2019届中考数学复习专项一选择、填空题专项一、二次函数的图像与性质练习
中考数学专题练习二次函数的性质(含解析)
2019中考数学专题练习-二次函数的性质（含解析）一、单选题1.对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A. 开口向下B. 对称轴是x=﹣1 C. 顶点坐标是（1，2） D. 与x轴有两个交点2.抛物线上部分点坐标如表所示，下列说法错误的是（）A. 抛物线与y轴的交点为(0，6)B. 抛物线的对称轴是在y轴的右侧；C. 抛物线一定经过点(3 ，0)D. 在对称轴左侧， y随x增大而减小．3.二次函数y=3x2+1和y=3（x﹣1）2 ，以下说法：①它们的图象都是开口向上；②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点（0，0）；③当x＞0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；④它们的开口的大小是一样的．其中正确的说法有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4.二次函数y=（x﹣1）2﹣2的顶点坐标是（）A. （﹣1，﹣2）B. （﹣1，2）C. （1，﹣2） D. （1，2）5.如图，从1×2的矩形ABCD的较短边AD上找一点E，过这点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE、DE，当剪下的两个正方形的面积之和最小时，点E应选在（）A. AD的中点B. AE：ED=（﹣1）：2C. AE：ED=：1 D. AE：ED=（﹣1）：26.二次函数y=3x2-6x+5的图象的顶点坐标是（）A. （1,2）B. （1,8）C. （﹣1,2） D. （1,﹣4）7.对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A. 开口向下B. 对称轴是x=﹣1 C. 顶点坐标是（1，2） D. 与x轴有两个交点8.二次函数y=x2﹣2的图象的顶点是（）A. （2，﹣2）B. （﹣1，0）C. （1，9） D. （0，﹣2）9.抛物线y=2x2+1的顶点坐标是（）A. （2，1） B. （0，1） C. （1，0） D. （1，2）10.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a＞0；②该函数的图象关于直线x=1对称；③当x=-1或x=3时，函数y的值都等于0．其中正确结论的个数是（）A. 3B. 2C. 1D. 011.对于二次函数y=2（x+1）（x﹣3），下列说法正确的是（）A. 图象的开口向下B. 当x＞1时，y随x的增大而减小C. 当x＜1时，y随x的增大而减小 D. 图象的对称轴是直线x=﹣112.如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，点A，B均在抛物线上，且AB 与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（)A. （2，3） B. （3，2） C. （3，3） D. （4，3）13.在二次函数y=﹣x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（）A. x＞1B. x＜1C. x＞﹣1D. x＜﹣114.抛物线y=（x+1）2的顶点坐标是（）A. （﹣1，0）B. （﹣1，1）C. （0，﹣1） D. （1，0）二、填空题15.已知点A(x1 ， y1)、B(x2 ， y2)在二次函数y=(x-1)2+1的图像上，若x1>x2>1，则y1________y2 ． (填“>”“=”或“<”)16.已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y=﹣x+3上，设点M坐标为（a，b），则y=﹣abx2+（a+b）x的顶点坐标为________ 17.已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m 的取值范围是________．18.写出一个二次函数解析式，使它的图象的顶点在y轴上：________．19.已知抛物线（<0）过A（，0）、O（0，0）、B（，）、C（3，）四点．则________ （用“＜”，“＞”或“=”填空）．20.二次函数y=﹣3x2﹣6x+5的图像的顶点坐标是________．21.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：① c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am +bm+a ＞0（m≠﹣1）；⑤设A（100，y），B（﹣100，y ）在该抛物线上，则y＞y ．其中正确的结论有________ ．（写出所有正确结论的序号）三、解答题22.已知点A（﹣2，n）在抛物线y=x2+bx+c上．（1）若b=1，c=3，求n的值；（2）若此抛物线经过点B（4，n），且二次函数y=x2+bx+c的最小值是﹣4，请画出点P（x﹣1，x2+bx+c）的纵坐标随横坐标变化的图象，并说明理由．23.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：求：（1）这个二次函数的解析式；（2）这个二次函数图象的顶点坐标及上表中m的值．四、综合题24.如图，已知抛物线l1经过原点与A点，其顶点是P（﹣2，3），平行于y轴的直线m与x轴交于点B（b，0），与抛物线l1交于点M．（1）点A的坐标是________；抛物线l1的解析式是________；（2）当BM=3时，求b的值；（3）把抛物线l1绕点（0，1）旋转180°，得到抛物线l2 ．①直接写出当两条抛物线对应的函数值y都随着x的增大而减小时，x的取值范围________；（4）②直线m与抛物线l2交于点N，设线段MN的长为n，求n与b的关系式，并求出线段MN的最小值与此时b的值．25.已知二次函数y=mx2﹣5mx+1（m为常数，m＞0），设该函数的图象与y轴交于点A，该图象上的一点B与点A关于该函数图象的对称轴对称．（1）求点A，B的坐标；（2）点O为坐标原点，点M为该函数图象的对称轴上一动点，求当M运动到何处时，△MAO的周长最小．答案解析部分一、单选题1.对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A. 开口向下B. 对称轴是x=﹣1 C. 顶点坐标是（1，2） D. 与x轴有两个交点【答案】C【考点】二次函数的性质【解析】【解答】解：二次函数y=（x﹣1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，抛物线与x轴没有公共点．故选：C．【分析】根据抛物线的性质由a=1得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，从而可判断抛物线与x轴没有公共点．2.抛物线上部分点坐标如表所示，下列说法错误的是（）A. 抛物线与y轴的交点为(0，6)B. 抛物线的对称轴是在y轴的右侧；C. 抛物线一定经过点(3 ，0)D. 在对称轴左侧， y随x增大而减小．【答案】D【考点】二次函数的性质【解析】【解答】A,由表格知，x=0时，y=6,故抛物线与y轴的交点为(0，6)正确，故A答案正确；B,由表格知：（0,6）与（1,6）关于抛物线的对称轴对称，故它们到对称轴的距离相等，从而得出其对称轴是直线x=0.5,所以抛物线的对称轴是在y轴的右侧是正确的，故B答案正确；C,根据抛物线的对称性抛物线与x轴的一个交点坐标是（-2,0），而对称轴是直线x=0.5，故其与抛物线的另一个交点一定是(3 ， 0)，故C答案也正确；D,由表格知对称轴左侧，y随x增大而增，故D答案错．故正确答案是: D【分析】根据y轴上的横坐标为零，抛物线的对称性及表格中随着x的增大y 的值的变化，就可以一一判断。
2019年全国中考数学真题分类二次函数概念、性质和图象(精品文档)
2019年全国中考数学真题分类二次函数概念、性质和图象一、选择题9．（2019·温州）已知二次函数y=x2-4x+2，关于该函数在-1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值-1，有最小值-2 B．有最大值0，有最小值-1C．有最大值7，有最小值-1 D．有最大值7，有最小值-2【答案】D【解析】∵二次函数y=x2-4x+2=(x-2)2-2，∴该函数在-1≤x≤3的取值范围内，当x=2时，y有最小值-2；当x=-1时，y有最大值7．故选D.7．（2019·绍兴）在平面直角坐标系中，抛物线)3)(y经过变换后得到抛物线=xx+5(-+=xy，则这个变换可以是 ( )x(-)5)(3A.向左平移2个单位B.向右平移2个单位C.向左平移8个单位D.向右平移8个单位【答案】B【解析】y＝（x+5）（x﹣3）＝（x+1）2﹣16，顶点坐标是（﹣1，﹣16）．y＝（x+3）（x﹣5）＝（x﹣1）2﹣16，顶点坐标是（1，﹣16）．所以将抛物线y＝（x+5）（x﹣3）向右平移2个单位长度得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），故选B．10．（2019·嘉兴）小飞研究二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）性质时如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y＝﹣x+1上；②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，则y1＜y2；④当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥2．其中错误结论的序号是（）A．①B．②C．③D．④【答案】C【解析】二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）,①∵顶点坐标为（m，﹣m+1）且当x＝m时，y＝﹣m+1,∴这个函数图象的顶点始终在直线y＝﹣x+1上,故结论①正确；②假设存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形,令y＝0，得﹣（x﹣m）2﹣m+1＝0，其中m≤1，解得：x＝m﹣，x＝m+，∵顶点坐标为（m，﹣m+1），且顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形,∴|﹣m+1|＝|m﹣（m﹣）|,解得：m＝0或1,∴存在m＝0或1，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形,故结论②正确；③∵x1+x2＞2m,∴,∵二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）的对称轴为直线x＝m,∴点A离对称轴的距离小于点B离对称轴的距离,∵x1＜x2，且﹣1＜0,∴y1＞y2,故结论③错误；④当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，且﹣1＜0,∴m的取值范围为m≥2．故结论④正确．故选C．10．（2019·杭州）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y=（x+a）（x+b）的图象与x轴有M 个交点，函数y=（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（）A．M=N-1或M=N+1 B．M=n-1或M=N+2 C．M=N或M=N+1 D．M=N或M=N-1【答案】A【解析】先把两个函数化成一般形式，若为二次函数，再计算根的判别式，从而确定图象与x轴的交点个数，若一次函数，则与x轴只有一个交点，据此解答．∵y=（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+1，∴（a+b）2-4ab=（a-b）2＞0，∴函数y=（x+a）（x+b）的图象与x轴有2个交点，∴M=2，∵函数y=（ax+1）（bx+1）=abx2+（a+b）x+1，∴当ab≠0时，（a+b）2-4ab=（a-b）2＞0，函数y=（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有2个交点，即N=2，此时M=N；当ab=0时，不妨令a=0，∵a≠b，∴b≠0，函数y=（ax+1）（bx+1）=bx+1为一次函数，与x 轴有一个交点，即N=1，此时M=N+1；综上可知，M=N 或M=N+1．故选C ．11．（2019·烟台）已知二次函数2y ax bx c =++的y 与x 的部分对应值如下表：04x <<时，0y >；④抛物线与x 轴的两个交点间的距离是4；⑤若1(,2)A x ，2(,3)B x 是抛物线上两点，则12x x <． 其中正确的个数是（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】B【解题过程】先根据二次函数的部分对应值在坐标系中描点、连线，由图象可以看出抛物线开口向上，所以结论①正确，由图象（或表格）可以看出抛物线与x 轴的两个交点分别为（0,0），（4,0），所以抛物线的对称轴为直线2x =且抛物线与x 轴的两个交点间的距离为4，所以结论②和④正确，有抛物线的图象可以看出当04x <<时，0y <，所以结论③错误，由图象可以看出当抛物线上的点的纵坐标为2或3时，对于的点均有两个，若1(,2)A x ，2(,3)B x 是抛物线上两点，既有可能12x x <，也有可能12x x >，所以结论⑤错误．7．（2019·绍兴 ）在平面直角坐标系中，抛物线)3)(5(-+=x x y 经过变换后得到抛物线)5)(3(-+=x x y ，则这个变换可以是 ( )A.向左平移2个单位B.向右平移2个单位C.向左平移8个单位D.向右平移8个单位 【答案】B【解析】y ＝（x +5）（x ﹣3）＝（x +1）2﹣16，顶点坐标是（﹣1，﹣16）．y ＝（x +3）（x ﹣5）＝（x ﹣1）2﹣16，顶点坐标是（1，﹣16）．所以将抛物线y ＝（x +5）（x ﹣3）向右平移2个单位长度得到抛物线y ＝（x +3）（x ﹣5），故选B ．10．（2019·益阳）已知二次函数c bx ax y ++=2如图所示，下列结论:①ae ＜0，②b-2a ＜0，③ac b 42-＜0，④a-b+c ＜0，正确的是（ ）A. ①②B.①④C.②③D.②④第10题图【答案】A【解析】∵抛物线开口向下，且与y 的正半轴相交，∴a ＜0，c ＞0，∴ac ＜0，故①正确； ∵对称轴在-1至-2之间，∴122---＜＜ab，∴4a ＜b ＜2a ，∴b-2a ＜0，故②正确； ∵抛物线与x 轴有两个交点，∴△=ac b 42-＞0，∴③错误； ∵当x=-1时，y=a-b+c ＞0，∴④错误. ∴正确的说法是①②.故选A.11．（2019·娄底） 二次函数2y ax bx c =++的图象如图（5）所示，下列结论中正确的有（ ）① abc<0 ② 240b ac -<③ 2a b > ④ ()22a c b +<A ． 1个B ． 2个C ．3个D ． 4个【答案】A【解析】解：①由抛物线的开口方向向下知a<0，对称轴在y 轴的左侧得a 、b 同号，抛物线与y 轴交于正半轴得c>0,所以abc>0；故结论①错误；②由抛物线与x 轴有两个交点得240b ac ->，故结论②错误； ③由图象知对称轴12b x a =->-得12ba<；由a<0，结合不等式的性质三可得 b>2a,即2a<b ；故结论③错误； ④由图象知：当x ＝1时，y<0即a+b+c<0；当x ＝－1时，y>0即a －b+c>0； ∴()()0a b c a b c ++-+<，即()220a c b +-<；∴()22a c b +<．故结论④正确．故答案A 正确．1. （2019·济宁）将抛物线y ＝x 2－6x ＋5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）A ．y ＝(x －4)2－6B ．y ＝(x －1)2－3C ．y ＝(x －2)2－2D ．y ＝(x －4)2－2 【答案】D【解析】y ＝x 2－6x ＋5＝ (x －3) 2－4，把向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后， 得y ＝ (x －3－1) 2－4＋2，即y ＝(x －4)2－2．2. (2019·巴中)二次函数y ＝ax2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示,下列结论①b2>4ac,②abc<0,③2a+b －c>0,3. ④a+b+c<0,其中正确的是( ) A.①④B.②④C.②③D.①②③④第10题图 【答案】A【解析】①:因为图象与x 轴有两个不同的交点,所以b 2－4ac>0,即b 2>4ac,故①正确;②:图象开口向下,故a<0,图象与y 轴交于正半轴,故c>0,因为对称轴为x ＝－1,所以12ba-=-,所以2a ＝b,故b<0,所以abc>0,②错误;③:a<0,b<0,c>0,所以2a+b －c<0,③错误;④当x ＝1时,y ＝a+b+c,由图可得,x ＝－3时,y<0,由对称性可知,当x ＝1时,y<0,即a+b+c<0,故④正确.综上所述,①④正确,故选A.3. （2019·达州）如图，边长都为4的正方形ABCD 和正三角形EFG 如图放置， AB 与EF 在一条直线上，点A 与点F 重合.现将△EFG 沿AB 方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F 与点B 重合时停止，在这个运动过程中正方形ABCD 和△EFG 重叠部分的面积S 与运动时t 的函数图像大致是( )【答案】C【思路分析】可分两种情况，第一种情况重合部分为三角形，第二种情况重合部分为四边形，分别求出对应的函数关系式即可.【解题过程】运动过程中，当顶点G 在正方形外部时，重合部分为三角形，设运动时间为t ，面积S 与t 的函数关系式为232t y =，函数图像为开口向上的二次函数，当顶点G 在正方形内部时，重合部分为四边形，设运动时间为t ，面积S 与t 的函数关系式为343423-2-+=t t y ，函数图像为开口向下的二次函数，故选C.4. （2019·凉山）二次函数y=ax2+bx+c 的部分图象如图所示，有以下结论：①3a –b=0；②b2-4ac ＞0；③5a-2b+c ＞0； ④4b+3c ＞0,其中错误结论的个数是（ ▲ ） A. 1B. 2C. 3D. 4第12题图【答案】A【解析】根据对称轴232-=-a b 得b =3a ，故可得3a –b =0，所以结论①正确；由于抛物线与x 轴xxx有两个不同的交点，所以b 2-4ac ＞0，结论②正确；根据结论①可知b =3a ，∴5a -2b +c =5a -6a +c =-a +c ，观察图像可知a ＜0,c ＞0，∴5a -2b +c =-a +c ＞0，结论③正确；根据抛物线的轴对称性可知抛物线与x 轴的右交点在原点与（1，0）之间（不含这两点），所以当x =1时，y =a +b +c ＜0，∵a =b 31，∴b 34+c ＜0，∴4b +3c ＜0，所以结论④错误.故选 A.5. （2019·攀枝花）在同一坐标系中，二次函数y ＝ax 2＋bx 与一次函数y ＝bx －a 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】据参数符号可排除A 、D 选项，联立两函数解析式所得方程无解，则两函数图象无交点，故选C ．【知识点】二次函数的图象；一次函数的图象6.（2019·天津）二次函数y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a ≠0）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：且当12x =-时，与其对应的函数值y>0，有下列结论：（1）abc>0；(2)-2和3是关于x 的方程ax 2+bx+c=t 的两个根；（3）0<m+n<203，其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【解析】(1)因为当12x =-时，与其对应的函数值y>0，由图表可知x=0时，y=-2，x=1时，y=-2,可以判断对称轴左侧y 随x 的增大而减小，图像开口向上，a>0;由图表可知x=0时，y=-2，x=1时，y=-2,可得对称轴为直线21=x ，所以b<0;x=0时，y=-2,所以c=-2<0,故abc>0（1）正确；（2）由于对称轴是直线21=x ，-2和3是关于对称轴对称的，所以（2）正确；（3）由对称轴是直线21=x 可得a+b=0,因为x=0时，y=-2，可知c=-2，当21-=x 时，与其对应的函数值y>0可得38>a ，当x=-1时，m=a-b-2=2a-2>310,因为-1和2关于对称轴对称，可得m=n ，所以m+n>320，故（3）错误，故选C.【知识点】二次函数图像的性质.7. （2019·衢州）二次函数y=（x-1）2+3图象的顶点坐标是（A ） A. （1.3） B.（1，-3） C.（-1.3） D.（-1.-3）【答案】A【解析】本题考查二次函数顶点坐标的确定，二次函数y=a （x-h ）2+k 的顶点坐标为（h ，k ），所以y=（x-1）2+3的顶点坐标是（1.3），故选A.8. （2019·重庆B 卷）物线y ＝的对称轴是（ ）A.直线B.直线C.直线D.直线 【答案】Ｃ【解析】设二次函数的解析式是y=， 则二次函数的对称轴为直线y ＝的对称轴是直线 .故选Ｃ．263-2++x x 2=x 2-=x 1=x 1-=x c bx ax ++2263-2++x x 1=x9.（2019·自贡）一次函数y=ax+b与反比例函数y=c的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的x大致图象是（）【答案】A.【解析】∵双曲线y=c经过一、三象限，x∴c＞0.∴抛物线与y轴交于正半轴.∵直线y=ax+b经过第一、二和四象限，∴a＜0，b＞0，即−b＜0.2a∴抛物线y=ax2+bx+c开口向下，对称轴在y轴的右侧.故选A.9.（2019·遂宁）二次函数y=x2-ax+b的图像如图所示，对称轴为直线x=2，下列结论不正确的是( )A. a=4B.当b= -4时，顶点的坐标为（2，-8）C.当x= -1 时，b> -5D.当x>3时，y随x的增大而增大【答案】C【解析】选项A,由对称轴为直线x=2可得22a--=，∴a=4，正确；选项B,∵a=4,b= -4 ∴代入解析式可得，y=x 2-4x-4，当x=2时，y=-8,∴顶点的坐标为（2，-8），正确；选项C ，由图像可知，x=-1时，y=0，代入解析式得B=-5，∴错误；选项D 由图像可以看出当x>3时，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，正确，故选C.二、填空题14. （2019·遂宁）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 落在坐标原点，点A,点C 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，G 为线段OA 上一点，将△OCG 沿CG 翻折，O 点恰好落在对角线AC 上的点P 处，反比例函数xy 12=经过点B ，二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像经过C （0,3），G 、A 三点，则该二次函数的解析式为（填一般式）【答案】3411212+-=x x y 【解析】∵矩形OABC ，C （0,3）∴B 点的纵坐标为3，∵反比例函数x y 12=经过点B ，∴B(4,3），A （4,0），∴OA=4，∵C （0,3），∴OC=3，∴Rt △ACO 中，AC=5.设G （m,0)则OG=m ∵翻折∴GP=OG=m,CP=CO=3,∴AP=2，AG=4-m,∴Rt △AGP 中，m 2+22=(4-m)2,∴m=23,∴G(23,0），∵A （4,0）C （0,3）G(23,0）∴解析式为3411212+-=x x y15．(2019·广元)如图,抛物线y ＝ax 2+bx+c(a ≠0)过点(－1,0),(0,2),且顶点在第一象限,设M ＝4a+2b+c,则M 的取值范围是________.第15题图 【答案】－6<M<6【解析】∵y ＝ax 2+bx+c 过点(－1,0),(0,2),∴c ＝2,a －b ＝－2,∴b ＝a+2,∵顶点在第一象限,∴2ba>0,∴a<0,b>0,a+2>0,a>－2,∴－2<a<0,M ＝4a+2b+c ＝4a+2(a+2)+2＝6a+6,∴－6<M<6.18．（2019·衡阳）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2的图象如图所示．已知点A 坐标为（1，1），过点A 作AA 1∥x 轴交抛物线于点A 1，过点A 1作A 1A 2∥OA 交抛物线于点A 2，过点A 2作A 2A 3∥x 轴交抛物线于点A 3，过点A 3作A 3A 4∥OA 交抛物线于点A 4…，依次进行下去，则点A 2019的坐标为 ．【答案】（－1010，10102）【解析】A （1，1），A 1（－1，1），A 2（2，4），A 3（－2，4），A 4（3，9），A 5（－3，9），…，A 2019（－1000，1000 2）．11．（2019·株洲）若二次函数2y ax bx =+的图像开口向下，则a 0（填“＝”或“＞”或“＜”）． 【答案】＜【解析】二次函数开口向下，则a<0。
陕西省2019年中考数学选填专项 二次函数的图象与性质题库
二次函数的图象与性质1. 已知二次函数y ＝mx 2－3mx －4m (m ≠0)的图象与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，且∠ACB ＝90°，则m 的值可能为( )A. 4B. －2C. －12D. 14C 【解析】如解图，令y ＝0，则mx 2－3mx －4m ＝0，解得x ＝4或x ＝－1，∵点A 在点B 的左侧，∴OA ＝1，OB ＝4，令x ＝0，则y ＝－4m ，∴OC ＝|－4m |，∵∠ACO ＋∠OCB ＝90°，∠CAO ＋∠ACO ＝90°，∴∠CAO ＝∠BCO ，又∵∠AOC ＝∠COB ＝90°，第1题解图∴△AOC ∽△COB ，∴OA OC ＝OC OB ，即OC 2＝OA ·OB ，即16m 2＝4，解得m ＝±12，∴m 的值可能为－12. 2. 若二次函数y ＝x 2＋3x －c 的图象与x 轴没有交点，则c 的值可能是( )A. 1B. 0C. －2D. －3D 【解析】∵二次函数y ＝x 2＋3x －c 的图象与x 轴没有交点，∴y ＝0时，x 2＋3x －c ＝0的判别式b2－4ac <0，即b 2－4ac ＝9＋4c <0，解得c <－94.观察选项，只有D 符合． 3. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，则下列结论中错误的是( )A. abc >0B. c >a ＋bC. 4a ＋2b ＋c <0D. 2a －b ＋c <0第3题图D 【解析】A.由图象可知a <0，b <0，c >0，abc >0，故A 正确；B.∵a <0，b <0，c >0，∴－a >0，－b >0，c －a －b >0，∴c >a ＋b ，故B 正确；C.由图象知，当x ＝2时，函数值小于0，即y ＝4a ＋2b ＋c <0，故C 正确；D.∵－b2a＝ －1，∴2a －b ＝0，∵c >0，∴2a －b ＋c >0，故D 错误． 4. 设点A (－1，y 1)、B (3，y 2)、C (5，y 3)是抛物线y ＝－2x 2＋x 上的三点，则y 1、y 2、y 3的大小关系正确的是( )A. y 2>y 3>y 1B. y 1>y 2>y 3C.y 3>y 2>y 1D. y 1>y 3>y 2B 【解析】∵点A (－1，y 1)、B (3，y 2)、C (5，y 3)是抛物线y ＝－2x 2＋x 上的三点，∴y 1＝－2×1－1＝－3，y 2＝－2×9＋3＝－15，y 3＝－2×25＋5＝－45，∴y 1>y 2>y 3.5. 将抛物线y ＝x 2－2x ＋1沿x 轴向右平移2个单位，然后再沿y 轴向下平移3个单位后所得抛物线的顶点坐标是( )A. (1，－3)B. (－1，3)C. (3，－3)D. (－3，3)C 【解析】∵y ＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，∴先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后抛物线的解析式为y ＝(x －3)2－3，∴顶点坐标为(3，－3)．6. 在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(3，3)，将抛物线y ＝－12x 2＋2x ＋3沿水平方向或竖直方向平移，使其经过点P ，则平移的最短距离为( )A. 1B. 32C. 5D. 3 A 【解析】将抛物线沿水平方向或竖直方向平移后过点P (3，3)，当沿水平方向平移时，纵坐标和P点的纵坐标相同，把y ＝3代入得：3＝－12x 2＋2x ＋3，解得x 1＝0，x 2＝4，∴平移的最短距离为4－3＝1；当沿竖直方向平移时，横坐标和P 点的横坐标相同，把x ＝3代入得：y ＝－12×32＋2×3＋3＝92，∴平移的最短距离为92－3＝32，即平移的最短距离为1. 7. 关于二次函数y ＝－x 2＋4x ＋n 2－4，下列说法正确的是( )A. 该二次函数有最大值n 2－4B. 该抛物线与x 轴有两个交点C. 该抛物线上有两个点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，若x 1<2<x 2，且x 1＋x 2>4，则y 1>y 2D. 当x >0时，y 随x 的增大而减小C 【解析】∵该二次函数的最大值是4ac －b 24a ＝－4（n 2－4）－16－4＝n 2，∴A 选项中的结论错误；令－x 2＋4x ＋n 2－4＝0，则b 2－4ac ＝16＋4(n 2－4)＝4n 2≥0，∴当n ＝0时，该抛物线与x 轴只有一个交点，故B 选项中的结论错误；∵该抛物线的对称轴为直线x ＝2，且x 1<2<x 2，x 1＋x 2>4，∴x 2－2>2－x 1，又抛物线开口向下，∴y 1>y 2，∴C 选项中的结论正确；∵该抛物线的对称轴为直线x ＝2，且抛物线开口向下，∴当x >2时，y 随x 的增大而减小，∴D 选项中的结论错误．故选C.8. 在平面直角坐标系中，点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是二次函数y ＝x 2＋2x －3的图象上的两点，其中－3≤x 1<x 2≤0，则下列结论正确的是( )A. y 1<y 2B. y 1>y 2C. y 的最小值是－3D. y 的最小值是－4D 【解析】y ＝x 2＋2x －3＝(x ＋3)(x －1)，则该抛物线与x 轴的两个交点的横坐标分别是－3，1，又∵y ＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4，∴顶点坐标为(－1，－4)，对称轴为x ＝－1，A 、B 选项中，因为无法确定点A 、B 离对称轴x ＝－1的远近，故无法判断y 1与y 2的大小，故选项错误；C 、D 选项中，∵二次函数图象的顶点坐标为(－1，－4)，∴y 的最小值是－4，故D 正确．9. 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－1，0) 、B (1，t )、C (0，－1)三点，若此抛物线的顶点在第四象限，则t 的取值范围是( )A. －2<t <0B. 0<t <2C. －2≤t <2D. 0<t ≤2A 【解析】∵抛物线经过A (－1，0)、B (1，t )、C (0，－1)三点，∴a －b ＋c ＝0，c ＝－1，∴a －b ＝1，b ＝a －1，∴t ＝a ＋b ＋c ＝a ＋a －1－1＝2a －2，∵抛物线过点(－1，0)、(0，－1)，且顶点在第四象限，∴a >0，－b 2a ＝－a －12a>0，∴0<a <1，∴－2<2a －2<0，∴－2<t <0. 10. 已知抛物线y ＝x 2－2x －3与x 轴交于点A ，B (点A 在点B 的右侧)，与y 轴交于点C ，顶点为点D ，连接AC ，DC ，则∠ACD 的度数为( )A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°C 【解析】令y＝x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴点A的坐标为(3，0)，令x＝0，得y＝－3，∴点C的坐标为(0，－3)，∴OA＝OC，∴∠OCA＝45°.由y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，得D(1，－4)，如解图，过点D作DE⊥y轴于点E，则DE＝1，CE＝EO－CO＝1，∴∠ECD＝∠EDC＝45°，∴∠ACD＝180°－∠OCA －∠ECD＝90°.第10题解图。
