒成立,只需利用导数求得函数φx 的单调性与最值即可.1(2023上·浙江·高三浙江省长兴中学校联考期中)已知函数f x =a ln x+x,a∈R.(1)讨论函数f x 的单调性;(2)若存在x∈e,e2,使f x ≤ax+1 2ln x成立,求实数a的取值范围.注:e为自然对数的底数.2(2023上·湖南长沙·高三统考阶段练习)已知函数f x =a2e2x+a-2e x-12x2,y=g x 是y=f x 的导函数.(1)若a=3,求y=g x 的单调区间;(2)若存在实数x∈0,1使f x >32a-2成立,求a的取值范围.【变式训练】1(2023·全国·模拟预测)已知函数f x =x2+a ln ex.(1)讨论f x 的单调性;(2)若存在x∈1,e,使得f x -ax-a≤2,求实数a的最小值.2(2023上·黑龙江齐齐哈尔·高三统考阶段练习)已知函数f x =a ln x+1-a2x2-x a∈R.(1)若a=2,求函数f x 的单调区间;(2)若存在x0≥1,使得f x0<aa-1,求a的取值范围.题型07“能”成立求参:双变量型【解题攻略】一般地,已知函数y =f x ,x ∈a ,b ,y =g x ,x ∈c ,d(1)相等关系记y =f x ,x ∈a ,b 的值域为A , y =g x ,x ∈c ,d 的值域为B ,①若∀x 1∈a ,b ,∃x 2∈c ,d ,有f x 1 =g x 2 成立,则有A ⊆B ;②若∃x 1∈a ,b ,∀x 2∈c ,d ,有f x 1 =g x 2 成立,则有A ⊇B ;③若∃x 1∈a ,b ,∃x 2∈c ,d ,有f x 1 =g x 2 成立,故A ∩B ≠∅;(2)不等关系(1)若∀x 1∈a ,b ,∀x 2∈c ,d ,总有f x 1 <g x 2 成立,故f x max <g x min ;(2)若∀x 1∈a ,b ,∃x 2∈c ,d ,有f x 1 <g x 2 成立,故f x max <g x max ;(3)若∃x 1∈a ,b ,∀x 2∈c ,d ,有f x 1 <g x 2 成立,故f x min <g x min ;(4)若∃x 1∈a ,b ,∃x 2∈c ,d ,有f x 1 <g x 2 成立,故f x min <g x max .1(2022·江西上饶·高三校联考阶段练习)已知函数f (x )=2ax -e x +2,其中a ≠0.(1)若a =12,讨论函数f (x )的单调性;(2)是否存在实数a ,对任意x 1∈[0,1],总存在x 2∈[0,1],使得f x 1 +f x 2 =4成立?若存在,求出实数a 的值;若不存在,请说明理由.2(2023上·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校考阶段练习)已知函数f x =a ln x +1xx >0 .(1)讨论函数f x 的单调性;(2)若存在x 1,x 2满足0<x 1<x 2,且x 1+x 2=1,f x 1 =f x 2 ,求实数a 的取值范围.【变式训练】1(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =ax 2-2+5a x +5ln x a ∈R ,g x =x 2-52x .(1)若曲线y =f x 在x =3和x =5处的切线互相平行,求a 的值;(2)求f x 的单调区间;(3)若对任意x 1∈0,52 ,均存在x 2∈0,52,使得f x 1 <g x 2 ,求a 的取值范围.2(2023上·重庆·高三校联考阶段练习)已知函数f (x )=ax +ln x (a ∈R ),g (x )=x 2-2x +2.(1)当a =-12时,求函数f (x )在区间[1,e ]上的最大值和最小值;(2)若对任意的x 1∈[-1,2],均存在x 2∈(0,+∞),使得g x 1 <f x 2 ,求a 的取值范围.题型08“能”成立求参:正余弦型1(2017·江苏淮安·高三江苏省淮安中学阶段练习)函数f (x )=a cos x -x +b (a >0,b >0).(1)求证:函数f (x )在区间0,a +b 内至少有一个零点;(2)若函数f (x )在x =-π6处取极值,且∃x ∈0,π2 ,使得f (x )<3cos x -sin x 成立,求实数b 的取值范围.2(2023·全国·高三专题练习)已知函数f (x )=x +2-2cos x(1)求函数f (x )在-π2,π2 上的最值:(2)若存在x ∈0,π2使不等式f (x )≤ax 成立,求实数a 的取值范围【变式训练】1(2020·四川泸州·统考二模)已知函数f (x )=sin x x,g (x )=(x -1)m -2ln x .(1)求证:当x ∈(0,π]时,f (x )<1;(2)求证:当m >2时,对任意x 0∈(0,π],存在x 1∈(0,π]和x 2∈(0,π](x 1≠x 2)使g (x 1)=g (x 2)=f (x 0)成立.2(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =ln1+x-a sin x,a∈R.(1)若y=f x 在0,0处的切线为x-3y=0,求a的值;(2)若存在x∈1,2,使得f x ≥2a,求实数a的取值范围.题型09零点型求参:常规型【解题攻略】零点常规型求参基础:1.分类讨论思想与转化化归思想2.数形结合与单调性的综合应用:一个零点,则多为所求范围内的单调函数,或者“类二次函数”切线处(极值点处)3.注意“找点”难度,对于普通学生,可以用极限思维代替“找点思维”。
第15讲 导数的应用——导数与函数的单调性(学生版
第15讲 导数的应用——导数与函数的单调性 思维导图知识梳理函数的单调性在某个区间(a ,b )内,如果f ′(x )>0,那么函数y =f (x )在这个区间内单调递增;如果f ′(x )<0,那么函数y =f (x )在这个区间内单调递减.题型归纳题型1 证明(判断)函数的单调性【例1-1】(2019春•合肥期中)已知函数21()(22)42f x x a x alnx =+--,讨论函数()f x 的单调性.【跟踪训练1-1】(2020春•吉林期末)函数sin y x x =+在区间(0,)π上( )A .单调递减B .单调递增C .(0,)2π上单调递增,(,)2ππ上单调递减 D .(0,)2π上单调递减,(,)2ππ上单调递增【跟踪训练1-2】(2019秋•南充期末)试证明函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数.【名师指导】讨论函数f (x )单调性的步骤(1)确定函数f (x )的定义域;(2)求导数f ′(x ),并求方程f ′(x )=0的根;(3)利用f ′(x )=0的根将函数的定义域分成若干个子区间,在这些子区间上讨论f ′(x )的正负,由符号确定f (x )在该区间上的单调性.题型2 求函数的单调区间【例2-1】(2020春•克什克腾旗校级月考)函数312y x x =-的单调递增区间为( )A .(0,)+∞B .(,2)-∞-C .(2,2)-D .(2,)+∞【例2-2】(2020春•和平区校级月考)求函数2()()()x x f x e e a a x a R =--∈的单调区间.【跟踪训练2-1】(2020春•工农区校级期末)函数()(2)x f x x e =-的单调递增区间为( )A .(1,)+∞B .(2,)+∞C .(0,2)D .(1,2)【跟踪训练2-2】(2019秋•启东市期中)确定函数()cos24cos f x x x =+,(0,2)x π∈的单调区间.【名师指导】利用导数求函数单调区间的方法(1)当导函数不等式可解时,解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0求出单调区间.(2)当方程f ′(x )=0可解时,解出方程的实根,依照实根把函数的定义域划分为几个区间,确定各区间f ′(x )的符号,从而确定单调区间.(3)若导函数对应的方程、不等式都不可解,根据f ′(x )结构特征,利用图象与性质确定f ′(x )的符号,从而确定单调区间.题型3 函数单调性的简单应用——比较大小或解不等式【例3-1】(2020•海东市模拟)已知2(3)51,,35ln e ln a b c e +===,则( ) A .a b c >> B .c b a >> C .a c b >> D .b a c >>【例3-2】(2020春•沈阳期末)()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x <时,()()0f x x f x +'<,且(3)0f -=,则不等式()0f x <的解集为( )A .(3-,0)(3⋃,)+∞B .(3-,0)(0⋃,3)C .(-∞,3)(3⋃,)+∞D .(-∞,3)(0-⋃,3)【跟踪训练3-1】(2020春•海淀区校级期末)对于定义在R 上可导的任意函数()f x ,若满足()()0x a f x '-,则必有( )A .()f x f (a )B .()f x f (a )C .()f x f >(a )D .()f x f <(a )【跟踪训练3-2】(2020春•南充期末)已知函数()f x 的导函数为()f x ',若对任意的x R ∈,都有()()f x f x '>,且f (2)2e =-,则不等式1()f lnx x-<-的解集为( ) A .21(e ,)+∞ B .1(e ,)+∞ C .21(0,)e D .1(0,)e【跟踪训练3-3】(2020春•玉林期末)已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞,且()(2()f x x f x '>+,则不等式(2)(22)f x f x <-的解集为( )A .3(2,3)B .3(2,)+∞C .(0,3)D .(3,)+∞【名师指导】一般地,在不等式中如同时含有f (x )与f ′(x ),常需要通过构造含f (x )与另一函数的积或商的新函数来求解,再借助导数考查新函数的性质,继而获得解答.如本题已知条件“2f (x )+xf ′(x )>0”,需构造函数g (x )=x 2f (x ),求导后得x >0时,g ′(x )>0,即函数g (x )在(0,+∞)上为增函数,从而问题得以解决.题型4 函数单调性的简单应用——根据函数单调性求参数【例4-1】(2020春•利通区校级期末)若函数()m f x lnx x=-在[1,3]上为增函数,则m 的取值范围为( )A .(-∞,1]-B .[3-,)+∞C .[1-,)+∞D .(-∞,3]-【例4-2】(2020春•五华区校级期末)已知函数()x f x xe lnx x =--,若存在0(0,)x ∈+∞,使0()f x a ,则a 的取值范围是( )A .[1,)+∞B .[1e -,)+∞C .[2,)+∞D .[e ,)+∞【例4-3】(2020春•肥城市期中)若函数()f x kx lnx =-在区间(1,)+∞单调递增,则k 的取值范围是 ;若函数()f x 在区间(1,)+∞内不单调,则k 的取值范围是 .【跟踪训练4-1】(2020春•烟台期末)若函数32()(2)13a f x x a x x =+-++在其定义域上不单调,则实数a 的取值范围为( )A .1a <或4a >B .4aC .14a <<D .14a 【跟踪训练4-2】(2020春•潍坊期末)若函数()f x ax lnx =-在区间(0,1)上是减函数,则实数a 的取值范围是 .【跟踪训练4-3】(2020•莆田二模)已知函数()2x f x ax lnx=-+在区间[e ,3]e 上单调递增,则a 的取值范围为 .【名师指导】 已知函数单调性求参数范围(1)已知可导函数f (x )在区间D 上单调递增,则在区间D 上f ′(x )≥0恒成立;(2)已知可导函数f (x )在区间D 上单调递减,则在区间D 上f ′(x )≤0恒成立;(3)已知可导函数f (x )在区间D 上存在增区间,则f ′(x )>0在区间D 上有解;(4)已知可导函数f (x )在区间D 上存在减区间,则f ′(x )<0在区间D 上有解.。
(整理)导数的概念和导数的几何意义学生版.
