江西省新余一中2013年高考一模试卷数学理(WORD解析版)

江西省新余一中2013年高考数学一模试卷（理科）一、选择题（每小题5分，合计50分.每小题只有唯一正确选项，请填写在答题纸中相应的位置）1．（5分）设集合A={y|y=2x+1}，全集U=R，则C U A为（）A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，1]考点：补集及其运算．专题：计算题．分析：求出集合A中函数的值域，确定出集合A，由全集U=R，找出不属于A的部分，即可求出A 的补集．解答：解：由集合A中的函数y=2x+1＞1，得到A=[1，+∞），∵全集U=R，∴C U A=（﹣∞，1]．故选D点评：此题考查了补集及其运算，是一道基本题型，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2．（5分）复数i（1+i）所对应的点位于复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：计算题．分析：先进行复数的乘法运算，得到i（1+i）=﹣1+i，再由复数的几何意义得出其对应的复平面中的点的坐标，即可得出复数对应的点所在的象限解答：解：i（1+i）=﹣1+i，它对应的点的坐标是（﹣1，1），位于第二象限故选B点评：本题考查复数乘法运算及复数的几何意义，解题的关键是熟练掌握乘法的运算规则及复数的几何意义3．（5分）二项式展开式中的常数项为（）A．﹣60 B．60 C．240 D．﹣240考点：二项式定理．专题：计算题．分析：在二项式展开式的通项公式中，令x的幂指数等于零，求出r的值，即可求出展开式中的常数项．解答：解：二项式展开式的通项公式为T r+1=••（﹣2）r•x﹣r=•，令=0，可得r=2，故展开式中的常数项为4=60，故选B．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．4．（5分）“”是“”的（）条件．A．充分而不必要B．必要而不充分C．充分必要D．既不充分也不必要考点：充要条件．专题：证明题．分析：根据正弦函数的定义，我们可以判断出“”⇒“”为真命题，而“”⇒“”不成立，进而根据充要条件的定义，即可得到答案．解答：解：当时，成立，故”是“”的充分条件当时，+2kπ，或θ=+2kπ，k∈Z即“”⇒“”不成立；故“”是“”的不必要条件；故“”是“”的充分不必要条件；故选A点评：本题考查的知识点是充要条件，其中熟练掌握正弦函数的定义及函数的周期性是解答本题的关键．5．（5分）实数x，y满足，则不等式组所围成图形的面积为（）A．4B．2C．D．1考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；数形结合．分析：画出约束条件表示的可行域，求出可行域的端点坐标，然后求解不等式组所围成图形的面积．解答：解：实数x，y满足，它表示的可行域为如图：不等式组所围成图形是三角形，三个顶点坐标分别为（1，0），（0，1），（2，1）．所以所围成的图形的面积为：=1．故选D．点评：本题考查简单线性规划的应用，正确画出图形是解答本题的关键，考查计算能力、数形结合思想的应用．6．（5分）（2011•北京）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）A．32 B．16+16C．48 D．16+32考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：根据所给的三视图得到四棱锥的高和底面的长和宽，首先根据高做出斜高，做出对应的侧面的面积，再加上底面的面积，得到四棱锥的表面积．解答：解：由题意知本题是一个高为2，底面是一个长度为4正方形形的四棱锥，过顶点向底面做垂线，垂线段长是2，过底面的中心向长度是4的边做垂线，连接垂足与顶点，得到直角三角形，得到斜高是2∴四个侧面积是底面面积是4×4=16，∴四棱锥的表面积是16+16，故选B．点评：本题考查有三视图求表面积和体积，考查由三视图得到几何图形，考查简单几何体的体积和表面积的做法，本题是一个基础题．7．（5分）已知x0是函数的零点，设x0∈（k，k+1）（k∈Z），则整数k的取值为（）A．0B．1C．2D．3考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：由题意f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3﹣＞0，零点的存在性定理可得函数在区间（2，3）上有零点，进而可得答案．解答：解：由题意得函数的定义域为：（0，+∞），f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3﹣＞0由零点的存在性定理可得函数在区间（2，3）上有零点结合题意可知：整数k的取值为2故选C点评：本题考查函数零点的存在性定理，涉及对数函数的运算，属基础题．8．（5分）已知（n∈N*），数列{a n}前n项的和为S n，则S2013的值为（）A．