高考数学一轮复习第六章数列6.2等差数列及其前n项和课件文新人教A版
人教A版高考总复习一轮文科数学精品课件 第6章 数列 高考解答题专项三 数列
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=an log 1 an,Sn为数列{bn}的前n项和,求使Sn+n·2n+1>50成立的正整
数n的最小值.
2
解:(1)设等比数列{an}的公比为q.
依题意,有2(a3+2)=a2+a4,联立a2+a3+a4=28,可得a3=8,
3n],
两式相减得-2Tn=4(30+31+32+…+3 -n·
3 )=4
n-1
所以 Tn=2 ·3 +
1−3
2
=1+(2n-1)3n.
n
1−3
1−3
− ·3
考向2.数列的新定义问题
1 1 + 2 2 + … +
*,若
例2.(2021广西南宁二中高三月考)记m=
4×3 -1
cn=
,
+1
所以bncn=4n·
3n-1,
Tn=b1c1+b2c2+b3c3+…+bn-1cn-1+bncn
=4×1×30+4×2×31+4×3×32+…+4(n-1)3n-2+4×n×3n-1
=4[1×30+2×31+3×32+…+(n-1)3n-2+n·
3n-1],
3Tn=4[1×31+2×32+…+(n-1)3n-1+n·
2+1
高考数学一轮复习第6章数列第2讲等差数列及其前n项和课件文
n≤10 ， 即 共 有
10
个数．所以
S10
＝
10（1＋19） 2
＝
100或S10＝10×1＋1பைடு நூலகம்× 2 9×2＝100，故选 C.
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(必修 5 P46B 组 T2 改编)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S10＝20，S20＝50，则 S30＝________． 解析：根据等差数列性质 S10，S20－S10，S30－S20 成等差数列， 所以 2(S20－S10)＝S10＋S30－S20，所以 S30＝3(S20－S10)＝3(50 －20)＝90. 答案：90
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考点四 等差数列的单调性与最值
(1)下面是关于公差 d＞0 的等差数列{an}的四个命题：p1： 数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列ann 是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列．其中真命题为
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当 n≥2 时，由22SSnn＝－1＝a2na＋n2－a1n＋，an－1， 得 2an＝a2n＋an－a2n－1－an－1. 即(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0， 因为 an＋an－1>0， 所以 an－an－1＝1(n≥2)， 所以数列{an}是等差数列．
ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为 d，则{a2n}也是等差数列，公差 为__2_d_．
(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
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5．等差数列的前 n 项和公式 设等差数列{an}的公差为 d，其前 n 项和 Sn＝n（a12＋an）或 Sn＝____n_a_1＋ __n__（__n_2－__1_）__d________．
2015届高考数学(理科)一轮复习：6.2《等差数列及其前n项和》ppt课件
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因为数列{an}是等差数列, 所以由等差数列的性质得 a3+a8=a5+a6=a4+a7=10.所以 3 a5+a7=a5+2a5+a7=a5+a4+a6+a7=2×10=20. 20
解析
关闭
答案
第六章
6.2
等差数列及其前n项和 -12-
考点一 等差数列的判定与证明
【例 1】 已知数列{an}的通项公式 an=pn2+qn(p,q∈R,且 p,q 为常数). (1)当 p 和 q 满足什么条件时,数列{an}是等差数列? (2)求证:对任意实数 p 和 q,数列{an+1-an}是等差数列.
d
想一想从函数的角度来认识等差数列的前 n 项和,你有何发现? 答案:Sn=na1+ (n-1)d 可变形为 Sn= dn + ������1 ������ 2 1 2
2������ 2来自n,令2d=A,a1-2=B,
1
������
则 Sn=An2+Bn(A 为常数),并且有如下结论:数列{an}是等差数列 ⇔Sn=An2+Bn(A,B 为常数).
(3)通项公式:如果等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,那么通项公式为 an=
a1+(n-1)d .
第六章
6.2
等差数列及其前n项和 -4-
2.等差数列的前 n 项和
已知条件 选用公式 首项 a1,末项 an Sn=
n(a1 +an ) 2
首项 a1 和公差 d Sn=na1+
n(n-1) 2
������ ������2
B.
2020版高考数学一轮复习 第六章 数列 第2讲 理(含解析)新人教A版
第2讲 等差数列及其前n 项和配套课时作业1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．14答案 C解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由等差数列的前n 项和公式，得S 3＝3×2＋3×22d＝12，解得d ＝2，则a 6＝a 1＋(6－1)d ＝2＋5×2＝12.故选C.2．(2019·宁德模拟)等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则2a 9－a 10的值是( ) A ．20 B ．22 C ．24 D ．－8 答案 C解析 因为a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120，所以a 8＝24，所以2a 9－a 10＝a 10＋a 8－a 10＝a 8＝24.故选C.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 答案 B解析 S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列，即9,27，a 7＋a 8＋a 9成等差数列，∴a 7＋a 8＋a 9＝54－9＝45.故选B.4．(2019·山东济南调研)已知数列{a n }为等差数列，且满足a 2＋a 8＝8，a 6＝5，则其前10项和S 10的值为( )A ．50B ．45C ．55D ．40 答案 B解析 因为数列{a n }为等差数列，且a 2＋a 8＝8，所以根据等差数列的性质得2a 5＝8，所以a 5＝4，又因为a 6＝5，所以S 10＝10a 1＋a 102＝10a 5＋a 62＝45.故选B.5．(2019·陕西咸阳模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝54，则a 2＋a 4＋a 9＝( )A ．9B ．15C ．18D ．36答案 C解析 由等差数列的通项公式及性质，可得S 9＝9a 1＋a 92＝9a 5＝54，a 5＝6，则a 2＋a 4＋a 9＝a 1＋a 5＋a 9＝3a 5＝18.故选C.6．已知等差数列{a n }中，a 2＝6，a 5＝15，若b n ＝a 2n ，则数列{b n }的前5项和等于( ) A ．30B ．45C ．90D ．186答案 C解析 因为a 2＝6，a 5＝15，所以a 5－a 2＝3d ，d ＝3，所以{b n }是公差为6的等差数列，其前5项和为5a 2＋10×6＝90.故选C.7．(2019·福建模拟)设S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，若a 5＝2b 5，则S 9T 9＝( )A ．2B ．3C ．4D ．6答案 A解析 由a 5＝2b 5，得a 5b 5＝2，所以S 9T 9＝9a 1＋a 929b 1＋b 92＝a 5b 5＝2，故选A.8．(2019·洛阳统考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0，a 3＋a 10>0，a 6a 7<0，则满足S n >0的最大自然数n 的值为( )A ．6B ．7C ．12D ．13答案 C解析 ∵a 1>0，a 6a 7<0，∴a 6>0，a 7<0，等差数列的公差小于零，又a 3＋a 10＝a 1＋a 12>0，a 1＋a 13＝2a 7<0，∴S 12>0，S 13<0，∴满足S n >0的最大自然数n 的值为12.故选C.9．(2019·广雅中学模拟)已知等差数列{a n }中，a 2＝2，a 4＝8，若a b n ＝3n －1，则b 2019＝( )A ．2017B ．2018C ．2019D ．2020答案 D解析 由a 2＝2，a 4＝8，得公差d ＝8－22＝3，所以a n ＝2＋(n －2)×3＝3n －4，所以a n＋1＝3n －1.