2018年江苏省无锡市崇安区江南中学中考数学一模试卷(3月份)(解析版)(解析版)

2018年江苏省无锡市崇安区江南中学中考数学模拟试卷（3月份）一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卷上相应的答案涂黑．）1．（3分）的相反数是（）A．B．C．3 D．﹣32．（3分）下列计算正确的是（）A．a2+a2=a4 B．（a2）3=a5C．a+2=2a D．（ab）3=a3b33．（3分）若a＞b，则下列式子中一定成立的是（）A．a﹣2＜b﹣2 B．＞C．2a＞b D．3﹣a＞3﹣b4．（3分）一组数据：2，﹣1，0，3，﹣3，2．则这组数据的中位数和众数分别是（）A．0，2 B．1.5，2 C．1，2 D．1，35．（3分）如果一个多边形的内角和等于900°，这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形6．（3分）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．7．（3分）下列判断错误的是（）A．对角线相互垂直且相等的平行四边形是正方形B．对角线相互垂直平分的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线相互平分的四边形是平行四边形8．（3分）如图，AB是⊙O直径，∠AOC=140°，则∠D为（）A．40°B．30°C．20°D．70°9．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC=4，∠AEO=120°，则FC的长度为（）A．1 B．2 C．D．10．（3分）在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD的点A（0，﹣2）、点B（3m，4m+1）（m≠﹣1），点C（6，2），则对角线BD的最小值是（）A．3 B．2C．5 D．6二、填空题（本大题共8小题，每题2分，共计16分．请把答案直接填写在答题卷相应位置上．）11．（2分）函数y=中，自变量x的取值范围是．12．（2分）分解因式：2a2﹣8=．13．（2分）2016年我国大学毕业生将达到7650000人，该数据用科学记数法可表示为．14．（2分）已知双曲线y=经过点（﹣2，3），那么k等于．15．（2分）一个扇形的圆心角为60°半径为6cm，则这个扇形的弧长为cm．（结果保留π）16．（2分）如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A、B、P、Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB、PQ相交于点M，则线段AM的长为．17．（2分）如图，有一个边长不定的正方形ABCD，它的两个相对的顶点A，C 分别在边长为1的正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B，D在正六边形内部（包括边界），则正方形边长a的取值范围是．18．（2分）如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，点D、E都在边BC 上，∠DAE=60°．若BD=2CE，则DE的长为．三、解答题（本大题共10小题，共计84分．解答需写出必要的文字说明或演算步骤.）19．（8分）（1）计算：（）0+﹣|﹣3|+tan45°；（2）计算：（x+2）2﹣2（x﹣1）．20．（8分）（1）解方程：1+=；（2）解不等式组：21．（8分）如图，平行四边形ABCD中，E、F是AB、CD边上的点，AE=CF，求证：DE=BF．22．（8分）一个不透明的口袋中装有2个红球、1个白球、1个黑球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀．（1）从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是；（2）先从中任意摸出1个球，再从余下的3个球中任意摸出1个球，请用列举法（画树状图或列表）求两次都摸到红球的概率．23．（8分）今年4月23日是第21个“世界读书日”，也是江苏省第二个法定的全民阅读日．由市文明办、市全民阅读办、市文广新局等单位联合主办的“2016无锡市第二个全民阅读日”系列活动即将启动．某校围绕学生日人均阅读时间这一问题，对初二学生进行随机抽样调查．如图是根据调查结果绘制成的统计图（不完整），请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）本次抽样调查的样本容量是多少？