2019届中考数学复习 专项一 选择、填空题专项 一、二次函数的图像与性质课件
一、 二次函数的图像 与性质
1
选择、填空题专项
中考解读:二次函数的图像与性质为陕西中考选择题必考题，题位为第10题，分 值为3分。主要考查的内容有(1)二次函数的图像与系数的关系；(2)二次函数的 增减性；(3)二次函数图像的平移、旋转变换等。
例1 已知点A(m,y1)，B(m+2,y2)，C(x0,y0)在二次函数y=ax2+4ax+c(a≠0) 的图像上，且点C为抛物线的顶点，若y2<y1≤y0，则m的取值范围为 (B )
A.m<-3
B.m>-3
C.m<-2
D.m>-2
【物线解开析口】向∵下点，C为对抛称物轴线为y直=a线x2+x=4ax+c4(=aa-≠20。)的∵顶y1点>y，2,∴且|ym2+<2y|1<≤|ym0,+∴4|该(开抛口 向下的抛物线上的点，到该抛物线对2称a 轴的距离越小，y值越大)，解
得m>-3。故选B。
2
4
2
选择、填空题专项
例2 (2018·陕西模拟)如图，二次函数y=ax2+bx+c(a＞0)的图像的顶点为D，其
图像与x轴下列四
个结论正确的是( )
A.2a-b=0
D
B.a+b+c>0 C.c＞-3a
D.只有当a= 1 时，△ABD是等腰直角三角形
2
3
选择、填空题专项
【解析】∵二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像与x轴的交点A,B的横坐标分别为-1，
3，∴对称轴为直线x= 1=31，∴ =b1，∴2a+b=0，故A错误；由图像可 知，当x=1时，y＜0，∴a+b2+c＜0，故B错2a误；∵抛物线与x轴交于点A,B，∴方 程ax2+bx+c=0的两根为x1=-1,x2=3,∴ =c-3,∴c=-3a,故C错误；若△ABD是等腰直 角三角形，易得∠ADB=90°,则过点D作a DE⊥AB于E，则DE=AE=2,∴D(1,-2), 设抛物线解析式为y=a(x-1)2-2,把A(-1,0)代入，得a= 1 ,故D正确。
中考数学复习之二次函数的图像与性质,考点过关与基础练习题
18. 二次函数的应用➢ 知识过关1.二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 图像与系数a 、b 、c 的关系(1) 如果抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴有两个交点，则一元二次方程02=++c bx ax 有两个_____实数根.(2) 如果抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴只有1个交点，则一元二次方程02=++c bx ax 有两个_____实数根.(3) 如果抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴无交点，则一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根.3. 二次函数与一次交点一次函数)0(≠+=k n kx y 的图像L 与二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程nkx y cbx ax y +=++=2{的解的个数确定 (1)方程组有两组不同的解⇔L 与G 有______交点； (2)方程组只有一组解⇔L 与G 只有______交点； (3)方程组无解⇔L 与G_______交点. 4. 二次函数的实际应用建立二次函数模型—求出二次函数解析式—结合函数解析式—解答问题.➢ 考点分类考点1 二次函数图像与系数的关系例1二次函数的图像如图所示，现有下列结论：①042>-ac b ；①a>0;①b>0；①c>0; ①039<++c b a ，则其中结论正确的有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个考点2二次函数的实际应用例2某文具店购进一批纪念册，线本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y(本)与每本纪念册的售价x(元)之间满足一次函数关系；当销售单价为22元时，销量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本.(1)请直接写出y 与x 的函数关系式；(2)当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ (3)设该文具店每周销售这种纪念册所获昨的利润为w 元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？考点3二次函数的综合应用例3如图所示，直线与抛物线相交于点A 和点B ，点P 是线段AB 上异于A 、B 的动点，过点P 作PC①x 轴于点C ，交抛物线于点D. (1)求抛物线的解析式；(2)是否存在这样的P 点，使线段PD 的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；(3)当①PAD 为直角三角形时，求点P 的坐标.➢真题演练1．二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．2．函数y＝|ax2+bx+c|（a＞0，b2﹣4ac＞0）的图象是由函数y＝ax2+bx+c（a＞0，b2﹣4ac ＞0）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（）①2a+b＝0；②c＝3；③abc＞0；④将图象向上平移1个单位后与直线y＝5有3个交点．A．①②B．①③C．②③④D．①③④3．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴为直线x＝﹣1，且过点（0，1）．有以下四个结论：①abc＞0，②a﹣b+c＞1，③3a+c＜0，④若顶点坐标为（﹣1，2），当m≤x≤1时，y有最大值为2、最小值为﹣2，此时m的取值范围是﹣3≤m≤﹣1．其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个4．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象关于直线x＝1对称，与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点．若﹣2＜x1＜﹣1，则下列四个结论：①3＜x2＜4；②3a+2b＞0；③b2＞a+c+4ac；④a＞c＞b，正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，并与x轴交于A，B两点，若OA＝5OB，则下列结论中：①abc＞0；②（a+c）2﹣b2＝0；③9a+4c＜0；④若m为任意实数，则am2+bm+2b≥4a，正确的个数是（）A．1B．2C．3D．46．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x=−12，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x 的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（）A．①③B．②④C．③④D．②③7．如图，若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则下列结论：①abc＞0；②二次函数的最大值为a+b+c；③a﹣b+c＜0；④b2﹣4ac＜0；⑤当y＞0时，﹣1＜x＜3．⑥3a+c＝0；其中正确的结论有．8．公园草坪上，自动浇水喷头喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的离地高度y（米）关于水珠与喷头的水平距离x（米）的函数解折武是y=−13x2+43x（0≤x≤4）．那么水珠的最大离地高度是米．9．东方商厦将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销量就增加1个，为了获取最大利润，则应降价元．10．中国跳水队被称为“梦之队”，跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的抛物线．已知跳板AB长为1米，距水面的高OA为3米，C 为入水点，训练时跳水曲线在离起跳点B水平距离1米时达到距水面最大高度k米，分别以OC、OA所在直线为横轴和纵轴，点O为坐标原点建立平面直角坐标系．若跳水运动员在入水时点C与点O的距离在3.5米至4米（含3.5米和4米）才能达到训练要求，则k的取值范围是．11．随着我国经济、科技的进一步发展，我国的农业生产的机械化程度越来越高，过去的包产到户就不太适合机械化的种植，现在很多地区就出现了一种新的生产模式，很多农民把自己的承包地转租给种粮大户或者新型农村合作社，出现了大农田，这些农民则成为合作社里的工人，这样更有利于机械化种植．某地某种粮大户，去年种植优质水稻200亩，平均每亩收益480元．计划今年多承包一些土地，已知每增加一亩，每亩平均收益比去年每亩平均收益减少2元．（1）该大户今年应承租多少亩土地，才能使今年总收益达到96600元？（2）该大户今年应承租多少亩土地，可以使今年总收益最大，最大收益是多少？12．在新农村建设过程中，渣濑湾村采用“花”元素打造了一座花都村庄．如图，一农户用长为25m 的篱笆，一面利用墙，围成有两个小门且中间隔有一道篱笆的长方形花圃．已知小门宽为1m ，设花圃的宽AB 为x （m ），面积为S （m 2）． （1）求S 关于x 的函数表达式．（2）如果要围成面积为54m 2的花圃，AB 的长为多少米？（3）若墙的最大长度为10m ，则能围成的花圃的最大面积为多少？并求此时AB 的长．➢ 课后练习1．已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为x ＝1，与x 轴正半轴的交点为A （3，0），其部分图象如图所示，有下列结论：①abc ＞0； ②2c ﹣3b ＜0； ③5a +b +2c ＝0；④若B （43，y 1）、C （13，y 2）、D （−13，y 3）是抛物线上的三点，则y 1＜y 2＜y 3．其中正确结论的个数有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知抛物线y =12x 2﹣bx +c ，当x ＝1时，y ＜0；当x ＝2时，y ＜0．下列判断：①b 2＞2c ；②若c ＞1，则b ＞32；③已知点A （m 1，n 1），B （m 2，n 2）在抛物线y =12x 2﹣bx +c 上，当m 1＜m 2＜b 时，n 1＞n 2；④若方程12x 2﹣bx +c ＝0的两实数根为x 1，x 2，则x 1+x 2＞3．其中正确的有（ ）个． A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．如图是二次函数y ＝ax 2+bx +c 图象的一部分，图象过点A （﹣3，0），对称轴为直线x ＝﹣1，①b 2﹣4ac ＞0②4a +c ＜0③当﹣3≤x ≤1时，y ≥0④若B(−52，y 1)，C(−12，y 2)为函数图象上的两点，则y 1＞y 2，以上结论中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于点A （3，0），与y 轴的交点B 在（0，3）与（0，4）之间（不包括这两点），对称轴为直线x ＝1．下列结论：①abc ＜0；②43a +3b +c ＞0；③−43＜a ＜−1；④若x 1，x 2（x 1＜x 2）是方程ax 2+bx +c ＝m （m ＜0）的两个根，则有x 1＜﹣1＜3＜x 2．其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ＞0）与x 轴交于A （﹣3，0）、B 两点，与y 轴交于点C ，点（m ﹣5，n ）与点（3﹣m ，n ）也在该抛物线上．下列结论：①点B 的坐标为（1，0）；②方程ax 2+bx +c ﹣2＝0有两个不相等的实数根；③54a +c ＜0；④当x ＝﹣t 2﹣2时，y ≥c ．正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，且抛物线经过点（1，0），下面给出了四个结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c＞0；③5a+c＜b；④a﹣b=13c．其中结论正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图，物体从点A抛出，物体的高度y（m）与飞行时间t（s）近似满足函数关系式y=−1 5（t﹣3）2+5．（1）OA＝m．（2）在飞行过程中，若物体在某一个高度时总对应两个不同的时间，则t的取值范围是．8．某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离S（米）关于滑行的时间t（秒）的函数解析式是S＝﹣0.25t2+8t，无人机着陆后滑行秒才能停下来．9．图1是一个斜坡的横截面，tanα=12，斜坡顶端B与地面的距离为3米，为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A，喷头A喷出的水柱在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分，设喷出水柱的竖直高度为y（单位：米）（水柱的竖直高度是指水柱与地面的距离），水柱与喷头A的水平距离为x（单位：米），图2记录了y与x 的相关数据，则y与x的函数关系式为．10．如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2，则小球飞出s时，达到最大高度．11.开学季，福山振华量贩超市从厂家购进A、B两种型号的书包，两次购进书包的情况如表：进货批次A型书包（个）B型书包（个）总费用（元）一1002008000二20030013000（1）求A、B两种型号的书包进价各是多少元？（2）在销售过程中，A型书包因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B型书包的销售量，超市决定对B型书包进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B型书包降价多少元时，每天售出B型书包的利润达到最大？最大利润是多少？（3）第三次进货用10000元钱购进这两种书包，如果每销售出一个A型书包可获利9元，售出一个B型书包可获利6元，超市决定每售出一个A型书包就为当地“新冠疫情防控”捐b元用于购买防控物资．若A、B两种型号的书包在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b为多少？利润为多少？➢冲击A+已知△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC．（1）如图①，当∠BAC＝120°时，请直接写出线段AB，AC，AD之间满足的等量关系式：；（2）如图②，当∠BAC＝90°时，试探究线段AB，AC，AD之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）如图③，若BC＝5，BD＝4，求ADAB+AC的值．。
2019年中考数学总复习数与代数模块之《二次函数图像与性质)》复习训练试题(含答案)
2019年中考数学总复习数与代数模块之《二次函数图像与性质)》复习训练试题时间90分钟满分120分一，选择题（每小题3分，共33分)1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )A．c＞－1 B．b＞0 C．2a＋b≠0 D．9a＋c＞3b2. 点P1(－1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y＝－x2＋2x＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )A．y3＞y2＞y1 B．y3＞y1＝y2 C．y1＞y2＞y3 D．y1＝y2＞y33. 关于抛物线y＝x2－2x＋1，下列说法错误的是( )A．开口向上 B．与x轴有两个重合的交点C．对称轴是直线x＝1 D．当x＞1时，y随x的增大而减小4．将抛物线y＝x2－4x－4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为( )A．y＝(x＋1)2－13 B．y＝(x－5)2－3C．y＝(x－5)2－13 D．y＝(x＋1)2－35．抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：小聪观察上表，得出下面结论：①抛物线与x 轴的一个交点为(3，0); ②函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最大值为6；③抛物线的对称轴是x ＝12；④在对称轴左侧，y 随x 增大而增大．其中正确有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6. 如图是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x 轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间．则下列结论：①a －b ＋c ＞0；②3a ＋b ＝0；③b 2＝4a(c －n)；④一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝n －1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．47．将抛物线C ：y ＝x 2＋3x －10平移到C′.若两条抛物线C ，C ′关于直线x ＝1对称，则下列平移方法中正确的是( )A ．将抛物线C 向右平移52个单位 B ．将抛物线C 向右平移3个单位C ．将抛物线C 向右平移5个单位D ．将抛物线C 向右平移6个单位 8. 如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)图象的顶点为D ，其图象与x 轴的交点A ，B 的横坐标分别为－1和3，则下列结论正确的是( )A ．2a －b ＝0B ．a ＋b ＋c ＞0C ．3a －c ＝0D ．当a ＝12时，△ABD 是等腰直角三角形9．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的对称轴为直线x ＝1，与x 轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b 2；②方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1＝－1，x 2＝3；③3a＋c ＞0；④当y ＞0时，x 的取值范围是－1≤x＜3；⑤当x ＜0时，y 随x 增大而增大．其中结论正确的个数是( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个10. 二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到函数图象的解析式为y ＝x 2－2x ＋1，则b 与c 分别等于( )A ．6，4B ．－8，14C ．4，6D ．－8，－14 11．如图，一次函数y 1＝x 与二次函数y 2＝ax 2＋bx ＋c 的图象相交于P ，Q 两点，则函数y ＝ax 2＋(b －1)x ＋c 的图象可能是( )二，填空题（每小题3分共18分)12. 将抛物线y ＝(x －1)2＋3向左平移1个单位，得到的抛物线与y 轴的交点的坐标是__ ___．13．已知A(0，3)，B(2，3)是抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 上两点，该抛物线的顶点坐标是____．14．若抛物线如图所示，则该二次函数的解析式为____．15．将抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到的抛物线为y ＝－12x 2，则b ＝___，c ＝____．16．二次函数y ＝x 2＋2ax ＋a 在－1≤x≤2上有最小值－4，则a 的值为____． 17. 已知二次函数图象过点A(2，1)，B(4，1)且最大值为2，则二次函数的解析式为___ ___．三，解答题（共69分）18. 已知抛物线y 1＝x 2与直线y 2＝－12x ＋3相交于A ，B 两点．(1)求这两个交点的坐标；(2)点O 的坐标是原点，求△AOB 的面积； (3)直接写出当y 1＜y 2时，x 的取值范围．19．如图，在平面直角坐标系中，点A(－1，0)，B(0，2)，点C 在x 轴上，且∠ABC＝90°.(1)求点C的坐标；(2)求经过A，B，C三点的抛物线的表达式；(3)在(2)中的抛物线上是否存在点P，使∠PAC＝∠BCO？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．20．如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A，B，AB＝2，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2.(1)求抛物线的解析式；(2)设P为对称轴上一动点，求△APC周长的最小值；(3)求△ABC的面积．21. 已知二次函数的图象经过点(0，－3)，且顶点坐标为(1，－4)．求这个二次函数的解析式．答案：一，选择题（每小题3分，共33分)1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是( D )A．c＞－1 B．b＞0 C．2a＋b≠0 D．9a＋c＞3b2. 点P1(－1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y＝－x2＋2x＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( D )A．y3＞y2＞y1 B．y3＞y1＝y2 C．y1＞y2＞y3 D．y1＝y2＞y33. 关于抛物线y＝x2－2x＋1，下列说法错误的是( D )A．开口向上 B．与x轴有两个重合的交点C．对称轴是直线x＝1 D．当x＞1时，y随x的增大而减小4．将抛物线y＝x2－4x－4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为( D )A．y＝(x＋1)2－13 B．y＝(x－5)2－3C．y＝(x－5)2－13 D．y＝(x＋1)2－35．抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：小聪观察上表，得出下面结论：①抛物线与x 轴的一个交点为(3，0); ②函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最大值为6；③抛物线的对称轴是x ＝12；④在对称轴左侧，y 随x 增大而增大．其中正确有( D )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6. 如图是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x 轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间．则下列结论：①a －b ＋c ＞0；②3a ＋b ＝0；③b 2＝4a(c －n)；④一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝n －1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是( C )A ．1B ．2C ．3D ．47．将抛物线C ：y ＝x 2＋3x －10平移到C′.若两条抛物线C ，C ′关于直线x ＝1对称，则下列平移方法中正确的是( C )A ．将抛物线C 向右平移52个单位 B ．将抛物线C 向右平移3个单位C ．将抛物线C 向右平移5个单位D ．将抛物线C 向右平移6个单位 8. 如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)图象的顶点为D ，其图象与x 轴的交点A ，B 的横坐标分别为－1和3，则下列结论正确的是( D )A ．2a －b ＝0B ．a ＋b ＋c ＞0C ．3a －c ＝0D ．当a ＝12时，△ABD 是等腰直角三角形9．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的对称轴为直线x ＝1，与x 轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b 2；②方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1＝－1，x 2＝3；③3a＋c ＞0；④当y ＞0时，x 的取值范围是－1≤x＜3；⑤当x ＜0时，y 随x 增大而增大．其中结论正确的个数是( B )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个10. 二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到函数图象的解析式为y ＝x 2－2x ＋1，则b 与c 分别等于( C )A ．6，4B ．－8，14C ．4，6D ．－8，－14 11．如图，一次函数y 1＝x 与二次函数y 2＝ax 2＋bx ＋c 的图象相交于P ，Q 两点，则函数y ＝ax 2＋(b －1)x ＋c 的图象可能是( A )二，填空题（每小题3分共18分)12. 将抛物线y ＝(x －1)2＋3向左平移1个单位，得到的抛物线与y 轴的交点的坐标是__ (0，3)___．13．已知A(0，3)，B(2，3)是抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 上两点，该抛物线的顶点坐标是__(1，4)__．14．若抛物线如图所示，则该二次函数的解析式为__y ＝x 2－2x__．15．将抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到的抛物线为y ＝－12x 2，则b ＝__－1__，c ＝__－52__．16．二次函数y ＝x 2＋2ax ＋a 在－1≤x≤2上有最小值－4，则a 的值为__5或2． 17. 已知二次函数图象过点A(2，1)，B(4，1)且最大值为2，则二次函数的解析式为___ y ＝－(x －3)2＋2＝－x 2＋6x －7____．三，解答题（共69分）18. 已知抛物线y 1＝x 2与直线y 2＝－12x ＋3相交于A ，B 两点．(1)求这两个交点的坐标；(2)点O 的坐标是原点，求△AOB 的面积；(3)直接写出当y 1＜y 2时，x 的取值范围．解：(1)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝x 2，y 2＝－12x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x A ＝－2，y A＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x B ＝32，y B＝94，∴这两个交点的坐标为A(－2，4)，B(32，94) (2)设AB 交y 轴于点G ，则G(0，3), ∴S △AOB ＝12×3×(2＋32)＝214 (3)－2＜x ＜3219．如图，在平面直角坐标系中，点A(－1，0)，B(0，2)，点C 在x 轴上，且∠ABC＝90°. (1)求点C 的坐标；(2)求经过A ，B ，C 三点的抛物线的表达式；(3)在(2)中的抛物线上是否存在点P ，使∠PAC＝∠BCO？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)C(4，0) (2)y ＝－12x 2＋32x ＋2(3)存在．符合条件的点有P(3，2)或P(5，－3)20．如图，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A ，B ，AB ＝2，与y 轴交于点C ，对称轴为直线x ＝2.(1)求抛物线的解析式；(2)设P 为对称轴上一动点，求△APC 周长的最小值；(3)求△ABC 的面积．解：(1)∵AB＝2，对称轴为x ＝2，∴A(1，0)，B(3，0)，∴抛物线的解析式是y ＝(x －1)(x －3)，即y ＝x 2－4x ＋3(2)连接BC 交对称轴于点P ，则此时△APC 的周长最小，最小值是：△APC 的周长＝BC ＋AC ＝32＋10(3)S △ABC ＝12×2×3＝321. 已知二次函数的图象经过点(0，－3)，且顶点坐标为(1，－4)．求这个二次函数的解析式．解：根据题意，设函数解析式为y ＝a(x －1)2－4.∵图象经过点(0，－3)，∴－3＝a －4，a ＝1，∴解析式为y ＝(x －1)2－4＝x 2－2x －3。