2013 B．0C．D．考点：数列的求和．专题：计算题．分析：由二倍角公式可得=sin，可周期为3，前三项的和为0，而2013=671×3，可得S2013的值为0．解答：解：由二倍角公式可得=sin由周期公式可得T==3，而=，=，=0，故S2013=a1+a2+a3+…+a2013=671×（a1+a2+a3）=0故选B点评：本题考查数列的求和问题，涉及三角函数的化简以及函数的周期性，属中档题．9．（5分）F1，F2分别为椭圆的左右焦点，点P（x，y）在直线x+y﹣2=0上（x≠2且x≠±1），直线PF1，PF2的斜率分别为k1、k2，则的值为（）A．2B．C．D．﹣2考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先确定椭圆的左右焦点坐标，再表示出斜率，进而计算，利用点P（x，y）在直线x+y﹣2=0上（x≠2且x≠±1），即可求得结论．解答：解：由题意，F1（﹣1，0），F2（1，0）∵直线PF1，PF2的斜率分别为k1、k2，∴==∵点P（x，y）在直线x+y﹣2=0上（x≠2且x≠±1），∴y=2﹣x，∴=2∴=2故选A．点评：本题考查椭圆的几何性质，考查斜率的计算，考查学生的计算能力，属于基础题．10．（5分）如图，数轴上点A对应的数值为﹣4，点B对应的数值为4，点M对应的数值为x（﹣4＜x＜4），现将线段AB弯折成一个边长为2的正方形，使A、B两点重合于点P（P为该边的中点），设线段PM的长度为L，则建立了一个L关于x的映射关系L=L（x），有下列论断：（1）（2）L（x）为偶函数（3）L（x）有3个极值点（4）L（x）在（﹣4，4）上为单调函数．其中正确的个数为（）个．A．1B．2C．3D．4考点：进行简单的演绎推理．专题：压轴题；演绎法．分析：由图形可知（1）通过勾股定理可计算出；（2）因为PM关于经过正方形的边CE、FD的中点所在的直线对称，故是偶函数；（3）由表达式可求出其三个极值点0，﹣1，1；（4）因为（2）正确，所以（4）不正确．解答：解：如图所示：（1）当M为边CD的中点时，由勾股定理得L（2）==，故（1）正确；（2）由图的对称性可看出L（﹣x）=L（x）；（3）当0≤x＜4时，L（﹣x）=L（x）=，可知当x=0时，L（x）取得极小值；当x=±1时，L（x）取得极大值，故有三个极值点．（4）由（2）可知L（x）在区间（﹣4，4）是偶函数，故不是单调函数，所以（4）不正确．故选C．点评：正确画出图形是解决问题的关键．二、填空题（每小题5分，合计25分，请将答案填到答题纸上．其中15题为选做题，若两题都作答，则只按第1题给分）11．（5分）下列式子根据规律排列，在横线上补充缺失的式子，13=12，13+23=（1+2）2，13+23+33=（1+2+3）2，…，13+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2．考点：归纳推理．专题：规律型；等差数列与等比数列．分析：通过观察得出等式的左边是连续自然数的立方和，右边是连续自然数和的平方，由此解决问题．解答：解：由13=12，13+23=（1+2）2，13+23+33=（1+2+3）2，…可知13+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2，故答案为：…，13+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2．点评：此题能够分别观察等式的左边和右边，正确找到左右两边之间的联系，并正确利用结论进行计算是关键．12．（5分）（2012•河南模拟）阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是[﹣2，﹣1]．考点：选择结构．专题：计算题．分析：由程序框图可得分段函数，根据函数的值域，即可确定实数x的取值范围．解答：解：由程序框图可得分段函数：∴令，则x∈[﹣2，﹣1]，满足题意；故答案为：[﹣2，﹣1]点评：本题考查程序框图，解题的关键是读懂框图，写出分段函数，属于基础题．13．（5分）圆x2+y2=π2内的曲线y=﹣sinx与x轴围成的阴影部分区域记为M（如图），随机往圆内投掷一个点A，则点A落在区域M的概率为．考点：定积分的简单应用；几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：先求构成试验的全部区域为圆内的区域的面积，再利用积分知识可得正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域的面积，从而可求概率．解答：解：构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为π3正弦曲线y=﹣sinx与x轴围成的区域记为M，根据图形的对称性得：面积为S=2∫0πsinxdx=﹣2cosx|0π=4，由几何概率的计算公式可得，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率P=故答案为：点评：本题考查利用积分求解曲面的面积，几何概型的计算公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．