（2）请将条形统计图补充完整．（3）在扇形统计图中，计算出日人均阅读时间在1～1.5小时对应的圆心角度数．（4）根据本次抽样调查，试估计我市12000名初二学生中日人均阅读时间在0.5～1.5小时的多少人．24．（8分）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．（1）试说明DF是⊙O的切线；（2）若AC=3AE，求tanC．25．（6分）如图，已知线段AB．（1）仅用没有刻度的直尺和圆规作一个以AB为腰、底角等于30°的等腰△ABC．（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）在（1）的前提下，若AB=2cm，则等腰△ABC的外接圆的半径为cm．26．（10分）九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销售量的相关信息如下表：时间x（天）1≤x＜5050≤x≤90售价（元/件）x+4090每天销量（件）200﹣2x200﹣2x已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．27．（10分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）在（2）的前提下，y轴上是否存在一点H，使∠AHF=∠AEF？如果存在，求出此时点H的坐标，如果不存在，请说明理由．28．（10分）如图，在△ABC中，已知AB=AC=10cm，BC=16cm，AD⊥BC于D，点E、F分别从B、C两点同时出发，其中点E沿BC向终点C运动，速度为4cm/s；点F沿CA、AB向终点B运动，速度为5cm/s，设它们运动的时间为x（s）．（1）求x为何值时，△EFC和△ACD相似；（2）是否存在某一时刻，使得△EFD被AD分得的两部分面积之比为3：5，若存在，求出x的值，若不存在，请说明理由；（3）若以EF为直径的圆与线段AC只有一个公共点，求出相应x的取值范围．2018年江苏省无锡市崇安区江南中学中考数学模拟试卷（3月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卷上相应的答案涂黑．）1．（3分）的相反数是（）A．B．C．3 D．﹣3【分析】根据相反数的概念解答即可．【解答】解：的相反数是﹣，添加一个负号即可．故选：B．2．（3分）下列计算正确的是（）A．a2+a2=a4 B．（a2）3=a5C．a+2=2a D．（ab）3=a3b3【分析】分别利用幂的乘方运算法则以及合并同类项法则和积的乘方运算法则化简，进而求出答案．【解答】解：A、a2+a2=2a2，故此选项错误；B、（a2）3=a6，故此选项错误；C、a+2无法计算，故此选项错误；D、（ab）3=a3b3，正确．故选：D．3．（3分）若a＞b，则下列式子中一定成立的是（）A．a﹣2＜b﹣2 B．＞C．2a＞b D．3﹣a＞3﹣b【分析】依据不等式的基本性质解答即可．【解答】解：A、由不等式的性质1可知A错误；B、由不等式的性质2可知B正确；C、不符合不等式的基本性质，故C错误；D、先由不等式的性质3得到﹣a＜﹣b，然后由不等式的性质1可知3﹣a＜2﹣b，故D错误．故选：B．4．（3分）一组数据：2，﹣1，0，3，﹣3，2．则这组数据的中位数和众数分别是（）A．0，2 B．1.5，2 C．1，2 D．1，3【分析】把这组数据按照从小到大的顺序排列，第3、4个数的平均数是中位数，在这组数据中出现次数最多的是1，得到这组数据的众数．【解答】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列﹣3，﹣1，0，2，2，3，第3、4个两个数的平均数是（0+2）÷2=1，所以中位数是1；在这组数据中出现次数最多的是2，即众数是2，故选：C．5．（3分）如果一个多边形的内角和等于900°，这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形【分析】根据n边形的内角和为（n﹣2）•180°得到（n﹣2）•180°=900°，然后解方程即可．【解答】解：设所求正n边形边数为n，则（n﹣2）•180°=900°，解得n=7．故选：D．6．（3分）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项正确．故选：D．7．（3分）下列判断错误的是（）A．对角线相互垂直且相等的平行四边形是正方形B．