初中中考复习之二次函数的图象和性质(精编含答案)
中考复习之二次函数的图象和性质一、选择题1.已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示对称轴为21-=x 。
下列结论中，正确的是【 】A ．0abc >B ．0a b +=C ．20b c >+D ．42a c b +< 2.已知二次函数y=﹣x 2﹣7x+，若自变量x 分别取x 1，x 2，x 3，且0＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是【 】A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＜y 2＜y 3C ．y 2＞y 3＞y 1D ．y 2＜y 3＜y 13.如图，已知抛物线y 1=﹣2x 2+2，直线y 2=2x+2，当x 任取一值时，x 对应的函数值分别为y 1、y 2．若y 1≠y 2，取y 1、y 2中的较小值记为M ；若y 1=y 2，记M=y 1=y 2．例如：当x=1时，y 1=0，y 2=4，y 1＜y 2，此时M=0．下列判断：①当x ＞0时，y1＞y 2； ②当x ＜0时，x 值越大，M 值越小； ③使得M 大于2的x 值不存在； ④使得M=1的x 值是或．其中正确的是【 】A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④4.已知二次函数()()2y=a x 2+c a 0>-，当自变量x 3，0时，对应的值分别为123y y y ，，，则123y y y ，，的大小关系正确的是【 】A. 321y y y <<B. 123y y y <<C. 213y y y <<D. 312y y y <<5.关于x 的二次函数()()y=x+1x m -，其图象的对称轴在y 轴的右侧，则实数m 的取值范围是【 】 A. m <1- B. 1<m<0- C. 0<m<1 D. m >16.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，它与x 轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c ＜0；④8a+c＞0．其中正确的有【 】A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个7. 已知抛物线y=ax 2﹣2x+1与x 轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是【 】A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限8.抛物线2y x 12=-+（）的顶点坐标是【 】A ．（－1，2）B ．（－1，－2）C ．（1，－2）D ．（1，2）9.如图为二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象，则下列说法： ①a＞0 ②2a+b=0 ③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x ＜3时，y ＞0 其中正确的个数为【 】A ．1B ．2C ．3D ．410.如图，已知抛物线与x 轴的一个交点A （1，0），对称轴是x=﹣1，则该抛物线与x 轴的另一交点坐标是【 】A ．（﹣3，0）B ．（﹣2，0）C ．x=﹣3D ．x=﹣211.二次函数y=ax 2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（﹣1，0）．设t=a+b+1，则t 值的变化范围是【 】A ．0＜t ＜1B ．0＜t ＜2C ．1＜t ＜2D ．﹣1＜t ＜112.若二次函数22y ax bx a 2=++-（a ，b 为常数）的图象如图，则a 的值为【 】A. 1B. 2C. 2-D. -213.设二次函数2y x bx c =++，当x 1≤时，总有y 0≥，当1x 3≤≤时，总有y 0≤，那么c 的取值范围是【 】A.c 3=B.c 3≥C.1c 3≤≤D.c 3≤ 14.对于二次函数y 2(x 1)(x 3)=+-，下列说法正确的是【 】A. 图象的开口向下B. 当x>1时，y 随x 的增大而减小C. 当x<1时，y 随x 的增大而减小D. 图象的对称轴是直线x=－1 15.如图，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点B 坐标（﹣1，0），下面的四个结论：①OA=3；②a+b+c＜0；③ac＞0；④b 2﹣4ac ＞0．其中正确的结论是【 】A ．①④B ．①③C ．②④D ．①② 16.抛物线234y x x =--+ 与坐标轴的交点个数是【 】 A ．3 B ．2 C ．1 D ．017.如图，二次函数的图象经过（－2，－1），（1，1）两点，则下列关于此二次函数的说法正确的是【 】A ．y 的最大值小于0B ．当x=0时，y 的值大于1C ．当x=－1时，y 的值大于1D ．当x=－3时，y 的值小于018.二次函数y=ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象如图所示，给出下列结论：① b 2－4ac>0；② 2a＋b<0；③ 4a－2b ＋c=0；④ a︰b ︰c= －1︰2︰3.其中正确的是【 】 (A ) ①② (B) ②③ (C) ③④ (D)①④19.二次函数2y ax bx =+的图象如图，若一元二次方程20ax bx m ++=有实数根，则m 的最大值为【 】A ．3-B ．3C ．6-D ．920.设A 1(2)y -，，B 2(1)y ，，C 3(2)y ，是抛物线2(1)y x a =-++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为【 】A ．213y y y >>B ．312y y y >>C ．321y y y >>D ．312y y y >>21.二次函数()2y=ax +bx+c a 0≠的图象如图所示，下列结论错误的是【 】 A.abc ＞0 B.3a ＞2b C.m （am ＋b ）≤a－b D.4a －2b ＋c ＜0 22.已知二次函数y=2（x ﹣3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x ＜3时，y 随x 的增大而减小．则其中说法正确的有【 】 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个23.抛物线2y ax bx 3=+-经过点（2，4），则代数式8a 4b 1++的值为【 】A ．3B ．9C ．15D ．15-24.如图，抛物线y 1=a （x ＋2）2－3与y 2=12（x －3）2＋1交于点A （1，3），过点A 作x 轴的平行线，分别交两条抛物线于点B ，C ．则以下结论：①无论x 取何值，y 2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y 2－y 1=4；④2AB=3AC；其中正确结论是【 】A ．①②B ．②③ C．③④ D．①④25.二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则函数值y 0<时x 的取值范围是【 】 A ．x 1<- B ．x ＞3 C ．－1＜x ＜3 D ．x 1<-或x ＞3 26.抛物线y ＝－2x 2＋1的对称轴是【 】 A ．直线1x=2 B ．直线1x=2-C ．y 轴D ．直线x ＝2 27.已知二次函数y ＝a(x ＋1)2－b(a≠0)有最小值，则a ，b 的大小关系为【 】 A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ＝b D ．不能确定28.如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(－1，1)、(2，－1)．下列关于这个二次函数的叙述正确的是【 】A ．当x ＝0时，y 的值大于1B ．当x ＝3时，y 的值小于0C ．当x ＝1时，y 的值大于1D ．y 的最大值小于029.已知二次函数y=ax 2+bx+c(a≠O)的图象如图所示，现有下列结论：①abc>0 ②b 2－4ac<0 ⑤c<4b ④a＋b>0，则其中正确结论的个数是【 】 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个30.抛物线2y ax bx c =++与x 轴的交点坐标是(－l ，0)和(3，0)，则这条抛物线的对称轴是【 】．A ．直线x=－1 8．直线x=0 C ．直线x=1 D ．直线x= 3 31如图是二次函数2y=ax +bx+c 的部分图象，由图象可知不等式2ax +bx+c<0的解集是【 】A ．1<x<5-B ．x>5C ．x<1-且x>5D ．1<x -或x>5 二、填空题：1.二次函数622+-=x x y 的最小值是 ．2.已知点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）在二次函数y=（x －1）2+1的图象上，若x 1＞x 2＞1，则y 1 y 2. 3.若抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点是A （2，1），且经过点B （1，0），则抛物线的函数关系式为 ． 4.对于二次函数2y x 2mx 3=--，有下列说法：①它的图象与x 轴有两个公共点；②如果当x ≤1时y 随x 的增大而减小，则m 1=； ③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m 1=-；④如果当x 4=时的函数值与x 2008=时的函数值相等，则当x 2012=时的函数值为3-．其中正确的说法是 ．（把你认为正确说法的序号都填上） 5.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象的对称轴是直线x ＝1，其图象的一部分如图所示．下列说法正确的是 (填正确结论的序号)．①abc＜0；②a－b ＋c ＜0；③3a＋c ＜0；④当－1＜x ＜3时，y ＞0．6.二次函数n x x y +-=62的部分图像如图所示，若关于x 的一元二次方程062=+-n x x 的一个解为11=x ，则另一个解2x = ．7.二次函数2y x 2x 3=--的图象如图所示．当y ＜0时，自变量x 的取值范围是 ．8.当x= 时，二次函数y=x 2+2x ﹣2有最小值．9.如图，在平面直角坐标系中，点A 是抛物线()2y=a x 3+k -与y 轴的交点，点B 是这条抛物线上的另一点，且AB∥x 轴，则以AB 为边的等边三角形ABC 的周长为 .10.若抛物线2y ax bx c =++经过点(－1，10)，则a b c -+= ． 11.已知二次函数y=－x 2－2x ＋3的图象上有两点A(－7，1y )，B(－8，2y )，则1y 2y .（用>、<、=填空）． 12.将抛物线y=x 2+x 向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是 ． 三、解答题1.已知二次函数23y (t 1)x 2(t 2)x 2=++++在x 0=和x 2=时的函数值相等。
2019年中考数学专题复习第十四讲二次函数的图象和性质(含详细参考答案)(可编辑修改word版)
2019 年中考数学专题复习第十四讲二次函数的图象和性质【基础知识回顾】一、二次函数的定义：一般地如果y= （a、b、c 是常数a≠0）那么y 叫做x 的二次函数。
【名师提醒：1、二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的结构特征是：等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是，按项、项、项依次排列2、强调二次项系数a 0】二、二次函数的图象和性质：1、二次函数y=kx 2+bx+c(a≠0)的图象是一条，其定点坐标为对称轴是。
b2、在抛物y=ax 2+bx+c(a≠0)中：①、当a>0 时，开口向，当x<- 2a 时，y随x 的增大而，当x 时，y 随x 的增大而增大，②、当a<0 时，开b口向，当x<-2a 时，y 随x 增大而增大，当x 时，y 随x 增大而减小【名师提醒：注意几个特殊形式的抛物线的特点1、y=ax2 ,对称轴顶点坐标2、y= ax2 +k，对称轴顶点坐标3、y=a(x-h) 2 对称轴顶点坐标4、y=a(x-h) 2 +k 对称轴顶点坐标】三、二次函数图象的平移⎨⎨【名师提醒：二次函数的平移本质可看作是顶点间的平移，因此要掌握整条抛物线的平移，只需抓住关键的顶点平移即可】四、二次函数 y= ax 2+bx+c 的同象与字母系数之间的关系： a:开口方向 向上则 a 0,向下则 a 0 ｜a ｜越大，开口越b:对称轴位置，与 a 联系一起，用左 右 判断，当 b=0 时，对称轴是c:与 y 轴的交点： 交点在 y 轴正半轴上， 则 c 0， 在 y 轴负半轴上则 c 0，当 c=0 时，抛物线过 点【名师提醒：在抛物线 y= ax 2+bx+c 中，当 x=1 时，y= 当 x=-1 时y=,经常根据对应的函数值判断 a+b+c 和 a-b+c 的符号】【重点考点例析】考点一：二次函数图象上点的坐标特点例 1 （2018•湖州）已知抛物线 y=ax 2+bx-3（a≠0）经过点（-1，0），（3，0）， 求 a ，b 的值．【思路分析】根据抛物线 y=ax 2+bx-3（a≠0）经过点（-1，0），（3，0），可以求得 a 、b 的值，本题得以解决．【解答】解：∵抛物线 y=ax 2+bx-3（a≠0）经过点（-1，0），（3，0）， ⎧a - b - 3＝0 ∴ ， ⎩9a + 3b - 3＝0解得， ⎧a ＝1，⎩b ＝- 2即 a 的值是 1，b 的值是-2．【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．考点二：二次函数的图象和性质例2 （2018•德州）如图，函数y=ax2-2x+1 和y=ax-a（a 是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A.B．C．D．【思路分析】可先根据一次函数的图象判断a 的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．【解答】解：A、由一次函数y=ax-a 的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2-2x+1的图象应该开口向下，故选项错误；B、由一次函数y=ax-a 的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2-2x+1 的图象应该开口向上，对称轴x=- -2＞0，故选项正确；2aC、由一次函数y=ax-a 的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2-2x+1 的图象应该开口向上，对称轴x=- -2＞0，和x 轴的正半轴相交，故选项错误；2aD、由一次函数y=ax-a 的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2-2x+1 的图象应该开口向上，故选项错误．故选：B．【点评】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y=ax-a 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．2 例3 （2018•新疆）如图，已知抛物线 y 1=-x 2+4x 和直线 y 2=2x ．我们规定：当 x 取任意一个值时，x 对应的函数值分别为 y 1 和 y 2，若 y 1≠y 2，取 y 1 和 y 2 中较小值为 M ；若 y 1=y 2，记 M=y 1=y 2．①当 x ＞2 时，M=y 2；②当 x ＜0 时，M 随 x 的增大而增大；③使得 M 大于4 的 x 的值不存在；④若 M=2，则 x=1．上述结论正确的是 （填写所有正确结论的序号）．【思路分析】①观察函数图象，可知：当 x ＞2 时，抛物线 y 1=-x 2+4x 在直线 y 2=2x 的下方，进而可得出当 x ＞2 时，M=y 1，结论①错误；②观察函数图象，可知：当 x ＜0 时，抛物线 y 1=-x 2+4x 在直线 y 2=2x 的下方，进而可得出当x ＜0 时，M=y 1，再利用二次函数的性质可得出 M 随x 的增大而增大，结论②正确；③利用配方法可找出抛物线 y 1=-x 2+4x 的最大值，由此可得出：使得 M 大于 4 的 x 的值不存在，结论③正确；④利用一次函数图象上点的坐标特征及二次函数图象上点的坐标特征求出当M=2 时的 x 值，由此可得出：若 M=2，则 x=1 或 2+ ，结论④错误．此题得解．【解答】解：①当 x ＞2 时，抛物线 y 1=-x 2+4x 在直线 y 2=2x 的下方， ∴当 x ＞2 时，M=y 1，结论①错误；②当 x ＜0 时，抛物线 y 1=-x 2+4x 在直线 y 2=2x 的下方， ∴当 x ＜0 时，M=y 1，∴M 随 x 的增大而增大，结论②正确； ③∵y 1=-x 2+4x=-（x-2）2+4， ∴M 的最大值为 4，∴使得 M 大于 4 的 x 的值不存在，结论③正确；2 2 2 ④当 M=y 1=2 时，有-x 2+4x=2，解得：x 1=2- （舍去），x 2=2+ ； 当 M=y 2=2 时，有 2x=2， 解得：x=1．∴若 M=2，则 x=1 或 2+ ，结论④错误．综上所述：正确的结论有②③． 故答案为：②③．【点评】本题考查了一次函数的性质、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐 标特征以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．考点三：抛物线的特征与 a 、b 、c 的关系例 4 （2018•滨州）如图，若二次函数 y=ax 2+bx+c （a≠0）图象的对称轴为 x=1， 与 y 轴交于点 C ，与 x 轴交于点 A 、点 B （-1，0），则 ①二次函数的最大值为 a+b+c ； ②a-b+c ＜0； ③b 2-4ac ＜0；④当 y ＞0 时，-1＜x ＜3，其中正确的个数是（）A.1 B ．2 C ．3D ．4【思路分析】直接利用二次函数的开口方向以及图象与 x 轴的交点，进而分别分析得出答案．【解答】解：①∵二次函数 y=ax 2+bx+c （a ≠0）图象的对称轴为 x=1，且开口向下， ∴x=1 时，y=a+b+c ，即二次函数的最大值为 a+b+c ，故①正确；②当x=-1 时，a-b+c=0，故②错误；③图象与x 轴有 2 个交点，故b2-4ac＞0，故③错误；④∵图象的对称轴为x=1，与x 轴交于点A、点B（-1，0），∴A（3，0），故当y＞0 时，-1＜x＜3，故④正确．故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数最值等知识，正确得出A 点坐标是解题关键．考点四：抛物线的平移例5 （2018•广安）抛物线y=（x-2）2-1 可以由抛物线y=x2 平移而得到，下列平移正确的是（）A.先向左平移2 个单位长度，然后向上平移1 个单位长度B.先向左平移2 个单位长度，然后向下平移1 个单位长度C.先向右平移2 个单位长度，然后向上平移1 个单位长度D.先向右平移2 个单位长度，然后向下平移1 个单位长度【思路分析】抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究．【解答】解：抛物线y=x2 顶点为（0，0），抛物线y=（x-2）2-1 的顶点为（2，-1），则抛物线y=x2 向右平移2 个单位，向下平移1 个单位得到抛物线y=（x-2）2-1的图象．故选：D．【点评】本题考查二次函数图象平移问题，解答时最简单方法是确定平移前后的抛物线顶点，从而确定平移方向．考点五：二次函数的应用例6 （2018•衢州）某游乐园有一个直径为16 米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3 米处达到最高，高度为5 米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x 轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．（1） 求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；（2） 王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高 18.米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？（3） 经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到 32 米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．【思路分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点（8，0），求出 a 值，此题得解；（2） 利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当 y=1.8 时 x 的值，由此即可得出结论；（3） 利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与 y 轴的交点坐标，由抛物线的形状不变可设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为 y=- 1 x 2+bx+ 16，代入点（16，0）可求出 b 值，再利用配方法将二次函数表达式变 5 5 形为顶点式，即可得出结论．【解答】解：（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为 y=a （x-3）2+5（a≠0），将（8，0）代入 y=a （x-3）2+5，得：25a+5=0，解得：a=- 1，5∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=- 1 （x-3）2+5（0＜x ＜8）．5（2）当 y=1.8 时，有- 1（x-3）2+5=1.8，5 解得：x 1=-1，x 2=7，∴为了不被淋湿，身高 1.8 米的王师傅站立时必须在离水池中心 7 米以内．（3）当 x=0 时，y=- 1 （x-3）2+5= 16．5 5设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为1216，∵该函数图象过点（16，0），y=- x +bx+5 5∴12160=- ×16 +16b+ ，解得：b=3，5 5∴改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=- 1x2+3x+16=-5 51（x- 15）2+289．5 2 20∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为289米．20【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出当y=1.8 时x 的值；（3）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式．考点六：二次函数综合题例7（2018•郴州）如图1，已知抛物线y=-x2+bx+c 与x 轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y 轴交于C 点，点P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l 与x 轴的交点为D．在直线l 上是否存在点M，使得四边形CDPM 是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC 的面积为S．①求S 关于t 的函数表达式；⎨-9 + 3b + c ＝0 ⎨c ＝3 ②求 P 点到直线 BC 的距离的最大值，并求出此时点 P 的坐标．【思路分析】（1）由点 A 、B 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2） 连接 PC ，交抛物线对称轴 l 于点 E ，由点 A 、B 的坐标可得出对称轴 l 为直线 x=1，分 t=2 和 t≠2 两种情况考虑：当 t=2 时，由抛物线的对称性可得出此时存在点 M ，使得四边形 CDPM 是平行四边形，再根据点 C 的坐标利用平行四边形的性质可求出点 P 、M 的坐标；当 t≠2 时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合 CE≠PE 可得出此时不存在符合题意的点 M ；（3） ①过点 P 作 PF ∥y 轴，交 BC 于点 F ，由点 B 、C 的坐标利用待定系数法可求出直线 BC 的解析式，根据点 P 的坐标可得出点 F 的坐标，进而可得出 PF 的长度，再由三角形的面积公式即可求出 S 关于 t 的函数表达式；②利用二次函数的性质找出 S 的最大值，利用勾股定理可求出线段 BC 的长度， 利用面积法可求出 P 点到直线 BC 的距离的最大值，再找出此时点 P 的坐标即可得出结论．【解答】解：（1）将 A （-1，0）、B （3，0）代入 y=-x 2+bx+c ，⎧-1- b + c ＝0⎩，解得： ⎧b ＝2， ⎩∴抛物线的表达式为 y=-x 2+2x+3．（2） 在图 1 中，连接PC，交抛物线对称轴l 于点E，∵抛物线y=-x2+bx+c 与x 轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x=1．当t=2 时，点C、P 关于直线l 对称，此时存在点M，使得四边形CDPM 是平行四边形．∵抛物线的表达式为y=-x2+2x+3，∴点 C 的坐标为（0，3），点P 的坐标为（2，3），∴点M 的坐标为（1，6）；当t≠2 时，不存在，理由如下：若四边形CDPM 是平行四边形，则CE=PE，∵点 C 的横坐标为0，点 E 的横坐标为0，∴点P 的横坐标t=1×2-0=2．又∵t≠2，∴不存在．（3）①在图2 中，2⎩ ⎩过点 P 作 PF ∥y 轴，交 BC 于点 F ．设直线 BC 的解析式为 y=mx+n （m≠0），⎧3m + n ＝0⎧m ＝-1 将 B （3，0）、C （0，3）代入 y=mx+n ， ⎨n ＝3 ，解得： ⎨n ＝3 ，∴直线 BC 的解析式为 y=-x+3． ∵点 P 的坐标为（t ，-t 2+2t+3）， ∴点 F 的坐标为（t ，-t+3），∴PF=-t 2+2t+3-（-t+3）=-t 2+3t ，∴ S = 1 PF • OB = - 3 t 2 + 9 t = - 3 t - 3 2 + 27 ．（ ）2 2 2 2 2 83②∵ - ＜0 ，2∴当t = 32 27时，S 取最大值，最大值为 ．8∵点 B 的坐标为（3，0），点 C 的坐标为（0，3），∴线段 BC= =3 ，227 ⨯ 2∴P 点到直线 BC 的距离的最大值为 8 =3 8 ，此时点 P 的坐标为（ 3 15，2 4）．OB 2+ OC 29 20 【点评】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定 与性质、三角形的面积、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线表达式；（2） 分 t=2 和 t≠2 两种情况考虑；（3）①利用三角形的面积公式找出 S 关于 t 的函数表达式；②利用二次函数的性质结合面积法求出 P 点到直线BC 的距离的最大值．【备考真题过关】一、选择题1. （2018•长沙）若对于任意非零实数 a ，抛物线 y=ax 2+ax-2a 总不经过点P （x 0-3，x 2-16），则符合条件的点P （ ）A. 有且只有 1 个B. 有且只有 2 个C. 有且只有 3 个D ．