又由数列{a n }的公差不为0，知数列{a n }为单调数列，所以结合a b n ＝3n －1，可得b n ＝n ＋1，故b 2019＝2020.故选D.10．已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论错误的是( )A ．d <0B ．a 7＝0C ．S 9>S 6D ．S 6，S 7均为S n 的最大值 答案 C解析 因为S 5<S 6，所以S 5<S 5＋a 6，所以a 6>0，因为S 6＝S 7，所以S 6＝S 6＋a 7，所以a 7＝0，因为S 7>S 8，所以S 7>S 7＋a 8，所以a 8<0，所以d <0且S 6，S 7均为S n 的最大值，所以S 9<S 6.故选C.11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，m ≥2，m ∈N *，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 C解析 ∵{a n }是等差数列，S m －1＝－2，S m ＝0， ∴a m ＝S m －S m －1＝2.又S m ＋1＝3，∴a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3， ∴d ＝a m ＋1－a m ＝1. 又S m ＝m a 1＋a m2＝m a 1＋22＝0，∴a 1＝－2，∴a m ＝－2＋(m －1)·1＝2，∴m ＝5. 12．(2019·苏州模拟)定义：在数列{a n }中，若满足a n ＋2a n ＋1－a n ＋1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称{a n }为“等差比数列”．已知在“等差比数列”{a n }中，a 1＝a 2＝1，a 3＝3，则a 2019a 2017＝( ) A ．4×20192－1 B ．4×20182－1 C ．4×20172－1 D ．4×20172答案 C解析 由题意知{a n }为等差比数列，a 2a 1＝1，a 3a 2＝3，a 3a 2－a 2a 1＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1a n 是以1为首项，2为公差的等差数列，所以a n ＋1a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，则a 2019a 2017＝a 2019a 2018×a 2018a 2017＝(2×2018－1)×(2×2017－1)＝4×20172－1.故选C.13．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n(n ∈N *)，则a 1＋a 2＋…＋a 51＝________.答案 676解析 ∵a n ＋2－a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n 为奇数，2，n 为偶数，∴数列{a n }的奇数项为常数1，偶数项构成以2为首项，2为公差的等差数列，∴a 1＋a 2＋…＋a 51 ＝(a 1＋a 3＋…＋a 51)＋(a 2＋a 4＋…＋a 50)＝26＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25×2＋25×242×2＝676. 14．(2019·武汉模拟)在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－78解析 由题意，当且仅当n ＝8时，S n 取得最大值，说明⎩⎪⎨⎪⎧a 8>0，a 9<0.所以⎩⎪⎨⎪⎧7＋7d >0，7＋8d <0.所以－1<d <－78.15．已知等差数列{a n }中，a n ≠0，若n ≥2且a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，S 2n －1＝38，则n 等于________．答案 10解析 ∵2a n ＝a n －1＋a n ＋1，又a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0， ∴2a n －a 2n ＝0，即a n (2－a n )＝0.∵a n ≠0，∴a n ＝2.∴S 2n －1＝2(2n －1)＝38， 解得n ＝10.16．若两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为A n 与B n ，且满足A n B n ＝7n ＋14n ＋27(n ∈N ＋)，则a 11b 11的值是________． 答案 43解析 根据等差数列的性质得：a 11b 11＝2a 112b 11＝a 1＋a 21b 1＋b 21＝21a 1＋a 21221b 1＋b 212＝A 21B 21＝148111＝43. 17．(2018·全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15. (1)求{a n }的通项公式； (2)求S n ，并求S n 的最小值．解 (1)设{a n }的公差为d ，由题意，得3a 1＋3d ＝－15. 由a 1＝－7，得d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9. (2)由(1)，得S n ＝n 2－8n ＝(n －4)2－16. 所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.18．(2019·广东惠州调研)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n2a n ＋1，n ∈N *.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n2n ＋1，数列{b n }的前n 项和为S n ，求使不等式S n <k 对一切n ∈N *恒成立的实数k 的取值范围．解 (1)证明：因为a n ＋1＝a n 2a n ＋1，所以1a n ＋1＝1a n＋2. 因为a 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，2为公差的等差数列，所以1a n＝2n －1，所以a n ＝12n －1. (2)由b n ＝a n2n ＋1，得b n ＝12n ＋12n －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1<12，所以要使不等式S n <k 对一切n ∈N *恒成立，则k 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.19．(2019·洛阳市统考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ≠0，a 1＝1，且2a n a n ＋1＝4S n－3(n ∈N *)．(1)求a 2的值并证明a n ＋2－a n ＝2； (2)求数列{a n }的通项公式． 解 (1)令n ＝1得2a 1a 2＝4S 1－3， 又a 1＝1，所以a 2＝12.2a n a n ＋1＝4S n －3，① 2a n ＋1a n ＋2＝4S n ＋1－3.②②－①得，2a n ＋1(a n ＋2－a n )＝4a n ＋1. 因为a n ≠0，所以a n ＋2－a n ＝2.(2)由(1)可知，数列a 1，a 3，a 5，…，a 2k －1，…为等差数列，公差为2，首项为1， 所以a 2k －1＝1＋2(k －1)＝2k －1， 即n 为奇数时，a n ＝n .数列a 2，a 4，a 6，…，a 2k ，…为等差数列，公差为2， 首项为12，所以a 2k ＝12＋2(k －1)＝2k －32，即n 为偶数时，a n ＝n －32.综上所述，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为奇数，n －32，n 为偶数.20．(2019·唐山模拟)已知{a n }是公差为正数的等差数列，且a 3a 6＝55，a 2＋a 7＝16.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a n ＝b 1＋b 23＋b 35＋…＋b n2n －1，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)∵{a n }是公差d >0的等差数列， ∴由a 3a 6＝55，a 2＋a 7＝16＝a 3＋a 6， 解得a 3＝5，a 6＝11，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5，a 1＋5d ＝11，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝2n －1.(2)∵a n ＝b 1＋b 23＋b 35＋…＋b n2n －1，∴a n －1＝b 1＋b 23＋b 35＋…＋b n －12n －3(n ≥2，n ∈N *)，两式相减，得b n2n －1＝2(n ≥2，n ∈N *)， 则b n ＝4n －2(n ≥2，n ∈N *)， 当n ＝1时，b 1＝1，∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，4n －2，n ≥2，∴当n ≥2时，S n ＝1＋n －16＋4n －22＝2n 2－1.又n ＝1时，S 1＝1，适合上式， 所以S n ＝2n 2－1.。
人教A版高考总复习一轮数学精品课件 第六章 数列 第二节 等差数列 (2)
故数列{an}的通项公式为an=2n.