导数的概念和导数的几何意义一. 导数概念1.已知函数2f(x)=2x -1的图像上一点(1,1)及邻近一点(1+x,f(1+x))∆∆,则yx∆∆等于( )A. 4B. 42x +∆C. 242()x +∆ D. 4x 2.下列各式中正确的是 A 、 '()()|limx x x f x x f x y x 000=∆→0-∆-=∆B 、'()()()limx f x x f x f x x 00∆→0-∆-∆=∆C 、 '()()()limx f x f x x f x x000∆→0--∆=∆D 、'()()|limx x x f x x f x y x000=∆→0+∆+=∆34.一个质量为3kg 的物体作直线运动,设距离s (单位:m )与时间t (单位:s )的关系是2()1s t t =+,则运动开始后4s 时物体的动能是( ).A..48JB.96JD.108J4.若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导,且0(,)x a b ∈则的值为( )A.0()f x 'B.02()f x 'C.02()f x '-D.05.有一把梯子贴靠在笔直的墙上,已知梯子上端下滑的距离s (单位:m )关于时间t (单位:s ,求当s t 1=时,梯子上端下滑的速度为( ) A 、9m/s 4 B 、2m/s C 、/9m s 2 D 、/34m s 6.已知函数()f x =ln(x,则'(3)f =_________.二. 导数的几何意义7.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数,其图像可能是( )8.函数()f x 的图象如图所示,下列结论正确的是( )A .(1)(2)(2)(1)f f f f ''<<-B .(2)(2)(1)(1)f f f f ''<-<C .(2)(1)(2)(1)f f f f ''<<-D .(2)(1)(1)(2)f f f f ''-<<9.如图,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为()()()00S t S =,则导函数()'y S t =的图像大致 ( )10.曲线3x y =上一点B 处的切线l 交x 轴于点A ,OAB ∆ (O 是原点)是以A 为顶点的等腰三角形,则切线l 的倾斜角为 ( )A .30°B .45°C .60°D .120°11.已知)1(log )(>=a x x f a 的导函数是)('x f ,记)(a f A '=,)()1(a f a f B -+=,)1(+'=a f C ,则 ( )sA .sssB .C .D .A .CB A >> B .BC A >> C .C A B >>D .A B C >>12. 设函数)(*1N n xy n ∈=+在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,令n n x a lg =,则的值为99321a a a a ++++ ______________13.已知点P 上,α为曲线在点P 处的切线的倾斜角,则α的取值范围( )14么曲线)(x f y =上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是( )15..四位好朋友在一次聚会上,他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯,如图所示.盛满酒后他们约定:先各自饮杯中酒的一半.设剩余酒的高度从左到右依次为1h ,2h ,3h ,4h ,则它们的大小关系正确的是( )A.214h h h >> B.123h h h >> C.324h h h >>D.241h h h >>16. ( )B.2y x =C.y x =D. 17.若曲线()2f x ax Inx =+存在垂直于y 轴的切线,则实数a 的取值范围是 .18..如图函数F(x)=f(x)2的图象在点P 处的切线方程是y =-x +8,则f(5)+f ′(5)=________.19.已知函数2()2(2)f x x xf =-',则函数)(x f 的图象在点()()2,2f 处的切线方程是 20.设)(x f ,)(x g 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当0<x 时,0)()()()(''>+x g x f x g x f ,且0)3(=-g ,则不等式0)()(<x g x f 的解集( )A 、(-3,0)∪(3,+∞)B 、 (-3,0)∪(0,3)C 、 (-∞,-3)∪(3,+∞)D 、 (-∞,-3)∪(0,3)21.设R a ∈,函数xxe a e xf -⋅+=)(的导函数是)(x f ',且)(x f '是奇函数,若曲线y = f(x))A . ln2B .–ln2CD 22. 设函数3()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数,其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线670x y --=垂直,导函数'()f x 的最小值为12-.试求a ,b ,c 的值。
第03讲-导数与函数的极值、最值-(精讲+精练)(学生版)
导数与函数的极值、最值1、函数的极值一般地,对于函数()y f x =,(1)若在点x a =处有()0f a '=,且在点x a =附近的左侧有()0f 'x <,右侧有()0f 'x >,则称x a =为()f x 的极小值点,()f a 叫做函数()f x 的极小值.(2)若在点x b =处有()=0f 'b ,且在点x b =附近的左侧有()0f 'x >,右侧有()0f 'x <,则称x b =为()f x 的极大值点,()f b 叫做函数()f x 的极大值.(3)极小值点与极大值点通称极值点,极小值与极大值通称极值. 注:极大(小)值点,不是一个点,是一个数.2、函数的最大(小)值一般地,如果在区间[,]a b 上函数()y f x =的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值与最小值.设函数()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导,求()f x 在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤为:(1)求()f x 在(,)a b 内的极值;(2)将函数()f x 的各极值与端点处的函数值()f a ,()f b 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.3、函数的最值与极值的关系(1)极值是对某一点附近(即局部)而言,最值是对函数的定义区间[,]a b 的整体而言;(2)在函数的定义区间[,]a b 内,极大(小)值可能有多个(或者没有),但最大(小)值只有一个(或者没有);(3)函数()f x 的极值点不能是区间的端点,而最值点可以是区间的端点; (4)对于可导函数,函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.一、判断题1.(2021·全国·高二课前预习)函数()f x 在区间[],a b 上连续,则()f x 在区间[],a b 上一定有最值,但不一定有极值. ( )2.(2021·全国·高二课前预习)函数的最大值不一定是函数的极大值.( ) 3.(2021·全国·高二课前预习)函数的极大值一定大于极小值. ( )4.(2021·全国·高二课前预习)有极值的函数一定有最值,有最值的函数不一定有极值. ( ) 二、单选题1.(2022·广东·高州市长坡中学高二阶段练习)函数3()31f x x x =-+在闭区间[3,0]-上的最大值、最小值分别是 ( ) A .1,1- B .1,17- C .3,17-D .9,192.(2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高二期末)函数y =ln xx的最大值为( ) A .e -1B .eC .e 2D .103.(2022·河北邢台·高二阶段练习)已知函数()f x 的导函数的图象如图所示,则()f x 极值点的个数为( )A .4B .5C .6D .74.(2022·天津市滨海新区塘沽第一中学高二阶段练习)若函数()329f x x ax x =+--在1x =-处取得极值,则=a ( ) A .1B .2C .3D .4高频考点一:函数图象与极值(点)的关系1.(2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高二开学考试)已知函数()f x 的导函数()f x '的图像如图所示,则下列结论正确的是( )A .当1x =时,函数()f x 取得极小值B .函数()f x 在区间()11-,上是单调递增的C .当3x =时,函数()f x 取得极大值D .函数()f x 在区间()5,6上是单调递增的2.(2022·全国·高三专题练习)设函数()f x 的导函数为()f x ',函数()y xf x '=的图像如图所示,则( )A .()f x 的极大值为f,极小值为(fB .()f x 的极大值为(f ,极小值为fC .()f x 的极大值为()3f -,极小值为()3fD .()f x 的极大值为()3f ,极小值为()3f -3.(2022·宁夏·银川二中高二期末(文))已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示,则下列结论正确的是( ).A .函数()y f x =在(),1-∞-上是增函数B .()()13f f -<C .()()35f f ''<D .3x =是函数()y f x =的极小值点4.(2022·全国·高二)如图是函数()32f x x bx cx d =+++的大致图象,则2212x x +=( )A .23B .43C .83D .123高频考点二:求已知函数的极值(点)1.(2022·山东师范大学附中高二阶段练习)函数()32392f x x x x =-++-,()2,2x ∈-有( )A .极大值25,极小值7-B .极大值25,极小值9-C .极大值25,无极小值D .极小值7-,无极大值2.(2022·江苏·海门中学高二期末)已知函数232()xf x x a-=+在4x =处取得极值,则()f x 的极大值为( )A .15B .1C .14-D .4-3.(2022·全国·高二)已知函数()23x f x e x =-+,则()f x 在定义域上( ) A .有极小值52ln 2- B .有极大值2ln 2C .有最大值D .无最小值4.(2022·全国·高二)函数()()233e x f x x x =-+的极大值与极小值之和为( )A .eB .3C .3e -D .3e +5.(2022·全国·高二课时练习)若1x =是函数()ln f x x m x =+的极值点,则函数()f x ( ) A .有极小值1B .有极大值1C .有极小值-1D .有极大值-1高频考点三:根据函数的极值(点)求参数1.(2022·河南新乡·二模(文))已知0a >,函数()2313f x a x x =-的极小值为43-,则=a ( )AB .1C D 2.(2022·全国·高三专题练习)已知()()()2ln 40,0f x x ax b x a b =++->>在1x =处取得极值,则21a b+的最小值为___________.3.(2022·全国·高三专题练习)若函数()3223ax ax f x x =++-不存在极值点,则a 的取值范围是______.4.(2022·江西南昌·高二期末(文))已知函数()2ln f x ax b x =+在1x =处有极值2,则a b -=______.5.(2022·全国·高二课时练习)函数()()322,,R f x x ax bx a a b =+++∈在x =1处有极值为10,则b 的值为 __.6.(2022·四川省绵阳南山中学高二阶段练习(文))若函数()23ln 2a f x x x x =-在区间(0,)+∞上有两个极值点,则实数a 的取值范围是______.7.(2022·宁夏·平罗中学高二期末(文))若函数3()4,2f x ax bx x =-+=当时,函数()f x 有极值43.(1)求函数()f x 的解析式; (2)求函数()f x 的单调区间.高频考点四:求函数的最值(不含参)1.(2022·四川·攀枝花七中高二阶段练习(理))已知2x =是2()2ln 3f x x ax x =+-的极值点,则()f x 在1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是( )A .92ln 32-B .52-C .172ln 38--D .2ln 24-2.(多选)(2022·山东省东明县第一中学高二阶段练习)函数3223125y x x x =--+在[]2,1-上的最值情况为( ) A .最大值为12 B .最大值为5 C .最小值为8-D .最小值为15-3.(2022·福建·启悟中学高二阶段练习)已知函数32()393f x x x x =--- (1)求()f x 在1x =处的切线方程; (2)求()f x 在[2,2]-上的最值.4.(2022·广东·深圳市南山区华侨城中学高二阶段练习)已知关于x 的函数()3213f x x bx cx bc =-+++,且函数f (x )在1x =处有极值-43.(1)求实数b ,c 的值;(2)求函数f (x )在[-1,2]上的最大值和最小值.5.(2022·广东·高州市长坡中学高二阶段练习)已知函数()ln f x ax x =-.(a 为常数) (1)当1a =时,求函数()f x 的最值;6.(2022·辽宁·朝阳市第二高级中学高二阶段练习)已知()2e xx af x -=.(1)若()f x 在3x =处取得极值,求()f x 的最小值;7.(2022·江苏·常熟中学高二阶段练习)已知函数2()ln (2)(R)f x a x x a x a =+-+∈.(1)若1a =,求()f x 在区间[]1,e 上的最大值;高频考点五:求函数的最值(含参)1.(2022·广西·高二期末(文))已知函数()3222f x x ax =-+.(1)若0a >,讨论函数()f x 的单调性;(2)当0<<3a 时,求()f x 在区间[]0,1上的最小值和最大值.2.(2022·北京市朝阳区人大附中朝阳分校模拟预测)设函数()()()ln 10f x a x x a =+-≠. (1)求曲线()y f x =在()()0,0f 处的切线方程;(2)若函数()f x 有最大值并记为()M a ,求()M a 的最小值;3.(2022·河南·模拟预测(理))已知函数()()()ln 0f x x a x a =->. (1)当1a =时,判断函数()f x 的单调性;(2)证明函数()f x 存在最小值()g a ,并求出函数()g a 的最大值.4.(2022·山东·菏泽一中高二阶段练习)已知函数()32231f x x ax =++,a R ∈.(1)求函数()f x 的单调区间;(2)求()f x 在区间[]0,2上的最小值.5.