14．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点为F1，F2，点P在双曲线上，且，△PF1F2的面积为，则双曲线的离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用向量垂直，结合双曲线的定义，△PF1F2的面积，即可求得双曲线的离心率．解答：解：不妨设P在双曲线的右支上，设|PF1|=m，|PF2|=n，则∵，∴∵△PF1F2的面积为，∴∴，∴∴e==故答案为：点评：本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．15．（5分）（1）若不等式|x﹣1|+|x﹣2|＞a恒成立，则实数a的取值范围为（﹣∞，1）；（2）在极坐标下，点到直线的距离．考点：绝对值不等式；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；压轴题．分析：要使不等式|x﹣1|+|x﹣2|＞a恒成立，需f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|的最小值大于a，问题转化为求f （x）的最小值．把极坐标方程化为普通方程，把点A的极坐标化为直角坐标，利用点到直线的距离公式求出点到这条直线的距离．解答：解：（1）设f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|，则有f（x）=，当x＜1时，f（x）＞1；当1≤x≤2时，f（x）有最小值1；当x＞2时，f（x）＞1；综上f（x）有最小值1，所以实数a的取值范围为（﹣∞，1）解：直线的可化为ρsinθ+ρcosθ+2=0，化成直角坐标方程为：x+y+2=0，点可化（0，2），根据点到直线的距离公式d==，故答案为：（﹣∞，1），点评：本题考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想．本题考查把极坐标方程化为普通方程的方法，以及点到直线的距离公式的应用．解答关键是利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．三、解答题（共6小题，合计75分）16．（12分）已知等差数列{a n}和等比数列{b n}中，a1=b1=2，b2=a2+1=，（1）分别求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）求数列的前n项的和S n．考点：微积分基本定理；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）先求，进而根据等差数列{an}和等比数列{b n}的通项公式，即可解出公差和公比，即可求出通项公式．（2）先求出，再利用错位相减法即可求出其和S n．解答：解：（1）∵=4﹣0=4，∴b2=a2+1=4．设等差数列{a n}和等比数列{b n}公差、公比分别为d、q．则2q=2+d+1=4，解得d=1，q=2．∴a n=2+1×（n﹣1）=n+1，．（2）由（1）可得，∴S n=，2S n=2+错位相减得．点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式及利用错位相减法求数列的和，充分理解以上知识和方法是解题的关键．17．（12分）已知，，．锐角△ABC的三内角A、B、C对应的三边分别为a、b、c．满足：f（A）=1．（1）求角A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求边b、c的值．考点：解三角形；平面向量的综合题．专题：计算题；解三角形；平面向量及应用．分析：（1）通过向量的数量积以及两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过f（A）=1．求出A的大小．（2）利用三角形的面积以及余弦定理得到方程组，求解b，c 的值即可．解答：解：（1）因为，，所以=cos2x﹣sin2x，即，∵f（A）=1．∴，∴（6分）（2）a=2，△ABC的面积为，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得4=b2+c2﹣bc，，所以bc=4，解得b=c=2（12分）点评：本题考查两角和的正弦函数的应用，余弦定理以及三角形的面积公式的应用，考查计算能力．18．（12分）日本欲非法将我国领土钓鱼岛及附属岛屿国有化，激起我国民强烈愤慨．某历史老师提出4个有关钓鱼岛的问题让甲同学连续依次作答，并规定：若甲同学连续答错两个问题则停止作答．已知甲同学回答每个问题正确的概率都是，且回答各个问题之间不受影响．