(3)解 不等式 λ·
2 >n-5 对任意的正整数 n 恒成立,即
n
恒成立.设
-5
bn= 2 ,显然当
-4
-5
时,bn+1-bn= +1 −
2
2
的最大项是
=
-5
λ> 2 对任意的正整数
n
n≤5 时 bn≤0,当 n>5 时 bn>0,则当 n≥5
=
2 -7
2
=
(-7)
,因此当
2
n>7
方法总结解决等差数列基本量运算的思想方法
(1)方程思想:等差数列的基本量为首项a1和公差d,通常利用已知条件及通
项公式或前n项和公式列方程
(组)求解,等差数列中包含a1,d,n,an,Sn五个量,可“知三求二”.
(2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求都用a1,d表示,寻求两
.
答案 (1)13 (2)an=-2n+22
解析 (1)设数列{an}的公差为d,则S3=3a2=9,a2=3,所以
a3+a4=3+d+3+2d=12,解得d=2,所以a7=a2+5d=3+5×2=13.
(2)由
6×5
S6=6a1+ d=6a1+15d=90,得
2
2a1+5d=30.由72 =a3a9,得
数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…(m∈N*)也是等差数列,公差为m2d.
(4)若数列{an}是等差数列,Sn 是{an}的前 n 项和,则{ }也是等差数列,其首项
2021届高考数学一轮复习第六章数列第2节等差数列及其前n项和教学案含解析新人教A版
第2节 等差数列及其前n 项和考试要求 1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能利用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数的关系.知 识 梳 理1.等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数).(2)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b2.2.等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）d 2＝n （a 1＋a n ）2.3.等差数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *).(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列. (4)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列. (5)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列.[常用结论与微点提醒]1.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列，且公差为p .2.在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值.3.等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列.4.数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数).5.用等差数列的定义判断数列是否为等差数列，要注意定义中的三个关键词：“从第2项起”“每一项与它的前一项的差”“同一个常数”.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) (2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的.( )(3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数.( ) (4)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数.( ) 解析 (3)若公差d ＝0，则通项公式不是n 的一次函数. (4)若公差d ＝0，则前n 项和不是二次函数. 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×2.(老教材必修5P46AT2改编)设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( ) A.31B.32C.33D.34解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝2，5a 1＋10d ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝263，d ＝－43，∴S 8＝8a 1＋8×72d ＝32.答案 B3.(老教材必修5P68T8改编)在等差数列{a n }中a 3＋a 4＋a 5＝6，则S 7＝( ) A.8B.12C.14D.18解析 a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝6，∴a 4＝2，S 7＝12×7×(a 1＋a 7)＝7a 4＝14.答案 C4.(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A.－12B.－10C.10D.12解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则3(3a 1＋3d )＝2a 1＋d ＋4a 1＋6d ，即d ＝－32a 1.又a 1＝2，∴d ＝－3，∴a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)＝－10. 答案 B5.(2020·上饶模拟)已知等差数列{a n }，a 10＝10，其前10项和S 10＝70，则公差d ＝( ) A.－29B.29C.－23D.23解析 因为S 10＝12×10×(a 1＋a 10)＝12×10×(a 1＋10)＝70，所以a 1＝4，因为a 10＝a 1＋9d ＝10，所以d ＝23.答案 D6.(2019·全国Ⅲ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 1≠0，a 2＝3a 1，则S 10S 5＝________. 解析 由a 1≠0，a 2＝3a 1，可得d ＝2a 1， 所以S 10＝10a 1＋10×92d ＝100a 1，S 5＝5a 1＋5×42d ＝25a 1，所以S 10S 5＝4. 答案 4考点一 等差数列基本量的运算【例1】 (1)(一题多解)(2019·江苏卷)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 2a 5＋a 8＝0，S 9＝27，则S 8的值是________.(2)(2019·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A.a n ＝2n －5 B.a n ＝3n －10 C.S n ＝2n 2－8nD.S n ＝12n 2－2n解析 (1)法一 由S 9＝27⇒9（a 1＋a 9）2＝27⇒a 1＋a 9＝6⇒2a 5＝6⇒a 5＝3，即a 1＋4d ＝3. 又a 2a 5＋a 8＝0⇒2a 1＋5d ＝0， 解得a 1＝－5，d ＝2.故S 8＝8a 1＋8×（8－1）2d ＝16.法二 同法一得a 5＝3.又a 2a 5＋a 8＝0⇒3a 2＋a 8＝0⇒2a 2＋2a 5＝0⇒a 2＝－3. ∴d ＝a 5－a 23＝2，a 1＝a 2－d ＝－5.故S 8＝8a 1＋8×（8－1）2d ＝16.(2)设首项为a 1，公差为d .由S 4＝0，a 5＝5可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，4a 1＋6d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2.所以a n ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝n ×(－3)＋n （n －1）2×2＝n 2－4n .答案 (1)16 (2)A规律方法 1.等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.2.数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.【训练1】 (2019·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 9＝－a 5. (1)若 a 3＝4，求{a n }的通项公式； (2)若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围. 解 (1)设{a n }的公差为d .由S 9＝－a 5得9a 1＋9×82d ＝－(a 1＋4d )，即a 1＋4d ＝0.由a 3＝4得a 1＋2d ＝4. 于是a 1＝8，d ＝－2.因此{a n }的通项公式为a n ＝10－2n . (2)由(1)得a 1＝－4d ， 故a n ＝(n －5)d ，S n ＝n （n －9）d2.由a 1>0知d <0，故S n ≥a n 等价于n （n －9）2≤n －5，即n 2－11n ＋10≤0，解得1≤n ≤10， 所以n 的取值范围是{n |1≤n ≤10，n ∈N }. 