对角线相互垂直平分的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线相互平分的四边形是平行四边形【分析】根据平行四边形的判定方法、正方形的判定方法、矩形的判定方法以及菱形的判定方法逐项分析即可．【解答】解：A、对角线相互垂直且相等的平行四边形是正方形，正确；B、对角线相互垂直平分的四边形是菱形，正确；C、对角线相等平分的四边形是矩形，错误；D、对角线相互平分的四边形是平行四边形，正确；故选：C．8．（3分）如图，AB是⊙O直径，∠AOC=140°，则∠D为（）A．40°B．30°C．20°D．70°【分析】根据邻补角的性质，求出∠BOC的值，再根据圆周角与圆心角的关系求出∠D的度数．【解答】解：∵∠AOC=140°，∴∠BOC=180°﹣140°=40°，∴∠D=∠BOC=×40°=20°．故选：C．9．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC=4，∠AEO=120°，则FC的长度为（）A．1 B．2 C．D．【分析】先根据矩形的性质，推理得到OF=CF，再根据Rt△BOF求得OF的长，即可得到CF的长．【解答】解：∵EF⊥BD，∠AEO=120°，∴∠EDO=30°，∠DEO=60°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠OBF=∠OCF=30°，∠BFO=60°，∴∠FOC=60°﹣30°=30°，∴OF=CF，又∵Rt△BOF中，BO=BD=AC=2，∴OF=tan30°×BO=2，∴CF=2，故选：B．10．（3分）在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD的点A（0，﹣2）、点B（3m，4m+1）（m≠﹣1），点C（6，2），则对角线BD的最小值是（）A．3 B．2C．5 D．6【分析】先根据B（3m，4m+1），可知B在直线y=x+1上，所以当BD⊥直线y=x+1时，BD最小，找一等量关系列关于m的方程，作辅助线：过B作BH⊥x轴于H，则BH=4m+1，利用三角形相似得BH2=EH•FH，列等式求m的值，得BD的长即可．【解答】解：如图，∵点B（3m，4m+1），∴令，∴y=x+1，∴B在直线y=x+1上，∴当BD⊥直线y=x+1时，BD最小，过B作BH⊥x轴于H，则BH=4m+1，∵BE在直线y=x+1上，且点E在x轴上，∴E（﹣，0），G（0，1），∵平行四边形对角线交于一点，且AC的中点一定在x轴上，∴F是AC的中点，∵A（0，﹣2），点C（6，2），∴F（3，0）．在Rt△BEF中，∵BH2=EH•FH，∴（4m+1）2=（3m+）（3﹣3m），解得：m1=﹣（舍），m2=，∴B（，），∴BD=2BF=2×=6，则对角线BD的最小值是6；故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每题2分，共计16分．请把答案直接填写在答题卷相应位置上．）11．（2分）函数y=中，自变量x的取值范围是x≥﹣2．【分析】函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数即可求解．【解答】解：根据题意得：x+2≥0，解得x≥﹣2．故答案为：x≥﹣2．12．（2分）分解因式：2a2﹣8=2（a+2）（a﹣2）．【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：2a2﹣8=2（a2﹣4），=2（a+2）（a﹣2）．故答案为：2（a+2）（a﹣2）．13．（2分）2016年我国大学毕业生将达到7650000人，该数据用科学记数法可表示为7.65×106．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：将7650000用科学记数法表示为：7.65×106．故答案为：7.65×106．14．（2分）已知双曲线y=经过点（﹣2，3），那么k等于﹣5．【分析】将点（﹣2，3）代入y=即可得．【解答】解：根据题意，将点（﹣2，3）代入y=，得：k﹣1=﹣6，解得：k=﹣5，故答案为：﹣5．15．（2分）一个扇形的圆心角为60°半径为6cm，则这个扇形的弧长为2πcm．（结果保留π）【分析】利用弧长公式是l=，代入就可以求出弧长．【解答】解：弧长是：=2πcm．故答案为：2π．16．（2分）如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A、B、P、Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB、PQ相交于点M，则线段AM的长为．