第二章流体静力学
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第二章流体静力学
如果叠加的点涡是逆时针方向的，则驻点位置与上面讨论 的情况正好相差 1800 ，即：
1、当 4r0
象限内。在保持
v时 ，驻点A、B左右对称，并落在第一、二
不v变 的情况下，随环量的增加，A、B驻点
向上偏移并逐渐靠近。
2、当 4 r0v 时，两个驻点合为一点，位于圆柱面的最
上端。
3、当 4 r0v 时，圆柱面上已不存在驻点。这表明驻点
v0r 0 cos
90
d 0
式中 为圆的半径r与水
平方向的夹角。
同样可以证明，均匀流中
沿任何其他封闭曲线的速
度环量也等于零。
25
二、汤姆逊（Thomson）定理 流体线：在运动流体中，始终由同样的流体质点所组成 的线叫做流体线。流体线随着流体质点的运动，可在流 动空间位移，变化其大小和形状，但始终由原来的那些 流体质点所组成。
一般情况下，涡线与流线不重 合，而与流线相交。与流线方程类 似，可以得到涡线的微分方程为：
x
dx
x, y
,
z
,
t
y
dy
x, y
,
z
,
t
z
dz
x, y
,
z
,
t
式中，t为参变量。
涡线具有瞬时的特性，不同瞬时，
它有不同的形状，在定常流动中，它的 形状保持不变。
15
2 、涡管、涡束 给定瞬时，在涡量场中任取一封闭曲线（不是涡线），
在速度环量总和的计算中，内周线各微元线段的切向速度线 积分均要计算两次，而两次所取的方向相反，所以这些线段 上的切向速度线积分互相抵消，剩下的只有沿外封闭周线K 各微元线段的切向速度线积分的总和，它正好是沿外封闭周 线的速度环量，故各微元矩形的涡通量的总和就是通过封闭 周线K所包围的单连通区域的涡通量。
1、当 4r0
象限内。在保持
v时 ，驻点A、B左右对称，并落在第一、二
不v变 的情况下，随环量的增加，A、B驻点
向上偏移并逐渐靠近。
2、当 4 r0v 时，两个驻点合为一点，位于圆柱面的最
上端。
3、当 4 r0v 时，圆柱面上已不存在驻点。这表明驻点
v0r 0 cos
90
d 0
式中 为圆的半径r与水
平方向的夹角。
同样可以证明，均匀流中
沿任何其他封闭曲线的速
度环量也等于零。
25
二、汤姆逊（Thomson）定理 流体线：在运动流体中，始终由同样的流体质点所组成 的线叫做流体线。流体线随着流体质点的运动，可在流 动空间位移，变化其大小和形状，但始终由原来的那些 流体质点所组成。
一般情况下，涡线与流线不重 合，而与流线相交。与流线方程类 似，可以得到涡线的微分方程为：
x
dx
x, y
,
z
,
t
y
dy
x, y
,
z
,
t
z
dz
x, y
,
z
,
t
式中，t为参变量。
涡线具有瞬时的特性，不同瞬时，
它有不同的形状，在定常流动中，它的 形状保持不变。
15
2 、涡管、涡束 给定瞬时，在涡量场中任取一封闭曲线（不是涡线），
在速度环量总和的计算中，内周线各微元线段的切向速度线 积分均要计算两次，而两次所取的方向相反，所以这些线段 上的切向速度线积分互相抵消，剩下的只有沿外封闭周线K 各微元线段的切向速度线积分的总和，它正好是沿外封闭周 线的速度环量，故各微元矩形的涡通量的总和就是通过封闭 周线K所包围的单连通区域的涡通量。
第二章流体静力学
A、9:1:10:2 B、相同 C、与形状有关
流体力学
pA pB 2 gh2 3 gh3 1gh1
倾斜式测压计（微压计）
通常用来测量气体压强
pAm 2 gl sin 1 gh1
倾斜管放大了测量距 离，提高了测量精度
流体力学
l h
1
sin
作业：P.63～65 23 26 2 10 2 13
流体力学
小结1
作等压面 被测点 相界面 等高的两点必须在连 通的同一种液体中 沿液柱向上，压强减小 沿液柱向下，压强增大
流体力学
U型管测压计2
U型管测压计特点 测量范围较大 可测量气体压强
pAm 2 gh2 1gh1 2 gh2 可测量真空压强 指示液不能与被测液体掺混
流体力学
差压计
流体力学
x
y
z
j
p y
x
y
z
k
p z
x
y
z
i
p x
j
p y
k
p z
x
y
z
p
x
y
z
流体力学
压强梯度
2.2 静止流体平衡微分方程
静止流体受力平衡
f xyz pxyz 0
静止流体平衡方程－欧拉平衡方程
流体静压强的特性
垂直于作用面，指向流体内部
大小与作用面方位无关，只是作 用点位置的函数
绝对压强、计示压强小结2
液柱式测压计
各种测压计的优缺点 指示液的选取 几个概念 相对静止、等压面
流体力学
pA pB 2 gh2 3 gh3 1gh1
倾斜式测压计（微压计）
通常用来测量气体压强
pAm 2 gl sin 1 gh1
倾斜管放大了测量距 离，提高了测量精度
流体力学
l h
1
sin
作业：P.63～65 23 26 2 10 2 13
流体力学
小结1
作等压面 被测点 相界面 等高的两点必须在连 通的同一种液体中 沿液柱向上，压强减小 沿液柱向下，压强增大
流体力学
U型管测压计2
U型管测压计特点 测量范围较大 可测量气体压强
pAm 2 gh2 1gh1 2 gh2 可测量真空压强 指示液不能与被测液体掺混
流体力学
差压计
流体力学
x
y
z
j
p y
x
y
z
k
p z
x
y
z
i
p x
j
p y
k
p z
x
y
z
p
x
y
z
流体力学
压强梯度
2.2 静止流体平衡微分方程
静止流体受力平衡
f xyz pxyz 0
静止流体平衡方程－欧拉平衡方程
流体静压强的特性
垂直于作用面，指向流体内部
大小与作用面方位无关，只是作 用点位置的函数
绝对压强、计示压强小结2
液柱式测压计
各种测压计的优缺点 指示液的选取 几个概念 相对静止、等压面