考点二 等差数列的判定与证明典例迁移【例2】 (经典母题)若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式.(1)证明 当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0， 得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列. (2)解 由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）＝n －1－n 2n （n －1）＝－12n （n －1）.当n ＝1时，a 1＝12不适合上式.故数列{a n}的通项公式为a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n （n －1），n ≥2.【迁移1】 本例条件不变，判断数列{a n }是否为等差数列，并说明理由. 解 因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，a n ＋2S n S n －1＝0， 所以S n －S n －1＋2S n S n －1＝0(n ≥2). 所以1S n －1S n －1＝2(n ≥2).又1S 1＝1a 1＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项，2为公差的等差数列.所以1S n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，故S n ＝12n.所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）＝－12n （n －1），所以a n ＋1＝－12n （n ＋1），又a n ＋1－a n ＝－12n （n ＋1）－－12n （n －1）＝－12n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n －1＝1n （n －1）（n ＋1）.所以当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，故数列{a n }不是等差数列.【迁移2】 本例中，若将条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，试求数列{a n }的通项公式.解 由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，即a n ＋1n ＋1－a nn＝1， 又a 1＝35，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝35为首项，1为公差的等差数列，∴a n n ＝35＋(n －1)·1＝n －25， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－25n .规律方法 1.证明数列是等差数列的主要方法：(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数. (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)都成立. 2.判定一个数列是等差数列还常用到的结论：(1)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列.(2)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.【训练2】 记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列. 解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1＋q ）＝2，a 1（1＋q ＋q 2）＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－2，a 1＝－2.故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n.(2)由(1)可得S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝－23＋(－1)n 2n ＋13.由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n 2n ＋3－2n ＋23＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23＋（－1）n ·2n ＋13＝2S n ， 故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列. 考点三 等差数列的性质及应用【例3】 (1)(2019·安阳联考)在等差数列{a n }中，若a 2＋a 8＝8，则(a 3＋a 7)2－a 5＝( )A.60B.56C.12D.4(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.63B.45C.36D.27解析 (1)∵在等差数列{a n }中，a 2＋a 8＝8， ∴a 2＋a 8＝a 3＋a 7＝2a 5＝8，解得a 5＝4， 所以(a 3＋a 7)2－a 5＝82－4＝60.(2)由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列， 即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， 得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45， 所以a 7＋a 8＋a 9＝45. 答案 (1)A (2)B规律方法 1.项的性质：在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .2.和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 (1)S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； (2)S 2n －1＝(2n －1)a n .【训练3】 (1)(2020·广东六校联考)等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值是( ) A.14B.15C.16D.17(2)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7等于( )A.3727B.1914C.3929D.43解析 (1)依题意，由a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，得5a 8＝120，即a 8＝24，所以a 9－13a 11＝13(3a 9－a 11)＝13(a 9＋a 7＋a 11－a 11)＝13(a 9＋a 7)＝23a 8＝23×24＝16.(2)a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝a 1＋a 132×13b 1＋b 132×13＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1＝3727.答案 (1)C (2)A考点四 等差数列的最值问题 多维探究角度1 等差数列前n 项和的最值【例4－1】 (2019·北京卷)设{a n }是等差数列，a 1＝－10，且a 2＋10，a 3＋8，a 4＋6成等比数列.(1)求{a n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值. 解 (1)设{a n }的公差为d . 因为a 1＝－10，所以a 2＝－10＋d ，a 3＝－10＋2d ，a 4＝－10＋3d . 因为a 2＋10，a 3＋8，a 4＋6成等比数列， 所以(a 3＋8)2＝(a 2＋10)(a 4＋6). 所以(－2＋2d )2＝d (－4＋3d ). 解得d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －12. (2)由(1)知，a n ＝2n －12.则当n ≥7时，a n >0；当n ＝6时，a n ＝0，当n <6时，a n <0； 所以S n 的最小值为S 5＝S 6＝－30.规律方法 求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；(2)利用公差不为零的等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数，A ≠0)为二次函数，通过二次函数的性质求最值. 角度2 等差数列项的最值【例4－2】 (2020·淮北模拟)S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 2 020<S 2 018，S 2 019<S 2 020，则S n <0时n 的最大值是( ) A.2 019B.2 020C.4 037D.4 038解析 因为S 2 020<S 2 018，S 2 019<S 2 020，所以a 2 020＋a 2 019<0，a 2 020>0.所以S 4 038＝4 038（a 1＋a 4 038）2＝2 019(a 2 020＋a 2 019)<0，S 4 039＝4 039（a 1＋a 4 039）2＝4 039a 2 020>0，可知S n <0时n 的最大值是4 038. 