【分析】连接AP、PB、AQ，利用勾股定理逆定理证∠PAB=∠ABQ=90°，结合∠AMP=∠BMQ证△APM∽△BQM，得==3，即可知=，据此可得答案．【解答】解：如图，连接AP、PB、AQ，∵AP2=18、AB2=8、PB2=26，∴AP2+AB2=PB2，∴△PAB为直角三角形，∠PAB=90°，∵AQ2=10、AB2=8、BQ2=2，∴AB2+BQ2=AQ2，∴△ABQ为直角三角形，∠ABQ=90°，∵∠AMP=∠BMQ，∴△APM∽△BQM，∴===3，∴=，即=，∴AM=，故答案为：．17．（2分）如图，有一个边长不定的正方形ABCD，它的两个相对的顶点A，C 分别在边长为1的正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B，D在正六边形内部（包括边界），则正方形边长a的取值范围是≤a≤3﹣．【分析】当正方形ABCD的顶点A、B、C、D在正六边形的边上时，正方形的边长的值最大，解直角三角形得到a，当正方形ABCD的对角线AC在正六边形一组平行的对边的中点上时，正方形边长a的值最小，AC是正方形的对角线，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：①当正方形ABCD的对角线AC在正六边形一组平行的对边的中点上时，正方形边长a的值最小，AC是正方形的对角线，∴AC=A′D=，∴a=，②当正方形ABCD的四个顶点都在正六边形的边上时，正方形边长a的值最大，AC是正方形的对角线AC，设A′（t，）时，正方形的边长最大，∵OB′⊥OA′，∴B′（﹣，t），设直线MN的解析式为y=kx+b，M（﹣1，0），N（﹣，﹣），∴，∴，∴直线MN的解析式为y=﹣x﹣，将B′（﹣，t）代入得t=﹣，此时，A′B′取最大值，∴a==3﹣，∴正方形边长a的取值范围是：≤a≤3﹣，故答案为：≤a≤3﹣．18．（2分）如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，点D、E都在边BC上，∠DAE=60°．若BD=2CE，则DE的长为3﹣3．【分析】（方法一）将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF，连接EF，过点E作EM⊥CF于点M，过点A作AN⊥BC于点N，由AB=AC=2、∠BAC=120°，可得出BC=6、∠B=∠ACB=30°，通过角的计算可得出∠FAE=60°，结合旋转的性质可证出△ADE≌△AFE（SAS），进而可得出DE=FE，设CE=2x，则CM=x，EM=x、FM=4x﹣x=3x、EF=ED=6﹣6x，在Rt△EFM中利用勾股定理可得出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再将其代入DE=6﹣6x中即可求出DE的长．（方法二）将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF，取CF的中点G，连接EF、EG，由AB=AC=2、∠BAC=120°，可得出∠ACB=∠B=30°，根据旋转的性质可得出∠ECG=60°，结合CF=BD=2CE可得出△CEG为等边三角形，进而得出△CEF 为直角三角形，通过解直角三角形求出BC的长度以及证明全等找出DE=FE，设EC=x，则BD=CF=2x，DE=FE=6﹣3x，在Rt△CEF中利用勾股定理可得出FE=x，利用FE=6﹣3x=x可求出x以及FE的值，此题得解．【解答】解：（方法一）将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF，连接EF，过点E作EM⊥CF于点M，过点A作AN⊥BC于点N，如图所示．∵AB=AC=2，∠BAC=120°，∴BN=CN，∠B=∠ACB=30°．在Rt△BAN中，∠B=30°，AB=2，∴AN=AB=，BN==3，∴BC=6．∵∠BAC=120°，∠DAE=60°，∴∠BAD+∠CAE=60°，∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=∠BAD+∠CAE=60°．在△ADE和△AFE中，，∴△ADE≌△AFE（SAS），∵BD=2CE，BD=CF，∠ACF=∠B=30°，∴设CE=2x，则CM=x，EM=x，FM=4x﹣x=3x，EF=ED=6﹣6x．在Rt△EFM中，FE=6﹣6x，FM=3x，EM=x，∴EF2=FM2+EM2，即（6﹣6x）2=（3x）2+（x）2，解得：x1=，x2=（不合题意，舍去），∴DE=6﹣6x=3﹣3．故答案为：3﹣3．