有无穷多个2. （2018•河北）对于题目“一段抛物线 L ：y=-x （x-3）+c （0≤x≤3）与直线 l ：y=x+2有唯一公共点，若 c 为整数，确定所有 c 的值，”甲的结果是 c=1，乙的结果是 c=3或 4， 则 （ ）A ．甲的结果正确B ．乙的结果正确C ．甲、乙的结果合在一起才正确D ．甲、乙的结果合在一起也不正确3. （2018•青岛）已知一次函数 by= x+c a 的图象如图，则二次函数 y=ax 2+bx+c 在 平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．4. （2018•临安区）抛物线y=3（x-1）2+1 的顶点坐标是（）A．（1，1）B．（-1，1）C．（-1，-1）D．（1，-1）5.（2018•上海）下列对二次函数y=x2-x 的图象的描述，正确的是（）A．开口向下B．对称轴是y 轴C．经过原点D．在对称轴右侧部分是下降的6.（2018•成都）关于二次函数y=2x2+4x-1，下列说法正确的是（）A.图象与y 轴的交点坐标为（0，1）B.图象的对称轴在y 轴的右侧C.当x＜0 时，y 的值随x 值的增大而减小D．y 的最小值为-37.（2018•宁波）如图，二次函数y=ax2+bx 的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P 的横坐标为-1，则一次函数y=（a-b）x+b 的图象大致是（）A．B．C．D．8.（2018•白银）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）图象的一部分，与x 轴的交点A 在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m 为实数）；⑤ 当-1＜x＜3 时，y＞0，其中正确的是（）A．①②④B．①②⑤C．②③④D．③④⑤9.（2018•凉山州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则下列结论错误的是（）A.4a+b=0B.a+b＞0C．a：c=-1：5D．当-1≤x≤5 时，y＞010.（2018•恩施州）抛物线y=ax2+bx+c 的对称轴为直线x=-1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc＞0；②b2-4ac＞0；③9a-3b+c=0；④若点（-0.5，y1），（-2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；⑤5a-2b+c＜0．其中正确的个数有（）A．2 B．3C．4 D．511. （2018•阜新）如图，抛物线y=ax2+bx+c 交x 轴于点（-1，0）和（4，0），那么下列说法正确的是（）A．ac＞0B．b2-4ac＜0C．对称轴是直线x=2.5D．b＞012．（2018•哈尔滨）将抛物线y=-5x2+1 向左平移1 个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（）A．y=-5（x+1）2-1 B．y=-5（x-1）2-1C．y=-5（x+1）2+3 D．y=-5（x-1）2+313．（2018•曲靖一模）抛物线y=2（x+3）2向右平移2 个单位后，得到抛物线y=2（x-h）2，则h 为（）A．-1 B．1C．-5 D．514．（2018•潍坊）已知二次函数y=-（x-h）2（h 为常数），当自变量x 的值满足2≤x≤5 时，与其对应的函数值y 的最大值为-1，则h 的值为（）A．3 或6 B．1 或6C．1 或3 D．4 或615．（2018•黄冈）当a≤x≤a+1 时，函数y=x2-2x+1 的最小值为1，则a 的值为（）A．-1 B．2C．0 或2 D．-1 或2二、填空题16．（2018•广州）已知二次函数y=x2，当x＞0 时，y 随x 的增大而（填“增大”或“减小”）．17．（2018•哈尔滨）抛物线y=2（x+2）2+4 的顶点坐标为．18.（2018•广安）已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的有．①abc＞0②方程ax2+bx+c=0 的两个根是x1=-1，x2=3③2a+b=0④当x＞0 时，y 随x 的增大而减小19.（2018•乌鲁木齐）把拋物线y=2x2-4x+3 向左平移1 个单位长度，得到的抛物线的解析式为．20.（2018•淮安）将二次函数y=x2-1 的图象向上平移3 个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是．21.（2018•自贡）若函数y=x2+2x-m 的图象与x 轴有且只有一个交点，则m 的值为．22.（2018•长春）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx 交x 轴的负半轴于点A．点B 是y 轴正半轴上一点，点A 关于点B 的对称点A′恰好落在抛物线上．过点A′作x 轴的平行线交抛物线于另一点C．若点A′的横坐标为1，则A′C 的长为．23．（2018•长春）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=x 2+mx 交 x 轴的负半轴于点 A ．点 B 是 y 轴正半轴上一点，点 A 关于点 B 的对称点 A′恰好落在抛物线上．过点 A′作 x 轴的平行线交抛物线于另一点 C ．若点 A′的横坐标为 1，则 A′C 的长为．24．（2018•淄博）已知抛物线 y=x 2+2x-3 与 x 轴交于 A ，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），将这条抛物线向右平移 m （m ＞0）个单位，平移后的抛物线于 x 轴交于 C ，D 两点（点 C 在点 D 的左侧），若 B ，C 是线段 AD 的三等分点，则 m 的值为．三、解答题25．（2018•宁波）已知抛物线 y=- 1x 2+bx+c 经过点（1，0），（0 32 （1） 求该抛物线的函数表达式；， ）．2（2） 将抛物线 1 2平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的 y=- x +bx+c2方法及平移后的函数表达式．26．（2018•北京）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=4x+4 与 x 轴，y 轴分别交于点 A ，B ，抛物线 y=ax 2+bx-3a 经过点 A ，将点 B 向右平移 5 个单位长度，得到点 C ．（1） 求点 C 的坐标； （2） 求抛物线的对称轴；（3） 若抛物线与线段 BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求 a 的取值范围．27．（2018•十堰）为早日实现脱贫奔小康的宏伟目标，我市结合本地丰富的山水资源，大力发展旅游业，王家庄在当地政府的支持下，办起了民宿合作社，专门接待游客，合作社共有80 间客房．根据合作社提供的房间单价x（元）和游客居住房间数y（间）的信息，乐乐绘制出y 与x 的函数图象如图所示：（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）合作社规定每个房间价格不低于60 元且不超过150 元，对于游客所居住的每个房间，合作社每天需支出20 元的各种费用，房价定为多少时，合作社每天获利最大？最大利润是多少？28．（2018•福建）如图，在足够大的空地上有一段长为a 米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100 米木栏．（1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450 平方米，求所利用旧墙AD 的长；（2）求矩形菜园ABCD 面积的最大值．29．（2018•葫芦岛）某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3 元．试销期间发现每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5，另外每天还需支付其他费用80 元．销售单价x（元） 3.5 5.5销售量y（袋）280120（1）请直接写出y 与x 之间的函数关系式；（2）如果每天获得160 元的利润，销售单价为多少元？（3）设每天的利润为w 元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？30. （2018•德州）如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x-1 与抛物线y=-x2+bx+c 交于A、B 两点，其中A（m，0）、B（4，n），该抛物线与y 轴交于点C，与x 轴交于另一点D．（1）求m、n 的值及该抛物线的解析式；（2）如图2，若点P 为线段AD 上的一动点（不与A、D 重合），分别以AP、DP为斜边，在直线AD 的同侧作等腰直角△APM 和等腰直角△DPN，连接MN，试确定△MPN 面积最大时P 点的坐标；（3）如图3，连接BD、CD，在线段CD 上是否存在点Q，使得以A、D、Q 为顶点的三角形与△ABD 相似，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．0 00 0 0 2019 年中考数学专题复习第十四讲 二次函数的图象和性质参考答案【备考真题过关】一、选择题1. 【思路分析】根据题意可以得到相应的不等式，然后根据对于任意非零实数 a ，抛物线 y=ax 2+ax-2a 总不经过点 P （x 0-3，x 2-16），即可求得点 P 的坐标，从而可以解答本题．【解答】解：∵对于任意非零实数 a ，抛物线 y=ax 2+ax-2a 总不经过点 P （x 0-3，x 2- 16），∴x 2-16≠a （x -3）2+a （x -3）-2a∴（x 0-4）（x 0+4）≠a （x 0-1）（x 0-4）∴（x 0+4）≠a （x 0-1）∴x 0=-4 或 x 0=1，∴点 P 的坐标为（-7，0）或（-2，-15）故选：B ．【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意， 利用二次函数的性质解答．2. 【思路分析】两函数组成一个方程组，得出一个方程，求出方程中的△=-4+4c=0， 求出 c ，再根据 x 的范围判定即可．【解答】解：把 y=x+2 代入 y=-x （x-3）+c 得：x+2=-x （x-3）+c ，即 x 2-2x+2-c=0，所以△=（-2）2-4×1×（2-c ）=-4+4c=0，解得：c=1，当 c=1 时，y=-x 2+3x+1，当 0≤x≤3 时，抛物线和直线 y=x+2 没有交点，即甲、乙都错误；故选：D ．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征和一元二次方程的根的判别式等知识点，能得出一个关于x 的一元二次方程是解此题的关键．3.b0、c＞0，由此即【思路分析】根据一次函数图象经过的象限，即可得出＜a可得出：二次函数y=ax2+bx+c 的图象对称轴x=- b2a＞0，与y 轴的交点在y 轴负正半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．b【解答】解：观察函数图象可知：＜0、c＞0，a∴二次函数y=ax2+bx+c 的图象对称轴x=- b 2a故选：A．＞0，与y 轴的交点在y 轴负正半轴．【点评】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据一次函数图象经b过的象限，找出＜0、c＞0 是解题的关键．a4.【思路分析】已知抛物线顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k）．【解答】解：∵抛物线y=3（x-1）2+1 是顶点式，∴顶点坐标是（1，1）．故选A．【点评】本题考查由抛物线的顶点坐标式写出抛物线顶点的坐标，比较容易．5.【思路分析】A、由a=1＞0，可得出抛物线开口向上，选项A 不正确；B、根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为直线x= 1，选项B 不正确；2C、代入x=0 求出y 值，由此可得出抛物线经过原点，选项C 正确；D、由a=1＞0 及抛物线对称轴为直线x= 1，利用二次函数的性质，可得出当x＞21时，y 随x 值的增大而增大，选项 D 不正确．2综上即可得出结论．【解答】解：A、∵a=1＞0，∴抛物线开口向上，选项 A 不正确；B 、∵ - b = 1 ，2a 2∴抛物线的对称轴为直线 x= 1 ，选项 B 不正确；2C 、当 x=0 时，y=x 2-x=0，∴抛物线经过原点，选项 C 正确；D 、∵a ＞0，抛物线的对称轴为直线 x= 1 ，2 ∴当 x 1 y 随 x 值的增大而增大，选项 D 不正确． ＞ 时， 2故选：C ．【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数的图象，利用二次函数的性质逐一分析四个选项的正误是解题的关键．6. 【思路分析】根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立， 从而可以解答本题．【解答】解：∵y=2x 2+4x-1=2（x+1）2-3，∴当 x=0 时，y=-1，故选项 A 错误，该函数的对称轴是直线 x=-1，故选项 B 错误，当 x ＜-1 时，y 随 x 的增大而减小，故选项 C 错误，当 x=-1 时，y 取得最小值，此时 y=-3，故选项 D 正确，故选：D ．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题 意，利用二次函数的性质解答．7. 【思路分析】根据二次函数的图象可以判断 a 、b 、a-b 的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限，本题得以解决．【解答】解：由二次函数的图象可知，a ＜0，b ＜0，当 x=-1 时，y=a-b ＜0，∴y=（a-b）x+b 的图象在第二、三、四象限，故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想解答．8.【思路分析】由抛物线的开口方向判断a 与0 的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0 的关系，然后根据对称轴判定b 与0 的关系以及2a+b=0；当x=-1 时，y=a-b+c；然后由图象确定当x 取何值时，y＞0．【解答】解：①∵对称轴在y 轴右侧，∴a、b 异号，∴ab＜0，故正确；b②∵对称轴x =-=1，2a∴2a+b=0；故正确；③∵2a+b=0，∴b=-2a，∵当x=-1 时，y=a-b+c＜0，∴a-（-2a）+c=3a+c＜0，故错误；④根据图示知，当m=1 时，有最大值；当m≠1 时，有am2+bm+c≤a+b+c，所以a+b≥m（am+b）（m 为实数）．故正确．⑤如图，当-1＜x＜3 时，y 不只是大于0．故错误．故选：A．【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a 决定抛物线的开口方向，当a＞0 时，抛物线向上开口；当a＜0 时，抛物线向下开口；②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab＜0），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）③常数项c 决定抛物线与y 轴交点，抛物线与y 轴交于（0，c）．9.【思路分析】根据二次函数图象与性质即可求出答案．【解答】解：（A）由对称轴x=2 可知，− b=2，2a∴4a+b=0，故 A 正确；（B）令x=0，y=c，令x=1，y=a+b+c，∴a+b+c＞c，即a+b＞0，故 B 正确；（C）由A 选项可知：b=-4a令x=-1，所以a-b+c=0，∴a+4a+c=0，∴c=-5a，故 C 正确；（D）由图可知：抛物线过（-1，0），对称轴为x=2，故抛物线过（5，0）∴当-1≤x≤5 时，y≥0，故 D 错误故选：D．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．10.【思路分析】根据二次函数的性质一一判断即可．【解答】解：∵抛物线对称轴x=-1，经过（1，0），b∴-=-1，a+b+c=0，2a∴b=2a，c=-3a，∵a＞0，∴b＞0，c＜0，∴abc＜0，故①错误，∵抛物线与x 轴有交点，∴b2-4ac＞0，故②正确，∵抛物线与x 轴交于（-3，0），∴9a-3b+c=0，故③正确，∵点（-0.5，y1），（-2，y2）均在抛物线上，-1.5＞-2，则y1＜y2；故④错误，∵5a-2b+c=5a-4a-3a=-2a＜0，故⑤正确，故选：B．【点评】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．11.【思路分析】直接利用二次函数图象与系数的关系进而分析得出答案．【解答】解：A、∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y 轴交在正半轴上，∴c＞0，∴ac＜0，故此选项错误；B、∵抛物线与x 轴有2 个交点，∴b2-4ac＞0，故此选项错误；C、∵抛物线y=ax2+bx+c 交x 轴于点（-1，0）和（4，0），∴对称轴是直线x=1.5，故此选项错误；D、∵a＜0，抛物线对称轴在y 轴右侧，∴a，b 异号，∴b＞0，故此选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，正确掌握各项符号判断方法是解题关键．12.【思路分析】直接利用二次函数图象与几何变换的性质分别平移得出答案．【解答】解：将抛物线y=-5x2+1 向左平移1 个单位长度，得到y=-5（x+1）2+1，再向下平移2 个单位长度，所得到的抛物线为：y=-5（x+1）2-1．故选：A．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．13.【思路分析】根据平移的性质“左加右减”，即可得出关于h 的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：根据题意得：3-2=-h，解得：h=-1．故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变化，牢记“左加右减，上加下减”是解题的关键．14.【思路分析】分h＜2、2≤h≤5 和h＞5 三种情况考虑：当h＜2 时，根据二次函数的性质可得出关于h 的一元二次方程，解之即可得出结论；当2≤h≤5 时，由此时函数的最大值为0 与题意不符，可得出该情况不存在；当h＞5 时，根据二次函数的性质可得出关于h 的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论．【解答】解：如图：当h＜2 时，有-（2-h）2=-1，解得：h1=1，h2=3（舍去）；当2≤h≤5 时，y=-（x-h）2的最大值为0，不符合题意；当h＞5 时，有-（5-h）2=-1，解得：h3=4（舍去），h4=6．综上所述：h 的值为1 或6．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分h＜2、2≤h≤5 和h＞5 三种情况求出h 值是解题的关键．15.【思路分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=1 时x 的值，结合当a≤x≤a+1 时函数有最小值1，即可得出关于a 的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：当y=1 时，有x2-2x+1=1，解得：x1=0，x2=2．∵当a≤x≤a+1 时，函数有最小值1，∴a=2 或a+1=0，∴a=2 或a=-1，故选：D．。
2019年广东省数学中考专项复习二次函数的图像和性质有解答
二次函数的图象与性质专项练习广东省2019数学中考预计将在选择、填空题中考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求二次函数表达式。
很可能在解答题中考查二次函数与几何的综合.二次函数内容是整套中考试卷中考查的重点和难点，以此作为区分度较大的必选题材，与初中所学其他知识综合考查，能够掌握基本技能和方法，从容应对.一、选择题1.当y关于x的函数y=(m-2)x|m-3|+4x-5(m是常数)是二次函数时,m的值不可能为( )A.1B.2C.5D.1或52.对于二次函数y=-(x-1)2+2的图象与性质,下列说法正确的是( )A.对称轴是直线x=1,最小值是2B.对称轴是直线x=1,最大值是2C.对称轴是直线x=-1,最小值是2D.对称轴是直线x=-1,最大值是22则该二次函数图象的对称轴为( )A.y轴B.直线x=C.直线x=2D.直线x=4.(2018广西中考)将抛物线y=x2-6x+21向左平移2个单位后,得到新抛物线的解析式为( )A.y=(x-8)2+5B.y=(x-4)2+5C.y=(x-8)2+3D.y=(x-4)2+35.(2018青岛中考)已知一次函数y=x+c的图象如图,则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是( )6.(2018承德模拟)已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点A(1,m),B(3,m).若点M(-2,y1),N(-1,y2),K(8,y3)也在二次函数y=x2+bx+c的图象上,则下列结论正确的是( ) A.y1<y2<y3 B.y2<y1<y3C.y3<y1<y2D.y1<y3<y27.(2018河北模拟)如图,已知抛物线y=a(x-3)2+(a≠0)过点C(0,4),顶点为M,与x轴交于A,B两点,D为AB的中点,CE∥x轴,交抛物线于点E,下列结论中正确的是( )A.抛物线的对称轴是直线x=-3B.CD>ADC.四边形ADEC是菱形D.∠MCD=90°二、填空题8.(2018沧州新华模拟)当2≤x≤5时,二次函数y=-(x-1)2+2的最大值为.9.(2017保定模拟)函数y=x2+2x+1,当y=0时,x= ;当1<x<2时,y随x的增大而(填写“增大”或“减小”).10.(2017衡水模拟)若抛物线y=ax2+bx-1(a≠0)经过点(2,5),则代数式6a+3b+1的值为.11.(2018邯郸模拟)如果点A(0,2)和点B(4,2)都在二次函数y=x2+bx+c的图象上,那么此抛物线在直线的(填“左”或“右”)侧的部分是上升的.三、解答题12.如图所示,已知抛物线y=x2与点A(-5,0),B(3,0),请问在这条抛物线上是否存在点C,D,使得以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形.若存在,请你求出C,D点的坐标,并画出图形;若不存在,请说明理由.提升题组一、选择题1.二次函数y=a(x-4)2-4(a≠0)的图象在2<x<3这一段位于x轴的下方,在6<x<7这一段位于x轴的上方,则a的值为( )A.1B.-1C.2D.-22.(2018廊坊模拟)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则直线y=ax+不经过的象限是( )A.第一象限B.第二象限B.第三象限 D.第四象限C.3.(2018唐山古冶一模)如图,已知在平面直角坐标系xOy中,抛物线m:y=-2x2-2x的顶点为C,与x轴两个交点为P,O.现将抛物线m先向下平移再向右平移,使点C的对应点C'落在x 轴上,点P的对应点P'落在y轴上,则下列各点的坐标不正确的是( )A.C-,B.C'(1,0)C.P(-1,0)D.P',-二、填空题4.二次函数y=x2的图象如图,点O为坐标原点,点A在y轴的正半轴上,点B,C在二次函数y=2的图象上,四边形OBAC为菱形,且∠OBA=120°,则菱形OBAC的面积为.5.(2017河北模拟)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,其对称轴为x=-1,且过点(-3,0).下列说法:①abc<0;②2a-b=0;③4a+2b+c<0;④若(-5,y1),,是抛物线上两点,则y1>y2.其中说法正确的是.6.（2017•葫芦岛）如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，点P和点Q分别从点B和点C 出发，沿射线BC向右运动，且速度相同，过点Q作QH⊥BD，垂足为H，连接PH，设点P运动的距离为x（0＜x≤2），△BPH的面积为S，则能反映S与x之间的函数关系的图象大致为（）A. B.C. D.三、解答题6.(2018唐山模拟)如图,四边形ABCO为矩形,点A在x轴上,点C在y轴上,且点B的坐标为(-1,2),将此矩形绕点O 顺时针方向旋转90°得矩形DEFO,抛物线y=-x 2+bx+c 过B,E 两点. (1)求此抛物线的函数关系式.(2)将矩形ABCO 向左平移,并且使此矩形的中心在此抛物线上,求平移距离.(3)将矩形DEFO 向上平移距离d,并且使此抛物线的顶点在此矩形的边上,求d 的值.7.(2016广东省)如图，在直角坐标系中，直线()10y kx k =+≠与双曲线2y x=（x ＞0）相交于P （1，m ）.（1）求k 的值；（2）若点Q 与点P 关于y=x 成轴对称，则点 Q 的坐标为Q （ ）；（3）若过P 、Q 两点的抛物线与y 轴的交点为 N （0，53），求该抛物线的解析式，并求出抛物 线的对称轴方程.8．（2018广东省）如图，已知顶点为C（0，﹣3）的抛物线y=ax2+b（a≠0）与x轴交于A，B两点，直线y=x+m过顶点C和点B．（1）求m的值；（2）求函数y=ax2+b（a≠0）的解析式；（3）抛物线上是否存在点M，使得∠MCB=15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．精解精析一、选择题1.B2.B3.D ∵当x=1和x=2时的函数值都是-1,∴对称轴为直线x==.4.D5.A 观察函数图象可知:<0,c>0,∴二次函数y=ax2+bx+c的图象对称轴x=->0,与y轴的交点在y轴正半轴.故选A.6.B ∵二次函数的图象过点A(1,m),B(3,m),∴其对称轴为直线x==2.又∵a=1>0,∴当x<2时,y随x的增大而减小;当x>2时,y随x的增大而增大,∴点K关于二次函数图象的对称轴对称的点为(-4,y3),∵-4<-2<-1<2,∴y3>y1>y2.7.D由题意M,,C(0,4),D(3,0),∴OC=4,OD=3,∴CD=5,CM=-=,DM=,∴CD2+CM2=DM2,∴∠MCD=90°,故选D.二、填空题8.1 9.-1;增大10.答案10解析∵抛物线y=ax2+bx-1(a≠0)经过点(2,5),∴4a+2b-1=5,∴2a+b=3,∴6a+3b+1=3(2a+b)+1=3×3+1=10.11.答案x=2,右解析∵点A(0,2)和点B(4,2)都在二次函数y=x2+bx+c的图象上,∴,,解得,,∴该二次函数的表达式为y=x2-4x+2.∵y=x2-4x+2=(x-2)2-2,∴对称轴为直线x=2,∵a=1>0,∴抛物线在直线x=2的右侧的部分是上升.三、解答题12.解析存在.理由如下:∵AB=8,且AB=CD,AB∥CD.∴在抛物线上取点D,,则点C为,.若点C在抛物线y=x2上,则点C还可以表示为,().解方程=(),得a=-4,∴=(-)=6,a+8=-4+8=4.∴存在点C,D,使得以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形,且点C(4,6),点D(-4,6),画出的图形如图所示.一、选择题1.A 二次函数y=a(x-4)2-4(a≠0)的图象的顶点坐标为(4,-4).由于图象在2<x<3这一段位于x轴的下方,在6<x<7这一段位于x轴的上方,所以二次函数y=a(x-4)2-4(a≠0)的图象与x轴的交点坐标为(2,0),(6,0),把(2,0)代入y=a(x-4)2-4(a≠0),解得a=1.2.C 由图象可知抛物线开口向下,∴a<0.∵对称轴在y轴右侧,∴对称轴x=->0,∴b>0.∵抛物线与y轴的交点为在y轴的正半轴上,∴c>0.∵b>0,c>0,∴>0,∴一次函数y=ax+的图象不经过第三象限.故选C.3.B ∵y=-2x2-2x=-2x(x+1)或y=-2+,∴P(-1,0),O(0,0),C-,.又∵将抛物线m先向下平移再向右平移,使点C的对应点C'落在x轴上,点P的对应点P'落在y轴上,∴该抛物线向下平移了个单位,向右平移了1个单位,∴C',,P',-.综上所述,选项B符合题意.故选B.二、填空题4.答案2解析连接CB交OA于 D.∵四边形ACOB是菱形,∴CD=BD,AD=OD,OA⊥BC.∵∠OBA=120°,∴∠OBD=60°,则∠BOD=30°.设B(x,x2),则tan∠BOD===,解得x=1,则BD=1,OD=,OA=2,BC=2,∴菱形面积为OA·BC=×2×2=2.5.答案①②④解析由题图知a>0,b>0,c<0,∴abc<0,故①正确;∵对称轴为直线x=-1,∴-=-1,∴2a-b=0,故②正确;根据抛物线的对称性得当x=2时,y>0,即4a+2b+c>0,故③错误;当x=-5时,y=y1;当x=时,y=y2,根据抛物线的对称性得y1>y2,故④正确.6.A三、解答题6.解析(1)根据题意,点E的坐标为(2,1).把点B,E代入抛物线y=-x2+bx+c,则-(-)-,-,解得,.∴此抛物线的表达式为y=-x 2+x+.(2)∵矩形ABCO 的中心坐标为 -, , ∴1=-x 2+ x+, 解得x=-或x=2.∴平移距离d=- - - =.(3)∵y=-x 2+ x+=- - +, ∴抛物线的顶点坐标为,. ∵E(2,1),∴EF=1.当抛物线的顶点在此矩形的DE 边上时, d=-1=;当抛物线的顶点在此矩形的OF 边上时, d= .综上所述,平移距离d=或d=. 7.解：（1）把P （1，m ）代入2y x=，得2m =， ∴P （1，2）把（1，2）代入1y kx =+，得1k =， （2）（2，1）（3）设抛物线的解析式为2y ax bx c =++，得： 242153a b c a b c c ⎧⎪++=⎪++=⎨⎪⎪=⎩，解得23a =-，1b =，53c =∴22533y x x =-++， ∴对称轴方程为13223x =-=-.8.解：（1）将（0，﹣3）代入y=x+m ， 可得：m=﹣3；（2）将y=0代入y=x ﹣3得：x=3， 所以点B 的坐标为（3，0），将（0，﹣3）、（3，0）代入y=ax 2+b 中， 所以二次函数的解析式为：y=31x 2﹣3； （3）存在，分以下两种情况：①若M 在B 上方，设MC 交x 轴于点D ，则∠ODC=45°+15°=60°， ∴OD=OC •tan30°=3，设DC 为y=kx ﹣3，代入（3，0），可得：k=3， 所以M 1（33，6）；②若M 在B 下方，设MC 交x 轴于点E ，则∠OEC=45°﹣15°=30°， ∴OE=OC •tan60°=33，设EC 为y=kx ﹣3，代入（33，0）可得：k=33， 联立两个方程可得：， 解得：，所以M 2（3，﹣2），综上所述M 的坐标为（33，6）或（3，﹣2）．。