答案 D规律方法 本题借助等差数列的性质求出S n <0中n 的取值范围，从而求出n 的最大值，这种题型要与S n 的最值区别开来.【训练4】 (1)(角度1)等差数列{a n }中，已知|a 6|＝|a 11|，且公差d >0，则其前n 项和取最小值时n 的值为( ) A.6B.7C.8D.9(2)(角度2)设等差数列{a n }满足a 3＋a 7＝36，a 4a 6＝275，且a n a n ＋1有最小值，则这个最小值为________.解析 (1)由d >0可得等差数列{a n }是递增数列，又|a 6|＝|a 11|，所以－a 6＝a 11，即－a 1－5d ＝a 1＋10d ，所以a 1＝－15d 2，则a 8＝－d 2<0，a 9＝d2>0，所以前8项和为前n 项和的最小值.故选C.(2)设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 3＋a 7＝36，所以a 4＋a 6＝36，又a 4a 6＝275，联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝11，a 6＝25或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝25，a 6＝11，当⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝11，a 6＝25时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－10，d ＝7，此时a n ＝7n －17，a 2＝－3，a 3＝4，易知当n ≤2时，a n <0，当n ≥3时，a n >0，所以a 2a 3＝－12为a n a n ＋1的最小值；当⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝25，a 6＝11时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝46，d ＝－7，此时a n ＝－7n ＋53，a 7＝4，a 8＝－3，易知当n ≤7时，a n >0，当n ≥8时，a n <0，所以a 7a 8＝－12为a n a n ＋1的最小值.综上，a n a n ＋1的最小值为－12. 答案 (1)C (2)－12A 级 基础巩固一、选择题1.(2019·衡阳一模)在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则a 2＋a 14的值为( ) A.6B.12C.24D.48解析 ∵在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120， 由等差数列的性质，a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120， ∴a 8＝24，∴a 2＋a 14＝2a 8＝48. 答案 D2.(2020·河南名校联盟联合调研)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 7＋a 8＋a 13＝2π21，则tan S 14＝( ) A.－33B.33C.－ 3D. 3解析 ∵{a n }是等差数列，且a 2＋a 7＋a 8＋a 13＝2π21，∴a 7＋a 8＝π21，∴S 14＝14（a 1＋a 14）2＝7(a 7＋a 8)＝π3，∴tan S 14＝tan π3＝ 3.答案 D3.(2020·武汉调研)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，且对任意n >1，n ∈N *，满足S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)，则S 10的值为( ) A.90B.91C.96D.100解析 ∵对任意n >1，n ∈N *，满足S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)， ∴S n ＋1－S n ＝S n －S n －1＋2， ∴a n ＋1－a n ＝2.∴数列{a n }在n ≥2时是等差数列，公差为2. 又a 1＝1，a 2＝2，∴S 10＝1＋9×2＋9×82×2＝91.故选B. 答案 B4.(2019·合肥质检)中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是( ) A.174斤B.184斤C.191斤D.201斤解析 用a 1，a 2，…，a 8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数， 由题意得数列a 1，a 2，…，a 8是公差为17的等差数列，且这8项的和为996， ∴8a 1＋8×72×17＝996，解之得a 1＝65.∴a 8＝65＋7×17＝184，即第8个儿子分到的绵是184斤. 答案 B。
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版强基版)：数列
5.等比数列{an}中，a1＋a2＝6，a3＋a4＝12，则{an}的前 8 项和为
√A.90
B.30( 2＋1)
C.45( 2＋1)
D.72
等比数列{an}中，a1＋a2＝6， a3＋a4＝(a1＋a2)q2＝12， ∴q2＝2，a5＋a6＝(a3＋a4)q2＝24， 同理a7＋a8＝48， 则{an}的前8项和a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝6＋12＋24＋48＝90.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
11.数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝2Sn(n∈N*)，则有
√A.Sn＝3n－1
√B.{Sn}为等比数列
C.an＝2·3n－1
√D.an＝12·，3nn－＝2，1n，≥2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
8.数列{an}中，a1＝5，a2＝9.若数列{an＋n2}是等差数列，则{an}的最大 值为
A.9
√B.11
45 C. 4
D.12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
令bn＝an＋n2，又a1＝5，a2＝9， ∴b2＝a2＋4＝13，b1＝a1＋1＝6， ∴数列{an＋n2}的首项为6，公差为13－6＝7， 则an＋n2＝6＋7(n－1)＝7n－1， ∴an＝－n2＋7n－1＝－n－722＋445，又 n∈N*， ∴当 n＝3 或 4 时，an 有最大值为－14＋445＝11.
2023届高考数学全程一轮复习第六章数列第二节等差数列及其前n项和课件
(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，
Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．
(3)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，
而a1 和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常
用方法．
第二节 等差数列及其前n项和
必备知识—基础落实
关键能力—考点突破
·最新考纲·
1．理解等差数列的概念．
2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．
3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解
决相应的问题．
4．了解等差数列与一次函数的关系．
·考向预测·
考情分析：等差数列的判断与证明，等差数列的基本运算，等差数
d＜ − 4，
14
所以ቐ
d≥− ，
3
14
即－ ≤d＜－4.
3
(四)走进高考
6．[2020·全国卷Ⅱ]记Sn 为等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2，a2
25
＋a6＝2，则S10＝______．
解析：设等差数列{an}的公差为d，
则a2＝－2＋d，a6＝－2＋5d，
因为a2＋a6＝2，
所以－2＋d＋(－2＋5d)＝2，
同一个常数
___________，那么这个数列就叫做等差数列；数学语言表达式：a
n＋
1－an＝d(n∈N＋，d为常数)．
(2)如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项．
[提醒] (1)d＞0⇒{an}为递增数列；
(2)d＝0⇒{an}为常数列；
(3)d＜0⇒{an}为递减数列．
高三数学一轮复习优质课件2：6.2 等差数列及其前n项和
1 (n∈N*),
an 1
所以
bn1
bn
1 an1 1
1 an 1
(2
1 1
) 1
1 an 1
an 1 1.
an
an 1 an 1
15
又
b1
a1
1
, 2
所以数列{bn}是以 5 为首项,以1为公差的等差数列.
2
②由①知bn=n-
7 2
,
则an=
1
1 bn
1
2. 2n 7
设f(x)= 1 2 ,
{a2n-1+2a2n}是 (
)
A.公差为3的等差数列
B.公差为4的等差数列
C.公差为6的等差数列
D.公差为9的等差数列
(2)(2015·太原模拟)已知数列{an}中,
a1
3 5
,an
2 1 a n1
数列{bn}满足bn=
1 an 1
(n∈N*).