（1）求甲同学回答问题没有一个正确的概率；（2）设甲同学回答问题的个数为X，求X的分布列及数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．专题：计算题；概率与统计．分析：（1）求得甲同学回答每个问题不正确的概率，利用概率公式，可求甲同学回答问题没有一个正确的概率；（2）确定X的可能取值，求出相应的概率，即可求X的分布列及数学期望．解答：解：（1）∵甲同学回答每个问题正确的概率都是，∴甲同学回答每个问题不正确的概率都是，∴甲同学回答问题没有一个正确的概率为p==（4分）（2）X的可能取值为2，3，4，则，，，∴X的分布列为X 2 3 4P数学期望为EX=2×+3×+4×=（12分）点评：本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（12分）如图所示，在△ABC中，AC=1，，P为AB的中点，DC⊥平面ABC，EB∥DC，DC=EB=2．（1）求证：AD∥平面PCE；（2）求二面角A﹣CE﹣P的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题；空间角．分析：（1）连接BD交CE于点Q，连接PQ，可得PQ是△ABD的中位线，得PQ∥AD，结合线面平行判定定理可得AD∥平面PCE；（2）过点P作PF⊥AE于F，再过点F作FG⊥EC于G，连接PG．根据线面垂直的判定与性质，可得PG⊥EC，得∠PGF就是二面角A﹣CE﹣P的平面角．Rt△PFG中，算出FG、PG的长，可得cos∠PGF==，即二面角A﹣CE﹣P的余弦值．解答：解：（1）连接BD交CE于点Q，连接PQ∵EB∥DC，DC=EB，∴四边形BCDE是平行四边形，得Q为BD中点由此可得△ABD中，PQ是中位线，可得PQ∥AD∵PQ⊂平面PCE，AD⊄平面PCE，∴AD∥平面PCE；…（6分）（2）过点P作PF⊥AE于F，再过点F作FG⊥EC于G，连接PG∵DC⊥平面ABC，EB∥DC，∴EB⊥平面ABC，结合AC⊂平面ABC，得AC⊥EB∵AC⊥AB，AB∩EB=B，∴AC⊥平面ABE∵PF⊂平面ABE，∴AC⊥PF∵AE⊥PF，AC∩AE=A，∴PF⊥平面ACE∵FG⊥EC，FG是PG在平面ACE内的射影∴PG⊥EC，得∠PGF就是二面角A﹣CE﹣P的平面角∵Rt△ABE中，AB=3，BE=2，P为AB中点，且PF⊥AE∴由△ABE∽△AFP，得PF=同理：由△ACE∽△FGE，得GF=∴Rt△PFG中，PG==因此，cos∠PGF==，即二面角A﹣CE﹣P的余弦值等于．…（12分）点评：本题在特殊多面体中，证明线面平行并且求二面角的余弦值，着重考查了直线与平面平行的判定，二面角的平面角的定义及求法等知识，属于中档题．20．（13分）椭圆（a＞b＞0）的上下焦点分别为F1，F2，在x轴的两端点分别为A，B，四边形F1AF2B是边长为4的正方形．（1）求椭圆方程；（2）过点P（0，3）作直线l交椭圆与M，N两点，且，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由四边形F1AF2B是边长为4的正方形，可得b，c的值，进而可求a值，即可求得椭圆方程；（2）设出直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，及，即可求直线l的方程．解答：解：（1）由题意，b=c=2，∴a2=b2+c2=16，∴椭圆方程为；（2）设直线l的方程为y=kx+3，代入椭圆方程，可得（k2+2）x2+6kx﹣7=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=∵，∴x1=﹣3x2，∴﹣2x2=，﹣3x22=∴∴27k2=7k2+14∴k2=∴k=∴直线l的方程为y=x+3．点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．21．（14分）已知函数f（x）=x2+ax﹣（a+2）lnx﹣2（1）当a=1时，求证：当x≥1时，f（x）≥0．（2）若a＜﹣2，探求f（x）的单调区间．（3）求证：+++…+＞﹣（++）（n≥4，n∈N*）考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；压轴题；导数的综合应用．分析：（1）求导函数，确定f（x）在[1，+∞）为增函数，即可证得结论；（2）求导函数，分类讨论，可得函数的单调区间；（2）先证明，再x分别取2，3，…，n，叠加即可得到结论．解答：（1）证明：∵a=1，x≥1时，，∴f（x）在[1，+∞）为增函数，∴f（x）≥f（1）=0；（2）解：∴a∈（﹣4，﹣2）时，函数的单调增区间为，单调减区间为；a=﹣4，函数的单调增区间为（0+∞）；a＜﹣4时，函数的单调增区间为（0，1），，单调减区间为；（3）证明：由（1）得：当x＞1时，x2+x﹣2＜3lnx，∴∴∴，，，…，∴+++…+＞（1++）﹣（++）=（﹣（++）点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。