22.1 二次函数的图象和性质 九年级 2019中考 真题
22.1 二次函数的图象和性质一．选择题（共20小题）1．（2019•阿坝州）二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，则直线y＝bx+c不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（2019•阜新）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和点（3，0），则下列说法正确的是（）A．bc＜0 B．a+b+c＞0 C．2a+b＝0 D．4ac＞b2 3．（2019•朝阳）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给出下列结论：①abc＞0；②9a+3b+c＝0；③b2﹣4ac＜8a；④5a+b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2019•西藏）把函数y＝﹣x2的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数y＝﹣（x﹣1）2+1的图象（）A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位B．向左平移1个单位，再向上平移1个单位C．向右平移1个单位，再向上平移1个单位D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位5．（2019•淄博）将二次函数y＝x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位．若得到的函数图象与直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是（）A．a＞3 B．a＜3 C．a＞5 D．a＜5 6．（2019•沈阳）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．abc＜0 B．b2﹣4ac＜0 C．a﹣b+c＜0 D．2a+b＝0 7．（2019•陕西）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与y＝x2﹣（3m+n）x+n关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为（）A．m＝，n＝﹣B．m＝5，n＝﹣6C．m＝﹣1，n＝6 D．m＝1，n＝﹣28．（2019•百色）抛物线y＝x2+6x+7可由抛物线y＝x2如何平移得到的（）A．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位B．先向左平移6个单位，再向上平移7个单位C．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位D．先向右平移3个单位，再向上平移2个单位9．（2019•贵阳）在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线y＝x+上，若抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（）A．a≤﹣2 B．a＜C．1≤a＜或a≤﹣2 D．﹣2≤a＜10．（2019•玉林）已知抛物线C：y＝（x﹣1）2﹣1，顶点为D，将C沿水平方向向右（或向左）平移m个单位，得到抛物线C1，顶点为D1，C与C1相交于点Q，若∠DQD1＝60°，则m等于（）A．±4B．±2C．﹣2或2D．﹣4或4 11．（2019•河池）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，则下列结论中，错误的是（）A．ac＜0 B．b2﹣4ac＞0 C．2a﹣b＝0 D．a﹣b+c＝0 12．（2019•河南）已知抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，则n的值为（）A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4 13．（2019•哈尔滨）将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（）A．y＝2（x+2）2+3 B．y＝2（x﹣2）2+3C．y＝2（x﹣2）2﹣3 D．y＝2（x+2）2﹣314．（2019•呼和浩特）二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．15．（2019•益阳）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0，②b ﹣2a＜0，③b2﹣4ac＜0，④a﹣b+c＜0，正确的是（）A．①②B．①④C．②③D．②④16．（2019•鄂州）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个17．（2019•福建）若二次函数y＝|a|x2+bx+c的图象经过A（m，n）、B（0，y1）、C（3﹣m，n）、D（，y2）、E（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y1 18．（2019•兰州）已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝﹣（x+1）2+2上，则下列结论正确的是（）A．2＞y1＞y2B．2＞y2＞y1C．y1＞y2＞2 D．y2＞y1＞2 19．（2019•成都）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（5，0），下列说法正确的是（）A．c＜0B．b2﹣4ac＜0C．a﹣b+c＜0D．图象的对称轴是直线x＝320．（2019•绍兴）在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+5）（x﹣3）经变换后得到抛物线y ＝（x+3）（x﹣5），则这个变换可以是（）A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向左平移8个单位D．向右平移8个单位二．填空题（共20小题）21．（2019•西宁）平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣x2平移得到抛物线C，如图所示，且抛物线C经过点A（﹣1，0）和B（0，3），点P是抛物线C上第一象限内一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，则OQ+PQ的最大值为．22．（2019•雅安）已知函数y＝的图象如图所示，若直线y＝x+m与该图象恰有三个不同的交点，则m的取值范围为．23．（2019•大庆）如图，抛物线y＝x2（p＞0），点F（0，p），直线l：y＝﹣p，已知抛物线上的点到点F的距离与到直线l的距离相等，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，AA1⊥l，BB1⊥l，垂足分别为A1、B1，连接A1F，B1F，A1O，B1O．若A1F＝a，B1F＝b、则△A1OB1的面积＝．（只用a，b表示）．24．（2019•徐州）已知二次函数的图象经过点P（2，2），顶点为O（0，0）将该图象向右平移，当它再次经过点P时，所得抛物线的函数表达式为．25．（2019•内江）若x、y、z为实数，且，则代数式x2﹣3y2+z2的最大值是．26．（2019•镇江）已知抛物线y＝ax2+4ax+4a+1（a≠0）过点A（m，3），B（n，3）两点，若线段AB的长不大于4，则代数式a2+a+1的最小值是．27．（2019•天门）矩形的周长等于40，则此矩形面积的最大值是．28．（2019•哈尔滨）二次函数y＝﹣（x﹣6）2+8的最大值是．29．（2019•广元）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（﹣1，0），（0，2），且顶点在第一象限，设M＝4a+2b+c，则M的取值范围是．30．（2019•荆州）二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5的最大值是．31．（2019•荆门）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的顶点为P，且抛物线经过点A （﹣1，0），B（m，0），C（﹣2，n）（1＜m＜3，n＜0），下列结论：①abc＞0，②3a+c＜0，③a（m﹣1）+2b＞0，④a＝﹣1时，存在点P使△P AB为直角三角形．其中正确结论的序号为．32．（2019•常德）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M、N的坐标分别为（0，1），（0，﹣1），P是二次函数y＝x2的图象上在第一象限内的任意一点，PQ垂直直线y＝﹣1于点Q，则四边形PMNQ是广义菱形．其中正确的是．（填序号）33．（2019•天水）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，若M＝4a+2b，N＝a﹣b．则M、N的大小关系为M N．（填“＞”、“＝”或“＜”）34．（2019•衡阳）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2019的坐标为．35．（2019•潍坊）如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△P AB的周长最小时，S△P AB＝．36．（2019•宜宾）将抛物线y＝2x2的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为．37．（2019•白银）将二次函数y＝x2﹣4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为．38．（2018•鞍山）已知，点A（﹣4，y1），B（，y2）在二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象上，则y1与y2的大小关系为．39．（2018•新疆）如图，已知抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x．我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为y1和y2，若y1≠y2，取y1和y2中较小值为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．①当x＞2时，M＝y2；②当x＜0时，M随x的增大而增大；③使得M 大于4的x的值不存在；④若M＝2，则x＝1．上述结论正确的是（填写所有正确结论的序号）．40．（2018•德阳）已知函数y＝使y＝a成立的x的值恰好只有3个时，a的值为．三．解答题（共10小题）41．（2019•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A （﹣1，0）和B（2，3）两点，抛物线与y轴交于点C．（1）求一次函数和二次函数的解析式；（2）求△ABC的面积．42．（2019•南通）已知：二次函数y＝x2﹣4x+3a+2（a为常数）．（1）请写出该二次函数的三条性质；（2）在同一直角坐标系中，若该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个交点，求a的取值范围．43．（2019•湘潭）如图一，抛物线y＝ax2+bx+c过A（﹣1，0）B（3.0）、C（0，）三点（1）求该抛物线的解析式；（2）P（x1，y1）、Q（4，y2）两点均在该抛物线上，若y1≥y2，求P点横坐标x1的取值范围；（3）如图二，过点C作x轴的平行线交抛物线于点E，该抛物线的对称轴与x轴交于点D，连结CD、CB，点F为线段CB的中点，点M、N分别为直线CD和CE上的动点，求△FMN周长的最小值．44．（2019•永州）如图，已知抛物线经过两点A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝﹣1．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△P AB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．45．（2019•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点P（，﹣），Q（2，2）．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．46．（2019•天门）在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax2+2x﹣1（a≠0）和直线l：y＝kx+b，点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）均在直线l上．（1）若抛物线C与直线l有交点，求a的取值范围；（2）当a＝﹣1，二次函数y＝ax2+2x﹣1的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为﹣4，求m的值；（3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围．47．（2019•台州）已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（﹣2，4）．（1）求b，c满足的关系式；（2）设该函数图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数解析式；（3）若该函数的图象不经过第三象限，当﹣5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．48．（2019•宁波）如图，已知二次函数y＝x2+ax+3的图象经过点P（﹣2，3）．（1）求a的值和图象的顶点坐标．（2）点Q（m，n）在该二次函数图象上．①当m＝2时，求n的值；②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围．49．（2019•安徽）一次函数y＝kx+4与二次函数y＝ax2+c的图象的一个交点坐标为（1，2），另一个交点是该二次函数图象的顶点．（1）求k，a，c的值；（2）过点A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y轴的直线与二次函数y＝ax2+c的图象相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W＝OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W 的最小值．50．（2018•牡丹江）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y 轴于点C，点D为抛物线的顶点，连接BD，点H为BD的中点．请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）在y轴上找一点P，使PD+PH的值最小，则PD+PH的最小值为．（注：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣，顶点坐标为（﹣，）22.1 二次函数的图象和性质参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．（2019•阿坝州）二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，则直线y＝bx+c不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：由图象可知：∵对称轴在y轴右侧，∴对称轴x＝﹣＞0，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点为在y轴的正半轴上，∴c＞0，∴一次函数y＝bx+c的图象过一、二、三象限，不经过第四象限．故选D．2．（2019•阜新）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和点（3，0），则下列说法正确的是（）A．bc＜0 B．a+b+c＞0 C．2a+b＝0 D．4ac＞b2解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴的右侧，∴a和b异号，∴b＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴bc＞0，所以A选项错误；∵当x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，所以B选项错误；∵抛物线经过点（﹣1，0）和点（3，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝1，即﹣＝1，∴2a+b＝0，所以C选项正确；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2，所以D选项错误．故选C．3．（2019•朝阳）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给出下列结论：①abc＞0；②9a+3b+c＝0；③b2﹣4ac＜8a；④5a+b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4解：①由图象可知：a＞0，c＜0，∴由于对称轴＞0，∴b＜0，∴abc＞0，故①正确；②抛物线过（3，0），∴x＝3，y＝9a+3b+c＝0，故②正确；③顶点坐标为（，）由图象可知：＜﹣2，∵a＞0，∴4ac﹣b2＜﹣8a，即b2﹣4ac＞8a，故③错误；④由图象可知：＞1，a＞0，∴2a+b＜0，∵9a+3b+c＝0，∴c＝﹣9a﹣3b，∴5a+b+c＝5a+b﹣9a﹣3b＝﹣4a﹣2b＝﹣2（2a+b）＞0，故④正确；故选C．4．（2019•西藏）把函数y＝﹣x2的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数y＝﹣（x﹣1）2+1的图象（）A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位B．向左平移1个单位，再向上平移1个单位C．向右平移1个单位，再向上平移1个单位D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位解：抛物线y＝﹣x2的顶点坐标是（0，0），抛物线线y＝﹣（x﹣1）2+1的顶点坐标是（1，1），所以将顶点（0，0）向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到顶点（1，1），即将函数y＝﹣x2的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数y＝﹣（x ﹣1）2+1的图象．故选C．5．（2019•淄博）将二次函数y＝x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位．若得到的函数图象与直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是（）A．a＞3 B．a＜3 C．a＞5 D．a＜5解：∵y＝x2﹣4x+a＝（x﹣2）2﹣4+a，∴将二次函数y＝x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，得到的函数解析式为y＝（x﹣2+1）2﹣4+a+1，即y＝x2﹣2x+a﹣2，将y＝2代入，得2＝x2﹣2x+a﹣2，即x2﹣2x+a﹣4＝0，由题意，得△＝4﹣4（a﹣4）＞0，解得a＜5．故选D．6．（2019•沈阳）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．abc＜0 B．b2﹣4ac＜0 C．a﹣b+c＜0 D．2a+b＝0解：由图可知a＞0，与y轴的交点c＜0，对称轴x＝1，∴b＝﹣2a＜0；∴abc＞0，A错误；由图象可知，函数与x轴有两个不同的交点，∴△＞0，B错误；当x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，C错误；∵b＝﹣2a，D正确；故选D．7．（2019•陕西）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与y＝x2﹣（3m+n）x+n关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为（）A．m＝，n＝﹣B．m＝5，n＝﹣6C．m＝﹣1，n＝6 D．m＝1，n＝﹣2解：∵抛物线y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与y＝x2﹣（3m+n）x+n关于y轴对称，∴，解之得，故选D．8．（2019•百色）抛物线y＝x2+6x+7可由抛物线y＝x2如何平移得到的（）A．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位B．先向左平移6个单位，再向上平移7个单位C．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位D．先向右平移3个单位，再向上平移2个单位解：因为y＝x2+6x+7＝（x+3）2﹣2．所以将抛物线y＝x2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位即可得到抛物线y＝x2+6x+7．故选A．9．（2019•贵阳）在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线y＝x+上，若抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（）A．a≤﹣2 B．a＜C．1≤a＜或a≤﹣2 D．﹣2≤a＜解：∵抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，∴令x+＝ax2﹣x+1，则2ax2﹣3x+1＝0∴△＝9﹣8a＞0∴a＜①当a＜0时，解得a≤﹣2∴a≤﹣2②当a＞0时，解得a≥1∴1≤a＜综上所述：1≤a＜或a≤﹣2故选C．10．（2019•玉林）已知抛物线C：y＝（x﹣1）2﹣1，顶点为D，将C沿水平方向向右（或向左）平移m个单位，得到抛物线C1，顶点为D1，C与C1相交于点Q，若∠DQD1＝60°，则m等于（）A．±4B．±2C．﹣2或2D．﹣4或4解：抛物线CC：y＝（x﹣1）2﹣1沿水平方向向右（或向左）平移m个单位得到y＝（x﹣m﹣1）2﹣1，∴D（1，﹣1），D1（m+1，﹣1），∴Q点的横坐标为，代入y＝（x﹣1）2﹣1求得Q（，﹣1），若∠DQD1＝60°，则△DQD1是等边三角形，∴QD＝DD1＝|m|，由勾股定理得，（﹣1）2+（﹣1+1）2＝m2，解得m＝±4，故选A．11．（2019•河池）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，则下列结论中，错误的是（）A．ac＜0 B．b2﹣4ac＞0 C．2a﹣b＝0 D．a﹣b+c＝0解：A、由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点在y轴的正半轴上，可得c＞0，因此ac＜0，故本选项正确，不符合题意；B、由抛物线与x轴有两个交点，可得b2﹣4ac＞0，故本选项正确，不符合题意；C、由对称轴为x＝﹣＝1，得2a＝﹣b，即2a+b＝0，故本选项错误，符合题意；D、由对称轴为x＝1及抛物线过（3，0），可得抛物线与x轴的另外一个交点是（﹣1，0），所以a﹣b+c＝0，故本选项正确，不符合题意．故选C．12．（2019•河南）已知抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，则n的值为（）A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4解：抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，可知函数的对称轴x＝1，∴＝1，∴b＝2；∴y＝﹣x2+2x+4，将点（﹣2，n）代入函数解析式，可得n＝﹣4；故选B．13．（2019•哈尔滨）将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（）A．y＝2（x+2）2+3 B．y＝2（x﹣2）2+3C．y＝2（x﹣2）2﹣3 D．y＝2（x+2）2﹣3解：将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为y＝2（x﹣2）2+3，故选B．14．（2019•呼和浩特）二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．解：由一次函数y＝ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0），排除A、B；当a＞0时，二次函数y＝ax2开口向上，一次函数y＝ax+a经过一、二、三象限，当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除C；故选D．15．（2019•益阳）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0，②b ﹣2a＜0，③b2﹣4ac＜0，④a﹣b+c＜0，正确的是（）A．①②B．①④C．②③D．②④解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，能得到：a＜0，c＞0，∴ac＜0，故①正确；②∵对称轴x＜﹣1，∴﹣＜﹣1，a＜0，∴b＜2a，∴b﹣2a＜0，故②正确．③图象与x轴有2个不同的交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac＞0，故③错误．④当x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，故④错误；故选A．16．（2019•鄂州）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：①∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴b＜0∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，①错误；②当x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∵，∴b＝﹣2a，把b＝﹣2a代入a﹣b+c＞0中得3a+c＞0，所以②正确；③当x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，∴a+c＜﹣b，当x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∴a+c＞b，∴|a+c|＜|b|∴（a+c）2＜b2，即（a+c）2﹣b2＜0，所以③正确；④∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴x＝1时，函数的最小值为a+b+c，∴a+b+c≤am2+mb+c，即a+b≤m（am+b），所以④正确．故选C．17．（2019•福建）若二次函数y＝|a|x2+bx+c的图象经过A（m，n）、B（0，y1）、C（3﹣m，n）、D（，y2）、E（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y1解：∵经过A（m，n）、C（3﹣m，n），∴二次函数的对称轴x＝，∵B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离B最远，D最近，∵|a|＞0，∴y1＞y3＞y2；故选D．18．（2019•兰州）已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝﹣（x+1）2+2上，则下列结论正确的是（）A．2＞y1＞y2B．2＞y2＞y1C．y1＞y2＞2 D．y2＞y1＞2解：当x＝1时，y1＝﹣（x+1）2+2＝﹣（1+1）2+2＝﹣2；当x＝2时，y1＝﹣（x+1）2+2＝﹣（2+1）2+2＝﹣7；所以2＞y1＞y2．故选A．19．（2019•成都）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（5，0），下列说法正确的是（）A．c＜0B．b2﹣4ac＜0C．a﹣b+c＜0D．图象的对称轴是直线x＝3解：A．