①求证:数列{bn}是等差数列;
(n≥2,n∈N*),
2.等差数列设项技巧 若奇数个数成等差数列且和为定值时,可设中间三项为a-d,a,a+d;若偶 数个数成等差数列且和为定值时,可设中间两项为a-d,a+d,其余各项再 依据等差数列的定义进行对称设元.
考点2 等差数列的判定与证明
【典例2】(1)(2015·防城港模拟)若{an}是公差为1的等差数列,则
②若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}(n∈N*)是等差数列. ③Sm,S2m,S3m分别为{an}的前m项,前2m项,前3m项的和,则Sm,S2m-Sm, S_3_m_-_S_2_m成等差数列.
④两个等差数列{an},{bn}的前n项和Sn,Tn之间的关系为
高考数学一轮复习全套课时作业6-2等差数列
题组层级快练 6.2等差数列一、单项选择题1．(2021·河北辛集中学月考)已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 3＝6，S 3＝12，则公差d 等于()A ．1B.53C ．2D ．32．(2017·课标全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为()A ．1B ．2C ．4D ．83．(2021·南昌市一模)已知{a n }为等差数列，若a 2＝2a 3＋1，a 4＝2a 3＋7，则a 5＝()A ．1B ．2C ．3D ．64．(2020·西安四校联考)在等差数列{a n }中，a 2＝5，a 7＝3，在该数列中的任何两项之间插入一个数，使之仍为等差数列，则这个新等差数列的公差为()A ．－25B ．－45C ．－15D ．－355．(2020·安徽合肥二模)a 1＝1，a 4＝4，则a 10＝()A ．－45B ．－54C.413D.1346．(2021·合肥市一检)已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，a 5＋a 7－a 62＝0，则S 11的值为()A ．11B ．12C ．20D ．227．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝()A.310B.13C.18D.198．(2021·福建高三质检)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 7＋a 8＋a 13＝2π21，则tanS 14＝()A ．－33B.33C ．－3D.39．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝9，S 99－S 55＝－4，则S n 取最大值时的n 为()A ．4B ．5C ．6D ．4或510．(2021·沈阳二中模拟)《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．”这首歌诀的大意是：“一位老公公有九个儿子，九个儿子从大到小排列，相邻两人的年龄差三岁，并且儿子们的年龄之和为207岁，请问大儿子多少岁，其他几个儿子年龄如何推算．”在这个问题中，记这位公公的第n 个儿子的年龄为a n ，则a 3＝()A ．17B ．29C ．23D ．3511．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为()A ．13B ．12C ．11D ．10二、多项选择题12．已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，前n 项和为S n ，满足a 1＋5a 3＝S 8，下列选项正确的有()A ．a 10＝0B ．S 10最小C ．S 7＝S 12D ．S 20＝0三、填空题与解答题13．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝3n －12n ＋3，则a 10b 10＝________．14．(2020·沈阳市模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 3＝a 5，a m ＝2019，则m ＝________．15．设数列{a n }的各项都为正数，其前n 项和为S n ，已知对任意n ∈N *，S n 是a n 2和a n 的等差中项．(1)证明：数列{a n }为等差数列；(2)若b n ＝－n ＋5，求{a n ·b n }的最大项的值并求出取最大值时n 的值．16．已知A n ＝{x|2n <x<2n ＋1且x ＝7m ＋1，m ，n ∈N }，则A 6中各元素的和为________．9个数构成一个首项为71，公差为7的等差数列．∴71＋78＋…＋127＝71×9＋9×82×7＝891.17．(2019·课标全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 9＝－a 5.(1)若a 3＝4，求{a n }的通项公式；(2)若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．6.2等差数列参考答案1．答案C解析由已知得S 3＝3a 2＝12，即a 2＝4，∴d ＝a 3－a 2＝6－4＝2.2．答案C解析设等差数列{a n }的公差为d ，1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，1＋6×52d ＝48，1＝－2，＝4，故选C.3．答案B解析设数列{a n }的公差为d ，将题中两式相减可得2d ＝6，所以d ＝3，所以a 2＝2(a 2＋3)＋1，解得a 2＝－7，所以a 5＝a 2＋(5－2)d ＝－7＋9＝2.故选B.4．答案C解析∵{a n }的公差d ＝3－57－2＝－25，∴新等差数列的公差d×12＝－15.故选C.5．答案A解析由题意，得1a 1＝1，1a 4＝14，d ＝1a 4－1a 13＝－14，由此可得1a n＝1＋(n －1)＝－n 4＋54，因此1a 10＝－54，所以a 10＝－45.故选A.6．答案D解析方法一：设等差数列的公差为d(d ＞0)，则由(a 1＋4d)＋(a 1＋6d)－(a 1＋5d)2＝0，得(a 1＋5d)(a 1＋5d －2)＝0，所以a 1＋5d ＝0或a 1＋5d ＝2，又a 1＞0，所以a 1＋5d ＞0，则a 1＋5d ＝2，则S 11＝11a 1＋11×102d ＝11(a 1＋5d)＝11×2＝22.故选D.方法二：因为{a n }为正项等差数列，所以由等差数列的性质，并结合a 5＋a 7－a 62＝0，得2a 6－a 62＝0，a 6＝2，则S 11＝11（a 1＋a 11）2＝11×2a 62＝11a 6＝22.故选D.7．答案A解析令S 3＝1，则S 6＝3，∴S 9＝1＋2＋3＝6.S 12＝S 9＋4＝10，∴S 6S 12＝310.故选A.8．答案D 9．答案B解析由{a n }为等差数列，设公差为d ，有S 99－S55＝a 5－a 3＝2d ＝－4，即d ＝－2，又a 1＝9，所以a n ＝－2n＋11，由a n ＝－2n ＋11<0，得n>112，所以S n 取最大值时n 为5.故选B.10．答案B解析依题意{a n }为等差数列，且d ＝－3，S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9a 5＝207，∴a 5＝23，∴a 3＝a 5－2d ＝29.故选B.11．