(2022·河南·模拟预测(文))已知函数()3()3f x x ax a a =-+∈R .(1)若()f x 仅有一个零点,求a 的取值范围;(2)若函数()f x 在区间[]0,3上的最大值与最小值之差为()g a ,求()g a 的最小值.高频考点六:根据函数的最值求参数1.(2022·河南·模拟预测(文))已知函数33,()2,x x x a f x x x a ⎧-≤=⎨->⎩无最大值,则实数a 的取值范围是( ) A .()1,+∞B .()1,-+∞C .()–,0∞D .(),1-∞-2.(2022·陕西安康·高二期末(文))已知0a >,函数()ln f x ax x =-的最小值为()1ln21a -+,则=a ( ) A .1或2B .2C .1或3D .2或33.(2022·河南开封·高二阶段练习(理))已知函数()()2e 32xf x x a x =+++在区间()1,0-上有最小值,则实数a 的取值范围是______.4.(2022·河北·武安市第三中学高二阶段练习)已知函数()()R e xx af x a -=∈. (1)若2a =-,求()f x 的极值; (2)若()f x 在[]1,2上的最大值为21e,求实数a 的值.5.(2022·福建·福鼎市第一中学高二阶段练习)已知函数()ln .af x x x=+(1)讨论()f x 在定义域内的单调性;(2)若0a >,且()f x 在[]1,e 上的最小值为32,求实数a 的值.6.(2022·河南·洛宁县第一高级中学高二阶段练习(文))已知函数()ln 3f x a x x =+-. (1)若()f x 在()1,+∞上不单调,求a 的取值范围; (2)若()f x 的最小值为2-,求a 的值.7.(2022·全国·高二单元测试)已知函数1()ln (R)ah x x a x a x+=-+∈. (1)求函数()h x 的单调区间;(2)函数()h x 在区间[1,e]上的最小值小于零,求a 的取值范围.高频考点七:函数的单调性、极值、最值的综合应用1.(2022·全国·高二)已知函数3211()2132f x x x x =+-+,若函数()f x 在(2,23)a a +上存在最小值,则a 的取值范围是( ) A .11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B .11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C .(1,3)-D .(,2)-∞-2.(2022·内蒙古·海拉尔第二中学高三阶段练习(文))函数()22ln ,(,)x a b x b R x a f =++∈有极小值,且极小值为0,则2a b -的最小值为( ) A .eB .2eC .21e D .21e -3.(2022·全国·高三专题练习)已知函数32()422f x x ax bx =--+在1x =处取得极小值3-,且321()13g x x x =-+在区间(,4)c c +上存在最小值,则a b c ++的取值范围是( )A .(4,8)B .[4,8)C .(5,8)D .[5,8)4.(2022·全国·高三专题练习(理))若函数321()13f x x x =+-在区间(,3)m m +上存在最小值,则实数m 的取值范围是( ) A .[5,0)-B .(5,0)-C .[3,0)-D .(3,0)-5.(2022·河南焦作·二模(文))已知函数()(2)e x f x x =-. (1)求()f x 的极值;(2)若函数()()(ln )g x f x k x x =--在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上没有极值,求实数k 的取值范围.6.(2022·重庆市育才中学模拟预测)已知函数()21()e xf x x ax a -=+-,其中a R ∈.(1)讨论函数()f x 的单调性;(2)证明:0a ≥是函数()f x 存在最小值的充分而不必要条件.7.(2022·全国·高二课时练习)已知函数()33f x x ax =-,(1)讨论函数()f x 的极值情况; (2)求函数()f x 在区间[]0,2上的最大值.1.(2021·全国·高考真题(理))设0a ≠,若x a =为函数()()()2f x a x a x b =--的极大值点,则( ) A .a b <B .a b >C .2ab a <D .2ab a >2.(2021·北京·高考真题)已知函数()232xf x x a-=+. (1)若0a =,求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程;(2)若()f x 在1x =-处取得极值,求()f x 的单调区间,以及其最大值与最小值.3.(2021·全国·高考真题(文))设函数22()3ln 1f x a x ax x =+-+,其中0a >. (1)讨论()f x 的单调性;(2)若()y f x =的图象与x 轴没有公共点,求a 的取值范围.4.(2020·北京·高考真题)已知函数2()12f x x =-. (Ⅰ)求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程;(Ⅱ)设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ,求()S t 的最小值.5.(2020·全国·高考真题(文))已知函数f (x )=2ln x +1. (1)若f (x )≤2x +c ,求c 的取值范围; (2)设a >0时,讨论函数g (x )=()()f x f a x a--的单调性.一、单选题1.(2022·甘肃省民乐县第一中学高二阶段练习(理))已知函数2()()f x x x m =-在1x =-处有极小值,则实数m 的值为( ) A .3B .-1或-3C .-1D .-32.(2022·天津市滨海新区塘沽第一中学高二阶段练习)函数()f x 的定义域为开区间(),a b ,导函数fx 在(),a b 内的图象如图所示,则函数()f x 在开区间(),a b 内有极小值点( )A .1个B .2个C .3个D .4个3.(2022·河北·武安市第三中学高二阶段练习)函数()232ln 5f x x x =-+的极值点为( )A B .6ln3+ C .1 D .84.(2022·河南·栾川县第一高级中学高二阶段练习(理))已知函数321()13f x x tx x =+++在R 上不存在极值点,则实数t 的取值范围是( ) A .,1(),)1(-∞-⋃+∞ B .(1,1)-C .(,1][1,)∞∞--⋃+D .[1,1]-5.(2022·福建省漳州第一中学高二阶段练习)函数()ln f x x x =-在区间(0,e](其中e 为自然对数的底数)上的最大值为( ) A .1e -B .-1C .-eD .06.(2022·福建·福鼎市第一中学高二阶段练习)函数()33f x x x =-在区间(2,)m -上有最大值,则m 的取值范围是( )A .(-B .(]1,3-C .(-D .(]1,2-7.(2022·陕西商洛·一模(理))若对任意的()1,x ∈+∞,恒有ln ln 11e e e e axxax x+≥+,则a 的取值范围为( ) A .(—∞,e] B .11(,][,)e e ∞∞--⋃+C .(—∞,1e]D .[1e,+∞)8.(2022·新疆乌鲁木齐·二模(理))直线y a =分别与函数1()(0)x f x x x-=>,2()x g x e =交于A ,B 两点,则AB 的最小值为( ) A .22ln 2+ B .2C .2ln 2D .22ln 2-二、填空题9.(2022·山东师范大学附中高二阶段练习)若函数()3269x x x f x a =-++在[]22-,上的最大值为3,则=a ___________.10.(2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测)若函数f (x )=x 3-3x -a 在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m ,n ,则m -n =________.11.(2022·全国·高三专题练习)已知直线y kx =与曲线()ln y x b =+相切,当b 取得最大值时,k 的值为_______________________.12.(2022·重庆市二0三中学校高二阶段练习)已知函数()322161f x x m x mx m =+-+-在x =2处取得极小值,则m =______.三、解答题13.(2022·北京工业大学附属中学高二阶段练习)设函数2()(2)ln ()f x x a x a x a R =+--∈. (1)若1a =,求()f x 的极值; (2)讨论函数()f x 的单调性.14.(2022·陕西·西安市庆安高级中学高二阶段练习(理))已知函数()323,R f x x ax x a =-+∈.(1)若x =3是f (x )的极值点,求f (x )的极值;(2)若函数f (x )是R 上的单调递增函数,求实数a 的取值范围.15.(2022·内蒙古呼和浩特·一模(文))已知函数3211()(1)32f x x a x ax =-++.(1)讨论函数()f x 的单调性;(2)当(1,3]a ∈时,若()f x 在区间[0,1]a +上的最大值为M ,最小值为m ,求证:23M m ->.16.(2022·江西·模拟预测(文))已知函数()222(0)e xmx x f x m +-=>.(1)判断()f x 的单调性;(2)若对[]12,1,2x x ∀∈,不等式()()1224ef x f x -≤恒成立,求实数m 的取值范围.。
第01讲 导数的概念及运算 (精讲+精练)(学生版)
第01讲导数的概念及运算 (精讲+精练)目录第一部分:知识点精准记忆第二部分:课前自我评估测试第三部分:典型例题剖析高频考点一:导数的概念高频考点二:导数的运算高频考点三:导数的几何意义①求切线方程(在型)②求切线方程(过型)③已知切线方程(或斜率)求参数④导数与函数图象⑤共切点的公切线问题⑥不同切点的公切线问题⑦与切线有关的转化问题第四部分:高考真题感悟第五部分:第01讲导数的概念及运算(精练)1、平均变化率(1)变化率事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。
如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值. (2)平均变化率一般地,函数()f x 在区间[]21,x x 上的平均变化率为:2121()()f x f x x x --.(3)如何求函数的平均变化率求函数的平均变化率通常用“两步”法:①作差:求出21()()y f x f x ∆=-和21x x x ∆=-②作商:对所求得的差作商,即2121()()f x f x y x x x -∆=∆-. 2、导数的概念(1)定义:函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是()()xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆0000limlim,我们称它为函数()x f y =在0x x =处的导数,记作() 或0x f '即 0x x y ='()()()xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆'→∆→∆00000limlim =. (2)定义法求导数步骤:① 求函数的增量:00()()y f x x f x ∆=+∆-; ② 求平均变化率:00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆; ③ 求极限,得导数:00000()()'()limlim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆==∆∆.3、导数的几何意义函数()y f x =在点0x x =处的导数的几何意义,就是曲线()y f x =在点00(,)P x y 处的切线的斜率k ,即0()k f x '=.4、基本初等函数的导数公式5若()f x ',()g x '存在,则有 (1)[()()]()()f x g x f x g x '''±=±(2)[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=⋅+⋅ (3)2()()()()()[]()()f x f xg x f x g x g x g x ''⋅-⋅'= 6、复合函数求导复合函数(())y f g x =的导数和函数()y f u =,()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=,即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.7、曲线的切线问题(1)在型求切线方程已知:函数)(x f 的解析式.计算:函数)(x f 在0x x =或者))(,(00x f x 处的切线方程.步骤:第一步:计算切点的纵坐标)(0x f (方法:把0x x =代入原函数)(x f 中),切点))(,(00x f x . 第二步:计算切线斜率'()k f x =.第三步:计算切线方程.切线过切点))(,(00x f x ,切线斜率)('0x f k =。
导数的四则运算法则(学生版无答案)