由于二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴交于正半轴，所以c＞0，故A错误；B．二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴由2个交点，所以b2﹣4ac＞0，故B错误；C．当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＞0，故C错误；D．因为A（1，0），B（5，0），所以对称轴为直线x＝＝3，故D正确．故选D．20．（2019•绍兴）在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+5）（x﹣3）经变换后得到抛物线y ＝（x+3）（x﹣5），则这个变换可以是（）A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向左平移8个单位D．向右平移8个单位解：y＝（x+5）（x﹣3）＝（x+1）2﹣16，顶点坐标是（﹣1，﹣16）．y＝（x+3）（x﹣5）＝（x﹣1）2﹣16，顶点坐标是（1，﹣16）．所以将抛物线y＝（x+5）（x﹣3）向右平移2个单位长度得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），故选B．二．填空题（共20小题）21．（2019•西宁）平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣x2平移得到抛物线C，如图所示，且抛物线C经过点A（﹣1，0）和B（0，3），点P是抛物线C上第一象限内一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，则OQ+PQ的最大值为．解：设平移后的解析式为y＝﹣x2+bx+c，∵抛物线C经过点A（﹣1，0）和B（0，3），∴，解得，∴抛物线C的解析式为y＝﹣x2+2x+3，设Q（x，0），则P（x，﹣x2+2x+3），∵点P是抛物线C上第一象限内一动点，∴OQ+PQ＝x+（﹣x2+2x+3）＝﹣x2+3x+3＝﹣（x﹣）2+，∴OQ+PQ的最大值为，故答案为．22．（2019•雅安）已知函数y＝的图象如图所示，若直线y＝x+m与该图象恰有三个不同的交点，则m的取值范围为0＜m＜．解：直线y＝x+m与该图象恰有三个不同的交点，则直线与y＝﹣x有一个交点，∴m＞0，∵与y＝﹣x2+2x有两个交点，∴x+m＝﹣x2+2x，△＝1﹣4m＞0，∴m＜，∴0＜m＜；故答案为0＜m＜．23．（2019•大庆）如图，抛物线y＝x2（p＞0），点F（0，p），直线l：y＝﹣p，已知抛物线上的点到点F的距离与到直线l的距离相等，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，AA1⊥l，BB1⊥l，垂足分别为A1、B1，连接A1F，B1F，A1O，B1O．若A1F＝a，B1F＝b、则△A1OB1的面积＝．（只用a，b表示）．解：∵AA1＝AF，B1B＝BF，∴∠AF A1＝∠AA1F，∠BFB1＝∠BB1F，∵AA1⊥l，BB1⊥l，∴AA1∥BB1，∴∠BAA1+∠ABB1＝180°，∴180°﹣2∠AF A1+180°﹣2∠BFB1＝180°，∴∠AF A1+∠BFB1＝90°，∴∠A1FB1＝90°，∴△A1OB1的面积＝△A1FB1的面积＝ab；故答案为ab．24．（2019•徐州）已知二次函数的图象经过点P（2，2），顶点为O（0，0）将该图象向右平移，当它再次经过点P时，所得抛物线的函数表达式为y＝（x﹣4）2．解：设原来的抛物线解析式为y＝ax2（a≠0）．把P（2，2）代入，得2＝4a，解得a＝．故原来的抛物线解析式是y＝x2．设平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣b）2．把P（2，2）代入，得2＝（2﹣b）2．解得b＝0（舍去）或b＝4．所以平移后抛物线的解析式是y＝（x﹣4）2．故答案是y＝（x﹣4）2．25．（2019•内江）若x、y、z为实数，且，则代数式x2﹣3y2+z2的最大值是26．解：，①﹣②得，y＝1+z，把y＝1+z代入①得，x＝2﹣z，则x2﹣3y2+z2＝（2﹣z）2﹣3（1+z）2+z2＝﹣z2﹣10z+1＝﹣（z+5）2+26，当z＝﹣5时，x2﹣3y2+z2的最大值是26，故答案为26．26．（2019•镇江）已知抛物线y＝ax2+4ax+4a+1（a≠0）过点A（m，3），B（n，3）两点，若线段AB的长不大于4，则代数式a2+a+1的最小值是．解：∵抛物线y＝ax2+4ax+4a+1＝a（x+2）2+1（a≠0），∴顶点为（﹣2，1），过点A（m，3），B（n，3）两点，∴a＞0，∴对称轴为直线x＝﹣2，线段AB的长不大于4，∴4a+1≥3∴a≥∴a2+a+1的最小值为（）2++1＝；故答案为．27．（2019•天门）矩形的周长等于40，则此矩形面积的最大值是100．解：设矩形的宽为x，则长为（20﹣x），S＝x（20﹣x）＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣10）2+100，当x＝10时，S最大值为100．故答案为100．28．（2019•哈尔滨）二次函数y＝﹣（x﹣6）2+8的最大值是8．解：∵a＝﹣1＜0，∴y有最大值，当x＝6时，y有最大值8．故答案为8．29．（2019•广元）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（﹣1，0），（0，2），且顶点在第一象限，设M＝4a+2b+c，则M的取值范围是﹣6＜M＜6．解：将（﹣1，0）与（0，2）代入y＝ax2+bx+c，∴0＝a﹣b+c，2＝c，∴b＝a+2，∵＞0，a＜0，∴b＞0，∴a＞﹣2，∴﹣2＜a＜0，∴M＝4a+2（a+2）+2＝6a+6＝6（a+1）∴﹣6＜M＜6，故答案为﹣6＜M＜6；30．（2019•荆州）二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5的最大值是7．解：y＝﹣2x2﹣4x+5＝﹣2（x+1）2+7，即二次函数y＝﹣x2﹣4x+5的最大值是7，故答案为7．31．（2019•荆门）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的顶点为P，且抛物线经过点A （﹣1，0），B（m，0），C（﹣2，n）（1＜m＜3，n＜0），下列结论：①abc＞0，②3a+c＜0，③a（m﹣1）+2b＞0，④a＝﹣1时，存在点P使△P AB为直角三角形．其中正确结论的序号为②③．解：将A（﹣1，0），B（m，0），C（﹣2，n）代入解析式y＝ax2+bx+c，∴对称轴x＝，∴﹣＝m﹣1，∵1＜m＜3，∴ab＜0，∵n＜0，∴a＜0，∴b＞0，∵a﹣b+c＝0，∴c＝b﹣a＞0①abc＜0；错误；②当x＝3时，y＜0，∴9a+3b+c＝9a+3（a+c）+c＝12a+4c＝4（3a+c）＜0，②正确；③a（m﹣1）+2b＝﹣b+2b＝b＞0，③正确；④a＝﹣1时，y＝﹣x2+bx+c，∴P（，b+1+），若△P AB为直角三角形，则△P AB为等腰直角三角形，∴AP的直线解析式的k＝1，∴b+1+＝+1，∴b＝﹣2，∵b＞0，∴不存在点P使△P AB为直角三角形．④错误；故答案为②③；32．（2019•常德）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M、N的坐标分别为（0，1），（0，﹣1），P是二次函数y＝x2的图象上在第一象限内的任意一点，PQ垂直直线y＝﹣1于点Q，则四边形PMNQ是广义菱形．其中正确的是①④．（填序号）解：①根据广义菱形的定义，正方形和菱形都有一组对边平行，一组邻边相等，①正确；②平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等，②错误；③由给出条件无法得到一组对边平行，③错误；④设点P（m，m2），则Q（m，﹣1），∴MP＝＝，PQ＝+1，∵点P在第一象限，∴m＞0，∴MP＝+1，∴MP＝PQ，又∵MN∥PQ，∴四边形PMNQ是广义菱形．④正确；故答案为①④；33．（2019•天水）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，若M＝4a+2b，N＝a﹣b．则M、N的大小关系为M＜N．（填“＞”、“＝”或“＜”）解：当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，M﹣N＝4a+2b﹣（a﹣b）＝4a+2b+c﹣（a﹣b+c）＜0，即M＜N，故答案为＜34．（2019•衡阳）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2019的坐标为（﹣1010，10102）．解：∵A点坐标为（1，1），∴直线OA为y＝x，A1（﹣1，1），∵A1A2∥OA，∴直线A1A2为y＝x+2，解得或，∴A2（2，4），∴A3（﹣2，4），∵A3A4∥OA，∴直线A3A4为y＝x+6，解得或，∴A4（3，9），∴A5（﹣3，9）…，∴A2019（﹣1010，10102），故答案为（﹣1010，10102）．35．（2019•潍坊）如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△P AB的周长最小时，S△P AB＝．解：，解得，或，∴点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（4，5），∴AB＝＝3，作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B与y轴的交于P，则此时△P AB的周长最小，点A′的坐标为（﹣1，2），点B的坐标为（4，5），设直线A′B的函数解析式为y＝kx+b，，得，∴直线A′B的函数解析式为y＝x+，当x＝0时，y＝，即点P的坐标为（0，），将x＝0代入直线y＝x+1中，得y＝1，∵直线y＝x+1与y轴的夹角是45°，∴点P到直线AB的距离是（﹣1）×sin45°＝＝，∴△P AB的面积是＝，故答案为．36．（2019•宜宾）将抛物线y＝2x2的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y＝2（x+1）2﹣2．解：将抛物线y＝2x2的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y＝2（x+1）2﹣2．故答案为y＝2（x+1）2﹣2．37．（2019•白银）将二次函数y＝x2﹣4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为y＝（x﹣2）2+1．解：y＝x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1，所以，y＝（x﹣2）2+1．故答案为y＝（x﹣2）2+1．38．（2018•鞍山）已知，点A（﹣4，y1），B（，y2）在二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象上，则y1与y2的大小关系为＜．解：二次函数y＝﹣x2+2x+c的对称轴为x＝1∵a＝﹣1＜0∴二次函数的值，在x＝1左侧为增加，在x＝1右侧减小，∵﹣4＜＜1∴点A、点B均在对称轴的左侧，∴y1＜y2故答案为＜39．（2018•新疆）如图，已知抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x．我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为y1和y2，若y1≠y2，取y1和y2中较小值为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．①当x＞2时，M＝y2；②当x＜0时，M随x的增大而增大；③使得M大于4的x的值不存在；④若M＝2，则x＝1．上述结论正确的是②③（填写所有正确结论的序号）．解：①当x＞2时，抛物线y1＝﹣x2+4x在直线y2＝2x的下方，∴当x＞2时，M＝y1，结论①错误；②当x＜0时，抛物线y1＝﹣x2+4x在直线y2＝2x的下方，∴当x＜0时，M＝y1，∴M随x的增大而增大，结论②正确；③∵y1＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴M的最大值为4，∴使得M大于4的x的值不存在，结论③正确；④当M＝y1＝2时，有﹣x2+4x＝2，解得x1＝2﹣（舍去），x2＝2+；当M＝y2＝2时，有2x＝2，解得x＝1．∴若M＝2，则x＝1或2+，结论④错误．综上所述：正确的结论有②③．故答案为②③．40．（2018•德阳）已知函数y＝使y＝a成立的x的值恰好只有3个时，a的值为2．解：函数y＝的图象如图：根据图象知道当y＝2时，对应成立的x值恰好有三个，∴a＝2．故答案：2．三．解答题（共10小题）41．（2019•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A （﹣1，0）和B（2，3）两点，抛物线与y轴交于点C．（1）求一次函数和二次函数的解析式；（2）求△ABC的面积．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A（﹣1，0）和B（2，3）两点∴，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，∴y＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点F（1，4）；设直线AB的解析式为y＝mx+n（m≠0），则，解得，∴直线AB的解析式为y＝x+1；（2）令x＝0，则y＝﹣x2+2x+3＝3，∴C（0，3），则OC＝3，BC＝2，BC∥x轴，∴S△ABC＝×BC×OC＝＝3．42．（2019•南通）已知：二次函数y＝x2﹣4x+3a+2（a为常数）．（1）请写出该二次函数的三条性质；（2）在同一直角坐标系中，若该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个交点，求a的取值范围．解：（1）∵二次函数y＝x2﹣4x+3a+2＝（x﹣2）2+3a﹣2，∴该二次函数开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，3a﹣2），其性质有：①开口向上，②有最小值3a﹣2，③对称轴为x＝2．（2）∵二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个交点，∴x2﹣4x+3a+2＝2x﹣1，整理为x2﹣6x+3a+3＝0，∴△＝36﹣4（3a+3）＞0，解得a＜2，把x＝4代入y＝2x﹣1，解得y＝2×4﹣1＝7，把（4，7）代入y＝x2﹣4x+3a+2得7＝16﹣16+3a+2，解得a＝，故该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个交点，a的取值为≤a＜2．43．（2019•湘潭）如图一，抛物线y＝ax2+bx+c过A（﹣1，0）B（3.0）、C（0，）三点（1）求该抛物线的解析式；（2）P（x1，y1）、Q（4，y2）两点均在该抛物线上，若y1≥y2，求P点横坐标x1的取值范围；（3）如图二，过点C作x轴的平行线交抛物线于点E，该抛物线的对称轴与x轴交于点D，连结CD、CB，点F为线段CB的中点，点M、N分别为直线CD和CE上的动点，求△FMN周长的最小值．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c过A（﹣1，0）B（3.0）、C（0，）三点∴解得a＝，b＝，c＝；∴抛物线的解析式为y＝x2+x+．（2）抛物线的对称轴为x＝1，抛物线上与Q（4，y2）相对称的点Q′（﹣2，y2）P（x1，y1）在该抛物线上，y1≥y2，根据抛物线的增减性得∴﹣2≤x1≤4答：P点横坐标x1的取值范围：﹣2≤x1≤4．（3）∵C（0，），B，（3，0），D（1，0）∴OC＝，OB＝3，OD，＝1∵F是BC的中点，∴F（，）当点F关于直线CE的对称点为F′，关于直线CD的对称点为F″，直线F′F″与CD、CE交点为M、N，此时△FMN的周长最小，周长为F′F″的长，由对称可得到：F′（，），F″（0，0）即点O，F′F″＝F′O＝＝3，即：△FMN的周长最小值为3，44．（2019•永州）如图，已知抛物线经过两点A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝﹣1．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△P AB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．解：（1）∵抛物线对称轴是直线x＝﹣1且经过点A（﹣3，0）由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点（1，0）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0）即：y＝a（x﹣1）（x+3）把B（0，3）代入得3＝﹣3a∴a＝﹣1∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，∵A（﹣3，0），B（0，3），∴，∴直线AB为y＝x+3，作PQ⊥x轴于Q，交直线AB于M，设P（x，﹣x2﹣2x+3），则M（x，x+3），∴PM＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x，∴S＝（﹣x2﹣3x）×3＝﹣（x+）2+．当x＝﹣时，S最大＝，y＝﹣（﹣）2﹣2×（﹣）+3＝，∴△P AB的面积的最大值为，此时点P的坐标为（﹣，）45．（2019•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点P（，﹣），Q（2，2）．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．解：（1）A（0，﹣）点A向右平移2个单位长度，得到点B（2，﹣）；（2）A与B关于对称轴x＝1对称，∴抛物线对称轴x＝1；（3）∵对称轴x＝1，∴b＝﹣2a，∴y＝ax2﹣2ax﹣，①a＞0时，当x＝2时，y＝﹣＜2，当y＝﹣时，x＝0或x＝2，∴函数与PQ无交点；②a＜0时，当y＝2时，ax2﹣2ax﹣＝2，x＝或x＝当≤2时，a≤﹣；∴当a≤﹣时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点；46．（2019•天门）在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax2+2x﹣1（a≠0）和直线l：y ＝kx+b，点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）均在直线l上．（1）若抛物线C与直线l有交点，求a的取值范围；（2）当a＝﹣1，二次函数y＝ax2+2x﹣1的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为﹣4，求m的值；（3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围．解：（1）点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）代入y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x﹣；联立y＝ax2+2x﹣1与y＝x﹣，则有2ax2+3x+1＝0，∵抛物线C与直线l有交点，∴△＝9﹣8a≥0，∴a≤且a≠0；（2）根据题意可得，y＝﹣x2+2x﹣1，∵a＜0，∴抛物线开口向下，对称轴x＝1，∵m≤x≤m+2时，y有最大值﹣4，∴当y＝﹣4时，有﹣x2+2x﹣1＝﹣4，∴x＝﹣1或x＝3，①在x＝1左侧，y随x的增大而增大，∴x＝m+2＝﹣1时，y有最大值﹣4，∴m＝﹣3；②在对称轴x＝1右侧，y随x增大而减小，∴x＝m＝3时，y有最大值﹣4；综上所述：m＝﹣3或m＝3；（3）①a＜0时，x＝1时，y≤﹣1，即a≤﹣2；②a＞0时，x＝﹣3时，y≥﹣3，即a≥，直线AB的解析式为y＝x﹣，抛物线与直线联立：ax2+2x﹣1＝x﹣，∴ax2+x+＝0，△＝﹣2a＞0，∴a＜，∴a的取值范围为≤a＜或a≤﹣2；47．（2019•台州）已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（﹣2，4）．（1）求b，c满足的关系式；（2）设该函数图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数解析式；（3）若该函数的图象不经过第三象限，当﹣5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．解：（1）将点（﹣2，4）代入y＝x2+bx+c，得﹣2b+c＝0，∴c＝2b；（2）m＝﹣，n＝，∴n＝，∴n＝2b﹣m2＝﹣4m﹣m2；（3）y＝x2+bx+2b＝（x+）2﹣+2b，对称轴x＝﹣，当b≤0时，c≤0，函数不经过第三象限，则c＝0；此时y＝x2，当﹣5≤x≤1时，函数最小值是0，最大值是25，∴最大值与最小值之差为25；（舍去）当b＞0时，c＞0，函数不经过第三象限，则△≤0，∴0＜b≤8，∴﹣4≤x＝﹣≤0，当﹣5≤x≤1时，函数有最小值﹣+2b，当﹣5≤﹣＜﹣2时，函数有最大值1+3b，当﹣2＜﹣≤1时，函数有最大值25﹣3b；函数的最大值与最小值之差为16，当最大值1+3b时，1+3b+﹣2b＝16，∴b＝6或b＝﹣10，∵4＜b≤10，∴b＝6；当最大值25﹣3b时，25﹣3b+﹣2b＝16，∴b＝2或b＝18，∵2≤b≤4，∴b＝2；综上所述b＝2或b＝6；48．（2019•宁波）如图，已知二次函数y＝x2+ax+3的图象经过点P（﹣2，3）．（1）求a的值和图象的顶点坐标．（2）点Q（m，n）在该二次函数图象上．①当m＝2时，求n的值；②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围．。
2019年中考数学专题复习14——二次函数的图象与性质(含答案解析)
2019年中考数学专题复习14——二次函数的图象与性质（含答案解析）一、选择题1. 下列函数中，关于的二次函数是A. B.C. D.2. 已知二次函数，则其二次项系数，一次项系数，常数项分别A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，3. 若是开口向下的抛物线，则的值A. C.4. 二次函数的图象如图所示，下列结论正确的是A. B.C. 当时，5. 已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的大致图象可能是A. B.C. D.6. 抛物线的顶点坐标是A. D.7. 已知二次函数的图象如图所示，则下列个代数式：，，，，中，其值为正的式子有A. 个B. 个C. 个D. 个8. 已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是A. ③④B. ②③C. ①④D. ①②③9. 如图是二次函数图象的一部分，且过点，二次函数图象的对称轴是直线，下列结论正确的是A. B. C. D.10. 如图是二次函数的图象，下列结论：①二次三项式的最大值为；②；③一元二次方程的两根之和为；④使成立的的取值范围是．其中正确的个数有A. B. C. D.二、填空题11. 如果将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位后，那么此时抛物线的表达式是．12. 函数的顶点坐标是．13. 若是关于的二次函数，则满足的条件是 .14. 写出一个开口向下，经过点的抛物线的表达式．15. 二次函数的图象向左平移一个单位，再向上平移两个单位后，所得二次函数的解析式为．16. 抛物线可以由抛物线向下平移个单位，再向右平移个单位得到，则值为．17. 抛物线的对称轴为．18. 二次函数的图象关于原点对称的图象的解析式是．19. 小明从二次函数的图象（如图）中观察得出了下面五条信息：①；②；③；④；⑤．你认为其中正确的信息是 .20. 若是二次函数，则的值为．三、解答题21. 已知二次函数的图象的顶点是，且过点．（1）求二次函数的表达式，并在图中画出它的图象；（2）求证：对任意实数，点都不在这个二次函数的图象上．22. 关于的函数的图象与轴只有一个公共点，求的值．23. 已知点在抛物线上，求此抛物线的对称轴．24. 已知函数．（1）为何值时，有最小值；（2）求证：不论取何值，函数图象的顶点都在同一直线上．25. 已知抛物线．（1）用配方法把化为形式；（2）并指出：抛物线的顶点坐标是，抛物线的对称轴方程是，抛物线与轴交点坐标是，当时，随的增大而增大．26. 已知：二次函数的图象开口向上，并且经过原点．（1）求的值；（2）用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标．27. 已知抛物线．（1）求证：此抛物线与轴必有两个不同的交点；（2）若此抛物线与直线的一个交点在轴上，求的值．28. 将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位．（1）求平移后抛物线的解析式；（2）求平移后抛物线的对称轴和抛物线与轴的交点坐标；（3）求当取何值时，平移后抛物线的解析式中的随的增大而减小?29. 如图，已知抛物线与一直线相交于，两点，与轴交于点．其顶点为．（1）抛物线及直线的函数关系式；（2）设点，求使的值最小时的值；（3）若抛物线的对称轴与直线相交于点，为直线上的任意一点，过点作交抛物线于点，以，，，为顶点的四边形能否为平行四边形?若能，求点的坐标；若不能，请说明理由．30. 已知二次函数经过点，，与轴交于另一点，抛物线的顶点为．（1）求此二次函数解析式；（2）连接，，，求证：是直角三角形；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点，使得为等腰三角形?若存在，求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．答案第一部分1. B2. D3. D4. D 【解析】A、抛物线的开口向上，，故本选项错误；B、抛物线与轴有两个不同的交点，，故本选项错误；C、由函数图象可知，当时，，故本选项错误；D、抛物线与轴的两个交点分别是，，对称轴，故本选项正确．5. A6. B7. A8. B 【解析】时，；时，；因为，所以；因为，，，所以．9. D 【解析】抛物线与轴有两个交点，，即；抛物线开口向上，，抛物线与轴的交点在轴下方，，；二次函数图象的对称轴是直线，，；抛物线过点，二次函数图象的对称轴是，抛物线与轴的另一个交点为，．10. B【解析】由图象可知：抛物线的顶点坐标为．二次三项式的最大值为，①正确；当时，，②正确；的两根之和是的两根之和是当时，借助图象可知或，④错误．第二部分11.13.14. （答案不唯一）15.16.17. 直线18.【解析】，顶点坐标为，关于原点对称点为．对称后图象解析式为．19. ①②③⑤【解析】抛物线开口方向向上，．与轴交点在轴的下方，．，．，．，．由此看来①②是正确的，而④是错误的；当，，而点在第二象限，③是正确的；当时，，而点在第一象限，⑤正确．20.第三部分21. （1）设此二次函数的表达式为．又点在它的图象上，.解得，．抛物线的图象如图．（2）若点在此二次函数的图象上，则．．方程的判别式，该方程无解．所以原结论成立．22. 当，即或．时函数为，其图象与轴没有公共点，（舍去），时函数为，其图象与轴有一个公共点，符合题意．当时，，或．时，，（舍去），，综上所述，或．23. 点在抛物线上，．．抛物线的解析式为．对称轴为直线．24. （1）当时，，．（2）函数的顶点坐标为．设顶点在直线上，则．．不论取何值，该函数图象的顶点都在直线上．25. （1）（2）；；，；．【解析】26. （1）当时，．．因为图象开口向上，所以．（2）抛物线顶点坐标为．27. （1）此抛物线与轴必有两个不同的交点．（2）此抛物线与直线的一个交点在轴上，，，，．的值为或．28. （1）（2）对称轴为直线，与轴交点坐标为．（3）时，随增大而减小．29. （1）由抛物线过点及，得解得抛物线为．设直线为，过点及得解得直线为．（2）作点关于直线的对称点．则，连接．由（1）得，直线的函数关系式为．当在直线上时，的值最小，则．（3）由（1），（2）得，．点在直线上，设．（i）当点在线段上时，点在点上方，则．在抛物线上，，解得或．．（ii）当点在线段（或）延长线上时，点在点下方，则，由在抛物线上，．解得或．或．满足条件的点为或或．30. （1）二次函数经过点，．根据题意，得解得抛物线的解析式为．（2）由得，点坐标为，，，．，，，是直角三角形．（3）存在．对称轴为直线．①若以为底边，则，设点坐标为，根据两点间距离公式，得，即．又点在抛物线上，，即，解得，，应舍去，，，即点坐标为．②若以为一腰，点在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点与点关于直线对称，此时点坐标为．符合条件的点坐标为或．。
2019年中考数学专题《二次函数》复习试卷含答案解析.doc