答案A解析因为a 1＋a 2＋a 3＝34，a n －2＋a n －1＋a n ＝146，所以a 1＋a 2＋a 3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝34＋146＝180.又因为a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2，所以3(a 1＋a n )＝180，从而a 1＋a n ＝60.所以S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n·602＝390，即n ＝13.12．答案AC解析根据题意，数列{a n }是等差数列，若a 1＋5a 3＝S 8，即a 1＋5a 1＋10d ＝8a 1＋28d ，变形可得a 1＝－9d ，又由a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －10)d ，则有a 10＝0，故A 一定正确；不能确定a 1和d 的符号，不能确定S 10最小，故B 不正确；又由S n ＝na 1＋n （n －1）d 2＝－9nd ＋n （n －1）d 2＝d2×(n 2－19n)，则有S 7＝S 12，故C 一定正确；则S 20＝20a 1＋20×192d ＝－180d ＋190d ＝10d ，∵d ≠0，∴S 20≠0，则D 不正确．13．答案5641解析在等差数列中，S 19＝19a 10，T 19＝19b 10，因此a 10b 10＝S 19T 19＝3×19－12×19＋3＝5641.14．答案1010解析设公差为d ，由题知S 3＝a 5，即3a 1＋3d ＝a 1＋4d ，得d ＝2a 1，又a 1＝1，故d ＝2.于是a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，再由2m －1＝2019，得m ＝1010.15．答案(1)证明见解析(2)当n＝2或n＝3时，{a n·b n}的最大值为6解析(1)证明：由已知可得2S n＝a n2＋a n，且a n>0，当n＝1时，2a1＝a12＋a1，解得a1＝1.当n≥2时，有2S n－1＝a n－12＋a n－1，所以2a n＝2S n－2S n－1＝a n2－a n－12＋a n－a n－1，所以a n2－a n－12＝a n＋a n－1，即(a n＋a n－1)(a n－a n－1)＝a n＋a n－1，因为a n＋a n－1>0，所以a n－a n－1＝1(n≥2)．故数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列．(2)由(1)可知a n＝n，设c n＝a n·b n，则c n＝n(－n＋5)＝－n2＋5n＋254，因为n∈N*，所以n＝2或3，c2＝c3＝6，因此当n＝2或n＝3时，{a n·b n}取最大项，且最大项的值为6. 16．答案891解析∵A6＝{x|26<x<27且x＝7m＋1，m∈N}，∴A6的元素有9个：71，78，85，92，99，106，113，120，127，9个数构成一个首项为71，公差为7的等差数列．∴71＋78＋…＋127＝71×9＋9×82×7＝891.17．答案(1)a n＝10－2n(2){n|1≤n≤10，n∈N}解析(1)设{a n}的公差为d.由S9＝－a5得a1＋4d＝0.由a3＝4得a1＋2d＝4.于是a1＝8，d＝－2.因此{a n}的通项公式为a n＝10－2n.(2)由(1)得a1＝－4d，故a n＝(n－5)d，S n＝n（n－9）d2.由a1>0知d<0，故S n≥a n等价于n2－11n＋10≤0，解得1≤n≤10.所以n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N}．。
2022数学第六章数列6.2等差数列及其前n项和学案文含解析新人教A版
6.2 等差数列及其前n 项和必备知识预案自诊知识梳理1.等差数列（1)定义:一般地，如果一个数列从 起,每一项与它的前一项的 都等于 ,那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ,公差通常用字母d 表示.数学语言表示为a n+1—a n =d (n ∈N ＊），d 为常数。
（2）等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是 ，其中A 叫做a ，b 的 。
(3)等差数列{a n ｝的通项公式：a n = ，可推广为a n =a m +（n —m ）d.(4)等差数列的前n 项和公式:S n =n (a 1+a n )2=na 1+n (n -1)2d.2。
等差数列的通项公式及前n 项和公式与函数的关系 (1)a n =a 1+（n —1)d 可化为a n =dn+a 1-d 的形式。
当d ≠0时,a n是关于n 的一次函数；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列.（2）数列｛a n ｝是等差数列，且公差不为0⇔S n =An 2+Bn (A ，B 为常数)。
1.已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n项和.（1）在等差数列｛a n}中，当m+n=p+q时,a m+a n=a p+a q(m,n,p，q∈N*).特别地，若m+n=2p，则2a p=a m+a n(m,n,p∈N＊）.（2）a k,a k+m，a k+2m,…仍是等差数列,公差为md(k,m ∈N＊).（3)S n,S2n-S n,S3n—S2n，…也成等差数列，公差为n2d。
（4)若{a n},{b n｝是等差数列,则｛pa n+qb n}也是等差数列.(5）若项数为偶数2n，则S2n=n(a1+a2n）=n（a n+a n+1)；S偶-S奇=nd；S奇S偶=a na n+1。
（6)若项数为奇数2n—1,则S2n—1=（2n—1）a n；S奇—S偶=a n;S奇S偶=nn-1。
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版强基版)：数列的综合问题
n
n
＝ {[a2k－(－1)2k－1a2k－1]b2k－1＋[a2k＋1－(－1)2ka2k]b2k}＝ 2k·4k，
k＝1
k＝1
n
设 Tn＝ 2k·4k，
k＝1
123456
所以Tn＝2×41＋4×42＋6×43＋…＋2n×4n， 4Tn＝2×42＋4×43＋…＋(2n－2)·4n＋2n×4n＋1， 两式相减得－3Tn＝2(41＋42＋43＋…＋4n)－2n×4n＋1 ＝2×411－－44n－2n×4n＋1＝2×4n3＋1－4－2n×4n＋1， 所以 Tn＝6n－294n＋1＋8，
n 1
所以an＝a1qn－1＝3 2 .
123456
(2)若bn＝log3a2n－1，求数列{bn}的前n项和Tn. 由(1)可得a2n－1＝3n－1，所以bn＝log3a2n－1＝n－1， 故 Tn＝0＋1＋2＋…＋n－1＝nn－ 2 1.
123456
2.(2022·潍坊模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，S3＝a3＋6. (1)求数列{an}的通项公式；
当n＝1时，整理得2a1＝k·21，解得k＝1，
故2a1＋3a2＋4a3＋…＋(n＋1)an＝n·2n(k∈R)，
(a)
当n≥2时，2a1＋3a2＋4a3＋…＋nan－1＝(n－1)·2n－1，
(b)
(a)－(b)得an＝2n－1(首项符合通项)，
所以an＝2n－1.