第二章 流体静力学
表面力具有传递性
3
工程流体力学
二、静压力的两个重要特性
• 流体静止时，τ=0；只能承受压应力，即 压强，其方向与作用面垂直，并指向流体 内部。
• 特性1（方向性）：平衡流体中的应力 p⊥→受压面。
• 特性2（大小性）：平衡流体内任一点的压 强p与作用方位无关,即 p =f(x,y,z)。
4
工程流体力学
工程流体力学
第二章 流体静力学
流体静力学是研究流体在静止状态下的 力学规律，包括压强的分布规律和固体壁面 所受到的液体总压力。
1
工程流体力学
第一节 流体静压力及其特性
一、流体静压力：
1、总压力P ：静止流体与容器壁之间、内部相邻 两部分流体之间的作用力。单位“牛”
2、静压力：单位面积上的总压力。即压强。
26
工程流体力学
（1）、测压管
测压管是一种最简单的液柱式测压计。为了减少毛细 现象所造成的误差，采用一根内径为10mm左右的直玻璃 管。测量时，将测压管的下端与装有液体的容器连接，上 端开口与大气相通，如图所示。
测压管只适用于测量较小的压强， 一般不超过19.6MPa，相当于 2mH2O。如果被测压强较高，则 需加长测压管的长度，使用就很不 方便。此外，测压管中的工作介质 就是被测容器中的流体，所以测压 管只能用于测量液体的压强。
例2-6、油罐深度测定，如图所示。已知h1=60cm， △h1=25cm， △h2=30cm，油的相对密度d油=0.9。求h2。
解析：这是由三个以上的容器组成的连通器
1、找出共有等压面。n-n , m-m
2、以A点为计算起点，B点为计算终点，
计算路线如图箭头所示。
3、列连通器平衡方程
n
第二章流体静力学
dy → 0, p y = pS 当四面体向A点收缩时，
同理 px = pz = pS
§2.2静力学基本方程（Euler静平衡方程）：
取一个矩形微元六面体，其六个面分别与 坐标轴平行，设微元中心处的压强为 p。 由于 这是个微小体积，因此认为六个面上的压强各 自均匀分布，常用面上中心来做代表。
而面上中心处的压强又可以围绕六面体 中心做Taylor展开。展开式忽略二阶以上 的高阶量，有
1 ⎞ ⎛ p A = p⎜ x + dx ⎟ 2 ⎠ ⎝
p A = p + 0.5(∂p ∂x )dx
p B = p − 0.5(∂p ∂x )dx
这样，垂直于x轴的两个面上的表面力分 别为
[ p + 0.5(∂p ∂x )dx ]dydz [ p − 0.5(∂p ∂x )dx ]dydz
§2.3重力作用下静止流体内部的压强分布 [均匀液体的压强分布] 根据Euler静平衡方程 可以得到：
p = p0 + γh
第一部分是自由面上的压强，第二部分称 为剩余压强。
p = p0 + γh = γ ( p0 γ + h )
这种做法，称为虚水面方法。
[连通器] （ 1 ）同种液体，表面自由压强相等。则两液面 等高，任一等高度的面上均为等压面。 （ 2 ）同种液体，但表面自由压强不等。则自由 压强大者，液面低。 （3）不同液体（不相混）。密度大者液面低。
F = ∫ ρf dV
V
2、表面力——一个流体体积的表面上，受 到其他部分的流体或与之相接的固体的 作用力。这种力，只是作用在体积的表 面上而没有作用到体积内部的流体质点 上。 通常可以把表面力分解为法向的和 切向的分量，分别称为法向力和切向力。 单位面积上则称为法向应力和切应力。
第二章 流体静力学
所以表面abcd的总压力为：( p
p dx )dxdy x 2
同理面aˊbˊcˊd ˊ的总压
p dx 力为： (p )dydz x 2
z
微团在X轴方向的表面
力和为：
(p p dx p dx )dydz ( p )dydz x 2 x 2
p
p dx x 2
位质量流体受到的质量力在水平面x轴和y轴的投影为零， 铅直方向z轴的投影为重力加速度g，根据
则有
dp g dz
dp ( f x dx f y dy f z dz)
积分得
p zc g
液体静止的基本方程
式中：g在本书中取值9.807m/s2；
z为测压处相对于边界条件(基准面)的高差。 c为常数，大小由边界条件确定。
若一个函数W(x,y,z)使质量力的投影等于这个函数的偏
导数，即
W fx x
fy
W y
fz
W z
则称函数W(x,y,z)为质量力势函数。 一个存在质量力势函数的力场，称为有势力场，相应的
质量力称为有势质量力，简称有势力。
等压面性质： • 等压面就是等势面； • 等压面与质量力垂直； •两种互不掺混液体的分界面也是等压面。
等压面:在静止流体内，由静压力相等的各点组成的面
自由面：静止液体和气体接触的面
水平面既是等压面也是自由面
液体静压强分布规律只适用静止、同种、连续液体
同一容器或同一连通器盛有多种不同密度的液体时，关键是找到等 压面
§2-4
液体的相对静止
辩证唯物主义:
①运动是普遍的、永恒的和无条件的，因而是绝
流体力学第二章流体静力学
第二章 流体静力学
❖ 流体静力学研究流体的平衡规律，由平衡条 件求静压强分布规律，并求静水总压力。
❖静止是一个相对概念，指流体相对于地球无 运动的绝对平衡和流体相对于地球运动但质点 之间、质点与容器之间无运动的相对平衡。
❖流体质点之间没有相对运动，意味着粘性将 不起作用，所以流体静力学的讨论不须区分流 体是实际流体或理想流体。
pA mhm a
p1左 pA a p1右 mh
2.5.3水银压差计
即使在连通的 静止流体区域中 任何一点的压强 都不知道，也可 利用流体的平衡 规律，知道其中 任何二点的压 差，这就是比压 计的测量原理。
p1左 pA ( z A hm ) p1右 pB mhm zB
面，自由表面上压强为大气压，则液面
以下 h 处的相对压强为 γh ，所以在