第1页共8页导数的四则运算法则基本初等函数的导数公式表导数的运算法则(1)前提:函数f (x ),g (x )是可导的. (2)法则:①和(或差)的求导法则:(f (x )±g (x ))′=f′(x )±g ′(x ),推广:(f 1±f 2±…±f n )′=f 1′±f2′±…±f n ′.②积的求导法则:[f (x )g (x )]′=f′(x )g (x )+f (x )g ′(x ). 特别地:[Cf (x )]′=Cf′(x ).③商的求导法则:⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′=f ′(x )g (x )-f (x )g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0),特别地:⎣⎢⎡⎦⎥⎤1g (x )′=-g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0).思考:商的导数⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′求导法则中,分子是个差式,这个差中先对f (x )还是g (x )进行求导?[提示]先对f(x)求导,即f′(x)g(x),再对g(x)求导,即f(x)g′(x).1.下列结论不正确的是()A.若y=3,则y′=0 B.若f(x)=3x+1,则f′(1)=3C.若y=-x+x,则y′=-12x+1 D.若y=sin x+cos x,则y′=cos x+sin x2.设y=-2e x sin x,则y′等于()A.-2e x cos x B.-2e x sin xC.2e x sin x D.-2e x(sin x+cos x)3.已知函数f(x)=ln xx,则f′(1)=________.用导数的求导法则求导数【例1】求下列函数的导数:(1)y=2x2+1x-3x3;(2)y=x+3x2+3;(3)y=e x cos x+sin x;(4)y=x3+lg x.应用基本初等函数的导数公式和求导的四则运算法则可迅速解决一些简单函数的求导问题,要透彻理解函数求导法则的结构特点,准确熟记公式,还要注意挖掘知识的内在联系及其规律.对比较复杂的求导问题,可先进行恒等变形,再利用公式求导.第2页共8页提醒:当不易直接应用导数公式时,应先对函数进行化简,再求导.求下列函数的导数:(1)y=1x2+sinx2cosx2;(2)y=x⎝⎛⎭⎪⎫x2-32x-6+2;(3)y=cos x ln x;(4)y=x e x.导数运算法则的应用[探究问题]1.导数的和、差运算法则求导能拓展到多个函数吗?[提示][f 1(x)±f 2(x)±…±f n(x)]′=f 1′(x)±f 2′(x)±…±f′n(x).2.导数的积、商运算法则有哪些相似的地方?区别是什么?[提示]对于积与商的导数运算法则,应避免出现“积的导数就是导数的积,商的导数就是导数的商”这类想当然的错误,应特别注意积与商中符号的异同,积的导数法则中是“+”,商的导数法则中分子上是“-”.第3页共8页【例2】已知函数f(x)=ln x-ax+1-ax-1(a∈R).当a=-1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程.1.(变换条件)本典例函数不变,条件变为“曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为x第4页共8页第5页共8页(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素.其他的条件可以进行转化,从而转化为这三个要素间的关系.(2)准确求出已知函数式的导数、切线方程是解决此类问题的关键.【巩固练习】 1.思考辨析(1)若f (a )=a 3+2ax -x 2,则f′(a )=3a 2+2x . ( ) (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤C g (x )′=-Cg ′(x )g 2(x ). ( ) (3)任何函数都可以应用导数的运算法则求导数. ( )2.对于函数f (x )=e x x 2+ln x -2kx ,若f′(1)=1,则k 等于( )A .e 2B .e3 C .-e 2 D .-e 33.曲线y =sin x sin x +cos x -12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,0处的切线的斜率为( ) A .-12 B .12 C .-22 D .224.已知a 为实数,f (x )=(x 2-4)(x -a ),且f′(-1)=0,则a =________.5.设函数f (x )=13x 3-a2x 2+bx +c ,其中a >0,曲线y =f (x )在点P (0,f (0))处的切线方程为y =1,确定b 、c 的值.第6页共8页【作业】:1.已知函数f (x )=sin x +ln x ,则f ′(1)的值为( )A .1-cos 1B .1+cos 1C .cos 1-1D .-1-cos 1 2.函数f (x )=e x +x sin x -7x 在x =0处的导数等于( )A .-6B .6C .-4D .-53.设曲线y =x +1x -1在点(3,2)处的切线与直线ax +y +1=0垂直,则a 等于( )A .2B .12C .-12 D .-24.已知曲线y =x 3在点P 处的切线斜率为k ,则当k =3时的P 点坐标为( )A .(-2,-8)B .(-1,-1)或(1,1)C .(2,8) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,-185.已知点P 在曲线y =4e x +1上,α为曲线在点P 处的切线的倾斜角,则α的取值范围是( ) A .⎣⎢⎡⎭⎪⎫0,π4 B .⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4,π2 C .⎝ ⎛⎦⎥⎤π2,3π4 D .⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4,π6.已知f (x )=13x 3+3xf ′(0),则f ′(1)=________.7.若曲线y =x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x -y +1=0,则点P 的坐标是________. 8.若函数f (x )=12x 2-ax +ln x 存在垂直于y 轴的切线,则实数a 的取值范围是________. 9.求下列函数的导数:(1)y =x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+1x +1x 3; (2)y =(x +1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x -1; (3)y =sin 4x 4+cos 4x 4.第7页共8页10.已知函数f (x )=ax 3+bx 2+cx 过点(1,5),其导函数y =f ′(x )的图象如图所示,求f (x )的解析式.11.设函数f (x )=sin θ3x 3+3cos θ2x 2+tan θ,其中θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,5π12,则导数f ′(1)的取值范围是( )A .[-2,2]B .[2,3]C .[3,2]D .[2,2]12.下列图象中,有一个是函数f (x )=13x 3+ax 2+(a 2-1)x +1(a ∈R ,a ≠0)的导函数f ′(x )的图象,则f (-1)=( )A .13B .-13C .73D .-13或5313.设a ∈R ,函数f (x )=x 3+ax 2+(a -3)x 的导函数是f ′(x ),若f ′(x )是偶函数,则曲线y =f (x )在坐标原点处的切线方程为________.第8页共8页。
专题14 导数的概念与运算(学生版)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇
【考点预测】高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇专题14导数的概念与运算知识点一:导数的概念和几何性质1.概念函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是0000()()lim limx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆,我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数,记作0()f x '或0x x y ='.知识点诠释:①增量x ∆可以是正数,也可以是负,但是不可以等于0.0x ∆→的意义:x ∆与0之间距离要多近有多近,即|0|x ∆-可以小于给定的任意小的正数;②当0x ∆→时,y ∆在变化中都趋于0,但它们的比值却趋于一个确定的常数,即存在一个常数与00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限接近;③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限,即瞬时变化率.如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率,即00000()()()limlimx x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆.2.几何意义函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '的几何意义即为函数()y f x =在点00()P x y ,处的切线的斜率.3.物理意义函数)(t s s =在点0t 处的导数)(0t s '是物体在0t 时刻的瞬时速度v ,即)(0t s v '=;)(t v v =在点0t 的导数)(0t v '是物体在0t 时刻的瞬时加速度a ,即)(0t v a '=.知识点二:导数的运算1.求导的基本公式基本初等函数导函数()f x c =(c 为常数)()0f x '=()a f x x =()a Q ∈1()a f x ax -'=()x f x a =(01)a a >≠,()ln x f x a a'=()log (01)a f x x a a =>≠,1()ln f x x a'=()xf x e =()xf x e '=()ln f x x =1()f x x'=()sin f x x =()cos f x x '=()cos f x x=()sin f x x'=-2.导数的四则运算法则(1)函数和差求导法则:[()()]()()f x g x f x g x '''±=±;(2)函数积的求导法则:[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+;(3)函数商的求导法则:()0g x ≠,则2()()()()()[]()()f x f xg x f x g x g x g x ''-=.3.复合函数求导数复合函数[()]y f g x =的导数和函数()y f u =,()u g x =的导数间关系为x u x y y u '''=:【方法技巧与总结】1.在点的切线方程切线方程000()()()y f x f x x x '-=-的计算:函数()y f x =在点00(())A x f x ,处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-,抓住关键000()()y f x k f x =⎧⎨'=⎩.2.过点的切线方程设切点为00()P x y ,,则斜率0()k f x '=,过切点的切线方程为:000()()y y f x x x '-=-,又因为切线方程过点()A m n ,,所以000()()n y f x m x '-=-然后解出0x 的值.(0x 有几个值,就有几条切线)注意:在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外.【题型归纳目录】题型一:导数的定义题型二:求函数的导数题型三:导数的几何意义1.在点P 处切线2.过点P 的切线3.公切线4.已知切线求参数问题5.切线的条数问题6.切线平行、垂直、重合问题7.最值问题【典例例题】题型一:导数的定义例1.(2022·全国·高三专题练习(文))函数()y f x =的图像如图所示,下列不等关系正确的是()A .0(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<<-B .0(2)(3)(2)(3)f f f f ''<<-<C .0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-<D .0(3)(2)(2)(3)f f f f ''<-<<例2.(2022·河南·南阳中学高三阶段练习(理))设函数()f x 满足000(2)()lim 2x f x x f x x ∆→-∆-=∆,则()0f x '=()A .1-B .1C .2-D .2例3.(2022·新疆昌吉·二模(理))若存在()()00000,,limx f x x y x y f x ∆→+-∆∆,则称()()00000,,limx f x x y xy f x ∆→+-∆∆为二元函数(),=z f x y 在点()00,x y 处对x 的偏导数,记为()00,x f x y ';若存在()()00000,,lim y f x y yy f x y ∆→+-∆∆,则称()()00000,,limy f x y yy f x y ∆→+-∆∆为二元函数(),=z f x y 在点()00,x y 处对y 的偏导数,记为()00,y f x y ',已知二元函数()()23,20,0f x y x xy y x y =-+>>,则下列选项中错误的是()A .()1,34x f '=-B .()1,310y f '=C .()(),,x y f m n f m n ''+的最小值为13-D .(),f x y 的最小值为427-例4.(2022·贵州黔东南·一模(文))一个质点作直线运动,其位移s (单位:米)与时间t (单位:秒)满足关系式,()2524s t t =+--,则当1t =时,该质点的瞬时速度为()A .2-米/秒B .3米/秒C .4米/秒D .5米/秒例5.(2022·全国·高三专题练习)已知函数()2ln 8f x x x =+,则()()121lim x f x f x∆→+∆-∆的值为()A .20-B .10-C .10D .20例6.(2022·浙江·高三专题练习)已知函数()()2223ln 9f x f x x x '=-+(()f x '是()f x 的导函数),则()1f =()A .209-B .119-C .79D .169例7.(2022·浙江·高三专题练习)已知函数()f x 的导函数为()f x ',且满足()()32121f x x x f x '=++-,则()2f '=()A .1B .9-C .6-D .4【方法技巧与总结】对所给函数式经过添项、拆项等恒等变形与导数定义结构相同,然后根据导数定义直接写出.题型二:求函数的导数例8.(2022·天津·耀华中学高二期中)求下列各函数的导数:(1)ln(32)y x =-;(2)e xxy =;(3)()2cos f x x x=+例9.(2022·新疆·莎车县第一中学高二期中(理))求下列函数的导数:(1)22ln cos y x x x =++;(2)3e x y x =(3)()ln 31y x =-例10.(2022·广东·北京师范大学珠海分校附属外国语学校高二期中)求下列函数的导数:(1)5y x =;(2)22sin y x x =+;(3)ln xy x=;(4)()211ln 22x y ex -=+.【方法技巧与总结】对所给函数求导,其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则,直接转化为基本函数求导问题.题型三:导数的几何意义1.在点P 处切线例11.(2022·河北·模拟预测)曲线e sin x y x =在0x =处的切线斜率为()A .0B .1C .2D .2-例12.(2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测(文))曲线22x ay x +=+在点()1,b 处的切线方程为60kx y -+=,则k 的值为()A .1-B .23-C .12D .1例13.(2022·海南·文昌中学高三阶段练习)曲线e 2x y x =-在0x =处的切线的倾斜角为α,则sin 2πα⎛⎫+=⎪⎝⎭()A .BC .1D .-1例14.(2022·安徽·巢湖市第一中学高三期中(理))已知()()2cos 0cos 2f x x f x π⎛⎫=-+ '⎪⎝⎭,则曲线()y f x =在点33,44f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线的斜率为()A B .C .D .