123456
(2)若 bn＝n＋1l1og2an＋1，且数列{bn}的前 n 项和 Tn＝19090，求 n 的值. 由(1)得 bn＝n＋1l1og2an＋1＝nn1＋1＝1n－n＋1 1， 所以 Tn＝1－12＋12－13＋…＋1n－n＋1 1＝1－n＋1 1＝19090，解得 n＝99.
第六章 §6.2 等差数列-2024-2025学年高考数学大一轮复习(人教A版)配套PPT课件
则 S2－ S1＝ 4a1－ a1＝d，得 a1＝d 2，
所以 Sn＝ S1＋(n－1)d＝nd， 所以Sn＝n2d2， 所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)是关于n的一次 函数，且a1＝d2满足上式，所以数列{an}是等差数列.
思维升华
判断数列{an}是等差数列的常用方法 (1)定义法：对于数列{an}，an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差 数列； (2)等差中项法：对于数列{an}，2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立⇔{an}是 等差数列； (3)通项公式法：an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差 数列； (4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)对任意的正整数n都成立 ⇔{an}是等差数列.
第六章
§6.2 等差数列
课标要求
1.理解等差数列的概念和通项公式的意义. 2.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式 与前n项和公式的关系. 3.能在具体问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题. 4.体会等差数列与一元函数的关系.
内容索引
第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型
设数列{an}的公差为d， 则 Sn＝na1＋nn－2 1d＝12dn2＋a1－d2n.
因为数列{ Sn}是等差数列，所以数列{ Sn}的通项公式是关于 n 的 一次函数，则 a1－d2＝0，即 d＝2a1，所以 a2＝a1＋d＝3a1. ②③⇒①. 已知数列{ Sn}是等差数列，a2＝3a1，
所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1. 设数列{ Sn}的公差为 d，d>0，
(2)(多选)(2023·郑州模拟)若数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，S5<S6，
高考数学一轮复习第6章数列第4节数列求和课件理新人教A版
(2)由(1)得 bn＝3n＋2n－1，
所以
Sn
＝
(3
＋
32
＋
33
＋
…
＋
3n)
＋
(1
＋
3
＋
5
＋
…
＋
2n
－
1)
＝
3（1－3n） 1－3
＋
n（1＋2n－1） 2
＝32(3n－1)＋n2
＝3n2＋1＋n2－32.
考点二 裂项相消法求和问题 【例 2】 (2020 届合肥调研)已知在等差数列{an}中，a2＝12，a5＝24，数列{bn}满 足 b1＝4，bn＋1－bn＝an(n∈N*)． (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)求使得b11＋b12＋b13＋…＋b1n＞187成立的最小正整数 n 的值．
(2)由(1)得b1n＝2n2＋1 2n＝2n（n1＋1）＝121n－n＋1 1， ∴b11＋b12＋b13＋…＋b1n＝121－12＋12－13＋…＋1n－n＋1 1＝121－n＋1 1＝2（nn＋1），即 2（nn＋1）＞187，解得 n＞16， ∴满足条件的最小正整数 n 的值为 17.
►名师点津 利用裂项相消法求和的注意事项
|跟踪训练| 2．(2019 届安徽模拟)已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝2an＋1. (1)证明：{an＋1}是等比数列，并求{an}的通项公式； (2)求证：aa1＋1a21＋aa2＋2a31＋…＋aanna＋n＋11<1._________
证明：(1)由 an＋1＝2an＋1，得 an＋1＋1＝2(an＋1)． 又 a1＋1＝2，所以{an＋1}是首项为 2，公比为 2 的等比数列． 所以 an＋1＝2n，因此{an}的通项公式为 an＝2n－1. (2)由(1)知aanna＋n＋11＝（2n－1）2（n 2n＋1－1）＝2n－1 1－2n＋11－1，于是aa1＋1a21＋aa2＋2a31＋…＋ aanna＋n＋11＝21－1 1－22－1 1＋22－1 1－23－1 1＋…＋2n－1 1－2n＋11－1＝1－2n＋11－1，所以aa1＋1a21＋ aa2＋2a31＋…＋aanna＋n＋11<1.
广东专用2023版高考数学一轮总复习第六章数列6-2等差数列课件
考点一 等差数列基本量的计算
(1)(2019 全 国 Ⅰ 卷 ) 记 Sn 为 等 差 数 列 {an} 的 前 n 项 和 . 已 知 S4 ＝ 0 ， a5 ＝ 5 ， 则
()
A. an＝2n－5
B. an＝3n－10
C. Sn＝2n2－8n
D. Sn＝12n2－2n
解：设公差为 d，则4aa1＋1＋46d＝d＝50，，解得ad1＝＝2－. 3，故 an＝2n－5，Sn＝（2n－52－3）·n＝n2－4n.
【点拨】 在等差数列五个基本量 a1，d，n，an，Sn 中，已知其中三个量，可以根据已知条件 结合等差数列的通项公式、前 n 项和公式列出关于基本量的方程(组)来求余下的两个量，计算 时须注意等差数列性质、整体代换及方程思想的应用.
(1)(2021 届江西南昌高三摸底)Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，满足 3a3＝5a2，S10＝100，
则 a1＝
()
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
解：设等差数列{an}的公差为 d，因为 3a3＝5a2，S10＝100，所以310（aa1＋1＋425dd） ＝＝ 1005（ ，a1＋d），
解得a1＝1，故选 d＝2.
A.
(2)(2020 安徽太和中学期末)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，a4＝11，且 S3，S5，a22 成等差
数列，则 S10＝( )
A. 145
B. 150
C. 155
D. 160
解：设等差数列{an}的公差为 d，因为 a4＝11，所以 S3＝3（a12＋a3）＝3a2＝3(11－2d)，S5＝ 5a3＝5(11－d)，a22＝11＋18d， 因为 S3，S5，a22 成等差数列，所以 3(11－2d)＋11＋18d＝10(11－d)，所以 d＝3，a1＝a4－3d ＝11－9＝2， 所以 S10＝10a1＋45d＝20＋135＝155. 故选 C.