液体指定以后,高度也可度量压强，称 为 液 柱 高 ， 例 如 ： ××m(H2O) ， ××mm(Hg) 等。特别地，将水柱高称 为水头。
p=0 h
ph
98 kN/m2=一个工程大气压=10 m(H2O)=736 mm(Hg)
任意形状平面上的静水总压力大 小，等于受压面面积与其形心点 压强的乘积。
2．静水总压力的方向垂直并指 向受压面
3.总压力P的作用点
根据合力矩定理，对x轴
PyD ydP
yy sin dA sin y2dA
p
1 2
p x
dx
dydz
p
1 2
p x
dx
dydz
X
dxdydz
0
化简得：
X 1 p 0
x
Y，z方向可得：
Y Z
1
1
p y p
0
❖ 流体静力学研究流体的平衡规律，由平衡条 件求静压强分布规律，并求静水总压力。
❖静止是一个相对概念，指流体相对于地球无 运动的绝对平衡和流体相对于地球运动但质点 之间、质点与容器之间无运动的相对平衡。
❖流体质点之间没有相对运动，意味着粘性将 不起作用，所以流体静力学的讨论不须区分流 体是实际流体或理想流体。
pA mhm a
p1左 pA a p1右 mh
2.5.3水银压差计
即使在连通的 静止流体区域中 任何一点的压强 都不知道，也可 利用流体的平衡 规律，知道其中 任何二点的压 差，这就是比压 计的测量原理。
p1左 pA ( z A hm ) p1右 pB mhm zB
面，自由表面上压强为大气压，则液面
以下 h 处的相对压强为 γh ，所以在
液体指定以后,高度也可度量压强，称 为 液 柱 高 ， 例 如 ： ××m(H2O) ， ××mm(Hg) 等。特别地，将水柱高称 为水头。
p=0 h
ph
98 kN/m2=一个工程大气压=10 m(H2O)=736 mm(Hg)
任意形状平面上的静水总压力大 小，等于受压面面积与其形心点 压强的乘积。
2．静水总压力的方向垂直并指 向受压面
3.总压力P的作用点
根据合力矩定理，对x轴
PyD ydP
yy sin dA sin y2dA
p
1 2
p x
dx
dydz
p
1 2
p x
dx
dydz
X
dxdydz
0
化简得：
X 1 p 0
x
Y，z方向可得：
Y Z
1
1
p y p
0
第二章.流体静力学
p0
14
水静力学基本方程：
p p0 gh
结论：重力作用下的均质流体有 1）静水压强随深度按线性规律增加。
A
1 2
A h
h
2）静水压强等于表面压强加上流体的g与该点淹没深度的乘积。
3）自由表面下深度h相等的各点压强均相等——只有重力作用下的 同一连续连通的静止流体的等压面是水平面。(例A—A) 4）推广：已知某点的压强和两点间的深度差，即可求另外一点的 压强值。
三、面积力
1、面积力（Surface Force）：又称表面力，是相邻流体或其它物体 在隔离体表面上的直接施加的接触力。它的大小与作用面面 积成正比。 表面力按作用方向可分为：
5
压力：垂直于作用面。
切力：平行于作用面。
2、应力：单位面积上的表面力，单位： N/m2 或 Pa
压应力 切应力
p lim P A0 A
c.真空（Vacuum）：是指绝对压强小于一个大气压的受压状态。 真空值pv
P
1
pν pa pabs
真空高度
( pabs pa )
0'
p1
p2
pabs1
0' 相对压强基准
2
hv
pv g
pa pabs g
pa
0
pabs2
绝对压强基准 0
注意：计算时无特殊说明时均采用相对压强计算。
pn py F
A
B
px O pz
D
C
x
类似地有：
y
n为斜面ABC的法线方向
质量力：
px p y pz pn
故与作用面的方位无关。
由∑X=0
第二章-流体静力学
第⼆章-流体静⼒学⼀、学习导引1、流体静⽌的⼀般⽅程（1）流体静⽌微分⽅程x p f x ??=ρ1，y p f y ??=ρ1，zpf z ??=ρ1 （2）压强微分)(dz f dy f dx f dp z y x ++=ρ（3）等压⾯微分⽅程0=++dz f dy f dx f z y x2、液体的压强分布重⼒场中，液体的位置⽔头与压强⽔头之和等于常数，即C pz =+γ如果液⾯的压强为0p ，则液⾯下深度为h 处的压强为h p p γ+=03、固体壁⾯受到的静⽌液体的总压⼒物体受到的⼤⽓压的合⼒为0。
计算静⽌液体对物⾯的总压⼒时，只需考虑⼤⽓压强的作⽤。
（1）平⾯壁总压⼒：A h P c γ= 压⼒中⼼Ay J y y c cc D += 式中，坐标y 从液⾯起算；下标D 表⽰合⼒作⽤点；C 表⽰形⼼。
（2）曲⾯壁总压⼒：222z y x F F F F ++=分⼒：x xc x A h F γ=，y yc y A h F γ=，V F z γ=4、难点分析（1）连通器内不同液体的压强传递流体静⼒学基本⽅程式的两种表达形式为C pz =+γ和h p p γ+=0。
需要注意的是这两个公式只适⽤于同⼀液体，如果连通器⾥⾯由若⼲种液体，则要注意不同液体之间的压强传递关系。
（2）平⾯壁的压⼒中⼼压⼒中⼼的坐标可按式Ay J y y c cc D +=计算，⾯积惯性矩c J 可查表，计算⼀般较为复杂。
求压⼒中⼼的⽬的是求合⼒矩，如果⽤积分法，计算往往还简便些。
（3）复杂曲⾯的压⼒体压⼒体是这样⼀部分空间体积：即以受压曲⾯为底，过受压曲⾯的周界，向相对压强为零的⾯或其延伸⾯引铅垂投影线，并以这种投影线在相对压强为零的⾯或其延伸⾯上的投影⾯为顶所围成的空间体积。
压⼒体内不⼀定有液体。
正确绘制压⼒体，可以很⽅便地算出铅垂⽅向的总压⼒。
（4）旋转容器内液体的相对静⽌液体随容器作等⾓速度旋转时，压强分布及⾃由⾯的⽅程式为c z gr p +-=)2(22ωγc gr z +=2220ω恰当地选取坐标原点，可以使上述表达式简化。
流体力学(流体静力学)
f (x)
f (x0 )
f (x0 )(!