（方法二）：将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF，取CF的中点G，连接EF、EG，如图所示．∵AB=AC=2，∠BAC=120°，∴∠ACB=∠B=∠ACF=30°，∴∠ECG=60°．∵CF=BD=2CE，∴CG=CE，∴△CEG为等边三角形，∴EG=CG=FG，∴∠EFG=∠FEG=∠CGE=30°，∴△CEF为直角三角形．∵∠BAC=120°，∠DAE=60°，∴∠BAD+∠CAE=60°，∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=∠BAD+∠CAE=60°．在△ADE和△AFE中，，∴△ADE≌△AFE（SAS），∴DE=FE．设EC=x，则BD=CF=2x，DE=FE=6﹣3x，在Rt△CEF中，∠CEF=90°，CF=2x，EC=x，EF==x，∴6﹣3x=x，∴DE=x=3﹣3．故答案为：3﹣3．三、解答题（本大题共10小题，共计84分．解答需写出必要的文字说明或演算步骤.）19．（8分）（1）计算：（）0+﹣|﹣3|+tan45°；（2）计算：（x+2）2﹣2（x﹣1）．【分析】（1）本题涉及零指数幂、绝对值、二次根式化简和特殊角的三角函数值4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；（2）首先计算完全平方，再去括号，然后再合并同类项即可．【解答】解：（1）原式=1+3﹣3+1=3﹣1；（2）原式=x2+4x+4﹣2x+2=x2+2x+6．20．（8分）（1）解方程：1+=；（2）解不等式组：【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．【解答】解：（1）去分母，x﹣2+3x=6，得x=2，经检验：x=2是原方程的增根，∴原方程无解；（2），由①得，x＜﹣1，由②得，x≤﹣8，∴原不等式组的解集是x≤﹣8．21．（8分）如图，平行四边形ABCD中，E、F是AB、CD边上的点，AE=CF，求证：DE=BF．【分析】由平行四边形的性质，可证得△ADE≌△CDF，则可证得DE=BF．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠A=∠C，在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF（SAS），∴DE=BF．22．（8分）一个不透明的口袋中装有2个红球、1个白球、1个黑球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀．（1）从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是；（2）先从中任意摸出1个球，再从余下的3个球中任意摸出1个球，请用列举法（画树状图或列表）求两次都摸到红球的概率．【分析】（1）根据4个小球中红球的个数，即可确定出从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率；（2）列表得出所有等可能的情况数，找出两次都摸到红球的情况数，即可求出所求的概率．【解答】解：（1）4个小球中有2个红球，则任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是；故答案为：；（2）列表如下：红红白黑红﹣﹣﹣（红，红）（白，红）（黑，红）红（红，红）﹣﹣﹣（白，红）（黑，红）白（红，白）（红，白）﹣﹣﹣（黑，白）黑（红，黑）（红，黑）（白，黑）﹣﹣﹣所有等可能的情况有12种，其中两次都摸到红球有2种可能，则P（两次摸到红球）==．23．（8分）今年4月23日是第21个“世界读书日”，也是江苏省第二个法定的全民阅读日．由市文明办、市全民阅读办、市文广新局等单位联合主办的“2016无锡市第二个全民阅读日”系列活动即将启动．某校围绕学生日人均阅读时间这一问题，对初二学生进行随机抽样调查．如图是根据调查结果绘制成的统计图（不完整），请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）本次抽样调查的样本容量是多少？（2）请将条形统计图补充完整．（3）在扇形统计图中，计算出日人均阅读时间在1～1.5小时对应的圆心角度数．（4）根据本次抽样调查，试估计我市12000名初二学生中日人均阅读时间在【分析】（1）根据第一组的人数是30，占20%，即可求得总数，即样本容量；（2）利用总数减去另外两段的人数，即可求得0.5～1小时的人数，从而作出直方图；（3）利用360°乘以日人均阅读时间在1～1.5小时的所占的比例；（4）利用总人数12000乘以对应的比例即可．