-例15.(2022·全国·高三专题练习(文))已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,且32()23(1)f x x ax f x '=-+-,则函数()f x 的图象在点(2,(2))f --处的切线的斜率为()A .21-B .27-C .24-D .25-例16.(2022·广西广西·模拟预测(理))曲线31y x =+在点()1,a -处的切线方程为()A .33y x =+B .31y x C .31y x =--D .33y x =--例17.(2022·河南省浚县第一中学模拟预测(理))曲线ln(25)y x x =+在2x =-处的切线方程为()A .4x -y +8=0B .4x +y +8=0C .3x -y +6=0D .3x +y +6=02.过点P 的切线例18.(2022·四川·广安二中二模(文))函数()2e xf x x =过点()0,0的切线方程为()A .0y =B .e 0x y +=C .0y =或e 0x y +=D .0y =或e 0x y +=例19.(2022·四川省成都市郫都区第一中学高三阶段练习(文))若过点1(,0)2的直线与函数()e x f x x =的图象相切,则所有可能的切点横坐标之和为()A .e 1+B .12-C .1D .12例20.(2022·陕西安康·高三期末(文))曲线2ln 3y x x =+过点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭的切线方程是()A .210x y ++=B .210x y -+=C .2410x y ++=D .2410x y -+=例21.(2022·广东茂名·二模)过坐标原点作曲线ln y x =的切线,则切点的纵坐标为()A .eB .1CD .1e例22.(2022·山东潍坊·三模)过点()()1,P m m ∈R 有n 条直线与函数()e xf x x =的图像相切,当n 取最大值时,m 的取值范围为()A .25e e m -<<B .250e m -<<C .1em -<<D .em <3.公切线例23.(2022·全国·高三专题练习)若函数()ln f x x =与函数2()(0)g x x x a x =++<有公切线,则实数a 的取值范围是()A .1ln ,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B .()1,-+∞C .()1,+∞D .()2,ln +∞例24.(2022·全国·高三专题练习)已知曲线()1:=e x C f x a +和曲线()()22:ln(),C g x x b a a b =++∈R ,若存在斜率为1的直线与1C ,2C 同时相切,则b 的取值范围是()A .9,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B .[)0,+∞C .(],1-∞D .9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦例25.(2022·江苏·南京外国语学校模拟预测)若两曲线y =x 2-1与y =a ln x -1存在公切线,则正实数a 的取值范围为()A .(]0,2e B .(]0,e C .[)2,e +∞D .(],2e e 例26.(2022·河南·南阳中学高三阶段练习(理))若直线()111y k x =+-与曲线e x y =相切,直线()211y k x =+-与曲线ln y x =相切,则12k k 的值为()A .12B .1C .eD .2e 例27.(2022·河北省唐县第一中学高三阶段练习)已知函数()lnf x a x =,()e xg x b =,若直线()0y kx k =>与函数()f x ,()g x 的图象都相切,则1a b+的最小值为()A .2B .2eC .2e D 例28.(2022·重庆市育才中学高三阶段练习)若直线:l y kx b =+(1k >)为曲线()1x f x e -=与曲线()ln g x e x =的公切线,则l 的纵截距b =()A .0B .1C .eD .e-例29.(2022·全国·高三专题练习)若两曲线ln 1y x =-与2y ax =存在公切线,则正实数a 的取值范围是()A .(]0,2e B .31e ,2-⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C .310,e 2-⎛⎤⎥⎝⎦D .[)2e,+∞例30.(2022·全国·高三专题练习)若仅存在一条直线与函数()ln f x a x =(0a >)和2()g x x =的图象均相切,则实数=a ()A .eB C .2eD .4.已知切线求参数问题例31.(2022·湖南·模拟预测)已知P 是曲线)2:ln C y x x a x =++上的一动点,曲线C 在P 点处的切线的倾斜角为θ,若32ππθ≤<,则实数a 的取值范围是()A .)⎡⎣B .)⎡⎣C .(,-∞D .(,-∞例32.(2022·广西·贵港市高级中学三模(理))已知曲线e ln x y ax x =+在点()1,e a 处的切线方程为3y x b =+,则()A .e a =,2b =-B .e a =,2b =C .1e a -=,2b =-D .1e a -=,2b =例33.(2022·江苏苏州·模拟预测)已知奇函数()()()()220f x x x ax b a =-+≠在点()(),a f a 处的切线方程为()y f a =,则b =()A .1-或1B .C .2-或2D .例34.(2022·云南昆明·模拟预测(文))若函数()ln f x x =的图象在4x =处的切线方程为y x b =+,则()A .3a =,2ln 4b =+B .3a =,2ln 4b =-+C .32a =,1ln 4b =-+D .32a =,1ln 4b =+例35.(2022·河南·方城第一高级中学模拟预测(理))已知直线l 的斜率为2,l 与曲线1C :()1ln y x x =+和圆2C :2260x y x n +-+=均相切,则n =()A .-4B .-1C .1D .45.切线的条数问题例36.(2022·全国·高三专题练习)若过点(,)a b 可以作曲线ln y x =的两条切线,则()A .ln a b<B .ln b a<C .ln b a<D .ln a b<例37.(2022·河南洛阳·三模(理))若过点()1,P t 可作出曲线3y x =的三条切线,则实数t 的取值范围是()A .(),1-∞B .()0,∞+C .()0,1D .{}0,1例38.(2022·河南洛阳·三模(文))若过点()1,0P 作曲线3y x =的切线,则这样的切线共有()A .0条B .1条C .2条D .3条例39.(2022·河北·高三阶段练习)若过点(1,)P m 可以作三条直线与曲线:e xxC y =相切,则m 的取值范围为()A .23,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B .10,e ⎛⎫⎪⎝⎭C .(,0)-∞D .213,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭例40.(2022·内蒙古呼和浩特·二模(理))若过点()1,P m -可以作三条直线与曲线C :e x y x =相切,则m 的取值范围是()A .23,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B .1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C .211,e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D .231,ee ⎛⎫-- ⎪⎝⎭例41.(2022·广东深圳·二模)已知0a >,若过点(,)a b 可以作曲线3y x =的三条切线,则()A .0b <B .30b a <<C .3b a >D .()3b b a-=6.切线平行、垂直、重合问题例42.(2022·安徽·合肥一中模拟预测(文))对于三次函数()f x ,若曲线()y f x =在点(0,0)处的切线与曲线()y xf x =在点(1,2)处点的切线重合,则(2)f '=()A .34-B .14-C .4-D .14例43.(2022·山西太原·二模(理))已知函数()sin cos f x a x b x cx =++图象上存在两条互相垂直的切线,且221a b +=,则a b c ++的最大值为()A .B .CD 例44.(2022·全国·高三专题练习)已知函数f (x )=x 2+2x 的图象在点A (x 1,f (x 1))与点B (x 2,f (x 2))(x 1<x 2<0)处的切线互相垂直,则x 2-x 1的最小值为()A .12B .1C .32D .2例45.(2022·全国·高三专题练习)若直线x a =与两曲线e ,ln x y y x ==分别交于,A B 两点,且曲线e x y =在点A 处的切线为m ,曲线ln y x =在点B 处的切线为n ,则下列结论:①()0,a ∞∃∈+,使得//m n ;②当//m n 时,AB 取得最小值;③AB 的最小值为2;④AB 最小值小于52.其中正确的个数是()A .1B .2C .3D .4例46.(2022·全国·高三专题练习)已知函数22(0)()1(0)x x a x f x x x ⎧++<⎪=⎨->⎪⎩的图象上存在不同的两点,A B ,使得曲线()y f x =在这两点处的切线重合,则实数a 的取值范围是()A .1(,)8-∞-B .1(1,)8-C .(1,)+∞D .1(,1)(,)8-∞⋃+∞例47.(2022·全国·高三专题练习(文))若曲线x y e x =+的一条切线l 与直线220210x y +-=垂直,则切线l 的方程为()A .210x y -+=B .210x y +-=C .210x y --=D .210x y ++=7.最值问题例48.(2022·全国·高三专题练习)若点P 是曲线232ln 2y x x =-上任意一点,则点P 到直线3y x =-的距离的最小值为()ABCD例49.(2022·山东省淄博第一中学高三开学考试)动直线l 分别与直线21y x =-,曲线23ln 2y x x =-相交于,A B 两点,则AB 的最小值为()ABC .1D例50.(2022·江苏·高三专题练习)已知a ,b 为正实数,直线y x a =-与曲线ln()y x b =+相切,则22a b-的取值范围是()A .(0,)+∞B .(0,1)C .1(0,)2D .[1,)+∞例51.(2022·全国·高三专题练习)曲线2x y e =上的点到直线240x y --=的最短距离是()ABCD .1例52.(2022·河北衡水·高三阶段练习)已知函数2ln ()2xf x x x=-在1x =处的切线为l ,第一象限内的点(,)P a b 在切线l 上,则1111a b +++的最小值为()ABCD例53.(2022·山东聊城·二模)实数1x ,2x ,1y ,2y 满足:2111ln 0x x y --=,2240x y --=,则()()221212x x y y -+-的最小值为()A .0B.C.D .8例54.(2022·河南·许昌高中高三开学考试(理))已知函数21e x y +=的图象与函数()ln 112x y ++=的图象关于某一条直线l 对称,若P ,Q 分别为它们图象上的两个动点,则这两点之间距离的最小值为()A B C D )4ln 2+例55.(2022·河南·灵宝市第一高级中学模拟预测(文))已知直线y kx b =+是曲线1y 的切线,则222k b b +-的最小值为()A .12-B .0C .54D .3【方法技巧与总结】函数()y f x =在点0x 处的导数,就是曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线的斜率.这里要注意曲线在某点处的切线与曲线经过某点的切线的区别.(1)已知()f x 在点00(,())x f x 处的切线方程为000()()y y f x x x '-=-.(2)若求曲线()y f x =过点(,)a b 的切线方程,应先设切点坐标为00(,())x f x ,由000()()y y f x x x '-=-过点(,)a b ,求得0x 的值,从而求得切线方程.另外,要注意切点既在曲线上又在切线上.【过关测试】一、单选题1.(2022·河南·高三阶段练习(理))若曲线()ln a xf x x=在点(1,f (1))处的切线方程为1y x =-,则a =()A .1B .e2C .2D .e2.(2022·云南曲靖·二模(文))设()'f x 是函数()f x 的导函数,()f x是函数()'f x 的导函数,若对任意R ()0,()0x f x f x '''∈><,恒成立,则下列选项正确的是()A .0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-<B .0(3)(2)(2)(3)f f f f ''<-<<C .0(3)(2)(3)(2)f f f f ''<<<-D .0(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<<-3.(2022·全国·高三专题练习)设()f x 为可导函数,且()()112lim1x f f x x→--=-△△△,则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线斜率为()A .2B .-1C .1D .12-4.(2022·河南·模拟预测(文))已知3()ln(2)3xf x x x =++,则曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程为()A .21010ln 510x y -+-=B .21010ln 510x y ++-=C .1212ln 5150x y -+-=D .1212ln 5150x y ++-=5.(2022·贵州黔东南·一模(理))一个质点作直线运动,其位移s (单位:米)与时间t (单位:秒)满足关系式23(43)=-s t t ,则当1t =时,该质点的瞬时速度为()A .5米/秒B .8米/秒C .14米/秒D .16米/秒6.(2022·全国·高三专题练习)已知函数()ln f x x x =,()()2g x x ax a =+∈R ,若经过点 1,0A 存在一条直线l 与()f x 图象和()g x 图象都相切,则=a ()A .0B .1-C .3D .1-或37.(2022·湖南·长郡中学高三阶段练习)m ≥对任意a ∈R ,()0,b ∈+∞恒成立,则实数m 的取值范围是()A .1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B .⎛-∞ ⎝⎦C .(-∞D .(],2-∞8.