)
(
x
x0
)
2
f
(n) (x0 n!
)
(x
x0
)n
按泰勒级数展开，把M、N点旳静压强写成
p 1
1 p
pM
p [(x dx) x] x 2
p 2
dx x
p 1
1 p
pN
p
[(x x
dx) x] 2
p
2
dx x
其中 p 为压力在x方向旳变化率。因为微元体旳面积取得足够小，
p1 p2
证明：从静止状态旳流体中引入直角坐标系中二维流体微元来
阐明。
设 y 方向宽度为1。ds 即表达任意方向微元表面。
分析 z 方向旳力平衡
表面力：
p1dscosθ=p1dx和p2dx两个力 二维流体微元旳体积：
z
dV 1 dxdz 2
质量力：
p1ds
ds dz x
θ dx
p3dz
y
Fz
1 2
dp ＝ρ1dU dp ＝ρ2dU 因为ρ1≠ρ2 且都不等于零，所以只有当dp和dU均为零时方程 式才干成立。所以其分界面必为等压面或等势面。
§2－4 流体静力学基本方程
重力作用下压力分布 相对平衡液体旳压力分布
§2—4 流体静力学基本方程
一、重力作用下压强分布
如图所示为一开口容器，其中盛有密度为ρ旳静止旳均匀液体 ，液体所受旳质量力只有重力，又ρ＝常数，重度γ＝ρg也为常数。 单位质量力在各坐标轴上旳分量为
（1）
Z 1 p 0
z
上式称为流体平衡微分方程式，它是 Euler在1755年首先提出 旳，故又称欧拉平衡方程式。它表达流体在质量力和表面力作用下 旳平衡条件。
第二章流体静力学
当四面体的体积趋于零时，可证得px= py=pz=pn
即
p=p(x,y,z)
§2-2 流体的平衡微分方程及积分
一、流体的平衡微分方程
在平衡流体中取如图所示微小正交六面体。分析六面
体在x、y、z方向所受外力，列平衡方程，整理化简得
fx
1
p x
0
fy
1
p y
0
1 p
fz z 0
上式也可用矢量方程表示：
虚压力体：压力体和液体在受压曲面的异侧， Pz向上。
A
A
B
B
例4：试绘制图中abc曲面上的压力体。如已知曲面abc为半圆 柱面，宽度为1m，d=3m，试求abc柱面所受静水压力的水平分 力Px和竖直分力Pz 。
a
d d/2
b 水
水 c
[解] 因abc曲面左右两侧均有水的作用，故应分别考虑。
考虑左侧水的作用
故得欧拉平衡微分方程综合式（即全微分形式）
dp ( f xdx f ydy f z dz)
四.等压面
1.定义： p=C或dp=0的平面或曲面。
2.等压面微分方程
f xdx f y dy f z dz 0
或
f•
ds
0
3.等压面的性质
(1)等压面与等势面重合;
(2)等压面恒与质量力正交。
其作用点为通过体积重心所引出的水平线与受压面的交点D。 当相对压强分布图为三角形时，D点位于自由液面下(2h)/3处。
对于相对压强分布图为梯形情况，可将其分解成三角形和矩 形两部分进行计算后，最后利用合力矩定理求总压力作用点。
例3.铅垂放置的矩形平板闸门，面板后布置三根横梁,各横梁受 力相等,已知闸门上游水头H=4m，试求： （1）每根横梁所受静水总压力的大小； （2）各横梁至水面的距离。
流体力学--第二章流体静力学
1 Px p x dydz 2
1 Py p y dxdz 2
1 P p dA Pz pz dydx 2 Y 设 X 、 、Z 分别为沿三个坐标轴方向上的单位
质量力，则沿三个方向上的质量力分别为：
1 1 1 Fx X dxdydz Fy Y dxdydz Fz Z dxdydz 6 6 6
Fx 0, p x
其中
1 dA cos(n, x) dydz 2 1 dA cos(n, y ) dzdx 2 1 dA cos(n, z ) dydx 2
px p y pz p
结论
由于斜平面ABC的方位是任意的，上式即证明 了在同一点处各个方向上的静压强值是相等 的。
pn
静压强
p
α
pt
图2－2
切向压强
假 设： 在静止流体中，流体静压强方向不与作用面 相垂直，与作用面的切线方向成α角 则存在
切向压强pt
法向压强pn
流体流动
与假设静止流体相矛盾
A
B
C
D
E
F
（2）静压强的各向等值性：静止流体内任意一点处 沿各个方向上的静压强大小相等，即
px p y pz p
dA
dAz
dAx
b
z
dA
微小面积上的微压力
dP ghdA
水平总压力
分解
dPx dp cos ghdA cos
dPz dp sin ghdA sin
Px dPx ghdA cos g hdAx ghC Ax
2 2
y
o
A g
x
1 Py p y dxdz 2
1 P p dA Pz pz dydx 2 Y 设 X 、 、Z 分别为沿三个坐标轴方向上的单位
质量力，则沿三个方向上的质量力分别为：
1 1 1 Fx X dxdydz Fy Y dxdydz Fz Z dxdydz 6 6 6
Fx 0, p x
其中
1 dA cos(n, x) dydz 2 1 dA cos(n, y ) dzdx 2 1 dA cos(n, z ) dydx 2
px p y pz p
结论
由于斜平面ABC的方位是任意的，上式即证明 了在同一点处各个方向上的静压强值是相等 的。
pn
静压强
p
α
pt
图2－2
切向压强
假 设： 在静止流体中，流体静压强方向不与作用面 相垂直，与作用面的切线方向成α角 则存在
切向压强pt
法向压强pn
流体流动
与假设静止流体相矛盾
A
B
C
D
E
F
（2）静压强的各向等值性：静止流体内任意一点处 沿各个方向上的静压强大小相等，即
px p y pz p
dA
dAz
dAx