【解答】解：（1）样本容量是：30÷20%=150；（2）日人均阅读时间在0.5～1小时的人数是：150﹣30﹣45=75（人）．；（3）人均阅读时间在1～1.5小时对应的圆心角度数是：360°×=108°；（4）12000×=9600（人）答：初二学生中日人均阅读时间在0.5～1.5小时的9600人．24．（8分）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．（1）试说明DF是⊙O的切线；（2）若AC=3AE，求tanC．【分析】（1）连接OD，求出OD∥AC，求出DF⊥OD，根据切线的判定得出即可；（2）由AC=3AE可得AB=AC=3AE，EC=4AE；连结BE，由AB是直径可知∠AEB=90°，根据勾股定理求出BE，解直角三角形求出即可．【解答】解：（1）连接OD，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，点D在⊙O上，∴DF是⊙O的切线；（2）连接BE，∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∵AB=AC，AC=3AE，∴AB=3AE，CE=4AE，∴BE==2AE，在Rt△BEC中，tanC===．25．（6分）如图，已知线段AB．（1）仅用没有刻度的直尺和圆规作一个以AB为腰、底角等于30°的等腰△ABC．（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）在（1）的前提下，若AB=2cm，则等腰△ABC的外接圆的半径为2cm．【分析】（1）以AB为边作等边三角形DAB，再以DB为边作等边三角形，然后连接AC，则△CAB满足条件；（2）利用△OAB为等边三角形可确定等腰△ABC的外接圆的半径．【解答】解：（1）如图，△ABC为所作；（2）∵△ABD和△BCD为等边三角形，∴DA=DB=DC=AB，∴等腰△ABC的外接圆的半径为2故答案为2．26．（10分）九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销售量的相关信息如下表：时间x（天）1≤x＜5050≤x≤90售价（元/件）x+4090每天销量（件）200﹣2x200﹣2x已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．【分析】（1）根据单价乘以数量，可得利润，可得答案；（2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案；（3）根据二次函数值大于或等于4800，一次函数值大于或等于48000，可得不等式，根据解不等式组，可得答案．【解答】解：（1）当1≤x＜50时，y=（200﹣2x）（x+40﹣30）=﹣2x2+180x+2000，当50≤x≤90时，y=（200﹣2x）（90﹣30）=﹣120x+12000，综上所述：y=；（2）当1≤x＜50时，y=﹣2x2+180x+2000，y=﹣2（x﹣45）2+6050．∴a=﹣2＜0，∴二次函数开口下，二次函数对称轴为x=45，=6050，当x=45时，y最大当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，=6000，当x=50时，y最大综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；（3）①当1≤x＜50时，y=﹣2x2+180x+2000≥4800，解得：20≤x＜70，因此利润不低于4800元的天数是20≤x＜50，共30天；②当50≤x≤90时，y=﹣120x+12000≥4800，解得：x≤60，因此利润不低于4800元的天数是50≤x≤60，共11天，所以该商品在整个销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元．27．（10分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）在（2）的前提下，y轴上是否存在一点H，使∠AHF=∠AEF？如果存在，求出此时点H的坐标，如果不存在，请说明理由．