2019年中考数学专题复习卷: 二次函数一、选择题1.若二次函数y＝(a－1)x2＋3x＋a2－1的图象经过原点，则a的值必为（）A. 1或－1 B. 1C. －1 D. 02.对于抛物线y＝ax2＋(2a－1)x＋a－3，当x＝1时，y＞0，则这条抛物线的顶点一定在（）A. 第一象限B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3.把抛物线y＝- 向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A. y＝-(x-1)2-3B. y＝-(x＋1)2-3 C. y＝-(x-1)2＋3 D. y＝-(x＋1)2＋34.已知抛物线（，，为常数，）经过点. ，，其对称轴在轴右侧，有下列结论：①抛物线经过点；②方程有两个不相等的实数根；③.，正确结论的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 35.当a≤x≤a+1时，函数y=x2-2x+1的最小值为1，则a的值为（）A. -1B. 2C. 0或2 D. -1或26.二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系内的大致图象是（）A. B. C. D.7.已知二次函数( 为常数),当自变量的值满足时,与其对应的函数值的最大值为-1,则的值为( )A. 3或6B. 1或6 C. 1或3 D. 4或68.已知抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）经过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段BC有交点，其中点B（1，0），点C（3，0），则c的值不可能是（）A．4 B．6 C．8 D．109.有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（）A. 2.76米B. 6.76米C. 6米 D. 7米10.已知抛物线y=-x2+mx的对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0（t为实数）在1<x<5的范围内有解，则t的取值范围是（）A. t＞-5B. -5＜t＜3 C. 3＜t≤4 D. -5＜t≤411.如图，已知二次函数图象与x轴交于A，B两点，对称轴为直线x=2，下列结论：①abc>0；②4a+b=0；③若点A坐标为(−1，0)，则线段AB=5；④若点M(x1， y1)、N(x2， y2)在该函数图象上，且满足0<x1<1，2<x2<3，则y1<y2其中正确结论的序号为（）A. ①，②B. ②，③ C. ③，④ D. ②，④12.如图，在中，，，，动点从点开始沿向点以以的速度移动，动点从点开始沿向点以的速度移动.若，两点分别从，两点同时出发，点到达点运动停止，则的面积随出发时间的函数关系图象大致是（）A. B. C.D.二、填空题13.抛物线y=2(x+2) +4的顶点坐标为________.14.将二次函数的图像向上平移3个单位长度，得到的图像所对应的函数表达式是________．15.已知二次函数，当时，函数值的最小值为，则的值是________．16.“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解,解决下面问题:若p、q(P是关于x的方程2-(x-a)(x-b)=0的两根且a则请用“<”来表示a、b、P、q的大小是________17.如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则方程的解是________．18.已知抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移m（m＞0）个单位，平移后的抛物线于x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段AD的三等分点，则m的值为________．19.小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A至出水管BD的距离为12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E，则点E 到洗手盆内侧的距离EH为________cm．20.如图，在中，，，，点是边上的动点（不与点重合），过作，垂足为，点是的中点，连接，设，的面积为，则与之间的函数关系式为________．三、解答题21.已知：二次函数y=ax 2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．请你根据图象提供的信息，求出这条抛物线的表达式．22.某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于50%．经试销发现，销售量P（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系，当销售单价为65元时销售量为55件，当销售单价为75元时销售量为45件．（Ⅰ）求P与x的函数关系式；（Ⅱ）若该商场获得利润为y元，试写出利润y与销售单价x之间的关系式；（Ⅲ）销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？23.如图，平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a（x+1）（x-9）经过A，B两点，四边形OABC矩形，已知点A坐标为（0，6）。
中考数学《二次函数图像的几何变换》专项练习题及答案
中考数学《二次函数图像的几何变换》专项练习题及答案一、单选题1．在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2﹣4先向右平移两个单位，再向上平移两个单位，得到的抛物线的解析式是（）A．y=（x+2）2+2B．y=（x﹣2）2﹣2C．y=（x﹣2）2+2D．y=（x+2）2﹣22．将抛物线影响y=-x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（）A．y=-（x+2）2B．y=-x2+2C．y=-（x-2）2D．y=-x2-23．若将抛物线y=5x2先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，可得到新的抛物线是（）A．y=5(x+2)2+3B．y=5(x−2)2+3C．y=5(x+2)2−3D．y=5(x−2)2−34．在平面直角坐标系内，将抛物线y=(x+2)2−3经过两次平移后，得到的新抛物线为y=(x−1)2−4.下列对这一平移过程描述正确的是（）A．先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B．先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C．先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D．先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度5．下列平移中，不能使二次函数y=2x2+4x−6经过原点的是（）A．向左平移1个单位B．向右平移3个单位C．向上平移6个单位D．向上平移8个单位6．二次函数y＝x2－1的图象可由下列哪个函数图象向右平移2个单位，向下平移2个单位得到（）A．y=(x−2)2+1B．y=(x+2)2+1C．y=(x−2)2−3D．y=(x+2)2+37．如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，点A（4，0），以OA为对角线作正方形ABOC，若将抛物线y= 12x2沿射线OC平移得到新抛物线y= 12（x-m）2+k（m＞0）．则当新抛物线与正方形的边AB有公共点时，m的值一定是（）A．2，6，8B．0<m≤6C．0<m≤8 D．0<m≤2 或6 ≤ m≤88．将抛物线y＝3x2的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后，得到的抛物线解析式是（）A．y＝3（x﹣2）2﹣5B．y＝3（x﹣2）2+5C．y＝3（x+2）2﹣5D．y＝3（x+2）2+59．在平面直角坐标系中，对于二次函数y=(x−2)2+1，下列说法中错误的是（）A．y的最小值为1B．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x=2C．当x<2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小D．它的图象可以由y=x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到10．抛物线y＝12x2向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得抛物线的表达式是（）A．y＝12（x+1）2﹣2B．y＝12（x﹣1）2+2C．y＝12（x﹣1）2﹣2D．y＝12（x+1）2+211．将二次函数y=x2的图象如何平移可得到y=x2+4x+3的图象（）A．向右平移2个单位，向上平移一个单位B．向右平移2个单位，向下平移一个单位C．向左平移2个单位，向下平移一个单位D．向左平移2个单位，向上平移一个单位12．把抛物线y=(x+2)2向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得抛物线是（）A．y=(x+2)2+2B．y=(x+1)2−2C．y=x2+2D．y=x2−2二、填空题13．将抛物线y=﹣x2先向下平移2个单位，再向右平移3个单位后所得抛物线的解析式为．14．抛物线y=-x2-2x+3可由抛物线y=ax2平移得到，则a的值是。
北京市西城区2019届中考数学《二次函数》专项复习训练含答案
北京市西城区普通中学2019届初三数学中考复习 二次函数 专项复习训练一、选择题(每小题4分，共32分)1．下列函数中一定是二次函数的是( )A ．y ＝ax 2＋bx ＋cB ．y ＝x 2＋3x 3C ．y ＝1x 2＋2x ＋3D ．y ＝2－3x 22．已知抛物线y ＝(m －1)x 2－mx －m 2＋1的图象过原点，则m 的值为( ) A ．±1 B ．0 C ．1 D ．－13．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝ax ＋b 与y ＝ax 2－bx 的图象可能是( )A B C D4．将抛物线y ＝x 2－2平移到抛物线y ＝x 2＋2x －2的位置，以下描述正确的是( ) A ．向左平移1个单位长度，向上平移1个单位长度 B ．向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度 C ．向左平移1个单位长度，向下平移1个单位长度 D ．向右平移1个单位长度，向下平移1个单位长度5．若函数y ＝mx 2＋(m ＋2)x ＋12m ＋1的图象与坐标轴只有2个公共点，那么m 的值为( )A ．0B ．0或2C ．2或－2D ．0，2或－26．抛物线y ＝x 2＋bx ＋c(其中b ，c 是常数)过点A(2，6)，且抛物线的对称轴与线段y ＝0(1≤x ≤3)有交点，则c 的值不可能是( )A ．4B ．6C ．8D ．107．在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y ＝－14x 2＋34x ＋1的一部分(如图所示，单位：m)，则下列说法不正确的是( )A ．出球点A 离地面点O 的距离是1 mB ．该羽毛球横向飞出的最远距离是3 mC ．此次羽毛球最高达到2516mD ．当羽毛球横向飞出32m 时，可达到最高点8．如图是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x 轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间．则下列结论：①a －b ＋c ＞0；②3a ＋b ＝0；③b 2＝4a(c －n)；④一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝n －1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题(每小题4分，共24分)9．二次函数y＝2x2＋3x－9的图象与x轴交点的坐标是____________________．10．如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象，则由图象可知，不等式ax2＋bx＋c<0的解集是________．11．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的对称轴是过点(1，0)且平行于y轴的直线，若点P(4，0)在该抛物线上，则4a－2b＋c的值为______．12. 科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定科学家经过猜想，推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为________℃.13．已知函数y＝x2－2mx＋2 017(m为常数)的图象上有三点：A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，其中x1＝m－2，x2＝m＋3，x3＝m－1，则y1，y2，y3的大小关系是____________．14．某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为________元时，该服装店平均每天的销售利润最大．三、解答题(共44分)15．(10分)如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)，B(3，2)．(1)求m 的值和抛物线的表达式；(2)求不等式x 2＋bx ＋c ＞x ＋m 的解集．(直接写出答案)16．(10分)杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体(看成一个点)的路线是抛物线y ＝－35x 2＋3x ＋1的一部分，如图所示．(1)求演员弹跳离地面的最大高度；(2)已知人梯高BC ＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A 的水平距离是4米，问这次表演是否成功？说明理由．17．(12分)如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB 为x 米，面积为S 平方米．(1)求S 与x 的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当x 取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ (3)若墙的最大可用长度为8米，求围成的最大面积．18．(12分)某景点试开放期间，团队收费方案如下：不超过30人时，人均收费120元；超过30人且不超过m(30＜m ≤100)人时，每增加1人，人均收费降低1元；超过m 人时，人均收费都按照m 人时的标准．设景点接待有x 名游客的某团队，收取总费用为y 元． (1)求y 关于x 的函数表达式；(2)景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象．为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，求m 的取值范围．答案： 一、1---8 DDCCD ABC 二、9. (32，0)和(－3，0)10. －2<x<3 11. 0 12. －113. y 3＜y 1＜y 2 14. 22 三、15. (1)∵直线y ＝x ＋m 经过点A(1，0)，∴0＝1＋m.∴m＝－1.∴y＝x －1.∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A(1，0)，B(3，2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝1＋b ＋c ，2＝9＋3b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3，c ＝2.∴抛物线的表达式为y ＝x 2－3x ＋2 (2)x<1或x>316. (1)y ＝－35x 2＋3x ＋1＝－35(x －52)2＋194.故函数的最大值是194，∴演员弹跳离地面的最大高度是194米(2)当x ＝4时，y ＝－35×42＋3×4＋1＝3.4＝BC.∴这次表演成功17. (1)∵AB＝x ，∴BC ＝24－4x ，∴S ＝AB·BC＝x(24－4x)＝－4x 2＋24x(0＜x ＜6)(2)S ＝－4x 2＋24x ＝－4(x －3)2＋36，∵0＜x ＜6，∴当x ＝3时，花圃的面积最大，最大为36平方米(3)∵⎩⎪⎨⎪⎧24－4x≤8，24－4x ＞0，∴4≤x ＜6，∴当x ＝4时，花圃的面积最大，最大为32平方米18. (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧120x （0<x≤30），[120－（x －30）]x （30<x≤m），[120－（m －30）]x （x ＞m ）.(2)由(1)可知当0＜x≤30或x ＞m 时，函数值y 都是随着x 的增大而增大的，当30＜x≤m 时，y ＝－x 2＋150x ＝－(x －75)2＋5 625，∵a ＝－1＜0，∴当x≤75时，y 随着x 的增大而增大，∴为了让收取的总费用随着团队中人数的增大而增大，m 的取值范围为30＜m≤752019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．某公司2018年获利润1000万元，计划到2020年年利润达到1210万元设该公司的年利润平均增长率为x，下列方程正确的是（）A．1000（1+x）2＝1210B．1210（1+x）2＝1000C．1000（1+2x）＝1210D．1000+10001+x）+1000（1+x）2＝12102．某超市设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”、“30元”的字样.规定：顾客在本超市一次性消费满200元，就可以在箱子里先后摸出两个小球（每一次摸出后不放回）.某顾客刚好消费200元，则该顾客所获得购物券的金额超过30元的概率为（）A.12B.13C.23D.143．一个塑料袋丢弃在地上的面积约占0.023m2，如果100万个旅客每人丢一个塑料袋，那么会污染的最大面积用科学记数法表示是（）A．2.3×104m2B．2.3×106m2C．2.3×103m2D．2.3×10﹣2m24．要使有意义，则x应该满足（）A.0≤x≤3B.0＜x≤3且x≠1C.1＜x≤3D.0≤x≤3且x≠15．如图，在平面直角坐标系中直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，C是OB的中点，D是线段AB上一点，若CD＝OC，则点D的坐标为（）A.（3，9）B.（3，）C.（4，8）D..（4，7）6．反比例函数myx=的图像在第二、四象限内，则点(,1)m-在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上任意一点，点D是AC中点，OD交AC于点E，BD交AC于点F，若BF＝1.25DF，则tan∠ABD的值为（）A ．23B C ．35D ．8．下列运算正确的是（ ） A ．ab•ab＝2abB ．（3a ）3＝9a 3C ．3（a≥0）D =9．如图，△ABC 中，AB=AC=15，AD 平分∠BAC ，点E 为AC 的中点，连接DE ，若△CDE 的周长为21，则BC 的长为（ ）A.16B.14C.12D.610．若二元一次方程组3,354x y x y +=⎧⎨-=⎩的解为,,x a y b =⎧⎨=⎩则-a b 的值为（ ）A.1B.3C.14-D.7411．数学课上，老师提出问题：“一次函数的图象经过点A （3，2)，B （-1，-6)，由此可求得哪些结论？”小明思考后求得下列4个结论：①该函数表达式为y=2x-4；②该一次函数的函数值随自变量的增大而增大；③点P （2a ，4a-4)在该函数图象上；④直线AB 与坐标轴围成的三角形的面积为8．其中错误的结论是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．④12．如图，已知AB=8，P 为线段AB 上的一个动点，分别以AP ，PB 为边在AB 的同侧作菱形APCD 和菱形PBFE ，点P ，C ，E 在一条直线上，∠DAP=60°．M ，N 分别是对角线AC ，BE 的中点．当点P 在线段AB 上移动时，点M ，N 之间的距离最短为（ ）．A ．B ．C ．2D ．3二、填空题13．定义：若抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线被称为：“直角抛物线”．如图，直线l ：y ＝15x+b 经过点M(0，14)，一组抛物线的顶点B 1(1，y 1)，B 2(2，y 2)，B 3(3，y 3)，…B n (n ，y n ) (n 为正整数)，依次是直线l 上的点，第一个抛物线与x 轴正半轴的交点A 1(x 1，0)和A 2(x 2，0)，第二个抛物线与x 轴交点A 2(x 2，0)和A 3(x 3，0)，以此类推，若x 1＝d(0＜d ＜1)，当d 为_____时，这组抛物线中存在直角抛物线．14．如图，已知△ABO 顶点A （－3，6），以原点O 为位似中心，把△ABO 缩小到原来的13，则与点A 对应的点A'的坐标是________．15．已知二元一次方程组5351x y x y -=⎧⎨+=⎩的解是方程kx -8y -2k +4=0的解,则k 的值为____.16．因式分解：32a a +=______． 17．关于x 的方程＝3的解为_____．18．如图，矩形ABCD 周长为30，经过矩形对称中心O 的直线分别交AD ，BC 于点E ，F ．将矩形沿直线EF 翻折，A′B′分别交AD ，CD 于点M ，N ，B'F 交CD 于点G ．若MN ：EM ＝1：2，则△DMN 的周长为_____．三、解答题 19．先化简分式（311x x x x --+）÷21xx -，再从不等式组3(2)24251x x x x --≥⎧⎨-<+⎩的解集中取一个非负整数值代入，求原分式的值．20．阅读下列材料，解决问题：12345678987654321这个数有这样一个特点：各数位上的数字从左到右逐渐增大（由1到9，是连续的自然数），到数9时，达到顶峰，以后又逐渐减小（由9到1），它活像一只橄榄，我们不妨称它为橄榄数．记第一个橄榄数为a 1＝1，第二个橄榄数为a 2＝121，第三个橄榄数为a 3＝12321……有趣的是橄榄数还是一个平方数，如1＝12，121＝112，12321＝1112，1234321＝11112……而且，橄榄数可以变形成如下对称式：1111⨯=2222121121⨯=++3333331232112321⨯=++++……根据以上材料，回答下列问题（1）11111112＝ ；将123454321变形为对称式：123454321＝ ．（2）一个两位数（十位大于个位），交换其十位与个位上的数字，得到一个新的两位数，将原数和新数相加，就能得到橄榄数121，求这个两位数．（3）证明任意两个橄榄数a m ，a n 的各数位之和的差能被m ﹣n 整除（m ＝1，2…9，n ＝1，2…9，m ＞n ） 21．某校八年级甲、乙两班各有学生50人，为了了解这两个班学生身体素质情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．（1）收集数据:从甲、乙两个班各随机抽取10名学生进行身体素质测试，测试成绩（百分制）如下： 甲班65 75 75 80 60 50 75 90 85 65 乙班90 55 80 70 55 70 95 80 65 70（2）整理描述数据:按如下分数段整理、描述这两组样本数据：在表中：m=______，n=______． （3）分析数据:①两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示： 在表中：x=______，y=______．②若规定测试成绩在80分（含80分）以上的学生身体素质为优秀，请估计乙班50名学生中身体素质为优秀的学生有______人．③现从甲班指定的2名学生（1男1女），乙班指定的3名学生（2男1女）中分别抽取1名学生去参加上级部门组织的身体素质测试，用树状图和列表法求抽到的2名同学是1男1女的概率．22．如图,在平面直角坐标系中,直线y=34x+6与x、y轴分别交于点A,点B,双曲线的解析式为kyx=(1)求出线段AB的长(2)在双曲线第四象限的分支上存在一点C,使得CB⊥AB,且CB=AB,求k的值;(3)在(1)(2)的条件下,连接AC,点D为BC的中点,过D作AC的垂线BF,交AC于B,交直线AB于F,连AD,若点P为射线AD上的一动点,连接PC、PF,当点P在射线AD上运动时,PF2-PC2的值是否发生改变?若改变,请求出其范围;若不变,请证明并求出定值。
2019年秋季人教新版九年级数学上册 22.1 二次函数的图象和性质 同步训练 含详细答案
22.1 二次函数的图象和性质一．选择题（共6小题）1．关于x的二次函数y＝（a﹣3）x2+bx+a2﹣9的图象过原点，则a的值为（）A．﹣3 B．3 C．±3 D．02．抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（﹣1，﹣2）3．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax与一次函数y＝bx﹣c在同一坐标系内的图象大致是（）A．B．C．D．4．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和点（3，0），则下列说法正确的是（）A．bc＜0 B．a+b+c＞o C．2a+b＝0 D．4ac＞b25．函数y＝﹣（x﹣1）2，当满足（）时，y随x的增大而减小．A．x＞0 B．x＜0 C．x＞1 D．x＜16．若二次函数y＝x2+bx+5配方后为y＝（x﹣3）2﹣4，则b的值分别为（）A．0 B．5 C．6 D．﹣6二．填空题（共8小题）7．二次函数y＝x2+2x+3的最小值是．8．若y＝（m2+m）x m2﹣2m﹣1﹣x+3是关于x的二次函数，则m＝．9．拋物线的顶点为（2，﹣3），与y轴交于点（0，﹣7），则该抛物线的解析式为．10．已知点A（1，y1），B（m，y2）在二次函数y＝x2﹣4x+1的图象上，且y1＞y2，则实数m的取值范围是．11．已知点（2，y1），（﹣3，y2）均在抛物线y＝x2﹣1上，则y1、y2的大小关系为．12．将二次函数y＝x2+6x+5化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为．13．过（﹣1，0）、（3，0）、（1，2）三点的抛物线的解析式是．14．已知函数y＝（a+1）x是二次函数，并且其图象开口向下，则a＝．三．解答题（共9小题）15．已知二次函数y＝x2+4x+3．（1）用配方法将二次函数的表达式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象；（3）根据（2）中的图象，写出一条该二次函数的性质．16．已知抛物线y＝x2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），点（3，0）；求抛物线函数解析式．17．已知抛物线经过点（4，3），且当x＝2时，y有最小值﹣1．（1）求这条抛物线的解析式．（2）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．18．二次函数y＝x2﹣2mx+5m的图象经过点（1，﹣2）．（1）求二次函数图象的对称轴；（2）当﹣4≤x≤1时，求y的取值范围．19．如图，直线l过A（4，0）和B（0，4）两点，它与抛物线y＝ax2的图象在第一象限内相交于P，若S△AOP＝4．（1）求一次函数解析式；（2）求P点坐标；（3）抛物线表达式．20．如图，已知抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与y轴交于A（0，4），与x轴交于B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．（1）求抛物线的解析式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由．21．如图，二次函数y＝x2﹣x，图象过△ABO三个顶点，其中A（﹣1，m），B（n，n）求：①求A，B坐标；②求△AOB的面积．22．如图，已知二次函数的图象过A、C、B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB＝OC．（1）求点C的坐标；（2）求二次函数的解析式，并化成一般形式．23．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（1，0）、B（5，0）、C（0，5）三点．（1）求抛物线的函数关系式；（2）求抛物线的顶点坐标、对称轴；（3）若过点C的直线与抛物线相交于点E（4，m），请连接CB，BE并求出△CBE的面积S的值．参考答案一．选择题（共6小题）1．解：把（0，0）代入y＝（a﹣3）x2+bx+a2﹣9得a2﹣9＝0，解得a1＝3，a2＝﹣3，而a﹣3≠0，所以a的值为﹣3．故选：A．2．解：∵y＝（x﹣1）2+2，∴抛物线顶点坐标为（1，2），故选：A．3．解：由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可得，a＞0，b＜0，c＞0，∴一次函数y＝ax的图象经过第一、三象限，一次函数y＝bx﹣c的图象经过第二、三、四象限，故选：A．4．解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴的右侧，∴a和b异号，∴b＜0，∵抛物线与x轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴bc＞0，所以A选项错误；∵当x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，所以B选项错误；∵抛物线经过点（﹣1，0）和点（3，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝1，即﹣＝1，∴2a+b＝0，所以C选项正确；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2，所以D选项错误．故选：C．5．解：∵y＝﹣（x﹣1）2，∴a＝﹣1＜0，对称轴为直线x＝1，则当x＜1时，y随x的增大而增大；当x＞1时，y随x的增大而减小；故选：C．6．解：∵y＝（x﹣3）2﹣4＝x2﹣6x+9﹣4＝x2﹣6x+5，又∵y＝x2+bx+5，∴b＝﹣6．故选：D．二．填空题（共8小题）7．