(2022·辽宁沈阳·二模)若直线11y k x b =+与直线()2212y k x b k k =+≠是曲线ln y x =的两条切线,也是曲线e x y =的两条切线,则1212k k b b ++的值为()A .e 1-B .0C .-1D .11e-二、多选题9.(2022·辽宁丹东·模拟预测)若过点()1,a 可以作出曲线()1e xy x =-的切线l ,且l 最多有n 条,*n ∈N ,则()A .0a ≤B .当2n =时,a 值唯一C .当1n =时,4ea <-D .na 的值可以取到﹣410.(2022·浙江·高三专题练习)为满足人们对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为()W f t =,用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示,则下列结论中正确的有()A .在[]12,t t 这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强B .在2t 时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强C .在3t 时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标D .甲企业在[]10,t ,[]12,t t ,[]23,t t 这三段时间中,在[]10,t 的污水治理能力最强11.(2022·全国·高三专题练习)已知函数()xf x e =,则下列结论正确的是()A .曲线()y f x =的切线斜率可以是1B .曲线()y f x =的切线斜率可以是1-C .过点()0,1且与曲线()y f x =相切的直线有且只有1条D .过点()0,0且与曲线()y f x =相切的直线有且只有2条12.(2022·全国·高三专题练习)过平面内一点P 作曲线ln y x =两条互相垂直的切线1l 、2l ,切点为1P 、2P (1P 、2P 不重合),设直线1l 、2l 分别与y 轴交于点A 、B ,则下列结论正确的是()A .1P 、2P 两点的横坐标之积为定值B .直线12PP 的斜率为定值;C .线段AB 的长度为定值D .三角形ABP 面积的取值范围为(]0,1三、填空题13.(2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测)已知函数()3ln f x x x x =-,则曲线()y f x =在点()()e,e f 处的切线方程为_______.14.(2022·全国·模拟预测(文))若直线l 与曲线2y x 和2249x y +=都相切,则l 的斜率为______.15.(2022·湖北武汉·模拟预测)已知函数2()(0)e e x x f x f -'=-,则(0)f =__________.16.(2022·全国·赣州市第三中学模拟预测(理))已知()()()222cos 22cos sin f x xf x x x x x '+=++,且0x >,52f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,那么()f π=___________.四、解答题17.(2022·全国·高三专题练习(文))下列函数的导函数(1)42356y x x x --=+;(2)2sin cos 22xx x y =+;(3)2log y x x =-;(4)cos x y x=.18.(2022·辽宁·沈阳二中二模)用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感,曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率,曲线的曲率定义如下:若()f x '是()f x 的导函数,()f x ''是()f x '的导函数,则曲线()y f x =在点()(),x f x 处的曲率()()()3221f x K f x ''='+⎡⎤⎣⎦.(1)若曲线()ln f x xx =+与()g x =()1,1处的曲率分别为1K ,2K ,比较1K ,2K 大小;(2)求正弦曲线()sin h x x =(x ∈R )曲率的平方2K 的最大值.19.(2022·全国·高三专题练习)设函数()()2ln f x ax x a R =--∈.(1)若()f x 在点()()e,e f 处的切线为e 0x y b -+=,求a ,b 的值;(2)求()f x 的单调区间.20.(2022·浙江·高三专题练习)函数()321f x x x x =+-+,直线l 是()y f x =在()()0,0f 处的切线.(1)确定()f x 的单调性;(2)求直线l 的方程及直线l 与()y f x =的图象的交点.21.(2022·北京东城·三模)已知函数()e x f x =,曲线()y f x =在点(1(1))f --,处的切线方程为y kx b =+.(1)求k ,b 的值;(2)设函数()1ln 1.kx b x g x x x +<⎧=⎨≥⎩,,,,若()g x t =有两个实数根12,x x (12x x <),将21x x -表示为t 的函数,并求21x x -的最小值.22.(2022·贵州贵阳·模拟预测(理))已知a ∈R ,函数()()ln 1f x x a x =+-,()e xg x =.(1)讨论()f x 的单调性;(2)过原点分别作曲线()y f x =和()y g x =的切线1l 和2l ,求证:存在0a >,使得切线1l 和2l 的斜率互为倒数.。
选修2-2 第一章 第一节:导数的概念及运算(学生版)
1教学辅导教案1.下列结论不正确的是( ) A .若y =3,则y ′=0B .若f (x )=3x +1,则f ′(1)=3C .若y =-x +x ,则y ′=-12x +1D .若y =sin x +cos x ,则y ′=cos x +sin x 2.函数y =x1-cos x 的导数是( )A .1-cos x -x sin x 1-cos xB .1-cos x -x sin x (1-cos x )2C .1-cos x +sin x (1-cos x )2D .1-cos x +x sin x (1-cos x )23.设曲线11-+=x x y 在点(3,2)处的切线与直线ax +y +1=0垂直,则a 等于( ) A .2 B .12 C .-12D .-24.设函数f (x )=g (x )+x 2,曲线y =g (x )在点(1,g (1))处的切线方程为y =2x +1,则曲线y =f (x )在点(1,f (1))处切线的斜率为( )A .4B .-14C .2D .-125.求下列函数的导数: (1)y =(2x 2+3)(3x -1); (2)y =(x -2)2;(3)y =x -sin x 2cos x2.知识点一 导数的概念及运算 1.导数的概念及几何意义(1)函数y =f (x )从x 1到x 2的平均变化率函数y =f (x )从x 1到x 2的平均变化率为f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1,若Δx =x 2-x 1,Δy =f (x 2)-f (x 1),则平均变化率可表示为ΔyΔx .(2)函数f (x )在x =x 0处的导数①定义:称函数f (x )在x =x 0处的瞬时变化率0limx V Δy Δx=lim f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx 为函数f (x )在x =x 0处的导数,记作f ′(x 0)或y ′|x =x 0, 即f ′(x 0)=lim f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx.②几何意义:函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y =f (x )在点(x 0,y 0)处的切线的斜率.相应地,切线方程为y -y 0=f ′(x 0)·(x -x 0). (3)函数f (x )的导函数称函数f ′(x )为f (x )的导函数,导函数有时也记作y ′.2.导数的计算(1)基本初等函数的导数公式原函数 导函数 f (x )=C (C 为常数) f ′(x )=0 f (x )=x α(α∈Q *) f ′(x )=αx α-1 f (x )=sin xf ′(x )=cos x1.设f (x )=x ln x ,若f ′(x 0)=2,则x 0=( ) A .e 2B .eC .ln 22D .ln 22.曲线f (x )=x 3+x -2在p 0处的切线平行于直线y =4x -1,则p 0点的坐标为( ) A .(1,0)B .(2,8)C .(1,0)和(-1,-4)D .(2,8)和(-1,-4)3.已知函数f (x )=x 3+(1-a )x 2-a (a +2)x +b (a ,b ∈R ).(1)若函数f (x )的图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求a ,b 的值; (2)若曲线y =f (x )存在两条垂直于y 轴的切线,求a 的取值范围.1、突破导数的计算方法【方法归纳】导数运算的原则和方法(1)原则:先化简解析式,使之变成能用公式求导的函数的和、差、积、商,再求导. (2)方法:①连乘形式:先展开化为多项式形式,再求导.②三角形式:先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导. ③复杂分式:先化为整式函数或较为简单分式函数,再求导. ④根式形式:先化为分数指数幂的形式再求导.⑤分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导. ⑥复合函数:由外向内,层层求导,分清复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成,适当选定中间变量,每一步都要明确是对哪个变量求导,求导后要把中间变量转换成自变量的函数.【例1】 求下列各函数的导数.1.曲线y =x e x -1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A .2eB .eC .2D .12.过点(1,-1)且与曲线y =x 3-2x 相切的切线方程为( ) A .x -y -2=0或5x +4y -1=0 B .x -y -2=0 C .x -y +2=0D .x -y -2=0或4x +5y +1=03.若函数f (x )满足f (x )=13x 3-f ′(1)x 2-x ,则f ′(1)的值为( )A .0B .2C .1D .-14.设曲线y =e x 在点(0,1)处的切线与曲线y =1x (x >0)上点P 处的切线垂直,则P 的坐标为________.一、(第1天)1.设x ∈R ,函数f (x )=e x +a e -x 的导函数y =f ′(x )是奇函数,若曲线y =f (x )的一条切线的斜率为32,则切点的横坐标为( )A .ln 23B .-ln 22C .ln 2D .-ln 22.若曲线y =e -x 上点P 处的切线平行于直线2x +y +1=0,则点P 的坐标是________. 3.设函数f (x )在(0,+∞)内可导,且f (e x )=x +e x ,则f ′(1)=________.。
完整版)导数讲义(学生新版)
完整版)导数讲义(学生新版)导数一、导数的概念函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量Δx,那么函数y 相应地有增量Δy=f(x+Δx)−f(x),比值化率,即Δy/Δx叫做函数y=f(x)在x到x+Δx之间的平均变化率。
如果当Δx→0时,有极限,我们就说函数y=f(x)在点x处可导,并把这个极限叫做f(x)在点x处的导数,记作f’(x)或y’|x=x。
例如,若lim(Δy/Δx)=k,则lim(Δy/f(x+2Δx)−f(x)/Δx)=lim(2k)等于()=k,因此f’(x)=lim(Δy/Δx)。
变式训练:设函数f(x)在点x处可导,试求下列各极限的值:1.lim(f(x−Δx)−f(x))/Δx;2.lim(f(x+h)−f(x−h))/2h;3.若f’(x)=2,则lim(f(x−k)−f(x))/k=?二、导数的几何意义函数y=f(x)在点x处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点p(x,f(x))处的切线的斜率。
也就是说,曲线y=f(x)在点p(x,f(x))处的切线的斜率是f’(x)。
切线方程为y−f(x)=(f’(x))(x−x)。
三、导数的运算1.基本函数的导数公式:①C’=0;(C为常数)②x^n’=nx^(n−1);③(sin x)’=cos x;④(cos x)’=−sin x;⑤(e^x)’=e^x;⑥(ax)’=axln a;⑦(ln x)’=1/x;⑧(log_a x)’=log_a e/x。
题:求下列函数的导数:(8分钟独立完成)1)f(x)=π;(2)f(x)=x^4;(3)f(x)=x;(4)f(x)=sin x;(5)f(x)=−cos x;(6)f(x)=3x;(7)f(x)=e^x;(8)f(x)=log_2 x;(9)f(x)=ln x;(10)f(x)=1/(1+x);(11)y=x^4+cos x;(12)y=x/(4+x^2);(13)y=log x−e^x;(14)y=x^3 cos x。
大题 函数与导数(学生版)
函数与导数函数与导数问题是高考数学的必考内容。
从近几年的高考情况来看,在大题中考查内容主要有主要利用导数研究函数的单调性、极值与最值、不等式及函数零点等内容。
此类问题体现了分类讨论、转化与化归的数学思想,难度较大。
题型一:利用导数研究函数的单调性题型二:利用导数研究函数的极值题型三:利用导数研究函数的最值题型四:利用导数解决恒成立与能成立题型五:利用导数求解函数的零点题型六:利用导数证明不等式题型七:利用导数研究双变量问题题型八:利用导数研究极值点偏移问题题型九:隐零点问题综合应用题型十:导数与数列综合问题题型一:利用导数研究函数的单调性1(2024·河南郑州·高三校联考阶段练习)已知函数f(x)=x22+ax-(ax+1)ln x在x=1处的切线方程为y=bx+52(a,b∈R).(1)求a,b的值;(2)证明:f x 在1,+∞上单调递增.1、求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率,求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商,再利用运算法则求导,合函数求导,应由外到内逐层求导,必要时要进行换元.2、求函数单调区间的步骤(1)确定函数f x 的定义域;(2)求f x (通分合并、因式分解);(3)解不等式f x >0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;(4)解不等式f x <0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.3、含参函数单调性讨论依据:(1)导函数有无零点讨论(或零点有无意义);(2)导函数的零点在不在定义域或区间内;(3)导函数多个零点时大小的讨论。