【分析】（1）把A、B点的坐标分别代入代入y=﹣x2+bx+c得关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c，从而得到抛物线的解析式；（2）先利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=2x+4，设G（x，﹣x2﹣2x+4），则E（x，2x+4），根据平行四边形的判定，当GE=OB时，且点G在点E的上方，四边形GEOB为平行四边形，从而得到﹣x2﹣2x+4﹣（2x+4）=4，然后解方程即可得到此时G点坐标；（3）先确定C（0，﹣6），再利用勾股定理的逆定理证明△BAC为直角三角形，∠BAC=90°，接着根据圆周角定理，由∠AHF=∠AEF可判断点H在以EF为直径的圆上，EF的中点为M，如图，设H（0，t），由于E（﹣2，0），F（﹣2，﹣5），则M（﹣2，﹣），然后根据HM=EF得到22+（t+）2=×52，最后解方程即可得到H点的坐标．【解答】解：（1）把A（﹣4，﹣4），B（0，4）代入y=﹣x2+bx+c得，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+4；（2）设直线AB的解析式为y=kx+m，把A（﹣4，﹣4），B（0，4）代入得，解得，∴直线AB的解析式为y=2x+4，设G（x，﹣x2﹣2x+4），则E（x，2x+4），∵OB∥GE，∴当GE=OB时，且点G在点E的上方，四边形GEOB为平行四边形，∴﹣x2﹣2x+4﹣（2x+4）=4，解得x1=x2=﹣2，此时G点坐标为（﹣2，4）；（3）存在．当x=0时，y=﹣x﹣6=﹣6，则C（0，﹣6），∵AB2=42+82=80，AC2=42+22=20，BC2=102=100，∴AB2+AC2=BC2，∴△BAC为直角三角形，∠BAC=90°，∵∠AHF=∠AEF，∴点H在以EF为直径的圆上，EF的中点为M，如图，设H（0，t），∵G（﹣2，4），∴E（﹣2，0），F（﹣2，﹣5），∴M（﹣2，﹣），∵HM=EF，∴22+（t+）2=×52，解得t1=﹣1，t2=﹣4，∴H点的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣4）．28．（10分）如图，在△ABC中，已知AB=AC=10cm，BC=16cm，AD⊥BC于D，点E、F分别从B、C两点同时出发，其中点E沿BC向终点C运动，速度为4cm/s；点F沿CA、AB向终点B运动，速度为5cm/s，设它们运动的时间为x（s）．（1）求x为何值时，△EFC和△ACD相似；（2）是否存在某一时刻，使得△EFD被AD分得的两部分面积之比为3：5，若存在，求出x的值，若不存在，请说明理由；（3）若以EF为直径的圆与线段AC只有一个公共点，求出相应x的取值范围．【分析】（1）点F在AC上，点E在BD上时，①当=时，△CFE∽△CDA，②当=时，分别列出方程求解即可；（2）不存在．分两种情形说明：如图2中，当点F在AC上，点E在BD上时，作FH⊥BC于H，EF交AD于N．只要证明EN=FN即可解决问题；（3）分四种情形①如图3中，当以EF为直径的⊙O经过点A时，⊙O与线段AC有两个交点，连接AE，则∠EAF=90°．②如图4中，当⊙O与AC相切时，满足条件，此时t=．③如图5中，当⊙O与AB相切时，④如图6中，⊙O经过点A时，连接AE，则∠EAF=90°．分别求解即可；【解答】解：（1）如图1中，点F在AC上，点E在BD上时，①当=时，△CFE∽△CDA，∴=，∴t=，②当=时，即=，∴t=2，当点F在AB上，点E在CD上时，不存在△EFC和△ACD相似，综上所述，t=s或2s时，△EFC和△ACD相似．（2）不存在．理由：如图2中，当点F在AC上，点E在BD上时，作FH⊥BC于H，EF交AD 于N．∵CF=5t．BE=4t，∴CH=CF•cosC=4t，∴BE=CH，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC ， ∴DE=DH ， ∵DN ∥FH ， ∴==1，∴EN=FN ， ∴S △END =S △FND ，∴△EFD 被 AD 分得的两部分面积相等，同法可证当点F 在AB 上，点E 在CD 上时，△EFD 被 AD 分得的两部分面积相等， ∴不存在某一时刻，使得△EFD 被 AD 分得的两部分面积之比为3：5．（3）①如图3中，当以EF 为直径的⊙O 经过点A 时，⊙O 与线段AC 有两个交点，连接AE ，则∠EAF=90°． 由=cosC=，可得=，∴t=，∴0≤t ＜时，⊙O 与线段AC 只有一个交点．②如图4中，当⊙O 与AC 相切时，满足条件，此时t=．③如图5中，当⊙O 与AB 相切时，cosB=，即=，解得t=．④如图6中，⊙O经过点A时，连接AE，则∠EAF=90°．由cosB==，即=，t=，∴＜t≤4时，⊙O与线段AC只有一个交点．综上所述，当，⊙O与线段AC只有一个交点时，0≤t＜或或或＜t ≤4．。