解：∵二次函数y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，∴最小值是2；故答案为2．8．解：由题意，得m2﹣2m﹣1＝2，且m2+m≠0，解得m＝3，故答案为：3．9．解：∵拋物线的顶点为（2，﹣3），∴设这个二次函数的解析式y＝a（x﹣2）2﹣3，∵拋物线与y轴交于点（0，﹣7），∴﹣7＝4a﹣3，解得：a＝﹣1，则这个二次函数的解析式y＝﹣（x﹣2）2﹣3．故答案为y＝﹣（x﹣2）2﹣310．解：二次函数y＝x2﹣4x+1的对称轴为x＝2，∴A（1，y1）的对称点为（3，y1），∵A（1，y1），B（m，y2）为其图象上的两点，且y1＞y2，∴1＜m＜3．故答案为：1＜m＜3．11．解：∵二次函数的解析式为y＝x2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x＝0，∵（2，y1）、B（﹣3，y2），∴点（﹣3，y2）离直线x＝0远，点（2，y1）离直线x＝0近，而抛物线开口向上，∴y1＜y2．故答案为y1＜y2．12．解：y＝x2+6x+5，＝x2+6x+9﹣4，＝（x2+6x+9）﹣4，＝（x+3）2﹣4．故答案是：y＝（x+3）2﹣4．13．解：由于抛物线过（﹣1，0）、（3，0）可知抛物线对称轴是直线x＝1，而又因抛物线过（1，2），所以（1，2）是抛物线顶点于是设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+2，将（3，0）代入得0＝a（3﹣1）2+2得a＝﹣故答案为：y＝﹣（x﹣1）2+214．解：∵函数y＝（a+1）x是二次函数，并且其图象开口向下，∴a+1＜0，a2+a＝2，解得：a＜﹣1，a1＝1，a2＝﹣2，则a＝﹣2．故答案为：﹣2．三．解答题（共9小题）15．解：（1）y＝x2+4x+3＝x2+4x+22﹣22+3＝（x+2）2﹣1；（2）列表：如图，（3）当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，当x＞﹣2时，y随x的增大而增大．16．解：抛物线的解析式为y＝（x+1）（x﹣3），即y＝x2﹣2x﹣3．17．解：（1）设y＝a（x﹣2）2﹣1，代入（4，3）得3＝a（4﹣2）2﹣1，解得a＝1，即y＝（x﹣2）2﹣1或y＝x2﹣4x+3；（2）y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是x＜2．18．解：（1）把点（1，﹣2）代入y＝x2﹣2mx+5m中，可得：1﹣2m+5m＝﹣2，解得：m＝﹣1，所以二次函数y＝x2﹣2mx+5m的对称轴是x＝﹣，（2）∵y＝x2+2x﹣5＝（x+1）2﹣6，∴当x＝﹣1时，y取得最小值﹣6，由表可知当x＝﹣4时y＝3，当x＝﹣1时y＝﹣6，∴当﹣4≤x≤1时，﹣6≤y≤3．19．解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A（4，0）和B（0，4）代入得，解得，所以一次函数解析式为y＝﹣x+4；（2）设P（t，﹣t+4），∵S△AOP＝4．∴×4×（﹣t+4）＝4，解得t＝2，∴P点坐标为（2，2）；（3）把P（2，2）代入y＝ax2得4a＝2，解得a＝，所以抛物线解析式为y＝x2．20．解（1）∵抛物线y＝ax2+x+c与y轴交于A（0，4）与x轴交于B、C，点C坐标为（8，0），∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；（2）△ABC为直角三角形，理由如下：当y＝0时，﹣x2+x+4＝0，解得：x1＝8，x2＝﹣2，∴点B的坐标为（﹣2，0），由已知可得在Rt△ABO中，AB2＝BO2+AO2＝22+42＝20，在Rt△ACO中，AC2＝CO2+AO2＝82+42＝80，又∵BC＝OB+OC＝2+8＝10，∴在△ABC中，AB2+AC2＝20+80＝102＝BC2，∴△ABC是直角三角形．21．解：（1）把A（﹣1，m）代入y＝x2﹣x得m＝+＝1，则A（﹣1，1），把B（n，n）代入y＝x2﹣x得n2﹣n＝n，解得n1＝0（舍去），n2＝2，则B（2，2）；（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A（﹣1，1），B（2，2）分别代入得，解得，所以直线AB的解析式为y＝x+，当x＝0时，y＝x+＝，则C点坐标为（0，），所以△AOB的面积＝△AOC的面积+△BOC的面积＝××（1+2）＝2．22．解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），∴OC＝AB＝5，∴点C的坐标为（0，5）；（2）设二次函数解析式为：y＝ax2+bx+5，把A（﹣1，0）、B（4，0）代入原函数解析式得出：a＝﹣，b＝；所以这个二次函数的解析式为：y＝﹣x2+x+5．23．解：（1）∵A（1，0），B（5，0），设抛物线y＝ax2+bx+c＝a（x﹣1）（x﹣5），把C（0，5）代入得：5＝a（0﹣1）（0﹣5），解得：a＝1，∴y＝（x﹣1）（x﹣5）＝x2﹣6x+5，即抛物线的函数关系式是y＝x2﹣6x+5．（2）∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，∴抛物线的对称轴为x＝3，又∵二次函数y＝x2﹣6x+5的二次项系数为1＞0，∴抛物线的开口向上，∴当x≥3时y随x的增大而增大；（3）把x＝4代入y＝x2﹣6x+5得：y＝﹣3，∴E（4，﹣3），把C（0，5），E（4，﹣3）代入y＝kx+b得：，解得：k＝﹣2，b＝5，∴y＝﹣2x+5，设直线y＝﹣2x+5交x轴于D，当y＝0时，0＝﹣2x+5，∴x ＝，∴OD ＝，BD＝5﹣＝，∴S△CBE＝S△CBD+S△EBD ＝××5+××|﹣3|＝10．。
2019届初三数学中考复习 二次函数的图象和性质 专项训练 含答案
2019届初三数学中考复习 二次函数的图象和性质 专项训练1. 下列函数表达式中，一定为二次函数的是( )A ．y ＝3x －1B ．y ＝ax 2＋bx ＋c C ．s ＝2t 2－2t ＋1 D ．y ＝x 2＋1x2. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)图象上部分点的坐标(x ，y)对应值列表如下： 则该函数图象的对称轴是( )A ．直线x ＝－3B ．直线x ＝－2C ．直线x ＝－1D ．直线x ＝0 3. 关于抛物线y ＝x 2－2x ＋1，下列说法错误的是( ) A ．开口向上 B ．与x 轴有一个交点C ．对称轴是直线x ＝1D ．当x ＞1时，y 随x 的增大而减小4. 将函数y ＝x 2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A(1，4)的方法是( )A ．向左平移1个单位B ．向右平移3个单位C ．向上平移3个单位D ．向下平移1个单位5. 如图，是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，对下列结论： ①ab＞0；②abc ＞0；③4acb2＜1.其中错误的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．06. 抛物线y ＝－35(x ＋12)2－3的顶点坐标是( )A ．(12，－3)B ．(－12，－3)C ．(12，3)D ．(－12，3)7. 一次函数y ＝ax ＋c(a ≠0)与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )8. 已知抛物线的顶点坐标是(2，1)且抛物线的图象经过(3，0)，则这条抛物线的表达式为( )A ．y ＝－x 2－4x －3B ．y ＝－x 2－4x ＋3C ．y ＝x 2－4x －3D ．y ＝－x 2＋4x －39. 某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长为3 m 的小正方形组成，且每个小正方形的种植方案相同．其中的一个小正方形ABCD 如图乙所示，DG ＝1 m ，AE ＝AF ＝x m ，在五边形EFBCG 区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y 与x 的函数图象大致是( )10. 如图①，E 为矩形ABCD 边AD 上的一点，点P 从点B 沿折线BE —ED —DC 运动到点C 时停止，点Q 从点B 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是1 cm/s.若点P ，Q 同时开始运动，设运动时间为t(s)，△BPQ 的面积为y(cm 2)．已知y 与t 的函数关系图象如图②所示，则下列结论错误的是( )A ．AE ＝6 cmB ．sin ∠EBC ＝45C ．当0＜t≤10时，y ＝25t 2D ．当t ＝12 s 时，△PBQ 是等腰三角形11. 如图，若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上的P(4，0)，Q 两点关于它的对称轴x ＝1对称，则Q 点的坐标为____________．12. 已知函数y ＝－(x －1)2图象上两点A(2，y 1)，B(a ，y 2)，其中a ＞2，则y 1与y 2的大小关系是y 1____y 2.(填“＜”“＞”或“＝”)13. 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的顶点坐标为(－2，1)，且与y 轴相交于点(0，4)，则这个抛物线的表达式为__________________．14. 经过A(4，0)，B(－2，0)，C(0，3)三点的抛物线表达式是______________． 15. 用配方法求二次函数y ＝512x 2－53x ＋54图象的顶点坐标及对称轴16. 已知函数y ＝3x 2－4x ＋1，当0≤x≤4时，求y 的变化范围．17. 如图，抛物线y ＝x 2－3x ＋54与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，点D 是直线BC 下方抛物线上一点，过点D 作y 轴的平行线，与直线BC 相交于点E.①求直线BC 的表达式；②当线段DE 的长度最大时，求点D 的坐标．18. 如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C，连接BC交抛物线的对称轴于点E，D是抛物线的顶点．①求此抛物线的表达式；②直接写出点C和点D的坐标；③若点P在第一象限内的抛物线上，且S△ABP＝4S△COE，求P点坐标．19. 已知抛物线y1＝－x2＋mx＋n，直线y2＝kx＋b，y1的对称轴与y2交于点A(－1，5)，点A与y1的顶点B的距离是4.①求y1的表达式；②若y2随着x的增大而增大，且y1与y2都经过x轴上的同一点，求y2的表达式．20. 如图，△AOB的顶点A，B分别在x轴，y轴上，∠BAO＝45°，且△AOB的面积为8.①直接写出A，B两点的坐标；②过点A，B的抛物线G与x轴的另一个交点为点C.(Ⅰ)若△ABC是以BC为腰的等腰三角形，求此时抛物线的表达式；(Ⅱ)将抛物线G向下平移4个单位后，恰好与直线AB只有一个交点N，求点N 的坐标．21. 如图，已知点A 的坐标为(－2，0)，直线y ＝－34x ＋3与x 轴，y 轴分别交于点B 和点C ，连接AC ，顶点为D 的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过A ，B ，C 三点． ①请直接写出B ，C 两点的坐标，抛物线的表达式及顶点D 的坐标；②设抛物线的对称轴DE 交线段BC 于点E ，点P 为第一象限内抛物线上一点，过点P 作x 轴的垂线，交线段BC 于点F.若四边形DEFP 为平行四边形，求点P 的坐标．参考答案：1---10 CBDDC BDDAD 11. (－2，0) 12. ＞13. y ＝34(x ＋2)2＋114. y ＝－38x 2＋34x ＋315. 解：y ＝512x 2－53x ＋54＝512(x 2－4x ＋3)＝512[(x －2)2－1]＝512(x －2)2－512，∴该函数图象的顶点坐标是(2，－512)，对称轴是直线x ＝2.16. 解：∵y＝3x 2－4x ＋1，∴抛物线的对称轴是直线x ＝－b 2a ＝23，∴当x ＝23，y 最小值＝－13.当x ＝0时，y ＝1；当x ＝4时，y ＝33.于是当0≤x≤23时，－13≤y≤1，当23<x≤4时，－13<y≤33，综上，当0≤x ≤4时，－13≤y≤33.17. 解：①∵抛物线y ＝x 2－3x ＋54与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，∴令y ＝0，解得x ＝12或x ＝52，∴A(12，0)，B(52，0)；令x ＝0，则y ＝54，∴C ⎝⎛⎭⎪⎫0，54.设直线BC 的表达式为y ＝kx ＋b ，则有⎩⎪⎨⎪⎧52k ＋b ＝0，b ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12，b ＝5，∴ BC 的表达式为y ＝－12x ＋54.②设点D 的坐标为(m ，m 2－3m ＋54)，其中0<m<52，则点E 的坐标为(m ，－12m ＋54)．∴DE ＝－12m ＋54－(m 2－3m ＋54)＝－m 2＋52m ＝－(m －54)2＋2516，∵a ＝－1＜0，0<m<52，∴当m ＝54时，DE 最大＝2516， 此时点D 的坐标为(54，－1516)．18. 解：①y ＝－x 2＋2x ＋3. ②C(0，3)，D(1，4)．③设P(x ，y)(x ＞0，y ＞0)，设直线BC 的表达式为y ＝mx ＋n ，则有⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋n ＝0，n ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝3，∴直线BC 的表达式为y ＝－x ＋3.当x ＝1时，y ＝－1＋3＝2，∴E(1，2)，∴S △COE ＝12×1×3＝32.∵S △ABP ＝4S △COE ，S △ABP ＝12×4y＝2y ，∴2y ＝4×32，∴y ＝3.令－x 2＋2x ＋3＝3，解得x 1＝0(不合题意，舍去)，x 2＝2， ∴点P 的坐标为(2，3)．19. 解：①y 1＝－x 2－2x 或y 1＝－x 2＋2x ＋8.②当y 1＝－x 2－2x 时，抛物线与x 轴的交点是(0，0)和(－2，0)， ∵y 2随着x 的增大而增大，且过点A(－1，5)， ∴y 1与y 2都经过x 轴上的同一点(－2，0)．把(－1，5)，(－2，0)代入y 2＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝5，－2k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝5，b ＝10，∴y 2＝5x ＋10.当y 1＝－x 2－2x ＋8时，令y 2＝－x 2－2x ＋8＝0，得x ＝－4或2， ∴抛物线与x 轴的交点是(－4，0)和(2，0)．∵y 2随着x 的增大而增大， 且过点A(－1，5)，∴y 1与y 2都经过x 轴上的同一点(－4，0)， 把(－1，5)，(－4，0)代入y 2＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝5，－4k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝53，b ＝203.∴y 2＝53x ＋203. 综上可得，y 2的表达式为y 2＝5x ＋10或y 2＝53x ＋203.20. 解：①A(4，0)，B(0，4)．②(Ⅰ)由题意可知C 点的坐标为C(－4，0)，可以设过A ，B ，C 三点的抛物线的表达式为y ＝ax 2＋4， 把A(4，0)代入y ＝ax 2＋4，得0＝16a ＋4，解得a ＝－14，∴此时抛物线的表达式为y ＝－14x 2＋4.(Ⅱ)抛物线G 向下平移4个单位后经过原点(0，0)和(4，－4)， 设抛物线的表达式为y ＝mx 2＋nx ，把(4，－4)代入y ＝mx 2＋nx ， 得到n ＝－1－4m ，∴抛物线的表达式为y ＝mx 2＋(－1－4m)x.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋4，y ＝mx 2＋（－1－4m ）x消去y 得到mx 2－4mx －4＝0，∴抛物线的表达式为y ＝－x 2＋3x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋4，y ＝－x 2＋3x 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，∴点N 的坐标为(2，2)． 21. 解：①B(4，0)，C(0，3)，抛物线的表达式为y ＝－38x 2＋34x ＋3， 顶点D 的坐标为(1，278)． ②把x ＝1代入y ＝－34x ＋3，得y ＝94，∴DE ＝278－94＝98. ∵点P 为第一象限内抛物线上一点，∴可设点P 的坐标为(m ，－38m 2＋34m ＋3)，0＜m ＜4， 则点F 的坐标为(m ，－34m ＋3)， ∴PF ＝－38m 2＋34m ＋3－(－34m ＋3)＝－38m 2＋32m. 若四边形DEFP 为平行四边形，则PF ＝DE ，即－38m 2＋32m ＝98， 解得m 1＝3，m 2＝1(不合题意，舍去)．∴当四边形DEFP 为平行四边形时，点P 的坐标为(3，158)．。
2019届中考数学复习专项一选择、填空题专项一、二次函数的图像与性质课件
【解析】∵点C 抛物 y=ax2+4ax+c(a≠0)的 点，且y2<y1≤y0,∴ 抛物 开口向下 直 x= =-2。∵y1>y2,∴|m+2|<|m+4|(开口向下的抛物 上的点，到 抛物 距离越小，y 越大)，解得m>-3。故 B。
选择、填空题专项
例2 (2018· 西模 )如 ，二次函数y=ax2+bx+c(a＞0)的 像的 点 D，其 像与x 的交点A，B的横坐 分 -1，3，与y 半 交于点C， 下列 D 四个 正确的是 ( ) A.2a-b=0 B.a+b+c>0 C.c＞-3a D.只有当a=
，△ABD是等腰直角三角形
选择、填空题专项
【解析】∵二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的 像与x 的交点A,B的横坐 分 3，∴ 称 直 x= =1，∴ =1，∴2a+b=0，故A =-3,∴c=-3a,故C 知，当x=1 ，y＜0，∴a+b+c＜0，故B 方程ax2+bx+c=0的两根 x1=-1,x2=3,∴ 腰直角三角形，易得∠ADB=90°,
专项一 选择、填空题专项
一、 二次函数的图像 与性质
选择、填空题专项
中考解读:二次函数的图像与性质为陕西中考选择题必考题，题位为第10题，分 值为3分。主要考查的内容有(1)二次函数的图像与系数的关系；(2)二次函数的 增减性；(3)二次函数图像的平移、旋转变换等。 例1 已知点A(m,y1)，B(m+2,y2)，C(x0,y0)在二次函数y=ax2+4ax+c(a≠0) 的 像上，且点C 抛物 的 点，若y2<y1≤y0， m的取 范 ) B A.m<-3 B.m>-3 C.m<-2 D.m>-2 (
2019届中考数学复习 专项一 选择、填空题专项 一、二次函数的图像与性质练习
二次函数的图像与性质满分训练1.已知二次函数y=x2-5x+m的图像与x轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1，0），则另一个交点的坐标为（）A.（-1，0）``B.（4，0）C.（5，0）D.（-6，0）2.若直线y=x+m与抛物线y=x2+3x有交点，则m的取值范围是（）A.m≥-1B.m≤-1C.m＞1D.m＜13.如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=a（x-3）2+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为（）A.15B.18C.21D.244.下列关于抛物线y=x2-（a+1）x+a-2的说法错误的是（）A.开口向上B.当a=2时，经过坐标原点OC.不论a为何值，都过定点（1，-2）D.当a＞0时，对称轴在y轴的左侧5.（2018·陕西模拟）已知二次函数y=x2+2x+m2+2m-1（m为常数），当自变量x的值满足1≤x≤3时，与其对应的函数值y的最小值为5，则m的值为（）A.1或-5B.-1或5C.1或-3D.1或36.若点A（a，m）和点B（b，m）是二次函数y=mx2+4mx-3上的两个点，则a+b的值为（）A.2B.4C.-2D.-47.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像是由二次函数y=12x2的图像经过平移而得到的，若二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于A,C（-1，0）两点，与y轴交于点D50,2⎛⎫⎪⎝⎭，顶点为B，则四边形ABCD的面积为（）A.9B.10C.11D.128.如图,是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图像的一部分，抛物线的顶点坐标为A（1，3），抛物线与x轴的一个交点为B（4，0），有下列结论：①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④当y＜0时，-2＜x＜4。
其中正确的是（）A.②③B.①③C.①③④D.①②③④9.二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a≠0）中x与y的部分对应值如下表，则下列结论正确的个数是（）①当x＜-4时，y＜3；②当x=1时，y的值为-13；③x=-2是方程ax2+（b-2）x+c-7=0的一个根；④方程ax2+bx+c=6有两个不相等的实数根。
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二次函数的图像与性质
满分训练
1.已知二次函数y=x2-5x+m的图像与x轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1，0），则另一个交点的坐标为（）
A.（-1，0）``
B.（4，0）
C.（5，0）
D.（-6，0）
2.若直线y=x+m与抛物线y=x2+3x有交点，则m的取值范围是（）
A.m≥-1
B.m≤-1
C.m＞1
D.m＜1
3.如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=a（x-3）2+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为（）
A.15
B.18
C.21
D.24
4.下列关于抛物线y=x2-（a+1）x+a-2的说法错误的是（）
A.开口向上
B.当a=2时，经过坐标原点O
C.不论a为何值，都过定点（1，-2）
D.当a＞0时，对称轴在y轴的左侧
5.（2018·陕西模拟）已知二次函数y=x2+2x+m2+2m-1（m为常数），当自变量x的值满足1≤x≤3时，与其对应的函数值y的最小值为5，则m的值为（）
A.1或-5
B.-1或5
C.1或-3
D.1或3
6.若点A（a，m）和点B（b，m）是二次函数y=mx2+4mx-3上的两个点，则a+b的值为（）
A.2
B.4
C.-2
D.-4
7.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像是由二次函数y=1
2
x2的图像经过平移而得到的，若二次
函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于A,C（-1，0）两点，与y轴交于点D
5
0,
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，顶点为B，
则四边形ABCD的面积为（）
A.9
B.10
C.11
D.12
8.如图,是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图像的一部分，抛物线的顶点坐标为A（1，3），抛物线与x轴的一个交点为B（4，0），有下列结论：①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④当y＜0时，-2＜x＜4。
其中正确的是（）
A.②③
B.①③
C.①③④
D.①②③④
9.二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a≠0）中x与y的部分对应值如下表，则下列结论正确的个数是（）
①当x＜-4时，y＜3；②当x=1时，y的值为-13；③x=-2是方程ax2+（b-2）x+c-7=0的一个根；④方程ax2+bx+c=6有两个不相等的实数根。
A.4
B.3
C.2
D.1
10.设直线x=2是函数y=ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a＞0）的图像的对称轴，（）
A.若m＞3，则（m-1）a+b＞0
B.若m＞3，则（m-1）a+b＜0
C.若m＜3，则（m-1）a+b＞0
D.若m＜3，则（m-1）a+b＜0
11.（2018·某高新一中模拟）已知抛物线y=ax2+bx+c（a>0）过点A（0，3），B（9，4），则对称轴可能是直线x=（）
A.6
B.5
C.4.5
D.4
12.抛物线y=ax2+（a-3）x-2（a<0）的顶点一定位于（）
A.x轴的负半轴上
B.第二象限
C.第三象限
D.第二象限或第三象限
13.如果二次函数y=x2-2x+p的图像与端点为（-1，2）和（3，5）的线段只有一个交点，那么p的值可能为（）
A. 5
2
B.
3
2
C.3
D.
3
2
14.（2018·陕西模拟）如图，抛物线过（-2，0），（4，0），（0，-4）三点，沿x轴方向平移抛物线，使以平移后的抛物线与x轴、y轴的三个交点为顶点的三角形的面积为9，则符合条件的平移方式有（）
A.1种
B.2种
C.3种
D.4种
15.如图，边长为1的正方形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，将正方形OABC 绕顶点O 顺
时针旋转75°，使点B 落在抛物线y=ax 2（a ＜0）上，则抛物线y=ax 2
的解析式为 （ ）
A.y= 23
-
x 2
B.y=3
-
x 2
C.y=-2x
2
D.y=12
-
x 2
16.如图，抛物线y=ax 2
+bx+c 与x 轴交于点A （-1，0），顶点坐标为C （1，k ），与y 轴的交点在（0，2），（0，3）之间（不包含端点），则k 的取值范围是（ ） A.2＜k ＜3
B.
5
2
＜k ＜4 C.
8
3
＜k ＜4 D.3＜k ＜4
17.（2017·某铁一中模拟）已知二次函数y=ax 2
+bx+c （a ≠0）的图像经过（-1,0）,（3,0）两点，当-2≤x ≤5时，y 的最大值为12，则a 的值为（ ） A.1 B.-3 C.1或-3 D.无法确定
18.（2018·陕西模拟）如图，已知抛物线y=
32x 2+3x-9
2
与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），且抛物线的顶点为C ，连接BC ，则sin ∠ABC=（ ）
A.
1
3
B.3
C.
10
D.
10
19.（2018·某汇知中学模拟）已知抛物线y=x 2
+bx+c 与x 轴只有一个交点，且过A （x 1,m ）,B （x 1+n,m ）两点，则m,n 的关系为（ ） A.m=
12
n B.m=
1
4
n
C.m=
12
n 2
D.m=
14
n 2
20.（2018·陕西模拟）已知二次函数y=ax 2
+bx+c 的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：
有下列说法：①该抛物线的开口向上;②该抛物线的对称轴为过点（1，0）且平行于y 轴的
直线;③方程ax 2
+bx+c=2的正根在3与4之间;④若A （-2 017，m ），B （2 018，n ）在二次函数的图像上，则m ＞n 。
其中正确的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4
21.（2018·山东威海中考）二次函数y=ax 2
+bx+c （a ≠0）的图像如图，下列结论错误的是（ ）
A.abc ＜0
B.a+c ＜b
C.b 2
+8a ＞4ac D.2a+b ＞0
22.（2018·陕西模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于点A（-2，0），B（1，0），直线x=-0.5与此抛物线交于点C，与x轴交于点M，在直线上取点D，使MD=MC，连接AC，BC，AD，BD。
有下列结论：①a-b=0；②当-2＜x＜1时，y＞0；③四边形ACBD是菱形；
④9a-3b+c＞0。
其中正确的是（）
A.②③④
B.①②④
C.①③④
D.①②③
23.（2018·湖北荆门中考）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图像如图，顶点坐标为（-2，-9a），有下列结论：① 4a+2b+c＞0；②5a-b+c=0；③若方程a（x+5）·（x-1）=-1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则-5＜x1＜x2＜1；④若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为-4。
其中正确的结论有（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
24.（2018·某工大附中模拟）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（3，3），将抛物线
y=-1
2
x2+2x+3沿水平方向或竖直方向平移，使其经过点P，则平移的最短距离为（）
A.1
B. 3
2
D.3
参考答案。