b
z
dA
微小面积上的微压力
dP ghdA
水平总压力
分解
dPx dp cos ghdA cos
dPz dp sin ghdA sin
Px dPx ghdA cos g hdAx ghC Ax
2 2
y
o
A g
x
流体力学第二章流体静力学
2.2.2 流体平衡微分方程的积分
各式分别乘以dx、dy、dz然后相加
dp ( Xdx Ydy Zdz ) 流体平衡微分方程的综合式
静压强的分布规律完全由单位质量力决定
p gz c
由边界条件确定积分常数c，可得：
p c z g g p z C g
一封闭水箱，自由表上 面气体绝对压强
2 p 0为78kN/m ， 求 液 面 下 淹 没 深 度 h为 1.5m
处 点 C的 绝 对 静 水 压 强 ， 相对 静 水 压 强 和 真 空 度 。
解：p
abs
p 0 γ w h 78 9.8 1.5
92.7kN/m
2
pr pa b s pa t
静止流体中等压面是水平面。但静止流体中的水平面不一定 都是等压面，静止流体中水平面是等压面必须同时满足静止、同 种流体且相互连通的条件，三个条件缺一不可。
2.3.3 流体静力学基本方程的意义
•
在静水压强分布公式 z p C 中，各项都为长度量纲。
位置水头（水头） ： Z 位置势能（位能）： Z
法向应力沿内法线方向，即受压的方向
（流体不能受拉），即：流体静压强的方 向总是垂直指向受压面。
•
静压强的大小与作用面的方向无关
在静止流体中取出以M 为顶点的四面体流体微元，它受到的
质量力和表面力必是平衡的，以 y 方向为例，写出平衡方程。
p y d Ay pn d An cos(n, y) Y d V 0
时，注意到质量力比起表面 力为高阶无穷小，即得 pn=py，同理有 pn=px，pn=pz
o
z
py
dz
px pn
第二章 流体静力学
2、作用于六面体的质量力 x轴向
X dxdydz
x轴向的平衡 1 p 1 p (p dx)dydz ( p dx)dydz X dxdydz 0 2 x 2 x
X
p 0 x
同理
p Y 0 y p Z 0 z
流体平衡微分方程式 （欧拉平衡方程）
第二节 流体静压强的分布规律
三、气体压强计算
前述规律，虽然是在液体的基础上提出来的，但对于不可 压缩气体仍然适用。 由于气体密度很小的特点，在高差不是很大的情况下，气 柱产生的压强很小，因而可以忽略ρg h的影响，即 p= p0 上式表明空间各点气体压强相等，例如液体容器、测压管、 锅炉等上部的气体空间，就认为各点的压强是相等的。
第一节 流体静压强及其特性
二、流体静压强的特性
（1）静压强的垂向性。 流体静压强总是沿着作用面 的内法线方向。 （2）静压强的各向等值性。 在静止或相对静止的流体中，任一点的流体静压强的大小与 作用面的方向无关，只与该点的位置有关，即同一点上各个 方向的流体静压强大小相等。
第一节 流体静压强及其特性
第七节 液体平衡微分方程
p 0 x p Y 0 y p Z 0 z
X
指出流体处于平衡状态时，作用于 流体上的质量力与压强递增率之间 的关系。它表示单位体积质量力在 某一轴的分力，与压强沿该轴的递 增率相平衡。
1 p x 1 p Y y 1 p Z z X
水头。 p Z ：测压管水面相对于基准面的高度，测压管水头。 g
所谓测压管是一端和大气相通，另一端和液体中某一点相 接的管子。 两水头相加等于常数，表示在同一容器的静止液体中所有 各点的测压管水面必然在同一水平面上。
第二节 流体静压强的分布规律
X dxdydz
x轴向的平衡 1 p 1 p (p dx)dydz ( p dx)dydz X dxdydz 0 2 x 2 x
X
p 0 x
同理
p Y 0 y p Z 0 z
流体平衡微分方程式 （欧拉平衡方程）
第二节 流体静压强的分布规律
三、气体压强计算
前述规律，虽然是在液体的基础上提出来的，但对于不可 压缩气体仍然适用。 由于气体密度很小的特点，在高差不是很大的情况下，气 柱产生的压强很小，因而可以忽略ρg h的影响，即 p= p0 上式表明空间各点气体压强相等，例如液体容器、测压管、 锅炉等上部的气体空间，就认为各点的压强是相等的。
第一节 流体静压强及其特性
二、流体静压强的特性
（1）静压强的垂向性。 流体静压强总是沿着作用面 的内法线方向。 （2）静压强的各向等值性。 在静止或相对静止的流体中，任一点的流体静压强的大小与 作用面的方向无关，只与该点的位置有关，即同一点上各个 方向的流体静压强大小相等。
第一节 流体静压强及其特性
第七节 液体平衡微分方程
p 0 x p Y 0 y p Z 0 z
X
指出流体处于平衡状态时，作用于 流体上的质量力与压强递增率之间 的关系。它表示单位体积质量力在 某一轴的分力，与压强沿该轴的递 增率相平衡。
1 p x 1 p Y y 1 p Z z X
水头。 p Z ：测压管水面相对于基准面的高度，测压管水头。 g
所谓测压管是一端和大气相通，另一端和液体中某一点相 接的管子。 两水头相加等于常数，表示在同一容器的静止液体中所有 各点的测压管水面必然在同一水平面上。
第二节 流体静压强的分布规律
第二章—流体静力学
单位换算关系
应力单位法 液柱高度法 液柱高度法
大气压倍数法 大气压倍数法
帕
pa
1pa=1N/m2
米水柱
1mH2O=9.8103pa
mH2O
毫米汞柱
1mmHg=13.6mmH2O
mmHg =133.3pa
标准大气压
1atm=10.3323mH2O=