1(2024·安徽六安·高三统考期末)已知函数f x =x3+ax-6a∈R.(1)若函数f x 的图象在x=2处的切线与x轴平行,求函数f x 的图象在x=-3处的切线方程;(2)讨论函数f x 的单调性.2(2024·辽宁·校联考一模)已知f x =sin2x+2cos x.(1)求f x 在x=0处的切线方程;(2)求f x 的单调递减区间.题型二:利用导数研究函数的极值1(2024·湖南长沙·高三长沙一中校考开学考试)已知直线y=kx与函数f(x)=x ln x-x2+x的图象相切.(1)求k的值;(2)求函数f x 的极大值.1、利用导数求函数极值的方法步骤(1)求导数f (x);(2)求方程f (x)=0的所有实数根;(3)观察在每个根x0附近,从左到右导函数f (x)的符号如何变化.①如果f (x)的符号由正变负,则f (x0)是极大值;②如果由负变正,则f (x0)是极小值;③如果在f (x)=0的根x=x0的左右侧f (x)的符号不变,则不是极值点.根据函数的极值(点)求参数的两个要领:①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解;②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证.2(2024·广东汕头·统考一模)已知函数f x =ax-1x-a+1ln x a∈R.(1)当a=-1时,求曲线y=f x 在点e,f e处的切线方程;(2)若f x 既存在极大值,又存在极小值,求实数a的取值范围.3(2022·河南·高三专题练习)已知函数f(x)=e x-ax312,其中常数a∈R.(1)若f x 在0,+∞上是增函数,求实数a的取值范围;(2)若a=4,设g(x)=f(x)+x33-x2-x+1,求证:函数g x 在-1,+∞上有两个极值点.题型三:利用导数研究函数的最值1(2024·江苏泰州·高三统考阶段练习)已知函数f x =x4+ax3,x∈R.(1)若函数在点1,f1处的切线过原点,求实数a的值;(2)若a=-4,求函数f x 在区间-1,4上的最大值.函数f(x)在区间[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则求函数f(x)最值的步骤为:(1)求函数f(x)在区间(a,b)上的极值;(2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值;(3)实际问题中,“驻点”如果只有一个,这便是“最值”点。
导数及其应用的习题(学生版)
导数及其应用的习题一.要点梳理1.f ′(x )>0在(a ,b )上成立是f (x )在(a ,b )上单调递增的充分条件利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便,但应注意f ′(x )>0(或f ′(x )<0)仅是f (x )在某个区间上递增(或递减)的充分条件.在区间(a ,b )内可导的函数f (x )在(a ,b )上递增(或递减)的充要条件应是f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0),x ∈(a ,b )恒成立,且f ′(x )在(a ,b )的任意子区间内都不恒等于0.这就是说,函数f (x )在区间上的增减性并不排斥在该区间内个别点x 0处有f ′(x 0)=0,甚至可以在无穷多个点处f ′(x 0)=0,只要这样的点不能充满所给区间的任何子区间,因此在已知函数f (x )是增函数(或减函数)求参数的取值范围时,应令f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立解出参数的取值范围,然后检验参数的取值能否使f ′(x )恒等于0,若能恒等于0,则参数的这个值应舍去,若f ′(x )不恒为0,则由f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0),x ∈(a ,b )恒成立解出的参数的取值范围确定.2.对于可导函数f (x ),f ′(x 0)=0并不是f (x )在x =x 0处有极值的充分条件对于可导函数f (x ),x =x 0是f (x )的极值点,必须具备①f ′(x 0)=0,②在x 0两侧,f ′(x )的符号为异号.所以f ′(x 0)=0只是f (x )在x 0处有极值的必要条件,但并不充分. 二.疑点清源1.运用导数不仅可以求解曲线的斜率,研究函数的单调性,确定函数的极值与最值,还可利用导数研究参数的取值范围,来讨论方程根的分布与证明不等式.2.用导数研究参数的取值范围,确定方程根的个数,证明不等式,其实质就是转化成函数的单调性、极值与最值的问题,运用导数进行研究.3.函数的极值与函数的最值是有区别与联系的:函数的极值是一个局部性概念,而最值是某个区间的整体性概念;函数的极值可以有多个,而函数的最大(小)值最多只有一个4.极值点不一定是最值点,最值也不一定是极值点,但如果连续函数在区间(a ,b )内只有一个极值点,则极大值就是最大值,极小值就是最小值.5.在求可导函数的最值时,不必讨论导数为零的点是否为极值点,而直接将导数为零的点与端点处的函数值进行比较即可.6.对于一般函数而言,函数的最值必在下列各种点中取得:导数为零的点,导数不存在的点,端点. 三.典例精析题型一:利用导数求函数的单调区间例1:已知函数f (x )=x 3-ax 2-3x .(1)若f (x )在[1,+∞)上是增函数,求实数a 的取值范围;(2)若x =3是f (x )的极值点,求f (x )的单调区间.跟踪训练1:已知函数f (x )=ln(x +1)-x +k2x 2(k ≥0).(1)当k =2时,求曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程; (2)求f (x )的单调区间.题型二:利用导数求解函数的最值或极值例2 已知函数g (x )=ax 3+bx 2+cx (a ∈R 且a ≠0),g (-1)=0,且g (x )的导函数f (x )满足f (0)f (1)≤0.设x 1、x 2为方程f (x )=0的两根.(1)求b a 的取值范围;(2)若当|x 1-x 2|最小时,g (x )的极大值比极小值大43,求g (x )的解析式.跟踪训练2:函数f (x )=x 3+ax 2+b 的图象在点P (1,0)处的切线与直线3x +y =0平行. (1)求a ,b ;(2)求函数f (x )在[0,t ] (t >0)内的最大值和最小值.题型三:已知单调区间求参数范围例3 已知函数f (x )=3ax 4-2(3a +1)x 2+4x .(1)当a =16时,求f (x )的极值;(2)若f (x )在(-1,1)上是增函数,求a 的取值范围.跟踪训练3:设函数f (x )=x 4+ax 3+2x 2+b (x ∈R),其中a ,b ∈R.(1)当a =-103时,讨论函数f (x )的单调性;(2)若函数f (x )仅在x =0处有极值,求a 的取值范围;(3)若对于任意的a ∈[-2,2],不等式f (x )≤1在[-1,0]上恒成立,求b 的取值范围.题型四:利用导数研究方程根的问题例4 已知函数f (x )=x 2-a ln x 在(1,2]是增函数,g (x )=x -a x 在(0,1)为减函数.(1)求f (x )、g (x )的解析式;(2)求证:当x >0时,方程f (x )=g (x )+2有惟一解.跟踪训练4:已知f (x )=ax 2(a ∈R),g (x )=2ln x . (1)讨论函数F (x )=f (x )-g (x )的单调性;(2)若方程f (x )=g (x )在区间[2,e]上有两个不等解,求a 的取值范围.导数及其应用综合训练试题(卷)一.选择题1.[2013·蚌埠模拟] 曲线f(x)=13x 3+x 在点⎝⎛⎭⎫1,43处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )A.29B.19C.13D.232.[2013·全国卷] 已知曲线y =x 4+ax 2+1在点(-1,a +2)处切线的斜率为8,则a =( )A .9B .6C .-9D .-6 3.[2013·浙江卷] 已知函数y =f(x)的图像是下列四个图像之一,且其导函数y =f′(x)的图像如图所示,则该函数的图像是( )4.[2013·湖北卷] 已知函数f(x)=x(ln x -ax)有两个极值点,则实数a 的取值范围是( )A .(-∞,0) B.⎝⎛⎭⎫0,12 C .(0,1) D .(0,+∞) 5.[2013·福建卷] 设函数f(x)的定义域为R ,x 0(x 0≠0)是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是( )A . x ∈R ,f(x)≤f(x 0)B .-x 0是f(-x)的极小值点C .-x 0是-f(x)的极小值点D .-x 0是-f(-x)的极小值点 6.[2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx +c ,下列结论中错误的是( )A .x 0∈R ,f(x 0)=0B .函数y =f(x)的图像是中心对称图形C .若x 0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x 0)单调递减D .若x 0是f(x)的极值点,则f′(x 0)=0 7.[2013·浙江卷] 已知e 为自然对数的底数,设函数f(x)=(e x -1)(x -1)k (k =1,2),则( )A .当k =1时,f(x)在x =1处取到极小值B .当k =1时,f(x)在x =1处取到极大值C .当k =2时,f(x)在x =1处取到极小值D .当k =2时,f(x)在x =1处取到极大值 8.[2013·全国卷] 若函数f(x)=x 2+ax +1x 在⎝⎛⎭⎫12,+∞是增函数,则a 的取值范围是( ) A .[-1,0] B .[-1,+∞)C .[0,3] D .[3,+∞)9.[2013·辽宁卷] 设函数f(x)满足x 2f ′(x)+2xf(x)=e x x ,f(2)=e 28,则x>0时,f(x)( )A .有极大值,无极小值B .有极小值,无极大值C .既有极大值又有极小值D .既无极大值也无极小值 10.[2013·郑州模拟] 已知f(x)为R 上的可导函数,且∀x ∈R ,均有f(x)>f′(x),则有( )A .e 2 013f(-2 013)<f(0),f(2 013)>e 2 013f(0)B .e 2 013f(-2 013)<f(0),f(2 013)<e 2 013f(0)C .e 2 013f(-2 013)>f(0),f(2 013)>e 2 013f(0)D .e 2 013f(-2 013)>f(0),f(2 013)<e 2 013f(0) 二.填空题 11.[2013·江西卷] 设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(e x )=x +e x ,则f ′(1)= 12.[2013·广东卷] 若曲线y =kx +ln x 在点(1,k)处的切线平行于x 轴,则k =13.[2013·江西卷] 若曲线y =x α+1(α∈R )在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α=14.[2013·龙岩调研] 已知点P 在曲线y =4e x +1上,α为曲线在点P 处的切线的倾斜角,则α的取值范围是 15.[2013·温州联考] 已知函数f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如下表,f(x)的导函数y =f ′(x)的图像如图所示.下列关于函数f(x)的命题:①函数f(x)的值域为[1,2];②函数f(x)在[0,2]上是减函数;③如果当x ∈[-1,t]时,f(x)的最大值是2,那么t 的最大值为4;④当1<a<2时,函数y =f(x)-a 最多有4个零点.其中正确命题的序号是 三.解答题16.[2013·全国卷] 已知函数f(x)=x 3+3ax 2+3x +1.(1)当a =-2时,讨论f(x)的单调性;(2)若x ∈[2,+∞)时,f(x)≥0,求a 的取值范围.17.[2013·重庆卷] 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r 米,高为h 米,体积为V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率).(1)将V 表示成r 的函数V(r),并求该函数的定义域;(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大.18.[2013·重庆卷] 设f(x)=a(x -5)2+6ln x ,其中a ∈R ,曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线与y 轴相交于点(0,6).(1)确定a 的值;(2)求函数f(x)的单调区间与极值.19.[2013·北京卷] 已知函数f(x)=x2+xsin x+cos x.(1)若曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切,求a与b的值;(2)若曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同交点,求b的取值范围.20.[2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)=e x-ln(x+m).(1)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性;(2)当m≤2时,证明f(x)>0.21.[2013·新课标全国卷Ⅰ] 设函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=e x(cx+d).若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2.(1)求a,b,c,d的值;(2)若x≥-2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围.。
5.1 导数的概念及意义学生版
5.1 导数的概念及意义常见考法考点一平均速率【例1】.(2020.江苏张家港.高二期中)函数f (x ) = f-SinX 在[0,扪上的平均变化率为()A. 1B. 2C. πD. /■【一隅三反】1. (2020.武汉市钢城第四中学高二期中)如果函数/(x ) = αr + b 在区间[1,2]上的平均变化率为3,则。