atm 760mmHg=101325pa 工程大气压 at 1at=10mH2O=735.6
作业
附加例： 静止大气的压强分布 国际标准大气 Z
dp ( fxdx f ydy fzdz)
dp gdz
O
对流层的压强分布
T T0 z
T0 288K 0.0065K / m
p RT
p dp
g z dz
p p0
R 0 T0 z
p
(1
g
z) R
(1
z
)5.2565
p0
T0
exp
g R T1
(z
z1 )
exp(
z
11000) 6336
六. 静止液体作用在平面壁和曲面 壁上的总压力
o
hD hc P h a
c
D
力三要素？
b
a
c
y
大小， 方向，
y
b
D dA
yc
x
作用点（压
y’
yD
力中心）
x’
P dP pdA ghdA (gysin)dA = pcA
A
A
A
PA-PB= 2 g(z2-z1+z4-z3) - 1 g(z2-z3)= P1-P4
A、B中为液体时： P1 = PA +A g(zA-z1)
第二章流体静力学流体力学
Pn Pn
cos(n, cos(n,
x) y)
Fx Fy
0 0
（2—2）
Pz
Pn
cos(n,
z)
Fz
0
x方向受力分析:表面力：
Px
px
1 dydz 2
Pn
cos(n, x)
pn
1 dydz 2
（2—3）
n为斜面ABC的法线方向质量力： Fx X dxdydz / 6 （2-4）
对压强的负值时，如（图2—10）。
真空值 p pa pabs ( pabs pa )
h 真空高度 v
pv
pa pabs
( pabs pa ) （2—20）
（2—18）
pabs hv pa
图2—10真空高度
hv
pa
pabs
g
pv
g
（2—19）
（二）压强的单位及其换算
1.国际单位制：国际单位制中压强的单位主要有pa（或 atm）、Pa（或N/m2）、Kpa（或kN/m2）、Mpa等。
（
, , p p p
x y z
）等于该方向上单位体积内的质量力的分
量 （ X 、Y 、Z ）。
二、平衡微分方程的全微分式
为对式(2—9)进行积分，将各分式分别乘以 dx、dy 、dz
然后相加，得（2-10）
p dx p dy p dz (Xdx Ydy Zdz)
x y z
压强p p(x, y, z)是坐标的连续函数，由全微分定理，
体的交界面等。
第三节 重力场中流体静压强的分布规律
一、液体静力学的基本方程 1.基本方程的两种表达式 在同一种均质的静止液体中，
任意点的静压强，与其淹没深度 成正比，与液体的重度成正比， 且任一点的静压强的变化，将等 值地传递到液体的其它各点
第二章 流体静力学
1 1 p x dydz pn dSn cos(n, x) f x dxdydz 0 2 6 1 化简得
p x pn
p x pn
6
f x dx 0
同理，在y和z方向得到
p y pn
p z pn
p x p y p z pn
说明： （1）静止流体中不同点的压强一般是不等的，同一点的各 向静压强大小相等。 （2）运动状态下的实际流体，流体层间若有相对运动，则 由于粘性会产生切应力，这时同一点上各向法应力不再相等。 （3）运动流体是理想流体时，由于不会产生切应力，所以 理想流体动压强呈静压强分布特性，即
1标准大气压(atm)=101337 Pa=10.33mH2O=760mmHg
1工程大气压(at)=98100 Pa=10mH2O=735mmHg
各种压力单位的换算关系
标准大压 帕(Pa) 米水柱 毫米水银 柱 mmHg
760 750.06 735.58
atm
1 0.9869 0.9679
N/m2
p p0 (ax gz)
等压面方程： 自由液面方程：
ax gz c
ax gz 0
二、等角速度旋转容器中液体的平衡
流体对平面的作用力
dF pdA ( p0 gh)dA p0 dA gy sin dA
F dF ( p0 gy sin )dA
1 p 0 x
fx
同理， f 1 p 0 y
y
fz
1 p 0 z
1 p fx 0 x 1 p fy 0 dp ( f x dx f y dy f z dz) y 1 p fz 0 z
p x pn
p x pn
6
f x dx 0
同理，在y和z方向得到
p y pn
p z pn
p x p y p z pn
说明： （1）静止流体中不同点的压强一般是不等的，同一点的各 向静压强大小相等。 （2）运动状态下的实际流体，流体层间若有相对运动，则 由于粘性会产生切应力，这时同一点上各向法应力不再相等。 （3）运动流体是理想流体时，由于不会产生切应力，所以 理想流体动压强呈静压强分布特性，即
1标准大气压(atm)=101337 Pa=10.33mH2O=760mmHg
1工程大气压(at)=98100 Pa=10mH2O=735mmHg
各种压力单位的换算关系
标准大压 帕(Pa) 米水柱 毫米水银 柱 mmHg
760 750.06 735.58
atm
1 0.9869 0.9679
N/m2
p p0 (ax gz)
等压面方程： 自由液面方程：
ax gz c
ax gz 0
二、等角速度旋转容器中液体的平衡
流体对平面的作用力
dF pdA ( p0 gh)dA p0 dA gy sin dA
F dF ( p0 gy sin )dA
1 p 0 x
fx
同理， f 1 p 0 y
y
fz
1 p 0 z
1 p fx 0 x 1 p fy 0 dp ( f x dx f y dy f z dz) y 1 p fz 0 z
流体力学第二章流体静力学.
第二章流体静力学流体静力学研究流体在静止状态下的力学规律。
由于静止状态下，流体只存在压应力，简称压强，因此，流体静力学这一章以压强为中心，阐述静压强的特性，静压强的分布规律，以及作用面上总压力的计算。
1静止流体中应力的特性2流体平衡微分方程3重力场中流体静压强的分布规律4流体的相对平衡5液体作用在平面上的总压力6液体作用在曲面上的总压特性一：应力的方向沿作用面的内法线方 向。
特性二：静压强的大小与作用面方位无关。
1 •欧拉方程2.全微分方程自然界常见的质量力是重力，因此，在 流体平衡一般规律的基础上，研究重力作用下流-丄空=()p dx丄丝=0 p Z -丄空二 P dz体静压强的分布规律，更有实用意义。
等压而:压强相等的空间点构成的而性质：Ho基本方程：1卩=Po + pghpg气体压强的分布1・对流层、50256zp = 101 .3 1 --- - KPaI 44300 丿2.同温层<11000 一p = 22 .6 exp ----------6334 丿压强的度量1・绝对压强和相对压强绝对压强以无气体分子存在的完全真空为基准起算的压强。
相对压强是以当地大气压为基准起算的压强。
P = Pabs一P2 •真空度当绝对压强小于当地大气压，相对压强便是负值，又称负压，这种状态用真空度来度量。
［例2・1］立置在水池中的密封罩（如图2・6）所示，求罩内A、B、C三点的压强。
1・测压管高度、测压管水头Z 称为位置高度或位置水头。
称为测压管高度或压强水头。
"嬴称为测压管水头。
2 •真空高度pg［例2・2］密闭容器（图2-9）,侧壁上方装有U形管水银测压计，读值hP=20cm。
试求安装在水面下3.5m处的压力表读值。
［例2・3］用U形管水银压差计测量水管A、B 两点的压强差（图2-10） o已知两测点的高差△ z=0.4m,压差计的读值hP = 0.2 m o 试求A、B两点的压强差和测压管水头差。
工程流体力学 第二章流体静力学
工程流体力学
第二章 流体静力学
地球 惯性系 平衡或静止 非惯性系 相对平衡或相对静止
二、静压强的两个特性
1．静压强方向永远沿着作用面内法线方向（“内”—指向作用面；“法 线”—垂直作用面）。
❖ 证明：（反证法）如图，取静止流体中任意隔离体。设切割面上任一 点 m 处受力F为任意方向。则 F一定可分解为垂直于作用面的法向分 力 Fn 和平行于作用面的切向分力Fτ。
略去二阶以上高阶小量后，得：
p1
p
1 2
p x
dx
p2
p
1 2
p x
dx
3. 导出关系：
根据流体平衡的充要条件，静止流体所受的所有外力在各
个坐标轴方向上的投影之和为零，即 Fi 0 。以x方向为
例：
fx d x d y d z ( p 1 2 p x d x ) d y d z ( p 1 2 p x d x ) d y d z 0
若存在垂直于作用 面的法向作用力 Fn ，由流体不能 承受拉力的性质可 知：垂向作用力Fn 只能为压力。
F
Fn
Fτ
2 垂向作用Fn指向作用面。
m
图2-1 静止流体中的单元体
2．静止流体中任何一点上各个方向的静压强大小相等，与作用面方位无关。 即静压力各向等值。只是坐标点的连续可微函数。
一 般 流 体 力微 学元 证分 明析 思法 路
若存在平行于作用
面的切向作用力
Fτ ：流体在切向
F
力作用下必然发生
流动，这与流体静 止的前提条件相悖。
Fn
Fτ
m
1 静止流体不能承受剪切作用力Fτ
图2-1 静止流体中的单元体
二、静压强的两个特性
第二章 流体静力学
地球 惯性系 平衡或静止 非惯性系 相对平衡或相对静止
二、静压强的两个特性
1．静压强方向永远沿着作用面内法线方向（“内”—指向作用面；“法 线”—垂直作用面）。
❖ 证明：（反证法）如图，取静止流体中任意隔离体。设切割面上任一 点 m 处受力F为任意方向。则 F一定可分解为垂直于作用面的法向分 力 Fn 和平行于作用面的切向分力Fτ。
略去二阶以上高阶小量后，得：
p1
p
1 2
p x
dx
p2
p
1 2
p x
dx
3. 导出关系：
根据流体平衡的充要条件，静止流体所受的所有外力在各
个坐标轴方向上的投影之和为零，即 Fi 0 。以x方向为
例：
fx d x d y d z ( p 1 2 p x d x ) d y d z ( p 1 2 p x d x ) d y d z 0
若存在垂直于作用 面的法向作用力 Fn ，由流体不能 承受拉力的性质可 知：垂向作用力Fn 只能为压力。
F
Fn
Fτ
2 垂向作用Fn指向作用面。
m
图2-1 静止流体中的单元体
2．静止流体中任何一点上各个方向的静压强大小相等，与作用面方位无关。 即静压力各向等值。只是坐标点的连续可微函数。
一 般 流 体 力微 学元 证分 明析 思法 路
若存在平行于作用
面的切向作用力
Fτ ：流体在切向
F
力作用下必然发生
流动，这与流体静 止的前提条件相悖。
Fn
Fτ
m
1 静止流体不能承受剪切作用力Fτ
图2-1 静止流体中的单元体
二、静压强的两个特性
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p p0 h
2016/1/29
2016/1/29
流体静力学方程式的另一种形式
如图为一水箱，水面压力为po ，水 中任意两点1、2到某基准面0—0的 高度为zl、z2，压力为p1，p2，将水 中的深度改为高度差后得
式子两端同除以γ
p2 p0 ( z0 z2 )
z1
p1
2.4 液体测压计工作原理
2.4.1 测压管 直接用同种液柱高度来测量液体压强的仪器。玻璃管直 径d=5-10mm，如图2-8所示. 例题2-4：
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解 取1-1水平面，该面为等压面，从侧面管液面高度可知液体平衡条件为
p0 pa r ( H h)
可解出
p0 p a 107.91 103 98100 H h 0.5 1.5(m2 H 2 O) r 9810
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2)微压计 当测量微小的流体压力时，可采用倾斜微压计，以减少误差。 如图为其构造。 S1：圆形玻璃容器断面积 S2：细管断面积。 指示液体为酒精 被测对象为气体 则有 绝对压力 p pa ' (h h) 相对压力 p ' (h h) S2 由 得
S1 S S p ' (l sin 2 l ) ' l (sin 2 )
由于
S1h S 2l , h
S1
l , h l sin
S2 1 S 2 S1 , 一般为 S1 200 p ' l sin
S1 故可忽略，则有
2016/1/29
压强的表示
若自由面的压强为大气压强pa，即 p0=pa,
(1)绝对压强 绝对压强一般用p表示，是指以绝对真空为零点而计量的压强。 P=Pa+rh=Pa+P表 (2)相对压强 相对压强一般用PM表示，是指以一个大气压状态为零点而计量的压强。 PM =P-Pa=rh (3)真空度 当相对压强是负值，此时绝对压强不足于大气压的差值称为真空度。 用符号pv表示 pv=pa-P绝=rhy=P表
2016/1/29
应用流体静压强基本计算式（2-6），
流体静压力的传递(帕斯卡等压传动原理) 连通器内流体是静止的，压力处处相等，则有： F1 F2 A2 ∴ p F2 PA2 F1 A A 1 2 A1 力的放大作用
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第三节 静止液体对壁面的总压力