=() A. -3B. 2C. 3D. -22. (2020.重庆高二月考)函数),=/+彳在% = ]到冗= ] + ©之间的平均变化率为( )A. Δx+2B. Δx+3C. 2∆x+(∆x )^D. 3∆x + (∆x )^思维导图 平均速率导数的概念及意义导数概念函数.,=/3)从R 到内的平均变化率为9人占工 若Ar=4-XI ,邮=/(")一曲) Xl -Xl则平均变化率可表示琮.设函数尸人力在区间(G 与上有定义,Λ∈(Λ a,当AX 无限趋近于O 时, 比值"=念±9立期无限趋近于一个常数A ,则称打力在X=X 处可导 AJr AX并称常数/为的敷∕tr )在k4处的导致,记作f (⅜). __________________________导数的几何意义函数F =/⑸在点4处的导致的几何意义,就是曲线J =网在点•,曲))处的 切线的斜率%即氏=/* 8).考点一平均速 考点二导数的概念〉考点三导数的iS )3.(2020.皇姑•辽宁实验中学高二月考)函数),=,在X = I到χ = 3之间的平均变化率为()X2 2 1 1A. -B. 一一C. 一一D.-3 3 3 3考点二导数的概念【例2】(1)(2020.利辛县阚噬金石中学高三月考)设/(x)为可导函数,且满足条件叫J也三= 5,则曲线y = ∕(χ)在点(1"⑴)处的切线的斜率为()A. 10B. 3C. 6D. 8(2). (2020•广东南海•高二期末)在高台跳水运动中ZS时运动员相对于水面的高度(单位:m)是∕ι(z) = -4.9r2+6.5r + 10,则高台跳水运动中运动员在z = 2s时的瞬时速度是()A. -3.3B. -13.1C. 13.1D. 3.3【一隅三反】1.(2020•扶风县法门高中高二月考(理))一个物体的位移S关于时间,的运动方程为S=I—l+[2,其中S的单位是:m, I的单位是:s,那么物体在t=3 s时的瞬时速度是A. 5 m / sB. 6 m / sC. 7 m / sD. 8 m / s2.(2020.赣州市赣县第三中学高二月考(文))已知函数段)在X=XO处的导数为12,则Iim /一弋-)=ArTo 3∆X()A. -4B. 4C. -36D. 363.(2020•赣州市赣县第三中学高二月考(理))已知函数/(x) = ∣x-∙∣lnx,则㈣/⑴-(.AX) =()4 5A. 1B. -1C. ----D. ------3 34.(2020.广东佛山.高二期末)若/(1) = —1,则Iim/° + AX匕/⑴二()AXTo Ar考点三导数的计算【例3】(2020.河南)设点P是函数/(x) = "'—r(0)x+∕'(l)图象上的任意一点,点P处切线的倾斜角为。
导数解题大招--- 双变量问题之齐次换元(学生版)
双变量问题之齐次换元知识与方法若问题的不等式或等式中含有x1、x2两个变量,称这类题型为双变量问题,前面几个小节已经涉及了双变量问题的一些细分题型,这一小节主要针对用换元法解决双变量问题的题型.若能将要证明的不等式或目标代数式通过变形成关于x1x2(或x1-x2等)的整体结构,通过将x1x2(或x1-x2等)换元成t把问题化归成单变量问题来处理.这一方法也称为“齐次换元”。
典型例题1.(★★★★★)已知函数f(x)=e ax-x,其中a≠0.(1)若对于一切x∈R,f(x)≥1恒成立,求实数a的取值范围;(2)在函数f(x)的图象上取两定点A x1,f x1,B x2,f x2,x1<x2,记直.线AB的斜率为k,是否存在x0∈x1,x2,使得f′x0>k成立?若存在,求x0的取值范围,若不存在,说明理由.2.(2022·全国甲卷·理·21·★★★★★)已知函数f(x)=e xx-ln x+x-a.(1)若f(x)≥0,求实数a的取值范围;(2)证明:若f(x)有两个零点x1,x2,则x1x2<1.强化训练1(★★★★)已知函数f(x)=2x ln x-x2-mx+1.(1)若m=0,判断f(x)的单调性;(2)若m<0,0<b<a,证明:2ln a+ba-b <4aba2-b2-m2(★★★★)已知函数f(x)=e x-ax+a(a∈R)有2个零点x1、x2,且x1<x2.(1)求a的取值范围;(2)证明:x1x2<x1+x2.。
【3-代数】2.导数的几个重要定理及应用【学生版】
自招竞赛秋季数学讲义导数的几个重要定理及应用学生姓名 授课日期 教师姓名授课时长导数是中学数学的主要内容,是除个别地区外大部分省市高考的重点。
作为高中数学和大学数学的重要衔接点,导数也是自主招生考试中的热点。
在往届各大联盟考试中导数和微积分初步固定占有一到两题的位置,难度要求以基本的应用为主。
竞赛中,导数作为高等数学中最基本的方法,也做了较高的难度要求。
本节课介绍导数的一些基本定理及应用,包括罗尔定理、柯西定理、拉格朗日定理和最为重要也是考试中应用最广的洛必达法则。
希望通过这些基本的介绍可以帮助学生更好地理解求导的一些常用技巧。
罗尔定理1.费马定理:设f (x )在U (x 0)内有定义,且在x 0处可导,若∀x 0∈U (x 0),有f (x )≤f (x 0)[或f (x )≥f (x 0)], 则 f ′(x 0)=0。
证明:不妨设x ∈U (x 0)时,有f (x )≤f (x 0)。
则对x 0+∆x ∈U (x 0),有f (x 0+∆x )≤f (x 0) 即 当∆x >0时,xx f x x f ∆-∆+)()(00≤0;当∆x <0时,xx f x x f ∆-∆+)()(00≥0;从而: f ′(x 0)= f ′+(x 0)=+→∆0lim x x x f x x f ∆-∆+)()(00≤0;f ′(x 0)= f ′-(x 0)=+-→∆0lim x xx f x x f ∆-∆+)()(00≥0;于是 f ′(x 0)= 0定义:称满足f ′(x )=0的点为驻点(或稳定点,或临界点)。
2. 罗尔定理:如果函数y =f (x )满足:1) f (x )∈C [a ,b ](表示f (x )在[a ,b ]上连续,下同) 2) f (x )∈D(a ,b )(表示f (x )在(a ,b )上可导)3) f (a )=f (b )那么在(a ,b )内至少存在一点ξ (a <ξ<b ),使得: f ′(ξ)=0。
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导数
1、函数的单调性
(1)设2121],,[x x b a x x <∈、那么
],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔<-上是增函数; ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔>-上是减函数.
(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导,若0)(>'x f ,则)(x f 为增函数;若0)(<'x f ,则)(x f 为减函数. 2、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义
函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f ',相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-.
3、几种常见函数的导数
①'C 0=;②1')(-=n n nx x ; ③x x cos )(sin '=;④x x sin )(cos '-=;⑤a a a x
x ln )('=;
⑥x
x e e =')(; ⑦a x x a ln 1)(log '
=
;⑧x
x 1)(ln '
= 4、导数的运算法则
(1)'
'
'
()u v u v ±=±. (2)'
'
'
()uv u v uv =+. (3)''
'2
()(0)u u v uv v v v
-=≠. 5、会用导数求单调区间:①求函数 f ( x ) 的导数 f ′( x ) ;②令 f ′( x ) > 0 解不等式,得 x 的范围,就是递
增区间;③令 f ′( x) < 0 解不等式,得 x 的范围,就是递增区间。
6、求函数()y f x =的极值的方法是:解方程()0f x '=.当()00f x '=时: (1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么()0f x 是极大值; (2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么()0f x 是极小值.
7、函数的最大(小)值:一般地,在区间 [ a, b] 上连续的函数 f ( x ) 在 [ a, b] 上必有最大值与最小值, 利用导数求函数的最值步骤: ①求函数 f ( x ) 在 (a, b) 内的极值; ②求函数 f ( x ) 在区间端点的值 f ( a )、f (b) ;③将函数 f ( x ) 的各极值与 f ( a )、f (b) 比较,其中最大的是 1 最大值,最小的是最小值。
考点一:导数与函数的小题 1、曲线21
x
y x =
-在点()1,1处的切线方程为 ( ) A. 20x y --= B. 20x y +-= C.450x y +-= D. 450x y --=
2、已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-,则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是 ( )
A.21y x =-
B.y x =
C.32y x =-
D.23y x =-+
3、设曲线y=1
1
-+x x 在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a 等于 ( )
A.2
B.2
1
C.21-
D.-2
4、若曲线3
()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线,则实数a 取值范围是_____________.
5、已知直线y=x+1与曲线y ln()x a =+相切,则α的值为( ) A.1 B. 2 C.-1 D.-2
6、若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和2
15
94
y ax x =+
-都相切,则a 等于 A .1-或25-64 B .1-或214 C .74-或25-64 D .7
4
-或7
7、 曲线y=2x
e -+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为
(A)13 (B)12 (C)2
3
(D)1
8、 若()ln f x x x x 2=-2-4,则'()f x >0的解集为
A. (,)0+∞
B. -+10⋃2∞(,)(,)
C. (,)2+∞
D. (,)-10
9、若存在过点(1,0)的直线与曲线3
y x =和215
94
y ax x =+
-都相切,则a 等于
( )
A .1-或25-64
B .1-或214
C .74-或25-64
D .74
-或7
10、设函数2()()f x g x x =+,曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+,则曲线()y f x =在点
(1,(1))f 处切线的斜率为
( )
A .4
B .14-
C .2
D .1
2
- 11、曲线21
x
y x =
-在点()1,1处的切线方程为( )
A. 20x y --=
B. 20x y +-=
C.450x y +-=
D. 450x y --=
12、若函数()y f x =的导函数...在区间[,]a b 上是增函数, 则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是
( )
A .
B .
C .
D .
13、若1x 满足2x+2x
=5, 2x 满足2x+22log (x -1)=5, 1x +2x = ( ) A.
52 B.3 C.7
2
D.4 14、若函数2()1
x a f x x +=+在1x =处取极值,则a =
15、若曲线3()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线,则实数a 取值范围是_____________. 16、设曲线1
*()n y x
n N +=∈在点
(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,令lg n n a x =,则129a a a +++的值为 .
考点二:利用导数求解函数的单调性问题
利用导数求解函数单调性的主要题型:(1)根据函数解析式,求函数的单调区间;(2)根据函数的单调性函数求解参数问题;(3)求解与函数单调性相关的其它问题,如函数图象的零点、不等式恒成立等问题. 1、已知函数4
2
()36f x x x =-+. (Ⅰ)讨论()f x 的单调性;
(Ⅱ)设点P 在曲线()y f x =上,若该曲线在点P 处的切线l 通过坐标原点,求l 的方程
a
b a
b a
o x
o
x
y b a
o
x
y
o x
y
b y
2、已知函数32
()1f x x ax x =+++,a ∈R . (Ⅰ)讨论函数()f x 的单调区间;
(Ⅱ)设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭
,内是减函数,求a 的取值范围.
3、已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=. (I )求函数)(x f 的单调区间;
4、已知函数2
1()ln ,()(1),12f x x a x g x a x a =
+=+≠-.
(I )若函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同,求实数a 的取值范围;
利用导数求函数的极值主要题型:(1)根据函数解析式求极值;(2)根据函数的极值求解参数问题.解答时要注意准确应用利用导数求极值的原理求解.
1、设2()1x
e f x ax =+,其中a 为正实数
(Ⅰ)当a 4
3
=时,求()f x 的极值点;(Ⅱ)若()f x 为R 上的单调函数,求a 取值范围。
2、已知函数
c bx ax x x f +++=2
3)(的图象经过坐标原点,且在1=x 处取得极大值. (I )求实数a 的取值范围;
(II )若方程9)32()(2
+-
=a x f 恰好有两个不同的根,求)(x f 的解析式;
3、 已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x R =+-+∈其中a R ∈ (1)当0a =时,求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率;
(2)当2
3
a ≠时,求函数()f x 的单调区间与极值。
利用导数求解函数最值问题的主要题型:(1)根据函数的解析式求函数的最大值;(2)根据函数在一个区间上的最值情况求解参数问题.
1、已知函数()32()3(36)+124f x x ax a x a a R =++--∈ (I )证明:曲线()0y f x x ==在处的切线过点(2,2);
(II )若00()f x x x x =∈在处取得最小值,(1,3),求a 的取值范围.
2、设函数()()ln ln 2(0)f x x x ax a =+-+>。
(1)当a=1时,求()f x 的单调区间。
(2)若()f x 在(]01,上的最大值为1
2
,求a 的值。
3、已知2x =是函数2()(23)x
f x x ax a e =+--的一个极值点(⋅⋅⋅=718.2e ).
(I )求实数a 的值;
(II )求函数()f x 在
]
3,23[∈x 的最大值和最小值.。