在工程实际中，如在确定挡水堤坝、路基、桥墩、闸门及其他水工设施的结构尺寸和 强度时，不仅要知道建筑物任意点的压力的大小和分布，而且也要知道建筑物的总压力 的大小、方向和作用点。 概括起来，固体表面受力可分为作用在平面上的力和作用在曲面上的力两种。本章只
2016/1/29
2.4.3 U形管差压计
U 形 管 压 差 计
2016/1/29
举例 如果U形管的另一端与另一个对象相接，就能在U形 管上显示出被测对象的压力差，则
p1 h1 p2 h2 g h3
p1 p2 g h3 (h1 h2 )
2016/1/29
p z — 单位重量液体具有的势能
p— 单位重量液体具有的压能
说明：静止液体中各点的测压总管高度相等，即静止液体中任 意一点的单位重量液体所具有的总能量(势能)相等
z1
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p1
z2
p2
H
第二节 流体静压力的度量 1、压力的测量基准 1）绝对压力pj:以绝对真空为基准测得的压 p j pa p 力。 2）相对压力p:以大气压力为基准测得的压 力。 3）真空度pz:绝对压力小于大气压时，大气 压与绝对压力的差值（负压绝对值）
绝对压强：p p a rh 98100 9810 2 98100 19620 117720 (N / m2 ) 1.2(工程大气压 ) 相对压强：p
M
rh 9810 2 19620 ( N / m 2 ) 0.2(工程大气压）
例2-3若水泵吸水管中某点的绝对压强为P=40000 N/m2，
整理
p A r2 h2 r1h1 .......... .......... (2 13) p A r2 h2 .......... .......... .......... (2 14)
如果测量气体压强，由于气体重度r1远小于液体重度r2， 则容器内A点流体表压强近似地等于：公式（2-14）。
介绍作用在平面上的作用力。
一、作用在平面上的总压力 在自由表面压力为P0的静止液体中斜放一平板，并知该平板于水平面的交角为θ。根据 水静力学基本方程式知，平板上各点所受的静水压力因水的深度不同而不同。因此求总
压力必须积分。
2016/1/29
图2-16 平面总压力
设平板的边界为任意形状。在此板上取一微小的面积ds，因面积ds极 小，以作用在ds上的静水压力可视为相等的。作用在ds的总压力dF为：
r 酒精=7850N/m3 ， r 水银=133416N/m3
p3 p2 r酒精h3
pB p4 r（h 水 5 h4 )
p4 p3 r水银h4
r 水土保持9810N/m3
解 根据等压面特性，在图中定出1-1、
p A pB r水(h5 h4 ) r水银 (h2 h4 ) r酒精h3 r水h1 pB ) p r水h1 2-2、 3-3 A 7850 2 r酒精h3 r水银h4 r水(h5 h4 ) 9810 (0.4 0.25) 133416 (0 .25 等压面。 0 .2 r水银 0.h 25 9810 0.5 55426 ( N / m2 )
解：一个工程气压为
Pa 98100 N / m 2， 由相应的水柱高为 h水 h水银
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98100 10000 (m m H2 o} 9810 p 98100 a 735.3(m m Hg ) r水银 133416
pa r水
例2-2 求淡水自由液面下2米尝试处的压强。
p1 h1 p2 h2 g h3
p1 p2 g h3 (h1 h2 )
2016/1/29
(2)微压计 当测量微小的流体压力时，如仍用前面所讲的压差 计，则误差 较大，一般 可采用倾斜 微压计，构 造如图2所 示。
另一种测量微小压差的微压计如图3所示。
pz p＝pa p j
2016/1/29
2016/1/29
2、 压力的度量单位 (1)应力单位 用单位面积上的力表示。单位为Pa(N/m2)或kPa。 (2)液柱高度 常用水柱(mH2O)和水银高度(mmHg)表示压力的大小。 (3)大气压力 标准大气压(atm)是在北纬45º海平面上、温度为15º时测 定的大气压数值 大气压力与前两种单位的关系是： 1标准大气压(atm)=101337 Pa=10.33mH2O=760mmHg 1工程大气压(at)=98100 Pa=10mH2O=735mmHg 1mH2O=9.81kP 1mmHg=133.3Pa
第二章
流体静力学基础
流体静力学：研究流体静止状态和相对静止状态下的平衡规律及其在工程上的应 用的科学。 静止状态及相对静止状态 (平衡状态或相对平衡状态)：流体质点与质点间没有相 对运动，流体黏性不起作用。
流体静力学研究：流体平衡时，内部的压力分布规律；与其它物体间的相互作用 力。
第一节
流体静压力
一、流体静压力及其特征 F 1、流体静压力 p 流体静止时单位面积上所受的法向作用力。 Pa A 2、流体静压力的特征 第一特征 流体静压力垂直指向作用面(内法线方向)。 这一特征可以用反证法来证明。 第二特征：静止流体中任意一点各方向的静压力均相等，与作用方向无关。 二、流体静力学基本方程
试用相对压强和真空度计量。 解
相对压强：p 真空度：p
v
M
p pa 40000 98100 58100 ( N / m2 )
pa p绝 98100 40000 58100 ( N / m2 )
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根据基本方程 或p=rh,以及静水压强的特性一，可用有向线 段来表示静水压强的大小和方向，使静水压强分布形象化，也便于总压力的 计算。如图（2-6） p p0 h
同理，亦可根据书籍测压管液面标高的标尺读数H值，反求容器内液面 的表压P0值。 2.4.2 U形管测压计 “U”型管测压计管： 管径不小于5mm的玻璃管。
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管式测压计 测压管：直径不小于5mm， 根据流体静压力基本方程可知容器内的压强为
PA p B r1 h1 p B pC PC r2 h2
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3、液柱式测压计 等压面：静止液体中压力相等的各点组成 的面。 等压面的条件：静止、同种、连续。 (1)管式测压计 “U”型管测压计管：管径不小于5mm的玻璃管。
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管式测压计 测压管：直径不小于5mm，减少毛细管现象 举例 被测压力较小时
pc p0 h
dF p ds ( p0 rh ) ds.......... .......... .......... ....(2 24) 式中 ........ P _ 作用在某些方面 ds上的静水压力 ； .......... ..... h _ ds重心上的水深 ，h y sin a。 对上式进行积分 ， 便可得出作用在面积 S上的总压力P： F
2.3.4 静水压强图示
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2.3.5 测压管高度和测压管水头
设一封闭容器（图2-7）液面压强为P0。若在器壁任一点A处开一孔， 连一弯曲向上顶端开口的玻璃管，称为测压管。A点相对压强PA的作用 下，液体将沿测压管升至 hA高度。 p rh